LISTA 1 - Resolução

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<p>MAE0222 - Probabilidade</p><p>Primeira Lista de Exerćıcios Resolução</p><p>As questões pares serão resolvidas em classe e as questões ı́mpares são extra classe.</p><p>1. Para cada um dos experimentos abaixo, descreva o espaço amostral e dê o número de seus elementos.</p><p>a) Numa linha de produção conta-se o número de peças defeituosas num intervalo de uma hora.</p><p>b) Um fichário com dez nomes contém três nomes de mulheres. Seleciona-se ficha após ficha, até o</p><p>último nome de mulher ser selecionado, e anota-se o número de fichas selecionadas.</p><p>c) De uma população de diabéticos, três pessoas são selecionadas ao acaso com reposição e anota-se o</p><p>sexo de cada um delas.</p><p>d) Uma amostra de água é retirada de um rio e observa-se a concentração de oxigênio dissolvido na</p><p>água (mg/ml).</p><p>e) De um grupo de cinco pessoas {A, B, C, D, E}, sorteiam-se duas, uma após outra, com reposiçãoo,</p><p>e anota-se a configuração formada.</p><p>f) Como ficaria o espaço amostral do item e) se as retiradas fossem sem reposição?</p><p>Solução:</p><p>(a)</p><p>Ω = {0, 1, 2, ..., n, ...}; #(Ω) =∞.</p><p>(b)</p><p>Ω = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}; #(Ω) = 7.</p><p>(c)</p><p>Ω = {(H,H, H); (H,H, M); (H,M,H); (M,H,H); (H,M,M); (M,H,M); (M,M,H); (M, M,M)}</p><p>#(Ω) = 8.</p><p>(d)</p><p>Ω = {x% : 0 ≤ x ≤ 100}; #(Ω) =∞.</p><p>(e)</p><p>Ω = {(A, A); (A, B); (A, C); (A, D); (A, E); (B, A); (B, B); (B, C); ...; (B, E); ....; (E,A); (E,B); (E,C); ...; (E,E)}</p><p>#(Ω) = 25.</p><p>(f)</p><p>Ω = {(A, B); (A, C); (A, D); (A, E); (B, A); (B, C); ...; (B, E); ....; (E,A); (E,B); ...(E,D)}</p><p>#(Ω) = 20.</p><p>2. Defina um espaço amostral para cada um dos experimentos a seguir:</p><p>a) Lançamento sucessivos de um dado, duas vezes, anotando-se a configuração obtida.</p><p>b) Lançamento sucessivos de um dado, duas vezes, anotando-se a soma dos resultados.</p><p>c) Lançamento sucessivos de um dado anotando o número de lançamentos necessários até obter, suces-</p><p>sivamente, duas faces iguais.</p><p>1</p><p>Solução:</p><p>(a)</p><p>Ω = {(1, 1); (1, 2); (1, 3); (1, 4); (1, 5); (1, 6); (2, 1); (2, 2); ...; (2, 6); (3, 1); ....; (6, 6)}</p><p>#(Ω) = 36.</p><p>(b)</p><p>Ω = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}; #(Ω) = 11.</p><p>(c)</p><p>Ω = {2, 3, 4, ...}; #(Ω) =∞.</p><p>3. Cada peça de dominó é marcada por dois números. As peças são simétricas e o par de números não é</p><p>ordenado. Quantas peças podem ser feitas usando-se os números 1,2, . . ., 15?