231GGR0551A_ Unidade 4

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<p>23/04/2023, 21:52 Ead.br</p><p>https://ambienteacademico.com.br/mod/url/view.php?id=760622 1/30</p><p>CÁLCULO APLICADO - VÁRIASCÁLCULO APLICADO - VÁRIAS</p><p>VARIÁVEISVARIÁVEIS</p><p>EQUAÇÕES DIFERENCIAISEQUAÇÕES DIFERENCIAIS</p><p>ORDINÁRIASORDINÁRIAS</p><p>Autor: Me. Talita Druziani Marchiori</p><p>Revisor : Ra imundo A lmeida</p><p>IN IC IAR</p><p>Processing math: 100%</p><p>23/04/2023, 21:52 Ead.br</p><p>https://ambienteacademico.com.br/mod/url/view.php?id=760622 2/30</p><p>introdução</p><p>Introdução</p><p>Nesta unidade iremos trabalhar com equações diferenciais ordinárias, ou</p><p>seja, com equações que envolvem derivadas simples de uma única variável</p><p>independente.</p><p>Começaremos nos familiarizando com os conceitos de uma equação</p><p>diferencial. Depois, vamos de�nir quais equações representam a classe das</p><p>equações separáveis, equações lineares de 1ª ordem e equações homogêneas</p><p>com coe�cientes constantes de 2ª ordem.</p><p>Como veremos, equações homogêneas de 2ª ordem são um caso particular</p><p>de equações lineares de 2ª ordem, logo sua resolução pode ser realizado por</p><p>um método similar a resolução de equações lineares de 1ª ordem.</p><p>Esperamos que você aproveite ao máximo este conteúdo. Resolva os</p><p>exemplos e exercícios e não esqueça de perguntar suas dúvidas. Bons</p><p>estudos!</p><p>Processing math: 100%</p><p>23/04/2023, 21:52 Ead.br</p><p>https://ambienteacademico.com.br/mod/url/view.php?id=760622 3/30</p><p>Até o momento, dada uma função y = f(x) sabemos determinar sua derivada</p><p>em relação a x, que é também uma função, e denotamos por</p><p>dy</p><p>dx = f′(x). Por</p><p>exemplo, se y = ex</p><p>2</p><p>a regra da cadeia nos diz que</p><p>dy</p><p>dx = 2x ex</p><p>2</p><p>= 2xy. Nesta</p><p>unidade, vamos ter uma equação da forma</p><p>dy</p><p>dx = 2xy e vamos desejar encontrar</p><p>qual função f(x) a satisfaça.</p><p>Toda equação que possui derivadas de uma ou mais variáveis dependentes,</p><p>em relação a uma ou mais variáveis independentes é denominada equação</p><p>diferencial. Quando a equação diferencial envolve somente derivadas com</p><p>relação a uma única variável independente, ela é classi�cada como uma</p><p>equação diferencial ordinária. Muitas vezes, para simpli�car notação,</p><p>denotamos as equações diferenciais ordinárias por EDO.</p><p>As equações,</p><p>1.</p><p>dy</p><p>dt − 5y = 1;</p><p>2. (y − x) dx + 4x dy = 0;</p><p>Introdução às EquaçõesIntrodução às Equações</p><p>Diferenciais Ordinárias.Diferenciais Ordinárias.</p><p>Processing math: 100%</p><p>23/04/2023, 21:52 Ead.br</p><p>https://ambienteacademico.com.br/mod/url/view.php?id=760622 4/30</p><p>3.</p><p>du</p><p>dx −</p><p>dv</p><p>dx = x;</p><p>4.</p><p>d2y</p><p>dx2 − 2</p><p>dy</p><p>dx + 6y = 0</p><p>são exemplos de equações diferenciais ordinárias.</p><p>A ordem de uma EDO é de�nida como a ordem da derivada de maior ordem.</p><p>Logo,</p><p>dy</p><p>dt − 5y = 1 é de primeira ordem e</p><p>d2y</p><p>dx2 − 2</p><p>dy</p><p>dx + 6y = 0 é de segunda ordem.</p><p>Uma EDO é chamada de linear se pode escrevê-la da forma:</p><p>an(x)</p><p>dny</p><p>dxn</p><p>+ a (n− 1 ) (x)</p><p>d (n− 1 )y</p><p>dx (n− 1 ) + . . . + a0(x) y = g(x)</p><p>onde os coe�cientes  a0 , a1, . . . , an e g são funções que dependem somente</p><p>da variável independente x. Quando a EDO não é linear, chamamo-a de não-</p><p>linear.</p><p>Por exemplo, x2</p><p>d2y</p><p>dx2 − 3x</p><p>dy</p><p>dx + 4y = 0 é uma equação diferencial ordinária linear</p><p>de segunda ordem linear onde a2(x) = x2, a1(x) = − 3x , a0(x) = 4 e g(x) = 0. Já a</p><p>equação diferencial ordinária de terceira ordem</p><p>d3y</p><p>dx3 + 2ex</p><p>d2y</p><p>dx2 + y</p><p>dy</p><p>dx = 0 é não-</p><p>linear pois o coe�ciente a1 = y é uma função da variável dependente y.