Fundamentos_Metodologicos_do_Ensino_de_M (1)

Prévia do material em texto

<p>Fundamentos</p><p>Metodológicos</p><p>do Ensino</p><p>de Matemática</p><p>O ensino dos números naturais e do sistema de</p><p>numeração decimal</p><p>Material Teórico</p><p>Responsável pelo Conteúdo:</p><p>Profa. Dra. Edda Curi</p><p>Revisão Textual:</p><p>Profa. Dra. Patrícia Silvestre Leite Di Iório</p><p>5</p><p>• Introdução</p><p>• O ensino dos números nas últimas décadas do</p><p>século XX</p><p>• A quantidade de algarismos no número e a posição</p><p>dos algarismos como critério de comparação</p><p>Nossa proposta para a Unidade 2 é refletir sobre como foi o ensino dos números naturais e do</p><p>Sistema de Numeração Decimal quando você era aluno do Ensino Fundamental e como é proposto</p><p>seu ensino a partir de orientações curriculares atuais. Você vai realizar algumas atividades que</p><p>possibilitem um resgate de suas memórias do tempo de estudante, vai ainda ler textos e discutir no</p><p>fórum sobre o ensino atual dessas noções.</p><p>As discussões realizadas nesta Unidade estão baseadas nos estudos de Lerner e Sadovsky (1996) e</p><p>de Michael Fayol (1994), sobre o ensino dos números.</p><p>Amplie os conhecimentos sobre o assunto com as leituras recomendadas no texto.</p><p>LERNER, D. e SADOVSKY, P. O sistema de numeração: um problema didático. In: PARRA, Cecília;</p><p>SAIZ Irma; [et al] (Org.). Didática da Matemática: Reflexões Psicopedagógicas. Tradução por Juan Acuña</p><p>Llorens. Porto Alegre: Artes Médicas, 1996. p. 73-155.</p><p>· Bem vindo à Unidade 2 do Curso de Metodologia do Ensino de Matemática.</p><p>· Nesta unidade, vamos discutir as mudanças no ensino de Matemática com</p><p>relação aos NÚMEROS NATURAIS. Vamos refletir sobre concepções sobre ensino</p><p>e aprendizagem dos NÚMEROS NATURAIS e a contribuição de diferentes teorias</p><p>e pesquisas sobre o tema, fazendo um paralelo de como se ensina esse tema e</p><p>o que as teorias e as pesquisas atuais trazem de contribuições para avanços nas</p><p>aprendizagens das crianças.</p><p>· Vamos lá então?</p><p>O ensino dos números naturais e do</p><p>sistema de numeração decimal</p><p>• A escrita baseada na fala</p><p>• Sobre o Sistema de Numeração Decimal</p><p>• Algumas pesquisas recentes sobre o ensino do</p><p>Sistema de Numeração Decimal</p><p>• Estudos sobre contagens</p><p>6</p><p>Unidade: O ensino dos números naturais e do sistema de numeração decimal</p><p>Os avanços da Pedagogia e da Psicologia provocaram mudanças no foco do ensino dos</p><p>Números Naturais. As investigações sobre a construção do conceito de número foram</p><p>impulsionadas pela teoria de Piaget e também de sua colaboradora Kamii. No entanto, ao longo</p><p>da década de 1990, as investigações sobre a construção do conceito de número receberam novos</p><p>olhares e novas contribuições. Uma delas é a de Michel Fayol. Outra importante contribuição é</p><p>a das pesquisadoras argentinas Delia Lerner e Patrícia Sadovsky.</p><p>A análise dos trabalhos dos diferentes autores revela pontos comuns, mas também evidencia</p><p>que a ênfase dada por eles a um determinado aspecto do processo de construção do número é</p><p>bastante peculiar.</p><p>Nesta Unidade, apresentamos as posições de destaque que esses autores conferem ao</p><p>processo de construção do conceito de número pelas crianças.</p><p>Temos como objetivos:</p><p>• Identificar concepções sobre ensino e aprendizagem dos NÚMEROS NATURAIS.</p><p>• Refletir sobre a contribuição das diferentes teorias sobre o tema.</p><p>• Analisar as hipóteses das crianças sobre as funções dos números e seus procedimentos</p><p>de contagem.</p><p>• Analisar sequências de atividades sobre o tema.</p><p>Contextualização</p><p>7</p><p>Na primeira parte deste texto, vamos discutir o que indicam alguns autores do final do século</p><p>XX com relação ao ensino de números e também algumas indicações curriculares sobre o ensino</p><p>desse tema. Na segunda parte, discutiremos alguns estudos sobre o nosso sistema numérico e</p><p>procedimentos de contagem usados pelas crianças. Na terceira parte, apresentaremos alguns</p><p>problemas para usar números.</p><p>Na década de 1980, educadores brasileiros entraram em contato com as ideias de Piaget</p><p>sobre a construção do número. Esse autor defendia a importância de se trabalhar com</p><p>atividades pré-numéricas (classificação, seriação e sequenciação) que, no seu entender,</p><p>possibilitavam à criança construir o conceito de número. Dessa forma, nas orientações</p><p>curriculares da época, havia recomendações para que, em sala de aula, fossem desenvolvidas</p><p>atividades de seriação, classificação e correspondência termo a termo. Essas orientações</p><p>curriculares destacavam também o uso de materiais concretos nas aulas e apontavam a</p><p>importância do trabalho com os denominados Blocos Lógicos em atividades que visavam</p><p>ao desenvolvimento do raciocínio lógico.