PROBABILIDADE

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<p>1</p><p>Por</p><p>Ledo Vaccaro Machado</p><p>1) No sorteio de um número natural de 1 a 20, calcule a probabilidade:</p><p>a) de ocorrer um número par;</p><p>b) de ocorrer um número primo;</p><p>c) de ocorrer um múltiplo de 5;</p><p>d) de ocorrer um divisor de 20.</p><p>2) Uma urna contém seis bolas vermelhas numera-</p><p>das de 1 a 6, e quatro bolas amarelas numeradas de</p><p>7 a 10. Retirando ao acaso uma das bolas, determi-</p><p>ne as probabilidades:</p><p>a) de sair uma bola amarela;</p><p>b) de sair uma bola com número par;</p><p>c) de sair uma bola amarela com número par.</p><p>3) Sorteando um número natural de 1 a 50, qual a</p><p>probabilidade de sair um número não maior que 10?</p><p>4) Aninha vai ler uma frase de uma página escolhida ao acaso de um livro de 240 páginas</p><p>numeradas de 1 a 240. Qual a probabilidade de ser escolhida uma página com número</p><p>compreendido entre 80 e 120, excluindo estes dois?</p><p>5) Numa loteria com bilhe-</p><p>tes numerados de 1 a</p><p>60 000, qual a probabilida-</p><p>de se sair no 1º prêmio um</p><p>bilhete com número termi-</p><p>nado em 3?</p><p>Espaço Amostral  Conjunto formado</p><p>por todos os resultados possíveis de um</p><p>experimento aleatório.</p><p>Evento  Qualquer subconjunto do</p><p>espaço amostral.</p><p>Evento elementar  Evento com um</p><p>único elemento.</p><p>Evento certo  O próprio espaço</p><p>amostral. A probabilidade do evento</p><p>certo é 1 (100%).</p><p>Evento impossível  O conjunto va-</p><p>zio. A probabilidade do evento impossí-</p><p>vel é 0 (zero).</p><p>Definições</p><p> A probabilidade de qualquer evento está entre zero</p><p>e um, incluindo os extremos.</p><p> A soma das probabilidades de todos os eventos</p><p>elementares de um espaço amostral é igual a 1</p><p>(um).</p><p>Distribuição de Probabilidade</p><p>2</p><p> Espaço amostral equiprovável é aquele no qual todos os eventos elementares</p><p>têm a mesma probabilidade de ocorrência.</p><p> Se um espaço amostral equiprovável tem n elementos, então a probabilidade de</p><p>cada evento elementar é</p><p>n</p><p>1</p><p>.</p><p> Num espaço amostral equiprovável com n elementos, a probabilidade de ocor-</p><p>rência de um evento com m elementos é</p><p>n</p><p>m</p><p>.</p><p>Probabilidade em Espaço Amostral Equiprovável</p><p>)(n</p><p>)A(n</p><p>de elementos de número</p><p>A de elementos de número</p><p>)A(P</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>possíveis resultados de número</p><p>A a favoráveis casos de número</p><p>)A(P </p><p>6) Cem etiquetas estão numeradas cada uma com</p><p>um dos números indicados na figura ao lado.</p><p>Uma das etiquetas será sorteada ao acaso. Deter-</p><p>mine a probabilidade da etiqueta sorteada apre-</p><p>sentar:</p><p>a) dois dígitos iguais; b) dois dígitos diferentes;</p><p>c) o dígito "1"; d) somente dígitos menores que 3.</p><p>7) Numa urna há três bolas numeradas de 1 a 3. Duas bolas serão extraídas sucessivamente,</p><p>sem reposição. Calcule a probabilidade de a primeira bola extraída apresentar número</p><p>maior que a segunda.</p><p>8) Resolva o exercício anterior supondo as extrações com reposição.</p><p>9) Lançando duas vezes uma moeda, qual a probabilidade de serem observados resultados</p><p>iguais nos dois lançamentos?