</p><p>Qualquer função f   de�nida em um intervalo I, que quando substituída na</p><p>EDO, reduz a equação a uma identidade é uma solução para EDO no intervalo</p><p>I. Então, pelo que vimos acima, f(x) = ex2 + 2 e g(x) = ex2 − 10 são  soluções para</p><p>a equação</p><p>dy</p><p>dx = 2xy no intervalo (−∞, ∞).</p><p>Observe que y(x) = ex</p><p>2</p><p>+ C, onde C é uma constante qualquer também é uma</p><p>solução para</p><p>dy</p><p>dx = 2xy no intervalo (−∞, ∞). As soluções f e g, mencionadas no</p><p>parágrafo acima, são ditas soluções particulares. Já y é conhecida como</p><p>solução geral, pois abrange todas as soluções da equação diferencial. Com</p><p>isso, vemos que uma equação diferencial pode possuir mais que uma solução</p><p>e que estas soluções se diferem apenas por uma constante.</p><p>Processing math: 100%</p><p>23/04/2023, 21:52 Ead.br</p><p>https://ambienteacademico.com.br/mod/url/view.php?id=760622 5/30</p><p>Chamamos de problema de valor inicial todo problema composto por uma</p><p>equação diferencial e o valor da função procurada em um determinado</p><p>ponto. Este ponto é denominado valor inicial. Por exemplo,</p><p>dy</p><p>dx = 2xy ; y(1) = e</p><p>é um problema de valor inicial com valor inicial igual a 1. Como acabamos de</p><p>ver, y(x) = ex</p><p>2</p><p>+ C é uma solução da equação</p><p>dy</p><p>dx = 2xy, onde C é uma constante</p><p>qualquer. Porém, como neste caso, temos a condição de  y(1) = e, isso implica</p><p>que, C = 0. Então, a solução deste problema é dada pela função y(x) = ex2</p><p>.</p><p>Como temos um valor determinado no enunciado do problema, temos que a</p><p>solução de um problema de valor inicial é única, caso exista.</p><p>Processing math: 100%</p><p>23/04/2023, 21:52 Ead.br</p><p>https://ambienteacademico.com.br/mod/url/view.php?id=760622 6/30</p><p>reflita</p><p>Re�ita</p><p>Frequentemente, desejamos descrever situações através de</p><p>termos matemáticos, que chamamos de modelos</p><p>matemáticos. Muitos desses modelos são equações</p><p>diferenciais.   Por exemplo, na engenharia, podemos</p><p>determinar a de�exão estática de uma viga elástica causada</p><p>por seu peso ou por uma carga externa, através de uma</p><p>equação diferencial. Em elasticidade, é visto que o momento</p><p>de�etor M(x) em um ponto x ao longo da viga está relacionado</p><p>com a carga por unidade de comprimento w(x) através da</p><p>equação</p><p>d2M</p><p>dx2 = w(x). Utilizando esta equação e a</p><p>proporcionalidade existente entre o de�etor e à curvatura da</p><p>viga, a de�exão y(x) de uma viga �xa em sua extremidade</p><p>esquerda e solta em sua extremidade direita, como uma haste</p><p>de bandeira, por exemplo, é dada pela equação C</p><p>d4y</p><p>dx4 = w(x),</p><p>onde C é uma constante conhecida por rigidez de�etora da</p><p>viga. Outras situações presentes na engenharia são descritos</p><p>através de equações diferenciais, pesquise e re�ita sobre!</p><p>Fonte: Elaborado pelo autor.</p><p>Nos demais tópicos desta unidade, vamos aprender técnicas para resolver</p><p>alguns tipos de EDO.</p><p>ti</p><p>Processing math: 100%</p><p>23/04/2023, 21:52 Ead.br</p><p>https://ambienteacademico.com.br/mod/url/view.php?id=760622 7/30</p><p>praticar</p><p>Vamos Praticar</p><p>O estudo de equações diferenciais ordinárias é similar ao cálculo integral. As</p><p>integrais são resolvidas a partir das antiderivadas de uma função. A diferença é que</p><p>agora temos que determinar que função satisfaz uma equação, com mais termos</p><p>que uma integral. Com base na teoria vista neste primeiro tópico, assinale a</p><p>alternativa correta.</p><p>a) A equação</p><p>du</p><p>dy = −</p><p>dv</p><p>dx é uma EDO.