M A 00 COC Teoria das Estruturas

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<p>TEORIA DAS ESTRUTURAS</p><p>Henrique Furia Silva</p><p>Lucas de Barros Serra</p><p>2</p><p>SUMÁRIO</p><p>1 ESTABILIDADE ESTRUTURAL ................................................................. 3</p><p>2 TRELIÇAS ............................................................................................ 34</p><p>3 VIGAS E PÓRTICOS ............................................................................. 61</p><p>4 VIGAS ESPECIAIS e GRELHAS .............................................................. 85</p><p>5 MÉTODOS DE ENERGIA. ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS. ................. 109</p><p>6 ANÁLISE MATRICIAL ......................................................................... 149</p><p>3</p><p>1 ESTABILIDADE ESTRUTURAL</p><p>Neste bloco serão tratados os conceitos de estabilidade estrutural, versando sobre es-</p><p>tática dos pontos e dos corpos rígidos. Serão apresentados sistemas de forças equiva-</p><p>lentes e verificadas as condições de equilíbrio das estruturas.</p><p>1.1 Importância da análise estrutural nos projetos de estruturas</p><p>As estruturas são projetadas para suportar cargas, mantendo o equilíbrio e com defor-</p><p>mações controladas, mantendo-se a estética e a funcionalidade do sistema. Para garan-</p><p>tir estas condições, torna-se necessário criar modelos físico-matemáticos para resolver</p><p>estas estruturas simples, quanto ao equilíbrio, às tensões e às deformações.</p><p>A engenharia de estruturas é uma subárea da engenharia civil que trata do planeja-</p><p>mento e do projeto de construções, desde a concepção estrutural até a documentação</p><p>final necessária para a sua aprovação junto à prefeitura e construção, atendendo aos</p><p>requisitos de segurança, e de economia correspondentes ao uso programado para a es-</p><p>trutura.</p><p>Kassimali (2016) apresenta as fases de um projeto de engenharia estrutural, iniciando</p><p>pelo planejamento, parte em que é feita a concepção da estrutura, na qual são estabe-</p><p>lecidos os requisitos funcionais e as dimensões da estrutura, o modelo teórico estrutural</p><p>e os materiais utilizados, além da estética e dos impactos ambientais.</p><p>O pré-dimensionamento consiste na determinação das dimensões das peças estrutu-</p><p>rais, conforme análise efetuada baseada também nas normas, e que servirão de estima-</p><p>tiva para o peso da estrutura. As outras cargas atuantes sobre a estrutura são estabele-</p><p>cidas tendo como base normas técnicas. As principais delas, que tratam especificamente</p><p>desse assunto são apresentadas no Quadro 1.1.</p><p>4</p><p>Quadro 1.1 – Normas brasileiras de referência para o projeto de estruturas</p><p>ABNT TÍTULO ANO PÁGINAS</p><p>NBR6118 Projeto de estruturas de concreto 2014 256</p><p>NBR6123 Forças devidas ao vento em edificações 1988 66</p><p>NBR7187 Projeto de pontes de concreto armado e de</p><p>concreto protendido</p><p>2003 11</p><p>NBR7190 Projeto de estruturas de madeira 1997 107</p><p>NBR8681 Ações e segurança nas estruturas 2003 22</p><p>NBR8800 Projeto de estruturas de aço e de estruturas</p><p>mistas de aço e concreto de edifícios</p><p>2008 247</p><p>Fonte: O autor.</p><p>A análise estrutural é a parte em que, estabelecidas as cargas que atuarão na estrutura,</p><p>conforme seu uso, são obtidas as reações de apoio conforme o seu equilíbrio, e deter-</p><p>minados os esforços solicitantes internos, para obter as tensões, deformações e defle-</p><p>xões na estrutura.</p><p>Ela deve ser feita não somente para a estrutura final, que será entregue ao cliente, mas</p><p>também para as fases intermediárias da construção, período no qual a estrutura, incom-</p><p>pleta, não está submetida a todos os esforços de trabalho, mas precisará resistir às soli-</p><p>citações que, estando presentes somente nesta fase, às vezes são mais críticas que as</p><p>de serviço.</p><p>As verificações de segurança são divididas em duas partes; a análise do estado limite</p><p>último trata do estado de iminência de ruptura da peça estrutural, situação que obvia-</p><p>mente deve ser evitada. Com base nestas verificações são determinadas a armação a</p><p>ser especificada nas estruturas de concreto armado ou o tipo de perfil a ser utilizado nas</p><p>estruturas de aço.</p><p>A análise do estado limite de serviço trata das situações em que a estrutura, mesmo</p><p>ainda não tendo atingido o estado de pré-ruptura, perde as condições estéticas e funci-</p><p>onais que permitiam o uso adequado da construção. Um exemplo disso ocorre quando</p><p>deflexões excessivas nas vigas, mesmo estando longe do estado limite último, geram</p><p>grande comprometimento estético da estrutura.</p><p>Estabelecidas todas as dimensões dos elementos estruturais, e a segurança garantida,</p><p>são preparados os desenhos do projeto estrutural que contém também as</p><p>5</p><p>especificações da construção. Após aprovação junto à prefeitura, as obras poderão, fi-</p><p>nalmente, ser iniciadas.</p><p>1.2 Classificação das estruturas</p><p>De acordo com Martha (2010), a gênese das teorias que descrevem o comportamento</p><p>estrutural está na análise de estruturas reticuladas, que são aquelas formadas por bar-</p><p>ras, que são um tipo de estrutura que tem um eixo claramente definido. Trata-se de</p><p>sólidos que possuem uma dimensão (denominada comprimento) significativamente</p><p>maior que as outras duas (que compõem a seção transversal).</p><p>1.2.1 Estruturas de barras</p><p>A Imagem 1.1 contém barras de seção transversal maciça circular, quadrada e hexago-</p><p>nal. A Imagem 1.2 contém barras de seção de paredes finas, aberta tipo I ou H, tipo C ou</p><p>U e tipo cantoneira ou tubular fechada circular ou quadrangular.</p><p>Imagem 1.1 – Barras de seção transversal maciça</p><p>6</p><p>Imagem 1.2 – Barras com seções delgadas de paredes finas</p><p>As estruturas são classificadas conforme o tipo de esforço predominante as quais são</p><p>submetidas.</p><p>1.2.2 Barras tracionadas</p><p>Os cabos são um exemplo de estrutura de barras tracionadas que são utilizadas em pon-</p><p>tes estaiadas como as da Imagem 1.3 da ponte Vasco da Gama que passa sobre o rio</p><p>Tangus em Lisboa.</p><p>Os tirantes são utilizados em estruturas de contenção, como as da Imagem 1.4 das cor-</p><p>tinas de contenção formada por perfis metálicos cravados preenchidas com pranchas</p><p>horizontais de madeira. Na fotografia, mostra-se a fase da construção correspondente</p><p>às fundações e contenções da obra de construção do edifício Mackgrafe, em região cen-</p><p>tral do município de São Paulo.</p><p>7</p><p>Imagem 1.3 – Ponte estaiada</p><p>Imagem 1.4 – Cortinas com perfis metálicos e pranchas horizontais de madeira</p><p>Fonte: Acervo pessoal do autor (2015).</p><p>8</p><p>1.2.3 Estruturas comprimidas</p><p>Pilares (Imagem 1.5) são exemplos de barras comprimidas. Os arcos mostrados na Ima-</p><p>gem 1.6 são exemplos de estruturas que, pela forma de montagem dos blocos de pedra,</p><p>estão sujeitas exclusivamente à compressão.</p><p>Imagem 1.5 – Colunas clássicas de mármore</p><p>Imagem 1.6 – Aqueduto romano</p><p>1.2.4 Estruturas de placas</p><p>As lajes são estruturas de placas em que uma das dimensões, denominada espessura, é</p><p>bem menor que as outras duas (comprimento e largura); vigas e pilares são estruturas</p><p>de barras, e possuem duas dimensões (largura e altura) bem menores que a terceira</p><p>(comprimento).</p><p>9</p><p>Estruturalmente, as placas são montadas na horizontal e têm o carregamento aplicado</p><p>na direção ortogonal ao plano da peça. A principal solicitação a que estão submetidas é</p><p>a flexão.</p><p>Imagem 1.7 – Lajes pré-fabricadas</p><p>(a) Placas de aço (b) Placas de concreto armado</p><p>Na Imagem 1.7(a) são mostradas placas de aço que, podem ser montadas deitadas for-</p><p>mando o piso de passarelas metálicas. Na Imagem 1.7(b) são mostradas placas de con-</p><p>creto armado que, montadas deitadas sobre vigas pré-moldadas, constituem parte da</p><p>laje dessas estruturas, o restante é consolidado com concreto moldado no local.</p><p>Na Imagem 1.8 é apresentada a vista, no piso térreo, do local para estacionamento sob</p><p>uma laje de concreto armado com capitéis na região dos pilares. Trata-se de enrijecedo-</p><p>res necessários na construção de estruturas sem vigas, com os pilares ligados direta-</p><p>mente às lajes.</p><p>10</p><p>Imagem 1.8</p><p>𝜕𝑥3</p><p>= 𝑉(𝑥) 𝐸 ∙ 𝐼 ∙</p><p>𝜕2𝑣</p><p>𝜕𝑥2</p><p>= 𝑀(𝑥)</p><p>O Desenho 3.12 é um exemplo de como se relacionam matematicamente as funções do</p><p>carregamento (𝑝(𝑥)), da força cortante (𝑉(𝑥)) e do momento fletor (𝑀(𝑥)). Observa-</p><p>se que o momento máximo ocorre quando a força cortante é nula, que é uma condição</p><p>para a busca de pontos de máximo.</p><p>74</p><p>Desenho 3.12 – Carregamentos, deflexões e esforços solicitantes</p><p>Fonte: O autor.</p><p>3.6 Análise de vigas isostáticas</p><p>No Desenho 3.13 é representada uma viga isostática com vão central de 8 𝑚 no qual é</p><p>aplicado um carregamento uniforme de 20</p><p>𝑘𝑁</p><p>𝑚</p><p>. No balanço de 4 𝑚 há uma força vertical</p><p>de 20 𝑘𝑁, e no balanço de 2 𝑚 há uma força vertical de 16 𝑘𝑁 e uma compressão de</p><p>8 𝑘𝑁.</p><p>Desenho 3.13 – Viga duplamente apoiada com balanços</p><p>Fonte: O autor.</p><p>75</p><p>A reação horizontal no apoio fixo vale 𝐻𝐵 = 8 𝑘𝑁, com o sentido indicado no desenho.</p><p>O carregamento uniforme tem resultante de:</p><p>20</p><p>𝑘𝑁</p><p>𝑚</p><p>⋅ 8𝑚 = 160 𝑘𝑁</p><p>A posição dessa resultante é no ponto médio do trecho (𝐵𝐶). As reações verticais po-</p><p>dem ser determinadas conjuntamente, usando o equilíbrio de forças verticais e o equi-</p><p>líbrio de momentos em relação a qualquer ponto da estrutura.</p><p>No entanto, é mais conveniente utilizar duas equações de equilíbrio de momentos, em</p><p>relação a pontos distintos convenientemente escolhidos, para determinar cada uma de-</p><p>las de maneira independente. Cabe observar que a compressão (8 𝑘𝑁) aplicada no</p><p>ponto (𝐷), tem linha de ação que coincide com o eixo da barra, e isso significa que ela</p><p>não produzirá momento em relação a qualquer ponto que pertença à barra.</p><p>Em relação ao nó (𝐵), as reações no apoio fixo não causam momento. Sobram apenas</p><p>as forças verticais conhecidas além da reação 𝑉𝐶, que será a única variável desta equa-</p><p>ção de equilíbrio de momentos:</p><p>−20𝑘𝑁 ⋅ 4𝑚 + 160𝑘𝑁 ⋅ 4𝑚 − VC ⋅ 8m + 16kN ⋅ 10m = 0 ⟹ 𝑉𝐶 = 90𝑘𝑁</p><p>Em relação ao nó (𝐶), as reações no apoio móvel não causam momento. Sobram apenas</p><p>as forças verticais conhecidas além da reação 𝑉𝐵, que será a única variável desta equa-</p><p>ção de equilíbrio de momentos:</p><p>−20𝑘𝑁 ⋅ 12𝑚 + 𝑉𝐵 ⋅ 8𝑚 − 160𝑘𝑁 ⋅ 4𝑚 + 16𝑘𝑁 ⋅ 2𝑚 = 0 ⟹ 𝑉𝐵 = 106𝑘𝑁</p><p>3.7 Construção de diagramas de esforços solicitantes em vigas isostáticas</p><p>Concluída esta análise de equilíbrio externo, com todas as reações determinadas, é pos-</p><p>sível efetuar a análise de equilíbrio interno para a construção dos diagramas de forças</p><p>normais, forças cortantes e momentos fletores. No Desenho 3.14 são representados,</p><p>além da viga com os carregamentos, as reações de apoio determinadas na seção ante-</p><p>rior.</p><p>76</p><p>Desenho 3.14 – Reações de apoio em viga duplamente apoiada com balanços</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Os vínculos da viga foram omitidos, por não serem mais necessários para a sequência</p><p>da análise, e foi acrescentada a representação gráfica das deflexões, com o auxílio do</p><p>Ftool. Começando pelo diagrama de forças normais, observa-se que há compressão so-</p><p>mente no vão central e no balanço direito.</p><p>Desenho 3.15 – Carregamento e diagrama de forças normais</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Quanto às forças cortantes, convém iniciar pelas beiradas da viga. No balanço da es-</p><p>querda a força de 20𝑘𝑁 tende a girar o trecho da barra no sentido anti-horário, e por</p><p>isso, neste trecho (𝐴𝐵), a cortante é de −20𝑘𝑁. No balanço da direita, a força de 16𝑘𝑁</p><p>tende a girar o trecho da barra no sentido horário, e por isso, neste trecho (𝐶𝐷) a cor-</p><p>tante é de +16𝑘𝑁.</p><p>Quanto ao trecho central (𝐵𝐶), cabe observar a relação com o carregamento distribu-</p><p>ído, conforme apresentado na seção 3.5. Como o carregamento é uma função cons-</p><p>tante, a força cortante é uma função contínua de primeiro grau. O gráfico é um trecho</p><p>de reta. A presença da reação de apoio em (𝐵) produz uma descontinuidade na função,</p><p>de intensidade igual à reação de apoio, que é de 106𝑘𝑁 girando o trecho de barra no</p><p>sentido horário.</p><p>77</p><p>Portanto:</p><p>𝑉𝐵+ = −20𝑘𝑁 + 106𝑘𝑁 = 86𝑘𝑁</p><p>A presença da reação de apoio em (𝐶) produz uma descontinuidade na função, de in-</p><p>tensidade igual à reação de apoio, que é de 90𝑘𝑁 girando o trecho de barra no sentido</p><p>anti-horário. Portanto:</p><p>𝑉𝐶− = 16𝑘𝑁 − 90𝑘𝑁 = −74𝑘𝑁</p><p>Com esse método de análise, poupou-se muito trabalho que se teria ao se utilizar o te-</p><p>orema do corte sucessivamente e escrever a função algebricamente, em cada trecho. O</p><p>diagrama completo das forças cortantes na barra isostática é apresentado no Desenho</p><p>3.16.</p><p>Desenho 3.16 – Diagrama de forças cortantes</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Essa estratégia de análise de seções pode ser utilizada também para construir o dia-</p><p>grama de momentos fletores, começando pelas beiradas. Em ambos os balanços, não</p><p>há carregamento distribuído e, sendo as forças cortantes funções constantes, os mo-</p><p>mentos são funções de primeiro grau, pois:</p><p>𝑉(𝑥) =</p><p>𝜕𝑀</p><p>𝜕𝑥</p><p>Nas extremidades, os momentos fletores são nulos, e as forças concentradas flexionam</p><p>os respectivos trechos de balanços tracionando as mesas superiores das vigas, como</p><p>representado no Desenho 3.17. No trecho central (𝐵𝐶), basta efetuar a integração da</p><p>função das forças cortantes, que são uma equação de reta, para obter os momentos</p><p>fletores, que serão uma função contínua de segundo grau.</p><p>78</p><p>Colocando a origem das coordenadas em (𝐵), obtém-se para as forças cortantes a fun-</p><p>ção:</p><p>𝑉(𝑥) = 86𝑘𝑁 +</p><p>(−74𝑘𝑁 − 86𝑘𝑁)</p><p>8𝑚</p><p>⋅ 𝑥 ⟹ 𝑉(𝑥) = 86 − 20𝑥</p><p>Desenho 3.17 – Diagrama de momentos fletores</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Efetuando a integração, obtém-se:</p><p>𝑀(𝑥) = 86 ⋅ 𝑥 − 10 ⋅ 𝑥2 + 𝑐1</p><p>O momento fletor em (𝐵) vale:</p><p>𝑀𝐵 = 𝑀(0) = −20𝑘𝑁 ⋅ 4𝑚 = −80 𝑘𝑁 ⋅ 𝑚</p><p>Este é exatamente o valor da constante de integração 𝑐1. Finalmente:</p><p>𝑀(𝑥) = −80 + 86 ⋅ 𝑥 − 10 ⋅ 𝑥2</p><p>Colocando-se 𝑥 = 8𝑚, obtém-se o valor:</p><p>𝑀𝐶 = 𝑀(8𝑚) = −32 𝑘𝑁 ⋅ 𝑚</p><p>Este é exatamente o mesmo valor que se obtém calculando o momento fletor pelo tre-</p><p>cho (𝐷𝐶). E tudo está de acordo com o diagrama completo apresentado no Desenho</p><p>3.17 para os momentos fletores.</p><p>79</p><p>3.8 Determinação, indeterminação e instabilidade estática de pórticos planos</p><p>Pórticos são estruturas planas formadas por duas colunas e uma viga sobre elas apoia-</p><p>das, com carregamento sendo aplicado tanto nos nós quanto nas barras. Como em qual-</p><p>quer estrutura plana, há três equações de equilíbrio disponíveis: forças verticais, forças</p><p>horizontais e momentos de forças.</p><p>3.8.1 Pórticos isostáticos</p><p>As conexões entre a viga e os pilares de um pórtico simples. como o do Desenho 3.18,</p><p>precisam ser rígidas para que a estrutura seja estaticamente determinada.</p><p>Desenho 3.18 – Pórtico plano isostático simples</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Dessa maneira, o apoio fixo restringe todos os deslocamentos e contribui com duas re-</p><p>ações de apoio. O apoio móvel bloqueia somente deflexões verticais e, consequente-</p><p>mente, contribui com a terceira reação de apoio.</p><p>Mas, essa não é a única possibilidade de pórtico estaticamente determinado. Na estru-</p><p>tura do Desenho 3.19 foram colocados apoios engastados, e cada um deles contribui</p><p>com três reações de apoio, totalizando seis variáveis a serem determinadas. No entanto,</p><p>cada rótula libera rotações relativas no topo dos pilares, o que gera novas equações de</p><p>condição, e isto permitirá a determinação estática da estrutura.</p><p>80</p><p>Desenho 3.19 – Pórtico plano isostático com rótulas</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Qualquer rótula que for acrescentada às estruturas dos desenhos anteriores as tornará</p><p>estaticamente instáveis, o que significa colapso estrutural.</p><p>3.8.2 Pórticos hiperestáticos</p><p>A estrutura do Desenho 3.20 é estaticamente indeterminada, pois não há condições adi-</p><p>cionais estabelecendo novas relações matemáticas para determinar todas as reações de</p><p>apoio.</p><p>Desenho 3.20 – Pórtico plano hiperestático simples</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Esse tipo de estrutura hiperestática é assunto do Bloco 5.</p><p>81</p><p>3.9 Análise de pórticos planos isostáticos</p><p>Na estrutura do Desenho 3.21, foram aplicados carregamentos uniformes.</p><p>Desenho 3.21 – Pórtico plano isostático</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Todos os esforços horizontais são equilibrados pela única reação de apoio nesta direção,</p><p>que é igual à resultante do carregamento distribuído horizontal:</p><p>𝐻1 = 2</p><p>𝑘𝑁</p><p>𝑚</p><p>⋅ 2,5 𝑚 = 5 𝑘𝑁</p><p>A posição dessa resultante é central, com 1,25 𝑚 de distância para a linha horizontal</p><p>definida pelos apoios. O carregamento vertical possui resultante de:</p><p>4</p><p>𝑘𝑁</p><p>𝑚</p><p>⋅ 6 𝑚 = 24 𝑘𝑁</p><p>A posição dessa resultante é central, com 3 𝑚 de distância para cada um dos apoios.</p><p>Como há duas reações verticais de apoio, é mais conveniente utilizar dois equilíbrios de</p><p>momentos a fim de determinar, independentemente, cada uma das reações.</p><p>82</p><p>Para o equilíbrio de momentos em relação ao apoio móvel, essa reação desaparece. A</p><p>reação horizontal 𝐻1, já determinada, possui linha de ação passando pelo ponto de aná-</p><p>lise e, portanto, tem momento nulo. Isso permite obter:</p><p>−5 𝑘𝑁 ⋅ 1,25 𝑚 − 24 𝑘𝑁 ⋅ 3 𝑚 − 𝑉1 ⋅ 6 𝑚 = 0 ⟹ 𝑉1 = 13 𝑘𝑁</p><p>Para o equilíbrio de momentos em relação ao apoio fixo, as duas reações desaparecem,</p><p>o que permite obter:</p><p>−5 𝑘𝑁 ⋅ 1,25 𝑚 + 24 𝑘𝑁 ⋅ 3 𝑚 − 𝑉2 ⋅ 6 𝑚 = 0 ⟹ 𝑉2 = 11 𝑘𝑁</p><p>3.10 Construção dos diagramas de esforços solicitantes em pórticos espaciais</p><p>No Desenho 3.22 é apresentado um pórtico que, apesar de ser plano, possui carrega-</p><p>mento espacial. A força vertical de (15 𝑘𝑁) produz flexão na barra horizontal e também</p><p>na barra vertical. A força de (3 𝑘𝑁) produz flexão na barra horizontal e torção na barra</p><p>vertical.</p><p>Considerando as direções de maior e de menor inércia, a posição correta das barras</p><p>metálicas já está representada. Como se trata de uma estrutura isostática, não há ne-</p><p>cessidade de utilização de software comercial, pois os diagramas de esforços solicitantes</p><p>são bastante simples de serem construídos.</p><p>83</p><p>Desenho 3.22 – Pórtico espacial isostático</p><p>(a) Diagrama de eixo (b) Posição dos elementos</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Conclusão</p><p>Os pórticos são estruturas simples compostas de uma viga apoiada sobre dois pilares. É</p><p>a molécula geradora de estruturas de edifícios. A construção de diagramas de esforços</p><p>solicitantes é o primeiro passo para poder verificar se uma peça estrutural atende às</p><p>solicitações, ou para determinar as dimensões da peça em função das solicitações.</p><p>Softwares ainda gratuitos ajudam nesta tarefa elementar, para deixar que o profissional</p><p>se concentre com outras questões do dimensionamento estrutural. O princípio da</p><p>Escola de Engenharia – Eng. Civil</p><p>Universidade Presbiteriana Mackenzie</p><p>Método dos Elementos Finitos 1</p><p>Aula 09 – Pórtico Espacial</p><p>Figura 1 – Posição dos elementos</p><p>Fonte: Autores (2013)</p><p>Perfil I</p><p>300 x 200 x 9,5 x 8</p><p>84</p><p>superposição é extensivamente usado para problemas lineares correspondentes a gran-</p><p>dezas proporcionais.</p><p>Ao conceber uma estrutura geralmente desenha-se o eixo da barra. Mas, fisicamente,</p><p>considerando as três dimensões, torna-se necessário localizar o centro geométrico da</p><p>seção da peça, o que é uma tarefa trabalhosa principalmente em seções delgadas de</p><p>aço laminado.</p><p>REFERÊNCIAS</p><p>KASSIMALI, Aslam. Análise estrutural. 5ª. Edição, 2016. (9788522118175).</p><p>MARTHA, Luiz Fernando. Análise de estruturas. Conceitos e métodos básicos. 2010.</p><p>(9788535234558).</p><p>85</p><p>4 VIGAS ESPECIAIS e GRELHAS</p><p>Neste bloco serão estudadas estruturas reticuladas especiais. Além de esforços de fle-</p><p>xão e de cisalhamento, que quando submetidas a quaisquer carregamentos, suas vigas</p><p>inclinadas também desenvolvem esforços normais internos. Trata-se, portanto de uma</p><p>solicitação combinada de cisalhamento com flexão composta com grande excentrici-</p><p>dade.</p><p>Mesmo com múltiplos apoios, as vigas Gerber possuem articulações internas, que per-</p><p>mitem liberdade de rotações, aniquilando, no ponto da rótula, os momentos fletores,</p><p>eliminando a continuidade da estrutura. Assim, cada um de seus trechos é reduzido a</p><p>vigas articuladas que são estaticamente determinadas.</p><p>As grelhas são estruturas planas, mas seu carregamento incide perpendicularmente a</p><p>este plano, produzindo momentos em torno das suas barras (MARTHA, 2010). Por isso,</p><p>estas são tecnicamente consideradas estruturas espaciais.</p><p>4.1 Vigas inclinadas – conceituação</p><p>No Desenho 4.1 é representada uma viga simplesmente apoiada com inclinação 𝜃 com</p><p>a horizontal. A resultante do carregamento distribuído é centralizada, com direção ver-</p><p>tical, sentido descendente e de intensidade:</p><p>𝑃 = 𝑝 ⋅ ℓ ⋅ cos 𝜃</p><p>Não havendo carregamento na direção horizontal, a única reação de apoio da estrutura</p><p>nesta direção, que ocorre no ponto (𝐴), onde está o apoio fixo, é nula:</p><p>𝐻𝐴 = 0</p><p>86</p><p>Desenho 4.1 – Reações de apoio em viga inclinada isostática</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Em relação ao ponto (𝐴), ambas as reações não produzem momentos rotacionais, e a</p><p>condição de equilíbrio permitirá determinar diretamente a reação vertical no ponto (𝐵),</p><p>onde está o apoio móvel.</p><p>−𝑉𝐵 ⋅ ℓ ⋅ cos 𝜃 + 𝑃 ⋅</p><p>ℓ ⋅ cos 𝜃</p><p>2</p><p>= 0 ⟹ 𝑉𝐵 =</p><p>𝑝 ⋅ ℓ ⋅ cos 𝜃</p><p>2</p><p>A reação vertical no apoio fixo (𝐴) é diretamente determinada pela aplicação das equa-</p><p>ções de equilíbrio de momentos rotacionais em relação ao ponto (𝐵).</p><p>𝑉𝐴 ⋅ ℓ ⋅ cos 𝜃 − 𝑃 ⋅</p><p>ℓ ⋅ cos 𝜃</p><p>2</p><p>= 0 ⟹ 𝑉𝐴 =</p><p>𝑝 ⋅ ℓ ⋅ cos 𝜃</p><p>2</p><p>A conclusão é que, com relação às reações de apoio, não há alteração em relação a tudo</p><p>que se refere às soluções de vigas isostáticas, quando estão inclinadas.</p><p>87</p><p>4.2 Vigas inclinadas – problemas</p><p>Os procedimentos para determinar os esforços solicitantes é o mesmo. No Desenho 4.2</p><p>são representadas as reações de apoio obtidas para a viga do Desenho 4.1, além de uma</p><p>seção intermediária 𝑺 de coordenadas fixadas estabelecidas conforme Quadro 4.1 para</p><p>determinar as funções 𝑀: [0; ℓ] ⟶ ℝ para o momento fletor, 𝑉: [0; ℓ] ⟶ ℝ para as for-</p><p>ças cortantes e 𝑁: [0; ℓ] ⟶ ℝ para as forças normais.</p><p>Desenho 4.2 – Seções de corte em viga inclinada isostática</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Quadro 4.1 – Coordenadas da seção 𝑺 da viga do Desenho 4.2</p><p>Sistema global Sistema local</p><p>𝑋 ∈ [0; ℓ ⋅ cos 𝜃] 𝑌 ∈ [0; ℓ ⋅ sin 𝜃] 𝑥 ∈ [0; ℓ]</p><p>𝑋 = 𝑥 ⋅ cos 𝜃 𝑌 = 𝑥 ⋅ sin 𝜃</p><p>𝑥 = tan−1 ൬</p><p>𝑌</p><p>𝑋</p><p>൰</p><p>Fonte: O autor.</p><p>88</p><p>As forças normais são determinadas com base nas projeções das forças na direção do</p><p>eixo da barra. Cortando a barra na seção 𝑺 e observando as forças à esquerda, há as</p><p>componentes das forças {𝑉𝐴, 𝐻𝐴} comprimindo o trecho da barra restante. Tracionando</p><p>o trecho de viga, há a resultante parcial correspondente ao carregamento distribuído,</p><p>de intensidade:</p><p>𝑃(𝑋) = 𝑝 ⋅ 𝑋</p><p>Portanto, a força normal é:</p><p>𝑁(𝑋) = −𝑉𝐴 ⋅ sin 𝜃 − 𝐻𝐴 ⋅ cos 𝜃 + 𝑃(𝑋) ⋅ sin 𝜃</p><p>Como 𝐻𝐴 = 0, a força normal é reduzida apenas a:</p><p>𝑁(𝑋) = −𝑉𝐴 ⋅ sin 𝜃 + 𝑝 ⋅ 𝑋 ⋅ sin 𝜃 ⟹ 𝑁(𝑋) = 𝑝 ⋅ sin 𝜃 ⋅ ൬𝑋 −</p><p>ℓ ⋅ cos 𝜃</p><p>2</p><p>൰</p><p>Mudando das coordenadas globais (𝑋, 𝑌) para as locais (𝑥, 𝑦) conforme as relações do</p><p>Quadro 4.1, a força normal interna atuante na barra, em cada seção 𝑺, vale:</p><p>𝑁(𝑥) = −𝑝 ⋅ sin 𝜃 ⋅ cos 𝜃 ⋅ ൬</p><p>ℓ</p><p>2</p><p>− 𝑥൰</p><p>Trata-se de uma função de primeiro grau, cujo gráfico é um segmento de reta. Os valores</p><p>nos extremos são:</p><p>𝑁(0) = −</p><p>𝑝 ⋅ ℓ</p><p>2</p><p>⋅ sin 𝜃 ⋅ cos 𝜃 ⟹ 𝑁(𝑥) =</p><p>𝑝 ⋅ ℓ</p><p>2</p><p>⋅ sin 𝜃 ⋅ cos 𝜃</p><p>89</p><p>Desenho 4.3 – Diagrama de forças normais</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Como as forças estão representadas nas direções globais (𝑋, 𝑌), é mais fácil obter os</p><p>momentos fletores. Cortando a barra na seção 𝑺 e observando os esforços à esquerda,</p><p>há a força 𝑉𝐴 tracionando a face inferior da mesa da viga, com distância 𝑋.</p><p>Tracionando a face superior da mesa superior</p><p>da viga, há a força 𝐻𝐴 com distância 𝑌 e a</p><p>resultante parcial correspondente ao carregamento distribuído, com distância</p><p>𝑋</p><p>2</p><p>e inten-</p><p>sidade 𝑃(𝑋) = 𝑝 ⋅ 𝑋. Consequentemente:</p><p>𝑀(𝑋) = 𝑉𝐴 ⋅ 𝑋 − 𝐻𝐴 ⋅ 𝑌 − 𝑝 ⋅</p><p>𝑋2</p><p>2</p><p>⟹ 𝑀(𝑋) =</p><p>𝑝 ⋅ ℓ ⋅ cos 𝜃</p><p>2</p><p>⋅ 𝑋 − 𝑝 ⋅</p><p>𝑋2</p><p>2</p><p>𝑀(𝑋) =</p><p>𝑝</p><p>2</p><p>⋅ (ℓ ⋅ cos 𝜃 ⋅ 𝑋 − 𝑋2) ⟹ 𝑀(𝑋) =</p><p>𝑝</p><p>2</p><p>⋅ 𝑋 ⋅ (ℓ ⋅ cos 𝜃 − 𝑋)</p><p>Trata-se de uma função polinomial de segundo grau, com raízes 𝑋1 = 0 e:</p><p>𝑋2 = ℓ ⋅ cos 𝜃</p><p>90</p><p>Se essa função admitir um ponto de máximo ou de mínimo, ele será o ponto de derivada</p><p>nula:</p><p>𝜕𝑀</p><p>𝜕𝑋</p><p>=</p><p>𝑝</p><p>2</p><p>⋅ (ℓ ⋅ cos 𝜃 − 2 ⋅ 𝑋) = 0 ⟹ �̂� =</p><p>ℓ ⋅ cos 𝜃</p><p>2</p><p>O valor máximo do momento fletor é:</p><p>𝑀(�̂�) =</p><p>𝑝</p><p>2</p><p>⋅ �̂� ⋅ (ℓ ⋅ cos 𝜃 − �̂�) ⟹ 𝑀(�̂�) =</p><p>𝑝 ⋅ ℓ2</p><p>8</p><p>⋅ (cos 𝜃)2</p><p>Desenho 4.4 – Diagrama de momentos fletores</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Para calcular as forças cortante e normal, é necessário mudar das coordenadas globais</p><p>(𝑋, 𝑌) para as locais (𝑥, 𝑦) conforme as relações do Quadro 4.1.</p><p>𝑀(𝑥) =</p><p>𝑝</p><p>2</p><p>⋅ (cos 𝜃)2 ⋅ 𝑥 ⋅ (ℓ − 𝑥) ⟹ 𝑀(𝑥) =</p><p>𝑝</p><p>2</p><p>⋅ (cos 𝜃)2 ⋅ (ℓ ⋅ 𝑥 − 𝑥2)</p><p>91</p><p>A função força cortante é obtida por diferenciação:</p><p>𝑉(𝑥) =</p><p>𝜕𝑀</p><p>𝜕𝑥</p><p>⟹ 𝑉(𝑥) =</p><p>𝑝</p><p>2</p><p>⋅ (cos 𝜃)2 ⋅ (ℓ − 2 ⋅ 𝑥)</p><p>Trata-se de uma função de primeiro grau, cujo gráfico é um segmento de reta. Os valores</p><p>nos extremos são:</p><p>𝑉(0) =</p><p>𝑝 ⋅ ℓ</p><p>2</p><p>⋅ (cos 𝜃)2 ⟹ 𝑉(ℓ) = −</p><p>𝑝 ⋅ ℓ</p><p>2</p><p>⋅ (cos 𝜃)2</p><p>A cortante será nula no meio do vão, como esperado, e como mostrado no Desenho</p><p>4.5.</p><p>Desenho 4.5 – Diagrama de forças cortantes</p><p>Fonte: O autor.</p><p>92</p><p>4.3 Vigas Gerber – conceituação</p><p>Este tipo de viga foi patenteado em 1866 por Heinrich Gottfried Gerber (1832-1912).</p><p>São vigas com vários apoios e que, no lugar de serem hiperestáticas, possuem articula-</p><p>ções internas em quantidade suficiente para que, internamente, cada trecho seja esta-</p><p>ticamente determinado, e a viga, globalmente, seja isostática.</p><p>Imagem 4.1 – Modelo de ponte com rótulas destacadas em vermelho</p><p>Fonte: PECHRISTENER. “Mainbrücke Hassfurt”. In: Wikimedia Commons. Disponível em:</p><p><http://bit.ly/35GjB14>. Acesso em: 14 jan. 2021.</p><p>A viga mais simples deste tipo é apresentada no Desenho 4.6. Por ser articulada em (𝐵),</p><p>o momento fletor neste ponto é nulo. Essa é a equação de compatibilidade introduzida</p><p>pela rótula, e que permitirá resolver estaticamente a estrutura.</p><p>Desenho 4.6 – Viga Gerber engastada</p><p>Fonte: O autor.</p><p>A estrutura do Desenho 4.6 pode ser desmembrada em duas vigas isostáticas. Devido à</p><p>rótula em (𝐵), o momento 𝑀𝐴 não é transmitido da barra (𝐴𝐵) para a barra (𝐵𝐶). Com</p><p>isso, cada trecho do Desenho 4.7 pode ser resolvido separadamente, começando prefe-</p><p>rencialmente por aquele que tenha um apoio na extremidade.</p><p>93</p><p>Desenho 4.7 – Trechos da viga Gerber do Desenho 4.6</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Começando a análise da viga Gerber (𝐴𝐵𝐶) pelo trecho (𝐵𝐶), obtém-se, por equilíbrio</p><p>de momentos rotacionais em relação ao nó (𝐵), a reação no apoio móvel:</p><p>𝑅𝐶 =</p><p>𝑝 ⋅ ℓ𝐵𝐶</p><p>2</p><p>A força (𝑅𝐵), que age da rótula sobre a barra (𝐵𝐶), é determinada de maneira indepen-</p><p>dente pelo equilíbrio de momentos em relação ao apoio móvel:</p><p>𝑅𝐵 =</p><p>𝑝 ⋅ ℓ𝐵𝐶</p><p>2</p><p>94</p><p>O equilíbrio de forças verticais faz o papel de verificação da solução obtida. Agora será</p><p>possível resolver o outro trecho (𝐴𝐵) da estrutura. Em relação ao engaste (𝐴), a reação</p><p>𝑅𝐴 não produz momentos rotacionais, e este equilíbrio permite obter o momento rea-</p><p>tivo:</p><p>𝑀𝐴 =</p><p>𝑝 ⋅ (ℓ𝐴𝐵)</p><p>2</p><p>2</p><p>+ 𝑅𝐵 ⋅ ℓ𝐴𝐵 ⟹ 𝑀𝐴 =</p><p>𝑝 ⋅ (ℓ𝐴𝐵)</p><p>2</p><p>2</p><p>+</p><p>𝑝 ⋅ ℓ𝐵𝐶 ⋅ ℓ𝐴𝐵</p><p>2</p><p>O equilíbrio de momentos rotacionais em relação à extremidade (𝐵) permite obter a</p><p>reação de apoio vertical no engaste:</p><p>𝑅𝐴 ⋅ ℓ𝐴𝐵 −</p><p>𝑝 ⋅ (ℓ𝐴𝐵)</p><p>2</p><p>2</p><p>−𝑀𝐴 = 0 ⟹ 𝑅𝐴 = 𝑝 ⋅ ℓ𝐴𝐵 +</p><p>𝑝 ⋅ ℓ𝐵𝐶</p><p>2</p><p>4.4 Vigas Gerber – problemas</p><p>A ponte representada na estrutura da Imagem 4.1 inspira o exemplo da viga Gerber do</p><p>Desenho 4.8. Cabe observar que as rótulas (3) e (4) tornam estaticamente determinada</p><p>uma estrutura que seria estaticamente indeterminada.</p><p>Desenho 4.8 – Vínculos em viga Gerber</p><p>Fonte: O autor.</p><p>No nó (3) foi colocada uma rótula total, de modo que à esquerda o vínculo é de barra</p><p>solta, tornando o trecho (1 − 2 − 3) da viga com apoio móvel em (1), apoio fixo em</p><p>(2) e com balanço em (2 − 3). À direita da rótula do nó (3), o vínculo é de apoio móvel.</p><p>No nó (4), a articulação é parcial; à esquerda sendo de um apoio fixo e à direita é de</p><p>extremidade solta, o que torna o trecho (3 − 4) uma viga com apoio móvel em (3) e</p><p>fixo em (4), com balanços nas extremidades (2 − 3) e (4 − 5).</p><p>95</p><p>O trecho (4 − 5 − 6) tem apoio fixo em (5), apoio móvel em (6), com um balanço em</p><p>(4 − 5). Trata-se, portanto, de uma viga (1 − 3 − 4 − 6) que tem o comportamento</p><p>global de três vigas que isostáticas.</p><p>Sendo vãos livres de (8𝑚), há de se tomar muito cuidado na hora de se atribuir as car-</p><p>gas, porque grandes deflexões ocorrerão.</p><p>Desenho 4.9 – Carregamentos em viga Gerber</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Os diagramas de forças cortantes e de momentos fletores são apresentados no Desenho</p><p>4.10.