</p><p>Solução:</p><p>O número de peças é 15 +</p><p>(</p><p>15</p><p>2</p><p>)</p><p>= 15 + 15.14</p><p>2 = 15 + 105 = 120 onde 15 corresponde às peças de números</p><p>iguais e</p><p>(</p><p>15</p><p>2</p><p>)</p><p>corresponde às peças com números diferentes.</p><p>4. Se 10 bolas são colocadas aleatoriamente em 10 urnas, qual a probabilidade de que ao menos uma urna</p><p>permaneça vazia?</p><p>Solução:</p><p>Seja A o evento ”ao menos uma urna permanece vazia”.</p><p>O evento complementar A é de que todas as urnas estão ocupadas.</p><p>P (A) = #(A)</p><p>#(Ω) = (10)10</p><p>(10)10 = 10.9.8.7.....1</p><p>10.10.....10 = 0, 00036.</p><p>Portanto</p><p>P (A) = 1− P (A) = 1− 0, 00036 = 0, 99964</p><p>5. No lançamento de dois dados seja A o evento de que a soma das faces voltadas para cima seja ı́mpar e B o</p><p>evento de que pelo menos um resultado seja igual a 3. Descreva os eventos A∪B, A∩B e A∩B. Determine a</p><p>probabilidade desses eventos admitindo que todos os 36 pontos do espaço amostral tenham mesma probabilidade.</p><p>Solução:</p><p>O espaço amostral Ω é</p><p>Ω = {(1, 1); (1, 2); (1, 3); (1, 4); (1, 5); (1, 6); (2, 1); (2, 2); ...; (2, 6); (3, 1); ....; (6, 6)}; #(Ω) = 11.</p><p>A = {(1, 2); (2, 1); (4, 1); (3, 2); (2, 3); (1, 4); (6, 1); (5, 2); (4, 3); (3, 4); (2, 5); (1, 6); (6, 3); (5, 4); (4, 5); (3, 6); (6, 5); (5, 6)}</p><p>#(A) = 18. B = { (3,1); (3,2); (3,3); (3,4); (3,5); (3,6); (1, 3); (2,3); (4,3); (5,3); (6,3)}; #(B) = 11.</p><p>Portanto</p><p>A ∪B = A ∪ {(3, 1); (3, 3); (3, 5); (1, 3); (5, 3)}; #(A ∪B) = 23.</p><p>2</p><p>A ∩B = {(3, 2); (3, 4); (3, 6); (2, 3); (4, 3); (6, 3)}; #(A ∩B) = 6.</p><p>A∩B = {(1, 2) : (2, 1) : (4, 1) : (1, 4) : (6, 1) : (5, 2) : (2, 5) : (1, 6) : (5, 4) : (4, 5) : (6, 5) : (5, 6)}; #(A∩B) = 12.</p><p>Como P (EV ENTO) = #(EV ENTO)</p><p>#(Ω) temos</p><p>P (A ∪B) =</p><p>23</p><p>36</p><p>; P (A ∩B) =</p><p>6</p><p>36</p><p>; P (A ∩B) =</p><p>12</p><p>36</p><p>.</p><p>6. Numa comunidade de 31 pessoas, uma pessoa conta um boato a uma segunda a qual, por sua vez, o repete a</p><p>uma terceira, etc. A cada passo a pessoa que recebe o boato é escolhida aleatoriamente entre as 30 pessoas</p><p>dispońıveis. Ache a probabilidade de que o boato seja transmitido 15 vezes sem voltar à primeira pessoa que o</p><p>contou?</p><p>Ache a probabilidade de que o boato seja transmitido 15 vezes sem que seja repetido a nenhuma pessoa?</p><p>Solução:</p><p>Sejam os eventos:</p><p>A: o boato é transmitido 15 vezes sem voltar à primeira pessoa,</p><p>B: o boato é transmitido 15 vezes sem que seja repetido a nenhuma pessoa.</p><p>P (A) =</p><p>#(A)</p><p>#(Ω)</p><p>=</p><p>30.(29)14</p><p>(30)15</p><p>= (</p><p>29</p><p>30</p><p>)14.</p><p>P (B) =</p><p>#(B)</p><p>#(Ω)</p><p>=</p><p>(30)15</p><p>(30)15.