</p><p>10) Um casal pretende ter dois filhos. Admitindo probabilidades iguais para ambos os se-</p><p>xos, qual a probabilidade de que venha a ter dois filhos de sexos diferentes?</p><p>99989796959493929190</p><p>89888786858483828180</p><p>89787776757473727170</p><p>79686766656463626160</p><p>69585756555453525150</p><p>59484746454443424140</p><p>49383736353433323130</p><p>29282726252423222120</p><p>19181716151413121110</p><p>09080706050403020100</p><p>3</p><p>)A(P1)A(P </p><p>Probabilidade de</p><p>Não Ocorrer A</p><p>11) Lançando-se três moedas distintas, qual a proba-</p><p>bilidade de que sejam obtidas três caras?</p><p>12) Um casal pretende ter três filhos. Admitindo</p><p>probabilidades iguais para ambos os sexos, qual a probabilidade de que venham a ter três</p><p>filhos do mesmo sexo?</p><p>13) Lançando duas vezes um dado, calcule a probabilidade de:</p><p>a) no segundo lançamento obter mais pontos do que no primeiro;</p><p>b) obter nos dois lançamentos soma dos pontos maior que 8.</p><p>14) Lançam-se dois dados honestos. Qual a probabilidade de que a</p><p>diferença (em módulo) das faces seja menor que 2?</p><p>15) No lançamento de um dado, determine as probabilidades:</p><p>a) de não obter 6 pontos;</p><p>b) de obter 5 pontos ou 6 pontos.</p><p>16) No sorteio de um número natural de 1 a 100, qual a</p><p>probabilidade de não sair um múltiplo de 20?</p><p>17) No sorteio de um número natural de 1 a 100, qual a probabilidade de sair múltiplo de 20</p><p>ou 30?</p><p>18) Numa urna há 6 bolas azuis numeradas de 1 a 6 e cinco bolas brancas numeradas de 1 a</p><p>5. Extraindo uma bola ao acaso, qual a probabilidade de sair uma bola azul ou com número</p><p>ímpar?</p><p>19) Numa classe de 22 alunos, 12 têm olhos castanhos, 4 têm olhos negros, 3 têm olhos</p><p>cinzas, 2 têm lhos verdes e um tem olhos azuis. Qual a probabilidade de um aluno escolhi-</p><p>do ao acaso:</p><p>a) não ter olhos castanhos?</p><p>b) ter olhos verdes ou azuis?</p><p>20) Numa classe de 32 alunos há 18 homens e 12 alunos loiros dos quais 6 são mulheres.</p><p>Escolhido um aluno ao acaso, qual a probabilidade de ser loiro ou mulher?</p><p>4</p><p>21) Numa certa população 15% das</p><p>pessoas têm sangue tipo A, 88% não</p><p>têm sangue tipo B e 96% não têm</p><p>sangue tipo AB. Escolhida ao acaso</p><p>uma pessoa desta população, deter-</p><p>mine as probabilidades de:</p><p>a) não ter sangue tipo A;</p><p>b) ter sangue tipo B;</p><p>c) ter sangue tipo AB;</p><p>d) ter sangue tipo A ou B ou AB;</p><p>e) ter sangue tipo O</p><p>22) Um experimento aleatório pode apresentar 4 resultados distintos possíveis: A ou B ou C</p><p>ou D. Sabe-se que a probabilidade de ocorrer A é</p><p>10</p><p>1</p><p>, a de não ocorrer B é</p><p>5</p><p>4</p><p>e a de não</p><p>ocorrer C é</p><p>10</p><p>7</p><p>. Determine a probabilidade de ocorrer D.</p><p>23) Dois eventos A e B são tais que P(A) = 0,40 e P(B) = 0,80.</p><p>a) Se P(AB) = 0,20, qual é o valor de P(AB) ?</p><p>b) É possível que A e B sejam mutuamente exclusivos ?</p><p>c) Qual o valor mínimo de P(AB) ?</p><p>d) Qual o valor máximo de P(AB) ?</p><p>24) No lançamento de um dado sabe-se que o resultado foi um número de pontos maior que</p><p>3. Qual a probabilidade de ser um número par de pontos?