</p><p>Desenho 4.10 – Esforços solicitantes em viga Gerber</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Observar que, na posição das rótulas, os momentos fletores são nulos e a função das</p><p>forças cortantes tem limites laterais iguais. Claramente são identificadas nesta estrutura</p><p>três trechos de vigas isostáticas.</p><p>Os resultados, obtidos pelo software Ftool, são um pouco diferentes, e isso se deve prin-</p><p>cipalmente pelo fato de não existir rótula perfeita.</p><p>96</p><p>Desenho 4.11 – Vigas isostáticas associadas</p><p>Fonte: O autor.</p><p>97</p><p>4.5 Comportamento de grelhas</p><p>Grelhas são estruturas geometricamente planas, mas solicitadas por carregamentos</p><p>perpendiculares a esse plano (SOUZA; PEREIRA, 2011). Uma possível idealização mate-</p><p>mática deste tipo de estrutura é apresentada na Imagem 4.2.</p><p>Imagem 4.2 – Grelha reticulada</p><p>Um exemplo desse tipo de construção são aquelas constituídas por vigas, formando um</p><p>reticulado que compõe uma malha que receberá solicitações fora do plano. As barras se</p><p>interceptam, trabalhando conjuntamente, permitindo vencer maiores vãos, (SOUZA;</p><p>RODRIGUES; MASCIA, 2009).</p><p>Na Imagem 4.3 é mostrada a vista de um edifício de escritórios em perspectiva.</p><p>98</p><p>Imagem 4.3 – Estrutura modular em concreto</p><p>Apesar de serem estruturas espaciais com relação ao carregamento, as grelhas isostáti-</p><p>cas podem ser resolvidas manualmente, pois há seis equações de equilíbrio a serem</p><p>consideradas, conforme foi apresentado no Quadro 1.4.</p><p>4.6 Esforços em grelhas – Força cortante, momento fletor e momento torçor</p><p>A estrutura do Desenho 4.12 é formada por vigas contínuas e apoiadas submetidas a um</p><p>carregamento distribuído de intensidade 𝑝 atuando na viga (𝐵𝐸) e um carregamento</p><p>concentrado de intensidade 𝑃 atuando no meio do trecho (𝐸𝐹). Foram colocados</p><p>apoios fixos em todos os vértices da estrutura, que formam dois quadrados de lado ℓ.</p><p>Considerando o estado em serviço no regime elástico linear, o princípio da superposição</p><p>pode ser muito bem utilizado analisando, isoladamente, o efeito de cada carregamento</p><p>na estrutura toda.</p><p>99</p><p>Desenho 4.12 – Grelha hiperestática</p><p>Fonte: O autor.</p><p>A força concentrada 𝑃 produz forças cortantes constante em partes, com descontinui-</p><p>dade no ponto 𝐺. A intensidade dessa descontinuidade é exatamente o valor 𝑃. Haverá</p><p>descontinuidades também em todos os vértices que contêm apoios, por causa do equi-</p><p>líbrio de forças na estrutura, isto é:</p><p>𝑉𝐴 + 𝑉𝐵 + 𝑉𝐶 + 𝑉𝐷 + 𝑉𝐸 + 𝑉𝐹 = 𝑃</p><p>Essa força também causa flexão no trecho (𝐸𝐺𝐹), sendo uma função de primeiro grau</p><p>em partes e que atinge o máximo em (𝐺). Pelo efeito da continuidade da viga (𝐹𝐸𝐷),</p><p>ocorre uma flexão na barra (𝐷𝐸), com uma linha elástica em sentido oposto ao do tre-</p><p>cho original.</p><p>Por causa da flexão em (𝐷𝐸𝐹)</p><p>e pela continuidade da estrutura no nó (𝐸), a viga (𝐵𝐸)</p><p>terá tendência de rotação em torno do próprio eixo, com ângulo medido no sentido</p><p>(𝐷𝐸𝐺). Trata-se, portanto, de uma torção na viga (𝐵𝐸).</p><p>100</p><p>O carregamento distribuído de intensidade (𝑝) produz forças cortantes na barra (𝐵𝐸)</p><p>conforme uma função contínua de primeiro grau e momentos fletores na mesma barra</p><p>como uma função de segundo grau. Pela continuidade da estrutura em (𝐵), há torção</p><p>na viga (𝐴𝐵𝐶) e pela continuidade da estrutura em (𝐸), há torção na viga (𝐷𝐸𝐺), mas</p><p>em sentido oposto ao da outra.</p><p>Considerando todos os carregamentos apresentados atuando simultaneamente e os</p><p>vínculos da estrutura, haverá uma combinação de flexão, torção e corte, em todas as</p><p>barras da estrutura. Tratando-se de uma grelha hiperestática, a indeterminação é resol-</p><p>vida de acordo com as características de rigidez e de compatibilidade de deslocamentos</p><p>e rotações.</p><p>4.7 Análise de grelhas isostáticas</p><p>A grelha do Desenho 4.13 é mais simples de analisar e mostra todos os tipos de solicita-</p><p>ções que aparecem nesses tipos de estruturas. Trata-se de uma grelha isostática, pois a</p><p>estrutura está contida no plano e o carregamento é ortogonal a este plano, e pode ser</p><p>rapidamente resolvida sem a necessidade de utilização de software estrutural.</p><p>Desenho 4.13 – Grelha isostática</p><p>Fonte: O autor.</p><p>101</p><p>O vínculo de engaste em (𝐴) absorverá todas as forças e momentos que equilibrarão a</p><p>estrutura. As forças reativas serão simplesmente a soma de todas as resultantes. O car-</p><p>regamento produz, em relação ao ponto (𝐴), momentos em relação aos eixos {𝑥; 𝑦; 𝑧}</p><p>indicados no desenho. As reações de apoio são apresentadas no Quadro 4.2.</p><p>Quadro 4.2 – Equações vetoriais de equilíbrio na grelha do Desenho 4.13</p><p>Fonte: O autor.</p><p>4.8 Diagramas de esforços em grelhas isostáticas</p><p>Somente a força (𝑄) produz esforços normais, que são de compressão nas barras</p><p>{(𝐴𝐵); (𝐸𝐹)}. A força (𝑃) e a resultante (𝑝 ⋅ ℓ) produzem torção na barra (𝐴𝐵), de:</p><p>𝑇 = 𝑃 ⋅ ℓ +</p><p>𝑝 ⋅ ℓ2</p><p>2</p><p>Desenho 4.14 – Diagrama de forças normais</p><p>Fonte: O autor.</p><p>102</p><p>Desenho 4.15 – Diagrama de momento torçor</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Há cortantes em dois planos: a força (𝑄) a produz no plano (𝑥𝑦) da estrutura e as outras</p><p>produzem nos outros planos.</p><p>Desenho 4.16 – Diagrama de forças cortantes</p><p>Fonte: O autor.</p><p>103</p><p>Da mesma forma, há flexão em dois planos. Há de se aproveitar o fato de que, nos tre-</p><p>chos onde 𝑉(𝑥) é constante (por partes), o momento é uma função de primeiro grau.</p><p>No trecho (𝐵𝐸), em que 𝑉(𝑥) é uma função de primeiro grau, 𝑀(𝑥) é uma função de</p><p>segundo grau.</p><p>Desenho 4.17 – Diagrama de momento fletores</p><p>Fonte: O autor.</p><p>4.9 Exemplos de construção de diagramas de esforços solicitantes em grelhas</p><p>No caso de estruturas hiperestáticas, os softwares estruturais são de grande valia, com</p><p>o cuidado de verificar os resultados, utilizando as relações entre carregamento distribu-</p><p>ído, forças cortantes e momento fletores. Cabe observar que o programa Ftool só pode</p><p>ser utilizado para estruturas planas, entre elas, vigas e pórticos apenas.</p><p>Mas as grelhas são planas apenas geometricamente, mas não do ponto de vista do car-</p><p>regamento. Observa-se que o reticulado da Imagem 4.2 serve como estrutura matemá-</p><p>tica para a construção de um modelo matemático para uma estrutura de grelha.</p><p>Por sorte, existe um programa “Grelha2” criado por Andrew John Richter Cass e Roberto</p><p>Chust Carvalho e atualizado em 20/10/2017, que permite resolver estes tipos de estru-</p><p>turas, incluindo-se a construção dos diagramas de esforços solicitantes.</p><p>2 “Programa Grelha”. Disponível em: <http://www.deciv.ufscar.br/calco/grelhacalco.html>. Acesso em</p><p>18 jan. 2021.</p><p>104</p><p>Uma grelha quadrada foi construída utilizando o programa, com a malha apresentada</p><p>na Imagem 4.4 e o resultado do processamento na Imagem 4.5.</p><p>Imagem 4.4 – lançamento de malha reticulada</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Imagem 4.5 – resultado do processamento</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Uma grelha retangular foi construída utilizando o programa, com a malha apresentada</p><p>na Imagem 4.6 e o resultado do processamento na Imagem 4.7.</p><p>105</p><p>Imagem 4.6 – lançamento de malha reticulada</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Imagem 4.7 – resultado do processamento</p><p>Fonte: O autor.</p><p>106</p><p>4.10 Aplicação do FTOOL para determinação de esforços solicitantes em estruturas</p><p>reticuladas planas</p><p>O programa Ftool, na versão 3.01, permite resolver quaisquer tipos de estruturas reti-</p><p>culadas planas com carregamento no plano. Como exemplo, a estrutura do Desenho</p><p>4.18, com as propriedades dos materiais e das seções transversais das peças estruturais</p><p>conforme Desenho 4.19, produzindo no programa o modelo do Desenho 4.20.</p><p>Desenho 4.18 – Estrutura reticulada mista</p><p>Fonte: O autor.</p><p>3,0 m</p><p>2,0 m</p><p>3,0 m</p><p>1,0 m</p><p>4,0 m</p><p>0,5 m</p><p>3,0 m</p><p>3,0 m</p><p>cabo de aço</p><p>107</p><p>Desenho 4.19 – Parâmetros de projeto</p><p>Fonte: O autor.</p><p>20mm</p><p>2mm</p><p>10mm</p><p>200</p><p>500</p><p>200</p><p>400</p><p>CABO DE AÇO INOX</p><p>AISI 316</p><p>TUBO DE AÇO</p><p>A36</p><p>CONCRETO</p><p>C35</p><p>4 kN</p><p>8 kN</p><p>8 kN</p><p>8 kN</p><p>8 kN</p><p>7 kN 7 kN 8 kN 8 kN 8 kN 8 kN 4 kN</p><p>20 kN/m</p><p>108</p><p>Desenho 4.20 – Modelo no Ftool</p><p>Fonte: O autor.</p><p>O objetivo é o dimensionamento, que consiste na determinação das dimensões das se-</p><p>ções transversais das peças estruturais para que atendam aos critérios de segurança, o</p><p>que foi atingido com um cabo de 30𝑚𝑚 e uma seção tubular de 60𝑚𝑚 de diâmetro</p><p>externo e 6𝑚𝑚 de espessura.</p><p>Conclusão</p><p>Estruturas de vigas especiais são utilizadas em pontes e viadutos, apoiando rampas in-</p><p>clinadas e vencendo grandes vãos.</p><p>REFERÊNCIAS</p><p>MARTHA, Luiz Fernando. Análise de estruturas. Conceitos e métodos básicos. 2010.</p><p>(9788535234558).</p><p>SOUZA, Luiz Antonio de; PEREIRA, Vitor Faustino. Mecânica das Estruturas III, material</p><p>de aulas. Disponível em: <https://bit.ly/3bG5NHB>. Acesso em: 15 jan. 2021.</p><p>109</p><p>5 MÉTODOS DE ENERGIA. ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS.</p><p>Neste bloco serão estudados os critérios para dimensionar partes de estruturas, isto é,</p><p>determinar as dimensões que deverão ser especificadas para projeto a fim de garantir o</p><p>equilíbrio, a estabilidade e a garantia à segurança, com relação à resistência do material</p><p>e às solicitações aplicadas na estrutura.</p><p>Além disto, serão determinados os deslocamentos que as estruturas de vigas sofrerão</p><p>como consequência da aplicação das solicitações, e verificação da validade do modelo</p><p>matemático utilizado para obter estes resultados.</p><p>5.1 Trabalho</p><p>O trabalho está associado aos deslocamentos ocorridos na direção de uma força, ou às</p><p>rotações ocorridas no sentido de um torque.</p><p>No Desenho 5.1 é representado um ponto material que, como visto na seção 1.6, é um</p><p>corpo cujas dimensões podem ser negligenciadas em comparação com as dimensões do</p><p>sistema. A força 𝑓, aplicada ao corpo de massa 𝑚, produz tendência de movimento na</p><p>própria direção, ao tirá-lo do estado de repouso.</p><p>Desenho 5.1 – Força aplicada em um ponto material</p><p>Fonte: O autor.</p><p>110</p><p>O trabalho realizado pela força 𝑓 é o produto dela pelo deslocamento ∆𝑥 sofrido pelo</p><p>corpo na respectiva direção:</p><p>𝒯𝑓 = 𝑓 ⋅ ∆𝑥</p><p>O peso 𝑃 não realiza trabalho na direção indicada na figura, pois não gera tendência de</p><p>movimento naquela direção. A situação muda no plano inclinado representado no De-</p><p>senho 5.2.</p><p>Desenho 5.2 – Diagrama de corpo livre em plano inclinado</p><p>Fonte: O autor.</p><p>A tendência de movimento do corpo é descendente. A força 𝑓 que, neste problema,</p><p>representa o atrito estático, tem direção oposta à tendência de movimento; portanto</p><p>seu trabalho é negativo:</p><p>𝒯𝑓 = −𝑓 ⋅ ∆𝑥</p><p>A força peso 𝑃, por outro lado, tem componente positiva na direção de tendência de</p><p>movimento. Por isso, somente a componente 𝑃𝑡 indicada no Desenho 1.8 realiza traba-</p><p>lho, que é positivo:</p><p>𝒯𝑃 = 𝑃𝑡 ⋅ ∆𝑥 = 𝑃 ⋅ sin</p><p>𝜃 ⋅ ∆𝑥 ⟹ 𝜏𝒯 = 𝑃 ⋅ ∆𝑥 ⋅ cos 𝜃</p><p>Com os resultados obtidos, o trabalho realizado por uma força (𝐹 = �⃗� ) na direção de</p><p>um vetor (ℓ⃗ = ∆𝑥⃗⃗ ⃗⃗ ) pode ser expresso pelo produto escalar:</p><p>𝒯𝐹 = ⟨𝐹 |ℓ⃗ ⟩</p><p>111</p><p>5.1.1 Trabalho interno realizado por forças em estruturas reticuladas</p><p>Em estruturas reticuladas, o conceito é o mesmo. O trabalho está associado à deflexão</p><p>sofrida na direção da força na respectiva seção da barra, e também à rotação corres-</p><p>pondente a um momento fletor.</p><p>O Desenho 5.3 contém a representação da configuração deformada de uma viga sim-</p><p>plesmente apoiada com balanços nas extremidades e submetida ao carregamento indi-</p><p>cado. Devido às forças concentradas {�⃗� ; �⃗� ; �⃗� } e ao carregamento distribuído (𝑝) aplica-</p><p>dos na estrutura, haverá esforços solicitantes internos normais, cortantes e de flexão</p><p>atuantes na barra.</p><p>Desenho 5.3 – Carregamentos, deflexões e rotações</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Com relação à força transversal (�⃗� ), a deflexão (∆2) ocorre no mesmo sentido, e o tra-</p><p>balho é positivo, e depende da maneira como a força é aplicada. Isso é representado</p><p>pela seguinte integral, em que (𝜉) representa as deflexões intermediárias realizadas até</p><p>que se chegue à deflexão total (∆2), como indicado no Gráfico 5.1.</p><p>𝒯𝑃 = ∫ 𝑃(𝜉) ⋅ 𝑑𝜉</p><p>∆2</p><p>0</p><p>Ensaios em laboratório realizados com deformação controlada permitem construir a</p><p>curva de força por alongamento até a ruptura da peça.</p><p>Mas, para operação em serviço, o interesse é somente no trecho do ensaio e em que a</p><p>linearidade entre tensões e deformações é verificada, pois quando a estrutura entrar no</p><p>112</p><p>regime elástico plástico, estará se preparando a ruptura, o que obviamente não pode</p><p>ocorrer. Essa região de interesse está destacada no Gráfico 5.1.</p><p>Gráfico 5.1 – Elasticidade linear para solicitações normais progressivas</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Nessas condições, o cálculo da integral se resume à área de um triângulo.</p><p>𝑈 = 𝒯𝑖𝑛𝑡 =</p><p>1</p><p>2</p><p>⋅ 𝑃 ⋅ ∆</p><p>Com relação à força longitudinal de compressão (�⃗� ), o trabalho realizado corresponde</p><p>ao encurtamento da barra no ponto (𝐷), representado por (∆1); ambos são algebrica-</p><p>mente negativos, logo o trabalho é positivo.</p><p>113</p><p>Gráfico 5.2 – Deslocamentos em barra com força normal constante</p><p>Fonte: O autor.</p><p>No caso em que a força 𝑅(𝜉) é aplicada de uma vez e permanece constante, a evolução</p><p>das forças e tensões com os deslocamentos ou as deformações é apresentada no Gráfico</p><p>5.2, o cálculo da integral se resume à área de um retângulo:</p><p>𝒯𝑅 = ∫ 𝑅(𝜉) ⋅ 𝑑𝜉</p><p>0</p><p>−∆1</p><p>⟹ 𝑈 = 𝒯𝑖𝑛𝑡 = 𝑅 ⋅ ∆1</p><p>5.1.2 Trabalho interno devido à flexão de estruturas reticuladas</p><p>O trabalho interno causado pela flexão na estrutura é igual ao produto do momento</p><p>fletor pela rotação. Matematicamente, corresponde à seguinte integral:</p><p>𝒯𝑀 = ∫ 𝑀(𝜑) ⋅ 𝑑φ</p><p>ϕ</p><p>0</p><p>114</p><p>Gráfico 5.3 – Elasticidade linear para toque</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Quando a flexão é introduzida na estrutura com deformação controlada, a integral se</p><p>resume à área do triângulo destacado no Gráfico 5.3.</p><p>𝑈 = 𝒯𝑖𝑛𝑡 =</p><p>1</p><p>2</p><p>⋅ 𝑀 ⋅ 𝜙</p><p>No caso de viga submetida a flexão constante, a integral se resume a:</p><p>𝑈 = 𝒯𝑖𝑛𝑡 = 𝑀 ⋅ 𝜙</p><p>5.2 Princípio dos trabalhos virtuais</p><p>Trata-se de um artifício matemático que permite determinar forças e deslocamentos em</p><p>estruturas estaticamente indeterminadas. Kassimali (2016) coloca duas formulações</p><p>principais para este princípio: o princípio de deslocamentos virtuais para corpos rígidos</p><p>e o princípio de forças virtuais para corpos deformáveis.</p><p>Martha (2010) apresenta o princípio dos trabalhos virtuais como resultado da igualdade</p><p>entre trabalho externo e a energia de deformação interna presente na estrutura, sendo</p><p>válido apenas se o sistema de forças satisfizer as condições de equilíbrio e a configura-</p><p>ção da linha elástica satisfizer as condições de compatibilidade de deslocamento.</p><p>115</p><p>5.2.1 Método dos esforços para corpos deformáveis</p><p>O princípio das forças virtuais é a versão do método do trabalho virtual no qual se esco-</p><p>lhe um sistema de forças arbitrárias, mas que satisfaçam as condições de equilíbrio. Ao</p><p>impor condições de compatibilidade torna-se possível o cálculo de deslocamento (MAR-</p><p>THA, 2010) em estruturas isostáticas e também em estruturas hiperestáticas. Trata-se</p><p>do método dos esforços, o mais abrangente para determinar flechas em estruturas (KAS-</p><p>SIMALI, 2016).</p><p>Esse método é utilizado quando há interesse em determinar um deslocamento em al-</p><p>gum ponto de uma estrutura por um conjunto de solicitações. O sistema virtual é essen-</p><p>cialmente um conjunto de cargas diferentes aplicadas na mesma estrutura.</p><p>Quando o interesse é de determinar uma deflexão em algum ponto da estrutura coloca-</p><p>se uma força virtual na mesma direção; quando o interesse é determinar uma rotação</p><p>em algum ponto de uma estrutura e coloca-se um momento virtual, com o mesmo sen-</p><p>tido de torque.</p><p>Em ambos os casos, ao calcular as reações de apoio virtuais correspondentes, torna-se</p><p>possível obter o trabalho virtual do sistema. A base matemática para este método é a</p><p>igualdade entre o trabalho virtual externo e o trabalho virtual interno, e que permitirá</p><p>obter o deslocamento desejado.</p><p>5.2.2 Método dos deslocamentos para corpos rígidos</p><p>O princípio dos deslocamentos virtuais é a versão do método do trabalho virtual no qual</p><p>se escolhe uma configuração deformada arbitrária, mas que satisfaz as condições de</p><p>compatibilidade. Ao impor as condições de equilíbrio torna-se possível o cálculo de rea-</p><p>ções de apoio (MARTHA, 2010) em estruturas isostáticas e também em estruturas hipe-</p><p>restáticas.</p><p>Esse método é utilizado quando há interesse em determinar um esforço em algum</p><p>ponto de uma estrutura por um conjunto de solicitações. O sistema virtual é essencial-</p><p>mente uma configuração deformada diferente, mas cinematicamente admissível, apli-</p><p>cadas na mesma estrutura.</p><p>116</p><p>Quando o interesse é calcular alguma força reativa, coloca-se um deslocamento virtual</p><p>nessa direção; quando o interesse é calcular algum momento reativo, coloca-se uma</p><p>rotação arbitrária no mesmo sentido de torque.</p><p>Em ambos os casos, a estrutura toda sofrerá um deslocamento de corpo rígido que con-</p><p>siste em um conjunto de translações e rotações virtuais. A base matemática para este</p><p>método é a nulidade do trabalho virtual executado por forças externas à estrutura.</p><p>5.3 Flechas em treliças pelo método do trabalho virtual</p><p>As treliças são estruturas de barras articuladas submetidas apenas a carregamento nos</p><p>nós, resultando em esforços solicitantes internos normais, sem sofrerem flexão ou cisa-</p><p>lhamento.</p><p>5.3.1 Energia de deformação para barras submetidas a esforços normais</p><p>Na Imagem 5.1 são representadas barras de comprimento (ℓ) submetidas a uma força</p><p>externa longitudinal centrada de intensidade (𝐹). No caso da tração representada na</p><p>Imagem 5.1(b), as forças normais são positivas, e a barra sofre alongamentos, represen-</p><p>tados por valores positivos. No caso da compressão representada na Imagem 5.1(a), as</p><p>forças normais são negativas e a barra sofre encurtamentos representados por valores</p><p>negativos. Em ambos os casos o trabalho será positivo.</p><p>Imagem 5.1 – Esforços em estruturas simples</p><p>(a) Compressão (b) Tração</p><p>117</p><p>O trabalho interno devido às forças normais em uma estrutura com várias barras será a</p><p>soma de cada energia interna de deformação. Para o regime elástico linear, valem a lei</p><p>de Hooke e as relações de compatibilidade apresentadas no Quadro 5.1.</p><p>Quadro 5.1 – Cálculo de deslocamentos para barras com esforços axiais</p><p>Tensão normal Deformação longitudinal Lei de Hooke</p><p>𝜎 =</p><p>𝑁</p><p>𝐴</p><p>𝜀 =</p><p>∆ℓ</p><p>ℓ</p><p>𝜎 = 𝐸 ∙ 𝜀</p><p>Compatibilidade Deslocamento longitudinal</p><p>𝑁</p><p>𝐴</p><p>= 𝐸 ∙</p><p>∆ℓ</p><p>ℓ</p><p>∆ℓ =</p><p>𝑁 ⋅ ℓ</p><p>𝐸 ⋅ 𝐴</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Trata-se da situação apresentada no Gráfico 5.2, válida para cada barra, mas com esfor-</p><p>ços internos virtuais (𝜕𝑁𝑘)</p><p>em cada barra de comprimento ℓ𝑘. Considerando o desloca-</p><p>mento longitudinal do Quadro 5.1, obtém-se o trabalho virtual interno ou a energia in-</p><p>terna de deformação da estrutura:</p><p>𝜕𝒯𝑖𝑛𝑡 =∑𝜕𝑁𝑘 ⋅ ∆ℓ𝑘 ⟹ 𝑈 = 𝜕𝒯𝑖𝑛𝑡 =∑𝜕𝑁𝑘 ⋅ ൬</p><p>𝑁𝑘 ⋅ ℓ𝑘</p><p>𝐸 ⋅ 𝐴𝑘</p><p>൰</p><p>5.3.2 Trabalho virtual externo em treliças isostáticas</p><p>Na Imagem 5.2 é apresentada uma treliça de madeira na qual há interesse em determi-</p><p>nar a flecha no ponto indicado. Para isto, foi colocado o esforço concentrado:</p><p>𝜕𝑃 = 1</p><p>118</p><p>Imagem 5.2 – Treliça plana de madeira com esforço virtual aplicado</p><p>Essa treliça isostática foi lançada no programa Ftool, produzindo os resultados apresen-</p><p>tados no Desenho 5.4 e no Quadro 5.2.</p><p>Desenho 5.4 –Esforços virtuais em treliça isostática</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Costuma-se colocar um esforço adimensional de intensidade 1. Assim, o trabalho será o</p><p>deslocamento. No Ftool, aparecem sempre as dimensões físicas, o que não representa</p><p>problema algum. Bastará, no final, dividir o trabalho realizado por 1 𝑘𝑁.</p><p>� � = 1</p><p>119</p><p>Quadro 5.2 – Resultados do processamento</p><p>Reações Maior tração Maior compressão</p><p>RESULTADOS MATEMÁTICOS</p><p>0,5 1 −0,8</p><p>INTERPRETAÇÃO FÍSICA</p><p>0,5 ⋅ 𝜕𝑃 𝜕𝑃 −0,8 ⋅ 𝜕𝑃</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Foram obtidas as reações de apoio, e as forças normais de cada barra, conforme Quadro</p><p>5.2, que justifica a adoção do esforço adimensional. Se fosse mantido o esforço com</p><p>representação algébrica 𝜕𝑃, todas as reações estariam simplesmente amplificadas por</p><p>este fator.</p><p>Sendo Δ o deslocamento associado à força 𝜕𝑃, o trabalho virtual externo provocado</p><p>pela carga virtual unitária e com relação a flecha real é igual a:</p><p>𝜕𝒯𝑒𝑥𝑡 = 1 ⋅ ∆</p><p>A igualdade entre o trabalho virtual interno e o trabalho virtual externo resolve o pro-</p><p>blema e permite encontrar o deslocamento desejado:</p><p>1 ⋅ ∆ = 𝜕𝒯𝑒𝑥𝑡 = 𝜕𝒯𝑖𝑛𝑡 =∑</p><p>𝜕𝑁𝑘 ⋅ 𝑁𝑘 ⋅ ℓ𝑘</p><p>𝐸 ⋅ 𝐴𝑘</p><p>⟹ ∆ =∑</p><p>𝜕𝑁𝑘 ⋅ 𝑁𝑘 ⋅ ℓ𝑘</p><p>𝐸 ⋅ 𝐴𝑘</p><p>5.4 Flechas em vigas pelo método do trabalho virtual</p><p>Na viga duplamente apoiada com carregamento distribuído apresentado no Desenho</p><p>3.12, deseja-se determinar a deflexão da viga no ponto (𝑅), que é o ponto de máximo</p><p>momento fletor.</p><p>120</p><p>5.4.1 Energia de deformação para barras submetidas a flexão</p><p>O trabalho virtual interno realizado devido à flexão da barra pode ser determinado a</p><p>partir da integral apresentada no item 5.1.2, considerando os esforços matematica-</p><p>mente virtuais (𝜕𝑀) e a rotação fisicamente real (𝜙).</p><p>𝜕𝒯𝑀 = ∫ 𝜕𝑀(𝜑) ⋅ 𝑑φ</p><p>ϕ</p><p>0</p><p>No Desenho 5.3, a função 𝑀: [0; 𝜙] ⟶ ℝ dos momentos fletores está apresentada com</p><p>variável nas rotações (𝜑) que ocorrem localmente no trecho mostrado na viga. Para os</p><p>trabalhos virtuais, deseja-se a função 𝜕𝑀: [0; ℓ] ⟶ ℝ com variável (𝑥) sendo a posição</p><p>da seção transversal na barra.</p><p>Pela equação da linha elástica, existe uma relação entre o momento e 𝑀(𝑥) e a deflexão</p><p>𝑣(𝑥) nas seções da barra. Trata-se da equação diferencial da linha elástica, que foi es-</p><p>tudada na seção 3.5.</p><p>𝜕2𝑣(𝑥)</p><p>𝜕𝑥2</p><p>=</p><p>𝑀(𝑥)</p><p>𝐸 ∙ 𝐼</p><p>Como a rotação é a derivada da deflexão, é possível obter a relação entre ela e o mo-</p><p>mento fletor.</p><p>𝜑(𝑥) =</p><p>∂𝑣(𝑥)</p><p>𝜕𝑥</p><p>⟹</p><p>∂𝜑(𝑥)</p><p>𝜕𝑥</p><p>=</p><p>𝑀(𝑥)</p><p>𝐸 ∙ 𝐼</p><p>Isso permitirá efetuar a mudança de variável na integral do trabalho interno para obter</p><p>a energia de deformação devida à flexão:</p><p>𝜕𝒯𝑖𝑛𝑡 = ∫ 𝜕𝑀(𝜑) ⋅ 𝑑φ</p><p>ϕ</p><p>0</p><p>⟹ 𝑈 = 𝜕𝒯𝑖𝑛𝑡 = ∫ 𝜕𝑀(𝑥) ⋅</p><p>𝑀(𝑥)</p><p>𝐸 ∙ 𝐼</p><p>⋅ 𝑑𝑥</p><p>ϕ</p><p>0</p><p>121</p><p>5.4.2 Trabalho virtual externo para vigas flexionadas</p><p>Sobre a mesma estrutura, foi colocado um esforço virtual concentrado exatamente</p><p>nesta seção, como mostrado no Desenho 5.5, obtidas as funções para as cortantes</p><p>𝜕𝑉: [0; ℓ] ⟶ ℝ e os momentos 𝜕𝑀: [0; ℓ] ⟶ ℝ virtuais.</p><p>Desenho 5.5 – Esforços virtuais em viga duplamente apoiada</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Sendo Δ o deslocamento associado à força 𝜕𝑃, o trabalho virtual externo provocado</p><p>pela carga virtual unitária e com relação à flecha real é facilmente determinado:</p><p>𝜕𝑃 = 1 ⟹ 𝜕𝒯𝑒𝑥𝑡 = 1 ⋅ ∆</p><p>122</p><p>A igualdade entre o trabalho virtual interno e o trabalho virtual externo resolve o pro-</p><p>blema e permite encontrar o deslocamento procurado:</p><p>1 ⋅ ∆ = 𝜕𝒯𝑒𝑥𝑡 = 𝜕𝒯𝑖𝑛𝑡 = ∫</p><p>𝜕𝑀(𝑥) ⋅ 𝑀(𝑥)</p><p>𝐸𝐼</p><p>⋅ 𝑑𝑥</p><p>ℓ</p><p>0</p><p>⟹ ∆ = ∫</p><p>𝜕𝑀(𝑥) ⋅ 𝑀(𝑥)</p><p>𝐸𝐼</p><p>⋅ 𝑑𝑥</p><p>ℓ</p><p>0</p><p>5.5 Flechas em pórticos pelo método do trabalho virtual</p><p>Trata-se da mesma estratégia utilizada para a resolução de vigas. Cabe lembrar que o</p><p>pórtico simples é uma estrutura formada por três barras que sofrerão deflexões e rota-</p><p>ções em função do carregamento colocado.</p><p>As diferenças ocorrem porque nestas estruturas as barras poderão estar submetidas si-</p><p>multaneamente aos esforços normais e esforços transversais. Como exemplo, o pórtico</p><p>do Desenho 3.21, reproduzido abaixo:</p><p>Desenho 5.6 – Carregamentos reais no pórtico plano isostático do Desenho 3.21</p><p>Fonte: O autor.</p><p>123</p><p>Desenho 5.7 – Deslocamentos no pórtico plano isostático do Desenho 5.6</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Após lançamento no programa Ftool, foram obtidas as curvas elásticas apresentadas no</p><p>Desenho 5.7, além dos diagramas forças normais (Desenho 5.8) e de momentos fletores</p><p>(Desenho 5.9).</p><p>Desenho 5.8 – Esforços normais reais no pórtico plano isostático do Desenho 5.6</p><p>Fonte: O autor.</p><p>124</p><p>Desenho 5.9 – Momentos fletores reais no pórtico plano isostático do Desenho 5.6</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Neste caso o princípio da superposição poderá ser aplicado para somar os efeitos das</p><p>forças normais com os da flexão:</p><p>𝜕𝒯𝑖𝑛𝑡 =∑</p><p>𝜕𝑁𝑘 ⋅ 𝑁𝑘 ⋅ ℓ𝑘</p><p>𝐸 ⋅ 𝐴𝑘</p><p>+∫</p><p>𝜕𝑀(𝑥) ⋅ 𝑀(𝑥)</p><p>𝐸𝐼</p><p>⋅ 𝑑𝑥</p><p>ℓ</p><p>0</p><p>Se o objetivo for encontrar a rotação em algum ponto da estrutura, basta colocar na</p><p>mesma estrutura um momento virtual unitário atuando neste ponto:</p><p>𝜕𝑀 = 1</p><p>125</p><p>Desenho 5.10 – Carregamentos virtuais no pórtico plano isostático do Desenho 5.6</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Desenho 5.11 – Deslocamentos virtuais no pórtico plano isostático do Desenho 5.10</p><p>Fonte: O autor.</p><p>O carregamento e as deflexões estão representados no Desenho 5.11. Os esforços nor-</p><p>mais são apresentados no Desenho 5.12 e os fletores no Desenho 5.13. Cabe observar</p><p>que a estrutura é bem simples, sendo possível resolver manualmente, sem usar sof-</p><p>tware de cálculo.</p><p>126</p><p>Desenho 5.12 – Esforços normais virtuais em pórtico plano isostático</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Desenho 5.13 – Momentos fletores virtuais em pórtico plano isostático</p><p>Fonte: O autor.</p><p>O trabalho virtual externo provocado pelo momento concentrado aplicado no nó (4) é</p><p>igual a:</p><p>𝜕𝒯𝑒𝑥𝑡 = 1 ⋅ 𝜃</p><p>127</p><p>A igualdade 𝜕𝒯𝑒𝑥𝑡 = 𝜕𝒯𝑖𝑛𝑡 permite encontrar a rotação 𝜃 procurada:</p><p>1 ⋅ 𝜃 = 𝜕𝒯𝑒𝑥𝑡 = 𝜕𝒯𝑖𝑛𝑡 =∑</p><p>𝜕𝑁𝑘 ⋅ 𝑁𝑘 ⋅ ℓ𝑘</p><p>𝐸 ⋅ 𝐴𝑘</p><p>+∫</p><p>𝜕𝑀(𝑥) ⋅ 𝑀(𝑥)</p><p>𝐸𝐼</p><p>⋅ 𝑑𝑥</p><p>ℓ</p><p>0</p><p>5.6 Conservação de Energia</p><p>Trata-se de estabelecer as energias de deformações elásticas conforme o tipo de solici-</p><p>tação. A aplicação do teorema da conservação da energia permitirá determinar defle-</p><p>xões em estruturas, desde que se mantenha a condição de elasticidade linear.</p><p>É importante que o carregamento das estruturas seja efetuado de maneira progressiva,</p><p>como ocorre nos ensaios destrutivos feitos em laboratório para determinar não so-</p><p>mente a resistência de uma peça estrutural, mas também a suas propriedades mecâni-</p><p>cas, principalmente no regime de elasticidade linear.</p><p>Neste processo, a barra deformada em virtude da aplicação dos esforços externos ar-</p><p>mazena interiormente em seu volume uma energia de deformação (𝑈), que é igual ao</p><p>trabalho (𝒯𝑒𝑥𝑡) realizado neste processo de carregamento progressivo com deformação</p><p>controlada.</p><p>Trata-se de estabelecer a conservação da energia. Uma vez que uma força (𝐹) é aplicada</p><p>na estrutura com deformações controladas, a energia cinética poderá ser desprezada.</p><p>(Uma estrutura cuja energia cinética seja de grande monta estará obviamente em co-</p><p>lapso).</p><p>Ao deformar a estrutura, é realizado trabalho externo correspondente às defle-</p><p>xões (𝑠) que ocorrem na estrutura. Com relação aos momentos (𝑀) aplicados, são ge-</p><p>radas rotações (𝜃).</p><p>Assim, o trabalho externo é transformado em energia de deformação ou trabalho in-</p><p>terno, que é absorvida pela estrutura. A hipótese de que a estrutura trabalha no regime</p><p>elástico linear não é um problema, pois o desejo é fugir do escoamento, situação que</p><p>antecede a ruptura e que, naturalmente, precisa ser evitada. Isso corresponde à se-</p><p>guinte equação: 𝒯𝑒𝑥𝑡 = 𝒯𝑖𝑛𝑡 = 𝑈.</p><p>Essa equação permitirá encontrar deslocamentos em estruturas simples.</p><p>128</p><p>5.6.1 Energia de deformação em treliças</p><p>Considerando a treliça da Imagem 5.2, sujeita a uma carga concentrada como indicado,</p><p>usando, em substituição ao esforço virtual (𝜕𝑃), o esforço real (𝑃), aplicado gradativa-</p><p>mente, em regime elástico linear, o trabalho externo realizado por (𝑃) durante a defle-</p><p>xão (∆) é:</p><p>𝒯𝑒𝑥𝑡 =</p><p>1</p><p>2</p><p>∙ 𝑃 ∙ Δ</p><p>Devido a aplicação da força (𝑃) no ponto indicado na treliça, cada barra de compri-</p><p>mento (ℓ𝑘), seção transversal (𝐴𝑘) sofrerá esforços internos (𝑁𝑘), que serão responsá-</p><p>veis pela realização de trabalho interno ou armazenamento de energia de deformação,</p><p>que será proporcional ao deslocamento (Δℓ) sofrido pela barra. Nestas condições, vale</p><p>a lei de Hooke e o deslocamento longitudinal do Quadro 5.1.</p><p>Considerando as relações obtidas na seção 5.3.1, obtém-se:</p><p>𝑈𝑘 =</p><p>1</p><p>2</p><p>∙ 𝑁𝑘 ∙ ∆ℓ𝑘 ⟹ 𝑈𝑘 =</p><p>1</p><p>2</p><p>∙ 𝑁𝑘 ∙ ൬</p><p>𝑁 ⋅ ℓ</p><p>𝐸 ⋅ 𝐴</p><p>൰</p><p>Efetuando a soma das energias internas de deformação de cada barra da treliça, obtém-</p><p>se a energia interna de deformação na estrutura:</p><p>𝑈 =</p><p>1</p><p>2</p><p>⋅∑</p><p>(𝑁𝑘)</p><p>2 ⋅ ℓ𝑘</p><p>𝐸 ⋅ 𝐴𝑘</p><p>5.6.2 Energia de deformação em vigas</p><p>Considerando a viga do Desenho 5.3, sujeita a um carregamento real, e as relações ob-</p><p>tidas na seção 5.4.1, obtém-se a seguinte relação diferencial:</p><p>𝑑𝑈 =</p><p>1</p><p>2</p><p>⋅ 𝑀(𝜑) ⋅ 𝑑𝜑 ⟹ 𝑑𝑈 =</p><p>1</p><p>2</p><p>⋅ 𝑀(𝑥) ⋅ (</p><p>𝑀(𝑥)</p><p>𝐸 ∙ 𝐼</p><p>) ⋅ 𝑑𝑥</p><p>129</p><p>Com a mesma mudança de variáveis, o trabalho interno causado pela flexão na estrutura</p><p>é determinado pela integral:</p><p>𝑈 =</p><p>1</p><p>2</p><p>⋅ ∫</p><p>[𝑀(𝑥)]2</p><p>𝐸 ⋅ 𝐼</p><p>⋅ 𝑑𝑥</p><p>ℓ</p><p>0</p><p>Sendo a função a ser integrada uma função não negativa para cada 𝑥 ∈ [0; ℓ], então a</p><p>integral será sempre positiva, pois a única maneira de anulá-la seria caso a função</p><p>[𝑀(𝑥)]2 fosse nula em todo ponto da barra. Essa situação só aconteceria caso não hou-</p><p>vesse carregamento.