</p><p>b) b)A equação y″ − 2y′ + y = 0 é uma EDO não-linear.</p><p>c) c) A EDO y y″ − 2 y′ = x é linear.</p><p>d) A EDO linear y″ − 2y′ + y = 0 possui como solução no intervalo (−∞, ∞) a</p><p>função y = xex.</p><p>e) A função f(x) = x4 é uma solução para EDO não linear</p><p>dy</p><p>dx = xy1 / 2 no intervalo</p><p>(−∞, ∞).</p><p>Processing math: 100%</p><p>23/04/2023, 21:52 Ead.br</p><p>https://ambienteacademico.com.br/mod/url/view.php?id=760622 8/30</p><p>Neste tópico, vamos de�nir o que é uma equação diferencial separável e</p><p>mostrar uma metodologia para resolver esta classe de equações.</p><p>Primeiro, observe que, se g(x) for uma função contínua, a equação</p><p>dy</p><p>dx = g(x)</p><p>pode ser solucionada através da integração, então uma solução desta</p><p>equação é dada por</p><p>y = ∫g(x) dx + C</p><p>,</p><p>onde C é uma constante. Por exemplo, y = ∫ sen x dx + C = − cos x + C é</p><p>solução de</p><p>dy</p><p>dx = sen x.</p><p>Equações DiferenciaisEquações Diferenciais</p><p>SeparáveisSeparáveis</p><p>Processing math: 100%</p><p>23/04/2023, 21:52 Ead.br</p><p>https://ambienteacademico.com.br/mod/url/view.php?id=760622 9/30</p><p>Chamamos de separável toda equação diferencial que pode ser escrita da</p><p>forma</p><p>h(y) dy = g(x) dx.</p><p>Esta classe de equações pode ser resolvida integrando as funções h e g. Para</p><p>esclarecer este método de resolução, vamos resolver um exemplo.</p><p>Considere a equação (1 + x) dy − y dx = 0. Temos que</p><p>(1 + x) dy − y dx = 0 ⇔ (1 + x) dy = y dx ⇔</p><p>dy</p><p>y</p><p>=</p><p>dx</p><p>(1 + x)</p><p>.</p><p>Então, esta equação é separável com h(y) =</p><p>1</p><p>y e g(x) =</p><p>1</p><p>1 + x. Integrando</p><p>ambos</p><p>os lados da igualdade, vamos obter</p><p>∫</p><p>dy</p><p>y = ∫</p><p>dx</p><p>( 1 + x ) ou, equivalentemente, ∫</p><p>1</p><p>ydy = ∫</p><p>1</p><p>( 1 + x ) dx.</p><p>Mas,</p><p>∫</p><p>1</p><p>y</p><p>dy = ln|y| + C</p><p>e</p><p>∫</p><p>1</p><p>(1 + x) dx = ln |1 + x| + C</p><p>com isso,</p><p>ln|y| = ln |1 + x| + C</p><p>.</p><p>Aplicando o exponencial na igualdade acima, temos</p><p>eln | y | = eln | 1 + x | +C = eln | 1 + x |eC</p><p>Processing math: 100%</p><p>23/04/2023, 21:52 Ead.br</p><p>https://ambienteacademico.com.br/mod/url/view.php?id=760622 10/30</p><p>donde</p><p>y = |1 + x|eC = ± (1 + x)eC.</p><p>Como eC é uma constante, y = (1 + x) k e y = − (1 + x) k (k constante) são</p><p>soluções da equação   (1 + x) dy − y dx = 0. Logo, a solução geral é dada por</p><p>y = (1 + x) k.</p><p>CONSTANTE</p><p>1. Observe que para cada constante k considerada na solução y=(1+x)k que</p><p>acabamos de determinar, obtemos uma solução diferente para equação</p><p>(1=x)\ dy\ -ydx=0.</p><p>Processing math: 100%</p><p>23/04/2023, 21:52 Ead.br</p><p>https://ambienteacademico.com.br/mod/url/view.php?id=760622 11/30</p><p>CONSTANTE</p><p>2. Podemos visualizar gra�camente como essas soluções se comportam</p><p>para conhecer melhor sobre elas. Para k=1 temos o esboço do grá�co da</p><p>solução dado por:</p><p>K = 1 3</p><p>2</p><p>1</p><p>-1</p><p>-3</p><p>-2</p><p>0-1-2-3-4 1 2 3 4 5</p><p>CONSTANTE</p><p>4. E assim por diante,então para k = 5, a solução tem grá�co igual a:</p><p>Processing math: 100%</p><p>23/04/2023, 21:52 Ead.br</p><p>https://ambienteacademico.com.br/mod/url/view.php?id=760622 12/30</p><p>K = 1 3</p><p>2</p><p>1</p><p>-1</p><p>-3</p><p>-2</p><p>0-1-2-3-4 1 2 3 4 5</p><p>CONSTANTE</p><p>3. Para k = 2:</p><p>Processing math: 100%</p><p>23/04/2023, 21:52 Ead.br</p><p>https://ambienteacademico.com.br/mod/url/view.php?id=760622 13/30</p><p>Neste exemplo que acabamos de resolver, deixamos y como função de x,</p><p>porém não há necessidade de sempre tentar fazer isso. Por exemplo, seja a</p><p>equação xe − ysenx dx − y dy = 0. Reescrevendo esta equação, temos</p><p>xe − ysenx dx = y dy donde xsenx dx =</p><p>y</p><p>e − y dy.