Estruturas Isostáticas

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Estruturas Isostáticas 
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Me. Glauco F. Bianchini
Prof. Me. Gabriel Baião 
Revisão Textual:
Prof.ª M.ª Sandra Regina Fonseca Moreira 
Cálculo das Reações de Apoio e Esforços Internos em Vigas 
Cálculo das Reações de Apoio 
e Esforços Internos em Vigas 
 
 
• Apresentar ao aluno o cálculo das reações nas diferentes estruturas, aprofundando o conceito 
de equilíbrio de corpos rígidos.
OBJETIVO DE APRENDIZADO 
• Introdução;
• Cálculo das Reações em Vigas;
• Cálculo das Reações em Arcos;
• Cálculo das Reações em Pórticos;
• Cálculo das Reações em Treliças;
• Conceituação dos Tipos de Esforços Solicitantes;
• Compreensão do Processo de Traçado dos Diagramas;
• Calculando com Diferentes Configurações e Diferentes Tipos de Vigas;
• Elementos Estruturais.
UNIDADE Cálculo das Reações de Apoio 
e Esforços Internos em Vigas 
Introdução
Os vínculos restringem os graus de liberdade de movimento das estruturas, provo-
cando forças reativas conhecidas como reações de apoio. Nas estruturas isostáticas, 
o número de vínculos é essencialmente o necessário para impedir o deslocamento da 
estrutura. O conjunto de cargas aplicadas, mais as reações de apoio formam um sistema 
em equilíbrio onde não ocorrem movimentações na vertical e horizontal e rotações dos 
elementos (ΣFx = 0; ΣFy = 0; ΣM = 0) (MACHADO JR., 1999).
As cargas atuantes aplicadas nas estruturas são concentradas ou distribuídas, podendo 
ser classificadas em permanentes e acidentais. 
• Cargas permanentes: atuam constantemente por toda a vida útil da estrutura, 
consistem dos pesos dos vários membros estruturais e dos pesos de quaisquer ob-
jetos que sejam permanentemente ligados à estrutura. Para edifícios, as cargas 
permanentes incluem os pesos dos pilares, das vigas e lajes, dos revestimentos, das 
paredes etc. (HIBBELER, 2013);
• Cargas acidentais: também conhecidas como cargas variáveis, são aquelas que po-
dem ou não atuar na estrutura, podendo ser estáticas, como a ação do vento, empuxo 
de terra ou água, sobrecargas (cargas de construção, pessoas, veículos); ou dinâmicas, 
como o efeito de frenagem ou aceleração de veículos, variações de tráfegos e veículos, 
impactos laterais ou efeitos de tremores de terra (HIBBELER, 2013).
Tabela 1 – Lembrete: tabela de carregamentos distribuídos
Carregamento distribuído Força resultante
Uniforme
q = cte 
L L/2 L/2
R = qL
Triangular q 
L
2L/3 L/3
R = qL/2
Trapezoidal
q2 q1 
L
A B
L
L/2
R1=q1L R2=(q2– q1)L/2 
L/3
q2 – q1
q1
BA
A B
Qualquer
q(x)
dx
L
O
Aplicada no C.G. do diagrama de q(x)
R
x
L
R=∫L q(x) dx
Fonte: Adaptada de ALMEIDA, 2009
8
9
A combinação entre as cargas permanentes e acidentais determinam os esforços 
que atuam na estrutura. Para isso, faz-se necessário o conhecimento prévio dos pesos 
específicos dos materiais e equipamentos que serão utilizados nas estruturas. O exemplo 
1 traz um processo de cálculo para a determinação das ações atuantes nas estruturas.
Exemplo 1
A viga do piso da Figura 1 é usada para suportar a largura de 1,80 m de uma laje de 
concreto armado (γc = 25 kN/m³), tendo uma espessura de 10 cm. A laje serve como 
uma porção do forro para o andar de baixo e, portanto, sua parte de baixo é revestida 
com gesso (0,24 kN/m²). Além disso, uma parede de bloco de concreto (16,50 kN/m³) de 
2,40 m de altura e 30 cm de espessura está assentada diretamente sobre a viga. Deter-
mine a carga por metro atuante, considerando uma viga de 14x40 de concreto armado.
Laje de concreto: 25 (kN/m³) x 1,80 (m) x 0,10 (m) = 4,50 kN/m
Forro de gesso: 0,24 (kN/m²) x 1,80 (m) = 0,43 kN/m
Parede de bloco: 16,50 (kN/m³) x 2,40 (m) x 0,30 m = 11,88 kN/m
Viga: 25 (kN/m³) x 0,14 (m) x 0,40 (m) = 1,40 kN/m 
_________________________________________________________________
Carga total (P kN/m): = 18,21 kN/m
Figura 1 – Ilustração do esquema estático
Fonte: Acervo do Conteudista
Para o processo de determinação das reações, deve-se produzir o Diagrama de Corpo 
Livre (DCL), representando as cargas atuantes e as reações originadas pelas vinculações. 
