Prévia do material em texto
<p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>AAnneexxoo 0011 –– CCUURRVVAASS BB--HH</p><p>Curvas B – H para H < 400 A/m (para exercícios do Capítulo 08)</p><p>(Cada pequena divisão significa 0,02 T para B e 5 A/m para H)</p><p>Curvas B – H para H > 400 A/m (para exercícios do Capítulo 08)</p><p>(Cada pequena divisão significa 0,02 T para B e 50 A/m para H)</p><p>– Página 1.1 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0011 –– AANNÁÁLLIISSEE VVEETTOORRIIAALL</p><p>CAPÍTULO 01</p><p>ANÁLISE VETORIAL</p><p>1.1) Um vetor B</p><p>�</p><p>é dado por: zyx 32 aaaB</p><p>����</p><p>++= . Determine um vetor A</p><p>�</p><p>de módulo igual</p><p>a 3 e componente x unitária de modo que A</p><p>�</p><p>e B</p><p>�</p><p>sejam perpendiculares entre si.</p><p>Resolução:</p><p>Dados:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>==⊥</p><p>++=</p><p>++=</p><p>1 x 3</p><p>zyx</p><p>32</p><p>zyx</p><p>zyx</p><p>AB A</p><p>aaaA</p><p>aaaB</p><p>���</p><p>����</p><p>����</p><p>(01)</p><p>3=A</p><p>�</p><p>⇒ 12 + y2 + z2 = 3 (02)</p><p>B A</p><p>��</p><p>⊥ ⇒ 0=• BA</p><p>��</p><p>⇒ 1 + 2y + 3z = 0 (03)</p><p>De (03):</p><p>2</p><p>1z3</p><p>y</p><p>−−</p><p>= (04)</p><p>Substituindo (04) em (02), temos:</p><p>07z6z13 3z</p><p>4</p><p>1z6z9</p><p>1 3z</p><p>2</p><p>1z3</p><p>1 22</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>=−+⇒=+</p><p>++</p><p>+⇒=+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> −−</p><p>+</p><p>1a raiz</p><p>13</p><p>7</p><p>z1 = (05)</p><p>2a raiz: 1z 2 −= (06)</p><p>Substituindo (05) em (04), temos:</p><p>13</p><p>17</p><p>y</p><p>2</p><p>1</p><p>26</p><p>21</p><p>2</p><p>1</p><p>13</p><p>7</p><p>3</p><p>y 11 −=⇒−−=</p><p>−⋅−</p><p>= (07)</p><p>Substituindo (06) em (04), temos:</p><p>1y</p><p>2</p><p>13</p><p>2</p><p>113</p><p>y 22 =⇒</p><p>−</p><p>=</p><p>−−⋅−</p><p>=</p><p>)(</p><p>(08)</p><p>Substituindo (05) e (07) em (01), temos:</p><p>zyx1 13</p><p>7</p><p>13</p><p>17</p><p>aaaA</p><p>����</p><p>+−=</p><p>Substituindo (06) e (08) em (01), temos:</p><p>zyx2 aaaA</p><p>���</p><p>−+=</p><p>– Página 1.2 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0011 –– AANNÁÁLLIISSEE VVEETTOORRIIAALL</p><p>1.2) Transforme cada um dos seguintes vetores para coordenadas cilíndricas no ponto dado:</p><p>a)</p><p>� �</p><p>A ax= 5 em P (ρ = 4, φ = 120o , z = 2);</p><p>b)</p><p>� �</p><p>B ay= 6 em Q (x = 4, y = 3, z = -1);</p><p>c) zyx a4a2a4C</p><p>����</p><p>−−= em R (x = 2, y = 3, z = 5).</p><p>Resolução:</p><p>a) zaaaA</p><p>����</p><p>zAAA ++= φφρρ onde:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=⇒•=•=</p><p>−=⇒−=−=•=•=</p><p>−=⇒==•=•=</p><p>05</p><p>334120555</p><p>52120555</p><p>zz AA</p><p>,AsensenA</p><p>,AcoscosA</p><p>zxz</p><p>x</p><p>x</p><p>aaaA</p><p>aaaA</p><p>aaaA</p><p>����</p><p>����</p><p>����</p><p>�</p><p>�</p><p>φφφφ</p><p>ρρρρ</p><p>φ</p><p>φ</p><p>φρ aaA</p><p>���</p><p>33452 ,, −−=∴</p><p>b) Transformando o ponto Q (x = 4, y = 3, z = -1) de coordenadas cartesianas para cilíndricas,</p><p>temos:</p><p>( ) ( )1z87365Q</p><p>5</p><p>4</p><p>5</p><p>3</p><p>8736</p><p>x</p><p>y</p><p>arctg</p><p>5yx</p><p>zQ</p><p>22</p><p>−=°==⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>=</p><p>⇒°=⇒=</p><p>=+=</p><p>= ;,;</p><p>cos</p><p>sen</p><p>,</p><p>;; φρ</p><p>φ</p><p>φ</p><p>φφ</p><p>ρ</p><p>φρ</p><p>mas:</p><p>zz aaaB</p><p>����</p><p>BBB ++= φφρρ onde:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=⇒•=•=</p><p>=⇒⋅==•=•=</p><p>=⇒⋅==•=•=</p><p>06</p><p>84</p><p>5</p><p>4</p><p>666</p><p>63</p><p>5</p><p>3</p><p>666</p><p>zzyzz</p><p>y</p><p>y</p><p>BB</p><p>,BcosB</p><p>,BsenB</p><p>aaaB</p><p>aaaB</p><p>aaaB</p><p>����</p><p>����</p><p>����</p><p>φφφφ</p><p>ρρρρ</p><p>φ</p><p>φ</p><p>φρ aaB</p><p>���</p><p>8463 ,, +=∴</p><p>c) Transformando o ponto R (x = 2, y = 3, z = 5) de coordenadas cartesianas para cilíndricas,</p><p>temos:</p><p>( ) ( )5z315613R</p><p>13</p><p>2</p><p>13</p><p>3</p><p>3156</p><p>x</p><p>y</p><p>arctg</p><p>13yx</p><p>zR</p><p>22</p><p>=°==⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>=</p><p>⇒°=⇒=</p><p>=+=</p><p>= ;,;</p><p>cos</p><p>sen</p><p>,</p><p>;; φρ</p><p>φ</p><p>φ</p><p>φφ</p><p>ρ</p><p>φρ</p><p>mas:</p><p>zaaaC</p><p>����</p><p>zCCC ++= φφρρ onde:</p><p>– Página 1.3 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0011 –– AANNÁÁLLIISSEE VVEETTOORRIIAALL</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−=⇒⋅−−=⋅=</p><p>−=⇒⋅−⋅−=−−=⋅−−=⋅=</p><p>=⇒⋅−⋅=−=⋅−−=⋅=</p><p>4424</p><p>4384</p><p>13</p><p>2</p><p>2</p><p>13</p><p>3</p><p>424424</p><p>5550</p><p>13</p><p>3</p><p>2</p><p>13</p><p>2</p><p>424424</p><p>zz C)(C</p><p>,Ccossen)(C</p><p>,Csencos)(C</p><p>zzyxz</p><p>zyx</p><p>zyx</p><p>aaaaaC</p><p>aaaaaC</p><p>aaaaaC</p><p>������</p><p>������</p><p>������</p><p>φφφφ</p><p>ρρρρ</p><p>φφ</p><p>φφ</p><p>zaaaC</p><p>����</p><p>443845550 −−=∴ φρ ,,</p><p>1.3) Um campo vetorial é definido no ponto P (ρ = 20, φ = 120o , z = 10) como</p><p>sendo: z534 aaaV</p><p>����</p><p>++= φρ . Determinar:</p><p>a) a componente vetorial de V</p><p>�</p><p>normal à superfície ρ = 20;</p><p>b) a componente vetorial de V</p><p>�</p><p>tangente à superfície φ = 120o;</p><p>c) a componente vetorial de V</p><p>�</p><p>na direção do vetor</p><p>� � �</p><p>R a a= +6 8ρ φ ;</p><p>d) um vetor unitário perpendicular a V</p><p>�</p><p>e tangente ao plano φ = 120o;</p><p>e) o vetor V</p><p>�</p><p>no sistema de coordenadas cartesianas;</p><p>Resolução:</p><p>a)</p><p>Dados:</p><p>z534 aaaV</p><p>����</p><p>++= φρ em P (ρ = 20, φ = 120o , z = 10).</p><p>Sabe-se que TN VVV</p><p>���</p><p>+= e que ρρ aaVVN</p><p>����</p><p>)( •= .</p><p>Portanto: ρρρφρ aVaaaaaV NN</p><p>��������</p><p>4 534 z =⇒•++= ])[(</p><p>b)</p><p>Dados:</p><p>z534 aaaV</p><p>����</p><p>++= φρ em P (ρ = 20, φ = 120o , z = 10).</p><p>Sabe-se que TN VVV</p><p>���</p><p>+= e que φφ aaVVN</p><p>����</p><p>)( •= .</p><p>� Cálculo de NV</p><p>�</p><p>:</p><p>φφφφρ</p><p>φφ</p><p>aVaaaaaV</p><p>aaVV</p><p>NN</p><p>N</p><p>��������</p><p>����</p><p>3 534 z =⇒•++=</p><p>•=</p><p>])[(</p><p>)(</p><p>�</p><p>– Página 1.4 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0011 –– AANNÁÁLLIISSEE VVEETTOORRIIAALL</p><p>� Cálculo de TV</p><p>�</p><p>:</p><p>zz 54 3534 aaVaaaaVVV TNT</p><p>����������</p><p>+=⇒−++=−= ρφφρ )(</p><p>c) Dados: φρ aaR</p><p>���</p><p>86 += .</p><p>RR aaVVR</p><p>����</p><p>)( •= , onde φρ</p><p>φρ</p><p>aaa</p><p>aa</p><p>R</p><p>R</p><p>a</p><p>���</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>8060</p><p>6436</p><p>86</p><p>RR ,, +=⇒</p><p>+</p><p>+</p><p>==</p><p>φρφρφρφρ aaVaaaaaaaV RR</p><p>�����������</p><p>843882 80608060534 z ,,),,)](,,()[( +=⇒++•++=∴</p><p>d) Seja zz aaaA</p><p>����</p><p>AAA ++= φφρρ o vetor procurado.</p><p>Pelas condições apresentadas, temos:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>⊥=•</p><p>°==</p><p>versor um é pois ,1</p><p>pois ,0</p><p>120 plano ao tangenteé pois ,0</p><p>AA</p><p>VAVA</p><p>A</p><p>��</p><p>����</p><p>�</p><p>φφA</p><p>De (01), conclui-se que zz aaA</p><p>���</p><p>AA += ρρ (04)</p><p>De (02), conclui-se que:</p><p>054534 zzzz =+⇒++•+=• AA)()A(A ρφρρρ aaaaaVA</p><p>�������</p><p>(05)</p><p>De (03), conclui-se que 12</p><p>z</p><p>2 =+ AAρ (06)</p><p>De (05):</p><p>4</p><p>5</p><p>zAA −=ρ (07)</p><p>Substituindo (07) em (06), temos:</p><p>6250</p><p>41</p><p>16</p><p>1</p><p>16</p><p>25</p><p>z</p><p>2</p><p>z</p><p>2</p><p>z ,AAA ±=±=⇒=+ (08)</p><p>Substituindo (08) em (07), temos:</p><p>7810 ,A ∓=ρ (09)</p><p>Substituindo (08) e (09) em (01), temos:</p><p>( )z62507810 aaA</p><p>���</p><p>,, +−±= ρ</p><p>e) Cálculo das componentes, em coordenadas cartesianas, do vetor V</p><p>�</p><p>:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=⇒•++=•=</p><p>=⇒°+=+=•++=•=</p><p>−=⇒°−=−=•++=•=</p><p>5534</p><p>96411203120434534</p><p>59841203120434534</p><p>zzz</p><p>yyzyy</p><p>xxzxx</p><p>V)(V</p><p>,Vcossencossen)(V</p><p>,Vsencossencos)(V</p><p>zz aaaaaV</p><p>aaaaaV</p><p>aaaaaV</p><p>������</p><p>������</p><p>������</p><p>�</p><p>�</p><p>φρ</p><p>φρ</p><p>φρ</p><p>φφ</p><p>φφ</p><p>zyx 596415984 aaaV</p><p>����</p><p>++−=∴ ,,</p><p>(01)</p><p>(02)</p><p>(03)</p><p>– Página 1.5 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0011 –– AANNÁÁLLIISSEE VVEETTOORRIIAALL</p><p>1.4) Se 1a</p><p>�</p><p>é um vetor unitário dirigido da origem ao ponto (-2,1,2), determinar:</p><p>a) um vetor unitário 2a</p><p>�</p><p>paralelo ao plano x = 0 e perpendicular a 1a</p><p>�</p><p>;</p><p>b) um vetor unitário 3a</p><p>�</p><p>perpendicular a 1a</p><p>�</p><p>e 2a</p><p>�</p><p>.</p><p>Resolução:</p><p>� Cálculo de 1a</p><p>�</p><p>:</p><p>zyx1</p><p>222</p><p>zyx</p><p>1</p><p>1</p><p>1 3</p><p>2</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>2</p><p>212</p><p>22</p><p>aaaa</p><p>aaa</p><p>A</p><p>A</p><p>a</p><p>����</p><p>���</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>++−=⇒</p><p>++−</p><p>++−</p><p>==</p><p>)(</p><p>a) Seja z</p><p>z</p><p>2y</p><p>y</p><p>2xx22 aaaa</p><p>����</p><p>aaa ++= o vetor procurado.</p><p>Pelas condições apresentadas, temos:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>⊥=•</p><p>==</p><p>versorum é pois ,1</p><p>pois ,0</p><p>0 xplano ao paralelo é pois ,0</p><p>22</p><p>1212</p><p>2x2</p><p>aa</p><p>aaaa</p><p>a</p><p>��</p><p>����</p><p>�</p><p>a</p><p>De (01), conclui-se que:</p><p>zz2yy22 aaa</p><p>���</p><p>aa += (04)</p><p>De (02), conclui-se que:</p><p>)()a(a zyxzz2yy212 3</p><p>2</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>2</p><p>aaaaaaa</p><p>�������</p><p>++−•+=•</p><p>0</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>1</p><p>z2y212 =+=•∴ aaaa</p><p>��</p><p>(05)</p><p>De (03), conclui-se que 12</p><p>z2</p><p>2</p><p>y2 =+ aa (06)</p><p>De (05),</p><p>z2y2 2 aa −= (07)</p><p>Substituindo (07) em (06), temos:</p><p>5</p><p>5</p><p>14</p><p>z2</p><p>2</p><p>z2</p><p>2</p><p>z2 ±=⇒=+ aaa (08)</p><p>(01)</p><p>(02)</p><p>(03)</p><p>– Página 1.6 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0011 –– AANNÁÁLLIISSEE VVEETTOORRIIAALL</p><p>Substituindo (08) em (07), temos:</p><p>5</p><p>52</p><p>y2 ∓=a (09)</p><p>Substituindo (08) e (09) em (04), temos:</p><p>( )zy2 2</p><p>5</p><p>5</p><p>aaa</p><p>���</p><p>+−±=</p><p>b) Seja z</p><p>z</p><p>3y</p><p>y</p><p>3xx33 aaaa</p><p>����</p><p>aaa ++= o vetor procurado.</p><p>Pelas condições apresentadas, temos:</p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>⊥×=</p><p>versor um é pois ,1</p><p>e por formado plano ao pois ,</p><p>33</p><p>213213</p><p>aa</p><p>aaaaaa</p><p>��</p><p>������</p><p>De (01), conclui-se que</p><p>zyx3</p><p>zyx</p><p>3 15</p><p>54</p><p>15</p><p>52</p><p>15</p><p>54</p><p>15</p><p>5</p><p>5</p><p>5 5</p><p>52 0</p><p>3</p><p>2 3</p><p>1 3</p><p>2</p><p>aaaa</p><p>aaa</p><p>a</p><p>����</p><p>���</p><p>�</p><p>±±</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>±±=⇒</p><p>±±</p><p>−=</p><p>Logo: ( )zyx3 425</p><p>15</p><p>5</p><p>aaaa</p><p>����</p><p>++±=</p><p>1.5) Determinar:</p><p>a) qual é a componente escalar do vetor yx xy</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>=</p><p>θθρ</p><p>θρ</p><p>d dz</p><p>tg z</p><p>2sec</p><p>(03)</p><p>Substituindo ( 03) em ( 02 ), temos:</p><p>d</p><p>11</p><p>tg</p><p>d</p><p>tg</p><p>d</p><p>tg tg</p><p>d</p><p>2222</p><p>2222</p><p>2</p><p>22222</p><p>2</p><p>∫∫</p><p>∫∫∫</p><p>=</p><p>⋅</p><p>=</p><p>⋅</p><p>=</p><p>+</p><p>θ</p><p>θ</p><p>θ</p><p>ρ</p><p>θ</p><p>θρ</p><p>θ</p><p>θρ</p><p>θθ</p><p>θρθρ</p><p>θθρ</p><p>θρρθρ</p><p>θθρ</p><p>sen</p><p>cos</p><p>cos</p><p>sen</p><p>cos</p><p>sec</p><p>sec</p><p>secsec</p><p>Substituição de variáveis na integral:</p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>=</p><p>θθ</p><p>θ</p><p>d du</p><p>u</p><p>cos</p><p>sen (05)</p><p>Substituindo (05) em (04), temos:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−=∫ θρρρ sen</p><p>11</p><p>u</p><p>11</p><p>u</p><p>du1</p><p>2222</p><p>(06)</p><p>De (03),</p><p>22 z</p><p>z</p><p>+</p><p>=</p><p>ρ</p><p>θsen (07)</p><p>Substituindo (07) em (06), temos:</p><p>z</p><p>z1</p><p>z</p><p>z1 22</p><p>2</p><p>22</p><p>2</p><p>+</p><p>⋅−=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> +</p><p>−</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>(08)</p><p>Substituindo (08) em (01), temos:</p><p>( )[ ] [ ]V 0V 11</p><p>4</p><p>10</p><p>V</p><p>z</p><p>z</p><p>z</p><p>z</p><p>4</p><p>10</p><p>V</p><p>z</p><p>z1</p><p>4</p><p>10</p><p>z</p><p>z1</p><p>4</p><p>10</p><p>V</p><p>o</p><p>2</p><p>1</p><p>z</p><p>22</p><p>1z</p><p>22</p><p>o</p><p>2</p><p>1</p><p>z</p><p>22</p><p>2o</p><p>1z</p><p>22</p><p>2o</p><p>=⇒+−−=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+</p><p>−=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> +</p><p>⋅−−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> +</p><p>⋅−=</p><p>−</p><p>−∞=</p><p>∞</p><p>=</p><p>−</p><p>−∞=</p><p>∞</p><p>=</p><p>ρρ</p><p>επρ</p><p>ρρ</p><p>επρ</p><p>ρ</p><p>ρπε</p><p>ρ</p><p>ρπε</p><p>(04)</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0044 –– EENNEERRGGIIAA EE PPOOTTEENNCCIIAALL</p><p>– Página 4.12 –</p><p>4.8) Duas esferas condutoras concêntricas de raios a = 6 cm e b = 16 cm possuem cargas</p><p>iguais e opostas, sendo 10-8 C na esfera interior e -10-8 C na exterior. Assumindo ε ε= o</p><p>na região entre as esferas, determinar:</p><p>a) o máximo valor da intensidade de campo elétrico entre as esferas;</p><p>b) a diferença de potencial (Vo) entre as esferas;</p><p>c) a energia total armazenada (WE) na região entre as esferas.</p><p>Resolução:</p><p>a) Seja a superfície gaussiana esférica de raio a < r < b :</p><p>Pela Lei de Gauss: interna</p><p>S</p><p>Q=⋅∫ dSD</p><p>�</p><p>; onde r</p><p>2 d d r adS</p><p>�</p><p>φθθsen=</p><p>r22</p><p>2</p><p>r4</p><p>Q</p><p>r4</p><p>Q</p><p>DQr4D aD</p><p>�</p><p>�</p><p>ππ</p><p>π =⇒=⇒=⋅ (01)</p><p>Mas r2</p><p>oo r4</p><p>Q</p><p>aE</p><p>D</p><p>E</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>πεε</p><p>=⇒= (02)</p><p>De (02), conclui-se que</p><p>2</p><p>o r4</p><p>Q</p><p>E</p><p>πε</p><p>==E</p><p>�</p><p>(03)</p><p>De (03), conclui-se que E varia de acordo com 2r</p><p>1 para a região entre as esferas. Logo, o</p><p>maior valor que E atinge nesta região ocorre para o menor valor de r.</p><p>Assim, para r = 6 cm, temos:</p><p>=maxE</p><p>( )</p><p>[ ]m</p><p>KV 25E</p><p>0604</p><p>10</p><p>E max2</p><p>o</p><p>8</p><p>max =⇒=</p><p>−</p><p>,πε</p><p>b)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>=</p><p>•−== ∫</p><p>r</p><p>r2</p><p>oo</p><p>dr</p><p>.</p><p>r4</p><p>Q</p><p>onde VV</p><p>adL</p><p>aE</p><p>dLE</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>πε,</p><p>a</p><p>b</p><p>ab</p><p>[ ]V 5,937V</p><p>16,0</p><p>1</p><p>06,0</p><p>1</p><p>4</p><p>10</p><p>V</p><p>11</p><p>4</p><p>Q</p><p>Vdr</p><p>r4</p><p>Q</p><p>V</p><p>o</p><p>o</p><p>8</p><p>o</p><p>o</p><p>o2</p><p>o</p><p>o</p><p>=⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−=⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−=∴</p><p>−</p><p>∫</p><p>πε</p><p>πεπε ba</p><p>a</p><p>b</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0044 –– EENNEERRGGIIAA EE PPOOTTEENNCCIIAALL</p><p>– Página 4.13 –</p><p>c)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>==</p><p>=</p><p>=⇒•= ∫∫</p><p>φθθ</p><p>π</p><p>π</p><p>ε</p><p>d d dr rdv</p><p>r4</p><p>Q</p><p>D</p><p>r4</p><p>Q</p><p>onde dv</p><p>D</p><p>2</p><p>1</p><p>Wdv</p><p>2</p><p>1</p><p>W</p><p>2</p><p>2</p><p>r2</p><p>vol o</p><p>2</p><p>E</p><p>vol</p><p>E</p><p>sen</p><p>, D</p><p>aD</p><p>ED</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>[ ] [ ]</p><p>[ ]</p><p>[ ]J 69,4W</p><p>16,0</p><p>1</p><p>06,0</p><p>1</p><p>8</p><p>10</p><p>W</p><p>11</p><p>8</p><p>Q</p><p>W20</p><p>11</p><p>32</p><p>Q</p><p>W</p><p>r</p><p>1</p><p>32</p><p>Q</p><p>W</p><p>d d dr</p><p>32</p><p>Q</p><p>Wdv</p><p>r16</p><p>Q</p><p>2</p><p>1</p><p>W</p><p>E</p><p>o</p><p>16</p><p>E</p><p>o</p><p>2</p><p>E</p><p>o</p><p>2</p><p>2</p><p>E</p><p>2</p><p>00</p><p>ro</p><p>2</p><p>2</p><p>E</p><p>2</p><p>0 0 ro</p><p>2</p><p>2</p><p>E</p><p>vol o</p><p>42</p><p>2</p><p>E</p><p>µ</p><p>πε</p><p>πε</p><p>ππ</p><p>επ</p><p>φθ</p><p>επ</p><p>φθ</p><p>θ</p><p>επεπ</p><p>π</p><p>φ</p><p>π</p><p>θ</p><p>π</p><p>φ</p><p>π</p><p>θ</p><p>=⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+−=⇒⋅°+−⋅</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+−=</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−=</p><p>=⇒=∴</p><p>−</p><p>==</p><p>=</p><p>= = =</p><p>∫ ∫ ∫∫</p><p>abab</p><p>r</p><p>sen</p><p>b</p><p>a</p><p>b</p><p>a</p><p>2</p><p>coscos</p><p>cos</p><p>– Página 5.1 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0055 –– CCOONNDDUUTTOORREESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA</p><p>CAPÍTULO 05</p><p>CONDUTORES, DIELÉTRICOS E CAPACITÂNCIA</p><p>5.1) Um capacitor de placas paralelas está cheio de ar, possui placas de áreas 4 x 4 cm2,</p><p>separadas uma da outra por uma distância de 0,3 cm. Como devem ser usadas 2 cm3 de</p><p>parafina ( εR = 2 25, ) para obter máxima capacitância? Qual é o valor desta máxima</p><p>capacitância?</p><p>Resolução:</p><p>Dados:</p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>=⋅⋅=</p><p>]</p><p>]</p><p>3</p><p>3</p><p>[cm 2parafina de Volume</p><p>[cm 4,80,344placas as entre Volume</p><p>Para aumentar a capacitância, a melhor combinação consiste em colocar toda a parafina</p><p>entre as placas, de modo que sua capacitância fique em paralelo com a capacitância do</p><p>restante do meio entre as placas (ar).</p><p>Portanto, arparafinamax CCC += (01)</p><p>� Cálculo de x:</p><p>Volume de parafina [cm] 6671xx3042 ,, =⇒⋅⋅==</p><p>� Cálculo de parafinaC :</p><p>d</p><p>S</p><p>C</p><p>parafina</p><p>parafina</p><p>ε</p><p>= , onde</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅==</p><p>⋅==⋅=</p><p>=</p><p>−</p><p>[m] 100,3cm 30d</p><p>m106686cm 6686x4S</p><p>2-</p><p>242</p><p>parafina</p><p>Ro</p><p>,</p><p>][,,</p><p>εεε</p><p>[pF] 4284C</p><p>1030</p><p>106686252108548</p><p>C</p><p>1030</p><p>106686</p><p>C</p><p>parafina</p><p>2</p><p>412</p><p>parafina2</p><p>4</p><p>Ro</p><p>parafina</p><p>,</p><p>,</p><p>,,,</p><p>,</p><p>,</p><p>=∴</p><p>×</p><p>⋅⋅⋅⋅</p><p>=⇒</p><p>⋅</p><p>⋅⋅</p><p>=</p><p>−</p><p>−−</p><p>−</p><p>−εε</p><p>� Cálculo de arC :</p><p>d</p><p>S</p><p>C ar</p><p>ar</p><p>ε</p><p>= , onde ( )</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅==</p><p>⋅⋅−=</p><p>ε=ε</p><p>[m] 100,3cm 3,0d</p><p>][m 10 4x4S</p><p>2-</p><p>24-</p><p>ar</p><p>o</p><p>(02)</p><p>– Página 5.2 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0055 –– CCOONNDDUUTTOORREESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA</p><p>( ) ( )</p><p>[pF] 7542C</p><p>1030</p><p>104 1,667-4108548</p><p>1030</p><p>104 x-4</p><p>C</p><p>ar</p><p>2</p><p>412</p><p>2</p><p>4</p><p>o</p><p>ar</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>=∴</p><p>⋅</p><p>⋅⋅⋅⋅</p><p>=</p><p>⋅</p><p>⋅⋅⋅</p><p>=</p><p>−</p><p>−−</p><p>−</p><p>−ε</p><p>Substituindo (02) e (03) em (01), temos:</p><p>[pF] 1827C 75424284C maxmax ,,, =⇒+=</p><p>5.2) As superfícies esféricas, r = 2 cm e r = 10 cm, são condutoras perfeitas. A corrente total</p><p>passando radialmente para fora através do meio entre as esferas é de 2,5 A. Determinar:</p><p>a) a diferença de potencial entre as esferas;</p><p>b) a resistência entre as esferas;</p><p>c) o campo elétrico E</p><p>�</p><p>na região entre as esferas.</p><p>Assumir que a região está preenchida com um material dielétrico cuja condutividade é</p><p>σσσσ = 0,02 mho/m (ou σσσσ = 0,02 S/m).</p><p>Resolução:</p><p>a) r2r</p><p>r 4</p><p>I</p><p>S</p><p>I</p><p>aJaJ</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>π</p><p>=⇒= (01)</p><p>r2r 4</p><p>I</p><p>aE</p><p>J</p><p>EEJ</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>���</p><p>πσσ</p><p>σ =⇒=⇒= (02)</p><p>� Cálculo de abV :</p><p>∫ •−=</p><p>a</p><p>b</p><p>abV dLE</p><p>�</p><p>(03)</p><p>Substituindo (02) em (03), temos:</p><p>∫ •</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−=</p><p>a</p><p>b</p><p>rr2ab dr</p><p>r 4</p><p>I</p><p>V aa</p><p>��</p><p>πσ</p><p>(03)</p><p>– Página 5.3 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0055 –– CCOONNDDUUTTOORREESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA</p><p>cm2r</p><p>cm10r</p><p>ab2</p><p>a</p><p>br</p><p>ab r</p><p>1</p><p>02,04</p><p>5,2</p><p>V</p><p>r</p><p>dr</p><p>4</p><p>I</p><p>V</p><p>=</p><p>==</p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p>⋅π</p><p>−=⇒</p><p>πσ</p><p>−= ∫</p><p>[ ] ]V[398V105095,9V</p><p>10,0</p><p>1</p><p>02,0</p><p>1</p><p>95,9V ababab =⇒−⋅=⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−⋅=</p><p>b) ][ 2159R</p><p>52</p><p>398</p><p>R</p><p>I</p><p>V</p><p>R ab Ω=⇒=⇒= ,</p><p>,</p><p>c) Da Equação (02) do ítem a, temos:</p><p>[ ]</p><p>m</p><p>V</p><p>r</p><p>949</p><p>r 0204</p><p>52</p><p>r 4</p><p>I</p><p>r2r2r2</p><p>aEaEaE</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� ,</p><p>,</p><p>,</p><p>=⇒=⇒=</p><p>ππσ</p><p>5.3) Uma pequena esfera metálica de raio a, no vácuo, dista d (d >> a) de um plano condutor.</p><p>Calcular o campo elétrico a meia distância entre a esfera e o plano condutor.</p><p>Resolução:</p><p>� Método das Imagens:</p><p>O Campo Elétrico resultante no ponto P será:</p><p>21 EEE</p><p>���</p><p>+= , onde</p><p></p><p></p><p></p><p>. carga pela P ponto no gerado elétrico campo o é</p><p>carga pela P ponto no gerado elétrico campo o é</p><p>2</p><p>1</p><p>2E</p><p>1E</p><p>�</p><p>�</p><p>;</p><p>� Cálculo de E</p><p>�</p><p>:</p><p>( ) ( )</p><p>( )</p><p>x2</p><p>o</p><p>x2</p><p>o</p><p>x2</p><p>o</p><p>x2</p><p>o</p><p>x2</p><p>o</p><p>x2</p><p>o</p><p>d9</p><p>Q10</p><p>9</p><p>1</p><p>1</p><p>d</p><p>Q</p><p>d94</p><p>Q4</p><p>d4</p><p>Q4</p><p>2</p><p>d34</p><p>Q</p><p>2</p><p>d4</p><p>Q</p><p>aEaE</p><p>aaEaaE</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>πεπε</p><p>πεπεπεπε</p><p>=⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+=</p><p>+=⇒−</p><p>−</p><p>+=</p><p>– Página 5.4 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0055 –– CCOONNDDUUTTOORREESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA</p><p>5.4) As superfícies esféricas, r = 2 cm e r = 6 cm, são condutoras perfeitas e a região entre</p><p>elas é preenchida com um material de condutividade σσσσ = 80 mho/m. Se a densidade de</p><p>corrente é r2</p><p>a</p><p>r</p><p>10</p><p>J</p><p>�</p><p>�</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>π</p><p>[A/m2] para 2 < r < 6 cm, determinar:</p><p>a) A corrente I fluindo de uma superfície condutora perfeita para a outra;</p><p>b) O campo elétrico E</p><p>�</p><p>na região entre as esferas;</p><p>c) A diferença de potencial entre as duas superfícies condutoras;</p><p>d) A potência total dissipada no material condutor.</p><p>Resolução:</p><p>a) ∫ •=</p><p>S</p><p>I dSJ</p><p>�</p><p>, onde</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>r</p><p>2</p><p>r2</p><p>d d r</p><p>a</p><p>r</p><p>10</p><p>adS</p><p>J</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>φθθ</p><p>π</p><p>sen</p><p>[ ] [ ]</p><p>[A] 40I 22</p><p>10</p><p>I</p><p>10</p><p>Id d r</p><p>r</p><p>10</p><p>I 2</p><p>00</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>2</p><p>=⇒⋅⋅=</p><p>⋅−=⇒⋅⋅=∴ ∫ ∫</p><p>= =</p><p>π</p><p>π</p><p>φθ</p><p>π</p><p>φθθ</p><p>π</p><p>ππ</p><p>π</p><p>θ</p><p>π</p><p>φ</p><p>cossen</p><p>b) [ ]</p><p>m</p><p>V</p><p>r 8</p><p>1</p><p>80</p><p>1</p><p>r</p><p>10</p><p>r2r2</p><p>aEaE</p><p>J</p><p>EEJ</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>���</p><p>ππσ</p><p>σ =⇒⋅=⇒=⇒=</p><p>c) ∫ •−=</p><p>a</p><p>b</p><p>abV dLE</p><p>�</p><p>[ ] [V] 3261V 671650</p><p>8</p><p>1</p><p>V</p><p>060</p><p>1</p><p>020</p><p>1</p><p>8</p><p>1</p><p>V</p><p>r</p><p>1</p><p>8</p><p>1</p><p>V</p><p>r</p><p>dr</p><p>8</p><p>1</p><p>V</p><p>dr</p><p>r8</p><p>1</p><p>V</p><p>ababab</p><p>020</p><p>060r</p><p>ab</p><p>020</p><p>060r</p><p>2ab</p><p>a</p><p>b</p><p>rr2ab</p><p>,,</p><p>,,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>=⇒−⋅=⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−⋅=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−⋅−=⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−=</p><p>•</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−=</p><p>==</p><p>∫</p><p>∫</p><p>ππ</p><p>ππ</p><p>π</p><p>aa</p><p>��</p><p>d) [W] 0553P 403261PVIP ,, =⇒⋅=⇒=</p><p>– Página 5.5 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0055 –– CCOONNDDUUTTOORREESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA</p><p>5..5) A fronteira entre dois dielétricos de permissividade relativas εR1 = 5 e εR2 = 2 é definida</p><p>pela equação do plano 2 2x y+ = . Se, na região do dielétrico 1, a densidade de fluxo</p><p>elétrico for dada por zyx1 a3a5a2</p><p>���</p><p>�</p><p>−+=D , determinar:</p><p>a) 2nD</p><p>�</p><p>;</p><p>b) 2tD</p><p>�</p><p>;</p><p>c) 2D</p><p>�</p><p>;</p><p>d) 2P</p><p>�</p><p>;</p><p>e) A densidade de energia na região do dielétrico 2.</p><p>Resolução:</p><p>� Cálculo de na</p><p>�</p><p>:</p><p>Seja 2yx2f −+= a fronteira entre os dois meios (plano de separação).</p><p>yx2f aa</p><p>��</p><p>�</p><p>+=∇ . Logo, ( )yxnn 2</p><p>5</p><p>1</p><p>f</p><p>f</p><p>aaaa</p><p>���</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>+⋅=⇒</p><p>∇</p><p>∇</p><p>=</p><p>� Cálculo dos componentes de</p><p>�</p><p>D1 :</p><p>1t1n1 DDD</p><p>���</p><p>+=</p><p>� Cálculo de</p><p>�</p><p>Dn1:</p><p>( ) nn11n aaDD</p><p>��</p><p>��</p><p>•=</p><p>( )</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> +</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> +</p><p>⋅</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> +</p><p>•= −+</p><p>2</p><p>yx</p><p>1n</p><p>yxyx</p><p>z3y5x1n</p><p>m</p><p>C</p><p>5</p><p>918</p><p>5</p><p>2</p><p>5</p><p>2</p><p>2</p><p>ηaa</p><p>D</p><p>aaaa</p><p>aaD a</p><p>��</p><p>�</p><p>����</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>– Página 5.6 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0055 –– CCOONNDDUUTTOORREESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA</p><p>� Cálculo de</p><p>�</p><p>D t1:</p><p>( )</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−+−=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> +</p><p>−−+=</p><p>= −</p><p>2zyx1t</p><p>yx</p><p>zyx1t</p><p>n111t</p><p>m</p><p>C 32361</p><p>5</p><p>918</p><p>352</p><p>ηaaaD</p><p>aa</p><p>aaaD</p><p>DDD</p><p>���</p><p>�</p><p>��</p><p>���</p><p>�</p><p>���</p><p>,,</p><p>a) </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> +</p><p>=⇒= 2</p><p>yx</p><p>n21nn2</p><p>m</p><p>C</p><p>5</p><p>918</p><p>ηaa</p><p>DDD</p><p>��</p><p>���</p><p>b)</p><p>� � �</p><p>�</p><p>� �</p><p>E E D</p><p>D</p><p>D Dt2 t2 o R2</p><p>t1</p><p>o R1</p><p>t2</p><p>R2</p><p>R1</p><p>t1= ⇒ = ⋅ ⇒ =t1 ε ε</p><p>ε ε</p><p>ε</p><p>ε</p><p>( ) </p><p></p><p></p><p></p><p>−+−=⇒−+−⋅= 2zyxt2zyxt2</p><p>m</p><p>C 21281640 32361</p><p>5</p><p>2 ηaaaDaaaD</p><p>���</p><p>�</p><p>���</p><p>�</p><p>,,,,,</p><p>c)</p><p>� � �</p><p>D D D2 = +n2 t2</p><p>( )</p><p></p><p></p><p></p><p>−+=</p><p>−+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> +</p><p>=</p><p>2zyx2</p><p>zyx</p><p>yx</p><p>2</p><p>m</p><p>C 210832,96</p><p>212810,64-+</p><p>5</p><p>918</p><p>ηaaaD</p><p>aaa</p><p>aa</p><p>D</p><p>���</p><p>�</p><p>���</p><p>��</p><p>�</p><p>,,</p><p>,,</p><p>d)</p><p>� � � � �</p><p>�</p><p>� �</p><p>P D E P D</p><p>D</p><p>P D2 2</p><p>2</p><p>2 1</p><p>1</p><p>= − = − ⇒ = −</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⇒2 2 2 2ε ε</p><p>ε ε ε</p><p>o o</p><p>o R2 R2</p><p>( )</p><p>( ) </p><p></p><p></p><p>η−+=∴</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−⋅−+=</p><p>2zyx</p><p>zyx</p><p>m</p><p>C aaaP</p><p>aaaP</p><p>���</p><p>�</p><p>���</p><p>�</p><p>6,054,148,1</p><p>2</p><p>1</p><p>12,108,396,2</p><p>2</p><p>2</p><p>e)</p><p>dW</p><p>d</p><p>dW</p><p>d</p><p>dW</p><p>d</p><p>E</p><p>vol</p><p>E</p><p>vol o R2</p><p>E</p><p>vol o R2</p><p>= • ⇒ = • ⇒ = •</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>22 2 2</p><p>2 2</p><p>2</p><p>� � �</p><p>�</p><p>D E D</p><p>D D</p><p>ε ε ε ε</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=⇒</p><p>⋅⋅</p><p>⋅++</p><p>⋅=</p><p>−</p><p>−</p><p>3</p><p>vol</p><p>E</p><p>12</p><p>8222</p><p>vol</p><p>E</p><p>m</p><p>J 5560</p><p>d</p><p>dW</p><p>1085482</p><p>1021083962</p><p>2</p><p>1</p><p>d</p><p>dW µ,</p><p>,</p><p>),,,(</p><p>Nota:</p><p>� Cálculo de θ θ1 e 2 :</p><p>θ θ θ1 1</p><p>2 2 2</p><p>2 2</p><p>1</p><p>1 6 3 2 3</p><p>3 6 1 8</p><p>49 3=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⇒ =</p><p>+ +</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⇒ = °arctg arctg</p><p>�</p><p>�</p><p>D</p><p>D</p><p>t1</p><p>n1</p><p>, ,</p><p>, ,</p><p>,</p><p>– Página 5.7 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0055 –– CCOONNDDUUTTOORREESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA</p><p>θ θ θ2 2</p><p>2 2 2</p><p>2 2</p><p>2</p><p>0 64 1 28 1 2</p><p>3 6 1 8</p><p>24 9=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⇒ =</p><p>+ +</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⇒ = °arctg arctg</p><p>�</p><p>�</p><p>D</p><p>D</p><p>t2</p><p>n2</p><p>, , ,</p><p>, ,</p><p>,</p><p>5.6) Duas pequenas esferas metálicas iguais de raio a estão bastante afastadas de uma</p><p>distância d e imersas num meio de condutividade σ. Aplica-se a elas uma tensão V.</p><p>Calcule a resistência oferecida pelo material entre as duas esferas.</p><p>Resolução:</p><p>Como d >> a, pode-se considerar as duas esferas como duas cargas pontuais. Deste modo, o campo</p><p>elétrico gerado por qualquer uma delas será: r2</p><p>o r4</p><p>Q</p><p>aE</p><p>�</p><p>�</p><p>πε</p><p>= .</p><p>1o modo:</p><p>� Cálculo da resistência oferecida pelo material entre as esferas:</p><p>∫</p><p>∫</p><p>•</p><p>•−</p><p>=⇒=</p><p>S</p><p>d</p><p>d</p><p>R</p><p>I</p><p>V</p><p>R</p><p>SJ</p><p>LE</p><p>��</p><p>��</p><p>(01)</p><p>� Cálculo de V:</p><p>aad</p><p>d</p><p>a</p><p>d</p><p>a</p><p>oo</p><p>r</p><p>2or</p><p>2</p><p>o</p><p>2</p><p>Q</p><p>V</p><p>11</p><p>4</p><p>Q2</p><p>V</p><p>r</p><p>dr</p><p>4</p><p>Q2</p><p>Vdr</p><p>r4</p><p>Q</p><p>2V</p><p>πεπε</p><p>πεπε</p><p>=⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+−⋅=</p><p>⋅=⇒⋅= ∫∫</p><p>==</p><p>� Cálculo de I:</p><p>oo</p><p>2</p><p>0 0</p><p>2</p><p>2</p><p>o</p><p>2</p><p>oSS</p><p>Q</p><p>I22</p><p>4</p><p>Q</p><p>Id d r</p><p>r</p><p>1</p><p>4</p><p>Q</p><p>I</p><p>r4</p><p>Q</p><p>I II</p><p>ε</p><p>σ</p><p>π</p><p>πε</p><p>σ</p><p>φθθ</p><p>πε</p><p>σ</p><p>πε</p><p>σ</p><p>σ</p><p>π</p><p>φ</p><p>π</p><p>θ</p><p>=⇒⋅⋅=⇒⋅=</p><p>=⇒•=⇒•=</p><p>∫ ∫</p><p>∫∫∫</p><p>= =</p><p>sen</p><p>S</p><p>dSEdSJ</p><p>��</p><p>(03)</p><p>(02)</p><p>– Página 5.8 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0055 –– CCOONNDDUUTTOORREESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA</p><p>Substituindo (02) e (03) em (01), temos:</p><p>aa 2</p><p>1</p><p>R</p><p>Q 2</p><p>Q</p><p>R o</p><p>o πσσ</p><p>ε</p><p>πε</p><p>=⇒⋅=</p><p>2o modo:</p><p>I</p><p>d2</p><p>R</p><p>I</p><p>V</p><p>R ∫ •⋅</p><p>=⇒=</p><p>LE</p><p>��</p><p>(01)</p><p>� Cálculo de E</p><p>�</p><p>:</p><p>r222 r 4</p><p>I</p><p>r 4</p><p>I</p><p>EE</p><p>r 4</p><p>I</p><p>E</p><p>Area</p><p>I</p><p>J</p><p>aE</p><p>�</p><p>�</p><p>σπσπ</p><p>σ</p><p>π</p><p>σ</p><p>=⇒=⇒=</p><p>==</p><p>� Cálculo de V:</p><p>aad</p><p>d</p><p>a</p><p>d</p><p>a</p><p>2</p><p>I</p><p>V</p><p>11</p><p>4</p><p>I2</p><p>V</p><p>r</p><p>dr</p><p>4</p><p>I2</p><p>Vdr</p><p>r 4</p><p>I</p><p>2V</p><p>r</p><p>2</p><p>r</p><p>2</p><p>πσπσ</p><p>πσπσ</p><p>=⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+−⋅=</p><p>⋅=⇒⋅= ∫∫</p><p>==</p><p>Substituindo (03) em (01), temos:</p><p>aa 2</p><p>1</p><p>R</p><p>I</p><p>1</p><p>2</p><p>I</p><p>R</p><p>πσπσ</p><p>=⇒⋅=</p><p>5.7) O vetor unitário ( )� � � �</p><p>a a a aN12 2 3 6 7= − + +x y z , é dirigido da região 1 para a região 2,</p><p>sendo normal a fronteira plana entre os dois dielétricos perfeitos com εεεεR1 = 3 e εεεεR2 = 2.</p><p>Sendo [ ]</p><p>�</p><p>� � �</p><p>E a a a1 100 80 60= + +x y z V</p><p>m , determine</p><p>�</p><p>E2 .</p><p>Resolução:</p><p>� Cálculo dos componentes de</p><p>�</p><p>E1:</p><p>� � �</p><p>E E E1 1= +n t1</p><p>� Cálculo de</p><p>�</p><p>En1 :</p><p>( )</p><p>� �</p><p>� �</p><p>E E a an N12 N121 1= •</p><p>( )</p><p>[ ]m</p><p>V 9848492432716</p><p>7</p><p>632</p><p>7</p><p>632</p><p>6080100</p><p>zyx1n</p><p>zyxzyx</p><p>zyx1n</p><p>aaaE</p><p>aaaaaa</p><p>aaaE</p><p>���</p><p>�</p><p>������</p><p>���</p><p>�</p><p>,,, +−=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> −</p><p>⋅</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> −</p><p>•+=</p><p>+</p><p>++++</p><p>+</p><p>(02)</p><p>(03)</p><p>– Página 5.9 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0055 –– CCOONNDDUUTTOORREESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA</p><p>� Cálculo de</p><p>�</p><p>E t1 :</p><p>( ) ( )</p><p>[ ]m</p><p>V 02115155327116</p><p>93484924327166080100</p><p>zyx1t</p><p>zyxzyx1t</p><p>n111t</p><p>aaaE</p><p>aaaaaaE</p><p>EEE</p><p>���</p><p>�</p><p>������</p><p>�</p><p>���</p><p>,,,</p><p>,,,</p><p>++=∴</p><p>++−−++=</p><p>= −</p><p>� Cálculo dos componentes de</p><p>�</p><p>E2 :</p><p>� � �</p><p>E E E2 = +n2 t2 (01)</p><p>� Cálculo de</p><p>�</p><p>En2 :</p><p>�</p><p>� �</p><p>� �</p><p>E</p><p>D D</p><p>E En2</p><p>n2</p><p>o R2</p><p>n1</p><p>o R2</p><p>n2</p><p>R1</p><p>R2</p><p>n1= = ⇒ =</p><p>ε ε ε ε</p><p>ε</p><p>ε</p><p>( )</p><p>[ ]m</p><p>V 47737353649124</p><p>9848492432716</p><p>2</p><p>3</p><p>zyxn2</p><p>zyxn2</p><p>aaaE</p><p>aaaE</p><p>���</p><p>�</p><p>���</p><p>�</p><p>,,,</p><p>,,,</p><p>+−=∴</p><p>+−⋅=</p><p>+</p><p>+</p><p>� Cálculo de</p><p>�</p><p>E t2 :</p><p>[ ]</p><p>m</p><p>V 02115155327116 zyx1t2t aaaEE</p><p>���</p><p>��</p><p>,,, ++= = (03)</p><p>Substituindo (02) e (03) em (01), temos:</p><p>( ) ( )</p><p>[ ]m</p><p>V 449842459283691</p><p>47737353649124+02115155327116</p><p>zyx2</p><p>zyxzyx2</p><p>aaaE</p><p>aaaaaaE</p><p>���</p><p>�</p><p>������</p><p>�</p><p>,,,</p><p>,,,,,,</p><p>++=∴</p><p>++−++=</p><p>5.8) Dado o campo potencial 2r200V /)cossen( φθ= [V], determinar:</p><p>a) A equação da superfície condutora na qual V = 100 V;</p><p>b) O campo elétrico E</p><p>�</p><p>no ponto P (r, 30o, 30o) sobre a superfície condutora;</p><p>c) A densidade superficial ρS no ponto P.