Resolva a equação z^3 - 1 = 0. Quais são as raízes? a) 1, -1/2 + √3/2 i, -1/2 - √3/2 i b) 1, 0, -1 c) 1, 1 + i, 1 - i d) 1, 1 + √3 i, 1 - √3 i

Para resolver a equação \( z^3 - 1 = 0 \), podemos reescrevê-la como \( z^3 = 1 \). As raízes dessa equação são os números complexos que, quando elevados ao cubo, resultam em 1. As raízes da equação \( z^3 = 1 \) podem ser encontradas usando a forma polar. O número 1 pode ser representado como \( 1 = e^{i \cdot 0} \). As raízes são dadas por: \[ z_k = e^{i \cdot \frac{2k\pi}{3}} \quad \text{para } k = 0, 1, 2 \] Calculando as raízes: 1. Para \( k = 0 \): \[ z_0 = e^{i \cdot 0} = 1 \] 2. Para \( k = 1 \): \[ z_1 = e^{i \cdot \frac{2\pi}{3}} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i \] 3. Para \( k = 2 \): \[ z_2 = e^{i \cdot \frac{4\pi}{3}} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i \] Portanto, as raízes da equação \( z^3 - 1 = 0 \) são: \[ 1, -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i, -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i \] Assim, a alternativa correta é: a) \( 1, -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i, -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i \).