Essas são incógnitas, que serão obtidas através de cálculo pela aplicação das condições 
de equilíbrio de uma estrutura. Quando as estruturas possuírem vinculações internas (ar-
ticulações), isolam-se os elementos estruturais, com todas as forças aplicadas incluindo as 
incógnitas já calculadas, e para cada elemento é aplicada a condição de equilíbrio.
Importante!
Convenção de sinais
Positivo
• Reações verticais que atuam de baixo para cima;
• Reações horizontais que atuam da esquerda para 
a direita;
• Giro no sentido horário.
+
9
UNIDADE Cálculo das Reações de Apoio 
e Esforços Internos em Vigas 
Vamos entender melhor a ideia da convenção de sinais. 
Disponível em: https://youtu.be/W2v2-392y2M
Importante!
Todas as medidas utilizadas nas representações das estruturas estão em metros.
Cálculo das Reações em Vigas
As estruturas apresentadas nesta unidade serão utilizadas nas próximas para deter-
minação de seus esforços internos (N, V e M). 
Vigas Biapoiadas
Carga Concentrada
Seja a viga biapoiada da Figura 2 submetida a uma carga concentrada P, atuante a 
dois metros do apoio A. 
A B
2 4
P = 40 kN/m
Figura 2 – Viga biapoiada com carga concentrada 
O primeiro passo para início da resolução é a criação do Diagrama de Corpo Livre 
(DCL – Figura 3) e, a partir das definições e nomenclaturas utilizadas para as forças 
desconhecidas, aplica-se as equações de equilíbrio (ΣMa = 0; ΣFy = 0; ΣFx = 0) obtendo 
os valores das reações de apoio:
P = 40 kN/m
42
Rva
Rha
DCL
Rvb
Figura 3 – DCL – Viga biapoiada com carga concentrada 
10
11
Vamos desenvolver esse exercício no link, disponível em: https://youtu.be/9TfrQO56ngQ
P = 18,21 kN/m
A B
7
Figura 4 – Viga biapoiada com carga uniformemente distribuída
Agora já estamos aptos a desenvolver esse exercício, pegue seu papel e caneta e acesse o 
link, disponível em: https://bit.ly/3vyFz0v
Carga Distribuída Triangular
Considere a viga biapoiada da Figura 5, submetida a uma carga distribuída triangular:
60kN
6
A B
Figura 5 – Viga biapoiada com carga distribuída triangular
Agora já estamos aptos a desenvolver esse exercício, pegue seu papel e caneta e acesse o 
link, disponível em: https://bit.ly/3tXNTGo
Carga Momento
Quando ocorre a aplicação da carga momento, as reações de apoio tendem a ser 
equivalentes a um binário, de mesma intensidade e sentidos contrários. Na Figura 6, é 
apresentada uma estrutura submetida à carga momento.
M = 18kN.m
6
A B
Figura 6 – Viga biapoiada com carga momento
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UNIDADE Cálculo das Reações de Apoio 
e Esforços Internos em Vigas 
Vamos desenvolver esse exercício completo no link, disponível em: https://bit.ly/3u6F8Kx
Exemplo 2
Determine as reações de apoio na estrutura apresentada. As Figuras 7 e 8 apresen-
tam o esquema estático com as cargas e o DCL respectivamente.
F = 60 kN
P = 21 kN/m
M = 18 kN.m BA
1,10 2,00 2,90
Figura 7 – Viga biapoiada com diferentes cargas atuantes
F = 60 kN
Fr = 60,90 kN
RvbRva
Rha
1,10 2,00 1,45 1,45
M = 18 kN.m
Figura 8 – DCL – Viga biapoiada com diferentes cargas atuantes
Vamos desenvolver esse exercício completo no link, disponível em: https://bit.ly/32QfmOw
Vigas Engastadas ou em Balanço
Assim como nas vigas biapoiadas, o procedimento de cálculo é o mesmo, produz-se o 
DCL e aplicam-se as equações de equilíbrio. A única diferença para as vigas engastadas 
é a presença do momento no engaste como reação. As Figuras 9 e 10 apresentam uma 
estrutura engastada e seu DCL com as mesmas cargas utilizadas no exemplo 2.
