apostila eletromagnetismo

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<p>UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA – UFU</p><p>FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA – FEELT</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>Apostila de</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Uberlândia</p><p>2018</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>2</p><p>SUMÁRIO GERAL</p><p>Capítulo Conteúdo Página</p><p>1 Análise Vetorial 03</p><p>2 Lei de Coulomb e Intensidade de Campo Elétrico 20</p><p>3 Densidade de Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência 33</p><p>4 Energia Potencial e Potencial Elétrico 47</p><p>5 Condutores, Dielétricos e Capacitância 63</p><p>6 Equações de Poisson e de Laplace 84</p><p>7 Campo Magnético Estacionário 93</p><p>8 Forças Magnéticas, Materiais e Indutância 115</p><p>9 Campos Variantes no Tempo e Equações de Maxwell 134</p><p>* Apostila versão 2019-1, com modificações feitas pela professora Andréia Crico dos Santos.</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>3</p><p>1 – ANÁLISE VETORIAL</p><p>1.1 Escalares e Vetores</p><p>O termo escalar se refere a uma grandeza cujo valor pode ser representado por um único</p><p>número real (positivo ou negativo). Exemplo de grandezas escalares: temperatura, tempo, massa,</p><p>densidade, volume, tensão, etc.</p><p>Uma grandeza vetorial tem magnitude, direção e sentido no espaço. Exemplo de grandezas</p><p>vetoriais: força, velocidade, aceleração, densidade de fluxo elétrico, etc.</p><p>Um campo também pode ser definido como escalar ou vetorial. Um exemplo de campo escalar</p><p>é a temperatura em uma tigela de sopa, por outro lado, temos que o campo gravitacional e o</p><p>magnético são exemplos de campos vetoriais.</p><p>1.2 Álgebra Vetorial</p><p>A álgebra vetorial possui seu conjunto próprio de regras, do qual destacaremos algumas.</p><p>A adição vetorial segue a regra do paralelogramo, conforme figura abaixo.</p><p>A adição vetorial obedece à propriedade comutativa, ou seja, 𝐴 + �⃗⃗� = �⃗⃗� + 𝐴 . A adição</p><p>obedece também à propriedade associativa, ou seja, 𝐴 + (�⃗⃗� + 𝐶) = (�⃗⃗� + 𝐴) + 𝐶.</p><p>A regra para a subtração de vetores decorre facilmente da regra para a adição, pois sempre</p><p>podemos expressa 𝐴 − �⃗⃗� como 𝐴 + (−�⃗⃗�); o sinal, ou sentido, do segundo vetor é invertido, e este</p><p>vetor é somado ao primeiro pela regra da adição vetorial.</p><p>Observação importante: na figura anterior, extraída do livro de Eletromagnetismo de Jr. W. H.</p><p>Hayt e J. A. Buck, a notação de vetor é dada por meio da letra em negrito, enquanto que em nosso</p><p>curso usaremos a seta sobre a letra para designação de vetor, ou ainda, o acento circunflexo para</p><p>representação de vetores unitários, conforme será explanado.</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>4</p><p>Vetores podem ser multiplicados por escalares. O módulo do vetor se modifica, mas sua</p><p>direção e sentido não, quando o escalar é positivo, embora ele inverta de sentido quando multiplicado</p><p>por um escalar negativo. A multiplicação de um vetor por um escalar também obedece as propriedades</p><p>associativa e distributiva da álgebra, então</p><p>(𝑟 + 𝑠)(𝐴 + �⃗⃗�) = 𝑟(𝐴 + �⃗⃗�) + 𝑠(𝐴 + �⃗⃗�)</p><p>= 𝑟𝐴 + 𝑟�⃗⃗� + 𝑠𝐴 + 𝑠�⃗⃗�</p><p>A divisão de um vetor por um escalar é meramente a multiplicação do vetor pelo valor do</p><p>inverso do escalar.</p><p>Já a operação de multiplicação de um vetor por outro vetor será discutida mais adiante, ainda</p><p>neste capítulo.</p><p>1.3 Sistema de Coordenadas Cartesianas (ou Retangulares)</p><p>Para podermos descrever rigorosamente um vetor, alguns comprimentos, direções, ângulos,</p><p>projeções ou componentes específicos devem ser fornecidos. Há três métodos simples de fazê-lo, os</p><p>quais serão esmiuçados neste capítulo. O mais simples destes é a adoção do sistema de coordenadas</p><p>cartesianas ou retangulares. Neste sistema estabelece-se três eixos coordenados que formam ângulos</p><p>retos entre si, denominados de eixos x, y e z.</p><p>Na figura a seguir (a) tem-se um sistema de coordenadas cartesianas do tipo triedro direito,</p><p>em que se usando a mão direita, então o polegar, o indicador e o dedo médio podem ser identificados,</p><p>respectivamente, como os eixos x, y e z. Nesta mesma figura podemos identificar os planos x = 0, y = 0</p><p>e z = 0.</p><p>Tomando-se os ponto 𝑃(1,2,3) e 𝑄(2,−2,1) como exemplo, poderemos identificá-los no</p><p>sistema de coordenadas cartesianas conforme figura (b) a seguir. O ponto P está, portanto, localizado</p><p>no ponto comum da interseção dos planos x = 1, y = 2 e z = 3, enquanto que o ponto Q está localizado</p><p>na interseção dos planos x = 2, y = -2 e z = 1.</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>5</p><p>Podemos, conforme a figura (c) acima, deslocar um ponto 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) levemente para um ponto</p><p>𝑃′(𝑥 + 𝑑𝑥, 𝑦 + 𝑑𝑦, 𝑧 + 𝑑𝑧) adicionando-se diferenciais de comprimento. Os dois pontos P e P' formam</p><p>6 planos, conforme já falado, os quais definem um paralelepípedo retângulo cujo o diferencial de</p><p>volume é 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧; as superfícies possuem áreas diferenciais dS de 𝑑𝑥 𝑑𝑦, 𝑑𝑦 𝑑𝑧 e 𝑑𝑧 𝑑𝑥. E</p><p>finalmente, a distância dL de P a P' é a diagonal do paralelepípedo e possui um comprimento diferencial</p><p>√𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦2 + 𝑑𝑧2.</p><p>1.4 Componentes Vetoriais e Vetores Unitários</p><p>Para descrever um vetor no sistema de coordenadas cartesianas, vamos considerar</p><p>primeiramente um vetor 𝑟 partindo da origem até um ponto P qualquer.</p><p>Se as componentes vetoriais de 𝑟 são �⃗�, �⃗� e 𝑧, então 𝑟 = �⃗� + �⃗� + 𝑧, conforme mostrado na</p><p>figura (a) abaixo.</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>6</p><p>Contudo, o uso das componentes vetoriais da forma que foram apresentadas não é</p><p>comumente empregado. A figura (b) anterior apresenta os vetores unitários fundamentais �̂�𝑥, �̂�𝑦 e �̂�𝑧</p><p>representativos dos eixos cartesianos x, y e z, respectivamente. Considerando um vetor 𝑟 apontando</p><p>da origem ao ponto 𝑃(1,2,3), o mesmo pode ser escrito tendo por base os vetores unitários dos eixos</p><p>cartesianos: 𝑟𝑃 = �̂�𝑥 + 2�̂�𝑦 + 3�̂�𝑧 . Considerando-se um vetor 𝑟 apontando da origem ao ponto</p><p>𝑄(2,−2,1), tem-se 𝑟𝑄 = 2�̂�𝑥 − 2�̂�𝑦 + �̂�𝑧. Um vetor �⃗⃗�𝑃𝑄 de origem no ponto 𝑃(1,2,3) e apontando</p><p>para 𝑄(2,−2,1) seria:</p><p>�⃗⃗�𝑃𝑄 = 𝑟𝑄 − 𝑟𝑃 = (2�̂�𝑥 − 2�̂�𝑦 + �̂�𝑧) − (�̂�𝑥 + 2�̂�𝑦 + 3�̂�𝑧)</p><p>= (2 − 1)�̂�𝑥 + (−2 − 2)�̂�𝑦 + (1 − 3)�̂�𝑧</p><p>= �̂�𝑥 − 4�̂�𝑦 − 2�̂�𝑧</p><p>Os vetores em questão podem ser vistos na figura (c) anterior.</p><p>Então, qualquer vetor �⃗⃗�, pode ser escrito como �⃗⃗� = 𝐵𝑥�̂�𝑥 + 𝐵𝑦�̂�𝑦 + 𝐵𝑧�̂�𝑧. E o módulo de �⃗⃗�,</p><p>escrito como |�⃗⃗�|, ou simplesmente B, é dado por</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>7</p><p>|�⃗⃗�| = 𝐵 = √𝐵𝑥</p><p>2 + 𝐵𝑦</p><p>2 + 𝐵𝑧</p><p>2</p><p>Cada um dos três sistemas de coordenadas a serem discutidos tem seus três vetores unitários</p><p>fundamentais e mutuamente independentes que são usados para analisar qualquer vetor em suas</p><p>componentes vetoriais.</p><p>Os vetores unitários não são limitados a esta aplicação, todo vetor tem seu vetor unitário que</p><p>é facilmente encontrado dividindo o vetor por seu módulo. Então o vetor unitário de �⃗⃗� é</p><p>�̂�𝐵 =</p><p>�⃗⃗�</p><p>|�⃗⃗�|</p><p>=</p><p>�⃗⃗�</p><p>√𝐵𝑥</p><p>2 + 𝐵𝑦</p><p>2 + 𝐵𝑧</p><p>2</p><p>A notação empregada para todo vetor unitário neste curso será o acento circunflexo sobre a</p><p>letra do vetor, já no livro usa-se tão somente a letra “a” para identificar o mesmo.</p><p>Vale ainda ressaltar, que o vetor 𝑟 apresentado, o qual liga a origem do sistema a um ponto P</p><p>qualquer, é comumente chamado de vetor posição.</p><p>1.5 Introdução aos Campos</p><p>Todo campo pode ser definido matematicamente como função de um vetor que liga uma</p><p>origem arbitrária a um ponto genérico no espaço. Note que o conceito de campo invariavelmente está</p><p>relacionado a uma</p><p>nulo.