</p><p>ASSUMIR: ε = εo na superfície adjacente</p><p>Resolução:</p><p>a) Para determinar a equação da superfície condutora na qual V = 100 V, basta substituir este</p><p>valor na equação de campo dada.</p><p>Portanto: φθ</p><p>φθ</p><p>cossen</p><p>)cossen(</p><p>2r 100</p><p>r</p><p>200</p><p>V 2</p><p>2</p><p>=⇒==</p><p>(02)</p><p>– Página 5.10 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0055 –– CCOONNDDUUTTOORREESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA</p><p>b) Dados: P (r,θ = 30o, φ = 30o )</p><p>φθ</p><p>∂φ</p><p>∂</p><p>θ∂θ</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>aaaE</p><p>���</p><p>�� V</p><p>r</p><p>1V</p><p>r</p><p>1</p><p>r</p><p>V</p><p>V r</p><p>sen</p><p>−−−=∇−=</p><p>( )</p><p>( ) ( )[ ]φθ</p><p>φθ</p><p>φθ</p><p>φφθφθ</p><p>φφθφθ</p><p>φ</p><p>θ</p><p>θ</p><p>θ</p><p>φφθ</p><p>aaaE</p><p>aaaE</p><p>aaaE</p><p>���</p><p>�</p><p>���</p><p>�</p><p>���</p><p>�</p><p>2</p><p>r</p><p>200</p><p>r</p><p>200</p><p>r</p><p>200</p><p>r</p><p>400</p><p>r</p><p>200</p><p>r</p><p>1</p><p>r</p><p>200</p><p>r</p><p>1</p><p>r</p><p>400</p><p>r3</p><p>32r3</p><p>22r3</p><p>sencoscoscossen</p><p>sencoscoscossen</p><p>sen</p><p>sen</p><p>sen</p><p>cos</p><p>coscossen</p><p>+−=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−⋅−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−−=</p><p>Substituindo as coordenadas de P em (01), temos:</p><p>( ) ( )[ ]</p><p>( )φθ</p><p>φθ</p><p>aaaE</p><p>aaaE</p><p>���</p><p>�</p><p>���</p><p>�</p><p>50 750 8660</p><p>r</p><p>200</p><p>30303030302</p><p>r</p><p>200</p><p>r3</p><p>r3</p><p>,,,</p><p>sencoscoscossen</p><p>+−=</p><p>°+°°−°°=</p><p>Mas φθcossen2r 2 = (item a).Portanto 93060r30302r 2 ,cossen =⇒°°= (03)</p><p>Substituindo (03) em (02), temos:</p><p>( )</p><p>[ ]m</p><p>V 1124 1186 215</p><p>50 750 8660</p><p>93060</p><p>200</p><p>r</p><p>r3</p><p>φθ</p><p>φθ</p><p>aaaE</p><p>aaaE</p><p>���</p><p>�</p><p>���</p><p>�</p><p>,,</p><p>,,,</p><p>,</p><p>+−=</p><p>+−=</p><p>c) NS D=ρ</p><p>� Cálculo de ND :</p><p>( ) </p><p></p><p></p><p></p><p>±==⇒±=</p><p>++=⇒=⇒=⇒=</p><p>2SNoN</p><p>222</p><p>oNoNNoNo</p><p>m</p><p>C 752D 256310D</p><p>11241186215DDED</p><p>ηρε</p><p>εεεε</p><p>,,</p><p>,,EED</p><p>���</p><p>(01)</p><p>(02)</p><p>– Página 5.11 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0055 –– CCOONNDDUUTTOORREESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA</p><p>5.9) Duas cargas pontuais e simétricas de 100 ηηηηC estão localizadas acima de um plano</p><p>condutor situado em z = 0, sendo a carga positiva em (ρρρρ = 1 m, φφφφ = ππππ/2, z = 1 m) e a carga</p><p>negativa em (ρρρρ = 1 m, φφφφ = 3ππππ/2, z = 1 m). Determinar:</p><p>a) A densidade superficial de carga na origem;</p><p>b) A densidade superficial de carga no ponto A(ρρρρ = 1 m, φφφφ = ππππ/2, z = 0);</p><p>c) A densidade de fluxo elétrico D</p><p>�</p><p>no ponto B(ρρρρ = 0, φφφφ = 0, z = 1 m).</p><p>Resolução:</p><p>Dados: ( ) ( )</p><p>( ) ( )</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=⇒====</p><p>=⇒====</p><p>−=−=====</p><p>1001z00</p><p>0100z21</p><p>C100QQQ ; C100QQQ 3241</p><p>,,,,</p><p>,,,,</p><p>BB</p><p>AA</p><p>φρ</p><p>πφρ</p><p>ηη</p><p>a) Na origem, o vetor densidade de fluxo elétrico ( 0D</p><p>�</p><p>) é nulo, pois os campos criados pelas</p><p>cargas objeto ( 2010 e DD</p><p>��</p><p>) são anulados pelos campos criados pelas cargas imagem ( 4030 e DD</p><p>��</p><p>).</p><p>Logo, 00S == D</p><p>�</p><p>ρ</p><p>b) AAS D</p><p>�</p><p>=ρ , onde AD</p><p>�</p><p>é o vetor densidade de fluxo elétrico resultante no ponto (01)</p><p>� Cálculo de AD</p><p>�</p><p>:</p><p>A4A3A2A1A DDDDD</p><p>�����</p><p>+++= (02)</p><p>A1</p><p>R2</p><p>A1</p><p>1</p><p>A1</p><p>R4</p><p>Q</p><p>aD</p><p>�</p><p>�</p><p>π</p><p>= , onde</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p>=</p><p>=−=</p><p>5</p><p>2</p><p>5R ; 2</p><p>zy</p><p>A1</p><p>R</p><p>A1zyA1</p><p>aa</p><p>a</p><p>aaR</p><p>��</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>(03)</p><p>– Página 5.12 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0055 –– CCOONNDDUUTTOORREESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA</p><p>A2</p><p>R2</p><p>A2</p><p>2</p><p>A2</p><p>R4</p><p>Q</p><p>aD</p><p>�</p><p>�</p><p>π</p><p>= , onde</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−=</p><p>=−=</p><p>z</p><p>A2</p><p>R</p><p>A2zA2 1R ;</p><p>aa</p><p>aR</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>(04)</p><p>A3</p><p>R2</p><p>A3</p><p>3</p><p>A3</p><p>R4</p><p>Q</p><p>aD</p><p>�</p><p>�</p><p>π</p><p>= , onde</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+</p><p>=</p><p>=+=</p><p>5</p><p>2</p><p>5R ; 2</p><p>zy</p><p>A3</p><p>R</p><p>A3zyA3</p><p>aa</p><p>a</p><p>aaR</p><p>��</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>(05)</p><p>A4</p><p>R2</p><p>A4</p><p>4</p><p>A4</p><p>R4</p><p>Q</p><p>aD</p><p>�</p><p>�</p><p>π</p><p>= , onde</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>==</p><p>z</p><p>A4</p><p>R</p><p>A4zA4 1R ;</p><p>aa</p><p>aR</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>(06)</p><p>Substituindo (03), (04), (05) e (06) em (02), temos:</p><p>( )</p><p>( )</p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p></p><p></p><p>−⋅=∴</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> −</p><p>⋅=⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> −</p><p>⋅=⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+</p><p>−</p><p>⋅=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+</p><p>−</p><p>⋅=⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+</p><p>+</p><p>−+</p><p>−</p><p>⋅=</p><p>⋅+</p><p>+</p><p>⋅</p><p>−</p><p>+−⋅</p><p>−</p><p>+</p><p>−</p><p>⋅=</p><p>2zA2zA</p><p>zAzAzA</p><p>zAz</p><p>zy</p><p>z</p><p>zy</p><p>A</p><p>z</p><p>zy</p><p>z</p><p>zy</p><p>A</p><p>m</p><p>C 4914ou</p><p>m</p><p>C 525</p><p>2</p><p>25</p><p>525</p><p>2</p><p>100</p><p>55</p><p>155</p><p>2</p><p>Q</p><p>1</p><p>55</p><p>1</p><p>2</p><p>Q</p><p>2</p><p>55</p><p>2</p><p>4</p><p>Q</p><p>55</p><p>2</p><p>55</p><p>2</p><p>4</p><p>Q</p><p>4</p><p>Q</p><p>5</p><p>2</p><p>54</p><p>Q</p><p>4</p><p>Q</p><p>5</p><p>2</p><p>20</p><p>Q</p><p>ηη</p><p>π</p><p>π</p><p>η</p><p>ππ</p><p>ππ</p><p>ππππ</p><p>aDaD</p><p>aDaDaD</p><p>aDa</p><p>aa</p><p>a</p><p>aa</p><p>D</p><p>a</p><p>aa</p><p>a</p><p>aa</p><p>D</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>,</p><p>Substituindo (07) em (01), temos:</p><p>( ) </p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p>−⋅= 2zS2zAS</p><p>m</p><p>C 4914ou</p><p>m</p><p>C 525</p><p>2 ηρη</p><p>π</p><p>ρ aa</p><p>��</p><p>,</p><p>c) Cálculo de BD</p><p>�</p><p>:</p><p>B4B3B2B1B DDDDD</p><p>�����</p><p>+++= (01)</p><p>B1</p><p>R2</p><p>B1</p><p>1</p><p>B1</p><p>R4</p><p>Q</p><p>aD</p><p>�</p><p>�</p><p>π</p><p>= , onde</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>==</p><p>y</p><p>A1</p><p>R</p><p>B1yB1 1R ;</p><p>aa</p><p>aR</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>(02)</p><p>B2</p><p>R2</p><p>B2</p><p>2</p><p>B2</p><p>R4</p><p>Q</p><p>aD</p><p>�</p><p>�</p><p>π</p><p>= , onde</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−=</p><p>=−=</p><p>y</p><p>B2</p><p>R</p><p>B2yB2 1R ;</p><p>aa</p><p>aR</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>(03)</p><p>(07)</p><p>– Página 5.13 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0055 –– CCOONNDDUUTTOORREESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA</p><p>B3</p><p>R2</p><p>B3</p><p>3</p><p>B3</p><p>R4</p><p>Q</p><p>aD</p><p>�</p><p>�</p><p>π</p><p>= , onde</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+</p><p>=</p><p>=+=</p><p>5</p><p>2</p><p>5R ; 2</p><p>zy</p><p>B3</p><p>R</p><p>B3zyB3</p><p>aa</p><p>a</p><p>aaR</p><p>��</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>(04)</p><p>B4</p><p>R2</p><p>B4</p><p>4</p><p>B4</p><p>R4</p><p>Q</p><p>aD</p><p>�</p><p>�</p><p>π</p><p>= , onde</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+−</p><p>=</p><p>=+−=</p><p>5</p><p>2</p><p>5R ; 2</p><p>zy</p><p>B4</p><p>R</p><p>B4zyB4</p><p>aa</p><p>a</p><p>aaR</p><p>��</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>(05)</p><p>Substituindo (02), (03), (04) e (05) em (01), temos:</p><p>( )</p><p>( )</p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p></p><p></p><p>−⋅=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> −</p><p>⋅=⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> −</p><p>⋅=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> −</p><p>⋅=⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−⋅=⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−⋅=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−⋅=⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> +−</p><p>+</p><p>+</p><p>−+⋅=</p><p>+−</p><p>⋅+</p><p>+</p><p>⋅</p><p>−</p><p>+−⋅</p><p>−</p><p>+⋅=</p><p>2yB2yB</p><p>yByB</p><p>yByB</p><p>y</p><p>yB</p><p>y</p><p>yB</p><p>zyzy</p><p>yyB</p><p>zy</p><p>z</p><p>zy</p><p>yyB</p><p>m</p><p>C 4914ou</p><p>m</p><p>C 525</p><p>2</p><p>25</p><p>525</p><p>2</p><p>100</p><p>25</p><p>525</p><p>2</p><p>Q</p><p>55</p><p>155</p><p>2</p><p>Q</p><p>55</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>Q</p><p>55</p><p>2</p><p>2</p><p>4</p><p>Q</p><p>55</p><p>2</p><p>2</p><p>4</p><p>Q</p><p>55</p><p>2</p><p>55</p><p>2</p><p>4</p><p>Q</p><p>5</p><p>2</p><p>54</p><p>Q</p><p>5</p><p>2</p><p>54</p><p>Q</p><p>4</p><p>Q</p><p>4</p><p>Q</p><p>ηη</p><p>π</p><p>π</p><p>η</p><p>π</p><p>πππ</p><p>ππ</p><p>ππππ</p><p>aDaD</p><p>aDaD</p><p>aDaD</p><p>a</p><p>aD</p><p>a</p><p>aD</p><p>aaaa</p><p>aaD</p><p>aa</p><p>a</p><p>aa</p><p>aaD</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>����</p><p>��</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>��</p><p>��</p><p>�</p><p>,</p><p>5.10) A região entre as placas de metal de um capacitor é preenchida por 4 (quatro) camadas</p><p>de dielétricos diferentes, com permissividades 2εεεεo, 3εεεεo, 4εεεεo e 5εεεεo, onde εεεεo é a</p><p>permissividade elétrica do vácuo. Cada camada tem espessura a e área S. Determinar,</p><p>para os arranjos de dielétricos em série e em paralelo:</p><p>a) As magnitudes do campo elétrico (E) e da densidade de fluxo (D) em cada camada;</p><p>b) A diferença de potencial (Vo) entre as placas;</p><p>c) A capacitância total (C) resultante;</p><p>Nota: Usar apenas os parâmetros dados, adotando as cargas das placas iguais ±±±±Q.</p><p>Obs: Para um arranjo série de dielétricos, deve-se considerar que a área das placas que formam o</p><p>capacitor é igual a área de cada camada de dielétrico , ou seja, Splaca = Scamada = S; (Arranjo Série)</p><p>Para um arranjo paralelo de dielétricos, deve-se considerar que a área das placas que formam</p><p>o capacitor foi dividida em quatro, de modo que Splaca = 4Scamada = 4S; (Arranjo Paralelo)</p><p>– Página 5.14 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0055 –– CCOONNDDUUTTOORREESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA</p><p>Resolução:</p><p>� Arranjo Série:</p><p>a) Pelas condições de contorno, DDD 2n1n == .</p><p>Sabe-se que</p><p>S</p><p>Ψ</p><p>=D e que Q=Ψ . Portanto,</p><p>S</p><p>Q</p><p>DDDDD 4321 ===== (01)</p><p>Mas E D ε= (02)</p><p>Substituindo (01) em (02), temos:</p><p>oo S2</p><p>S</p><p>εεε 2</p><p>Q</p><p>E</p><p>Q</p><p>E</p><p>D</p><p>E 11</p><p>1</p><p>1</p><p>1 =⇒=⇒=</p><p>oo S3</p><p>S</p><p>εεε 3</p><p>Q</p><p>E</p><p>Q</p><p>E</p><p>D</p><p>E 22</p><p>2</p><p>2</p><p>2 =⇒=⇒=</p><p>oo S4</p><p>S</p><p>εεε 4</p><p>Q</p><p>E</p><p>Q</p><p>E</p><p>D</p><p>E 33</p><p>3</p><p>3</p><p>3 =⇒=⇒=</p><p>oo S5</p><p>S</p><p>εεε 5</p><p>Q</p><p>E</p><p>Q</p><p>E</p><p>D</p><p>E 44</p><p>4</p><p>4</p><p>4 =⇒=⇒=</p><p>b) 4321o VVVVV +++=</p><p>44332211o dEdEdEdEV +++= , onde</p><p></p><p></p><p></p><p> ====</p><p>(a) item no calculados foram EEEE</p><p>dddd</p><p>4321</p><p>4321</p><p>,,,</p><p>a</p><p>(01)</p><p>Substituindo os valores de 4321 E e EEE ,, em (01), temos:</p><p>oo</p><p>o</p><p>S</p><p>a</p><p>S</p><p>a</p><p>S</p><p>a</p><p>εε</p><p>ε</p><p>⋅</p><p>⋅</p><p>⋅=⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> +++</p><p>⋅</p><p>⋅</p><p>⋅</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+++⋅</p><p>⋅</p><p>⋅</p><p>=</p><p>Q</p><p>60</p><p>77</p><p>V</p><p>60</p><p>12152030Q</p><p>V</p><p>5</p><p>1</p><p>4</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>2</p><p>1Q</p><p>V</p><p>oo</p><p>o</p><p>– Página 5.15 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0055 –– CCOONNDDUUTTOORREESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA</p><p>c) O cálculo da capacitância pode ser feito de duas maneiras. A primeira considera a definição</p><p>de capacitância para um capacitor de placas paralelas (</p><p>oV</p><p>QC = ). A segunda considera que a</p><p>capacitância total (C)do arranjo acima é equivalente à capacitância resultante quando admitimos</p><p>que os quatro capacitores formados pelas camadas de dielétricos acima estão colocados em série.</p><p>1o modo:</p><p>a</p><p>S</p><p>S</p><p>a</p><p>o</p><p>o</p><p>o 77</p><p>60</p><p>C</p><p>Q</p><p>60</p><p>77</p><p>Q</p><p>C</p><p>V</p><p>Q</p><p>C</p><p>ε</p><p>ε</p><p>⋅</p><p>⋅=⇒</p><p>⋅</p><p>⋅</p><p>⋅</p><p>=⇒=</p><p>2o modo:</p><p>a</p><p>Sa</p><p>S</p><p>a</p><p>S</p><p>a</p><p>S</p><p>a</p><p>S</p><p>a</p><p>S</p><p>a</p><p>S</p><p>a</p><p>o</p><p>oo</p><p>oooo4321</p><p>77</p><p>60</p><p>C</p><p>60</p><p>77</p><p>1</p><p>C</p><p>5</p><p>1</p><p>4</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>C</p><p>5432</p><p>1</p><p>C</p><p>C</p><p>1</p><p>C</p><p>1</p><p>C</p><p>1</p><p>C</p><p>1</p><p>1</p><p>C</p><p>ε</p><p>εε</p><p>εεεε</p><p>⋅=⇒</p><p>⋅</p><p>=⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+++⋅</p><p>=</p><p>+++</p><p>=⇒</p><p>+++</p><p>=</p><p>� Arranjo Paralelo:</p><p>Para esta configuração, a solução torna-se mais simples quando iniciada em ordem inversa.</p><p>c) 4321 CCCCC +++=</p><p>(01)</p><p>onde</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅</p><p>=⇒</p><p>⋅</p><p>=</p><p>⋅</p><p>=⇒</p><p>⋅</p><p>=</p><p>⋅</p><p>=⇒</p><p>⋅</p><p>=</p><p>⋅</p><p>=⇒</p><p>⋅</p><p>=</p><p>a</p><p>S</p><p>d</p><p>S</p><p>a</p><p>S</p><p>d</p><p>S</p><p>a</p><p>S</p><p>d</p><p>S</p><p>a</p><p>S</p><p>d</p><p>S</p><p>4</p><p>4</p><p>3</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>o</p><p>4</p><p>4</p><p>4</p><p>o</p><p>3</p><p>3</p><p>3</p><p>o</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>o</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>5</p><p>CC</p><p>4</p><p>CC</p><p>3</p><p>CC</p><p>2</p><p>CC</p><p>εε</p><p>εε</p><p>εε</p><p>εε</p><p>v (02)</p><p>Substituindo (02) em (01), temos:</p><p>( )</p><p>a</p><p>S</p><p>a</p><p>S</p><p>a</p><p>S</p><p>a</p><p>S</p><p>a</p><p>S</p><p>a</p><p>S oooooo 14C5432C</p><p>5432</p><p>C</p><p>εεεεεε</p><p>⋅=⇒+++⋅=⇒</p><p>⋅</p><p>+</p><p>⋅</p><p>+</p><p>⋅</p><p>+</p><p>⋅</p><p>=</p><p>b)</p><p>S</p><p>a</p><p>a</p><p>S o</p><p>o</p><p>o</p><p>oo</p><p>o</p><p>Q</p><p>14</p><p>1</p><p>V</p><p>14</p><p>Q</p><p>V</p><p>C</p><p>Q</p><p>V</p><p>V</p><p>Q</p><p>C</p><p>εε</p><p>⋅</p><p>⋅=⇒</p><p>⋅</p><p>=⇒=⇒= (03)</p><p>– Página 5.16 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0055 –– CCOONNDDUUTTOORREESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA</p><p>a) Sabe-se que :</p><p>d</p><p>V</p><p>EEdV =⇒= (04)</p><p>Mas</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>====</p><p>====</p><p>4321</p><p>4321o</p><p>dddd</p><p>VVVVV</p><p>a</p><p>(05)</p><p>Substituindo (05) em (04), tem-se:</p><p>Sa o</p><p>o</p><p>4321</p><p>Q</p><p>14</p><p>1</p><p>E</p><p>V</p><p>EEEEE</p><p>ε</p><p>⋅=⇒===== (06)</p><p>Sabe-se que : ED ⋅= ε (07)</p><p>Substituindo (07) em (06) para cada região, tem-se:</p><p>SS</p><p>Q</p><p>14</p><p>2</p><p>D</p><p>14</p><p>Q</p><p>2DED 1</p><p>o</p><p>o111 ⋅=⇒⋅=⇒⋅=</p><p>ε</p><p>εε</p><p>SS</p><p>Q</p><p>14</p><p>3</p><p>D</p><p>14</p><p>Q</p><p>3DED 2</p><p>o</p><p>o222 ⋅=⇒⋅=⇒⋅=</p><p>ε</p><p>εε</p><p>SS</p><p>Q</p><p>14</p><p>4</p><p>D</p><p>14</p><p>Q</p><p>4DED 3</p><p>o</p><p>o333 ⋅=⇒⋅=⇒⋅=</p><p>ε</p><p>εε</p><p>SS</p><p>Q</p><p>14</p><p>5</p><p>D</p><p>14</p><p>Q</p><p>5DED 4</p><p>o</p><p>o444 ⋅=⇒⋅=⇒⋅=</p><p>ε</p><p>εε</p><p>Nota: Das equações (02) e (03) , pode-se calcular a forma com que a carga total Q foi distribuída</p><p>entre as camadas de dielétricos.</p><p>Q</p><p>14</p><p>2</p><p>Q</p><p>Q</p><p>14</p><p>12</p><p>QVCQ 1</p><p>o</p><p>o</p><p>1o11 ⋅=⇒</p><p>⋅</p><p>⋅⋅</p><p>⋅</p><p>=⇒=</p><p>S</p><p>a</p><p>a</p><p>S</p><p>ε</p><p>ε</p><p>Q</p><p>14</p><p>3</p><p>Q</p><p>Q</p><p>14</p><p>13</p><p>QVCQ 2</p><p>o</p><p>o</p><p>2o22 ⋅=⇒</p><p>⋅</p><p>⋅⋅</p><p>⋅</p><p>=⇒=</p><p>S</p><p>a</p><p>a</p><p>S</p><p>ε</p><p>ε</p><p>Q</p><p>14</p><p>4</p><p>Q</p><p>Q</p><p>14</p><p>14</p><p>QVCQ 3</p><p>o</p><p>o</p><p>3o33 ⋅=⇒</p><p>⋅</p><p>⋅⋅</p><p>⋅</p><p>=⇒=</p><p>S</p><p>a</p><p>a</p><p>S</p><p>ε</p><p>ε</p><p>Q</p><p>14</p><p>5</p><p>Q</p><p>Q</p><p>14</p><p>15</p><p>QVCQ 4</p><p>o</p><p>o</p><p>4o44 ⋅=⇒</p><p>⋅</p><p>⋅⋅</p><p>⋅</p><p>=⇒=</p><p>S</p><p>a</p><p>a</p><p>S</p><p>ε</p><p>ε</p><p>Logo, devido às diferentes permissividades, a carga Q não foi igualmente distribuída entre as</p><p>camadas. Deve-se ressaltar que a relação 4321 QQQQQ +++= continua verdadeira.</p><p>– Página 5.17 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0055 –– CCOONNDDUUTTOORREESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA</p><p>5.11) Duas esferas condutoras concêntricas de raios r = 3 mm e r = 7 mm são separadas por</p><p>dois dielétricos diferentes, sendo a fronteira entre os dois dielétricos localizada em r = 5</p><p>mm. Se as permissividades relativas são εεεεR1 = 4, para o dielétrico mais interno, e εεεεR2 = 6,</p><p>para o outro dielétrico, e ρρρρS = 10 ηηηηC/m2 na esfera interna, determinar:</p><p>a) A expressão que fornece o campo elétrico entre as duas esferas, utilizando a Lei de</p><p>Gauss;</p><p>b) A diferença de potencial entre as duas esferas;</p><p>c) A capacitância (*) do capacitor esférico formado.</p><p>(*) A fórmula da capacitância do capacitor esférico não poderá ser usada diretamente.</p><p>Resolução:</p><p>Dados:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>==</p><p>== 2S62R41R m</p><p>C10 ; ;</p><p>mm7 ; mm3</p><p>ηρεε</p><p>ba</p><p>a) Pela Lei de Gauss: ∫∫ ==•</p><p>vol</p><p>vinterna</p><p>S</p><p>dvQ ρdSD</p><p>�</p><p>� Seja a superfície Gaussiana esférica de raio r < a:</p><p>0 0Q pois ,0 1interna1 =⇒== ED</p><p>��</p><p>� Seja a superfície Gaussiana esférica de raio a < r < b:</p><p>interna</p><p>S</p><p>Q=•∫ dSD</p><p>�</p><p>, onde:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>==</p><p>=</p><p>∫</p><p>S</p><p>Sinterna</p><p>r</p><p>2</p><p>rr</p><p>rr</p><p>dSQ</p><p>d d r</p><p>ρ</p><p>φθθ ;sendS</p><p>D ;</p><p>aadS</p><p>aD</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>– Página 5.18 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0055 –– CCOONNDDUUTTOORREESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA</p><p>r2</p><p>15</p><p>2</p><p>239</p><p>r2</p><p>2</p><p>S</p><p>r</p><p>2</p><p>0 0</p><p>2</p><p>S</p><p>2</p><p>0 0</p><p>r</p><p>2</p><p>rinterna</p><p>S</p><p>r</p><p>1090</p><p>r</p><p>1031010</p><p>r</p><p>d d d d rQ</p><p>aD</p><p>a</p><p>aadSD</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>−−−</p><p>= == =</p><p>⋅</p><p>=⇒</p><p>⋅⋅⋅</p><p>=⇒</p><p>⋅</p><p>=</p><p>=⇒=• ∫ ∫∫ ∫∫</p><p>)(</p><p>DD</p><p>sensenD</p><p>ρ</p><p>φθθρφθθ</p><p>π</p><p>φ</p><p>π</p><p>θ</p><p>π</p><p>φ</p><p>π</p><p>θ</p><p>Mas ED</p><p>��</p><p>ε= e portanto, teremos duas expressões para o campo elétrico entre as duas esferas.</p><p>� Campo elétrico para 3mm < r < 5mm:</p><p>[ ]m</p><p>V 10</p><p>r</p><p>5412</p><p>1085484</p><p>r</p><p>1090</p><p>r</p><p>3</p><p>21r12</p><p>2</p><p>15</p><p>1</p><p>1Ro</p><p>1</p><p>1</p><p>1 aEaE</p><p>D</p><p>E</p><p>D</p><p>E</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>−</p><p>−</p><p>−</p><p>⋅=⇒</p><p>⋅⋅</p><p>⋅</p><p>=⇒=⇒=</p><p>,</p><p>,εεε</p><p>� Campo elétrico para 5mm < r < 7mm:</p><p>[ ]</p><p>m</p><p>V 10</p><p>r</p><p>6941</p><p>1085486</p><p>r</p><p>1090</p><p>r</p><p>3</p><p>22r12</p><p>2</p><p>15</p><p>2</p><p>2Ro</p><p>2</p><p>2</p><p>2 aEaE</p><p>D</p><p>E</p><p>D</p><p>E</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>−</p><p>−</p><p>−</p><p>⋅=⇒</p><p>⋅⋅</p><p>⋅</p><p>=⇒=⇒=</p><p>,</p><p>,εεε</p><p>b)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>•+•−=⇒•−= ∫∫∫</p><p>a</p><p>b</p><p>a</p><p>b</p><p>drEdrEdLE</p><p>mm5</p><p>1</p><p>mm5</p><p>2abab VV</p><p>���</p><p>[ ]V 43560V 10833810808596V</p><p>10</p><p>r</p><p>5412</p><p>10</p><p>r</p><p>6941</p><p>V</p><p>dr10</p><p>r</p><p>5412</p><p>dr10</p><p>r</p><p>6941</p><p>V</p><p>ab</p><p>33</p><p>ab</p><p>3103</p><p>3105</p><p>3</p><p>3105</p><p>3107</p><p>3</p><p>ab</p><p>mm3</p><p>mm5</p><p>3</p><p>2</p><p>mm5</p><p>mm7</p><p>3</p><p>2ab</p><p>,,,</p><p>,,</p><p>,,</p><p>=⇒⋅+⋅=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅+⋅−=</p><p>−−</p><p>−⋅</p><p>−⋅</p><p>−</p><p>−⋅</p><p>−⋅</p><p>−</p><p>−−</p><p>∫∫</p><p>c)</p><p>ab</p><p>S</p><p>2</p><p>ab</p><p>S</p><p>S</p><p>ab</p><p>interna</p><p>o V</p><p>4</p><p>C</p><p>V</p><p>dS</p><p>C</p><p>V</p><p>Q</p><p>C</p><p>V</p><p>Q</p><p>C</p><p>ρπ</p><p>ρ</p><p>a</p><p>=⇒=⇒=⇒=</p><p>∫</p><p>[ ]F 5962C</p><p>43560</p><p>10101034</p><p>C</p><p>923</p><p>η</p><p>π</p><p>,</p><p>,</p><p>)(</p><p>=⇒</p><p>⋅⋅⋅⋅</p><p>=</p><p>−−</p><p>– Página 6.1 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0066 –– EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE PPOOIISSSSOONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE</p><p>CAPÍTULO 06</p><p>EQUAÇÕES DE POISSON E DE LAPLACE</p><p>6.1) Seja o potencial no espaço livre (vácuo) expresso por yzx8V 2= volts.</p><p>a) Determinar o campo elétrico ( PE</p><p>�</p><p>) em P (2, -1, 3);</p><p>b) Determinar a densidade volumétrica de carga (ρv) em P;</p><p>c) Determinar a equação da superfície equipotencial que passa por P;</p><p>d) Verificar se a função V acima satisfaz a Equação de Laplace.</p><p>Resolução:</p><p>a) Sabe -se que V∇−=E</p><p>�</p><p>(01)</p><p>� Cálculo do Gradiente (coordenadas cartesianas):</p><p>z</p><p>2</p><p>y</p><p>2</p><p>xzyx yx8zx8xyz16V</p><p>z</p><p>V</p><p>y</p><p>V</p><p>x</p><p>V</p><p>V aaaaaa</p><p>������</p><p>++=∇⇒</p><p>∂</p><p>∂</p><p>+</p><p>∂</p><p>∂</p><p>+</p><p>∂</p><p>∂</p><p>=∇</p><p>Substituindo (02) em (01), temos:</p><p>z</p><p>2</p><p>y</p><p>2</p><p>x yx8zx8xyz16 aaaE</p><p>���</p><p>�</p><p>−−−= (03)</p><p>Substituindo as coordenadas de P em (03), temos o campo elétrico PE</p><p>�</p><p>:</p><p>[ ]</p><p>[ ]m</p><p>V 32 9696</p><p>128 32831216</p><p>zyxP</p><p>z</p><p>2</p><p>y</p><p>2</p><p>xP</p><p>aaaE</p><p>aaaE</p><p>���</p><p>�</p><p>���</p><p>�</p><p>+−=</p><p>−⋅⋅−+⋅⋅−+⋅−⋅⋅−= )]([][)(</p><p>b) ( ) ( ) VV 2</p><p>ovooov ∇−=⇒∇−•∇=•∇=•∇=•∇= ερεεερ EED (01)</p><p>� Cálculo do Laplaciano (coordenadas cartesianas):</p><p>( ) ( ) ( ) 00yz16Vxy16</p><p>z</p><p>xz16</p><p>y</p><p>xyz16</p><p>x</p><p>V</p><p>z</p><p>V</p><p>zy</p><p>V</p><p>yx</p><p>V</p><p>x</p><p>V</p><p>z</p><p>V</p><p>y</p><p>V</p><p>x</p><p>V</p><p>V</p><p>22</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>++=∇⇒</p><p>∂</p><p>∂</p><p>+</p><p>∂</p><p>∂</p><p>+</p><p>∂</p><p>∂</p><p>=∇</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>=∇⇒</p><p>∂</p><p>∂</p><p>+</p><p>∂</p><p>∂</p><p>+</p><p>∂</p><p>∂</p><p>=∇</p><p>Substituindo as coordenadas de P em (02), temos:</p><p>48V3116V 22</p><p>−=∇⇒⋅−⋅=∇ )( (03)</p><p>(02)</p><p>(02)</p><p>– Página 6.2 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0066 –– EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE PPOOIISSSSOONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE</p><p>Substituindo (03) em (01), temos:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=⇒−⋅×−= −</p><p>3v</p><p>12</p><p>v</p><p>m</p><p>pC 425 48108548 ρρ )(,</p><p>c) O potencial em P(2;-1;3),é dado por: [ ]V 96V3128V P</p><p>2</p><p>P −=⇒⋅−⋅⋅= )(</p><p>Logo, a equação da superfície equipotencial que passa por P é:</p><p>012yzx yzx896VV 22</p><p>P =+⇒=−⇒=</p><p>d) A equação não satisfaz a Equação de Laplace, pois 0v ≠ρ (item b), indicando que a região</p><p>contém cargas livres. Portanto, 0V</p><p>2</p><p>≠∇ .</p><p>6.2) Planos condutores em φ = 10o e φ = 0o, em coordenadas cilíndricas, possuem tensões de</p><p>75 volts e zero, respectivamente. Obtenha D na região entre os planos que contém um</p><p>material para o qual εR = 1,65.</p><p>Resolução:</p><p>As superfícies equipotenciais para φ constante são planos radiais conforme mostrado na figura</p><p>anterior.</p><p>Equação de Laplace: 0 ; 0</p><p>V1</p><p>V0V</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>22</p><p>≠==∇⇒=∇ ρ</p><p>∂φ</p><p>∂</p><p>ρ</p><p>�</p><p>, pois )(φfV = .</p><p>0</p><p>V</p><p>0</p><p>V1</p><p>V</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2 =⇒==∇</p><p>∂φ</p><p>∂</p><p>∂φ</p><p>∂</p><p>ρ</p><p>�</p><p>Integrando pela 1a vez:</p><p>A</p><p>V</p><p>=</p><p>∂φ</p><p>∂</p><p>– Página 6.3 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0066 –– EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE PPOOIISSSSOONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE</p><p>Integrando pela 2a vez:</p><p>BAV += φ (01)</p><p>Condições de Contorno:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=⇒⋅==⇒°=</p><p>=⇒=⇒=</p><p>1350</p><p>A</p><p>18</p><p>A75V10 Em</p><p>0B 0V0 Em</p><p>π</p><p>π</p><p>φ</p><p>φ</p><p>Substituindo (02) e (03) em (01), temos:</p><p>[ ]V</p><p>1350</p><p>V φ</p><p>π</p><p>= (04)</p><p>� Cálculo de E :</p><p>[ ]m</p><p>V</p><p>1350</p><p>13501V1</p><p>V</p><p>φ</p><p>φφ</p><p>πρ</p><p>φ</p><p>πφρφρ</p><p>aE</p><p>aEaEE</p><p>−</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>∂</p><p>∂</p><p>−=⇒</p><p>∂</p><p>∂</p><p>−=⇒∇−=</p><p>� Cálculo de D :</p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−⋅⋅×=⇒=⇒= −</p><p>2</p><p>12</p><p>Ro</p><p>m</p><p>C</p><p>286</p><p>1350</p><p>65,110854,8</p><p>η</p><p>ρ</p><p>πρ</p><p>εεε</p><p>φ</p><p>φ</p><p>aD</p><p>aDEDED</p><p>�</p><p>�</p><p>�����</p><p>,</p><p>6.3) Sendo o potencial V função somente da coordenada cilíndrica ρ (como num cabo</p><p>coaxial), determinar:</p><p>a) a expressão matemática de, sendo V =V0 em ρ = a e V = 0 em ρ = b (b > a);</p><p>b) a expressão da capacitância C, com as mesmas condições do item (a);</p><p>c) o valor de VP em P(2,1,3) se V = 50 V em a = 2 m e V = 20 V em b = 3 m.</p><p>Resolução:</p><p>a) Segundo a Equação de Laplace: 0</p><p>V1</p><p>V0V 22</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=∇⇒=∇</p><p>∂ρ</p><p>ρ∂</p><p>∂ρ</p><p>∂</p><p>ρ</p><p>�</p><p>, pois )(ρfV = .</p><p>BAVA</p><p>V</p><p>0</p><p>V</p><p>+=⇒=⇒=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>ρ</p><p>∂ρ</p><p>ρ∂</p><p>∂ρ</p><p>ρ∂</p><p>∂ρ</p><p>∂</p><p>ln (01)</p><p>Condições de Contorno:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅−</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+=</p><p>+=</p><p>b</p><p>a</p><p>b</p><p>B</p><p>b</p><p>a</p><p>Bb</p><p>Ba</p><p>ln</p><p>ln</p><p>ln</p><p>ln</p><p>ln</p><p>o</p><p>o</p><p>o</p><p>V</p><p>V</p><p>A</p><p>A0</p><p>AV</p><p>(02)</p><p>(02)</p><p>(03)</p><p>– Página 6.4 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0066 –– EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE PPOOIISSSSOONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE</p><p>Substituindo (02) em (01), temos:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅=</p><p>a</p><p>b</p><p>b</p><p>ln</p><p>ln</p><p>ρ</p><p>oVV</p><p>b) Sabe-se que</p><p>oV</p><p>Q</p><p>C = (01)</p><p>Porém, SSQ ρ⋅= , onde</p><p>a)== ρρ (DNS (02)</p><p>� Cálculo de E :</p><p>ρρρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>∂ρ</p><p>∂</p><p>aEaEaEE</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅=⇒</p><p>−</p><p>⋅</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p>=⇒−=⇒∇−=</p><p>a</p><p>bb</p><p>b</p><p>a</p><p>b</p><p>2</p><p>lnln</p><p>1VVV</p><p>V oo</p><p>� Cálculo de</p><p>a)=ρ(DN :</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>==∴</p><p>==</p><p>=</p><p>===</p><p>a</p><p>b</p><p>a</p><p>a</p><p>a)</p><p>a)a)a)</p><p>ln</p><p>D</p><p>D</p><p>(</p><p>(((</p><p>o</p><p>NS</p><p>N</p><p>V</p><p>para de módulo o é E onde ,E</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>ρε</p><p>ρ</p><p>ρρρ E</p><p>Substituindo (03) em (02), temos:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=⇒⋅</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>a</p><p>b</p><p>a</p><p>a</p><p>b</p><p>a lnln</p><p>oo VL 2</p><p>QL 2</p><p>V</p><p>Q</p><p>επ</p><p>π</p><p>ε</p><p>(04)</p><p>Substituindo (04) em (01), temos:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>a</p><p>b</p><p>ln</p><p>L 2</p><p>C</p><p>επ</p><p>c)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅=</p><p>a</p><p>b</p><p>b</p><p>ln</p><p>ln</p><p>ρ</p><p>oVV , onde a = 2 m e b = 3 m. (01)</p><p>� Cálculo de VO:</p><p>[ ]V 30V2050V oo =⇒−= (02)</p><p>� Cálculo de ρ:</p><p>512yx 2222 =⇒+=⇒+= ρρρ (03)</p><p>(03)</p><p>– Página 6.5 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0066 –– EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE PPOOIISSSSOONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE</p><p>Substituindo (02) e (03) em (01), temos:</p><p>[ ]V 7421V</p><p>2</p><p>3</p><p>5</p><p>3</p><p>30V ,</p><p>ln</p><p>ln</p><p>=⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅= (Para V = 0 em ρ = a)</p><p>VP = 20 + 21,74 ⇒ VP = 41,74 [V] (Para V = 20 V em ρ = a)</p><p>6.4) Dado o potencial</p><p>2r</p><p>50</p><p>V</p><p>θsen</p><p>= , r≠0 [V], no espaço livre.</p><p>a) Verifique se V satisfaz a equação de Laplace;</p><p>b) Encontrar a carga total armazenada dentro da casca esférica (1 < r < 2).</p><p>Resolução:</p><p>a) Cálculo do Laplaciano (coordenadas esféricas):</p><p>0</p><p>r</p><p>50</p><p>V</p><p>r</p><p>50</p><p>V2</p><p>r</p><p>50</p><p>V</p><p>2</p><p>2</p><p>r</p><p>50</p><p>V</p><p>2</p><p>r</p><p>50</p><p>r</p><p>100</p><p>V</p><p>2</p><p>r</p><p>50</p><p>r</p><p>1</p><p>r</p><p>1</p><p>100</p><p>r</p><p>1</p><p>V</p><p>0</p><p>r</p><p>1</p><p>r</p><p>50</p><p>r</p><p>1</p><p>2</p><p>r</p><p>50</p><p>r</p><p>rr</p><p>1</p><p>V</p><p>V</p><p>r</p><p>1V</p><p>r</p><p>1</p><p>r</p><p>V</p><p>r</p><p>rr</p><p>1</p><p>V</p><p>4</p><p>2</p><p>2</p><p>4</p><p>222</p><p>4</p><p>2</p><p>4</p><p>2</p><p>44</p><p>2</p><p>2222</p><p>2</p><p>22223</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>222</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>≠=∇</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+⋅=∇⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−+⋅=∇</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+⋅=∇⇒⋅+⋅=∇</p><p>⋅+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> −</p><p>⋅⋅−=∇</p><p>⋅+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−⋅=∇</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=∇</p><p>θ</p><p>θ</p><p>θ</p><p>θ</p><p>θ</p><p>θ</p><p>θ</p><p>θ</p><p>θ</p><p>θ</p><p>θ</p><p>θ</p><p>θ</p><p>θ</p><p>θ</p><p>θ</p><p>θ</p><p>θ</p><p>θ</p><p>θθ</p><p>∂θ</p><p>∂</p><p>θ</p><p>θ</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂φ</p><p>∂</p><p>θ∂θ</p><p>∂</p><p>θ</p><p>∂θ</p><p>∂</p><p>θ∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>sen</p><p>sen</p><p>cos</p><p>sen</p><p>sen</p><p>sen</p><p>sen</p><p>cos</p><p>sen</p><p>sen</p><p>cos</p><p>sen</p><p>sen</p><p>cos</p><p>sen</p><p>cos</p><p>sen</p><p>sen</p><p>sen</p><p>cossen</p><p>sen</p><p>)(</p><p>sen</p><p>sen</p><p>sen</p><p>sen</p><p>b) 1o modo:</p><p>Equação de Poisson:</p><p>o</p><p>v2</p><p>V</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>−=∇</p><p>∫=</p><p>vol</p><p>vdvQ ρ , onde:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p>=</p><p>φθθ</p><p>θ</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>d drd rdv</p><p>Poisson) de Equacão a (Segundo</p><p>m</p><p>C</p><p>r</p><p>50</p><p>2</p><p>34</p><p>o</p><p>v</p><p>sen</p><p>sen</p><p>∫∫∫∫</p><p>===</p><p>⋅⋅⋅−=⇒⋅</p><p>−</p><p>=</p><p>π</p><p>φ</p><p>π</p><p>θ</p><p>φθεφθθ</p><p>θ</p><p>ε 2</p><p>00</p><p>2</p><p>1r</p><p>2o</p><p>vol</p><p>2</p><p>4</p><p>o dd</p><p>r</p><p>dr</p><p>50Qd drd r</p><p>r</p><p>50</p><p>Q sen</p><p>sen</p><p>⇒ V não satisfaz a Equação de Laplace</p><p>– Página 6.6 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0066 –– EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE PPOOIISSSSOONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE</p><p>[ ]C 50Q1</p><p>2</p><p>1</p><p>100Q2</p><p>r</p><p>1</p><p>50Q o</p><p>2</p><p>o</p><p>2</p><p>2</p><p>1r</p><p>o επεπππε −=⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−⋅=⇒⋅⋅</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p>⋅−=</p><p>=</p><p>2o modo: [ ]V</p><p>r</p><p>50</p><p>V</p><p>2</p><p>θsen</p><p>=</p><p>� Cálculo de E :</p><p>[ ]m</p><p>V</p><p>r</p><p>50</p><p>r</p><p>100</p><p>V</p><p>r</p><p>1V</p><p>r</p><p>1</p><p>r</p><p>V</p><p>V</p><p>3r3</p><p>r</p><p>θ</p><p>φθ</p><p>θθ</p><p>φθθ</p><p>aaE</p><p>aaaE</p><p>cossen</p><p>sen</p><p>−=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>−</p><p>∂</p><p>∂</p><p>−</p><p>∂</p><p>∂</p><p>−=∇−=</p><p>� Cálculo de D :</p><p></p><p></p><p></p><p>−== 23</p><p>o</p><p>r3</p><p>o</p><p>o m</p><p>C</p><p>r</p><p>50</p><p>r</p><p>100</p><p>θ</p><p>θεθε</p><p>ε aaED</p><p>cossen</p><p>(02)</p><p>� Cálculo de vρ :</p><p>( ) ( ) ( )</p><p>( ) ( )</p><p>( )</p><p>( )</p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p>=⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+⋅</p><p>−</p><p>=</p><p>⋅−</p><p>−</p><p>=</p><p>−⋅</p><p>−</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> −</p><p>⋅⋅=</p><p>+</p><p>∂</p><p>∂</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> −</p><p>⋅+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅</p><p>∂</p><p>∂</p><p>⋅=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>+</p><p>∂</p><p>∂</p><p>+</p><p>∂</p><p>∂</p><p>=•∇=</p><p>34</p><p>o</p><p>v4</p><p>o</p><p>v</p><p>4</p><p>o</p><p>4</p><p>o</p><p>v</p><p>22</p><p>4</p><p>o</p><p>22</p><p>o</p><p>v</p><p>3</p><p>o</p><p>3</p><p>2</p><p>o2v</p><p>r</p><p>2</p><p>2v</p><p>m</p><p>C</p><p>r</p><p>502</p><p>2</p><p>r</p><p>50</p><p>2</p><p>r</p><p>50</p><p>r</p><p>100</p><p>r</p><p>50</p><p>r</p><p>1</p><p>r</p><p>100</p><p>0</p><p>r</p><p>50</p><p>r</p><p>1</p><p>r</p><p>1</p><p>r</p><p>r</p><p>100</p><p>r</p><p>1</p><p>r</p><p>1</p><p>r</p><p>1</p><p>r</p><p>rr</p><p>1</p><p>θ</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>θ</p><p>θ</p><p>θ</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>θ</p><p>θ</p><p>εθε</p><p>ρ</p><p>θθ</p><p>θ</p><p>εθε</p><p>ρ</p><p>θθ</p><p>θ</p><p>ε</p><p>θ</p><p>θερ</p><p>φθ</p><p>θ</p><p>θθ</p><p>ρ φθ</p><p>sensen</p><p>cos</p><p>sen</p><p>cos</p><p>sen</p><p>sen</p><p>sencos</p><p>sen</p><p>sen</p><p>sencos</p><p>sen</p><p>sen</p><p>D</p><p>sen</p><p>senD</p><p>sen</p><p>DD</p><p>� Cálculo de Q:</p><p>∫=</p><p>vol</p><p>vdvQ ρ , onde:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>−</p><p>=</p><p>φθθ</p><p>θ</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>d drd rdv</p><p>r</p><p>50</p><p>2</p><p>4</p><p>o</p><p>v</p><p>sen</p><p>sen</p><p>[ ] [ ]C 374Qou C 50Q</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>100Q2</p><p>r</p><p>1</p><p>50Q</p><p>dd</p><p>r</p><p>dr</p><p>50Qd drd r</p><p>r</p><p>50</p><p>Q</p><p>o</p><p>2</p><p>o</p><p>2</p><p>2</p><p>1r</p><p>o</p><p>2</p><p>00</p><p>2</p><p>1r</p><p>2o</p><p>vol</p><p>2</p><p>4</p><p>o</p><p>ηεπ</p><p>επππε</p><p>φθεφθθ</p><p>θ</p><p>ε π</p><p>φ</p><p>π</p><p>θ</p><p>,</p><p>sen</p><p>sen</p><p>−=−=∴</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−⋅=⇒⋅⋅</p><p></p><p></p><p>−</p><p>⋅−=</p><p>⋅⋅⋅−=⇒⋅</p><p>−</p><p>=</p><p>=</p><p>===</p><p>∫∫∫∫</p><p>(03)</p><p>– Página 6.7 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0066 –– EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE PPOOIISSSSOONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE</p><p>3o modo:</p><p>∫ •=</p><p>S</p><p>Q dSD , onde:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−=</p><p>=</p><p>θ</p><p>θεθε</p><p>φθθ</p><p>aaD</p><p>adS</p><p>3</p><p>o</p><p>r3</p><p>o</p><p>r</p><p>2</p><p>r</p><p>50</p><p>r</p><p>100</p><p>d d r</p><p>cossen</p><p>sen</p><p>r</p><p>100</p><p>Q002</p><p>4</p><p>1</p><p>2r</p><p>200</p><p>Q</p><p>2</p><p>4</p><p>1</p><p>2r</p><p>200</p><p>Q d 2</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>r</p><p>100</p><p>Q</p><p>d 2</p><p>r</p><p>100</p><p>Qd d r</p><p>r</p><p>100</p><p>Q</p><p>o</p><p>2</p><p>o</p><p>0</p><p>o</p><p>0</p><p>o</p><p>0</p><p>2o</p><p>2</p><p>0 0</p><p>2</p><p>3</p><p>o</p><p>επ</p><p>π</p><p>ππε</p><p>θ</p><p>θπε</p><p>θθπ</p><p>ε</p><p>θθπ</p><p>ε</p><p>φθθ</p><p>θε</p><p>π</p><p>θ</p><p>π</p><p>θ</p><p>π</p><p>θ</p><p>π</p><p>φ</p><p>π</p><p>θ</p><p>=⇒</p><p></p><p></p><p></p><p>−−−⋅=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−⋅=⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−⋅⋅=</p><p>⋅⋅=⇒⋅=</p><p>==</p><p>== =</p><p>∫</p><p>∫∫ ∫</p><p>sen</p><p>sencos</p><p>sensen</p><p>sen</p><p>Em [ ]C 100Q1r o</p><p>2επ=⇒=</p><p>Em [ ]C 50Q2r o</p><p>2επ=⇒=</p><p>Para [ ] [ ]C -4,37Qou C 50Q 10050Q2r1 o</p><p>2</p><p>o</p><p>2</p><p>o</p><p>2 ηεπεπεπ =−=⇒−=⇒<<</p><p>6.5) Dois cilindros condutores coaxiais de raios a = 2 cm e b = 6 cm apresentam potenciais de</p><p>100 V e de 0 V, respectivamente. A região entre os cilindros é preenchida com um</p><p>dielétrico perfeito, porém, não homogêneo, no qual ),/(, 04030R += ρε . Determinar</p><p>para esta região:</p><p>a) o potencial elétrico V( )ρ ;</p><p>b) o campo elétrico )(ρE</p><p>�</p><p>;</p><p>c) a densidade de fluxo elétrico )(ρD</p><p>�</p><p>;</p><p>d) a capacitância C por metro de comprimento.