</p><p>25) No lançamento de um dado sabe-se que o resultado foi um número par de pontos. Qual</p><p>a probabilidade de ser um número maior que 3?</p><p>26) Uma caixa contém 11 bolas</p><p>numeradas de 1 a 11. Retirando-se</p><p>uma delas ao acaso, observa-se que</p><p>a mesma traz um número ímpar.</p><p>Determinar a probabilidade de que</p><p>esse número seja menor que 5.</p><p>P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB)</p><p>Se A e B são conjuntos disjuntos, ou seja,</p><p>não possuem elementos comuns, A e B são ditos</p><p>mutuamente exclusivos (a ocorrência de um im-</p><p>pede a ocorrência do outro), e:</p><p>P(AB) = P(A) + P(B)</p><p>Probabilidade de Ocorrer A ou B</p><p>6 7 8 9 10 11</p><p>1 2 3 4 5</p><p>5</p><p>27) Em dois lançamentos su-</p><p>cessivos de uma moeda sabe-</p><p>se que pelo menos numa das</p><p>vezes deu cara. Qual a proba-</p><p>bilidade de ter dado cara am-</p><p>bas as vezes?</p><p>28) Um casal tem dois filhos e</p><p>sabe-se que um deles é ho-</p><p>mem. Qual a probabilidade de</p><p>o outro ser mulher?</p><p>29) Em dois lançamentos sucessivos de uma moeda sabe-se que num deles foram obtidos 6</p><p>pontos. Qual a probabilidade de a soma dos pontos dos dois lançamentos ser maior que 10?</p><p>30) De uma urna contendo quatro bolas amarelas e duas verdes serão extraídas sucessiva-</p><p>mente, sem reposição, duas bolas.</p><p>a) Se a primeira bola sorteada for amarela, qual a probabilidade de a segunda ser tam-</p><p>bém amarela?</p><p>b) Qual a probabilidade de ambas as bolas sorteadas serem amarelas?</p><p>c) Qual a probabilidade de ambas as bolas sorteadas serem verdes?</p><p>d) Qual a probabilidade de a primeira bola sorteada ser verde e a segunda amarela?</p><p>e) Qual a probabilidade de ser uma boba de cada cor?</p><p>31) De uma classe onde há 15</p><p>rapazes e 15 moças serão es-</p><p>colhidos dois alunos ao acaso.</p><p>Qual a probabilidade de:</p><p>a) serem escolhidas</p><p>duas</p><p>moças?</p><p>b) serem escolhidos um</p><p>rapaz e uma moça, em qual-</p><p>quer ordem?</p><p>32) Serão sorteados três números naturais distintos dentre os números de 1 a 10. Qual a</p><p>probabilidade de saírem apenas números pares?</p><p>Probabilidade de ocorrer A dado que tenha ocorrido B.</p><p>)B(n</p><p>)BA(n</p><p>)B\A(P</p><p></p><p></p><p>0.P(B) se ,</p><p>)B(P</p><p>)BA(P</p><p>)B\A(P </p><p></p><p></p><p>Probabilidade Condicional</p><p>)A\B(P)A(P)BA(P </p><p>Dois eventos são independentes quando a ocorrên-</p><p>cia de um não afeta a probabilidade de ocorrência do outro.</p><p>Se dois eventos são independentes, então:</p><p>)B(P)A(P)BA(P </p><p>Probabilidade de Ocorrer A e B</p><p>6</p><p>33) No sorteio da loto, são sorteados sucessivamente , sem reposição, cinco números dentre</p><p>os naturais de 0 a 99. Qual a probabilidade de serem sorteados cinco números menores que</p><p>50?</p><p>34) Dois números serão selecionados sucessivamente, sem reposição, no conjunto { - 4, - 3,</p><p>- 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}. Qual a probabilidade de o produto dos números sorteados ser posi-</p><p>tivo?</p><p>35) Um teste tem cinco alternativas das quais apenas uma é correta. Se uma pessoa for res-</p><p>pondendo ao acaso até descobrir a alternativa correta, qual a probabilidade de que ele acerte</p><p>apenas na terceira tentativa?