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1
SISTEMAS ESTRUTURAIS I
Profª. Esp. Renata de Oliveira Marinho
2
SISTEMAS ESTRUTURAIS I
PROFª. ESP. RENATA DE OLIVEIRA MARINHO
3
© 2023, Editora Prominas.
 
Este livro ou parte dele não podem ser reproduzidos por qualquer meio sem Autoriza-
ção escrita do Editor.
Ficha catalográfica elaborada pela bibliotecária Melina Lacerda Vaz CRB – 6/2920.
 Diretor Geral: Prof. Esp. Valdir Henrique Valério
 Diretor Executivo: Prof. Dr. William José Ferreira
 Ger. do Núcleo de Educação a Distância: Profa Esp. Cristiane Lelis dos Santos
Coord. Pedag. da Equipe Multidisciplinar: Profa. Me. Cristiane Lelis dos Santos
 Revisão Gramatical e Ortográfica: Profª. Débora Rith Costa Teixeira
 Revisão Técnica: Prof. Clélio Rodrigo Paiva Rafael
 
 Revisão/Diagramação/Estruturação: Bruna Luiza Mendes 
 Lorena Oliveira Silva Portugal 
 
 Design: Bárbara Carla Amorim O. Silva 
 Daniel Guadalupe Reis
 Élen Cristina Teixeira Oliveira 
 Maria Eliza Perboyre Campos 
4
SISTEMAS ESTRUTURAIS I
1° edição
Ipatinga, MG
Editora Prominas
2023
5
Graduada em Engenharia Civil pela 
Universidade Federal Rural do Semi-
-Árido (UFERSA), bacharelada em Ci-
ência e Tecnologia na Universidade 
Federal Rural do Semi-Árido (UFERSA). 
Especialista em cálculo estrutural e 
fundações pela Faculdade Integrada 
de Patos (FIP). Desenvolvi atividades 
junto a Empresa Júnior de Engenha-
ria Civil da UFERSA, Pilares Engenha-
ria Júnior, como Membro da Diretoria 
de Recursos Humanos e na execução 
de projetos. Fiz parte do programa de 
monitoria no ano de 2017. Atuei no GPE 
(Grupo de Pesquisa em Eletroquímica) 
com trabalhos sobre Galvanoplastia, 
do GEEP (Grupo de Engenharia de Es-
truturas e Pavimentação) e desenvolvi 
pesquisa em patologias de estrutu-
ras, principalmente, com estruturas de 
concreto armado. Participei de obras 
de energia eólica - obra LDB, amplia-
ção de SE coletora e RMT- atuando 
no acompanhamento e gestão das 
atividades desenvolvidas para a am-
pliação do parque eólico em Lagoa do 
Barro - PI. Também atuei como profes-
sora substituta no IFPB - Campus Gua-
rabira, lecionando no curso técnico em 
edificações. 
RENATA DE OLIVEIRA 
MARINHO
Para saber mais sobre a autora desta obra e suas qua-
lificações, acesse seu Curriculo Lattes pelo link :
http://lattes.cnpq.br/2220076890879510
Ou aponte uma câmera para o QRCODE ao lado.
6
LEGENDA DE
Ícones
Trata-se dos conceitos, definições e informações importantes 
nas quais você precisa ficar atento.
Com o intuito de facilitar o seu estudo e uma melhor compreensão 
do conteúdo aplicado ao longo do livro didático, você irá encontrar 
ícones ao lado dos textos. Eles são para chamar a sua atenção para 
determinado trecho do conteúdo, cada um com uma função específica, 
mostradas a seguir:
São opções de links de vídeos, artigos, sites ou livros da biblioteca 
virtual, relacionados ao conteúdo apresentado no livro.
Espaço para reflexão sobre questões citadas em cada unidade, 
associando-os a suas ações.
Atividades de multipla escolha para ajudar na fixação dos 
conteúdos abordados no livro.
Apresentação dos significados de um determinado termo ou 
palavras mostradas no decorrer do livro.
 
 
 
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FIXANDO O CONTEÚDO
GLOSSÁRIO
7
UNIDADE 1
UNIDADE 2
SUMÁRIO
1.1 Conceitos Introdutórios ..................................................................................................................................................................................................................................................................11
 1.1.1 Força .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................11
 1.1.2 Momento ............................................................................................................................................................................................................................................................................................13
 1.1.3 Condições de Equilíbrio da Estática ........................................................................................................................................................................................................................................15
1.2 Elementos Estruturais ....................................................................................................................................................................................................................................................................16
 1.2.1 Elementos Lineares ........................................................................................................................................................................................................................................................................16
 1.2.2 Elementos de Superfície .............................................................................................................................................................................................................................................................18
1.3 Sistemas Estruturais ......................................................................................................................................................................................................................................................................20
FIXANDO O CONTEÚDO ........................................................................................................................................................................................................................................................................23
2.1 Morfologia Das Estruturas .........................................................................................................................................................................................................................................................27
2.2 Estruturas Reticuladas ...............................................................................................................................................................................................................................................................29
2.3 Graus de Liberdade e Apoios .................................................................................................................................................................................................................................................31
 2.3.1 Apoios ...............................................................................................................................................................................................................................................................................................31
FIXANDO O CONTEÚDO ........................................................................................................................................................................................................................................................................35
CONCEITOS FUNDAMENTAIS
ESTUDO DAS ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS
UNIDADE 3
3.1 Topologia das Estruturas ..........................................................................................................................................................................................................................................................403.2 Estaticidade e Estabilidade .....................................................................................................................................................................................................................................................41
3.3 Reações ................................................................................................................................................................................................................................................................................................45
3.4 Cargas ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................49
FIXANDO O CONTEÚDO .........................................................................................................................................................................................................................................................................51
ESTATICIDADE, ESTABILIDADE E CARGAS DAS ESTRUTURAS
UNIDADE 4
4.1 Esforços Internos .............................................................................................................................................................................................................................................................................57
4.2 Princípio dos Trabalhos Virtuais ..........................................................................................................................................................................................................................................60
 4.2.1 Deslocamentos virtuais ..............................................................................................................................................................................................................................................................61
4.3 Método da Carga Unitária para Cálculo dos Deslocamentos .....................................................................................................................................................................62
FIXANDO O CONTEÚDO .......................................................................................................................................................................................................................................................................66
CÁLCULO DOS DESLOCAMENTOS EM ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS
5.1 Vigas Simples ....................................................................................................................................................................................................................................................................................70
5.2 Vigas Gerber .....................................................................................................................................................................................................................................................................................76
5.3 Treliças Planas .................................................................................................................................................................................................................................................................................82
 5.3.1 Classificação de treliças quanto à formação ................................................................................................................................................................................................................83
 5.3.2 Hipóteses para cálculo de treliças .....................................................................................................................................................................................................................................84
 5.3.3 Notação para treliças ..............................................................................................................................................................................................................................................................85
5.4 Pórticos .................................................................................................................................................................................................................................................................................................86
FIXANDO O CONTEÚDO ........................................................................................................................................................................................................................................................................92
DIAGRAMAS DE ESFORÇOS INTERNOS EM ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS
UNIDADE 5
8
6.1 Cargas Móveis ..................................................................................................................................................................................................................................................................................98
6.2 Linhas de Influência ...................................................................................................................................................................................................................................................................100
6.3 Obtenção das Linhas de Influência para Estruturas Isostáticas ................................................................................................................................................................102
 6.3.1 Viga engastada e livre ............................................................................................................................................................................................................................................................102
FIXANDO O CONTEÚDO.......................................................................................................................................................................................................................................................................104
RESPOSTAS DO FIXANDO O CONTEÚDO.......................................................................................................................................................................108
REFERÊNCIAS ..................................................................................................................................................................................................................109
LINHAS DE INFLUÊNCIA
UNIDADE 6
9
UNIDADE 1
A unidade I apresenta os conceitos fundamentais para o estudo e análise de 
estruturas, essencialmente, as estruturas isostáticas. Nesta unidade você irá 
entender sobre a mecânica dos corpos, sobre efeitos que atuam nas estruturas 
como força e momento, bem como, sobre as condições de equilíbrio dela, com o 
estudo das equações da estática. Além disso, irá conhecer os elementos estruturais 
e os sistemas formados através deles.
UNIDADE 2
A unidade II foca no estudo das estruturas isostáticas, proporcionando o 
entendimento sobre a morfologia das estruturas, bem como, sobre as estruturas 
reticuladas, o que são e como atuam. Além disso, há o estudo dos graus de liberdade 
e os apoios atrelados a estrutura isostática no plano.
UNIDADE 3
Na unidade III será estudado a topologia das estruturas, citando os principais 
sistemas estruturais e seu comportamento. Também será estudado a respeito da 
estaticidade e estabilidade de estruturas, na qual se refere a uma estrutura ser ou 
não estaticamente determinada. Por fim, há o estudo das reações e os principais 
tipos de cargas que ocorrem nas estruturas.
UNIDADE4
A unidade IV apresenta os esforços internos presentes nas estruturas isostáticas 
no plano, que são as forças e os momentos que atuam no interior de um elemento 
estrutural. Além disso, você estudara sobre o principal método de cálculo de 
deslocamento em estruturas, o Princípio dos Trabalhos Virtuais (PVT), utilizado na 
análise de deformações e deslocamentos de sistemas estruturais.
UNIDADE 5
A unidade V apresenta os diagramas de esforços internos dos principais elementos 
e sistemas estruturais dentro do estudo da estática, em termos de cálculos e 
representações. Estes diagramas são essenciais na análise estrutural e ajudam 
no entendimento de como uma estrutura ou componente responde a cargas 
aplicadas.
C
O
NF
IR
A 
NO
 LI
VR
O
UNIDADE 6
A unidade VI aborda sobre a metodologia para o cálculo de estruturas por meio da 
linha de influência e cargas móveis. Apresenta-se os diagramas formados através 
da linha de influência e das cargas móveis, bem como, sua importância.
10
CONCEITOS 
FUNDAMENTAIS
11
1.1 CONCEITOS INTRODUTÓRIOS
 Pode-se entender como análise estrutural aquela que, dentro da Mecânica, 
estuda as estruturas com o foco em determinar esforços e deformações que elas são 
submetidas quando expostas a efeitos externos, como por exemplo, as cargas, variações 
térmicas, movimentação dos apoios, dentre outros (Sussekind, 1981).
De acordo com Soriano (2013), o estudo da Mecânica pode ser dividido em:
• Mecânica dos Corpos Rígidos, na qual abrange a parte estática e dinâmica;
• Mecânica dos Corpos Deformáveis, na qual abrange a parte estática e dinâmica;
• Mecânica dos Fluídos, na qual envolve os incompressíveis e compressíveis.
 Ainda de acordo com Soriano (2013), um corpo rígido é uma idealização 
onde assumimos que todas as partes do corpo mantêm suas posições relativas, 
independentemente das forças externas aplicadas. Em outras palavras, não 
consideramos deformações no corpo rígido. Um exemplo de aplicação desse conceito 
é ao analisar a equação de equilíbrio de uma viga, em que, muitas vezes consideramos 
a viga como um corpo rígido para determinar as reações nos apoios. Assumimos que 
não há deformação na viga, mesmo que, na realidade, todas as estruturas deformem 
sob a ação de cargas.
 Já a ideia de um corpo deformável pressupõe que as posições relativas aos 
seus componentes mudam infinitamente em resposta às forças exercidas sobre ele, 
dependendo das características da matéria de que é feito. No entanto, quando a 
deformação de um corpo é tão pequena que não afeta significativamente o resultado 
macroscópico das forças que atuam sobre ele, é razoável utilizar uma abordagem de 
um corpo rígido.
 As estruturas são compostas por uma ou mais peças, nas quais são ligadas 
entre si e ao meio externo buscando formar um componente estável. Tais peças que 
compõem as estruturas, podem ser de três tipos, sendo eles:
• Duas dimensões menores em relação à terceira;
• Uma dimensão menor em relação as outras duas;
• As três dimensões são consideráveis.
 O primeiro caso, é o que ocorre na maioria das estruturas do dia a dia, a dimensão 
principal é o comprimento da peça, enquanto as outras duas dimensões se encontram 
no plano perpendicular a ele, que representa a seção transversal da peça. Essas peças 
são conhecidas como barras (Sussekind, 1981).
 O segundo caso, representa estruturas determinadas como cascas, placas, 
na qual possuem uma espessura pequena em relação a superfície da peça, sendo 
a superfície plana para as placas e curvas para as cascas. O terceiro caso, envolve 
estruturas do tipo bloco, como as barragens (Sussekink, 1981).
 Os tipos de estruturas mais estudadas neste curso de análise estrutural será as do 
tipo barras, mas também será visto alguns tópicos sobre os elementos do tipo cascas 
e placas.
 1.1.1 Força 
 A força é o produto da interação entre dois corpos e, consequentemente, sempre 
se manifesta em pares de ação e fato, conforme estipulado pela terceira lei de Newton. 
12
Essa propriedade tem uma natureza abstrata, uma vez que não pode ser observada 
diretamente nem registrada, sendo possível apenas identificar os efeitos que produz 
(Soriano, 2013).
 A compreensão do conceito de força é bastante intuitiva: podemos aplicar uma 
força a um objeto por meio de um esforço muscular, uma locomotiva aplicar força 
aos vagões que ela puxa, uma mola esticada gera forças nas peças que estão em 
suas extremidades, e assim por diante. Em todos esses exemplos, o corpo que aplica a 
força está em contato direto com aquele sobre o que a força é exercida, portanto, são 
consideradas forças de contato.
 A força de contato é distribuída uniformemente na superfície em que atua entre 
dois corpos, sendo também conhecida como força de superfície. No entanto, quando 
essa superfície é pequena e por questões de simplificação, essa força é considerada 
frequentemente como uma resultante aplicada no ponto médio de sua distribuição, 
deliberadamente uma força técnica (Almeida, 2009). 
 Para operações práticas, a resultante dessas forças é frequentemente utilizada, 
como no caso do campo gravitacional, em que a resultante é chamada de peso. 
Considerando esse campo como constante, o ponto onde essa força atua, conhecido 
como centro de gravidade, coincide com o centro de massa do corpo. Em um corpo de 
material homogêneo, esse ponto coincide com o centroide ou centro geométrico do 
corpo.
 A força pode ser representada pela equação a seguir e devido a mesma ser uma 
grandeza vetorial, deve-se ser usada em negrito como F.
 onde m é a massa e a é o vetor aceleração e “a” é a intensidade da aceleração. 
F = m a → F = ma
Figura 1: Grandeza vetorial força
Fonte: Soriano (2013)
A força é uma grandeza vetorial e possui direção, sentido e intensidade. E dentro do cál-
culo estrutural uma das principais forças estudadas é o peso de um corpo, isto é, a for-
ça que está sendo exercida sobre uma massa pela ação da gravidade. Diferentemente 
das grandezas escalares, que são descritas apenas por sua magnitude (intensidade), 
as grandezas vetoriais, como a força, têm tanto magnitude quanto direção. No caso da 
força, a grandeza vetorial é representada pela aceleração, possuindo além de sua inten-
sidade, uma direção e um sentido específico.
FIQUE ATENTO
13
 Para melhor entender a determinação de forças aplicadas na prática, vamos 
resolver o seguinte exemplo: duas lanchas rebocam um barco de passageiros que se 
encontra com problemas em seus motores. Sabendo-se que a força resultante é igual 
a 30kN, encontre suas componentes nas direções AC e BC.
 Para resolver esse problema, deve-se usar a regra do paralelogramo, isto é, 
construir um triângulo de vetores que envolva as forças atuantes nos cabos CA e CB e 
a força resultante, para que seja possível identificar as incógnitas do problema.
 1.1.2 Momento
 O momento de uma força em relação a um ponto (ou eixo) é a grandeza física 
que quantifica a capacidade daquela força em traduzir rotação em torno desse ponto 
(ou eixo). Esse conceito também é conhecido como torque (Mello, 2017).
 O momento pode ser representado pela equação a seguir:
 Em seguida, através da aplicação da lei dos senos, determina-se os módulos das 
forças atuantes em cada um dos cabos CA ou CB da seguinte forma:
 Resolvendo para Fcb tem-se que:
 Resolvendo para Fca, tem-se que:
𝐹𝑅
sin 110° =
𝐹𝐶𝐴
sin 40° =
𝐹𝐶𝐵
sin 30°
𝐹𝐶𝐴 =
𝐹𝑅 sin 40°
sin 110° =
30 � sin 40°
sin 110°
𝐹𝐶𝐴 = 20,52 𝑘𝑁
𝐹𝐶𝐵 =
𝐹𝑅 sin 30°
sin 110° =
30 � sin 30°
sin 110°
𝐹𝐶𝐵 = 15,96 𝑘𝑁
14
𝑀 = 𝐹 × 𝑑
 Onde:
 M é o momento ou momento de força (geralmente expresso em Newton-metro, 
N·m).
 F é a magnitude da força aplicada (em Newtons, N).
 d é a distância perpendicular da linha de ação da força até o ponto ou eixo em 
questão (em metros, m). Essa distância é frequentemente referida como "braço de 
alavanca" ou "moment arm".
 Para melhor entender sobre o momento, Sussekind (1981), analisa a Figura 2 a 
seguir.
 É evidente que o peso necessário paracontrabalançar a tendência de rotação 
da barra em torno do ponto de apoio C deve ser inferior a 10 kg, uma vez que ele esteja 
mais distante de C do que o ponto de aplicação da força; após algumas tentativas, 
constatamos que seu valor ideal é de 5 kg. Este exemplo simples foi selecionado para 
ilustrar que a influência de uma força na rotação de um objeto em torno de um ponto 
depende tanto da magnitude da força quanto de sua distância ao ponto de rotação, 
sendo diretamente proporcional a ambos. Portanto, se desejarmos criar uma medida 
física que represente a tendência de rotação provocada por uma força em torno de um 
ponto, essa grandeza deve ser uma função tanto da força aplicada quanto da distância 
ao ponto de rotação.
Embora o "Torque" e o "momento" sejam termos que frequentemente são usados de ma-
neira intercambiável em alguns contextos, em uma análise mais rigorosa, eles têm nu-
ances diferentes, dependendo do contexto em que são aplicados. Em mecânica bási-
ca o Torque é geralmente usado para descrever a capacidade rotacional causada por 
uma força em sistemas mecânicos, como em motores. Por exemplo, o torque de um mo-
tor descreve quão poderosamente ele pode girar. Momento (ou Momento de Força) é a 
grandeza vetorial que quantifica a tendência de uma força em fazer um objeto girar em 
torno de um ponto ou eixo.
FIQUE ATENTO
Figura 2: Estrutura apresentando o efeito do momento
Fonte: Sussekind (1981)
15
 1.1.3 Condições de equilíbrio da estática
 A estática é o estudo das forças que mantém um corpo em equilíbrio. Para estudar 
o equilíbrio de um corpo, primeiramente, é necessário conhecer os tipos de apoio e as 
forças de reação que cada apoio exerce sobre a estrutura.