</p><p>5.6.3 Energia de deformação em pórticos</p><p>Os pórticos são estruturas reticuladas submetidas simultaneamente a esforços normais</p><p>e esforços transversais. Resulta em:</p><p>𝑈 =∑</p><p>(𝑁𝑘)</p><p>2 ⋅ ℓ𝑘</p><p>2 ⋅ 𝐸 ⋅ 𝐴𝑘</p><p>+∑∫</p><p>[𝑀(𝑥)]2</p><p>2 ⋅ 𝐸 ⋅ 𝐼𝑘</p><p>⋅ 𝑑𝑥</p><p>ℓ𝑘</p><p>0</p><p>5.7 Teorema de Castigliano para determinação de deformação</p><p>Trata-se de outra metodologia para determinar deslocamentos em estruturas, só é vá-</p><p>lida no regime de elasticidade linear (KASSIMALI, 2016).</p><p>É muito semelhante ao conceito de energia potencial em sistemas conservativos usual-</p><p>mente aplicado para resolver problemas de cinemática do ponto material, como no pro-</p><p>blema do plano inclinado do Desenho 1.8, mas sem atrito.</p><p>130</p><p>Desenho 5.14 – Movimento no plano inclinado</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Na ausência de atrito, o corpo de massa (𝑚) e peso (𝑃) do Desenho 5.14 não poderá</p><p>ficar em equilíbrio. Sendo liberado na rampa a uma distância (ℓ), o corpo estará a uma</p><p>altura de (ℓ ⋅ sin 𝜃). Saindo do repouso, descerá a rampa e atingirá o solo com uma</p><p>velocidade a ser determinada, pela conservação de energia.</p><p>Quadro 5.3 – Análise de movimento de sistema conservativo</p><p>Energia cinética Energia potencial Energia mecânica</p><p>Inicial — 𝑈 = 𝑃 ⋅ 𝑥 ⋅ sin 𝜃 0 + 𝑃 ⋅ 𝑥 ⋅ sin 𝜃</p><p>Final</p><p>𝑇 =</p><p>1</p><p>2</p><p>⋅ 𝑚 ⋅ 𝑣2</p><p>— 1</p><p>2</p><p>⋅ 𝑚 ⋅ 𝑣2 + 0</p><p>Fonte: O autor.</p><p>A vantagem dos métodos de energia é dispensar a necessidade de construir diagramas</p><p>de corpos livres e escrever equações de equilíbrio. Ao lidar com grandezas escalares ao</p><p>invés de vetoriais, a abordagem energética possui claras vantagens, mas também algu-</p><p>mas limitações.</p><p>A principal limitação é a restrição de aplicação do método para problemas em que há</p><p>conservação de energia, situação presente no Desenho 5.14, mas não no Desenho 1.8.</p><p>A invariância da energia mecânica durante todo o movimento permite obter o clássico</p><p>resultado da cinemática e encontrar a velocidade em função da posição:</p><p>1</p><p>2</p><p>⋅ 𝑚 ⋅ 𝑣2 = 𝑚 ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑥 ⋅ sin 𝜃 ⟹ 𝑣(𝑥) = √2 ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑥 ⋅ sin 𝜃</p><p>131</p><p>O grande detalhe é que o resultado não depende da massa do objeto. Se for feito de</p><p>chumbo ou de isopor, com as mesmas dimensões, na ausência de atrito a velocidade de</p><p>chegada é a mesma.</p><p>Neste problema, a energia potencial do Quadro 5.3 é uma função linear em relação à</p><p>variável de força. Ao derivar, obtém-se a deflexão vertical.</p><p>𝜕𝑈</p><p>𝜕𝑃</p><p>= 𝑥 ⋅ sin 𝜃 ⟹</p><p>𝜕𝑈</p><p>𝜕𝑃</p><p>= ∆</p><p>O teorema de Castigliano estabelece que as derivadas parciais da função energia de de-</p><p>formação 𝑈 ቀ𝑃𝑖(∆𝑖);𝑀𝑗(𝜙𝑗)ቁ com relação às forças (𝑃𝑖) permitem encontrar as defle-</p><p>xões (∆𝑖) nos pontos de aplicação da respectiva força. As derivadas parciais da energia</p><p>de deformação com relação aos momentos (𝑀𝑗) permitem encontrar as rotações (𝜙𝑗)</p><p>nos respectivos pontos de aplicação destes momentos.</p><p>Quadro 5.4 – Teorema de Alberto Castigliano</p><p>Translações Rotações</p><p>𝜕𝑈</p><p>𝜕𝑃𝑖</p><p>= ∆𝑖</p><p>𝜕𝑈</p><p>𝜕�̅�𝑗</p><p>= 𝜙𝑗</p><p>Fonte: O autor.</p><p>5.7.1 Aplicação em treliças</p><p>É obtida a partir da energia de deformação encontrada na seção 5.6.1.</p><p>𝑈 =∑</p><p>(𝑁𝑘)</p><p>2 ⋅ ℓ𝑘</p><p>2 ⋅ 𝐸 ⋅ 𝐴𝑘</p><p>⟹ ∆=</p><p>𝜕</p><p>𝜕𝑃</p><p>(∑</p><p>(𝑁𝑘)</p><p>2 ⋅ ℓ𝑘</p><p>2 ⋅ 𝐸 ⋅ 𝐴𝑘</p><p>)</p><p>Com a utilização da propriedade de derivação de funções compostas, a versão final do</p><p>teorema para aplicação em barras sujeitas as solicitações normais:</p><p>∆=∑൬</p><p>𝜕𝑁𝑘</p><p>𝜕𝑃</p><p>൰ ⋅</p><p>𝑁𝑘 ⋅ ℓ𝑘</p><p>𝐸 ⋅ 𝐴𝑘</p><p>132</p><p>5.7.2 Aplicação em vigas</p><p>É obtida a partir da energia de deformação encontrada na seção 5.6.2.</p><p>𝑈 = ∫</p><p>[𝑀(𝑥)]2</p><p>2 ⋅ 𝐸 ⋅ 𝐼𝑘</p><p>⋅ 𝑑𝑥</p><p>ℓ</p><p>0</p><p>⟹</p><p>∆=</p><p>𝜕</p><p>𝜕𝑃</p><p>∫</p><p>𝑀2</p><p>2 ⋅ 𝐸 ⋅ 𝐼</p><p>⋅ 𝑑𝑥</p><p>ℓ</p><p>0</p><p>𝜙 =</p><p>𝜕</p><p>𝜕�̅�</p><p>∫</p><p>𝑀2</p><p>2 ⋅ 𝐸 ⋅ 𝐼</p><p>⋅ 𝑑𝑥</p><p>ℓ</p><p>0</p><p>Com a utilização da propriedade de derivação de funções compostas, é obtida a versão</p><p>final do teorema para aplicação em barras sujeitas a solicitações transversais.</p><p>Quadro 5.5 – Teorema de Castigliano para vigas</p><p>Determinação de deflexões Determinação de rotações</p><p>∆= ∫ ൬</p><p>𝜕𝑀</p><p>𝜕𝑃</p><p>൰ ⋅</p><p>𝑀</p><p>𝐸 ⋅ 𝐼</p><p>⋅ 𝑑𝑥</p><p>ℓ</p><p>0</p><p>𝜙 = ∫ ൬</p><p>𝜕𝑀</p><p>𝜕�̅�</p><p>൰ ⋅</p><p>𝑀</p><p>𝐸 ⋅ 𝐼</p><p>⋅ 𝑑𝑥</p><p>ℓ</p><p>0</p><p>Fonte: O autor.</p><p>5.7.3 Aplicação em pórticos</p><p>Efetua-se a superposição dos efeitos, que é a soma da energia potencial de deformação</p><p>elástica e depois aplicar a derivada.</p><p>∆=∑൬</p><p>𝜕𝑁𝑘</p><p>𝜕𝑃</p><p>൰ ⋅</p><p>𝑁𝑘 ⋅ ℓ𝑘</p><p>𝐸 ⋅ 𝐴𝑘</p><p>+∑∫ ൬</p><p>𝜕𝑀</p><p>𝜕𝑃</p><p>൰ ⋅</p><p>𝑀</p><p>𝐸 ⋅ 𝐼</p><p>⋅ 𝑑𝑥</p><p>ℓ</p><p>0</p><p>𝜙 =∑൬</p><p>𝜕𝑁𝑘</p><p>𝜕�̅�</p><p>൰ ⋅</p><p>𝑁𝑘 ⋅ ℓ𝑘</p><p>𝐸 ⋅ 𝐴𝑘</p><p>+∑∫ ൬</p><p>𝜕𝑀</p><p>𝜕�̅�</p><p>൰ ⋅</p><p>𝑀</p><p>𝐸 ⋅ 𝐼</p><p>⋅ 𝑑𝑥</p><p>ℓ</p><p>0</p><p>5.8 Introdução às estruturas estaticamente indeterminadas</p><p>Trata-se de estruturas que possuem mais vínculos do que equações de equilíbrio, as</p><p>quais são insuficientes para determinar todas as respectivas reações de apoio. Condi-</p><p>ções de compatibilidade precisam ser estabelecidas para resolver estas indetermina-</p><p>ções.</p><p>133</p><p>Primeiramente com relação aos deslocamentos em rotações que a estrutura deve res-</p><p>peitar conforme a sua continuidade. Outras condições estão relacionadas com as carac-</p><p>terísticas geométricas da secção transversal, especialmente área e momento de inércia,</p><p>além dos parâmetros de rigidez do material como o módulo de elasticidade e o coefici-</p><p>ente de Poisson.</p><p>5.8.1 Vantagens das estruturas hiperestáticas</p><p>As estruturas hiperestáticas são maioria nas construções. Como exemplos, os edifícios,</p><p>os viadutos e a maioria dos tipos de pontes. Na seção 4.3 foi apresentado um exemplo</p><p>de ponte isostática projetada para funcionar como uma viga Gerber.</p><p>Uma das claras vantagens das estruturas hiperestáticas é que elas, por possuírem vín-</p><p>culos em excesso, terão a capacidade de redistribuir os esforços</p><p>internos caso um destes</p><p>vínculos entre em colapso parcial ou total.</p><p>Isso é válido especialmente em estruturas de aço, porque este material estrutural possui</p><p>as mesmas propriedades de natação em relação à compressão. Isso significa que os grá-</p><p>ficos de tensão por deformação são simétricos em relação à origem, considerando a</p><p>representação do Gráfico 5.2 para esforços perenes e do Gráfico 5.1 para carregamento</p><p>progressivo.</p><p>Mas para as estruturas de concreto armado isso não é verdade, porque o concreto não</p><p>resiste a atração em solicitações normais. Uma viga que tenha um apoio plastificado</p><p>terá mudanças na distribuição dos esforços internos solicitantes de modo que uma re-</p><p>gião que antes estivesse comprimida passará ao estado de tração, levando ao colapso</p><p>da estrutura, não por perda de equilíbrio, mas por ruptura do concreto à tração na re-</p><p>gião sem armadura passiva para esse fim.</p><p>Outra vantagem de colocar mais vínculos do que os necessários do ponto de vista está-</p><p>tico, para garantir o equilíbrio da estrutura, é obter uma estrutura mais rígida e que</p><p>estará sujeita a menores tensões e menos deformações.</p><p>134</p><p>Para a viga simplesmente apoiada do Quadro 1.2(a), com carregamento distribuído uni-</p><p>forme como representada no Desenho 1.1, a flecha na seção central foi obtida na disci-</p><p>plina de resistência dos materiais e vale:</p><p>𝑓0 =</p><p>5</p><p>384</p><p>∙</p><p>𝑝 ∙ ℓ4</p><p>𝐸 ∙ 𝐼</p><p>⟹ 𝑓0 =</p><p>1</p><p>76,8</p><p>∙</p><p>𝑝 ∙ ℓ4</p><p>𝐸 ∙ 𝐼</p><p>Ao substituir o apoio fixo por um engastamento, é introduzido um vínculo rotacional,</p><p>obtém-se a viga do Quadro 1.2(c). A flecha nessa viga, quando submetida a carrega-</p><p>mento distribuído uniforme conforme o Desenho 1.3, é obtida conforme o método dos</p><p>esforços e a integração da linha elástica. O resultado pode ser obtido no site da Proalpha</p><p>Engenharia3 (2016):</p><p>𝑓1 =</p><p>1</p><p>185</p><p>∙</p><p>𝑝 ∙ ℓ4</p><p>𝐸 ∙ 𝐼</p><p>⟹</p><p>𝑓1</p><p>𝑓0</p><p>≤ 0,415</p><p>Ao substituir o apoio móvel por outro engastamento, são introduzidos um vínculo rota-</p><p>cional e outro de translação horizontal, resultando na viga do Quadro 1.2(d). A flecha</p><p>nessa viga, quando submetida ao carregamento distribuído uniforme conforme o Dese-</p><p>nho 1.4 possui flecha de</p><p>𝑓3 =</p><p>1</p><p>384</p><p>∙</p><p>𝑝 ∙ ℓ4</p><p>𝐸 ∙ 𝐼</p><p>⟹</p><p>𝑓3</p><p>𝑓0</p><p>= 5</p><p>Claramente, comparando as fórmulas obtidas para os deslocamentos máximos nas vi-</p><p>gas, na medida em que o grau de indeterminação da estrutura aumenta, a flecha diminui</p><p>significativamente.</p><p>3 “ Tabela de flechas e deflexões angulares para algumas vigas isostáticas.” In: Proalpha Engenharia e</p><p>Consultoria. Disponível em: <https://bit.ly/2Na4Gpp>. Acesso em: 15 jan. 2021.</p><p>135</p><p>5.8.2 Análise de estruturas indeterminadas</p><p>Segundo Kassimali (2016), a análise completa de qualquer estrutura requer que sejam</p><p>estabelecidas as equações de equilíbrio, as condições de compatibilidade relativas à</p><p>continuidade da estrutura e a verificação das condições de elasticidade.</p><p>A sequência de análise usualmente utilizada é a do Quadro 5.6.</p><p>Quadro 5.6 – Sequência para análise de estruturas hiperestáticas</p><p>Análise Tipo de relações</p><p>1 Equilíbrio Parcial interno Global externo</p><p>2 Elasticidade Força e deformação Torque e rotação</p><p>3 Compatibilidade Continuidade da estrutura Deflexões e rotações</p><p>Fonte: O autor.</p><p>5.9 Métodos dos esforços</p><p>O método das deformações compatíveis (KASSIMALI; 2016) ou das forças consiste em</p><p>remover vínculos da estrutura original até obter uma estrutura isostática auxiliar, cha-</p><p>mada de sistema principal (MARTHA; 2010). As reações de apoio correspondentes aos</p><p>vínculos removidos são esforços externos a serem determinados conforme a compati-</p><p>bilização de deslocamentos e rotações absolutas.</p><p>Outra estratégia para obter o sistema principal é a introdução de rótulas internas na</p><p>estrutura original, quebrando a continuidade das barras. Esforços internos surgem neste</p><p>ponto, que são os momentos fletores que correspondem a continuidade antes exis-</p><p>tente. Eles são determinados conforme a compatibilização com os deslocamentos e ro-</p><p>tações relativas nestes pontos.</p><p>Ambas as estratégias podem ser utilizadas em conjunto para obter um sistema principal</p><p>isostático que seja mais fácil de resolver. Fica evidente que são várias as opções de es-</p><p>truturas auxiliares que podem ser obtidas a partir de estruturas estaticamente indeter-</p><p>minadas, mas não há padrão para determinar qual é a melhor escolha em estruturas</p><p>gerais.</p><p>136</p><p>A quantidade total de vínculos removidos com este critério é igual ao grau de indeter-</p><p>minação da estrutura, e será igual à quantidade de esforços hiperestáticos internos e</p><p>externos acrescentados ao sistema principal.</p><p>5.9.1 Viga com um único grau de indeterminação estática</p><p>No Desenho 5.15 é apresentada uma viga com um apoio fixo em (𝐴) e dois apoios mó-</p><p>veis, em (𝐵) e (𝐶). Do ponto de vista do equilíbrio estático, um dos apoios móveis ex-</p><p>cede o necessário para garantir a estabilidade da viga.</p><p>Desenho 5.15 – Diagrama de corpo livre de viga estaticamente indeterminada</p><p>Fonte: Fred the Oyster. “Statically Indeterminate Beam’. In: Wikimedia Commons. Disponível em:</p><p><http://bit.ly/3snWt0Z>. Acesso em: 15 jan. 2021.</p><p>Trata-se de remover o vínculo extra e substituí-lo pelo esforço correspondente ao mo-</p><p>vimento que ele suprime, obtendo uma estrutura isostática com um esforço a ser de-</p><p>terminado.</p><p>Para a estrutura do Desenho 5.15, a remoção de vínculos produz os resultados apresen-</p><p>tados no Quadro 5.7.</p><p>137</p><p>Quadro 5.7 – Vigas isostáticas associadas à estrutura do Desenho 5.15</p><p>(a)</p><p>(b)</p><p>Fonte: Fred the Oyster. “Statically Indeterminate Beam’. In: Wikimedia Commons. Disponível em:</p><p><http://bit.ly/3snWt0Z>. Acesso em: 15 jan. 2021.</p><p>No caso (a), as reações de apoio serão obtidas em função do esforço (𝑋):</p><p>𝑉𝐴 =</p><p>𝐹 ⋅ (𝑏 + 𝑐) − 𝑋 ⋅ 𝑐</p><p>𝑎 + 𝑏 + 𝑐</p><p>𝑉𝐶 =</p><p>𝐹 ⋅ 𝑎 − 𝑋 ⋅ (𝑎 + 𝑏)</p><p>𝑎 + 𝑏 + 𝑐</p><p>No caso (b), as reações de apoio serão obtidas em função do esforço (𝑌):</p><p>𝑉𝐴 =</p><p>𝐹 ⋅ 𝑏 − 𝑌 ⋅ 𝑐</p><p>𝑎 + 𝑏</p><p>𝑉𝐵 =</p><p>𝐹 ⋅ 𝑎 − 𝑌 ⋅ (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)</p><p>𝑎 + 𝑏</p><p>138</p><p>5.9.2 Pórtico com um único grau de indeterminação estática</p><p>No Desenho 5.16 é apresentado um pórtico com um engaste em (𝐴) e um apoio móvel,</p><p>em (𝐷). Do ponto de vista do equilíbrio estático, um dos vínculos excede o necessário</p><p>para garantir a estabilidade da viga.</p><p>Desenho 5.16 – Pórtico estaticamente indeterminado</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Há duas maneiras de obter o sistema principal por meio de remoção de vínculos. Ao</p><p>eliminar o apoio móvel, o pórtico é transformado em uma estrutura engastada em ba-</p><p>lanço, como mostrado no Desenho 5.18, e o esforço hiperestático (𝑌) a ser determinado</p><p>é a reação (𝑉𝐷).</p><p>Ao eliminar o vínculo de rotação, o engaste se transforma em um apoio fixo, como mos-</p><p>trado no Desenho 5.17, e o esforço hiperestático (𝑋) a ser determinado é o momento</p><p>de engastamento (𝑀𝐴).</p><p>Ambos os sistemas principais estão estaticamente equilibrados e, tendo sido construí-</p><p>dos a partir da mesma estrutura, são válidos para aplicar o método dos esforços, e a</p><p>melhor escolha entre eles caberá ao profissional decidir.</p><p>139</p><p>Desenho 5.17 – Pórtico principal com momento indeterminado</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Desenho 5.18 – Pórtico principal com força indeterminada</p><p>Fonte: O autor.</p><p>140</p><p>5.10 Análise de vigas e pórticos pelo método dos esforços</p><p>A resolução da indeterminação é efetuada ao analisar cada carregamento separada-</p><p>mente e aplicar o princípio da superposição para estabelecer a relação de compatibili-</p><p>dade de deslocamentos.</p><p>5.10.1 Análise de viga hiperestática</p><p>Para a viga hiperestática do Desenho 5.15, é necessário fazer uma escolha. A viga do</p><p>Quadro 5.7(a) é simplesmente apoiada com duas cargas concentradas no interior da</p><p>barra. Fica claro o motivo da escolha desta configuração em detrimento da outra.</p><p>Cada carregamento pode ser analisado separadamente, como apresentado no Quadro</p><p>5.8.</p><p>Quadro 5.8 – Vigas isostáticas associadas</p><p>à estrutura do Quadro 5.7(a)</p><p>(a₁)</p><p>(a₂)</p><p>Fonte: Fred the Oyster. “Statically Indeterminate Beam’. In: Wikimedia Commons. Disponível em:</p><p><http://bit.ly/3snWt0Z>. Acesso em: 15 jan. 2021.</p><p>141</p><p>A estrutura (a₁) é estaticamente determinada. O diagrama de esforços solicitantes é o</p><p>do Desenho 3.8, com (𝑥𝑃 = 𝑎) e (ℓ = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐). Com a carga (𝑃 = 𝐹), a função</p><p>𝑀: [0; ℓ] ⟶ ℝ dos momentos fletores tem a seguinte expressão matemática:</p><p>𝑀𝐹(𝑥) = {</p><p>𝐹 ∙</p><p>(𝑏 + 𝑐)</p><p>ℓ</p><p>∙ 𝑥 ; 𝑥 ∈ [0; 𝑎[</p><p>𝐹 ∙ ൬</p><p>𝑏 + 𝑐</p><p>ℓ</p><p>൰ ∙ 𝑥 − 𝐹(𝑥 − 𝑥𝑃) ; 𝑥 ∈ ]𝑎; ℓ]</p><p>A integração da linha elástica foi efetuada na disciplina de Resistência dos Materiais. As</p><p>deflexões na barra são dadas pela função 𝑣: [0; ]1 ⟶ ℝ, construída a partir da variável</p><p>adimensional ቀ𝜉 =</p><p>𝑥</p><p>ℓ</p><p>ቁ.</p><p>Quadro 5.9 – Deflexões em viga apoiada com carregamento concentrado</p><p>Variável Parâmetro Deflexão</p><p>𝑥 ∈ [0;𝑎[ 𝜉 ∈ [0;</p><p>𝑎</p><p>ℓ</p><p>[ 𝑣1(𝜉) =</p><p>𝐹 ∙ ℓ2 ∙ (𝑏+ 𝑐)</p><p>6 ∙ 𝐸 ∙ 𝐼</p><p>∙ [−𝜉3 + ൬</p><p>𝑎</p><p>ℓ</p><p>൰ ∙ (2 − ቀ</p><p>𝑥𝑃</p><p>ℓ</p><p>ቁ) ∙ 𝜉]</p><p>𝑥 ∈ ]𝑎; ℓ] 𝜉 ∈ [</p><p>𝑎</p><p>ℓ</p><p>; 1[ 𝑣2(𝜉) =</p><p>𝐹 ∙ ℓ2 ∙ 𝑎</p><p>6 ∙ 𝐸 ∙ 𝐼</p><p>∙ [𝜉2 − 3 ∙ 𝜉3 + [2 + ൬</p><p>𝑎</p><p>ℓ</p><p>൰</p><p>2</p><p>] ∙ 𝜉 − ൬</p><p>𝑎</p><p>ℓ</p><p>൰</p><p>2</p><p>]</p><p>Fonte: O autor.</p><p>O ponto (𝐵) tem coordenada:</p><p>𝑥 = 𝑎 + 𝑏 ⟹ 𝜉𝐵 =</p><p>𝑎 + 𝑏</p><p>ℓ</p><p>A deflexão no ponto (𝐵) é obtida segundo a função (𝑣2), sendo um valor algebrica-</p><p>mente positivo, e que aponta para baixo.</p><p>∆𝐹= 𝑣2(𝜉𝐵) =</p><p>𝐹 ∙ ℓ2 ∙ 𝑎</p><p>6 ∙ 𝐸 ∙ 𝐼</p><p>∙ [൬</p><p>𝑎 + 𝑏</p><p>ℓ</p><p>൰</p><p>2</p><p>− 3 ∙ ൬</p><p>𝑎 + 𝑏</p><p>ℓ</p><p>൰</p><p>3</p><p>+ [2 + ቀ</p><p>𝑎</p><p>ℓ</p><p>ቁ</p><p>2</p><p>] ∙ ൬</p><p>𝑎 + 𝑏</p><p>ℓ</p><p>൰ − ቀ</p><p>𝑎</p><p>ℓ</p><p>ቁ</p><p>2</p><p>]</p><p>Os mesmos tipos de resultados são válidos para a estrutura (a₂). O detalhe é que mudam</p><p>apenas o ponto de aplicação da força concentrada e o sentido, que é vertical ascen-</p><p>dente. As reações de apoio serão para baixo e a deflexão no ponto (𝐵) será para cima</p><p>e, portanto, algebricamente negativa, como era de se esperar.</p><p>142</p><p>Com (𝑥𝑃 = 𝑎 + 𝑏) e (ℓ = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐). Com a carga (𝑃 = −𝑋), a função 𝑀: [0; ℓ] ⟶ ℝ</p><p>dos momentos fletores tem a seguinte expressão matemática:</p><p>𝑀𝑋(𝑥) = {</p><p>−𝑋 ∙</p><p>𝑐</p><p>ℓ</p><p>∙ 𝑥 ; 𝑥 ∈ [0; 𝑎 + 𝑏[</p><p>−𝑋 ∙</p><p>𝑐</p><p>ℓ</p><p>∙ 𝑥 + 𝑋(𝑥 − 𝑎 − 𝑏) ; 𝑥 ∈ ]𝑎 + 𝑏; ℓ]</p><p>As deflexões na barra são dadas pela função 𝑣: [0; ]1 ⟶ ℝ, construída a partir da vari-</p><p>ável adimensional ቀ𝜉 =</p><p>𝑥</p><p>ℓ</p><p>ቁ.</p><p>Quadro 5.10 – Deflexões em viga apoiada com carregamento concentrado</p><p>Variável Parâmetro Deflexão</p><p>𝑥 ∈ [0;𝑎[ 𝜉 ∈ [0;</p><p>𝑎</p><p>ℓ</p><p>[</p><p>𝑣1(𝜉) =</p><p>−𝑋 ∙ ℓ2 ∙ 𝑐</p><p>6 ∙ 𝐸 ∙ 𝐼</p><p>∙ [−𝜉</p><p>3</p><p>+ (</p><p>𝑎+ 𝑏</p><p>ℓ</p><p>) ∙ (2 − (</p><p>𝑎+ 𝑏</p><p>ℓ</p><p>)) ∙ 𝜉]</p><p>𝑥 ∈ ]𝑎; ℓ] 𝜉 ∈ [</p><p>𝑎</p><p>ℓ</p><p>; 1[ 𝑣2(𝜉) =</p><p>−𝑋 ∙ ℓ2 ∙ (𝑎+ 𝑏)</p><p>6 ∙ 𝐸 ∙ 𝐼</p><p>∙ [𝜉</p><p>2</p><p>− 3 ∙ 𝜉</p><p>3</p><p>+ [2 + (</p><p>𝑎+ 𝑏</p><p>ℓ</p><p>)</p><p>2</p><p>] ∙ 𝜉</p><p>− (</p><p>𝑎+ 𝑏</p><p>ℓ</p><p>)</p><p>2</p><p>]</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Com a coordenada ቀ𝜉𝐵 =</p><p>𝑎+𝑏</p><p>ℓ</p><p>ቁ, o ponto (𝐵) tem deflexão que pode ser obtida segundo</p><p>qualquer uma das funções.</p><p>∆𝑋= 𝑣1(𝜉𝐵) = 𝑣2(𝜉𝐵) = −</p><p>𝑋 ∙ 𝑐2 ∙ (𝑎+ 𝑏)2</p><p>3 ∙ ℓ ∙ 𝐸 ∙ 𝐼</p><p>A condição de compatibilidade é que a soma das deflexões das estruturas seja nula no</p><p>ponto (𝐵).</p><p>0 = ∆𝐹 + ∆𝑋</p><p>Substituindo os resultados, obtêm-se:</p><p>0 = ∆𝐹 −</p><p>𝑋 ∙ 𝑐2 ∙ (𝑎 + 𝑏)2</p><p>3 ∙ ℓ ∙ 𝐸 ∙ 𝐼</p><p>⟹ 𝑋 =</p><p>3 ∙ ℓ ∙ 𝐸 ∙ 𝐼</p><p>𝑐2 ∙ (𝑎 + 𝑏)2</p><p>⋅ ∆𝐹</p><p>143</p><p>𝑋 =</p><p>3 ∙ ℓ ∙ 𝐸 ∙ 𝐼</p><p>𝑐2 ∙ (𝑎 + 𝑏)2</p><p>⋅</p><p>𝐹 ∙ ℓ2 ∙ 𝑎</p><p>6 ∙ 𝐸 ∙ 𝐼</p><p>∙ [൬</p><p>𝑎 + 𝑏</p><p>ℓ</p><p>൰</p><p>2</p><p>− 3 ∙ ൬</p><p>𝑎 + 𝑏</p><p>ℓ</p><p>൰</p><p>3</p><p>+ [2 + ቀ</p><p>𝑎</p><p>ℓ</p><p>ቁ</p><p>2</p><p>] ∙ ൬</p><p>𝑎 + 𝑏</p><p>ℓ</p><p>൰ − ቀ</p><p>𝑎</p><p>ℓ</p><p>ቁ</p><p>2</p><p>]</p><p>Como era de se esperar, a rigidez cancela na expressão final:</p><p>𝑋 =</p><p>ℓ3 ∙ 𝑎</p><p>2 ⋅ 𝑐2 ∙ (𝑎 + 𝑏)2</p><p>∙ [൬</p><p>𝑎 + 𝑏</p><p>ℓ</p><p>൰</p><p>2</p><p>− 3 ∙ ൬</p><p>𝑎 + 𝑏</p><p>ℓ</p><p>൰</p><p>3</p><p>+ [2 + ቀ</p><p>𝑎</p><p>ℓ</p><p>ቁ</p><p>2</p><p>] ∙ ൬</p><p>𝑎 + 𝑏</p><p>ℓ</p><p>൰ − ቀ</p><p>𝑎</p><p>ℓ</p><p>ቁ</p><p>2</p><p>] ⋅ 𝐹</p><p>O coeficiente que multiplica a força (𝐹) é uma coleção de termos adimensionais, o que</p><p>confirma que a solução obtida é correta.</p><p>5.10.2 Análise de pórtico hiperestático.</p><p>Fica clara a escolha pelo pórtico do Desenho 5.17, principalmente pelos resultados já</p><p>obtidos na seção 3.8.1 e as construções de diagramas apresentadas na seção 5.5. O pór-</p><p>tico do Desenho 5.19 é uma pequena variação do pórtico do Desenho 5.6, em que foi</p><p>colocado um engastamento no lugar do apoio fixo. Trata-se, portanto, de uma estrutura</p><p>com grau de indeterminação estática igual a 1.</p><p>Desenho 5.19 – Pórtico engastado</p><p>Fonte: O autor.</p><p>O sistema principal é exatamente o pórtico do Desenho 5.6, e reproduzido no Desenho</p><p>5.20. Trata-se de um pórtico isostático cujas deflexões e rotações podem ser calculadas</p><p>utilizando a integração da linha elástica para as três barras. O uso do software Ftool</p><p>144</p><p>poupa este trabalho e permite obter, pela inspeção dos resultados para os deslocamen-</p><p>tos nodais no ponto (1). Os resultados são apresentados no Quadro 5.11.</p><p>Desenho 5.20 – Sistema principal do pórtico do Desenho 5.19</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Desenho 5.21 – Resultados obtidos para o pórtico do Desenho 5.19</p><p>Fonte: O autor.</p><p>145</p><p>Quadro 5.11 – Resultados da análise do sistema fundamental</p><p>Reações de apoio</p><p>𝑉1 = 13𝑘𝑁 𝐻1 = 5𝑘𝑁 𝑉2 = 11𝑘𝑁</p><p>Deflexões nodais Rotação nodal</p><p>∆𝑥1 = 0 ∆𝑦1 = 0 𝜙1 = 3,968 ⋅ 10</p><p>−2𝑟𝑑</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Para resolver a indeterminação do problema, na mesma estrutura do sistema coloca-se</p><p>somente o esforço hiperestático (𝑋 = 1) de momento fletor no nó (1), e que corres-</p><p>ponde à restrição de rotação nesse nó.</p><p>Desenho 5.22 – Esforço hiperestático no sistema principal</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Desenho 5.23 – Deslocamentos no pórtico devidos ao esforço hiperestático</p><p>Fonte: O autor.</p><p>146</p><p>O Ftool só permite a colocação de esforços numéricos (𝑋 = 1) mas, para resolver o pro-</p><p>blema, é realmente necessário ter a incógnita hiperestática (𝑋). Na verdade, todos os</p><p>valores dos Desenho 5.23 são proporcionais ao esforço (1 ≝ 𝑋). O Quadro 5.12 já con-</p><p>tém esta adaptação</p><p>Quadro 5.12 – Resultados da análise do sistema do Desenho 5.22</p><p>Reações de apoio</p><p>𝑉1 = −0,2 ⋅ 𝑋 𝐻1 = 0 𝑉2 = 0,2 ⋅ 𝑋</p><p>Deflexões nodais Rotação nodal</p><p>∆𝑥1 = 0 ∆𝑦1 = 0 𝜙1 = −1,642 ⋅ 10−2 ⋅ 𝑋</p><p>Fonte: O autor.</p><p>A condição de compatibilidade é que a rotação total no nó (1) é nula. As reações de</p><p>apoio são obtidas efetuando a superposição dos resultados do Quadro 5.11 com o Qua-</p><p>dro 5.12. Os resultados são apresentados na Tabela 5.1.</p><p>Tabela 5.1 – Resultados da análise estrutural</p><p>3,968 ⋅ 10−2 − 1,642 ⋅ 10−2 ⋅ 𝑋 = 0 ⟹ 𝑋 ≈ 2,4165 𝑘𝑁𝑚</p><p>𝑉1 = 13𝑘𝑁 − 0,2 ⋅ 𝑋 ⟹ 𝑉1 ≈ 12,517 𝑘𝑁</p><p>𝑉2 = 11𝑘𝑁 + 0,2 ⋅ 𝑋 ⟹ 𝑉2 ≈ 11,483 𝑘𝑁</p><p>Conclusão</p><p>Em muitos problemas de análise estrutural o interesse é em obter deflexões e rotações</p><p>em pontos específicos de uma estrutura, que são especialmente escolhidos por serem</p><p>os mais críticos para a viabilidade em serviço. Mesmo sem resolver a estrutura, é possí-</p><p>vel identificar seus pontos críticos.</p><p>Os métodos de energia permitem resolver esses tipos de problemas de maneira mais</p><p>rápida, suprimindo a necessidade de construir diagramas de corpos livres em estruturas,</p><p>e obtendo, por meio de equações de conservação e de compatibilidade, os deslocamen-</p><p>tos de interesse.</p><p>147</p><p>Quando uma estrutura recebe um carregamento externo, esforços internos se desen-</p><p>volvem para transmiti-los aos apoios, que responderam com suas respectivas reações.</p><p>O equilíbrio entre o trabalho realizado pelos esforços externos e a energia de deforma-</p><p>ção interna da estrutura devida a esforços normais e de flexão permite encontrar des-</p><p>locamentos e rotações em pontos escolhidos, de especial interesse.</p><p>Estruturas de treliça são submetidas essencialmente às forças normais internas que sur-</p><p>gem em virtude da aplicação dos esforços externos exclusivamente nos nós de suas bar-</p><p>ras, que são articuladas nas extremidades de modo que não absorvem esforços de corte</p><p>e nem de flexão. A energia interna de deformação de uma treliça é a soma das parcelas</p><p>correspondentes a cada uma de suas barras.</p><p>𝑈 =</p><p>1</p><p>2</p><p>⋅∑</p><p>(𝑁𝑘)</p><p>2 ⋅ ℓ𝑘</p><p>𝐸 ⋅ 𝐴𝑘</p><p>Vigas são estruturas de barras submetidas essencialmente à flexão devido a carrega-</p><p>mentos aplicados em sua extensão. A energia interna de deformação de uma viga com</p><p>relação à flexão e depende da integral realizada em toda sua extensão:</p><p>𝑈 =</p><p>1</p><p>2</p><p>⋅ ∫</p><p>[𝑀(𝑥)]2</p><p>𝐸 ⋅ 𝐼</p><p>⋅ 𝑑𝑥</p><p>ℓ</p><p>0</p><p>Estruturas de pórticos são compostas por barras com ligações rígidas. Elas recebem es-</p><p>forços tanto nos nós quanto no corpo das barras, combinando o comportamento de</p><p>treliça e de viga. Estão submetidos a esforços normais e também de flexão. A energia</p><p>interna de deformação reflete este comportamento.</p><p>𝑈 =∑</p><p>(𝑁𝑘)</p><p>2 ⋅ ℓ𝑘</p><p>2 ⋅ 𝐸 ⋅ 𝐴𝑘</p><p>+∑∫</p><p>[𝑀(𝑥)]2</p><p>2 ⋅ 𝐸 ⋅ 𝐼𝑘</p><p>⋅ 𝑑𝑥</p><p>ℓ𝑘</p><p>0</p><p>As estruturas estaticamente indeterminadas são maioria e apresentam óbvias vanta-</p><p>gens em relação às estruturas isostáticas, mas a resolução é muito mais trabalhosa. O</p><p>método dos esforços consiste em separar as solicitações e usar o princípio da superpo-</p><p>sição de efeitos para determinar os esforços hiperestáticos a partir de condições de</p><p>compatibilidade de deslocamentos.</p><p>148</p><p>REFERÊNCIAS</p><p>KASSIMALI, Aslam. Análise estrutural. 5ª. Edição, 2016. (9788522118175).</p><p>MARTHA, Luiz Fernando. Análise de estruturas. Conceitos e métodos básicos. 2010.</p><p>(9788535234558)</p><p>149</p><p>6 ANÁLISE MATRICIAL</p><p>A análise matricial consiste na análise de estruturas por meio de matrizes e vetores.</p><p>Como será visto ao longo deste bloco, a utilização da notação matricial apresenta uma</p><p>série de benefícios. É possível citar que a utilização de matrizes e vetores torna a escrita</p><p>mais compacta, o que facilita a representação matemática dos modelos estruturais e a</p><p>compreensão destes. Além disso, a análise matricial também permite o desenvolvi-</p><p>mento de uma série de procedimentos e rotinas para a realização da análise estrutural,</p><p>facilitando a sua implementação computacional, por exemplo. Esta é uma das razões</p><p>pela qual o Método dos Elementos Finitos (MEF) utiliza diversos conceitos que advém</p><p>da análise matricial.</p><p>Neste bloco será apresentado, inicialmente, o método dos deslocamentos, que corres-</p><p>ponde a uma forma de resolução de problemas hiperestáticos. Além da apresentação</p><p>do método e dos conceitos básicos para a sua aplicação, serão introduzidos e abordados</p><p>os conceitos de rigidez, de deslocamentos e de forças nodais. Estes tópicos servirão de</p><p>base para o desenvolvimento do item sobre métodos analíticos. Nele serão discutidos</p><p>aspectos como a matriz de rigidez de um elemento e como as matrizes de rigidez dos</p><p>diversos elementos podem ser combinadas, visando formar a matriz de rigidez da estru-</p><p>tura. Para isso, serão abordados também aspectos como sistema de coordenada local e</p><p>global e transformação de coordenadas.</p><p>6.1 Método dos deslocamentos</p><p>O método dos deslocamentos é uma forma de resolução de estruturas hiperestáticas.</p><p>De acordo com Martha (2010), as incógnitas do problema hiperestático, quando se faz</p><p>uso do método dos deslocamentos, são os deslocamentos e as rotações nodais. Dessa</p><p>forma, todas as outras incógnitas, a exemplo das reações de apoio e esforços solicitan-</p><p>tes, podem ser escritas e determinadas a partir dos deslocamentos e rotações nodais.</p><p>Assim, o método dos deslocamentos busca, dentre as diversas soluções que satisfazem</p><p>as condições de compatibilidade internas e externas da estrutura, aquela que também</p><p>150</p><p>atende às condições de equilíbrio. Para isso, o método trabalha com diversos casos bá-</p><p>sicos que, individualmente, atendem as condições de compatibilidade, mas não satisfa-</p><p>zem o equilíbrio. O equilíbrio é reestabelecido através da superposição dos casos bási-</p><p>cos.</p><p>Neste ponto, já é possível notar que o método dos esforços e o método dos desloca-</p><p>mentos adotam procedimentos inversos para a resolução das estruturas hiperestáticas.</p><p>No primeiro deles, os casos básicos respeitam o equilíbrio da estrutura original, mas a</p><p>compatibilidade é violada. Por sua vez, ela é reestabelecida através da combinação dos</p><p>casos básicos. Essa é a razão para que os métodos sejam considerados duais. Esta dua-</p><p>lidade ficará ainda mais evidente em diversos aspectos do método dos deslocamentos,</p><p>a exemplo da construção do sistema hipergeométrico e da forma com que os casos bá-</p><p>sicos são moldados.</p><p>Ao longo da introdução ao método, não serão desprezadas as deformações ocasionadas</p><p>por esforço normal nas barras que trabalham à flexão, o que pode ser encontrado na</p><p>literatura como redução de deslocabilidades (MARTHA, 2010). Apesar desta simplifica-</p><p>ção ser válida e não ocasionar erros significativos de acordo com Süssekind (1987), o</p><p>entendimento e aplicação do método dos deslocamentos torna-se menos simples. De</p><p>toda forma, a utilização da redução de deslocabilidades permite redução significativa</p><p>dos cálculos, o que é interessante sobretudo na resolução manual de estruturas hipe-</p><p>restáticas.</p><p>6.2 Noção de indeterminação cinemática e descrição do método</p><p>O método dos deslocamentos adota como base estruturas cinematicamente determi-</p><p>nadas, isto é, que possuam configurações deformadas conhecidas. Como será visto e</p><p>desenvolvido na sequência deste bloco, este é o caso das barras biengastadas, das bar-</p><p>ras que possuem uma rótula em uma de suas extremidades e das barras biarticuladas.</p><p>Portanto, ao longo do método, serão estudadas barras que apresentem uma dessas três</p><p>configurações.</p><p>Neste ponto, é pertinente a introdução da definição de deslocabilidade. De acordo com</p><p>Martha (2010), deslocabilidades são componentes de deslocamentos ou rotações livres.</p><p>151</p><p>Por sua vez, elas precisam ser determinadas para que a configuração deformada da es-</p><p>trutura seja conhecida. Observando a Figura 6.1, é possível perceber que o nó 2 do pór-</p><p>tico possui três deslocabilidades, correspondentes ao deslocamento horizontal, ao des-</p><p>locamento vertical e à rotação. Em função dos engastes presentes nos nós 1 e 3, os des-</p><p>locamentos e as rotações destes nós são conhecidos (são nulos). Portanto, caso as des-</p><p>locabilidades do nó 2 sejam determinadas, os deslocamentos e rotações de todos os nós</p><p>da estrutura serão conhecidos. Consequentemente, a estrutura será cinematicamente</p><p>determinada.