</p><p>36) Dois eventos A e B são tais que P(A) =</p><p>2</p><p>1</p><p>, P(B) =</p><p>4</p><p>1</p><p>e P(A | B) =</p><p>6</p><p>1</p><p>.</p><p>Calcule P(A \ B).</p><p>37) No lançamento de um dado, considere os eventos A, formado pelos números pares de</p><p>pontos, e B, formado pelos números de pontos maiores que 4. Verifique que A e B são</p><p>eventos independentes (isto é, que a igualdade P(AB) = P(A) . P(B) é verdadeira).</p><p>38) Se A e B são eventos independentes, P(A) = 0,2 e P(B) = 0,5 , qual é o valor de</p><p>P(AB)?</p><p>39) Se P(A) =</p><p>3</p><p>1</p><p>e P(B) =</p><p>5</p><p>2</p><p>, calcule P(AB) em cada caso:</p><p>a) sendo A e B independentes;</p><p>b) sendo A e B mutuamente exclusivos.</p><p>40) Lançando-se simultaneamente um dado e uma moeda, determine a</p><p>probabilidade de se obter 3 ou 5 no dado e cara na moeda.</p><p>41) Um determinado jogador de basquetebol tem probabilidade</p><p>0,75 de acertar cada lance livre que executa. Ao fazer dois lances</p><p>livres, qual a probabilidade de acertar os dois?</p><p>7</p><p>42) Numa urna há três bolas azuis, duas brancas e uma marrom. Extraindo-se 3 bolas suces-</p><p>sivamente, com reposição, qual a probabilidade de saírem três bolas da mesma cor?</p><p>43) Uma prova consta de 5 testes, cada um com quatro alternativas das quais apenas uma é</p><p>correta. Para alguém que deseja respondendo aleatoriamente uma alternativa em cada teste,</p><p>qual a probabilidade de:</p><p>a) acertar os cinco testes?</p><p>b) errar os cinco testes?</p><p>c) acertar apenas o primeiro teste?</p><p>d) acertar apenas um dos testes?</p><p>44) Um casal planeja ter quatro filhos. Admitindo probabilidades</p><p>iguais para ambos os sexos, qual a probabilidade de que venha a</p><p>ter um homem e três mulheres (em qualquer ordem)?</p><p>45) Numa moeda viciada, a probabilidade de obter coroa é um terço da probabilidade de</p><p>cara. Determine a probabilidade:</p><p>a) de cada evento elementar do espaço amostral de um lançamento desta moeda e obser-</p><p>vação da face superior;</p><p>b) de cada evento elementar do espaço amostral de dois lançamentos desta moeda e ob-</p><p>servação das faces superiores.</p><p>46) Um dado é construído de tal forma que num lançamento se tenha P(1) = P(3) = P(5),</p><p>P(2) = P(4) =P(6) e P(2) = 2.P(1). Calcule:</p><p>a) P(1) e P(2);</p><p>b) a probabilidade de obter mais de 3 pontos num lançamento.</p><p>47) De um torneio de futebol participam 5 clubes sendo que</p><p>4 deles têm a mesma probabilidade de vitória, enquanto que</p><p>o outro é considerado favorito com chance de vitória igual</p><p>ao dobro dos demais. Qual a probabilidade de que o favori-</p><p>to ganhe este torneio?</p><p>48) No lançamento de dois dados distintos, ache a probabilidade de obter:</p><p>a) múltiplo de 3 nos dois dados;</p><p>b) múltiplo de 3 em pelo menos um dos dados.</p><p>8</p><p>49) Três homens e três mulheres são dispostos aleatoriamente formando uma fila indiana.</p><p>Qual a probabilidade de que não fiquem dois homens juntos nem duas mulheres juntas?</p><p>50) Numa gaveta há 10 pares distintos de meia, mas ambos os pés de um</p><p>dos pares estão rasgados, Tirando-se da gaveta um pé de meia por vez, ao</p><p>acaso, calcule a probabilidade de saírem dois pés de meia do mesmo par,</p><p>não rasgados, fazendo duas retiradas.