 Dentro do estudo da estática, temos o equilíbrio estático, onde o corpo rígido se 
encontra em equilíbrio estático, quando está em repouso. Ou seja, quando as condições 
as seguirem são satisfeitas:
• Equilíbrio de forças (impedir o deslocamento);
• Equilíbrio de momentos (impedir a rotação).
 Isto é, o somatório dos momentos e das forças é igual a zero, como pode ser visto 
abaixo.
 Além disso, temos o equilíbrio estático tridimensional que retrata das forças e 
momentos no espaço tridimensional. São chamadas de equações de equilíbrio e podem 
ser decompostas em 6 equações escalares dentro da estática, como visto na Figura 3.
 No campo da engenharia, com frequência, as forças sobre um corpo rígido (forças 
externas) podem ser representadas por um sistema de forças coplanares, o que implica 
que elas se encontrem no mesmo plano, em um espaço bidimensional. Isso resulta em 
apenas três equações escalares de estática.
Figura 3: Equações escalares da estática
Fonte: Slide da disciplina Teoria das Estruturas I (IFPB)
O momento é uma grandeza importante dentro do estudo da análise estrutural, 
além disso, ele possui diversas propriedades que são cruciais para entender 
seus efeitos nas estruturas. Sugiro que faça a leitura dessas propriedades e en-
tendam como funciona o momento nas estruturas no tópico 2 do livro de Sus-
sekind (1981). Disponível em: https://shre.ink/TroK.Acesso em: 10 nov 2023.
BUSQUE POR MAIS
�𝑀𝑜
�
�
= 0
�𝐹
�
�
= 0
16
Figura 4: Sistema de forças coplanares (a) e equações bidimensionais do 
equilíbrio estático (b)
Fonte: Sussekind (1981)
 Para melhor entender os conteúdos abordados acima, vamos para um exemplo 
sobre eles.
 Exemplo aplicado: Calcule o momento resultante em relação ao ponto O.
 O momento é a força vezes o deslocamento.
 - Considerando o sentido anti-horário positivo, o Mr (momento resultante) é:
 Usando o somatório de forças e de momento igual a zero, vamos ter que:
𝑀𝑜 = 𝐹.𝑑
𝑀𝑟 = 10 � 4 − 20 � 2 − 30 � 3
𝑀𝑟 = − 90 𝑁
1.2 ELEMENTOS ESTRUTURAIS
 De acordo com Gilbert, Leet e Uang (2014), as estruturas foram concebidas como 
a combinação de elementos estruturais fundamentais, categorizados e caracterizados 
com base em sua forma geométrica e sua função na estrutura, incluindo:
 Elementos lineares;
 Elementos de superfície.
 1.2.1 Elementos lineares
 As estruturas compostas por uma ou mais barras são conhecidas como estruturas 
lineares. Cruciais na indústria da construção, destacam-se nessa categoria as vigas, 
pilares, treliças, arcos, pórticos, entre outros. Por exemplo, em edifícios de concreto 
armado, as vigas sustentam as cargas de lajes e paredes e são reforçadas por pilares 
17
Figura 5: Elemento viga
Fonte: Disponível em: https://shre.ink/TrpI. Acesso em: 02 nov 2023
Figura 6: Elemento Pilar
Fonte: Disponível em: https://shre.ink/TrsF. Acesso: 02 nov 2023.
que transferem essas cargas para as fundações (SALES; MALITE; GONÇALVES, 2020).
 As treliças, que podem ser feitas de madeira, aço ou alumínio, são amplamente 
utilizadas em coberturas. As estruturas de barra, que podem ser planas ou tridimensionais 
dependendo da configuração de seus elementos, são estudos com base em situações 
específicas na Resistência dos Materiais e na Estática das Construções, levando em 
consideração os aspectos específicos de cada uma. A seguir, são apresentadas as 
definições de alguns elementos estruturais e das principais estruturas lineares (SALES; 
MALITE; GONÇALVES, 2020).
 De acordo com Edmungo, Guimarães e Rojas (2018), os elementos estruturais 
que têm um comprimento longitudinal pelo menos três vezes maior do que a maior 
dimensão de sua seção transversal são categorizados como barras. Eles recebem 
designações específicas com base em sua função estrutural, tais como:
 Vigas: elementos lineares em que a flexão é o esforço preponderante (Figura 5). 
 Pilares: Elementos lineares de eixo reto, usualmente dispostos na vertical, em que 
as forças normais de compressão são preponderantes (Figura 6).
 Tirantes: Elementos lineares de eixo reto em que as forças normais de tração são 
preponderantes (Figura 7).
18
Figura 7: Elemento tirante
Fonte: Disponível em: https://shre.ink/Trs9. Acesso em: 02 nov 2023.
Figura 8: Elemento arco
Fonte: Disponível em: https://shre.ink/TrE2. Acesso em: 02 nov 2023
 Arcos: Esses são elementos lineares que possuem eixos curvos e estão 
principalmente sujeitos a forças de revisão normais, podendo ou não ser afetados 
simultaneamente por esforços de flexão, com todas as ações planejadas dentro de seu 
plano (Figura 8).
 1.2.2 Elementos de Superfície
 As estruturas de superfície, são caracterizadas pela sua superfície média e pela 
variação da sua espessura. Dentre elas, destacam-se as placas, chapas e cascas. As 
cascas são comumente utilizadas em coberturas de grandes vãos e em reservatórios, 
enquanto as placas litoides (lajes) são frequentemente atingidas em pisos de edifícios 
residenciais. O estudo dessas estruturas, mais complexo do que o das estruturas lineares, 
é limitado por teorias específicas, como a Teoria das Placas, a Teoria das Chapas e a 
Teoria das Cascas, que resultam de simplificações adequadas da Teoria da Elasticidade 
(SALES; MALITE; GONÇALVES, 2020). Na Figura 9 pode-se observar alguns exemplos desse 
tipo de elementos.
19
Figura 9: Exemplos de elementos de superfície
Fonte: Sales, Malite e Gonçalves (2020)
Figura 10: Elemento do tipo placa
Fonte: Disponível em: https://shre.ink/TrEB. Acesso em: 02 nov 2023.
Figura 11: Elemento do tipo chapa
Fonte: Disponível em: https://shre.ink/Tr0E. Acesso em: 03 nov 2023.
 Placas: Estes são elementos de superfície plana que estão sujeitos principalmente 
às forças normais em seu próprio plano. As placas feitas de concreto são frequentemente 
chamadas de lajes. Placas com uma espessura que excede 1/3 do vão devem ser 
tratadas como placas espessas durante o estudo estrutural (Figura 10).
 Chapas: São elementos de superfície plana que estão principalmente sujeitos a 
forças contidas em seu próprio plano. As chapas de concreto, quando o vão é inferior 
a três vezes a maior dimensão da seção transversal, são comumente referidas como 
vigas-parede (Figura 11).
20
 Cascas: Elemento de superfície não plana (Figura 12).
Figura 12: Elemento do tipochapa
Fonte: Disponível em: https://shre.ink/Tr0K. Acesso em: 04 nov 2023.
1.3 SISTEMAS ESTRUTURAIS
 Agora que já entendemos sobre os elementos estruturais, vamos retratar sobre 
os sistemas estruturais que são formados a partir dos elementos, isto é, os elementos 
estruturais combinam entre si para formarem os sistemas estruturais.
 A integração dos elementos lineares principais, como pilares e vigas, constitui 
os sistemas estruturais mais comuns. Esses sistemas podem ser categorizados como 
lineares, planos e espaciais.
 Sistemas lineares
 São aqueles compostos por vigas simples, vigas contínuas, vigas contínuas 
rotuladas (vide Figura 13).
 Sistemas Planos
 Os sistemas planos são os pórticos, arcos, treliças, grelhas, vigas-balcão, dentre 
outros (Figura 14). 
Um elemento estrutural é um componente individual de uma estrutura, como uma viga 
ou coluna, responsável por desempenhar uma função específica na resistência e transfe-
rência de cargas. Já um sistema estrutural refere-se ao conjunto de elementos estruturais 
interconectados que, juntos, trabalham para suportar e transferir cargas coletivamente 
para as fundações. Enquanto um elemento foca em funções individuais, um sistema con-
sidera a interação e cooperação entre esses elementos.
FIQUE ATENTO
Figura 13: Viga contínua
Fonte: Disponível em: https://shre.ink/TrDT. Acesso em: 04 nov 2023.
21
 Sistemas Espaciais
 Os sistemas espaciais são suportados em duas estruturas funcionais. Um exemplo 
comum são as estruturas de edifícios, compostas por pórticos espaciais de vários 
andares e múltiplos andares.
 Sistemas de elementos de superfície
 Os elementos individuais de superfície podem compor sistemas estruturais planos, 
como um pilar-parede ou o tabuleiro de uma ponte em laje. As paredes e lajes podem 
ser de concreto sólido ou com vazios, com altura constante ou variável. Na Figura 16 
podemos observar a seção usual de ponte biapoiada.
 Os elementos de superfície frequentemente estão associados a elementos 
lineares. Quando uma laje é combinada com vigas, ela desempenha três funções 
distintas:
 Função de laje: age como suporte direto para as cargas aplicadas.
 Função de mesa de viga T: quando conectada monoliticamente a uma viga, a laje 
funciona como a mesa de uma viga em forma de T, absorvendo as emendas normais 
de emendas elaboradas por correções de flexão.
 Função de disco horizontal: devido à sua dificuldade em seu próprio plano, a laje 
conecta as cabeças das colunas e distribui as forças horizontais resultantes (geralmente 
causadas pelo vento) entre elas.
Figura 14: Pórtico plano
Fonte: Sales, Malite e Gonçalves (2020)
Figura 15: Pórtico Espacial
Fonte: Sales, Malite e Gonçalves (2020)
22
Figura 16: Seção de ponte biapoiada
Fonte: Disponível em: https://shre.ink/Trh0. Acesso em: 04 nov 2023.
Analisando o conteúdo abordado e os diferentes elementos estruturais, bem como, sis-
temas estruturais, reflita sobre o seguinte questionamento: como a compreensão dos di-
ferentes tipos de sistemas estruturais pode influenciar o projeto e a estabilidade de uma 
estrutura em particular? Isso mesmo! A compreensão dos sistemas estruturais é crucial 
para a segurança e eficiência de uma estrutura. A escolha correta do sistema influencia 
a otimização do uso de materiais, adaptação ao ambiente (como áreas sísmicas ou ven-
tosas) e facilita a integração com outros aspectos da construção. Além disso, pode afetar 
o tempo e o custo da construção.
VAMOS PENSAR?
23
FIXANDO O CONTEÚDO
1. Acerca das peças que compõem as estruturas é sabido que elas possuem três 
dimensões e podem ocorrer três casos: I) Duas dimensões menores em relação à 
terceira; II) Uma dimensão menor em relação as outras duas e III) As três dimensões são 
consideráveis. Assinar a alternativa correta que apresenta, respectivamente, exemplos 
dos três tipos de casos apresentados.
a) Barragem, barra, chapa.
b) Bloco, folha, cascas.
c) Barra, placas, bloco.
d) Casca, barra, bloco.
e) Lâminas, barragem, casca.
2. As condições de equilíbrio garantem o equilíbrio estático de qualquer porção isolada 
da estrutura ou da estrutura como um todo. É de suma importância que um corpo 
esteja em equilíbrio, de modo a garantir a segurança, durabilidade e funcionalidade da 
estrutura. Dizemos que um corpo está em equilíbrio quando: 
a) Não há forças atuando sobre ele. 
b) Somente a resultante vetorial das forças sobre o corpo é nula. 
c) Somente a resultante vetorial do torque sobre o corpo é nula. 
d) Não há torque sobre o corpo. 
e) A resultante vetorial de forças e a resultante vetorial do torque sobre o corpo são 
nulas.
3. (IF-GO). O móbile é um modelo abstrato que tem peças móveis, impulsionadas por 
motores ou pela força natural das correntes de ar. Suas partes giratórias criam uma 
experiência visual de dimensões e formas em constante equilíbrio. A figura a seguir 
representa um tipo de móbile.
Para que o equilíbrio do móbile ocorra, é necessário e suficiente que
a) as massas penduradas nas extremidades de cada haste sejam iguais.
b) a força resultante e o torque sobre cada uma das hastes sejam nulos.
c) a força resultante sobre cada haste seja nula.
d) o torque jamais seja nulo.
e) haja conservação da energia mecânica.
24
4. É sabido que a força é o produto da interação entre dois corpos, conforme estipulado 
pela terceira lei de Newton. E que o momento de uma força em relação a um ponto é 
a grandeza física que quantifica a capacidade daquela força em traduzir rotação em 
torno desse ponto. Analise as afirmações a respeito do momento de uma força.
I. O torque é uma grandeza escalar relacionada com a rotação de um sistema.
II. A força necessária para girar uma porta seria maior se a maçaneta fosse instalada 
próximo das dobradiças.
III. A única condição de equilíbrio existente está relacionada com a rotação de um 
sistema. Sendo assim, se a soma de todos os torques que atuam em um sistema for 
nula, haverá equilíbrio.
Está correto o que se afirma em:
a) I e II
b) II e III
c) III
d) II
e) I
5. Os conceitos de força e momento são fundamentais para mecânica das estruturas. 
Analise as afirmações a respeito das grandezas fundamentais força e momento e 
assine a alternativa correta.
I. Força é qualquer agente externo que modifica o movimento de um corpo livre ou 
causa deformação num corpo fixo. 
II. A força é uma grandeza escalar, pois para ser definida necessita se conhecer: 
Intensidade, direção e sentido.
III. O momento representa a tendência de rotação, em torno de um ponto, provocada 
por uma força.
IV. O momento é uma grandeza vetorial.
Está correto o que se afirma em:
a) I e IV.
b) II e III.
c) I e III.
d) I, III e IV.
e) I, II, III e IV.
6. (CEBRASPE- 2012). Considerando viga isostática, biapoiada e submetida a 
carregamento distribuído uniformemente, assinale a opção correta.
a) O momento fletor é constante em toda a viga.
b) Nos apoios da viga, a reação tem o mesmo sentido do carregamento.
c) A viga possui momento fletor máximo próximo aos apoios.
d) O momento fletor máximo ocorre no meio da viga.
25
e) A viga está sujeita a momentos torsos e esforços cortantes.
7. (UFRS). A figura abaixo mostra uma régua homogênea em equilíbrio estático, sob a 
ação de várias forças. Quanto vale a intensidade da força F, em Newtons (N)?
a) 1
b) 2
c) 2,5
d) 3
e) 5
8. (FAUEL- 2023). Vigas isostáticas são elementos estruturais unidimensionais, também 
chamadas de barras, submetidas a esforços de flexão, de cisalhamento e, em alguns 
casos, axiais. Estas barras servem normalmente como suporte para outros elementos 
estruturais, tais como as lajes, ou ainda como apoio de paredes. Diante disso, para a 
viga isostática de 7 metros de comprimento a seguir, submetida aos carregamentos 
indicados no desenho, o valor do momento fletor nos pontos B e C são, em módulo, 
respectivamente e aproximadamente, iguais a:
a) 87,9 kNm e 0,0 kNm. 
b) 87,9 kNm e 15,0 kNm.
c) 75,0 kNm e 0,0 kNm.
d) 81,7 kNm e 0,0 kNm.
e) 81,7 kNm e 15,0 kNm. 
26
ESTUDO DAS 
ESTRUTURASISOSTÁTICAS
27
2.1 MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS
 Uma estrutura é composta por um conjunto de componentes interligados, específicos 
para suportar cargas. Esses componentes são chamados de elementos estruturais 
e se subdividem em vários tipos, cada um com características e comportamentos 
específicos. Geometricamente e dimensionalmente, os elementos estruturais podem 
ser classificados como unidimensionais, bidimensionais e tridimensionais (Adorna, 
2017).
 A morfologia das estruturas envolve o estudo dos tipos de estruturas e os sistemas 
que elas fazem parte. Já foi abordado na unidade anterior sobre esse conteúdo e aqui 
iremos apenas retratar brevemente sobre alguns elementos. 
 Como citando anteriormente, os elementos estruturais podem ser do tipo 
unidimensionais, bidimensionais e tridimensionais. Os elementos unidimensionais são 
aqueles conhecidos com elementos lineares e em estática, um elemento unidimensional 
é um componente ou uma parte de uma estrutura que é representado como uma linha 
reta. É uma simplificação da estrutura real que tem apenas uma dimensão, geralmente 
ao longo de um eixo. Na maioria dos casos, um elemento unidimensional é usado para 
representar vigas, pilares ou outros componentes estruturais lineares em análises de 
engenharia. Ele é considerado como um ponto ou uma linha com suas propriedades, 
como massa, rigidez e carga, concentradas em um único eixo. O uso de elementos 
unidimensionais facilita a modelagem e análise de estruturas mais complexas, 
permitindo a aplicação de conceitos simplificados da mecânica dos sólidos (Soriano, 
2010). Além disso, eles podem ser do tipo tirantes, colunas e etc. No Quadro 1 está 
abordado sobre esses elementos.
Elemento estrutural Definição e aplicações
Tirantes Os tirantes, conhecidos como cabos de suspensão ou barras de 
contraventamento, são elementos alongados sujeitos às forças 
axiais de tração. Apesar de possuírem componentes transversais 
estreitos, eles são capazes de suportar cargas consideráveis, de-
pendendo do material do que são feitos. A geometria dos frascos 
transversais dos tirantes pode variar, com formatos comuns como 
pressas, barras, cantoneiras e canais.
Colunas As colunas, também conhecidas como pilares, são elementos line-
ares sujeitos a forças axiais. A capacidade de carga das colunas 
varia dependendo do tipo de contenção em suas extremidades. Por 
exemplo, uma coluna com uma extremidade fixa e a outra livre tem 
uma capacidade de carga quatro vezes menor do que uma coluna 
com ambas as extremidades livres.
Na prática, as colunas podem estar sujeitas a momentos de fle-
xão, devido à ligeira curvatura inicial das colunas ou à presença de 
excentricidades na carga aplicada. Portanto, é importante que o 
projetista leve esses fatores em consideração. Quando pilares e vi-
gas são rigidamente conectados, como em estruturas de concreto 
armado ou por meio de elementos soldados, eles também podem 
transmitir momentos de flexão, sendo então chamados de vigas-
-colunas.
28
Vigas As vigas são componentes lineares sujeitas a cargas perpendicu-
lares ao seu eixo longitudinal, provocando deformações suaves no 
elemento estrutural. Essas cargas resultaram em forças internas de 
cisalhamento (V) e momentos de flexão (M) que atuam na seção 
transversal da viga.
Quadro 1: Elementos unidimensionais
Fonte: Adaptado de Adorna (2017)
 Os principais sistemas estruturais que envolvem os elementos bidimensionais são 
os cabos, arcos, treliças, pórticos e grelhas. No Quadro 2, podemos observar as principais 
aplicações, características e as representações que envolvem esses sistemas.
