Matemática Discreta BHTKHZ

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100. Uma equipe deseja tirar uma foto e cada um dos 12 participantes deve se alinhar em 
uma fileira, qual o total de maneiras que isso pode ser feito? 
 a) 123 
 b) 479 
 c) 479,001,600 
 d) 720 
Resposta correta: c) 479,001,600. Explicação: O número de maneiras é \( 12! = 
479,001,600 \). 
Claro! Aqui estão 100 problemas de álgebra complexa em formato de múltipla escolha, 
cada um com uma resposta longa e uma explicação detalhada. 
 
1. Considere a equação \( z^2 + 4z + 13 = 0 \). Quais são as raízes complexas dessa 
equação? 
 a) \( -2 + 3i \) e \( -2 - 3i \) 
 b) \( -2 + 4i \) e \( -2 - 4i \) 
 c) \( 2 + 3i \) e \( 2 - 3i \) 
 d) \( -4 + 2i \) e \( -4 - 2i \) 
 Resposta: a) \( -2 + 3i \) e \( -2 - 3i \) 
 Explicação: Para resolver a equação, usamos a fórmula quadrática \( z = \frac{-b \pm 
\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \). Aqui, \( a = 1 \), \( b = 4 \), e \( c = 13 \). Calculando o discriminante: 
\( b^2 - 4ac = 16 - 52 = -36 \). Assim, \( \sqrt{-36} = 6i \). Portanto, as raízes são \( z = \frac{-4 
\pm 6i}{2} = -2 \pm 3i \). 
 
2. Resolva a equação \( z^3 - 1 = 0 \). Quais são as raízes? 
 a) \( 1, -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i, -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i \) 
 b) \( 1, 0, -1 \) 
 c) \( 1, 1 + i, 1 - i \) 
 d) \( 1, 1 + \sqrt{3}i, 1 - \sqrt{3}i \) 
 Resposta: a) \( 1, -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i, -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i \) 
 Explicação: A equação pode ser fatorada como \( z^3 - 1 = (z - 1)(z^2 + z + 1) = 0 \). A raiz 
\( z = 1 \) é clara, e as outras raízes vêm da equação quadrática \( z^2 + z + 1 = 0 \). Usando 
a fórmula quadrática, obtemos as raízes complexas. 
 
3. Qual é a forma polar do número complexo \( 3 - 4i \)? 
 a) \( 5 \text{cis}(-\frac{4}{3}) \) 
 b) \( 5 \text{cis}(-\frac{\pi}{4}) \) 
 c) \( 5 \text{cis}(-\frac{53.13^\circ}{180}) \) 
 d) \( 5 \text{cis}(-\frac{3\pi}{4}) \) 
 Resposta: c) \( 5 \text{cis}(-\frac{53.13^\circ}{180}) \) 
 Explicação: Para encontrar a forma polar, calculamos o módulo \( r = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = 
5 \) e o argumento \( \theta = \tan^{-1}(-\frac{4}{3}) \). O ângulo está no quarto quadrante, 
resultando em \( -\frac{53.13^\circ}{180} \). 
 
4. Determine o módulo e o argumento do número complexo \( z = -1 + i \). 
 a) Módulo: \( \sqrt{2} \), Argumento: \( \frac{3\pi}{4} \) 
 b) Módulo: \( \sqrt{2} \), Argumento: \( \frac{5\pi}{4} \) 
 c) Módulo: \( 1 \), Argumento: \( \frac{\pi}{2} \) 
 d) Módulo: \( 2 \), Argumento: \( \frac{3\pi}{2} \) 
 Resposta: b) Módulo: \( \sqrt{2} \), Argumento: \( \frac{5\pi}{4} \) 
 Explicação: O módulo é \( r = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2} \). O argumento \( \theta = 
\tan^{-1}(\frac{1}{-1}) \) resulta em \( \frac{3\pi}{4} \) ou \( \frac{5\pi}{4} \) dependendo do 
quadrante. 
 
5. Se \( z_1 = 2 + 3i \) e \( z_2 = 1 - 4i \), qual é o resultado de \( z_1 \cdot z_2 \)? 
 a) \( 11 - 10i \) 
 b) \( 10 - 5i \) 
 c) \( 2 - 9i \) 
 d) \( 11 + 10i \) 
 Resposta: a) \( 11 - 10i \) 
 Explicação: Multiplicamos os números complexos usando a distributiva: 
 \( z_1 \cdot z_2 = (2 + 3i)(1 - 4i) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot (-4i) + 3i \cdot 1 + 3i \cdot (-4i) = 2 - 8i 
+ 3i + 12 = 11 - 5i \). 
 
6. Qual é a soma das raízes da equação \( z^2 + 6z + 10 = 0 \)? 
 a) 6 
 b) -6 
 c) 10 
 d) -10 
 Resposta: b) -6 
 Explicação: De acordo com a fórmula de Vieta, a soma das raízes de uma equação 
quadrática \( az^2 + bz + c = 0 \) é dada por \( -\frac{b}{a} \). Aqui, \( b = 6 \) e \( a = 1 \), 
então a soma das raízes é \( -\frac{6}{1} = -6 \). 
 
7. Resolva a equação \( z^4 + 1 = 0 \). Quais são as raízes? 
 a) \( \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i, -\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i, -
\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}i, \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}i \) 
 b) \( i, -i, 1, -1 \) 
 c) \( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i, \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i \) 
 d) \( 1, -1, i, -i \) 
 Resposta: a) \( \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i, -\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i, -
\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}i, \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}i \) 
 Explicação: A equação pode ser reescrita como \( z^4 = -1 \). As raízes são \( z = 
e^{i(\frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2})} \) para \( k = 0, 1, 2, 3 \). Isso resulta nas quatro raízes 
complexas. 
 
8. Qual é a forma retangular do número complexo \( 4 \text{cis}(\frac{\pi}{3}) \)? 
 a) \( 2 + 2\sqrt{3}i \) 
 b) \( 4 + 0i \) 
 c) \( 2 + 2i \) 
 d) \( 2 + 2\sqrt{3}i \) 
 Resposta: a) \( 2 + 2\sqrt{3}i \) 
 Explicação: A forma polar \( r \text{cis}(\theta) \) é convertida para a forma retangular 
usando \( r(\cos(\theta) + i\sin(\theta)) \). Portanto, \( 4(\cos(\frac{\pi}{3}) + 
i\sin(\frac{\pi}{3})) = 4(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2 + 2\sqrt{3}i \). 
 
9. Se \( z = 3 + 4i \), qual é o conjugado de \( z \)? 
 a) \( 3 - 4i \) 
 b) \( -3 + 4i \) 
 c) \( -3 - 4i \) 
 d) \( 4 - 3i \) 
 Resposta: a) \( 3 - 4i \)