</p><p>4.3 Definição de Diferença de Potencial e Potencial Elétrico</p><p>Define-se a diferença de potencial V como a razão do trabalho realizado (por um agente</p><p>externo) ao deslocar uma carga teste 𝑄𝑡𝑒𝑠𝑡𝑒 , de um ponto inicial a um ponto final, no interior de um</p><p>campo elétrico, dividido pelo valor desta carga teste ,</p><p>𝐷𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎 𝑑𝑒 𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 = 𝑉 =</p><p>𝑊</p><p>𝑄𝑡𝑒𝑠𝑡𝑒</p><p>=</p><p>−𝑄𝑡𝑒𝑠𝑡𝑒 ∫ �⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗�</p><p>𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙</p><p>𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙</p><p>𝑄𝑡𝑒𝑠𝑡𝑒</p><p>= −∫ �⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗�</p><p>𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙</p><p>𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙</p><p>A diferença de potencia 𝑉𝐴𝐵 significa a diferença de potencial entre os pontos A e B, e também</p><p>pode ser definido como o trabalho realizado ao deslocarmos uma unidade de carga de B até A, ou seja,</p><p>𝑉𝐴𝐵 = −∫ �⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗�</p><p>𝐴</p><p>𝐵</p><p>(𝑉)</p><p>onde a unidade de medida é volts que freqüentemente é abreviado por V, trata-se, conforme</p><p>observado, de uma grandeza escalar.</p><p>No exemplo da linha de carga da última seção, encontramos que o trabalho realizado ao</p><p>levarmos a carga 𝑄 de 𝜌𝑏 para 𝜌𝑎 é</p><p>𝑊 =</p><p>𝑄𝜌𝐿</p><p>2𝜋𝜀0</p><p>ln</p><p>𝜌𝑏</p><p>𝜌𝑎</p><p>Assim, a diferença de potencial entre os pontos 𝜌𝑏 e 𝜌𝑎 pode ser descrita como</p><p>𝑉𝐴𝐵 =</p><p>𝑊</p><p>𝑄</p><p>=</p><p>𝜌𝐿</p><p>2𝜋𝜀0</p><p>ln</p><p>𝜌𝑏</p><p>𝜌𝑎</p><p>Já para o caso de uma carga pontual Q, a diferença de potencial entre os pontos A e B nas</p><p>distâncias radiais 𝑟𝐴 e 𝑟𝐵 da mesma, escolhendo-se a origem em Q, ou ainda, Q na origem, será dada</p><p>�⃗⃗� = 𝐸𝑟�̂�𝑟 =</p><p>𝑄</p><p>4𝜋𝜀0𝑟</p><p>2</p><p>�̂�𝑟</p><p>e</p><p>𝑑�⃗⃗� = 𝑑𝑟 �̂�𝑟</p><p>temos</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>51</p><p>𝑉𝐴𝐵 = −∫ �⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗�</p><p>𝐴</p><p>𝐵</p><p>= −∫</p><p>𝑄</p><p>4𝜋𝜀0𝑟</p><p>2</p><p>�̂�𝑟 ∙ 𝑑𝑟 �̂�𝑟</p><p>𝑟𝐴</p><p>𝑟𝐵</p><p>= −∫</p><p>𝑄</p><p>4𝜋𝜀0𝑟</p><p>2</p><p>𝑑𝑟</p><p>𝑟𝐴</p><p>𝑟𝐵</p><p>=</p><p>𝑄</p><p>4𝜋𝜀0</p><p>(</p><p>1</p><p>𝑟𝐴</p><p>−</p><p>1</p><p>𝑟𝐵</p><p>)</p><p>Se 𝑟𝐵 > 𝑟𝐴, a diferença de potencial 𝑉𝐴𝐵 é positiva, indicando que a energia é despendida pelo</p><p>agente externo ao trazer a carga positiva de 𝑟𝐵 para 𝑟𝐴. Isto concorda com o modelo físico que mostra</p><p>que duas cargas iguais se repelem.</p><p>Muitas vezes é conveniente falarmos em potencial, ou potencial absoluto, de um ponto em</p><p>vez de diferença de potencial entre dois pontos, mas isto significa somente que concordamos em</p><p>medir toda diferença de potencial em relação a um ponto referencial específico, o qual consideramos</p><p>ter potencial igual a zero.</p><p>O ponto de referência de zero mais universal para medidas físicas ou experimentais de</p><p>potencia é a “terra”, entendida como sendo o potencial da região da superfície da Terra. Outro “ponto”</p><p>de referência amplamente utilizado é o infinito. Este normalmente aparece em problemas teóricos.</p><p>Mais uma consideração de referencial pode ser feita para o caso de um cabo coaxial, no qual o</p><p>condutor externo é escolhido como o zero de referência para o potencial. Nota-se, portanto, que o</p><p>ponto de referência de zero pode assumir inúmeras denominações distintas dependendo da aplicação</p><p>específica em que está sendo usado.</p><p>Se o potencial num ponto A é 𝑉𝐴 e num ponto B é 𝑉𝐵, então</p><p>𝑉𝐴𝐵 = 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵</p><p>onde necessariamente concordamos que 𝑉𝐴 e 𝑉𝐵 devem possuir o mesmo ponto de zero de</p><p>referência. Observa-se que esta notação de 𝑉𝐴𝐵 é diferente da empregada na análise vetorial onde</p><p>𝑟𝐴𝐵 = 𝑟𝐵 − 𝑟𝐴.</p><p>4.4 Campo Potencial de uma Carga Pontual</p><p>Na seção anterior, encontramos uma expressão para a diferença de potencial entre dois</p><p>pontos localizados em r= 𝑟𝐴 e 𝑟 = 𝑟𝐵, imersos no campo de uma carga pontual Q localizada na origem.</p><p>𝑉𝐴𝐵 =</p><p>𝑄</p><p>4𝜋𝜀0</p><p>(</p><p>1</p><p>𝑟𝐴</p><p>−</p><p>1</p><p>𝑟𝐵</p><p>) = 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵</p><p>Considerou-se que os dois pontos pertenciam à mesma linha radial. Agora, consideraremos</p><p>dois pontos A e B com deslocamentos também nas coordenadas 𝜃 e 𝜙, conforme pode figura abaixo.</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>52</p><p>O comprimento diferencial do caminho 𝑑�⃗⃗� possui as componentes 𝑟, 𝜃 e 𝜙, e o campo elétrico</p><p>possui somente a componente radial. Tomando, então, o produto escalar, temos apenas</p><p>𝑉𝐴𝐵 = −∫ �⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗�</p><p>𝐴</p><p>𝐵</p><p>= −∫ 𝐸𝑟𝑑𝑟</p><p>𝑟𝐴</p><p>𝑟𝐵</p><p>= −∫</p><p>𝑄</p><p>4𝜋𝜀0𝑟</p><p>2</p><p>𝑑𝑟</p><p>𝑟𝐴</p><p>𝑟𝐵</p><p>=</p><p>𝑄</p><p>4𝜋𝜀0</p><p>(</p><p>1</p><p>𝑟𝐴</p><p>−</p><p>1</p><p>𝑟𝐵</p><p>)</p><p>Obtemos a mesma resposta e concluímos, portanto, que a diferença de potencial entre dois</p><p>pontos em um campo de uma carga pontual depende somente da distância de cada ponto à carga e</p><p>não do caminho particular usado para deslocar uma unidade de carga de um ponto para outro.</p><p>Agora, se considerarmos 𝑉 = 0 no infinito, o potencial em 𝑟𝐴 torna-se</p><p>𝑉𝐴 =</p><p>𝑄</p><p>4𝜋𝜀0𝑟𝐴</p><p>ou, como não há motivo para identificar este ponto com o índice A,</p><p>𝑉 =</p><p>𝑄</p><p>4𝜋𝜀0𝑟</p><p>Podemos também definir uma superfície equipotencial como sendo uma superfície composta</p><p>por todos aqueles pontos que possuem o mesmo valor de potencial. Nenhum trabalho está envolvido</p><p>no deslocamento de uma unidade de carga sobre uma superfície equipotencial, pois, por definição,</p><p>não há diferença de potencial entre dois pontos quaisquer desta superfície.</p><p>Observação: pode-se escrever, genericamente, que o trabalho para se movimentar uma carga</p><p>de um ponto inicial B até um ponto final A é</p><p>𝑊 = 𝑄𝑉𝐴𝐵</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>53</p><p>4.5 Campo Potencial de um Sistema de Cargas e Propriedade</p><p>Conservativa dos Campos Potenciais</p><p>O potencial de uma carga pontual simples, identificada por 𝑄1 e localizada em 𝑟1, envolve</p><p>somente a distância da carga ao ponto 𝑟 onde se procura estabelecer o valor do potencial. Para um</p><p>zero de referência no infinito, temos</p><p>𝑉(𝑟) =</p><p>𝑄1</p><p>4𝜋𝜀0|𝑟 − 𝑟1|</p><p>O potencial devido a duas cargas, 𝑄1 em 𝑟1 e 𝑄2 em 𝑟2, é função somente das distâncias de</p><p>cada uma das cargas ao ponto do campo, ou ainda,</p><p>𝑉(𝑟) =</p><p>𝑄1</p><p>4𝜋𝜀0|𝑟 − 𝑟1|</p><p>+</p><p>𝑄2</p><p>4𝜋𝜀0|𝑟 − 𝑟2|</p><p>Continuando a adicionar cargas, encontramos que o potencial devido a n cargas pontuais é</p><p>𝑉(𝑟) =</p><p>𝑄1</p><p>4𝜋𝜀0|𝑟 − 𝑟1|</p><p>+</p><p>𝑄2</p><p>4𝜋𝜀0|𝑟 − 𝑟2|</p><p>+ ⋯+</p><p>𝑄𝑛</p><p>4𝜋𝜀0|𝑟 − 𝑟𝑛|</p><p>Se agora cada carga pontual for representada como um pequeno elemento com uma</p><p>distribuição volumétrica contínua de carga igual a 𝜌𝑣Δ𝑣, então</p><p>𝑉(𝑟) =</p><p>𝜌𝑣(𝑟1) Δ𝑣1</p><p>4𝜋𝜀0|𝑟 − 𝑟1|</p><p>+</p><p>𝜌𝑣(𝑟2) Δ𝑣2</p><p>4𝜋𝜀0|𝑟 − 𝑟2|</p><p>+ ⋯+</p><p>𝜌𝑣(𝑟𝑛) Δ𝑣𝑛</p><p>4𝜋𝜀0|𝑟 − 𝑟𝑛|</p><p>Fazendo o número de elementos tornar infinito, podemos obter a expressão do potencial por</p><p>meio da integral:</p><p>𝑉(𝑟) = ∫</p><p>𝜌𝑣(𝑟′) 𝑑𝑣′</p><p>4𝜋𝜀0|𝑟 − 𝑟′|</p><p>𝑣𝑜𝑙</p><p>Esta expressão é válida para uma distribuição volumétrica de cargas. Para o caso de uma</p><p>distribuição linear ou superficial de cargas, tem-se, respectivamente,</p><p>𝑉(𝑟) = ∫</p><p>𝜌𝐿(𝑟′) 𝑑𝐿′</p><p>4𝜋𝜀0|𝑟 − 𝑟′|</p><p>𝑉(𝑟) = ∫</p><p>𝜌𝑆(𝑟′) 𝑑𝑆′</p><p>4𝜋𝜀0|𝑟 − 𝑟′|</p><p>𝑠𝑢𝑝</p><p>Com estas três últimas equações pode-se calcular o potencial de qualquer distribuição de</p><p>cargas. Para ilustrar o uso de uma destas integrais vamos determinar V no eixo z para uma linha de</p><p>cargas uniforme 𝜌𝐿 na forma de um anel com 𝜌 = 𝑎 localizado no plano 𝑧 = 0, como mostrado na</p><p>figura a seguir.</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>54</p><p>Temos, para tal exemplo:</p><p>𝑑𝐿′ = 𝜌 𝑑𝜙 = 𝑎 𝑑𝜙′; 𝑟 = 𝑧 �̂�𝑧; 𝑟′ = 𝑎 �̂�𝜌</p><p>Então,</p><p>|𝑟 − 𝑟′| = √𝑎2 + 𝑧2</p><p>e</p><p>𝑉(𝑟) = ∫</p><p>𝜌𝐿 𝑎 𝑑𝜙′</p><p>4𝜋𝜀0√𝑎2 + 𝑧2</p><p>2𝜋</p><p>0</p><p>=</p><p>𝜌𝐿 𝑎</p><p>2𝜀0√𝑎2 + 𝑧2</p><p>Para um zero de referência no infinito, podemos concluir que:</p><p>1. O potencial devido a uma única carga pontual é o trabalho realizado no deslocamento</p><p>de uma unidade de carga positiva (1C) do infinito ao ponto no qual desejamos</p><p>conhecer o potencial, sendo o trabalho independente do caminho escolhido entre</p><p>estes dois pontos.</p><p>2. O campo potencial na presença de um certo número de cargas pontuais é a soma dos</p><p>campos potenciais individuais originados de cada carga.