Sistema 
estrutural
Características e aplicações Representação
Cabos Os cabos são estruturas flexíveis que supor-
tam forças axiais de tração. São formados 
por vários fios de aço de alta resistência, 
que são mecanicamente trançados. Sua 
aplicação primária ocorre na construção 
de pontes. Além de abranger grandes vãos, 
os cabos também se destacam devido 
às suas dimensões compactas e ao peso 
reduzido em comparação com outros ele-
mentos estruturais.
Arcos Geralmente, os arcos são estruturas que 
suportam apenas compressão axial. O 
comportamento do arco é simetricamen-
te inverso aos cabos, no entanto, deve ser 
composto por elementos rígidos que pre-
servam a forma da estrutura. Portanto, os 
arcos podem ser expostos a cargas secun-
dárias de cisalhamento e momento, e de-
vem ser considerados na análise do projeto. 
Eles são frequentemente empregados na 
construção de pontes, tetos abobadados e 
aberturas em paredes de alvenaria.
Pórticos Os pórticos, também conhecidos como 
vigas-pilares, são estruturas sólidas for-
madas pela interação entre vigas e pila-
res. Geralmente, os pórticos estão sujeitos 
a propostas axiais de atração e variação, 
bem como momentos de flexão.
Em estruturas de concreto, a restrição das 
ligações é uma consequência da nature-
za monolítica do material. Nas estruturas 
de aço, as ligações são determinantes por 
meio de parafusos ou soldagem. Os pórti-
cos são divididos em categorias de planos 
e espaciais. Os pórticos planos são com-
postos por elementos alinhados em um 
único plano, enquanto os pórticos espaciais 
têm seus componentes alinhados em três 
dimensões.
29
 As estruturas unidimensionais e seus sistemas são o foco principal dessa disciplina 
e, como já retratado, na unidade anterior já foi apresentado sobre os três tipos de 
estruturas e seus sistemas. 
Treliças As treliças são estruturas compostas pela 
ligação de barras finas e estrados, muitas 
vezes organizadas em padrões triangula-
res. Durante o processo de projeto, as cone-
xões entre as barras são assumidas como 
sem atrito, e as cargas são aplicadas ex-
clusivamente em nós da treliça. Portanto, a 
treliça está sujeita apenas a esforços axiais 
de tração e tração, que atuam axialmente 
em cada barra que compõe o elemento 
estrutural.
As treliças podem ser categorizadas como 
planas e espaciais. Treliças planas con-
sistem em elementos alinhados no mes-
mo plano, frequentemente aplicadas na 
construção de pontes e telhados. Por outro 
lado, treliças espaciais são compostas por 
elementos distribuídos em três dimensões, 
sendo observadas para uso em guindastes 
e torres.
Grelhas As grelhas são estruturas planas formadas 
por vigas, com conexões que podem ser rí-
gidas ou articuladas. Elas apresentam uma 
configuração de malha, na qual as cargas 
são aplicadas de forma perpendicular ao 
plano da estrutura.
Quadro 2: Sistemas estruturais com elementos unidimensionais
Fonte: Adaptado de Adorna (2017)
2.2 ESTRUTURAS RETICULADAS
 As estruturas reticuladas são aquelas formadas por elementos estruturais lineares, 
onde pode-se dizer que uma estrutura reticulada é plana quando suas barras se 
mostram em um plano central coincidente com o plano médio da estrutura, além disso, 
os esforços externos estarão contidos ou no plano médio, como em vigas poligonais e 
pórticos planos ou atuam perpendicularmente a ele, como as grelhas (NETO, 2011).
 Para entender melhor o conceito de estruturas reticuladas, vamos retratar sobre 
os conceitos de barra, nó e trecho.
 De acordo com Neto (2011), a barra é um elemento sólido gerado por uma figura 
O plano central é aquele definido pelo eixo longitudinal da barra e um dos eixos centrais-
-principais da seção transversal.
FIQUE ATENTO
30
plana, que não precisa ser constante, mas que se desloca no espaço permanecendo 
normal à trajetória de seu baricentro, como podemos ver na Figura 17. Além disso, o lugar 
geométrico dos pontos que são ocupados pelo baricentro da figura plana é conhecido 
pelo eixo longitudinal da barra.
 Os pontos de interseção entre os planos normais ao eixo e o sólido gerado 
definem-se como trechos transversais da barra, que são específicos à figura plana 
para um ponto arbitrário do eixo. Os termos "reta" e "curva" são usados para descrever 
barras com eixos retos e curvos, respectivamente. Uma barra com seção transversal 
constante e eixo reto é conhecida como barraprismática.
 Os trechos são definidos como um segmento de barra delimitado pela seção 
transversal nas quais atendem as seguintes condições:
 Insere-se uma nova barra, ou uma articulação, dentre outros;
 Altera-se a equação que rege a posição do eixo da barra;
 Introduz-se uma carga concentrada;
 Interrompe-se um carregamento distribuído.
 O nó pode ser dito como o ponto de encontro entre duas ou mais barras. Os nós 
podem ser do tipo articulados ou rígidos, os articulados são aqueles que permitem 
rotações relativas entres as extremidades das barras, caso contrário eles são rígidos.
Figura 17: Eixo e seção transversal de uma barra (a) genérica e (b) prismática
Fonte: Neto (2011)
Figura 18: Delimitação das seções extremas dos trechos
Fonte: Neto (2011)
As estruturas reticuladas, como pode-se observar, são muito usuais e notamos 
as mesmas constantemente. Para aprimorar seu conhecimento sobre as estru-
turas isostáticas, leia o artigo intitulado por Modelagem e Análise De Estruturas 
Reticuladas, disponível no link: https://shre.ink/TrxZ.Acesso em: 12 nov 2023.
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31
Figura 19: Apoio com 5 graus de liberdade
Fonte: Sussekin (1981)
2.3 GRAUS DE LIBERDADE E APOIOS
 Entendemos que a ação estática de um sistema de forças no espaço, em 
relação a um ponto específico, equivale à sua resultante e ao seu momento resultante 
em relação a esse ponto. A primeira gera uma tendência de translação, enquanto a 
segunda provoca uma tendência de rotação. No espaço, uma translação pode ser 
descrita pelos seus componentes ao longo de três eixos ortogonais, e uma rotação pode 
ser expressa como o resultado de três rotações, cada uma ao redor de um desses eixos. 
Consequentemente, uma estrutura no espaço possui um total de 6 graus de liberdade 
(3 para translações e 3 para rotações, ao longo de três eixos ortogonais) (SUSSEKIND, 
1981).
 Ainda de acordo com Sussekind (1981), é evidente que esses 6 graus de liberdade 
devem ser limitados para evitar qualquer movimento na estrutura, garantindo assim 
seu equilíbrio. Essa restrição é alcançada por meio de apoios, que impedem diferentes 
tipos de movimento ao gerar reações que se opõem às tendências de movimento 
específicas que eles restringem. Essas soluções de suporte contrabalançam as cargas 
aplicadas à estrutura, formando um sistema de forças em equilíbrio. 
 2.3.1 Apoios
 A principal função dos apoios é limitar os graus de liberdade nas estruturas, 
resultando em respostas que contrapõem os movimentos restringidos. Esses apoios 
podem ser classificados com base em nenhum número de graus de liberdade permitidos 
(ou nenhum número de movimentos restritos), resultando em seis tipos diferentes (ou 
seja, permitindo 5, 4, 3, 2, 1 ou nenhum grau de liberdade) (SUSSEKIND, 1981).
 Para facilitar o entendimento, considere o suporte representado na Figura 20, onde 
a estrutura está apoiada em uma esfera perfeitamente lubrificada. O único movimento 
que será restrito é a translação na direção vertical Oz, resultando na ocorrência de uma 
reação Rz incidente sobre a estrutura. Esse tipo de suporte é denominado como um 
apoio de 5 graus de liberdade (ou com 1 movimento restrito).
 Considere agora o suporte na Figura 21, composto por três esferas interligadas por 
três hastes, formando um conjunto rígido. Nesse caso, além da translação na direção 
z, as rotações em torno dos eixos x e y são restritas. Esse tipo de suporte é classificado 
como um apoio com 3 graus de liberdade (sendo a rotação em torno do eixo Oz e as 
32
translações ao longo dos eixos Ox e Oy) ou com 3 movimentos restringidos. As soluções 
Mx, My e Rz surgiram sobre a estrutura.
 Na Figura 22 é descrito a conexão rígida entre a estrutura e seu apoio, com 
dimensões significativamente maiores que as da própria estrutura, que podem ser 
consideradas infinitas em comparação. Nessa configuração, o apoio impede todos os 
movimentos possíveis, sendo classificado como um apoio sem grau de liberdade (ou 
com todos os movimentos restringidos). Correspondendo a cada movimento restrito, 
surgem as reações Rx, Ry, Rz, Mx, My e Mz, ocorrendo sobre uma estrutura. Esse tipo de 
apoio é conhecido como engaste.
 Entretanto, de acordo com Soriano (2013), as estruturas planas e carregadas no 
próprio plano, nas quais são as mais comuns dentro da análise estrutural, há 3 graus 
de liberdade a serem combatidos. Supõe-se que a estrutura está situada no plano xy e 
os graus de liberdade que devem ser combatidos são as translações nas direções Ox e 
Oy, bem como, a rotação em torno de um eixo perpendicular ao plano Oz. Estas são as 
únicas tendências de movimento capazes de serem produzidas pelo sistema de forças 
indicado e dentro desse sistema de forças citado, pode-se ter os apoios de 1°, 2° e 3° 
gênero. Na Figura 23, observa-se o apoio de 1º gênero.
Figura 20: Apoio com 3 graus de liberdade
Fonte: Sussekin (1981)
Figura 21: Apoio sem graus de liberdade
Fonte: Sussekin (1981)
33
 Um apoio do primeiro gênero pode ser obtido de duas maneiras, conforme 
ilustrado na Figuras 23. Na primeira representação, a estrutura é reforçada sobre um rolo 
lubrificado que impede apenas o deslocamento na direção e, permitindo livre rotação 
ao seu redor, assim como deslocamento livre na direção x. Na segunda representação, 
a rotação é permitida por um pino sem atrito, e a direção na direção x é permitida pelos 
rolos em contato direto com o plano que serve como apoio, continuando a direção na 
direção e restrito (SUSSEKIND, 1981).
 Substituímos os rolos no apoio da Figura 23 por uma chapa incluída 
completamente ao plano de suporte, conforme indicado na Figura 24, restringimos 
todos os deslocamentos possíveis, mantendo apenas a rotação permitida, protegida 
pelo pino lubrificado representado na figura. Esse tipo de apoio, capaz de restringir 
todas as traduções possíveis no plano, é chamado de apoio do segundo gênero.
 Para os deslocamentos restringidos, surgirão as reações H e V conforme indicados 
na figura, cuja composição vetorial resultará na ocorrência de apoio total no apoio do 
2° gênero.
 Se fixarmos a estrutura em um bloco de dimensões que podem ser consideradas 
infinitas em comparação com as dimensões da estrutura, como ilustrado na Figura 
25, a seção de contato entre o bloco e a estrutura restringirá todos os movimentos 
possíveis da estrutura devido a enorme prejuízo do bloco. Nesse caso, dizemos que o 
bloco engasta a estrutura. 
 Na Figura 26, é possível visualizar melhor as condições de contorno que envolvem 
os três tipos de apoios estudados.
Figura 22: Apoio de primeiro gênero ou charriot
Fonte: Sussekind (1981)
Figura 23: Apoio de segundo gênero
Fonte: Sussekind (1981)
Figura 24: Apoio do 3° gênero
Fonte: Sussekind (1981)
34
Figura 25: Condições de contorno
Fonte: Edmungo, Guimarães e Rojas (2018)
Com base no que vem sendo estudado a respeito dos apoios e analisando as restrições 
obtidas nos apoios de primeiro e segundo gênero, quais os movimentos restringidos pelo 
apoio de 3° gênero e quais as respostas (reações) obtidas? Isso mesmo! O apoio de ter-
ceiro gênero (ou engaste) restringe todos os possíveis movimentos: translacional vertical, 
translacional horizontal e rotação. Como resultado, ele proporciona três reações: uma re-
ação vertical, uma reação horizontal e um momento fletor. Este tipo de apoio é frequente-
mente usado em situações onde se deseja fixar completamente uma parte da estrutura, 
como a base de uma coluna em uma fundação.
VAMOS PENSAR?
35
FIXANDO O CONTEÚDO
1. Elemento estrutural é cada uma das partes nas quais pode ser dividida uma estrutura 
para efeitos de seu projeto. Lajes, pilares, fundações e vigas são os principais elementos 
estruturais de uma construção. Avalie as assertivas dispostas a seguir, em relação aos 
esforços internos em estruturas isostáticas, indicando a opção correta.
a) Vigas: é um elemento estrutural sujeito a cargas transversais.
b) Pórtico: é uma associação de vigas simples, entrelaçadas entre si, extremamente 
flexíveis,capazes de resistir a esforços de tração.
c) Treliças: consistem de pilares e vigas, de diferentes tamanhos e combinados para 
formar pórticos.
d) Cabos: estruturas reticuladas, ou seja, formadas por barras (em que uma direção é 
predominante) de eixo reto, ligadas por rótulas ou articulações (nós).
e) Grelhas: Também conhecidos como vigas-pilares, são estruturas sólidas formadas 
pela interação entre vigas e pilares.
2. (IFTO- 2023). Grelha é considerada uma estrutura plana onde as cargas atuam na 
direção perpendicular ao seu plano. Considere as afirmativas a seguir, indique a opção 
correta.
I. Grelhas são estruturas reticuladas.
II. As barras das grelhas estão submetidas a 3 esforços simples: Esforço Normal (N), 
Momento Fletor (M) e Momento Torçor (Mt).
III. As grelhas para serem consideradas isostáticas, o número de reações de apoio ou 
vínculos deverá ser igual ao número de equações fornecidas pelas condições de 
equilíbrio da estática.
a) II e III.
b) I e III.
c) I e II.
d) I,II e III.
e) I.
3. (FUNDATEC- 2023). Em relação à análise de estruturas, analise as assertivas abaixo e 
assinale V, se verdadeiras, ou F, se falsas.
( ) O número de movimentos possíveis e independentes que um corpo pode ter recebe 
a denominação de vínculos ou apoios.
( ) Há uma relação direta entre o número de equações de equilíbrio e o número de 
graus de liberdade da estrutura.
( ) Existem casos em que o número de equações é igual ao número de restrições, mas 
a estrutura não é isostática.
A ordem correta de preenchimento dos parênteses, de cima para baixo, é:
36
a) F – F – V.
b) V – V – V.
c) F – V – V.
d) V – F – F.
e) V – V – F.
4. Denominamos estrutura ao conjunto das partes resistentes de uma construção. 
As partes resistentes são caracterizadas por sua capacidade de transmitir esforços. 
Em relação as estruturas reticuladas, analise as assertivas abaixo e assinale V, se 
verdadeiras, ou F, se falsas.
( ) As estruturas reticuladas são estruturas constituídas por elementos estruturais 
lineares denominados barras.
( ) Os nós que permitem rotação relativa de elementos a eles conectados são 
denominados nós articulados.
( ) Os nós que não permitem rotação relativa são denominados nós rígidos.
A ordem correta de preenchimento dos parênteses, de cima para baixo, é:
a) F – F – V.
b) V – V – V.
c) F – V – V.
d) V – F – F.
e) V – V – F.
5. (FEPESE-2018). Quanto aos tipos de apoios a que uma estrutura pode estar vinculada, 
assinale a alternativa correta.
a) O apoio tipo engaste impede dois tipos de movimento, um de translação e dois de 
rotação.
b) O apoio móvel impede o movimento de translação na direção perpendicular à base 
do apoio.
c) O apoio fixo impede o movimento de rotação na direção perpendicular e na paralela 
à base do apoio.
d) O apoio fixo possui 1 grau de mobilidade retirado pelo vínculo, possuindo assim 
somente uma reação.
e) O apoio móvel possui 2 graus de mobilidade retirados pelo vínculo, possuindo assim 
duas reações.
6. Apoios são dispositivos que ligam pontos do sistema material a outros sistemas, 
impedindo determinados movimentos destes pontos ou do sistema como um todo. 
Analise as figuras a seguir e classifique os apoios apresentados.
37
a) Engaste (ou apoio do segundo gênero); Apoio simples (apoio do terceiro gênero) e 
Rótula (do primeiro gênero).
b) Rótula (do primeiro gênero); Engaste (ou apoio do terceiro gênero) e Apoio simples 
(do segundo gênero).
c) Apoio simples (apoio de segundo gênero ou articulação); Engaste (ou apoio do 
terceiro gênero) e Rótula (do primeiro gênero).
d) Apoio simples (do primeiro gênero); Engaste (ou apoio do terceiro gênero) e Rótula 
(apoio de segundo gênero ou articulação).
e) Rótula (do segundo gênero); Engaste (ou apoio do terceiro gênero) e Apoio simples 
(do primeiro gênero).
7. (Adaptado de FUNDEP- 2019). Com relação aos tipos de estrutura e seus componentes, 
assinale a alternativa incorreta.
a) Cabos não têm nenhuma rigidez à flexão, só podem transmitir força de compressão 
direta.
b) Se treliças de nós articulados são carregadas apenas nos nós, desenvolve-se um 
carregamento axial em todas as barras.
c) Quando uma viga é carregada perpendicularmente ao seu eixo longitudinal, cortante 
e momento desenvolvem-se para transmitir as cargas aplicadas para os apoios.
d) A capacidade de uma coluna esbelta depende da contenção fornecida em suas 
extremidades.
e) Os arcos são estruturas que suportam apenas compressão axial.
8. (OBJETIVA- 2019). Com relação às treliças, analisar os itens abaixo:
I. As treliças isostáticas com cargas fora dos nós não são consideradas ideais e 
necessitam do Método de Ritter para solução.
II. Qualquer sistema reticulado constituído por um polígono fechado rotulado em seus 
vértices é deformável, e, portanto, hipostático. A exceção é o triângulo.
III. Com relação à estaticidade das treliças, as incógnitas do problema são em número 
(r + b), sendo r o número de reações de apoio, e b o número de barras. As equações 
38
de equilíbrio têm número igual a 2n, sendo n o número total de nós, incluindo os nós 
de apoio da estrutura.
IV. Sendo r + b = 2n, é uma condição apenas necessária, mas não suficiente, para que 
uma treliça seja isostática.
V. Se r + b > 2n, sugere que se trata de uma treliça hiperestática. Porém, não se pode 
afirmar isso apenas com base nessa relação, pois a associação de um trecho 
hiperestático com outro hipostático pode conduzir a uma hiperestaticidade aparente 
para o conjunto.
Está(ão) CORRETO(S):
a) Somente o item I.
b) Somente o item II.
c) Somente o item IV
d) Somente os itens I, III e IV.
e) Somente os itens II, III, IV e V.
39
ESTATICIDADE, 
ESTABILIDADE E CARGAS 
DAS ESTRUTURAS
40
3.1 TOPOLOGIA DAS ESTRUTURAS
 A topologia das estruturas envolve o estudo dos nós, do eixo local e do eixo global. 