F = 60 kN
P = 21kNm
2,00 2,901,10
A M = 18kN.m
Figura 9 – Viga engastada
12
13
F = 60 kN
Fr = 60,90kN
M = 18 kN.m
1,451,452,001,10
Ma
Rha
Rva
Figura 10 – DCL – Viga engastada
Vamos desenvolver esse exercício completo no link, disponível em: https://bit.ly/2QY1rmX
Na estrutura apresentada, as cargas são as mesmas aplicadas noExemplo 2, porém, 
as vinculações são diferentes, ambas as estruturas são isostáticas, mas com reações ex-
ternas totalmente diferentes. Na prática, essas estruturas são nomeadas como estruturas 
em balanço, muito utilizadas por arquitetos por sua estética. 
Estruturas em balanço nem sempre precisam estar engastadas, podem estar biapoia-
das, deixando de possuir um momento como incógnita. As Figuras 11 e 12 apresentam 
uma viga biapoiada em balanço e seu DCL respectivamente. 
F = 60kN
P = 20kN/m
1,50 7
BA
1,50
Figura 11 – Viga biapoiada com balanços
F = 60kN
Rha
Rva Rvb
1,50 3,5 3,5 0,75 0,75
Fr 1 = 140kN Fr 2 = 30kN
Figura 12 – DCL – Viga biapoiada com balanços
Vamos desenvolver esse exercício completo no link, disponível em: https://bit.ly/3tTEcJd
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UNIDADE Cálculo das Reações de Apoio 
e Esforços Internos em Vigas 
Vigas Gerber
As vigas gerber são associações de vigas com estabilidade própria e com outras 
apoiadas sobre a primeira, que fornecem estabilidade ao conjunto. Para resolver a estru-
tura, basta fazer sua decomposição nas vigas que a constituem, iniciando o processo de 
resolução àquelas sem estabilidade própria e, após, às dotadas de estabilidade própria, 
para as cargas que lhe estão diretamente aplicadas, acrescidas, para essas últimas, das 
forças transmitidas pelas articulações (SUSSEKIND, 1981). As Figuras 13 e 14 forne-
cem um modelo de viga gerber carregada e seu DCL.
P = 20 kN/m
3,50 1,00 2,50
A CB D
Figura 13 – Viga gerber
Fr1 = 70 kN
Rhb
Rha
Rva
Rvb
Rhb
Fr2 = 20kN
Fr3 = 50kN
RvdRvc
1,251,250,5 0,51,751,75
Figura 14 – DCL – Viga gerber
Vamos desenvolver esse exercício completo nos links:
• Estruturas Isostáticas – Aula 18 – Reações de Apoio – Exercício 8 – Parte 1. 
 Disponível em: https://bit.ly/3gC9Kzz
• Estruturas Isostáticas – Aula 19 – Reações de Apoio – Exercício 8 – Parte 2. 
Disponível em: https://bit.ly/3gKCwhl
Cálculo das Reações em Arcos
Elementos ou barras com eixos curvos são denominados de arcos. A presença dos 
elementos curvos não altera o processo de resolução visto anteriormente, a não ser 
pelo fato dos sistemas locais das barras curvas terem os eixos x tangentes e os eixos y 
perpendiculares aos eixos das barras (ALMEIDA, 2009). As Figuras 15, 16, 17 e 18 
apresentam alguns tipos de arcos.
14
15
y
A B
x
Figura 15 – Arco biapoiado
y
A
B
C
x
Figura 16 – Arco tri-articulado – mod. 1
 
 
y
A
B
Tirante
C
x
Figura 17 – Arco tri-articulado atirantado
 
 
A
B
C
y x
Figura 18 – Arco tri-articulado – mod. 2
Arco biapoiado
Considere a estrutura apresentada na Figura 19, trata-se de um arco biarticulado sub-
metido a um carregamento uniformemente distribuído. O processo de cálculo adotado é 
o mesmo utilizado para a resolução das vigas. 
A
4,00
P = 21 kN/m
B
Figura 19 – Arco biarticulado
Assim como nas vigas, faz-se a produção do DCL (Figura 20), determinando a Força 
resultante decorrente da carga distribuída, e inicia-se o processo de resolução. 
15
UNIDADE Cálculo das Reações de Apoio 
e Esforços Internos em Vigas 
Fr1 = 84 kN
2,00 2,00
Rha
Rva
Rvb
Figura 20 – DCL – Arco biarticulado
Vamos desenvolver esse exercício completo no link, disponível em: https://bit.ly/2QrmuhQ
Arco Tri-articulado
O arco tri-articulado é caracterizado pela presença da articulação. Seu processo de 
resolução é o mesmo adotado para vigas Gerber, fazendo a separação dos elementos e 
aplicando as equações de equilíbrio. Nas Figuras 21 e 22, apresentam-se um modelo de 
arco tri-articulado e de sua decomposição através do DCL.