</p><p>Isto é, xe − ysenx dx − y dy = 0 é uma equação exata onde g(x) = xsenx e</p><p>h(y) =</p><p>y</p><p>e − y. Integrando, obtemos</p><p>∫xsenx dx = ∫</p><p>y</p><p>e − y dy</p><p>−x cox x + sen x = y ey − ey + C</p><p>.</p><p>K = 5 2</p><p>1</p><p>-1</p><p>-3</p><p>-4</p><p>-5</p><p>-2</p><p>0-1-2-3-4 1 2 3 4 5</p><p>Ou seja, as soluções são retas com</p><p>inclinação k.</p><p>Processing math: 100%</p><p>23/04/2023, 21:52 Ead.br</p><p>https://ambienteacademico.com.br/mod/url/view.php?id=760622 14/30</p><p>Logo, −x cox x + sen x = y ey − ey + C é a solução geral de</p><p>xe − ysenx dx − y dy = 0.</p><p>Observe que em ambos os exemplos, quando realizamos a integração,</p><p>deixamos sinalizado o uso de apenas uma constante C. Isso vem do fato que a</p><p>soma e subtração de constantes resulta numa constante, então não</p><p>precisamos carregar duas constantes na equação.</p><p>praticar</p><p>Vamos Praticar</p><p>Muitos modelos matemáticos são descritos através das equações diferenciais por</p><p>exemplo, podemos descrever a propagação de praga com as equações separáveis.</p><p>Considerando a equação diferencial ordinária de primeira ordem dada por</p><p>dy</p><p>dx =</p><p>x2</p><p>1 − y2,</p><p>assinale a alternativa correta em relação a solução geral desta equação:</p><p>a) −x3 + 3y − y3 = c.</p><p>b) x3 + 3y + y3 = c</p><p>c) y = x3 + y3 + C</p><p>d) −x3 − y3 + 1 = 0</p><p>e) y2 + x2 − y = c</p><p>Processing math: 100%</p><p>23/04/2023, 21:52 Ead.br</p><p>https://ambienteacademico.com.br/mod/url/view.php?id=760622 15/30</p><p>No primeiro tópico desta unidade de�nimos que uma equação diferencial</p><p>linear é uma equação que pode ser escrita da forma</p><p>an(x)</p><p>dny</p><p>dxn</p><p>+ a (n− 1 ) (x)</p><p>d (n− 1 )y</p><p>dx (n− 1 ) + . . . + a0(x) y = g(x)</p><p>onde os coe�cientes  a0 , a1, . . . , an e g são funções que dependem somente</p><p>da variável independente x. Considerando n = 1, temos uma equação linear de</p><p>1ª ordem. Ou seja,</p><p>a1(x)</p><p>dy</p><p>dx + a0(x)y = g(x)</p><p>é denominada de equação linear de 1ª ordem. Sendo a1(x) ≠ 0, dividindo esta</p><p>igualdade por a1(x), podemos reescrever a equação linear como</p><p>dy</p><p>dx + P(x)y = f(x).</p><p>Para determinar soluções de uma equação linear, utilizamos o método do</p><p>fator integrante. Este método consiste em multiplicarmos a equação por uma</p><p>EDOs Lineares de 1ªEDOs Lineares de 1ª</p><p>Ordem e Homogêneas deOrdem e Homogêneas de</p><p>2ª Ordem2ª Ordem</p><p>Processing math: 100%</p><p>23/04/2023, 21:52 Ead.br</p><p>https://ambienteacademico.com.br/mod/url/view.php?id=760622 16/30</p><p>função μ(x) apropriada, denominada fator de integração, para conseguirmos</p><p>realizar uma integração. Como veremos no exemplo abaixo μ(x) = e ∫ P ( x ) dx,</p><p>onde P(x) é identi�cado escrevendo a equação linear na forma</p><p>dy</p><p>dx + P(x)y = f(x).</p><p>Por exemplo, considere a equação linear x</p><p>dy</p><p>dx − 4y = x6ex. Dividindo todos os</p><p>termos por a1(x) = x, obtemos</p><p>dy</p><p>dx</p><p>−</p><p>4</p><p>x</p><p>y = x5ex</p><p>.</p><p>Este é o primeiro passo para resolver uma equação linear. Identi�cando P(x),</p><p>com o passo anterior, o segundo passo, consiste em determinar o fator de</p><p>integração e ∫ P ( x ) dx.  Neste exemplo, ∫P(x)dx = ∫ −</p><p>4</p><p>x dx = − 4ln|x| e</p><p>e ∫ P ( x ) dx = e − 4ln | x | = eln x − 4</p><p>= x − 4</p><p>No próximo passo, multiplicamos o fator de integração na equação, logo</p><p>x − 4</p><p>dy</p><p>dx −</p><p>4</p><p>x5y = xex</p><p>.</p><p>Observe que</p><p>d</p><p>dx[x − 4y] = x − 4</p><p>dy</p><p>dx</p><p>−</p><p>4</p><p>x5y.