</p><p>7. Se 50 homens, entre os quais A e B, estão em uma fila, qual é a probabilidade de que existam exatamente 4</p><p>homens entre A e B?</p><p>Solução: Seja E o evento de interesse</p><p>P (E) =</p><p>#(E)</p><p>#(Ω)</p><p>=</p><p>2.(48)4.44!</p><p>50!</p><p>.</p><p>Observe que a fila é ordenada. O número de maneiras de escolher 4 homens dentre os 48 (que representam o</p><p>número de homens menos A e B), é (48)4. Considere o grupo dos homens entre A e B, incluindo A e B, como</p><p>um grupo ordenado, em número de 2.(48)4 (o 2 é com respeito de que o A pode estar na frente do B ou atrás</p><p>do B). Pelo prinćıpio fundamental da contagem, temos o resultado.</p><p>8. A empresa M&B tem 15.800 empregados classificados quanto ao setor onde trabalha, idade e gênero, de acordo</p><p>com a tabela a seguir:</p><p>2*Setor 2*Gênero Idade</p><p>< 25 anos 25 a 40 anos > 40 anos</p><p>2*Administrativo Homem (H) 1100 2300 2000</p><p>Mulher (M) 900 2200 1800</p><p>2*Tà c©cnico Homem (H) 600 1400 1400</p><p>Mulher (M) 200 1100 800</p><p>Determine a probabilidade de escolhermos, ao acaso,</p><p>3</p><p>a) Um empregado com 40 anos de idade ou menos.</p><p>b) Um empregado do sexo feminino com pelo menos 25 anos.</p><p>c) Dentre os funcionários do setor técnico, um que tenha 40 anos de idade ou menos.</p><p>d) Um empregado do setor administrativo, sabendo-se que é do sexo masculino.</p><p>Solução:</p><p>Seja E o evento de interesse em cada item.</p><p>(a)</p><p>P (E) =</p><p>9800</p><p>15800</p><p>= 0, 62.</p><p>(b)</p><p>P (E) =</p><p>2200 + 1800 + 1100 + 800</p><p>15800</p><p>= 0, 37.</p><p>(c)</p><p>P (E) = P ({< 40}|T ) =</p><p>P ({< 40} ∩ T )</p><p>P (T )</p><p>=</p><p>3300</p><p>15800</p><p>5500</p><p>15800</p><p>=</p><p>3300</p><p>5500</p><p>= 0, 6.</p><p>(d)</p><p>P (E) = P (A|H) =</p><p>P (A ∩H)</p><p>P (H)</p><p>=</p><p>5400</p><p>15800</p><p>5400+3400</p><p>15800</p><p>=</p><p>5400</p><p>8800</p><p>= 0, 61.</p><p>9. Numa cidade do litoral de São Paulo, estima-se que cerca de 20% dos habitantes têm algum tipo de alergia.</p><p>Sabe-se que 50% dos alérgicos praticam alguma atividade esportiva, enquanto que entre os não alérgicos essa</p><p>porcentagem é de 40%.</p><p>Para um indiv́ıduo escolhido aleatoriamente nessa cidade, obtenha a probabilidade dele:</p><p>a) Não praticar atividade esportiva.</p><p>b) Ser alérgico, dado que não pratica atividade esportiva.</p><p>Solução:</p><p>Sejam os eventos:</p><p>A: O habitante tem alergia;</p><p>B: o habitante pratica atividade esportiva</p><p>Entendendo o enunciado em uma forma anaĺıtica temos que P (A) = 0, 2 , P (B|A) = 0, 5 e P (B|A) = 0, 4.</p><p>(a) Pela regra da probabilidade total temos</p><p>P (B) = P (B|A).P (A) + P (B|A).P (A) = 0, 5.0, 2 + 0, 4.0, 8 = 0, 1 + 0, 32 = 0, 42.