Vamos retratar a definição de cada um deles a seguir. De acordo com Gilbert, Leet, 
Uang (2014), temos que:
 Nós: os nós são pontos de interseção ou conexão onde os elementos estruturais 
se encontram e se conectam. Eles são os pontos onde vigas, colunas, treliças e outros 
componentes estruturais se juntam, formando uma estrutura unificada. Os nós 
são fundamentais para a estabilidade e integridade da estrutura, já que a força e a 
estabilidade das conexões nos nós afetam diretamente a resistência e a estabilidade 
global da estrutura (Figura 26).
 Nós móveis: os nós móveis são pontos de conexão que permitem algum grau de 
movimento relativo entre os elementos estruturais conectados. Eles são projetados para 
permitir a variação ou acomodação de deslocamentos e deformações decorrentes de 
forças externas, mudanças de temperatura ou assentamento. Os nossos móveis são 
frequentemente usados em estruturas sujeitas a cargas dinâmicas ou variáveis, onde a 
flexibilidade e a capacidade de adaptação são permitidas para garantir a estabilidade 
e a integridade da estrutura.
 Nós fixos: os nós fixos são pontos de conexão que restringem qualquer movimento 
relativo entre os elementos estruturais conectados. Eles são projetados para fornecer uma 
conexão e propriedade entre os elementos, impedindo qualquer deslocamento relativo. 
Os nossos ajustes são cruciais em estruturas onde a estabilidade e as dificuldades são 
essenciais, especialmente em situações onde há necessidade de evitar deslocamentos 
indesejados ou deformações excessivas que possam comprometer a integridade 
estrutural.
 Na Figura 27, podemos observar a estruturas apresentando nós móveis e nós fixos.
Figura 26: Exemplo de aplicação de nós
Fonte: Disponível em: https://shre.ink/TrQz. Acesso em: 11 nov 2023.
41
3.2 ESTATICIDADE E ESTABILIDADE
 A função dos apoios é restringir os graus de liberdade de uma estrutura, como já 
visto anteriormente. Existem três casos que podem ocorrer:
 Caso 1: Quando os apoios são exatamente o número necessário para impedir 
todos os movimentos possíveis da estrutura. Neste caso, o número de respostas de 
apoio a ser determinado é igual ao número de equações de equilíbriodisponíveis, 
resultando em um sistema de equações específicas que resolve o problema. Essa 
condição é conhecida como isostaticidade da estrutura, isto é, uma estrutura isostática 
representando uma situação de equilíbrio estável.
 Caso 2: quando o número de apoios for menor do que o necessário para impedir 
 Eixo Local: o eixo local é uma referência de orientação específica que é adotada 
em cada elemento estrutural individual. Ele é definido pela direção do elemento em si, 
representando o eixo coordenado local que é intrínseco à geometria e à disposição 
do elemento. Ao considerar o comportamento de um único elemento estrutural, como 
uma viga ou uma coluna, o eixo local é essencial para compreender como as forças e 
os momentos atuam sobre o elemento em sua orientação específica.
 Eixo Global: o eixo global é um sistema de coordenadas de referência que abrange 
toda a estrutura. Ele é definido de forma a abranger a estrutura como um todo e é 
geralmente baseado em um sistema de coordenação tridimensional. O eixo global é 
crucial para compreender a disposição espacial dos elementos estruturais em relação 
uns aos outros e para analisar o comportamento da estrutura como um sistema 
integrado sob diferentes condições de carga.
Figura 27: Comportamento da estrutura com nós móveis e nós fixos
Fonte: Carneiro; Martins (2008)
Figura 28: Estrutura com coordenada global e elemento com coordenada local
Fonte: Mcguire, Gallangher e Ziemian (1999)
42
Estruturas hipostáticas são aquelas em que o número de reações e vínculos é menor do 
que o número de equações de equilíbrio estático. Essas estruturas são mais complexas 
porque não podem ser resolvidas apenas pelas equações de equilíbrio, exigindo o uso de 
métodos adicionais, como as equações de compatibilidade de deformações, para de-
terminar as forças internas. A falta de informações suficientes das equações de equilíbrio 
torna o sistema mais difícil de analisar, pois os graus de liberdade adicionais resultam 
em incertezas e ambiguidades nos cálculos. Isso muitas vezes exige o uso de técnicas 
mais avançadas, como o método dos deslocamentos e o método dos trabalhos virtuais, 
para resolver as desconhecidas adicionais no sistema. Portanto, a análise de estruturas 
hipostáticas requer uma abordagem mais cuidadosa e métodos mais sofisticados em 
comparação com as estruturas isostáticas simples.
A partir do que foi estudado acima, é possível ser levado a estabelecer os seguintes cri-
térios para classificação de uma estrutura (sem vínculos internos) como isostática, hi-
postática ou hiperestática com base na contagem do número de apoios em relação ao 
número de graus de liberdade da estrutura. Embora seja classificado como eficaz para as 
estruturas hipostáticas, para as estruturas isostáticas e hiperestáticas, ele fornece apenas 
uma condição, porém não suficiente, como ilustrado na Figura a seguir.
 Na estrutura plana mostrada na Figura acima, possui três graus de liberdade, identifica-
mos um apoio do 2º gênero e um apoio do 1º gênero, totalizando três reações de apoio a 
serem determinadas. A análise sugere que a estrutura seja isostática, porém, na realida-
de, o apoio A impede as translações nas orientações Ax e Ay, enquanto o apoio B impede 
a translação na direção Ax. A rotação do sistema não é impedida, resultando na estrutura 
sendo hipostática, embora inicialmente aparentasse ser isostática.
FIQUE ATENTO
FIQUE ATENTO
todos os movimentos possíveis da estrutura. Nesse cenário, existem mais equações 
de equilíbrio do que incógnitas a serem determinadas, resultando em um sistema 
de equações que, em geral, não possui solução. A estrutura é então chamada de 
hipostática e, por consequência, assustadora. Nas autoridades específicas, é possível 
que um arranjo específico de cargas seja capaz de compensar os graus de liberdade 
que os apoios não fornecem restrições.
 Caso 3: no caso de haver um número maior de apoios do que o necessário para 
restringir todos os movimentos possíveis da estrutura, o sistema resultante terá menos 
equações do que incógnitas, conduzindo a um sistema indeterminado. As equações 
fundamentais da estática não serão suficientes para calcular as respostas de suporte, 
exigindo equações adicionais que considerem a compatibilidade das deformações. A 
estrutura é chamada de hiperestática, mantendo-se o equilíbrio estável (ou até mesmo 
mais do que estável, em termos coloquiais).
43
 Para classificar uma estrutura (sem vínculos internos) como externamente 
isostática ou hiperestática, não é suficiente apenas comparar o número de respostas 
de apoio a serem determinados com o número de graus de liberdade da estrutura. 
É essencial certificar-se de que os apoios restringem efetivamente todos os graus de 
liberdade da estrutura em questão, eliminando completamente a possibilidade de uma 
estrutura ser hipostática.
 Na Figura 30, podemos analisar um exemplo para o cálculo do grau de estaticidade 
do pórtico plano.
 Para o pórtico apresentado, vamos calcular o grau de estaticidade:
 O pórtico possui 4 reações de apoio, aplicando as três equações da estática no 
plano, temos:
 Observe que as reações verticais, RA e RB, podem ser determinadas pela aplicação 
das equações de equilíbrio estático. As reações horizontais, por sua vez, não podem ser 
determinadas. A estrutura analisada, portanto, é estaticamente indeterminada, ou seja, 
é hiperestática. A estrutura pode ser transformada em estática de duas maneiras:
• pela substituição do apoio fixo por um apoio móvel;
• pela incorporação de uma rótula na estrutura. 
 A seguir, é apresentada a determinação do grau de estaticidade para ambas as 
Figura 29: Pórtico plano
Fonte: Soriano (2010) apud Adorna (2017)
44
situações. Substituição do apoio fixo por um apoio móvel no apoio B, conforme a Figura 
31.
 O pórtico apresenta três reações de apoio. Aplicando as três equações de equilíbrio 
estático, obtemos:
 Incorporação de uma rótula no ponto D:
 O pórtico apresenta quatro reações de apoio. Além das três equações de 
equilíbrio estático, a estrutura possui uma equação de momento nulo na rótula, como 
demonstrado a seguir:
Figura 30: Pórtico plano com apoio fixo e apoio móvel
Fonte: Soriano (2010) apud Adorna (2017)
45
 Observe que todas as reações de apoio foram determinadas, ou seja, a estrutura 
é isostática.
3.3 REAÇÕES
 As construções devem ser capazes de manter a estabilidade sob todas as 
condições de carga. Em outras palavras, elas devem ser capazes de resistir às 
forças aplicadas, como o peso próprio, sobrecargas previstas, vento, etc., sem sofrer 
deformações graves ou colapsos. Uma vez que estruturas derivadas não apresentam 
movimentos perceptíveis quando submetidas a cargas, a análise delas se baseia em 
grande parte nos princípios e técnicas da estática, os quais determinam as forças 
internas e externas (reações) (GILBERT; LEET; UANG, 2014).
 As estruturas abordadas neste livro não são completamente rígidas, uma vez 
que apresentam pequenas deformações metálicas quando submetidas a cargas. No 
entanto, na maioria das situações, as deflexões são tão insignificantes que nos permitem 
considerar a estrutura ou os seus componentes como corpos rígidos e basear a análise 
nas dimensões iniciais da estrutura (GILBERT; LEET; UANG, 2014).
 De acordo com Kassimali (2016), há um método sequencial que pode ser 
empregado para calcular as respostas de estruturas planas estáticas determinadas 
46
que estão sujeitas a cargas no mesmo plano. O método segue os seguintes passos:
 1. Desenhar o DCL (diagrama de corpo livre):
 a. Representar uma estrutura isolada de seus apoios e desconectada de qualquer 
outro componente ao qual possa estar conectado.
 b. Indique cada força ou momento conhecido no Diagrama de Corpo Livre (DCL) 
por meio de setas que representam a direção e sentido de cada força ou momento. 
Inclui a magnitude de cada força ou momento conhecido ao lado das respectivas setas.
 c. Especifique a orientação do sistema de coordenadas xy, perpendicularentre si, que será utilizada na análise. Normalmente, é conveniente orientar os eixos 
x e y horizontalmente (positivo para a direita) e verticalmente (positivo para cima), 
respectivamente. No entanto, se as dimensões da estrutura e/ou as linhas de ação da 
maioria das cargas aplicadas forem em uma direção inclinada, a seleção do eixo x (ou 
y) nessa direção pode acelerar significativamente a análise.
 d. Identifique as reações externas desconhecidas exercidas na estrutura em 
cada ponto onde o suporte foi removido. Representar as forças de fato no DCL por 
setas conhecidas de suas linhas de ação. Os pares de reações são representados por 
setas curvas. Os sentidos das reações são desconhecidos e podem ser reforçados 
arbitrariamente. No entanto, geralmente é conveniente assumir os sentidos das forças 
de evidência nas x e y como positivas e os sentidos dos momentos de evidência como 
positivos no sentido anti-horário. Os verdadeiros sentidos das reações serão conhecidos 
após determinar suas magnitudes, resolvendo as equações de equilíbrio e condição 
(se houver). Uma magnitude positiva para um acontecimento implicará que o sentido 
inicialmente reforçado estava correto, enquanto um valor negativo indicará que o 
verdadeiro sentido é oposto ao reforço no DCL. As magnitudes das reações ainda não 
conhecidas devem ser indicadas por símbolos alfabéticos adequados no DCL.
 e. Finalize o DCL incluindo as dimensões da estrutura, mostrando os locais das 
forças externas conhecidas e desconhecidas.
 Na Figura 32 e 33, podemos observar uma viga contínua submetida a diversos 
carregamento e o seu DCL, respectivamente.
 2. Verifique a estaticidade da estrutura para determinar se ela é ou não 
estaticamente determinada externamente. Se a estrutura não for estática, ou se for 
geometricamente instável ou indeterminada externamente, conclua a nesta fase de 
análise.
 3. Determinar as reações desconhecidas usando as equações de equilíbrio e 
condição para a estrutura inteira. Simplifique as equações de equilíbrio e condição para 
que cada uma inclua apenas uma incógnita, evitando resolver equações simultâneas 
Figura 31: Viga contínua submetida a diversos carregamentos
Fonte: Edmungo, Guimarães e Rojas (2018)
47
sempre que possível. Se a estrutura for internamente instável, pode não ser possível 
escrever equações contendo uma incógnita para cada. Para agilizar a análise de 
estruturas internamente instáveis, desconecte partes específicas e aplique equações 
de equilíbrio para determinar as respostas em partes individuais. Construa diagramas 
de corpo livre para essas partes, destacando todas as forças internas nas conexões, 
incluindo cargas aplicadas e reações de suporte. Lembre-se de que as forças internas 
em partes adjacentes devem ter magnitudes iguais, mas sentidos opostos, de acordo 
com a terceira lei de Newton.
 4. Para verificar os cálculos, utilize uma solução de equilíbrio alternativo que não 
tenha sido previamente utilizada para toda a estrutura. Idealmente, essa alternativa 
deve incluir todas as opções determinadas na análise. Você pode empregar uma 
solução de equilíbrio de momento que resume os momentos em torno de um ponto que 
não está nas linhas de ação das forças de ocorrência para este propósito. Se a análise 
for correta, esta alternativa de equilíbrio alternativo deve ser satisfeita.
 Para absorver melhor o sobre o estudo das reações, vamos fazer um exemplo:
 Determine as reações dos apoios para a viga mostrada na Figura abaixo.
 Solução
 Diagrama de corpo livre: O diagrama de corpo livre da viga é mostrado na Figura 
(b). 
 Observe que o rolete em A exerce reação Ra na direção perpendicular à 
superfície de apoio inclinado. 
 Determinação estática: A viga é internamente estável e é suportada por três 
reações, Ra, Bx e By, todas as quais não são paralelas ou concorrentes. Portanto, a viga 
é estaticamente determinada. 
 Reações de apoio: Como duas das três reações, denominadas Bx e By são 
concomitantes em B, seus momentos em B são nulos. Consequentemente, a equação 
de equilíbrio ∑MB = 0 que envolve o resumo de momentos de todas as forças em B 
contém apenas uma incógnita, RA. Assim,
48
 A resposta positiva para RA indica que nossa suposição inicial sobre o sentido 
dessa reação estava correta. Portanto
 A única incógnita remanescente, By, pode agora ser determinada aplicando-se a 
equação remanescente de equilíbrio:
 Para evitarmos ter de resolver equações simultâneas nos cálculos anteriores, 
aplicamos as equações de equilíbrio de tal maneira que cada equação contivesse 
apenas uma incógnita.
 Verificando cálculos: Finalmente, para verificar nossos cálculos, aplicamos uma 
equação alternativa de equilíbrio:
 Em seguida, para determinar Bx, aplicamos a equação de equilíbrio,
Para melhor entender o cálculo das reações dentro da estática das estruturas 
e aprimorar o conhecimento dentro desse ponto tão importante, leia o capítulo 
3 – Estática das estruturas: reações no livro Análise Estrutural de Gilbert, Leet e 
Uang (2014), disponível no link da biblioteca virtual: https://shre.ink/TrMY. Acesso 
em: 09 nov. 2023
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49
3.4 CARGAS
 De acordo com Gilbert, Leet e Uang (2014), para garantir que as estruturas não 
falhem nem sofram deformações excessivas sob carga, os engenheiros devem ter o 
cuidado de prever com precisão as cargas esperadas que a estrutura terá que suportar. 
Embora as cargas de projeto especificadas pelos códigos sejam geralmente suficientes 
para a maioria das construções, o projetista também precisa avaliar se essas cargas 
são aplicáveis à estrutura específica em questão.
 Mccormac (2009) diz que, geralmente, as cargas estruturais são categorizadas 
de acordo com suas características e duração. No caso de cargas aplicadas a edifícios, 
a classificação costuma ser a seguinte:
 Cargas permanentes: São cargas de magnitude constante que permanecem 
fixas em uma posição. Isso inclui o peso da própria estrutura e todos os acessórios 
permanentemente fixados nela.
 Variações de cargas: Referem-se a cargas cuja magnitude e posição podem 
variar. Isso abrange cargas de ocupação, materiais armazenados, cargas de construção, 
equipamentos suspensos e cargas operacionais. Geralmente, as cargas variáveis são 
influenciadas pela gravidade.
 Cargas ambientais: São aquelas resultantes do ambiente onde a estrutura está 
localizada. No caso de edifícios, as cargas ambientais podem ser provenientes de chuva, 
neve, gelo, vento, variações de temperatura e terremotos. Embora sejam consideradas 
taxas variáveis, são diretamente influenciadas pelo ambiente onde a estrutura se 
encontra.
 Cargas permanentes:
 Peso próprio do edifício, incluindo estrutura, paredes, lajes e revestimentos.
 Cargas dos ocupantes, móveis e equipamentos nos andares.
 Cargas variáveis:
 Cargas de neve, se a região estiver sujeita a nevascas.
 Efeito da temperatura
 Cargas de vento, especialmente se a área estiver sujeita a ventos fortes ou 
ciclones.
 Carga sísmica:
 Se a região estiver localizada em uma área sísmica, o edifício deve ser projetado 
para resistir a terremotos. As cargas sísmicas são determinadas com base na zona 
sísmica e na resposta dinâmica da estrutura.
 Carga de uso:
 Cargas vivas, que incluem a carga de ocupantes e o uso diário do edifício. Essas 
cargas variam dependendo do tipo de uso do edifício, como residencial, comercial, 
Considerar um edifício de quatro andares em uma área urbana na sua região. Quais as 
cargas estruturais que atuam sobre o edifício, considerando as condições específicas de 
localização e uso, tais como o clima da região, os materiais de construção e as atividades 
diárias no edifício?
VAMOS PENSAR?
50
industrial, etc.
 Carga de tráfego:
 Se o edifício estiver localizado em uma área com tráfego de veículos, as vibrações 
e cargas dinâmicas dos veículos devem ser consideradas.
 E dentre outras cargas que podem ser especificadas para cada tipo de edificação.
51
FIXANDO O CONTEÚDO
1. (Adaptado de ADORNA – 2017). O conceitode estruturas hipostáticas, isostáticas e 
hiperestáticas é fundamental na engenharia estrutural e está relacionado à capacidade 
de uma estrutura resistir a cargas e se manter estável. São estruturas hipostáticas, 
isostáticas e hiperestáticas, respectivamente: 
a) Estruturas estáveis e estaticamente determinadas; estruturas que não possuem 
vínculos suficientes para garantir o equilíbrio estático; e estruturas estáveis e 
estaticamente indeterminadas. 
b) Estruturas estáveis e estaticamente indeterminadas; estruturas estáveis e 
estaticamente determinadas; e estruturas que não possuem vínculos suficientes para 
garantir o equilíbrio estático. 
c) Estruturas que não possuem vínculos suficientes para garantir o equilíbrio estático; 
estruturas estáveis e estaticamente determinadas; e estruturas estáveis estaticamente 
indeterminadas. 
d) Estruturas que não possuem vínculos suficientes para garantir o equilíbrio 
estático; estruturas estáveis e estaticamente indeterminadas; e estruturas estáveis e 
estaticamente determinadas. 
e) Estruturas que não possuem vínculos suficientes para garantir o equilíbrio estático; 
estruturas estáveis e estaticamente determinadas; e estruturas com muitos apoios.