</p><p>Isso sempre ocorre quando determinamos e multiplicamos corretamente o</p><p>fator de integração na equação. Com isso, reescrevemos x − 4</p><p>dy</p><p>dx −</p><p>4</p><p>x5y = xex</p><p>como</p><p>d</p><p>dx[x − 4y] = xex.</p><p>Processing math: 100%</p><p>23/04/2023, 21:52 Ead.br</p><p>https://ambienteacademico.com.br/mod/url/view.php?id=760622 17/30</p><p>O último passo, consiste em integrar ambos os lado da igualdade obtida, isto</p><p>é,</p><p>∫</p><p>d</p><p>dx[x − 4y]dx = ∫xexdx</p><p>.</p><p>Como o cálculo integral e o cálculo diferencial são processos inversos,</p><p>∫</p><p>d</p><p>dx[x − 4y]dx = x − 4y. Donde, concluímos</p><p>x − 4y = xex − ex + C</p><p>ou, equivalentemente</p><p>y = x5ex − x4ex + Cx4,</p><p>é a solução geral de x</p><p>dy</p><p>dx − 4y = x6ex.</p><p>Processing math: 100%</p><p>23/04/2023, 21:52 Ead.br</p><p>https://ambienteacademico.com.br/mod/url/view.php?id=760622 18/30</p><p>saiba mais</p><p>Saiba mais</p><p>Como mencionamos no primeiro tópico</p><p>desta unidade, uma equação diferencial</p><p>ordinária que não é linear, é denominada</p><p>não-linear. Resolver esta classe se equações</p><p>se torna uma tarefa difícil. Porém, existem</p><p>equações não-lineares que podem ser</p><p>reescritas como uma equação linear, logo,</p><p>seu método de resolução, consiste no</p><p>método apresentado acima para equações</p><p>lineares.</p><p>Por exemplo,  equações da forma</p><p>dy</p><p>dx + M(x) y = N(x) yn são equações diferenciais</p><p>ordinárias não-lineares conhecidas com a</p><p>nomenclatura Equação de Bernoulli.</p><p>Realizando a substituição z = y1 − n,</p><p>transformamos uma Equação de Bernoulli</p><p>em uma equação linear. Para ver outros</p><p>exemplos de equações não lineares que</p><p>podem ser transformadas em equações</p><p>lineares, acesse o artigo completo.</p><p>Fonte: Elaborado pelo autor.</p><p>ACESSAR</p><p>Agora, considere a equação diferencial de segunda ordem da forma</p><p>a</p><p>d2y</p><p>dx2 + b</p><p>dy</p><p>dx</p><p>+ c y = 0</p><p>,</p><p>onde a, b e c são constantes. Esta equação é chamada de equação</p><p>homogênea de 2ª ordem com coe�cientes constantes. Note, que umaProcessing math: 100%</p><p>http://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/pdfs/edo.pdf</p><p>23/04/2023, 21:52 Ead.br</p><p>https://ambienteacademico.com.br/mod/url/view.php?id=760622 19/30</p><p>equação homogênea de 2ª ordem é uma equação linear de 2ª ordem com</p><p>coe�cientes a2(x) = a, a1(x) = b e a0(x) = c e g(x) = 0, para todo x.</p><p>Prosseguindo com o método de resolução que acabamos de estudar para as</p><p>equações lineares de 1ª ordem, se a0(x) = a é constante, concluímos que a</p><p>equação</p><p>dy</p><p>dx + ay = 0 possui a solução exponencial y = ce − ax em (−∞, ∞). Logo, é</p><p>intuitivo imaginar que a equação homogênea de 2ª ordem possui uma</p><p>solução similar.</p><p>Considerando uma solução da forma y = emx para a equação</p><p>a</p><p>d2y</p><p>dx2 + b</p><p>dy</p><p>dx + c y = 0, temos que y′ = memx e y″ = m2emx:</p><p>a</p><p>d2y</p><p>dx2 + b</p><p>dy</p><p>dx + c y = emx(am2 + bm + c) = 0 ⇒ emx = 0 ou am2 + bm + c = 0.</p><p>Mas, emx ≠ 0, para todo x. Então, para y = emx ser solução da equação</p><p>homogênea de 2ª ordem com coe�cientes constantes, é necessário que m seja</p><p>raiz de am2 + bm + c = 0.  Esta equação quadrática é conhecida como equação</p><p>auxiliar.</p><p>Sabemos que em uma equação do 2º grau, temos três situações possíveis</p><p>para suas raízes. Então, ou a equação auxiliar possui raízes reais e distintas ou</p><p>possui raízes iguais ou possui raízes complexas conjugadas.</p><p>Se am2 +</p><p>bm + c = 0 possuir raízes reais e distintas, digamos m1 e m2, temos</p><p>duas soluções para   a</p><p>d2y</p><p>dx2 + b</p><p>dy</p><p>dx + c y = 0 em (−∞, ∞), dadas por y1 = em1x e</p><p>y2 = em2x. Então, neste caso, a solução geral é dada por y = C1e</p><p>m1x + C2e</p><p>m2x.