</p><p>Assim P (B) = 1− P (B) = 1− 0, 42 = 0, 58.</p><p>(b)Pela Regra de Bayes temos</p><p>P (A|B) =</p><p>P (A ∩B)</p><p>P (B)</p><p>=</p><p>P (B|A).P (A)</p><p>0, 58</p><p>=</p><p>0, 5.0, 2</p><p>0, 58</p><p>= 0, 17.</p><p>4</p><p>10. Uma urna contém 5 bolas pretas, 3 vermelhas, 3 azuis e 2 amarelas. Extraem-se simultaneamente 3 bolas. Qual</p><p>é a probabilidade de que saiam duas bolas pretas e uma amarela?</p><p>Solução:</p><p>Seja E o evento de interesse. Observe qu a urna contem 13 bolas. O número de maneiras de extrairmos 3 bolas</p><p>dentre as 13 é</p><p>(</p><p>13</p><p>3</p><p>)</p><p>= 286. Pelo prinćıpio undamental da contagem, o número de maneiras de extrairmos 3 bolas</p><p>satisfazendo E é</p><p>(</p><p>5</p><p>2</p><p>)</p><p>.</p><p>(</p><p>3</p><p>0</p><p>)</p><p>.</p><p>(</p><p>3</p><p>0</p><p>)</p><p>.</p><p>(</p><p>2</p><p>1</p><p>)</p><p>= 10.1.1.2 = 20. Portanto</p><p>P (E) =</p><p>20</p><p>286</p><p>= 0, 07.</p><p>11. Uma gaveta contém 5 pares de meias verdes e 3 de meias azuis. Tiram-se 2 meias ao acaso.</p><p>Qual a probabilidade de se formar:</p><p>a) Um par verde?</p><p>b) Um par de meias da mesma cor?</p><p>c) Um par com meias de cores diferentes?</p><p>Solução:</p><p>Observe que a</p><p>gaveta contem 16 meias. O número de maneiras de tirarmos 2 meias ao acaso é</p><p>(</p><p>16</p><p>2</p><p>)</p><p>= 120.</p><p>(a)</p><p>Observe que o número da manias de tirarmos um par verde é</p><p>(</p><p>5</p><p>1</p><p>)</p><p>.</p><p>(</p><p>3</p><p>0</p><p>)</p><p>= 5. Portanto</p><p>P (Um par verde) =</p><p>5</p><p>120</p><p>= 0, 04.</p><p>(b)</p><p>O número de maneiras de tirarmos um par de meias de mesma cor é</p><p>(</p><p>5</p><p>1</p><p>)</p><p>.</p><p>(</p><p>3</p><p>0</p><p>)</p><p>+</p><p>(</p><p>5</p><p>0</p><p>)</p><p>.</p><p>(</p><p>3</p><p>1</p><p>)</p><p>= 8.</p><p>P (Um par de meias da mesma cor) =</p><p>8</p><p>120</p><p>= 0, 07.</p><p>(c)</p><p>O número de maneiras de tirarmos um par de meias com cores diferentes é</p><p>(</p><p>10</p><p>1</p><p>)</p><p>.</p><p>(</p><p>6</p><p>1</p><p>)</p><p>= 60</p><p>P (Um par com meias de cores diferentes) =</p><p>60</p><p>120</p><p>= 0, 5.</p><p>12. Uma pessoa joga um dado. Se sair 6 ganha a partida. Se sair 3, 4 ou 5 perde. Se sair 1 ou 2 tem o direito de</p><p>jogar novamente. Desta vez, se sair 4, ganha e se sair outro número perde. Qual é a probabilidade de ganhar?</p><p>Solução:</p><p>P (Ganhar) = P ({6}) + P ({4} ∩ {1, 2} =</p><p>1</p><p>6</p><p>+ P ({4}).P ({1, 2}) =</p><p>1</p><p>6</p><p>+</p><p>1</p><p>6</p><p>.</p><p>2</p><p>6</p><p>=</p><p>8</p><p>36</p><p>.