2. (Adaptada de CEBRASPE – 2018). Os termos hipostática, isostática e hiperestática 
descrevem a relação entre o número de reações de apoio e o número de equações 
de equilíbrio que devem ser satisfeitas para garantir a estabilidade da estrutura. 
Compreender esses conceitos é essencial para o projeto de estruturas seguras e 
eficientes. Visto isso, com relação à estaticidade global, a estrutura mostrada na figura 
precedente classifica-se como:
a) hipostática com 1 grau de liberdade.
b) hipostática com 3 graus de liberdade.
c) isostática.
d) hiperestática com 1 grau de redundância.
e) hiperestática com 3 graus de redundância.
52
3. (CETRO – 2013). Com relação à estaticidade e estabilidade de uma estrutura, marque 
V para verdadeiro ou F para falso e, em seguida, assinale a alternativa que apresenta a 
sequência correta.
( ) Uma estrutura isostática é uma estrutura restringida, e o número de incógnitas é 
igual ao número de equações de equilíbrio.
( ) Uma estrutura hiperestática é uma estrutura restringida, e o número de incógnitas 
é maior que o número de equações de equilíbrio.
( ) Uma estrutura hipostática não é uma estrutura restringida ou o número de incógnitas 
é menor que o número de equações de equilíbrio.
( ) Uma estrutura está restringida quando possui vínculos para restringir todos os 
movimentos possíveis dela (translação e rotação), como um corpo rígido.
a) V- V- V- V.
b) F- F- V- V.
c) V- F- V- F.
d) F- F- F- F.
e) V- V- F- F.
4. (FUNIVERSA – 2012). Estruturas isostáticas são aquelas cujo número de reações é 
o estritamente necessário para que nenhum movimento seja permitido, ou seja, o 
equilíbrio estático da estrutura é estável. Além disso, as reações devem ser dispostas de 
maneira a restringir quaisquer possíveis movimentos da estrutura. Para ser isostática, 
uma estrutura deve obedecer a essas duas condições. 
Estruturas hiperestáticas, por sua vez, são aquelas cujo número de reações é superior 
ao estritamente necessário para impedir qualquer movimento, de forma que é possível 
retirar algumas dessas reações de maneira criteriosa, sem que o equilíbrio deixe de ser 
estável. Define-se grau de hiperestaticidade como o número de ligações que podem 
ser suprimidas de uma estrutura hiperestática para transformá-la em uma estrutura 
isostática. 
Qual é o grau de hiperestaticidade da estrutura plana apresentada?
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
5. (CEBRASPE – 2006). Segundo uma análise de estaticidade e estabilidade, uma 
estrutura pode ser classificada em uma das três categorias seguintes: isostática, 
53
hiperestática e hipostática. Com base na representação esquemática de diferentes 
tipos de estruturas, mostradas a seguir, assinale a opção que apresenta associação 
correta entre estrutura representada e classificação.
a) A – hipoestática 
b) B – isostática 
c) C – isostática 
d) D – hiperestática 
e) E – hiperestática 
6. (Adaptada de Kassimali- 2016). As reações de apoio desempenham um papel 
fundamental na análise estrutural e no projeto de sistemas e componentes de 
engenharia. Essas reações representam as forças e momentos desenvolvidos em um 
ponto de apoio ou suporte de uma estrutura devido à aplicação de cargas externas. 
Determine as reações dos apoios para a viga mostrada na Figura.
a) Bx = 0 kN; By = 250 kN; Mb = 1220 kN.m
b) Bx = 0 kN; By = 250 kN; Mb = 1230 kN.m
c) Bx = 0 kN; By = 150 kN; Mb = 1230 kN.m
d) Bx = 0 kN; By = - 250 kN; Mb = 1230 kN.m
e) Bx = 0 kN; By = 150 kN; Mb = 1220 kN.m
54
7. (Adaptada de Kassimali- 2016). A compreensão abrangente das reações de apoio 
é crucial para garantir a estabilidade e o equilíbrio das estruturas, bem como para 
determinar a segurança e a eficiência de uma variedade de projetos de engenharia, 
desde pontes e edifícios até máquinas industriais e componentes mecânicos. Determine 
as reações do apoio para a estrutura mostrada na Figura.
a) Ax = 0 kN; Ay = 30 kN; Ma = 388 kN.m
b) Ax = 30 kN; Ay = 30 kN; Ma = 388 kN.m
c) Ax = 30 kN; Ay = 31,5 kN; Ma = 388 kN.m
d) Ax = 30 kN; Ay = 31,5 kN; Ma = 387 kN.m
e) Ax = 30 kN; Ay = 30 kN; Ma = 387 kN.m
8. (Adaptada de Kassimali-2016). As reações de apoio são determinadas pelas 
condições de restrição e pelos vínculos impostos aos pontos de apoio da estrutura. 
Esses apoios podem assumir diferentes formas, como apoios fixos, móveis, articulados 
e deslizantes, cada um dos quais oferecendo diferentes graus de liberdade ou restrição 
aos movimentos da estrutura. Determine as reações dos apoios para a estrutura 
mostrada na Figura.
a) Ax = 32,9 kN; By = 72,05 kN; Ay = 46,75 kN
b) Ax = 32,9 kN; By = 72,00 kN; Ay = 45,75 kN
c) Ax = 32,9 kN; By = 72,00 kN; Ay = 46,75 kN
55
d) Ax = 32,9 kN; By = 72,50 kN; Ay = 46,75 kN
e) Ax = 32,9 kN; By = 72,50 kN; Ay = 45,75 kN
56
CÁLCULO DOS 
DESLOCAMENTOS EM 
ESTRUTURAS 
ISOSTÁTICAS
57
4.1 ESFORÇOS INTERNOS
 Uma compreensão crucial na engenharia estrutural é a análise do esforço cortante 
e do momento fletor dentro de sistemas estruturais. As equações para o esforço cortante 
e o momento fletor são fundamentais para o cálculo das deflexões. Frequentemente, o 
esforço cortante e o momento flexível são representados em diagramas, proporcionando 
uma visualização clara da resposta estrutural (MCCORMAC, 2009).
 Ainda de acordo com o mesmo autor, a fim de analisar as condições internas de 
uma estrutura, é desenhado um diagrama de corpo livre que permite a determinação 
das forças convenientes para manter o equilíbrio da estrutura. O esforço cortante e o 
momento fletor são dois efeitos das cargas externas que atuam sobre a estrutura e 
precisam ser compreendidos para um estudo adequado das forças internas.
 O esforço cortante, ou cisalhamento, é a soma algébrica das forças à esquerda 
ou à direita de uma seção perpendicular ao eixo do elemento. 
 Esforço cortante é uma das componentes dos esforços internos que atuam em 
um elemento estrutural, como uma viga ou um pilar. Esse esforço atua transversalmente 
ao eixo longitudinal do elemento, tendendo a "cortá-lo". Em termos simples, o esforço 
cortante representa uma força interna que tenta deslizar uma parte da estrutura em 
relação à outra.
 Para visualizar melhor o esforço cortante, imagine um livro empilhado sobre 
outro. Se você tentar deslizar o livro de cima horizontalmente, enquanto o livro de baixo 
permanece imóvel, a resistência que você sente contra o deslizamento é semelhante à 
ação do esforço cortante em um elemento estrutural.
 Nas vigas, o esforço cortante é comumente causado por cargas verticais 
distribuídas ou concentradas que atuam perpendicularmente ao eixo longitudinal da 
viga. A distribuição e magnitude do esforço cortante ao longo da viga dependerão da 
geometria, das condições de apoio e da configuração de carga.
 O esforço cortante é crucial na análise estrutural,pois pode causar falhas por 
cisalhamento no material. Assim, é fundamental garantir que o material e a seção 
transversal da estrutura sejam adequadamente dimensionados para resistir a tais 
esforços
 O momento fletor é a soma algébrica dos momentos resultantes de todas as 
forças à esquerda ou à direita de uma seção transversal específica. Esses momentos 
são calculados em torno de um eixo que passa pelo centroide da seção transversal. 
Para entender intuitivamente o momento fletor, imagine uma régua flexível apoiada 
em suas extremidades. Se você pressionar a régua no meio, ela se curvará. A força que 
você aplica tenta fazer a régua rotacionar, criando um momento. O efeito que causa a 
curvatura é o momento fletor.
 Na Figura 33, podemos observar a convenção de sinais para os esforços internos.
58
Figura 33: Convenção de sinais usada para esforços internos de cisalhamento, de momentos 
fletores e normais
Fonte: Mccormac, (2009)
 Esforço cortante
 O esforço cortante, representado por Q, em uma seção é calculado pela soma 
vetorial dos componentes do sistema de forças em um dos lados da seção em análise 
sobre o plano considerado. Dividindo a força nos dois componentes que compõem o 
plano, é possível determinar o esforço cortante (SOUZA, 2018).
 Com isso, temos que:
 Levando em consideração que x é a direção transversal à seção analisada 
(HIBBELER, 2011 apud SOUZA, 2018).
 Souza (2018) pág. 218, diz que “O esforço cortante provoca o deslizamento de uma 
seção sobre outra infinitamente próxima, causando o corte ou o cisalhamento da seção 
(vide Figura 34).”
 Momento fletor
 O momento fletor em uma seção é obtido somando vetorialmente os momentos 
causados pelas cargas externas de um dos lados da seção em análise, considerando a 
direção perpendicular a essa seção como a direção x. Portanto, o momento fletor pode 
existir em duas simples: y e z (SOUZA, 2018).
 Com isso, temos que:
𝑄𝑧 = �𝐹𝑦
𝑒𝑥𝑡, à 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
�
�
= �𝐹𝑦
𝑒𝑥𝑡, à 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 
�
�
𝑄𝑧 = �𝐹𝑧
𝑒𝑥𝑡, à 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
�
�
= �𝐹𝑧
𝑒𝑥𝑡, à 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 
�
�
Figura 34: Carregamento cortante sobre um elemento infinitesimal compreendido entre as seções S 
e S’ e a respectiva convenção de sinais. A linha tracejada representa a deformação do elemento
Fonte: Souza (2018).
59
 O principal efeito do momento fletor é encurtar as fibras comprimidas e alongar 
as fibras tracionadas, resultando em um giro da seção transversal em torno de um eixo 
contido na própria seção (MCCORMAC, 2009).
 Momento torçor
 O momento de torque em uma seção é calculado pela soma vetorial dos 
momentos de torque causados pelos carregamentos externos em um dos lados da 
seção em análise, considerando a direção perpendicular a essa seção como a direção 
x (MCCORMAC, 2009).
 Com isso, temos que:
 Souza (2018) pág. 219, retrata que “o momento torçor tende a torcer o elemento 
estrutural, fazendo com que a seção transversal seja deformada. Basicamente, ocorre 
um giro da seção em torno da direção longitudinal da peça (vide Figura 36).”
Figura 35: O momento fletor pode ser nas direções z e y. No caso do momento z, ele é positivo quan-
do as fibras inferiores do elemento são tracionadas. No caso do momento y, ele é positivo quando as 
fibras internas são tracionadas. A linha tracejada representa a deformação do elemento
Fonte: Souza (2018).
Figura 36: O momento torçor. Quando o vetor momento sai (entra) da (na) seção é con-vencionado 
que o momento torçor é positivo (negativo). A linha tracejada representa a deformação do elemento
Fonte: Souza (2018).
𝑀𝑦 = �𝑀𝑦
𝑒𝑥𝑡, à 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
�
�
= �𝑀𝑦
𝑒𝑥𝑡, à 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 
�
�
𝑀𝑧 = �𝑀𝑧
𝑒𝑥𝑡, à 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
�
�
= �𝑀𝑧
𝑒𝑥𝑡, à 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 
�
�
𝑀𝑇 = 𝑀𝑋 = �𝑀𝑇
𝑒𝑥𝑡, à 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
�
�
= �𝑀𝑇
𝑒𝑥𝑡, à 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 
�
�
60
 Vamos entender melhor o cálculo do esforço cortante através do exemplo a 
seguir, baseado em Mccormac (2009). Para isso, vamos determinar o esforço cortante 
para o elemento estrutural apresentado na figura 37.
 Solução. 
 Esforço cortante na seção a-a: Va-a à esquerda = 25,7 k (114,32 kN) ↑, ou + 25,7 k 
(+ 114,32 kN) 
 Va-a à direita = 20 + 15 + 16 – 25,3 = 25,7 k (114,32 kN) ↓, ou + 25,7 k (+ 114,32 kN)
 Esforço cortante na seção b-b: Vb-b à esquerda = 25,7 – 20 – 15 = 9,3 k (41,37 kN) 
↓, ou –9,3 k (41,37 kN) 
 Vb-b à direita = 16 – 25,3 = –9,3 k (–41,37 kN) ↑, ou –9,3 k (41,37 kN)
 Os momentos fletores nas seções a-a e b-b da viga do Exemplo são calculados 
da seguinte maneira: 
 Momento na seção a-a: 
 Ma-a à esquerda = (25,7).(5) = 128,5’ k ↻, +128,5’ k 
 Ma-a à direita = (25,3).(35) – (16)(27) – (15)(15) – (20)(5) = 128,5′ k ↺ ou +128,5’ k
 Momento na seção b-b: Mb-b à esquerda = (25,7)(25) – (20)(15) – (15)(5) = 267,5’ 
k ↻, +267,5’ k 
 Mb-b à direita = (25,3)(15) – (16)(7) = 267,5’ k ↺, +267,5’ k
É comum haver confusão entre os momentos de fletor e torçor. É importante lembrar que 
o momento fletor provoca tração em uma extremidade da seção e comprime na outra, 
resultando em uma curvatura na peça. Enquanto isso, o momento torçor causa a rotação 
da seção específica ao redor de sua direção normal. Peças sujeitas a um momento de 
torçor são torcidas.
FIQUE ATENTO
4.2 PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS
 O Princípio dos Trabalhos Virtuais, também conhecido como o princípio de 
D'Alembert, é um conceito fundamental na mecânica aplicada e é amplamente 
utilizado para analisar a estabilidade e o equilíbrio de sistemas mecânicos e estruturas. 
Este princípio estabelece uma relação entre os trabalhos virtuais das forças aplicadas 
Figura 37: Exemplo aplicado
Fonte: Mccormac, (2009)
61
e as deformações associadas a um sistema de equilíbrio. Em engenharia estrutural, 
é crucial para a análise de estruturas e para a determinação das forças internas em 
componentes estruturais (HIBBELER, 2010).
 O princípio dos trabalhos virtuais afirma que, em um sistema mecânico de 
equilíbrio, o trabalho realizado pelas forças virtuais externas é igual ao trabalho das 
forças internas devido às deformações impostas ao sistema. Em outras palavras, a 
soma algébrica de todos os trabalhos virtuais das forças externas aplicadas é igual a 
zero.
 Na engenharia estrutural, o Princípio dos Trabalhos Virtuais é frequentemente 
utilizado para determinar as respostas em apoios e as forças internas em vários 
componentes de uma estrutura. Por meio deste princípio, é possível analisar a 
estabilidade estrutural, prever as deformações sob carga e determinar a distribuição 
de forças em vigas, pilares e outros elementos estruturais.
 Embora o Princípio dos Trabalhos Virtuais seja uma ferramenta poderosa, sua 
aplicação depende de certas simplificações e pressupostos, como a linearidade do 
material e o comportamento elástico da estrutura. Além disso, este princípio assume 
que o sistema está em equilíbrio, o que pode não ser aplicável a todos os cenários 
estruturais complexos.
 4.2.1 Deslocamentos virtuais
 O princípio dos trabalhos virtuais permite expressar as condições de equilíbrio em 
termos de trabalho, uma quantidade escalar. Pressupõe-se que o conceito de trabalho 
seja conhecido. No entanto, ele não se aplica ao termo “virtual”. Portanto, antes de 
enunciar o princípio dos trabalhos virtuais, é necessário considerar algumas definições 
e informações preliminares (SORIANO, 2010).
 De acordo, com Hibbeler (2010), um conjunto de deslocamentos virtuais (ou 
simplesmente variações de deslocamentos) é composto de deslocamentos que gozam 
das seguintes características: 
 1. São pequenos (isto é, parcelas de segunda ordem, ou superior, de uma expansão 
em série de Taylor são desprezáveis). 
 2. São arbitrários, mas compatíveis com os vínculos internos e externos do sistema 
mecânico. Traduzindo este fato para um corpo elástico, diz-se que as condições de 
contorno geométricas (vínculos externos) são respeitadas e que a configuração 
assumida pelo corpo é tal que sua continuidade também é respeitada, isto é, ela nãoapresenta fissura ou outros vazios. 
 3. São deslocamentos da posição verdadeira do sistema mecânico (por exemplo, 
deslocamentos da posição de equilíbrio estático, ou da trajetória verdadeira de cada 
ponto do sistema, num dado instante). 
 4. São diferenciais, satisfazendo, pois, as regras da diferenciação, comuns ao 
cálculo infinitesimal. 
 5. Não são deslocamentos verdadeiros, isto é, são virtuais. Esta é, geralmente, 
a característica que mais confunde. Dizer que não são deslocamentos verdadeiros 
equivale a dizer que não ocorrem efetivamente, sendo, assim, imaginários ou virtuais. 
Portanto, não existe variação de tempo associada a esses deslocamentos, ou seja, o 
tempo transcorrido durante sua ocorrência é nulo. Para lembrar esta característica, são 
ordinariamente representados por  , em vez de d.
62
 O cálculo do deslocamento pelo PTV, pode ser regido com a equação descrita 
a seguir. Essa equação é proveniente exatamente do conceito inicial, onde o trabalho 
interno é igual ao trabalho externo, onde vamos ter que (SUSSEKIND, 1980):
 Analisando a equação acima, nós temos a parcela do esforço normal, do esforço 
cortante e do momento fletor, respectivamente. Também poderia se ter a parcela do 
momento torsor, porém para estruturas no plano, não se tem a torção e a parcela é 
desconsiderada. Além disso, para o cálculo de deslocamento as parcelas de esforço 
cortante e normal são muito pequenas em relação ao do momento fletor e são 
desconsideradas. Com isso, temos que:
 Quando se iguala essas expressões, vamos obter a que está expressa a seguir.