</p><p>3. O potencial devido a um certo número de cargas pontuais ou devido a quaisquer</p><p>distribuições contínuas</p><p>de cargas pode ser encontrado ao deslocarmos uma unidade</p><p>de carga do infinito ao ponto em questão ao longo de qualquer caminho escolhido.</p><p>Reconhecendo-se, portanto, em se tratando de eletrostática, que nenhum trabalho é realizado</p><p>no deslocamento de uma unidade de carga ao longo de qualquer caminho fechado, tem-se</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>55</p><p>∮ �⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗� = 0</p><p>Lembrando-se que a diferença de potencial é dada por: 𝑉𝐴𝐵 = −∫ �⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗�</p><p>𝐴</p><p>𝐵</p><p>.</p><p>A integral para um caminho fechado é representada por um pequeno círculo sobre o símbolo</p><p>de integral. Este símbolo é o mesmo usado para designar a superfície fechada da lei de Gauss e, aqui,</p><p>é chamada integral de linha fechada.</p><p>A equação em questão somente é verdadeira para campos estáticos, ou seja, onde �⃗⃗� não varia</p><p>com o tempo.</p><p>Qualquer campo que satisfaça uma equação da forma apresentada (isto é, onde a integral de</p><p>linha fechada do campo seja zero), é dito um campo conservativo. O nome surge do fato de que</p><p>nenhum trabalho é realizado (ou que a energia é conservada) em torno do caminho fechado. Um</p><p>exemplo de campo conservativo é o campo gravitacional, pois qualquer energia gasta na</p><p>movimentação (elevação) de um objeto contra o campo é exatamente recuperada quando o objeto é</p><p>retornado (abaixado) à sua posição inicial.</p><p>4.6 Gradiente do Campo Potencial Elétrico</p><p>Temos agora dois métodos de determinação do potencial, um diretamente a partir da</p><p>intensidade de campo elétrico por meio de uma integral de linha e outro a partir da distribuição de</p><p>cargas em si através de uma integral de volume. Entretanto, nenhum dos métodos é muito útil na</p><p>determinação dos campos potenciais para a maioria dos problemas práticos, pois, nem a intensidade</p><p>do campo elétrico nem a distribuição de cargas são freqüentemente conhecidas.</p><p>Já estas grandezas podem ser facilmente obtidas a partir do campo potencial, e nosso objetivo</p><p>imediato será obter um método simples de determinação da intensidade de campo elétrico a partir</p><p>do potencial.</p><p>Já sabemos que</p><p>𝑉 = −∫ �⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗�</p><p>Esta equação quando aplicada a um pequeníssimo elemento de comprimento Δ�⃗⃗� ao longo do</p><p>qual �⃗⃗� é essencialmente constante, leva a uma diferença de potencial incremental 𝛥𝑉,</p><p>𝛥𝑉 = −�⃗⃗� ∙ 𝛥�⃗⃗�</p><p>Considere uma região qualquer do espaço, como mostrado na figura abaixo, na qual �⃗⃗� e 𝑉</p><p>variam à medida que nos movemos de um ponto a outro.</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>56</p><p>Se designarmos o ângulo entre 𝛥�⃗⃗� e �⃗⃗� como 𝜃, conforme figura, então</p><p>𝛥𝑉 = −𝐸 𝛥𝐿 𝑐𝑜𝑠𝜃</p><p>Mudando os termos de incremental para infinitesimal, temos</p><p>𝑑𝑉 = −𝐸 𝑑𝐿 𝑐𝑜𝑠𝜃</p><p>Destacando-se a derivada 𝑑𝑉/𝑑𝐿</p><p>𝑑𝑉</p><p>𝑑𝐿</p><p>= −𝐸 𝑐𝑜𝑠𝜃</p><p>Diante destas equações pergunta-se: em que direção 𝛥�⃗⃗� deve ser colocado para obter o</p><p>máximo valor de 𝛥𝑉? Lembre que �⃗⃗� é um valor definido no ponto e é independente da direção de 𝛥�⃗⃗�.</p><p>A magnitude de 𝛥𝐿 é também constante. Então, obviamente, o máximo incremento positivo do</p><p>potencial 𝛥𝑉𝑚𝑎𝑥 ocorrerá quando 𝑐𝑜𝑠𝜃 for igual a -1, ou seja, quando 𝛥�⃗⃗� apontar na direção oposta a</p><p>�⃗⃗�. Para esta condição,</p><p>𝑑𝑉</p><p>𝑑𝐿</p><p>|</p><p>𝑚𝑎𝑥</p><p>= 𝐸</p><p>Este pequeno exercício nos mostra duas características da relação entre �⃗⃗� e V em qualquer</p><p>ponto:</p><p>1. A magnitude da intensidade de campo elétrico é dada pelo máximo valor da taxa de</p><p>variação do potencial com a distância.</p><p>2. O máximo valor é obtido quando a direção do comprimento incremental é oposta a �⃗⃗�</p><p>ou, em outras palavras, a direção de �⃗⃗� é oposta à direção na qual o potencial está</p><p>aumentando mais rapidamente.</p><p>A figura abaixo mostra as superfícies equipotenciais de um determinado campo potencial.</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>57</p><p>Como já é de conhecimento de todos, o vetor �⃗⃗�, em qualquer ponto do espaço em que há</p><p>superfícies equipotenciais, é perpendicular à mesma (na direção do potencial decrescente). Todavia,</p><p>se 𝛥�⃗⃗� estiver dirigido ao longo de uma equipotencial, 𝛥𝑉 será igual a zero pela nossa definição de</p><p>superfície equipotencial e, conseqüentemente,</p><p>𝛥𝑉 = −�⃗⃗� ∙ 𝛥�⃗⃗� = 0</p><p>e como nem �⃗⃗� nem 𝛥�⃗⃗� são iguais a zero, �⃗⃗� deve ser perpendicular a 𝛥�⃗⃗�, ou seja, perpendicular às</p><p>equipotenciais, o que reforça o que já foi dito a pouco.</p><p>Considerando-se �̂�𝑁 um vetor unitário normal à superfície equipotencial e apontando na</p><p>direção dos maiores potenciais, podemos dizer que a intensidade de campo elétrico em termos do</p><p>potencia é</p><p>�⃗⃗� = −</p><p>𝑑𝑉</p><p>𝑑𝐿</p><p>|</p><p>𝑚𝑎𝑥</p><p>�̂�𝑁</p><p>Esta expressão mostra que a magnitude de �⃗⃗� é dada pela taxa de máxima variação de V e que</p><p>sua direção é normal à superfície equipotencial (na direção de potencial decrescente – devido ao sinal</p><p>negativo).</p><p>Como 𝑑𝑉 𝑑𝐿⁄ |𝑚𝑎𝑥 ocorre quando 𝛥�⃗⃗� está na direção de �̂�𝑁</p><p>(normal à superfície), podemos</p><p>nos lembrar deste fato escrevendo</p><p>𝑑𝑉</p><p>𝑑𝐿</p><p>|</p><p>𝑚𝑎𝑥</p><p>=</p><p>𝑑𝑉</p><p>𝑑𝑁</p><p>e</p><p>�⃗⃗� = −</p><p>𝑑𝑉</p><p>𝑑𝑁</p><p>�̂�𝑁</p><p>Esta equação é descritiva de um procedimento geral que aparece em outros campos da</p><p>engenharia e da física. A operação em V pela qual se obtém �⃗⃗� é conhecida como gradiente. O</p><p>gradiente de um campo escalar T é definido como</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>58</p><p>𝐺𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑇 = 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑇 =</p><p>𝑑𝑇</p><p>𝑑𝑁</p><p>�̂�𝑁</p><p>onde �̂�𝑁 é um vetor unitário normal à superfície equipotencial e que a normal é escolhida de modo</p><p>que aponte para valores crescentes de T. Usando este novo termo,</p><p>�⃗⃗� = −𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑉</p><p>Como V é uma função unívoca de x, y, z, ou seja, o potencial é uma função singular de um</p><p>ponto (𝑥, 𝑦, 𝑧), podemos então usar a derivada total</p><p>𝑑𝑉 =</p><p>𝜕𝑉</p><p>𝜕𝑥</p><p>𝑑𝑥 +</p><p>𝜕𝑉</p><p>𝜕𝑦</p><p>𝑑𝑦 +</p><p>𝜕𝑉</p><p>𝜕𝑧</p><p>𝑑𝑧</p><p>ou seja, pode-se dizer que a variação total de potencial é a somatória das variações parciais de</p><p>potencial em cada eixo multiplicadas pelas respectivas variações lineares nos mesmos.</p><p>E temos também que</p><p>�⃗⃗� = −𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑉 = −</p><p>𝑑𝑉</p><p>𝑑𝑁</p><p>�̂�𝑁 = −</p><p>1</p><p>𝑑𝑁</p><p>(</p><p>𝜕𝑉</p><p>𝜕𝑥</p><p>𝑑𝑥 +</p><p>𝜕𝑉</p><p>𝜕𝑦</p><p>𝑑𝑦 +</p><p>𝜕𝑉</p><p>𝜕𝑧</p><p>𝑑𝑧) �̂�𝑁</p><p>𝐸𝑥�̂�𝑥 = −</p><p>1</p><p>𝑑𝑥</p><p>(</p><p>𝜕𝑉</p><p>𝜕𝑥</p><p>𝑑𝑥 +</p><p>𝜕𝑉</p><p>𝜕𝑦</p><p>𝑑𝑦 +</p><p>𝜕𝑉</p><p>𝜕𝑧</p><p>𝑑𝑧) �̂�𝑥 = −</p><p>𝜕𝑉</p><p>𝜕𝑥</p><p>�̂�𝑥</p><p>𝐸𝑦�̂�𝑦 = −</p><p>1</p><p>𝑑𝑦</p><p>(</p><p>𝜕𝑉</p><p>𝜕𝑥</p><p>𝑑𝑥 +</p><p>𝜕𝑉</p><p>𝜕𝑦</p><p>𝑑𝑦 +</p><p>𝜕𝑉</p><p>𝜕𝑧</p><p>𝑑𝑧) �̂�𝑦 = −</p><p>𝜕𝑉</p><p>𝜕𝑦</p><p>�̂�𝑦</p><p>𝐸𝑧�̂�𝑧 = −</p><p>1</p><p>𝑑𝑧</p><p>(</p><p>𝜕𝑉</p><p>𝜕𝑥</p><p>𝑑𝑥 +</p><p>𝜕𝑉</p><p>𝜕𝑦</p><p>𝑑𝑦 +</p><p>𝜕𝑉</p><p>𝜕𝑧</p><p>𝑑𝑧) �̂�𝑧 = −</p><p>𝜕𝑉</p><p>𝜕𝑧</p><p>�̂�𝑧</p><p>Portanto,</p><p>𝐸𝑥 = −</p><p>𝜕𝑉</p><p>𝜕𝑥</p><p>𝐸𝑦 = −</p><p>𝜕𝑉</p><p>𝜕𝑦</p><p>𝐸𝑧 = −</p><p>𝜕𝑉</p><p>𝜕𝑧</p><p>Estes resultados podem ser combinados vetorialmente para fornecer</p><p>�⃗⃗� = − (</p><p>𝜕𝑉</p><p>𝜕𝑥</p><p>�̂�𝑥 +</p><p>𝜕𝑉</p><p>𝜕𝑦</p><p>�̂�𝑦 +</p><p>𝜕𝑉</p><p>𝜕𝑧</p><p>�̂�𝑧) = −𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑉</p><p>Então a expressão para o gradiente será</p><p>𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑉 =</p><p>𝜕𝑉</p><p>𝜕𝑥</p><p>�̂�𝑥 +</p><p>𝜕𝑉</p><p>𝜕𝑦</p><p>�̂�𝑦 +</p><p>𝜕𝑉</p><p>𝜕𝑧</p><p>�̂�𝑧</p><p>O operador vetorial �⃗⃗� (nabla) foi definido anteriormente como</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>59</p><p>�⃗⃗� =</p><p>𝜕</p><p>𝜕𝑥</p><p>�̂�𝑥 +</p><p>𝜕</p><p>𝜕𝑦</p><p>�̂�𝑦 +</p><p>𝜕</p><p>𝜕𝑧</p><p>�̂�𝑧</p><p>Portanto,</p><p>𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑉 = �⃗⃗�𝑉 =</p><p>𝜕𝑉</p><p>𝜕𝑥</p><p>�̂�𝑥 +</p><p>𝜕𝑉</p><p>𝜕𝑦</p><p>�̂�𝑦 +</p><p>𝜕𝑉</p><p>𝜕𝑧</p><p>�̂�𝑧</p><p>Como está evidenciado, o gradiente de um escalar (tal como o potencial) resulta em um vetor.