</p><p>Piaget defendia a ideia de que a interação entre as estruturas mentais, já existentes na criança</p><p>e o ambiente, por meio de uma ação, era responsável pela construção de conhecimentos. Ele</p><p>afirmava que as seis etapas do desenvolvimento da criança ocorrem em uma sequência em</p><p>que cada aquisição se apoia em conhecimentos anteriores e serve de apoio às aquisições</p><p>posteriores. Segundo o autor, é por análise e síntese que a criança constrói o novo, o que</p><p>ele denomina de assimilação. Essas informações conflitam com as já existentes e aumentam</p><p>quantitativamente provocando um desequilíbrio. Após essa etapa, ocorre realinhamentos</p><p>e compreensões, denominadas pelo autor de acomodações que possibilitam mudanças na</p><p>qualidade das aplicações, ou de novos esquemas.</p><p>Introdução</p><p>Para Pensar</p><p>Compatibilize sua escrita de memórias sobre suas aprendizagens de números com a leitura da</p><p>primeira parte do texto. Faça anotações para discutir no fórum.</p><p>O ensino dos números nas últimas décadas do século XX</p><p>8</p><p>Unidade: O ensino dos números naturais e do sistema de numeração decimal</p><p>O autor afirma que entre a assimilação e a acomodação ocorre uma espiral crescente</p><p>de negações de negação, em que assimilações provocam acomodações e acomodações</p><p>provocam assimilações.</p><p>Piaget considera o número como uma síntese de dois tipos de relações (uma de ordem e</p><p>outra hierárquica) que a criança elabora entre os objetos, por meio de abstração reflexiva.</p><p>Kamii, seguidora de Piaget, também teve muita influência para educadores brasileiros. Ela</p><p>considera que o uso de desenhos e a manipulação de objetos não facilitam a aprendizagem</p><p>de conceitos numéricos pela criança. Ela defende também que a construção do número se dá</p><p>pela abstração reflexiva. Destaca a importância do papel do professor que deve proporcionar</p><p>um ambiente de aprendizagem em que as crianças entrem em contato com números falados</p><p>e escritos e façam relações entre objetos, ao invés de focalizar apenas a quantificação. Para a</p><p>autora, a estrutura lógico-matemática do número é construída pela criança e emerge a partir de</p><p>atividades que permitam o estabelecimento de relações. Ela conclui que o conceito de número é</p><p>criado mentalmente pela criança e posiciona-se contra as cópias excessivas de listas de números,</p><p>geralmente propostas para a criança.</p><p>Pires (2012) afirma que os avanços em relação à construção do conhecimento pelas crianças,</p><p>a partir da década de 1990, permitiram um novo foco para o ensino em que o papel do</p><p>professor não é mais o de transmitir conhecimentos, mas sim de criar situações que possibilitem</p><p>às crianças colocar em ação seus conhecimentos prévios, suas hipóteses, permitindo a</p><p>construção de aprendizagens significativas sobre conceitos e procedimentos matemáticos. Em</p><p>função desse avanço, pesquisadores como Fayol (1996) e Lerner e Sadovsky (1996) discorrem</p><p>sobre o ensino dos números e apresentam suas investigações sobre conhecimentos prévios e</p><p>hipóteses das crianças a esse respeito.</p><p>Fayol (1996) defende que a aquisição da sequência verbal depende dos diferentes estímulos</p><p>do ambiente social e que é o componente linguístico, que permite a denominação de número.</p><p>Ele destaca que mesmo sem compreender as funções do número, as crianças percebem,</p><p>desde pequenas, a diversidade de situações em que o número é usado. Fayol afirma que a</p><p>utilização da notação posicional causa dificuldades para a compreensão das crianças e cita</p><p>como exemplo a passagem da enumeração e contagem para codificação</p><p>e decodificação.</p><p>Pense</p><p>Que mudanças significativas com relação ao ensino você observa a partir da década de 1990? Que</p><p>mudanças você observa em relação ao papel do professor e das crianças?