𝑊𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 = 𝑃�𝛿
𝑊𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 = �
𝑁�𝑁
𝐸𝐴 𝑑𝑠+ �𝑥
𝑄�𝑄
𝐺𝐴 𝑑𝑠 + �
𝑀�𝑀
𝐸𝐼 𝑑𝑠
�
𝑙
�
𝑙
�
𝑙
𝛿 = �
𝑁�𝑁
𝐸𝐴 𝑑𝑠 + �𝑥
𝑄�𝑄
𝐺𝐴 𝑑𝑠 + �
𝑀�𝑀
𝐸𝐼 𝑑𝑠
�
𝑙
�
𝑙
�
𝑙
= �
𝑁𝑎𝑁𝑏
𝐸𝐴 𝑑𝑠
�
𝑙
+ � 𝑓𝑠
𝑉𝑎𝑉𝑏
𝐺𝐴 𝑑𝑠 + �
𝑀𝑎𝑀𝑏
𝐸𝐼 𝑑𝑠
�
𝑙
�
𝑙
𝛿 = �
𝑀𝑎𝑀𝑏
𝐸𝐼 𝑑𝑠
�
𝑙
O princípio dos trabalhos virtuais é muito importante na análise de estruturas e 
envolvem muitos pontos, por isso, se faz necessário que você busque por mais 
e entenda a fundo este conteúdo. Leia o capítulo 1 do livro Curso de Análise Es-
trutural volume 2 de Sussekind (1980), disponível no link: https://shre.ink/Tr6k. 
Acesso em: 20 abr. 2023.
Como complemento, estudo o material disponível no link: https://shre.ink/Tr6g. 
Acesso em: 20 abr. 2023.
Além disso, assista a videoaula a respeito do conteúdo no link: https://shre.ink/
Tr6I. Acesso em: 20 abr. 2023.
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4.3 MÉTODO DA CARGA UNITÁRIA PARA CÁLCULO DOS DESLOCAMENTOS
 O método de carga unitária é uma abordagem usada para calcular as deslocações 
de estruturas sejam, elas estaticamente determinadas (onde os esforços internos e 
externos podem ser específicos apenas por equilíbrio) ou indeterminadas, com base no 
63
princípio do trabalho virtual. Para aplicar esse método, dois sistemas de carregamento 
são considerados:
• O primeiro sistema envolve uma estrutura sob cargas reais, mudanças de temperatura 
ou outras causas que levam a deslocamentos.
• O segundo sistema consiste em uma carga unitária que atua isoladamente na 
estrutura.
 Uma carga unitária é uma carga fictícia ou substituta introduzida para calcular o 
deslocamento (∆) da estrutura devido às forças reais. Isso pode resultar em translação, 
rotação, rotação relativa ou rotação relativa. Quando a carga unitária envelhece na 
estrutura, ela gera reações nos apoios e esforços nos membros (Nu, Mu, Vu e Tu), que, 
quando combinadas com a carga unitária e as reações, formam um sistema de forças 
em equilíbrio.
 De acordo com o princípio do trabalho virtual, ao importar uma pequena 
deformação virtual, o trabalho virtual das forças externas deve ser igual ao trabalho 
virtual das forças internas. O método de carga unitária está relacionado ao princípio do 
trabalho virtual, pois requer uma escolha completa da deformação virtual. Nesse caso, 
as deformações reais da estrutura causadas pelo primeiro sistema de carregamento 
são consideradas como as deformações virtuais a serem impostas ao segundo sistema 
(a estrutura com carga unitária). O trabalho virtual externo durante essa deformação 
virtual é realizado pela carga unitária, uma vez que é a única carga externa agitada na 
estrutura. Isso pode ser expresso como:
 Este método é usado para determinar os deslocamentos de estruturas estruturais 
a cargas variadas, usando uma abordagem baseada em equilíbrio e trabalho virtual.
 Ao aplicar o método de carga unitária, os deslocamentos resultantes podem ser 
determinados com precisão, levando em consideração as propriedades elásticas do 
material e as características geométricas da estrutura. Esse método é especialmente útil 
em situações em que a solução analítica direta é complexa ou impraticável. Além disso, 
o método de carga unitária pode ser adaptado para lidar com estruturas hiperestáticas, 
proporcionando uma compreensão mais profunda dos comportamentos estruturais 
complexos.
𝑊𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 = 1 � 𝛿x
Tendo em vista o que foi trabalho no tópico, reflita sobre como o método de carga unitária 
pode ser aplicado de forma eficaz para calcular os deslocamentos em uma variedade de 
estruturas, considerando diferentes tipos de carregamento e condições de contorno? O 
método de carga unitária é uma técnica eficaz na determinação dos deslocamentos em 
uma variedade de estruturas, independentemente do tipo de carregamento e das condi-
ções de contorno. Essa abordagem envolve a aplicação de uma carga unitária em cada 
local de interesse na estrutura e a subsequente análise dos deslocamentos resultantes. 
Ao considerar diferentes tipos de carregamento, como cargas pontuais, distribuídas ou 
momentos, e condições de contorno, como apoios fixos, móveis ou simplesmente apoia-
dos, o método de carga unitária permite uma avaliação abrangente dos deslocamentos 
estruturais.
VAMOS PENSAR?
64
 Portanto, a aplicação eficaz do método de carga unitária oferece uma abordagem 
versátil para analisar os deslocamentos em estruturas sob uma variedade de condições 
de carregamento e limitações de contorno, fornecendo uma base sólida para a 
avaliação e o projeto de estruturas em engenharia.
 Para melhor absorver o conteúdo, vamos fazer um exemplo aplicado que está 
exposto a seguir.
 SOLUÇÃO
 Aplicação do método da carga unitária e cálculo das reações:
 Calculando o estado de deslocamento real:
65
 Aplicando o PTV:
66
FIXANDO O CONTEÚDO
1. (COMPERVE- 2017). Os esforços internos em elementos estruturais são definidos como 
resultantes de componentes de tensões que ocorrem nas seções retas desses elementos. 
Em relação aos esforços internos e às componentes de tensões, o esforço solicitante que 
resulta da integração da distribuição da componente de tensão cisalhante ao longo da 
seção reta é:
a) Esforço cortante.
b) Momento de flexão.
c) Esforço normal.
d) Momento de torção.
e) Tensão de cisalhamento
2. (Fundação Carlos Chagas- 2016). Para a elaboração do dimensionamento de uma 
viga de uma estrutura de concreto armado foram determinados todos os carregamentos 
externos, acidentais e permanentes. A partir destes dados e das características 
geométricas da viga o projetista, utilizando os conceitos da física relativos à estática, 
calculou as reações de apoio e o diagrama de esforços internos. Os esforços internos 
determinados foram, no mínimo:
a) Flexão, tração e momento fletor.
b) Tração, cisalhamento e cortante.
c) Normal, cortante e momento fletor.
d) Normal, tração e momento fletor.
e) Normal, momento fletor e flexão.
3. (Adaptado de FUNDATEC- 2016). Esforços internos em uma estrutura caracterizam as 
ligações internas de tensões. Representam o efeito de forças e momentos entre duas 
porções de uma estrutura reticulada resultantes de um corte em uma seção transversal. 
Para responder à questão, utilize a Figura 1 a seguir. 
Sob a perspectiva dos esforços internos, assinale a alternativa que apresenta o valor do 
momento fletor no ponto C.
a) 3 tf.m.
b) 4 tf.m.67
c) 5 tf.m.
d) 6 tf.m.
e) 7 tf.m.
4. (IBADE- 2019). Para que se facilite a observação e sua determinação, os esforços 
internos estão associados às deformações que provocam e se classificam de acordo 
com elas. Esforços internos representam o efeito de forças e momentos entre duas 
porções de uma estrutura reticulada, que são resultantes de um corte em uma seção 
transversal. Quando temos uma força interna que tende a promover uma rotação 
relativa entre duas seções infinitamente próximas, em torno de um eixo que lhes é 
perpendicular, passando pelo seu centro de gravidade, definimos como:
a) Esforço normal.
b) Esforço cortante.
c) Momento torsor.
d) Momento fletor.
e) Esforço anormal.
5. É importante entender os diferentes tipos de suportes e quais reações eles produzem 
em seu modelo de análise. Entre os tipos de suportes podemos citar o suporte fixo, 
suporte de rolo e o engastado. Calcule as reações da viga a seguir:
a) Rx = -16,67 kN; Ry = 12,75 kN; RM = 26,21 kN;
b) Rx = -4,67 kN; Ry = 3,75 kN; RM = 46,21 kN;
c) Rx = -4,67 kN; Ry = 3,75 kN; RM = 46,21 kN;
d) e) Rx = 8,67 kN; Ry = -6,75 kN; RM = -26,21 kN;
e) Rx = -8,67 kN; Ry = 6,75 kN; RM = 26,21 kN;
6. (UECE- 1018). Atribuir as vinculações de vigas em um projeto é de suma importância, 
visto que têm influência direta nos esforços, deslocamentos e na própria estabilidade 
global da edificação. Neste sentido, uma viga engastada é carregada conforme a figura 
apresentada a seguir.
68
Considerando-se o sistema convencionado para os sentidos dos esforços internos, é 
correto afirmar que os valores do esforço cortante e do momento fletor no ponto "A" da 
viga são, respectivamente: 
a) -3,0 kN e -2,25 kN.m.
b) 2,25 kN e 3,0 kN.m.
c) -2,25 kN e -3,0 kN.m.
d) 3,0 kN e 2,25 kN.m.
e) 6,0 kN e 4,25 kN.m.
7. O princípio dos trabalhos virtuais (PTV) permite ao engenheiro calcular uma única 
componente de deflexão a cada aplicação do método. Sobre estruturas, analise as 
afirmativas abaixo e assinale a alternativa correta.
I. Esforço solicitante – Esforços internos que ocorrem nos elementos estruturais 
decorrentes do carregamento externo.
II. O Princípio dos Trabalhos Virtuais estabelece uma relação entre os trabalhos virtuais 
das forças aplicadas e as deformações associadas a um sistema de equilíbrio.
III. O princípio dos trabalhos virtuais afirma que, em um sistema mecânico de equilíbrio, 
o trabalho realizado pelas forças virtuais externas é igual ao trabalho das forças 
internas devido às deformações impostas ao sistema.
a) I e II estão corretas
b) I e III estão corretas
c) I, II e III estão corretas
d) Somente I está correta
e) Somente III está correta
8. (Fundação Carlos Chagas- 2012). O uso de treliças em edificações, com as cargas 
aplicadas nos nós ideais, é um sistema construtivo composto de barras idealizado para 
resistir aos esforços solicitantes de:
a) Tração e compressão.
b) Tração e flexão.
c) Compressão e flexão.
d) Cisalhamento e torção.
e) Torção e flexão.
69
DIAGRAMAS DE 
ESFORÇOS INTERNOS 
EM ESTRUTURAS 
ISOSTÁTICAS
70
 De acordo com Edmungo, Guimarães e Rojas (2018 p. 77) “as vigas são elementos 
estruturais constituídos de uma barra horizontal, na qual a dimensão longitudinal 
predomina sobre as demais dimensões.”
 As vigas são dimensionadas para suportar cargas aplicadas perpendicularmente 
ao seu eixo longitudinal, o que resulta em tensões de cisalhamento e momentos 
fletores induzidos por esforços de flexão. Em algumas situações, os efeitos causados 
por exercícios axiais, ou esforços normais, podem ser insignificantes em comparação 
com os efeitos resultantes da força cortante e do momento fletor, tornando possível 
desprezá-los em certos casos (EDMUNGO, GUIMARÃES, ROJAS, 2018). 
 A maneira como os esforços internos atuam em uma viga é determinada pelas 
condições de contorno do projeto da viga. Além disso, a distribuição dos esforços 
internos depende da localização e natureza dos apoios, dos espaços entre esses apoios, 
da presença de extensões salientes na viga, e das características da carga aplicada à 
viga (KASSIMALI, 2016).
 Na Figura 39, podemos ver os principais tipos de vigas.
5.1 VIGAS SIMPLES
Figura 37: Exemplo aplicado
Fonte: Edmungo, Guimarães e Rojas (2018).
Figura 39: Principais configurações de vigas
Fonte: Edmungo, Guimarães e Rojas (2018).
71
 Os esforços internos solicitados, também conhecidos simplesmente como 
esforços solicitadores, referem-se aos esforços que surgem na seção transversal de 
uma viga. Eles são causados pelas cargas aplicadas, pelo espaçamento entre os apoios 
e pela inércia, com o objetivo de limitar as deformações. Para se obter os valores dos 
esforços internos em vigas, é necessário aplicar as equações de equilíbrio da estática, 
especialmente em vigas isostáticas, que são aquelas que possuem um número de 
respostas de apoio igual ao número de equações disponíveis para a análise (KASSIMALI, 
2016).
 Considerando a viga apresentada na Figura 40, na qual é biapoiada na posição 
indeformada e a seção s está perpendicular ao eixo da viga.
 Quando uma viga está sob carga, ela sofre deformação. Embora os esforços 
externos (cargas e reações de apoio) atuem apenas em alguns trechos da viga, todas 
as suas inúmeras sofrerão deformações. Devido a essas deformações ao longo da viga, 
os esforços internos são responsáveis por eles, sendo chamados de esforços solicitados, 
e são categorizados em duas formas de força e duas formas de momento, executados 
em todos os centros de gravidade das questões transversais da viga (vide Figura 41).
Figura 40: Viga simples biapoiada
Fonte: Edmungo, Guimarães e Rojas (2018).
Com base no cálculo dos esforços solicitados, pode-se produzir os diagramas de esforços 
solicitados ou diagramas de linhas de estado. Esses diagramas representam graficamen-
te a variação dos esforços solicitados ao longo do eixo de uma estrutura sujeita à influên-
cia de cargas externas, pontos de apoio e vários.
FIQUE ATENTO
72
Figura 41: Viga biapoiada na posição deformada com a seção s perpendicular ao eixo da viga
Fonte: Edmungo, Guimarães e Rojas (2018).
Figura 42: Aplicado o método da seção na viga
Fonte: Kassimali (2016).
 Para conhecermos os esforços internos na seção transversal da viga em qualquer 
ponto, corta-se a seção de forma imaginária e divide a viga em duas partes como na 
Figura 42.
 Na Figura 42 podemos observar o diagrama de corpo livre e a seção cc onde foi 
feito o corte e posteriormente definido o novo diagrama de corpo livre de cada seção.
 O diagrama de corpo livre da seção CB da viga ilustra as mesmas forças internas 
Q, S e M, mas em disposições opostas, exercidas na parte CB em C pela porção removida 
AC, conforme a terceira lei de Newton. As magnitudes e sentidos corretos das forças 
internas podem ser determinadas aplicando-se simplesmente as três equações de 
equilíbrio, ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0, em uma das duas cláusulas (AC ou CB) da viga.
73
 O esforço normal interno Q em qualquer seção de uma viga é, em magnitude, 
igual à soma algébrica dos componentes paralelos ao eixo da viga de todas as cargas 
externas e reações de apoio supervisionadas em ambos os lados da seção considerada, 
mas em direção oposta (MCCORMAC, 2009).
 De maneira semelhante, o esforço cortante S em qualquer seção de uma viga é, 
em magnitude, igual à soma algébrica dos componentes perpendiculares ao eixo da 
viga de todas as cargas externas e reações de apoio supervisionadas em ambos os 
lados da seção considerada, mas em direção oposta (MCCORMAC, 2009).
 Da mesma forma, o momento fletor M em qualquer seção da viga é, em 
magnitude, igual à soma algébrica dos momentos sobre o centro de gravidade da 
seção transversal da viga na seção considerada de todas as cargas externas e reações 
de apoio apresentadas em ambos os lados da seção (MCCORMAC, 2009).
 Kassimali (2016) pág.145 e146, apresenta um passo a passo para determinar os 
esforços internos em um local especifico em uma viga da seguinte forma: 
 1) Calcule as reações do apoio,aplicando as equações de equilíbrio e a condição 
(se existir) para o corpo livre da viga completa. (Nas vigas em balanço, essa etapa pode 
ser descartada pela seleção da porção da viga livre ou externamente não apoiada 
para análise).
 2) Passe uma seção perpendicular ao eixo do centro de gravidade da viga no 
ponto onde são desejados os esforços internos, cortando assim a viga em duas porções.
 3) Embora nenhuma das duas porções da viga possa ser usada para calcular 
os esforços internos, devemos selecionar a porção que exigirá a mínima quantidade 
de esforço computacional, tal como a porção que não tem quaisquer reações agindo 
sobre ela ou que tem o menor número de cargas e reações externas aplicadas nela.
 4) Determine o esforço normal na seção pela soma algébrica das componentes 
na direção paralela ao eixo da viga de todas as cargas externas e reações de apoio 
que atuam sobre a porção selecionada. De acordo com a convenção de sinais adotada 
nos parágrafos anteriores, se a parte da viga à esquerda da seção está sendo usada 
para calcular o esforço normal, então as forças externas que agem para a esquerda 
são consideradas positivas, enquanto as forças externas agindo para a direita são 
consideradas negativas. Se a parte direita está sendo utilizada para análise, então as 
forças externas que atuam para a direita são consideradas positivas e vice-versa.
 5) Determine o esforço cortante na seção somando algebricamente as 
componentes na direção perpendicular ao eixo da viga de todas as cargas e reações 
externas que atuam sobre a porção selecionada. Se a porção da esquerda da viga 
está sendo utilizada para análise, então as forças externas que atuam para cima são 
considera- das positivas, ao passo que as forças externas que atuam para baixo são 
consideradas negativas. Se a parte direita foi selecionada para análise, então as forças 
externas descendentes são consideradas positivas e vice-versa.
 6) Determine o momento fletor na seção somando algebricamente os momentos 
sobre a seção de todas as forças externas mais os momentos de todos os momentos 
externos agindo sobre a parte selecionada. Se a porção esquerda está sendo utilizada 
para análise, então os momentos no sentido horário são considerados positivos e os 
momentos anti-horários são considerados negativos (veja a Figura 5.2(d)). Se a parte 
direita foi selecio- nada para análise, então os momentos anti-horários são considerados 
positivos e vice-versa.
74
 7) Para verificar os cálculos, os valores de alguns ou de todos os esforços internos 
podem ser calculados usando a porção da viga não utilizada nos passos 4 a 6. Se a 
análise foi realizada corretamente, então os resultados com base em ambas as partes, 
a esquerda e a direita, devem ser idênticos.
 Para determinar os diagramas de esforço interno (cortante e momento fletor para 
uma viga simples, vamos resolver o exemplo a seguir para melhor absorver o conteúdo.
 Vamos utilizar um exemplo baseado no Kassimali (2016):
 Determina-se as reações através das equações de equilíbrio da estática, da 
seguinte forma:
 Com isso, vamos obter a seguinte configuração para a viga:
 Diagrama de esforço cortante: para determinar a equação para o cortante no 
segmento AB da viga, passamos uma seção aa a uma distância x de apoio A, como 
mostrado na Figura acima. Considerando-se o corpo livre para a esquerda desta seção, 
obtemos:
S = 203,89 kN para 0 < x < 3 m
75
 Como essa equação indica, o esforço cortante é constante e igual a 203,89 kN a 
uma distância infinitesimal para a direita do ponto A para uma distância infinitesimal à 
esquerda do ponto B. No ponto A, o cortante aumenta abruptamente de 0 para 203,89 
kN, assim uma linha vertical é desenhada de 0 a 203,89 no diagrama do esforço em A 
para indicar essa mudança. Esta é seguida por uma linha horizontal de A para B, para 
indicar que o cortante se mantém constante nesse segmento. Em seguida, usando a 
seção bb, determinamos a equação para o cortante no segmento BC como
 A mudança brusca no cortante de 203,89 kN a uma distância infinitesimal para a 
esquerda de B para –61,11 kN a uma distância infinitesimal para a direita de B é mostrada 
no diagrama do esforço cortante por uma linha vertical de +203,89 para –61,11. Uma 
linha horizontal a –61,11 é então traçada de B para C, para indicar que o cortante se 
mantém constante nesse valor por meio desse segmento.