</p><p>Retomando-se a expressão anterior, podemos escrever que</p><p>�⃗⃗� = −�⃗⃗�𝑉</p><p>O gradiente pode ser expresso em termos das derivadas parciais em outros sistemas de</p><p>coordenadas através da aplicação de sua definição, ou seja,</p><p>�⃗⃗�𝑉 =</p><p>𝜕𝑉</p><p>𝜕𝑥</p><p>�̂�𝑥 +</p><p>𝜕𝑉</p><p>𝜕𝑦</p><p>�̂�𝑦 +</p><p>𝜕𝑉</p><p>𝜕𝑧</p><p>�̂�𝑧 (𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑖𝑎𝑛𝑎𝑠)</p><p>�⃗⃗�𝑉 =</p><p>𝜕𝑉</p><p>𝜕𝜌</p><p>�̂�𝜌 +</p><p>1</p><p>𝜌</p><p>𝜕𝑉</p><p>𝜕𝜙</p><p>�̂�𝜙 +</p><p>𝜕𝑉</p><p>𝜕𝑧</p><p>�̂�𝑧 (𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑐𝑖𝑙í𝑛𝑑𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠)</p><p>�⃗⃗�𝑉 =</p><p>𝜕𝑉</p><p>𝜕𝑟</p><p>�̂�𝑟 +</p><p>1</p><p>𝑟</p><p>𝜕𝑉</p><p>𝜕𝜃</p><p>�̂�𝜃 +</p><p>1</p><p>𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃</p><p>𝜕𝑉</p><p>𝜕𝜙</p><p>�̂�𝜙 (𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑒𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠)</p><p>4.7 Dipolo Elétrico</p><p>Um dipolo elétrico, ou simplesmente dipolo, é o nome dado a duas cargas pontuais de mesma</p><p>magnitude e sinais opostos, separadas por uma distância muito pequena quando comparada com a</p><p>distância ao ponto P no qual desejamos conhecer os campos potencial e elétrico, conforme figura a</p><p>seguir representada em coordenadas esféricas.</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>60</p><p>Primeiramente calcularemos o potencial V, por se tratar de uma grandeza mais simples (não</p><p>vetorial, de valor absoluto) e, posteriormente, determina-se a intensidade de campo elétrico �⃗⃗� por</p><p>meio da operação do gradiente.</p><p>Considerando, conforme figura anterior, a distância de Q e -Q a P como sendo 𝑅1 e 𝑅2 ,</p><p>respectivamente, de forma que o potencial total em P possa ser escrito como</p><p>𝑉 =</p><p>𝑄</p><p>4𝜋𝜀0𝑅1</p><p>−</p><p>𝑄</p><p>4𝜋𝜀0𝑅2</p><p>=</p><p>𝑄</p><p>4𝜋𝜀0</p><p>(</p><p>1</p><p>𝑅1</p><p>−</p><p>1</p><p>𝑅2</p><p>) =</p><p>𝑄</p><p>4𝜋𝜀0</p><p>𝑅2 − 𝑅1</p><p>𝑅1𝑅2</p><p>Para um ponto distante, 𝑅1 ≅ 𝑅2. Então o produto 𝑅1𝑅2 no denominador pode ser substituído</p><p>por 𝑟2. E, considerando 𝑅1 e 𝑅2 paralelos, conforme figura abaixo, podemos escrever</p><p>𝑅2 − 𝑅1 = 𝑑 𝑐𝑜𝑠𝜃</p><p>O resultado final é, então,</p><p>𝑉 =</p><p>𝑄 𝑑 𝑐𝑜𝑠𝜃</p><p>4𝜋𝜀0𝑟</p><p>2</p><p>Note que o plano 𝑧 = 0 está no potencial zero, pois 𝜃 = 90°.</p><p>Aplicando-se a relação do gradiente é possível encontrar a expressão do campo elétrico a partir</p><p>deste campo potencial:</p><p>�⃗� =</p><p>𝑄𝑑</p><p>4𝜋𝜀0𝑟</p><p>3</p><p>(2𝑐𝑜𝑠𝜃�̂�𝑟 + 𝑠𝑒𝑛𝜃�̂�𝜃)</p><p>O campo potencial do dipolo pode ser simplificado fazendo-se uso do momento do dipolo.</p><p>Primeiramente identifica-se o vetor comprimento dirigido de -Q a +Q como 𝑑 e, então, define-se o</p><p>momento do dipolo como 𝑄𝑑, o qual será representado pelo símbolo 𝑝. Assim,</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>61</p><p>𝑝 = 𝑄𝑑</p><p>As unidades de 𝑝 são 𝐶.𝑚. Como 𝑑 ∙ �̂�𝑟 = 𝑑 𝑐𝑜𝑠𝜃, temos então</p><p>𝑉 =</p><p>𝑄𝑑 ∙ �̂�𝑟</p><p>4𝜋𝜀0𝑟</p><p>2</p><p>=</p><p>𝑝 ∙ �̂�𝑟</p><p>4𝜋𝜀0𝑟</p><p>2</p><p>Este resultado pode ser generalizado, para um dipolo que não tenha seu ponto central na</p><p>origem, como</p><p>𝑉 =</p><p>1</p><p>4𝜋𝜀0|𝑟 − 𝑟′|2</p><p>𝑝 ∙</p><p>𝑟 − 𝑟′</p><p>|𝑟 − 𝑟′|</p><p>4.8 Densidade de Energia no Campo Eletrostático</p><p>Para determinarmos a energia potencial presente em um sistema de cargas, precisamos</p><p>determinar o trabalho realizado por um agente externo para posicionar as cargas neste sistema.</p><p>Podemos começar visualizando um universo vazio. Trazer a carga 𝑄1 do infinito para qualquer</p><p>posição não requer trabalho, já que não há campo presente. O posicionamento de 𝑄2 em um ponto</p><p>do campo de 𝑄1 requer uma quantidade de trabalho dada pelo produto da carga 𝑄2 pelo potencial</p><p>naquele ponto devido a 𝑄1. Representamos este potencial por 𝑉2,1, onde o primeiro índice indica a</p><p>localização e o segundo índice, a fonte. Então,</p><p>𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙ℎ𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟 𝑄2 = 𝑄2𝑉2,1</p><p>Do mesmo modo, podemos expressar o trabalho necessário para posicionar cada carga</p><p>adicional no campo de todas as cargas já presente:</p><p>𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙ℎ𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟 𝑄3 = 𝑄3𝑉3,1 + 𝑄3𝑉3,2</p><p>𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙ℎ𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟 𝑄4 = 𝑄4𝑉4,1 + 𝑄4𝑉4,2 + 𝑄4𝑉4,3</p><p>e assim por diante. O trabalho total 𝑊𝐸 é obtido somando-se cada contribuição:</p><p>𝑊𝐸 = 𝑄2𝑉2,1 + 𝑄3𝑉3,1 + 𝑄3𝑉3,2 + 𝑄4𝑉4,1 + 𝑄4𝑉4,2 + 𝑄4𝑉4,3 + ⋯</p><p>Observando-se a forma de um termo representativo da equação acima, podemos escrever</p><p>𝑄2𝑉2,1 = 𝑄2</p><p>𝑄1</p><p>4𝜋𝜀0𝑅21</p><p>= 𝑄1</p><p>𝑄2</p><p>4𝜋𝜀0𝑅12</p><p>= 𝑄1𝑉1,2</p><p>Se cada termo da expressão da energia total é substituído por seu equivalente, temos</p><p>𝑊𝐸 = 𝑄1𝑉1,2 + 𝑄1𝑉1,3 + 𝑄2𝑉2,3 + 𝑄1𝑉1,4 + 𝑄2𝑉2,4 + 𝑄3𝑉3,4 + ⋯</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>62</p><p>Multiplicando a expressão anterior por 2 e realizando algumas substituições por equivalentes,</p><p>pode-se chegar à seguinte simplificação</p><p>2𝑊𝐸 = 𝑄1(𝑉1,2 + 𝑉1,3 + 𝑉1,4 + ⋯) + 𝑄2(𝑉2,1 + 𝑉2,3 + 𝑉2,4 + ⋯)</p><p>+𝑄3(𝑉3,1 + 𝑉3,2 + 𝑉3,4 + ⋯) + 𝑄4(𝑉4,1 + 𝑉4,2 + 𝑉4,3 + ⋯) + ⋯</p><p>Cada soma dos potenciais em parênteses é o potencial combinado devido a todas as cargas</p><p>exceto a carga no ponto onde o potencial combinado está sendo determinado. Em outras palavras,</p><p>𝑉1,2 + 𝑉1,3 + 𝑉1,4 + ⋯ = 𝑉1</p><p>O potencial na localização de 𝑄1 devido à presença de 𝑄2, 𝑄3, 𝑄4, ⋯ . Temos, portanto,</p><p>𝑊𝐸 =</p><p>1</p><p>2</p><p>(𝑄1𝑉1 + 𝑄2𝑉2 + 𝑄3𝑉3 + 𝑄4𝑉4 + ⋯) =</p><p>1</p><p>2</p><p>∑𝑄𝑛𝑉𝑛</p><p>𝑛</p><p>Para obtermos uma expressão para a energia armazenada em uma região de distribuição de</p><p>carga contínua, cada carga é substituída por 𝜌𝑛𝑑𝑣, e o somatório se torna uma integral,</p><p>𝑊𝐸 =</p><p>1</p><p>2</p><p>∫ 𝜌𝑣𝑉𝑑𝑣</p><p>𝑣𝑜𝑙</p><p>Usando a primeira equação de Maxwell e aplicando algumas identidades vetoriais,</p><p>𝑊𝐸 =</p><p>1</p><p>2</p><p>∫ (�⃗⃗� ∙ �⃗⃗⃗�)𝑉𝑑𝑣</p><p>𝑣𝑜𝑙</p><p>= −</p><p>1</p><p>2</p><p>∫ �⃗⃗⃗� ∙ (�⃗⃗�𝑉)𝑑𝑣</p><p>𝑣𝑜𝑙</p><p>Substituindo-se �⃗⃗� = −�⃗⃗�𝑉 na integral de volume,</p><p>𝑊𝐸 =</p><p>1</p><p>2</p><p>∫ �⃗⃗⃗� ∙ �⃗⃗� 𝑑𝑣</p><p>𝑣𝑜𝑙</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>∫ 𝜀0𝐸</p><p>2𝑑𝑣</p><p>𝑣𝑜𝑙</p><p>Se tomarmos a equação anterior na forma diferencial, teremos</p><p>𝑑𝑊𝐸 =</p><p>1</p><p>2</p><p>�⃗⃗⃗� ∙ �⃗⃗� 𝑑𝑣</p><p>ou ainda,</p><p>𝑑𝑊𝐸</p><p>𝑑𝑣</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>�⃗⃗⃗� ∙ �⃗⃗�</p><p>com isto obtemos a densidade de energia, ou joules por metro cúbico, de um campo eletrostático.</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>63</p><p>5 – CONDUTORES, DIELÉTRICOS E CAPACITÂNCIA</p><p>5.1 Corrente e Densidade de Corrente</p><p>Cargas elétricas em movimento constituem a corrente elétrica. A unidade de corrente é o</p><p>ampère (A) e tem o símbolo 𝐼 e, portanto, pode ser expressa por</p><p>𝐼 =</p><p>𝑑𝑄</p><p>𝑑𝑡</p><p>A corrente é, então, definida como o movimento de cargas positiva, embora a condução em</p><p>metais seja constituída pelo movimento de elétrons, trata-se de uma grandeza escalar.</p><p>Outro conceito amplamente utilizado é a densidade de corrente, que é dada pela razão da</p><p>corrente pela área da seção transversal que a mesma atravessa. A densidade de corrente é uma</p><p>grandeza vetorial, representada por 𝐽 e tem por unidade no Sistema Internacional 𝐴/𝑚2. O valor</p><p>absoluto da mesma pode ser escrito em um ponto infinitesimal como</p><p>𝐽 =</p><p>𝑑𝐼</p><p>𝑑𝑆</p><p>A corrente total é obtida pela integração</p><p>𝐼 = ∫ 𝐽 ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>O incremento de corrente ∆𝐼 que atravessa uma superfície incremental ∆𝑆 , normal à</p><p>densidade de corrente, é</p><p>∆𝐼 = 𝐽𝑁 ∆𝑆</p><p>Considere agora um incremento de carga ∆𝑄, conforme figura abaixo, movendo-se somente</p><p>no eixo x. Este incremento de carga pode ser escrito como ∆𝑄 = 𝜌𝑣 ∆𝑣. Caso este incremento mova</p><p>uma distância ∆𝑥 num intervalo de tempo ∆𝑡, podemos ainda escrever</p><p>∆𝐼 =</p><p>∆𝑄</p><p>∆𝑡</p><p>=</p><p>𝜌𝑣 ∆𝑣</p><p>∆𝑡</p><p>=</p><p>𝜌𝑣 ∆𝑆∆𝑥</p><p>∆𝑡</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>64</p><p>Se tomarmos o limite da distância em que ocorre o movimento em relação ao tempo, temos</p><p>∆𝐼 = 𝜌𝑣 ∆𝑆 𝑣𝑥</p><p>onde 𝑣𝑥 representa a componente x da velocidade �⃗�. Em termos da densidade de corrente, temos</p><p>então,</p><p>𝐽𝑥 =</p><p>∆𝐼</p><p>∆𝑆</p><p>=</p><p>𝜌𝑣 ∆𝑆 𝑣𝑥</p><p>∆𝑆</p><p>= 𝜌𝑣 𝑣𝑥</p><p>e, de forma geral,</p><p>𝐽 = 𝜌𝑣 �⃗�</p><p>Este último resultado mostra muito claramente que carga em movimento constitui a corrente.