A
B
4,00
P = 21kN/m
2,
00
C
Figura 21 – Arco tri-articulado
Rva
Rha
Rvc
Rvb
Rhb
Rhc
Fr1 = 42kN Fr2 = 42kN
2,
00
Rvb
1 1 1 1
Figura 22 – DCL – Arco tri-articulado
16
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Vamos desenvolver esse exercício completo no link, disponível em: https://bit.ly/3ew9W0C
Arco Tri-articulado Atirantado
O arco tri-articulado atirantado surge da necessidade de estabilizar uma estrutura 
hipoestática e deslocável através da utilização de um tirante. Sem a presença do tirante, 
a estrutura não teria estabilidade, inviabilizando a sua utilização. No processo de verifi-
cação geométrica da estrutura, o tirante entra na conta das barras (b = 2.n + 3.c) como 
sendo uma barra. No processo de cálculo, ele é substituído por duas forças (N) de mes-
ma intensidade, porém, de sentidos opostos. As Figuras 23 e 24 apresentam um arco 
tri-articulado atirantado carregado e seu DCL, substituindo o tirante por duas forças de 
mesma intensidade, porém, de sentidos opostos.
A
B
4,00
Tirante
P = 21kN/m
2,
00
1
C
Figura 23 – Arco tri-articulado atirantado
Rva
Rha
Rvc
Rvb
NN
Rhb
Fr1 = 42kN Fr2 = 42kN
2,
00
Rvb
1 1 1 1
Figura 24 – DCL – Arco tri-articulado atirantado
Vamos desenvolver esse exercício completo no link, disponível em: https://bit.ly/3nomAT9
Cálculo das Reações em Pórticos
Pórticos são estruturas lineares, coplanares, unidos por nós rígidos, podendo existir 
articulações entre eles. Trata-se de um quadro aberto, podendo ser considerado uma 
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UNIDADE Cálculo das Reações de Apoio 
e Esforços Internos em Vigas 
única chapa. Necessitam de três barras vinculares não concorrentes para restringir os 
movimentos nos planos. O processo de cálculo continua sendo o mesmo apresentado 
até o momento, havendo uma semelhança muito grande com arcos (MACHADO JR., 
1999). As Figuras 25, 26, 27 e 28 apresentam alguns modelos de pórticos.
Figura 25 – Pórtico biapoiado – mod.1
Fonte: Acervo do Conteudista
Figura 26 – Pórtico tri-articulado
Fonte: Acervo do Conteudista
Figura 27 – Pórtico tri-articulado atirantado
Fonte: Acervo do Conteudista
Figura 28 – Pórtico biapoiado – mod.2
Fonte: Acervo do Conteudista
Pórtico Biapoiado
As Figuras 25 e 28 apresentam pórticos biapoiados, porém, com configurações de 
quadros diferentes. Ambos são denominados pórticos simples, ainda que o segundo 
apresente um elemento inclinado. Devido a essa particularidade, opta-se pelo seu deta-
lhamento. As Figuras 29 e 30 apresentam um pórtico solicitado por cargas verticais e 
horizontais e seu DCL.
Figura 29 – Pórtico biapoiado
Fonte: Acervo do Conteudista
Figura 30 – DCL – Pórtico biapoiado
Fonte: Acervo do Conteudista
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Vamos desenvolver esse exercício completo no link, disponível em: https://bit.ly/3vjT7wz
Pórtico Tri-articulado
O pórtico tri-articulado é caracterizado pela presença da articulação. Assim como 
nos arcos e vigas, sua resolução acontece através da análise geral da estrutura e depois 
da análise dos elementos isolados. As Figuras 31 e 32 apresentam um modelo de pórti-
co tri-articulado submetido a cargas verticais e horizontais e o DCL da estrutura.
Figura 31 – Pórtico tri-articulado
Fonte: Acervo do Conteudista
Figura 32 – DCL – Pórtico tri-articulado 
Fonte: Acervo do Conteudista
Vamos desenvolver esse exercício completo no link, disponível em: https://bit.ly/32MxxEG
Pórtico Tri-articulado Atirantado
A presença do tirante na estrutura torna o pórtico estável. Sem o tirante, o pórtico seria 
classificado como hipoestático e sem estabilidade. Assim como especificado para arcos, 
no processo de verificação geométrica da estrutura, o tirante entra na conta das barras 
(b = 2.n + 3.c) como sendo uma barra. No processo de cálculo, ele é substituído por duas 
forças (N) de mesma intensidade, porém, de sentidos opostos. As Figuras 33 e 34 apresen-
tam um pórtico tri-articulado atirantado carregado e seu DCL, substituindo o tirante por 
duas forças de mesma intensidade, porém, de sentidos opostos.
