Análise Estatística de Produção

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Fundac¸˜ao Centro de Ciˆencias e Educa¸c˜ao Superior a Distˆancia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educa¸c˜ao Superior a Distˆancia do Estado do Rio de Janeiro
AP2 – M´etodos Estat´ısticos I – 2/2019
Co´digo da disciplina EAD06076 GABARITO
Nome:	 Matr´ıcula:	
Polo:	
Aten¸c˜ao!
· Para cada folha de respostas que utilizar, antes de comec¸ar a resolver as quest˜oes, preencha (pintando os respectivos espa¸cos na parte superior da folha) o nu´mero do CPF, o c´odigo da disciplina (indicado acima em negrito) e o nu´mero da folha.
PADRA˜O DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS
UM	DOIS	TRÊS	QUATRO	CINCO	SEIS	SETE	OITO	NOVE	ZERO
· Preencha o nu´mero total de folhas somente quando for entregar a prova!
· Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula e Polo.
· E´ permitido o uso de calculadora, desde que n˜ao seja de telefone celular ou de qualquer outro aparelho que
permita a conex˜ao `a internet.
· Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao apli- cador.
· 
Somente utilize caneta esferogr´afica com tinta azul ou preta para registro das resolu¸c˜oes nas Folhas de Respostas.
· As Folhas de Respostas ser˜ao o u´nico material considerado para corre¸c˜ao. Quaisquer anota¸c˜oes feitas fora deste espa¸co, mesmo que em folha de rascunho, ser˜ao ignoradas.
· N˜ao amasse, dobre ou rasure as Folhas de Respostas, pois isto pode inviabilizar a digitalizac¸˜ao e a correc¸˜ao.
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTO˜ES DE 1 A 3.
As pe¸cas produzidas em uma linha de produ¸c˜ao s˜ao oriundas das m´aquinas B1, B2, B3 e B4. Os percentuais de produ¸c˜ao das pec¸as pelas m´aquinas B1, B2 e B3 s˜ao, respectivamente, 30%, 20% e 15%. Sabe-se, de experiˆencia anterior, que 2%, 4%, 3% e 2% das pe¸cas produzidas por cada m´aquina, respectivamente, s˜ao defeituosas. Suponha que uma pec¸a j´a acabada seja selecionada aleatoriamente.
Quest˜ao 1 [1,0 ponto] Qual a probabilidade de ela ter sido produzida pela m´aquina B4?
R:
Como todas as pec¸as s˜ao produzidas pelas quatro m´aquinas, ent˜ao:
P (B4) = 1 − [P (B1) + P (B2) + P (B3)] ⇒ P (B4) = 1 − 0, 65 = 0, 35.
Quest˜ao 2 [1,0 ponto] Qual a probabilidade que ele n˜ao apresente defeito?
R: Considere os seguintes eventos:
· D: o produto apresenta defeito
· N: o produto n˜ao apresenta defeito.
Temos ent˜ao as seguintes probabilidades:
P (B1) = 0, 30	P (B2) = 0, 20	P (B3) = 0, 15	P (B4) = 0, 35
P (D|B1) = 0, 02	P (D|B2) = 0, 04	P (D|B3) = 0, 03	P (D|B4) = 0, 02
Pelo Teorema da Probabilidade Total,
P (D) = P (B1)P (D|B1) + P (B2)P (D|B2) + P (B3)P (D|B3) + P (B4)P (D|B4)
= (0, 30 × 0, 02) + (0, 20 × 0, 04) + (0, 15 × 0, 03) + (0, 35 × 0, 02)
= 0, 006 + 0, 008 + 0, 0045 + 0, 007
= 0, 0255
Logo:
P (N ) = 1 − P (D) = 1 − 0, 0255 = 0, 9745.
Quest˜ao 3 [1,0 ponto] Sabendo que a pec¸a sorteada ´e defeituosa, qual a probabilidade de ela ter sido produzida pela m´aquina B4?
R: Pelo Teorema de Bayes,=
M´etodos Estat´Isticos I
AP2
2/2019
Funda¸c˜ao CECIERJ
Cons´orcio CEDERJ
P (B4|D) =
P (B4)P (D|B4) P (D)
0, 007
0, 0255
= 0, 2745.
Quest˜ao 4 [1,0 ponto] Um gerente est´a com a agenda lotada e pretende marcar uma reuni˜ao com empres´arios. Para n˜ao perder o hor´ario da reuni˜ao, resolve colocar trˆes dispositivos de alarme diferentes (D1, D2, D3) para despert´a-lo. Sabendo que as probabilidades de falha de cada um dos
dispositivos s˜ao, respctivamente, 0,02, 0,05 e 0,04, qual a probabilidade de ele n˜ao perder o hor´ario da reuni˜ao (ou seja, qual a probabilidade de pelo menos um dispositivo funcionar)?
R: Sejam os eventos:
· D1 : o dispositivo D1 funciona ⇒ D1: o dispositivo D1 falha.
· D2 : o dispositivo D2 funciona ⇒ D2: o dispositivo D2 falha.
· D3 : o dispositivo D3 funciona ⇒ D3: o dispositivo D3 falha.
Temos, ent˜ao:
P (D1) = 0, 02	P (D1) = 0, 05	P (D1) = 0, 04
P (pelo menos um dispositivo funcione) = 1 − P (nenhum dispositivo funcione)
= 1 − P (D1 ∩ D2 ∩ D3)
= 1 − [P (D1)P (D2)P (D3)]
= 1 − (0, 02 × 0, 05 × 0, 04)
= 1 − 0, 00004
= 0, 99996.