</p><p>9</p><p>Duas pesquisadoras argentinas Lerner e Sadovsky (1996) fizeram uma grande pesquisa na</p><p>década de 90 sobre os números e o sistema de numeração decimal. As autoras revelam que as</p><p>crianças constroem o conceito de número com base no desenvolvimento cognitivo, mas também</p><p>na interação com o ambiente social em que convivem. Elas afirmam que as crianças, a partir de</p><p>experiências significativas constroem hipóteses em relação à escrita numérica antes mesmo de</p><p>iniciar a escolaridade básica. Entre as hipóteses destacam: a quantidade de algarismos de um</p><p>número e a posição dos algarismos como critérios de comparação e a escrita baseada na fala.</p><p>Segundo Lerner e Sadovsky (1996), um dos argumentos usados pelas crianças é que ao</p><p>comparar números com a mesma quantidade de algarismos, afirmam que a posição do algarismo</p><p>revela o maior, ou seja, 31 é maior que 13 porque o 3 vem primeiro no 31. As crianças da 1a</p><p>série que ainda não conhecem as dezenas, conseguem ver a magnitude do número, dizem que</p><p>o 31 é maior do que o 25, porque o 3 de 31 é maior que o 2 do 25, justificando que “o primeiro</p><p>é quem manda”.</p><p>Em relação a números com magnitudes diferentes, a criança diz que entre 12345 e 98,</p><p>o número 12345 é maior porque “é mais comprido” ou “tem mais números”. Assim, os</p><p>dados sugerem que as crianças reconhecem a magnitude de um número pela quantidade</p><p>de algarismos e se eles têm a mesma quantidade de algarismos, comparam o primeiro</p><p>algarismo de cada número.</p><p>Para Lerner e Sadovsky (1996), os conceitos elaborados pelas crianças a respeito dos números</p><p>são baseados na numeração falada e em seu conhecimento de escrita convencional dos “nós”.</p><p>“Para produzir os números cuja escrita convencional ainda não haviam adquirido, as crianças</p><p>misturavam os símbolos que conheciam colocando-os de maneira tal, que se correspondiam com</p><p>a ordenação dos termos na numeração falada” (LERNER e SADOVSKY, 1996, p.92). Sendo</p><p>assim, ao fazerem comparações de sua escrita, o fazem como resultado de uma correspondência</p><p>com a numeração falada, e por ser esta não posicional.</p><p>A quantidade de algarismos no número e a posição dos algarismos</p><p>como critério de comparação</p><p>A escrita baseada na fala</p><p>10</p><p>Unidade: O ensino dos números naturais e do sistema de numeração decimal</p><p>As autoras destacam que, na numeração falada, a justaposição de palavras supõe sempre</p><p>uma operação aritmética de adição ou de multiplicação, como no exemplo que dão sobre a</p><p>ideia de adição: escrevem duzentos e cinquenta e quatro como 200504, ou, no exemplo que</p><p>dão sobre a ideia de multiplicação: escrevem quatro mil como 41000.</p><p>As autoras afirmam que as crianças que realizam a escrita não-convencional o fazem</p><p>a semelhança da numeração falada, pois demonstraram em suas escritas numéricas que as</p><p>diferentes modalidades de produção coexistem para os números posicionados em diferentes</p><p>intervalos da sequência ao escreverem qualquer número convencionalmente com dois ou três</p><p>algarismos em correspondência com a forma oral. Elas concluem que mesmo aquelas crianças</p><p>que escrevem convencionalmente os números entre cem e duzentos, podem não generalizar</p><p>esta modalidade a outras centenas.</p><p>Esses estudos foram incorporados em orientações curriculares que surgiram no final da</p><p>década de 90 e nos anos 2000.</p><p>Os Parâmetros Curriculares Nacionais apoiam-se nas pesquisas de Lerner e Sadovsky (1996)</p><p>para o ensino dos números. Em suas Orientações Didáticas, o documento destaca as diferentes</p><p>funções sociais dos números: cardinal, ordinal, codificação, medida. O documento sugere que</p><p>as sequências didáticas para a construção das aprendizagens das crianças sobre os números</p><p>devem ter como questão norteadora “Para que servem os números” e a exploração das funções</p><p>sociais dos números.</p><p>O documento explicita quais são essas funções:</p><p>• Em sua função cardinal, o número natural é um indicador de quantidade, ou seja,</p><p>permite evocar mentalmente uma quantidade, mesmo que ela não esteja fisicamente</p><p>presente. Situações que permitam à criança responder quantos são os dias do mês,</p><p>quantas pessoas moram em casa, etc. são exemplos que consideram o aspecto cardinal</p><p>do número.</p><p>• O aspecto ordinal do número natural é ressaltado quando ele é um indicador de</p><p>posição, ou seja, ele permite guardar o lugar ocupado por um objeto, pessoa ou</p><p>acontecimentos. Situações que permitam discutir com a criança quem foi o quinto</p><p>colocado no campeonato de futebol da escola, ou quem senta na segunda carteira da</p><p>fila que fica em frente à mesa da professora etc. são exemplos que focalizam o aspecto</p><p>ordinal do número.