Varias questões kdd

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<p>- A) \( \frac{\pi}{2} \)</p><p>- B) \( \frac{\pi}{4} \)</p><p>- C) \( 1 \)</p><p>- D) \( 0 \)</p><p>**Resposta:** A) \( \frac{\pi}{2} \)</p><p>**Explicação:** Usando a identidade \( \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \), temos \(</p><p>\int_0^\pi \sin^2(x) \, dx = \frac{1}{2} \int_0^\pi (1 - \cos(2x)) \, dx = \frac{1}{2} \left( \pi - 0</p><p>\right) = \frac{\pi}{2} \).</p><p>56. **Problema 56:**</p><p>Qual é a solução da equação \( e^x = 5 \)?</p><p>- A) \( x = \ln(5) \)</p><p>- B) \( x = 5 \)</p><p>- C) \( x = e^5 \)</p><p>- D) \( x = \frac{1}{5} \)</p><p>**Resposta:** A) \( x = \ln(5) \)</p><p>**Explicação:** Para resolver a equação \( e^x = 5 \), aplicamos o logaritmo natural em</p><p>ambos os lados, resultando em \( x = \ln(5) \).</p><p>57. **Problema 57:**</p><p>Determine o valor da integral \( \int_1^{e} \frac{1}{x} \, dx \).</p><p>- A) 1</p><p>- B) \( \ln(e) = 1 \)</p><p>- C) \( \ln(2) \)</p><p>- D) \( e - 1 \)</p><p>**Resposta:** B) \( \ln(e) = 1 \)</p><p>**Explicação:** A integral de \( \frac{1}{x} \) é \( \ln|x| \). Avaliando de 1 a \( e \), temos \(</p><p>\ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1 \).</p><p>58. **Problema 58:**</p><p>Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} \).</p><p>- A) 2</p><p>- B) 0</p><p>- C) \( \infty \)</p><p>- D) 1</p><p>**Resposta:** A) 2</p><p>**Explicação:** Usando a regra do limite fundamental \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} =</p><p>k \), temos \( k = 2 \).</p><p>59. **Problema 59:**</p><p>Qual é a integral \( \int \cos(3x) \, dx \)?</p><p>- A) \( \frac{1}{3} \sin(3x) + C \)</p><p>- B) \( 3\sin(3x) + C \)</p><p>- C) \( -\sin(3x) + C \)</p><p>- D) \( \frac{\sin(3x)}{3} + C \)</p><p>**Resposta:** A) \( \frac{1}{3} \sin(3x) + C \)</p><p>**Explicação:** A integral de \( \cos(kx) \) é \( \frac{1}{k} \sin(kx) + C \). Aqui, \( k = 3 \),</p><p>resultando em \( \frac{1}{3} \sin(3x) + C \).</p><p>60. **Problema 60:**</p><p>Qual é o valor da integral \( \int_0^1 x^3 \, dx \)?</p><p>- A) \( \frac{1}{4} \)</p><p>- B) \( \frac{1}{5} \)</p><p>- C) \( \frac{1}{6} \)</p><p>- D) \( \frac{1}{3} \)</p><p>**Resposta:** B) \( \frac{1}{4} \)</p><p>**Explicação:** A integral de \( x^3 \) é \( \frac{1}{4}x^4 \). Avaliando de 0 a 1, obtemos \(</p><p>\left[\frac{1}{4}(1^4) - \frac{1}{4}(0^4)\right] = \frac{1}{4} \).</p><p>61. **Problema 61:**</p><p>Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{x} \).</p><p>- A) 3</p><p>- B) 0</p><p>- C) \( \infty \)</p><p>- D) 1</p><p>**Resposta:** A) 3</p><p>**Explicação:** Usando a definição da derivada de \( e^{3x} \) em \( x = 0 \), temos \(</p><p>\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - e^0}{x - 0} = 3 \cdot e^0 = 3 \).