</p><p>51) Uma gaveta tem 2 moedas de ouro e três de prata, outra têm duas de ouro e 1 de prata.</p><p>Passa-se uma moeda de ouro da primeira gaveta para a segunda gaveta e depois retira-se</p><p>uma moeda da segunda. Qual a probabilidade de sair uma moeda de ouro na retirada da</p><p>segunda gaveta?</p><p>52) Uma gaveta tem 3 moedas de ouro e uma de prata, outra tem 3 moedas de prata e uma</p><p>de ouro. João retira uma moeda da primeira gaveta e Ricardo retira uma moeda da segunda,</p><p>ao acaso. Qual a probabilidade de João e Ricardo retirarem o mesmo número de moedas de</p><p>ouro?</p><p>53) Em 10 testes com cinco alternativas cada</p><p>um, das quais apenas uma é correta, o número</p><p>de acertos de alguém que esteja respondendo</p><p>ao acaso apresenta a distribuição de probabili-</p><p>dade indicada na tabela ao lado. Determine a</p><p>probabilidade de alguém respondendo ao aca-</p><p>so acertar:</p><p>a) mais de 3 testes;</p><p>b) no máximo 2 testes;</p><p>c) pelo menos um teste.</p><p>54) Com relação à questão anterior, se duas pessoas estão respondendo ao acaso, calcule a</p><p>probabilidade de que acertem juntas um total de dois testes.</p><p>55) Lançando um dado três vezes sucessivas, calcule a probabilidade de obter</p><p>a) 6 pontos em cada um dos três lançamentos;</p><p>b) face de 6 pontos em pelo menos um dos lançamentos.</p><p>Nº de Acertos Probabilidade</p><p>0</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>0,107</p><p>0,268</p><p>0,302</p><p>0,201</p><p>0,088</p><p>0,034 5 ou mais</p><p>9</p><p>56) Três senhores deixaram seus chapéus na</p><p>portaria de uma recepção. Na saída, o por-</p><p>teiro devolveu um chapéu para cada um</p><p>deles de maneira aleatória, pois não se re-</p><p>cordava a quem pertencia cada chapéu. Qual</p><p>a probabilidade de que os chapéus tenham</p><p>sido devolvidos corretamente (cada um ao</p><p>seu dono) ?</p><p>57) Uma urna contém quatro bolas: uma azul, uma branca, uma vermelha e uma preta. Fa-</p><p>zendo quatro extrações, com reposição, qual a probabilidade de que não se observe a mes-</p><p>ma cor duas vezes consecutivamente?</p><p>58) De cada pessoa que vai assistir a uma peça num certo teatro, o porteiro recolhe o in-</p><p>gresso e o coloca numa urna que ele escolhe ao acaso entre duas urnas disponíveis. Qual a</p><p>probabilidade de que os ingressos de três pessoas sejam colocados na mesma urna?</p><p>59) (FUVEST-SP) Duas pessoas A e B jogam dado alternadamente, começando com A, até</p><p>que uma delas obtenha um "6"; a primeira que obtiver o "6"ganha o jogo.</p><p>a) Qual a probabilidade de A ganhar na primeira jogada?</p><p>b) Qual a probabilidade de B ganhar na segunda jogada?</p><p>c) Calcule a probabilidade de A ganhar o jogo.</p><p>60) (FEI-SP) Numa urna encontramos bolas idênticas numeradas de 1 até n. Retirando-se</p><p>duas bolas sem reposição. Qual a probabilidade de saírem números consecutivos?</p><p>61) (FUVEST-SP) Sorteiam-se dois números naturais ao acaso entre 101 e 1000, inclusive,</p><p>com reposição.Calcule a probabilidade de que o algarismo das unidades do produto dos</p><p>números sorteados não seja zero.