</p><p>Resolução:</p><p>a) ⇒= )(ρε fR As Equações de Laplace e de Poisson não podem ser usadas diretamente;</p><p>� Deve-se calcular uma relação a partir da forma puntual de Lei de Gauss, da definição de D e</p><p>da relação do Gradiente. Portanto:</p><p>– Página 6.8 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0066 –– EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE PPOOIISSSSOONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE</p><p>( ) v</p><p>v</p><p>V</p><p>.Gradiente) do (Relacão V</p><p>de (Definicão</p><p>Gauss); de Lei da Puntual (Forma</p><p>ρεε</p><p>ρ</p><p>−=∇⋅•∇⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>∇−=</p><p>=</p><p>=•∇</p><p>E</p><p>DED</p><p>D</p><p>); (01)</p><p>No dielétrico perfeito, ρv = 0 e ε = εoεR (02)</p><p>Substituindo (02) em (01), temos:</p><p>( ) 0V R =∇⋅•∇ ε (03)</p><p>Desenvolvendo (03), temos:</p><p>0</p><p>V</p><p>040</p><p>30</p><p>0</p><p>V</p><p>040</p><p>301</p><p>0a</p><p>d</p><p>dV</p><p>040</p><p>30</p><p>0a</p><p>d</p><p>dV</p><p>R</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>∂</p><p>∂</p><p>⋅</p><p>+∂</p><p>∂</p><p>⇒=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>∂</p><p>∂</p><p>⋅</p><p>+</p><p>⋅</p><p>∂</p><p>∂</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+</p><p>•∇⇒=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅•∇</p><p>ρρ</p><p>ρ</p><p>ρρρ</p><p>ρ</p><p>ρρ</p><p>ρ</p><p>ρρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ε</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>, �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>Integrando pela 1a vez:</p><p>( ) ( )</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρρρ</p><p>ρ</p><p>∂</p><p>+</p><p>=∂⇒</p><p>+</p><p>=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>⇒=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>⋅</p><p>+ 30</p><p>040A</p><p>V</p><p>30</p><p>040AV</p><p>A</p><p>V</p><p>040</p><p>30</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>Integrando pela 2a vez:</p><p>( ) [ ] B040</p><p>30</p><p>A</p><p>Vd</p><p>30</p><p>040A</p><p>V ++=⇒</p><p>+</p><p>= ∫ ρρρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ln,</p><p>,,</p><p>,</p><p>(04)</p><p>Condições de Contorno:</p><p>[ ]</p><p>[ ]</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>++==⇒=</p><p>++==⇒=</p><p>B06,004,006,0</p><p>30</p><p>A</p><p>0Vcm 6 Em</p><p>B02,004,002,0</p><p>30</p><p>A</p><p>100Vcm 2 Em</p><p>ln</p><p>,</p><p>ln</p><p>,</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>Fazendo (05) – (06), temos:</p><p>4357A</p><p>060</p><p>02,0</p><p>04,004,0</p><p>30</p><p>A</p><p>100 ,</p><p>,</p><p>ln</p><p>,</p><p>−=⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+−= (07)</p><p>Substituindo (07) em (06), temos:</p><p>[ ] 662B</p><p>06004,006,0</p><p>30</p><p>4357</p><p>B ,,ln</p><p>,</p><p>,</p><p>−=⇒+</p><p>−</p><p>= (08)</p><p>Substituindo (07) e (08) em (04), temos:</p><p>[ ] [ ]V 6626547 341191V 662040</p><p>30</p><p>4357</p><p>V ,ln,,,ln,</p><p>,</p><p>,</p><p>−−−=⇒−+</p><p>−</p><p>= ρρρρ</p><p>(05)</p><p>(06)</p><p>– Página 6.9 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0066 –– EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE PPOOIISSSSOONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE</p><p>b) Cálculo do Campo Elétrico )(ρE</p><p>�</p><p>:</p><p>[ ]m</p><p>V</p><p>040</p><p>1341191</p><p>647</p><p>341191</p><p>V</p><p>V</p><p>ρ</p><p>ρρ</p><p>ρ</p><p>ρρ</p><p>aE</p><p>aEaEE</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+=⇒</p><p>∂</p><p>∂</p><p>−=⇒∇−=</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>c) Cálculo da Densidade de Fluxo Elétrico )(ρD :</p><p>∫∫ ==•</p><p>S</p><p>Sint</p><p>S</p><p>dSQ ρdSD</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>πρρπ aD L 2L 2 S</p><p>S</p><p>a</p><p>a</p><p>⋅</p><p>=⇒⋅⋅=⋅⋅D (01)</p><p>Mas 0,02m para de módulo o é E onde ,E 020020020NS === === ρερ ρρρ E))) ,(,(,(D</p><p></p><p></p><p></p><p>=∴</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+⋅</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+</p><p>⋅=⇒= =</p><p>=</p><p>2S</p><p>oS020</p><p>020</p><p>RoS</p><p>m</p><p>C 22158</p><p>020</p><p>040</p><p>1341191</p><p>040020</p><p>30</p><p>E</p><p>ηρ</p><p>ερεερ ρ</p><p>ρ</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,,</p><p>,</p><p>,(</p><p>),(</p><p>)</p><p>Substituindo (02) em (01), temos:</p><p></p><p></p><p></p><p>=⇒</p><p>⋅</p><p>= 2m</p><p>C</p><p>163</p><p>02022158</p><p>η</p><p>ρρ</p><p>ρρ aDaD</p><p>,,,</p><p>d) Cálculo da capacitância C por metro de comprimento:</p><p></p><p></p><p></p><p>=⇒</p><p>⋅⋅⋅</p><p>=⇒</p><p>⋅</p><p>=⇒= m</p><p>pF 8198</p><p>L</p><p>C</p><p>100</p><p>L020222158</p><p>C</p><p>V</p><p>S</p><p>C</p><p>V</p><p>Q</p><p>C</p><p>0</p><p>S</p><p>0</p><p>,</p><p>,, πρ</p><p>6.6) Uma região entre dois cilindros condutores concêntricos com raios a = 2 cm e b = 5 cm</p><p>contém uma densidade volumétrica de carga uniforme 8</p><p>V 10−−=ρ C/m3. Se o campo</p><p>elétrico E e o potencial V são ambos nulos no cilindro interno, determinar:</p><p>a) A expressão matemática do potencial V na região, partindo da Equação de Poisson;</p><p>b) A expressão matemática do potencial V na região, partindo da Lei de Gauss;</p><p>c) O valor do potencial V no cilindro externo.</p><p>Assumir a permissividade do meio como sendo a do vácuo.</p><p>Resolução:</p><p>a) Equação de Poisson:</p><p>o</p><p>v2 V1</p><p>V</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρρ</p><p>−=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>⋅=∇</p><p>Integrando pela 1a vez:</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>A</p><p>2</p><p>V</p><p>A</p><p>2</p><p>V</p><p>o</p><p>v</p><p>2</p><p>o</p><p>v +⋅−=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>⇒+⋅−=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>(01)</p><p>(Lei de Gauss para uma Superfície Gaussiana Cilíndrica</p><p>de raio 2<ρ<6 cm)</p><p>(02)</p><p>– Página 6.10 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0066 –– EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE PPOOIISSSSOONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE</p><p>� Porém, sabe-se que: EE −=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>⇒</p><p>∂</p><p>∂</p><p>−==⇒</p><p>∂</p><p>∂</p><p>−=⇒∇−=</p><p>ρρρ</p><p>ρ</p><p>V</p><p>V</p><p>V</p><p>V EaEE (02)</p><p>Substituindo (02) em (01), temos:</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>A</p><p>2</p><p>V</p><p>o</p><p>v +⋅−=−=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>E (03)</p><p>1a Condição de Contorno: 0 =E para ρ = a. (04)</p><p>Substituindo (04) em (03), temos:</p><p>2</p><p>o</p><p>v</p><p>o</p><p>v</p><p>2</p><p>A</p><p>A</p><p>2</p><p>0 a</p><p>a</p><p>a ⋅=⇒+⋅−=</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>(05)</p><p>Substituindo (05) em (01), temos:</p><p>ρε</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>2</p><p>o</p><p>v</p><p>o</p><p>v</p><p>22</p><p>V</p><p>a</p><p>⋅+⋅−=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>(06)</p><p>Integrando pela 2a vez:</p><p>B</p><p>222</p><p>V 2</p><p>o</p><p>v</p><p>2</p><p>o</p><p>v +⋅+⋅−= ρ</p><p>ε</p><p>ρρ</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>lna (07)</p><p>2a Condição de Contorno: 0V = para ρ = a. (08)</p><p>Substituindo (08) em (07), temos:</p><p>aaaaa</p><p>a</p><p>lnln 2</p><p>o</p><p>v2</p><p>o</p><p>v2</p><p>o</p><p>v</p><p>2</p><p>o</p><p>v</p><p>24</p><p>B B</p><p>222</p><p>0 ⋅−⋅=⇒+⋅+⋅−=</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>(09)</p><p>Substituindo (09) em (07), temos:</p><p>[ ]V</p><p>24</p><p>V</p><p>2424</p><p>V</p><p>2</p><p>o</p><p>v22</p><p>o</p><p>v</p><p>2</p><p>o</p><p>v2</p><p>o</p><p>v2</p><p>o</p><p>v2</p><p>o</p><p>v</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅+−⋅=</p><p>⋅−⋅+⋅+⋅−=</p><p>a</p><p>aa</p><p>aaaa</p><p>ρ</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>ln)(</p><p>lnln</p><p>– Página 6.11 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0066 –– EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE PPOOIISSSSOONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE</p><p>b)</p><p>Lei de Gauss: ∫∫ ==•</p><p>S</p><p>Sint</p><p>S</p><p>dSQ ρdSD</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−⋅=∴</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−⋅=⇒⋅−⋅=⋅⋅</p><p>2</p><p>2</p><p>v</p><p>2</p><p>v22</p><p>v</p><p>m</p><p>C</p><p>2</p><p>2</p><p>L L 2</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ππρρρπ</p><p>aD</p><p>a</p><p>a</p><p>a D)(D</p><p>� Cálculo do Campo Elétrico E :</p><p>[ ]m</p><p>V</p><p>2</p><p>2</p><p>o</p><p>v</p><p>o</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>ε</p><p>aE</p><p>D</p><p>E</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−⋅=⇒=</p><p>a</p><p>� Cálculo de V:</p><p>[ ]V</p><p>24</p><p>V</p><p>222</p><p>V</p><p>22</p><p>V</p><p>d</p><p>2</p><p>VV</p><p>o</p><p>2</p><p>v22</p><p>o</p><p>v</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>o</p><p>v2</p><p>2</p><p>o</p><p>v</p><p>2</p><p>o</p><p>v</p><p>A</p><p>B</p><p>AB</p><p>a</p><p>a</p><p>a</p><p>aa</p><p>a</p><p>aa</p><p>a</p><p>a</p><p>a</p><p>ρ</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ln)(</p><p>lnlnln</p><p>⋅+−⋅=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−⋅−=⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−⋅−=</p><p>•</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−⋅−=⇒•−=</p><p>=</p><p>=</p><p>∫∫ aadLE</p><p>c) No cilindro externo, ρ = b = 0,05 m .</p><p>[ ]V 3860V 20705930V</p><p>02,0</p><p>050</p><p>1085482</p><p>02,010</p><p>05002,0</p><p>1085484</p><p>10</p><p>V</p><p>12</p><p>28</p><p>22</p><p>12</p><p>8</p><p>,,,</p><p>,</p><p>ln</p><p>,</p><p>)(</p><p>),(</p><p>,</p><p>=⇒−=</p><p>⋅</p><p>⋅⋅</p><p>⋅−</p><p>+−⋅</p><p>⋅⋅</p><p>−</p><p>=∴</p><p>−</p><p>−</p><p>−</p><p>−</p><p>– Página 6.12 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0066 –– EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE PPOOIISSSSOONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE</p><p>6.7) Dois cilindros condutores, circulares retos, coaxiais, acham-se em ρ = a = 10 mm e</p><p>ρ = b = 30 mm, com tensões de 10 volts no cilindro interno e Vo no cilindro externo. Se</p><p>[ ]m</p><p>KV 10 ρaE</p><p>�</p><p>�</p><p>−= em ρ = 20 mm, determinar:</p><p>a) A expressão do potencial V em função de ρ por Laplace;</p><p>b) O valor de Vo;</p><p>c)A densidade de cargas do condutor externo.</p><p>Resolução:</p><p>a) Equação de Laplace: 0</p><p>V1</p><p>V0V 22</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=∇⇒=∇</p><p>∂ρ</p><p>ρ∂</p><p>∂ρ</p><p>∂</p><p>ρ</p><p>�</p><p>, pois )(ρfV = .</p><p>BAV A</p><p>V</p><p>0</p><p>V</p><p>+=⇒=⇒=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>ρ</p><p>∂ρ</p><p>ρ∂</p><p>∂ρ</p><p>ρ∂</p><p>∂ρ</p><p>∂</p><p>ln (01)</p><p>1a Condição de Contorno: V = 10 V em ρ = 10 mm . (02)</p><p>Substituindo (02) em (01), temos:</p><p>( ) B0,01 A10 += ln (03)</p><p>Porém, sabe-se que [ ]m</p><p>KV 10 ρaE</p><p>�</p><p>�</p><p>−= ρ = 20 mm, oque indica que:</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρρ</p><p>aE</p><p>aEE</p><p>200</p><p>200A</p><p>020</p><p>A</p><p>10000</p><p>AA</p><p>V</p><p>−=∴</p><p>=⇒−=−⇒−=⇒−=⇒∇−=</p><p>,</p><p>E</p><p>Substituindo (04) em (03), temos:</p><p>( ) 931B B0,01 20010 =⇒+= ln (05)</p><p>Substituindo (04) e (05) em (01), temos:</p><p>[ ]V 931200V BAV +=⇒+= ρρ lnln (06)</p><p>(02)</p><p>– Página 6.13 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0066 –– EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE PPOOIISSSSOONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE</p><p>b) 2a Condição de Contorno: V = Vo em ρ = 30 mm . (01)</p><p>Substituindo a equação (01) do item (b) na equação (06) do item (a), temos:</p><p>( ) [ ]V 7229V 931030200V931200V oo ,,lnln =⇒+=⇒+= ρ</p><p>c) )) 030030NS ,(,( ED == == ρρ ερ , onde )030,(E =ρ é o módulo de E (da Equação (04) do</p><p>item (a)) para ρ = 0,03 m .</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−=∴</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> −</p><p>⋅⋅=⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> −</p><p>⋅=⇒= −</p><p>=</p><p>2S</p><p>12</p><p>SoS030oS</p><p>m</p><p>C 02759</p><p>030</p><p>200</p><p>108548</p><p>200</p><p>ηρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ερερ ρ</p><p>,</p><p>,</p><p>,E ,( )</p><p>6.8) Um cabo coaxial possui seu condutor interno com cargas uniformemente distribuída de</p><p>1ηC/m. Os raios dos condutores interno e externo são a = 1 cm e b = 4 cm,</p><p>respectivamente. Entre o condutor interno e o externo são colocadas duas camadas de</p><p>material dielétrico possuindo, respectivamente, permissividades relativas εR1 = 2 e εR2, e</p><p>espessuras w1 e w2. Determinar εR2, w1 e w2, de modo que a diferença de potencial de cada</p><p>camada seja a mesma e a capacitância total do cabo seja de 75 pF/m.</p><p>Resolução:</p><p>� Cálculo da Capacitância:</p><p>Equação de Laplace: 0</p><p>V1</p><p>V0V 22</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=∇⇒=∇</p><p>∂ρ</p><p>ρ∂</p><p>∂ρ</p><p>∂</p><p>ρ</p><p>�</p><p>, pois )(ρfV = .</p><p>BAV A</p><p>V</p><p>0</p><p>V</p><p>+=⇒=⇒=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>ρ</p><p>∂ρ</p><p>ρ∂</p><p>∂ρ</p><p>ρ∂</p><p>∂ρ</p><p>∂</p><p>ln (01)</p><p>Condições de Contorno:</p><p>Seja</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+=⇒==</p><p>+=⇒==</p><p>BAV em VV</p><p>BA0 em 0V</p><p>oo aa</p><p>bb</p><p>ln</p><p>ln</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>Fazendo (03) – (02),temos:</p><p>( )</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=⇒−=</p><p>b</p><p>a</p><p>ba</p><p>ln</p><p>lnln o</p><p>o</p><p>V</p><p>A AV (04)</p><p>(02)</p><p>(03)</p><p>– Página 6.14 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0066 –– EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE PPOOIISSSSOONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE</p><p>Substituindo (04) em (02), temos:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅−</p><p>=⇒+⋅</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>b</p><p>a</p><p>b</p><p>b</p><p>b</p><p>a</p><p>ln</p><p>ln</p><p>ln</p><p>ln</p><p>oo V</p><p>BB</p><p>V</p><p>0 (05)</p><p>Substituindo (04) e (05) em (01), temos:</p><p>( ) [ ]V</p><p>V</p><p>V</p><p>V</p><p>V</p><p>VV</p><p>VBAV</p><p>oo</p><p>oo</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=⇒−⋅</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅</p><p>−⋅</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=⇒+=</p><p>b</p><p>b</p><p>a</p><p>b</p><p>b</p><p>a</p><p>b</p><p>a</p><p>b</p><p>b</p><p>a</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρρ</p><p>ln</p><p>ln</p><p>lnln</p><p>ln</p><p>ln</p><p>ln</p><p>ln</p><p>ln</p><p>ln</p><p>[ ]</p><p>[ ]</p><p>[ ] [ ]m</p><p>F</p><p>2</p><p>L</p><p>C</p><p>ou F</p><p>L 2</p><p>C</p><p>V</p><p>Q</p><p>C</p><p>C</p><p>LV 2</p><p>Q</p><p>2</p><p>V</p><p>QdS</p><p>V</p><p>QdSQ</p><p>m</p><p>C</p><p>V</p><p>0 pois ,0</p><p>V</p><p>m</p><p>C</p><p>V</p><p>m</p><p>V</p><p>V</p><p>1</p><p>VV</p><p>V</p><p>o</p><p>o</p><p>o</p><p>Interno Cil.</p><p>S</p><p>o</p><p>S</p><p>2</p><p>o</p><p>o</p><p>N</p><p>2</p><p>o</p><p>oo</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=⇒=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>⋅</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅</p><p>=⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅</p><p>=⇒=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅</p><p>=∴</p><p><</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⇒<></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅</p><p>−</p><p>=⇒==</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅</p><p>−</p><p>=⇒=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅</p><p>−</p><p>=⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p>=⇒</p><p>∂</p><p>∂</p><p>−=⇒∇−=</p><p>∫∫</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>=</p><p>a</p><p>b</p><p>a</p><p>b</p><p>a</p><p>b</p><p>aL</p><p>a</p><p>b</p><p>a</p><p>a</p><p>b</p><p>a</p><p>a</p><p>b</p><p>a</p><p>b</p><p>a</p><p>ba</p><p>b</p><p>a</p><p>a</p><p>b</p><p>a</p><p>b</p><p>a</p><p>b</p><p>b</p><p>b</p><p>a</p><p>S</p><p>S</p><p>Sa</p><p>a</p><p>S</p><p>lnln</p><p>ln</p><p>lnln</p><p>ln</p><p>ln</p><p>ln</p><p>D</p><p>ln</p><p>lnln</p><p>πεπε</p><p>πε</p><p>π</p><p>εε</p><p>ρ</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>ε</p><p>ρρ</p><p>ρ</p><p>ε</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>ρρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρρρ</p><p>D</p><p>aDED</p><p>aEaEaEE</p><p>(06)</p><p>– Página 6.15 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0066 –– EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE PPOOIISSSSOONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE</p><p>Dados:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>==</p><p>==</p><p>=</p><p>=−=+</p><p>==</p><p>m</p><p>pF 75</p><p>L</p><p>C</p><p>QQQ</p><p>2</p><p>V</p><p>VV</p><p>2</p><p>cm3</p><p>cm4 , cm1</p><p>T</p><p>21</p><p>o</p><p>21</p><p>1R ;</p><p>;</p><p>ε</p><p>abww</p><p>ba</p><p>21</p><p>(07)</p><p>De (06), temos:</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>2Ro2</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>1Ro1</p><p>V</p><p>Q</p><p>b</p><p>2</p><p>L</p><p>C</p><p>e</p><p>V</p><p>Q2</p><p>L</p><p>C</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+</p><p>=</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> +</p><p>=</p><p>wa</p><p>a</p><p>wa</p><p>ln</p><p>ln</p><p>επε</p><p>επε</p><p>De (07), temos:</p><p>CCC</p><p>QQQ</p><p>2</p><p>V</p><p>VV</p><p>21</p><p>21</p><p>o</p><p>21</p><p>==⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>==</p><p>==</p><p>De acordo com a figura, CT é a capacitância equivalente do arranjo série de C1 e C2.</p><p>Portanto, podemos escrever:</p><p>TT</p><p>2</p><p>T</p><p>21</p><p>21</p><p>T C2C</p><p>2</p><p>C</p><p>C</p><p>C2</p><p>C</p><p>C</p><p>CC</p><p>CC</p><p>C =⇒=⇒=⇒</p><p>+</p><p>⋅</p><p>= (10)</p><p>Substituindo (10) em (08), temos:</p><p>cm11m010970</p><p>01,0</p><p>01,0</p><p>74070</p><p>01,0</p><p>01,0</p><p>75</p><p>85482</p><p>01,0</p><p>01,0</p><p>10752</p><p>01,0</p><p>01,0</p><p>21085482</p><p>L</p><p>C22</p><p>L</p><p>C</p><p>L</p><p>C</p><p>11</p><p>74070111</p><p>12</p><p>1</p><p>12</p><p>T</p><p>1</p><p>1Ro1</p><p>,,</p><p>e,ln</p><p>,</p><p>ln</p><p>ln</p><p>,</p><p>ln</p><p>,</p><p>≅⇒=∴</p><p>=</p><p>+</p><p>⇒=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> +</p><p>⇒</p><p>⋅</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> +</p><p>⋅⋅=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> +</p><p>⋅⋅⋅</p><p>⇒=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> +</p><p>== −</p><p>−</p><p>ww</p><p>www</p><p>w</p><p>a</p><p>wa</p><p>π</p><p>πεπε</p><p>(08)</p><p>(09)</p><p>(11)</p><p>– Página 6.16 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0066 –– EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE PPOOIISSSSOONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE</p><p>De (07), sabemos que w1 + w2 = 3cm. Portanto, w2 = 1,9 cm (12)</p><p>Substituindo (11) em (09), temos:</p><p>( )</p><p>7361</p><p>8548</p><p>9041 75</p><p>10752</p><p>011001,0</p><p>040</p><p>1085482</p><p>L</p><p>C2</p><p>b</p><p>2</p><p>L</p><p>C</p><p>L</p><p>C</p><p>2R2R</p><p>122R</p><p>12</p><p>T</p><p>1</p><p>2Ro2</p><p>,</p><p>,</p><p>,ln</p><p>,</p><p>,</p><p>ln</p><p>,</p><p>ln</p><p>=⇒</p><p>⋅</p><p>⋅</p><p>=</p><p>⋅⋅=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+</p><p>⋅⋅⋅</p><p>⇒=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+</p><p>== −</p><p>−</p><p>ε</p><p>π</p><p>ε</p><p>επεπε</p><p>wa</p><p>– Página 7.1 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0077 –– CCAAMMPPOO MMAAGGNNÉÉTTIICCOO EESSTTAACCIIOONNÁÁRRIIOO</p><p>CAPÍTULO 07</p><p>CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO</p><p>7.1) Calcular B no centro de uma espira quadrada de lado a percorrida por uma corrente I.</p><p>Resolução:</p><p>Os lados AB, BC, CD e DA da espira produzem campos magnéticos no mesmo sentido no</p><p>ponto O (centro da espira). Portanto, o campo magnético total no ponto O ( TH ) será quatro vezes</p><p>maior que aquele produzido por qualquer um dos lados da espira.</p><p>DACDBCABT 4444 HHHHH ==== (01)</p><p>� Cálculo de ABH (campo magnético produzido no ponto O pelo lado AB da espira):</p><p>Lei de Biot-Savart:</p><p>∫</p><p>×</p><p>=</p><p>2</p><p>R</p><p>R 4</p><p>I</p><p>π</p><p>adL</p><p>H , onde:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>I. de direcão a indica que</p><p>ocompriment de ldiferencia elemento o é</p><p>de versor um é</p><p>R</p><p>espira da centro aodx corrente de</p><p>ldiferencia elemento do dirigido vetor o é</p><p>R</p><p>dL</p><p>Ra</p><p>R</p><p>R</p><p>;</p><p>;</p><p>;</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>(02)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>+</p><p>+−</p><p>==</p><p>+=+−=</p><p>.x</p><p>2</p><p>2</p><p>yx</p><p>R</p><p>2</p><p>2</p><p>yx</p><p>dx</p><p>;</p><p>4</p><p>x</p><p>2</p><p>x</p><p>R</p><p>;</p><p>4</p><p>xR ;</p><p>2</p><p>x</p><p>adL</p><p>aa</p><p>R</p><p>a</p><p>aaR</p><p>a</p><p>a</p><p>aa</p><p>���</p><p>���</p><p>(03)</p><p>– Página 7.2 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0077 –– CCAAMMPPOO MMAAGGNNÉÉTTIICCOO EESSTTAACCIIOONNÁÁRRIIOO</p><p>Substituindo (03) em (02), temos:</p><p>∫∫</p><p>−</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+</p><p>=⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+−×</p><p>=</p><p>2</p><p>a</p><p>2</p><p>a 22</p><p>a</p><p>a</p><p>a</p><p>a</p><p>x</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>z</p><p>AB</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>yxx</p><p>AB</p><p>4</p><p>x</p><p>dx</p><p>2</p><p>4</p><p>I</p><p>4</p><p>x 4</p><p>2</p><p>x dx</p><p>I</p><p>a</p><p>H</p><p>aaa</p><p>H</p><p>π</p><p>π</p><p>��</p><p>(04)</p><p>Substituição de variáveis na integral:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=+</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>°=⇒=</p><p>°−=⇒−=</p><p>⇒=</p><p>θ</p><p>θθ</p><p>θ</p><p>θ</p><p>θ</p><p>22</p><p>2</p><p>44</p><p>x</p><p>d</p><p>2</p><p>dx</p><p>45x</p><p>45x</p><p>tg</p><p>2</p><p>x</p><p>sec</p><p>sec</p><p>22</p><p>aa</p><p>a</p><p>2</p><p>a</p><p>2</p><p>a</p><p>a</p><p>Substituindo (05) em (04), temos:</p><p>[ ]</p><p>( )[ ]</p><p>zAB</p><p>zABzAB</p><p>z</p><p>45</p><p>45ABz</p><p>45</p><p>45</p><p>AB</p><p>z</p><p>45</p><p>45</p><p>ABz</p><p>45</p><p>45 3</p><p>3</p><p>2</p><p>AB</p><p>2</p><p>I 2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>I</p><p>4545</p><p>2</p><p>I</p><p>2</p><p>I</p><p>d</p><p>2</p><p>I</p><p>sec</p><p>d</p><p>2</p><p>I</p><p>sec</p><p>2</p><p>d sec</p><p>2</p><p>8</p><p>I</p><p>aH</p><p>aHaH</p><p>aHaH</p><p>aHaH</p><p>a</p><p>aa</p><p>aa</p><p>aa</p><p>a</p><p>a</p><p>π</p><p>ππ</p><p>θ</p><p>π</p><p>θθ</p><p>π</p><p>θ</p><p>θ</p><p>π</p><p>θ</p><p>θθ</p><p>π</p><p>θ</p><p>θ</p><p>θθ</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+=⇒°−−°=</p><p>=⇒=</p><p>=⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>°</p><p>°−=</p><p>°</p><p>°−=</p><p>°</p><p>°−=</p><p>°</p><p>°−=</p><p>∫</p><p>∫∫</p><p>sensen</p><p>sencos</p><p>Substituindo (06) em (01), temos:</p><p>zTzTABT</p><p>I 22</p><p>2</p><p>I 24</p><p>4 aHaHHH</p><p>aa ππ</p><p>=⇒=⇒= (07)</p><p>� Cálculo de TB :</p><p>z</p><p>o</p><p>o</p><p>a</p><p>aBHB</p><p>I 22</p><p>TTT</p><p>π</p><p>µ</p><p>µ =⇒=</p><p>(05)</p><p>(06)</p><p>– Página 7.3 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0077 –– CCAAMMPPOO MMAAGGNNÉÉTTIICCOO EESSTTAACCIIOONNÁÁRRIIOO</p><p>7.2) Duas espiras circulares de corrente, idênticas, de raios a e corrente I situam-se em</p><p>planos horizontais paralelos separados no seu eixo comum por uma distância 2h.</p><p>Encontre H no ponto médio entre as duas espiras.</p><p>Resolução:</p><p>A Espira 01 gera o campo magnético 1H no ponto P (ponto médio), enquanto a Espira 02 gera</p><p>o campo magnético 2H , de mesma magnitude e na mesma direção de 1H . Portanto, o campo</p><p>magnético total gerado em P será:</p><p>121P 2HHHH =+= (01)</p><p>� Cálculo de 1H :</p><p>Lei de Biot-Savart:</p><p>∫</p><p>×</p><p>=</p><p>2</p><p>R</p><p>R 4</p><p>I</p><p>π</p><p>adL</p><p>H , onde:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>I. de direcão a indica que</p><p>ocompriment de ldiferencia elemento o é</p><p>de versor um é</p><p>R</p><p>(P) médio ponto ao de dirigido vetor o é</p><p>R</p><p>dL</p><p>Ra</p><p>R</p><p>dLR</p><p>;</p><p>;</p><p>;</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>(02)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>+</p><p>+−</p><p>==</p><p>+=+−=</p><p>.φ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>φ adL</p><p>aaR</p><p>a</p><p>aaR</p><p>d</p><p>;</p><p>R</p><p>; R ;</p><p>22</p><p>z</p><p>R</p><p>22</p><p>z</p><p>a</p><p>ha</p><p>ha</p><p>ha ha</p><p>���</p><p>���</p><p>(03)</p><p>Substituindo (03) em (02), temos:</p><p>φ</p><p>π</p><p>π</p><p>φ ρρφ</p><p>d</p><p>(</p><p>4</p><p>I</p><p>( 4</p><p>) d</p><p>I</p><p>2</p><p>3</p><p>z</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>z</p><p>1 ∫∫</p><p>+</p><p>+</p><p>=⇒</p><p>+</p><p>+−×</p><p>=</p><p>))</p><p>()(</p><p>2222</p><p>ha</p><p>haa</p><p>ha</p><p>haa aa</p><p>H</p><p>aaa</p><p>H</p><p>����</p><p>(04)</p><p>P</p><p>h</p><p>dL</p><p>I</p><p>z1H 1H</p><p>R</p><p>a</p><p>a</p><p>I</p><p>ρ1H</p><p>2h</p><p>Espira 01</p><p>Espira 02</p><p>y</p><p>z</p><p>x</p><p>– Página 7.4 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0077 –– CCAAMMPPOO MMAAGGNNÉÉTTIICCOO EESSTTAACCIIOONNÁÁRRIIOO</p><p>A inspeção da figura anterior nos mostra que elementos de corrente diametralmente opostos</p><p>produzem componentes radiais de campos que se cancelam. Portanto, 1H possui somente</p><p>componente na direção de za , reduzindo a equação (04) a:</p><p>z</p><p>2</p><p>3</p><p>1z</p><p>2</p><p>0 2</p><p>3</p><p>1</p><p>( 2</p><p>I</p><p>(</p><p>d</p><p>4</p><p>I</p><p>aHaH</p><p>��</p><p>)) 22</p><p>2</p><p>22</p><p>2</p><p>ha</p><p>a</p><p>ha</p><p>a</p><p>+</p><p>=⇒</p><p>+</p><p>= ∫</p><p>=</p><p>π</p><p>φ</p><p>φ</p><p>π</p><p>(05)</p><p>Substituindo (05) em (01), temos:</p><p>z</p><p>2</p><p>3</p><p>P121P</p><p>(</p><p>I</p><p>2 aHHHHH</p><p>�</p><p>)22</p><p>2</p><p>ha</p><p>a</p><p>+</p><p>=⇒=+=</p><p>7.3) Uma espira quadrada de lado 2a, centrada na origem, situada no plano z = 0 e lados</p><p>paralelos aos eixos x e y, conduz uma corrente I no sentido anti-horário vista do sentido</p><p>positivo do eixo z. Determinar o campo magnético H no ponto P(0; 0; a).</p><p>Resolução:</p><p>Os lados AB e CD da espira geram campos magnéticos componentes no ponto P nas direções</p><p>de xa e za . Portanto, os campos magnéticos totais gerados no ponto P pelos lados AB e CD da</p><p>espira terão a seguinte forma: zCDxCDP</p><p>CDzABxABP</p><p>AB e aaHaaH H)(HHH +−=+= .</p><p>Nota-se, então, que as componentes xAB aH e )(H xCD a− se anulam. Seguindo o mesmo</p><p>raciocínio, os campos magnéticos totais gerados no ponto P pelos lados BC e DA da espira terão a</p><p>seguinte forma: zBCyBCP</p><p>BC aaH HH += e zDAyDAP</p><p>DA aaH H)(H +−= . Nota-se, então,</p><p>que as componentes yBC aH e )(H yDA a− se anulam. Logo, o campo gerado em P pelos lados</p><p>AB, BC, CD e DA será quatro vezes maior que aquela componente no sentido de za produzida por</p><p>qualquer um dos lados da espira.</p><p>zDAzCDzBCzABP 4444 HHHHH ==== (01)</p><p>– Página 7.5 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0077 –– CCAAMMPPOO MMAAGGNNÉÉTTIICCOO EESSTTAACCIIOONNÁÁRRIIOO</p><p>� Cálculo de ABH :</p><p>� Lei de Biot-Savart:</p><p>∫</p><p>×</p><p>=</p><p>2</p><p>R</p><p>R 4</p><p>I</p><p>π</p><p>adL</p><p>H , onde:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>I. de direcão a indica que</p><p>ocompriment de ldiferencia elemento o é</p><p>de versor um é</p><p>R</p><p>P ponto ao corrente de</p><p>ldiferencia elemento do dirigido vetor o é</p><p>R</p><p>dL</p><p>Ra</p><p>R</p><p>dL</p><p>R</p><p>;</p><p>;</p><p>;</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>(02)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>+</p><p>+−−</p><p>==</p><p>+=+−−=</p><p>.y</p><p>22</p><p>zyx</p><p>R</p><p>22</p><p>zyx</p><p>dy</p><p>;</p><p>2y</p><p>y</p><p>R</p><p>; 2yR ; y</p><p>adL</p><p>aaaR</p><p>a</p><p>aaaR</p><p>a</p><p>aa</p><p>a aa</p><p>����</p><p>����</p><p>(03)</p><p>Substituindo (03) em (02), temos:</p><p>z</p><p>y 2</p><p>3</p><p>22</p><p>zAB</p><p>y 2</p><p>3</p><p>22</p><p>zx</p><p>AB</p><p>2</p><p>3</p><p>22</p><p>zyxy</p><p>AB</p><p>2y(</p><p>dy</p><p>4</p><p>I</p><p>dy</p><p>2y(</p><p>4</p><p>I</p><p>2y( 4</p><p>) y dy</p><p>I</p><p>aH</p><p>aa</p><p>H</p><p>aaaa</p><p>H</p><p>∫∫</p><p>∫</p><p>−=−= +</p><p>=⇒</p><p>+</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>+−−×</p><p>=</p><p>a</p><p>a</p><p>a</p><p>a a</p><p>a</p><p>a</p><p>a</p><p>a</p><p>aa</p><p>))</p><p>)(</p><p>)</p><p>(</p><p>ππ</p><p>π</p><p>���</p><p>Substituição de variáveis na integral:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+</p><p>=</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=⇒=</p><p>=⇒−=</p><p>⇒=</p><p>22</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>2y</p><p>y</p><p>d 2dy</p><p>y</p><p>y</p><p>tg 2y</p><p>a</p><p>a</p><p>a</p><p>a</p><p>a</p><p>θ</p><p>θθ</p><p>θθ</p><p>θθ</p><p>θ</p><p>sen</p><p>sec</p><p>Substituindo (05) em (04), temos:</p><p>z</p><p>2</p><p>1</p><p>zABz</p><p>2</p><p>1</p><p>zAB</p><p>z</p><p>2</p><p>1</p><p>zABz</p><p>2</p><p>1</p><p>33</p><p>2</p><p>zAB</p><p>8</p><p>I</p><p>d</p><p>8</p><p>I</p><p>sec</p><p>d</p><p>8</p><p>I</p><p>sec 2</p><p>d sec</p><p>8</p><p>I</p><p>aHaH</p><p>aHaH</p><p>θθ</p><p>θθ</p><p>θθ</p><p>θθ</p><p>θθ</p><p>θθ</p><p>θθ</p><p>θθ</p><p>θ</p><p>π</p><p>θθ</p><p>π</p><p>θ</p><p>θ</p><p>πθ</p><p>θθ</p><p>π</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=⇒=</p><p>=⇒=</p><p>∫</p><p>∫∫</p><p>sencos</p><p>aa</p><p>aa</p><p>2aa</p><p>(05)</p><p>(04)</p><p>– Página 7.6 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0077 –– CCAAMMPPOO MMAAGGNNÉÉTTIICCOO EESSTTAACCIIOONNÁÁRRIIOO</p><p>zzABzzAB</p><p>zzABz</p><p>-y</p><p>22</p><p>zAB</p><p>34</p><p>I</p><p>3</p><p>2</p><p>8</p><p>I</p><p>33</p><p>8</p><p>I</p><p>2y</p><p>y</p><p>8</p><p>I</p><p>aHaH</p><p>aHaH</p><p>aa</p><p>a</p><p>a</p><p>a</p><p>a</p><p>a</p><p>a</p><p>a</p><p>a</p><p>a</p><p>a</p><p>a</p><p>ππ</p><p>ππ</p><p>=⇒⋅=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> −</p><p>−⋅=⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+</p><p>⋅=</p><p>=</p><p>Substituindo (06) em (01), temos:</p><p>zPzABP</p><p>3</p><p>I</p><p>4 aHHH</p><p>aπ</p><p>=⇒=</p><p>7.4) Seja [ ]</p><p>m</p><p>A y(xx y(xy y</p><p>22</p><p>x</p><p>22 aaH )) +++−= no plano z = 0.