</p><p>Figura 6.1 – Pórtico com três deslocabilidades</p><p>Por sua vez, a indeterminação cinemática pode ser entendida como o número de deslo-</p><p>cabilidades que uma estrutura possui. Logo, o pórtico apresentado na Figura 6.1 possui</p><p>indeterminação cinemática igual a três, visto que possui três deslocabilidades.</p><p>Ainda sobre a definição de deslocabilidade e de indeterminação cinemática, será obser-</p><p>vada a viga contínua mostrada na Figura 6.2. Percebe-se que os deslocamentos verticais</p><p>de todos os nós da viga são nulos, em função da presença dos apoios. Contudo, as rota-</p><p>ções não são conhecidas em nenhum dos nós. Isso pode induzir o leitor a pensar que a</p><p>indeterminação cinemática seja igual a quatro e que as deslocabilidades sejam as rota-</p><p>ções da viga em cada um dos nós.</p><p>152</p><p>Contudo, é possível lembrar que as barras que possuem uma articulação em uma das</p><p>extremidades também são cinematicamente determinadas. Logo, não é necessário co-</p><p>nhecer a rotação do nó 1 para que a barra 1-2 seja cinematicamente determinada (desde</p><p>que a rotação do nó 2 seja conhecida). Da mesma forma, não é necessário conhecer a</p><p>rotação do nó 4 para que a barra 3-4 seja cinematicamente determinada (desde que se</p><p>conheça a rotação do nó 3). Ademais, antes mesmo de qualquer análise, já sabemos que</p><p>o momento nos apoios 1 e 4 é nulo em função do apoio articulado, mostrando de uma</p><p>outra forma que não é necessária a consideração da rotação dos nós 1 e 4 como deslo-</p><p>cabilidades. Desta forma, serão consideradas como deslocabilidades apenas a rotação</p><p>do nó 2 e do nó 3, e a indeterminação cinemática dessa estrutura será igual a dois.</p><p>Figura 6.2 – Viga com grau de indeterminação cinemática igual a dois</p><p>Uma vez definida a indeterminação cinemática da estrutura, o sistema hipergeométrico</p><p>(SH) pode ser construído. O SH é uma abstração utilizada no método dos deslocamentos</p><p>no qual são inseridos apoios fictícios ao sistema estrutural original no intuito de remover</p><p>as deslocabilidades. Como exemplo, considere a Figura 6.3, que</p><p>– Laje de concreto armado com capitéis</p><p>1.2.5 Paredes de cisalhamento</p><p>Paredes são estruturas que trabalham essencialmente ao cisalhamento. Na obra da Ima-</p><p>gem 1.4, as cortinas construídas com perfis metálicos cravados e pranchas horizontais</p><p>de madeira funcionam, primeiramente, como lajes verticais, sendo submetidas aos em-</p><p>puxos de terra, que são balanceados com os tirantes.</p><p>Depois que o piso do edifício foi construído, os tirantes, desnecessários, são cortados</p><p>próximo à cabeça. As pranchas de madeira servem, posteriormente, como fôrmas per-</p><p>didas para a concretagem das paredes do edifício. Uma vez prontas, as peças de con-</p><p>creto armado funcionam como paredes, suportando também as cargas das partes da</p><p>estrutura acima delas.</p><p>As mesmas placas da Imagem 1.7(b) podem ser montadas de pé, como na Imagem 1.9,</p><p>entre perfis metálicos previamente cravados. Primeiramente, funcionarão como lajes</p><p>verticais e, posteriormente, como paredes.</p><p>11</p><p>Imagem 1.9 – Cortinas com perfis metálicos e pranchas de concreto armado</p><p>Fonte: Acervo pessoal do autor (2015).</p><p>1.2.6 Estruturas flexionadas</p><p>Vigas são exemplos de estruturas de barras que trabalham essencialmente à flexão. Em</p><p>alguns casos, vigas pré-moldadas são construídas para sofrerem protensão, caso em que</p><p>estarão submetidas simultaneamente à compressão e à flexão com grande excentrici-</p><p>dade.</p><p>Na Imagem 1.10 é mostrada uma vista sob o tabuleiro de uma ponte, construído com</p><p>concreto pré-moldado. Esse tabuleiro é uma estrutura de placa, montada na horizontal,</p><p>dando origem a uma laje.</p><p>As longarinas são vigas de concreto montadas na direção longitudinal, paralela ao trá-</p><p>fego. Na fotografia é mostrada também uma transversina, que é uma viga montada na</p><p>direção transversal ao tráfego. A transversina é apoiada em dois pilares, que são sub-</p><p>metidos à compressão e também à flexão, isto é, uma flexão composta com pequena</p><p>excentricidade.</p><p>12</p><p>Imagem 1.10 – Ponte de concreto armado em rodovia</p><p>1.2.7 Pórticos</p><p>São estruturas formadas por duas colunas verticais e uma barra horizontal, como mos-</p><p>trado na Imagem 1.10. Isso significa que o conjunto formado por uma transversina e</p><p>dois pilares se constitui um pórtico, que é a célula básica utilizada na concepção de edi-</p><p>fícios.</p><p>Na Imagem 1.11 é apresentada uma estrutura composta de vários pórticos. Cada um</p><p>deles é formado por colunas verticais e por elementos de barras horizontais sobre as</p><p>quais são colocadas outras vigas que irão suportar a cobertura.</p><p>13</p><p>Imagem 1.11 – Edifício de estrutura metálica em construção</p><p>1.3 Modelos analíticos</p><p>Um modelo matemático precisa ser construído para avaliar o efeito das ações e das re-</p><p>ações sobre a estrutura. Uma viga pode ser simplificadamente representada por uma</p><p>estrutura de barra que esteja adequadamente vinculada para garantir o equilíbrio. Cada</p><p>vínculo corresponde a uma restrição ao movimento de parte da estrutura que é imposta</p><p>por um tipo de apoio. Os apoios são dispositivos que ligam os pontos do sistema a outros</p><p>pontos a fim de impedir determinados movimentos.</p><p>Cada ponto da estrutura pode executar movimentos que podem ser considerados como</p><p>a combinação de uma translação com uma rotação. Por isso, para garantir a estabili-</p><p>dade, a resultante de todas as forças externas à estrutura é nula e o momento destas</p><p>forças em relação a qualquer ponto da estrutura é nulo.</p><p>O apoio simples ou articulação móvel impede o deslocamento na direção perpendicular</p><p>à reta de vinculação. A articulação fixa impede todos os deslocamentos de translação.</p><p>Um vínculo de engastamento impede todas as translações e também todos os movi-</p><p>mentos de rotação em torno do ponto vinculado. Exemplos destes vínculos são apre-</p><p>sentados no Quadro 1.2.</p><p>14</p><p>Quadro 1.2 – Vínculos em estruturas de barras</p><p>TIPOS REPRESENTAÇÃO</p><p>(a) Simplesmente</p><p>apoiada</p><p>(b) Engastada</p><p>(c) Engastada-</p><p>apoiada</p><p>(d) Bi-engastada</p><p>Fonte: O autor.</p><p>A estrutura (a) possui, à esquerda, uma articulação fixa e, à direita, uma articulação mó-</p><p>vel. Deslocamentos transversais à viga são verticais e, com relação aos vínculos apresen-</p><p>tados, são impedidos por ambos. Deslocamentos longitudinais à viga são controlados</p><p>apenas pela articulação fixa. Rotações são permitidas por ambos os apoios.</p><p>Ao aplicar na viga da estrutura (a) um carregamento distribuído, a viga apresenta defle-</p><p>xões como mostradas no Desenho 1.1. A estrutura está em equilíbrio, mas apresenta</p><p>deformações geradas em consequência do carregamento nela aplicado.</p><p>Desenho 1.1 – Viga duplamente apoiada com carregamento uniforme</p><p>Fonte: O autor.</p><p>A estrutura (b) possui apenas um engastamento, vínculo suficiente para garantir o equi-</p><p>líbrio da estrutura. Este vínculo, no ponto de aplicação, impede movimentos tanto de</p><p>translações quanto de rotações. Por isso, as reações de apoio são uma força e um</p><p>15</p><p>momento. No restante da barra, ocorrem deflexões verticais e rotações, mas não ocorre</p><p>movimento da barra como corpo rígido.</p><p>Ao aplicar na viga da estrutura (b) um carregamento distribuído, a viga apresenta defle-</p><p>xões como mostradas no Desenho 1.2. A estrutura está em equilíbrio, mas apresenta</p><p>deformações geradas em consequência do carregamento nela aplicado. O ângulo da es-</p><p>trutura deformada com o paramento vertical é reto.</p><p>Desenho 1.2 – Viga em balanço com carregamento uniforme</p><p>Fonte: O autor.</p><p>A estrutura (c) possui, além do engastamento, um apoio simples, que restringirá deslo-</p><p>camentos transversais nesta extremidade.</p><p>Desenho 1.3 – Viga engastada com apoio simples e carregamento uniforme</p><p>Fonte: O autor.</p><p>A estrutura (d) possui um engastamento em cada extremidade que bloquearão, nestes</p><p>pontos, quaisquer translações ou rotações. Em ambos os lados, são retos os ângulos da</p><p>barra com a vertical.</p><p>Desenho 1.4 – Viga duplamente engastada com carregamento uniforme</p><p>Fonte: O autor.</p><p>16</p><p>As estruturas são classificadas conforme a quantidade de vínculos necessários para man-</p><p>ter o equilíbrio e a quantidade de vínculos efetivamente presentes. Estruturas que pos-</p><p>suem exatamente a quantidade necessária de vínculos que corretamente mantêm o</p><p>próprio equilíbrio são denominadas isostáticas.</p><p>As estruturas que, mantidas em equilíbrio, possuem outros vínculos adicionais, são de-</p><p>nominadas hiperestáticas. Com relação ao Quadro 1.2, as estruturas {(a); (b)} são isos-</p><p>táticas e as estruturas {(c); (d)} são hiperestáticas.</p><p>Estruturas hipostáticas são aquelas que que possuem vínculos em quantidade inferior à</p><p>necessária para o próprio equilíbrio ou que, mesmo com vínculos em excesso, permitem</p><p>movimentação de partes dela como corpo rígido. Exemplos de estruturas hipostáticas</p><p>são apresentadas no Quadro 1.3.</p><p>Quadro 1.3 – Exemplo de vigas hipostáticas</p><p>TIPO DE</p><p>VÍNCULO</p><p>REPRESENTAÇÃO</p><p>(e) Apoios móveis</p><p>(f) Apoios móveis</p><p>(g) Engastada-</p><p>apoiada</p><p>(h) Bi-engastada</p><p>Fonte: O autor.</p><p>A estrutura (e) permite deslizamento da viga na direção horizontal. Um tabuleiro de pa-</p><p>vimento que fosse montado desta maneira sofreria translações como corpo rígido</p><p>quando um veículo executasse frenagem.</p><p>17</p><p>A estrutura (f) permite deslocamentos verticais no nó da esquerda e deslocamento ho-</p><p>rizontais do nó da direita. Ocorrendo simultaneamente, estes movimentos produzem</p><p>uma rotação da barra como corpo rígido.</p><p>1.4 Cargas atuantes em estruturas</p><p>A estrutura deve ser construída para suportar os esforços externos ativos a ela, que são</p><p>gerados pelos carregamentos que surgem devido ao uso da estrutura. Tomamos como</p><p>exemplos: o peso do próprio da estrutura, o peso de pessoas e de objetos sobre a estru-</p><p>tura, além de pressões externas ao sistema.</p><p>1.4.1 Lajes</p><p>A laje é uma estrutura de placa, que possui uma das dimensões (denominada espessura)</p><p>muito menor que as outras duas (que são a largura e o comprimento). Na Imagem 1.12</p><p>é mostrado o tráfego de veículos sobre</p><p>corresponde ao sistema</p><p>hipergeométrico do pórtico apresentado inicialmente na Figura 6.1. No nó 2 foi introdu-</p><p>zido um apoio móvel na direção horizontal, capaz de impedir o deslocamento nesta di-</p><p>reção. O mesmo aconteceu na direção vertical, na qual também foi inserido um apoio</p><p>móvel. Finalmente, percebe-se que foi inserido um apoio que restringe a rotação do nó,</p><p>simbolizado pelo quadrado preto sobre o nó. Percebe-se ainda que, com a introdução</p><p>destes três apoios fictícios, as deslocabilidades foram removidas e o sistema estrutural</p><p>tornou-se cinematicamente determinado.</p><p>153</p><p>Figura 6.3 – Sistema hipergeométrico do pórtico</p><p>Por sua vez, na Figura 6.4 é mostrado o sistema hipergeométrico da viga contínua da</p><p>Figura 6.2. Percebe-se que no nó 2 e no nó 3 foram inseridos apoios fictícios que restrin-</p><p>gem a rotação, eliminando as duas deslocabilidades presentes na estrutura original.</p><p>Figura 6.4 – Sistema hipergeométrico da viga contínua</p><p>No método dos esforços, foi visto que existem diversos sistemas principais possíveis, ou</p><p>seja, os hiperestáticos eliminados podem ser escolhidos arbitrariamente no intuito de</p><p>construir um sistema estrutural isostático estável. Já no método dos deslocamentos, ha-</p><p>verá somente um sistema principal possível, que é justamente aquele que elimina todas</p><p>as deslocabilidades da estrutura. Portanto, o método dos deslocamentos apresenta uma</p><p>vantagem sobre o método dos esforços no que diz respeito à implementação</p><p>154</p><p>computacional da resolução das estruturas hiperestáticas, visto que o computador não</p><p>precisa “preocupar-se” com qual sistema escolher ou mesmo se esse sistema é estável</p><p>ou não.</p><p>Alguns pontos importantes devem ser salientados na introdução dos apoios fictícios</p><p>para a construção do sistema hipergeométrico. É possível notar que, mesmo com a in-</p><p>trodução dos apoios fictícios, a compatibilidade da estrutura original continua a ser res-</p><p>peitada. Isso se deve ao fato de os apoios da estrutura original continuarem existindo e,</p><p>portanto, bloqueando os seus respectivos deslocamentos e rotações. Contudo, a inser-</p><p>ção de apoios fictícios à estrutura original acarreta a introdução de reações de apoio ao</p><p>sistema estrutural. Dessa forma, o equilíbrio da estrutura original deixará de ser satis-</p><p>feito. O equilíbrio será retomado apenas ao fim do método dos deslocamentos, mo-</p><p>mento no qual os casos básicos são combinados e as deslocabilidades podem ser calcu-</p><p>ladas.</p><p>Ao longo do método dos deslocamentos, devem ser calculadas as reações dos apoios</p><p>fictícios para os diversos casos de solicitação existentes. No caso 0, por exemplo, consi-</p><p>dera-se que o carregamento da estrutura original atua no sistema principal. Nesta situ-</p><p>ação, serão determinados os termos de carga 𝛽𝑖0, correspondentes às reações dos</p><p>apoios fictícios. O índice 𝑖 faz referência às 𝑛 deslocabilidades da estrutura original e aos</p><p>apoios fictícios que foram introduzidos para eliminar tais deslocabilidades. Já o índice 0</p><p>faz referência ao caso 0, no qual o carregamento da estrutura original é aplicado ao</p><p>sistema hipergeométrico. Dessa forma, o termo de carga 𝛽10 será a reação do apoio</p><p>fictício na direção da deslocabilidade número 1 quando o carregamento da estrutura</p><p>original atua no SH. De maneira semelhante, o termo de carga 𝛽𝑛0 será a reação do</p><p>apoio fictício na direção da n-ésima deslocabilidade quando o carregamento da estru-</p><p>tura original atua no SH.</p><p>Na sequência, passa-se ao caso 1. Nele, é imposto um deslocamento (ou rotação) unitá-</p><p>rio na direção da deslocabilidade número 1. Caso a deslocabilidade 1 seja uma transla-</p><p>ção, será introduzido um deslocamento unitário da direção dessa translação. Caso a des-</p><p>locabilidade 1 seja uma rotação, será introduzido um giro unitário. No caso 1, serão cal-</p><p>culados os coeficientes de rigidez global 𝐾𝑖1, que correspondem à reação do apoio</p><p>155</p><p>fictício na direção da i-ésima deslocabilidade quando há um deslocamento (ou rotação)</p><p>unitário na direção da deslocabilidade 1. Portanto, o coeficiente 𝐾31, por exemplo, re-</p><p>fere-se à reação do apoio fictício na direção da deslocabilidade 3, quando há um deslo-</p><p>camento (ou rotação unitário) na direção da deslocabilidade 1.</p><p>Processo semelhante é realizado para as outras deslocabilidades. Assim, no caso n, é</p><p>imposto um deslocamento (ou rotação) unitário na direção da deslocabilidade 𝑛 e são</p><p>calculados os coeficientes de rigidez 𝐾𝑖𝑛, correspondentes à reação do apoio fictício na</p><p>direção da i-ésima deslocabilidade no caso n. Uma vez que todos os termos de carga e</p><p>coeficientes de rigidez tenham sido calculados, o equilíbrio pode ser retomado, estabe-</p><p>lecendo um sistema linear de equações no qual a reação de apoio fictícia deve ser igual</p><p>à força (ou momento) atuando na direção de cada deslocabilidade da estrutura original.</p><p>No caso dos exemplos da Figura 6.3 e da Figura 6.4, estes valores são nulos, visto que</p><p>não existe força ou momento atuando na direção de cada deslocabilidade na estrutura</p><p>original. Finalmente, uma vez que a compatibilidade é sempre respeitada e que o equi-</p><p>líbrio foi retomado, é possível determinar o valor de cada deslocabilidade.</p><p>Algumas considerações importantes podem ser feitas sobre os coeficientes de rigidez.</p><p>A primeira delas é que a matriz de rigidez 𝐾 é simétrica. Consequentemente, a rigidez</p><p>𝐾𝑖𝑗 será igual à rigidez 𝐾𝑗𝑖 (por exemplo 𝐾12 = 𝐾21). Isso decorre do teorema de</p><p>Maxwell, reproduzido na sequência segundo Martha (2010): “Em uma estrutura linear</p><p>elástica, a força generalizada que atua no ponto j necessária para provocar um desloca-</p><p>mento generalizado unitário no ponto i é igual à força generalizada que atua no ponto i</p><p>necessária para provocar um deslocamento generalizado unitário no ponto j”. A se-</p><p>gunda observação é que a diagonal principal da matriz de rigidez possui termos positi-</p><p>vos. Ou seja 𝐾𝑖𝑖 > 0 (por exemplo, 𝐾11 e 𝐾22 são coeficientes positivos). Isso ocorre pois,</p><p>quando há um deslocamento (ou rotação) na direção de uma deslocabilidade i, a força</p><p>(ou momento) que atua na direção dessa mesma deslocabilidade i deve ter o mesmo</p><p>sentido do deslocamento (ou rotação).</p><p>Neste ponto é possível perceber com mais clareza que o método dos esforços e o mé-</p><p>todo dos deslocamentos apresentam comportamento dual. Enquanto no primeiro o sis-</p><p>tema principal é construído por meio da eliminação de vínculos, visando a construção</p><p>156</p><p>de uma estrutura isostática para a eliminação das hiperestaticidades, no segundo o sis-</p><p>tema hipergeométrico é construído por meio da adição de vínculos, visando a constru-</p><p>ção de uma estrutura ainda mais hiperestática para a eliminação das deslocabilidades.</p><p>Além disso, no método dos esforços são determinados os deslocamentos (ou rotações)</p><p>na direção de cada hiperestático removido, enquanto no método dos deslocamentos</p><p>são determinadas as forças (ou momentos) na direção de cada deslocabilidade remo-</p><p>vida. Finalmente, no método dos esforços, o equilíbrio é satisfeito em cada caso básico,</p><p>mas a compatibilidade só é retomada ao fim do processo, com a combinação dos casos</p><p>e a determinação dos hiperestáticos. Já no método dos deslocamentos, a compatibili-</p><p>dade é satisfeita em cada caso básico, mas o equilíbrio só é retomado ao fim do pro-</p><p>cesso, com a combinação dos casos e a determinação das deslocabilidades.</p><p>O leitor pode estar se perguntando: qual a vantagem de construir métodos baseados</p><p>em estruturas cinematicamente determinadas? A construção do sistema hipergeomé-</p><p>trico, que é mais hiperestático do que o sistema original, não apresenta uma dificuldade</p><p>adicional à análise estrutural? Contudo, como será visto na sequência, é possível desen-</p><p>volver e tabelar com relativa facilidade as soluções básicas para barras biengastadas,</p><p>biarticuladas, ou que possuam uma das extremidades articuladas. De posse dessas so-</p><p>luções básicas, o emprego às estruturas cinematicamente</p><p>determinadas é direto, justi-</p><p>ficando, portanto, a utilização do método dos deslocamentos.</p><p>6.2.1 Coeficientes de rigidez de uma barra biengastada</p><p>Neste item serão desenvolvidas as soluções básicas do método dos deslocamentos apli-</p><p>cáveis às barras biengastadas. Portanto, seja a barra de comprimento 𝑙 engastada nos</p><p>nós 1 e 2, conforme apresentado na Figura 6.5. Nela também são mostrados os deslo-</p><p>camentos nodais que uma barra biengastada pode apresentar, indicados no sentido po-</p><p>sitivo. A barra apresenta uma rigidez axial 𝐸𝐴 e uma rigidez à flexão 𝐸𝐼. Além disso, será</p><p>considerada a completa dissociação entre o comportamento axial e o comportamento</p><p>transversal da barra, em decorrência da adoção da hipótese de pequenos deslocamen-</p><p>tos (MARTHA, 2010).</p><p>157</p><p>Figura 6.5 – Deslocamentos nodais de uma viga biengastada</p><p>6.2.1.1 Deslocamento horizontal do nó inicial</p><p>Será considerado, em um primeiro momento, o comportamento axial da barra. Para</p><p>isso, será suposto que a barra apresente unicamente o deslocamento axial 𝑑1, enquanto</p><p>todos os outros deslocamentos nodais são nulos. Por tratar-se de um sistema estrutural</p><p>hiperestático, uma vez que tanto o nó 1 quanto o nó 4 impedem o deslocamento na</p><p>direção horizontal, será utilizado o método dos esforços. O sistema principal a ser utili-</p><p>zado é mostrado na Figura 6.6, no qual o hiperestático correspondente ao nó 1 foi re-</p><p>movido.</p><p>Figura 6.6 – Sistema principal utilizado na análise do comportamento axial da barra</p><p>considerando o deslocamento do nó inicial</p><p>Aplicando o método dos esforços, percebe-se que no caso 0 o esforço normal na barra</p><p>é nulo (o deslocamento 𝑑1 será considerado quando a compatibilidade for reestabele-</p><p>cida). Consequentemente, 𝛿10 = 0,0𝑚. Por sua vez, o caso 1 é representado na Figura</p><p>6.7. Percebe-se que a barra apresentará esforço normal 𝑁 = −1,0𝑘𝑁 ao longo de toda</p><p>158</p><p>a sua extensão. Logo, através do PTV, é possível calcular o coeficiente de flexibilidade</p><p>𝛿11 da seguinte forma:</p><p>Figura 6.7 – Caso 1 da análise do comportamento axial da barra</p><p>𝛿11 =</p><p>1</p><p>𝐸𝐴</p><p>∗ (𝑙 ∗ (−1) ∗ (−1))</p><p>𝛿11 =</p><p>𝑙</p><p>𝐸𝐴</p><p>Reestabelecendo a compatibilidade da barra, temos:</p><p>0 +</p><p>𝑙</p><p>𝐸𝐴</p><p>∗ 𝐻1 = 𝑑1</p><p>𝐻1 =</p><p>𝐸𝐴</p><p>𝑙</p><p>∗ 𝑑1</p><p>Uma vez que a reação do nó 1 𝐻1 foi determinada, a reação do nó 2 𝐻2 pode ser calcu-</p><p>lada por equilíbrio de forças horizontais:</p><p>∑𝐹𝑥 = 0</p><p>𝐸𝐴</p><p>𝑙</p><p>∗ 𝑑1 + 𝐻2 = 0</p><p>𝐻2 = −</p><p>𝐸𝐴</p><p>𝑙</p><p>∗ 𝑑1</p><p>Dessa forma, ficam estabelecidas as reações de apoio 𝐻1 e 𝐻2 quando o apoio 1 sofre</p><p>um deslocamento 𝑑1. Esta situação está representada na Figura 6.8.</p><p>159</p><p>Figura 6.8 – Reações de apoio para um deslocamento horizontal do nó inicial</p><p>Fonte: MARTHA (2010). Adaptado.</p><p>6.2.1.2 Deslocamento horizontal do nó final</p><p>Voltando à Figura 6.5, será considerado agora que a barra apresente unicamente o des-</p><p>locamento nodal 𝑑4. Este caso poderia ser resolvido por meio do método dos esforços.</p><p>Contudo, é possível notar a sua similaridade com o caso apresentado anteriormente, no</p><p>qual a barra apresentava unicamente o deslocamento nodal 𝑑1. Dessa forma, no nó 4</p><p>deverá existir uma reação de apoio</p><p>𝐸𝐴</p><p>𝑙</p><p>∗ 𝑑4 que atua no mesmo sentido do desloca-</p><p>mento, ou seja, para a direita, logo:</p><p>𝐻4 =</p><p>𝐸𝐴</p><p>𝑙</p><p>∗ 𝑑4</p><p>Introduzindo o equilíbrio de forças horizontais, é possível calcular a reação horizontal</p><p>do apoio 1 da seguinte forma:</p><p>𝐻1 +</p><p>𝐸𝐴</p><p>𝑙</p><p>∗ 𝑑4 = 0</p><p>𝐻1 = −</p><p>𝐸𝐴</p><p>𝑙</p><p>∗ 𝑑4</p><p>Essa situação está representada na Fonte: MARTHA (2010). Adaptado., onde são mostrados o</p><p>deslocamento nodal e as reações de apoio calculadas anteriormente.</p><p>160</p><p>Figura 6.9 – Reações de apoio para um deslocamento horizontal do nó final</p><p>Fonte: MARTHA (2010). Adaptado.</p><p>6.2.1.3 Deslocamento vertical do nó inicial</p><p>Uma vez que o comportamento axial da barra foi estudado, será analisado o comporta-</p><p>mento transversal. Para isso, retornando à Figura 6.5, será considerado que a barra</p><p>apresenta apenas o deslocamento nodal 𝑑2. Observando que este problema é hiperes-</p><p>tático, será utilizado o método dos esforços, cujo sistema principal é apresentado na</p><p>Figura 6.10. A restrição à translação vertical do nó 1 foi considerada como o hiperestá-</p><p>tico 1, enquanto a restrição à rotação do nó 1 foi considerada como o hiperestático 2.</p><p>Figura 6.10: Sistema principal utilizado na análise do comportamento transversal da</p><p>barra considerando o deslocamento do nó inicial</p><p>Aplicando o método dos esforços, percebe-se que no caso 0 a barra não apresenta mo-</p><p>mento fletor (o deslocamento 𝑑2 será considerado quando a compatibilidade for rees-</p><p>tabelecida). Consequentemente, 𝛿10 = 0,0𝑚 e 𝛿20 = 0,0𝑟𝑎𝑑. Por sua vez, o caso 1 é</p><p>representado na Figura 6.11, com a aplicação de uma força unitária na direção do hipe-</p><p>restático 1.</p><p>161</p><p>Figura 6.11 – Caso 1 da análise do comportamento transversal da barra considerando</p><p>o deslocamento do nó inicial</p><p>Percebendo que a força unitária traciona as fibras inferiores da barra 1-2, o momento</p><p>do caso 1 𝑀1(𝑥) pode ser escrito da seguinte forma:</p><p>𝑀1(𝑥) = 𝑥</p><p>Por sua vez, o caso 2 é representado na Figura 6.12, com a aplicação de um momento</p><p>unitário na direção do hiperestático 2.</p><p>Figura 6.12 – Caso 2 da análise do comportamento transversal da barra considerando</p><p>o deslocamento do nó inicial</p><p>Percebendo que o momento unitário comprime as fibras inferiores da barra 1-2, o mo-</p><p>mento do caso 2 𝑀2(𝑥) pode ser escrito da seguinte forma:</p><p>𝑀2(𝑥) = −1</p><p>Através do PTV, é possível calcular os coeficientes de flexibilidade. Neste caso, a tabela</p><p>de combinação de diagramas de momento fletor em uma barra poderia ser utilizado.</p><p>Contudo, foi dada preferência à aplicação direta da equação.</p><p>𝛿𝑖𝑗 =</p><p>1</p><p>𝐸𝐼</p><p>∫ 𝑀𝑖(𝑥)𝑀𝑗(𝑥)𝑑𝑥</p><p>𝑙</p><p>0</p><p>162</p><p>𝛿11 =</p><p>1</p><p>𝐸𝐼</p><p>∫ 𝑥 ∗ 𝑥 𝑑𝑥</p><p>𝑙</p><p>0</p><p>𝛿11 =</p><p>𝑙3</p><p>3𝐸𝐼</p><p>𝛿12 = 𝛿21 =</p><p>1</p><p>𝐸𝐼</p><p>∫ 𝑥 ∗ (−1) 𝑑𝑥</p><p>𝑙</p><p>0</p><p>𝛿12 = 𝛿21 = −</p><p>𝑙2</p><p>2𝐸𝐼</p><p>𝛿22 =</p><p>1</p><p>𝐸𝐼</p><p>∫ (−1) ∗ (−1) 𝑑𝑥</p><p>𝑙</p><p>0</p><p>𝛿22 =</p><p>𝑙</p><p>𝐸𝐼</p><p>Reestabelecendo a compatibilidade, temos:</p><p>{</p><p>0</p><p>0</p><p>} +</p><p>[</p><p>𝑙3</p><p>3𝐸𝐼</p><p>−</p><p>𝑙2</p><p>2𝐸𝐼</p><p>−</p><p>𝑙2</p><p>2𝐸𝐼</p><p>𝑙</p><p>𝐸𝐼 ]</p><p>{</p><p>𝑉1</p><p>𝑀1</p><p>} = {</p><p>𝑑2</p><p>0</p><p>}</p><p>Resolvendo o sistema linear de equações, chega-se à seguinte solução do problema.</p><p>{</p><p>𝑉1</p><p>𝑀1</p><p>} = {</p><p>12𝐸𝐼</p><p>𝑙3</p><p>∗ 𝑑2</p><p>6𝐸𝐼</p><p>𝑙2</p><p>∗ 𝑑2</p><p>}</p><p>Uma vez que os hiperestáticos tenham sido calculados, as demais reações de apoio po-</p><p>dem ser calculadas por meio das equações de equilíbrio.</p><p>∑𝐹𝑦 = 0</p><p>𝑉2 +</p><p>12𝐸𝐼</p><p>𝑙3</p><p>∗ 𝑑2 = 0</p><p>𝑉2 = −</p><p>12𝐸𝐼</p><p>𝑙3</p><p>∗ 𝑑2</p><p>163</p><p>∑𝑀1 = 0</p><p>𝑀2 +</p><p>6𝐸𝐼</p><p>𝑙2</p><p>∗ 𝑑2 −</p><p>12𝐸𝐼</p><p>𝑙3</p><p>∗ 𝑑2 ∗ 𝑙 = 0</p><p>𝑀2 =</p><p>6𝐸𝐼</p><p>𝑙2</p><p>∗ 𝑑2</p><p>Essa situação está representada na Fonte: MARTHA (2010). Adaptado., em que é mostrado o</p><p>deslocamento vertical do nó 1 e as reações de apoio calculadas anteriormente.</p><p>Figura 6.13: Reações de apoio para um deslocamento vertical do nó inicial</p><p>Fonte: MARTHA (2010). Adaptado.</p><p>6.2.1.4 Deslocamento vertical do nó final</p><p>Para o estudo da situação na qual a barra está submetida unicamente ao deslocamento</p><p>𝑑5, o método dos esforços poderia ser empregado. Contudo, devido à similaridade com</p><p>o caso estudado anteriormente para o deslocamento vertical do nó inicial, a solução</p><p>pode ser obtida por analogia.</p><p>Inicialmente, através da solução anterior, percebe-se que o nó submetido ao desloca-</p><p>mento vertical deve estar submetido a uma reação de apoio vertical no valor de</p><p>12𝐸𝐼</p><p>𝑙3</p><p>∗</p><p>𝑑5 no mesmo sentido do deslocamento, logo:</p><p>𝑉2 =</p><p>12𝐸𝐼</p><p>𝑙3</p><p>∗ 𝑑5</p><p>164</p><p>Por equilíbrio das forças verticais, temos:</p><p>𝑉1 = −</p><p>12𝐸𝐼</p><p>𝑙3</p><p>∗ 𝑑5</p><p>Por sua vez, calculou-se anteriormente que os momentos nos dois apoios valem</p><p>6𝐸𝐼</p><p>𝑙2</p><p>∗ 𝑑5</p><p>e atuam no mesmo sentido. Por equilíbrio de momentos na estrutura submetida ao des-</p><p>locamento vertical do nó 2, percebe-se que os momentos devem estar no sentido horá-</p><p>rio, logo:</p><p>𝑀1 = 𝑀2 = −</p><p>6𝐸𝐼</p><p>𝑙2</p><p>∗ 𝑑5</p><p>Essa situação está representada na Figura</p><p>6.14, em que é mostrado o deslocamento</p><p>vertical do nó 2 e as reações de apoio calculadas anteriormente.</p><p>Figura 6.14 – A Reações de apoio para um deslocamento vertical do nó final</p><p>Fonte: MARTHA (2010). Adaptado.</p><p>6.2.1.5 Rotação do nó inicial</p><p>Tendo como base novamente a Figura 6.5, será considerado que a estrutura está sub-</p><p>metida unicamente ao giro no nó 1, representado por 𝑑3. Como este problema é hipe-</p><p>restático, ele será resolvido através do método dos esforços. O sistema principal, o caso</p><p>1 e o caso 2 serão os mesmos do caso no qual a estrutura apresentava um deslocamento</p><p>vertical do nó inicial 𝑑2 e estão representados na Figura 6.10, Figura 6.11 e Figura 6.12,</p><p>respectivamente. Dessa forma, percebe-se que no caso 0 a estrutura não estará sujeita</p><p>ao momento fletor (o deslocamento 𝑑3 será considerado quando a compatibilidade for</p><p>reestabelecida), de forma que 𝛿10 = 0,0𝑚 e 𝛿20 = 0,0𝑟𝑎𝑑. Por sua vez, os coeficientes</p><p>165</p><p>de flexibilidade serão os mesmos calculados no item 6.2.1.3 e estão reproduzidos</p><p>abaixo.</p><p>𝛿11 =</p><p>𝑙3</p><p>3𝐸𝐼</p><p>𝛿12 = 𝛿21 = −</p><p>𝑙2</p><p>2𝐸𝐼</p><p>𝛿22 =</p><p>𝑙</p><p>𝐸𝐼</p><p>Reestabelecendo a compatibilidade, temos:</p><p>{</p><p>0</p><p>0</p><p>} +</p><p>[</p><p>𝑙3</p><p>3𝐸𝐼</p><p>−</p><p>𝑙2</p><p>2𝐸𝐼</p><p>−</p><p>𝑙2</p><p>2𝐸𝐼</p><p>𝑙</p><p>𝐸𝐼 ]</p><p>{</p><p>𝑉1</p><p>𝑀1</p><p>} = {</p><p>0</p><p>𝑑3</p><p>}</p><p>Resolvendo o sistema linear de equações, chega-se à seguinte solução do problema.</p><p>{</p><p>𝑉1</p><p>𝑀1</p><p>} = {</p><p>6𝐸𝐼</p><p>𝑙2</p><p>∗ 𝑑3</p><p>4𝐸𝐼</p><p>𝑙</p><p>∗ 𝑑3</p><p>}</p><p>Uma vez que os hiperestáticos tenham sido determinados, é possível calcular as demais</p><p>reações de apoio por meio das equações de equilíbrio. Portanto, temos:</p><p>∑𝐹𝑦 = 0</p><p>𝑉2 +</p><p>6𝐸𝐼</p><p>𝑙2</p><p>∗ 𝑑3 = 0</p><p>𝑉2 = −</p><p>6𝐸𝐼</p><p>𝑙2</p><p>∗ 𝑑3</p><p>∑𝑀1 = 0</p><p>𝑀2 +</p><p>4𝐸𝐼</p><p>𝑙</p><p>∗ 𝑑3 −</p><p>6𝐸𝐼</p><p>𝑙2</p><p>∗ 𝑑3 ∗ 𝑙 = 0</p><p>166</p><p>𝑀2 =</p><p>2𝐸𝐼</p><p>𝑙</p><p>∗ 𝑑3</p><p>Essa situação está representada na Figura 6.15, onde é mostrada rotação do nó 1 e as</p><p>reações de apoio calculadas anteriormente.</p><p>Figura 6.15 – Reações de apoio para uma rotação do nó inicial</p><p>Fonte: MARTHA (2010). Adaptado.</p><p>6.2.1.6 Rotação do nó final</p><p>Tomando como referência novamente a Figura 6.5, será considerado que a barra bien-</p><p>gastada está sujeita unicamente à rotação do nó 2 𝑑6. Esse problema hiperestático po-</p><p>deria ser resolvido pelo método dos esforços, contudo, em função da sua semelhança</p><p>com o problema da barra submetida unicamente à rotação do nó inicial apresentado no</p><p>item 6.2.1.5, a solução será obtida por analogia.