</p><p>Trocando Ideias</p><p>Faça um quadro com as ideias chaves de cada autor citado e com suas aprendizagens sobre números</p><p>e guarde suas anotações para discutir no fórum</p><p>11</p><p>• Há algumas situações em que o</p><p>número não tem ligação nem com o aspecto</p><p>cardinal, nem com o aspecto ordinal, mas</p><p>permite identificar uma pessoa ou um objeto.</p><p>Nesse caso, os números naturais são usados</p><p>como código. São exemplos de situações</p><p>em que o número aparece como código: o</p><p>número de telefone, da carteira de identidade,</p><p>da senha bancária, do ônibus etc.</p><p>• Com relação ao aspecto de medida, os</p><p>números expressam medida de comprimento,</p><p>de tempo, de temperatura, etc., como nos</p><p>exemplos: situações em que os alunos</p><p>expressem o comprimento de uma régua,</p><p>ou medidas que aparecem em folhetos de</p><p>supermercado etc.</p><p>O nosso sistema numérico, denominado de Sistema de Numeração Decimal, foi criado por</p><p>hindus e divulgado pelos árabes, por isso é denominado de indo-arábico.</p><p>A organização do Sistema de Numeração Decimal é bastante óbvia para nós adultos, mas,</p><p>para as crianças, é muito complicado porque algumas de suas características e propriedades não</p><p>são visíveis na escrita do número.</p><p>As atividades numéricas</p><p>desenvolvidas nos anos iniciais</p><p>da escolaridade básica devem</p><p>dar continuidade às experiências</p><p>vividas pela criança fora da</p><p>escola. Conhecer o que as</p><p>crianças pensam a respeito do</p><p>uso dos números, é o ponto de</p><p>partida para a formulação de</p><p>uma nova didática para o ensino</p><p>de números.</p><p>Se quiser saber mais sobre o assunto leia o texto de autoria de Célia</p><p>Maria Carolino Pires:</p><p>PIRES, C. M. P. Descobertas de professoras sobre o universo numérico das</p><p>crianças: a construção de saberes por meio de pesquisas realizadas com seus</p><p>alunos. In: Anais do Encontro Nacional de Didática e Prática de Ensino (ENDIPE),</p><p>2008, Porto Alegre.</p><p>Sobre o Sistema de Numeração Decimal</p><p>12</p><p>Unidade: O ensino dos números naturais e do sistema de numeração decimal</p><p>O sistema de numeração decimal apresenta algumas características importantes:</p><p>a) possui apenas 10 algarismos e com eles é possível escrever qualquer número,</p><p>b) é posicional, ou seja, cada algarismo dentro de um número tem um valor diferente,</p><p>mesmo que sejam algarismos iguais. A cada posição à esquerda que um algarismo</p><p>ocupe, seu valor fica aumentado dez vezes, ou seja, no número 345 o algarismo</p><p>4 está na posição da ordem das dezenas e vale 40 unidades e no número 435</p><p>o algarismo 4 está na posição da ordem das centenas e vale 400 unidades, dez</p><p>vezes maior do que quando ele está na posição das dezenas,</p><p>c) é de base 10, ou seja, cada agrupamento de 10 unidades pode ser trocado por</p><p>uma unidade de ordem superior,</p><p>d) A escrita numérica tem base aditiva e multiplicativa, mesmo essas operações</p><p>não sendo visíveis na escrita numérica, ou seja, as operações não são</p><p>explicitadas numa escrita que é econômica e decorrente do processo de</p><p>desenvolvimento histórico da humanidade. Essa escrita resumida é de</p><p>difícil compreensão pelas crianças.</p><p>A decomposição de um número em suas diversas ordens e classes permite a visualização</p><p>das operações de adição e multiplicação no número, mostrando a complexidade da escrita</p><p>numérica como no exemplo:</p><p>5432= 5000 + 400</p><p>+ 30 + 2</p><p>5432 = 5 x 1000 + 4 x 100 + 3 x 10 + 2 x 1</p><p>5432 = 5 x 103 + 4 x 102 + 3 x 101 + 2 x 100</p><p>A expressão 5 x 103 + 4 x 102 + 3 x 101 + 2 x 100 é denominada escrita polinomial do</p><p>número 5432.</p><p>Como as crianças não veem as características do Sistema de Numeração Decimal, o valor</p><p>posicional de um algarismo é pouco percebido pelas crianças. Para que estas evoluam na</p><p>compreensão do nosso sistema numérico, é preciso que a escola desenvolva um trabalho de</p><p>observação de regularidades, de problematizações de registros e de reflexões sobre o Sistema</p><p>de Numeração Decimal. Estudos atuais mostram que é importante que se apresente às crianças,</p><p>desde o início da escolaridade básica, atividades em que elas tenham oportunidade de refletir e</p><p>utilizar números de diferentes ordens de grandeza, para que identifiquem em que situações são</p><p>usadas,façam sua leitura e escrita, percebam arredondamentos etc.