</p><p>a) Determinar a corrente total passando através do plano z = 0, na direção za , no</p><p>interior do retângulo 1x1 <<− e 2y2 <<− .</p><p>b) Se o potencial magnético mV é nulo no vértice P(-1; -2; 0) do retângulo RSPQ,</p><p>determinar mV no vértice R(1; 2; 0), utilizando um percurso que passa pelo vértice</p><p>Q(1; -2; 0).</p><p>Resolução:</p><p>a) De acordo com a Lei Circuital de Ampère e com o Teorema de Stokes, temos:</p><p>( ) ( )∫∫∫∫ =•×∇=•⇒•×∇==•</p><p>Ret. SRSPQS</p><p>enl I I dSHdLHdSHdLH (01)</p><p>� Cálculo do Rotacional:</p><p>[ ] z</p><p>22</p><p>z</p><p>2222</p><p>z</p><p>xy</p><p>y4x4 y3xyx3</p><p>yx</p><p>aHaH</p><p>aH</p><p>)()(</p><p>HH</p><p>+=×∇⇒−−−+=×∇</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>∂</p><p>∂</p><p>−</p><p>∂</p><p>∂</p><p>=×∇</p><p>Substituindo (02) em (01), temos:</p><p>z</p><p>2</p><p>2y</p><p>1</p><p>1x</p><p>z</p><p>22 dxdy onde , y4x4I adSdSa =•+= ∫ ∫</p><p>−= −=</p><p>)(</p><p>(02)</p><p>(06)</p><p>– Página 7.7 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0077 –– CCAAMMPPOO MMAAGGNNÉÉTTIICCOO EESSTTAACCIIOONNÁÁRRIIOO</p><p>[ ]A 3453</p><p>3</p><p>160</p><p>I</p><p>3</p><p>64</p><p>3</p><p>16</p><p>3</p><p>64</p><p>3</p><p>16</p><p>Iy</p><p>3</p><p>8</p><p>y</p><p>3</p><p>8</p><p>Idyy8</p><p>3</p><p>8</p><p>I</p><p>dyy4</p><p>3</p><p>4</p><p>y4</p><p>3</p><p>4</p><p>Idyxy4</p><p>3</p><p>x4</p><p>I</p><p>dxdy y4x4I dxdy y4x4I</p><p>2</p><p>2y</p><p>3</p><p>2</p><p>2y</p><p>2</p><p>2</p><p>2y</p><p>22</p><p>2</p><p>2y</p><p>1</p><p>1x</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>2y</p><p>1</p><p>1x</p><p>22</p><p>2</p><p>2y</p><p>1</p><p>1x</p><p>zz</p><p>22</p><p>,</p><p>)()(</p><p>==∴</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+++=⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+=⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+++=⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+=</p><p>+=⇒•+=</p><p>−=−=</p><p>−=−= −=</p><p>−= −=−= −=</p><p>∫</p><p>∫∫</p><p>∫ ∫∫ ∫ aa</p><p>b) VmRP = VmRQ + VmQP, onde ∫ •−=</p><p>a</p><p>b</p><p>ab</p><p>mV dLH (01)</p><p>Trecho P→Q:</p><p>[ ]</p><p>[ ]</p><p>[ ]A</p><p>3</p><p>52</p><p>V8</p><p>3</p><p>2</p><p>8</p><p>3</p><p>2</p><p>V</p><p>x8</p><p>3</p><p>x2</p><p>Vdx yx yV</p><p>dx yx x yx yV</p><p>mQPmQP</p><p>1</p><p>1x</p><p>3</p><p>mQP</p><p>Q</p><p>P 2y</p><p>22</p><p>mQP</p><p>Q</p><p>P</p><p>xy</p><p>22</p><p>x</p><p>22</p><p>mQP</p><p>−=⇒−−−−=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−=⇒+−−=</p><p>•+++−−=</p><p>−=−=</p><p>∫</p><p>∫</p><p>)(</p><p>)()( aaa</p><p>Trecho Q→R:</p><p>[ ]</p><p>[ ]</p><p>[ ]A</p><p>3</p><p>28</p><p>V</p><p>3</p><p>8</p><p>2</p><p>3</p><p>8</p><p>2V</p><p>3</p><p>y</p><p>yVdy yx xV</p><p>dy yx x yx yV</p><p>mRQmRQ</p><p>2</p><p>2y</p><p>3</p><p>mRQ</p><p>R</p><p>Q 1x</p><p>22</p><p>mRQ</p><p>R</p><p>Q</p><p>yy</p><p>22</p><p>x</p><p>22</p><p>mRQ</p><p>−=⇒−−−−=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−−=⇒+−=</p><p>•+++−−=</p><p>−==</p><p>∫</p><p>∫</p><p>)(</p><p>)()( aaa</p><p>Substituindo (02) e (03) em (01), temos:</p><p>[ ]A 6726</p><p>3</p><p>80</p><p>V</p><p>3</p><p>28</p><p>3</p><p>52</p><p>V mRPmRP ,=−=⇒−−=</p><p>(02)</p><p>(03)</p><p>– Página 7.8 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0077 –– CCAAMMPPOO MMAAGGNNÉÉTTIICCOO EESSTTAACCIIOONNÁÁRRIIOO</p><p>7.5) A superfície cilíndrica ρ = a = 20 mm conduz a corrente [ ]m</p><p>A 100cil zaK = , enquanto</p><p>que a superfície ρ = b = 40 mm possui a corrente solenoidal [ ]m</p><p>A 80sol φaK = . Calcule</p><p>a intensidade do campo magnético H em:</p><p>a) ρ = 10 mm;</p><p>b) ρ = 30 mm;</p><p>c) ρ = 50 mm.</p><p>Resolução:</p><p>� Cálculo de H para a superfície cilíndrica ( cilH ) ⇒ Lei Circuital de Ampère:</p><p>Para ρ < 20 mm 0cil =⇒ H (01)</p><p>Para ρ > 20 mm 202I cilenlcil ⋅⋅==•⇒ ∫ πKdLH</p><p>[ ]</p><p>m</p><p>A</p><p>20</p><p>20</p><p>2022</p><p>cilcil</p><p>cilcilcilcil</p><p>φ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>πρπ</p><p>aH K</p><p>KHKH</p><p>=∴</p><p>=⇒⋅⋅=⋅⋅</p><p>� Cálculo de H para o solenóide ( solH ) ⇒ Lei Circuital de Ampère:</p><p>Para ρ < 40 mm LI solenlsol ⋅==•⇒ ∫ KdLH</p><p>[ ]m</p><p>A</p><p>LL</p><p>zsolsol</p><p>solsolsolsol</p><p>aH K</p><p>KHKH</p><p>=∴</p><p>=⇒⋅=⋅</p><p>Para ρ > 40 mm 0sol =⇒ H (04)</p><p>a) O campo magnético gerado em ρ = 10 mm ( aH ) será proveniente somente do solenóide.</p><p>Portanto, a equação (03) é suficiente para defini-lo.</p><p>[ ]</p><p>[ ]</p><p>m</p><p>A 80</p><p>m</p><p>A 80</p><p>aa</p><p>zazsolsola</p><p>==</p><p>=⇒==</p><p>H</p><p>K</p><p>H</p><p>aHaHH</p><p>(02)</p><p>(03)</p><p>– Página 7.9 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0077 –– CCAAMMPPOO MMAAGGNNÉÉTTIICCOO EESSTTAACCIIOONNÁÁRRIIOO</p><p>b) O campo magnético gerado em ρ = 30 mm ( bH ) será proveniente tanto da superfície</p><p>cilíndrica quanto do solenóide. Portanto, bH será a soma das equações (02) e (03).</p><p>[ ]</p><p>[ ]m</p><p>A 14104 806766</p><p>m</p><p>A 80 6766 80 100</p><p>30</p><p>20</p><p>20</p><p>b</p><p>22</p><p>bb</p><p>zbzb</p><p>zsolcilbsolcilb</p><p>,H,H</p><p>,</p><p>KK</p><p>=⇒+==</p><p>+=⇒+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅=</p><p>+=⇒+=</p><p>H</p><p>aaHaaH</p><p>aaHHHH</p><p>φφ</p><p>φ</p><p>ρ</p><p>c) O campo magnético gerado em ρ = 50 mm ( cH ) será proveniente somente da superfície</p><p>cilíndrica. Portanto, a equação (02) é suficiente para defini-lo.</p><p>[ ]</p><p>[ ]m</p><p>A 40</p><p>m</p><p>A 40 100</p><p>50</p><p>20</p><p>20</p><p>cc</p><p>cc</p><p>cilcilc</p><p>==</p><p>=⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅=</p><p>==</p><p>H</p><p>K</p><p>H</p><p>aHaH</p><p>aHH</p><p>φφ</p><p>φ</p><p>ρ</p><p>7.6) Um fio de raio igual a 2a [m] estende-se ao longo do eixo z e é constituído de dois</p><p>materiais condutores, sendo:</p><p>Condutor 01: condutividade = σ para 0 < ρ <a..</p><p>Condutor 02: condutividade = 4σ para a < ρ <2a..</p><p>Se o fio conduz uma corrente contínua total de I ampères, calcular:</p><p>a) a corrente devido a cada condutor;</p><p>b) o campo magnético H para 0 < ρ <3a.</p><p>Resolução:</p><p>a)</p><p>onde</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>02.condutor o somente percorre que corrente a é I</p><p>01;condutor o somente percorre que corrente a é I</p><p>;condutores dois os percorre que totalcorrente a é I</p><p>2</p><p>1</p><p>222</p><p>2</p><p>aaa</p><p>a</p><p>12</p><p>R</p><p>4( 4</p><p>R</p><p>S</p><p>R</p><p>R</p><p>S</p><p>R</p><p>22</p><p>22</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>11</p><p>1</p><p>1</p><p>πσπσσ</p><p>πσσ</p><p>���</p><p>��</p><p>=⇒</p><p>−</p><p>=⇒=</p><p>=⇒=</p><p>)</p><p>– Página 7.10 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0077 –– CCAAMMPPOO MMAAGGNNÉÉTTIICCOO EESSTTAACCIIOONNÁÁRRIIOO</p><p>[ ]</p><p>[ ]</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>=</p><p>⇒=⇒+=</p><p>=⇒=⇒=∴</p><p>A I</p><p>13</p><p>12</p><p>I</p><p>A</p><p>13</p><p>I</p><p>I</p><p>I13II12II Logo,</p><p>I12IR12R12</p><p>R</p><p>R</p><p>2</p><p>1</p><p>111</p><p>1221</p><p>2</p><p>1</p><p>b) Lei Circuital de Ampère: enlI ∫ =• dLH</p><p>� Cálculo de H para ρ < a:</p><p>[ ]</p><p>m</p><p>A</p><p>26</p><p>I</p><p>2</p><p>I</p><p>I 2I 1</p><p>2</p><p>1enl 222</p><p>aaa π</p><p>ρ</p><p>π</p><p>ρ</p><p>π</p><p>ρπ</p><p>ρπ =⇒=⇒⋅=⋅⇒=•∫ HHHdLH</p><p>� Cálculo de H para a < ρ < 2a:</p><p>[ ]</p><p>m</p><p>A 34</p><p>26</p><p>I</p><p>26</p><p>4 I4 I</p><p>3</p><p>(</p><p>I</p><p>13</p><p>12</p><p>13</p><p>I</p><p>2</p><p>4(</p><p>(</p><p>II 2I</p><p>2</p><p>22</p><p>2</p><p>21enl</p><p>)(H</p><p>H</p><p>)</p><p>H</p><p>)</p><p>)</p><p>H</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>22</p><p>2</p><p>2</p><p>22</p><p>2</p><p>a</p><p>a</p><p>a</p><p>aa</p><p>a</p><p>a</p><p>aa</p><p>a</p><p>−=∴</p><p>−+</p><p>=⇒</p><p>−</p><p>⋅+=⋅</p><p>−</p><p>−</p><p>⋅+=⋅⇒=•∫</p><p>ρ</p><p>ρπ</p><p>ρπ</p><p>ρρ</p><p>ρπ</p><p>π</p><p>ρπ</p><p>ρπdLH</p><p>� Cálculo de H para 2a <ρ < 3a:</p><p>[ ]</p><p>m</p><p>A</p><p>2</p><p>I</p><p>II 2I 21enl</p><p>ρπ</p><p>ρπ =⇒+=⋅⇒=•∫ HHdLH</p><p>7.7) Um cabo coaxial consiste de um fio central fino conduzindo uma corrente I envolvido</p><p>por um condutor externo de espessura despresível a uma distância a conduzindo uma</p><p>corrente na direção oposta. Metade do espaço entre os condutores é preenchido por um</p><p>material magnético de permeabilidade µ e a outra metade com ar. Determinar B , H e</p><p>M em todos os pontos do condutor.</p><p>Resolução:</p><p>� Cálculo de B :</p><p>� Lei Circuital de Ampère para ρ <</p><p>a:</p><p>( ) enlmatarenl I I ∫∫ =•+⇒=• dLHHdLH (01)</p><p>– Página 7.11 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0077 –– CCAAMMPPOO MMAAGGNNÉÉTTIICCOO EESSTTAACCIIOONNÁÁRRIIOO</p><p>Mas</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>==⇒=</p><p>≠⇒≠</p><p>φaBBB</p><p>HH</p><p>matar</p><p>2</p><p>N</p><p>1</p><p>N</p><p>matar</p><p>2</p><p>N</p><p>1</p><p>N</p><p>BB</p><p>HH</p><p>(02)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>=</p><p>⇒=</p><p>matmat</p><p>aroar</p><p>HB</p><p>HB</p><p>HB</p><p>µ</p><p>µ</p><p>µ (03)</p><p>Substituindo (02) e (03) em (01), temos:</p><p>φφρ</p><p>µµ</p><p>adLdL</p><p>BB</p><p>d onde , I</p><p>o</p><p>enl =•</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+= ∫</p><p>( ) φ</p><p>π</p><p>πφ</p><p>π</p><p>φ</p><p>φ</p><p>µµπρ</p><p>µµ</p><p>π</p><p>µ</p><p>ρ</p><p>π</p><p>µ</p><p>ρ</p><p>φρ</p><p>µ</p><p>φρ</p><p>µ</p><p>φρ</p><p>µµ</p><p>aBBB</p><p>a</p><p>BB</p><p>+</p><p>===⇒⋅+⋅=</p><p>+=⇒•</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+= ∫∫∫</p><p>==</p><p>o</p><p>o</p><p>matar</p><p>o</p><p>2</p><p>0 oo</p><p>I</p><p>I</p><p>d d I d I</p><p>BB</p><p>BB</p><p>� Cálculo de H :</p><p>� No ar:</p><p>( ) φ</p><p>µµπρ</p><p>µ</p><p>µ</p><p>aH</p><p>B</p><p>H</p><p>+</p><p>=⇒=</p><p>o</p><p>ar</p><p>o</p><p>ar</p><p>I</p><p>� No material magnético:</p><p>( ) φ</p><p>µµπρ</p><p>µ</p><p>µ</p><p>aH</p><p>B</p><p>H</p><p>+</p><p>=⇒=</p><p>o</p><p>o</p><p>matmat</p><p>I</p><p>� Cálculo de M :</p><p>� No ar:</p><p>0 arar</p><p>o</p><p>ar =⇒−= MH</p><p>B</p><p>M</p><p>µ</p><p>� No material magnético:</p><p>( )</p><p>( ) φ</p><p>φφ</p><p>µµπρ</p><p>µµ</p><p>µπρπρµ</p><p>µ</p><p>µπρπρµ</p><p>µ</p><p>µ</p><p>aM</p><p>aaMH</p><p>B</p><p>M</p><p>+</p><p>−</p><p>=</p><p>+</p><p>−</p><p>+</p><p>=⇒−=</p><p>o</p><p>o</p><p>mat</p><p>o</p><p>o</p><p>o</p><p>matmatmat</p><p>I</p><p>I I</p><p>– Página 7.12 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0077 –– CCAAMMPPOO MMAAGGNNÉÉTTIICCOO EESSTTAACCIIOONNÁÁRRIIOO</p><p>7.8) Uma película infinita de corrente com [ ]</p><p>m</p><p>A 10 x1 aK = estende-se no plano z = 0.</p><p>Duas outras películas de corrente com [ ]</p><p>m</p><p>A 5 x32 aKK −== são colocadas nos</p><p>planos z = h e z = -h.</p><p>a) Determinar o campo vetorial H em todo o espaço;</p><p>b) Determinar o fluxo magnético líquido que cruza o plano y = 0 na direção ya , entre</p><p>0 < x < 1 e 0 < z < 2h.</p><p>Resolução:</p><p>a) Campo magnético para um plano infinito: N</p><p>2</p><p>1</p><p>aKH ×= .</p><p>Pela análise da figura acima, nota-se que, em qualquer ponto do espaço, o campo magnético</p><p>terá a seguinte forma: 321 HHHH ++= , onde 321 e HHH , são os campos gerados pelas</p><p>películas 321 e KKK , respectivamente.</p><p>Portanto, </p><p></p><p></p><p></p><p> ×+×+×=</p><p>3</p><p>N3</p><p>2</p><p>N2</p><p>1</p><p>N1</p><p>2</p><p>1</p><p>aKaKaKH (01)</p><p>� Cálculo de H para z > h:</p><p>( ) 0 5 5 10</p><p>2</p><p>1</p><p>zxzxzx =⇒×−×−×= HaaaaaaH</p><p>� Cálculo de H para 0 < z < h:</p><p>[ ] [ ]m</p><p>A 5 5 5 10</p><p>2</p><p>1</p><p>yzxzxzx aHaaaaaaH −=⇒×−−×−×= )(</p><p>� Cálculo de H para -h < z < 0:</p><p>[ ] [ ]m</p><p>A 5 5 5 10</p><p>2</p><p>1</p><p>yzxzxzx aHaaaaaaH +=⇒×−−×−−×= )()(</p><p>– Página 7.13 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0077 –– CCAAMMPPOO MMAAGGNNÉÉTTIICCOO EESSTTAACCIIOONNÁÁRRIIOO</p><p>� Cálculo de H para z < -h:</p><p>[ ] 0 5 5 10</p><p>2</p><p>1</p><p>zxzxzx =⇒−×−−×−−×= HaaaaaaH )()()(</p><p>b)</p><p>[ ]Wb 5 dxdz5 o</p><p>0z</p><p>y</p><p>1</p><p>x</p><p>yo</p><p>2</p><p>S</p><p>22So</p><p>1</p><p>S</p><p>11So</p><p>S</p><p>h</p><p>h</p><p>0</p><p>µφµφ</p><p>µµφφ</p><p>−=⇒•−=</p><p>•+•=⇒•=</p><p>∫ ∫</p><p>∫∫∫</p><p>= =</p><p>aa</p><p>dSHdSHdSB</p><p>)(</p><p>7.9) Um fio infinito foi dobrado e colocado segundo a figura abaixo. Empregando a Lei de</p><p>Biot-Savart, calcular o campo magnético resultante H num ponto genérico P situado</p><p>sobre o eixo y. Determinar também o valor de H para o valor de y do ponto P igual a:</p><p>a) Zero;</p><p>b) d;</p><p>c)</p><p>2</p><p>d</p><p>;</p><p>d) 2d.</p><p>Resolução:</p><p>O campo magnético resultante em P apresenta uma parcela que é gerada pelo segmento</p><p>semi-infinito localizado em y = 0 ( 1H ), uma parcela que é gerada pelo segmento semi-infinito</p><p>localizado em y = d ( 2H ) e uma parcela que é gerada pelo segmento condutor localizado em x = 0</p><p>( 3H ).</p><p>321 HHHH ++=∴ (01)</p><p>– Página 7.14 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0077 –– CCAAMMPPOO MMAAGGNNÉÉTTIICCOO EESSTTAACCIIOONNÁÁRRIIOO</p><p>� Cálculo de 1H :</p><p>� Lei de Biot-Savart:</p><p>∫</p><p>×</p><p>=</p><p>2</p><p>1</p><p>1R1</p><p>1</p><p>R 4</p><p>I</p><p>π</p><p>adL</p><p>H , onde:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>I. de direcão a indica que</p><p>ocompriment de ldiferencia elemento o é</p><p>de versor um é</p><p>R</p><p>P ponto ao corrente de</p><p>ldiferencia elemento do dirigido vetor o é</p><p>1</p><p>11R</p><p>11</p><p>1</p><p>1</p><p>dL</p><p>Ra</p><p>R</p><p>dL</p><p>R</p><p>;</p><p>;</p><p>;</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>(02)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>+</p><p>+</p><p>==</p><p>+=+−=</p><p>.x1</p><p>22</p><p>yx</p><p>1</p><p>1</p><p>1R</p><p>22</p><p>1yx1</p><p>dx</p><p>;</p><p>yx</p><p>y x</p><p>R</p><p>;yxR ; y x</p><p>adL</p><p>aaR</p><p>a</p><p>aaR</p><p>���</p><p>���</p><p>(03)</p><p>Substituindo (03) em (02), temos:</p><p>∫∫</p><p>−∞= +</p><p>⋅=⇒</p><p>+</p><p>+×</p><p>=</p><p>0</p><p>x</p><p>z</p><p>2</p><p>3</p><p>22</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>22</p><p>yxx</p><p>1</p><p>yx(</p><p>ydx</p><p>4</p><p>I</p><p>yx( 4</p><p>) y x dx</p><p>I aH</p><p>aaa</p><p>H</p><p>))</p><p>(</p><p>π</p><p>π</p><p>��</p><p>(04)</p><p>Substituição de variáveis na integral:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=⇒=</p><p>°−=⇒−∞=</p><p>⇒=</p><p>θθ</p><p>θ</p><p>θ</p><p>θ</p><p>d ydx</p><p>00y</p><p>90x</p><p>tg yx</p><p>2sec</p><p>Substituindo (05) em (04), temos:</p><p>[ ]</p><p>( )[ ] z1z1</p><p>z</p><p>0</p><p>901z</p><p>0</p><p>90</p><p>1</p><p>z</p><p>0</p><p>90</p><p>1z</p><p>0</p><p>90</p><p>33</p><p>22</p><p>1</p><p>y 4</p><p>I</p><p>1--0</p><p>y 4</p><p>I</p><p>y 4</p><p>I</p><p>d osc</p><p>y 4</p><p>I</p><p>sec</p><p>d</p><p>y 4</p><p>I</p><p>sec y</p><p>d sec y</p><p>4</p><p>I</p><p>aHaH</p><p>aHaH</p><p>aHaH</p><p>ππ</p><p>θ</p><p>π</p><p>θθ</p><p>π</p><p>θ</p><p>θ</p><p>πθ</p><p>θθ</p><p>π</p><p>θ</p><p>θ</p><p>θθ</p><p>=⇒=</p><p>=⇒=</p><p>=⇒=</p><p>°−=</p><p>°−=</p><p>°−=°−=</p><p>∫</p><p>∫∫</p><p>sen</p><p>� Cálculo de 2H :</p><p>A parcela 2H apresente a mesma direção e sentido de 1H , porém varia inversamente com a</p><p>distância (y – d).</p><p>(05)</p><p>(06) para (y ≠ 0)</p><p>– Página 7.15 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0077 –– CCAAMMPPOO MMAAGGNNÉÉTTIICCOO EESSTTAACCIIOONNÁÁRRIIOO</p><p>Portanto: z2</p><p>)-y( 4</p><p>I</p><p>aH</p><p>dπ</p><p>= . para (y ≠ d) (07)</p><p>� Cálculo de 3H :</p><p>O segmento condutor localizado em x = 0 não pode gerar um campo magnético no ponto P,</p><p>pois 03R3 =× adL .Logo, 03 =H (08)</p><p>Substituindo (06), (07) e (08) em (01), temos:</p><p>( ) ( )</p><p>�� ��� �������</p><p>d</p><p>dd</p><p>≠≠</p><p>+=⇒++=</p><p>y</p><p>z</p><p>0y</p><p>zzz</p><p>-y 4</p><p>I</p><p>y 4</p><p>I</p><p>0</p><p>-y 4</p><p>I</p><p>y 4</p><p>I</p><p>aaHaaH</p><p>ππππ</p><p>a) Neste caso, 01 =H e )z2 (</p><p>4</p><p>I</p><p>aHH −==</p><p>dπ</p><p>b) Neste caso, 02 =H e z1</p><p>4</p><p>I</p><p>aHH</p><p>dπ</p><p>==</p><p>c) 0</p><p>4</p><p>I 2</p><p>4</p><p>I 2</p><p>zz21 =⇒−=⇒+= HaaHHHH</p><p>dd ππ</p><p>d) zzzz21</p><p>8</p><p>I 3</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>4</p><p>I</p><p>4</p><p>I</p><p>8</p><p>I</p><p>aHaHaaHHHH</p><p>dddd ππππ</p><p>=⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+⋅=⇒+=⇒+=</p><p>7.10) Calcular B no ponto P(0; 0; 2a) gerado por uma espira circular de raio ρ = a, situada no</p><p>plano xy, percorrida por uma corrente I no sentido horário e por um condutor filamentar</p><p>passando pelo ponto (2a; 0; 0), conduzindo uma corrente I o sentido ya+ .</p><p>Resolução:</p><p>(01)</p><p>x</p><p>2a</p><p>condB</p><p>a</p><p>I</p><p>I</p><p>P (0; 0; 2a)</p><p>espB</p><p>z</p><p>y</p><p>condespP BBB +=</p><p>– Página 7.16 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0077 –– CCAAMMPPOO MMAAGGNNÉÉTTIICCOO EESSTTAACCIIOONNÁÁRRIIOO</p><p>� Cálculo de B para a espira: Lei de Biot-Savart: ∫</p><p>×</p><p>=</p><p>2</p><p>R</p><p>R 4</p><p>I</p><p>π</p><p>adL</p><p>H (02)</p><p>onde:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>I. de direcão a indica que</p><p>ocompriment de ldiferencia elemento o é</p><p>de versor um é</p><p>R</p><p>(P) ponto ao de dirigido vetor o é</p><p>R</p><p>dL</p><p>Ra</p><p>R</p><p>dLR</p><p>;</p><p>;</p><p>;</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>+−</p><p>==</p><p>=+−=</p><p>.φ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>φ adL</p><p>aaR</p><p>a</p><p>aaR</p><p>d</p><p>;</p><p>5</p><p>2</p><p>R</p><p>; 5R ; 2</p><p>z</p><p>R</p><p>z</p><p>a</p><p>a aa</p><p>���</p><p>���</p><p>(03)</p><p>Substituindo (03) em (02), temos:</p><p>φ</p><p>ππ</p><p>φ</p><p>ρ</p><p>ρφ</p><p>d 2</p><p>5 20</p><p>I</p><p>5 20</p><p>) 2 d</p><p>I zesp</p><p>z</p><p>esp ∫∫ +−=⇒</p><p>+−×</p><p>= )(</p><p>()(</p><p>aaH</p><p>aaa</p><p>H</p><p>��</p><p>��</p><p>aa</p><p>a</p><p>2</p><p>(04)</p><p>A inspeção da figura nos mostra que elementos de corrente diametralmente opostos produzem</p><p>componentes radiais de campos que se cancelam. Portanto, espH possui somente componente na</p><p>direção de za , reduzindo a equação (04) a:</p><p>zespz</p><p>2</p><p>0</p><p>esp</p><p>10</p><p>I</p><p>d</p><p>20</p><p>I</p><p>aHaH</p><p>��</p><p>5a5a</p><p>−</p><p>=⇒</p><p>−</p><p>= ∫</p><p>=</p><p>π</p><p>φ</p><p>φ</p><p>π</p><p>(05)</p><p>z</p><p>o</p><p>espespoesp</p><p>10</p><p>I</p><p>aBHB</p><p>5a</p><p>µ</p><p>µ</p><p>−</p><p>=⇒=∴ (06)</p><p>� Cálculo de B para o condutor:</p><p>φ</p><p>ρπ</p><p>µ</p><p>aB</p><p>2</p><p>Io</p><p>cond = , onde ρφ aa ⊥ (07)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> +</p><p>=∴</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> +−</p><p>×=⇒×=</p><p>+−</p><p>==</p><p>=+−=</p><p>2</p><p>2</p><p>;</p><p>2</p><p>; 22 ; 2 2</p><p>zx</p><p>zx</p><p>yy</p><p>zx</p><p>zx</p><p>aa</p><p>a</p><p>aa</p><p>aaaaa</p><p>aa</p><p>a</p><p>aa</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>a aa</p><p>φ</p><p>φρφ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρρ</p><p>(08)</p><p>P</p><p>dL</p><p>I</p><p>espH</p><p>R</p><p>a</p><p>y</p><p>z</p><p>x</p><p>– Página 7.17 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0077 –– CCAAMMPPOO MMAAGGNNÉÉTTIICCOO EESSTTAACCIIOONNÁÁRRIIOO</p><p>Substituindo (08) em (07), temos:</p><p>)( zx</p><p>o</p><p>cond</p><p>zxo</p><p>cond</p><p>8</p><p>I</p><p>2</p><p>24</p><p>I</p><p>aaB</p><p>aa</p><p>B</p><p>��</p><p>��</p><p>a</p><p>a</p><p>+⋅=⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> +</p><p>⋅=</p><p>π</p><p>µ</p><p>π</p><p>µ</p><p>(09)</p><p>Substituindo (06) e (09) em (01), temos:</p><p>( )zx</p><p>o</p><p>Pxz</p><p>o</p><p>P</p><p>zx</p><p>o</p><p>z</p><p>o</p><p>condespP</p><p>00490 03980</p><p>I</p><p>8</p><p>1</p><p>80</p><p>810</p><p>I</p><p>8</p><p>I</p><p>510</p><p>I</p><p>aaBaaB</p><p>aaaBBB</p><p>����</p><p>���</p><p>,,</p><p>)(</p><p>−⋅=⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> −</p><p>⋅=</p><p>+⋅+</p><p>−</p><p>=+=</p><p>a</p><p>5</p><p>5</p><p>a</p><p>a</p><p>a</p><p>µ</p><p>ππ</p><p>πµ</p><p>π</p><p>µµ</p><p>7.11) a) Demonstrar, utilizando a lei de Biot Savart, que a expressão para o cálculo de um</p><p>campo magnético H em um ponto P qualquer devido a um elemento de corrente de</p><p>tamanho finito é dada por: ( ) φαα</p><p>πρ</p><p>aH</p><p>4</p><p>I</p><p>21 sensen += , onde ρ é a menor</p><p>distância do ponto P ao elemento de corrente.</p><p>b) Encontre a indução magnética B no centro de um hexágono regular de lado a,</p><p>conduzindo uma corrente I.</p><p>Resolução:</p><p>a)</p><p>� Lei de Biot-Savart: ∫</p><p>×</p><p>=</p><p>2</p><p>R</p><p>R 4</p><p>I</p><p>π</p><p>adL</p><p>H ,</p><p>onde:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>I. de direcão a indica que</p><p>ocompriment de ldiferencia elemento o é</p><p>de versor um é</p><p>R</p><p>P ponto ao dz corrente de</p><p>ldiferencia elemento do dirigido vetor o é</p><p>R</p><p>dL</p><p>Ra</p><p>R</p><p>R</p><p>;</p><p>;</p><p>;</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>(01)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>+</p><p>−</p><p>==</p><p>+=−=</p><p>.z</p><p>22</p><p>z</p><p>R</p><p>22</p><p>z</p><p>dz</p><p>;</p><p>z</p><p>z</p><p>R</p><p>; zR ; z</p><p>adL</p><p>aaR</p><p>a</p><p>aaR</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>���</p><p>���</p><p>(02)</p><p>Substituindo (02) em (01), temos:</p><p>φ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>π</p><p>ρ</p><p>ρπ</p><p>ρ</p><p>aH</p><p>aaa</p><p>H</p><p>z(</p><p>dz</p><p>4</p><p>I</p><p>z( 4</p><p>) z dz</p><p>I</p><p>2</p><p>3</p><p>222</p><p>3</p><p>22</p><p>zz</p><p>∫∫</p><p>+</p><p>=⇒</p><p>+</p><p>−×</p><p>=</p><p>))</p><p>(</p><p>��</p><p>(03)</p><p>– Página 7.18 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0077 –– CCAAMMPPOO MMAAGGNNÉÉTTIICCOO EESSTTAACCIIOONNÁÁRRIIOO</p><p>Substituição de variáveis na integral:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>=</p><p>ααρ</p><p>αρ</p><p>d dz</p><p>tg z</p><p>2sec</p><p>(04)</p><p>Substituindo (04) em (03), temos:</p><p>φ</p><p>αα</p><p>αα</p><p>φ</p><p>αα</p><p>αα</p><p>α</p><p>α</p><p>ρπαρ</p><p>ααρ</p><p>π</p><p>ρ</p><p>aHaH ∫∫</p><p>=</p><p>−=</p><p>=</p><p>−=</p><p>=⇒=</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>33</p><p>2</p><p>sec</p><p>d</p><p>4</p><p>I</p><p>sec</p><p>d sec</p><p>4</p><p>I</p><p>[ ] φ</p><p>φ</p><p>αα</p><p>αα</p><p>φ</p><p>αα</p><p>αα</p><p>αα</p><p>ρπ</p><p>α</p><p>ρπ</p><p>αα</p><p>ρπ</p><p>aH</p><p>aHaH</p><p>4</p><p>I</p><p>4</p><p>I</p><p>d</p><p>4</p><p>I</p><p>21</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>sensen</p><p>sencos</p><p>+=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=⇒=</p><p>=</p><p>−=</p><p>=</p><p>−=</p><p>∫</p><p>b)</p><p>Os lados AB, BC, CD, DE, EF e FA do hexágono</p><p>correspondem a elementos de corrente de tamanho</p><p>finito do item (a). Deste modo, o campo magnético</p><p>total gerado no centro do hexágono será seis vezes</p><p>maior que o campo magnético gerado por cada um dos</p><p>lados individualmente.</p><p>Logo: AB0 6HH = (01)</p><p>� Cálculo de ABH :</p><p>[ ] φαα</p><p>ρπ</p><p>aH</p><p>4</p><p>I</p><p>21AB sensen += , onde</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> °==</p><p>hexágono. do lado o e</p><p>centro o entre distânciamenor a é</p><p>3021</p><p>AB</p><p>ρ</p><p>αα ;</p><p>(02)</p><p>� Cálculo de ρ:</p><p>2</p><p>3</p><p>30tg22</p><p>30tg</p><p>aaa</p><p>=⇒</p><p>°⋅</p><p>=⇒=° ρρ</p><p>ρ</p><p>(03)</p><p>Substituindo (03) em (02), temos:</p><p>[ ] φφ</p><p>ππ</p><p>aHaH</p><p>3 2</p><p>I</p><p>3030</p><p>3 4</p><p>I 2</p><p>ABAB</p><p>aa</p><p>=⇒°+°= sensen (04)</p><p>(05)</p><p>– Página 7.19 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0077 –– CCAAMMPPOO MMAAGGNNÉÉTTIICCOO EESSTTAACCIIOONNÁÁRRIIOO</p><p>Substituindo (04) em (01), temos:</p><p>φφ</p><p>ππ</p><p>aHaH</p><p>I 3</p><p>3</p><p>I 3</p><p>00</p><p>aa</p><p>=⇒=</p><p>� Cálculo de 0B :</p><p>φ</p><p>π</p><p>µ</p><p>µ aBHB</p><p>3 I</p><p>o</p><p>00o0</p><p>a</p><p>=⇒=</p><p>– Página 8.1 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0088 –– FFOORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTOOSS MMAAGGNNÉÉTTIICCOOSS,, MMAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA</p><p>CAPÍTUO 08</p><p>FORÇAS E CIRCUITOS MAGNÉTICOS, MATERIAIS E INDUTÂNCIA</p><p>8.1) No circuito magnético abaixo, construído com uma liga de ferro-níquel, calcular a fmm</p><p>para que o fluxo no entreferro g seja de 300 [µWb]. Desprezar o espraiamento de fluxo</p><p>no entreferro.</p><p>Resolução:</p><p>� Circuito elétrico análogo:</p><p>Dados:</p><p>[ ]</p><p>[ ]</p><p>[ ]</p><p>[ ]</p><p>[ ]</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>=</p><p>==</p><p>=</p><p>==⇒−==</p><p>Wb 300</p><p>cm 6S</p><p>cm 4SS</p><p>cm 6</p><p>cm 951505016</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>21</p><p>3</p><p>2121</p><p>µφ</p><p>�</p><p>���� ,,</p><p>Analisando o circuito magnético acima, nota-se a existência de simetria entre seus braços</p><p>direito e esquerdo. Portanto, ℜ1 = ℜ2 ⇒ φ1 = φ2.</p><p>Analisando o circuito elétrico análogo, extrai-se o seguinte conjunto de equações:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+=−≈ℜ+ℜ=ℜ−</p><p>=⇒+=</p><p>ggg ��� HHH 113311133</p><p>13213</p><p>NINI</p><p>2</p><p>φφφ</p><p>φφφφφ</p><p>(01)</p><p>� Cálculo de 1H :</p><p>[ ]T 750</p><p>104</p><p>10300</p><p>SS 14</p><p>6</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>1 ,BBBBBB ==⇒</p><p>⋅</p><p>⋅</p><p>==⇒===</p><p>−</p><p>−</p><p>gg</p><p>g</p><p>g</p><p>φφ</p><p>– Página 8.2 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0088 –– FFOORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTOOSS MMAAGGNNÉÉTTIICCOOSS,, MMAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA</p><p>Consultando a curva de magnetização do ferro-níquel em anexo, encontra-se:</p><p>Para [ ] [ ]</p><p>m</p><p>Ae 15T 750 11 =⇒= H,B (02)</p><p>� Cálculo de gH :</p><p>[ ]</p><p>m</p><p>Ae 10975</p><p>104</p><p>750 5</p><p>7o</p><p>⋅=⇒</p><p>⋅</p><p>=⇒=</p><p>−</p><p>,H</p><p>,</p><p>H</p><p>B</p><p>H gg</p><p>g</p><p>g</p><p>πµ</p><p>(03)</p><p>� Cálculo de 3H :</p><p>De (01): φ3 = 2φ1 ⇒ φ3 =600 [µ Wb]</p><p>[ ]T 01</p><p>106</p><p>10600</p><p>S 34</p><p>6</p><p>3</p><p>3</p><p>3</p><p>3 ,BBB =⇒</p><p>⋅</p><p>⋅</p><p>=⇒=</p><p>−</p><p>−φ</p><p>Consultando a curva de magnetização do ferro-níquel em anexo, encontra-se:</p><p>Para [ ] [ ]</p><p>m</p><p>Ae 50T 01 33 =⇒= H,B (04)</p><p>Substituindo (02), (03) e (04) em (01), temos:</p><p>[ ]Ae 9303NI 52983923NI</p><p>10050109751095151510650NI 2522</p><p>,,,</p><p>,,,</p><p>=⇒++=</p><p>⋅⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅− −−−</p><p>8.2) Dois circuitos condutores são constituídos por um fio reto bastante longo e uma espira</p><p>retangular de dimensões h e d. A espira pertence a um plano que passa pelo fio, sendo os</p><p>lados de comprimento h paralelos ao fio e distantes de r e r+d deste. Determinar a</p><p>expressão que fornece a indutância mútua entre os dois circuitos.</p><p>Resolução:</p><p>1</p><p>122</p><p>12 I</p><p>N</p><p>M</p><p>φ</p><p>= (01)</p><p>� Cálculo de φ12:</p><p>Para o fio infinito de corrente, temos:</p><p>φφ</p><p>ρπ</p><p>µ</p><p>µ</p><p>πρ</p><p>aBHBaH</p><p>2</p><p>I</p><p>2</p><p>I 1o</p><p>1212o12</p><p>1</p><p>12 =⇒=⇒=</p><p>– Página 8.3 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0088 –– FFOORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTOOSS MMAAGGNNÉÉTTIICCOOSS,, MMAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA</p><p>( )∫∫</p><p>+</p><p>=</p><p>•</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=⇒•=</p><p>dr</p><p>r</p><p>h</p><p>ρ</p><p>φφ ρ</p><p>ρπ</p><p>µ</p><p>φφ aadSB d</p><p>2</p><p>I1o</p><p>12</p><p>S</p><p>1212</p><p>[ ]</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> +</p><p>⋅=</p><p>⋅=⇒⋅=</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>=</p><p>∫</p><p>r</p><p>drh</p><p>hh dr</p><p>r</p><p>dr</p><p>r</p><p>2</p><p>I</p><p>2</p><p>Id</p><p>2</p><p>I</p><p>1o</p><p>12</p><p>1o</p><p>12</p><p>1o</p><p>12</p><p>ln</p><p>ln</p><p>π</p><p>µ</p><p>φ</p><p>ρ</p><p>π</p><p>µ</p><p>φ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>π</p><p>µ</p><p>φ ρ</p><p>ρ</p><p>Substituindo (02) em (01), temos:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> +</p><p>⋅=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> +</p><p>⋅</p><p>⋅</p><p>=⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> +</p><p>⋅=⇒=</p><p>r</p><p>drh</p><p>r</p><p>drh</p><p>r</p><p>drh</p><p>ln</p><p>lnln</p><p>π</p><p>µ</p><p>π</p><p>µ</p><p>π</p><p>µφ</p><p>2</p><p>M</p><p>2</p><p>1</p><p>M</p><p>I 2</p><p>IN</p><p>M</p><p>I</p><p>N</p><p>M</p><p>o</p><p>12</p><p>o</p><p>12</p><p>1</p><p>1o2</p><p>12</p><p>1</p><p>122</p><p>12</p><p>8.3) Um filamento infinito estende-se sobre o eixo z, no espaço livre, e uma bobina quadrada</p><p>de N espiras é colocada na plano y = 0 com vértices em (b; 0; 0), (b+a; 0; 0), (b+a; 0; a) e</p><p>(b; 0; a).</p><p>Determinar a indutância mútua entre o filamento e a bobina em termos de a, b, N e µo.</p><p>Resolução:</p><p>1</p><p>122</p><p>12 I</p><p>N</p><p>M</p><p>φ</p><p>= (01)</p><p>� Cálculo de φ12:</p><p>Para o filamento infinito de corrente, temos:</p><p>( )</p><p>[ ] [ ]</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> +</p><p>⋅=</p><p>⋅⋅=⇒⋅=</p><p>•</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=⇒•=</p><p>=⇒=⇒=</p><p>=</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>= =</p><p>+</p><p>= =</p><p>∫ ∫</p><p>∫ ∫∫</p><p>b</p><p>aba</p><p>aab</p><p>b</p><p>ab</p><p>b</p><p>a</p><p>ab</p><p>b</p><p>a</p><p>2</p><p>I</p><p>zx</p><p>2</p><p>I</p><p>x</p><p>dxdz</p><p>2</p><p>I</p><p>dxdz</p><p>x 2</p><p>I</p><p>x 2</p><p>I</p><p>2</p><p>I</p><p>o</p><p>12</p><p>0zx</p><p>o</p><p>12</p><p>x 0z</p><p>o</p><p>12</p><p>x 0z</p><p>yy</p><p>o</p><p>12</p><p>S</p><p>12</p><p>y</p><p>o</p><p>o</p><p>ln</p><p>ln</p><p>π</p><p>µ</p><p>φ</p><p>π</p><p>µ</p><p>φ</p><p>π</p><p>µ</p><p>φ</p><p>π</p><p>µ</p><p>φφ</p><p>π</p><p>µ</p><p>µ</p><p>πρ</p><p>φ</p><p>aadSB</p><p>aBHBaH</p><p>(02)</p><p>(02)</p><p>– Página 8.4 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0088 –– FFOORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTOOSS MMAAGGNNÉÉTTIICCOOSS,, MMAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA</p><p>Substituindo (02) em (01), temos:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> +</p><p>⋅=⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> +</p><p>⋅=⇒=</p><p>b</p><p>aba</p><p>b</p><p>aba</p><p>lnln</p><p>π</p><p>µ</p><p>π</p><p>µφ</p><p>2</p><p>N</p><p>M</p><p>I 2</p><p>IN</p><p>M</p><p>I</p><p>N</p><p>M o</p><p>12</p><p>o</p><p>12</p><p>1</p><p>122</p><p>12</p><p>8.4) Dado o circuito magnético da figura abaixo, assumir [ ]T 60,B = através da seção reta</p><p>da perna esquerda e determinar:</p><p>a) A queda de potencial magnético no ar ( armV );</p><p>b) A queda de potencial magnético no aço-silício ( acomV );</p><p>c) A corrente que circula em uma bobina com 1250 espiras enroladas em volta da perna</p><p>esquerda.</p><p>Circuito elétrico análogo</p><p>Resolução:</p><p>Dados:</p><p>[ ]</p><p>[ ] [ ] [ ]</p><p>[ ] [ ]</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>==</p><p>===</p><p>=</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>21</p><p>1</p><p>cm 4S cm 6S</p><p>cm 60 cm 15 cm 10</p><p>T 60</p><p>;</p><p>,,;</p><p>,B</p><p>g���</p><p>aaE</p><p>���</p><p>−−= no ponto P (3, -2, 6 ) que está</p><p>apontada para o ponto Q (4, 0, 1 );</p><p>b) qual é a equação (escalar) da linha no plano z = 0 que é perpendicular ao vetor</p><p>yx 43 aaA</p><p>���</p><p>−= e passa através do ponto P (1, 5, 0 )?</p><p>Resolução:</p><p>a)</p><p>Definições:</p><p>PE</p><p>�</p><p>é o vetor dado E</p><p>�</p><p>no ponto P yxPyxP 32xy aaEaaE</p><p>������</p><p>−=⇒−−=⇒</p><p>PQ é um vetor dirigido do ponto P para o ponto Q.</p><p>Q</p><p>PE é a componente escalar de PE</p><p>�</p><p>na direção de PQE</p><p>�</p><p>.</p><p>.PQa</p><p>�</p><p>é o vetor unitário de PQ</p><p>(01)</p><p>(02)</p><p>– Página 1.7 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0011 –– AANNÁÁLLIISSEE VVEETTOORRIIAALL</p><p>� Cálculo de PQa</p><p>�</p><p>:</p><p>30</p><p>52</p><p>2541</p><p>52 zyx</p><p>PQ</p><p>zyx</p><p>PQ</p><p>aaa</p><p>a</p><p>aaa</p><p>PQ</p><p>PQ</p><p>a</p><p>���</p><p>�</p><p>���</p><p>� −+</p><p>=⇒</p><p>++</p><p>−+</p><p>==</p><p>� Cálculo de</p><p>Q</p><p>PE :</p><p>30</p><p>4</p><p>E</p><p>30</p><p>52</p><p>32EE</p><p>Q</p><p>P</p><p>zyx</p><p>yxQPPQP</p><p>Q</p><p>P −=⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> −+</p><p>•−=⇒•=</p><p>aaa</p><p>aaaE</p><p>���</p><p>����</p><p>)(</p><p>b)</p><p>Seja yx 5y1x aav</p><p>���</p><p>)()( −+−= o vetor dirigido de P para Q (vetor na direção da linha).</p><p>Mas Av</p><p>��</p><p>⊥ ⇒ 0=• vA</p><p>��</p><p>0174y-3x 05y41x305y1x43 yxyx =+⇒=−−−⇒=−+−•−∴ )()(])()[()( aaaa</p><p>����</p><p>Assim, 3x-4y+17=0 é a equação da linha no plano z = 0 que é perpendicular ao vetor A</p><p>�</p><p>e</p><p>passa pelo ponto P</p><p>1.6) Encontrar o vetor em coordenadas:</p><p>a) cartesianas que se estende de P (ρ = 4, φ = 10o , z = 1) a Q (ρ = 7, φ = 75o , z = 4).</p><p>b) cilíndricas no ponto M (x = 5, y = 1, z = 2) que se estende até N (x = 2, y = 4, z = 6).</p><p>Resolução:</p><p>a) Dados:</p><p>( )</p><p>( )</p><p></p><p></p><p>=°==</p><p>=°==</p><p>4z757 Q</p><p>1z104 P</p><p>;;</p><p>;;</p><p>φρ</p><p>φρ</p><p>Definindo PQ como o vetor, em coordenadas cartesianas, que</p><p>estende-se do ponto P ao ponto Q, temos:</p><p>zzyyxx aaaOPOQPQ</p><p>���</p><p>PQPQPQ ++=−= , onde OQ é</p><p>o vetor dirigido da origem ao ponto Q e OP é o vetor dirigido</p><p>da origem ao ponto P.