</p><p>Se am2 + bm + c = 0 possuir raízes reais iguais, ou seja, m1 = m2, teremos</p><p>somente uma solução y = em1x para   a</p><p>d2y</p><p>dx2 + b</p><p>dy</p><p>dx + c y = 0 em (−∞, ∞) e, a</p><p>solução geral será dada por y = C1e</p><p>m1x + C2e</p><p>m1x.</p><p>Por �m, se am2 + bm + c = 0 possuir raízes complexas conjugadas, temos que</p><p>m1 = α + iβ e m2 = α − iβ, sendo α eβ números reais. As soluções gerais neste</p><p>caso são análogas as soluções gerais de quando a equação quadrática possui</p><p>Processing math: 100%</p><p>23/04/2023, 21:52 Ead.br</p><p>https://ambienteacademico.com.br/mod/url/view.php?id=760622 20/30</p><p>duas raízes reais, ou seja, y = C1e</p><p>(α+ iβ ) x + C2e</p><p>(α− iβ ) x. Utilizando a igualdade</p><p>eiθ = cos θ + isenθ. reescrevemos a solução geral da equação a</p><p>d2y</p><p>dx2 + b</p><p>dy</p><p>dx + c y = 0</p><p>em (−∞, ∞) como y = eαx(C1cos β x + C2sen β x).</p><p>Considere a equação homogênea de 2ª ordem dada por</p><p>d2y</p><p>dx2 +</p><p>dy</p><p>dx + y = 0.  Neste</p><p>caso, a = 1, b = 1 e c = 1. Então, para obter a solução geral desta equação,</p><p>precisamos determinar as raízes da equação quadrática</p><p>am2 + bm + c = 0, isto é, m2 + m + 1 = 0.</p><p>Resolvendo esta equação quadrática, obtemos que suas raízes são números</p><p>complexos conjugados dados por</p><p>m1 = −</p><p>1</p><p>2 +</p><p>√3</p><p>2 i e m2 = −</p><p>1</p><p>2 +</p><p>√3</p><p>2 i.</p><p>Então, pelo que acabamos de ver, a solução geral de</p><p>d2y</p><p>dx2 +</p><p>dy</p><p>dx + y = 0 no</p><p>intervalo (−∞, ∞) é dada por</p><p>y = e − x / 2(C1cos</p><p>√3</p><p>2</p><p>x + C2sen</p><p>√3</p><p>2</p><p>x).</p><p>praticar</p><p>Vamos Praticar</p><p>Para resolvermos situações problema envolvendo as equações diferenciais,</p><p>devemos saber classi�cá-la, identi�cando sua ordem e classe. Desta forma,Processing math: 100%</p><p>23/04/2023, 21:52 Ead.br</p><p>https://ambienteacademico.com.br/mod/url/view.php?id=760622 21/30</p><p>saberemos o melhor caminho que devemos seguir para determinar a solução do</p><p>problema. Considere as equações</p><p>2y″ − 5y′ − 3y = 0 e y′ − 3y = 0.</p><p>Com base no que aprendemos neste tópico, assinale a alternativa correta.</p><p>a) A equação y′ − 3y = 0 é uma equação homogênea de 2ª ordem.</p><p>b) A equação auxiliar de 2y″ − 5y′ − 3y = 0O possui raízes iguais a 3.</p><p>c) A solução geral de y′ − 3y = 0 é dada por y = 3x + C.</p><p>d) Temos que y = C1 e</p><p>− x / 2 + C2e</p><p>3x é a solução geral  2y″ − 5y′ − 3y = 0.</p><p>e) As equações 2y″ − 5y′ − 3y = 0 e y′ − 3y = 0 não possuem nenhuma solução</p><p>em comum.</p><p>Processing math: 100%</p><p>23/04/2023, 21:52 Ead.br</p><p>https://ambienteacademico.com.br/mod/url/view.php?id=760622 22/30</p><p>Como em diversas situações os modelos matemáticos são descritos por</p><p>equações diferenciais,, podemos utilizar os métodos de resolução aprendidos</p><p>nesta unidade para resolvê-los.</p><p>Poderíamos citar aplicações das mais diversas áreas como o decrescimento</p><p>radioativo, crescimento populacional, a de�exão de uma viga, corrente em um</p><p>circuito em série etc. No que segue, iremos resolver dois exemplos de</p><p>aplicação.</p><p>Aplicação das Equações Separáveis</p><p>Imagine a seguinte situação:</p><p>Um objeto de massa m é projetado sobre a terra em uma direção</p><p>perpendicular. Considerando sua velocidade inicial igual a v0 e que não há</p><p>resistência do ar, qual a menor velocidade inicial para a qual o corpo não</p><p>retornará à superfície?</p><p>Aplicações das EquaçõesAplicações das Equações</p><p>Diferenciais OrdináriasDiferenciais Ordinárias</p><p>Processing math: 100%</p><p>23/04/2023, 21:52 Ead.br</p><p>https://ambienteacademico.com.br/mod/url/view.php?id=760622 23/30</p><p>A velocidade procurada é conhecida como velocidade de escape.