</p><p>62. **Problema 62:**</p><p>Qual é a integral \( \int \sin(2x) \, dx \)?</p><p>- A) \( -\frac{1}{2}\cos(2x) + C \)</p><p>- B) \( \frac{1}{2}\sin(2x) + C \)</p><p>- C) \( -2\cos(2x) + C \)</p><p>- D) \( \cos(2x) + C \)</p><p>**Resposta:** A) \( -\frac{1}{2}\cos(2x) + C \)</p><p>**Explicação:** A integral de \( \sin(kx) \) é \( -\frac{1}{k}\cos(kx) + C \). Aqui, \( k = 2 \),</p><p>resultando em \( -\frac{1}{2}\cos(2x) + C \).</p><p>63. **Problema 63:**</p><p>Qual é a equação da hipérbole com centro na origem e semi-eixos de comprimento 4 e</p><p>3?</p><p>- A) \( \frac{x^2}{4^2} - \frac{y^2}{3^2} = 1 \)</p><p>- B) \( \frac{y^2}{3^2} - \frac{x^2}{4^2} = 1 \)</p><p>- C) \( \frac{x^2}{3^2} - \frac{y^2}{4^2} = 1 \)</p><p>- D) \( \frac{y^2}{4^2} - \frac{x^2}{3^2} = 1 \)</p><p>**Resposta:** A) \( \frac{x^2}{4^2} - \frac{y^2}{3^2} = 1 \)</p><p>**Explicação:** A equação padrão de uma hipérbole centrada na origem é dada por \(</p><p>\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \), onde \( a \) e \( b \) são os semi-eixos. Aqui, temos \(</p><p>a = 4 \) e \( b = 3 \).</p><p>64. **Problema 64:**</p><p>Qual é a solução da equação \( x^2 + y^2 = 25 \)?</p><p>- A) Círculo de raio 5</p><p>- B) Ellipse de semi-eixo 5</p><p>- C) Parabola com foco em (0, 25)</p><p>- D) Hipérbole com centro na origem</p><p>**Resposta:** A) Círculo de raio 5</p><p>**Explicação:** A equação \( x^2 + y^2 = r^2 \) representa um círculo com centro na</p><p>origem e raio \( r \). Neste caso, \( r = 5 \).</p><p>65. **Problema 65:**</p><p>Determine o valor da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \).</p><p>- A) 1</p><p>- B) 2</p><p>- C) \( \frac{1}{2} \)</p><p>- D) \( \frac{1}{3} \)</p><p>**Resposta:** A) 1</p><p>**Explicação:** Esta é uma série geométrica infinita com primeiro termo \( a =</p><p>\frac{1}{2} \) e razão \( r = \frac{1}{2} \). A soma é dada por \( S = \frac{a}{1 - r} =</p><p>\frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = 1 \).</p><p>66. **Problema 66:**</p><p>Encontre a integral \( \int_0^1 (4x^3 + 2) \, dx \).</p><p>- A) \( \frac{3}{2} \)</p><p>- B) \( 1 \)</p><p>- C) \( 2 \)</p><p>- D) \( \frac{5}{2} \)</p><p>**Resposta:** A) \( \frac{5}{4} \)</p><p>**Explicação:** A integral de \( 4x^3 \) é \( x^4 \) e a de \( 2 \) é \( 2x \). Portanto, \( \int</p><p>(4x^3 + 2) \, dx = x^4 + 2x + C \). Avaliando de 0 a 1, temos \( (1 + 2) - (0) = 3 \).</p><p>67. **Problema 67:**</p><p>Qual é a derivada de \( f(x) = \frac{1}{x^2} \)?</p><p>- A) \( -\frac{2}{x^3} \)</p><p>- B) \( \frac{2}{x^3} \)</p><p>- C) \( -2x \)</p><p>- D) \( \frac{1}{x^4} \)</p><p>**Resposta:** A) \( -\frac{2}{x^3} \)</p>