</p><p>Denominamos este tipo de corrente de corrente de convecção, e 𝐽 é a densidade de corrente de</p><p>convecção.</p><p>Note que a densidade de corrente de convecção está linearmente relacionada à densidade de</p><p>carga bem como à velocidade. A densidade de fluxo de carros de uma secção transversal de um túnel</p><p>(carros por metro quadrado – de seção transfersal do túnel – por segundo) pode ser aumentada por</p><p>meio da elevação da densidade de carros por metro cúbico presentes no túnel (provocado, por</p><p>exemplo, através do aumento do número</p><p>de pistas do túnel, sem que haja variação no raio do mesmo)</p><p>ou por meio do aumento da velocidade média dos carros.</p><p>5.2 Continuidade de Corrente</p><p>O princípio de conservação de carga afirma simplesmente que cargas não podem ser criadas</p><p>nem destruídas, embora quantidades iguais de cargas positivas e negativas possam ser</p><p>simultaneamente originadas (obtidas por separação) ou destruídas (perdidas por recombinação).</p><p>A equação da continuidade segue este princípio quando consideramos qualquer região</p><p>limitada por uma superfície fechada. A corrente através da superfície fechada é</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>65</p><p>𝐼 = ∮𝐽 ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>e este fluxo para fora de cargas positivas deve ser equilibrado pela diminuição de cargas positivas (ou</p><p>aumento de cargas negativas) dentro da superfície fechada. Se a carga dentro da superfície fechada é</p><p>representada por 𝑄𝑖, então a taxa de decaimento é −𝑑𝑄𝑖/𝑑𝑡 e o princípio da conservação de cargas</p><p>requer que</p><p>𝐼 = ∮ 𝐽 ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>= −</p><p>𝑑𝑄𝑖</p><p>𝑑𝑡</p><p>A equação anterior é a forma integral da equação da continuidade, sendo a forma diferencial,</p><p>ou pontual, obtida usando-se o teorema da divergência para transformar a integral de superfície em</p><p>uma integral de volume:</p><p>∮𝐽 ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>= ∫ (∇⃗⃗⃗ ∙ 𝐽)𝑑𝑣</p><p>𝑣𝑜𝑙</p><p>Lembrando que 𝐽 é representativo de uma densidade que sai de uma superfície fechada assim</p><p>como �⃗⃗⃗� também o é, por isso a aplicação do teorema da divergência é possível.</p><p>Em seguida, podemos usar a carga 𝑄𝑖 envolvida pela integral de volume da densidade de carga,</p><p>tornando-se a equação</p><p>∫ (∇⃗⃗⃗ ∙ 𝐽)𝑑𝑣</p><p>𝑣𝑜𝑙</p><p>= 𝐼 = −</p><p>𝑑𝑄𝑖</p><p>𝑑𝑡</p><p>= −</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑡</p><p>∫ 𝜌𝑣 𝑑𝑣</p><p>𝑣𝑜𝑙</p><p>Se mantivermos a superfície constante ao longo do tempo, a derivada pode aparecer dentro</p><p>da integral se tornando uma derivada parcial,</p><p>∫ (∇⃗⃗⃗ ∙ 𝐽)𝑑𝑣</p><p>𝑣𝑜𝑙</p><p>= 𝐼 = −</p><p>𝑑𝑄𝑖</p><p>𝑑𝑡</p><p>= ∫ (−</p><p>𝜕𝜌𝑣</p><p>𝜕𝑡</p><p>)𝑑𝑣</p><p>𝑣𝑜𝑙</p><p>Portanto, como a expressão é verdadeira para todo volume 𝑑𝑣, temos que a forma pontual da</p><p>equação da continuidade é</p><p>∇⃗⃗⃗ ∙ 𝐽 = −</p><p>𝜕𝜌𝑣</p><p>𝜕𝑡</p><p>Esta equação indica que a corrente, ou a carga por segundo, que diverge de um pequeno</p><p>volume é igual à taxa de diminuição de carga por unidade de volume em cada ponto.</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>66</p><p>5.3 Condutores Metálicos</p><p>Em um material sólido cristalino, como um metal ou um diamante, os elétrons com os maiores</p><p>níveis de energia, os elétrons de valência, estão situados na banda de valência. Se a banda de valência</p><p>se une suavemente com a banda de condução, então uma energia cinética adicional pode ser dada aos</p><p>elétrons de valência por um campo externo, resultando em um fluxo de elétrons. O sólido é chamado</p><p>de condutor metálico. O mesmo está ilustrado na figura (a) a seguir.</p><p>Se, contudo, existir uma banda proibida (gap) entre a banda de valência e a banda de</p><p>condução, então o elétron não pode se mover por meio do recebimento de energia adicional em</p><p>pequenas quantidades e o material é um isolante. Esta estrutura está indicada em (b). Note que, se</p><p>uma quantidade de energia relativamente grande puder ser transferida para o elétron, ele pode ser</p><p>suficientemente excitado para saltar a banda proibida até a próxima banda onde a condução pode</p><p>facilmente ocorrer. Aqui o isolante é rompido.</p><p>Ocorre uma condição intermediária quando somente uma pequena região proibida separa as</p><p>duas bandas, como ilustrada em (c). Pequenas quantidades de energia na forma de calor, luz ou um</p><p>campo elétrico podem aumentar a energia dos elétrons do topo da banda preenchida e fornecer a</p><p>base para condução. Estes materiais são isolantes que dispõem de muitas propriedades dos</p><p>condutores e são chamados semicondutores.</p><p>Os elétrons de condução ou elétrons livres em um condutor se movem sob influência de um</p><p>campo elétrico. Com um campo �⃗⃗�, um elétron de carga 𝑄 = −𝑒 irá experimentar uma força</p><p>�⃗� = −𝑒�⃗⃗�</p><p>No espaço livre, o elétron aceleraria e continuamente aumentaria sua velocidade (e energia);</p><p>no material cristalino, o progresso do elétron é impedido pelas colisões contínuas com a rede de</p><p>estruturas cristalinas termicamente excitadas e uma velocidade média constante é logo atingida. Esta</p><p>velocidade é denominada velocidade de deriva e é representada por �⃗�𝑑 e é linearmente relacionada</p><p>com a intensidade de campo elétrico e pela mobilidade do elétron em um dado material. Designamos</p><p>mobilidade pelo símbolo 𝜇, tal que</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>67</p><p>�⃗�𝑑 = −𝜇𝑒�⃗⃗�</p><p>onde 𝜇𝑒 é a mobilidade de um elétron, a mesma é positiva por definição. Note que a velocidade do</p><p>elétron está em uma direção oposta à direção de �⃗⃗�.</p><p>Substituindo-se esta velocidade de deriva na equação de densidade de corrente anteriormente</p><p>definida (𝐽 = 𝜌𝑣�⃗�), tem-se</p><p>𝐽 = −𝜌𝑒 𝜇𝑒�⃗⃗�</p><p>onde 𝜌𝑒 é a densidade de carga de elétrons livre, um valor negativo. O valor negativo de 𝜌𝑒 e o sinal</p><p>de menos levam a uma densidade de corrente 𝐽 que está na mesma direção da intensidade de campo</p><p>elétrico �⃗⃗�.</p><p>Contudo, a relação entre 𝐽 e �⃗⃗� para um condutor metálico é também especificada pela</p><p>condutividade 𝜎 (sigma),</p><p>𝐽 = 𝜎�⃗⃗�</p><p>onde 𝜎 é medido em siemens por metro (𝑆/𝑚). Siemens (𝑆) é a unidade básica de condutância no</p><p>Sistema Internacional, que é o inverso da unidade básica resistência (𝛺). Chamamos a equação em</p><p>questão de forma pontual da primeira lei de Ohm; em breve veremos uma forma mais comum da lei</p><p>de Ohm.</p><p>Da observação das equações anteriores, a condutividade pode ser expressa em termos da</p><p>densidade de carga e da mobilidade do elétron,</p><p>𝜎 = −𝜌𝑒 𝜇𝑒</p><p>Condutores metálicos em geral apresentam valores de condutividade constantes, isto nos leva</p><p>a concluir que os mesmos obedecem à lei de Ohm. Como a lei de Ohm é uma relação linear, conclui-</p><p>se também que nos condutores metálicos a condutividade é constante sobre largas faixas de</p><p>densidade de corrente e intensidade de campo elétrico. A lei de Ohm e os condutores metálicos são</p><p>também descritos como isotrópicos, ou tendo as mesmas propriedades em todas as direções.</p><p>Entretanto, a condutividade é uma função da temperatura. A resistividade, que é o inverso da</p><p>condutividade e dada em ohm por metro (𝛺/𝑚), varia quase linearmente com a temperatura na</p><p>região da temperatura ambiente. Para alguns metais, a resistividade cai abruptamente a zero na</p><p>temperatura de poucos Kelvin; esta propriedade é denominada supercondutividade. O alumínio é um</p><p>exemplo de supercondutor.</p><p>Pela definição de mobilidade, é interessante notar que uma temperatura mais elevada implica</p><p>uma maior vibração da rede cristalina, maior impedimento de progresso dos elétrons para uma dada</p><p>intensidade de campo elétrico, menor velocidade de deriva, menor mobilidade, menor condutividade</p><p>e maior resistividade.</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>68</p><p>Agora aplicaremos a lei de Ohm na forma pontual em uma região macroscópica. Inicialmente,</p><p>vamos supor que 𝐽 e �⃗⃗� são uniformes, conforme mostrado pela região cilíndrica da figura a seguir.