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UNIDADE Cálculo das Reações de Apoio 
e Esforços Internos em Vigas 
Figura 33 – Pórtico tri-articulado atirantado
Fonte: Acervo do Conteudista
Figura 34 – DCL – Pórtico tri-articulado atirantando 
Fonte: Acervo do Conteudista
Vamos desenvolver esse exercício completo no link, disponível em: https://bit.ly/3eDRLGq
Cálculo das Reações em Grelhas
As grelhas são estruturas planas submetidas a carregamentos que atuam perpen-
dicularmenteao plano da estrutura. As grelhas isostáticas são classificadas quanto às 
condições de apoio em grelhas engastadas (Figura 35) e grelhas triapoiadas (Figura 36). 
Durante o processo de cálculo das grelhas, uma nova incógnita surge no processo de 
cálculo, que é a presença do momento torsor (ALMEIDA, 2009). 
Quais as diferenças de momento e momento torsor? Veja, disponível em: https://bit.ly/2QXIyk2
Figura 35 – Grelha engastada
Fonte: Acervo do Conteudista
Figura 36 – Grelha triapoiada
Fonte: Acervo do Conteudista
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Grelha Engastada
São estruturas caracterizadas pelo aparecimento do momento torsor (Figura 37). 
Apesar disso, o procedimento de cálculo das reações continua sendo o mesmo, através 
da aplicação das equações de equilíbrio. Note que para a determinação do momento 
Ma, deve-se considerar não mais um ponto, mas sim o alinhamento da estrutura (eixo). 
Analisando os pontos ADE, percebe-se que esses estão alinhados e que todas as cargas 
que atuam nesse alinhamento não causam momento no ponto A. Essa mesma análise 
deve ser feita para o momento torsor, considerando o alinhamento dos pontos AB.
Figura 37 – DCL – Grelha engastada
Fonte: Acervo do Conteudista
Assista Estruturas Isostáticas - Aula 28 - Reações de Apoio - Exercício 16 - Grelha Triapoiada. 
Disponível em: https://youtu.be/PaBlpMstpi8 
Grelha Tri-apoiada
Diferentemente do que ocorre na estrutura engastada, na estrutura tri-apoiada, as 
reações que aparecem são somente as reações verticais e horizontais, de tal forma que, 
devido ao carregamento perpendicular ao plano, não se tem a presença de reações ho-
rizontais (nulas). A Figura 38 apresenta a grelha da Figura 36 em seu DCL.
Figura 38 – DCL – Grelha tri-apoiada 
Fonte: Acervo do Conteudista
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UNIDADE Cálculo das Reações de Apoio 
e Esforços Internos em Vigas 
Vamos desenvolver esse exercício completo no link, disponível em: https://bit.ly/3nnGtK5
Cálculo das Reações em Treliças
As treliças são estruturas compostas de barras ou elementos retos, com orientações 
diversas, interligadas por nós. Podem ser estruturas planas ou espaciais – sendo esse 
primeiro objeto de estudo desta disciplina. Os nós permitem as rotações entre os ele-
mentos, e não há a presença de excentricidade. A Figura 39 apresenta uma treliça muito 
utilizada em estrutura de cobertura – treliça howe. 
Figura 39 – Treliça Howe 
Fonte: Acervo do Conteudista
Para o procedimento de cálculo, produz-se o DCL e aplica-se as equações referentes 
às condições de equilíbrio. A Figura 40 apresenta o DCL.
Figura 40 
Fonte: Acervo do Conteudista
Vamos desenvolver esse exercício completo no link, disponível em: https://bit.ly/32TsLVO
Agora que entendemos os cálculos das reações de apoio, podemos partir para a aná-
lise interna das estruturas e entender como funciona todo o processo de detalhamento 
e traçado dos diferentes diagramas.
22
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Antes de iniciar o próximo raciocínio, iremos fazer um brainstorm sobre alguns dos 
assuntos estudados.
O que aprendemos até agora? Veja no link, disponível em: https://bit.ly/3vnSnqq
Conceituação dos Tipos 
de Esforços Solicitantes
O estudo das forças internas causadas pela interação entre os pontos ou as partículas que 
constituem os elementos estruturais é realizado através da análise dos esforços solicitantes.
Esse estudo é útil para compreender o comportamento interno da estrutura quando 
solicitada por um carregamento e para identificar se o projetado resistirá ou não a ele. 
Essa análise determina a seção mais perigosa e propensa à ruptura, ou seja, estabele-
cendo a seção que deverá ser analisada e estudada. Com a determinação da seção mais 
solicitada, calcula-se a tensão atuante naquele ponto, comparando-a às tensões limites 
do material que a constitui (NETO, 2006). 
Essa identificação é de extrema importância ao engenheiro que diante dessa análise 
possui a capacidade de indicar os materiais que deverão ser utilizados na construção 
da estrutura, ou mesmo estabelecer a carga máxima que determinada estrutura possui 
condições de suportar.