</p><p>� Cálculo do vetor OP :</p><p>zyx aaaOP</p><p>���</p><p>zyx OPOPOP ++= , onde:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=⇒=</p><p>=⇒°==</p><p>=⇒°==</p><p>1z</p><p>695,0104</p><p>939,3104</p><p>zz</p><p>yy</p><p>xx</p><p>OPOP</p><p>OPsensenOP</p><p>OPcoscosOP</p><p>φρ</p><p>φρ</p><p>zyx aaaOP</p><p>���</p><p>++=∴ 695,0939,3</p><p>– Página 1.8 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0011 –– AANNÁÁLLIISSEE VVEETTOORRIIAALL</p><p>� Cálculo do vetor OQ :</p><p>zyx aaaOQ</p><p>���</p><p>zyx OQOQOQ ++= ,onde:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=⇒=</p><p>=⇒°==</p><p>=⇒°==</p><p>4z</p><p>761,6757</p><p>812,1757</p><p>zz</p><p>yy</p><p>xx</p><p>OQOQ</p><p>OQsensenOQ</p><p>OQcoscosOQ</p><p>φρ</p><p>φρ</p><p>zyx aaaOQ</p><p>���</p><p>476168121 ++=∴ ,,</p><p>mas: zzyyxx aaaOPOQPQ</p><p>���</p><p>PQPQPQ ++=−= , onde:</p><p>zyx aaaPQ</p><p>���</p><p>3076132</p><p>3</p><p>07,6</p><p>13,2</p><p>zzzz</p><p>yyyy</p><p>xxxx</p><p>++−=⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=⇒−=</p><p>=⇒−=</p><p>−=⇒−=</p><p>,,</p><p>OQOPOQPQ</p><p>PQOPOQPQ</p><p>PQOPOQPQ</p><p>b) Dados:</p><p>( )</p><p>( )</p><p></p><p></p><p>=°==</p><p>===</p><p>4z757 Q</p><p>2z1y5x M</p><p>;;</p><p>;;</p><p>φρ</p><p>Podemos escrever o vetor MN em coordenadas cartesianas</p><p>da seguinte forma:</p><p>zzyyxx aaaOMONMN</p><p>���</p><p>MNMNMN ++=−= , onde</p><p>zyx aaaON</p><p>���</p><p>642 ++= e zyx aaaOM</p><p>���</p><p>25 ++= .Portanto,</p><p>4 3 3 zyx ==−= MN;MN;MN e</p><p>zyx aaaMN</p><p>���</p><p>433 ++−= .</p><p>� Cálculo do vetor MN em coordenadas cilíndricas:</p><p>zaaaMN</p><p>���</p><p>zMNMNMN ++= φφρρ onde:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=⋅++−=⋅=</p><p>+=⋅++−=⋅=</p><p>+−=⋅++−=⋅=</p><p>4433</p><p>33433</p><p>33433</p><p>zzz aaaaaMN</p><p>aaaaaMN</p><p>aaaaaMN</p><p>zyx</p><p>zyx</p><p>zyx</p><p>�����</p><p>�����</p><p>�����</p><p>)(MN</p><p>cossen)(MN</p><p>sencos)(MN</p><p>φφ</p><p>φφ</p><p>φφφ</p><p>ρρρ</p><p>No ponto M, temos:</p><p>26</p><p>5x</p><p>26</p><p>1y</p><p>26yx 22</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>==</p><p>==</p><p>=+=</p><p>ρ</p><p>φ</p><p>ρ</p><p>φ</p><p>ρ</p><p>cos</p><p>sen</p><p>Portanto:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>=⇒+=</p><p>−=⇒+−=</p><p>4</p><p>26</p><p>18</p><p>26</p><p>5</p><p>3</p><p>26</p><p>1</p><p>3</p><p>26</p><p>12</p><p>26</p><p>1</p><p>3</p><p>26</p><p>5</p><p>3</p><p>zMN</p><p>MNMN</p><p>MNMN</p><p>φφ</p><p>ρρ</p><p>Logo: zz 4</p><p>26</p><p>18</p><p>26</p><p>12</p><p>aaaMNaaaMN z</p><p>������</p><p>++−=⇒++= φρφφρρ MNMNMN</p><p>– Página 1.9 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0011 –– AANNÁÁLLIISSEE VVEETTOORRIIAALL</p><p>1.7) Sejam os pontos P ( 3, -4, 5 ) e Q ( 1, 2, 3 ) e W</p><p>�</p><p>um vetor localizado no ponto P cuja</p><p>magnitude seja igual à distância entre P e Q. Determine o vetor W</p><p>�</p><p>apontado para Q:</p><p>a) no sistema de coordenadas cartesianas;</p><p>b) no sistema de coordenadas cilíndricas;</p><p>c) no sistema de coordenadas esféricas.</p><p>Resolução:</p><p>No ponto P, temos:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−=</p><p>++</p><p>=−=</p><p>++</p><p>+</p><p>=°==</p><p>==−==°−==</p><p>=+=</p><p>70710</p><p>zyx</p><p>z</p><p>; 70710</p><p>zyx</p><p>yx</p><p>; 135</p><p>z</p><p>arctg</p><p>60</p><p>x</p><p>; 80</p><p>y</p><p>; 1353</p><p>x</p><p>y</p><p>arctg</p><p>5yx</p><p>222222</p><p>22</p><p>22</p><p>,cos,sen</p><p>,cos,sen,</p><p>θθ</p><p>ρ</p><p>θ</p><p>ρ</p><p>φ</p><p>ρ</p><p>φφ</p><p>ρ</p><p>(01)</p><p>a) zzyyxx aaaW</p><p>����</p><p>WWW ++=</p><p>zyxzyx 862 534231 aaaWaaaW</p><p>��������</p><p>++−=⇒−−+−−+−=∴ ))(())(()(</p><p>b) zz aaaW</p><p>����</p><p>WWW ++= φφρρ</p><p>� Cálculo das componentes, em coordenadas cilíndricas, do vetor W</p><p>�</p><p>:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=⇒•++−=•=</p><p>=⇒+−=+=•++−=•=</p><p>−=⇒−+−=+−=•++−=•=</p><p>8862</p><p>260680262862</p><p>680660262862</p><p>zzzyxzz</p><p>zyx</p><p>zyx</p><p>W)(W</p><p>W),(),(cossen)(W</p><p>W),(),(sencos)(W</p><p>aaaaaW</p><p>aaaaaW</p><p>aaaaaW</p><p>������</p><p>������</p><p>������</p><p>φφφφ</p><p>ρρρρ</p><p>φφ</p><p>φφ</p><p>z826 aaaW</p><p>����</p><p>++−=∴ φρ</p><p>c) φφθθ aaaW</p><p>����</p><p>WWW ++= rr (01)</p><p>� Cálculo das componentes, em coordenadas esféricas, do vetor W</p><p>�</p><p>:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+=⇒•++−=•=</p><p>−+−=⇒•++−=•=</p><p>++−=⇒•++−=•=</p><p>φφ</p><p>θφθφθ</p><p>θφθφθ</p><p>φφφφ</p><p>θθθθ</p><p>cossenW)(W</p><p>sensencoscoscosW)(W</p><p>cossensencossenW)(W</p><p>62862</p><p>862862</p><p>862862</p><p>zyx</p><p>zyx</p><p>rrzyxrr</p><p>aaaaaW</p><p>aaaaaW</p><p>aaaaaW</p><p>������</p><p>������</p><p>������</p><p>(02)</p><p>(03)</p><p>(04)</p><p>– Página 1.10 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0011 –– AANNÁÁLLIISSEE VVEETTOORRIIAALL</p><p>Substituindo (01) em (02), temos:</p><p>90,97071088070710660707102 rr −=⇒−+−+−= W),(),)(,(),)(,(W (05)</p><p>Substituindo (01) em (03), temos:</p><p>4117071088070710660707102 ,W),(),)(,(),)(,(W −=⇒−−−+−−= θθ (06)</p><p>Substituindo (01) em (04), temos:</p><p>2606802 −=⇒+= φφ W),(),(W (07)</p><p>Substituindo (05), (06) e (07) em (01), temos:</p><p>φθ aaaW</p><p>����</p><p>2411909 r +−−= ,,</p><p>1.8) Um campo vetorial é definido no ponto P ( r = 10, θ = 150o, φ = 60o ) como sendo:</p><p>φθ aaaG</p><p>����</p><p>543 r ++= . Determinar:</p><p>a) a componente vetorial de G</p><p>�</p><p>normal a superfície r = 10;</p><p>b) a componente vetorial de G</p><p>�</p><p>tangente ao cone θ = 150o;</p><p>c) a componente vetorial de G</p><p>�</p><p>na direção do vetor φaaR</p><p>���</p><p>86 r += ;</p><p>d) um vetor unitário perpendicular a G</p><p>�</p><p>e tangente ao plano φ = 60o;</p><p>Resolução:</p><p>a) Dados:</p><p>φθ aaaG</p><p>����</p><p>543 r ++= em P ( r = 10, θ = 150o, φ = 60o ).</p><p>Sabe-se que TN GGG</p><p>���</p><p>+= e que rr aaGG N</p><p>����</p><p>)( •= .</p><p>Portanto:</p><p>rrrr 3 543 aGaaaaaG NN</p><p>��������</p><p>=⇒•++= ])[( φθ</p><p>b)</p><p>Dados:</p><p>φθ aaaG</p><p>����</p><p>543 r ++= em P ( r = 10, θ = 150o, φ = 60o ).</p><p>Sabe-se que TN GGG</p><p>���</p><p>+= e que θθ aaGG N</p><p>����</p><p>)( ⋅= .</p><p>� Cálculo de NG</p><p>�</p><p>:</p><p>θθθφθθθ aGaaaaaaaGG NN</p><p>�����������</p><p>4 543 r =⇒•++=•= ])[()(</p><p>– Página 1.11 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0011 –– AANNÁÁLLIISSEE VVEETTOORRIIAALL</p><p>� Cálculo de TG</p><p>�</p><p>:</p><p>φθφθ aaGaaaaGGG TNT</p><p>����������</p><p>53 4543 rr +=⇒−++=−= )(</p><p>c) Dados: φaaR</p><p>���</p><p>86 r +=</p><p>RR aaGG R</p><p>����</p><p>)( •= , onde φ</p><p>φ</p><p>aaa</p><p>aa</p><p>R</p><p>R</p><p>a</p><p>���</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>8060</p><p>6436</p><p>86</p><p>rR</p><p>r</p><p>R ,, +=⇒</p><p>+</p><p>+</p><p>==</p><p>φφφφθ aaGaaaaaaaG RR</p><p>�����������</p><p>644483 80608060543 rrrr ,,),,)](,,()[( +=⇒++•++=∴</p><p>d)</p><p>Dados:</p><p>φθ aaaG</p><p>����</p><p>543 r ++= em P ( r = 10, θ = 150o, φ = 60o ).</p><p>Seja φφθθ aaaS</p><p>����</p><p>SSS ++= rr o vetor procurado.</p><p>Pelas condições apresentadas, temos:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>⊥=⋅</p><p>°==</p><p>versor um é pois ,1</p><p>pois ,0</p><p>60 plano ao tangenteé pois ,0</p><p>SS</p><p>GSGS</p><p>S</p><p>��</p><p>����</p><p>�</p><p>φφS</p><p>De (01), conclui-se que θθ aaS</p><p>���</p><p>SS += rr (04)</p><p>De (02), conclui-se que :</p><p>043543 rrrr =+⇒++•+=• θφθθθ SS)()S(S aaaaaGS</p><p>�������</p><p>(05)</p><p>De (03), conclui-se que 122</p><p>r =+ θSS (06)</p><p>De (05):</p><p>3</p><p>4</p><p>r θSS −= (07)</p><p>Substituindo (07) em (06), temos:</p><p>5</p><p>3</p><p>1</p><p>9</p><p>16 22 ±=⇒=+ θθθ SSS (08)</p><p>Substituindo (08) em (07), temos:</p><p>5</p><p>4</p><p>r ∓=S (09)</p><p>Substituindo (08) e (09) em (04), temos:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−±= θaaS</p><p>���</p><p>5</p><p>3</p><p>5</p><p>4</p><p>r</p><p>(01)</p><p>(02)</p><p>(03)</p><p>– Página 2.1 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO</p><p>CAPÍTULO 02</p><p>LEI DE COULOMB E INTENSIDADE DE CAMPO ELÉTRICO</p><p>2.1) Um fio de 2 m está carregado uniformemente com</p><p>Analisando o circuito elétrico análogo, extrai-se o seguinte conjunto de equações:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>++=</p><p>ℜ+ℜ+ℜ=</p><p>gg</p><p>g</p><p>��� HHH 2211</p><p>21</p><p>2NI</p><p>ou</p><p>2NI φφφ</p><p>(01)</p><p>a) De (01):</p><p>[ ]Ae 184297V</p><p>104104</p><p>106010660</p><p>V</p><p>S</p><p>S</p><p>V</p><p>S</p><p>VVV</p><p>arm</p><p>74</p><p>24</p><p>arm</p><p>o</p><p>11</p><p>arm</p><p>o</p><p>arm</p><p>o</p><p>armarm</p><p>,</p><p>,,B</p><p>B</p><p>H</p><p>=</p><p>⋅⋅⋅</p><p>⋅⋅⋅⋅</p><p>=⇒⋅=</p><p>⋅=⇒=⇒=</p><p>−−</p><p>−−</p><p>πµ</p><p>µ</p><p>φ</p><p>µ</p><p>g</p><p>g</p><p>g</p><p>g</p><p>g</p><p>g</p><p>gg</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>acomV armV</p><p>(02)</p><p>– Página 8.5 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0088 –– FFOORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTOOSS MMAAGGNNÉÉTTIICCOOSS,, MMAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA</p><p>b) De (01):</p><p>2211acom 2V �� HH += (03)</p><p>� Cálculo de 1H :</p><p>Consultando a curva de magnetização do aço-silício em anexo, encontra-se:</p><p>Para [ ] [ ]</p><p>m</p><p>Ae 100T 60 11 =⇒= H,B (04)</p><p>� Cálculo de 2H :</p><p>[ ]T 90</p><p>104</p><p>10660</p><p>S</p><p>S</p><p>S 24</p><p>4</p><p>2</p><p>2</p><p>11</p><p>2</p><p>2</p><p>2 ,B</p><p>,</p><p>B</p><p>B</p><p>BB =⇒</p><p>⋅</p><p>⋅⋅</p><p>=⇒=⇒=</p><p>−</p><p>−φ</p><p>Consultando a curva de magnetização do aço-silício em anexo, encontra-se:</p><p>Para [ ] [ ]</p><p>m</p><p>Ae 160T 90 22 =⇒= H,B (05)</p><p>Substituindo (04) e (05) em (03), temos:</p><p>[ ]Ae 58V 150160210100V acomacom =⇒⋅⋅+⋅= ,, (06)</p><p>c) Substituindo (05) e (06) em (01), temos:</p><p>[ ]A 483I</p><p>1250</p><p>184355</p><p>I18429758NI ,</p><p>,</p><p>, =⇒=⇒+=</p><p>8.5) Uma espira filamentar quadrada de corrente tem vértices nos pontos (0; 1; 0), (0; 1; 1),</p><p>(0; 2; 1) e (0; 2; 0). A corrente é de 10 [A] e flui no sentido horário quando a espira é</p><p>vista do eixo +x. Calcule o torque na espira quando esta é submetida :</p><p>a) a uma densidade de fluxo magnético y5aB = ;</p><p>b) ao campo produzido por uma corrente filamentar de 10 [A] que flui ao longo do eixo</p><p>z no sentido za+ .</p><p>Resolução:</p><p>a) ( ) zyx 50 5 10 I I aTaaTBSTBdSdT −=⇒×−=⇒×=⇒×=</p><p>– Página 8.6 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0088 –– FFOORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTOOSS MMAAGGNNÉÉTTIICCOOSS,, MMAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA</p><p>b) xdxdy onde I adSBdSdT −=×= ; (01)</p><p>� Cálculo de B :</p><p>( ) xx</p><p>2</p><p>I</p><p>2</p><p>I</p><p>2</p><p>I</p><p>aBaBaB</p><p>πρπρπρ</p><p>φ</p><p>−</p><p>=⇒−=⇒= (02)</p><p>Substituindo (02) em (01), temos:</p><p>( ) 0 0</p><p>2</p><p>I</p><p>dxdy I xx =⇒=⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> −</p><p>×−= TdTaadT</p><p>πρ</p><p>8.6) Suponha que o núcleo do material magnético da figura abaixo possui uma</p><p>permeabilidade relativa de 5000. O fluxo 1φ do braço esquerdo circula de a para b com</p><p>um comprimento médio de 1 m. O comprimento médio do braço direito é igual ao do</p><p>braço esquerdo. O braço central possui um comprimento médio de 0,4 m. Adotar a área</p><p>da seção reta de cada caminho igual a 0,01 m2 e o fluxo de dispersão desprezível.</p><p>Calcular a indutância própria da bobina 01 e a indutância mútua entre as bobinas 01 e</p><p>02.</p><p>Resolução:</p><p>Analisando o circuito magnético acima, nota-se a existência de simetria entre seus braços</p><p>direito e esquerdo. Portanto, ℜ1 = ℜ3.</p><p>� Circuito elétrico análogo:</p><p>1</p><p>11</p><p>1 I</p><p>N</p><p>L</p><p>φ</p><p>= (01)</p><p>1</p><p>22</p><p>1</p><p>122</p><p>12 I</p><p>N</p><p>I</p><p>N</p><p>M</p><p>φφ</p><p>== (02)</p><p>Analisando o circuito elétrico análogo, extrai-se o seguinte conjunto de equações:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>ℜ+ℜ=ℜ+ℜ=</p><p>+=</p><p>33112211</p><p>321</p><p>NI φφφφ</p><p>φφφ</p><p>(03)</p><p>– Página 8.7 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0088 –– FFOORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTOOSS MMAAGGNNÉÉTTIICCOOSS,, MMAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA</p><p>� Cálculo de ℜ1e de ℜ3:</p><p>[ ]</p><p>Wb</p><p>Ae 15915</p><p>0101045000</p><p>1</p><p>S S</p><p>31</p><p>731</p><p>3</p><p>3</p><p>1</p><p>1</p><p>31</p><p>=ℜ=ℜ</p><p>⋅⋅⋅</p><p>=ℜ=ℜ⇒==ℜ=ℜ</p><p>− ,πµµ</p><p>��</p><p>� Cálculo de ℜ2:</p><p>[ ]</p><p>Wb</p><p>Ae 6366</p><p>0101045000</p><p>40</p><p>S 272</p><p>2</p><p>2</p><p>2 =ℜ⇒</p><p>⋅⋅⋅</p><p>=ℜ⇒=ℜ</p><p>− ,</p><p>,</p><p>πµ</p><p>�</p><p>(05)</p><p>De (03), conclui-se que: 3322 φφ ℜ=ℜ (06)</p><p>Substituindo (04) e (05) em (06), temos:</p><p>3232 52159156366 φφφφ ,=⇒= (07)</p><p>Substituindo (07) em (03), temos:</p><p>31331 5352 φφφφφ ,,` =⇒+= (08)</p><p>Substituindo (07) e (08) em (03), temos:</p><p>1</p><p>3</p><p>331</p><p>3313311</p><p>I10792571617I200</p><p>159155755702I2005263665315915IN</p><p>−⋅=⇒=</p><p>+=⇒⋅+⋅=</p><p>,,</p><p>,,,</p><p>φφ</p><p>φφφφ</p><p>Substituindo (09) em (07) e em (08), temos:</p><p>1</p><p>3</p><p>1 I10779 −⋅= ,φ (10)</p><p>e</p><p>1</p><p>3</p><p>2 I10986 −⋅= ,φ (11)</p><p>Substituindo (10) em (01), temos:</p><p>[ ]H 951L 10779200L</p><p>I</p><p>I10779N</p><p>L 1</p><p>3</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>1 ,,</p><p>,</p><p>=⇒⋅⋅=⇒</p><p>⋅⋅</p><p>= −</p><p>−</p><p>e</p><p>Substituindo (11) em (02), temos:</p><p>[ ]H 092M 10986300M</p><p>I</p><p>I10986N</p><p>M 12</p><p>3</p><p>12</p><p>1</p><p>1</p><p>3</p><p>2</p><p>12 ,,</p><p>,</p><p>=⇒⋅⋅=⇒</p><p>⋅⋅</p><p>= −</p><p>−</p><p>(04)</p><p>(09)</p><p>– Página 8.8 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0088 –– FFOORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTOOSS MMAAGGNNÉÉTTIICCOOSS,, MMAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA</p><p>8.7) Determinar a densidade de fluxo magnético ( B ) em cada uma das três pernas do</p><p>circuito magnético da figura abaixo. Assumir que, dentro do material ferromagnético do</p><p>núcleo, B é relacionado diretamente com H , através da expressão HB 200= .</p><p>Resolução:</p><p>� Circuito elétrico análogo:</p><p>Dados:</p><p>[ ]</p><p>[ ]</p><p>[ ]</p><p>[ ]</p><p>[ ]</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>===</p><p>===</p><p>==</p><p>==</p><p>mm 1</p><p>cm 5 ; 10 ; 12</p><p>cm 10S ; 8S ; 6S</p><p>espiras 1000N ; 500N</p><p>mA 70II</p><p>321</p><p>2</p><p>321</p><p>21</p><p>21</p><p>g�</p><p>���</p><p>Se HBHB 200 e == µ , então, µ = 200.</p><p>Analisando o circuito elétrico análogo, extrai-se o seguinte conjunto de equações:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+=−=−</p><p>ℜ+ℜ=ℜ−=ℜ−</p><p>+=</p><p>gg</p><p>g</p><p>���� HHHH 3322221111</p><p>33322221111</p><p>213</p><p>ININ</p><p>ou</p><p>ININ φφφφ</p><p>φφφ</p><p>(01)</p><p>� Cálculo de ℜ1:</p><p>[ ]</p><p>Wb</p><p>Ae 01</p><p>106200</p><p>1012</p><p>S 14</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>1 ,=ℜ⇒</p><p>⋅⋅</p><p>⋅</p><p>=ℜ⇒=ℜ</p><p>−</p><p>−</p><p>µ</p><p>�</p><p>(02)</p><p>� Cálculo de ℜ2:</p><p>[ ]</p><p>Wb</p><p>Ae 6250</p><p>108200</p><p>1010</p><p>S 24</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2 ,=ℜ⇒</p><p>⋅⋅</p><p>⋅</p><p>=ℜ⇒=ℜ</p><p>−</p><p>−</p><p>µ</p><p>�</p><p>(03)</p><p>– Página 8.9 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0088 –– FFOORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTOOSS MMAAGGNNÉÉTTIICCOOSS,, MMAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA</p><p>� Cálculo de ℜ3:</p><p>[ ]</p><p>Wb</p><p>Ae 250</p><p>1010200</p><p>105</p><p>S 34</p><p>2</p><p>3</p><p>3</p><p>3</p><p>3 ,=ℜ⇒</p><p>⋅⋅</p><p>⋅</p><p>=ℜ⇒=ℜ</p><p>−</p><p>−</p><p>µ</p><p>�</p><p>(04)</p><p>� Cálculo de ℜg:</p><p>[ ]</p><p>Wb</p><p>Ae 109577</p><p>1010104</p><p>101</p><p>S</p><p>5</p><p>47</p><p>3</p><p>⋅=ℜ⇒</p><p>⋅⋅⋅</p><p>⋅</p><p>=ℜ⇒=ℜ</p><p>−−</p><p>−</p><p>,gg</p><p>g</p><p>g</p><p>g</p><p>πµ</p><p>�</p><p>(05)</p><p>Substituindo (02), (03), (04) e (05) em (01), temos:</p><p>( )</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+⋅=−</p><p>−=</p><p>⇒⋅=−=−</p><p>⋅+=−=−</p><p>21</p><p>5</p><p>2</p><p>21</p><p>3</p><p>5</p><p>21</p><p>3</p><p>5</p><p>3222111</p><p>109577625070</p><p>356250</p><p>10957762507035</p><p>1095772506250IN01IN</p><p>φφφ</p><p>φφ</p><p>φφφ</p><p>φφφφ</p><p>,,</p><p>,</p><p>,,</p><p>,,,,</p><p>Substituindo (07) em (06), temos:</p><p>( )</p><p>[ ]Wb 54211085271093512625070</p><p>6250109577625070</p><p>2</p><p>7</p><p>2</p><p>6</p><p>2</p><p>22</p><p>5</p><p>2</p><p>,,,,</p><p>,,,</p><p>=⇒⋅−⋅=−</p><p>+⋅=−</p><p>φφφ</p><p>φφφ</p><p>Substituindo (08) em (06), temos:</p><p>[ ]Wb 54213554216250 11 ,,, −=⇒−⋅= φφ (09)</p><p>Substituindo (08) e (09) em (01), temos:</p><p>054215421 33 =⇒+−= φφ ,,</p><p>� Cálculo de 1B :</p><p>[ ]Wb 10593</p><p>106</p><p>5421 4</p><p>141</p><p>1</p><p>1</p><p>1 ⋅−=⇒</p><p>⋅</p><p>−</p><p>=⇒=</p><p>−</p><p>,B</p><p>,</p><p>BB</p><p>S</p><p>φ</p><p>� Cálculo de 2B :</p><p>[ ]Wb 10692</p><p>108</p><p>5421 4</p><p>242</p><p>2</p><p>2</p><p>2 ⋅=⇒</p><p>⋅</p><p>=⇒=</p><p>−</p><p>,B</p><p>,</p><p>BB</p><p>S</p><p>φ</p><p>� Cálculo de 3B :</p><p>0 3</p><p>3</p><p>3</p><p>3 =⇒= BB</p><p>S</p><p>φ</p><p>(06)</p><p>(08)</p><p>(07)</p><p>– Página 9.1 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0099 –– CCAAMMPPOOSS VVAARRIIÁÁVVEEIISS NNOO TTEEMMPPOO EE AASS EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE MMAAXXWWEELLLL</p><p>CAPÍTULO 09</p><p>CAMPOS VARIÁVEIS NO TEMPO E AS EQUAÇÕES DE MAXWELL</p><p>9.1) A figura abaixo mostra uma barra condutora paralela ao eixo y, que completa uma</p><p>malha através de contatos deslizantes com os condutores em y = 0 e em y = 0,05 [m].</p><p>a) Calcular a tensão induzida quando a barra está parada em x = 0,05 [m] e</p><p>[ ]T t10300 4sen,B = .</p><p>b) Repita o item acima supondo que a barra desloca-se com velocidade</p><p>[ ]</p><p>s</p><p>m 150 xav = .</p><p>Resolução:</p><p>( ) ∫∫ •−•×=</p><p>S</p><p>t</p><p>fem dS</p><p>B</p><p>dLBv</p><p>∂</p><p>∂</p><p>�</p><p>��</p><p>, onde z</p><p>4 t10300 aB sen,= (01)</p><p>a) Barra parada 0 0 =•×⇒=⇒ ∫ dLBvv )(</p><p>∫ •−=∴</p><p>S</p><p>t</p><p>fem dS</p><p>B</p><p>∂</p><p>∂</p><p>�</p><p>, onde z dxdy adS =</p><p>[ ]V t1057fem 050t1010300fem</p><p>dxdy t1010300fem</p><p>dxdy t10300</p><p>t</p><p>fem</p><p>4244</p><p>050</p><p>0y</p><p>050</p><p>0x</p><p>44</p><p>050</p><p>0y</p><p>050</p><p>0x</p><p>zz</p><p>4</p><p>cos,),(cos,</p><p>)cos,(</p><p>)sen,(</p><p>, ,</p><p>, ,</p><p>⋅−=⇒⋅⋅⋅−=</p><p>⋅⋅−=</p><p>•−=</p><p>∫ ∫</p><p>∫ ∫</p><p>= =</p><p>= =</p><p>aa</p><p>∂</p><p>∂</p><p>b) t1057fem 4cos,)( ⋅−•×= ∫ dLBv</p><p>��</p><p>, onde y dy adL = (02)</p><p>� Cálculo de Bv</p><p>��</p><p>× :</p><p>[ ]T t104590 y</p><p>4</p><p>y aBvaBv</p><p>������</p><p>sen)(senvB −=×⇒−°=× (03)</p><p>– Página 9.2 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0099 –– CCAAMMPPOOSS VVAARRIIÁÁVVEEIISS NNOO TTEEMMPPOO EE AASS EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE MMAAXXWWEELLLL</p><p>Substituindo (03) em (02), temos:</p><p>[ ]V t1057t10252fem</p><p>t1057050t1045fem</p><p>t1057 dyt1045fem</p><p>44</p><p>44</p><p>4</p><p>050</p><p>0y</p><p>yy</p><p>4</p><p>cos,sen,</p><p>cos,),(sen</p><p>cos,sen</p><p>,</p><p>⋅−−=</p><p>⋅−⋅−=</p><p>⋅−•⋅−= ∫</p><p>=</p><p>aa</p><p>��</p><p>9.2) Para o dispositivo mostrado abaixo, são dados: d = 5 [cm], [ ]T 250 zaB ,= e</p><p>]sm[ y20 yav = . Se y = 4 [cm] em t = 0 [s], determinar as seguintes grandezas no</p><p>instante t = 0,06 [s]:</p><p>a) a velocidade v ;</p><p>b) a posição y da barra;</p><p>c) a diferença de potencial V12 medida pelo voltímetro;</p><p>d) A corrente I12 entrando pelo terminal 1 do voltímetro se a resistência deste é igual a</p><p>200 [KΩ].</p><p>Resolução:</p><p>� Cálculo de )v(t :</p><p>∫ ∫ +=⇒=⇒=⇒== Ct20y2dt20</p><p>y</p><p>dy</p><p>dt20</p><p>y</p><p>dy</p><p>y20</p><p>dt</p><p>dy</p><p>v (01)</p><p>Substituindo y = 4 [cm] e t = 0 em (01), temos:</p><p>40CC0201042 2 ,=⇒+⋅=⋅ − (02)</p><p>Substituindo (02) em (01), temos:</p><p>20t10y40t20y2 ,, +=⇒+= (03)</p><p>])(),( sm[ 4t200 20t1020 yy avav +=⇒+⋅=∴ (04)</p><p>a) Substituindo t = 0,06 [s] em (04), temos:</p><p>]v,v sm[ 16 4060200 =⇒+⋅=</p><p>– Página 9.3 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0099 –– CCAAMMPPOOSS VVAARRIIÁÁVVEEIISS NNOO TTEEMMPPOO EE AASS EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE MMAAXXWWEELLLL</p><p>b) Substituindo t = 0,06 [s] em (03), temos:</p><p>[ ]m 0,64y 80y2006010y =⇒=⇒+⋅= ,,.</p><p>c) V12 = fem (05)</p><p>� Cálculo da fem:</p><p>[ ]</p><p>[ ]V 20fem6400505fem</p><p>y5femdxy5fem</p><p>dx 250 y20femfem</p><p>0x</p><p>0x</p><p>xzy</p><p>,,,</p><p>),()(</p><p>−=⇒⋅⋅−=∴</p><p>−=⇒⋅−=</p><p>−•×=⇒•×=</p><p>∫</p><p>∫∫</p><p>=</p><p>=</p><p>d</p><p>d</p><p>d</p><p>aaadLBv</p><p>Substituindo (06) em (05), temos:</p><p>V12 = – 0,2 [V]</p><p>d) [ ]A 1I</p><p>10200</p><p>20</p><p>I</p><p>R</p><p>V</p><p>I 12312</p><p>v</p><p>12</p><p>12 µ−=⇒</p><p>⋅</p><p>−</p><p>=⇒=</p><p>,</p><p>9.3) Uma bobina de 50 espiras tem uma área de 20 [cm2] e gira em torno de um eixo situado</p><p>em um plano perpendicular a um campo magnético uniforme de 40 [mT].</p><p>a) Considerando que a bobina gira a uma velocidade de 360 [rpm], calcular o fluxo</p><p>máximo que atravessa a espira e o valor médio da fem induzida nesta bobina;</p><p>b) Considerando que a bobina está em repouso e seu plano é perpendicular ao campo,</p><p>determinar o valor médio da fem induzida na bobina, quando se retira o campo em</p><p>t = 0,004 [s];</p><p>c) Considerando que a bobina não se move e que seu plano forma um ângulo de 60o com</p><p>a direção do campo de indução, calcular o valor médio da fem induzida na bobina,</p><p>supondo que o campo de 40 [mT] se anula em t = 0,004 [s].</p><p>Resolução:</p><p>a)</p><p>� Cálculo de φmax:</p><p>[ ]Wb 80 10201040 max</p><p>43</p><p>maxmax µφφφ =⇒⋅⋅⋅=⇒= −−BS</p><p>(06)</p><p>– Página 9.4 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0099 –– CCAAMMPPOOSS VVAARRIIÁÁVVEEIISS NNOO TTEEMMPPOO EE AASS EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE MMAAXXWWEELLLL</p><p>Cálculo do valor médio da fem:</p><p>t</p><p>Nfemmed</p><p>∆</p><p>∆</p><p>⋅−=</p><p>φ</p><p>, onde ∆t é o tempo gasto para o fluxo variar de φmax até zero. (01)</p><p>� Cálculo de ∆t:</p><p>[s]</p><p>24</p><p>1</p><p>t</p><p>tvolta</p><p>4</p><p>1</p><p>1svoltas</p><p>60</p><p>1</p><p>360</p><p>=∆⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>∆→</p><p>→⋅</p><p>(02)</p><p>Substituindo (02) em (01), temos:</p><p>[ ]mV 96fem</p><p>24</p><p>1</p><p>10800</p><p>50fem med</p><p>6</p><p>med =⇒</p><p>⋅−</p><p>⋅−=</p><p>− )(</p><p>b)</p><p>t</p><p>Nfemmed</p><p>∆</p><p>∆</p><p>⋅−=</p><p>φ</p><p>[ ]V 1fem</p><p>104</p><p>10800</p><p>50fem</p><p>t</p><p>0</p><p>Nfem</p><p>t</p><p>Nfem</p><p>med</p><p>3</p><p>6</p><p>med</p><p>max</p><p>med</p><p>inicialfinal</p><p>med</p><p>=</p><p>⋅</p><p>⋅−</p><p>⋅−=</p><p>∆</p><p>−</p><p>⋅−=</p><p>∆</p><p>−</p><p>⋅−=</p><p>−</p><p>− )(</p><p>)(</p><p>)(</p><p>φ</p><p>φφ</p><p>c)</p><p>t</p><p>Nfem</p><p>t</p><p>Nfem</p><p>inicialfinal</p><p>med</p><p>med</p><p>∆</p><p>−</p><p>⋅−=</p><p>∆</p><p>∆</p><p>⋅−=</p><p>)( φφ</p><p>φ</p><p>� Cálculo de inicialφ :</p><p>[ ]Wb 28269866010201040</p><p>3030d</p><p>inicial</p><p>43</p><p>inicial</p><p>inicial</p><p>S</p><p>inicial</p><p>S</p><p>inicial</p><p>µφφ</p><p>φφφ</p><p>,,</p><p>cosSBcosSB</p><p>=⇒⋅⋅⋅⋅=</p><p>°⋅⋅=⇒°⋅⋅=⇒•=</p><p>−−</p><p>∫∫ dSB</p><p>Substituindo (02) em (01), temos:</p><p>[ ]V 8660fem</p><p>104</p><p>10282690(</p><p>50fem med3</p><p>6</p><p>med ,</p><p>),</p><p>=⇒</p><p>⋅</p><p>⋅−</p><p>⋅−=</p><p>−</p><p>−</p><p>(01)</p><p>(02)</p><p>– Página 9.5 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0099 –– CCAAMMPPOOSS VVAARRIIÁÁVVEEIISS NNOO TTEEMMPPOO EE AASS EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE MMAAXXWWEELLLL</p><p>9.4) Determinar o campo elétrico E em função do tempo, se a densidade de fluxo magnético</p><p>no espaço livre é y221x21 xKt yKK xKt K aaB )sen()sen( −+−= ωω onde 1k , 2k</p><p>e ω são constantes.</p><p>Resolução:</p><p>� Equação de Maxwell:</p><p>t∂</p><p>∂ D</p><p>JH +=×∇</p><p>���</p><p>b (01)</p><p>Para o vácuo, temos:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>=</p><p>=⇒=</p><p>.</p><p>;</p><p>;</p><p>HB</p><p>ED</p><p>J</p><p>o</p><p>o</p><p>00</p><p>µ</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>(02)</p><p>Substituindo o conjunto (02) em (01), temos:</p><p>tt</p><p>1</p><p>t ooo</p><p>o ∂</p><p>∂</p><p>⋅=×∇⇒</p><p>∂</p><p>∂</p><p>⋅=×∇⋅⇒=×∇</p><p>E</p><p>B</p><p>E</p><p>B</p><p>D</p><p>H εµε</p><p>µ∂</p><p>∂ ����</p><p>(03)</p><p>� Cálculo de B×∇</p><p>�</p><p>:</p><p>z</p><p>xy</p><p>y</p><p>zx</p><p>x</p><p>yz</p><p>yxxzzy</p><p>aaaB</p><p>����</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−=×∇</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂ BBBBBB</p><p>onde:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>=⇒−=</p><p>=⇒−=</p><p>.B</p><p>);(B)cos(B</p><p>);(B)sen(B</p><p>0</p><p>yfxKt yKK</p><p>xfxKt K</p><p>z</p><p>y221y</p><p>x21x</p><p>ω</p><p>ω</p><p>z2</p><p>2</p><p>21z</p><p>y</p><p>xKt yKK</p><p>x</p><p>aBaB</p><p>����</p><p>)sen(</p><p>B</p><p>−=×∇⇒=×∇∴ ω</p><p>∂</p><p>∂</p><p>(04)</p><p>Substituindo (04) em (03), temos:</p><p>[ ]</p><p>[ ]</p><p>m</p><p>V xKt</p><p>yKK</p><p>dtxKt</p><p>yKK</p><p>xKt</p><p>yKK</p><p>t</p><p>t</p><p>xKt yKK</p><p>z2</p><p>oo</p><p>2</p><p>21</p><p>z</p><p>t</p><p>0</p><p>2</p><p>oo</p><p>2</p><p>21</p><p>z2</p><p>oo</p><p>2</p><p>21</p><p>ooz2</p><p>2</p><p>21</p><p>aE</p><p>aE</p><p>a</p><p>E</p><p>E</p><p>a</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>)cos(</p><p>)sen(</p><p>)sen(</p><p>)sen(</p><p>−⋅</p><p>−</p><p>=</p><p>−⋅=</p><p>−⋅=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>⋅=−</p><p>∫</p><p>ω</p><p>εµ</p><p>ω</p><p>εµ</p><p>ω</p><p>εµ</p><p>εµω</p><p>– Página 9.6 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0099 –– CCAAMMPPOOSS VVAARRIIÁÁVVEEIISS NNOO TTEEMMPPOO EE AASS EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE MMAAXXWWEELLLL</p><p>9.5) Os trilhos da figura abaixo estão separados por uma distância de 24 [cm] e</p><p>])cos(, mWb[ t 12030 zaB π= . Sendo y = 0 em t = 0, encontrar a tensão V12 para</p><p>t = 2 [ms] , sendo:</p><p>a) ]sm[ 12 yav = ;</p><p>b) ])cos( sm[ t1012 yav π= .</p><p>Resolução:</p><p>V12 = fem (01)</p><p>a) Cálculo de y para t = 2 [ms]:</p><p>[ ]m 0240ydt12ydty</p><p>dt</p><p>dy</p><p>3102</p><p>0t</p><p>,vv =⇒=⇒=⇒= ∫ ∫</p><p>−⋅</p><p>=</p><p>Cálculo da fem:</p><p>( ) ∫∫ •−•×=</p><p>S</p><p>t</p><p>fem dS</p><p>B</p><p>dLBv</p><p>∂</p><p>∂</p><p>�</p><p>��</p><p>(02)</p><p>� Cálculo de Bv</p><p>��</p><p>× :</p><p>xzy t12063 t1203012 aBvaaBv )cos(,)]cos(,[)( ππ =×⇒×=×</p><p>����</p><p>(03)</p><p>� Cálculo de</p><p>t</p><p>∂</p><p>∂ B</p><p>�</p><p>:</p><p>[ ] zz t12036</p><p>t</p><p>t12030</p><p>t</p><p>t</p><p>a</p><p>B</p><p>a</p><p>B</p><p>)sen()(cos, ππ</p><p>∂</p><p>∂</p><p>π</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>−=⇒=</p><p>��</p><p>(04)</p><p>Substituindo (03) e (04) em (02), temos:</p><p>[ ]V t1202070t1208640fem</p><p>dxdyt12036dxt12063fem</p><p>dxdy t12036 dx t12063fem</p><p>240</p><p>0x</p><p>0240</p><p>0y</p><p>240</p><p>0x</p><p>S</p><p>zzxx</p><p>)sen(,)cos(,</p><p>)sen()cos(,</p><p>][])sen([][))cos(,(</p><p>, ,,</p><p>πππ</p><p>πππ</p><p>πππ</p><p>+−=</p><p>+−=</p><p>•−−−•=</p><p>∫ ∫∫</p><p>∫∫</p><p>= ==</p><p>aaaa</p><p>Substituindo t = 2 [ms] em (05), temos:</p><p>[ ]V 184,0emf4459062990fem</p><p>0020120207000201208640fem</p><p>−=⇒+−=</p><p>⋅+⋅−=</p><p>,,</p><p>),sen(,),cos(, πππ</p><p>Substituindo (06) em (01), temos:</p><p>V12 = – 0,184 [V]</p><p>(05)</p><p>(06)</p><p>– Página 9.7 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0099 –– CCAAMMPPOOSS VVAARRIIÁÁVVEEIISS NNOO TTEEMMPPOO EE AASS EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE MMAAXXWWEELLLL</p><p>b) Cálculo de y para t = 2 [ms]:</p><p>[ ]m 0240y</p><p>10</p><p>t10</p><p>12ydtt1012ydty</p><p>dt</p><p>dy</p><p>3102</p><p>0t</p><p>3102</p><p>0t</p><p>,</p><p>)sen(</p><p>)cos(vv</p><p>=∴</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅=⇒=⇒=⇒=</p><p>−⋅</p><p>=</p><p>−⋅</p><p>=</p><p>∫ ∫ π</p><p>π</p><p>π</p><p>Cálculo da fem:</p><p>∫∫ •−•×=</p><p>S</p><p>t</p><p>fem dS</p><p>B</p><p>dLBv</p><p>∂</p><p>∂</p><p>�</p><p>��</p><p>)( (02)</p><p>� Cálculo de Bv</p><p>��</p><p>× :</p><p>x</p><p>zy</p><p>t120t1063</p><p>t12030 t1012</p><p>aBv</p><p>aaBv</p><p>)cos()cos(,</p><p>)]cos(,[])cos([</p><p>ππ</p><p>ππ</p><p>=×</p><p>×=×</p><p>��</p><p>��</p><p>� Cálculo de</p><p>t</p><p>∂</p><p>∂ B</p><p>�</p><p>:</p><p>zz t12036</p><p>t</p><p>t12030</p><p>t</p><p>t</p><p>a</p><p>B</p><p>a</p><p>B</p><p>)sen()]cos(,[ ππ</p><p>∂</p><p>∂</p><p>π</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>−=⇒=</p><p>��</p><p>(04)</p><p>Substituindo (03) e (04) em (02), temos:</p><p>∫∫ •−−−•=</p><p>S</p><p>zzxx dxdy t12036 dx t120t1063fem ][])sen([][])cos()cos(,[ aaaa ππππ</p><p>[ ]V t1202070t120t108640fem</p><p>dxdyt12036dxt120t1063fem</p><p>240</p><p>0x</p><p>0240</p><p>0y</p><p>240</p><p>0x</p><p>)sen(,)cos()cos(,</p><p>)sen()cos()cos(,</p><p>, ,,</p><p>ππππ</p><p>ππππ</p><p>+−=</p><p>+−= ∫ ∫∫</p><p>= ==</p><p>Substituindo t = 2 [ms] em (05), temos:</p><p>( ) ( ) ( )</p><p>[ ]V 184,0emf</p><p>44606280fem68406510729099808640fem</p><p>0020120207000201200020108640fem</p><p>−=</p><p>+−=⇒⋅+⋅⋅−=</p><p>⋅+⋅⋅−=</p><p>,,,,,,,</p><p>,sen,,cos,cos, ππππ</p><p>Substituindo (06) em (01), temos:</p><p>V12 = – 0,184 [V]</p><p>(05)</p><p>(06)</p><p>(03)</p><p>– Página 9.8 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0099 –– CCAAMMPPOOSS VVAARRIIÁÁVVEEIISS NNOO TTEEMMPPOO EE AASS EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE MMAAXXWWEELLLL</p><p>9.6) Na figura abaixo, B é constante com o tempo, mas não é uniforme no espaço. Encontrar</p><p>a leitura V12 do voltímetro no instante t = 0,2 [s] se L = 0,4 [m] e:</p><p>a) y = 10t [m] e z2</p><p>y aB </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>= [T];</p><p>b) y = 50t2 [m] e z2</p><p>y aB </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>= [T];</p><p>c) y = 50t2 [m] e ( ) z yx2</p><p>1 aB −= [T].</p><p>Resolução:</p><p>V12 = fem para t = 0,2 [s] (01)</p><p>( ) cte</p><p>t</p><p>fem</p><p>S</p><p>=•−•×= ∫∫ BdS</p><p>B</p><p>dLBv</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>;</p><p>∂</p><p>∂</p><p>( )∫ •×=∴ dLBv</p><p>��</p><p>fem (02)</p><p>a) Cálculo de ( )tv</p><p>�</p><p>:</p><p>( ) ( ) ( ) ( ) [ ]</p><p>s</p><p>m 10t t10</p><p>dt</p><p>d</p><p>t</p><p>dt</p><p>dy</p><p>t yyy avavav =⇒=⇒=</p><p>���</p><p>� Cálculo de Bv</p><p>��</p><p>× :</p><p>xzy y5</p><p>2</p><p>y</p><p>10 aBvaaBv =×⇒×=×</p><p>����</p><p>(03)</p><p>Substituindo (03) em (02), temos:</p><p>( ) L</p><p>L</p><p>y5femydx5femdxy5fem</p><p>0x</p><p>xx −=⇒−=⇒−•= ∫∫</p><p>=</p><p>aa</p><p>[ ]V t50fem L−=∴ (04)</p><p>Substituindo t = 0,2 [s] e L = 0,4 [m] em (04), temos:</p><p>[ ]V 04fem402050fem ,,, −=⇒⋅⋅−= (05)</p><p>Substituindo (05) em (01), temos:</p><p>V12 = –4,0 [V]</p><p>b) Cálculo de ( )tv</p><p>�</p><p>:</p><p>( ) ( ) ( ) ( ) [ ]</p><p>s</p><p>m t100t t50</p><p>dt</p><p>d</p><p>t</p><p>dt</p><p>dy</p><p>t yy</p><p>2</p><p>y avavav =⇒=⇒=</p><p>���</p><p>– Página 9.9 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0099 –– CCAAMMPPOOSS VVAARRIIÁÁVVEEIISS NNOO TTEEMMPPOO EE AASS EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE MMAAXXWWEELLLL</p><p>� Cálculo de Bv</p><p>��</p><p>× :</p><p>xzy ty50</p><p>2</p><p>y</p><p>t100 aBvaaBv =×⇒×=×</p><p>����</p><p>(03)</p><p>Substituindo (03) em (02), temos:</p><p>( ) L</p><p>L</p><p>ty50femtydx50femdxty50fem</p><p>0x</p><p>xx −=⇒−=⇒−•= ∫∫</p><p>=</p><p>aa</p><p>[ ]V t2500fem 3</p><p>L−=∴ (04)</p><p>Substituindo t = 0,2 [s] e L = 0,4 [m] em (04), temos:</p><p>( ) [ ]V 08fem40202500fem 3</p><p>,,, −=⇒⋅⋅−= (05)</p><p>Substituindo (05) em (01), temos:</p><p>V12 = –8,0 [V]</p><p>c) Cálculo de )(tv</p><p>�</p><p>:</p><p>( ) ( ) ( ) ( ) [ ]</p><p>s</p><p>m t100t t50</p><p>dt</p><p>d</p><p>t</p><p>dt</p><p>dy</p><p>t yy</p><p>2</p><p>y avavav =⇒=⇒=</p><p>���</p><p>� Cálculo de Bv</p><p>��</p><p>× :</p><p>( ) ( ) xzy yxt50 yx</p><p>2</p><p>1</p><p>t100 aBvaaBv −=×⇒−×=×</p><p>����</p><p>(03)</p><p>Substituindo (03) em (02), temos:</p><p>( ) ( ) ( )</p><p>[ ] V t25t2500femt25ty50fem</p><p>dxyxt50femdx yxt50fem</p><p>232</p><p>0x</p><p>xx</p><p>LLL-L</p><p>L</p><p>−=⇒=</p><p>−−=⇒−•−= ∫∫</p><p>=</p><p>aa</p><p>Substituindo t = 0,2 [s] e L = 0,4 [m] em (04), temos:</p><p>( ) ( ) [ ]V 27fem8008fem40202540202500fem 23</p><p>,,,,,,, =⇒−=⇒⋅⋅−⋅⋅= (05)</p><p>Substituindo (05) em (01), temos:</p><p>V12 = 7,2 [V]</p><p>(04)</p><p>– Página 9.10 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0099 –– CCAAMMPPOOSS VVAARRIIÁÁVVEEIISS NNOO TTEEMMPPOO EE AASS EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE MMAAXXWWEELLLL</p><p>9.7) O circuito mostrado na figura abaixo representa uma bobina de N espiras, resistência</p><p>total R ocupando uma área igual a S submetida a um campo de indução magnética B</p><p>indicado. Se a magnitude original deste campo (Bo) for reduzida a um quinto num</p><p>intervalo de tempo ∆t, determinar:</p><p>a) O valor médio da fem induzida no circuito;</p><p>b) A direção e sentido da fem induzida (indicar na figura);</p><p>c) O valor médio da corrente;</p><p>d) A carga total que flui neste intervalo de tempo;</p><p>e) A quantidade de energia que foi requerida para mudar a magnitude do campo</p><p>magnético.