</p><p>Vamos considerar o semi eixo positivo dos x apontando para fora do centro</p><p>da Terra no decorrer da linha de movimento. Então, x = 0 corresponde a</p><p>superfície da Terra.   Denotando por R o raio da Terra, temos que a força</p><p>gravitacional agindo no objeto é dada por w(x) = −</p><p>k</p><p>( x+R ) 2 , onde k é uma</p><p>constante. Mas, sabemos que devido a gravidade no nível do mar, para x = 0</p><p>temos que w(0) = − mg , onde g é a aceleração. Logo k = mgR2, isto é,</p><p>w(x) = −</p><p>mgR2</p><p>(x + R)2</p><p>.</p><p>Desconsiderando outras forças agindo sobre o objeto, a equação de</p><p>movimento é dada por</p><p>m</p><p>dv</p><p>dt = −</p><p>mgR2</p><p>(x + R)2</p><p>com condição inicial v(0) = v0.</p><p>Considerando x como variável independente, podemos reescrever a equação</p><p>do movimento como</p><p>v</p><p>dv</p><p>dx</p><p>= −</p><p>gR2</p><p>(x + R)2</p><p>ou ainda,</p><p>v dv = −</p><p>gR2</p><p>(x + R)2 dx</p><p>que é uma equação separável.</p><p>Processing math: 100%</p><p>23/04/2023, 21:52 Ead.br</p><p>https://ambienteacademico.com.br/mod/url/view.php?id=760622 24/30</p><p>Como vimos no segundo tópico desta unidade, a solução geral de uma</p><p>equação separável é determinada integrando ambos os lados da igualdade.</p><p>Fazendo isso, obtemos</p><p>v2</p><p>2 =</p><p>gR2</p><p>R+ x + C ⇒ v2 = 2</p><p>gR2</p><p>R+ x + C.</p><p>De v0 = v(0), temos</p><p>v0</p><p>2 = 2</p><p>gR2</p><p>R + C ⇒ v0</p><p>2 = 2gR + C ⇒ C = v0</p><p>2 − 2gR.</p><p>Substituindo este valor de C na equação acima, temos que a solução da</p><p>equação do movimento com condição inicial v0 = v(0) é dada por</p><p>v = ±√v0</p><p>2 − 2gR +</p><p>2gR2</p><p>R+ x.</p><p>Fazendo v = 0 e x = ε obtemos</p><p>ε =</p><p>v0</p><p>2R</p><p>2gR− v0</p><p>2 e v0 =√2gR</p><p>ε</p><p>R+ ε,</p><p>que são, respectivamente, a altitude máxima que o objeto alcança e a</p><p>velocidade inicial necessária para levantar o objeto até a altitude ε.</p><p>A velocidade de escape ve é determinada calculando limε→ ∞√2gR</p><p>ε</p><p>R+ ε, ou seja,</p><p>ve = limε→ ∞√2gR</p><p>ε</p><p>R+ ε = √2gR.</p><p>O valor numérico de ve é aproximadamente 11, 1 km/s.</p><p>Aplicação das Equações Lineares</p><p>Em engenharia, a equação</p><p>Processing math: 100%</p><p>23/04/2023, 21:52 Ead.br</p><p>https://ambienteacademico.com.br/mod/url/view.php?id=760622 25/30</p><p>dx</p><p>dt = kx</p><p>com condição inicial x(t0) = x0 em que k é uma constante de</p><p>proporcionalidade, pode descrever a temperatura de um corpo em</p><p>resfriamento. Já em física, o mesmo problema de valor inicial, ou seja, a</p><p>equação com a condição inicial, pode proporcionar o cálculo aproximado da</p><p>quantidade remanescente de uma substância que está sendo desintegrada</p><p>através de radioatividade.</p><p>Por exemplo, considere que um corpo está inicialmente com a temperatura T0</p><p>. Uma hora depois, para t = 1, a temperatura passa a ser</p><p>3</p><p>4T0. Se a taxa de</p><p>decrescimento é proporcional a temperatura, desprezando a temperatura do</p><p>meio ambiente, qual o tempo necessário para que essa temperatura decresça</p><p>a terça parte?</p><p>Queremos resolver a equação diferencial</p><p>dT</p><p>dt = kT com condição inicial T(0) = T0</p><p>.  Como</p><p>dT</p><p>dt − kT = 0</p><p>é uma equação linear de 1ª ordem, seu fator de integração é dado por</p><p>e ∫ ( − k )dt. Então,</p><p>dT</p><p>dt</p><p>− kT = 0 ⇒ e − ktdT</p><p>dt</p><p>− e − ktkT = 0 ⇒</p><p>d</p><p>dt[e − ktT] = 0 ⇒ T(t) = Cekt.</p><p>Mas, para t = 0 T(0) = T0 donde T0 = C. Com isso, T(t) = T0e</p><p>kt.</p><p>Por outro lado, para t = 1,</p><p>3</p><p>4N0 = N0e</p><p>k, isto é,</p><p>3</p><p>4 = ek ⇒ k = ln(3</p><p>4) ≃ − 0, 2877.