Os esforços internos de uma estrutura caracterizam as ligações internas de tensões, ou 
seja, são integrais de tensões ao longo da seção transversal de um elemento. Representam 
o efeito de forças e momentos entre duas porções de uma estrutura reticulada, resultantes 
de um corte em seção transversal. Os esforços internos correspondentes de cada lado da 
seção seccionada são iguais e de sentidos contrários (Figura 41), respeitando a terceira Lei 
de Newton (MACHADO JR., 1999).
Figura 41 – Representação dos esforços internos
Fonte: Acervo do Conteudista
23
UNIDADE Cálculo das Reações de Apoio 
e Esforços Internos em Vigas 
Como pode-se observar, na Figura 41 há uma viga biapoiada, seccionada transversal-
mente em S1 e S2; a fim de se manter em equilíbrio após o corte transversal, há a ne-
cessidade do surgimento dos esforços internos, norteados pelas condições de equilíbrio 
do corpo rígido. Para a seção representada, impedindo o deslocamento horizontal, há a 
presença do esforço axial ao corte – esforço normal (Ns); impedindo o deslocamento 
vertical, há a presença do esforço cortante (Vs); impedindo a rotação, há a presença 
do momento fletor (Ms).
Qualquer que seja o procedimento adotado ao cálculo dos esforços internos, sempre 
ocorrerá o somatório de forças e momentos, tornando conveniente a determinação de 
uma convenção de sinais que está relacionada aos esforços internos na estrutura – dife-
rentemente daquela convenção vista na Unidade anterior. 
Vamos discutir mais? Então veja o link, disponível em: https://bit.ly/3tVXbCP
Esforço Normal (N)
O esforço normal (N) é convencionado positivo quando o sentido da força é o de sair da 
seção, ou seja, sempre que o esforço normal gerar tração, será positivo. Caso o sentido 
da força seja de entrar na seção, ou seja, gerar compressão, será negativo (Figura 42).
Figura 42 – Convenção de sinais: esforços normais (N)
Fonte: Acervo do Conteudista
Esforço Cortante (V)
A convenção de sinais ao esforço cortante independe da posição da seção em relação 
ao corte. Se a resultante de forças aplicadas na parte à esquerda do corte provocar ten-
dência de rotação horária em relação à seção, a cortante será positiva (Figura 43); se 
a resultante das forças aplicadas à esquerda do corte provocar tendência de giro anti-
-horário, a cortante será negativa (MACHADO JR., 1999). Repare que ao se analisar 
um elemento submetido ao corte, o surgimento de um binário de forças (V) causa uma 
tendência de giro na seção, sendo anti-horário (V – negativa), ou horário (v – positiva).
Figura 43 – Convenção de sinais: esforços cortantes (V)
Fonte: Acervo do Conteudista
24
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Momento Fletor (M)
O sinal do momento fletor está relacionado à curvatura da peça fletida e ao sentido 
dos eixos xy. O momento fletor positivo provoca na peça fletida uma curvatura em que 
o centro de curvatura O fica em sentido contrário ao eixo y. Se o momento resultante 
das forças aplicadas no lado à esquerda do corte tiver sentido horário, o momento 
fletor na seção será positivo; se o momento resultante das forças aplicadas no lado 
esquerdo do corte tiver sentido anti-horário, o sinal do momento fletor na seção 
será negativo.
A regra inversa deve ser aplicada na direita: momento resultante das forças aplicadas à 
direita e com sentido horário, resultará negativo; momento resultante das forças aplicadas 
à direita e com sentido anti-horário, resultará positivo (Figura 44) (MACHADO JR., 1999).
Figura 44 – Convenção de sinais: momento fletor (M)
Fonte: Acervo do Conteudista
Importante!
Diferentemente do que acontece com as outras engenharias, por conveniência, na Enge-
nharia Civil os sinais dos momentos fletores são adotados com sentidos inversos – por isso, 
ao consultar outras bibliografias, você poderá encontrar diagramas de momentos fletores 
com sentidos inversos. Essa conveniência da Engenharia Civil decorre da aproximação dos 
diagramas de momentos fletores aosentido de deslocamento e esforços nas estruturas.
Como pode-se observar, os esforços solicitantes estão relacionados a determinada se-
ção transversal; logo, alterando-se o ponto de análise, mudam-se os esforços, de modo 
que uma seção pode ser mais solicitada do que outras. Tal variação, seção por seção, 
necessita ser representada e apresentada ao engenheiro para que avalie a estrutura 
como um todo. 
A representação dos esforços é realizada por meio de diagramas dos esforços solici-
tantes, onde cada esforço solicitante recebe uma representação gráfica. Para início da 
produção dos diagramas, torna-se necessária a classificação da estrutura e o cálculo das 
reações e dos esforços atuantes em determinadas seções.
