Matematica (31)

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O conceito de sequência
Em setembro de 2009, o Brasil sediou a VI Copa América de basquete 
feminino, realizada na cidade de Cuiabá (MT). O time feminino do Brasil 
venceu essa competição, conquistando a medalha de ouro.
Oito países participaram da competição feminina de basquete, ob-
tendo as seguintes classificações:
Classificação final da VI Copa 
América de basquete feminino
Posição País
1 Brasil 
2 Argentina 
3 Canadá 
4 Cuba 
5 Porto Rico 
6 Chile 
7 Venezuela 
8 República Dominicana 
Disponível em: . 
Acesso em: 13 out. 2009.
Jogadoras brasileiras 
na VI Copa América de 
basquete feminino. 
Observe que a classificação é apresentada associando-se cada núme-
ro natural de 1 a 8 ao nome de um país. Essa associação determina uma 
sequência, em que:
• o número 1 corresponde ao primeiro elemento da sequência;
• o número 2 corresponde ao segundo elemento da sequência;
• o número 3 corresponde ao terceiro elemento da sequência;
...
• o número 8 corresponde ao oitavo elemento da sequência.
Vamos representar essa associação em um diagrama de flechas, indi-
cando por A o conjunto de números naturais de 1 a 8 e por B o conjunto 
dos países participantes do torneio:
1
2
3
4
5
6
7
8
Brasil
Argentina
Canadá
Cuba
Porto Rico
Chile
Venezuela
República 
Dominicana
A B
Note que cada elemento de A está associado a um único elemento de B.
Dessa forma, temos uma função de A em B. Essa situação é um exemplo 
de sequência finita.
Seção 11.1
 Objetivos
 Obter uma sequência 
a partir de sua lei
 de formação.
 Escrever a lei 
de formação de 
uma sequência.
 Resolver problemas 
que envolvem 
sequências.
 Termos e conceitos
• sequência finita
• sequência infinita
• termo de uma 
sequência
• lei de formação 
de uma sequência
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CAP 11.indb 388 05.08.10 17:30:23
Sequência finita 
Sequência infinita 
Sequência finita é toda função de domínio A 5 {1, 2, 3, ..., n} com A - vR e contradomínio B, 
sendo B um conjunto qualquer não vazio.
Sequência infinita é toda função de domínio vR 5 {1, 2, 3, 4, ...} e contradomínio B, sendo B 
um conjunto qualquer não vazio.
Exemplos
a) Consideremos a função g descrita pelo diagrama:
1
2
3
4
5
6
g
5
3
√7
2
5
C D
Essa função descreve uma sequência finita, que pode ser representada simplesmente por:
 @ 5, dll 7 , dll 7 , 
2
 __ 
5
 , 3, 3 # 
 @ 5, dll 7 , dll 7 , 
2
 __ 
5
 , 3, 3 # % @ dll 7 , 5, dll 7 , 
2
 __ 
5
 , 3, 3 # 
Nessa forma de representação da sequência, os parênteses indicam que a ordem em que 
os elementos são apresentados deve ser mantida, isto é, se trocarmos a ordem de pelo menos 
dois elementos, obteremos outra sequência, por exemplo:
b) Sendo A 5 {1, 2, 3, 4, ..., 40}, considere a função h: A p V tal que h (n) 5 3n2 2 1. Temos:
h(1) 5 3 3 12 2 1 5 2
h(2) 5 3 3 22 2 1 5 11
h(3) 5 3 3 32 2 1 5 26
h(4) 5 3 3 42 2 1 5 47
...
h(40) 5 3 3 402 2 1 5 4.799
Assim, a função h representa a sequência: (2, 11, 26, 47, ..., 4.799)
Exemplos
a) Seja a função f : vR P V tal que f (n) 5 2n. Essa função é a sequência infinita dos números 
naturais pares não nulos e pode ser representada por: 
 (2, 4, 6, 8, ...)
b) Seja a função g: vR P V tal que g (n) 5 (21)n. Essa é a sequência infinita:
 (21, 1, 21, 1, 21, 1, 21, 1, ...)
 Termos de uma sequência
Cada elemento de uma sequência também é chamado de termo da sequência. Em uma 
sequên cia, o termo que ocupa a posição de número n é indicado pelo símbolo an, isto é:
a1 indica o primeiro termo da sequência;
a2 indica o segundo termo da sequência;
a3 indica o terceiro termo da sequência;
a4 indica o quarto termo da sequência;
...
an indica o n-ésimo termo da sequência.
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CAP 11.indb 389 05.08.10 17:30:24
Exemplo
Na sequência (7, 3, 8, 10, ...), temos: a1 5 7, a2 5 3, a3 5 8, a4 5 10, ...
Notas:
1. Uma sequência (a1, a2, a3, ..., an, ...) pode ser representada abreviadamente por (an)n 9 vR ou, 
simplesmente, (an).
2. Em uma sequência finita (a1, a2, a3, ..., an), os termos a1 e an são chamados de extremos da 
sequência. Dois termos, ai e aj são equidistantes dos extremos se, e somente se, a quan-
tidade de termos que precedem ai é igual à quantidade de termos que sucedem aj.
3. Um termo am é chamado de termo médio de uma sequência com número ímpar de termos se, 
e somente se, a quantidade de termos que antecedem am é igual à quantidade de termos que 
o sucedem.
 Por exemplo: 
 Na sequência (a1, a2, a3, a4, ..., a58, a59, a60, a61), os extremos são a1 e a61. Os termos a4 e a58 são 
equidistantes dos extremos. E o termo médio da sequência é a31.
 Lei de formação de uma sequência
Um conjunto de informações que determina todos os termos de uma sequência e a ordem em 
que eles são apresentados é chamado de lei de formação da sequência.
Exemplos
a) Seja (an) a sequência tal que: 
a1 5 3
an 1 1 5 4 1 an
 As informações acima determinam todos os elementos da sequência e a ordem em que eles 
são apresentados. Observe:
 • o primeiro termo da sequência é 3, isto é, a1 5 3;
 • na igualdade an 1 1 5 4 1 an, atribuindo a n os valores 1, 2, 3, ..., obtemos os demais termos 
da sequência, isto é:
n 5 1 ] a2 5 4 1 a1 5 4 1 3 5 7
n 5 2 ] a3 5 4 1 a2 5 4 1 7 5 11
n 5 3 ] a4 5 4 1 a3 5 4 1 11 5 15
n 5 4 ] a5 5 4 1 a4 5 4 1 15 5 19
...
 Portanto, a sequência é (3, 7, 11, 15, 19, ...).
b) Considere a sequência (an) tal que an 5 n2 2 1. Para determinar os termos dessa sequência, 
basta atribuir a n os valores 1, 2, 3, 4, ... na igualdade an 5 n2 2 1. Observe:
n 5 1 ] a1 5 12 2 1 5 0
n 5 2 ] a2 5 22 2 1 5 3
n 5 3 ] a3 5 32 2 1 5 8
n 5 4 ] a4 5 42 2 1 5 15
...
 Portanto, a sequência é (0, 3, 8, 15, ...).
c) A sequência dos números primos positivos, em ordem crescente, é (2, 3, 5, 7, 11, ...). Observe que 
a lei de formação dessa sequência não foi expressa por uma equação, mas pela propriedade de 
que os números sejam primos positivos e estejam em ordem crescente. Esse exemplo mostra 
que a lei de formação de uma sequência pode não ser uma equação.
EXERCÍCIOS pROpOStOS
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CAP 11.indb 390 05.08.10 17:30:24
1 Na sequência @ 5, 24, 8, dll 3 , 6, 6, 6, ... # identifique os 
termos a1, a2, a3, a4, a5, a6 e a7.
 Agora, responda:
a) Um cliente que tem 23 livros e já leu todos 
pretende aproveitar ao máximo essa promoção. 
Quantos livros novos ele pode trocar pelos já 
lidos nessa livraria, sem nenhum custo, supondo 
que a promoção não termine?
b) Um cliente tem 505 livros e já leu todos e, em 
cada troca dessa promoção, ele retira o maior 
número possível de livros novos. Escreva a se-
quência (an), em que an é o número de livros novos 
retirados na n-ésima troca.
EXERCÍCIOS pROpOStOS
Resolva os exercícios complementares 1 a 7 e 89 a 94 .
2 Escreva sob a forma (a1, a2, a3, a4, ...) cada uma das 
sequências a seguir.
a) (an) tal que an 5 2n 1 5
b) (an) tal que an 5 n2 1 n
c) (an) tal que an 5 n ______ 
n 1 1
 