</p><p>Atenção</p><p>As características do Sistema de Numeração Decimal não devem ser colocadas como regras</p><p>para as crianças. A reflexão sobre a leitura, a escrita numérica, a composição e decomposição</p><p>de números, além de outras atividades é que permite às crianças compreenderem compreender</p><p>nosso sistema numérico.</p><p>13</p><p>Vergnaud (1994) destaca que a noção de número não é elementar e se apoia sobre as</p><p>noções de correspondência biunívoca, de relação de equivalência e de relação de ordem. Mas,</p><p>ele afirma que não são essas noções que caracterizam verdadeiramente os números. O autor</p><p>considera que é a possibilidade de adicionar números e de dar um sentido a essa adição que dá</p><p>aos números sua característica essencial.</p><p>Segundo Lerner e Sadovsky (1996), a escrita de um número apresenta regularidades, porque</p><p>a adição e a multiplicação são utilizadas sempre da mesma maneira na composição do número,</p><p>mas também precisa de compreensão do que está “escondido”, porque as potencias de base 10</p><p>não são apresentadas na escrita numérica e são deduzidas a partir da compreensão da posição</p><p>que um algarismo ocupa no número.</p><p>Uma pesquisa realizada em 2011 por um grupo de pesquisa da Universidade Cruzeiro do</p><p>Sul, no âmbito do programa Observatório da Educação com financiamento da CAPES e sob a</p><p>coordenação de Edda Curi, envolvendo alunos de 5º ano de seis escolas públicas do estado de</p><p>São Paulo apresenta revelações interessantes sobre a compreensão das crianças em relação ao</p><p>Sistema de Numeração Decimal.</p><p>A pesquisa envolveu 385 alunos de escolas diferentes, com abordagens didáticas e</p><p>metodológicas diferentes, mas apresentou resultados muito parecidos que puderam ser</p><p>categorizados como: a incompreensão do valor posicional, a presença do zero no número, o</p><p>conhecimento até a ordem de grandeza da unidade de milhar, a influência sonora na escrita</p><p>numérica. Essas categorias são explicitadas a seguir:</p><p>• A incompreensão do valor posicional estende-se para as diferentes ordens e</p><p>classes do número, aumentando o índice de erros a partir da decomposição dos</p><p>números da ordem de dezena de milhar. Nos procedimentos de decomposição de</p><p>um número, os alunos desconsideram o valor posicional do algarismo no número.</p><p>• Nos números com zero intercalado, os alunos apresentam um procedimento</p><p>comum na decomposição numérica para suprir a ausência de quantidade, a</p><p>criança sente a necessidade de colocar o zero para ocupar a “casa vazia” do</p><p>número, como nos exemplos:</p><p>o 1908 = 1000 + 900 + 0 + 8 ou</p><p>• 108 = 100 + 00 + 8</p><p>• Nos casos de escritas numéricas com o zero intercalado, os registros revelaram</p><p>mais uma vez inconsistências na compreensão do valor posicional que o algarismo</p><p>ocupa no número, como por exemplo: 3000 + 60 + 8 = 3608.</p><p>Algumas pesquisas recentes sobre o ensino do Sistema de</p><p>Numeração Decimal</p><p>14</p><p>Unidade: O ensino dos números naturais e do sistema de numeração decimal</p><p>• No procedimento de composição de números os alunos apresentaram melhor</p><p>compreensão e domínio, ainda que muitos concebam este procedimento como</p><p>uma operação aritmética apoiando-se na propriedade aditiva do sistema de</p><p>numeração e na apresentação das multiplicações organizadas separada pelo sinal</p><p>da adição.</p><p>• Os alunos mostraram seus conhecimentos com números até a ordem das</p><p>unidades de milhar. Com números dessa ordem de grandeza, percebem a relação</p><p>entre a posição do algarismo e o valor dele no número, decompõem e compõem</p><p>números com base na escrita numérica apresentada e procuram representar a</p><p>escrita numérica baseando-se em informações extraídas da fala e do conhecimento</p><p>prévio a respeito da escrita de números de ordem menor.</p><p>• No que se refere à influência sonora na escrita numérica, em situações de</p><p>decomposição do número, o apoio na leitura do número pode levar a alguns</p><p>procedimentos desnecessários, como a representação do zero para suprir a</p><p>ausência de quantidade na classe, por exemplo: 8 001= 8000 + 00 + 01.</p><p>A pesquisa realizada permitiu algumas ponderações a respeito do tema. A compreensão das</p><p>crianças das noções de agrupamentos e de contagem de agrupamentos é gradativa e parece</p><p>desenvolver-se, primeiramente, com números da ordem das dezenas. Consideramos que essa</p><p>compreensão se amplia à medida em que se faz um trabalho com números de diferentes ordem</p><p>de grandeza, possibilitando que os alunos percebam que as características do Sistema de</p><p>Numeração Decimal podem ser generalizadas para números de qualquer ordem de grandeza.