</p><p>Inicialmente percebe-se que o nó submetido à rotação deve apresentar um momento</p><p>igual a</p><p>4𝐸𝐼</p><p>𝑙</p><p>∗ 𝑑6 no mesmo sentido da rotação, logo:</p><p>𝑀2 =</p><p>4𝐸𝐼</p><p>𝑙</p><p>∗ 𝑑6</p><p>Por sua vez, o nó 1, que não sofre a rotação, deve estar submetido a um momento igual</p><p>a</p><p>2𝐸𝐼</p><p>𝑙</p><p>∗ 𝑑6, no mesmo sentido do momento que atua no nó 2, logo:</p><p>𝑀1 =</p><p>2𝐸𝐼</p><p>𝑙</p><p>∗ 𝑑6</p><p>167</p><p>Enquanto isso, as forças nos nós valem</p><p>6𝐸𝐼</p><p>𝑙2</p><p>∗ 𝑑6 e possuem sentidos opostos. Para asse-</p><p>gurar o equilíbrio de momentos, a força atuante no nó 1 deve ser vertical para cima,</p><p>enquanto a força atuando no nó 2 deve ser vertical para baixo. Logo:</p><p>𝑉1 =</p><p>6𝐸𝐼</p><p>𝑙2</p><p>∗ 𝑑6</p><p>𝑉2 = −</p><p>6𝐸𝐼</p><p>𝑙2</p><p>∗ 𝑑6</p><p>Esta situação está representada na Figura 6.16, onde é mostrada a rotação do nó 2 e as</p><p>reações de apoio calculadas anteriormente.</p><p>Figura 6.16 – Reações de apoio para uma rotação do nó final</p><p>Fonte: MARTHA (2010). Adaptado.</p><p>6.2.1.7 Coeficientes de rigidez de uma barra biengastada - Resumo</p><p>Na Figura 6.17 é apresentado um resumo das reações de apoio para os casos de deslo-</p><p>camentos nodais horizontais em barras biengastadas.</p><p>Figura 6.17 – Reações de apoio para deslocamentos horizontais de uma barra bien-</p><p>gastada</p><p>Fonte: MARTHA (2010). Adaptado.</p><p>168</p><p>Na Figura 6.18 é apresentado um resumo das reações de apoio para os deslocamentos</p><p>nodais verticais e para as rotações nodais em barras biengastadas.</p><p>Figura 6.18 – Reações de apoio para deslocamentos verticais e rotações de uma</p><p>barra biengastada</p><p>Fonte: MARTHA (2010). Adaptado.</p><p>6.2.2 Coeficientes de rigidez de uma barra engastada-articulada</p><p>Neste item serão determinadas as reações de apoio de uma barra que possui uma das</p><p>extremidades engastada e a outra articulada. Será considerado que os nós dessa estru-</p><p>tura estão submetidos a deslocamentos e rotações, como mostrado na Figura 6.19.</p><p>Figura 6.19 – Deslocamentos nodais de uma viga engastada-articulada</p><p>Nessa análise será admitido que o nó 1 encontra-se articulado enquanto o nó 2 encon-</p><p>tra-se engastado. O deslocamento 𝑑3, correspondente à rotação do nó 1, não será</p><p>169</p><p>considerado, visto que em barras desta natureza a rotação do nó 1 não é tida como uma</p><p>deslocabilidade. Como explicado anteriormente, pode-se afirmar que o momento no nó</p><p>1 é nulo em função do apoio articulado, consequentemente, não há a necessidade de</p><p>considerar a rotação do nó 1 como uma deslocabilidade.</p><p>Uma consideração importante deve ser feita sobre os deslocamentos horizontais 𝑑1 e</p><p>𝑑4. Como está sendo considerada a dissociação entre o comportamento axial e o com-</p><p>portamento transversal da barra em razão da hipótese de pequenos deslocamentos, o</p><p>comportamento axial de uma barra engastada-articulada será idêntico àquele de uma</p><p>barra biengastada, já mostrado nos itens 6.2.1.1 e 6.2.1.2 Isso ocorre porque a substi-</p><p>tuição de um engaste por um apoio fixo altera somente o comportamento transversal</p><p>da barra. Dessa forma, o comportamento axial não será estudado para as barras engas-</p><p>tadas-articuladas.</p><p>Na sequência será realizado o estudo do comportamento transversal da barra em de-</p><p>corrência dos deslocamentos nodais 𝑑2, 𝑑5 e 𝑑6.</p><p>6.2.2.1 Deslocamento vertical do nó inicial</p><p>Neste item será estudada a barra engastada-articulada sujeita unicamente ao desloca-</p><p>mento vertical da extremidade articulada, correspondente ao deslocamento 𝑑2 apre-</p><p>sentado na Figura 6.19. Por tratar-se de uma análise hiperestática, será empregado o</p><p>método dos esforços. O sistema principal adotado é apresentado na Figura 6.20, no qual</p><p>a restrição ao deslocamento vertical do nó 1 foi considerada como hiperestático e foi</p><p>eliminada para a construção do sistema principal.</p><p>Figura 6.20 – Sistema principal utilizado na análise do comportamento transversal da</p><p>barra engastada-articulada considerando o deslocamento do nó inicial</p><p>170</p><p>Aplicando o método dos esforços, é possível perceber que no caso 0 a estrutura não</p><p>estará sujeita a momento fletor (o deslocamento 𝑑2 será considerado quando a compa-</p><p>tibilidade for reestabelecida). Dessa forma, tem-se que 𝛿10 = 0,0𝑚. Por sua vez, o caso</p><p>1 é mostrado na Figura 6.21.</p><p>Figura 6.21 – Caso 1 da análise do comportamento transversal da barra engastada-</p><p>articulada considerando o deslocamento do nó inicial</p><p>Ao se analisar o caso 1, é possível definir o momento fletor 𝑀1(𝑥) da seguinte forma:</p><p>𝑀1(𝑥) = 𝑥</p><p>Logo, o coeficiente de flexibilidade 𝛿11 pode ser calculado da seguinte forma:</p><p>𝛿11 =</p><p>1</p><p>𝐸𝐼</p><p>∫ 𝑥 ∗ 𝑥 𝑑𝑥</p><p>𝑙</p><p>0</p><p>𝛿11 =</p><p>𝑙3</p><p>3𝐸𝐼</p><p>Reestabelecendo a compatibilidade, vem que:</p><p>0 +</p><p>𝑙3</p><p>3𝐸𝐼</p><p>𝑉1 = 𝑑2</p><p>𝑉1 =</p><p>3𝐸𝐼</p><p>𝑙3</p><p>∗ 𝑑2</p><p>171</p><p>Uma vez que o hiperestático foi determinado, é possível calcular as demais reações de</p><p>apoio fazendo uso das equações de equilíbrio. Dessa forma, temos:</p><p>∑𝐹𝑦 = 0</p><p>𝑉2 +</p><p>3𝐸𝐼</p><p>𝑙3</p><p>∗ 𝑑2 = 0</p><p>𝑉2 = −</p><p>3𝐸𝐼</p><p>𝑙3</p><p>∗ 𝑑2</p><p>∑𝑀1 = 0</p><p>𝑀2 −</p><p>3𝐸𝐼</p><p>𝑙3</p><p>∗ 𝑑2 ∗ 𝑙 = 0</p><p>𝑀2 =</p><p>3𝐸𝐼</p><p>𝑙2</p><p>∗ 𝑑2</p><p>Este caso é apresentado na Figura 6.22, onde é mostrado o deslocamento vertical do nó</p><p>1 e as reações de apoio calculadas anteriormente.</p><p>Figura 6.22 – Reações de apoio para o deslocamento vertical do nó inicial de uma</p><p>barra engastada-articulada</p><p>Fonte: MARTHA (2010). Adaptado.</p><p>6.2.2.2 Deslocamento vertical do nó final</p><p>Retomando a estrutura apresentada na Figura 6.19, neste item será estudada a situação</p><p>na qual a barra está submetida unicamente ao deslocamento 𝑑5, correspondente à</p><p>translação vertical do nó engastado. Por tratar-se de uma análise hiperestática,</p><p>será</p><p>172</p><p>empregado o método dos esforços. O sistema principal adotado é aquele mostrado na</p><p>Figura 6.20.</p><p>No caso 0 é possível perceber que o deslocamento 𝑑5 não introduzirá momento fletor</p><p>ao sistema principal. Contudo, a estrutura deslocará por inteiro, como um corpo rígido.</p><p>Dessa forma, o deslocamento na direção do hiperestático é 𝑑5, ou seja:</p><p>𝛿10 = 𝑑5</p><p>O caso 1 será o mesmo apresentado na Figura 6.21, no qual a força unitária é aplicada</p><p>na direção do hiperestático. Consequentemente, chega-se ao coeficiente de flexibili-</p><p>dade 𝛿11, que já havia sido calculado anteriormente:</p><p>𝛿11 =</p><p>𝑙3</p><p>3𝐸𝐼</p><p>Reestabelecendo a compatibilidade, temos:</p><p>𝑑5 +</p><p>𝑙3</p><p>3𝐸𝐼</p><p>𝑉1 = 0</p><p>𝑉1 = −</p><p>3𝐸𝐼</p><p>𝑙3</p><p>∗ 𝑑5</p><p>Uma vez que o hiperestático foi calculado, as demais reações de apoio podem ser de-</p><p>terminadas através das equações de equilíbrio, como apresentado abaixo:</p><p>∑𝐹𝑦 = 0</p><p>𝑉2 −</p><p>3𝐸𝐼</p><p>𝑙3</p><p>∗ 𝑑5 = 0</p><p>𝑉2 =</p><p>3𝐸𝐼</p><p>𝑙3</p><p>∗ 𝑑5</p><p>∑𝑀1 = 0</p><p>𝑀2 +</p><p>3𝐸𝐼</p><p>𝑙3</p><p>∗ 𝑑5 ∗ 𝑙 = 0</p><p>173</p><p>𝑀2 = −</p><p>3𝐸𝐼</p><p>𝑙2</p><p>∗ 𝑑5</p><p>Essa situação é sintetizada na Figura 6.23. Nela é apresentado o deslocamento vertical</p><p>do nó engastado e as reações de apoio calculadas anteriormente.</p><p>Figura 6.23 – Reações de apoio para o deslocamento vertical do nó final de uma</p><p>barra engastada-articulada</p><p>Fonte: MARTHA (2010). Adaptado.</p><p>6.2.2.3 Rotação do nó final</p><p>Retornando à Figura 6.19, neste item será estudada a situação da barra engastada-arti-</p><p>culada sujeita unicamente à rotação do nó engastado (𝑑6). Por tratar-se de um sistema</p><p>estrutural hiperestático, será utilizado o método dos esforços. Para a sua aplicação, con-</p><p>sidera-se o sistema principal mostrado na Figura 6.20.</p><p>É possível observar que, no caso 0, a rotação 𝑑6 não introduzirá momento fletor ao sis-</p><p>tema principal. Contudo, ela promove um movimento de corpo rígido à estrutura, de</p><p>forma que o deslocamento na direção do hiperestático será de 𝑑6 ∗ 𝑙, considerando a</p><p>hipótese de pequenos deslocamentos. Deve-se salientar que este deslocamento é para</p><p>baixo, no sentido contrário do hiperestático, logo:</p><p>𝛿10 = −𝑑6 ∗ 𝑙</p><p>Por sua vez, o caso 1 será apresentado na Figura 6.21. Logo, o coeficiente de flexibilidade</p><p>𝛿11, já calculado anteriormente, é igual a:</p><p>𝛿11 =</p><p>𝑙3</p><p>3𝐸𝐼</p><p>174</p><p>Reestabelecendo a compatibilidade, temos:</p><p>−𝑑6 ∗ 𝑙 +</p><p>𝑙3</p><p>3𝐸𝐼</p><p>𝑉1 = 0</p><p>𝑉1 =</p><p>3𝐸𝐼</p><p>𝑙2</p><p>∗ 𝑑6</p><p>Uma vez que o hiperestático tenha sido calculado, as demais reações de apoio podem</p><p>ser determinadas através das equações de equilíbrio, logo:</p><p>∑𝐹𝑦 = 0</p><p>𝑉2 +</p><p>3𝐸𝐼</p><p>𝑙2</p><p>∗ 𝑑6 = 0</p><p>𝑉2 = −</p><p>3𝐸𝐼</p><p>𝑙2</p><p>∗ 𝑑6</p><p>∑𝑀1 = 0</p><p>𝑀2 −</p><p>3𝐸𝐼</p><p>𝑙2</p><p>∗ 𝑑6 ∗ 𝑙 = 0</p><p>𝑀2 =</p><p>3𝐸𝐼</p><p>𝑙</p><p>∗ 𝑑6</p><p>Essa situação é apresentada na Figura 6.24. Nela é mostrada a rotação do apoio engas-</p><p>tado e as reações de apoio calculadas anteriormente.</p><p>Figura 6.24 – Reações de apoio para a rotação do nó final de uma barra engastada-</p><p>articulada</p><p>Fonte: MARTHA (2010). Adaptado.</p><p>175</p><p>6.2.2.4 Coeficientes de rigidez de uma barra engastada-articulada – Resumo</p><p>Na Figura 6.25 é apresentado um resumo das reações de apoio para os casos de deslo-</p><p>camentos nodais verticais e rotações em barras engastadas-articuladas.</p><p>Figura 6.25 – Reações de apoio para deslocamentos verticais e rotações de uma</p><p>barra engastada-articulada</p><p>Fonte: MARTHA (2010). Adaptado.</p><p>6.2.2.5 Inversão do nó engastado e do nó articulado</p><p>Até então foi considerado o caso de barras engastadas-articuladas no qual o nó 1 en-</p><p>contra-se articulado e o nó 2 está engastado. Contudo, pode existir situações no qual o</p><p>nó 1 esteja engastado e o nó 2 seja articulado, ou seja, o contrário do que já foi discutido.</p><p>As reações de apoio para esta nova configuração podem ser calculadas por meio do mé-</p><p>todo dos esforços. Contudo, a semelhança com a configuração já abordada pode con-</p><p>duzir à solução de uma forma mais direta e elegante. Para isso é necessário lembrar que</p><p>uma força (ou momento) que atua na mesma direção de um deslocamento (ou rotação)</p><p>imposto, apresentará o mesmo sentido deste deslocamento (ou rotação).</p><p>Dessa forma, por analogia com a solução já desenvolvida, a solução para esta nova con-</p><p>figuração é apresentada na Figura 6.26. Nela são mostrados os deslocamentos verticais</p><p>e as rotações, além das respectivas reações de apoio para cada caso.</p><p>176</p><p>Figura 6.26 – Reações de apoio para deslocamentos verticais e rotações de uma</p><p>barra engastada-articulada cujo nó inicial encontra-se engastado</p><p>Fonte: MARTHA (2010). Adaptado.</p><p>6.2.3 Coeficientes de rigidez de uma barra biarticulada</p><p>Neste item serão estudadas as barras biarticuladas. Os deslocamentos nodais que care-</p><p>cem de uma análise mais aprofundada são mostrados na Figura 6.27.</p><p>Em decorrência da hipótese de pequenos deslocamentos, o comportamento axial e o</p><p>comportamento transversal da barra podem ser dissociados. Dessa forma, é possível</p><p>perceber que o comportamento axial de uma barra biarticulada será o mesmo de uma</p><p>barra biengastada, apresentado nos itens 6.2.1.1 e 6.2.1.2. Pode-se perceber que tanto</p><p>na barra biarticulada quanto na biengastada, os deslocamentos axiais são restritos nas</p><p>duas extremidades, justificando a consideração de uma única solução para os dois casos.</p><p>Figura 6.27 – Deslocamentos nodais de uma viga biarticulada</p><p>Por sua vez, não faz sentido considerar deslocamentos verticais dos nós da estrutura,</p><p>visto que a translação vertical do nó 1 ou do nó 2 não seria capaz de introduzir esforço</p><p>177</p><p>à estrutura., novamente considerando a hipótese de pequenos deslocamentos. No que</p><p>diz respeito às rotações nodais, elas podem realmente ocorrer. Contudo, como já discu-</p><p>tido anteriormente, tanto o momento no nó 1 quanto o momento no nó 2 são nulos em</p><p>função da presença de apoios articulados. Logo, não há a necessidade de considerar as</p><p>rotações destes nós como deslocabilidades.</p><p>Portanto, o estudo de uma barra biarticulada se resume ao comportamento axial, que é</p><p>o mesmo da barra biengastada.</p><p>Até este item foram calculados os coeficientes de rigidez para alguns tipos de barra. Para</p><p>isso foi suposto que a barra poderia apresentar um certo deslocamento nodal e foram</p><p>calculadas as respectivas reações de apoio, que recebem o nome de coeficientes de ri-</p><p>gidez. Eles serão especialmente úteis na resolução de estruturas hiperestáticas pelo mé-</p><p>todo dos deslocamentos nos casos em que se supõe deslocamentos (ou rotações) uni-</p><p>tários na direção das deslocabilidades, o que ocorre principalmente do caso 1 ao</p><p>n-ésimo caso. Por sua vez, deve-se lembrar que no caso 0 é considerado que o sistema</p><p>hipergeométrico está sujeito ao mesmo carregamento do sistema estrutural original, e</p><p>são determinadas as reações de apoio. Por isso, nos próximos itens, serão desenvolvidas</p><p>as soluções fundamentais (também conhecidas como reações de engastamento per-</p><p>feito) para as cargas mais usuais. As cargas que porventura não forem tratadas neste</p><p>material podem ser deduzidas pelo leitor utilizando a mesma sequência de cálculo, ou</p><p>consultadas em uma literatura sobre o assunto.</p><p>6.2.4 Carga concentrada horizontal</p><p>Seja a barra mostrada na Figura 6.28. Nela percebe-se a atuação de uma força concen-</p><p>trada 𝑃 horizontal para a direita em uma barra biengastada. A força está aplicada a uma</p><p>distância 𝑎 do nó 1 e a uma distância 𝑏 do nó 2. O comprimento total da barra é 𝑙 = 𝑎 +</p><p>𝑏. O objetivo deste problema é determinar as reações de apoio horizontais 𝐻1 e 𝐻2 atu-</p><p>antes, respectivamente, no nó 1 e no nó 2. Em função da dissociação entre o comporta-</p><p>mento axial e do comportamento transversal da barra, a força 𝑃 não despertará reações</p><p>verticais nem momentos em nenhum dos dois nós.</p><p>178</p><p>Figura 6.28 – Barra submetida a uma carga concentrada horizontal</p><p>Como o problema é hiperestático, na resolução será utilizado o método dos esforços. O</p><p>sistema principal considerado é mostrado na Figura 6.29, onde foi considerado</p><p>o apoio</p><p>horizontal da esquerda como hiperestático.</p><p>Figura 6.29 – Sistema principal utilizado na análise de uma barra submetida a uma</p><p>carga concentrada horizontal</p><p>No caso 0, a força 𝑃 atua no sistema principal, como mostrado na Figura 6.30. Portanto,</p><p>é possível definir o esforço normal no caso 0 𝑁0(𝑥) da seguinte forma:</p><p>Figura 6.30 – Caso 0 da análise de uma barra submetida a uma carga concentrada ho-</p><p>rizontal</p><p>𝑁0(𝑥) = 0 0 ≤ 𝑥 < 𝑎</p><p>𝑁0(𝑥) = −𝑃 𝑎 < 𝑥 < 𝑙</p><p>179</p><p>O caso 1, por sua vez, corresponde à aplicação de uma força unitária na direção do hi-</p><p>perestático 1, como mostrado na Figura 6.31. Dessa forma, é possível definir o esforço</p><p>normal no caso 1𝑁1(𝑥) da seguinte forma:</p><p>Figura 6.31 – Caso 1 da análise de uma barra submetida a uma carga concentrada ho-</p><p>rizontal</p><p>𝑁1(𝑥) = −1 0 < 𝑥 < 𝑙</p><p>Calculando os coeficientes de flexibilidade com auxílio do PTV, vem que:</p><p>𝛿10 =</p><p>1</p><p>𝐸𝐴</p><p>(∫ 0 ∗ (−1)𝑑𝑥</p><p>𝑎</p><p>0</p><p>+∫ (−𝑃) ∗ (−1)𝑑𝑥</p><p>𝑙</p><p>𝑎</p><p>)</p><p>𝛿10 =</p><p>𝑃(𝑙 − 𝑎)</p><p>𝐸𝐴</p><p>=</p><p>𝑃𝑏</p><p>𝐸𝐴</p><p>𝛿11 =</p><p>1</p><p>𝐸𝐴</p><p>∫ (−1) ∗ (−1)𝑑𝑥</p><p>𝑙</p><p>0</p><p>𝛿11 =</p><p>𝑙</p><p>𝐸𝐴</p><p>Reestabelecendo a compatibilidade, temos:</p><p>𝑃𝑏</p><p>𝐸𝐴</p><p>+</p><p>𝑙</p><p>𝐸𝐴</p><p>𝐻1 = 0</p><p>𝐻1 = −</p><p>𝑃𝑏</p><p>𝑙</p><p>180</p><p>A outra reação de apoio pode ser encontrada utilizando a equação de equilíbrio:</p><p>∑𝐹𝑥 = 0</p><p>𝐻2 + 𝑃 −</p><p>𝑃𝑏</p><p>𝑙</p><p>= 0</p><p>𝐻2 =</p><p>−𝑃𝑙 + 𝑃𝑏</p><p>𝑙</p><p>=</p><p>−𝑃(𝑙 − 𝑏)</p><p>𝑙</p><p>=</p><p>−𝑃𝑎</p><p>𝑙</p><p>As reações de apoio calculadas anteriormente são mostradas na Figura 6.32.</p><p>Figura 6.32 – Reações de apoio da análise de uma barra submetida a uma carga con-</p><p>centrada horizontal</p><p>Fonte: MARTHA (2010). Adaptado.</p><p>Vale a pena ressaltar que está sendo considerada a dissociação entre o comportamento</p><p>axial e o comportamento transversal da barra. Dessa forma, apesar dessa solução ter</p><p>sido desenvolvida para uma barra biengastada, ela também é válida para barras engas-</p><p>tadas-articuladas e para barras biarticuladas.</p><p>6.2.5 Carga concentrada vertical</p><p>Neste item serão calculadas as reações de apoio em decorrência da aplicação de uma</p><p>carga concentrada vertical 𝑃. Para isso, será estudado tanto o caso das barras biengas-</p><p>tadas quanto o caso das barras esgastadas-articuladas.</p><p>6.2.5.1 Barra biengastada</p><p>Considere a barra biengastada submetida à carga concentrada vertical 𝑃, como mos-</p><p>trado na Figura 6.33. A carga encontra-se a uma distância 𝑎 do nó 1 e a uma distância 𝑏</p><p>181</p><p>do nó 2. O comprimento total da barra é 𝑙 = 𝑎 + 𝑏. O objetivo dessa análise é determi-</p><p>nar as reações de apoio 𝑉1, 𝑉2, 𝑀1 e 𝑀2, correspondentes às reações verticais e momen-</p><p>tos nos nós 1 e 2. Por se tratar de um problema hiperestático, será utilizado o método</p><p>dos esforços. O sistema principal a ser considerado é apresentado na Figura 6.34, onde</p><p>a reação vertical no nó 1 foi considerada como o hiperestático 1 e o momento fletor no</p><p>nó 1 foi considerado como o hiperestático 2.</p><p>Figura 6.33 – Barra biengastada submetida a uma carga concentrada vertical</p><p>Figura 6.34 – Sistema principal utilizado na análise de uma barra submetida a uma</p><p>carga concentrada vertical</p><p>182</p><p>O caso 0, no qual o carregamento externo é aplicado ao sistema principal, é mostrado</p><p>na Figura 6.35. Analisando-a, é possível escrever o momento fletor do caso 0 𝑀0(𝑥) da</p><p>seguinte forma, percebendo que a força 𝑃 traciona as fibras superiores da barra:</p><p>Figura 6.35 – Caso 0 da análise de uma barra submetida a uma carga concentrada</p><p>vertical</p><p>𝑀0(𝑥) = 0 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎</p><p>𝑀0(𝑥) = −𝑃(𝑥 − 𝑎) 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑙</p><p>Por sua vez, o caso 1 é mostrado na Figura 6.36. Nele, uma força é aplicada na direção</p><p>do hiperestático 1. Dessa forma, o momento fletor do caso 1 𝑀1(𝑥) pode ser escrito da</p><p>seguinte forma:</p><p>Figura 6.36 – Caso 1 da análise da análise de uma barra submetida a uma carga con-</p><p>centrada vertical</p><p>𝑀1(𝑥) = 𝑥 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑙</p><p>Já a Figura 6.37 mostra o caso 2 da análise de uma barra biengastada submetida a uma</p><p>carga concentrada vertical. Nela, aplicou-se um momento unitário na direção do hipe-</p><p>restático 2.</p><p>183</p><p>Assim, o momento fletor do caso 2 𝑀2(𝑥) pode ser escrito da seguinte forma:</p><p>Figura 6.37 – Caso 2 da análise da análise de uma barra submetida a uma carga con-</p><p>centrada vertical</p><p>𝑀2(𝑥) = −1 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑙</p><p>Com o uso do PTV, os coeficientes de flexibilidade podem ser calculados como se segue:</p><p>𝛿10 =</p><p>1</p><p>𝐸𝐼</p><p>(∫ 0 ∗ 𝑥 𝑑𝑥</p><p>𝑎</p><p>0</p><p>+∫ −𝑃(𝑥 − 𝑎) ∗ 𝑥 𝑑𝑥</p><p>𝑙</p><p>𝑎</p><p>)</p><p>𝛿10 =</p><p>𝑃</p><p>𝐸𝐼</p><p>(∫ (−𝑥2 + 𝑎𝑥) 𝑑𝑥</p><p>𝑙</p><p>𝑎</p><p>)</p><p>𝛿10 =</p><p>𝑃</p><p>𝐸𝐼</p><p>∗ (−</p><p>𝑙3</p><p>3</p><p>+</p><p>𝑎3</p><p>3</p><p>+</p><p>𝑎𝑙2</p><p>2</p><p>−</p><p>𝑎3</p><p>2</p><p>)</p><p>𝛿10 =</p><p>𝑃</p><p>𝐸𝐼</p><p>∗ (−</p><p>𝑙3</p><p>3</p><p>+</p><p>𝑎𝑙2</p><p>2</p><p>−</p><p>𝑎3</p><p>6</p><p>)</p><p>𝛿20 =</p><p>1</p><p>𝐸𝐼</p><p>(∫ 0 ∗ 𝑥 𝑑𝑥</p><p>𝑎</p><p>0</p><p>+∫ −𝑃(𝑥 − 𝑎) ∗ (−1) 𝑑𝑥</p><p>𝑙</p><p>𝑎</p><p>)</p><p>𝛿20 =</p><p>𝑃</p><p>𝐸𝐼</p><p>(∫ (𝑥 − 𝑎) 𝑑𝑥</p><p>𝑙</p><p>𝑎</p><p>)</p><p>𝛿20 =</p><p>𝑃</p><p>𝐸𝐼</p><p>(</p><p>𝑙2</p><p>2</p><p>−</p><p>𝑎2</p><p>2</p><p>− 𝑎𝑙 + 𝑎2)</p><p>𝛿20 =</p><p>𝑃</p><p>𝐸𝐼</p><p>(</p><p>𝑙2</p><p>2</p><p>− 𝑎𝑙 +</p><p>𝑎2</p><p>2</p><p>)</p><p>𝛿11 =</p><p>1</p><p>𝐸𝐼</p><p>(∫ 𝑥 ∗ 𝑥 𝑑𝑥</p><p>𝑙</p><p>0</p><p>)</p><p>𝛿11 =</p><p>𝑙3</p><p>3𝐸𝐼</p><p>184</p><p>𝛿12 = 𝛿21 =</p><p>1</p><p>𝐸𝐼</p><p>(∫ 𝑥 ∗ (−1) 𝑑𝑥</p><p>𝑙</p><p>0</p><p>)</p><p>𝛿12 = 𝛿21 = −</p><p>𝑙2</p><p>2𝐸𝐼</p><p>𝛿22 =</p><p>1</p><p>𝐸𝐼</p><p>(∫ (−1) ∗ (−1) 𝑑𝑥</p><p>𝑙</p><p>0</p><p>)</p><p>𝛿22 =</p><p>𝑙</p><p>𝐸𝐼</p><p>Retomando a compatibilidade:</p><p>{</p><p>𝑃</p><p>𝐸𝐼</p><p>∗ (−</p><p>𝑙3</p><p>3</p><p>+</p><p>𝑎𝑙2</p><p>2</p><p>−</p><p>𝑎3</p><p>6</p><p>)</p><p>𝑃</p><p>𝐸𝐼</p><p>(</p><p>𝑙2</p><p>2</p><p>− 𝑎𝑙 +</p><p>𝑎2</p><p>2</p><p>)</p><p>}</p><p>+</p><p>[</p><p>𝑙3</p><p>3𝐸𝐼</p><p>−</p><p>𝑙2</p><p>2𝐸𝐼</p><p>−</p><p>𝑙2</p><p>2𝐸𝐼</p><p>𝑙</p><p>𝐸𝐼 ]</p><p>{</p><p>𝑉1</p><p>𝑀1</p><p>} = {</p><p>0</p><p>0</p><p>}</p><p>Resolvendo o sistema de equações lineares, temos:</p><p>{</p><p>𝑉1</p><p>𝑀1</p><p>} =</p><p>{</p><p>𝑃(𝑎 − 𝑙)2(2𝑎 + 𝑙)</p><p>𝑙3</p><p>𝑃𝑎(𝑎 − 𝑙)2</p><p>𝑙2 }</p><p>=</p><p>{</p><p>𝑃𝑏2(3𝑎 + 𝑏)</p><p>𝑙3</p><p>𝑃𝑎𝑏2</p><p>𝑙2 }</p><p>As outras reações de apoio podem ser encontradas através das equações de equilíbrio.</p><p>∑𝐹𝑦 = 0</p><p>𝑉2 − 𝑃 +</p><p>𝑃𝑏2(3𝑎 + 𝑏)</p><p>𝑙3</p><p>= 0</p><p>𝑉2 =</p><p>𝑃𝑙3 − 𝑃𝑏2(3𝑎 + 𝑏)</p><p>𝑙3</p><p>𝑉2 =</p><p>𝑃((𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2) ∗ (𝑎 + 𝑏) − 𝑏2(3𝑎 + 𝑏))</p><p>𝑙3</p><p>𝑉2 =</p><p>𝑃(𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3 − 3𝑎𝑏2 − 𝑏3)</p><p>𝑙3</p><p>185</p><p>𝑉2 =</p><p>𝑃𝑎2(3𝑏 + 𝑎)</p><p>𝑙3</p><p>∑𝑀1 = 0</p><p>𝑀2 +</p><p>𝑃𝑎𝑏2</p><p>𝑙2</p><p>− 𝑃 ∗ 𝑎 +</p><p>𝑃𝑎2(3𝑏 + 𝑎)</p><p>𝑙3</p><p>∗ 𝑙 = 0</p><p>𝑀2 =</p><p>−𝑃𝑎𝑏2 + 𝑃𝑎𝑙2 − 3𝑃𝑎2𝑏 − 𝑃𝑎3</p><p>𝑙2</p><p>𝑀2 =</p><p>𝑃 ∗ (−𝑎𝑏2 + 𝑎3 + 2𝑎2𝑏 + 𝑎𝑏2 − 3𝑎2𝑏 − 𝑎3)</p><p>𝑙2</p><p>𝑀2 =</p><p>−𝑃𝑎2𝑏</p><p>𝑙2</p><p>A Figura 6.38 mostra as reações de apoio calculadas anteriormente para o caso de uma</p><p>carga concentrada vertical aplicada em uma viga biengastada.</p><p>Figura 6.38 – Reações de apoio da análise de uma barra biengastada submetida a</p><p>uma carga concentrada vertical</p><p>Fonte: MARTHA (2010). Adaptado.</p><p>No caso particular no qual a carga é aplicada no meio do vão, tem-se que 𝑎 = 𝑏 = 𝑙 2⁄ .</p><p>Assim, podemos escrever as reações de apoio:</p><p>𝑉1 =</p><p>4𝑃𝑎3</p><p>𝑙3</p><p>=</p><p>𝑃</p><p>2</p><p>𝑀1 =</p><p>𝑃𝑎3</p><p>𝑙2</p><p>=</p><p>𝑃𝑙</p><p>8</p><p>186</p><p>𝑉2 =</p><p>𝑃</p><p>2</p><p>𝑀2 = −</p><p>𝑃𝑙</p><p>8</p><p>Essas reações de apoio estão representadas na Figura 6.39.</p><p>Figura 6.39 – Reações de apoio da análise de uma barra biengastada submetida a</p><p>uma carga concentrada vertical no meio do vão</p><p>Fonte: MARTHA (2010). Adaptado.</p><p>6.2.5.2 Barra engastada-articulada</p><p>Para a viga engastada-articulada, um desenvolvimento semelhante ao anterior pode ser</p><p>efetuado. As reações de engastamento perfeito para o caso de uma carga concentrada</p><p>aplicada no meio do vão são mostradas na Figura 6.40.</p><p>187</p><p>Figura 6.40 – Reações de apoio da análise de uma barra engagstada-articulada sub-</p><p>metida a uma carga concentrada vertical no meio do vão</p><p>Fonte: MARTHA (2010). Adaptado.</p><p>6.2.6 Carga uniformemente distribuída</p><p>Para o caso de uma carga uniformemente distribuída aplicada ao longo de toda a barra,</p><p>as reações de engastamento perfeito são mostradas na Figura 6.41. Novamente, elas</p><p>podem ser obtidas pelo método dos esforços, seguindo procedimentos de cálculo se-</p><p>melhantes aos adotados anteriormente.</p><p>Figura 6.41 – Reações de apoio da análise de barras biengastadas ou engastadas-arti-</p><p>culadas submetidas a carregamento uniformemente distribuído</p><p>Fonte: MARTHA (2010). Adaptado.</p><p>188</p><p>6.3 Análise de vigas pelo método dos deslocamentos</p><p>Na sequência</p><p>será mostrado um exemplo de resolução de uma viga hiperestática pelo</p><p>método dos deslocamentos. Suponha que a estrutura mostrada na Figura 6.40 corres-</p><p>ponde a uma viga hiperestática com 3 vãos. No vão 3-4 há uma carga uniformemente</p><p>distribuída de 3,0kN/m. Para essa viga devem ser determinadas as reações de apoio e</p><p>os diagramas de esforços solicitantes. Considere que todas as barras possuem 𝐸𝐼 =</p><p>60000𝑘𝑁𝑚2.</p><p>Figura 6.42 – Viga hiperestática a ser resolvida pelo método dos deslocamentos</p><p>6.3.1 Indeterminação cinemática e sistema hipergeométrico</p><p>Analisando a estrutura original, percebe-se que as deslocabilidades são a rotação do nó</p><p>2, que será a deslocabilidade número 1, e a rotação do nó 3, que será a deslocabilidade</p><p>número 2. Portanto, a indeterminação cinemática da estrutura é igual a 2. Para eliminar</p><p>estas indeterminações cinemáticas, são introduzidos os apoios fictícios e chega-se ao</p><p>sistema hipergeométrico mostrado na Figura 6.43.</p><p>189</p><p>Figura 6.43 – Análise de vigas – Sistema hipergeométrico</p><p>6.3.2 Caso 0</p><p>No caso 0, considera-se o sistema hipergeométrico submetido ao carregamento da es-</p><p>trutura original, como mostrado na Figura 6.42.</p><p>Figura 6.44 – Análise de vigas – Caso 0</p><p>Para a análise de uma barra biengastada submetida a carga uniformemente distribuída,</p><p>deve-se calcular os seguintes coeficientes:</p><p>𝑞𝑙</p><p>2</p><p>=</p><p>3 ∗ 10</p><p>2</p><p>= 15𝑘𝑁</p><p>𝑞𝑙2</p><p>12</p><p>=</p><p>3 ∗ 102</p><p>12</p><p>= 25𝑘𝑁𝑚</p><p>As reações na extremidade da barra 3-4 são mostradas na Figura 6.45.</p><p>190</p><p>Figura 6.45 – Análise de vigas – Caso 0 – Reações na extremidade da barra 3-4</p><p>Para a realização do equilíbrio do nó 3 apresentado na Figura 6.44, as reações da extre-</p><p>midade esquerda da barra 3-4 foram transferidas para o nó com o sentido trocado, em</p><p>função da ação e reação. Dessa forma, realizando o equilíbrio deste nó, é possível obter:</p><p>Figura 6.46 – Análise de vigas – Caso 0 – Equilíbrio do nó 3</p><p>𝛽20 = 25𝑘𝑁𝑚</p><p>𝑉30 = 15𝑘𝑁</p><p>Por sua vez, através do equilíbrio do nó 4 mostrado na Figura 6.47, é possível obter:</p><p>Figura 6.47 – Análise de vigas – Caso 0 – Equilíbrio do nó 4</p><p>𝑉40 = 15𝑘𝑁</p><p>𝑀40 = −25𝑘𝑁𝑚</p><p>191</p><p>É possível observar que, no caso 0, nem a barra 1-2 nem a barra 2-3 foram solicitadas.</p><p>Consequentemente, as reações de apoio são nulas, ou seja:</p><p>𝑉10 = 𝑉20 = 0,0𝑘𝑁</p><p>𝛽10 = 0,0𝑘𝑁𝑚</p><p>6.3.3 Caso 1</p><p>No caso 1 é imposta uma rotação unitária na direção do hiperestático 1, como mostrado</p><p>na Figura 6.48.</p><p>Figura 6.48 – Análise de vigas – Caso 1</p><p>Para uma viga engastada-apoiada submetida a uma rotação do nó engastado, podem</p><p>ser calculados os seguintes coeficientes:</p><p>3𝐸𝐼</p><p>𝑙2</p><p>=</p><p>3 ∗ 60000</p><p>102</p><p>= 1800𝑘𝑁/𝑟𝑎𝑑</p><p>3𝐸𝐼</p><p>𝑙</p><p>=</p><p>3 ∗ 60000</p><p>10</p><p>= 18000𝑘𝑁𝑚/𝑟𝑎𝑑</p><p>Os esforços na extremidade da barra 1-2 são mostrados na Figura 6.49.</p><p>Figura 6.49 – Análise de vigas – Caso 1 – Reações na extremidade da barra 1-2</p><p>192</p><p>Por sua vez, para a barra biengastada submetida a uma rotação unitária, podem ser cal-</p><p>culados os seguintes coeficientes:</p><p>6𝐸𝐼</p><p>𝑙2</p><p>=</p><p>6 ∗ 60000</p><p>152</p><p>= 1600𝑘𝑁/𝑟𝑎𝑑</p><p>4𝐸𝐼</p><p>𝑙</p><p>=</p><p>4 ∗ 60000</p><p>15</p><p>= 16000𝑘𝑁𝑚/𝑟𝑎𝑑</p><p>2𝐸𝐼</p><p>𝑙</p><p>=</p><p>2 ∗ 60000</p><p>15</p><p>= 8000𝑘𝑁𝑚/𝑟𝑎𝑑</p><p>Os esforços na extremidade da barra 2-3 são mostrados na Figura 6.50.</p><p>Figura 6.50 – Análise de vigas – Caso 1 – Reações na extremidade da barra 2-3</p><p>Transferindo as reações da extremidade esquerda da barra 1-2 para o nó 1, é possível</p><p>representar o equilíbrio mostrado na Figura 6.51. Dessa forma, temos:</p><p>Figura 6.51 – Análise de vigas – Caso 1 – Equilíbrio do nó 1</p><p>𝑉11 = 1800𝑘𝑁/𝑟𝑎𝑑</p><p>193</p><p>Transferindo as reações da extremidade direita da barra 1-2 e as reações da extremi-</p><p>dade esquerda da barra 2-3 para o nó 2, é possível representar o equilíbrio mostrado na</p><p>Figura 6.52. Dessa forma, temos:</p><p>Figura 6.52 – Análise de vigas – Caso 1 – Equilíbrio do nó 2</p><p>𝑉21 = −200𝑘𝑁/𝑟𝑎𝑑</p><p>𝛽11 = 34000𝑘𝑁𝑚/𝑟𝑎𝑑</p><p>Transferindo as reações da extremidade direita da barra 2-3 para o nó 3, é possível re-</p><p>presentar o equilíbrio mostrado na Figura 6.53. Dessa forma, vem que:</p><p>Figura 6.53 – Análise de vigas – Caso 1 – Equilíbrio do nó 3</p><p>𝑉31 = −1600𝑘𝑁/𝑟𝑎𝑑</p><p>𝛽21 = 8000𝑘𝑁𝑚/𝑟𝑎𝑑</p><p>Como a barra 3-4 não sofre deslocamento, as reações de apoio do nó 4 são nulas, ou</p><p>seja:</p><p>𝑉41 = 0,0𝑘𝑁</p><p>𝑀41 = 0,0𝑘𝑁𝑚</p><p>194</p><p>6.3.4 Caso 2</p><p>No caso 2 é imposta uma rotação unitária na direção do hiperestático 2, como mostrado</p><p>na Figura 6.54.</p><p>Figura 6.54 – Análise de vigas – Caso 2</p><p>Para a barra biengastada 2-3 submetida a uma rotação unitária, podem ser calculados</p><p>os seguintes coeficientes:</p><p>6𝐸𝐼</p><p>𝑙2</p><p>=</p><p>6 ∗ 60000</p><p>152</p><p>= 1600𝑘𝑁/𝑟𝑎𝑑</p><p>2𝐸𝐼</p><p>𝑙</p><p>=</p><p>2 ∗ 60000</p><p>15</p><p>= 8000𝑘𝑁𝑚/𝑟𝑎𝑑</p><p>4𝐸𝐼</p><p>𝑙</p><p>=</p><p>4 ∗ 60000</p><p>15</p><p>= 16000𝑘𝑁𝑚/𝑟𝑎𝑑</p><p>As reações nas extremidades da barra 2-3 são mostradas na Figura 6.55.</p><p>Figura 6.55 – Análise de vigas – Caso 2 – Reações na extremidade da barra 2-3</p><p>195</p><p>Já para a barra biengastada 3-4 submetida a uma rotação unitária, podem ser calculados</p><p>os seguintes coeficientes:</p><p>6𝐸𝐼</p><p>𝑙2</p><p>=</p><p>6 ∗ 60000</p><p>102</p><p>= 3600𝑘𝑁/𝑟𝑎𝑑</p><p>4𝐸𝐼</p><p>𝑙</p><p>=</p><p>4 ∗ 60000</p><p>10</p><p>= 24000𝑘𝑁𝑚/𝑟𝑎𝑑</p><p>2𝐸𝐼</p><p>𝑙</p><p>=</p><p>2 ∗ 60000</p><p>10</p><p>= 12000𝑘𝑁𝑚/𝑟𝑎𝑑</p><p>As reações nas extremidades da barra 3-4 são mostradas na Figura 6.56.</p><p>Figura 6.56: Análise de vigas – Caso 2 – Reações na extremidade da barra 3-4</p><p>Transferindo as reações da extremidade esquerda da barra 2-3 para o nó 2, é possível</p><p>representar o equilíbrio mostrado na Figura 6.57. Dessa forma, temos:</p><p>Figura 6.57 – Análise de vigas – Caso 2 – Equilíbrio do nó 2</p><p>𝑉22 = 1600𝑘𝑁/𝑟𝑎𝑑</p><p>𝛽12 = 8000𝑘𝑁𝑚/𝑟𝑎𝑑</p><p>196</p><p>Transferindo as reações da extremidade direita da barra 2-3 e da extremidade esquerda</p><p>da barra 3-4 para o nó 3, é possível representar o equilíbrio mostrado na Figura 6.58.</p><p>Dessa forma, temos:</p><p>Figura 6.58 – Análise de vigas – Caso 2 – Equilíbrio do nó 3</p><p>𝑉32 = 2000𝑘𝑁/𝑟𝑎𝑑</p><p>𝛽22 = 40000𝑘𝑁𝑚/𝑟𝑎𝑑</p><p>Transferindo as reações da extremidade direita da barra 3-4 para o nó 4, é possível re-</p><p>presentar o equilíbrio mostrado na Figura 6.59. Dessa forma, temos:</p><p>Figura 6.59 – Análise de vigas – Caso 2 – Equilíbrio do nó 4</p><p>𝑉42 = −3600𝑘𝑁/𝑟𝑎𝑑</p><p>𝑀42 = 12000𝑘𝑁𝑚/𝑟𝑎𝑑</p><p>Como a barra 1-2 não sofreu deslocamento, a reação de apoio do nó 1 é nula, ou seja:</p><p>𝑉12 = 0,0𝑘𝑁</p><p>197</p><p>6.3.5 Equilíbrio da estrutura, cálculo das deslocabilidades e das reações de apoio</p><p>O equilíbrio da estrutura pode ser reestabelecido através da combinação dos casos de</p><p>carregamento calculados anteriormente. Dessa forma, é possível escrever a seguinte</p><p>relação matricial:</p><p>{</p><p>0</p><p>25</p><p>} + [</p><p>34000 8000</p><p>8000 40000</p><p>] {</p><p>𝑑1</p><p>𝑑2</p><p>} = {</p><p>0</p><p>0</p><p>}</p><p>{</p><p>𝑑1</p><p>𝑑2</p><p>} = {</p><p>1,5432 ∗ 10−4𝑟𝑎𝑑</p><p>−6,5586 ∗ 10−4𝑟𝑎𝑑</p><p>}</p><p>As deslocabilidades calculadas correspondem à rotação na seção do nó 2 e do nó 3, res-</p><p>pectivamente.