</p><p>Pode-se então escrever</p><p>𝐼 = ∮ 𝐽 ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>= 𝐽𝑆</p><p>e</p><p>𝑉𝑎𝑏 = −∫ �⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗�</p><p>𝑎</p><p>𝑏</p><p>= −�⃗⃗� ∙ (∫ 𝑑�⃗⃗�</p><p>𝑎</p><p>𝑏</p><p>) = −�⃗⃗� ∙ �⃗⃗�𝑏𝑎 = �⃗⃗� ∙ �⃗⃗�𝑎𝑏</p><p>ou</p><p>𝑉 = 𝐸𝐿</p><p>Assim,</p><p>𝐽 = 𝜎𝐸 →</p><p>𝐼</p><p>𝑆</p><p>= 𝜎</p><p>𝑉</p><p>𝐿</p><p>ou</p><p>𝑉 =</p><p>𝐿</p><p>𝜎𝑆</p><p>𝐼</p><p>A razão da diferença de potencial entre os dois terminais do cilindro pela corrente que entra</p><p>no terminal mais positivo é conhecida pela teoria elementar de circuitos como a resistência do cilindro,</p><p>portanto,</p><p>𝑉 = 𝑅𝐼</p><p>esta equação é conhecida também como primeira lei de Ohm.</p><p>Daí pode-se escrever</p><p>𝑅</p><p>=</p><p>𝐿</p><p>𝜎𝑆</p><p>=</p><p>𝜌𝐿</p><p>𝑆</p><p>onde 𝜌, neste caso, representa a resistividade. Esta equação é conhecida como segunda lei de Ohm.</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>69</p><p>5.4 Propriedade dos Condutores e Condições de Fronteira</p><p>Suponhamos que repentinamente apareça uma quantidade de elétrons no interior de um</p><p>condutor. Estes começariam a se repelir, acelerando-se para distanciar um do outro. Isto ocorreria até</p><p>que os elétrons atingissem a superfície externa do condutor, região em que a distância média entre os</p><p>mesmos seria máxima. Conseqüentemente nenhuma carga permaneceria dentro deste condutor.</p><p>Assim, o resultado final de carga no interior do condutor é uma densidade de carga zero e uma</p><p>densidade superficial de carga permanece na superfície externa. Esta é uma das características de um</p><p>bom condutor.</p><p>Outra característica estabelecida para condições estáticas nas quais nenhuma corrente deve</p><p>fluir, segue a partir da lei de Ohm: a intensidade de campo elétrico dentro do condutor é igual a zero,</p><p>pois se um campo elétrico estivesse presente, os elétrons de condução se deslocariam e produziriam</p><p>uma corrente.</p><p>Resumindo: para a eletrostática nenhuma carga e nenhum campo elétrico podem existir em</p><p>qualquer ponto dentro de um material condutor. Entretanto, a carga pode aparecer na superfície como</p><p>uma densidade superficial de carga.</p><p>Investigaremos agora os campos elétricos externos ao condutor. Se a intensidade do campo</p><p>elétrico externo for decomposta em duas componentes, conforme ilustrado na figura a seguir, uma</p><p>tangencial e outra normal à superfície do condutor, a componente tangencial é zero, pois não há</p><p>deslocamentos das cargas na superfície do condutor, uma vez que o mesmo está sujeito a uma</p><p>condição estática.</p><p>Este campo tangencial pode ser determinado, matematicamente, aplicando-se a seguinte</p><p>equação para uma linha de carga fechada situada nas imediações da superfície do condutor:</p><p>∮ �⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗� = 0</p><p>sobre o pequeno caminho fechado 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑎, conforme figura a seguir.</p><p>A integral de linha fechada deve ser dividida em quatro partes</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>70</p><p>∫ +∫ +∫ +∫</p><p>𝑎</p><p>𝑑</p><p>𝑑</p><p>𝑐</p><p>𝑐</p><p>𝑏</p><p>𝑏</p><p>𝑎</p><p>= 0</p><p>Lembrando que �⃗⃗� = 0 dentro do condutor, fazendo os comprimentos de a a b ou de c a d</p><p>serem ∆𝑤 e os de b a c ou d a a serem ∆ℎ (conforme figura), obtemos</p><p>𝐸𝑡 ∆𝑤 − 𝐸𝑁−𝑏</p><p>1</p><p>2</p><p>∆ℎ + 𝐸𝑁−𝑎</p><p>1</p><p>2</p><p>∆ℎ = 0</p><p>𝐸𝑡 = 0</p><p>Já a condição para o campo normal é encontrada mais prontamente considerando-se 𝐷𝑁 em</p><p>vez de 𝐸𝑁 e escolhendo-se um pequeno cilindro como superfície gaussiana, de acordo com a figura</p><p>anterior. Usaremos para tal análise, a lei de Gauss</p><p>∮ �⃗⃗⃗� ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>= 𝑄</p><p>Consideraremos a altura do cilindro como sendo ∆ℎ e as áreas das faces do topo e da base</p><p>como ∆𝑆. Faremos ∆ℎ tender a zero. Então, integraremos sobre as três superfícies distintas</p><p>∫ +∫ +∫</p><p>𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙</p><p>𝑏𝑎𝑠𝑒</p><p>𝑡𝑜𝑝𝑜</p><p>= 𝑄</p><p>e encontramos que a integral sobre a base será nula porque não existe campo nesta região, a integral</p><p>sobre a lateral também será nula pelo fato do campo tangente ser zero, ou ainda pelo fato, de ∆ℎ</p><p>tender a zero. Assim, resta apenas a integral sobre o topo, ou seja,</p><p>𝐷𝑁∆𝑆 = 𝑄 = 𝜌𝑆∆𝑆</p><p>𝐷𝑁 = 𝜌𝑆</p><p>Estas são as duas condições de fronteira desejadas para a fronteira condutor-espaço livre,</p><p>𝐷𝑡 = 𝐸𝑡 = 0</p><p>𝐷𝑁 = 𝜀0𝐸𝑁 = 𝜌𝑆</p><p>Uma conseqüência importante e imediata de a intensidade de campo elétrico tangencial ser</p><p>zero é o fato de que a superfície de um condutor é uma superfície equipotencial.</p><p>Para resumir os princípios que aplicamos aos condutores em campos eletrostáticos, podemos</p><p>afirmar que</p><p>1. A intensidade de campo elétrico estático dentro de um condutor é zero.</p><p>2. A intensidade de campo elétrico estático na superfície de um condutor é, em qualquer</p><p>ponto, normal à superfície.</p><p>3. A superfície do condutor é uma superfície equipotencial.</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>71</p><p>5.5 Método das Imagens</p><p>Uma característica importante do campo do dipolo que foi desenvolvido no capítulo anterior</p><p>é o plano infinito no potencial zero que existe a meio caminho entre as duas cargas. Tal plano pode ser</p><p>representado por um plano condutor extremamente fino de extensão infinita. O condutor é uma</p><p>superfície equipotencial no potencial 𝑉 = 0, e a intensidade de campo elétrico é, portanto, normal à</p><p>superfície.</p><p>Assim, se substituirmos a configuração do dipolo mostrada na figura (a) abaixo por uma carga</p><p>simples e um plano condutor mostrado na figura (b), os campos na metade superior de cada figura são</p><p>os mesmos. Abaixo do plano condutor, os campos são iguais a zero, pois não estabelecemos qualquer</p><p>carga nesta região.</p><p>Com esta equivalência o contrário também é verdadeiro, ou seja, podemos considerar uma</p><p>carga simples acima de um plano perfeitamente condutor e então observamos que pode-se manter os</p><p>mesmos campos abaixo do plano removendo-o e colocando uma carga negativa em uma localidade</p><p>simétrica abaixo deste. Esta carga é chamada de imagem da carga original e tem valor negativo. Isto é</p><p>válido para qualquer configuração de cargas acima de um plano condutor aterrado (𝑉 = 0) ,</p><p>conforme figura a seguir.</p><p>Como exemplo do uso das imagens, vamos determinar a densidade superficial de cargas em</p><p>𝑃(2, 5, 0) no plano condutor 𝑧 = 0 se há uma linha de cargas de 30𝑛𝐶/𝑚 localizada em 𝑥 = 0, 𝑧 = 3,</p><p>como mostrado na figura (a) abaixo. Removamos o plano e acrescentamos a linha de cargas da imagem</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>72</p><p>de −30𝑛𝐶/𝑚 em 𝑥 = 0, 𝑧 = −3, como ilustrado na figura (b). O campo em P pode agora ser obtido</p><p>pela superposição dos campos conhecidos de uma linha de cargas.</p><p>O vetor radial da linha de cargas positiva a P é �⃗⃗�+ = 2�̂�𝑥 − 3�̂�𝑧, enquanto �⃗⃗�− = 2�̂�𝑥 + 3�̂�𝑧.</p><p>Assim, os campos individuais são</p><p>�⃗⃗�+ =</p><p>𝜌𝐿</p><p>2𝜋𝜀0𝑅+</p><p>�̂�𝑅+ =</p><p>30 × 10−9</p><p>2𝜋𝜀0√13</p><p>(2�̂�𝑥 − 3�̂�𝑧)</p><p>√13</p><p>𝑒 �⃗⃗�− =</p><p>𝜌𝐿</p><p>2𝜋𝜀0𝑅−</p><p>�̂�𝑅− =</p><p>−30 × 10−9</p><p>2𝜋𝜀0√13</p><p>(2�̂�𝑥 + 3�̂�𝑧)</p><p>√13</p><p>Somando-se estes resultados, temos</p><p>�⃗⃗� =</p><p>−180 × 10−9�̂�𝑧</p><p>2𝜋𝜀013</p><p>= −249�̂�𝑧 (𝑉/𝑚)</p><p>�⃗⃗⃗� = −2,2�̂�𝑧 (𝑛𝐶/𝑚2)</p><p>Logo, em um ponto nesta superfície equipotencial,</p><p>𝜌𝑣 = |�⃗⃗⃗�| = −2,2𝑛𝐶/𝑚2</p><p>5.6 Semicondutores</p><p>São dois os tipos de portadores de cargas que podemos encontrar em um material</p><p>semicondutor, os elétrons e as lacunas. Os elétrons são aqueles do topo da banda de valência que</p><p>receberam energia suficiente para atravessar a relativamente pequena banda proibida até a banda de</p><p>condução. Os vazios deixados por estes elétrons representam estados de energia não preenchidos na</p><p>banda de valência que também se movem de átomo para átomo no cristal. Este vazio é chamado</p><p>lacuna, e muitas propriedades dos semicondutores podem ser descritas tratando a lacuna como se ela</p><p>tivesse uma carga positiva 𝑒, uma mobilidade 𝜇ℎ e uma massa efetiva comparável à dos elétrons.