 Para determinar as equações para o cortante na metade direita da viga é 
conveniente usar outra coordenada, x1, dirigida para a esquerda da extremidade E da 
viga. As equações para cortante nos segmentos ED e DC são obtidas considerando os 
corpos livres à direita das seções dd e cc, respectivamente. Assim, 
 Essas equações indicam que o cortante aumenta linearmente de zero em E para 
+90 kN a uma distância infinitesimal para a direita de D; então ele cai abruptamente 
para –151,11 kN a uma distância infinitesimal para a esquerda de D; e de lá ele aumenta 
linearmente para –61,11 kN em C. Essa informação é representada no diagrama do 
esforço cortante. 
 Diagrama de momento fletor: usando as mesmas seções e coordenadas utilizadas 
anteriormente para o cálculo do cortante, determinamos as seguintes equações para o 
momento fletor nos quatro segmentos da viga. Para o segmento AB
 Usando as mesmas seções e coordenadas utilizadas anteriormente para o cálculo 
do cortante, deter- minamos as seguintes equações para o momento fletor nos quatro 
segmentos da viga. 
 Para o segmento AB:
 Para o segmento ED:
 Para o segmento DC: 
 Para o segmento BC:
S = 203,89 – 265 = –61,11 kN para 3 m < x ≤ 6 m
S = 30x1 para 0 ≤ x1< 3 m
S = 30x1 –241,11 para 3 m < x1≤ 6 m
M = 203,89x para 0 ≤ x ≤ 3 m
M = 203,89x – 265(x – 3) = –61,11x + 795 para 3 m ≤ x < 6 m
𝑀 = −30𝑥1
𝑥1
2 = −15𝑥1
2 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑥1 ≤ 3 𝑚
76
𝑀 = −15𝑥12 + 241,11 𝑥1 − 3 = −15𝑥12 + 241,11𝑥1 − 723,33 𝑝𝑎𝑟𝑎 3 𝑚 ≤ 𝑥1 ≤ 6 𝑚
 As duas primeiras equações, para a metade esquerda da viga, indicam que o 
momento fletor aumenta linearmente de 0 em A para 611,67 kN ∙ m em B; ele diminui então 
linearmente para 428,34 kN ∙ m em C. As duas últimas equações para a metade direita 
da viga são quadráticas em x1. Os valores de M calculados a partir dessas equações 
são representados no diagrama do momento fletor. 
 Pode ser visto que M diminui de 0 em E para –135 kN ∙ m em D, e então, aumenta 
para +183,33 kN ∙ m a uma distância infinitesimal para a direita de C. Note que em C, 
o momento fletor cai abruptamente por uma quantia de 428,34 – 183,33 = 245 kN ∙ m, 
que é igual à magnitude do momento do momento externo anti-horário agindo nesse 
ponto.
 Um ponto em que o momento fletor é igual a zero é denominado de ponto de 
inflexão. Para determinar a localização do ponto de inflexão F, definimos M = 0 na 
equação para o momento fletor no segmento DC para obtermos:
 onde x1 = 3,99 m; isto é, o ponto F está localizado a uma distância de 3,99 m da 
extremidade E ou 12 – 3,99 = 8,01 m do apoio A da viga.
 Segue os gráficos montados:
𝑀 = −15𝑥12 + 241,11𝑥1 − 723,33 = 0
 Vigas Gerber, frequentemente empregado na construção de pontes, consiste em 
estruturas compostas por trechos de vigas resultados e instáveis, agrupados de forma 
isostática, o que possibilita a construção de vãos consideráveis (ADORNA, 2017).
5.2 VIGAS GERBER
77
 De acordo com Soriano (2010), a análise das vigas Gerber pode ser realizada de 
duas formas:
• Decomposição em vigas simples;
• Imposição de equação de condição: Mf nas rótulas = 0, isto é, momento fletor nas 
rótulas igual a zero.
 O primeiro modo, considerado o mais prático por Soriano (2010), funciona da 
seguinte maneira:
• Decompõe a viga Gerber em vigas isostáticas;
• Construir o diagrama de corpo livre da estrutura decomposta, onde deve-se ser 
feito em ordem decrescente estática: primeiro as vigas apoiadas, depois as que dão 
apoio;
• Determinar as reações de apoios utilizando as equações de equilíbrio obedecendo a 
ordem de construção dos diagramas de corpo livre.Já o segundo modo, isto é, a imposição da equação de condição, segue da 
seguinte forma:
• Construir o diagrama de corpo livre da estrutura completa;
• Determinar as reações de apoio utilizando as equações de equilíbrio somada a 
equação de condição (Mf nas rótulas = 0).
 Vamos acompanhar os exemplos a seguir para melhor entender a divisão em 
vigas simples das vigas Gerber.
 Exemplo aplicado 01:
 Segundo Soriano (2010), o termo "vigas Gerber" refere-se ao engenheiro alemão 
Heinrich Gerber (1822 - 1912). Essas vigas são compostas por uma combinação de vigas 
reforçadas umas sobre as outras. As vigas sem estabilidade próprias são suportadas por 
vigas que possuem estabilidade, transferindo assim sua carga para elas. A integração 
dessas vigas resulta em um conjunto estável. As vigas Gerber podem consistir em vigas 
biapoiadas, vigas biapoiadas com balanços ou vigas engastadas e livres.
Figura 43: Exemplo de viga Gerber
Fonte: Adaptado de Adorna (2017).
78
 Decomposição em vigas simples
 Vamos acompanhar o exemplo a seguir para melhor entender a análise completa 
das vigas Gerber.
 Exemplo aplicado
 Exemplo aplicado 02:
 Decomposição em vigas simples
 Exemplo aplicado 03:
 Decomposição em vigas simples
79
 1 – Decomposição em vigas simples
 2 – Construção do Diagrama de Corpo Livre (DCL) após decomposição
 3 – Utilização das equações de equilíbrio
80
 4 – Diagrama de corpo livre após o cálculo das reações
81
 5 – Diagrama de Esforço Cortante (DEC)
 6 – Diagrama de Momento Fletor (DMF)
82
 Uma treliça é uma estrutura composta por um conjunto de elementos organizados 
em um ou mais triângulos. A estabilidade dessa estrutura é garantida pela suposição 
de que os elementos estejam conectados por pinos lisos, nos quais o triângulo é a única 
forma geométrica estável (MCCORMAC, 2009).
 Para Edmungo, Guimarães e Rojas (2018), uma treliça é uma estrutura composta 
por elementos finos conectados entre si nas extremidades. Esses elementos, muitas 
vezes feitos de madeira ou barras de metal, são unidos por meio de placas de reforço 
onde são parafusados ou soldados. Também podem ser fixados com pinos ou grandes 
parafusos que perfuram cada elemento.
 É conhecido que o triângulo é a forma geométrica mais estável. Consequentemente, 
a treliça é um sistema estrutural composto por uma série de triângulos que resultam 
em uma estrutura robusta de carga.
5.3 TRELIÇAS PLANAS
Figura 44: Representação de nós e aplicação de forças em uma treliça
Fonte: Edmungo, Guimarães e Rojas (2018)
Figura 45: Treliça plana
Fonte: Edmungo, Guimarães e Rojas (2018)
Já estudamos sobre a estaticidade das estruturas e como elas são classificadas. A res-
peito das treliças, como funcionaria a determinação da estaticidade desse tipo de estru-
VAMOS PENSAR?
83
 As treliças podem ser classificadas como estruturas hiperestáticas, isostáticas ou 
hipostáticas, dependendo do número de reações desconhecidas e das equações de 
equilíbrio disponíveis para sua análise. A análise da estaticidade das treliças envolve 
a aplicação dos princípios fundamentais da estática, como a equação de equilíbrio 
das forças e a equação de equilíbrio dos momentos, para determinar o número de 
equações disponíveis e as reações desconhecidas na estrutura.
 Em geral, a estaticidade das treliças é determinada considerando a condição de 
equilíbrio global da estrutura e avaliando o número de equações de equilíbrio disponíveis 
em relação ao número de reações desconhecidas. A presença de articulações nos 
nós da treliça afeta significativamente a determinação da estaticidade, visto que as 
articulações permitem rotações e deslocamentos nos nós, introduzindo novas incógnitas 
no sistema de equações de equilíbrio.
 Portanto, embora a determinação da estaticidade das treliças possa seguir uma 
abordagem semelhante à das vigas e pórticos, a presença de articulações nos nós 
e a configuração geométrica específica das treliças exigem considerações adicionais 
durante a análise estrutural.
Parte superior do formulário
 5.3.1 Classificação de treliças quanto à formação.
 Treliças simples
 Treliças simples são aquelas originadas de um triângulo inicial composto por três 
barras e três nós, as quais não permitem qualquer deformação. Para cada novo nó 
nessa configuração, são adicionadas duas barras adicionais. Uma treliça triangular 
composta por três elementos e três nós pode ser considerada rígida, não sofrendo 
grandes deformações sob a ação de cargas leves. É possível adicionar mais duas barras 
não colineares para obter um novo nó na estrutura (EDMUNGO; GUIMARÃES; ROJAS, 2018).
 Treliças compostas
 Uma treliça composta consiste em duas treliças simples interligadas por três 
barras que não são simultaneamente apresentadas ou paralelas, ou por um nó e uma 
barra, desde que esta última não concorra no nó indicado. A resolução de uma treliça 
composta envolve considerar uma estrutura como duas treliças simples distintas. Assim, 
Figura 46: Treliça simples
Fonte: Gomes (2016) apud Edmungo, Guimarães e Rojas (2018).
tura? Seria da mesma forma que nas vigas e pórticos ou há alguma maneira diferente? 
Reflita analisando a estrutura de uma treliça seguindo o mesmo princípio já estudado, se 
necessário, pesquise em fontes confiáveis, como os livros de análise estrutural disponíveis 
na biblioteca virtual.
84
os cálculos dos esforços nos elementos de ligação são selecionados para permitir o 
isolamento das treliças para fins de análise estática (ADORNA, 2017).
 Treliças complexas
 Segundo Kalil e Azambuja (2013), uma treliça complexa é categorizada por 
meio da análise de eliminação, ou seja, se não se enquadra nas categorias de treliça 
simples ou composta, é considerada complexa. No entanto, não se pode determinar 
imediatamente se ela é isostática apenas aplicando a análise de b + r = 2n, que é 
uma condição necessária, mas não suficiente, para garantir a isostaticidade. Uma 
treliça complexa pode ser encontrada por vários padrões de elementos triangulares, 
quadriláteros e até mesmo poligonais. Além disso, ela pode apresentar barras que se 
cruzam sem estarem vinculadas umas às outras.
 5.3.2 Hipóteses para cálculo de treliças
 De acordo com Mccormac (2009), para simplificar a análise de treliças, são 
consideradas as seguintes hipóteses:
 1. Os elementos das treliças são conectados por pinos lisos, embora, na prática, o 
uso de pinos é limitado e conexões com um grande número de parafusos ou soldadas 
são mais comuns.
 2. Os elementos das treliças são considerados retilíneos, evitando a introdução de 
momentos florais causados por forças axiais.
 3. O deslocamento da treliça é considerado pequeno, uma vez que as 
deformações resultantes das cargas aplicadas não provocam mudanças significativas 
na configuração global da treliça. Treliças com extensões longas e flexíveis podem exigir 
Figura 47: Treliça composta
Fonte: Tudo engenharia (2017) apud Edmungo, Guimarães e Rojas (2018).
Figura 48: Treliça complexa
Fonte: Adaptada de Kalil e Azambuja (2013)
85
Figura 49: Nomenclatura de treliças
Fonte: Mccormac (2009)
atenção especial.
 4. As cargas são assumidas como aplicadas exclusivamente em nós, garantindo 
que as forças e respostas se concentrem nos pontos de conexão da treliça.
 Para determinar os esforços axiais das barras de treliças, pode-se utilizar de 
diversos métodos, sendo eles: Método do equilíbrio dos nós, método de Ritter ou das 
seções e método de Cremona.
 5.3.3 Notação para treliças
 Na Figura 49, as partes de uma treliça são identificadas da seguinte forma:
 Banzos: são os componentes que compõem o contorno da treliça, representando 
os elementos U1U2 e L4L5.
 Montantes: são as peças da treliça posicionadas na direção vertical, exemplificadas 
pelos elementos U1L1 e U3L3.
 Diagonais: recebem essa denominação de acordo com sua orientação na treliça, 
como as barras U1L2 e L4U5.
 Barras de extremidade: abrangem os elementos localizados nas extremidades 
das treliças, como os componentes L0U1 e U5L6.
 Barrasinteriores ou da malha: são os elementos verticais e diagonais da treliça. 
A maioria dos engenheiros considera que as barras da malha englobam também as 
barras de extremidade.
Para entender melhor como se realiza o cálculo das treliças planas pelo método 
do equilíbrio dos nós, acesso o tópico de treliças na unidade 1 do livro Teoria das 
Estruturas disponível em: https://tinyurl.com/3xdejmb4. Acesso em: 20 abr 2023.
Para aprimorar ainda mais o conhecimento nesse método, assista a videoaula 
disponível em: https://tinyurl.com/45ax5ytc. Acesso em: 20 abr 2023.
BUSQUE POR MAIS
86
Para entender melhor como se realiza o cálculo das treliças planas pelo método 
de Ritter ou das seções acesso o tópico de treliças na unidade 1 do livro Teoria 
das Estruturas disponível em: https://tinyurl.com/4j4bvnv4. Acesso em 20 jan. 
2023. 
Para aprimorar ainda mais o conhecimento nesse método, assista a videoaula 
disponível em: https://tinyurl.com/5n92bzpf. Acesso em 20 jan. 2023. 
BUSQUE POR MAIS
 Os Pórticos (vide Figura 50) são estruturas formadas por elementos (ou barras) 
cujos eixos, com orientações arbitrárias, pertencem todos a um único plano (plano da 
estrutura). As forças atuantes sobre os mesmos pertencem também a este plano. Os 
nós que interconectam seus elementos podem ser rígidos ou articulados (KASSIMALI, 
2016).
5.4 PÓRTICOS
Figura 50: Pórtico plano
Fonte: Ferreira (2018)
Figura 51: Deslocamento em pórticos planos
Fonte: Ferreira (2018)
87
 Os pórticos podem ser classificados em simples e compostos, no Quadro 3 
podemos observar seus tipos.
Tipo de pórtico Aplicação
Pórtico simples: Engastado 
e Livre
Pórtico simples: 
Tri-articulado
88
Pórtico simples: biapoiado
Pórtico simples: biapoiado 
com articulação e tirante/
escora.
Pórticos compostos
Quadro 3: Classificação dos pórticos
Fonte: Adaptado das notas de aula de Ferreira (2018)
89
 Eixos globais e locais
 Eixos Globais: para o cálculo das reações de apoio em estruturas com elementos 
de orientações diversas é necessário definir um sistema de referência global (SORIANO, 
2010).
 Eixos Locais: para o cálculo dos esforços internos é necessário definir um sistema 
de referência local para cada elemento (SORIANO, 2010).
• Eixo x local coincidir com o eixo longitudinal do elemento
• Eixo z local coincidir com o z global
• Sentido do eixo x local dos elementos deve ser tal que a parte inferior do elemento 
esteja voltada para o interior do pórtico.
 Esforços nos pórticos
 A determinação dos esforços seccionais em pórticos planos é realizada pela 
aplicação das três equações de equilíbrio estático.
Figura 52: Eixo global
Fonte: Sussekin (1980)
Figura 53: Eixo local
Fonte: Sussekin (1980)
90
 Também pode ser aplicadas as equações para momento nulo nas articulações 
com rótulas.
 Para melhor entender o funcionamento dos pórticos, vamos resolver um exemplo 
de pórtico plano. Vale salientar que segue o mesmo princípio já utilizado em outros 
cálculos de esforços em estruturas neste material.
 Exemplo prático de pórtico plano baseado em Adorna (2017) para determinar os 
esforços seccionais atuantes.
 Inicialmente, são determinadas as reações de apoio, por meio da aplicação das 
três equações de equilíbrio estático e da aplicação de uma equação de momento nulo 
na rótula situada no ponto D. Deste modo, obtém-se:
 Em seguida, são determinados os momentos de flexão nos pontos de transição 
do pórtico, conforme segue:
91
 Por fim, com os valores obtidos, é montado o diagrama de corpo livre.
Para entender melhor como se realiza o cálculo dos pórticos planos acesse 
o tópico 5 do livro Análise Estrutural de Kassimali (2017) disponível em: https://
tinyurl.com/5923368h. Acesso em: 20 abr. 2023.
Para aprimorar ainda mais o conhecimento nesse método, assista a videoaula 
disponível em: https://tinyurl.com/45p6pde4. Acesso em: 20 abr. 2023.
BUSQUE POR MAIS
92
FIXANDO O CONTEÚDO
1. (VUNESP- 2021). A viga simplesmente apoiada da figura a seguir está submetida a 
uma carga uniformemente distribuída de 5 kN/m ao longo de seu vão e a três cargas 
concentradas, respectivamente, de 10 kN, 20 kN e 10 kN
O momento fletor máximo na viga é:
a) 80 kNm. 
b) 100 kNm.
c) 150 kNm.
d) 180 kNm.
e) 200 kNm.
2. (Adaptado de FGV- 2022). O momento fletor representa o efeito de flexão (ou 
dobramento) em uma seção transversal de uma barra. Diante disso, calcule os 
momentos fletores nos pontos B e C da viga contínua apresentada na figura acima, 
cujo momento de inércia e módulo de elasticidade são constantes ao longo de toda a 
viga, são, respectivamente:
a) –24,00 kN.m e –8,75 kN.m;
b) –19,63 kN.m e –8,75 kN.m;
c) –24,00 kN.m e –16,00 kN.m;
d) –8,75 kN.m e –19,63 kN.m;
e) –13,50 kN.m e –16,00 kN.m.
3. (Adaptado de VUNESP- 2014). Uma viga simplesmente apoiada é uma estrutura que 
fica apoiada em dois pontos, geralmente paredes, colunas ou pilares. Essa viga recebe 
cargas e as transmite para os pontos de apoio. É um elemento estrutural amplamente 
utilizado na construção civil e pode ser feita de diferentes materiais, como concreto, 
madeira, aço ou alumínio. Considere a viga simplesmente apoiada da figura, submetida 
a uma carga uniformemente distribuída ao longo do vão de 2 kN/m e a uma carga 
concentrada de 4 kN no meio do vão.