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTO˜ES DE 5 A 8.
A tabela a seguir traz o resultado de uma pesquisa realizada em uma Universidade com alunos de Gradua¸c˜ao, Especializa¸c˜ao, Mestrado e Doutorado sobre o tempo de uso d´ario de um Laborat´orio de Inform´atica:
	Tempo de uso di´ario
	Gradua¸c˜ao
(G)
	Especializa¸c˜ao
(E)
	Mestrado
(M )
	Doutorado
(D)
	Total
	Menos de 1 hora (A)
	320
	200
	150
	80
	750
	Entre 1 e 4 horas (B)
	260
	180
	170
	90
	700
	Mais de 4 horas (C)
	220
	120
	230
	180
	750
	Total
	800
	500
	550
	350
	2.200
De posse destas infromac¸˜oes e assumindo que um aluno ser´a selecionado aleatoriamente, determine a probabilidade de ele:
Quest˜ao 5 [0,5 ponto] Usar o Laborato´rio de Inform´atica por pelo menos 1 hora por dia;
R:
700	750	1.450
P (B ∪ C) = P (B) + P (C) = 2.200 + 2.200 = 2.200 = 0, 659.
Quest˜ao 6 [0,5 ponto] Usar o Laborato´rio de Inform´atica por mais de 4 horas por dia e ser aluno de Gradua¸c˜ao;
R:
P (C ∩ G) = 2.200 = 0, 1.220
Quest˜ao 7 [0,5 ponto] Usar o Laborato´rio de Inform´atica por menos de 1 hora por dia, dado que
´e aluno de Mestrado;
R:=
=
P (A|M ) =
P (A ∩ M )
P (M )
150/2.200
550/2.200
150
550
= 0, 2727.
Quest˜ao 8 [0,5 ponto] Usar o Laborat´orio de Inform´atica por um per´ıodo entre 1 e 4 horas por dia ou ser aluno de Doutorado.
R:
700	350	90	960
P (B ∪ D) = P (B) + P (D) − P (B ∩ D) = 2.200 + 2.200 − 2.200 = 2.200 = 0, 43636.
Quest˜ao 9 [2,0 pontos] Uma urna cont´em 10 bolas, sendo 6 pretas e 4 brancas. Trˆes bolas ser˜ao retiradas aleatoriamente, em sequˆencia, desta urna. Seja X a vari´avel aleat´oria: nu´mero de bolas pretas obtidas. Obtenha a tabela de distribui¸c˜ao de probabilidades de X quando as retiradas s˜ao feitas com reposi¸c˜ao.
R: As retiradas com reposic¸˜ao s˜ao equivalentes `a Distribuic¸˜ao Binomial de Probabilidades. Assim, basta considerar os poss´ıveis valores que X pode assumir:
· X = 0 : se as trˆes bolas retiradas forem brancas;
· X = 1 : se uma bola retirada for preta e as outras duas forem brancas;
· X = 2 : se duas bolas retiradas forem pretas e a outra for branca;
· X = 3 : se as tˆes bolas retiradas forem pretas.
Como h´a 6 bolas pretas em um total de 10, ent˜ao a probabilidade de sucesso ser´a p = 6 = 0, 6 e10
n = 3.
Assim, basta calcular as probabilidades de X assumir cada valor destes:
P (X = 0) = A3B(0, 6)0(0, 4)3 = 1 × 1 × 0, 064 = 0, 064.0
P (X = 1) = A3B(0, 6)1(0, 4)2 = 3 × 0, 6 × 0, 16 = 0, 288.1
P (X = 2) = A3B(0, 6)2(0, 4)1 = 3 × 0, 36 × 0, 4 = 0, 432.2
P (X = 3) = A3B(0, 6)3(0, 4)0 = 1 × 0, 216 × 1 = 0, 216.3
Assim, a tabela ser´a:
	x
	0
	1
	2
	3
	p(x)
	0,064
	0,288
	0,432
	0,216
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESPONDER AS QUESTO˜ES DE 10 A 12.
O nu´mero de Smart TVs vendidas diariamente por um vendedor em uma loja de eletrodom´esticos ´e uma vari´avel aleat´oria X com a seguinte distribui¸c˜ao de probabilidades:
	x
	0
	1
	2
	3
	4
	5
	p(x)
	0,3
	0,4
	0,2
	0,07
	0,02
	0,01
Quest˜ao 10 [0,5 ponto] Qual a probabilidade de em um dia serem vendidos exatamente 3 Smart TVs?
R:
P (X = 3) = 0, 07.
Quest˜ao 11 [0,5 ponto] Qual a probabilidade de em um dia serem vendidas pelo menos duas Smart TVs?
R:
P (X ≥ 2) = p(2) + p(3) + p(4) + p(5) = 0, 2 + 0, 07 + 0, 02 + 0, 01 = 0, 3.
Quest˜ao 12 [1,0 ponto] Qual a quantidade esperada de venda de Smart TV?
R: Deseja-se a esperan¸ca.
E(X) = (0 × 0, 3) + (1 × 0, 4) + (2 × 0, 2) + (3 × 0, 07) + (4 × 0, 02) + (5 × 0, 01)
= 0 + 0, 4 + 0, 4 + 0, 21 + 0, 08 + 0, 05
= 1, 14.
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