</p><p>Dados:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>=</p><p>5</p><p>o</p><p>final</p><p>oinicial</p><p>B</p><p>B</p><p>BB</p><p>Resolução:</p><p>a) 1o modo:</p><p>( )</p><p>t5</p><p>N4</p><p>fem</p><p>5t</p><p>N</p><p>fem</p><p>t</p><p>Nfem</p><p>t</p><p>Nfem</p><p>td</p><p>d</p><p>Nfemd</p><p>t</p><p>Nfem</p><p>t</p><p>Nfem</p><p>0</p><p>t</p><p>NNfem</p><p>o</p><p>médiao</p><p>o</p><p>média</p><p>inicialfinal</p><p>médiamédia</p><p>SS</p><p>S</p><p>∆</p><p>=⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−⋅</p><p>∆</p><p>−=</p><p>∆</p><p>−</p><p>⋅−=⇒</p><p>∆</p><p>∆</p><p>⋅−=</p><p>⋅−=⇒⋅⋅−=⇒•⋅−=</p><p>=•⋅−•×⋅=</p><p>∫∫</p><p>∫∫</p><p>SB</p><p>B</p><p>BS</p><p>BB</p><p>S</p><p>B</p><p>S</p><p>B</p><p>SS</p><p>B</p><p>;</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>dS</p><p>B</p><p>vdS</p><p>B</p><p>dLBv</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>2o modo:</p><p>t</p><p>Nfemmed</p><p>∆</p><p>∆</p><p>⋅−=</p><p>φ</p><p>, onde BS=φ</p><p>t5</p><p>N4</p><p>fem</p><p>5t</p><p>N</p><p>fem</p><p>t</p><p>Nfem</p><p>t</p><p>Nfem</p><p>o</p><p>médiao</p><p>o</p><p>média</p><p>inicialfinal</p><p>médiamédia</p><p>∆</p><p>=⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−⋅</p><p>∆</p><p>−=</p><p>∆</p><p>−</p><p>⋅−=⇒</p><p>∆</p><p>∆</p><p>⋅−=∴</p><p>SB</p><p>B</p><p>BS</p><p>BB</p><p>S</p><p>B</p><p>S</p><p>– Página 9.11 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0099 –– CCAAMMPPOOSS VVAARRIIÁÁVVEEIISS NNOO TTEEMMPPOO EE AASS EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE MMAAXXWWEELLLL</p><p>b) A fem gerada na bobina deve apresentar uma orientação de modo a reforçar o campo de</p><p>indução B . Portanto, conclui-se que esta orientação deve seguir o sentido horário, conforme</p><p>indicado na figura.</p><p>c)</p><p>tR5</p><p>N4</p><p>I</p><p>R</p><p>fem</p><p>I o</p><p>∆</p><p>=⇒=</p><p>SB</p><p>d) A carga total que flui no intervalo ∆t pode ser representada por QT = ∆Q.</p><p>Do item (c), sabemos que</p><p>tR5</p><p>N4</p><p>I o</p><p>∆</p><p>=</p><p>SB</p><p>e que</p><p>t</p><p>Q</p><p>I</p><p>∆</p><p>∆</p><p>= .</p><p>Portanto:</p><p>R5</p><p>N4</p><p>Q</p><p>tR5</p><p>N4</p><p>t</p><p>Q</p><p>oo SBSB</p><p>=∆⇒</p><p>∆</p><p>=</p><p>∆</p><p>∆</p><p>e) A energia fornecida ao circuito no intervalo ∆t pode ser representada por WT = ∆W.</p><p>Sabemos que tPW ∆⋅=∆ e IfemP ⋅= , onde P é a potência fornecida ao circuito no</p><p>intervalo ∆t.</p><p>Portanto:</p><p>tR25</p><p>N15</p><p>W t</p><p>tR5</p><p>N4</p><p>t5</p><p>N4</p><p>WtIfemW</p><p>22</p><p>o</p><p>2</p><p>oo</p><p>∆</p><p>=∆⇒∆⋅</p><p>∆</p><p>⋅</p><p>∆</p><p>=∆⇒∆⋅⋅=∆</p><p>SBSBSB</p><p>9.8) Uma bobina retangular de 6×12 [cm2] com N = 100 espiras gira em um campo</p><p>magnético variável dado por ( ) [ ]T t37760 sen,B = . A velocidade angular da espira é de</p><p>ω = 60 [rps]. Pede-se determinar a tensão induzida na bobina.</p><p>Resolução:</p><p>� Cálculo de ω em [ ]</p><p>s</p><p>rad :</p><p>[ ]</p><p>s</p><p>rad 377</p><p>rps 60</p><p>s</p><p>rad 2rps 1</p><p>=⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>→</p><p>→</p><p>ω</p><p>ω</p><p>π</p><p>( ) ∫∫ •⋅−•×⋅=</p><p>S</p><p>t</p><p>NNfem dS</p><p>B</p><p>dLBv</p><p>∂</p><p>∂</p><p>�</p><p>��</p><p>(01)</p><p>– Página 9.12 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0099 –– CCAAMMPPOOSS VVAARRIIÁÁVVEEIISS NNOO TTEEMMPPOO EE AASS EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE MMAAXXWWEELLLL</p><p>A inspeção da figura relativa à visão frontal da bobina revela que os ângulos entre B e v e</p><p>entre B e dS são iguais. Desta maneira, podemos designar este ângulo θ como sendo θ = ωt.</p><p>� Cálculo de ( ) dLBv •×</p><p>��</p><p>:</p><p>( ) ( )</p><p>( ) ( )dLt377R 60</p><p>t dLR 0dL</p><p>2sen,</p><p>senBcossenvB</p><p>ω</p><p>ωωθ</p><p>=•×</p><p>=•×⇒°⋅=•×</p><p>dLBv</p><p>dLBvdLBv</p><p>��</p><p>����</p><p>� Cálculo de dS</p><p>B</p><p>•</p><p>t</p><p>∂</p><p>∂</p><p>�</p><p>:</p><p>( )[ ] ( )</p><p>( ) ( )dSt3772226</p><p>t</p><p>dSt37737760</p><p>t</p><p>t dSt37760</p><p>t</p><p>t</p><p>dS</p><p>t</p><p>t</p><p>22 cos,cos,</p><p>cossen,cos</p><p>B</p><p>=•⇒⋅=•</p><p>=•⇒=•</p><p>dS</p><p>B</p><p>dS</p><p>B</p><p>dS</p><p>B</p><p>dS</p><p>B</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>ω</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>θ</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>��</p><p>��</p><p>Substituindo (02) e (03) em (01), temos:</p><p>( ) ( )</p><p>( ) ( )</p><p>( ) ( )</p><p>( ) ( )</p><p>( ) ( )</p><p>( ) ( )</p><p>( ) ( )</p><p>( ) ( )</p><p>( ) [ ]V t754864162fem</p><p>2</p><p>t7541</p><p>864162</p><p>2</p><p>t7541</p><p>864162fem</p><p>2</p><p>t37721</p><p>107222620</p><p>2</p><p>t7541</p><p>030377414fem</p><p>2</p><p>t37721</p><p>22620</p><p>2</p><p>t37721</p><p>R 414fem</p><p>t37722620t377R 414fem</p><p>t37722620240t377R 60fem</p><p>t37722620dL2t377R 60fem</p><p>t37722620dLt377R 60fem</p><p>dSt3772226100dLt377R 60100fem</p><p>4</p><p>22</p><p>22</p><p>2</p><p>120</p><p>0</p><p>2</p><p>22</p><p>S</p><p>22</p><p>cos,</p><p>cos</p><p>,</p><p>cos</p><p>,</p><p>coscos</p><p>,,</p><p>cos</p><p>S</p><p>cos</p><p>,</p><p>cosSsen,</p><p>cosS,sen</p><p>cosSsen</p><p>cosSsen</p><p>cos,sen,</p><p>,</p><p>−=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> +</p><p>⋅−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> −</p><p>⋅=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> ⋅+</p><p>⋅⋅⋅−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> −</p><p>⋅⋅⋅=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> ⋅+</p><p>⋅−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> ⋅−</p><p>⋅=</p><p>−=</p><p>−⋅=</p><p>−⋅⋅=</p><p>−⋅=</p><p>⋅−⋅=</p><p>−</p><p>∫</p><p>∫</p><p>∫∫</p><p>ω</p><p>ω</p><p>ω</p><p>ω</p><p>ω</p><p>ω</p><p>(03)</p><p>(02)</p><p>– Página 9.13 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0099 –– CCAAMMPPOOSS VVAARRIIÁÁVVEEIISS NNOO TTEEMMPPOO EE AASS EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE MMAAXXWWEELLLL</p><p>9.9) Um campo magnético uniforme [ ]mT 100=B estende-se sobre uma área quadrada de</p><p>100 [mm] de lado, como mostra a figura abaixo, com campo nulo do lado de fora do</p><p>quadrado. Uma espira retangular de fio de 40 [mm] por 80 [mm], com velocidade</p><p>[ ]</p><p>s</p><p>mm 100=v , é movimentada em direção à área de ação do campo (ver figura).</p><p>Determinar a fem induzida na espira, plotando os resultados em um gráfico de fem x</p><p>distância x, para [mm] 120x [mm] 20 ≤≤− .</p><p>Resolução:</p><p>( )∫ •×= dLBv</p><p>��</p><p>fem (01)</p><p>� Cálculo de Bv</p><p>��</p><p>× :</p><p>( )y 90 aBv −°=× senvB</p><p>��</p><p>(02)</p><p>� Cálculo da fem na região 0x [mm] 20 <≤− :</p><p>fem = 0, pois nesta região B = 0.</p><p>� Cálculo da fem na região [mm] 80x 0 <≤ :</p><p>( )</p><p>[ ]mV 40fem 10401010010100fem</p><p>yfemdyfem</p><p>333</p><p>yy</p><p>,</p><p>vBvB</p><p>−=⇒⋅⋅⋅⋅⋅−=</p><p>−=⇒•−=</p><p>−−−</p><p>∫ aa</p><p>� Cálculo da fem na região [mm]</p><p>100x [mm] 80 <≤ :</p><p>( ) ( ) ( )</p><p>0fem 104104fem</p><p>yyfemdydyfem</p><p>44</p><p>yyyy</p><p>−=⇒⋅+⋅−=</p><p>+−=⇒−•−+•−=</p><p>−−</p><p>∫∫ vBvBvBvB aaaa</p><p>– Página 9.14 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0099 –– CCAAMMPPOOSS VVAARRIIÁÁVVEEIISS NNOO TTEEMMPPOO EE AASS EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE MMAAXXWWEELLLL</p><p>� Cálculo da fem na região [mm] 120x [mm] 100 <≤ :</p><p>( ) ( )</p><p>[ ]mV 40fem 10401010010100fem</p><p>yfemdyfem</p><p>333</p><p>yy</p><p>,</p><p>vBvB</p><p>=⇒⋅⋅⋅⋅⋅=</p><p>=⇒−•−=</p><p>−−−</p><p>∫ aa</p><p>Gráfico fem x distância x:</p><p>9.10) Uma espira retangular, girando na presença de um campo magnético uniforme B , está</p><p>equipada com um comutador de dois segmentos, como na figura, e, por isso, pode</p><p>funcionar tanto como um gerador cc como um motor cc.</p><p>a) Se a espira girar a F [rps], encontre a tensão média cc gerada (gerador);</p><p>b) Se uma corrente I fluir na espira, encontre o torque médio (motor);</p><p>c) Se a corrente fluir como indicado na figura, encontrar o sentido de rotação.</p><p>Resolução:</p><p>a) ( ) cte</p><p>t</p><p>fem</p><p>S</p><p>=•−•×= ∫∫ BdS</p><p>B</p><p>dLBv</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>;</p><p>∂</p><p>∂</p><p>( )∫ •×=∴ dLBv</p><p>��</p><p>fem (01)</p><p>� Cálculo de ( ) dLBv •×</p><p>��</p><p>:</p><p>( ) ( ) t dLR 0dL ωωθ senBcossenvB =•×⇒°⋅=•× dLBvdLBv</p><p>���� (02)</p><p>–20 60</p><p>80</p><p>100 120 40 20</p><p>x [mm]</p><p>fem [mV]</p><p>0,4</p><p>–0,4</p><p>– Página 9.15 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0099 –– CCAAMMPPOOSS VVAARRIIÁÁVVEEIISS NNOO TTEEMMPPOO EE AASS EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE MMAAXXWWEELLLL</p><p>Substituindo (02) em (01), temos:</p><p>( )</p><p>( )</p><p>B</p><p>senBsenB</p><p>,</p><p>senB</p><p>,senBsenB</p><p>senBsenB</p><p>R F 8fem</p><p>td t R F 4fem td t R F 4</p><p>1</p><p>fem</p><p>periodo; o é T onde tdtfem</p><p>T</p><p>2</p><p>fem</p><p>t R F 4tfem</p><p>F; 2 onde t R 2femdL2t R fem</p><p>dLt R femt dLR fem</p><p>média</p><p>0</p><p>média</p><p>0</p><p>média</p><p>2</p><p>T</p><p>0</p><p>média</p><p>0</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>=</p><p>⋅=⇒⋅=∴</p><p>⋅=</p><p>=∴</p><p>==⇒⋅=</p><p>⋅=⇒=</p><p>∫∫</p><p>∫</p><p>∫</p><p>∫∫</p><p>ππ</p><p>ωωωωπ</p><p>π</p><p>ω</p><p>ωπ</p><p>πωωωωω</p><p>ωωωω</p><p>b) tIT tdS ITIT</p><p>SS</p><p>ωω senBSsenB =⇒⋅=⇒×= ∫∫ BdS</p><p>( )</p><p>( )</p><p>π</p><p>ωω</p><p>π</p><p>ωω</p><p>π</p><p>ω</p><p>ω</p><p>ππ</p><p>B</p><p>sen</p><p>B</p><p>senB</p><p>,</p><p>senB</p><p>RI 4</p><p>T</p><p>td t</p><p>RI 2</p><p>T td t RI 2</p><p>1</p><p>T</p><p>periodo; o é T onde tdtT</p><p>T</p><p>2</p><p>T</p><p>tIR2tT</p><p>médio</p><p>0</p><p>médio</p><p>0</p><p>médio</p><p>2</p><p>T</p><p>0</p><p>médio</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>=</p><p>⋅=⇒⋅=∴</p><p>⋅=</p><p>=</p><p>∫∫</p><p>∫</p><p>c)</p><p>A Figura1 indica que não existe conjugado quando a espira está na posição vertical. As</p><p>Figuras2 e 3 indicam que, em qualquer outra posição existe um conjugado resultante que tende a</p><p>girar a espira no sentido horário.</p><p>– Página 9.16 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0099 –– CCAAMMPPOOSS VVAARRIIÁÁVVEEIISS NNOO TTEEMMPPOO EE AASS EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE MMAAXXWWEELLLL</p><p>9.11) A figura abaixo mostra a região de atuação dos campos elétrico e magnético dados,</p><p>respectivamente, por: yo aE E= e zo aB B= , sendo Eo e Bo constantes. Uma pequena carga</p><p>teste Q com massa m é colocada em repouso na origem no instante t = 0. Determinar:</p><p>a) A equação da velocidade ( )zyx ;;v da carga em um instante t qualquer;</p><p>b) A equação da posição ( )zyxP ;; da carga em um instante t qualquer.</p><p>Resolução:</p><p>a) aFF mME =+ , onde:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+==</p><p>×==</p><p>yyxx</p><p>ME</p><p>vv ;</p><p>dt</p><p>d</p><p>Q ; Q</p><p>aav</p><p>v</p><p>a</p><p>BvFEF</p><p>.</p><p>( )[ ] ( )[ ] ( )</p><p>( )[ ] ( )</p><p>( ) y</p><p>y</p><p>x</p><p>x</p><p>yoxoxoy</p><p>y</p><p>y</p><p>x</p><p>x</p><p>xoyyoxyo</p><p>yyxxzoyyxxyo</p><p>yyxxzoyo</p><p>dt</p><p>d</p><p>m</p><p>dt</p><p>d</p><p>m QQQ</p><p>dt</p><p>d</p><p>m</p><p>dt</p><p>d</p><p>mQQQ</p><p>dt</p><p>d</p><p>m QQ</p><p>dt</p><p>d</p><p>m Q</p><p>dt</p><p>d</p><p>m Q</p><p>aaaa</p><p>aaaaa</p><p>aaaaaa</p><p>aaava</p><p>v</p><p>BvE</p><p>vv</p><p>BvEBv</p><p>vv</p><p>BvBvE</p><p>vvBvvE</p><p>vvBE</p><p>+=−+</p><p>+=+−</p><p>+=×++</p><p>+=×+⇒=×+</p><p>Igualando as componentes correspondentes de (01), temos:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−=⇒=−</p><p>=⇒=</p><p>x</p><p>ooyy</p><p>oxo</p><p>y</p><p>oxx</p><p>oy</p><p>m</p><p>Q</p><p>m</p><p>Q</p><p>dt</p><p>d</p><p>dt</p><p>d</p><p>mQQ</p><p>m</p><p>Q</p><p>dt</p><p>d</p><p>dt</p><p>d</p><p>mQ</p><p>v</p><p>BEvv</p><p>BvE</p><p>v</p><p>Bvv</p><p>Bv</p><p>(01)</p><p>– Página 9.17 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0099 –– CCAAMMPPOOSS VVAARRIIÁÁVVEEIISS NNOO TTEEMMPPOO EE AASS EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE MMAAXXWWEELLLL</p><p>Seja</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−⋅=⇒−=</p><p>⋅=⇒=</p><p>⇒=</p><p>x</p><p>o</p><p>oy</p><p>x</p><p>oy</p><p>x</p><p>yy</p><p>x</p><p>o</p><p>dt</p><p>d</p><p>m</p><p>Q</p><p>dt</p><p>d</p><p>dt</p><p>d1</p><p>dt</p><p>d</p><p>m</p><p>Q</p><p>v</p><p>B</p><p>Ev</p><p>v</p><p>Ev</p><p>v</p><p>vv</p><p>v</p><p>B</p><p>ααα</p><p>α</p><p>α</p><p>α</p><p>Substituindo (02) em (03), temos:</p><p>x</p><p>2</p><p>o</p><p>o2</p><p>2</p><p>x</p><p>2</p><p>x</p><p>o</p><p>ox</p><p>dt</p><p>d</p><p>dt</p><p>d1</p><p>dt</p><p>d</p><p>v</p><p>B</p><p>Ev</p><p>v</p><p>B</p><p>Ev</p><p>αααα</p><p>α</p><p>−⋅=⇒−⋅=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅ (04)</p><p>Resolvendo (04), temos:</p><p>t Bt A</p><p>dt</p><p>d</p><p>t Bt A</p><p>dt</p><p>d</p><p>Ct Bt A</p><p>22</p><p>2</p><p>x</p><p>2</p><p>x</p><p>x</p><p>αααα</p><p>αααα</p><p>αα</p><p>sencos</p><p>v</p><p>cossen</p><p>v</p><p>sencosv</p><p>+−=</p><p>+−=</p><p>++=</p><p>Substituindo (05) e (07) em (04), temos:</p><p>( )</p><p>o</p><p>o</p><p>2</p><p>o</p><p>o222</p><p>C</p><p>Ct Bt At Bt A</p><p>B</p><p>E</p><p>sencos</p><p>B</p><p>E</p><p>sencos</p><p>=∴</p><p>++−⋅=+− αααααααα</p><p>Substituindo (08) em (05), temos:</p><p>o</p><p>o</p><p>x t Bt A</p><p>B</p><p>E</p><p>sencosv ++= αα (09)</p><p>Substituindo (06) em (02), temos:</p><p>( )t Bt A</p><p>1</p><p>y αα</p><p>α</p><p>cossenv +−⋅= (10)</p><p>� Condições iniciais para a solução de (09) e (10): vx = vy = 0 em t = 0 (11)</p><p>Substituindo (11) em (09) e em (10), temos:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=⇒+==</p><p>−=⇒++==</p><p>0BB00</p><p>A0A0</p><p>y</p><p>o</p><p>o</p><p>o</p><p>o</p><p>x</p><p>v</p><p>B</p><p>E</p><p>B</p><p>E</p><p>v</p><p>(12)</p><p>(02)</p><p>(03)</p><p>(08)</p><p>(05)</p><p>(06)</p><p>(07)</p><p>– Página 9.18 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0099 –– CCAAMMPPOOSS VVAARRIIÁÁVVEEIISS NNOO TTEEMMPPOO EE AASS EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE MMAAXXWWEELLLL</p><p>Substituindo (12) em (09) e em (10), temos:</p><p>( )</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>⋅=</p><p>−⋅=⇒+⋅−=</p><p>0</p><p>t</p><p>t 1t</p><p>z</p><p>o</p><p>o</p><p>y</p><p>o</p><p>o</p><p>x</p><p>o</p><p>o</p><p>o</p><p>o</p><p>x</p><p>v</p><p>sen</p><p>B</p><p>E</p><p>v</p><p>cos</p><p>B</p><p>E</p><p>v</p><p>B</p><p>E</p><p>cos</p><p>B</p><p>E</p><p>v</p><p>α</p><p>αα</p><p>Portanto: ( )[ ]yx</p><p>o</p><p>o t t 1 aav αα sencos</p><p>B</p><p>E</p><p>+−⋅=</p><p>b) ( )∫∫ −⋅=⇒=⇒= dt t 1xdtx</p><p>dt</p><p>dx</p><p>o</p><p>o</p><p>xx αcos</p><p>B</p><p>E</p><p>vv</p><p>D ttx</p><p>o</p><p>o</p><p>o</p><p>o +−=∴ α</p><p>α</p><p>sen</p><p>B</p><p>E</p><p>B</p><p>E</p><p>(01)</p><p>Et ydt t ydty</p><p>dt</p><p>dy</p><p>o</p><p>o</p><p>o</p><p>o</p><p>yy +−=⇒=⇒=⇒= ∫∫ α</p><p>α</p><p>α cos</p><p>B</p><p>E</p><p>sen</p><p>B</p><p>E</p><p>vv (02)</p><p>� Condições iniciais para a solução de (01) e (02): x = y = 0 em t = 0 (03)</p><p>Substituindo (03) em (01) e em (02), temos:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=⇒+−==</p><p>=⇒+−==</p><p>o</p><p>o</p><p>o</p><p>o EE0y</p><p>0DD000x</p><p>B</p><p>E</p><p>B</p><p>E</p><p>αα</p><p>(04)</p><p>Substituindo (04) em (01) e em (02), temos:</p><p>( )</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>−⋅=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅−⋅=</p><p>0z</p><p>t 1y</p><p>t</p><p>1</p><p>tx</p><p>o</p><p>o</p><p>o</p><p>o</p><p>α</p><p>α</p><p>α</p><p>α</p><p>cos</p><p>B</p><p>E</p><p>sen</p><p>B</p><p>E</p><p>Portanto: ( ) ( ) </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=−⋅=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−⋅== 0zt 1yt</p><p>1</p><p>txzyxP</p><p>o</p><p>o</p><p>o</p><p>o ;cos</p><p>B</p><p>E</p><p>;sen</p><p>B</p><p>E</p><p>;; α</p><p>α</p><p>α</p><p>α</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>AAnneexxoo 0011 –– CCUURRVVAASS BB--HH</p><p>Curvas B – H para H < 400 A/m (para exercícios do Capítulo 08)</p><p>(Cada pequena divisão significa 0,02 T para B e 5 A/m para H)</p><p>Curvas B – H para H > 400 A/m (para exercícios do Capítulo 08)</p><p>(Cada pequena divisão significa 0,02 T para B e 50 A/m para H)</p><p>2 µC. A uma distância de 2 m de sua</p><p>extremidade, no seu prolongamento, está uma carga pontual de 2 µC. Obter o ponto no</p><p>espaço onde o campo elétrico seja nulo.</p><p>Resolução:</p><p>� Definições:</p><p>P (2+d; 0; 0) é o ponto onde o campo elétrico resultante é nulo.</p><p>1E</p><p>�</p><p>é o campo elétrico gerado em P pela carga Q.</p><p>2E</p><p>�</p><p>é o campo elétrico gerado em P pelo fio.</p><p>� Cálculo do campo elétrico gerado em P pela carga Q:</p><p>)(</p><p>)(</p><p>x2</p><p>o</p><p>1</p><p>d24</p><p>Q</p><p>aE</p><p>��</p><p>−</p><p>−</p><p>=</p><p>πε</p><p>, onde Q = 2µC. (01)</p><p>� Cálculo do campo elétrico gerado em P pelo fio:</p><p>∫</p><p>+−</p><p>= x2</p><p>o</p><p>L</p><p>2</p><p>dx24</p><p>dL</p><p>aE</p><p>��</p><p>)(πε</p><p>ρ</p><p>,onde: [ ]</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>=⇒=</p><p>∆</p><p>∆</p><p>=</p><p>dxdL</p><p>m</p><p>C1</p><p>m2</p><p>C2</p><p>L</p><p>Q</p><p>LL ρ</p><p>µ</p><p>ρ (02)</p><p>De (01), conclui-se que ∫</p><p>= +−</p><p>=</p><p>2</p><p>0x</p><p>x2</p><p>o</p><p>L</p><p>2</p><p>dx24</p><p>dx</p><p>aE</p><p>��</p><p>)(πε</p><p>ρ</p><p>(03)</p><p>Substituição de variáveis na integral:</p><p></p><p></p><p></p><p>−=</p><p>+−=</p><p>dxdu</p><p>dx2u</p><p>(04)</p><p>Substituindo (04) em (03), temos:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+</p><p>−−=∴</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+−</p><p>−=⇒</p><p>−</p><p>=⇒=</p><p>==</p><p>−</p><p>∫</p><p>d2</p><p>1</p><p>d</p><p>1</p><p>4</p><p>dx2</p><p>1</p><p>41</p><p>u</p><p>4u</p><p>du</p><p>4</p><p>o</p><p>L</p><p>2</p><p>x</p><p>2</p><p>0xo</p><p>L</p><p>2x</p><p>2</p><p>0x</p><p>1</p><p>o</p><p>L</p><p>2x2</p><p>o</p><p>L</p><p>2</p><p>πε</p><p>ρ</p><p>πε</p><p>ρ</p><p>πε</p><p>ρ</p><p>πε</p><p>ρ</p><p>E</p><p>aEaEaE</p><p>�</p><p>������</p><p>(05)</p><p>– Página 2.2 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO</p><p>Para o campo elétrico ser nulo em P, é necessário que 021 =+ EE</p><p>��</p><p>. (06)</p><p>Substituindo (01) e (05) em (06), temos:</p><p>][</p><p>)())(()(</p><p>)()(</p><p>m</p><p>3</p><p>2</p><p>d0dd4d4dd4d4d2d88d2d4</p><p>0d2dd2d2d2d2</p><p>0</p><p>d2</p><p>1</p><p>d</p><p>1</p><p>d2</p><p>2</p><p>0</p><p>d2</p><p>1</p><p>d</p><p>1</p><p>4</p><p>101</p><p>d24</p><p>102</p><p>323222</p><p>22</p><p>2o</p><p>6</p><p>2</p><p>o</p><p>6</p><p>=⇒=+−+−+−−+−+</p><p>=−+−+−+</p><p>=</p><p>+</p><p>+−</p><p>−</p><p>⇒=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+</p><p>−</p><p>⋅</p><p>−</p><p>−</p><p>⋅ −−</p><p>πεπε</p><p>Logo, as coordenadas do ponto P são: ( 2,67; 0; 0 ) [m]</p><p>2.2) Uma linha de carga com ρL = 50 ηC/m está localizada ao longo da reta x = 2, y = 5, no</p><p>vácuo.</p><p>a) Determinar E</p><p>�</p><p>em P (1, 3, -4 );</p><p>b) Se a superfície x = 4 contém uma distribuição superficial de carga uniforme com</p><p>ρS = 18 ηC/m2, determinar em que ponto do plano z = 0 o campo elétrico é nulo.</p><p>Resolução:</p><p>a)</p><p>� Campo elétrico para uma linha de cargas:</p><p>ρ</p><p>ρπε</p><p>ρ</p><p>aE</p><p>��</p><p>o</p><p>L</p><p>L 2</p><p>= , onde:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>ρ</p><p>ρρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>de unitário o é</p><p>P ponto o para linha da dirigido vetor o é</p><p>a</p><p>(01)</p><p>� Cálculo de ρ</p><p>�</p><p>e de ρ:</p><p>yxzyx 205321 aaaaa</p><p>�������</p><p>−−=⇒+−+−= ρρ )()(</p><p>(02)</p><p>521 22 =⇒+= ρρ</p><p>� Cálculo de ρa</p><p>�</p><p>:</p><p>5</p><p>2</p><p>yx aa</p><p>a</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>� −−</p><p>==</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ (03)</p><p>– Página 2.3 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO</p><p>Substituindo (02) e (03) em (01), temos:</p><p>][</p><p>)(</p><p>mV 360180</p><p>2180</p><p>5</p><p>2</p><p>52</p><p>1050</p><p>yx</p><p>yx</p><p>yx</p><p>o</p><p>9</p><p>aaE</p><p>aaE</p><p>aa</p><p>E</p><p>���</p><p>���</p><p>��</p><p>�</p><p>−−=</p><p>−−=⇒</p><p>−−</p><p>⋅</p><p>⋅</p><p>=</p><p>−</p><p>πε</p><p>b)</p><p>Para TE</p><p>�</p><p>ser nulo no ponto Q (x, y, 0 ), este deve estar localizado entre o plano e a linha.</p><p>� Campo elétrico para uma linha de cargas:</p><p>ρ</p><p>ρπε</p><p>ρ</p><p>aE</p><p>��</p><p>o</p><p>L</p><p>L 2</p><p>= , onde:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>ρ</p><p>ρρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>de unitário o é</p><p>P ponto o para linha da dirigido vetor o é</p><p>a</p><p>(01)</p><p>� Campo elétrico para uma distribuição superficial de cargas:</p><p>N</p><p>o</p><p>S</p><p>P 2</p><p>aE</p><p>��</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>= , onde: 0). y, (x, de direcão na superfície à normal unitário o é Na</p><p>�</p><p>(02)</p><p>� Cálculo do campo elétrico no ponto Q devido à linha:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−+−</p><p>−+−</p><p>=</p><p>−+−=−+−=</p><p>22</p><p>yx</p><p>22</p><p>yx</p><p>5y2x</p><p>5y2x</p><p>5y2x ; 5y2x</p><p>)()(</p><p>)()(</p><p>)()()()(</p><p>aa</p><p>a</p><p>aa</p><p>��</p><p>�</p><p>���</p><p>ρ</p><p>ρρ</p><p>(03)</p><p>– Página 2.4 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO</p><p>Substituindo (03) em (01), temos:</p><p>22</p><p>yx</p><p>22</p><p>o</p><p>L</p><p>L</p><p>o</p><p>L</p><p>L</p><p>5y2x</p><p>5y 2x</p><p>5y2x22 )()(</p><p>)()(</p><p>)()( −+−</p><p>−+−</p><p>−+−</p><p>=⇒=</p><p>aa</p><p>EaE</p><p>��</p><p>���</p><p>πε</p><p>ρ</p><p>ρπε</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>])()[(</p><p>])()[(</p><p>yx22</p><p>o</p><p>L</p><p>L 5y 2x</p><p>5y2x2</p><p>aaE</p><p>���</p><p>−+−</p><p>−+−</p><p>=∴</p><p>πε</p><p>ρ</p><p>(04)</p><p>� Cálculo do campo elétrico no ponto Q devido à superfície:</p><p>xN aa</p><p>��</p><p>−= (05)</p><p>Substituindo (05) em (02), temos:</p><p>x</p><p>o</p><p>S</p><p>P 2</p><p>aE</p><p>��</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>−=</p><p>Mas 0PLT =+= EEE</p><p>���</p><p>(07)</p><p>Substituindo (04) e (06) em (07):</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=⇒=</p><p>−</p><p>⇒=−</p><p>−+−</p><p>−</p><p>=⇒=</p><p>−+−</p><p>−</p><p>∴</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−+−</p><p>−</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p>−+−</p><p>−</p><p>=</p><p>⋅</p><p>⋅</p><p>−</p><p>−+−</p><p>−+−</p><p>⋅</p><p>−+−⋅</p><p>⋅</p><p>=−</p><p>−+−</p><p>−+−</p><p>⋅</p><p>−+−</p><p>=</p><p>−</p><p>−</p><p>−</p><p>−</p><p>88,2x 324</p><p>2x</p><p>900</p><p>0324</p><p>5y2x</p><p>2x900</p><p>5y 0</p><p>5y2x</p><p>5y900</p><p>0</p><p>5y2x</p><p>5y900</p><p>324</p><p>5y2x</p><p>2x900</p><p>0</p><p>36</p><p>10</p><p>2</p><p>1018</p><p>5y2x</p><p>5y 2x</p><p>5y2x</p><p>36</p><p>10</p><p>2</p><p>1050</p><p>0</p><p>25y2x</p><p>5y 2x</p><p>5y2x2</p><p>22</p><p>22</p><p>y22x22</p><p>x9</p><p>9</p><p>22</p><p>yx</p><p>22</p><p>9</p><p>9</p><p>x</p><p>o</p><p>S</p><p>22</p><p>yx</p><p>22</p><p>o</p><p>L</p><p>T</p><p>ππ</p><p>π</p><p>ππ</p><p>π</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>πε</p><p>ρ</p><p>)()(</p><p>)(</p><p>)()(</p><p>)(</p><p>)()(</p><p>)(</p><p>)()(</p><p>)(</p><p>)()(</p><p>)()(</p><p>)()(</p><p>)()(</p><p>)()(</p><p>)()(</p><p>aa</p><p>a</p><p>aa</p><p>a</p><p>aa</p><p>E</p><p>��</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>Logo, as coordenadas do ponto Q são: (x = 2,88; y = 50;z = 0).</p><p>2.3) Oito cargas pontuais de 1 µC cada uma estão localizadas nos vértices de um cubo de 1 m</p><p>de lado, no espaço livre. Encontrar E</p><p>�</p><p>no centro:</p><p>a) do cubo;</p><p>b) de uma face do cubo;</p><p>c) de uma aresta do cubo;</p><p>(06)</p><p>– Página 2.5 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO</p><p>Resolução:</p><p>P ( 0,5; 0,5; 0,5 )é o centro do cubo;</p><p>K ( 0,5; 1; 0,5 )é o centro de uma face;</p><p>M ( 1; 0,5; 0 )é o centro de uma aresta.</p><p>a) Como as cargas são todas iguais e simétricas, elas produzem campos iguais e em oposição.</p><p>Logo, o campo elétrico em P é nulo.</p><p>b) KKKKKKKKK EEEEEEEEE DHEAFBCG</p><p>���������</p><p>+++++++= , onde:</p><p>D; em carga pela em gerado campo o é</p><p>H; em carga pela em gerado campo o é</p><p>E; em carga pela em gerado campo o é</p><p>A; em carga pela em gerado campo o é</p><p>F; em carga pela em gerado campo o é</p><p>B; em carga pela em gerado campo o é</p><p>C; em carga pela em gerado campo o é</p><p>G; em carga pela em gerado campo o é</p><p>D; e H E, A, F, B, C, G, em carga pelas em gerado campo o é</p><p>D</p><p>H</p><p>E</p><p>A</p><p>F</p><p>B</p><p>C</p><p>G</p><p>KE</p><p>KE</p><p>KE</p><p>KE</p><p>KE</p><p>KE</p><p>KE</p><p>KE</p><p>KE</p><p>K</p><p>K</p><p>K</p><p>K</p><p>K</p><p>K</p><p>K</p><p>K</p><p>K</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>Por simetria:</p><p>0FBCG =+++ KKKK EEEE</p><p>����</p><p>, o que torna KKKKK EEEEE DHEA</p><p>�����</p><p>+++= . (01)</p><p>� Cálculo de KEA</p><p>�</p><p>:</p><p>K</p><p>K</p><p>k aE</p><p>A</p><p>R2</p><p>Ao</p><p>A</p><p>R4</p><p>Q ��</p><p>πε</p><p>= , onde:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>.</p><p>;</p><p>;</p><p>K</p><p>K</p><p>KK</p><p>K</p><p>Ra</p><p>R</p><p>KAR</p><p>A</p><p>A</p><p>R</p><p>AA</p><p>A</p><p>de versor um é</p><p>R</p><p>ponto ao em carga da dirigido vetor o é</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>– Página 2.6 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO</p><p>K</p><p>K</p><p>K</p><p>KK</p><p>R</p><p>aaaaR</p><p>A</p><p>A</p><p>A</p><p>RAzyxA R</p><p>; 51R ; 5050</p><p>�</p><p>�����</p><p>==++= ,,,</p><p>K</p><p>K</p><p>k RE A23</p><p>Ao</p><p>A</p><p>R4</p><p>Q ��</p><p>πε</p><p>=∴ (02)</p><p>� Cálculo de KEE</p><p>�</p><p>:</p><p>K</p><p>K</p><p>k aE</p><p>E</p><p>R2</p><p>Eo</p><p>E</p><p>R4</p><p>Q ��</p><p>πε</p><p>= , onde:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>===</p><p>.</p><p>;</p><p>;</p><p>K</p><p>K</p><p>KKKK</p><p>K</p><p>Ra</p><p>RR</p><p>KER</p><p>E</p><p>E</p><p>R</p><p>AEAE</p><p>E</p><p>de versor um é</p><p>RR</p><p>ponto ao em carga da dirigido vetor o é</p><p>��</p><p>��</p><p>�</p><p>K</p><p>K</p><p>K</p><p>KKK</p><p>R</p><p>aaaaR</p><p>A</p><p>E</p><p>E</p><p>RAEzyxE R</p><p>; 51RR ; 5050</p><p>�</p><p>�����</p><p>===++−= ,,,</p><p>K</p><p>K</p><p>k RE E23</p><p>Ao</p><p>E</p><p>R4</p><p>Q ��</p><p>πε</p><p>=∴ (03)</p><p>� Cálculo de KEH</p><p>�</p><p>:</p><p>K</p><p>K</p><p>k aE</p><p>H</p><p>R2</p><p>Ho</p><p>H</p><p>R4</p><p>Q ��</p><p>πε</p><p>= , onde:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>===</p><p>.</p><p>;</p><p>;</p><p>K</p><p>K</p><p>KKKK</p><p>K</p><p>Ra</p><p>RR</p><p>KHR</p><p>H</p><p>H</p><p>R</p><p>AHAH</p><p>H</p><p>de versor um é</p><p>RR</p><p>ponto ao em carga da dirigido vetor o é</p><p>��</p><p>��</p><p>�</p><p>K</p><p>K</p><p>K</p><p>KKK</p><p>R</p><p>aaaaR</p><p>A</p><p>H</p><p>H</p><p>RAHzyxH R</p><p>; 51RR ; 5050</p><p>�</p><p>�����</p><p>===−+−= ,,,</p><p>K</p><p>K</p><p>k RE H23</p><p>Ao</p><p>H</p><p>R4</p><p>Q ��</p><p>πε</p><p>=∴ (04)</p><p>� Cálculo de KED</p><p>�</p><p>:</p><p>K</p><p>K</p><p>k aE</p><p>D</p><p>R2</p><p>Do</p><p>D</p><p>R4</p><p>Q ��</p><p>πε</p><p>= , onde:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>===</p><p>.</p><p>;</p><p>;</p><p>K</p><p>K</p><p>KKKK</p><p>K</p><p>Ra</p><p>RR</p><p>KDR</p><p>D</p><p>D</p><p>R</p><p>ADAD</p><p>D</p><p>de versor um é</p><p>RR</p><p>ponto ao em carga da dirigido vetor o é</p><p>��</p><p>��</p><p>�</p><p>K</p><p>K</p><p>K</p><p>KKK</p><p>R</p><p>aaaaR</p><p>A</p><p>D</p><p>D</p><p>RADzyxD R</p><p>; 51RR ; 5050</p><p>�</p><p>�����</p><p>===−+= ,,,</p><p>K</p><p>K</p><p>k RE D23</p><p>Ao</p><p>D</p><p>R4</p><p>Q ��</p><p>πε</p><p>=∴ (05)</p><p>– Página 2.7 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS</p><p>DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO</p><p>Substituindo (02), (03), (04) e (05) em (01):</p><p>)( KKKK</p><p>K</p><p>k RRRRE DHEA23</p><p>AoR4</p><p>Q �����</p><p>+++=</p><p>πε</p><p>(06)</p><p>Mas:</p><p>yDHEA</p><p>zyxzyxzyxzyxDHEA</p><p>4</p><p>5050505050505050</p><p>aRRRR</p><p>aaaaaaaaaaaaRRRR</p><p>KKKK</p><p>KKKK</p><p>�����</p><p>����������������</p><p>=+++∴</p><p>−++−+−+++−+++=+++ ),,(),,(),,(),,(</p><p>Substituindo (07) em (06) ,temos:</p><p>[ ]m</p><p>V 57,19 57,19</p><p>51 4</p><p>104</p><p>R4</p><p>Q4</p><p>y</p><p>y23</p><p>o</p><p>9</p><p>y23</p><p>Ao</p><p>=⇒=</p><p>⋅</p><p>=⇒=</p><p>−</p><p>kk</p><p>k</p><p>K</p><p>k</p><p>EaE</p><p>aEaE</p><p>���</p><p>����</p><p>,πεπε</p><p>c) MMMMMMMMM EEEEEEEEE DCGHBAFE</p><p>���������</p><p>+++++++= , onde:</p><p>D; em carga pela em gerado campo o é</p><p>C; em carga pela em gerado campo o é</p><p>G; em carga pela em gerado campo o é</p><p>H; em carga pela em gerado campo o é</p><p>B; em carga pela em gerado campo o é</p><p>A; em carga pela em gerado campo o é</p><p>F; em carga pela em gerado campo o é</p><p>E; em carga pela em gerado campo o é</p><p>D; e C G, H, B, A, F, E, em cargas pelas em gerado campo o é</p><p>D</p><p>C</p><p>G</p><p>H</p><p>B</p><p>A</p><p>F</p><p>E</p><p>ME</p><p>ME</p><p>ME</p><p>ME</p><p>ME</p><p>ME</p><p>ME</p><p>ME</p><p>ME</p><p>M</p><p>M</p><p>M</p><p>M</p><p>M</p><p>M</p><p>M</p><p>M</p><p>M</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>Por simetria:</p><p>0FE =+ MM EE</p><p>��</p><p>Portanto: MMMMMMM EEEEEEE DCGHBA</p><p>�������</p><p>+++++= (01)</p><p>� Cálculo de MEA</p><p>�</p><p>:</p><p>M</p><p>M</p><p>M aE</p><p>A</p><p>R2</p><p>Ao</p><p>A</p><p>R4</p><p>Q ��</p><p>πε</p><p>= , onde:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>.</p><p>;</p><p>;</p><p>M</p><p>M</p><p>MM</p><p>M</p><p>Ra</p><p>R</p><p>MAR</p><p>A</p><p>A</p><p>R</p><p>AA</p><p>A</p><p>de versor um é</p><p>R</p><p>ponto ao em carga da dirigido vetor o é</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>(07)</p><p>– Página 2.8 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO</p><p>M</p><p>M</p><p>M</p><p>MM</p><p>R</p><p>aaaaR</p><p>A</p><p>A</p><p>A</p><p>RAzyxA R</p><p>; 251R ; 050</p><p>�</p><p>�����</p><p>==++= ,,</p><p>M</p><p>M</p><p>M RE A23</p><p>Ao</p><p>A</p><p>R4</p><p>Q ��</p><p>πε</p><p>=∴ (02)</p><p>� Cálculo de MEB</p><p>�</p><p>:</p><p>M</p><p>M</p><p>M aE</p><p>B</p><p>R2</p><p>Bo</p><p>B</p><p>R4</p><p>Q ��</p><p>πε</p><p>= , onde:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>===</p><p>.</p><p>;</p><p>;</p><p>M</p><p>M</p><p>MMMM</p><p>M</p><p>Ra</p><p>RR</p><p>MBR</p><p>B</p><p>B</p><p>R</p><p>ABAB</p><p>B</p><p>de versor um é</p><p>RR</p><p>ponto ao em carga da dirigido vetor o é</p><p>��</p><p>��</p><p>�</p><p>M</p><p>M</p><p>M</p><p>MMM</p><p>R</p><p>aaaaR</p><p>A</p><p>B</p><p>B</p><p>RABzyxB R</p><p>; 251RR ; 050</p><p>�</p><p>�����</p><p>===+−= ,,</p><p>M</p><p>M</p><p>M RE B23</p><p>Ao</p><p>B</p><p>R4</p><p>Q ��</p><p>πε</p><p>=∴ (03)</p><p>� Cálculo de MEH</p><p>�</p><p>:</p><p>M</p><p>M</p><p>M aE</p><p>H</p><p>R2</p><p>Ho</p><p>H</p><p>R4</p><p>Q ��</p><p>πε</p><p>= , onde:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>===</p><p>.</p><p>;</p><p>;</p><p>M</p><p>M</p><p>MMMM</p><p>M</p><p>Ra</p><p>RR</p><p>MHR</p><p>H</p><p>H</p><p>R</p><p>AHAH</p><p>H</p><p>de versor um é</p><p>RR</p><p>ponto ao em carga da dirigido vetor o é</p><p>��</p><p>��</p><p>�</p><p>M</p><p>M</p><p>M</p><p>MMM</p><p>R</p><p>aaaaR</p><p>A</p><p>H</p><p>H</p><p>RAHzyxH R</p><p>; 251RR ; 500</p><p>�</p><p>�����</p><p>===−+= ,,</p><p>M</p><p>M</p><p>M RE H23</p><p>Ao</p><p>H</p><p>R4</p><p>Q ��</p><p>πε</p><p>=∴ (04)</p><p>� Cálculo de MEG</p><p>�</p><p>:</p><p>M</p><p>M</p><p>M aE</p><p>G</p><p>R2</p><p>Go</p><p>G</p><p>R4</p><p>Q ��</p><p>πε</p><p>= , onde:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>===</p><p>.</p><p>;</p><p>;</p><p>M</p><p>M</p><p>MMMM</p><p>M</p><p>Ra</p><p>RR</p><p>MGR</p><p>G</p><p>G</p><p>R</p><p>AGAG</p><p>G</p><p>de versor um é</p><p>RR</p><p>ponto ao em carga da dirigido vetor o é</p><p>��</p><p>��</p><p>�</p><p>M</p><p>M</p><p>M</p><p>MMM</p><p>R</p><p>aaaaR</p><p>A</p><p>G</p><p>G</p><p>RAGzyxG R</p><p>; 251RR ; 500</p><p>�</p><p>�����</p><p>===−−= ,,</p><p>M</p><p>M</p><p>M RE G23</p><p>Ao</p><p>G</p><p>R4</p><p>Q ��</p><p>πε</p><p>=∴ (05)</p><p>– Página 2.9 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO</p><p>� Cálculo de MED</p><p>�</p><p>:</p><p>M</p><p>M</p><p>M aE</p><p>D</p><p>R2</p><p>Do</p><p>D</p><p>R4</p><p>Q ��</p><p>πε</p><p>= , onde:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>.</p><p>;</p><p>;</p><p>M</p><p>M</p><p>MM</p><p>M</p><p>Ra</p><p>R</p><p>MDR</p><p>D</p><p>D</p><p>R</p><p>DD</p><p>D</p><p>de versor um é</p><p>R</p><p>ponto ao em carga da dirigido vetor o é</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>M</p><p>M</p><p>M</p><p>MM</p><p>R</p><p>aaaaR</p><p>D</p><p>D</p><p>D</p><p>RDzyxD R</p><p>; 252R ; 50</p><p>�</p><p>�����</p><p>==−+= ,,</p><p>M</p><p>M</p><p>M RE D23</p><p>Do</p><p>D</p><p>R4</p><p>Q ��</p><p>πε</p><p>=∴ (06)</p><p>� Cálculo de MEC</p><p>�</p><p>:</p><p>M</p><p>M</p><p>M aE</p><p>C</p><p>R2</p><p>Co</p><p>C</p><p>R4</p><p>Q ��</p><p>πε</p><p>= , onde:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>===</p><p>.</p><p>;</p><p>;</p><p>M</p><p>M</p><p>MMMM</p><p>M</p><p>Ra</p><p>RR</p><p>MCR</p><p>C</p><p>C</p><p>R</p><p>DCDC</p><p>C</p><p>de versor um é</p><p>RR</p><p>ponto ao em carga da dirigido vetor o é</p><p>��</p><p>��</p><p>�</p><p>M</p><p>M</p><p>M</p><p>MMM</p><p>R</p><p>aaaaR</p><p>D</p><p>C</p><p>C</p><p>RDCzyxC R</p><p>; 252RR ; 50</p><p>�</p><p>�����</p><p>===−−= ,,</p><p>M</p><p>M</p><p>M RE C23</p><p>Do</p><p>CG</p><p>R4</p><p>Q ��</p><p>πε</p><p>=∴ (07)</p><p>Substituindo (02), (03), (04), (05), (06) e (07) em (01), temos:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> +</p><p>+</p><p>+++</p><p>=</p><p>23</p><p>D</p><p>CD</p><p>23</p><p>A</p><p>GHBA</p><p>o RR4</p><p>Q</p><p>M</p><p>MM</p><p>M</p><p>MMMM</p><p>M</p><p>RRRRRR</p><p>E</p><p>������</p><p>�</p><p>πε</p><p>(08)</p><p>Mas:</p><p>zxGHBA</p><p>zyzyyxyxGHBA</p><p>22</p><p>50505050</p><p>aaRRRR</p><p>aaaaaaaaRRRR</p><p>MMMM</p><p>MMMM</p><p>������</p><p>������������</p><p>−=+++∴</p><p>−+−+−++=+++ ),(),(),(),(</p><p>e</p><p>zxCD</p><p>zyxzyxCD</p><p>22</p><p>5050</p><p>aaRR</p><p>aaaaaaRR</p><p>MM</p><p>MM</p><p>����</p><p>��������</p><p>−=+∴</p><p>−−+−+=+ ),(),(</p><p>Substituindo (09) e (10) em (08), temos:</p><p>[ ]m</p><p>V 7625 21182118</p><p>252</p><p>22</p><p>251</p><p>22</p><p>4</p><p>101</p><p>zx</p><p>23</p><p>zx</p><p>23</p><p>zx</p><p>o</p><p>9</p><p>,,,</p><p>,,</p><p>=⇒−=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> −</p><p>+</p><p>−⋅</p><p>=</p><p>−</p><p>MM</p><p>M</p><p>EaaE</p><p>aaaa</p><p>E</p><p>����</p><p>����</p><p>�</p><p>πε</p><p>(09)</p><p>(10)</p><p>– Página 2.10 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO</p><p>2.4) Uma distribuição linear uniforme de cargas no eixo z é definida como sendo ρL = 10π</p><p>ηC/m para z ≥ 0 e ρL = 0 para z < 0. Determinar qual deverá ser a densidade superficial</p><p>de cargas no plano infinito z = 0 de modo que o campo elétrico resultante no ponto P ( 0,</p><p>3, 0 ) tenha direção normal ao eixo z. Determinar também o campo elétrico resultante.