93
Para o comprimento da viga de 6 m, o momento de fletor máximo, em kN.m, é
a) 24.
b) 15
c) 12
d) 9
e) 6
4. (Adaptado de OBJETIVA- 2019). Um dos principais elementos estruturais existentes 
na construção civil é a treliça. Essa estrutura triangular começou a ser utilizada na 
construção civil no final do século XVIII e desde então vêm ocupando cada vez mais 
espaço nas edificações ao redor do mundo. Com relação às treliças, analise os itens 
abaixo:
I. As treliças isostáticas com cargas fora dos nós não são consideradas ideais e 
necessitam do Método de Ritter para solução.
II. Qualquer sistema reticulado constituído por um polígono fechado rotulado em seus 
vértices é deformável, e, portanto, hipostático. A exceção é o triângulo.
III. Com relação à estaticidade das treliças, as incógnitas do problema são em número 
(r + b), sendo r o número de reações de apoio, e b o número de barras. As equações 
de equilíbrio têm número igual a 2n, sendo n o número total de nós, incluindo os nós 
de apoio da estrutura.
IV. Sendo r + b = 2n, é uma condição apenas necessária, mas não suficiente, para que 
uma treliça seja isostática.
V. Se r + b > 2n, sugere que se trata de uma treliça hiperestática. Porém, não se pode 
afirmar isso apenas com base nessa relação, pois a associação de um trecho 
hiperestático com outro hipostático pode conduzir a uma hiperestaticidade aparente 
para o conjunto.
a) Somente o item I.
b) Somente o item II.
c) Somente os itens II, III, IV e V.
d) Somente os itens I, III e V.
e) Somente o item IV.
5. (Instituto Consulplan- 2019). Cada treliça é projetada para suportar as cargas que 
agem em seu plano e, dessa forma, pode ser considerada uma estrutura bidimensional. 
Em geral, as barras de uma treliça são esbeltas e podem suportar pouca flexão em 
94
função das cargas laterais. Portanto, todas as cargas devem ser aplicadas nos vários 
nós, e não diretamente nas próprias barras. Admite-se, também, que os pesos das barras 
da treliça sejam aplicados aos nós; metade do peso de cada barra é aplicada a cada 
um dos dois nós que fazem a ligação da barra. Na maioria das análises preliminares de 
treliças, os pesos das barras são ignorados, porque são pequenos se comparados com 
as cargas aplicadas. É possível afirmar que a análise preliminar de uma treliça admite 
que:
a) As barras são sempre lineares.
b) As tensões secundárias são ignoradas nos nós.
c) Normalmente, o peso das barras da treliça não é ignorado.
d) As barras são ligadas por pinos, exceto nas extremidades (nós).
e) As tensões secundárias nunca podem ser ignoradas nos nós.
6. (Adaptado do Enem- 2022). As treliças planas (tesouras) são os elementos mais 
utilizados como estrutura de telhados de madeira no Brasil. Dentreos modelos de treliça, 
o Howe é o mais adotado, pela montagem simples. Analise as figuras a seguir e assinale 
a alternativa que corresponde à treliça Howe.
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
7. (Adaptado de FGV- 2016). O pórtico é um estilo arquitetônico muito comum nas 
edificações modernas e pode ser aplicado tanto em áreas externas quanto internas. 
Trata-se de um recurso que remete a grandes palácios e torna a construção ainda 
mais bonita e elegante. A figura a seguir mostra um pórtico com três rótulas internas 
apoiado em bases engastadas.
95
Sabendo que há um conjugado de momentos fletores atuando na rótula superior do 
pórtico, o valor de momento fletor no engaste do pórtico, em kNm, é:
a) 10.
b) 20.
c) 30.
d) 40.
e) 50.
8. (Adaptado de FEPESE- 2022). O pórtico é um estilo de estrutura composta por uma 
ou mais colunas verticais que sustentam uma viga ou um arco horizontal. O elemento 
decorativo surgiu na Grécia antiga e é bastante utilizado nos projetos da arquitetura 
contemporânea. Dado o pórtico plano de estrutura isostática:
Assinale a alternativa que representa corretamente o diagrama de momento fletor do 
pórtico apresentado:
a) 
b) 
96
c) 
d) 
e) 
97
LINHAS DE INFLUÊNCIA 
98
 Como já foi visto, de acordo com Valle, Rovere e Pillar (2009), as cargas que 
exercem influência sobre uma estrutura são dos tipos:
• Permanentes: constantemente agem sobre a estrutura. Exemplos: peso próprio, 
revestimentos, equipamentos, dentre outras.
• Acidentais: ocasionalmente atuam sobre a estrutura. Exemplos: vento, terremoto, 
neve, materiais, água, móveis, dentre outras.
• As forças acidentais também podem ser subdivididas em fixas e móveis:
• Fixas: possuem uma posição e valor específicos, conhecidos.
• Móveis: têm um valor determinado, mas sua posição varia. Exemplos: veículos, trens, 
cargas em uma ponte rolante e etc.
 Com base nesses valores conhecidos, citados anteriormente no exemplo tomado, 
as normas de cálculo estabeleceram cargas móveis ideais (tipicamente específicas de 
cada país) chamadas de "Trem-Tipo" (VALLE; ROVERE e PILLAR, 2009).
 Para entendermos melhor o funcionamento, vamos tomar como exemplo a 
viga apresentada na Figura 56, na qual está submetida a uma carga permanente 
uniformemente distribuída.
 Para essa viga, temos que o diagrama de momentos fletores – no qual pode ser 
calculado por metodologias já apresentadas neste livro – para carga permanente é 
(Figura 55):
6.1 CARGAS MÓVEIS
Adentrando no conteúdo de cargas móveis e tomando como exemplo o projeto de um 
viaduto: Quais cargas móveis devemos considerar sobre ele? Dado que existem inúmeras 
combinações possíveis de veículos, como devemos fazer a seleção? Embora não saiba-
mos a posição exata dos veículos, conhecemos o peso de cada roda (eixo) e a distância 
entre eles. Além dos veículos, as pessoas também podem exercer pressão sobre o viadu-
to, conhecida como "carga de multidão".
VAMOS PENSAR?
Figura 54: Viga com carregamento distribuído uniforme
Fonte: Valle, Rovere e Pillar (2009)
99
 Considere uma carga móvel de 1 tonelada-força (tf) que pode atuar em qualquer 
ponto da estrutura P(z). O desafio a ser enfrentado é determinar os esforços máximos e 
mínimos gerados pela carga móvel. Por exemplo, qual seria o momento fletor máximo 
(Mmáx - positivo) e o mínimo (Mmáx - negativo) causados por P(z), que devemos 
adicionar aos momentos resultantes das cargas permanentes (vide Figura 58).
 Neste caso específico, é notável que o momento fletor será mínimo, (Mmáx - 
negativo), quando P for aplicado em C, e o momento fletor será máximo quando P for 
aplicado em E.
Figura 55: Diagrama de momentos fletores
Fonte: Valle, Rovere e Pillar (2009)
Figura 56: Aplicação da carga móvel
Fonte: Valle, Rovere e Pillar (2009)
Figura 57: Momento fletor após aplicação da carga móvel
Fonte: Valle, Rovere e Pillar (2009)
100
 Faz-se então a envoltória dos esforços:
 i) Mmáx – negativo = -1(perm.) –1 (acid.) = -2tfm ii)
 ii) Mmáx – positivo = +3,5(perm.) +1(acid) = + 4,5tfm
 Geralmente, as cargas móveis não são tão simples. A resolução de problemas 
relacionados a cargas móveis em estruturas é realizada por meio do método das 
linhas de influência, que será explicado a seguir. Inicialmente, supõe-se que o trem-tipo 
consiste apenas de uma carga concentrada unitária. Posteriormente, são realizados os 
cálculos necessários para considerar o trem-tipo real.
Linha de influência é um diagrama cujas ordenadas, 
que são plotadas como uma função da distância ao lon-
go do vão, fornecem o valor de uma força interna, uma 
reação ou um deslocamento em um ponto específico 
de uma estrutura quando uma carga unitária de 1 kip 
ou 1 kN se move pela estrutura (GILBERT; LEET; UANG, 
2014, p. 258).
 À medida que uma carga em movimento atravessa uma estrutura, as forças 
internas variam em cada ponto da estrutura. Intuitivamente, compreendemos que uma 
carga concentrada aplicada no meio de uma viga gera tensões de flexão e deflexões 
muito maiores do que a mesma carga aplicada próxima a um apoio. Por exemplo, 
imagine que você precise atravessar um pequeno riacho cheio de crocodilos, usando 
uma antiga tábua flexível e parcialmente rachada. Você ficaria mais preocupado com 
a capacidade da tábua de suportar o seu peso à medida que se aproxima do centro da 
tábua do que quando está parado perto de uma das extremidades da mesma (GILBERT; 
LEET; UANG, 2014).
 Ainda de acordo com os mesmos autores, podemos dizer que:
 A linha de influência de um efeito elástico E em uma determinada seção S é a 
representação gráfica ou analítica do valor desse efeito na seção S, provocado por uma 
carga concentrada unitária que percorre a estrutura de cima para baixo (SUSSEKIND, 
1981).
 Seja por exemplo a linha de influência do momento fletor em S para a viga a da 
Figura 60 (SUSSEKIND, 1981):
6.2 LINHAS DE INFLUÊNCIA
Figura 58: Momento fletor após aplicação da carga móvel
Fonte: Valle, Rovere e Pillar (2009)
101
 Na realidade, é necessário analisar se a carga está do lado esquerdo ou direito da 
seção:
Figura 59: Análise da carga móvel para ambos os lados
Fonte: Valle, Rovere e Pillar (2009)
As linhas de influência são muito importantes para análise de estruturas mais 
complexas, como pontes, e para aprimorar seu conhecimento e reforçar o que 
está sendo abordado, é imprescindível que você busque por mais informações. 
Sugiro que leia o tópico de cargas móveis em estruturas isostáticas que se en-
contra na unidade 3 do livro de Edmungo, Guimarães e Rojas (2018) e está dis-
ponível em: https://tinyurl.com/2bpywm9z. Além disso, busque sobre o mesmo 
conteúdo no livro de Gilbert, Leet e Uang (2014), no capítulo 8, onde o mesmo 
apresenta um passo a passo sobre o traçado de linhas de influência e está dis-
ponível em: https://tinyurl.com/5n6pk8nw.
BUSQUE POR MAIS
102
 6.3.1 Viga engastada e livre
 De acordo com Sussekind (1981), considerando a viga ilustrada na Figura 62, 
investigaremos todos os efeitos estáticos, incluindo reações de apoio e esforços simples.
 Com base na definição, consideramos uma carga unitária que percorre a 
estrutura, definida pela abscissa z. Vamos buscar as diversas linhas de influência, ou 
seja, várias funções E(z). Temos: 
 a) Reações de apoio: Va = +1 (atribuiremos o sinal positivo para a reação vertical 
que aponta para cima); MA = -z (módulo do momento, 'tracionando' as fibras superiores). 
 b) Esforços simples em S. Temos:
 Na Figura 60, podemos observar a representação gráfica das linhas de influência 
através de suas equações.
6.3 OBTENÇÃO DAS LINHAS DE INFLUÊNCIA 
PARA ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS
Figura 60: Linhas de influência para uma viga engastada e livre
Fonte: Valle, Rovere e Pillar (2009)
103
As linhas de influência não são usadas apenas na engenharia estrutural, mas também 
encontram aplicação em outras áreas, como na análise de redes de transporte, permi-
tindo prever como o tráfego e a carga fluem em sistemas rodoviários, ferroviários e até 
mesmo em redes sociais, ondepodem ser usadas para compreender como informações 
se propagam em uma rede. Elas fornecem uma maneira poderosa de visualizar como as 
influências se propagam em sistemas complexos.
FIQUE ATENTO
Assista ao vídeo sobre o cálculo de linhas de influência em estruturas que está 
disponível no link: https://tinyurl.com/45tmpt27. Além disso, veja no livro do Sus-
sekind (1981) de análise estrutural 1, sobre os outros tipos de vigas e como ocorre 
a linha de influência nelas. Disponível em: https://tinyurl.com/mp694pxp. Acesso 
em 20 jan. 2023.
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1. (Adaptado de VUNESP- 2019). Linhas de Influência (LI) descrevem a variação de um 
determinado efeito em função da posição de uma carga vertical unitária que passeia 
sobre a estrutura. Traçando a linha de influência para a viga simplesmente apoiada 
com balanço à direita, submetida ao carregamento representado pela multidão e o 
trem tipo indicados na figura, e calculando o valor do máximo momento fletor no meio 
do vão entre A e B, obtém-se:
a) 360 kNm
b) 420 kNm.
c) 480 kNm.
d) 520 kNm.
e) 600 kNm.
2. (Adaptado de FCC- 2017). As pontes podem ser divididas em três partes principais: 
infraestrutura, mesoestrutura e superestrutura. A superestrutura, composta geralmente 
de lajes e vigas principais e secundárias, é o elemento de suporte imediato do estrado, 
que constitui a parte útil da obra. Considere a viga de uma ponte sobre a qual deve 
passar a carga móvel, como ilustrado na figura abaixo.
A carga móvel é formada por três forças concentradas P = 140 kN e pela carga 
uniformemente distribuída q = 20 kN/m. Ao se utilizar linhas de influência, verifica-se 
que o momento fletor na seção C é, em kNm.
a) 2.455
b) 2.190
c) 2.480
FIXANDO O CONTEÚDO
105
d) 2.524
e) 2.536
3. (Adaptado de VUNESP- 2018). Diversas estruturas são solicitadas por cargas móveis. 
Exemplos são pontes rodoviárias e ferroviárias ou pórticos industriais que suportam 
pontes rolantes para transporte de cargas. A viga simplesmente apoiada da figura 
deve suportar uma carga uniformemente distribuída de 50 kN/m e uma carga móvel 
com duas cargas concentradas de 200 kN.
O momento fletor máximo, em kNm, é:
a) 1800
b) 3600
c) 4300
d) 4500
e) 5600
4. (Adaptado de UFPR). As linhas de influência são utilizadas para determinar as 
reações de apoio e os esforços em estruturas submetidas às cargas móveis, como, 
por exemplo, os viadutos, as pontes rodoviárias, ferroviárias ou de pedestres. Aplicando 
linhas de influência determine qual o menor valor de uma carga móvel concentrada P 
e sua posição para que o momento fletor em S seja nulo.
a) P = 80 kN aplicado em A
b) P = 60 kN aplicado em A
c) P = 30 kN aplicado em A
d) P = 20 kN aplicado em A
e) P = 40 kN aplicado em A
5. (Adaptado da FCC- 2015). Para o dimensionamento de qualquer estrutura é necessário 
conhecer os esforços máximos e mínimos que ela apresentará ao ser submetida ao 
carregamento que será destinada. Considere a viga de uma ponte submetida à carga 
móvel representada na figura.
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O momento fletor máximo no ponto C, obtido pelo método das linhas de influência é, 
em kNm,
a) 540.
b) 980.
c) 730.
d) 600.
e) 780.
6. (Livro Estruturas hiperestáticas- 2018). Para traçar a linha de influência de esforço 
cortante em uma determinada seção de uma viga, deve-se retirar a vinculação que 
transmite o esforço cortante e aplicar um deslocamento à esquerda e outro à direita da 
seção analisada (deslocamento relativo unitário). Assinale a resposta que apresenta o 
sentido correto de aplicação dos deslocamentos para traçar a linha de influência de 
esforço cortante. 
a) Aplicar um deslocamento no sentido contrário à convenção de esforço cortante 
positiva, ou seja, deslocamento para baixo, à esquerda da seção, e para cima, à direita 
da seção. 
b) Aplicar um deslocamento no sentido contrário à convenção de esforço cortante 
positiva, ou seja, deslocamento para cima, à esquerda da seção, e para baixo, à direita 
da seção.
c) Aplicar um deslocamento no mesmo sentido da convenção de esforço cortante 
positiva, ou seja, deslocamento para baixo, à esquerda da seção, e para cima, à direita 
da seção. 
d) Aplicar um deslocamento no mesmo sentido da convenção de esforço cortante 
positiva, ou seja, deslocamento para cima, à esquerda da seção, e para baixo, à direita 
da seção. 
e) Aplicar um deslocamento no mesmo sentido da convenção de esforço cortante 
positiva, ou seja, deslocamento para cima, em ambos os lados da seção.
7. (Adaptado de VUNESP- 2018). As cargas que atuam em uma estrutura podem ser 
classificadas em cargas permanentes ou cargas acidentais. As cargas permanentes 
são aquelas que atuam ao longo de toda a vida útil da estrutura, como, por exemplo, o 
seu peso próprio. As cargas acidentais, por sua vez, são aquelas que podem atuar ou 
não ao longo da vida útil da estrutura, como, por exemplo, ações de vento, sobrecargas 
(cargas de utilização) em edificações e cargas de veículos em pontes rodoviárias ou 
ferroviárias. Considere a viga simplesmente apoiada de uma ponte com vão de 20 
m, submetida à carga uniformemente distribuída de 40 kN/m e a uma carga móvel 
representada na figura.
107
O momento fletor máximo no ponto C, em kNm, é:
a) 3 200.
b) 2 720.
c) 2 960.
d) 2 400.
e) 2 680.
8. (CEBRASPE- 2023). Em uma ponte, os dispositivos, geralmente de concreto, 
dimensionados para conter o impacto de um veículo desgovernado e utilizados com 
a finalidade de impedir a saída dos veículos da pista de rolamento, são denominados:
a) passeios.
b) guarda-corpos.
c) barreiras de proteção.
d) placas de transição.
e) alas laterais.
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RESPOSTAS DO FIXANDO O CONTEÚDO
UNIDADE 1
UNIDADE 3
UNIDADE 5
UNIDADE 2
UNIDADE 4
UNIDADE 6
QUESTÃO 1 C
QUESTÃO 2 E
QUESTÃO 3 B
QUESTÃO 4 D
QUESTÃO 5 D
QUESTÃO 6 D
QUESTÃO 7 B
QUESTÃO 8 E
QUESTÃO 1 A
QUESTÃO 2 B
QUESTÃO 3 C
QUESTÃO 4 B
QUESTÃO 5 B
QUESTÃO 6 D
QUESTÃO 7 A
QUESTÃO 8 E
QUESTÃO 1 C
QUESTÃO 2 E
QUESTÃO 3 A
QUESTÃO 4 D
QUESTÃO 5 E
QUESTÃO 6 B
QUESTÃO 7 D
QUESTÃO 8 A
QUESTÃO 1 A
QUESTÃO 2 C
QUESTÃO 3 D
QUESTÃO 4 C
QUESTÃO 5 E
QUESTÃO 6 A
QUESTÃO 7 C
QUESTÃO 8 A
QUESTÃO 1 B
QUESTÃO 2 D
QUESTÃO 3 B
QUESTÃO 4 C
QUESTÃO 5 B
QUESTÃO 6 A
QUESTÃO 7 C
QUESTÃO 8 E
QUESTÃO 1 B
QUESTÃO 2 B
QUESTÃO 3 C
QUESTÃO 4 E
QUESTÃO 5 E
QUESTÃO 6 A
QUESTÃO 7 A
QUESTÃO 8 C
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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graduacaoead.faculdadeunica.com.br