</p><p>No que se refere à resolução de problema envolvendo agrupamentos e trocas, observou-</p><p>se que o índice de erro foi superior ainda, o que parece ser decorrente de práticas de ensino</p><p>baseadas em tarefas por repetição e memorização em que a leitura e escrita numérica são</p><p>aplicadas com a intenção de sistematizar regras sintáticas do sistema, contradizendo as propostas</p><p>atuais, presentes nos documentos e matrizes curriculares.</p><p>Os dados contrastam um pensamento persistente e comum acerca do ensino do sistema de</p><p>numeração. Em geral, pensa-se que como a criança de cerca de 10 anos já sabe os números até</p><p>a unidade de milhar, a mesma será capaz de generalizar e ler um número de qualquer ordem</p><p>de grandeza, mas isso não aconteceu nessa pesquisa.</p><p>Os resultados apontam que independentemente do conhecimento consolidado nas unidades</p><p>simples, o processo de generalização é construído em espiral, com avanços e retomadas</p><p>conceituais, sendo este de inteira responsabilidade do professor. A pesquisa mostrou que os</p><p>alunos de cerca de dez anos não possuem a capacidade de generalizar as características do SND,</p><p>Trocando Ideias</p><p>Destaque entre os resultados apresentados, o que mais lhe chamou a atenção e justifique sua escolha.</p><p>15</p><p>em particular no que se refere aos agrupamentos de dez em dez e à troca das ordens e classes</p><p>no número. Consideramos que o processo para desenvolver a capacidade de generalização</p><p>se constrói em diferentes âmbitos que vão formando uma malha a partir da qual as crianças</p><p>organizam, refletem, reorganizam e ampliam seus conhecimentos a respeito do sistema numérico.</p><p>Sem compreensão do sistema numérico as crianças não fazem generalizações e utilizam o</p><p>conhecimento mecanicamente.</p><p>Vários autores discutem sobre procedimentos de contagem das crianças. Vamos conhecer</p><p>alguns deles.</p><p>Do ponto de vista cognitivo, Vergnaud (1994) afirma que, ao enunciar a sequência numérica,</p><p>a criança pode situar-se em dois níveis diferentes: o nível da recitação e o da contagem</p><p>propriamente dita. Ele descreve cada um desses níveis:</p><p>a) denomina de nível da recitação àquele em que a criança diz as palavras que sabe</p><p>que devem se suceder e, mesmo sem enganos, não significa que ela saiba contar objetos</p><p>até um número qualquer. Mas ele afirma que, frequentemente, a criança se engana nessa</p><p>recitação.</p><p>b) no nível da contagem, ele afirma que a criança acompanha a sequência numérica</p><p>ou com de gestos da mão ou de movimentos dos olhos, o que mostra que a criança</p><p>estabelece uma correspondência entre o conjunto contado e a sequência numérica oral.</p><p>Gray e Tall (1994) apresentam estratégias</p><p>de contagem das crianças e as categorizam</p><p>em seis níveis. Partido de um exemplo de uma adição como por exemplo, 4 + 5, eles</p><p>descrevem esses níveis:</p><p>a) No primeiro nível - “conta-todos”, a criança usa 3 procedimentos de contagem de</p><p>objetos físicos. No exemplo acima, conta primeiro os 4 objetos falando 1, 2, 3, 4 e depois</p><p>conta os 5 objetos falando 1, 2, 3, 4, 5 e, em seguida, conta novamente todos os objetos,</p><p>falando 1, 2, 3, ...9).</p><p>Estudos sobre contagens</p><p>Para Pensar</p><p>Você já teve oportunidade de ver crianças pequenas contando? Elas precisam de apoio em objetos,</p><p>recitam a sequência oralmente, contam mentalmente?</p><p>Leia o trecho a seguir e amplie seus conhecimentos sobre o assunto.</p><p>16</p><p>Unidade: O ensino dos números naturais e do sistema de numeração decimal</p><p>b) No segundo nível – “conta-ambos”, a criança usa dois procedimentos de contagem:</p><p>conta inicialmente os 4 objetos, falando 1, 2, 3, 4 e, faz uma contagem para os objetos</p><p>seguintes, falando 5, 6, 7, 8, 9.</p><p>c) No terceiro nível – sobrecontagem, a criança usa apenas um procedimento de</p><p>contagem: conta diretamente 5 objetos, falando 5, 6, 7, 8, 9 sem precisar contar os</p><p>quatro primeiros objetos, usando o total da contagem.</p><p>d) No quarto nível - sobrecontagem a partir do maior - a criança inicia a contagem de 5</p><p>objetos, falando 6, 7, 8, 9 sem proceder a contagem dos outros 4 objetos.</p><p>e) No quinto nível - fato derivado- o resultado deriva de outros conhecidos. Por exemplo,</p><p>5 + 5 = 10, então 4 + 5 = 9, um a menos porque 4 é “um a menos que 5”.</p><p>f) No sexto nível - fato conhecido - a criança busca um resultado já memorizado</p><p>(4 + 5 =9).