</p><p>5</p><p>13. A senhora Y , quando tem dores de cabeça, escolhe ao acaso um dentre dois analgésicos. Se um deles tem</p><p>probabilidade 3/4 de aliviar a dor e o outro tem probabilidade 2/3, qual é a probabilidade de que passe a dor</p><p>de cabeça da senhora Y ?</p><p>Solução:</p><p>Sejam os eventos:</p><p>A: A senhora Y usou o analgésico A;</p><p>B: A senhora Y usou o analgésico B;</p><p>E: a dor de cabeça da senhora Y passou.</p><p>Interpretando o enunciado analiticamente temos P (E|A) = 3</p><p>4 , P (E|B) = 2</p><p>3 e P (A) = P (B) = 1</p><p>2 .</p><p>Pela regra da probabilidade total temos</p><p>P (E) = P (E|A).P (A) + P (E|B).P (B) =</p><p>3</p><p>4</p><p>.</p><p>1</p><p>2</p><p>+</p><p>2</p><p>3</p><p>.</p><p>1</p><p>2</p><p>=</p><p>3</p><p>8</p><p>+</p><p>2</p><p>6</p><p>=</p><p>9 + 8</p><p>24</p><p>=</p><p>17</p><p>24</p><p>= 0, 71.</p><p>14. Três indiv́ıduos A, B e C se alternam na disputa de um jogo de acordo com as regras seguintes:</p><p>A joga com B e o vencedor joga com C. O jogo continua até que um dos indiv́ıduos ganhe dois jogos sucessivos</p><p>e é declarado vencedor.</p><p>a) Qual o espaço amostral dos resultados posśıveis?</p><p>b) Se a cada ponto do espaço amostral com k partidas atribuimos a probabilidade 1</p><p>2k , mostre que a</p><p>probabilidade de A vencer é 5</p><p>14 e a probabilidade de C vencer é 4</p><p>14 .</p><p>Solução:</p><p>(a)</p><p>O espaço amostral Ω é</p><p>Ω = {(A, A); (A, C,C); (A, C,B, B); (A, C,B,A, A); (A, C,B,A, C,C)); (A, C,B, A, C,B,B)); ......; (A, C,B, A, C,B,A, C, B,A, ....)</p><p>(B,B); (B,C,C); (B,C,A,A); (B,C,A,B,B); (B,C,A,B,C,C); (B,C,A,B,C,A,A); ......; (B,C,A,B,C,A,B,C,A,...)</p><p>(b) Sejam os eventos:</p><p>A: A vencer;</p><p>B: B vencer;</p><p>C: C vencer.</p><p>P (C) = 2.[</p><p>1</p><p>23</p><p>+</p><p>1</p><p>26</p><p>+</p><p>1</p><p>29</p><p>+ ...] = 2.[Σ∞n=1(</p><p>1</p><p>23</p><p>)n]</p><p>= 2.</p><p>1</p><p>23</p><p>.</p><p>1</p><p>1− 1</p><p>23</p><p>=</p><p>4</p><p>14</p><p>.</p><p>6</p><p>P (A) = [</p><p>1</p><p>22</p><p>+</p><p>1</p><p>25</p><p>+</p><p>[1</p><p>28</p><p>+ ...] + [</p><p>1</p><p>24</p><p>+</p><p>1</p><p>27</p><p>+</p><p>1</p><p>210</p><p>+ ...] =</p><p>4</p><p>14</p><p>+</p><p>1</p><p>14</p><p>=</p><p>5</p><p>14</p><p>.</p><p>Observe que uma soma na forma</p><p>∑m</p><p>n=0 a1q</p><p>n é uma progressão geométrica com soma a1.</p><p>1−qm+1</p><p>1−q . Se m = ∞ e</p><p>0 < q < 1 a soma vale a1</p><p>1−q . Se m =∞ e q ≥ 1 a soma vale ∞.</p><p>Portanto P (A) = P (B) = 5</p><p>14 e P (A) + P (B) + P (C) = 1. A probabilidade do jogo não terminar é 0.</p><p>15. Em uma prova cairam dois problemas. Sabe-se que 132 alunos acertaram o primeiro, 86 erraram o segundo,</p><p>120 acertaram os dois e 54 erraram apenas um problema. Qual é a probabilidade de que um aluno, escolhido</p><p>ao acaso:</p><p>a) Não tenha acertado nenhum problema?