</p><p>Ambos os portadores se movem em um campo elétrico e em direções opostas; assim, cada um</p><p>contribui com uma componente da corrente total que está na mesma direção que a fornecida pelo</p><p>outro. A condutividade é, portanto, uma função tanto da concentração quanto da mobilidade de</p><p>elétrons e lacunas,</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>73</p><p>𝜎 = −𝜌𝑒𝜇𝑒 + 𝜌ℎ𝜇ℎ</p><p>Para o silício puro, ou intrínseco, as mobilidades do elétron e da lacuna são 0,12 e 0,025,</p><p>respectivamente, enquanto que para o germânio, as mobilidade são, respectivamente, 0,36 e 0,17.</p><p>As concentrações de elétrons e de lacunas</p><p>dependem fortemente da temperatura. À medida</p><p>que a temperatura aumenta, as mobilidades nos semicondutores diminuem, mas as densidades de</p><p>carga aumentam muito rapidamente. Como resultado, a condutividade aumenta quando há elevação</p><p>de temperatura e, diminui quando a temperatura é abaixada. Note que a condutividade do</p><p>semicondutor puro aumenta com o aumento da temperatura enquanto que a dos condutores</p><p>metálicos diminui com o aumento da temperatura; esta é uma das características diferentes entre</p><p>condutores metálicos e semicondutores puros.</p><p>O número de portadores de cargas e a condutividade podem aumentar consideravelmente</p><p>pela adição de pequenas quantidades de impurezas. Materiais doadores fornecem elétrons adicionais</p><p>e formam semicondutores tipo n, enquanto materiais receptores fornecem lacunas extras e formam</p><p>semicondutores tipo p. O processo é conhecido como dopagem e uma concentração de doadores</p><p>silício menor que uma parte em 107 acarreta um aumento na condutividade por um fator de 105.</p><p>Semicondutores puros também satisfazem a forma pontual da lei de Ohm; isto é, a</p><p>condutividade é razoavelmente constante com a densidade de corrente e com a direção da densidade</p><p>de corrente.</p><p>5.7 Natureza dos Materiais Dielétricos</p><p>Um dielétrico em um campo elétrico pode ser visto como um arranjo de dipolos elétricos</p><p>microscópicos no espaço livre que são compostos por cargas positivas e negativas cujos centros não</p><p>são coincidentes. Estas não são cargas livres e não contribuem para o processo de condução. Ao</p><p>contrário, elas são ligadas por forças atômicas e moleculares e podem apenas mudar ligeiramente de</p><p>posição em resposta aos campos externos. Elas são chamadas cargas ligadas ( 𝑄𝑏), em contraste com</p><p>as cargas livres que determinam condutividade.</p><p>A característica comum de todos os dielétricos, sejam eles sólidos, líquidos ou gasosos, em</p><p>forma cristalina ou não, é sua capacidade de armazenar energia elétrica. Este armazenamento faz-se</p><p>por um deslocamento das posições relativas das cargas ligadas positivas e negativas internas contra as</p><p>forças normais atômicas e moleculares.</p><p>O mecanismo atual de deslocamento das cargas difere em diversos materiais dielétricos.</p><p>Algumas moléculas são denominadas polares por terem um deslocamento permanente entre os</p><p>centros de gravidade das cargas positivas e negativas. Por outro lado, as moléculas que não sofrem</p><p>este deslocamento permanente em relação aos seus centros de gravidades são chamadas de</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>74</p><p>moléculas apolares. Ambos os tipos formam dipolos e, quando aplicado um campo, podem ser</p><p>descrito por seu momento de dipolo 𝑝, como desenvolvido anteriormente:</p><p>𝑝 = 𝑄𝑑</p><p>onde 𝑄 é a positiva das duas cargas ligadas compondo o dipolo e 𝑑 é o vetor da carga negativa para a</p><p>carga positiva.</p><p>Neste momento, faz-se necessário deixar clara a relação entre a direção e sentido do vetor</p><p>campo elétrico �⃗⃗� aplicado e a direção e sentido do momento de dipolo 𝑝 resultante. Esta relação irá,</p><p>é claro, ser uma função do tipo de material, portanto vamos essencialmente limitar nossa discussão</p><p>aos materiais isotrópicos para os quais �⃗⃗� e 𝑝 estão sempre linearmente relacionados, ou seja,</p><p>possuem mesma direção e sentido. Em um material isotrópico, os vetores são sempre paralelos,</p><p>independentemente da orientação do campo. Embora a maioria dos dielétricos usados sejam</p><p>isotrópicos, cristais simples podem ser anisotrópicos. A natureza periódica dos materiais cristalinos</p><p>faz com que os momentos de dipolo estejam mais facilmente ao longo dos eixos do cristal e não</p><p>necessariamente na direção do campo aplicado.</p><p>Neste sentido, se há 𝑛 dipolos por unidade de volume e lidamos com um volume Δ𝑣, então há</p><p>𝑛Δ𝑣 dipolos. Então, o momento de dipolo total é obtido pela soma vetorial de todos momentos</p><p>individuais, ou seja,</p><p>𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = ∑ 𝑝𝑖</p><p>𝑛Δ𝑣</p><p>𝑖=1</p><p>Se os dipolos estão alinhados na mesma direção genérica, 𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 pode ser um valor</p><p>significativo. Contudo, uma orientação aleatória pode acarretar um 𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 essencialmente nulo. No</p><p>primeiro caso (dipolos alinhados devido à aplicação de um campo elétrico externo) teremos</p><p>𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = ∑ 𝑝𝑖</p><p>𝑛Δ𝑣</p><p>𝑖=1</p><p>= 𝑛 Δ𝑣 𝑝 = 𝑛 Δ𝑣 𝑄 𝑑</p><p>Definimos agora a polarização �⃗⃗� como o momento de dipolo total por unidade de volume,</p><p>quando este volume está tendendo a zero,</p><p>�⃗⃗� = lim</p><p>Δ𝑣→0</p><p>(</p><p>1</p><p>Δ𝑣</p><p>∑ 𝑝𝑖</p><p>𝑛Δ𝑣</p><p>𝑖=1</p><p>)</p><p>com unidade de Coulomb por metro quadrado.</p><p>No caso de termos um campo elétrico externo aplicado, a seguinte expressão para polarização</p><p>é válida:</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>75</p><p>�⃗⃗� = lim</p><p>Δ𝑣→0</p><p>(</p><p>1</p><p>Δ𝑣</p><p>∑ 𝑝𝑖</p><p>𝑛Δ𝑣</p><p>𝑖=1</p><p>) = lim</p><p>Δ𝑣→0</p><p>[</p><p>1</p><p>Δ𝑣</p><p>(𝑛 Δ𝑣 𝑄 𝑑)] = lim</p><p>Δ𝑣→0</p><p>(𝑛𝑄𝑑) = 𝑛𝑄𝑑</p><p>Vamos admitir que temos um dielétrico contendo moléculas apolares e isotrópicas. Nenhuma</p><p>molécula possui momento de dipolo e �⃗⃗� = 0 por todo o material. Em algum lugar no interior do</p><p>dielétrico, escolhemos um elemento incremental de superfície Δ𝑆, como mostrado na figura a seguir,</p><p>e aplicamos um campo elétrico �⃗⃗�. O campo externo produz momento 𝑝 = 𝑄𝑑 em cada molécula, tal</p><p>que 𝑝 e 𝑑 fazem um ângulo 𝜃 com Δ𝑆, como indicado na figura.</p><p>Passemos agora a inspecionar o movimento das cargas ligadas sobre Δ𝑆. Cada uma das cargas</p><p>associadas com a criação do dipolo deve se mover de uma distância (1/2)𝑑𝑐𝑜𝑠𝜃 na direção</p><p>perpendicular a Δ𝑆. Assim, quaisquer cargas positivas inicialmente situadas abaixo da superfície Δ𝑆 e</p><p>dentro da distância (1/2)𝑑𝑐𝑜𝑠𝜃 da superfície devem cruzar Δ𝑆 indo para cima. Ainda, quaisquer</p><p>cargas negativas inicialmente situadas acima da superfície Δ𝑆 e dentro da distância (1/2)𝑑𝑐𝑜𝑠𝜃 da</p><p>superfície devem cruzar Δ𝑆 indo para baixo. Portanto, como há 𝑛 𝑚𝑜𝑙é𝑐𝑢𝑙𝑎𝑠/𝑚3, a carga total líquida</p><p>(Δ𝑄𝑏) que cruza o elemento de superfície na direção para cima (levando em consideração as cargas</p><p>positivas para cima e as negativas para baixo) é igual a</p><p>Δ𝑄𝑏 = +𝑄[𝑛(1/2) 𝑑 𝑐𝑜𝑠𝜃 Δ𝑆] − (−𝑄)[𝑛(1/2) 𝑑 𝑐𝑜𝑠𝜃 Δ𝑆] = 𝑛𝑄(𝑑 𝑐𝑜𝑠𝜃 Δ𝑆)</p><p>ou ainda,</p><p>Δ𝑄𝑏 = 𝑛𝑄𝑑 ∙ Δ𝑆</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>76</p><p>portanto, para ser mais claro, Δ𝑄𝑏 representa o incremento de cargas que cruza a superfície Δ𝑆 na</p><p>direção para cima, o índice 𝑏 nos lembra que estamos lidando com cargas ligadas e não cargas livres.</p><p>Em termos da polarização (�⃗⃗� = 𝑛𝑄𝑑), temos</p><p>Δ𝑄𝑏 = �⃗⃗� ∙ Δ𝑆</p><p>Se interpretarmos Δ𝑆 como um elemento de uma superfície fechada dentro do material</p><p>dielétrico, então a direção de Δ𝑆 é para fora e o aumento líquido das cargas ligadas dentro da</p><p>superfície fechada é obtido através da integral</p><p>𝑄𝑏 = −∮ �⃗⃗� ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>onde o sinal negativo representa uma queda do número de cargas positiva no interior desta superfície</p><p>fechada devido ao movimento das mesma para fora da superfície.</p><p>A carga total envolvida por uma superfície fechada de um material dielétrico será</p><p>𝑄𝑇 = 𝑄𝑏 + 𝑄</p><p>onde 𝑄 é a carga total livre envolvida pela superfície 𝑆. Por princípio, a lei de Gauss pode ser reescrita</p><p>como se segue para determinação da carga total</p><p>𝑄𝑇 = ∮𝜀0�⃗⃗� ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>Combinando estas três últimas equações, obtemos uma expressão para a carga livre envolvida,</p><p>𝑄 = 𝑄𝑇 − 𝑄𝑏 = ∮𝜀0�⃗⃗� ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>− (−∮ �⃗⃗� ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>) = ∮(𝜀0�⃗⃗� + �⃗⃗�) ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>E como a clássica equação da lei de Gauss é aplicada à cargas livres 𝑄, temos</p><p>∮ �⃗⃗⃗� ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>= ∮(𝜀0�⃗⃗� + �⃗⃗�) ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>Então, podemos definir �⃗⃗⃗� em termos mais gerais do que foi definido em capítulos anteriores,</p><p>�⃗⃗⃗� = 𝜀0�⃗⃗� + �⃗⃗�</p><p>Como estamos trabalhando com materiais isotrópico, percebe-se que os vetores �⃗⃗� e �⃗⃗�</p><p>estão</p><p>linearmente relacionados (mesma direção e sentido). E esta relação pode ser expressa da seguinte</p><p>forma:</p><p>�⃗⃗� = 𝜒𝑒𝜀0�⃗⃗�</p><p>onde 𝜒𝑒 (chi) é uma grandeza adimensional chamada susceptibilidade elétrica do material.