</p><p>Outros autores que discutem estratégias de contagem são Chapin e Johnson (2006). Eles</p><p>consideram estratégias de modelagem em que os alunos usam objetos físicos, tais como blocos,</p><p>calculadoras, e os dedos para modelar as ações e/ou relações em um problema. Eles contam</p><p>alguns ou todos esses objetos para obter uma resposta, no geral quando começam a resolver</p><p>problemas de adição e subtração. Chapin e Johnson (2006) comentam que as crianças usam</p><p>estratégias de contagem e que para tal precisam comprender a relação entre contagem e número</p><p>de elementos em um determinado conjunto matemático (cardinalmente), bem como serem</p><p>capazes de começar a contar em qualquer número ou contar para trás. Em algumas situações,</p><p>os alunos devem também ser capazes de manter o controle de quantos números eles contaram</p><p>e, ao mesmo tempo, reconhecerem quando atingiram o número apropriado.</p><p>Eles apontam seis estratégias comuns de contagem: contar tudo, contando a partir do</p><p>primeiro, contando a partir do maior, contagem regressiva de, contagem regressiva para, e</p><p>contando a partir de um número dado. Eles consideram que as estratégias de contagem não</p><p>são técnicas mecânicas que os alunos podem simplesmente memorizar, mas que são baseadas</p><p>conceitualmente e construídas diretamente sobre as estratégias de modelagem. Passamos a</p><p>apresentar cada uma dessas estratégias segundo esses autores:</p><p>a) Contando tudo: os alunos começam a sequência de contagem com um e continuam</p><p>até que a resposta seja alcançada. Essa estratégia exige que os alunos tenham um método</p><p>de manter o controle do número de passos da contagem, a fim de saber quando parar. Às</p><p>vezes, usam os dedos para acompanhar o número de contagens.</p><p>b) Contando a partir do primeiro termo do problema (sobrecontagem). Com</p><p>essa estratégia, o estudante reconhece que não é necessário reconstruir toda a sequência</p><p>de contagem e começar a “contar” a partir do primeiro termo no problema.</p><p>17</p><p>c) Contando a partir do maior. Essa estratégia é idêntica à estratégia de contar a partir</p><p>do primeiro termo do problema, exceto que a contagem começa a partir do maior dos dois</p><p>termos. Este é uma estratégia mais sofisticada de contagem, já que na sua aplicação deixa</p><p>implícito que o estudante entende que a ordem dos termos não importa em problemas de</p><p>adição, ou seja, compreende implicitamente a propriedade comutativa da adição.</p><p>d) Contagem regressiva de. Nesta estratégia, estudantes iniciam uma sequência</p><p>de contagem para trás começando pelo maior número dado. A sequência de contagem</p><p>contém tantos números quanto o menor número dado.</p><p>e) Contagem regressiva para. Os alunos usam uma sequência de contagem para trás</p><p>até que o número menor seja atingido. Quantos números há na sequência de contagem é a</p><p>solução. Às vezes, os estudantes costumam usar seus dedos para acompanhar a contagem.</p><p>f) Contando a partir de um número dado. O aluno inicia uma estratégia a contar</p><p>para frente a partir do menor número dado até o maior número dado. O estudante</p><p>acompanha (muitas vezes usando seus dedos) quantos números há na sequência.</p><p>Chapin e Johnson (2006) comentam que em todas essas estratégias de contagem, os alunos</p><p>podem contar de um em um, ou em pequenos grupos, como de dois em dois, de cinco em cinco</p><p>etc. Afirmam que algumas estratégias são menos usadas do que outras e citam como exemplo a</p><p>contagem regressiva. Afirmam também que alguns alunos nunca usam algumas das estratégias</p><p>ou mesmo nem sequer as diferenciam. Há outros grupos de alunos que frequentemente mudam</p><p>as estratégias que usam. Eles concluem que não é necessário para os alunos que o professor</p><p>denomine as estratégias de contagem, mas é importante que o professor as reconheça a fim de</p><p>escolher atividades que deem suporte ao desenvolvimento dos alunos.</p><p>Fonte: PROCEDIMENTOS DE CRIANÇAS DO 2º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DO CAMPO</p><p>ADITIVO COM O SIGNIFICADO DE TRANSFORMAÇÃO, in Educação Matemática: grupos colaborativos, mitos e práticas. Org. Curi, E. e</p><p>Nascimento, J. C. P. Editora Terracota, 2012.</p><p>Para Pensar</p><p>Analise o protocolo a seguir, de um aluno</p><p>de escola pública de 8 anos da professora</p><p>Solange Fátima Mariano. De acordo com</p><p>o que você estudou sobre contagens,</p><p>como a estratégia usada pela criança</p><p>pode ser caracterizada?