</p><p>� Cálculo do campo elétrico no ponto P devido ao plano:</p><p>z</p><p>o</p><p>S</p><p>PzNN</p><p>o</p><p>S</p><p>P 2</p><p>:onde</p><p>2</p><p>aEaaaE</p><p>������</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>=⇒== , (01)</p><p>� Cálculo do campo elétrico no ponto P devido à linha:</p><p>z9</p><p>z3</p><p>z9R</p><p>z3</p><p>onde</p><p>R4</p><p>dz</p><p>2</p><p>zy</p><p>R</p><p>2</p><p>zy</p><p>R2</p><p>o</p><p>L</p><p>L</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+</p><p>−</p><p>=</p><p>+==</p><p>−=</p><p>= ∫</p><p>aa</p><p>a</p><p>R</p><p>aaR</p><p>aE</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>���</p><p>��</p><p>,</p><p>πε</p><p>ρ</p><p>z232o</p><p>L</p><p>y232o</p><p>L</p><p>L</p><p>zy232</p><p>zy</p><p>o</p><p>L</p><p>L</p><p>z9</p><p>zdz</p><p>4z9</p><p>dz3</p><p>4</p><p>dz</p><p>z9</p><p>z3</p><p>4</p><p>aaE</p><p>EE</p><p>aa</p><p>E</p><p>���</p><p>��</p><p>��</p><p>�</p><p>∫∫</p><p>∫</p><p>+</p><p>−</p><p>+</p><p>=</p><p>+=</p><p>+</p><p>−</p><p>=</p><p>)()(</p><p>)(</p><p>)(</p><p>πε</p><p>ρ</p><p>πε</p><p>ρ</p><p>πε</p><p>ρ</p><p>z9</p><p>zdz</p><p>4</p><p>z9</p><p>dz3</p><p>4</p><p>z232o</p><p>L</p><p>z</p><p>y232o</p><p>L</p><p>y</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+</p><p>−=</p><p>+</p><p>=</p><p>∴</p><p>∫</p><p>∫</p><p>aE</p><p>aE</p><p>��</p><p>��</p><p>)(</p><p>)(</p><p>πε</p><p>ρ</p><p>πε</p><p>ρ</p><p>(02)</p><p>(03)</p><p>(04)</p><p>– Página 2.11 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO</p><p>Para que o campo elétrico resultante no ponto P ( 0, 3, 0 ) tenha direção normal ao eixo z, a</p><p>condição de zP EE</p><p>��</p><p>= deve ser satisfeita.</p><p>Fazendo (01) = (04), temos:</p><p>∫</p><p>+</p><p>=</p><p>2322</p><p>o</p><p>L</p><p>o</p><p>S</p><p>z3</p><p>zdz</p><p>42 )(πε</p><p>ρ</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>(05)</p><p>Substituição de variáveis na integral:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>=</p><p>θθ</p><p>θ</p><p>d3dz</p><p>3tg z</p><p>2sec</p><p>(06)</p><p>Substituindo (06) em (05), temos:</p><p>[ ]</p><p>m</p><p>C</p><p>3</p><p>5</p><p>3</p><p>105</p><p>d</p><p>3</p><p>105</p><p>27</p><p>d3tg3</p><p>2</p><p>1010</p><p>2S</p><p>90</p><p>0</p><p>9</p><p>S</p><p>9</p><p>S3</p><p>29</p><p>S</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=⇒−</p><p>⋅</p><p>=</p><p>⋅</p><p>=⇒⋅</p><p>⋅</p><p>=</p><p>°</p><p>=</p><p>−</p><p>−−</p><p>∫∫</p><p>ηρθρ</p><p>θ</p><p>θ</p><p>θθ</p><p>ρ</p><p>θ</p><p>θθθ</p><p>π</p><p>π</p><p>ρ</p><p>θcos</p><p>cos</p><p>cos.sen</p><p>sec</p><p>sec.</p><p>� Cálculo do campo elétrico resultante ( TOTALE</p><p>�</p><p>):</p><p>Como o campo elétrico resultante no ponto P ( 0, 3, 0 ) apresenta somente uma componente</p><p>na direção de ya</p><p>�</p><p>, conclui-se que yTOTAL EE</p><p>��</p><p>= (07)</p><p>Substituindo (03) em (07), temos:</p><p>y2322</p><p>o</p><p>L</p><p>TOTAL</p><p>z3</p><p>dz3</p><p>4</p><p>aE</p><p>��</p><p>∫</p><p>+</p><p>=</p><p>)(πε</p><p>ρ</p><p>(08)</p><p>Substituição de variáveis na integral:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>=</p><p>θθ</p><p>θ</p><p>d3dz</p><p>3tg z</p><p>2sec</p><p>(09)</p><p>Substituindo (09) em (08), temos:</p><p>[ ] [ ] m</p><p>V 1294</p><p>6</p><p>105</p><p>d</p><p>6</p><p>105</p><p>27</p><p>d33</p><p>4</p><p>1010</p><p>TOTALy</p><p>90</p><p>0</p><p>o</p><p>9</p><p>TOTAL</p><p>y</p><p>o</p><p>9</p><p>y3</p><p>2</p><p>o</p><p>9</p><p>TOTAL</p><p>,sen</p><p>cos</p><p>sec</p><p>sec.</p><p>=⇒</p><p>⋅</p><p>=</p><p>⋅</p><p>⋅</p><p>=⋅</p><p>⋅</p><p>=</p><p>°</p><p>=</p><p>−</p><p>−−</p><p>∫∫</p><p>EaE</p><p>aaE</p><p>���</p><p>���</p><p>θθ</p><p>ε</p><p>θθ</p><p>εθ</p><p>θθ</p><p>πε</p><p>π</p><p>– Página 2.12 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO</p><p>2.5) Dado o campo vetorial ( ) zyx</p><p>2 xyzyx aaaD</p><p>����</p><p>+++= [C/m2]. Determinar o fluxo de D</p><p>�</p><p>através da superfície triangular no plano xz, delimitada pelo eixo x, pelo eixo z, e pela</p><p>reta x z+ = 1 .</p><p>Dados:</p><p>( )</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>+++=</p><p>y</p><p>zyx</p><p>2</p><p>dxdz</p><p>xyzyx</p><p>adS</p><p>aaaD</p><p>�</p><p>����</p><p>;</p><p>Resolução:</p><p>( )</p><p>[ ]C</p><p>6</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>11</p><p>2</p><p>1</p><p>3</p><p>x</p><p>xx</p><p>2</p><p>1</p><p>dx</p><p>2</p><p>xx21</p><p>dx</p><p>2</p><p>x1</p><p>dx</p><p>2</p><p>z</p><p>zdzdxdzdxzy</p><p>dxdz xy zyx</p><p>1</p><p>0x</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>0x</p><p>21</p><p>0x</p><p>2</p><p>1</p><p>0x</p><p>1</p><p>0x</p><p>x1</p><p>0z</p><p>2x1</p><p>0z</p><p>1</p><p>0x</p><p>x1</p><p>0z 0y</p><p>S</p><p>yzyx</p><p>2</p><p>S</p><p>=Φ⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+−=Φ⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+−=Φ</p><p>+−</p><p>=Φ⇒</p><p>−</p><p>=Φ</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=Φ⇒=Φ⇒+=Φ</p><p>•+++=Φ⇒•=Φ</p><p>=</p><p>==</p><p>= =</p><p>−</p><p>=</p><p>−</p><p>==</p><p>−</p><p>= =</p><p>∫∫</p><p>∫ ∫∫∫ ∫</p><p>∫∫</p><p>)(</p><p>)(</p><p>)(</p><p>)(</p><p>aaaadSD</p><p>�����</p><p>2.6) Dado o campo y</p><p>3</p><p>x</p><p>2 y5 yx15 aaE</p><p>���</p><p>+= , encontrar, no plano xy:</p><p>a) a equação da linha de força que passa através do ponto P ( 2, 3, -4 );</p><p>b) um vetor unitário Ea</p><p>�</p><p>especificando a direção de E</p><p>�</p><p>no ponto P;</p><p>c) um vetor unitário Na</p><p>�</p><p>que é perpendicular a E</p><p>�</p><p>no ponto P.</p><p>Resolução:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>=</p><p>⇒+=+=</p><p>3</p><p>y</p><p>2</p><p>x</p><p>y</p><p>3</p><p>x</p><p>2</p><p>yyxx</p><p>y5</p><p>yx15</p><p>y5 yx15</p><p>E</p><p>E</p><p>EE aaaaE</p><p>�����</p><p>a) Dados: P ( 2, 3, -4 )</p><p>c</p><p>x</p><p>1</p><p>y</p><p>1</p><p>3</p><p>x</p><p>dx</p><p>y</p><p>dy</p><p>3</p><p>x</p><p>dx</p><p>y</p><p>dy</p><p>3</p><p>x3</p><p>y</p><p>dx</p><p>dy</p><p>yx15</p><p>y5</p><p>dx</p><p>dy</p><p>dx</p><p>dy</p><p>22</p><p>222</p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>y</p><p>x</p><p>+−=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−⇒=</p><p>=⇒=⇒=⇒=</p><p>∫ ∫</p><p>E</p><p>E</p><p>(01)</p><p>– Página 2.13 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO</p><p>Substituindo em (01) as coordenadas do ponto P, temos:</p><p>2</p><p>1</p><p>-c c</p><p>2</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>3 =⇒+−=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>− (02)</p><p>Substituindo (02) em (01), temos:</p><p>2</p><p>1</p><p>x</p><p>1</p><p>y</p><p>3</p><p>- −−=</p><p>Portanto, a Equação da linha de Força é:</p><p>0xyy2x-6 ou 0xyy2x6 - =−=++</p><p>b) ). 4- 3, 2, ( P ponto no definido vetor o é P EE</p><p>��</p><p>yxPy</p><p>3</p><p>x</p><p>2</p><p>P 135 180 3 . 5 3 .2 15 aaEaaE</p><p>������</p><p>+=⇒+=∴ )().(</p><p>yxE</p><p>yx</p><p>E</p><p>22</p><p>yx</p><p>E</p><p>P</p><p>P</p><p>E</p><p>60 80</p><p>225</p><p>135 180</p><p>135180</p><p>135 180</p><p>aaa</p><p>aa</p><p>a</p><p>aa</p><p>a</p><p>E</p><p>E</p><p>a</p><p>���</p><p>��</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>,, +=⇒</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>+</p><p>=⇒=</p><p>c)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>⊥=•</p><p>+=</p><p>versor.um é pois 1</p><p>pois 0</p><p>:que modo de n m Seja</p><p>NN</p><p>ENEN</p><p>yxN</p><p>aa</p><p>aaaa</p><p>aaa</p><p>��</p><p>����</p><p>���</p><p>,</p><p>;,</p><p>De (01), conclui-se que:</p><p>n75,0-m n</p><p>0,8</p><p>0,6</p><p>-m n6,0 m8,0</p><p>0 n6,0 m8,0 0 60 80 n m yxyx</p><p>=⇒=⇒−=</p><p>=+⇒=+•+ aaaa ),,()(</p><p>����</p><p>De (02), conclui-se que: 1n m 22 =+ (04)</p><p>Substituindo (04) em (03) ,temos:</p><p>8,0 n 640n</p><p>7501</p><p>1</p><p>n 1nn) (-0,75 2</p><p>2</p><p>222 ±=⇒=⇒</p><p>+</p><p>=⇒=+ ,,</p><p>),(</p><p>(05)</p><p>Substituindo (05) em (03), temos:</p><p>6,0 m 0,8)( . -0,75m ∓=⇒±= (06)</p><p>Substituindo (05) e (06) em (01), temos:</p><p>yxN 80 6,0 aaa</p><p>��</p><p>∓</p><p>�</p><p>,±=</p><p>(01)</p><p>(02)</p><p>– Página 2.14 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO</p><p>1</p><p>2.7) Um cilindro de raio a e altura 2a possui as bases com cargas simétricas de densidade</p><p>ρS constante. Calcular o campo elétrico no seu eixo, a meia distância entre as bases.</p><p>Resolução:</p><p>Sabe-se que zRzRR21R aaaEEE</p><p>������</p><p>EEE ++=+= φφρρ onde, RE</p><p>�</p><p>é o campo resultante,</p><p>1E</p><p>�</p><p>é o campo gerado no ponto em questão devido à distribuição da base do cilindro (1) e 2E</p><p>�</p><p>é o</p><p>campo gerado no ponto em questão devido à distribuição do topo do cilindro (2).</p><p>Devido à simetria das distribuições, RE</p><p>�</p><p>não apresenta componentes nas direções de</p><p>φρ aa</p><p>��</p><p>de e ( 0RR == φρ EE ). Deste modo, as componentes de 1E</p><p>�</p><p>e de 2E</p><p>�</p><p>na direção de za</p><p>�</p><p>definem a direção e a magnitude de RE</p><p>�</p><p>.Assim,</p><p>z2z1R 22 EEE</p><p>���</p><p>== . (01)</p><p>� Cálculo de 1E</p><p>�</p><p>:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+</p><p>+−</p><p>=</p><p>+=+−=</p><p>∴</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>22</p><p>z</p><p>R</p><p>22</p><p>z</p><p>R</p><p>R2</p><p>o</p><p>S</p><p>1</p><p>a</p><p>a</p><p>aR ; a</p><p>de unitário um é</p><p>R</p><p>); a 0, 0, ( ponto o para</p><p>área de ldiferencia elemento do dirigido vetor o é</p><p>d d dS</p><p>onde ,</p><p>R4</p><p>dS</p><p>d</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρρ</p><p>φρρ</p><p>πε</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>aa</p><p>a</p><p>aaR</p><p>Ra</p><p>R</p><p>R</p><p>aE</p><p>��</p><p>�</p><p>���</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>.</p><p>;</p><p>;</p><p>Substituindo (02) em (01), temos:</p><p>z111z2322</p><p>o</p><p>S</p><p>1 )a</p><p>a4</p><p>dd</p><p>d EEEaaE</p><p>������</p><p>+=⇒+−</p><p>+</p><p>=</p><p>ρρρ</p><p>ρπε</p><p>φρρρ</p><p>(</p><p>)(</p><p>(03)</p><p>(02)</p><p>– Página 2.15 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO</p><p>a4</p><p>dd a</p><p>) SimetriaPor ( 0</p><p>)a</p><p>a4</p><p>dd</p><p>2</p><p>0</p><p>a</p><p>0</p><p>z2322</p><p>o</p><p>S</p><p>z1</p><p>1</p><p>2</p><p>0</p><p>a</p><p>0</p><p>z2322</p><p>o</p><p>S</p><p>1</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+</p><p>=</p><p>=</p><p>∴</p><p>+−</p><p>+</p><p>=</p><p>∫ ∫</p><p>∫ ∫</p><p>= =</p><p>= =</p><p>π</p><p>φ ρ</p><p>ρ</p><p>π</p><p>φ ρ</p><p>ρ</p><p>ρπε</p><p>φρρρ</p><p>ρ</p><p>ρπε</p><p>φρρρ</p><p>aE</p><p>E</p><p>aaE</p><p>��</p><p>�</p><p>���</p><p>)(</p><p>(</p><p>)(</p><p>� Cálculo de RE</p><p>�</p><p>:</p><p>Substituindo (05) em (01), temos:</p><p>∫∫</p><p>∫ ∫</p><p>==</p><p>= =</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>=</p><p>a</p><p>0</p><p>z2322</p><p>2</p><p>0o</p><p>S</p><p>R</p><p>2</p><p>0</p><p>a</p><p>0</p><p>z2322</p><p>o</p><p>S</p><p>R</p><p>d</p><p>a</p><p>d</p><p>4</p><p>a2</p><p>a4</p><p>d d a</p><p>2</p><p>ρ</p><p>π</p><p>φ</p><p>π</p><p>φ ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>φ</p><p>πε</p><p>ρ</p><p>ρπε</p><p>φρρρ</p><p>aE</p><p>aE</p><p>��</p><p>��</p><p>)(</p><p>)(</p><p>Substituição de variáveis na integral:</p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>=</p><p>θθρ</p><p>θρ</p><p>d ad</p><p>tg a</p><p>2sec</p><p>Substituindo (07) em (06), temos:</p><p>[ ] [ ]</p><p>[ ]mV</p><p>2</p><p>1</p><p>-1</p><p>)(-cos0-)(-cos45</p><p>cos-</p><p>d</p><p>sec a</p><p>d sec tga</p><p>sec a</p><p>d sec a tga</p><p>2</p><p>4</p><p>a2</p><p>z</p><p>o</p><p>S</p><p>R</p><p>z</p><p>o</p><p>S</p><p>Rz</p><p>4</p><p>0</p><p>o</p><p>S</p><p>R</p><p>z</p><p>4</p><p>0o</p><p>S</p><p>Rz</p><p>4</p><p>0</p><p>33</p><p>23</p><p>o</p><p>S</p><p>R</p><p>z</p><p>4</p><p>0</p><p>33</p><p>2</p><p>o</p><p>S</p><p>R</p><p>aE</p><p>aEaE</p><p>aEaE</p><p>aE</p><p>��</p><p>����</p><p>����</p><p>��</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=∴</p><p>°°=⇒=</p><p>=⇒=</p><p>⋅=</p><p>=</p><p>==</p><p>=</p><p>∫∫</p><p>∫</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>θ</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>θθ</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>θ</p><p>θθθ</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>θ</p><p>θθθ</p><p>π</p><p>πε</p><p>ρ</p><p>π</p><p>θ</p><p>π</p><p>θ</p><p>π</p><p>θ</p><p>π</p><p>θ</p><p>sen</p><p>(04)</p><p>(05)</p><p>(06)</p><p></p><p></p><p></p><p>=⇒=</p><p>°=⇒=</p><p>4a</p><p>00</p><p>πθρ</p><p>θρ</p><p>(07)</p><p>– Página 2.16 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO</p><p>2.8) Uma carga Q (Q > 0) está localizada na origem do sistema de coordenadas. Determinar</p><p>em que ponto na linha definida por x = 1 e z = 3 está yE no seu máximo.</p><p>Resolução:</p><p>� Cálculo do campo elétrico para a carga pontual:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+</p><p>++</p><p>=</p><p>+=++=</p><p>∴</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>==</p><p>2</p><p>zyx</p><p>R</p><p>2</p><p>zyx</p><p>R</p><p>R2</p><p>o</p><p>y10</p><p>3y</p><p>y10R ; 3y</p><p>de unitário um é</p><p>R</p><p>) 3 y, (1, ponto o para origem da dirigido vetor o é</p><p>onde ,</p><p>R4</p><p>Q</p><p>aaa</p><p>a</p><p>aaaR</p><p>Ra</p><p>R</p><p>R</p><p>aE</p><p>���</p><p>�</p><p>����</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>πε</p><p>Substituindo (02) em (01), temos:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅</p><p>+</p><p>=</p><p>⋅</p><p>+</p><p>=</p><p>⋅</p><p>+</p><p>=</p><p>∴</p><p>+</p><p>++</p><p>⋅=⇒</p><p>+</p><p>++</p><p>⋅</p><p>+</p><p>=</p><p>y104</p><p>Q3</p><p>y104</p><p>Q y</p><p>y104</p><p>Q</p><p>y10</p><p>3y</p><p>4</p><p>Q</p><p>y10</p><p>3y</p><p>y104</p><p>Q</p><p>z232</p><p>o</p><p>z</p><p>y232</p><p>o</p><p>y</p><p>x232</p><p>o</p><p>x</p><p>232</p><p>zyx</p><p>o2</p><p>zyx</p><p>22</p><p>o</p><p>aE</p><p>aE</p><p>aE</p><p>aaa</p><p>E</p><p>aaa</p><p>E</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>���</p><p>�</p><p>���</p><p>�</p><p>)(</p><p>)(</p><p>)(</p><p>)()(</p><p>πε</p><p>πε</p><p>πε</p><p>πεπε</p><p>De (03), conclui-se que</p><p>232</p><p>o</p><p>yy</p><p>y10</p><p>y</p><p>4</p><p>Q</p><p>E</p><p>)( +</p><p>⋅==</p><p>πε</p><p>E</p><p>�</p><p>(01)</p><p>(02)</p><p>(03)</p><p>– Página 2.17 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO</p><p>� Cálculo de</p><p>máx</p><p>yE :</p><p>0</p><p>y10</p><p>.y y2 . y102</p><p>3y10</p><p>4</p><p>Q</p><p>0</p><p>y</p><p>E</p><p>32</p><p>212232</p><p>o</p><p>y</p><p>=</p><p>+</p><p>+−+</p><p>⋅⇒=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>)(</p><p>)()(</p><p>πε</p><p>5y y3y10</p><p>y3</p><p>y10</p><p>y10</p><p>yy103y10</p><p>22</p><p>2</p><p>212</p><p>232</p><p>2212232</p><p>±=⇒=+</p><p>=</p><p>+</p><p>+</p><p>⇒+=+</p><p>)(</p><p>)(</p><p>.).()(</p><p>Logo,</p><p>maxyE ocorre nos pontos ( ) ( )3, 5, -1 e 3, 5, 1 .</p><p>– Página 3.1 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA</p><p>CAPÍTULO 03</p><p>DENSIDADE DE FLUXO ELÉTRICO, LEI DE GAUSS E DIVERGÊNCIA</p><p>3.1) Dentro da região cilíndrica ρ ≤ 4 m, a densidade de fluxo elétrico é dada como sendo</p><p>ρρ aD</p><p>�</p><p>� 35= C/m2.</p><p>a) Qual a densidade volumétrica de carga em ρ = 3 m?</p><p>b) Qual a densidade de fluxo elétrico em ρ = 3 m?</p><p>c) Quanto de fluxo elétrico deixa o cilindro, ρ = 3 m, z ≤ 2 5, m?</p><p>d) Quanto de carga existe dentro do cilindro, ρ = 3 m, z ≤ 2 5, m?</p><p>Resolução:</p><p>a) Dados:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>=⇒=</p><p>m3</p><p>55 33</p><p>ρ</p><p>ρρ ρρ DaD</p><p>�</p><p>�</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=⇒=</p><p>=⇒⋅=⇒⋅=</p><p>⋅=⇒+⋅+⋅=•∇=</p><p>3v</p><p>2</p><p>v</p><p>3</p><p>v</p><p>4</p><p>v</p><p>vv</p><p>m</p><p>C 180 3m araP</p><p>20 20</p><p>1</p><p>51</p><p>1</p><p>z</p><p>z11</p><p>ρρ</p><p>ρρρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>∂ρ</p><p>ρ∂</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>∂ρ</p><p>ρρ∂</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂φ</p><p>φ∂</p><p>ρ∂ρ</p><p>ρρ∂</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>)(</p><p>)D(DD)D(</p><p>D</p><p>��</p><p>b) </p><p></p><p></p><p></p><p>=== 2</p><p>3</p><p>m</p><p>C 135 3m, me Logo, 5 que se-Sabe ρρ ρρ aDaD</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>.</p><p>c) Pela Lei de Gauss: ∫∫ ==•=Ψ</p><p>vol</p><p>vinterna</p><p>S</p><p>dvQ ρdSD</p><p>�</p><p>[ ]C 4050 .5 2 .3 . 5</p><p>2,5</p><p>52z</p><p>2</p><p>0</p><p>dz d 45</p><p>m3</p><p>dz d 5</p><p>dz d</p><p>5</p><p>onde ,</p><p>4</p><p>3</p><p>2,5</p><p>52z</p><p>2</p><p>0</p><p>3</p><p>S</p><p>aa</p><p>adS</p><p>aD</p><p>dSD</p><p>ππ</p><p>π</p><p>φ</p><p>φρ</p><p>ρ</p><p>φρρ</p><p>φρ</p><p>ρ</p><p>ρρ</p><p>π</p><p>φ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>=Ψ⇒=Ψ⇒∫</p><p>−=</p><p>∫</p><p>=</p><p>=</p><p>=Ψ</p><p>•=Ψ∴</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>=</p><p>•=Ψ</p><p>∫ ∫</p><p>∫</p><p>−= =</p><p>,</p><p>)(</p><p>)()(</p><p>,</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>d) Pela Lei de Gauss, ∫∫ ==•=Ψ</p><p>vol</p><p>vinterna</p><p>S</p><p>dvQ ρdSD</p><p>�</p><p>.</p><p>Logo, [ ]C 4050Qinterna π=</p><p>– Página 3.2 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA</p><p>3.2) Dado o campo ( )</p><p></p><p></p><p></p><p>+−= 2</p><p>2</p><p>2 m</p><p>C 2</p><p>20</p><p>φρ φφ</p><p>ρ</p><p>aaD</p><p>��</p><p>�</p><p>sensen , encontrar a carga total que se</p><p>encontra dentro da região, 1 2 0 2 0 1< < < < < <ρ φ π, / , .z</p><p>Resolução:</p><p>Dados:</p><p>( )</p><p>220</p><p>e</p><p>20</p><p>2</p><p>20</p><p>22</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=−=∴</p><p>+=+−=</p><p>ρ</p><p>φ</p><p>ρ</p><p>φ</p><p>φφ</p><p>ρ</p><p>φρ</p><p>φφρρφρ</p><p>sen</p><p>D</p><p>sen</p><p>D</p><p>DDsensen aaaaD</p><p>����</p><p>�</p><p>De acordo com a Lei de Gauss e com o Teorema da Divergência:</p><p>∫∫ •∇=•=</p><p>volS</p><p>interna dvQ DdSD</p><p>��</p><p>(01)</p><p>� Cálculo de D</p><p>��</p><p>•∇ :</p><p>( )φ</p><p>ρρ</p><p>φ</p><p>ρ</p><p>φ</p><p>φ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>φ</p><p>ρ</p><p>φ</p><p>φ</p><p>ρρρρ</p><p>φ</p><p>ρ</p><p>φ</p><p>∂φ</p><p>∂</p><p>ρρ</p><p>φ</p><p>∂ρ</p><p>∂</p><p>ρ</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂φ</p><p>φ∂</p><p>ρ∂ρ</p><p>ρρ∂</p><p>ρ</p><p>231</p><p>1023010</p><p>22</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>120</p><p>24020</p><p>22</p><p>201120</p><p>2201201</p><p>z</p><p>z11</p><p>333</p><p>3</p><p>33</p><p>2</p><p>22</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>cos</p><p>cos</p><p>cos</p><p>cos</p><p>cossen</p><p>cos</p><p>sen</p><p>sensen</p><p>DD)D(</p><p>+=•∇⇒+=•∇</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+−=•∇</p><p>+=•∇</p><p>⋅⋅+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−⋅−=•∇</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅⋅+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−⋅⋅=•∇</p><p>+⋅+⋅=•∇</p><p>DD</p><p>D</p><p>D</p><p>D</p><p>D</p><p>D</p><p>����</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>(02)</p><p>– Página 3.3 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA</p><p>Substituindo (02) em (01), temos:</p><p>( )</p><p>[ ]</p><p>[ ]C</p><p>2</p><p>5</p><p>Q 1</p><p>2</p><p>10</p><p>2</p><p>10</p><p>Q</p><p>1</p><p>0zz</p><p>2</p><p>2310</p><p>Q</p><p>dz d d 231</p><p>10</p><p>Q</p><p>internainterna</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>1</p><p>interna</p><p>1</p><p>0z</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>1</p><p>3interna</p><p>ππ</p><p>φ</p><p>φ</p><p>ρ</p><p>φρρφ</p><p>ρ</p><p>π</p><p>φρ</p><p>π</p><p>φ ρ</p><p>=⇒+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+−=</p><p>=</p><p>⋅</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+⋅</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+=</p><p>==</p><p>= = =</p><p>∫ ∫ ∫</p><p>sen</p><p>cos</p><p>3.3) Dado o campo</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>= 2m</p><p>C</p><p>4r</p><p>20</p><p>θ</p><p>φ</p><p>θ aD</p><p>�</p><p>�</p><p>sensen , na região, 3 4< <r , 0 4< <θ π / ,</p><p>0 2< <φ π , determinar a carga total contida no interior desta região, por dois modos</p><p>diferentes</p><p>Resolução:</p><p>Dados: </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=⇒=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>4r</p><p>20</p><p>4r</p><p>20 φ</p><p>θ</p><p>φ</p><p>θ θθθθ sensenDDsensen aaD</p><p>��</p><p>�</p><p>De acordo com a Lei de Gauss e com o Teorema da Divergência:</p><p>∫∫ •∇=•=</p><p>volS</p><p>interna dvQ DdSD</p><p>��</p><p>1o modo: ∫ •∇=</p><p>vol</p><p>interna dvQ D</p><p>�</p><p>� Cálculo de D</p><p>��</p><p>•∇ :</p><p>∂φ</p><p>φ∂</p><p>θ∂θ</p><p>θθ∂</p><p>θ∂</p><p>∂ D</p><p>r</p><p>1D</p><p>r</p><p>1</p><p>r</p><p>rDr</p><p>r</p><p>1</p><p>2</p><p>2 sen</p><p>)sen(</p><p>sen</p><p>)(</p><p>++=•∇ D</p><p>��</p><p>– Página 3.4 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA</p><p>( )</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅⋅=•∇</p><p>⋅</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅⋅=•∇</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅⋅=•∇</p><p>4r</p><p>40</p><p>2</p><p>4r</p><p>20</p><p>r</p><p>1</p><p>4r</p><p>20</p><p>r</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>φ</p><p>θ</p><p>θθ</p><p>φ</p><p>θ</p><p>φ</p><p>θ</p><p>∂θ</p><p>∂</p><p>θ</p><p>sencos</p><p>cossensen</p><p>sen</p><p>sensen</p><p>sen</p><p>D</p><p>D</p><p>D</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>� Cálculo de internaQ :</p><p>∫ ∫ ∫</p><p>= = =</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅⋅=</p><p>4</p><p>3r</p><p>4</p><p>0</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>2interna d drd r</p><p>4r</p><p>40</p><p>Q</p><p>π</p><p>θ</p><p>π</p><p>φ</p><p>φθθ</p><p>φ</p><p>θ sensencos</p><p>[ ]</p><p>[ ]</p><p>( )</p><p>[ ]C 40Q</p><p>0</p><p>2</p><p>40</p><p>2</p><p>10Q</p><p>4</p><p>42</p><p>2</p><p>1</p><p>20Q</p><p>d</p><p>4</p><p>d 220Q</p><p>d</p><p>4</p><p>d 2r20Q</p><p>d</p><p>4</p><p>d dr40Q</p><p>interna</p><p>interna</p><p>2</p><p>0</p><p>4</p><p>0interna</p><p>4</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>interna</p><p>4</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>4</p><p>3rinterna</p><p>4</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>4</p><p>3r</p><p>interna</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>°−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−⋅</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>°−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅−=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−⋅⋅</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−⋅=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅⋅=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅⋅⋅=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅⋅=</p><p>=</p><p>=</p><p>= =</p><p>= =</p><p>=</p><p>= ==</p><p>∫ ∫</p><p>∫ ∫</p><p>∫ ∫∫</p><p>coscoscoscos</p><p>coscos</p><p>sensen</p><p>sencossen</p><p>sencossen</p><p>ππ</p><p>φ</p><p>θ</p><p>φ</p><p>φ</p><p>θθ</p><p>φ</p><p>φ</p><p>θθθ</p><p>φ</p><p>φ</p><p>θθθ</p><p>π</p><p>φ</p><p>π</p><p>θ</p><p>π</p><p>θ</p><p>π</p><p>φ</p><p>π</p><p>θ</p><p>π</p><p>φ</p><p>π</p><p>θ</p><p>π</p><p>φ</p><p>2o modo: ∫ •=</p><p>S</p><p>internaQ dSD</p><p>�</p><p>∫∫∫∫ •+•+•=•=</p><p>BaseTopoLateralS</p><p>internaQ dSDdSDdSDdSD</p><p>����</p><p>(01)</p><p>Para a Lateral ) 4 (</p><p>drd</p><p>4</p><p>20</p><p>drd r</p><p>2</p><p>πθ</p><p>φ</p><p>φ</p><p>θ</p><p>φθ θ</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅=•∴</p><p>=</p><p>sensen</p><p>sen</p><p>dSD</p><p>adS</p><p>�</p><p>�</p><p>(02)</p><p>– Página 3.5 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA</p><p>Para o Topo ) 4r (</p><p>0</p><p>d d r r</p><p>2</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=•</p><p>=</p><p>dSD</p><p>adS</p><p>�</p><p>�</p><p>φθθsen</p><p>(03)</p><p>Para a Base ) 3r</p><p>0</p><p>d d r r</p><p>2</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=•</p><p>=</p><p>(</p><p>sen</p><p>dSD</p><p>adS</p><p>�</p><p>�</p><p>φθθ</p><p>(04)</p><p>Substituindo (02), (03) e (04) em (01), temos:</p><p>( )</p><p>φ</p><p>φ</p><p>φ</p><p>φ</p><p>θ</p><p>π</p><p>φ</p><p>π</p><p>φ</p><p>πθ</p><p>d</p><p>4</p><p>dr10Q</p><p>drd</p><p>4</p><p>20Q</p><p>2</p><p>1</p><p>4</p><p>3r</p><p>interna</p><p>2</p><p>0</p><p>4</p><p>3r</p><p>2</p><p>4</p><p>interna</p><p>∫∫</p><p>∫ ∫</p><p>==</p><p>= =</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅=</p><p>sen</p><p>sensen</p><p>[ ]</p><p>[ ]C 40Q 04</p><p>2</p><p>410Q</p><p>4</p><p>4r10Q</p><p>internainterna</p><p>2</p><p>0</p><p>4</p><p>3rinterna</p><p>=⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>°+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−⋅=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−⋅⋅=</p><p>=</p><p>=</p><p>coscos</p><p>cos</p><p>π</p><p>φ</p><p>π</p><p>φ</p><p>3.4) Uma casca esférica não condutora, de raio interno a e raio externo b, uniformemente</p><p>carregada com uma densidade volumétrica ρv . Determine o campo elétrico em função</p><p>do raio r.</p><p>Resolução:</p><p>Pela Lei de Gauss: ∫∫ ==•</p><p>vol</p><p>vinterna</p><p>S</p><p>dvQ ρdSD</p><p>�</p><p>� Seja a superfície Gaussiana esférica de raio r < a:</p><p>0 0Q pois ,0 1interna1 =⇒== ED</p><p>��</p><p>– Página 3.6 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA</p><p>� Seja a superfície Gaussiana esférica de raio a < r < b:</p><p>∫∫ ==•</p><p>vol</p><p>vinterna</p><p>S</p><p>dvQ ρdSD</p><p>�</p><p>, onde</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>==</p><p>=</p><p>r</p><p>2</p><p>r</p><p>rr</p><p>d d r aadS</p><p>aD</p><p>φθθsendS</p><p>D</p><p>r</p><p>2</p><p>33</p><p>v</p><p>2</p><p>2</p><p>33</p><p>v</p><p>r</p><p>33</p><p>v</p><p>2</p><p>r</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>r</p><p>r</p><p>2</p><p>v</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>r</p><p>r</p><p>r</p><p>3r</p><p>r</p><p>3</p><p>r</p><p>3</p><p>4</p><p>r 4</p><p>d d dr r d d r</p><p>aD</p><p>)()(</p><p>D)(D</p><p>sensenD</p><p>aa</p><p>a</p><p>a</p><p>−</p><p>⋅=⇒</p><p>−</p><p>⋅=⇒−⋅⋅=⋅</p><p>=⋅∴ ∫ ∫ ∫∫ ∫</p><p>= = == =</p><p>ρρπ</p><p>ρπ</p><p>φθθρφθθ</p><p>π</p><p>φ</p><p>π</p><p>θ</p><p>π</p><p>φ</p><p>π</p><p>θ</p><p>Mas ED ε= e oεε = .</p><p>Portanto: r</p><p>2</p><p>33</p><p>o</p><p>v</p><p>2</p><p>r</p><p>r</p><p>3</p><p>aE</p><p>)( a−</p><p>⋅=</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>� Seja a superfície Gaussiana esférica de raio r ≥ b:</p><p>∫∫ ==•</p><p>vol</p><p>vinterna</p><p>S</p><p>dvQ ρdSD</p><p>�</p><p>, onde</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>==</p><p>=</p><p>r</p><p>2</p><p>r</p><p>rr</p><p>d d r aadS</p><p>aD</p><p>φθθsendS</p><p>D</p><p>r</p><p>2</p><p>33</p><p>v</p><p>3</p><p>2</p><p>33</p><p>v</p><p>r</p><p>33</p><p>v</p><p>2</p><p>r</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>0 r</p><p>2</p><p>v</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>r</p><p>r3r33</p><p>4</p><p>r 4</p><p>d d dr r d d r</p><p>aD</p><p>)()(</p><p>D)(D</p><p>sensenD</p><p>abab</p><p>ab</p><p>b</p><p>a</p><p>−</p><p>⋅=⇒</p><p>−</p><p>⋅=⇒−⋅⋅=⋅</p><p>=⋅∴ ∫ ∫ ∫∫ ∫</p><p>= = == =</p><p>ρρπ</p><p>ρπ</p><p>φθθρφθθ</p><p>π</p><p>φ</p><p>π</p><p>θ</p><p>π</p><p>φ</p><p>π</p><p>θ</p><p>Mas ED ε= e oεε = .</p><p>Portanto: r</p><p>2</p><p>33</p><p>o</p><p>v</p><p>3</p><p>r3</p><p>aE</p><p>)( ab −</p><p>⋅=</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>Área da esfera Volume da casca esférica</p><p>Área da esfera Volume da casca esférica</p><p>– Página 3.7 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA</p><p>3.5) Ao longo do eixo z existe uma distribuição linear uniforme de carga com [ ]m</p><p>C 4L πρ = ,</p><p>e no plano z = 1 m existe uma distribuição superficial uniforme de carga com</p><p></p><p></p><p></p><p>= 2S m</p><p>C 20ρ . Determinar o fluxo total saindo da superfície esférica de raio 2 m,</p><p>centrada na origem</p><p>Resolução:</p><p>Lei de Gauss: internaQ=Ψ , onde PlanoLinhainterna QQQ += (01)</p><p>� Cálculo de LinhaQ :</p><p>[ ] [ ]C 16Qz4Q</p><p>dz 4QdLQ</p><p>Linha</p><p>2</p><p>2zLinha</p><p>2</p><p>2z</p><p>Linha</p><p>L</p><p>LLinha</p><p>ππ</p><p>πρ</p><p>=⇒⋅=</p><p>=⇒=</p><p>−=</p><p>−=</p><p>∫∫</p><p>� Cálculo de PlanoQ :</p><p>[ ] [ ]C 60Q</p><p>2</p><p>20Q</p><p>d d 20QdSQ</p><p>Plano</p><p>3</p><p>0</p><p>2</p><p>2</p><p>0Plano</p><p>2</p><p>0</p><p>3</p><p>0</p><p>Plano</p><p>S</p><p>SPlano</p><p>π</p><p>ρ</p><p>φ</p><p>φρρρ</p><p>ρ</p><p>π</p><p>φ</p><p>π</p><p>φ ρ</p><p>=⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅⋅=</p><p>=⇒=</p><p>=</p><p>=</p><p>= =</p><p>∫ ∫∫</p><p>Substituindo (02) e (03) em (01), temos:</p><p>[ ]C 76 6016Q interna πππ =Ψ⇒+==Ψ</p><p>2</p><p>-2</p><p>(03)</p><p>(02)</p><p>– Página 3.8 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA</p><p>3.6) Se uma carga Q está na origem de um sistema de coordenadas esféricas, calcule o fluxo</p><p>elétrico ψ que cruza parte de uma superfície</p><p>esférica, centrada na origem e descrita por</p><p>βφα << .</p><p>Resolução:</p><p>1o modo: Lei de Gauss: ∫∫ ==⋅•=Ψ</p><p>vol</p><p>vinterna</p><p>S</p><p>dvQ ρdSD</p><p>�</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>=</p><p>•=Ψ ∫</p><p>r</p><p>2</p><p>r2</p><p>S d d r</p><p>r4</p><p>Q</p><p>onde ,</p><p>adS</p><p>aD</p><p>dSD</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>φθθ</p><p>π</p><p>sen</p><p>( )</p><p>∫ ∫</p><p>∫ ∫</p><p>= =</p><p>= =</p><p>⋅=Ψ</p><p>⋅</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=Ψ</p><p>β</p><p>αφ</p><p>π</p><p>θ</p><p>β</p><p>αφ</p><p>π</p><p>θ</p><p>θθφ</p><p>π</p><p>φθθ</p><p>π</p><p>0</p><p>0</p><p>2</p><p>2</p><p>d d</p><p>4</p><p>Q</p><p>d d r</p><p>r4</p><p>Q</p><p>sen</p><p>sen</p><p>[ ] [ ]</p><p>[ ] [ ] ( ) [ ]C</p><p>2</p><p>Q</p><p>0</p><p>4</p><p>Q</p><p>4</p><p>Q</p><p>0</p><p>αβ</p><p>π</p><p>παβ</p><p>π</p><p>θφ</p><p>π</p><p>π</p><p>θ</p><p>β</p><p>αφ</p><p>−⋅=Ψ⇒°+−⋅−⋅=Ψ</p><p>−⋅⋅=Ψ ==</p><p>coscos</p><p>cos</p><p>2o modo:</p><p>Considerando a esfera de raio r na sua totalidade:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>==</p><p>=Ψ</p><p>2</p><p>esf</p><p>esf</p><p>r4Sesfera da Área</p><p>Q</p><p>π</p><p>(01)</p><p>Considerando somente a casca esférica α φ β< < : ⇒ cascaΨ = ?</p><p>[ ] [ ]</p><p>( )αβ</p><p>θφθθφ</p><p>φθθ</p><p>π</p><p>θ</p><p>β</p><p>αφ</p><p>β</p><p>αφ</p><p>π</p><p>θ</p><p>β</p><p>αφ</p><p>π</p><p>θ</p><p>−=∴</p><p>−⋅=⇒⋅=</p><p>===</p><p>==</p><p>= =</p><p>= =</p><p>∫ ∫</p><p>∫ ∫∫</p><p>2</p><p>casca</p><p>0</p><p>2</p><p>casca</p><p>0</p><p>2</p><p>casca</p><p>0</p><p>2</p><p>cascaS</p><p>cascacasca</p><p>r2S</p><p>rS d rdS</p><p>d d rdSScasca da Área</p><p>cossen</p><p>sen</p><p>(02)</p><p>– Página 3.9 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA</p><p>Através de uma regra de três, encontramos:</p><p>esf</p><p>casca</p><p>esfcasca S</p><p>S</p><p>⋅Ψ=Ψ . (03)</p><p>Substituindo (02) e (03) em (01),temos:</p><p>( ) ( )αβ</p><p>ππ</p><p>αβ</p><p>−⋅=Ψ⇒</p><p>−</p><p>⋅=Ψ</p><p>2</p><p>Q</p><p>r4</p><p>r2</p><p>Q casca2</p><p>2</p><p>casca</p><p>3.7) Dado o campo</p><p>m</p><p>C</p><p>2</p><p>20 2 </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>= φρ</p><p>φ</p><p>aD</p><p>�</p><p>�</p><p>cos , na região, 21 << ρ , 20 /πφ << ,</p><p>3z0 << , determinar a carga total contida no interior da região.</p><p>Resolução:</p><p>Dados:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=⇒=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>dzdddv</p><p>2</p><p>20</p><p>2</p><p>20</p><p>φρρ</p><p>ρ</p><p>φ</p><p>ρ</p><p>φ</p><p>φφφφ</p><p>cos</p><p>DDcos aaD</p><p>��</p><p>�</p><p>De acordo com a Lei de Gauss e com o Teorema da Divergência:</p><p>∫∫ •∇=•=</p><p>volS</p><p>interna dvQ DdSD</p><p>��</p><p>1o modo: ∫ •∇=</p><p>vol</p><p>interna dvQ D</p><p>�</p><p>� Cálculo de D</p><p>��</p><p>•∇ :</p><p>z</p><p>z11</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂φ</p><p>φ∂</p><p>ρ∂ρ</p><p>ρρ∂</p><p>ρ</p><p>DD)D(</p><p>+⋅+⋅=•∇ D</p><p>��</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅⋅=•∇</p><p>ρ</p><p>φ</p><p>∂φ</p><p>∂</p><p>ρ</p><p>2</p><p>20</p><p>1</p><p>cos</p><p>D</p><p>��</p><p>2</p><p>2</p><p>10</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>201</p><p>ρ</p><p>φ</p><p>φ</p><p>ρρ</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−=•∇⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−⋅−=•∇</p><p>sen</p><p>sen DD</p><p>����</p><p>– Página 3.10 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA</p><p>� Cálculo de internaQ :</p><p>∫ ∫ ∫</p><p>= = = </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅−=</p><p>3</p><p>0z</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>1</p><p>2interna dz d d</p><p>2</p><p>10</p><p>Q</p><p>π</p><p>φ ρ</p><p>φρρ</p><p>φ</p><p>ρ</p><p>sen</p><p>[ ] [ ]</p><p>( ) ( ) [ ]C 183,12Q302</p><p>4</p><p>21210Q</p><p>z</p><p>2</p><p>210Q</p><p>dz</p><p>2</p><p>d</p><p>10Q</p><p>internainterna</p><p>3</p><p>0z</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>1interna</p><p>2</p><p>0</p><p>3</p><p>0z</p><p>2</p><p>1</p><p>interna</p><p>−=⇒⋅</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>°+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−⋅−−=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−−=</p><p>⋅</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅−=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>= ==</p><p>∫ ∫∫</p><p>coscoslnln</p><p>.cos.ln.