As duas primeiras etapas do processo de criação dos diagramas já foram estudadas 
nas unidades anteriores, enquanto para a produção dos diagramas serão utilizadas as es-
truturas analisadas e calculadas nesta Unidade, iniciando, assim, as análises das seções.
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UNIDADE Cálculo das Reações de Apoio 
e Esforços Internos em Vigas 
Compreensão do Processo 
de Traçado dos Diagramas
Antes de iniciar o processo de cálculo dos esforços internos e traçar os diagramas, 
torna-se necessário habituar-se à utilização da convenção de sinais, ou seja, como uti-
lizar a convenção e as seções transversais de estudo. Assim, serão aqui apresentadas 
situações de cálculo de forma detalhada, habituando-o(a) ao procedimento do traçado.
O primeiro passo para início da construção dos diagramas é a determinação da linha 
de eixo da estrutura, sendo o próximo passo a determinação dos sentidos positivo e 
negativo. Para a compreensão desse processo, as estruturas serão analisadas individual-
mente com relação aos seus esforços. 
Diagrama Normal (N)
Analisando o diagrama de esforços normais, tudo que fica acima da linha de eixo 
da estrutura é positivo e tudo que fica abaixo é negativo. O procedimento de referência 
para essa determinação é a seção de análise, tal como se vê nas seções apresentadas 
nas Figuras 45 e 46:
Figura 45 – Trecho submetido à compressão
Fonte: Acervo do Conteudista
Na estrutura apresentada, o trecho AB está submetido a uma força axial de 10 kN 
orientada para a esquerda, a fim de manter o equilíbrio; surge, então, uma reação de 
10 kN no apoio A, orientada para a direita. Dessa forma, ΣFx = 0, mantendo a condi-
ção de equilíbrio respeitada. Com a aplicação da carga e o surgimento da reação, fica 
claro que o trecho AB está submetido ao esforço de compressão, enquanto o trecho BC 
não possui esforços normais. A ausência de esforço normal no trecho BC decorre da 
possibilidade de translação do apoio C, este que possui a capacidade de se movimentar 
horizontalmente, não gerando esforços nesse intervalo.
Como o trecho AB está submetido à compressão, essa representação deve ser reali-
zada através do diagrama de esforço normal. No ponto A, a estrutura recebe uma carga 
de compressão de 10 kN, representada para baixo no diagrama, seguindo constante até 
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encontrar a carga aplicada de 10 kN no ponto B. A sua representação fica abaixo da 
linha de eixo por ser uma carga de compressão, convencionada como negativa.
Alterando-se o sentido de aplicação da carga de 10 kN no ponto B, o diagrama de 
esforços muda de sentido, passando para o lado de cima da linha de eixo da estrutura e 
representado que o trecho está submetido à tração. A Figura 46 apresenta a alteração 
do sentido da força e a sua mudança no diagrama:
Figura 46 – Trecho submetido à tração
Fonte: Acervo do Conteudista
Diagrama Cortante (V)
O diagrama de esforços cortantes segue a mesma lógica dos sinais dos esforços 
normais, ou seja, tudo que é positivo fica representado acima da linha de eixo da estru-
tura, e tudo que é negativo fica representado abaixo da linha de eixo da estrutura. Esse 
diagrama pode ser obtido de forma direta, percorrendo a estrutura e seguindo os sinais 
das cargas aplicadas nos pontos. A Figura 47 apresenta uma estrutura e o seu diagrama:
Figura 47 – Viga biapoiada com balanços: representação de esforço cortante
Fonte: Acervo do Conteudista
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e Esforços Internos em Vigas 
O procedimento de traçado do diagrama deve seguir a convenção de sinais. A análise 
começa do balanço com a aplicação da carga concentrada de 60 kN, a qual está aplica-
da à esquerda da estrutura no sentido de cima para baixo que, segundo a convenção de 
sinais, torna-o negativo (Figura 43). Ao caminhar no sentido do apoio A, carga alguma 
está aplicada, logo, o diagrama se mantém constante nesse trecho. Ao chegar no apoio 
A, encontra uma reação orientada para cima, com intensidade de 139,65 kN. Como 
possuía 60 kN para baixo do eixo, ao se somar 139,65 kN para cima, gera uma cortante 
positiva de 79,65 kN. 
No meio do vão e no balanço após o apoio B, temos a aplicação da carga distribuída de 
20 kN/m, gerando um decréscimo gradual da cortante, ou seja, a cada metro caminhado 
na estrutura, a cortante decresce 20 kN. Devido a esse decréscimo, a cortante fica incli-
nada, saindo do ponto A com 79,65 kN positiva e decaindo até o apoio B, quando chega 
com 60,35 kN. Nesse apoio, recebe a carga de reação de 90,35 kN, resultando em uma 
cortante positiva de 30 kN. Na região do balanço, a carga continua distribuída e ao final 
da estrutura a cortante se torna zerada, garantindo o equilíbrio da estrutura.