</p><p>62) (FUVEST-SP) Considerando um polígono regular de n lados, n > 4, e tomando-se ao</p><p>acaso uma das diagonais do polígono, a probabilidade de que ela passe pelo centro é:</p><p>a) 0 se n é par. b) 1 se n é par. c)</p><p>3n</p><p>1</p><p></p><p>se n é par.</p><p>d)</p><p>2</p><p>1</p><p>se n é ímpar. e)</p><p>n</p><p>1</p><p>se n é ímpar.</p><p>10</p><p>63) (CESGRANRIO) Num jogo com um dado, o jogador X ganha se tirar, no seu lance, um</p><p>número de pontos maior ou igual ao do lance do jogador Y. A probabilidade de X ganhar é:</p><p>a)</p><p>2</p><p>1</p><p>b)</p><p>3</p><p>2</p><p>c)</p><p>12</p><p>7</p><p>d)</p><p>24</p><p>13</p><p>e)</p><p>36</p><p>19</p><p>64) As probabilidades de ocorrência dos eventos x1 e x2 de um espaço amostral X são 0,4 e</p><p>0,2. Vale, então:</p><p>a) X tem, no mínimo, cinco elementos.</p><p>b) X tem exatamente três elementos.</p><p>c) X tem, pelo menos, três elementos.</p><p>d) X tem exatamente dez elementos.</p><p>e) X é um conjunto infinito.</p><p>65) (FEI-SP) Numa moeda viciada a probabilidade de ocorrer face cara num lançamento é</p><p>igual a quatro vezes a probabilidade de ocorrer coroa. A probabilidade de ocorrer cara num</p><p>lançamento dessa moeda é:</p><p>a) 40% b) 80% c) 25% d) 20% e) 50%</p><p>66) (GV-SP) Um dado de 6 faces apresenta a seguinte irregularidade: a probabilidade de</p><p>sair a face DOIS é o dobro da probabilidade de sair a face UM. As probabilidades de saírem</p><p>as demais faces são iguais a 6</p><p>1 . Então:</p><p>a) a probabilidade de sair a face UM é igual a</p><p>3</p><p>1</p><p>.</p><p>b) a probabilidade de sair a face DOIS é igual a</p><p>3</p><p>2</p><p>.</p><p>c) a probabilidade de sair a face UM é igual a</p><p>12</p><p>1</p><p>.</p><p>d) a probabilidade de sair a face dois é igual a</p><p>12</p><p>2</p><p>.</p><p>67) Se um certo casal tem 3 filhos, então a probabilidade de os 3 serem do mesmo sexo,</p><p>dado que o primeiro é homem, vale:</p><p>a)</p><p>3</p><p>1</p><p>b)</p><p>2</p><p>1</p><p>c)</p><p>5</p><p>1</p><p>d)</p><p>4</p><p>1</p><p>e)</p><p>6</p><p>1</p><p>11</p><p>68) Dois tenistas, A e B, iam disputar um prêmio de U$ 800.000,00 em 5</p><p>jogos e seria considerado vencedor aquele que ganhasse três ou mais</p><p>jogos. Em cada jogo, ambos tinham chances iguais de vencer. Após os</p><p>dois primeiros jogos, que foram vencidos por A, um mau tempo impe-</p><p>diu a continuação da disputa e, então, decidiu-se repartir o prêmio.</p><p>Do ponto de vista probabilístico era justo que:</p><p>a) cada um recebesse metade do prêmio.</p><p>b) A recebesse o prêmio integralmente.</p><p>c) A recebesse U$ 600.000,00 e B recebesse U$ 200.000,00.</p><p>d) A recebesse U$ 700.000,00 e B recebesse U$ 100.000,00.</p><p>e) A recebesse U$ 750.000,00 e B recebesse U$ 50.000,00.</p><p>69) Uma moeda é viciada de modo que a probabilidade de ocorrer cara numa jogada é 30%</p><p>a mais do que a de corroa. Se essa moeda for jogada duas vezes consecutivamente, a proba-</p><p>bilidade de ocorrência de cara nas duas jogadas é:</p><p>a) 49% b) 42,25% c) 64% d) 64,25% e) 15%</p><p>70) (CESGRANRIO) Um prédio de três andares, com dois apartamentos por andar, tem</p><p>apenas três apartamentos ocupados. A probabilidade de que cada um dos três andares tenha</p><p>exatamente um apartamento ocupado é:</p><p>a)</p><p>5</p><p>2</p><p>b)</p><p>5</p><p>3</p><p>c)</p><p>2</p><p>1</p><p>d)</p><p>3</p><p>1</p><p>e)</p><p>3</p><p>2</p>