</p><p>Figura 6.60 – Análise de vigas – deformada</p><p>As demais reações de apoio podem ser obtidas, de forma semelhante, através da com-</p><p>binação dos casos básicos. Portanto, temos:</p><p>{</p><p>𝑉1</p><p>𝑉2</p><p>𝑉3</p><p>𝑉4</p><p>𝑀4}</p><p>=</p><p>{</p><p>0,0</p><p>0,0</p><p>15</p><p>15</p><p>−25}</p><p>+</p><p>[</p><p>1800 0</p><p>−200 1600</p><p>−1600 2000</p><p>0 −3600</p><p>0 12000 ]</p><p>{</p><p>1,5432 ∗ 10−4</p><p>−6,5586 ∗ 10−4</p><p>}</p><p>{</p><p>𝑉1</p><p>𝑉2</p><p>𝑉3</p><p>𝑉4</p><p>𝑀4}</p><p>=</p><p>{</p><p>0,2778𝑘𝑁</p><p>−1,0802𝑘𝑁</p><p>13,4414𝑘𝑁</p><p>17,3611𝑘𝑁</p><p>−32,8703𝑘𝑁𝑚}</p><p>198</p><p>As reações de apoio calculadas são mostradas na Figura 6.61.</p><p>Figura 6.61 – Análise de vigas – Reações de apoio</p><p>6.3.6 Determinação dos esforços solicitantes</p><p>De posse das reações de apoio, os esforços solicitantes podem ser determinados e re-</p><p>presentados na forma de diagramas.</p><p>Na barra 1-2, analisando a Figura 6.61, temos:</p><p>𝑉1−2(𝑥) = 0,2778𝑘𝑁</p><p>𝑀1−2(𝑥) = 0,2778𝑥</p><p>𝑀1−2(10) = 2,778𝑘𝑁𝑚</p><p>Na barra 2-3:</p><p>𝑉2−3(𝑥) = 0,2778 − 1,0802 = −0,8024𝑘𝑁</p><p>𝑀2−3(𝑥) = 0,2778𝑥 − 1,0802(𝑥</p><p>− 10) = −0,8024𝑥 + 10,802</p><p>𝑀2−3(25) = −9,258𝑘𝑁𝑚</p><p>−0,8024𝑥 + 10,802 = 0 → 𝑥 = 13,4621𝑚</p><p>199</p><p>Na barra 3-4, olhando para a direita, temos:</p><p>𝑉3−4(𝑥`) = −17,3611 + 3𝑥`</p><p>𝑉3−4(10) = 12,6389𝑘𝑁</p><p>−17,3611 + 3𝑥` = 0 → 𝑥` = 5,7870𝑚</p><p>𝑀3−4(𝑥`) = −32,8703 + 17,3611𝑥` − 1,5𝑥`</p><p>2</p><p>𝑀3−4(5,7870) = 17,3643𝑘𝑁𝑚</p><p>Figura 6.62 – Análise de vigas – Diagrama de esforço cortante</p><p>Figura 6.63 – Análise de vigas – Diagrama de momento fletor</p><p>200</p><p>6.4 Análise de pórticos</p><p>Neste item será apresentado um exemplo de resolução de um pórtico hiperestático</p><p>através do método dos deslocamentos. Para isso, considere o pórtico mostrado na Fi-</p><p>gura 6.64. Sendo 𝐸𝐼 = 60000𝑘𝑁𝑚2, devem ser determinadas as reações de apoio e</p><p>apresentados os diagramas de esforço solicitante.</p><p>Figura 6.64 – Pórtico hiperestático a ser resolvido pelo método dos deslocamentos</p><p>6.4.1 Indeterminação cinemática e sistema hipergeométrico</p><p>Inicialmente, percebe-se que os nós 1 e 3 encontram-se engastados, ou seja, todos os</p><p>deslocamentos nesses nós estão bloqueados. Contudo, o apoio no nó 2 é capaz de blo-</p><p>quear apenas o deslocamento horizontal e o deslocamento vertical. Com isso, há uma</p><p>deslocabilidade na estrutura, correspondente à rotação do nó 2. Consequentemente, o</p><p>grau de indeterminação cinemático é igual a 1.</p><p>O sistema hipergeométrico pode ser construído com a eliminação da deslocabilidade,</p><p>através da inserção de uma restrição à rotação do nó 2, como mostrado na Figura 6.65.</p><p>201</p><p>Figura 6.65 – Análise de pórticos – Sistema hipergeométrico</p><p>6.4.2 Caso 0</p><p>O caso 0 consiste na aplicação do carregamento da estrutura original no sistema hiper-</p><p>geométrico, como mostrado na Figura 6.66.</p><p>Figura 6.66 – A Análise de pórticos – Caso 0</p><p>Como a barra 1-2 é biengastada e está sujeita à aplicação de um carregamento unifor-</p><p>memente distribuído, os seguintes coeficientes podem ser calculados:</p><p>𝑞𝑙</p><p>2</p><p>=</p><p>3 ∗ 5</p><p>2</p><p>= 7,5𝑘𝑁</p><p>𝑞𝑙2</p><p>12</p><p>=</p><p>3 ∗ 52</p><p>12</p><p>= 6,25𝑘𝑁𝑚</p><p>202</p><p>Os esforços nas extremidades da barra 1-2 estão apresentados na Figura 6.67.</p><p>Figura 6.67 – Análise de pórticos – Caso 0 – Esforços na extremidade da barra 1-2</p><p>A barra 2-3, por estar descarregada, apresentará esforços nulos nas suas extremidades</p><p>durante o caso 0. O equilíbrio do nó 1 é realizado na Figura 6.68.</p><p>Figura 6.68 – Análise de pórticos – Caso 0 – Equilíbrio do nó 1</p><p>𝐻10 = 0,0𝑘𝑁</p><p>𝑉10 = 7,5𝑘𝑁</p><p>𝑀10 = 6,25𝑘𝑁𝑚</p><p>O equilíbrio do nó 2 é mostrado na Figura 6.69.</p><p>Figura 6.69 – Análise de pórticos – Caso 0 – Equilíbrio do nó 2</p><p>𝐻20 = 0,0𝑘𝑁</p><p>𝑉20 = 7,5𝑘𝑁</p><p>𝛽10 = −6,25𝑘𝑁𝑚</p><p>203</p><p>Do equilíbrio do nó 3 (totalmente descarregado), podemos escrever:</p><p>𝐻30 = 0,0𝑘𝑁</p><p>𝑉30 = 0,0𝑘𝑁</p><p>𝑀30 = 0,0𝑘𝑁𝑚</p><p>6.4.3 Caso 1</p><p>No caso 1, uma rotação unitária é aplicada na direção da deslocabilidade, como mos-</p><p>trado na Figura 6.70.</p><p>Figura 6.70 – Análise de pórticos – Caso 1</p><p>Como a barra 1-2 é biengastada e está submetida a uma rotação do nó final, os seguintes</p><p>coeficientes podem ser calculados:</p><p>6𝐸𝐼</p><p>𝑙2</p><p>=</p><p>6 ∗ 60000</p><p>52</p><p>= 14400𝑘𝑁/𝑟𝑎𝑑</p><p>2𝐸𝐼</p><p>𝑙</p><p>=</p><p>2 ∗ 60000</p><p>5</p><p>= 24000𝑘𝑁𝑚/𝑟𝑎𝑑</p><p>4𝐸𝐼</p><p>𝑙</p><p>=</p><p>4 ∗ 60000</p><p>5</p><p>= 48000𝑘𝑁𝑚/𝑟𝑎𝑑</p><p>204</p><p>Os esforços nas extremidades da barra 1-2 são mostrados na Figura 6.71.</p><p>Figura 6.71 – Análise de pórticos – Caso 1 – Esforços na extremidade da barra 1-2</p><p>Por sua vez, a barra 2-3 encontra-se biengastada e sofre uma rotação do seu nó inicial.</p><p>Portanto, os seguintes coeficientes podem ser calculados:</p><p>6𝐸𝐼</p><p>𝑙2</p><p>=</p><p>6 ∗ 60000</p><p>(3√2)</p><p>2 = 20000𝑘𝑁/𝑟𝑎𝑑</p><p>4𝐸𝐼</p><p>𝑙</p><p>=</p><p>4 ∗ 60000</p><p>3√2</p><p>= 56568,5425𝑘𝑁𝑚/𝑟𝑎𝑑</p><p>2𝐸𝐼</p><p>𝑙</p><p>=</p><p>2 ∗ 60000</p><p>3√2</p><p>= 28284,2712𝑘𝑁𝑚/𝑟𝑎𝑑</p><p>Os esforços nas extremidades da barra 2-3 são mostrados na Figura 6.72.</p><p>Figura 6.72 – Análise de pórticos – Caso 1 – Esforços na extremidade da barra 2-3</p><p>205</p><p>O equilíbrio do nó 1 é apresentado na Figura 6.73.</p><p>Figura 6.73 – Análise de pórticos – Caso 1 – Equilíbrio do nó 1</p><p>𝐻11 = 0,0𝑘𝑁</p><p>𝑉11 = 14400𝑘𝑁/𝑟𝑎𝑑</p><p>𝑀11 = 24000𝑘𝑁𝑚/𝑟𝑎𝑑</p><p>O equilíbrio do nó 2 é apresentado na Figura 6.74. Deve-se lembrar que, pela geometria</p><p>da estrutura, tem-se 𝛼 = 45𝑜. Além disso, 𝑠𝑒𝑛(45𝑜) = 𝑐𝑜𝑠(45𝑜) = √2</p><p>2</p><p>⁄ .</p><p>Figura 6.74 – Análise de pórticos – Caso 1 – Equilíbrio do nó 2</p><p>𝐻21 + 20000 ∗</p><p>√2</p><p>2</p><p>= 0 → 𝐻21 = −14142,1356𝑘𝑁/𝑟𝑎𝑑</p><p>𝑉21 + 14400 − 20000 ∗</p><p>√2</p><p>2</p><p>= 0 → 𝑉21 = −257,8644𝑘𝑁/𝑟𝑎𝑑</p><p>𝛽11 − 48000 − 56568,5425 = 0 → 𝛽11 = 104568,5425𝑘𝑁𝑚/𝑟𝑎𝑑</p><p>206</p><p>O equilíbrio do nó 3 é mostrado na Figura 6.75.</p><p>Figura 6.75 – Análise de pórticos – Caso 1 – Equilíbrio do nó 3</p><p>𝐻31 − 20000 ∗</p><p>√2</p><p>2</p><p>= 0 → 𝐻31 = 14142,1356𝑘𝑁/𝑟𝑎𝑑</p><p>𝑉31 + 20000 ∗</p><p>√2</p><p>2</p><p>= 0 → 𝑉31 = −14142,1356𝑘𝑁/𝑟𝑎𝑑</p><p>𝑀31 − 28284,2712 = 0 → 𝑀31 = 28284,2712𝑘𝑁𝑚/𝑟𝑎𝑑</p><p>6.4.4 Equilíbrio da estrutura, cálculo da deslocabilidade e das reações de apoio</p><p>O equilíbrio da estrutura pode ser retomado a partir da seguinte equação:</p><p>−6,25 + 104568,5425 ∗ 𝑑1 = 0</p><p>𝑑1 = 5,9769 ∗ 10</p><p>−5𝑟𝑎𝑑</p><p>207</p><p>A deslocabilidade é mostrada na Figura 6.76 por meio da rotação do nó 2.</p><p>Figura 6.76 – Análise de pórticos – Deslocabilidade</p><p>Já as reações de apoio podem ser calculadas por meio de uma superposição dos casos</p><p>básicos:</p><p>{</p><p>𝐻1</p><p>𝑉1</p><p>𝑀1</p><p>𝐻2</p><p>𝑉2</p><p>𝐻3</p><p>𝑉3</p><p>𝑀3}</p><p>=</p><p>{</p><p>0,0</p><p>7,5</p><p>6,25</p><p>0</p><p>7,5</p><p>0</p><p>0</p><p>0 }</p><p>+</p><p>{</p><p>0,0</p><p>14400</p><p>24000</p><p>−14142,1356</p><p>−257,8644</p><p>14142,1356</p><p>−14142,1356</p><p>28284,2712 }</p><p>∗ 5,9769 ∗ 10−5</p><p>{</p><p>𝐻1</p><p>𝑉1</p><p>𝑀1</p><p>𝐻2</p><p>𝑉2</p><p>𝐻3</p><p>𝑉3</p><p>𝑀3}</p><p>=</p><p>{</p><p>0,0𝑘𝑁</p><p>8,3607𝑘𝑁</p><p>7,6844𝑘𝑁𝑚</p><p>−0,8453𝑘𝑁</p><p>7,4846𝑘𝑁</p><p>0,8453𝑘𝑁</p><p>−0,8453𝑘𝑁</p><p>1,6905𝑘𝑁𝑚}</p><p>208</p><p>As reações de apoio são apresentadas na Figura 6.77.</p><p>Figura 6.77 – Análise de pórticos –Reações de apoio</p><p>6.4.5 Determinação dos esforços solicitantes</p><p>As equações dos esforços solicitantes da barra 1-2 podem ser escritas diretamente a</p><p>partir das reações de apoio e da força uniformemente distribuída atuante na barra, logo:</p><p>𝑁1−2(𝑥) = 0,0𝑘𝑁</p><p>𝑉1−2(𝑥) = 8,3607 − 3𝑥</p><p>𝑉1−2(0) = 8,3607𝑘𝑁</p><p>𝑉1−2(5) = −6,6393𝑘𝑁</p><p>8,3607 − 3𝑥 = 0 → 𝑥 = 2,7869𝑚</p><p>𝑀1−2(𝑥) = −7,6844 + 8,3607𝑥 − 1,5𝑥</p><p>2</p><p>𝑀1−2(0) = −7,6844𝑘𝑁𝑚</p><p>𝑀1−2(2,7869) = 3,9658𝑘𝑁𝑚</p><p>𝑀1−2(5) = −3,3809𝑘𝑁𝑚</p><p>209</p><p>Já para determinar os esforços na barra 2-3, é necessário escrever os esforços atuantes</p><p>no nó 3 na direção transversal e longitudinal da barra. Dessa forma, temos:</p><p>𝐹𝑥 = 0,8453 ∗</p><p>√2</p><p>2</p><p>− 0,8453 ∗</p><p>√2</p><p>2</p><p>= 0,0𝑘𝑁</p><p>𝐹𝑦 = −0,8453 ∗</p><p>√2</p><p>2</p><p>− 0,8453 ∗</p><p>√2</p><p>2</p><p>= −1,1954𝑘𝑁</p><p>Realizando um corte imaginário na barra 2-3 e olhando para o nó 3, temos:</p><p>𝑁2−3(𝑥`) = 0,0𝑘𝑁</p><p>𝑉2−3(𝑥`) = 1,1954𝑘𝑁</p><p>𝑀2−3(𝑥`) = 1,6905 − 1,1954𝑥`</p><p>𝑀2−3(0) = 1,6905𝑘𝑁𝑚</p><p>𝑀2−3(3√2) = −3,3811𝑘𝑁𝑚</p><p>Os diagramas de esforço solicitantes da estrutura são apresentados na Figura 6.78, Fi-</p><p>gura 6.79 e Figura 6.80.</p><p>210</p><p>Figura 6.78 – Análise de pórticos – Diagrama de esforço normal</p><p>Figura 6.79 – Análise de pórticos – Diagrama de esforço cortante</p><p>Figura 6.80 – Análise de pórticos – Diagrama de momento fletor</p><p>211</p><p>6.5 Deformações impostas e variação de temperatura</p><p>As deformações impostas podem ser encontradas em estruturas por diversos motivos.</p><p>Os apoios, por exemplo, podem ser os elementos estruturais responsáveis por transmi-</p><p>tir os esforços da estrutura para o solo ou rocha imediatamente abaixo da estrutura. Em</p><p>razão dessa transmissão, pode haver um deslocamento (recalque) do terreno. O recal-</p><p>que é comumente estudado e determinado pelos engenheiros geotécnicos.</p><p>Outro exemplo de deformações impostas em uma estrutura são os defeitos de fabrica-</p><p>ção. Por vezes, elementos estruturais, como barras que compõem uma treliça, são fa-</p><p>bricados com</p><p>um comprimento maior ou menor do que o especificado. Senão, alguns</p><p>elementos também podem ser fabricados com uma leve rotação na(s) extremidade(s),</p><p>não especificada em projeto. No intuito de evitar o descarte da peça problemática e a</p><p>fabricação de um outro elemento (ou em alguns casos a desmontagem da estrutura), o</p><p>engenheiro estrutural pode ser requisitado a analisar os impactos deste desvio. Se</p><p>aceito, é possível evitar um prejuízo significativo ao projeto.</p><p>Apesar de geralmente serem pequenos, tanto o recalque dos apoios quanto os defeitos</p><p>de fabricação, devem ser considerados na análise estrutural. Sobretudo em estruturas</p><p>hiperestáticas, as deformações impostas podem introduzir esforços solicitantes signifi-</p><p>cativos nos elementos estruturais.</p><p>Ao analisar uma estrutura hiperestática por meio do método dos deslocamentos, as de-</p><p>formações impostas podem ser analisadas como as cargas aplicadas à estrutura original,</p><p>ou seja, no caso 0. Como está sendo suposto que as estruturas trabalhem em um regime</p><p>elástico-linear e que o regime de pequenos deslocamentos é válido, as cargas aplicadas</p><p>à estrutura e as deformações impostas podem ser analisadas separadamente e os seus</p><p>efeitos somados através da superposição.</p><p>A análise das deformações impostas é bastante simples. Deve-se lembrar que no item</p><p>6.2 já foram definidos os coeficientes de rigidez para a barra biengastada, engastada-</p><p>articulada e para a barra biarticulada. Para a definição destes coeficientes foi suposta a</p><p>presença de um deslocamento nodal e foram calculadas as reações de apoio correspon-</p><p>dentes.</p><p>212</p><p>O procedimento de análise das deformações impostas é exatamente o mesmo. A defor-</p><p>mação imposta desencadeará o aparecimento de reações de apoio, que são esforços</p><p>nas extremidades das barras afetadas pela deformação imposta e que podem ser calcu-</p><p>lados através dos coeficientes já apresentados. Por sua vez, os esforços nas extremida-</p><p>des das barras podem ser transmitidos aos nós juntamente com os esforços referentes</p><p>ao carregamento, durante o caso 0. Ao realizar o equilíbrio dos nós, é possível determi-</p><p>nar naturalmente os termos de carga.</p><p>Outro aspecto importante de se considerar são os efeitos oriundos da variação de tem-</p><p>peratura. Sabemos que o aquecimento de uma barra geralmente leva à dilatação desta,</p><p>o que pode ser constatado pelo aumento do seu comprimento. De maneira oposta,</p><p>quando uma barra é resfriada, ela se contrai e o seu comprimento diminui. Essa variação</p><p>térmica é representada, geralmente, no centro de gravidade do elemento por se aplicar</p><p>à totalidade da seção transversal.</p><p>Ao pensarmos nas quatro estações do ano, é possível perceber que existem épocas em</p><p>que a temperatura média é menor (geralmente durante o inverno), e outras épocas em</p><p>que a temperatura média é maior (geralmente durante o verão). Dessa forma, os ele-</p><p>mentos que compõe as estruturas vão vivenciar essa variação térmica, aumentando e</p><p>diminuindo de comprimento.</p><p>É justamente esta variação de comprimento que interessa ao engenheiro estrutural. No</p><p>caso de estruturas isostáticas, essa variação de comprimento pode acontecer livre-</p><p>mente. Isso significa que a estrutura vai apresentar deslocamentos, mas a variação tér-</p><p>mica não implicará no aparecimento de esforços solicitantes.</p><p>Contudo, no caso de estruturas hiperestáticas, as variações de comprimento não podem</p><p>acontecer livremente, visto que as restrições nas extremidades dos elementos impedem</p><p>a livre expansão ou contração deste. Essa restrição fará com que esforços normais sur-</p><p>jam nos elementos solicitados termicamente, e isso deve ser considerado no projeto</p><p>estrutural.</p><p>Além da variação térmica sofrida pelo centro de gravidade de um elemento estrutural,</p><p>as barras ainda podem estar submetidas a um segundo tipo de solicitação térmica.</p><p>213</p><p>Imagine as vigas que suportam o tabuleiro de uma ponte. Sobre a ponte há incidência</p><p>direta do Sol, de forma que as fibras superiores da viga se encontrarão mais aquecidas</p><p>do que as fibras inferiores. Portanto, se configura a existência de um gradiente térmico.</p><p>Com isso, há uma tendência de que as fibras superiores se expandam mais do que as</p><p>fibras inferiores. Em termos da seção transversal, isso se reflete como uma tendência à</p><p>rotação.</p><p>Novamente, no caso de estruturas isostáticas, essa rotação poderá acontecer livre-</p><p>mente, sem que a barra fique sujeita aos esforços solicitantes. Contudo, em estruturas</p><p>hiperestáticas (biengastadas, por exemplo), o giro vai ser impedido nas duas extremida-</p><p>des. Dessa forma, a barra estará submetida a momento fletor. Mais uma vez, este es-</p><p>forço precisa ser considerado na análise estrutural.</p><p>As reações despertadas nas extremidades de uma barra submetida a uma variação tér-</p><p>mica e/ou a um gradiente térmico são apresentadas na Figura 6.81 para tipos distintos</p><p>de restrição nas extremidades. Uma vez calculadas, elas podem ser consideradas nor-</p><p>malmente no caso 0 do método dos deslocamentos, juntamente ao carregamento apli-</p><p>cado à estrutura e às deformações impostas.</p><p>Na Figura 6.81, ℎ refere-se à altura da seção transversal, suposta constante ao longo de</p><p>toda a barra. ∆𝑇𝐶𝐺, ∆𝑇𝑖 e ∆𝑇𝑠 são, respectivamente, as variações de temperatura do</p><p>centro de gravidade, das fibras inferiores e das fibras superiores da barra. Finalmente,</p><p>𝛼 é o coeficiente de dilatação térmico, que é uma propriedade do material que constitui</p><p>o elemento.</p><p>214</p><p>Figura 6.81 – Reações de engastamento perfeito para solicitações térmicas</p><p>Fonte: MARTHA (2010). Adaptado.</p><p>6.6 Métodos analíticos</p><p>Métodos analíticos são aqueles capazes de fornecer soluções exatas aos problemas, de</p><p>acordo com as hipóteses adotadas. Em contrapartida, é possível citar a existência dos</p><p>métodos numéricos, que fornecem soluções aproximadas aos problemas. O Método dos</p><p>Elementos Finitos (MEF), Método dos Resíduos Ponderados e o Método dos Elementos</p><p>de Contorno (MEC) são exemplos dos métodos numéricos.</p><p>Por um lado, os métodos analíticos são interessantes pois são capazes de fornecer a</p><p>solução exata para certos problemas. Porém, a quantidade de problemas no qual se co-</p><p>nhece a solução exata é, geralmente, limitada. Além disso, o desenvolvimento de solu-</p><p>ções analíticas pode ser demasiadamente complexo e pode demandar muito tempo. Por</p><p>outro lado, as soluções numéricas podem ser aplicadas para uma quantidade bem maior</p><p>de problemas. Apesar da solução não ser exata, a aproximação pode ser</p><p>215</p><p>suficientemente boa para o resultado que se espera obter. Por isso, é comum a aplica-</p><p>ção de métodos numéricos na análise de problemas ou sistemas estruturais mais com-</p><p>plexos.</p><p>No caso das estruturas reticuladas, existem soluções analíticas para uma gama sufici-</p><p>ente de problemas. Essas soluções passam pela análise de cada elemento separada-</p><p>mente e a definição da matriz de rigidez correspondente. Posteriormente, as matrizes</p><p>de rigidez dos elementos podem ser combinadas para construir a matriz de rigidez da</p><p>estrutura. Por sua parte, uma vez que esta seja devidamente montada e o sistema linear</p><p>resolvido, é possível determinar os deslocamentos em todos os nós e as reações de</p><p>apoio.</p><p>Os próximos itens explicarão de forma mais detalhada como o processo de análise é</p><p>realizado.</p><p>6.7 Sistemas de coordenadas locais e globais, graus de liberdade</p><p>Ao longo dos itens 6.2.1, 6.2.2 e 6.2.3 foram introduzidos os conceitos e os valores dos</p><p>coeficientes de rigidez para barras biengastadas, engastadas-articuladas e biarticuladas.</p><p>Nesta primeira análise foram impostos deslocamentos nodais e verificou-se quais eram</p><p>as reações de apoio produzidas, fazendo uso, principalmente, do método dos esforços.</p><p>Contudo, essa abordagem pode ser sistematizada com a utilização da análise matricial,</p><p>permitindo uma representação mais compacta e clara.</p><p>Primeiramente, é conveniente recordar que uma barra pode apresentar seis desloca-</p><p>mentos nodais, conforme representado na Figura 6.5. Os deslocamentos 𝑑1, 𝑑2 e 𝑑3</p><p>correspondem ao deslocamento horizontal, vertical e à rotação do nó inicial da barra,</p><p>respectivamente. Por sua vez, os deslocamentos 𝑑4, 𝑑5 e 𝑑6 correspondem ao desloca-</p><p>mento horizontal, vertical e à rotação do nó final da barra. Por mais que estes desloca-</p><p>mentos não sejam considerados deslocabilidades na resolução de estruturas hiperestá-</p><p>ticas pelo método dos deslocamentos em alguns tipos de barras, eles continuam a existir</p><p>e podem ser representados.</p><p>216</p><p>Dessa forma, é possível criar o vetor 𝑑, responsável por agrupar os deslocamentos no-</p><p>dais da seguinte forma:</p><p>𝑑 =</p><p>{</p><p>𝑑1</p><p>𝑑2</p><p>𝑑3</p><p>𝑑4</p><p>𝑑5</p><p>𝑑6}</p><p>De maneira análoga, uma barra também pode apresentar seis esforços em sua extremi-</p><p>dade. Logicamente, em função dos apoios posicionados nas extremidades da barra, al-</p><p>guns destes esforços podem ser nulos. Estes esforços serão denotados 𝑓𝑖, no qual 𝑓1, 𝑓2</p><p>e 𝑓3 são, respectivamente, a força horizontal, a força horizontal e o momento que atua</p><p>no nó inicial da barra. Já as forças 𝑓4, 𝑓5 e 𝑓6 são, respectivamente, a força horizontal, a</p><p>força horizontal e o momento que atua no nó final da barra. Semelhantemente ao que</p><p>foi feito para os deslocamentos, pode-se criar o vetor 𝐹, responsável por agrupar as</p><p>forças nodais da seguinte forma:</p><p>𝑓 =</p><p>{</p><p>𝑓1</p><p>𝑓2</p><p>𝑓3</p><p>𝑓4</p><p>𝑓5</p><p>𝑓6}</p><p>Tanto o vetor de deslocamentos 𝑑 quanto o vetor de forças 𝑓 consideram como refe-</p><p>rência o sistema de coordenadas local da barra. Isso se torna mais claro ao analisarmos</p><p>que 𝑑1, 𝑑4, 𝑓1 e 𝑓4 atuam na direção longitudinal da barra, enquanto 𝑑2, 𝑑5, 𝑓2 e 𝑓5</p><p>atuam na direção transversal da barra, independentemente do ângulo que a barra ve-</p><p>nha a formar com o sistema de coordenadas global da estrutura.</p><p>Até então foram vistos os deslocamentos e as forças que atuam nas extremidades de</p><p>cada barra. Contudo, ao formar uma estrutura reticulada e combinar diversas barras,</p><p>podemos ter elementos que não são horizontais, como viemos supondo. Alguns podem</p><p>ser verticais, enquanto outros podem ter uma inclinação 𝛼 qualquer. Mediante a essa</p><p>consideração, é importante utilizar um sistema de coordenadas global, que será o</p><p>217</p><p>mesmo para todas as barras da estrutura. Geralmente, devido à praticidade, são utiliza-</p><p>dos os eixos cartesianos x (horizontal) e y (vertical). Assim, cada barra apresentará como</p><p>propriedade um ângulo 𝛼 que corresponde à rotação do sistema de coordenadas local</p><p>em relação ao sistema de coordenadas global. Um exemplo é apresentado na Figura</p><p>6.82, onde foi mostrada a rotação do sistema de coordenadas local em relação ao sis-</p><p>tema de coordenadas global. Também foram representados os deslocamentos longitu-</p><p>dinal e transversal ao eixo da barra, segundo o eixo de coordenadas local.</p><p>Figura 6.82 – Rotação do sistema de coordenadas local em relação ao sistema de</p><p>coordenadas global</p><p>Quando diversas barras são combinadas com o propósito de formar uma estrutura, é</p><p>possível dizer que cada nó poderá apresentar três deslocamentos. Eles são o desloca-</p><p>mento horizontal (na direção do eixo horizontal do sistema de coordenadas global), o</p><p>deslocamento vertical (na direção do eixo horizontal do sistema de coordenadas global)</p><p>e a rotação. Um exemplo pode ser visto na Figura 6.83, onde foram representados os</p><p>deslocamentos do nó 1 da estrutura de acordo com o sistema de coordenadas global.</p><p>218</p><p>Figura 6.83 – Deslocamentos de um nó no sistema de coordenadas global</p><p>Os deslocamentos globais da estrutura também recebem o nome de graus de liberdade.</p><p>Em outras palavras, são deslocamentos possíveis que um nó da estrutura pode apresen-</p><p>tar, de acordo com o sistema de coordenadas global da estrutura. A inserção dos apoios,</p><p>por sua vez, tem como objetivo justamente a retirada de alguns destes graus de liber-</p><p>dade, no intuito de tornar a estrutura estável.</p><p>Da mesma forma que foi feito para os deslocamentos de uma barra, é possível agrupar</p><p>todos os deslocamentos globais de uma estrutura em um vetor 𝐷. Como cada nó pode</p><p>apresentar três graus de liberdade, este vetor possuirá 3 ∗ 𝑛 componentes, onde 𝑛 cor-</p><p>responde ao número de nós. De forma semelhante, é possível representar as forças que</p><p>atuam nos nós de uma estrutura, de acordo com o sistema de coordenada global, em</p><p>um vetor 𝐹.</p><p>Para assegurar as condições de compatibilidade da estrutura, os deslocamentos globais</p><p>e os deslocamentos locais em um mesmo nó devem guardar uma relação. Para deduzir</p><p>essa relação, pode-se considerar uma barra de inclinação 𝛼 e os deslocamentos 𝑑1 e 𝑑2,</p><p>como mostrado na Figura 6.82 (a rotação será tratada posteriormente). Deseja-se de-</p><p>compor estes deslocamentos na direção dos eixos globais, a fim de determinar os des-</p><p>locamentos 𝐷1 e 𝐷2 mostrados na Figura 6.83.</p><p>219</p><p>Dessa forma, observando a geometria e realizando a decomposição vetorial, temos:</p><p>𝐷1 = 𝑑1 ∗ cos(𝛼) − 𝑑2 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝛼)</p><p>𝐷2 = 𝑑1 ∗ sen(𝛼) + 𝑑2 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝛼)</p><p>Essa transformação pode ser escrita em notação matricial da seguinte forma:</p><p>{</p><p>𝐷1</p><p>𝐷2</p><p>} = [</p><p>cos(𝛼) −𝑠𝑒𝑛(𝛼)</p><p>𝑠𝑒𝑛(𝛼) 𝑐𝑜𝑠(𝛼)</p><p>] {</p><p>𝑑1</p><p>𝑑2</p><p>}</p><p>A matriz acima pode ser intitulada de matriz de rotação 𝑅. Logo, a equação acima pode</p><p>ser escrita de uma forma mais compacta:</p><p>𝐷 = 𝑅 𝑑</p><p>Como a matriz 𝑅 é ortogonal, a sua transposta é igual à sua inversa. Logo, a transforma-</p><p>ção do sistema de coordenadas global para o sistema de coordenadas local pode ser</p><p>escrita da seguinte forma:</p><p>𝑑 = 𝑅𝑇 𝐷</p><p>Percebe-se a rotação não é sensível à rotação de eixos, uma vez que ela se dá em uma</p><p>direção perpendicular ao plano da estrutura. Dessa forma, o valor da rotação em um nó</p><p>será o mesmo ao adotar o sistema de coordenadas local de uma barra ou o sistema de</p><p>coordenadas global da estrutura.</p><p>6.8 Relações de rigidez dos elementos em coordenadas locais</p><p>O que fará a conexão entre o vetor de deslocamentos nodais 𝑑 e o vetor de forças nodais</p><p>𝑓 no sistema de coordenadas local de uma barra será a matriz de rigidez 𝑘. Desta forma,</p><p>é possível escrever:</p><p>𝑓 = 𝑘 𝑑</p><p>220</p><p>Os termos da matriz de rigidez já foram deduzidos anteriormente para o caso das barras</p><p>biengastadas, engastada-articulada, articulada-engastada e biarticulada. Nos próximos</p><p>itens estes termos serão reapresentados em forma de matriz de rigidez.</p><p>6.8.1 Barra biengastada</p><p>No caso da barra biengastada, a matriz de rigidez assume a seguinte disposição:</p><p>𝑘𝑒𝑛𝑔−𝑒𝑛𝑔 =</p><p>[</p><p>𝐸𝐴</p><p>𝑙</p><p>0 0</p><p>−𝐸𝐴</p><p>𝑙</p><p>0 0</p><p>0</p><p>12𝐸𝐼</p><p>𝑙3</p><p>6𝐸𝐼</p><p>𝑙2</p><p>0</p><p>−12𝐸𝐼</p><p>𝑙3</p><p>6𝐸𝐼</p><p>𝑙2</p><p>0</p><p>6𝐸𝐼</p><p>𝑙2</p><p>4𝐸𝐼</p><p>𝑙</p><p>0</p><p>−6𝐸𝐼</p><p>𝑙2</p><p>2𝐸𝐼</p><p>𝑙</p><p>−𝐸𝐴</p><p>𝑙</p><p>0 0</p><p>𝐸𝐴</p><p>𝑙</p><p>0 0</p><p>0</p><p>−12𝐸𝐼</p><p>𝑙3</p><p>−6𝐸𝐼</p><p>𝑙2</p><p>0</p><p>12𝐸𝐼</p><p>𝑙3</p><p>−6𝐸𝐼</p><p>𝑙2</p><p>0</p><p>6𝐸𝐼</p><p>𝑙2</p><p>2𝐸𝐼</p><p>𝑙</p><p>0</p><p>−6𝐸𝐼</p><p>𝑙2</p><p>4𝐸𝐼</p><p>𝑙 ]</p><p>6.8.2 Barra engastada-articulada</p><p>No caso de uma barra que seja engastada no nó inicial e seja articulada no nó final, a</p><p>matriz de rigidez é mostrada abaixo. Repare que a 6ª coluna, referente à rotação do nó</p><p>articulado, é completamente nula. Isso indica que a rotação deste nó é livre, ou seja,</p><p>não produz uma força nodal que impeça a rotação.</p><p>𝑘𝑒𝑛𝑔−𝑎𝑟𝑡 =</p><p>[</p><p>𝐸𝐴</p><p>𝑙</p><p>0 0</p><p>−𝐸𝐴</p><p>𝑙</p><p>0 0</p><p>0</p><p>3𝐸𝐼</p><p>𝑙3</p><p>3𝐸𝐼</p><p>𝑙2</p><p>0</p><p>−3𝐸𝐼</p><p>𝑙3</p><p>0</p><p>0</p><p>3𝐸𝐼</p><p>𝑙2</p><p>3𝐸𝐼</p><p>𝑙</p><p>0</p><p>−3𝐸𝐼</p><p>𝑙2</p><p>0</p><p>−𝐸𝐴</p><p>𝑙</p><p>0 0</p><p>𝐸𝐴</p><p>𝑙</p><p>0 0</p><p>0</p><p>−3𝐸𝐼</p><p>𝑙3</p><p>−3𝐸𝐼</p><p>𝑙2</p><p>0</p><p>3𝐸𝐼</p><p>𝑙3</p><p>0</p><p>0 0 0 0 0 0 ]</p><p>221</p><p>6.8.3 Barra articulada-engastada</p><p>No caso de uma barra que seja articulada no nó inicial e seja engastada no nó final, a</p><p>matriz de rigidez é mostrada abaixo. Repare que a terceira coluna é completamente</p><p>nula, mostrando que a rotação do nó articulado é livre, ou seja, não produz nenhuma</p><p>força que</p><p>restrinja o movimento.</p><p>𝑘𝑎𝑟𝑡−𝑒𝑛𝑔 =</p><p>[</p><p>𝐸𝐴</p><p>𝑙</p><p>0 0</p><p>−𝐸𝐴</p><p>𝑙</p><p>0 0</p><p>0</p><p>3𝐸𝐼</p><p>𝑙3</p><p>0 0</p><p>−3𝐸𝐼</p><p>𝑙3</p><p>3𝐸𝐼</p><p>𝑙2</p><p>0 0 0 0 0 0</p><p>−𝐸𝐴</p><p>𝑙</p><p>0 0</p><p>𝐸𝐴</p><p>𝑙</p><p>0 0</p><p>0</p><p>−3𝐸𝐼</p><p>𝑙3</p><p>0 0</p><p>3𝐸𝐼</p><p>𝑙3</p><p>−3𝐸𝐼</p><p>𝑙2</p><p>0</p><p>3𝐸𝐼</p><p>𝑙2</p><p>0 0</p><p>−3𝐸𝐼</p><p>𝑙2</p><p>3𝐸𝐼</p><p>𝑙 ]</p><p>6.8.4 Barra biarticulada</p><p>No caso de uma barra que apresente articulação nas duas extremidades, a matriz de</p><p>rigidez é mostrada abaixo. As colunas 2, 3, 5 e 6 são nulas indicando que a barra trabalha</p><p>unicamente ao esforço normal. Dessa forma, qualquer translação vertical ou giro em</p><p>qualquer extremidade não é capaz de produzir restrições.</p><p>𝑘𝑎𝑟𝑡−𝑎𝑟𝑡 =</p><p>[</p><p>𝐸𝐴</p><p>𝑙</p><p>0 0</p><p>−𝐸𝐴</p><p>𝑙</p><p>0 0</p><p>0 0 0 0 0 0</p><p>0 0 0 0 0 0</p><p>−𝐸𝐴</p><p>𝑙</p><p>0 0</p><p>𝐸𝐴</p><p>𝑙</p><p>0 0</p><p>0 0 0 0 0 0</p><p>0 0 0 0 0 0 ]</p><p>6.9 Relações de rigidez dos elementos e da estrutura</p><p>Vimos no item 6.7 como realizar uma transformação de coordenadas dos deslocamen-</p><p>tos (ou das forças) atuando em um nó. Vimos também que o momento não se altera</p><p>222</p><p>quando é realizado o giro do sistema de coordenadas. Portanto, agrupando essa infor-</p><p>mação, é possível escrever uma matriz de rotação que contemple a mudança de coor-</p><p>denadas para os deslocamentos e para as rotações:</p><p>𝑅 = [</p><p>cos(𝛼) −𝑠𝑒𝑛(𝛼) 0</p><p>𝑠𝑒𝑛(𝛼) cos(𝛼) 0</p><p>0 0 1</p><p>]</p><p>Como vimos anteriormente, uma barra pode apresentar seis deslocamentos, sendo três</p><p>no nó inicial e três no nó final. Ao invés de aplicar a rotação isoladamente a cada um dos</p><p>nós, podemos desenvolver uma matriz de rotação capaz de realizar de uma só vez a</p><p>rotação dos seis deslocamentos possíveis de uma barra. Ela será desenvolvida através</p><p>da união de duas matrizes de rotação, como mostrado a seguir:</p><p>𝑅 =</p><p>[</p><p>cos(𝛼)</p><p>𝑠𝑒𝑛(𝛼)</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>−𝑠𝑒𝑛(𝛼)</p><p>cos(𝛼)</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>1</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>cos(𝛼)</p><p>𝑠𝑒𝑛(𝛼)</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>−𝑠𝑒𝑛(𝛼)</p><p>cos(𝛼)</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>1]</p><p>Como é possível observar, a parte inferior esquerda e a parte superior direita são com-</p><p>pletamente nulas. Isso reflete a independência entre os nós, ou seja, os deslocamentos</p><p>do nó inicial não interferem nos deslocamentos do nó final, e vice-versa.</p><p>De posse desta nova matriz de rotação, é possível trabalhar a equação abaixo, no intuito</p><p>de levá-la do sistema de coordenadas local para o sistema de coordenadas global.</p><p>𝑓 = 𝑘 𝑑</p><p>Pré-multiplicando a equação pela matriz de rotação, temos:</p><p>𝑅 𝑓 = 𝑅 𝑘 𝑑</p><p>Lembrando ainda que 𝑑 = 𝑅𝑇 𝐷 e substituindo na equação anterior, resulta:</p><p>𝑅 𝑓 = 𝑅 𝑘 𝑅𝑇 𝐷</p><p>223</p><p>Sendo 𝐹 = 𝑅 𝑓, é possível escrever:</p><p>𝐹 = 𝑅 𝑘 𝑅𝑇 𝐷</p><p>Ora, a matriz que relaciona os deslocamentos nodais de uma barra escritos no sistema</p><p>de coordenadas globais com as suas forças nodais, também escritas no sistema de co-</p><p>ordenadas globais, é a matriz de rigidez no sistema de coordenadas globais 𝐾, que pode</p><p>ser escrita da seguinte forma:</p><p>𝐾 = 𝑅 𝑘 𝑅𝑇</p><p>Ou seja, para realizar a rotação da matriz de rigidez, levando-a do sistema de coordena-</p><p>das locais para o sistema de coordenadas globais, é necessário pré-multiplicar a matriz</p><p>𝑘 pela matriz de rigidez 𝑅, e pós-multiplicar pela matriz de rotação transposta 𝑅𝑇. A</p><p>matriz de rotação 𝑘, como visto anteriormente, dependerá das propriedades geométri-</p><p>cas e de rigidez da barra, mas também se ela é biengastada, engastada-apoiada ou bia-</p><p>poiada.</p><p>Uma vez que as matrizes de rigidez de cada elemento da estrutura tenham sido calcula-</p><p>das no sistema de coordenadas globais, elas podem ser somadas convenientemente,</p><p>contribuindo na construção da matriz de rigidez da estrutura. A soma das matrizes de</p><p>rigidez do elemento deve ser feita de forma a refletir os nós inicial e final deste ele-</p><p>mento. Assim, se uma barra estiver posicionada entre os nós 1 e 2, por exemplo, a matriz</p><p>de rigidez da barra se somará à matriz de rigidez da estrutura justamente nos campos</p><p>referentes aos nós 1 e 2. Por sua vez, se uma barra estiver posicionada entre os nós 1 e</p><p>3, a matriz de rigidez da barra se somará à matriz de rigidez da estrutura justamente nos</p><p>campos referentes aos nós 1 e 3.