Diagrama Momento Fletor (M)
Diferentemente do que acontece nos diagramas de esforços normais e cisalhantes, o 
sentido positivo do momento fletor é representado abaixo da linha de eixo, e o sentido 
negativo acima da linha de eixo. A reprodução do diagrama de momento fletor reflete exa-
tamente qual face do elemento estrutural está submetida à tração, ou seja, onde estiver o 
diagrama estará a tração. A partir dessa característica, pode-se determinar se o diagrama 
será representado para baixo ou para cima da linha de eixo. As Figuras 48 e 49 represen-
tam uma viga Gerber com o seu respectivo diagrama e duas seções de análise:
Figura 48 – Viga Gerber: diagrama de momento 
Fonte: Acervo do Conteudista
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Figura 49 – Viga Gerber: análise de seções S1 e S2
Fonte: Acervo do Conteudista
A representação do diagrama de momento fletor na Figura 48 demonstra que no tre-
cho AB ocorre tração na face inferior do elemento, no BCD há inversão da tração, pas-
sando a acontecer em sua grande maioria da estrutura na face superior. Essa relação é 
apresentada na Figura 49, quando realiza análises das seções S1 e S2, indicando o local 
do elemento submetido à tração. Essa representação é feita de forma direta, utilizando 
a convenção de sinais e a análise do momento à direita e esquerda do elemento. Repare 
que Ms1 está situado à direita do elemento e possui sentido de giro anti-horário, causan-
do momento positivo. Na representação da seção S2, Ms2 está localizado à esquerda do 
elemento e possui sentido de giro horário, causando momento negativo.
Todas as representações aqui mencionadas buscam apresentar uma forma de com-
preensão e preconcepção do traçado dos diagramas, afinal, estruturas simples podem 
ter os seus diagramas traçados de maneira direta, analisando as solicitações e reações. 
Para estruturas complexas, torna-se necessária a análise em diversos pontos, em múlti-
plas seções de corte. Para o início da análise através das seções de corte serão apresen-
tadas diferentes vigas com a aplicação dos cortes transversais.
Calculando com Diferentes 
Configurações e Diferentes Tipos de Vigas
Vimos até aqui como calcular as reações de apoio e a teoria sobre os esforços internos. Todos 
os exercícios realizados podem ser encontrados resolvidos, e com as devidas explicações, na 
playlist, disponível em: https://bit.ly/3ew3A13
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e Esforços Internos em Vigas 
Os esforços internos são essenciais para o entendimento do comportamento da nossa 
estrutura e o correto posicionamento dos materiais e da geometria (dimensionamento),garantindo estabilidade e segurança para todos os componentes e elementos do sistema 
utilizado para a construção.
Elementos Estruturais 
O estudo do comportamento da estrutura à partir da análise da convenções dos elementos 
estruturais como compressões, trações, análise de vãos e outros, podem ser encontrados na 
playlist, disponível em: https://bit.ly/2QXNsNY
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Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Livros
Mecânica vetorial para engenheiros: estática
BEER, F. P.; JOHNSTON JUNIOR, E. R. Mecânica vetorial para engenheiros: estática. 
v. 1. 9. ed. Porto Alegre: AMGH, 2012. (e-book)
Mecânica técnica e resistência dos materiais
MELCONIAN, S. Mecânica técnica e resistência dos materiais. 19. ed. São Paulo: Érica, 
2012. (e-book)
Fundamentos de resistência dos materiais
PINHEIRO, A. C. F. B.; CRIVELARO, M. Fundamentos de resistência dos materiais. 
Rio de Janeiro: LTC, 2016. (e-book)
Ação do vento para efeitos de cálculo de edificações
WAHRHAFTIG, A. de M.; BRASIL, R. M. L. R. F.; DA SILVA, M. A. Ação do vento para 
efeitos de cálculo de edificações. Revista Téchne, n. 165, dez. 2010. 
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e Esforços Internos em Vigas 
Referências
ALMEIDA, M. C. F. de. Estruturas Isostáticas. São Paulo: Oficina de textos, 2009. 
(e-book)
HIBBELER, R. C. Análise das estruturas. 8. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2013.
MACHADO JR., E. F. Introdução à isostática. São Carlos: EESC – USP, Projeto 
Reenge, 1999. 
SUSSEKIND, J. C. Curso de análise estrutural. v. 1. 6. ed. Porto Alegre-Rio de Janeiro: 
Globo, 1981.
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