</p><p>b) Tenha acertado apenas o segundo problema?</p><p>Solução:</p><p>Primeiramente construimos a tabela bidimensional:</p><p>P2P1 Acertar Errar total</p><p>Acertar 120 42 162</p><p>Errar 12 74 86</p><p>total 132 116 248</p><p>Sejam os eventos</p><p>A: O aluno não acertou nenhum problema;</p><p>B: O aluno acertou apenas o segundo problema.</p><p>Portanto</p><p>P (A) =</p><p>74</p><p>248</p><p>= 0, 3.</p><p>P (B) =</p><p>42</p><p>248</p><p>= 0, 17.</p><p>16. Um dado justo é lançado até que pela primeira vez apareça duas faces iguais de forma que cada resultado com</p><p>k lançamentos tenha probabilidade 5</p><p>6</p><p>k−2 1</p><p>6 , k = 2, 3, 4, . . .. Sejam os eventos:</p><p>A: O experimento termina antes do décimo lançamento e B: Um número par de lançamentos seja necessário.</p><p>Qual a probabilidade do evento A, do evento B e do evento A ∪B?</p><p>Solução:</p><p>O espaço amostral Ω é</p><p>Ω = {2, 3, 4, ....}.</p><p>Seja Ek o evento de aparecer as duas faces iguais no k- ésimo lançamento. Pelo enunciado temos P (Ek) = 5</p><p>6</p><p>k−2 1</p><p>6 ,</p><p>k = 2, 3, 4, ....</p><p>Podemos escrever o evento A como A = ∪9</p><p>k=1Ek e o evento B como B = ∪∞k=1E2k. Portanto</p><p>P (A) = P (∪9</p><p>k=1Ek) =</p><p>9∑</p><p>k=2</p><p>P (Ek) =</p><p>9∑</p><p>k=2</p><p>5</p><p>6</p><p>k−2 1</p><p>6</p><p>7</p><p>=</p><p>1</p><p>6</p><p>.</p><p>7∑</p><p>j=0</p><p>5</p><p>6</p><p>j</p><p>=</p><p>1</p><p>6</p><p>.</p><p>1− ( 5</p><p>6 )8</p><p>1− 5</p><p>6</p><p>= 1− (</p><p>5</p><p>6</p><p>)8 = 0, 77</p><p>P (B) = P (∪∞k=1E2k) =</p><p>∞∑</p><p>k=1</p><p>P (E2k) =</p><p>∞∑</p><p>k=1</p><p>(</p><p>5</p><p>6</p><p>)2k−2.</p><p>1</p><p>6</p><p>=</p><p>1</p><p>6</p><p>.</p><p>∞∑</p><p>k=1</p><p>(</p><p>5</p><p>6</p><p>)2.(k−1) =</p><p>1</p><p>6</p><p>.</p><p>∞∑</p><p>k=1</p><p>(</p><p>25</p><p>36</p><p>)(k−1)</p><p>=</p><p>1</p><p>6</p><p>.</p><p>∞∑</p><p>j=0</p><p>(</p><p>25</p><p>36</p><p>)j =</p><p>1</p><p>6</p><p>.</p><p>1</p><p>1− 25</p><p>36</p><p>=</p><p>1</p><p>6</p><p>.</p><p>1</p><p>11</p><p>36</p><p>=</p><p>6</p><p>11</p><p>= 0, 55.</p><p>Pela regra da soma temos</p><p>P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B).</p><p>O evento A ∩B é A ∩B = {2, 4, 6, 8}, com probabilidade</p><p>P (A ∩B) = P (E2) + P (E4) + P (E6) + P (E8)</p><p>=</p><p>1</p><p>6</p><p>+</p><p>1</p><p>6</p><p>.(</p><p>5</p><p>6</p><p>)2 +</p><p>1</p><p>6</p><p>.(</p><p>5</p><p>6</p><p>)4 +</p><p>1</p><p>6</p><p>.(</p><p>5</p><p>6</p><p>)6</p><p>=</p><p>1</p><p>6</p><p>.[1 + (</p><p>5</p><p>6</p><p>)2 + (</p><p>5</p><p>6</p><p>)4 + (</p><p>5</p><p>6</p><p>)6] = 0, 4.</p><p>Portanto</p><p>P (A ∪B) = 0, 77 + 0, 55− 0, 4 = 0, 92.</p><p>8</p>