</p><p>Como exemplo, considere a estrutura mostrada na Figura 6.84. A matriz de rigidez da</p><p>estrutura será composta por 9 linhas e 9 elementos, uma vez que a estrutura tem três</p><p>nós e cada nó possui três graus de liberdade. Dessa forma, os campos da matriz de rigi-</p><p>dez da estrutura referentes ao nó 1 receberão a contribuição somente da matriz de ri-</p><p>gidez da barra 1-2, uma vez que só há a barra 1-2 no nó 1. Por sua vez, os campos da</p><p>224</p><p>matriz de rigidez da estrutura referentes ao nó 3 receberão a contribuição somente da</p><p>matriz de rigidez da barra 2-3, uma vez que só há a barra 2-3 no nó 3. Já os campos</p><p>referentes ao nó 2 receberão a contribuição tanto da barra 1-2 quanto da barra 2-3,</p><p>visto que as duas barras passam pelo nó 2. Os campos que correspondem à intercessão</p><p>entre o nó 1 e o nó 3 serão nulos, visto que não existe um elemento que conecte dire-</p><p>tamente os nós 1 e 3.</p><p>Figura 6.84 – Estrutura exemplo para a montagem da matriz de rigidez da estrutura</p><p>225</p><p>REFERÊNCIAS</p><p>FERDINAND P. BEER, ERUSSELL; JOHNSTON JR., JOHN T; DEWOLF, DAVID F; MAZUREK,</p><p>JOSÉ BENAQUE RUBERT. Mechanics of Materials. Nova Iorque: McGraw-Hill Education,</p><p>2020.</p><p>KASSIMALI, Aslam. Análise estrutural. 5ª. Edição, 2016. (9788522118175)</p><p>MARTHA, Luiz Fernando. Análise de estruturas. Conceitos e métodos básicos. 2010.</p><p>(9788535234558)</p><p>MAZILLI, Carlos Eduardo Nigro; ANDRÉ, Joao Cyro; BUCALÉM, Miguel Luiz; CIFÚ, Sérgio.</p><p>Mecânica das Estruturas I. [S.l: s.n.], 2015.</p><p>SÜSSEKIND, José Carlos. Curso de análise estrutural – Deformações em estruturas e</p><p>método das forças. Rio de Janeiro: Editora Globo, 1980.</p><p>___________. Curso de análise estrutural – Método das deformações e processo de</p><p>Cross. Rio de Janeiro: Editora Globo, 1987.</p><p>o pavimento asfáltico colocado acima do tabu-</p><p>leiro da ponte.</p><p>Com relação à laje da ponte, existem carregamentos permanentes, que são o peso pró-</p><p>prio da camada de asfalto e da laje de concreto sobre ela. Essas cargas atuantes são</p><p>determinadas conforme a espessura da camada. Nas bordas da laje há guarda corpos,</p><p>que exercem um carregamento que consiste em várias forças concentradas, distribuídas</p><p>conforme o seu peso próprio.</p><p>O carregamento correspondente aos veículos que trafegam sobre o tabuleiro da ponte,</p><p>e das pessoas que andam na beirada, entre o guarda corpo e o pavimento asfáltico. Essa</p><p>laje, portanto, está submetida essencialmente à flexão.</p><p>18</p><p>Imagem 1.12 – Pavimento sobre tabuleiro de ponte</p><p>1.4.2 Vigas</p><p>O tabuleiro da ponte mostrada na Imagem 1.10 é um exemplo bastante ilustrativo da</p><p>transmissão de cargas entre elementos estruturais. Os esforços solicitantes na laje são</p><p>transmitidos para as longarinas, montadas na direção do tráfego. Como carregamento,</p><p>há o peso próprio da viga, mais as reações nela devidas à laje.</p><p>As longarinas apoiam-se sobre as transversinas, que são vigas montadas regularmente</p><p>espaçadas sob as juntas de dilatação que existem nas lajes, e recebem, como carrega-</p><p>mento, o próprio peso, além do carregamento oriundo das longarinas. Ambas as vigas</p><p>são submetidas essencialmente à flexão.</p><p>Quando há veículos somente em uma das direções de tráfego, como mostrado na Ima-</p><p>gem 1.12, a assimetria do carregamento sobre a laje produz, nas longarinas da Imagem</p><p>1.10, esforços de torção.</p><p>1.4.3 Pilares e fundações</p><p>Os pilares da Imagem 1.10 receberão, como carga de compressão, o próprio peso, além</p><p>das reações de apoio das transversinas. Considerando-se a assimetria do carregamento</p><p>19</p><p>sobre a laje que ocorre quando há veículos somente em uma das direções de tráfego,</p><p>os pilares estarão submetidos também à flexão (de pequena excentricidade).</p><p>Às fundações são transmitidas as cargas provenientes dos pilares. A flexão existente ne-</p><p>les serão absorvidos por armaduras montadas nos blocos de fundação. Estes blocos ab-</p><p>sorverão os esforços que são distribuídos no conjunto de estacas cravadas.</p><p>A conclusão é que os esforços caminham das lajes, que são as últimas a serem monta-</p><p>das, passando para as vigas, pilares e fundações, que são as primeiras a serem executa-</p><p>das. Portanto, não há maneiras de a construção ser iniciada antes de todo o projeto</p><p>estar pronto sem que isso implique em riscos à segurança estrutural.</p><p>1.4.4 Ventos em edificações</p><p>Uma das principais verificações de estabilidade global da edificação, são os carregamen-</p><p>tos devidos ao vento, e que devem ser calculados conforme a norma NBR6123 apresen-</p><p>tada no Quadro 1.1.</p><p>1.5 Estabilidade das estruturas</p><p>O equilíbrio das estruturas é a primeira verificação de qualquer projeto estrutural: é ne-</p><p>cessário que a estrutura mantenha a sua estabilidade durante toda a vida útil, ou seja,</p><p>enquanto a estrutura for utilizada, não poderão ocorrer movimentações das suas partes</p><p>como corpos rígidos.</p><p>Uma vez garantido o equilíbrio estrutural, torna-se necessário determinar os esforços</p><p>solicitantes internos para verificar a estabilidade elástica, que trata da garantia da vali-</p><p>dade da lei de Hooke para regime elástico linear. Uma vez que uma peça estrutural</p><p>atinge o regime elasto-plástico, há um estado de preparação para a ruptura, que é exa-</p><p>tamente o que se pretende evitar. Quando as tensões atuantes excedem o limite admis-</p><p>sível, conforme os critérios de segurança, torna-se necessário aumentar a área da seção</p><p>transversal.</p><p>A determinação das deflexões que ocorrem na estrutura é fundamental para verificar o</p><p>atendimento aos critérios de serviço referentes ao estado limite de deslocamentos</p><p>20</p><p>excessivos. Ao verificar o não atendimento desse critério, torna-se necessário aumentar</p><p>a inércia da seção transversal.</p><p>1.6 Estática dos pontos materiais</p><p>Os pontos materiais são corpos cujas dimensões são muito menores comparativamente</p><p>com o do ambiente em que estão localizados, de modo que, neste contexto, podem ser</p><p>considerados como pontos dotados de massa corporal.</p><p>Considerando uma imagem feita por satélite de uma rodovia, um veículo que nela tran-</p><p>sita é representado no mapa como um ponto que, fisicamente, é o centro de massa do</p><p>veículo com seus ocupantes. A massa total do sistema é colocada neste ponto, estabe-</p><p>lecendo um corpo pontual dotado de massa 𝑚 > 0, como mostrado no Desenho 1.5,</p><p>que contém um ponto material em repouso sobre uma superfície horizontal.</p><p>Desenho 1.5 – Representação de um ponto material</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Considerando a análise estática deste ponto, isto é, a condição de repouso, o peso pró-</p><p>prio do corpo, que corresponde à ação do corpo sobre a superfície de apoio, é equili-</p><p>brado pela reação normal do plano, que incide sobre o corpo. O Desenho 1.6 contém as</p><p>foças que atuam no corpo equilibrado; trata-se do diagrama de corpo livre.</p><p>21</p><p>Desenho 1.6 – Diagrama de corpo livre</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Caso o ponto esteja sobre um plano inclinado, as condições de equilíbrio mudam bas-</p><p>tante. O peso próprio continua (como sempre) apontando para baixo, mas a reação nor-</p><p>mal é normal à direção do plano inclinado.</p><p>Desenho 1.7 – Plano inclinado</p><p>Fonte: O autor.</p><p>O que mantém o corpo em equilíbrio é a força de atrito entre a superfície do plano in-</p><p>clinado, considerando o contato dela com o corpo. Sendo 𝜇𝑒 o coeficiente de atrito es-</p><p>tático entre as superfícies, a força de atrito vale:</p><p>𝑓 = 𝜇𝑒 ⋅ 𝑁</p><p>22</p><p>Desenho 1.8 – Equilíbrio no plano inclinado</p><p>Fonte: O autor.</p><p>A análise do equilíbrio é realizada decompondo-se a força peso em componentes normal</p><p>e tangencial ao plano que define a tendência de movimento. Assim:</p><p>𝑃𝑡 = 𝑃 ⋅ sin 𝜃</p><p>𝑃𝑛 = 𝑃 ⋅ cos 𝜃</p><p>A força normal será igual à componente normal 𝑃𝑛 do peso:</p><p>𝑁 = 𝑃𝑛 ⟹ 𝑁 = 𝑃 ⋅ cos 𝜃</p><p>Logo, a força de atrito estático vale:</p><p>𝑓 = 𝜇𝑒 ⋅ 𝑃 ⋅ cos 𝜃</p><p>O atrito estático será igual à componente tangencial 𝑃𝑡 do peso:</p><p>𝑓 = 𝑃𝑡 ⟹ 𝜇𝑒 ⋅ 𝑃 ⋅ cos 𝜃 = 𝑃 ⋅ sin 𝜃</p><p>Segue o resultado final:</p><p>tan 𝜃 = 𝜇𝑒</p><p>Para garantir o equilíbrio do corpo em um plano inclinado, é necessário que o ângulo de</p><p>inclinação 𝜃, tenha tangente igual ao coeficiente de atrito estático 𝜇𝑒.</p><p>23</p><p>1.7 Estática dos corpos rígidos</p><p>Os corpos rígidos são aqueles que, mediante os carregamentos que estão submetidos,</p><p>não sofrem deformações, apenas movimentos de translação e de rotação, que ocorrem</p><p>em virtude de haver forças nele aplicadas e que modificam o estado inercial de repouso.</p><p>Imagem 1.13 – Esferas sobre uma mesa</p><p>Na Imagem 1.13 são mostradas várias bolas de bilhar descendo sobre uma canaleta em</p><p>direção à mesa de pano verde. Cada esfera tem seu próprio centro de massa, e o movi-</p><p>mento dele representa a translação de todo o corpo rígido. Também há o movimento</p><p>de rotação de cada esfera em torno de um eixo diametral. Naturalmente, este eixo de</p><p>rotação muda continuamente, o que explica a dificuldade de representar estes movi-</p><p>mentos.</p><p>Na Imagem 1.10 é mostrado um corpo que não é rígido. Mas, na situação de projeto</p><p>para uso regular, em que obviamente não há intenção de causar colisões, o veículo pode</p><p>ser considerado como um corpo rígido sob certas condições.</p><p>24</p><p>Imagem 1.14 – Veículo em movimento</p><p>Tudo muda após uma colisão. O veículo sofre deformações, de modo que a distância</p><p>entre dois pontos seus deixa de ser constante, como mostrado na Imagem 1.10.</p><p>Imagem 1.15 – Veículo em movimento</p><p>O problema é que nem toda energia da colisão é convertida em deformação dos veícu-</p><p>los; infelizmente parte dela é passada para os ocupantes e é por isto que as colisões</p><p>frontais são muitas vezes fatais. O resultado é diferente quando há apenas o motorista</p><p>ou mais ocupantes no veículo, incluindo bagagens, pois o centro de massa do conjunto</p><p>é alterado,</p><p>e isso muda a dinâmica dos movimentos.</p><p>Mas o que se procura nas estruturas é justamente a ausência de movimento, e como</p><p>cada movimento pode, portanto, ser considerado como a combinação de uma transla-</p><p>ção com uma rotação. Para garantir a estabilidade, a resultante de todas as forças ex-</p><p>ternas a estrutura precisa ser nula assim como o momento dessas forças em relação a</p><p>qualquer ponto da estrutura.</p><p>25</p><p>A equação vetorial de equilíbrio pode ser escrita na forma seguinte:</p><p>∑𝐹𝑗⃗⃗</p><p>𝑁</p><p>𝑗=1</p><p>= 0⃗</p><p>Nesta equação, cada 𝐹𝑗⃗⃗ é uma das (𝑁) forças atuantes sobre o corpo rígido, e o equilíbrio</p><p>irá garantir que o centro de massa do corpo mantenha seu estado inercial. No espaço</p><p>euclidiano, são três as coordenadas espaciais, o que significa que, em cada direção, há</p><p>uma equação de equilíbrio</p><p>Os momentos de todas as forças que incidem sobre o corpo também precisam ter soma</p><p>vetorial nula:</p><p>∑ℳ(𝐹𝑗⃗⃗ )</p><p>𝑁</p><p>𝑗=1</p><p>= 0⃗</p><p>Os momentos podem ser decompostos nas três direções, no sentido em que fica esta-</p><p>belecido que o momento de todas as forças, em torno de cada eixo deve ser nulo. Ma-</p><p>tematicamente, este resultado é obtido pelo produto escalar entre o momento da força</p><p>e o vetor diretor unitário de cada eixo, representado pela simbologia ⟨ | ⟩.</p><p>Quadro 1.4 – Equações vetoriais de equilíbrio nos corpos rígidos</p><p>EQUILÍBRIOS DE FORÇAS</p><p>∑(𝐹𝑗)𝑥</p><p>𝑁</p><p>𝑗=1</p><p>= 0 ∑(𝐹𝑗)𝑦</p><p>𝑁</p><p>𝑗=1</p><p>= 0 ∑(𝐹𝑗)𝑧</p><p>𝑁</p><p>𝑗=1</p><p>= 0</p><p>EQUILÍBRIOS DE MOMENTOS</p><p>∑⟨ℳ(𝐹𝑗⃗⃗ )|𝑒 𝑥⟩</p><p>𝑁</p><p>𝑗=1</p><p>= 0 ∑⟨ℳ(𝐹𝑗⃗⃗ )|𝑒 𝑦⟩</p><p>𝑁</p><p>𝑗=1</p><p>= 0 ∑⟨ℳ(𝐹𝑗⃗⃗ )|𝑒 𝑧⟩</p><p>𝑁</p><p>𝑗=1</p><p>= 0</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Resultam as equações de equilíbrio do Quadro 1.4, e que serão utilizadas nas aplicações</p><p>nos outros capítulos.</p><p>26</p><p>1.8 Sistema de forças equivalentes</p><p>No Desenho 1.9 é representada uma viga de comprimento ℓ apoiada sobre um apoio</p><p>fixo à esquerda e sobre um apoio móvel à direita recebendo um carregamento unifor-</p><p>memente distribuído de intensidade 𝑝.</p><p>Desenho 1.9 – Viga duplamente apoiada com carregamento uniforme</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Considerando a simetria do carregamento e da estrutura, os esforços sobre essa viga</p><p>migram igualmente em direção às extremidades, onde estão os apoios, que absorverão</p><p>estes carregamentos e a manterão em equilíbrio, respondendo com reações de valor</p><p>igual à metade da resultante do carregamento. Um sistema mecanicamente equivalente</p><p>a este é representado no Desenho 1.10.</p><p>Desenho 1.10 – Sistema mecanicamente equivalente ao Desenho 1.9</p><p>Fonte: O autor.</p><p>TRILHA DE APRENDIZAGEM</p><p>RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS PARA ENGENHARIA CIVIL</p><p>Assim, qualquer carregamento que nela for colocado será equilibrado pelos apoios colocados</p><p>nas extremidades. Se um carregamento uniformemente distribuído de intensidade ! for colocado</p><p>sobre a viga de comprimento ℓ , a representação do modelo da estrutura passa a ser o seguinte:</p><p>Desenho 2 – Viga duplamente apoiada com carregamento uniformemente distribuído</p><p>Fonte: Autor</p><p>Os esforços sobre a viga migração em direção às extremidades, onde estão os apoios, que</p><p>absorverão estes carregamentos e manterão a estrutura em equilíbrio. Assim, metade do carrega-</p><p>mento será absorvida por cada um dos apoios. Um sistema de forças mecanicamente equivalentes é</p><p>mostrado abaixo:</p><p>Desenho 3 – Sistema mecanicamente equivalente ao Desenho 2, com as reações de apoio</p><p>Fonte: Autor</p><p>As reações de apoio, uma em cada lado, garantem o equilíbrio da estrutura, de modo que a</p><p>soma vetorial de forças é nula, e o momento de rotação, em relação a qualquer ponto da estrutura,</p><p>também será nulo. É importante observar que, apesar de serem estaticamente equivalentes, as es-</p><p>truturas acima deformam-se de maneiras diferentes.</p><p>ℓ</p><p>! ∙ ℓ</p><p>! ∙ ℓ</p><p>2</p><p>! ∙ ℓ</p><p>2</p><p>!</p><p>! ∙ ℓ</p><p>2</p><p>! ∙ ℓ</p><p>2</p><p>ℓ</p><p>27</p><p>Nesta nova configuração, a mesma viga de comprimento ℓ apoiada sobre um apoio fixo</p><p>à esquerda e sobre um apoio móvel à direita recebe uma carga concentrada igual à re-</p><p>sultante do carregamento distribuído, produzindo iguais reações de apoio.</p><p>Cabe observar que, mesmo sendo estaticamente equivalentes, os dois sistemas estru-</p><p>turais apresentam distribuições de esforços internos e deflexões bastante diferentes. Os</p><p>esforços solicitantes do modelo com carregamento distribuídos são mostrados no De-</p><p>senho 1.11.</p><p>Desenho 1.11 – Diagrama de esforços solicitantes da estrutura do Desenho 1.9</p><p>Fonte: O autor.</p><p>28</p><p>Nesta situação, as forças cortantes são uma função contínua de primeiro grau nula no</p><p>meio do vão, onde os momentos fletores, que são uma função contínua de segundo</p><p>grau, atingem o máximo:</p><p>𝑀𝑚𝑎𝑥 = 𝑝 ∙</p><p>ℓ2</p><p>8</p><p>Os esforços solicitantes do modelo com carregamento concentrado estaticamente equi-</p><p>valente são mostrados no Desenho 1.12.</p><p>Desenho 1.12 – Diagrama de esforços solicitantes da estrutura do Desenho 1.10</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Nesta situação, as forças cortantes são uma função descontínua na seção 𝐶, em que está</p><p>colocada a resultante 𝑃 = 𝑝 ⋅ ℓ. O momento é uma função contínua de primeiro grau</p><p>em partes, atingindo o máximo no meio do vão:</p><p>𝑀𝑚𝑎𝑥 =</p><p>𝑃 ⋅ ℓ</p><p>2</p><p>=</p><p>𝑝 ⋅ ℓ2</p><p>2</p><p>= 4 ⋅</p><p>𝑝 ⋅ ℓ2</p><p>8</p><p>29</p><p>O modelo concentrado está submetido a um momento fletor máximo de quatro vezes</p><p>o correspondente ao modelo distribuído. Isto majora significativamente a distribuição</p><p>de tensões na viga.</p><p>Com relação às deflexões, as do sistema do Desenho 1.9 são mostradas no Desenho 1.1.</p><p>A função 𝑣: [0; ]ℓ ⟶ ℝ que representa as deflexões no eixo da barra foi determinada</p><p>pela integração da equação diferencial da linha elástica:</p><p>𝑣(𝑥) =</p><p>𝑝 ∙ ℓ4</p><p>24 ∙ 𝐸 ∙ 𝐼</p><p>∙ [−2 ∙ ቀ</p><p>𝑥</p><p>ℓ</p><p>ቁ</p><p>3</p><p>+ ቀ</p><p>𝑥</p><p>ℓ</p><p>ቁ</p><p>4</p><p>+ ቀ</p><p>𝑥</p><p>ℓ</p><p>]ቁ</p><p>A flecha é o valor máximo da deflexão da viga, e que ocorre no meio do vão:</p><p>𝑓 =</p><p>5</p><p>384</p><p>∙</p><p>𝑝 ∙ ℓ4</p><p>𝐸 ∙ 𝐼</p><p>Para o sistema do Desenho 1.10, a configuração deformada tem o padrão mostrado no</p><p>Desenho 1.13.</p><p>Desenho 1.13 – Viga duplamente apoiada com carregamento concentrado central</p><p>Fonte: O autor</p><p>O desenho não ajuda a distinguir as duas situações. Mas a função 𝑣: [0; ]ℓ ⟶ ℝ que</p><p>representa as deflexões no eixo da barra é bem diferente:</p><p>𝑣(𝑥) = {</p><p>𝑃</p><p>48 ∙ 𝐸 ∙ 𝐼</p><p>∙ (−4𝑥3 + 3 ∙ ℓ2 ∙ 𝑥) ; 𝑥 ∈ [0;</p><p>ℓ</p><p>[</p><p>2</p><p>𝑃</p><p>48 ∙ 𝐸 ∙ 𝐼</p><p>∙ (4 ∙ 𝑥3 − 12 ∙ ℓ ∙ 𝑥2 + 5 ∙ ℓ2 ∙ 𝑥 − ℓ3) ; 𝑥 ∈ ]</p><p>ℓ</p><p>2</p><p>; ℓ]</p><p>A flecha para este modelo foi obtida na disciplina de Resistência dos Materiais:</p><p>𝑓 =</p><p>𝑃 ∙ ℓ3</p><p>48 ∙ 𝐸 ∙ 𝐼</p><p>=</p><p>8</p><p>384</p><p>∙</p><p>𝑝 ∙ ℓ4</p><p>𝐸 ∙ 𝐼</p><p>A conclusão é que a flecha obtida para o carregamento concentrado é oito vezes a flecha</p><p>obtida para o carregamento distribuído, o que prejudicará as condições de serviço.</p><p>30</p><p>1.9 Condições de equilíbrio nas estruturas</p><p>De acordo com Kassimali (2016), uma estrutura é considerada em equilíbrio se ela per-</p><p>manecer neste estado após a aplicação de um sistema de forças e momentos. Assim,</p><p>cada parte da estrutura deverá ser mantida em equilíbrio.</p><p>Quando o sólido da Imagem 1.16 é submetido a um conjunto de forças e momentos,</p><p>estes esforços ativos, aplicados na região 𝑆𝑓 do sólido, migram na estrutura até as regi-</p><p>ões 𝑆𝑢 dos vínculos, sendo então equilibradas pelas reações de apoio.</p><p>Imagem 1.16 – Esforços ativos e reativos</p><p>Fonte: SILVA (2005).</p><p>Para garantir este comportamento de estabilidade, a resultante de todas as forças ex-</p><p>ternas à estrutura é nula e o momento destas forças em relação a qualquer ponto da</p><p>estrutura é nulo.</p><p>As reações de apoio garantem o equilíbrio da estrutura, de modo que a soma vetorial</p><p>de forças é nula, e o momento de rotação, em relação a qualquer ponto da estrutura,</p><p>também será nulo.</p><p>31</p><p>1.10 Revisão sobre cálculo das reações de apoio</p><p>Estruturas isostáticas podem ser resolvidas apenas utilizando as equações de equilíbrio.</p><p>Em estruturas planas, há o equilíbrio entre forças verticais e horizontais, além do equi-</p><p>líbrio entre momentos. No total, são três equações de equilíbrio.</p><p>Em estruturas de barras, pode ser mais conveniente</p><p>utilizar o equilíbrio de momentos</p><p>em relação a dois pontos distintos ao invés de utilizar uma equação de equilíbrio de</p><p>forças. Assim, as reações são determinadas isoladamente e a equação de equilíbrio de</p><p>forças serve como verificação.</p><p>1.10.1 Viga simplesmente apoiada com carregamento concentrado</p><p>No Desenho 1.14 é apresentado o modelo de uma viga simplesmente apoiada com car-</p><p>regamento concentrado em uma posição intermediária 𝑥𝑃 ]∈ 0; ℓ[ .</p><p>Desenho 1.14 – Viga biapoiada com carregamento concentrado</p><p>Fonte: O autor.</p><p>As reações de apoio da viga são determinadas por meio de dois equilíbrios de momentos</p><p>em relação a dois pontos distintos da estrutura. O equilíbrio de momentos em relação</p><p>ao ponto 𝐴 permite obter:</p><p>−𝑅𝐵 ⋅ ℓ + 𝑃 ⋅ 𝑥𝑃 = 0 ⟹ 𝑅𝐵 =</p><p>𝑥𝑃</p><p>ℓ</p><p>∙ 𝑃</p><p>32</p><p>O equilíbrio de momentos em relação ao ponto 𝐵 permite obter:</p><p>𝑅𝐴 ⋅ ℓ − 𝑃 ⋅ (ℓ − 𝑥𝑃) = 0 ⟹</p><p>𝑅𝐴 =</p><p>ℓ − 𝑥𝑃</p><p>ℓ</p><p>∙ 𝑃</p><p>1.10.2 Viga engastada com carregamento distribuído</p><p>No Desenho 1.15 é representada uma viga de comprimento ℓ engastada na seção 𝐴 e</p><p>livre na extremidade da seção 𝐵.</p><p>Desenho 1.15 – Viga engastada com carregamento uniformemente distribuído</p><p>Fonte: O autor.</p><p>O carregamento de intensidade 𝑝, distribuído ao longo da viga, tem resultante estática</p><p>𝑝 ∙ ℓ , e os esforços dele decorrentes migram totalmente para a extremidades engastada</p><p>{𝐴}. A única reação de apoio vertical tem intensidade igual à da resultante de forças e</p><p>sentido oposto:</p><p>𝑅𝐴 = 𝑝 ∙ ℓ</p><p>O apoio de engaste reage com um momento de intensidade igual ao momento da resul-</p><p>tante em relação ao ponto {𝐴} e sentido oposto:</p><p>𝑀𝐴 =</p><p>𝑝 ∙ ℓ2</p><p>2</p><p>33</p><p>Conclusão</p><p>O equilíbrio das estruturas é a primeira verificação de qualquer projeto estrutural, para</p><p>garantir a sua estabilidade durante toda a vida útil. Para isso, vínculos devem ser cons-</p><p>truídos a fim de restringir deslocamentos e rotações, e receber os esforços que, aplica-</p><p>dos sobre as estruturas, migram para as regiões dos apoios.</p><p>É parte importante avaliar se a estrutura que está sob carregamento sofre com desloca-</p><p>mentos excessivos que podem, por um lado, apenas causar desconforto ao usuário, mas,</p><p>por outro lado, prejudicar a estabilidade global e inviabilizar a utilização da estrutura. O</p><p>cálculo de deslocamentos precisa ser realizado para estabelecer os limites admissíveis</p><p>para a estrutura.</p><p>REFERÊNCIAS</p><p>SILVA, Henrique Furia. Formulação do problema da torção uniforme em barras de</p><p>seção transversal maciça. Dissertação de mestrado. Escola Politécnica, Universidade de</p><p>São Paulo. São Paulo, 2005.</p><p>KASSIMALI, Aslam. Análise estrutural. 5ª. Edição, 2016. (9788522118175).</p><p>MARTHA, Luiz Fernando. Análise de estruturas. Conceitos e métodos básicos. 2010.</p><p>(9788535234558).</p><p>34</p><p>2 TRELIÇAS</p><p>Neste bloco serão estudadas as estruturas de treliças, que são estruturas reticuladas</p><p>(MARTHA, 2010) compostas por barras conectadas pelas extremidades por meio de li-</p><p>gações flexíveis com o objetivo de obter uma configuração rígida (KASSIMALI, 2016).</p><p>Fisicamente, as barras estarão supostamente sujeitas somente às solicitações normais</p><p>centradas, de modo a trabalharem apenas a esforços axiais. Matematicamente, as bar-</p><p>ras são montadas com articulações nos nós, e o modelo retornará como resposta esfor-</p><p>ços internos nulos para o cisalhamento e para a flexão e torção.</p><p>2.1 Considerações sobre estruturas reais e modelos para a análise de treliças</p><p>Na Imagem 2.1 é mostrada uma treliça plana de madeira com conexões por peças me-</p><p>tálicas. Da maneira como estão colocadas, esses tipos de conexões mistas produzem</p><p>uma ligação flexível entre as partes.</p><p>Imagem 2.1 – Treliça plana de madeira</p><p>Os detalhes dessas e de outras conexões, incluindo as diretrizes para projeto são apre-</p><p>sentados na disciplina “Estruturas de Madeira e Metal”.</p><p>O modelo estrutural para a análise dessa treliça é apresentado no Desenho 2.1, produ-</p><p>zido com a versão gratuita 3.01 (21 de dezembro de 2016) do software Ftool.</p><p>35</p><p>Desenho 2.1 – Modelo estrutural para a treliça da Imagem 2.1</p><p>Fonte: O autor.</p><p>O apoio fixo colocado à esquerda restringe deslocamentos deste nó, que passa a ser um</p><p>ponto fixo da estrutura. O apoio móvel colocado à direita restringe seus deslocamentos</p><p>verticais. Todas as barras são articuladas nas extremidades, permitindo rotação relativa</p><p>entre barras sucessivas.</p><p>Para garantir que a estrutura reticulada esteja sujeita apenas aos esforços normais, é</p><p>necessário que todas as cargas sejam aplicadas apenas nos nós. No Desenho 2.2 é apre-</p><p>sentado um modelo em que isto não foi respeitado.</p><p>Desenho 2.2 – Estrutura reticulada com carregamento transversal</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Além dos carregamentos distribuídos aplicados em duas barras, são apresentadas as</p><p>três reações de apoio, e o diagrama de momentos fletores. Claramente duas das barras</p><p>36</p><p>estão apresentando esforços internos transversais e, por essa razão, a estrutura da fi-</p><p>gura acima não pode ser considerada uma treliça.</p><p>Naturalmente, essa é uma questão delicada, pois todas as estruturas reticuladas pos-</p><p>suem carregamentos uniformemente distribuídos na direção da gravidade. Cabe, pri-</p><p>meiramente, avaliar a magnitude destes esforços desprezados em comparação com as</p><p>cargas usuais aplicadas na estrutura.</p><p>2.1.1 Cargas permanentes em estruturas reticuladas</p><p>Para uma estrutura de alumínio, com densidade de 2,7</p><p>𝑔</p><p>𝑐𝑚3</p><p>, com seção transversal tu-</p><p>bular de 40 𝑚𝑚 de diâmetro, o carregamento permanente, já considerando as majora-</p><p>ções dos coeficientes de segurança, é inferior a:</p><p>0,0017</p><p>𝑘𝑁</p><p>𝑚</p><p>Uma estimativa dos efeitos desse carregamento é apresentada no Desenho 2.3. A ver-</p><p>dade é que, do ponto de vista físico, não existe treliça ideal porque qualquer peça estru-</p><p>tural possui peso próprio.</p><p>Desenho 2.3 – Carregamento permanente em estrutura reticulada</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Além disso, tecnicamente, os vínculos entre as barras podem não ser de articulação to-</p><p>tal, pois existe o atrito no contato entre as articulações. Mas existe uma maneira de</p><p>contornar esse problema, inspirada no Desenho 1.9. Basta observar que um</p><p>37</p><p>carregamento distribuído de intensidade 𝑝 é estaticamente equivalente a dois carrega-</p><p>mentos concentrados de intensidade</p><p>(𝑝⋅ℓ)</p><p>2</p><p>, como apresentado no Desenho 2.4.</p><p>Desenho 2.4 – Sistema estaticamente equivalente ao Desenho 1.9</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Basta construir um modelo estaticamente equivalente ao do Desenho 2.3.</p><p>Desenho 2.5 – Peso próprio equivalente em treliça plana</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Já foi mostrado no subtítulo 1.8 que as tensões e deformações nas estruturas serão di-</p><p>ferentes, mas a pequena magnitude de (0,05 𝑘𝑁𝑚) para o máximo momento fletor,</p><p>obtido no Desenho 2.3, minimiza esse problema.</p><p>38</p><p>Desenho 2.6 – Deslocamentos em treliça plana devidos ao peso próprio</p><p>Fonte: O autor.</p><p>A pequena magnitude das forças do Desenho 2.5 e das reações de apoio do Desenho</p><p>2.6 justifica a utilização deste sistema de forças estaticamente equivalente ao do Dese-</p><p>nho 2.3 em substituição dele, porque os esforços internos e tensões são de pequena</p><p>magnitude.</p><p>2.2 Reações de apoio em treliças isostáticas</p><p>Em treliças isostáticas, os carregamentos acidentais são colocados como forças concen-</p><p>tradas diretamente aplicada nos nós. Como visto anteriormente, para os carregamentos</p><p>de peso próprio é possível considerar o sistema equivalente de forças concentradas nos</p><p>nós em substituição aos carregamentos distribuídos. Uma vez colocado o carregamento,</p><p>são três as forças reativas a serem determinadas em treliças planas.</p><p>No Desenho 2.7 é apresentada uma treliça com carregamento vertical simétrico. Foram</p><p>colocadas cargas concentradas verticais de 6 𝑘𝑁 simulando a ação de uma cobertura</p><p>apoiada nestes nós. Obviamente as reações de apoio, de 3 𝑘𝑁 cada, equilibram a estru-</p><p>tura. Uma vez que não há forças horizontais, nenhuma</p><p>componente nesta direção apa-</p><p>rece na reação de apoio da esquerda.</p><p>39</p><p>Desenho 2.7 – Análise de treliça plana simétrica</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Em escala amplificada, vemos os deslocamentos que as barras sofrem em decorrência</p><p>do carregamento aplicado. O apoio da direita permite deslocamentos horizontais deste</p><p>nó da estrutura.</p><p>Observa-se também que as todas as barras se mantêm retas na configuração defor-</p><p>mada. Isso ocorre porque, nesse tipo de estrutura, não há cargas aplicadas no corpo da</p><p>barra, mas somente nos seus respectivos nós; além disso, todos os vínculos permitem</p><p>rotações, o que elimina a possibilidade de haver flexão nas barras deste modelo.</p><p>Na treliça do Desenho 2.8 foi acrescentado carregamento lateral, como simulação de</p><p>vento. Na análise do equilíbrio global da estrutura, o equilíbrio de momentos, estabele-</p><p>cido em relação a cada um dos dois apoios, resolve a determinação das reações de</p><p>apoio. Observar que somente o apoio da esquerda possui vínculo horizontal e, natural-</p><p>mente, absorverá todos os esforços nessa direção.</p><p>Na configuração deformada (em escala exagerada), na qual observa-se que, mesmo</p><p>tendo à direita um apoio móvel, não há deslocamento na direção deste grau de liber-</p><p>dade. Isto ocorre porque os carregamentos laterais vão em direção ao apoio fixo.</p><p>40</p><p>Desenho 2.8 – Análise de treliça plana com carregamento lateral</p><p>Fonte: O autor.</p><p>No entanto, quando o sentido do carregamento lateral é invertido, o comportamento</p><p>muda significativamente. Além disto, aparecem deslocamentos no apoio móvel que não</p><p>ocorriam no modelo anterior.</p><p>Desenho 2.9 – Análise de treliça plana com carregamento lateral</p><p>Fonte: O autor.</p><p>As treliças planas isostáticas podem ser resolvidas externamente apenas considerando</p><p>as equações de equilíbrio de forças horizontais, forças verticais e de momentos de rota-</p><p>ção com relação a qualquer ponto da estrutura. Isso garante a estabilidade externa da</p><p>estrutura, com relação aos apoios corretamente especificados.</p><p>41</p><p>2.3 Disposição dos elementos de estabilidade interna de treliças planas</p><p>Além de garantir a estabilidade externa e determinar as reações de apoio da estrutura,</p><p>torna-se necessário verificar a estabilidade interna, a fim de que seja mantido um com-</p><p>portamento de corpo rígido, mantendo a forma original diante do carregamento apre-</p><p>sentado (KASSIMALI, 2016).</p><p>A treliça mais simples é apresentada no Desenho 2.10. Trata-se de três barras articula-</p><p>das nas extremidades e montadas sobre um apoio fixo em (𝐴) que restringe todas as</p><p>translações, e um apoio móvel em (𝐵), que restringe apenas deslocamentos verticais.</p><p>Todas as rotações são liberadas.</p><p>Desenho 2.10 – Treliça celular básica</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Mesmo com a aplicação de carregamentos no nó (𝐶), a treliça manterá seu formato,</p><p>sendo um corpo rígido internamente estável (KASSIMALI; 2016).</p><p>A treliça retangular do Desenho 2.11, construída com barras rotuladas, é internamente</p><p>instável, e alterará sua configuração quando submetida à força nodal (𝑃) aplicada no</p><p>ponto (𝐶).