</p><p>18</p><p>Unidade: O ensino dos números naturais e do sistema de numeração decimal</p><p>Em Síntese</p><p>Nesta Unidade, você explorou:</p><p>• O ensino dos números nos dias atuais, percebendo as mudanças que ocorreram na abordagem</p><p>nos últimos anos.</p><p>• As características matemáticas do Sistema de Numeração Decimal</p><p>• Pesquisas que apontam dificuldades das crianças com relação ao Sistema de Numeração Decimal</p><p>• Alguns estudos que discutem estratégias de contagens usadas por crianças.</p><p>Se quiser saber mais sobre procedimentos de crianças de 8 anos em contagens</p><p>aditivas leia o texto completo de autoria da professora Solange Fátima</p><p>Mariano: PROCEDIMENTOS DE CRIANÇAS DO 2º ANO DO ENSINO</p><p>FUNDAMENTAL NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DO CAMPO ADITIVO</p><p>COM O SIGNIFICADO DE TRANSFORMAÇÃO, in Educação Matemática:</p><p>grupos colaborativos, mitos e práticas. Org. Curi, E. e Nascimento, J. C. P.</p><p>Editora Terracota, 2012.</p><p>19</p><p>Material Complementar</p><p>Para seu aprofundamento, leia o texto dos Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática</p><p>do 1º e 2º ciclos sobre orientações didáticas para o ensino dos números nas páginas 61 até 64.</p><p>Nesse texto, o documento apresenta algumas situações que podem ser desenvolvidas em sala</p><p>de aula com objetivo da criança se aproximar da construção do número.</p><p>Explore</p><p>Acesse o texto pelo link:</p><p>http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/livro03.pdf</p><p>http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/livro03.pdf%20</p><p>20</p><p>Unidade: O ensino dos números naturais e do sistema de numeração decimal</p><p>Referências</p><p>BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Parâmetros Curriculares</p><p>Nacionais. Matemática,1º e 2º ciclos. Brasília: MEC / SEB, 1997.</p><p>CHAPIN, S.H. e JOHNSON, A. Math matters: understanding the math you teach, grades K8, 2a</p><p>Ed. Sausalito, CA, USA: Math Solutions, 2006.</p><p>FAYOL, M. A Criança e o Número: Da contagem à resolução de problemas. Tradução por</p><p>Rosana Severino de Leoni. Porto Alegre: Artes Médicas, 1996.</p><p>______. INSTITUT Nacional de Recherche Pédagogique. Un, deux, beaucoup ... passionement:</p><p>les enfants et les nombres. Rencontre Pédagogique, 21.</p><p>Paris: INRP, 1988.</p><p>GRAY, E. M. & TALL, D. O. 1994. Duality, ambiguity and flexibility: A proceptual view of simple</p><p>arithmetic. In Journal of Research in Mathematics Education, 115- 141.</p><p>KAMI, C. A criança e o Número: Implicações Educacionais da Teoria de Piaget para</p><p>a atuação junto a escolares de 4 a 6 anos. Tradução por Regina A. de Assis. 28. ed.</p><p>Campinas: Papirus, 2001.</p><p>LERNER, D. e SADOVSKY, P. O sistema de numeração: um problema didático. In: PARRA,</p><p>Cecília; SAIZ Irma; [et al] (Org.). Didática da Matemática: Reflexões Psicopedagógicas. Tradução</p><p>por Juan Acuña Llorens. Porto Alegre: Artes Médicas, 1996. p. 73-155.</p><p>MARIANO, S. F. Procedimentos de crianças do 2º ano do ensino fundamental na resolução de</p><p>problemas do campo aditivo com o significado de transformação, in Educação Matemática:</p><p>grupos colaborativos, mitos e práticas. Org. Curi, E. e Nascimento, J. C. P. São Paulo: Editora</p><p>Terracota, 2012.</p><p>PIRES, C. M. C. Educação Matemática: conversas com professores dos anos iniciais. São Paulo.</p><p>Zapt Editora.2012.</p><p>_____. Descobertas de professoras sobre o universo numérico das crianças: a construção de</p><p>saberes por meio de pesquisas realizadas com seus alunos. In: Anais do Encontro Nacional de</p><p>Didática e Prática de Ensino (ENDIPE), 2008, Porto Alegre.</p><p>SANTOS, C. A. B.; CURI, E. Produção do grupo colaborativo em relação ao ensino do Sistema</p><p>de Numeração decimal de autoria de Santos. in Educação Matemática: grupos colaborativos,</p><p>mitos e práticas. Org. Curi, E. Nascimento, J. C. P. São Paulo: Editora Terracota, 2012.</p><p>VECE, J. P. SILVA, S. D. CURI, E. Desatando os nós do sistema de numeração decimal:</p><p>investigações sobre o processo de aprendizagem dos alunos do 5º ano do ensino fundamental a</p><p>partir de questões do Saeb/Prova Brasil in Educação Matemática e Pesquisa. São Paulo: XXXX,</p><p>vol XXX, 2013 (no prelo)</p><p>VERGNAUD, Gérard. 1994. L’enfant, la mathématique et la réalité. 5.ed. Berne: Peter Lang.</p><p>21</p><p>Anotações</p><p>www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Campus Liberdade</p><p>Rua Galvão Bueno, 868</p><p>CEP 01506-000</p><p>São Paulo SP Brasil</p><p>Tel: (55 11) 3385-3000</p><p>http://www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Blank Page</p>