Matemática Discreta BPBBGZ

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b) \( 5e^{i\frac{3\pi}{4}} \) 
 c) \( 5e^{i\frac{4\pi}{3}} \) 
 d) \( 5e^{i\frac{\pi}{2}} \) 
 Resposta: a) \( 5e^{i\frac{4\pi}{3}} \) 
 Explicação: O módulo é \( r = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \) e o argumento é \( \tan^{-
1}(\frac{4}{3}) \). 
 
65. Se \( z = 1 + i \), qual é o valor de \( z^4 \)? 
 a) \( 0 \) 
 b) \( -4 + 0i \) 
 c) \( -4 + 4i \) 
 d) \( 4 + 0i \) 
 Resposta: b) \( -4 + 0i \) 
 Explicação: Calculando \( z^4 = (1 + i)^4 = 1 + 4i + 6 - 4i - 4 = -4 + 0i \). 
 
66. Qual é a soma das raízes da equação \( z^2 - 6z + 9 = 0 \)? 
 a) \( -6 \) 
 b) \( 6 \) 
 c) \( 0 \) 
 d) \( -9 \) 
 Resposta: b) \( 6 \) 
 Explicação: A soma das raízes de uma equação quadrática é dada por \( -\frac{b}{a} \). 
Aqui, \( b = -6 \) e \( a = 1 \), então a soma é \( 6 \). 
 
67. Se \( z = 3 + 4i \), qual é o valor de \( |z|^2 \)? 
 a) \( 25 \) 
 b) \( 10 \) 
 c) \( 7 \) 
 d) \( 8 \) 
 Resposta: a) \( 25 \) 
 Explicação: O módulo é \( |z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \), e \( |z|^2 = 
25 \). 
 
68. Qual é a forma retangular do número complexo \( 2 \text{cis}(\frac{\pi}{3}) \)? 
 a) \( 1 + \sqrt{3}i \) 
 b) \( 2 + 0i \) 
 c) \( -1 + \sqrt{3}i \) 
 d) \( 1 - \sqrt{3}i \) 
 Resposta: a) \( 1 + \sqrt{3}i \) 
 Explicação: A forma polar \( r \text{cis}(\theta) \) é convertida para a forma retangular 
usando \( r(\cos(\theta) + i\sin(\theta)) \). Portanto, \( 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + 
i\sin(\frac{\pi}{3})) = 2(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + \sqrt{3}i \). 
 
69. Se \( z = 1 + 2i \), qual é o valor de \( z^2 \)? 
 a) \( -3 + 4i \) 
 b) \( 4 + 3i \) 
 c) \( 1 + 4i \) 
 d) \( -3 - 4i \) 
 Resposta: a) \( -3 + 4i \) 
 Explicação: Calculando \( z^2 = (1 + 2i)^2 = 1 + 4i + 4i^2 = 1 + 4i - 4 = -3 + 4i \). 
 
70. Qual é a forma exponencial do número complexo \( -2 + 2i \)? 
 a) \( 2\sqrt{2} e^{i\frac{3\pi}{4}} \) 
 b) \( 2\sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}} \) 
 c) \( 2\sqrt{2} e^{i\frac{5\pi}{4}} \) 
 d) \( 2\sqrt{2} e^{i\frac{7\pi}{4}} \) 
 Resposta: a) \( 2\sqrt{2} e^{i\frac{3\pi}{4}} \) 
 Explicação: O módulo é \( r = \sqrt{(-2)^2 + (2)^2} = 2\sqrt{2} \) e o argumento é \( \tan^{-
1}(\frac{2}{-2}) = \frac{3\pi}{4} \). 
 
71. Qual é a soma das raízes da equação \( z^2 + 5z + 6 = 0 \)? 
 a) \( -5 \) 
 b) \( 5 \) 
 c) \( 0 \) 
 d) \( -6 \) 
 Resposta: a) \( -5 \) 
 Explicação: A soma das raízes de uma equação quadrática é dada por \( -\frac{b}{a} \). 
Aqui, \( b = 5 \) e \( a = 1 \), então a soma é \( -5 \). 
 
72. Se \( z = 2 + 3i \), qual é o valor de \( z - \overline{z} \)? 
 a) \( 0 \) 
 b) \( -6i \) 
 c) \( 6i \) 
 d) \( 2 + 3i \) 
 Resposta: c) \( 6i \) 
 Explicação: O conjugado de \( z \) é \( \overline{z} = 2 - 3i \). Portanto, \( z - \overline{z} = (2 
+ 3i) - (2 - 3i) = 6i \). 
 
73. Qual é a forma exponencial do número complexo \( 3 + 4i \)? 
 a) \( 5e^{i\frac{\pi}{3}} \) 
 b) \( 5e^{i\frac{3\pi}{4}} \) 
 c) \( 5e^{i\frac{4\pi}{3}} \) 
 d) \( 5e^{i\frac{\pi}{2}} \) 
 Resposta: a) \( 5e^{i\frac{4\pi}{3}} \) 
 Explicação: O módulo é \( r = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \) e o argumento é \( \tan^{-
1}(\frac{4}{3}) \). 
 
74. Se \( z = 1 + i \), qual é o valor de \( z^4 \)? 
 a) \( 0 \) 
 b) \( -4 + 0i \) 
 c) \( -4 + 4i \) 
 d) \( 4 + 0i \) 
 Resposta: b) \( -4 + 0i \) 
 Explicação: Calculando \( z^4 = (1 + i)^4 = 1 + 4i + 6 - 4i - 4 = -4 + 0i \). 
 
75. Qual é a soma das raízes da equação \( z^2 - 6z + 9 = 0 \)?