</p><p>42</p><p>Desenho 2.11 – Quadro instável</p><p>(a) Treliça quadrada (b) Colapso</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Para contornar este problema, é necessário acrescentar uma barra adicional ligando</p><p>uma das diagonais.</p><p>Desenho 2.12 – Quadro contraventado</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Sob o carregamento apresentado, para contornar este problema, é necessário acrescen-</p><p>tar uma barra adicional ligando uma das diagonais.</p><p>43</p><p>Desenho 2.12, a diagonal (𝐴𝐷) estará tracionada. Em muitos casos, essa barra desta-</p><p>cada na figura é uma barra esbelta, de seção cheia, considerada um cabo, por não pre-</p><p>cisar ser verificada quanto à flambagem.</p><p>2.4 Determinação, indeterminação e instabilidade estática das treliças planas</p><p>Kassimali (2016) considera ser estaticamente determinada uma treliça cujas reações ex-</p><p>ternas de apoio e os esforços solicitantes internos puderem ser determinados exclusi-</p><p>vamente pelas equações de equilíbrio.</p><p>Este procedimento já foi utilizado, por exemplo, para determinar as reações de apoio da</p><p>treliça isostática do Desenho 2.7. Falta determinar, para essa e as outras treliças do ca-</p><p>pítulo, os esforços internos solicitantes. Cabe iniciar pela estrutura mais simples, como</p><p>a treliça quadrada do Desenho 2.12. O equilíbrio de forças horizontais é suficiente para</p><p>determinar a reação horizontal em (𝐴), que será igual a (𝑃).</p><p>Desenho 2.13 – Equilíbrio externo de treliça quadrada</p><p>Fonte: O autor.</p><p>A reação vertical em (𝐴) é determinada pelo equilíbrio de momentos em relação ao nó</p><p>(𝐵). A reação vertical em (𝐵) é determinada pelo equilíbrio de momentos em relação</p><p>44</p><p>ao nó (𝐴). Em ambos os casos, a força (𝑃) produz rotação em sentido horário, e o equi-</p><p>líbrio será contemplado com reações produzindo rotações em sentido anti-horário.</p><p>Por ser a treliça quadrada de lado (ℓ), todas as reações externas têm mesma magnitude.</p><p>Assim, em relação ao nó (𝐴), para produzir giro em sentido anti-horário, a força (𝑃)</p><p>precisa ter sentido ascendente. Em relação ao nó (𝐵), para produzir giro em sentido</p><p>anti-horário, a força (𝑃) precisa ter sentido descendente.</p><p>Desenho 2.14 – Equilíbrio interno de treliça quadrada</p><p>Fonte: O autor.</p><p>45</p><p>O equilíbrio interno da estrutura foi estabelecido pela aplicação da lei da ação e reação</p><p>entre cada parte, e pelo equilíbrio de cada barra, isoladamente.</p><p>2.5 Análise de treliças planas isostáticas pelo método dos nós</p><p>Aplicado após a determinação das reações de apoio pelo equilíbrio externo, esse mé-</p><p>todo permite obter as forças normais de cada barra analisando o equilíbrio isolado de</p><p>cada um dos nós.</p><p>Desenho 2.15 – Equilíbrio externo de treliça simples</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Na treliça do Desenho 2.15 o equilíbrio de forças horizontais permite determinar a rea-</p><p>ção horizontal:</p><p>𝐻𝐴 = 840 𝑘𝑁</p><p>A força vertical de 126 𝑘𝑁 é equilibrada pelas duas reações de apoio externas. O equi-</p><p>líbrio de momentos em relação ao nó (𝐶) permite determinar:</p><p>𝑉𝐴 = 122 𝑘𝑁</p><p>O equilíbrio de momentos em relação ao nó (𝐴) permite determinar:</p><p>𝑉𝐶 = 4 𝑘𝑁</p><p>46</p><p>O desmembramento dos nós da treliça permitirão obter as forças normais internas soli-</p><p>citantes de cada uma das barras.</p><p>Os resultados são apresentados no Desenho 2.21.</p><p>Desenho 2.16 – Equilíbrio interno de treliça simples</p><p>Fonte: O autor.</p><p>A análise isolada do nó (𝐴) permite obter a força normal 𝑁𝐴𝐷 = −152,5 𝑘𝑁 pela sua</p><p>projeção na direção vertical, equilibrada pela reação 𝑉𝐴 = 122 𝑘𝑁. Depois, a força nor-</p><p>mal 𝑁𝐴𝐵 = 7,5 𝑘𝑁 é determinada com o equilíbrio na direção horizontal, projetando</p><p>todas as outras forças que incidem no nó (𝐴).</p><p>Em seguida, o mesmo processo aplicado ao nó (𝐶) permite obter, com o equilíbrio ver-</p><p>tical do nó, a força 𝑁𝐶𝐷 = −8,5 𝑘𝑁 e, com o equilíbrio horizontal, 𝑁𝐵𝐶 = 7,5 𝑘𝑁. O nó</p><p>(𝐷) é o último a ser equilibrado, pois já são conhecidas todas as outras forças internas.</p><p>Com essa última análise, será obtido 𝑁𝐵𝐷 = 0.</p><p>2.6 Nós característicos em treliças planas</p><p>Na treliça do Desenho 2.16, a barra (𝐵𝐷) é um elemento de força nula. Isso acontece</p><p>porque, com esta condição de carregamento, o equilíbrio dos nós é satisfeito sem a ne-</p><p>cessidade de uma força normal nessa direção.</p><p>47</p><p>Neste caso especificamente, a análise da treliça ficaria mais simples, pois essa barra po-</p><p>deria simplesmente ser removida, afinal não está recebendo carga. É possível identificar</p><p>por uma simples inspeção do Desenho 2.15, com relação ao nó (𝐵).</p><p>Para garantir seu equilíbrio na horizontal, obtém-se a igualdade para as forças normais</p><p>𝑁𝐴𝐵 = 𝑁𝐵𝐶 . Quanto ao equilíbrio vertical, acima do nó só existe a barra (𝐵𝐷). Não há</p><p>maneira de haver outra força a ser compensada sem prejudicar o equilíbrio. É por isso</p><p>que essa barra tem normal nula.</p><p>Desta maneira, uma estratégia de resolução de treliças isostáticas</p><p>pode ser estabele-</p><p>cida. Em primeiro lugar, deve ser estabelecido o equilíbrio externo da estrutura, com</p><p>relação às forças horizontais, às forças verticais e ao momento em relação a qualquer</p><p>ponto da treliça.</p><p>Identificando elementos de foças nulas, a solução é obtida mais rapidamente. Os dia-</p><p>gramas de corpos livres, como mostrados no Desenho 2.14, ajudam a estabelecer as</p><p>condições de equilíbrio dos nós. Deve ser iniciado o processo de solução para os nós que</p><p>recebem duas barras porque, com as duas equações de equilíbrio de forças, as forças</p><p>normais destas barras ficarão determinadas.</p><p>Somente após resolver o equilíbrio de todos os nós que recebem duas barras é que se</p><p>pode avançar para os nós que recebem três barras. Com este processo, todas as forças</p><p>internas nas barras da treliça isostática serão determinadas, válidas para aquela condi-</p><p>ção de carregamento.</p><p>Cabe observar que, mesmo ao identificar um elemento de força nula, a respectiva barra</p><p>deve ser mantida na estrutura, porque outras configurações de carga podem ser aplica-</p><p>das na estrutura, por exemplo, uma força nodal exatamente no nó (𝐵), como mostrado</p><p>no Desenho 2.17.</p><p>48</p><p>Desenho 2.17 – Novo equilíbrio interno de treliça simples</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Na nova configuração, a barra (𝐵𝐷) deixa de ter força normal nula e passa a estar traci-</p><p>onada. A representação da configuração deformada apresentada no Desenho 2.18 con-</p><p>firma, pelos deslocamentos observados, a necessidade de manter a respectiva barra na</p><p>estrutura.</p><p>Desenho 2.18 – Nova configuração deformada de treliça simples</p><p>Fonte: O autor.</p><p>49</p><p>2.7 Análise de treliças planas isostáticas pelo método das seções</p><p>O método das seções é muito utilizado quando se torna necessário obter apenas as bar-</p><p>ras desejadas, sem a necessidade de resolver a estrutura completamente. No Desenho</p><p>2.19 é representada uma treliça isostática, já incluindo as reações de apoio, obtidas pe-</p><p>las equações de equilíbrio externo.</p><p>Desenho 2.19 – Treliça plana isostática</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Em algumas situações, pode ser interessante determinar a força interna em uma barra</p><p>específica, por alguma razão definida pelo projetista. Neste caso, um corte matemático</p><p>pode ser feito na treliça, de modo a interceptar a barra (e outras). Por exemplo, se o</p><p>interesse for determinar (apenas) a força normal na barra (𝐾𝐸), um corte (𝑎 − 𝑎) dei-</p><p>xará exposta esta barra, além das barras (𝐷𝐸) e (𝐾𝐿).</p><p>Como cada uma das partes da treliça precisará estar em equilíbrio, a utilização das três</p><p>equações de equilíbrio externo permitirá determinar as forças nestas três barras. Por</p><p>essa razão, as seções deverão cortar, no máximo três barras da treliça. Com relação ao</p><p>lado direito da treliça, que contém o apoio móvel, o equilíbrio de forças verticais permi-</p><p>tirá obter que:</p><p>100 𝑘𝑁 − 50 𝑘𝑁 − 60 𝑘𝑁 + 𝑁𝐾𝐸 ⋅</p><p>1</p><p>√2</p><p>= 0 ⟹ 𝑁𝐾𝐸 = 10√2 𝑘𝑁</p><p>50</p><p>Havendo interesse em determinar as forças {𝑁𝐷𝐸; 𝑁𝐾𝐿}, dois equilíbrios de momentos</p><p>resolverão o problema.</p><p>2.8 Análise de treliças compostas</p><p>Segundo Kassimali (2016), treliças compostas são obtidas conectando treliças simples</p><p>para formar um único corpo rígido. As conexões devem ser efetuadas de forma que a</p><p>treliça composta seja internamente estável, mas seja também globalmente rígida.</p><p>Com relação à análise destas estruturas, o método dos nós e os métodos das seções são</p><p>utilizados conjuntamente e sucessivamente, especialmente quando não houver na tre-</p><p>liça composta um nó com duas barras sobre ele incidentes.</p><p>Permanecem válidas as mesmas estratégias de resolução que foram discutidas para as</p><p>treliças planas. A principal delas é que a treliça composta seja estaticamente determi-</p><p>nada, isto é, só existam três vínculos com reações externas a serem determinadas. Cabe</p><p>lembrar que estruturas hiperestáticas são resolvidas por métodos energéticos. No dia-</p><p>grama de corpo livre da treliça, determinam-se as reações de apoio da mesma maneira</p><p>que fora efetuada nos exemplos anteriores deste texto.</p><p>Com o corte da treliça interceptando um máximo de três barras, surgem novas forças</p><p>consideradas externas com relação à parte da treliça em análise. Elas são determinadas</p><p>ao aplicar novamente as equações de equilíbrio. Sucessivamente, continua-se a resolu-</p><p>ção aplicando, onde cabível, o equilíbrio dos nós isolados em diagramas de corpos livres.</p><p>2.9 Aplicação do FTOOL para determinação dos esforços em treliças planas</p><p>No Desenho 2.20 é representada uma estrutura plana que, com as rótulas apresentadas,</p><p>é hipostática, assim como o quadro simples do Desenho 2.11.</p><p>51</p><p>Desenho 2.20 – Carregamento em quadro plano instável</p><p>Fonte: O autor.</p><p>O objetivo é dispor as diagonais de modo que trabalhem à tração para o carregamento</p><p>indicado, assim como foi feito no Desenho 2.12, para obter uma estrutura isostática. A</p><p>seção transversal de todas as barras é circular maciça.</p><p>Primeiramente, constrói-se a estrutura no Ftool, atribuindo os materiais e as seções</p><p>transversais a todas as barras, sem colocar as rótulas, obtendo o quadro hiperestático</p><p>do Desenho 2.21.</p><p>Desenho 2.21 – Quadro plano com ligações rígidas</p><p>Fonte: O autor.</p><p>A colocação das diagonais é feita de maneira iterativa. No Desenho 2.22 foram acres-</p><p>centadas quatro barras ao quadro do Desenho 2.21. O diagrama de esforços normais é</p><p>apresentado no Desenho 2.23. Este é o momento em que se deve verificar quando al-</p><p>guma diagonal aparecer comprimida e proceder a substituí-la por outra na direção or-</p><p>togonal. As figuras apresentadas já apresentam a locação correta.</p><p>40 kN 30 kN 50 kN 60 kN</p><p>2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m</p><p>2 m</p><p>52</p><p>Desenho 2.22 – Primeira iteração: Atribuição de diagonais</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Desenho 2.23 – Primeira iteração: Esforços normais</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Observam-se que todas as diagonais acrescentadas trabalham à tração, pois as respec-</p><p>tivas forças normais são algebricamente negativas. A locação final de todas as diagonais</p><p>é apresentada no Desenho 2.24.</p><p>Desenho 2.24 – Segunda iteração: atribuição de todas as diagonais</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Se as locações de barras forem feitas corretamente, todas as diagonais do quadro plano</p><p>do Desenho 2.25 apresentarão forças normais algebricamente positivas, confirmando</p><p>estarem tracionadas.</p><p>53</p><p>Desenho 2.25 – Segunda iteração: esforços normais</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Cabe lembrar que a estrutura do Desenho 2.24, que foi lançada no programa, não é uma</p><p>treliça, e isso fica mais evidente na configuração deformada apresentada no Desenho</p><p>2.26. O encurvamento de todas as barras é indicação clara de que elas estão sendo fle-</p><p>xionadas.</p><p>Desenho 2.26 – Deformações em quadro plano com ligações rígidas</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Na última iteração são colocadas as rótulas em todas as barras, como apresentado no</p><p>Desenho 2.27. O diagrama de forças normais do Desenho 2.29 confirma que todas as</p><p>diagonais estão tracionadas.</p><p>54</p><p>Desenho 2.27 – Treliça plana isostática</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Desenho 2.28 – Forças normais em treliça plana isostática</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Desenho 2.29 – Deflexões em treliça plana isostática</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Na configuração deformada apresentada no Desenho 2.29, todas as barras da estrutura</p><p>sofrem apenas alongamentos ou contrações, confirmando que efetivamente (e definiti-</p><p>vamente) trata-se de uma treliça.</p><p>55</p><p>2.10 Características das treliças espaciais</p><p>Na Imagem 2.2 é mostrada uma treliça espacial metálica construída com conexões es-</p><p>truturalmente articuladas entre as barras de aço. Ela está apoiada em vigas de concreto,</p><p>pois foi construída para suportar uma cobertura.</p><p>Imagem 2.2 – Treliça espacial de aço galvanizado</p><p>Não existem softwares gratuitos para a análise de estruturas espaciais. Mas existem ver-</p><p>sões estudantis, instaladas em algumas universidades e acessíveis aos alunos nos labo-</p><p>ratórios, para o desenvolvimento de projetos específicos</p><p>às disciplinas de teoria das es-</p><p>truturas. Especialmente se houver simetria no problema, muitas características podem</p><p>ser estudadas.</p><p>A treliça espacial mais simples é formada por seis barras, sendo geometricamente as</p><p>arestas de um tetraedro, como o da Imagem 2.3, produzida por meio do software Stella1</p><p>para a análise de poliedros.</p><p>1 Stella. Disponível em: <https://www.software3d.com/Stella.php>. Acesso em: 13 jan. 2021.</p><p>56</p><p>Imagem 2.3 – Treliça espacial simples</p><p>No Desenho 2.30 é representada uma estrutura para apoio de cobertura, com carrega-</p><p>mento de multidão de 5</p><p>𝑘𝑁</p><p>𝑚2.</p><p>Desenho 2.30 – Treliça espacial para cobertura</p><p>Fonte: O autor.</p><p>2m</p><p>2m</p><p>X Y</p><p>Z</p><p>5 kN/m2</p><p>ALTURA 2m</p><p>57</p><p>Considerando as hipóteses das estruturas de treliça, de trabalharem apenas a esforços</p><p>normais centrados, o carregamento distribuído deve ser convertido para um conjunto</p><p>de forças concentradas, conforme o Desenho 2.31.</p><p>Desenho 2.31 – Carregamento de multidão e forças nodais equivalentes</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Na Imagem 2.4 é mostrado o modelo construído pelo autor, em 18 de abril de 2017,</p><p>utilizando a versão educacional 19.1 do SAP 2000. À esquerda, as forças nodais aplica-</p><p>das; à direita, o modelo mostrando as seções transversais tubulares para as barras da</p><p>treliça.</p><p>Imagem 2.4 – Modelo construído no SAP2000</p><p>Fonte: O autor.</p><p>1m</p><p>1m</p><p>1m</p><p>1m 1m</p><p>1m</p><p>1m</p><p>1m</p><p>5 kN</p><p>5 kN</p><p>10 kN</p><p>20 kN</p><p>10 kN 10 kN</p><p>10 kN</p><p>5 kN</p><p>5 kN</p><p>4m</p><p>4m</p><p>5 kN/m2</p><p>58</p><p>O resultado do processamento é apresentado na Imagem 2.5, que contém a configura-</p><p>ção deformada e o diagrama de forças normais.</p><p>Imagem 2.5 – Resultados do processamento no SAP2000</p><p>Fonte: O autor.</p><p>As barras tracionadas são representadas em azul, a mais crítica com carregamento de</p><p>(7.898,41 N). As barras comprimidas são representadas em vermelho, a mais crítica é</p><p>uma das laterais, com força (−9.909,29 N).</p><p>Considerando o estado limite último para a compressão, e para a flambagem, foi esta-</p><p>belecida para a seção transversal da barra o diâmetro externo de 120 𝑚𝑚 e a espessura</p><p>da parede tubular de 12 𝑚𝑚, como indicado na Imagem 2.6.</p><p>59</p><p>Imagem 2.6 – Dimensionamento final da treliça espacial</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Os diagramas apresentados na Imagem 2.4 já consideram estas dimensões, uma vez que</p><p>elas influenciam no peso próprio da estrutura, considerado automaticamente pelo pro-</p><p>grama.</p><p>Conclusão</p><p>As estruturas em barras são as células iniciais para a construção de estruturas. As treliças</p><p>planas são estruturas solicitadas apenas a esforços normais. É possível construir treliças</p><p>mistas, utilizando concreto armado onde cabível. Assim, os diferentes materiais são uti-</p><p>lizados para atender aos requisitos de segurança e estabilidade, aproveitando-se de suas</p><p>melhores propriedades.</p><p>As treliças são estruturas isostáticas construídas com barras articuladas nas extremida-</p><p>des e concebidas para receberem apenas carregamentos nos nós. Com isso, o modelo</p><p>matemático permite obter como resultado a ausência de flexão e de cortante nas bar-</p><p>ras, que estão sujeitas apenas a esforços axiais.</p><p>60</p><p>Isso simplifica a análise do problema, uma vez que, na ausência de solicitações transver-</p><p>sais, as deformações axiais das barras dependem apenas das forças normais atuantes</p><p>nas barras.</p><p>REFERÊNCIAS</p><p>KASSIMALI, Aslam. Análise estrutural. 5ª. Edição, 2016. (9788522118175).</p><p>MARTHA, Luiz Fernando. Análise de estruturas. Conceitos e métodos básicos. 2010.</p><p>(9788535234558).</p><p>61</p><p>3 VIGAS E PÓRTICOS</p><p>Neste bloco serão estudadas as vigas e as estruturas de pórticos, que são as células bá-</p><p>sicas para as construções civis (e também mecânicas). Serão determinadas as reações</p><p>de apoio necessárias para garantir o equilíbrio estático destas estruturas, e também cal-</p><p>culados os esforços internos atuantes nas barras da estrutura. Existem alguns programas</p><p>(gratuitos) que auxiliam o engenheiro nestas tarefas e, uma vez validados a partir de</p><p>resultados elementares da teoria, podem ser utilizados sem restrições.</p><p>Estruturas de barras são aquelas que possuem um eixo claramente definido, associando</p><p>a esta dimensão o comprimento ℓ. As outras dimensões são usualmente a largura 𝑏 e a</p><p>altura ℎ quando a seção transversal é um retângulo.</p><p>Barras que trabalham exclusivamente à tração são denominadas cabos ou tirantes,</p><p>sendo usualmente construídas em aço estrutural e utilizadas em contraventamentos e</p><p>ancoragens.</p><p>Barras que trabalham mais à compressão que à flexão são os pilares, dimensionados</p><p>conforme flexão composta com pequena excentricidade. Barras que trabalham predo-</p><p>minantemente à flexão e menos à compressão são as vigas protendidas, dimensionadas</p><p>conforme flexão composta com grande excentricidade.</p><p>Treliças são exemplos de estruturas reticuladas cujas barras trabalham exclusivamente</p><p>a esforços normais centrados, de compressão ou tração. Em virtude dos vínculos esta-</p><p>belecidos e dos carregamentos, aplicados exclusivamente nos nós, não ocorrem esfor-</p><p>ços de cisalhamento ou flexão. Esses tipos de estruturas foram objeto de estudo do</p><p>Bloco 2.</p><p>3.1 Esforços internos em estruturas de barras</p><p>Na Imagem 3.1 é representada uma barra de madeira de comprimento (ℓ) e área trans-</p><p>versal (𝐴) que é mantida em equilíbrio sendo submetida simultaneamente a esforços</p><p>normais centrados (𝑁) de tração, esforços de corte (𝑉) e momentos de flexão (𝑀0).</p><p>62</p><p>Imagem 3.1 – Barra de madeira</p><p>Nestas condições, conforme a distribuição de esforços internos, a barra é submetida às</p><p>tensões de cisalhamento devidas ao corte e tensões normais devidas à flexão composta</p><p>conforme Quadro 3.1</p><p>Quadro 3.1 – Tensões na barra da Imagem 3.1</p><p>TENSÕES DE CISALHAMENTO TENSÕES NORMAIS</p><p>𝜏 =</p><p>𝑉</p><p>𝐴</p><p>𝜎 =</p><p>𝑁</p><p>𝐴</p><p>−</p><p>𝑀0</p><p>𝑊𝑧</p><p>Fonte: O autor.</p><p>3.1.1 Esforços normais</p><p>Para as forças normais axiais, vale as estruturas de barras, a convenção é de sinal posi-</p><p>tivo para forças de tração e negativos para compressão, como mostrado no Desenho</p><p>3.1. A exceção para esse tipo de convenção ocorre na mecânica dos solos, pois os solos</p><p>não resistem à tração, e como só há tensões de compressão, não são utilizados sinais.</p><p>63</p><p>Desenho 3.1 – Esforços normais em barras</p><p>Fonte: O autor.</p><p>3.1.2 Esforços cortantes</p><p>Em uma estrutura de barras, os esforços cortantes considerados positivos são aqueles</p><p>que produzem tendência de rotação do trecho de barra no sentido horário; os negativos</p><p>produzem tendência de rotação do trecho de barra no sentido anti-horário.</p><p>Desenho 3.2 – Esforços cortantes em barras</p><p>Fonte: O autor.</p><p>3.1.3 Esforços internos de momento fletor</p><p>Os diagramas de momentos fletores são sempre desenhados do lado em que tracionam</p><p>as respectivas mesas. É por essa razão que ficou estabelecido que momentos fletores</p><p>são aqueles que tracionam as fibras inferiores. Mas, em estruturas de pórticos, para</p><p>melhor compreensão, dizemos que os momentos positivos são os que tracionam as bar-</p><p>ras dos lados internos.</p><p>64</p><p>Desenho 3.3 – Momentos fletores positivos</p><p>Fonte: O autor.</p><p>3.2 Comportamento de vigas e pórticos isostáticos</p><p>Estruturas estaticamente determinadas ou estruturas isostáticas são aquelas cujas rea-</p><p>ções de apoio e esforços internos podem ser completamente determinados apenas pe-</p><p>las condições de equilíbrio (MARTHA, 2010). Nestes casos, o número total de vínculos é</p><p>igual às condições de equilíbrio que puderem ser estabelecidas.</p><p>Estruturas hipostáticas são instáveis do ponto de vista estrutural por possuírem menos</p><p>vínculos do que os necessários para garantir o equilíbrio. Estes casos obviamente resul-</p><p>tam em colapso da estrutura, e ocorrem especialmente quando vínculos anteriormente</p><p>existentes são comprometidos por alguma patologia ou quando algum dano estrutural</p><p>é causado intencionalmente ou acidentalmente.</p><p>As estruturas estaticamente indeterminadas ou estruturas hiperestáticas possuem vín-</p><p>culos excedentes em relação às condições de equilíbrio. A maioria das estruturas são</p><p>deste tipo, e como exemplos temos os edifícios, que são estruturas compostas por vá-</p><p>rios pórticos conectados. Essas estruturas são tratadas no Bloco 5.</p><p>3.2.1 Vigas isostáticas</p><p>Considerando que são três as equações de equilíbrio externo, são vários os exemplos de</p><p>vigas isostáticas: são aquelas que possuem exatamente três vínculos estruturais. A viga</p><p>engastada do Desenho 3.4 possui, no (único) apoio, a capacidade de fornecer uma força</p><p>reativa vertical, outra horizontal e um momento reativo. Esses tipos de vigas, com os</p><p>mais diversos tipos de carregamentos, foram preteritamente resolvidas neste texto e na</p><p>disciplina de Resistência dos Materiais.</p><p>65</p><p>Desenho 3.4 – Viga engastada simples</p><p>Fonte: O autor.</p><p>A viga do Desenho 3.5 possui dois balanços entre (𝐴𝐵) e (𝐶𝐷) e apenas um apoio fixo</p><p>em (𝐵) e um apoio móvel em (𝐶). Esses apoios garantem o equilíbrio para qualquer</p><p>carregamento aplicado sobre ela, em particular o carregamento distribuído de intensi-</p><p>dade (𝑝) e o carregamento concentrado de intensidade (𝑃).</p><p>Desenho 3.5 – Viga duplamente apoiada com balanços</p><p>Fonte: O autor.</p><p>Outros tipos de vigas especiais são tratados no Bloco 4.</p><p>3.2.2 Pórticos simples isostáticos</p><p>São pórticos que possuem três restrições vinculares, que garantirão equilíbrio para qual-</p><p>quer carregamento aplicado nas barras, como mostrado no Desenho 3.6.</p><p>66</p><p>Desenho 3.6 – Quadro bi-apoiado</p><p>Fonte: O autor.</p><p>O pórtico do Desenho 3.7 tem um único apoio de engaste, que absorve todos os esforços</p><p>internos provenientes das barras.</p><p>Desenho 3.7 – Quadro engastado</p><p>Fonte: O autor.</p><p>67</p><p>3.3 Diagramas de momento fletor e força cortante em vigas isostáticas</p><p>Para construir os diagramas de esforços solicitantes, é necessário determinar, para cada</p><p>seção da barra, as funções que representam os esforços correspondentes.</p><p>3.3.1 Viga simplesmente apoiada com carregamento concentrado</p><p>No Desenho 1.14 foi apresentado o modelo de uma viga simplesmente apoiada com</p><p>carregamento concentrado em uma posição intermediária 𝑥𝑃 ]∈ 0; ℓ[ . O esquema es-</p><p>tático é reproduzido no Desenho 3.8, junto com os diagramas de esforços solicitantes.</p><p>As reações de apoio da viga foram determinadas na seção 1.10.1.</p><p>𝑅𝐵 =</p><p>𝑥𝑃</p><p>ℓ</p><p>∙ 𝑃 𝑅𝐴 =</p><p>ℓ − 𝑥𝑃</p><p>ℓ</p><p>∙ 𝑃</p><p>Em relação à seção 𝐶−, imediatamente antes da posição da força concentrada 𝑃, a rea-</p><p>ção de apoio 𝑅𝐴 tende a girar a barra no sentido horário, produzindo força cortante</p><p>positiva à esquerda de 𝑃. Em relação à seção 𝐶+, imediatamente depois da posição da</p><p>força concentrada 𝑃, a reação de apoio 𝑅𝐵 tende a girar a barra no sentido anti-horário,</p><p>produzindo força cortante negativa. Consequentemente:</p><p>𝑉(𝐶−) = lim</p><p>𝑥→𝑥𝑃</p><p>𝑥<𝑥𝑃</p><p>𝑉(𝑥) =</p><p>ℓ − 𝑥𝑃</p><p>ℓ</p><p>∙ 𝑃 𝑉(𝐶+) = lim</p><p>𝑥→𝑥𝑃</p><p>𝑥>𝑥𝑃</p><p>𝑉(𝑥) =</p><p>𝑥𝑃</p><p>ℓ</p><p>∙ 𝑃</p><p>Uma vez que os limites laterais da função 𝑉(𝑥) são diferentes, a seção 𝐶 é um ponto de</p><p>descontinuidade da força cortante, justamente porque é onde está locada a força con-</p><p>centrada 𝑃. E o valor absoluto da descontinuidade é exatamente 𝑃.</p><p>Portanto, a função 𝑉: [0; ]ℓ ⟶ ℝ, que representa a força cortante em uma seção 𝑆 de</p><p>coordenada 𝑥 ∈ [0; ]ℓ , ficou definida em duas partes, sendo descontínua na posição</p><p>𝑥𝑃 ]∈ 0; ℓ[ da força concentrada 𝑃:</p><p>𝑉(𝑥) = {</p><p>(ℓ − 𝑥𝑃)</p><p>ℓ</p><p>∙ 𝑃 ; 𝑥 ∈ [0; 𝑥𝑃[</p><p>𝑥𝑃</p><p>ℓ</p><p>∙ 𝑃 ; 𝑥 ∈ ]𝑥𝑃; ℓ]</p><p>68</p><p>Quanto aos momentos fletores, em relação à seção 𝐶−, a força reativa 𝑅𝐴 atua tracio-</p><p>nando a viga na mesa inferior, com um momento fletor de 𝑅𝐴 ∙ 𝑥𝑃. Em relação à seção</p><p>𝐶−, a força reativa 𝑅𝐵 atua tracionando a mesa inferior, com um momento fletor de 𝑅𝐵 ∙</p><p>(ℓ − 𝑥 )𝑃 . Resultado:</p><p>𝑀(𝐶−) = lim</p><p>𝑥→𝑥𝑃</p><p>𝑥<𝑥𝑃</p><p>𝑀(𝑥) = ൬</p><p>ℓ − 𝑥𝑃</p><p>ℓ</p><p>∙ 𝑃൰ ∙ 𝑥𝑃 𝑀(𝐶+) = lim</p><p>𝑥→𝑥𝑃</p><p>𝑥>𝑥𝑃</p><p>𝑀(𝑥) =</p><p>𝑥𝑃</p><p>ℓ</p><p>∙ 𝑃 ∙ (ℓ − 𝑥 )𝑃</p><p>Como os limites laterais da função 𝑀(𝑥) são iguais, a função é contínua na seção 𝐶, de</p><p>coordenada 𝑥 = 𝑥𝑃. Portanto:</p><p>𝑀(𝑥𝑃) = 𝑃 ∙</p><p>𝑥𝑃 ∙ (ℓ − 𝑥𝑃)</p><p>ℓ</p><p>Com isso, a função 𝑀: [0; ]ℓ ⟶ ℝ que representa o momento fletor em uma seção 𝑆 de</p><p>coordenada 𝑥 ∈ [0; ]ℓ ficou definida em duas partes, mas é contínua:</p><p>𝑀(𝑥) = {</p><p>𝑃 ∙</p><p>(ℓ − 𝑥𝑃)</p><p>ℓ</p><p>∙ 𝑥 ; 𝑥 ∈ [0; 𝑥𝑃[</p><p>𝑃 ∙</p><p>(ℓ − 𝑥𝑃)</p><p>ℓ</p><p>∙ 𝑥 − 𝑃(𝑥 − 𝑥𝑃) ; 𝑥 ∈ ]𝑥𝑃; ℓ]</p><p>69</p><p>Desenho 3.8 – Diagrama de esforços solicitantes da estrutura do Desenho 1.14</p><p>Fonte: O autor.</p><p>3.3.2 Viga engastada com carregamento uniforme</p><p>No Desenho 3.9 é representada uma viga de comprimento ℓ engastada na seção {𝐴} e</p><p>livre na extremidade da seção 𝐵. O apoio de engaste absorverá a resultante do carrega-</p><p>mento distribuído e também o momento resultante destes carregamentos.</p><p>70</p><p>Desenho 3.9 – Viga engastada com carregamento uniformemente distribuído</p><p>Fonte: O autor.</p><p>O carregamento de intensidade 𝑝, distribuído ao longo da viga, tem resultante estática</p><p>𝑝 ∙ ℓ, com uma distância</p><p>ℓ</p><p>2</p><p>ao apoio, que reage com força concentrada, de sentido oposto</p><p>à essa resultante, e com um momento concentrado com intensidades:</p><p>𝑅𝐴 = 𝑝 ∙ ℓ</p><p>𝑀𝐴 =</p><p>𝑝 ∙ ℓ2</p><p>2</p><p>Internamente, a viga sofre esforços internos de corte ou cisalhamento. Em relação à</p><p>seção (𝑆), de coordenada 𝑥, a reação de apoio (𝑅 )𝐴 tende a girar a barra no sentido</p><p>horário, produzindo força cortante positiva. A resultante parcial (𝑝 ⋅ 𝑥) do carrega-</p><p>mento distribuído tende a girar a barra no sentido anti-horário, produzindo força cor-</p><p>tante negativa. Consequentemente:</p><p>𝑉(𝑥) = 𝑝 ∙ ℓ − 𝑝 ∙ 𝑥</p><p>Portanto, a função 𝑉: [0; ]ℓ ⟶ ℝ, que representa a força cortante em uma seção 𝑆 de</p><p>coordenada 𝑥 ∈ [0; ]ℓ , é uma função polinomial de primeiro grau.</p><p>Quanto aos momentos fletores, em relação à seção (𝑆), a força reativa 𝑅𝐴 atua tracio-</p><p>nando a viga na mesa inferior, com um momento fletor de (𝑅𝐴 ∙ )𝑥 . A resultante parcial</p><p>(𝑝 ⋅ 𝑥) do carregamento distribuído tende a tracionar a viga na mesa inferior, com um</p><p>momento fletor de ቀ𝑝 ⋅ 𝑥 ⋅</p><p>𝑥</p><p>2</p><p>ቁ.</p><p>71</p><p>Resultado:</p><p>𝑀(𝑥) = 𝑝 ∙ ℓ ⋅ 𝑥 −</p><p>𝑝 ∙ ℓ2</p><p>2</p><p>Portanto, a função 𝑀: [0; ]ℓ ⟶ ℝ, que representa o momento fletor em uma seção 𝑆</p><p>de coordenada 𝑥 ∈ [0; ]ℓ , é uma função polinomial de segundo grau.</p><p>Desenho 3.10 – Viga engastada com carregamento uniformemente distribuído</p><p>Fonte: O autor.</p><p>3.4 Representação gráfica das curvas elásticas</p><p>Na Imagem 3.2 é mostrada a configuração deformada de uma viga de metal submetida</p><p>à flexão. Observa-se o encurvamento com concavidade para cima, produzido pelo efeito</p><p>da flexão gerada pelos carregamentos aplicado na viga.</p><p>72</p><p>Imagem 3.2 – Viga de seção tipo I submetida à flexão geral</p><p>No Desenho 3.11 é representada uma viga simplesmente apoiada com um carrega-</p><p>mento distribuído que varia de acordo como uma função 𝑝: [0, ℓ] ⟶ ℝ dada. A origem</p><p>do sistema foi colocada no ponto fixo 𝐴 da estrutura, e foi escolhida uma seção 𝑆 de</p><p>coordenada 𝑥 para escrever cada função em função da respectiva coordenada.</p><p>Desenho 3.11 – Viga duplamente apoiada com carregamento distribuído</p><p>Fonte: O autor.</p><p>73</p><p>No desenho, é representada, em escala ampliada, o formato aproximado da linha elás-</p><p>tica da viga, isto é, mostrando as deflexões (𝑣(𝑥)) de pontos de uma seção (𝑆), de co-</p><p>ordenada 𝑥, que correspondem ao carregamento de intensidade (𝑝(𝑥)), variável para</p><p>cada posição. Essas deflexões são matematicamente determinadas pela resolução da</p><p>equação diferencial da linha elástica:</p><p>𝜕2𝑣(𝑥)</p><p>𝜕𝑥2</p><p>=</p><p>𝑀(𝑥)</p><p>𝐸 ∙ 𝐼(𝑥)</p><p>3.5 Relações entre as cargas, esforços cortantes e momentos fletores</p><p>As relações diferenciais entre momento fletor, força cortante e carregamento distribu-</p><p>ído são:</p><p>𝑉(𝑥) =</p><p>𝜕𝑀</p><p>𝜕𝑥</p><p>𝑝(𝑥) = −</p><p>𝜕𝑉</p><p>𝜕𝑥</p><p>Para o caso em que a rigidez da viga à flexão seja constante, resultam o seguinte con-</p><p>junto de equações diferenciais para a determinação da linha elástica:</p><p>𝐸 ∙ 𝐼 ∙</p><p>𝜕4𝑣</p><p>𝜕𝑥4</p><p>= −𝑝(𝑥) 𝐸 ∙ 𝐼 ∙</p><p>𝜕3𝑣</p>