</p><p>Processing math: 100%</p><p>23/04/2023, 21:52 Ead.br</p><p>https://ambienteacademico.com.br/mod/url/view.php?id=760622 26/30</p><p>Portanto, a solução é dada pela expressão T(t) = T0e</p><p>− 0 , 2877t e, como</p><p>desejamos a terça parte da temperatura,</p><p>1</p><p>3T0 = T0e</p><p>− 0 , 2877 t o que implica que</p><p>isto ocorre em t ≃ 3, 82 horas.</p><p>praticar</p><p>Vamos Praticar</p><p>Considerando a temperatura do meio ambiente, a lei de resfriamento, que foi</p><p>enunciada por Newton, diz que a taxa de variação de temperatura  T(t) de um corpo</p><p>em resfriamento é proporcional à  diferença entre a temperatura do corpo e a</p><p>temperatura constante Tm do meio ambiente, ou seja,</p><p>dT</p><p>dt = k(T − Tm), onde k é a</p><p>constante de proporcionalidade. Sabendo disso, se uma barra da estrutura de um</p><p>prédio é retirada do molde a uma temperatura de 300ºF e três minutos depois sua</p><p>temperatura passa para 200ºF, quanto tempo irá demorar para a temperatura da</p><p>barra atingir 75ºF, uma vez que a temperatura do meio ambiente é 70ºF?</p><p>a) 10 minutos</p><p>b) 20,1 minutos</p><p>c) 37,5 minutos</p><p>d) 59,6 minutos</p><p>e) 1 hora</p><p>Processing math: 100%</p><p>23/04/2023, 21:52 Ead.br</p><p>https://ambienteacademico.com.br/mod/url/view.php?id=760622 27/30</p><p>indicações</p><p>Material</p><p>Complementar</p><p>LIVRO</p><p>Equações Diferenciais, Volume 1</p><p>Dennis G. Zill e Michael R. Cullen</p><p>Editora: Pearson Education do Brasil</p><p>ISBN: 9788534612913</p><p>Comentário: Neste livro o aluno terá acesso a diversos</p><p>exemplos resolvidos da teoria das equações</p><p>diferenciais ordinárias e poderá praticar o</p><p>conhecimento adquirido nos exercícios propostos.</p><p>Além disso, o livro apresenta aplicações reais da teoria.</p><p>Processing math: 100%</p><p>23/04/2023, 21:52 Ead.br</p><p>https://ambienteacademico.com.br/mod/url/view.php?id=760622 28/30</p><p>FILME</p><p>O homem que viu o in�inito</p><p>Ano: 2015</p><p>Comentário: Este �lme é baseado na história real do</p><p>matemático indiano Srinivasa Ramanujan. Srinivasa,</p><p>apesar de humilde e morar em um país que não havia</p><p>muita pesquisa na época, desenvolveu grandes</p><p>habilidades matemáticas que o �zeram realizar grandes</p><p>contribuições no mundo da matemática como a teoria</p><p>dos números e séries, por exemplo.</p><p>TRA ILER</p><p>Processing math: 100%</p><p>23/04/2023, 21:52 Ead.br</p><p>https://ambienteacademico.com.br/mod/url/view.php?id=760622 29/30</p><p>conclusão</p><p>Conclusão</p><p>Chegamos ao �m desta unidade. No decorrer dela pudemos nos familiarizar</p><p>com as equações diferenciais ordinárias. Aprendemos métodos de resolução</p><p>de três classes especiais destas equações: as equações separáveis, equações</p><p>lineares de 1ª ordem e equações homogêneas de 2ª ordem com coe�cientes</p><p>constantes.</p><p>Como devem ter percebido, não existe uma única forma de solucionar uma</p><p>equação diferencial. Por exemplo, muitas equações são separáveis e lineares</p><p>de 1ª ordem. Cabe a nós identi�car o melhor método de resolução para</p><p>prosseguir. E, só alcançamos esta habilidade nos dedicando e praticando o</p><p>conteúdo, para sanar nossas dúvidas. Esperamos que você tenha feito isso no</p><p>decorrer da unidade. Sempre acredite em seu potencial, você é capaz. Até a</p><p>próxima!</p><p>referências</p><p>Referências</p><p>Bibliográ�cas</p><p>ZILL, D. G., CULLEN, M. R., Equações Diferenciais, volume 1, 3ª ed. São Paulo:</p><p>Pearson Education do Brasil, 2001.</p><p>Processing math: 100%</p><p>23/04/2023, 21:52 Ead.br</p><p>https://ambienteacademico.com.br/mod/url/view.php?id=760622 30/30</p><p>BOYCE, W. E., DIPRIMA, R. C., Equações Diferenciais Elementares , 9ª ed. Rio</p><p>de Janeiro: Grupo GEN, 2010.</p><p>Processing math: 100%</p>