Lista 7_GAAL_506d050d8f2bb2d7bd6957122f6c842a

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<p>Universidade Federal do Paraná - UFPR</p><p>Centro Politécnico</p><p>Departamento de Matemática</p><p>Disciplina: Introdução a Geometŕıa Anaĺıtica e Álgebra Linear Código: CM303 Semestre: Semestre 2023/2</p><p>Lista 7</p><p>1. Considere os vetores ~u = (1,−2, 3), ~v = (−3, 0,−2) e ~w = (1, 2, 1). Determine o que se pede.</p><p>(a) ~u · ~v. (b) ~v · ~u. (c) ~u · ~w.</p><p>(d) ~w · ~u. (e) ~u · (~v + ~w). (f) ~v · ~w.</p><p>(g) ~w · ~v. (h)(2~w) · (~u+ ~v).</p><p>Observação. A notação ~x · ~y representa o produto escalar (ou produto interno) entre os vetores ~x e ~y. Em</p><p>outros lugares, você também encontrará a notação 〈~x, ~y〉.</p><p>2. Seja a ∈ R e considere os vetores ~u = (4, a,−1) e ~v = (a, 2, 3) e os pontos A = (4,−1, 2) e B = (3, 2,−1).</p><p>Determine a de modo que ~u · (~v +</p><p>−−→</p><p>BA) = 5.</p><p>3. Seja a ∈ R e considere os vetores ~u = (1, a,−2a− 1), ~v = (a, a− 1, 1) e ~w = (a,−1, 1). Determine a de modo</p><p>que ~u · ~v = (~u+ ~v) · ~w.</p><p>4. Sejam ~u e ~v vetores.</p><p>(a) Usando as propriedades do produto interno, mostre que</p><p>(~u+ ~v) · (~u+ ~v) = ~u · ~u+ 2(~u · ~v) + ~v · ~v.</p><p>(b) Usando as propriedades do produto interno, mostre que</p><p>(~u− ~v) · (~u− ~v) = ~u · ~u− 2(~u · ~v) + ~v · ~v.</p><p>(c) Utilize os itens (a) e (b) para concluir que</p><p>(~u+ ~v) · (~u+ ~v) + (~u− ~v) · (~u− ~v) = 2(~u · ~u) + 2(~v · ~v).</p><p>(d) Utilize os itens (a) e (b) para concluir que</p><p>(~u+ ~v) · (~u+ ~v)− (~u− ~v) · (~u− ~v) = 4(~u · ~v).</p><p>5. Considere os vetores ~u = (1,−2, 3), ~v = (−3, 0,−2) e ~w = (1, 2, 1). Determine o que se pede.</p><p>(a) |~u|. (b) |~v|. (c) |~w|.</p><p>(d) |2~u− ~w|. (e) o versor de ~u. (f) o versor de ~v.</p><p>(g) o versor de ~w.</p><p>Observação. A notação |~x| representa o módulo (ou a norma) do vetor ~x. Em outros lugares, você também</p><p>encontrará a notação ||~x||.</p><p>6. Verifique se são unitários os vetores ~u = (1, 1, 1) e ~v =</p><p>(</p><p>1√</p><p>6</p><p>,− 2√</p><p>6</p><p>,</p><p>1√</p><p>6</p><p>)</p><p>.</p><p>7. Seja m ∈ R e considere o vetor ~v = (m+ 7,m+ 2, 5). Determine m de modo que |~v| =</p><p>√</p><p>38.</p><p>8. Seja m ∈ R e considere os pontos A = (−1, 2, 3) e B = (1,−1,m). Sabendo que a distância entre A e B é 7</p><p>calcule m.</p><p>1</p><p>9. Em cada item, determine o ângulo entre os vetores.</p><p>(a) ~u = (1, 1, 0) e ~v = (0, 1, 0).</p><p>(b) ~u = (−1, 2, 1) e ~v = (2,−4,−2).</p><p>(c) ~u = (−1, 2, 1) e ~v = (2, 1, 4).</p><p>10. Sabendo que os vetores ~u = (1,m, 2) e ~v = (1,−1, 3) são ortogonais, determine m.</p><p>11. Sabendo que ~v é paralelo a ~u = (1,−1, 2) e que ~u · ~v = −18, determine ~v.</p><p>12. Considere os vetores ~u = (2,−1, 3) e ~v = (1, 0,−2). Determine ~w sabendo que ~w é ortogonal a ~u e ~v, que forma</p><p>um ângulo agudo com ~j e que possui módulo 3</p><p>√</p><p>6.</p><p>13. Considere os vetores ~u = (1, 2, 0) e ~v = (1, 4, 3). Determine ~w sabendo que ~w é ortogonal a ~u e ~v, que forma</p><p>um ângulo obtuso com ~i e que possui módulo 14.</p><p>14. Sejam ~u = (1, 2,−3) e ~v = (2, 1,−2).</p><p>(a) Determine o vetor projeção ortogonal de ~u sobre ~v.</p><p>(b) Determine o vetor projeção ortogonal de ~v sobre ~u.</p><p>Respostas:</p><p>1. (a) ~u · ~v = −9.</p><p>(b)~v · ~u = −9.</p><p>(c) ~u · ~w = 0.</p><p>(d) ~w · ~u = 0.</p><p>(e) ~u · (~v + ~w) = −9.</p><p>(f) ~v · ~w = −5.</p><p>(g) ~w · ~v = −5.</p><p>(h) (2~w) · (~u+ ~v) = −10.</p><p>2. a =</p><p>7</p><p>3</p><p>.</p><p>3. a = 2.</p><p>4.</p><p>5. (a) |~u| =</p><p>√</p><p>14.</p><p>(b)|~v| =</p><p>√</p><p>13.</p><p>(c) |~w| =</p><p>√</p><p>6.</p><p>(d) |2~u− ~w| =</p><p>√</p><p>62.</p><p>(e)</p><p>(</p><p>1√</p><p>14</p><p>,− 2√</p><p>14</p><p>,</p><p>3√</p><p>14</p><p>)</p><p>.</p><p>(f)</p><p>(</p><p>− 3√</p><p>13</p><p>, 0,− 2√</p><p>13</p><p>)</p><p>.</p><p>(g)</p><p>(</p><p>1√</p><p>6</p><p>,</p><p>2√</p><p>6</p><p>,</p><p>1√</p><p>6</p><p>)</p><p>.</p><p>6. Apenas ~v é unitário.</p><p>7. m = −4 ou m = −5.</p><p>8. m = 9 ou m = −3.</p><p>9. π/4.</p><p>π.</p><p>arccos</p><p>(</p><p>4</p><p>3</p><p>√</p><p>14</p><p>)</p><p>.</p><p>10. m = 7.</p><p>2</p><p>11. ~v = (−3, 3,−6).</p><p>12. ~w = (2, 7, 1).</p><p>13. ~w = (−12, 6,−4).</p><p>14.</p><p>3</p><p>(a) Proj~v(~u) =</p><p>(</p><p>20</p><p>9</p><p>,</p><p>10</p><p>9</p><p>,−20</p><p>9</p><p>)</p><p>. (b) Proj~u(~v) =</p><p>(</p><p>5</p><p>7</p><p>,</p><p>10</p><p>7</p><p>,−15</p><p>7</p><p>)</p><p>.</p><p>4</p>