</p><p>sen</p><p>π</p><p>φ</p><p>ρ</p><p>φ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>π</p><p>φ</p><p>ρ</p><p>π</p><p>φρ</p><p>2o modo: ∫ •=</p><p>S</p><p>internaQ dSD</p><p>�</p><p>∫∫∫∫∫∫∫ •+•+•+•+•+•=•=</p><p>BaseTopoFundoFrenteDireita Lat.daLat.EsquerS</p><p>internaQ dSDdSDdSDdSDdSDdSDdSD</p><p>�������</p><p>(01)</p><p>Para a Lateral Esquerda</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅−=•</p><p>−=</p><p>dzd</p><p>2</p><p>20</p><p>dz d</p><p>ρ</p><p>φ</p><p>ρ</p><p>ρ φ</p><p>cosdSD</p><p>adS</p><p>�</p><p>�</p><p>(02)</p><p>Para a Lateral Direita</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅=•</p><p>=</p><p>dzd</p><p>2</p><p>20</p><p>dz d</p><p>ρ</p><p>φ</p><p>ρ</p><p>ρ φ</p><p>cosdSD</p><p>adS</p><p>�</p><p>�</p><p>(03)</p><p>Para a Frente</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=•</p><p>=</p><p>0</p><p>dzd</p><p>dSD</p><p>adS</p><p>�</p><p>�</p><p>ρφρ</p><p>(04)</p><p>Para o Fundo</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=•</p><p>−=</p><p>0</p><p>dzd</p><p>dSD</p><p>adS</p><p>�</p><p>�</p><p>ρφρ</p><p>(05)</p><p>Para o Topo</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=•</p><p>=</p><p>0</p><p>dd z</p><p>dSD</p><p>adS</p><p>�</p><p>�</p><p>φρρ</p><p>(06)</p><p>Para a Base</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=•</p><p>−=</p><p>0</p><p>dd z</p><p>dSD</p><p>adS</p><p>�</p><p>�</p><p>φρρ</p><p>(07)</p><p>– Página 3.11 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA</p><p>Substituindo (02), (03), (04), (05), (06) e (07) em (01), temos:</p><p>( )</p><p>( )</p><p>( )</p><p>( )</p><p>[ ] [ ] [ ] [ ]</p><p>[ ] [ ] [ ]C 181,12Q 122301260Q</p><p>z210z20Q</p><p>dz</p><p>d</p><p>2</p><p>2</p><p>20dz</p><p>d</p><p>20Q</p><p>dzd</p><p>2</p><p>1</p><p>20dzd</p><p>2</p><p>1</p><p>20Q</p><p>internainterna</p><p>3</p><p>0z</p><p>2</p><p>1</p><p>3</p><p>0z</p><p>2</p><p>1interna</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>3</p><p>0z</p><p>3</p><p>0z</p><p>interna</p><p>3</p><p>0z</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>0z</p><p>2</p><p>1</p><p>0</p><p>interna</p><p>−=⇒−+−−=</p><p>+−=</p><p>⋅⋅+⋅−=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅−=</p><p>====</p><p>= = ==</p><p>= =</p><p>=</p><p>= =</p><p>=</p><p>∫ ∫ ∫∫</p><p>∫ ∫∫ ∫</p><p>lnlnlnln</p><p>.ln.ln</p><p>.</p><p>coscos</p><p>ρρ</p><p>ρ ρ</p><p>ρ</p><p>πφ</p><p>ρ</p><p>φ</p><p>ρρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>φ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>φ</p><p>ρ</p><p>3.8) Uma carga pontual de 6µ [C] está localizada na origem do sistema de coordenadas, uma</p><p>densidade linear uniforme de carga de 180η [ ]m</p><p>C está distribuída ao longo do eixo x, e</p><p>uma densidade superficial uniforme de carga de 25η [ ]2mC está distribuída sobre o</p><p>plano z = 0.</p><p>a) Determinar D</p><p>�</p><p>em A (0,0,4);</p><p>b) Determinar D</p><p>�</p><p>em B (1,2,4);</p><p>c) Determinar o fluxo elétrico total deixando a superfície da esfera de 4 m de raio,</p><p>centralizada na origem.</p><p>Resolução:</p><p>a)</p><p>Dados:</p><p>[ ]</p><p>[ ]</p><p>( )</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>400A</p><p>m</p><p>C 25</p><p>m</p><p>C 180</p><p>C 6Q</p><p>2S</p><p>L</p><p>,,</p><p>ηρ</p><p>ηρ</p><p>µ</p><p>A densidade de fluxo total D</p><p>�</p><p>produzida no ponto A será a soma das densidades de fluxo</p><p>produzidas pela carga Q, pela distribuição linear ρL e pela distribuição superficial ρS.</p><p>PLQPlanoLinhaCarga DDDDDDDD</p><p>��������</p><p>++=⇒++=∴ (01)</p><p>� Cálculo de QD</p><p>�</p><p>:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>π</p><p>=</p><p>Ra</p><p>R</p><p>R</p><p>aD</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>de unitário um é</p><p>R</p><p>A ponto o para Q carga da dirigido vetor o é</p><p>onde,</p><p>R4</p><p>Q</p><p>R</p><p>R2Q</p><p>– Página 3.12 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA</p><p></p><p></p><p></p><p>µ</p><p>π</p><p>=⇒</p><p>⋅π</p><p>×</p><p>=∴</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>==</p><p>∴</p><p>−</p><p>2zQz2</p><p>6</p><p>Q</p><p>zR</p><p>z</p><p>m</p><p>C</p><p>32</p><p>3</p><p>44</p><p>106</p><p>4R ; 4</p><p>aDaD</p><p>aa</p><p>aR</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>� Cálculo de LD</p><p>�</p><p>:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>==</p><p>∴</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>==</p><p>z</p><p>z</p><p>L</p><p>L</p><p>4 ; 4</p><p>de unitário um é</p><p>A ponto o para cargas de linha da dirigido vetor o é</p><p>onde</p><p>2</p><p>aa</p><p>a</p><p>a</p><p>aD</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρρ</p><p>ρ</p><p>ρρ</p><p>ρ</p><p>πρ</p><p>ρ</p><p>,</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=⇒</p><p>⋅</p><p>×</p><p>=∴</p><p>−</p><p>2zLz</p><p>9</p><p>L</p><p>m</p><p>C</p><p>2</p><p>45</p><p>42</p><p>10180 η</p><p>ππ</p><p>aDaD</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>(03)</p><p>� Cálculo de PD</p><p>�</p><p>:</p><p></p><p></p><p></p><p>=⇒</p><p>×</p><p>=∴</p><p>=⇒=</p><p>−</p><p>2zPz</p><p>9</p><p>P</p><p>zNNN</p><p>S</p><p>P</p><p>m</p><p>C</p><p>2</p><p>25</p><p>2</p><p>1025</p><p>A ponto do direcão na plano ao normal vetor o é onde</p><p>2</p><p>η</p><p>ρ</p><p>aDaD</p><p>aaaaD</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>����</p><p>�</p><p>,</p><p>Substituindo (02), (03) e (04) em (01), temos:</p><p></p><p></p><p></p><p>=⇒++=⇒++= 2zzzPLQ m</p><p>C 04950</p><p>2</p><p>25</p><p>2</p><p>45</p><p>32</p><p>3 µη</p><p>π</p><p>η</p><p>π</p><p>µ</p><p>,DaaaDDDDD</p><p>�</p><p>���</p><p>�����</p><p>b)</p><p>Dados:</p><p>[ ]</p><p>[ ]</p><p>( )</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>421B</p><p>m</p><p>C 25</p><p>m</p><p>C 180</p><p>C 6Q</p><p>2S</p><p>L</p><p>,,</p><p>ηρ</p><p>ηρ</p><p>µ</p><p>A densidade de fluxo total D</p><p>�</p><p>produzida no ponto B será a soma das densidades de fluxo</p><p>produzidas pela carga Q, carga Q, pela distribuição linear ρL e pela distribuição superficial ρS.</p><p>PLQPlanoLinhaCarga DDDDDDDD</p><p>��������</p><p>++=⇒++=∴ (01)</p><p>(02)</p><p>(04)</p><p>– Página 3.13 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA</p><p>� Cálculo de QD</p><p>�</p><p>:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>==</p><p>Ra</p><p>R</p><p>R</p><p>aD</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>de unitário um é</p><p>R</p><p>B ponto o para Q carga da dirigido vetor o é</p><p>onde</p><p>R4</p><p>Q</p><p>R</p><p>R2Q ,</p><p>π</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>++=∴</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> ++</p><p>⋅</p><p>×</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>++</p><p>=</p><p>=++=</p><p>∴</p><p>−</p><p>2zyxQ</p><p>zyx</p><p>6</p><p>Q</p><p>zyx</p><p>R</p><p>zyx</p><p>m</p><p>C 8419929964</p><p>21</p><p>42</p><p>214</p><p>106</p><p>21</p><p>42</p><p>21R ; 42</p><p>η</p><p>π</p><p>aaaD</p><p>aaa</p><p>D</p><p>aaa</p><p>a</p><p>aaaR</p><p>���</p><p>�</p><p>���</p><p>�</p><p>���</p><p>�</p><p>���</p><p>�</p><p>,,,</p><p>� Cálculo de LD</p><p>�</p><p>:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+=⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> +</p><p>⋅</p><p>⋅</p><p>⋅</p><p>=∴</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+</p><p>=</p><p>=+=</p><p>∴</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>==</p><p>−</p><p>2zyL</p><p>zy</p><p>9</p><p>L</p><p>zy</p><p>zy</p><p>L</p><p>L</p><p>m</p><p>C 735862</p><p>20</p><p>42</p><p>202</p><p>10180</p><p>20</p><p>42</p><p>20 ; 42</p><p>de unitário um é</p><p>B ponto o para (1,0,0) ponto</p><p>cargas, de linha da dirigido vetor o é</p><p>onde</p><p>2</p><p>η</p><p>π</p><p>ρρ</p><p>ρ</p><p>ρρ</p><p>ρ</p><p>πρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>aaD</p><p>aa</p><p>D</p><p>aa</p><p>a</p><p>aa</p><p>a</p><p>aD</p><p>��</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>���</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>,,</p><p>,</p><p>� Cálculo de PD</p><p>�</p><p>:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=⇒</p><p>⋅</p><p>=∴</p><p>=⇒=</p><p>−</p><p>2zPz</p><p>9</p><p>P</p><p>zNNN</p><p>S</p><p>P</p><p>m</p><p>C</p><p>2</p><p>25</p><p>2</p><p>1025</p><p>B ponto do direcão na plano ao normal vetor o é onde</p><p>2</p><p>η</p><p>ρ</p><p>aDaD</p><p>aaaaD</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>����</p><p>�</p><p>,</p><p>Substituindo (02), (03) e (04) em (01), temos:</p><p>( ) ( ) zzyzyxPLQ 2</p><p>25</p><p>7358628419929964 aaaaaaDDDDD</p><p>������</p><p>�����</p><p>+++++=⇒++= ,,,,,</p><p></p><p></p><p></p><p>++=∴ 2zyx m</p><p>C 07387812964 ηaaaD</p><p>���</p><p>�</p><p>,,,</p><p>(03)</p><p>(04)</p><p>(02)</p><p>– Página 3.14 –</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA</p><p>c)</p><p>O fluxo total que deixa a esfera será a soma</p><p>dos fluxos produzidos pela carga Q, pela</p><p>distribuição linear ρL e pela distribuição</p><p>superficial ρS.</p><p>De acordo com a Lei de Gauss: internaQ=Ψ .</p><p>PLPLPlanoLinhaCarga QQ6QQQ ++=Ψ⇒++=Ψ⇒Ψ+Ψ+Ψ=Ψ∴ µ (01)</p><p>� Cálculo de LQ :</p><p>[ ] [ ]C 1440Q8QxQdxQ</p><p>dx dL ondedLQ</p><p>LLL</p><p>4</p><p>4xLL</p><p>4</p><p>4x</p><p>LL</p><p>L</p><p>LL</p><p>ηρρρ</p><p>ρ</p><p>=⇒=⇒⋅=⇒=∴</p><p>==</p><p>−=</p><p>−=</p><p>∫</p><p>∫ ,</p><p>� Cálculo de PQ :</p><p>[ ]</p><p>[ ]C 400Q2Q</p><p>2</p><p>Qd d Q</p><p>d d dS ondedSQ</p><p>SSS</p><p>2</p><p>0</p><p>4</p><p>0</p><p>2</p><p>SS</p><p>2</p><p>0</p><p>4</p><p>0</p><p>SS</p><p>S</p><p>SP</p><p>ηππρ</p><p>φ</p><p>ρ</p><p>ρφρρρ</p><p>φρρρ</p><p>π</p><p>φ</p><p>ρ</p><p>π</p><p>φ ρ</p><p>=⇒=</p><p>⋅</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅=⇒⋅=∴</p><p>==</p><p>=</p><p>== =</p><p>∫ ∫</p><p>∫ ,</p><p>Substituindo (02) e (03) em (01), temos:</p><p>[ ]C 78 400 14406QQ6 PL µηπηµµ ,=Ψ⇒++=Ψ⇒++=Ψ</p><p>(02)</p><p>(03)</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0044 –– EENNEERRGGIIAA EE PPOOTTEENNCCIIAALL</p><p>– Página 4.1 –</p><p>CAPÍTULO 04</p><p>ENERGIA E POTENCIAL</p><p>4.1) A densidade de fluxo elétrico é dada por: [ ]2</p><p>z mCz2310 aaaD</p><p>���</p><p>�</p><p>ρρ φρ −+= . Encontre o</p><p>fluxo elétrico total efluente do volume cilíndrico limitado por um cilindro de 2 m de raio</p><p>e 4 m de altura, cujo eixo é o eixo z e cuja base se encontra no plano z = 1 m.</p><p>Resolução:</p><p>Dados:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>−+=</p><p>dz d d dv</p><p>z2310 z</p><p>φρρ</p><p>ρρ φρ aaaD</p><p>���</p><p>�</p><p>De acordo com o Teorema da Divergência e com a Lei de Gauss:</p><p>∫∫ •∇=•=Ψ</p><p>volS</p><p>dvDdSD</p><p>��</p><p>(02)</p><p>� Cálculo de D</p><p>��</p><p>•∇ :</p><p>( ) ( ) ( ) ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>∂</p><p>∂</p><p>ρ</p><p>∂φ</p><p>∂</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>∂ρ</p><p>∂</p><p>ρ</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂φ</p><p>φ∂</p><p>ρ∂ρ</p><p>ρρ∂</p><p>ρ</p><p>2</p><p>10</p><p>z2</p><p>z</p><p>3</p><p>1</p><p>10</p><p>1</p><p>z</p><p>z11</p><p>−=•∇⇒−⋅+⋅+⋅=•∇</p><p>+⋅+⋅=•∇</p><p>DD</p><p>D</p><p>����</p><p>�� DD)D(</p><p>Substituindo (01) e (03) em (02):</p><p>( )</p><p>[ ] [ ] [ ]C</p><p>3</p><p>352</p><p>8</p><p>3</p><p>16</p><p>10z</p><p>3</p><p>2</p><p>10</p><p>dzdd210dz d d 2</p><p>10</p><p>5</p><p>1z</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>3</p><p>2</p><p>0</p><p>5</p><p>1z</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>5</p><p>1z</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>π</p><p>πφ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>φρρφρρρ</p><p>ρ</p><p>π</p><p>φ</p><p>ρ</p><p>π</p><p>φρ</p><p>π</p><p>φ ρ</p><p>=Ψ⇒⋅</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−=Ψ⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−=Ψ</p><p>⋅⋅−=Ψ⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−=Ψ</p><p>==</p><p>=</p><p>= === = =</p><p>∫ ∫∫∫ ∫ ∫</p><p>..</p><p>(03)</p><p>(01)</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0044 –– EENNEERRGGIIAA EE PPOOTTEENNCCIIAALL</p><p>– Página 4.2 –</p><p>4.2) Dentro da esfera de raio r = 1 m, o potencial é dado por:</p><p>]V[ sensenr150r50100V φθ++=</p><p>a) Encontre E</p><p>�</p><p>em P (r =1; θ = 2π ;φ = 0 ).</p><p>b) Quanto de carga existe dentro da esfera de raio r = 1 m?</p><p>Resolução:</p><p>Dados: ]V[ sensenr150r50100V φθ++=</p><p>a) Sabe-se que </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>∂φ</p><p>∂</p><p>θ</p><p>+</p><p>∂θ</p><p>∂</p><p>+</p><p>∂</p><p>∂</p><p>−=∇−= φθ a</p><p>V</p><p>senr</p><p>1</p><p>a</p><p>V</p><p>r</p><p>1</p><p>a</p><p>r</p><p>V</p><p>V r</p><p>���</p><p>��</p><p>E (01)</p><p>� Cálculo de ( ) φθ+=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>⇒φθ++</p><p>∂</p><p>∂</p><p>=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>sensen15050</p><p>r</p><p>V</p><p>sensenr150r50100</p><p>rr</p><p>V</p><p>:</p><p>r</p><p>V</p><p>(02)</p><p>� Cálculo de ( ) φθ=</p><p>θ∂</p><p>∂</p><p>⇒φθ++</p><p>θ∂</p><p>∂</p><p>=</p><p>θ∂</p><p>∂</p><p>θ∂</p><p>∂</p><p>sencosr150</p><p>V</p><p>sensenr150r50100</p><p>V</p><p>:</p><p>V</p><p>(03)</p><p>� Cálculo de ( ) φθ=</p><p>φ∂</p><p>∂</p><p>⇒φθ++</p><p>φ∂</p><p>∂</p><p>=</p><p>φ∂</p><p>∂</p><p>φ∂</p><p>∂</p><p>cossenr150</p><p>V</p><p>sensenr150r50100</p><p>V</p><p>:</p><p>V</p><p>(04)</p><p>Substituindo (02), (03) e (04) em (01):</p><p>( ) ( ) ( )[ ]φθ φθ+φθ+φθ+−= aaaE</p><p>���</p><p>�</p><p>cossenr150sencosr150sensen15050 r (05)</p><p>Substituindo as coordenadas de P em (05) , temos:</p><p>( ) ( ) ( )[ ] [ ]m</p><p>V 15050 11500150050</p><p>0cos</p><p>2</p><p>sen1150 0sen</p><p>2</p><p>cos1150 0sen</p><p>2</p><p>sen15050</p><p>rr</p><p>r</p><p>φφθ</p><p>φθ</p><p>−−=⇒⋅+⋅++−=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>°</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> π</p><p>⋅+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>°</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> π</p><p>⋅+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>°</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> π</p><p>+−=</p><p>aaEaaaE</p><p>aaaE</p><p>��</p><p>�</p><p>���</p><p>�</p><p>���</p><p>�</p><p>b) De acordo com a Lei de Gauss:</p><p>( )</p><p>d d senr</p><p>sensen15050</p><p>onde ,Q</p><p>r</p><p>2</p><p>rooo</p><p>esfS</p><p>interna</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>φθθ=</p><p>φθε+ε−=ε=</p><p>•= ∫</p><p>adS</p><p>aED</p><p>dSD</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>(01)</p><p>� Cálculo de :dSD •</p><p>�</p><p>( ) ( )</p><p>( ) φθθφθ+ε−=•</p><p>φθθ•φθε−ε−=•</p><p>d dsenrsensen15050</p><p>d d senr sensen15050</p><p>2</p><p>o</p><p>r</p><p>2</p><p>roo</p><p>dSD</p><p>aadSD</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>Substituindo (02) em (01):</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>φθφθ⋅+φθθε−= ∫ ∫∫ ∫</p><p>π</p><p>=φ</p><p>π</p><p>=θ</p><p>π</p><p>=φ</p><p>π</p><p>=θ=</p><p>2</p><p>0 0</p><p>2</p><p>2</p><p>0 0</p><p>2</p><p>o</p><p>1r</p><p>interna d d sensen3d d sen.r5Q</p><p>(02)</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0044 –– EENNEERRGGIIAA EE PPOOTTEENNCCIIAALL</p><p>– Página 4.3 –</p><p>[ ] [ ] [ ]</p><p>( )[ ] ( )[ ]</p><p>[ ] [ ]</p><p>[ ] [ ]</p><p>C 56,5Qou C 200Q</p><p>d sen00311100Q</p><p>d sen0cos2cos320coscos50Q</p><p>d sencos3cos50Q</p><p>internaointerna</p><p>0</p><p>2</p><p>ointerna</p><p>0</p><p>2</p><p>ointerna</p><p>0</p><p>22</p><p>0</p><p>2</p><p>00ointerna</p><p>η−=πε−=∴</p><p>∫ θθ⋅+⋅++⋅πε−=</p><p>∫ θθ⋅°+π−⋅+π⋅°+π−⋅ε−=</p><p>∫ θθ⋅φ−⋅+φ⋅θ−⋅ε−=</p><p>π</p><p>=θ</p><p>π</p><p>=θ</p><p>π</p><p>=θ</p><p>π</p><p>=φ</p><p>π</p><p>=φ</p><p>π</p><p>=θ</p><p>4.3) Uma carga pontual de 16 ηC está localizada em Q (2, 3, 5) no espaço livre, e uma linha</p><p>de cargas uniforme de 5 η C/m está localizada na interseção dos planos x = 2 e y = 4. Se o</p><p>potencial na origem é 100 V, encontrar V em P (4,1,3).</p><p>Resolução:</p><p>100VV100-VVVVV 0PPP0P0P0P +=⇒=⇒−= (01)</p><p>O potencial elétrico do ponto P em relação ao ponto 0 ( VP0 ) é a soma do potencial gerado</p><p>pela carga em Q (</p><p>carga0PV ) com o potencial gerado pela distribuição linear ρL (</p><p>linha</p><p>0PV ).</p><p>Portanto,</p><p>linha</p><p>0Pcarga0P0P VVV += (02)</p><p>� Cálculo de</p><p>carga0PV :</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−⋅=−=</p><p>Q. ponto ao 0 ponto do distancia a é r</p><p>Q. ponto ao P ponto do distância a é r</p><p>onde</p><p>r</p><p>1</p><p>r</p><p>1</p><p>4</p><p>Q</p><p>VVV</p><p>0Q</p><p>PQ</p><p>Q0PQo</p><p>Q0PQcarga0P ,</p><p>πε</p><p>(03)</p><p>� Cálculo de PQr : 12r222r PQ</p><p>222</p><p>PQ =⇒++= (04)</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0044 –– EENNEERRGGIIAA EE PPOOTTEENNCCIIAALL</p><p>– Página 4.4 –</p><p>� Cálculo de Q0r : 38r532r Q0</p><p>222</p><p>Q0 =⇒++= (05)</p><p>Substituindo (04) e (05) em (03), temos:</p><p>[ ]V 21,18V</p><p>6524</p><p>16</p><p>8513</p><p>16</p><p>V</p><p>38</p><p>1</p><p>12</p><p>1</p><p>4</p><p>Q</p><p>V</p><p>carga0P</p><p>oo</p><p>carga0P</p><p>o</p><p>carga0P</p><p>=⇒−=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−⋅=</p><p>πε</p><p>η</p><p>πε</p><p>η</p><p>πε</p><p>,,</p><p>� Cálculo de</p><p>linha</p><p>0PV :</p><p></p><p></p><p>−=</p><p>−=⇒⋅</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>⋅−=</p><p>∫</p><p>∫∫</p><p>∫</p><p>=</p><p>P. ponto ao cargas de linha da distância a é</p><p>0. ponto ao cargas de linha da distância a é onde</p><p>d</p><p>2</p><p>V</p><p>d</p><p>2</p><p>V d</p><p>2</p><p>V</p><p>. d</p><p>. cargas delinear ãodistribuic</p><p>pela gerado elétrico campo o é</p><p>onde V</p><p>0</p><p>0</p><p>o</p><p>L</p><p>linha0P</p><p>P</p><p>0 o</p><p>L</p><p>carga0P</p><p>P</p><p>0 o</p><p>L</p><p>linha0P</p><p>L</p><p>P</p><p>0</p><p>linha</p><p>0P</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>πε</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρπε</p><p>ρ</p><p>ρρ</p><p>ρπε</p><p>ρ</p><p>ρρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρρ</p><p>ρ</p><p>,</p><p>,</p><p>aa</p><p>adL</p><p>E</p><p>dLE</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� Cálculo de 0ρ : 20042 0</p><p>222</p><p>0 =⇒++= ρρ (08)</p><p>� Cálculo de ρ : 13032 222 =⇒++= ρρ (09)</p><p>Substituindo (08) e (09) em (07), temos:</p><p>[ ]</p><p>[ ]V 19,39V</p><p>13</p><p>20</p><p>90V</p><p>13</p><p>20</p><p>2</p><p>5</p><p>V</p><p>13</p><p>20</p><p>2</p><p>V</p><p>2</p><p>V</p><p>d</p><p>2</p><p>V</p><p>linhaP0linha0P</p><p>olinha0P</p><p>o</p><p>L</p><p>linha0P</p><p>13</p><p>20o</p><p>L</p><p>linha0P</p><p>13</p><p>20o</p><p>L</p><p>linha0P</p><p>=⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅−=⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅−=</p><p>⋅−=⇒−=</p><p>=</p><p>=</p><p>∫</p><p>ln</p><p>lnln</p><p>ln</p><p>πε</p><p>η</p><p>πε</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>πε</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>πε</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>Substituindo ( 06 ) e ( 10 ) em ( 02 ), temos:</p><p>[ ]V 37,60V39192118VVVV P00P</p><p>linha</p><p>0Pcarga0P0P === ⇒+⇒+ ,, (11)</p><p>Substituindo (11) em (01), temos:</p><p>[ ]V 137,60V 1006037V100VV PP0PP =⇒+=⇒+= ,</p><p>(07)</p><p>(10)</p><p>(06)</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0044 –– EENNEERRGGIIAA EE PPOOTTEENNCCIIAALL</p><p>– Página 4.5 –</p><p>4.4) Dado o campo potencial expresso por V e yx= −100 5050 sen [volts], no espaço livre.</p><p>a) Mostrar que 0=•∇ D</p><p>�</p><p>;</p><p>b) Mostrar que y = 0 representa uma superfície equipotencial;</p><p>c) Mostrar que E é perpendicular à superfície y = 0;</p><p>d) Encontrar a carga total no plano y = 0, 0 < x < ∞, 0 < z < 1. Assumir que y < 0 é o</p><p>interior do condutor;</p><p>e) Encontrar a energia armazenada no cubo 0 < x < 1, 0 < y < 1 e 0 < z < 1.</p><p>Resolução:</p><p>Dados: y50e100V x50 sen−=</p><p>a) Sabe-se que:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>∇−=</p><p>=</p><p>V</p><p>e</p><p>o</p><p>��</p><p>��</p><p>E</p><p>ED ε</p><p>� Cálculo do V∇</p><p>�</p><p>:</p><p>( ) ( ) ( )</p><p>( ) ( ) y</p><p>x50</p><p>x</p><p>x50</p><p>z</p><p>x50</p><p>y</p><p>x50</p><p>x</p><p>x50</p><p>zyx</p><p>y50e5000 y50e5000V</p><p>y50e100</p><p>z</p><p>y50e100</p><p>y</p><p>y50e100</p><p>x</p><p>V</p><p>z</p><p>V</p><p>y</p><p>V</p><p>x</p><p>V</p><p>V</p><p>aa</p><p>aaa</p><p>aaa</p><p>��</p><p>�</p><p>���</p><p>�</p><p>���</p><p>�</p><p>cossen</p><p>sensensen</p><p>−−</p><p>−−−</p><p>+−=∇</p><p>++=∇</p><p>++=∇</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>Substituindo (03) em (02):</p><p>( ) ( )</p><p>( ) ( ) y</p><p>x50</p><p>x</p><p>x50</p><p>y</p><p>x50</p><p>x</p><p>x50</p><p>y50e5000 y50e5000</p><p>y50e5000 y50e5000</p><p>aaE</p><p>aaE</p><p>��</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>cossen</p><p>cossen</p><p>−−</p><p>−−</p><p>−=∴</p><p>+−−=</p><p>Substituindo (04) em (01):</p><p>( ) ( )[ ]y</p><p>x50</p><p>x</p><p>x50</p><p>o y50e5000 y50e5000 aaD</p><p>��</p><p>�</p><p>cossen −− −= ε</p><p>� Cálculo do D</p><p>��</p><p>•∇ :</p><p>z</p><p>z</p><p>y</p><p>y</p><p>x</p><p>x</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂ DDD</p><p>++=•∇ D</p><p>��</p><p>( ) ( )</p><p>( ) ( )</p><p>0</p><p>y5050e5000e50y505000</p><p>y50e5000</p><p>y</p><p>y50e5000</p><p>x</p><p>x50</p><p>o</p><p>x50</p><p>o</p><p>x50</p><p>o</p><p>x50</p><p>o</p><p>=•∇∴</p><p>−⋅⋅−−⋅⋅=•∇</p><p>⋅+⋅=•∇</p><p>−−</p><p>−−</p><p>D</p><p>D</p><p>D</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>sensen</p><p>cossen</p><p>εε</p><p>ε</p><p>∂</p><p>∂</p><p>ε</p><p>∂</p><p>∂</p><p>(01)</p><p>(02)</p><p>(03)</p><p>(04)</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0044 –– EENNEERRGGIIAA EE PPOOTTEENNCCIIAALL</p><p>– Página 4.6 –</p><p>b) Seja ( x, 0, z ) a representação dos pontos da superfície y = 0. Para estes pontos, temos</p><p>V e yx= −100 5050 sen .</p><p>Se V apresentar o mesmo valor para todos estes pontos, então V é uma superfície equipotencial.</p><p>Assim, substituindo ( x, 0, z ) em V e yx= −100 5050 sen , conclui-se que V = 0 para todos os pontos</p><p>da superfície y = 0.</p><p>c) Da equação (04) do item (a), conclui-se que:</p><p>( ) ( ) y</p><p>x50</p><p>x</p><p>x50 y50e5000 y50e5000 aaE</p><p>��</p><p>�</p><p>cossen −− −=</p><p>Para os pontos ( x, 0, z ) da superfície y = 0, ( ) y</p><p>x50 e5000 aE</p><p>�</p><p>�</p><p>−−= , o que prova que E</p><p>�</p><p>é</p><p>perpendicular à superfície y = 0.</p><p>d) x50</p><p>oS</p><p>S</p><p>NSS e5000 onde dSQ −⋅−=⇒== ∫ ερρρ D,</p><p>[ ]</p><p>[ ] [ ] [ ]C -0,885Qou C 100Q 110100Q</p><p>z</p><p>50</p><p>e</p><p>5000Qdzdxe5000Q</p><p>oo</p><p>1</p><p>0z</p><p>0x</p><p>x50</p><p>o</p><p>0x</p><p>1</p><p>0z</p><p>x50</p><p>o</p><p>ηεε</p><p>εε</p><p>=−=⇒⋅−⋅=</p><p>⋅</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p>−=⇒−=∴ =</p><p>∞</p><p>=</p><p>−∞</p><p>= =</p><p>−</p><p>∫ ∫</p><p>e) ∫ ==</p><p>vol</p><p>2</p><p>o E onde dvE</p><p>2</p><p>1</p><p>W E</p><p>�</p><p>,ε (01)</p><p>� Cálculo de E:</p><p>( ) ( )</p><p>x5022x50</p><p>222x50</p><p>e5000Ey50y50e5000E</p><p>y50y50e5000E</p><p>−−</p><p>−</p><p>=⇒+⋅=</p><p>+⋅=</p><p>cossen</p><p>cossen</p><p>Substituindo (02) em (01):</p><p>( )∫</p><p>−=</p><p>vol</p><p>2x50</p><p>o dve5000</p><p>2</p><p>1</p><p>W ε</p><p>[ ] [ ]</p><p>[ ] [ ]J 125000 W111e10512W</p><p>zy</p><p>100</p><p>e</p><p>10512W</p><p>dxdydze10512W</p><p>o</p><p>100</p><p>o</p><p>4</p><p>1</p><p>0z</p><p>1</p><p>0y</p><p>1</p><p>0x</p><p>x100</p><p>o</p><p>6</p><p>1</p><p>0z</p><p>1</p><p>0y</p><p>1</p><p>0x</p><p>x100</p><p>o</p><p>6</p><p>εε</p><p>ε</p><p>ε</p><p>=⇒⋅⋅+−⋅⋅=</p><p>⋅⋅</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−⋅⋅=</p><p>⋅=</p><p>−</p><p>==</p><p>=</p><p>−</p><p>= = =</p><p>−</p><p>∫ ∫ ∫</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>(02)</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0044 –– EENNEERRGGIIAA EE PPOOTTEENNCCIIAALL</p><p>– Página 4.7 –</p><p>4.5) Uma carga pontual Q de 6 ηC está localizada na origem do sistema de coordenadas, no</p><p>espaço livre. Determinar o potencial VP sendo P (0,2;-0,4;0,4) e:</p><p>a) V = 0 no infinito</p><p>b) V = 0 no ponto A (1,0,0)</p><p>c) V = 20 volts no ponto B (0,5;1,0;-1,0)</p><p>Resolução:</p><p>Por Definição:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−⋅=⇒−=</p><p>Y. ponto ao Q carga da distancia a é r</p><p>X. ponto ao Q carga da distancia a é r</p><p>onde</p><p>r</p><p>1</p><p>r</p><p>1</p><p>4</p><p>Q</p><p>VVVV</p><p>Y</p><p>X</p><p>YXo</p><p>XYYXXY ,</p><p>πε</p><p>a) Dados: V = 0 no infinito.</p><p>P ponto ao Q carga da distancia a é r onde</p><p>r4</p><p>Q</p><p>VV P</p><p>Po</p><p>PP ,</p><p>πε</p><p>==∞ (01)</p><p>� Cálculo de rP: 60r404020r P</p><p>222</p><p>P ,,,, =⇒++= (02)</p><p>Substituindo (02) em (01), temos:</p><p>[ ]V 90V</p><p>42</p><p>6</p><p>V</p><p>604</p><p>Q</p><p>V P</p><p>o</p><p>P</p><p>o</p><p>P =⇒=⇒=</p><p>πε</p><p>η</p><p>πε ,,</p><p>b) Dados: V = 0 em A (1,0,0).</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−⋅=∴</p><p>==⇒−=</p><p>A. ponto ao Q carga da distancia a é r</p><p>P. ponto ao Q carga da distancia a é r</p><p>onde</p><p>r</p><p>1</p><p>r</p><p>1</p><p>4</p><p>Q</p><p>V</p><p>0V pois ,VVVVV</p><p>A</p><p>P</p><p>APo</p><p>P</p><p>APPAAPPA</p><p>,</p><p>πε</p><p>� Cálculo de rP: 60r404020r P</p><p>222</p><p>P ,,,, =⇒++= (02)</p><p>(01)</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0044 –– EENNEERRGGIIAA EE PPOOTTEENNCCIIAALL</p><p>– Página 4.8 –</p><p>� Cálculo de rA: 1r001r A</p><p>222</p><p>A =⇒++= (03)</p><p>Substituindo (02) e (03) em (01), temos:</p><p>[ ]V 36V5490V</p><p>4</p><p>6</p><p>42</p><p>6</p><p>V</p><p>1</p><p>1</p><p>60</p><p>1</p><p>4</p><p>Q</p><p>V PP</p><p>oo</p><p>P</p><p>o</p><p>P =⇒−=⇒−=⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−⋅=</p><p>πε</p><p>η</p><p>πε</p><p>η</p><p>πε ,,</p><p>c) Dados: V = 20 [V] em B (0,5;1,-1).</p><p>20VV20-VVVVV PBPPPBBPPB +=⇒=⇒−= (01)</p><p>� Cálculo de VPB:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−⋅=</p><p>B. ponto ao Q carga da distancia a é r</p><p>P. ponto ao Q carga da distancia a é r</p><p>onde</p><p>r</p><p>1</p><p>r</p><p>1</p><p>4</p><p>Q</p><p>V</p><p>B</p><p>P</p><p>BPo</p><p>PB ,</p><p>πε</p><p>(02)</p><p>� Cálculo de rP: 60r404020r P</p><p>222</p><p>P ,,,, =⇒++= (03)</p><p>� Cálculo de rB: 51r1150r B</p><p>222</p><p>B ,, =⇒++= (04)</p><p>Substituindo (03) e (04) em (02), temos:</p><p>[ ]V 54V3690V</p><p>6</p><p>6</p><p>42</p><p>6</p><p>V</p><p>51</p><p>1</p><p>60</p><p>1</p><p>4</p><p>Q</p><p>V PBPB</p><p>oo</p><p>P</p><p>o</p><p>PB =⇒−=⇒−=⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−⋅=</p><p>πε</p><p>η</p><p>πε</p><p>η</p><p>πε ,,,</p><p>(05)</p><p>Substituindo (05) em (01), temos:</p><p>[V] 74V 2054V20VV PPPBP =⇒+=⇒+=</p><p>4.6) Calcular a energia acumulada em um sistema com três cargas pontuais iguais a Q, todas</p><p>sobre a mesma reta, separadas entre si por distâncias iguais a d.</p><p>Resolução:</p><p>1o modo:</p><p>Dados: Q1 = Q2 = Q3 = Q</p><p>Potencial de uma carga pontual:</p><p>r4</p><p>Q</p><p>V</p><p>oπε</p><p>= (01)</p><p>Energia acumulada por um sistema de cargas discretas:</p><p>∑</p><p>=</p><p>=</p><p>3</p><p>1m</p><p>mmE VQ</p><p>2</p><p>1</p><p>W (02)</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0044 –– EENNEERRGGIIAA EE PPOOTTEENNCCIIAALL</p><p>– Página 4.9 –</p><p>De (02), conclui-se que a energia acumulada pelo sistema de três cargas pontuais acima é</p><p>dado por:</p><p>[ ]332211E VQVQVQ</p><p>2</p><p>1</p><p>W ++= (03)</p><p>� Cálculo do potencial da carga Q1:</p><p>d4</p><p>Q</p><p>2</p><p>3</p><p>V</p><p>d24</p><p>Q</p><p>d4</p><p>Q</p><p>V</p><p>o</p><p>1</p><p>o</p><p>3</p><p>o</p><p>2</p><p>1</p><p>πεπεπε</p><p>⋅=⇒+= (04)</p><p>� Cálculo do potencial da carga Q2:</p><p>d4</p><p>Q2</p><p>V</p><p>d4</p><p>Q</p><p>d4</p><p>Q</p><p>V</p><p>o</p><p>2</p><p>o</p><p>2</p><p>o</p><p>1</p><p>2</p><p>πεπεπε</p><p>=⇒+= (05)</p><p>� Cálculo do potencial da carga Q3:</p><p>d4</p><p>Q</p><p>2</p><p>3</p><p>V</p><p>d4</p><p>Q</p><p>d24</p><p>Q</p><p>V</p><p>o</p><p>3</p><p>o</p><p>2</p><p>o</p><p>1</p><p>3</p><p>πεπεπε</p><p>⋅=⇒+= (06)</p><p>Substituindo (04), (05) e (06) em (03):</p><p>[ ]J</p><p>d8</p><p>Q5</p><p>W</p><p>d4</p><p>Q</p><p>2</p><p>3</p><p>d4</p><p>Q2</p><p>d4</p><p>Q</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>Q</p><p>W</p><p>o</p><p>2</p><p>E</p><p>ooo</p><p>E</p><p>πεπεπεπε</p><p>=⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅++⋅=</p><p>2o modo:</p><p>� Cálculo do trabalho para mover Q1 do infinito para o ponto 1:</p><p>WE 1 = 0 (01)</p><p>� Cálculo do trabalho para mover Q2 do infinito para o ponto 2:</p><p>[ ]J</p><p>d4</p><p>Q</p><p>W</p><p>d4</p><p>Q</p><p>QW</p><p>Q carga à devido 2 ponto no potencial o é V onde , VQW</p><p>o</p><p>2</p><p>2E</p><p>o</p><p>1</p><p>22 E</p><p>12,11222 E</p><p>πεπε</p><p>=⇒⋅=∴</p><p>= .,</p><p>� Cálculo do trabalho para mover Q3 do infinito para o ponto 3:</p><p>[ ]J</p><p>d4</p><p>Q</p><p>d8</p><p>Q</p><p>W</p><p>d4</p><p>Q</p><p>Q</p><p>d24</p><p>Q</p><p>QW</p><p>Q carga à devido 3 ponto no potencial o é V</p><p>e</p><p>Q carga à devido 3 ponto no potencial o é V</p><p>onde , VQVQW</p><p>o</p><p>2</p><p>o</p><p>2</p><p>3E</p><p>o</p><p>2</p><p>3</p><p>o</p><p>1</p><p>33 E</p><p>23,2</p><p>13,1</p><p>3,231333 E</p><p>πεπεπεπε</p><p>+=⇒⋅+⋅=∴</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+= ,</p><p>(02)</p><p>(03)</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0044 –– EENNEERRGGIIAA EE PPOOTTEENNCCIIAALL</p><p>– Página 4.10 –</p><p>� Cálculo do trabalho total:</p><p>WE = WE 1 + WE 2 + WE 3 (04)</p><p>Substituindo (01), (02) e (03) em (04), temos:</p><p>[ ]J</p><p>d8</p><p>Q5</p><p>W</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>d4</p><p>Q</p><p>W</p><p>d4</p><p>Q</p><p>d8</p><p>Q</p><p>d4</p><p>Q</p><p>0W</p><p>o</p><p>2</p><p>E</p><p>o</p><p>2</p><p>E</p><p>o</p><p>2</p><p>o</p><p>2</p><p>o</p><p>2</p><p>E</p><p>πεπεπεπεπε</p><p>=⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+⋅=⇒+++=</p><p>4.7) Uma densidade de carga </p><p></p><p></p><p>= m</p><p>C</p><p>z</p><p>10</p><p>21L</p><p>ηρ estende-se ao longo do eixo z para z > 1 m</p><p>e uma densidade de carga </p><p></p><p></p><p>−= m</p><p>C</p><p>z</p><p>10</p><p>22L</p><p>ηρ estende-se ao longo do eixo z para z <</p><p>-1 m. Determine V em P ( ρ, 0, 0 ), se V = 0 em ρ = ∞.</p><p>Resolução:</p><p>Para uma distribuição linear de cargas, ∫=</p><p>L o</p><p>L</p><p>R4</p><p>dL</p><p>V</p><p>πε</p><p>ρ</p><p>. Logo, para o caso acima, teremos:</p><p>( )</p><p>( )</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+==</p><p>+=</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p>−=</p><p>+==</p><p>=</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>+= ∫∫</p><p>−</p><p>−∞=</p><p>∞</p><p>=</p><p>;</p><p>;</p><p>;</p><p>;</p><p>;</p><p>;</p><p>,</p><p>22</p><p>22</p><p>z1</p><p>22</p><p>2</p><p>2L2</p><p>22</p><p>11</p><p>z1</p><p>11</p><p>1</p><p>2L1</p><p>1</p><p>z 2o</p><p>22L</p><p>1z 1o</p><p>11L</p><p>zR</p><p>; z Portanto, .0 0; ; P ponto ao</p><p>ocompriment de ferencialelementodi do dirigido vetor o é</p><p>dzdL</p><p>m</p><p>C</p><p>z</p><p>10</p><p>zR</p><p>; z- Portanto, .0 0; ; P ponto ao</p><p>ocompriment de ferencialelementodi do dirigido vetor o é</p><p>dzdL</p><p>m</p><p>C</p><p>z</p><p>10</p><p>: onde</p><p>R4</p><p>dL</p><p>R4</p><p>dL</p><p>V</p><p>ρ</p><p>ρρ</p><p>ηρ</p><p>ρ</p><p>ρρ</p><p>ηρ</p><p>πε</p><p>ρ</p><p>πε</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>R</p><p>aaR</p><p>dLR</p><p>R</p><p>aaR</p><p>dLR</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>Portanto, ∫∫</p><p>−</p><p>−∞=</p><p>∞</p><p>= +</p><p>−</p><p>+</p><p>+</p><p>=</p><p>1</p><p>z</p><p>22</p><p>o</p><p>2</p><p>1z</p><p>22</p><p>o</p><p>2</p><p>dz</p><p>z4</p><p>z</p><p>10</p><p>dz</p><p>z4</p><p>z</p><p>10</p><p>V</p><p>ρπερπε</p><p>(01)</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCAAPPÍÍTTUULLOO 0044 –– EENNEERRGGIIAA EE PPOOTTEENNCCIIAALL</p><p>– Página 4.11 –</p><p>� Solução da integral:</p><p>∫</p><p>+ 222 zz</p><p>dz</p><p>ρ</p><p>(02)</p><p>Substituição de variáveis na integral:</p>
Mais conteúdos dessa disciplina
IMG_20260320_174331- IMG_20260320_174748
- Gabaritos Concurso IFSertãoPE
- ATIVIDADE PRÁTICA DE APRENDIZAGEM CÁLCULO AVANÇADO
- Física eletricidade e eletromagnetismo - Livro
- magnetismo 8 ano
- ATIVIDADE DE APRENDIZADO LEI DE GAUSS PARA ELETROSTÁTICA -2025
- Exercicios - Circuito RC e RL
- Avaliação I - Individual RESSONANCIA MAGNETICA
- onsidere as afirmativas: I- Correntes estacionárias podem gerar um campo magnético. II- Um campo magnético pode ocorrer de forma natural ( Exemplo ...
- udar a natureza e os fenômenos ocorridos nela nem sempre é uma tarefa fácil. Essa dificuldade está diretamente ligada às ferramentas matemáticas ne...
- 60 - Assinale a alternativa que contém apenas grandezas vetoriais: A) Trabalho, aceleração, campo magnético, força centrípeta e temperatura. B) Mom...
- O campo magnético entre os polos de um grande eletroimå é uniforme, mas seu mödulo aumenta com taxa Uma espira de årea igual A=120 cm2 , tem resisténc
- O campo magnético entre os polos de um grande eletroimä é uniforme, mas seu mödulo aumenta com taxa Uma espira de area igual A=120 cm2 , tem resisténc
- Ondas eletromagnéticas säo uma forma de radiaqåo que se propagam através do espaqo a uma velocidade constante de cerca de 300.000 km/s. Essas ondas så
- Um gerador alternador, formado por uma bobina com N=IOO espiras retangulares de årea A-IOO cm2, gira em torno de seu eixo maior, com velocidade angula
- Duas placas condutoras planas, de áreas , com cargas q separadas por uma distância . opostas, estão d Calcule a diferença de potencial elétrico ...
- Considere um campo elétrico, cuja fonte é uma carga elétrica q =−8 nC , 1 posicionada na origem de um sistema xy. Se medido no ponto x = 1,2 m e y...
- A eletrostática é a parte da física que estuda as cargas elétricas em repouso. O físico britânico Michael Faraday contribuiu Finalizar prova Marcar...
- Qual unidade define a capacidade de uma bateria de veículo elétrico? Questão 3Resposta a. Quilovolts-hora (kVh). b. Ohm-hora (Ωh). c. Quilowatt-hora (
- Seja um feixe de particulas positivas, de cargas individuais x10-19C, que se movem com velocidade em mödulo löl = 3,0 x 105m/s, e que adentram uma reg
- Na teoria eletrodinämica clåssica, o campo magnetoståtico é estudado em relaqäo sua integral de fluxo fechada e sua relaqäo com as cargas magnéticas.
- A reta pontilhada indica a temperatura ótima para a realização da fotossíntese. A curva que indica corretamente a continuidade do fenômeno é a de n...
- Nesse cenário, assinale a alternativa que apresenta um tipo de folha modificada.
Estômato
Cloroplasto
Nervura primária
Coletora
Célula companheira