d) (an) tal que 
a1 5 4
an 1 1 5 5 1 an
e) (an) tal que 
a1 5 3
a2 5 7
an 1 2 5 an 1 1 2 an
3 A soma dos n primeiros termos de uma sequência 
(a1, a2, a3, a4, ...) é dada por Sn 5 n2 1 n, para todo 
número natural n não nulo.
a) Calcule a soma dos dez primeiros termos da 
sequência.
b) Determine o primeiro termo da sequência.
c) Determine o 5o termo da sequência.
d) Determine o n-ésimo termo, an, da sequência.
4 Uma livraria faz a seguinte promoção:5 Com azulejos quadrados brancos e pretos, todos 
do mesmo tamanho, construímos os seguintes 
mosaicos:
 A regra para construir esses mosaicos é a seguin-
te: inicialmente, formamos um quadrado com 
1 azulejo branco cercado por azulejos pretos; em 
seguida, outro quadrado, este com 4 azulejos bran-
cos, também cercado por azulejos pretos, e assim 
sucessivamente.
 Considerando a sequência de mosaicos com número 
crescente de azulejos, responda:
a) Quantos azulejos brancos terá o 15o mosaico 
dessa sequência?
b) Quantos azulejos brancos terá o n-ésimo mosaico 
dessa sequência?
c) Quantos azulejos pretos terá o 20o mosaico dessa 
sequência?
d) Quantos azulejos pretos terá o n-ésimo mosaico 
dessa sequência?
6 Faça o que se pede.
a) Releia o problema da abertura deste capítulo e 
reescreva os 12 primeiros números da sequência 
de Fibonacci.
b) Considerando infinita a sequência de Fibonacci, 
escreva sua lei de formação. (Dica: Relacione cada 
termo com seus dois termos anteriores.)
7 (UFPB) O total de indivíduos, na n-ésima geração, de 
duas populações, P e Q , é dado, respectivamente, 
por P (n) 5 4n e Q (n) 5 2n. Sabe-se que, quando
 
P(n)
 _____ 
Q(n)
 > 1.024, a população Q estará ameaçada de
 extinção. Com base nessas informações, essa amea-
ça de extinção ocorrerá a partir da:
a) décima geração d) sétima geração
b) nona geração e) sexta geração
c) oitava geração
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