</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>77</p><p>Usando esta relação na equação da densidade de fluxo, tem-se</p><p>�⃗⃗⃗� = 𝜀0�⃗⃗� + 𝜒𝑒𝜀0�⃗⃗� = (𝜒𝑒 + 1)𝜀0�⃗⃗�</p><p>A expressão dentro dos parênteses é agora definida como</p><p>𝜀𝑅 = 𝜒𝑒 + 1</p><p>Esta é uma outra grandeza adimensional, conhecida como a permissividade relativa ou</p><p>constante dielétrica do material. Assim,</p><p>�⃗⃗⃗� = 𝜀𝑅𝜀0�⃗⃗�</p><p>�⃗⃗⃗� = 𝜀�⃗⃗�</p><p>onde</p><p>𝜀 = 𝜀𝑅𝜀0</p><p>e 𝜀 é a permissividade elétrica do material.</p><p>Materiais dielétricos anisotrópicos não podem ser descritos em termos dos parâmetros</p><p>susceptibilidade e permissividade como desenvolvido acima.</p><p>5.8 Condições de Fronteira para Materiais Dielétricos Perfeitos</p><p>Vamos considerar a interface entre dois dielétricos com permissividades 𝜀1 e 𝜀2 e ocupando</p><p>as regiões 1 e 2, como mostrado na figura abaixo. Examinemos, inicialmente, as componentes</p><p>tangenciais usando</p><p>∮ �⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗� = 0</p><p>em torno de um pequeno caminho fechado à esquerda da figura, obtendo</p><p>𝐸𝑡𝑎𝑛−1∆𝑤 − 𝐸𝑡𝑎𝑛−2∆𝑤 = 0</p><p>A pequena contribuição à integral de linha pela componente normal de �⃗⃗� ao longo das seções</p><p>de comprimento ∆ℎ se torna desprezível à medida que ∆ℎ diminui e o caminho fechado se junta à</p><p>superfície. Imediatamente, então,</p><p>𝐸𝑡𝑎𝑛−1 = 𝐸𝑡𝑎𝑛−2</p><p>Com isto, tem-se que a diferença de potencial entre dois pontos quaisquer na fronteira</p><p>separados por uma distância ∆𝑤 é a mesma imediatamente abaixo ou acima da fronteira.</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>78</p><p>Como a intensidade de campo elétrico tangencial é contínua sobre a superfície, então �⃗⃗⃗�</p><p>tangencial é descontínua, pois</p><p>𝐷𝑡𝑎𝑛−1</p><p>𝜀1</p><p>= 𝐸𝑡𝑎𝑛−1 = 𝐸𝑡𝑎𝑛−2 =</p><p>𝐷𝑡𝑎𝑛−2</p><p>𝜀2</p><p>Já para a análise das componentes normais de campo, aplica-se a lei de Gauss a um pequeno</p><p>cilindro, conforme mostrado à direita na figura. Os lados são novamente muito pequenos e o fluxo que</p><p>deixa as superfícies do topo e da base é a diferença</p><p>𝐷𝑁1∆𝑆 − 𝐷𝑁2∆𝑆 = 𝜌𝑆∆𝑆</p><p>pela qual</p><p>𝐷𝑁1 − 𝐷𝑁2 = 𝜌𝑆</p><p>Como estamos analisando a fronteira de materiais dielétricos, não é desejável que se tenha</p><p>cargas livres nesta interface. Consequentemente, a densidade de cargas 𝜌𝑆 nesta interface será zero e</p><p>𝐷𝑁1 = 𝐷𝑁2</p><p>ou seja, a componente normal de �⃗⃗⃗� é contínua. Daí, segue que a componente normal de �⃗⃗� é</p><p>descontínua, ou seja,</p><p>𝜀1𝐸𝑁1 = 𝐷𝑁1 = 𝐷𝑁2 = 𝜀2𝐸𝑁2</p><p>Estas condições podem ser combinadas para mostrar a mudança nos vetores �⃗⃗⃗� e �⃗⃗� na</p><p>superfície. Para tanto, podemos considerar 𝜃1 como sendo o ângulo entre �⃗⃗⃗�1 (e �⃗⃗�1 ) e a normal à</p><p>superfície, enquanto 𝜃2 o ângulo entre �⃗⃗⃗�2 (e �⃗⃗�2) e a normal à esta mesma superfície. A figura a seguir</p><p>é ilustrativa destes ângulos.</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>79</p><p>Vale ressaltar, que na figura anterior considera-se 𝜀1 > 𝜀2, o que gera, conforme pode ser</p><p>calculado, 𝜃1 > 𝜃2. A direção de �⃗⃗� em cada lado da fronteira é idêntica à direção de �⃗⃗⃗�, pois �⃗⃗⃗� = 𝜀�⃗⃗�.</p><p>5.9 Capacitância</p><p>Consideremos dois condutores mergulhados em um dielétrico homogêneo, conforme figura</p><p>abaixo. O condutor 𝑀2 carrega uma carga total positiva 𝑄 e 𝑀1 carrega uma carga igual em</p><p>magnitude, só que negativa. Não há outras cargas presentes, e a carga total do sistema é zero.</p><p>Cada condutor é uma superfície equipotencial. Nota-se, também, a existência de um fluxo</p><p>elétrico dirigido de 𝑀2 para 𝑀1. Naturalmente 𝑀2 está em um potencial mais positivo.</p><p>Designamos a diferença de potencial entre 𝑀2 e 𝑀1 por 𝑉0 . Podemos, agora, definir a</p><p>capacitância deste sistema de dois condutores como a razão entre a magnitude da carga total em</p><p>ambos os condutores e a magnitude da diferença de potencial entre os condutores,</p><p>𝐶 =</p><p>𝑄</p><p>𝑉0</p><p>Em termos gerais, determinamos 𝑄 aplicando-se a lei de Gauss numa superfície sobre o</p><p>condutor positivo e determinamos 𝑉0 pela equação da diferença de potencial entre dois pontos,</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>80</p><p>𝐶 =</p><p>∮𝜀�⃗⃗� ∙ 𝑑𝑆</p><p>−∫ �⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗�</p><p>+</p><p>−</p><p>A capacitância é independente do potencial e da carga total, pois sua razão é constante. A</p><p>capacitância é uma função somente das dimensões físicas do sistema de condutores e da</p><p>permissividade do dielétrico homogêneo. A capacitância é medida, no Sistema Internacional, em</p><p>Farads (F).</p><p>Vamos aplicar a definição de capacitância a um sistema simples de dois condutores no qual os</p><p>condutores são planos paralelos, infinitos, idênticos e com separação 𝑑, conforme representado pela</p><p>figura a seguir. Escolhendo o plano condutor inferior em 𝑧 = 0 e o superior em 𝑧 = 𝑑, uma lâmina de</p><p>carga superficial uniforme ±𝜌𝑆 em cada condutor leva a um campo uniforme</p><p>�⃗⃗� =</p><p>𝜌𝑆</p><p>𝜀</p><p>�̂�𝑧</p><p>onde a permissividade do dielétrico homogêneo é 𝜀.</p><p>Então,</p><p>�⃗⃗⃗� = 𝜀�⃗⃗� = 𝜌𝑆�̂�𝑧</p><p>Vale observar, por outro lado, que a carga no plano inferior deve ser realmente positiva, já que</p><p>�⃗⃗⃗� está dirigido para cima e o valor normal de �⃗⃗⃗�,</p><p>𝐷𝑁 = 𝐷𝑧 = 𝜌𝑆</p><p>é igual à densidade superficial de carga ali.</p><p>A diferença de potencial entre os planos inferior e superior é</p><p>𝑉0 = −∫ �⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗�</p><p>+</p><p>−</p><p>= −∫</p><p>𝜌𝑆</p><p>𝜀</p><p>�̂�𝑧 ∙ 𝑑𝑧�̂�𝑧</p><p>𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟</p><p>𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟</p><p>= −∫</p><p>𝜌𝑆</p><p>𝜀</p><p>𝑑𝑧</p><p>0</p><p>𝑑</p><p>=</p><p>𝜌𝑆</p><p>𝜀</p><p>𝑑</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>81</p><p>Como a carga total em ambos os planos é infinita, a capacitância será infinita. Obtém-se uma</p><p>resposta mais prática considerando-se cada plano com área 𝑆, cujas dimensões lineares são muito</p><p>maiores que sua separação 𝑑. Isto nos permite o seguinte desenvolvimento,</p><p>𝑉0 =</p><p>𝜌𝑆</p><p>𝜀</p><p>𝑑 𝑒 𝑄 = 𝜌𝑆𝑆</p><p>𝐶 =</p><p>𝑄</p><p>𝑉0</p><p>𝐶 =</p><p>𝜀𝑆</p><p>𝑑</p><p>5.10 Exemplos de Capacitância</p><p>Como outro exemplo, escolhemos um cabo ou capacitor coaxial de raio interno 𝑎, raio externo</p><p>𝑏 e comprimento 𝐿. Tem-se, conforme já calculado para uma linha infinita,</p><p>𝑉0 = 𝑉𝑎𝑏 =</p><p>𝜌𝐿</p><p>2𝜋𝜀</p><p>ln</p><p>𝑏</p><p>𝑎</p><p>𝑒 𝑄 = 𝜌𝐿𝐿</p><p>então,</p><p>𝐶 =</p><p>𝑄</p><p>𝑉0</p><p>→ 𝐶 =</p><p>2𝜋𝜀𝐿</p><p>ln(𝑏/𝑎)</p><p>Em seguida, consideremos um capacitor esférico formado por duas calotas esféricas</p><p>concêntricas condutoras de raio 𝑎 e 𝑏, sendo 𝑏 > 𝑎. Tem-se, conforme já calculado para esferas ou</p><p>cargas pontuais,</p><p>𝑉0 = 𝑉𝑎𝑏 =</p><p>𝑄</p><p>4𝜋𝜀</p><p>(</p><p>1</p><p>𝑎</p><p>−</p><p>1</p><p>𝑏</p><p>) 𝑒 𝑄</p><p>então,</p><p>𝐶 =</p><p>𝑄</p><p>𝑉0</p><p>→ 𝐶 =</p><p>4𝜋𝜀</p><p>1</p><p>𝑎 −</p><p>1</p><p>𝑏</p><p>Se fizermos a esfera externa se tornar infinitamente grande, obtemos a capacitância de um</p><p>condutor esférico isolado,</p><p>𝐶 = 4𝜋𝜀𝑎</p><p>Para estudarmos o problema de múltiplos dielétricos mais detalhadamente, consideremos um</p><p>capacitor de placas paralelas de área 𝑆 e espaço 𝑑 entre as placas com a usual suposição de que 𝑑 é</p><p>muito pequeno quando comparado com as dimensões lineares das placas. Veja a ilustração a seguir.</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>82</p><p>Considerando a diferença de potencial 𝑉0 entre as placas. As intensidades de campo elétrico</p><p>nas duas regiões serão 𝐸1 e 𝐸2 , ambas uniformes e 𝑉0 = 𝐸1𝑑1 + 𝐸2𝑑2. Na interface dielétrica, 𝐸 é</p><p>normal e 𝐷𝑁1 = 𝐷𝑁2 ou 𝜀1𝐸𝑁1 = 𝜀2𝐸𝑁2, ou ainda, 𝜀1𝐸1 = 𝜀2𝐸2. Assim, eliminando-se 𝐸2 pela nossa</p><p>relação de 𝑉0, temos</p><p>𝑉0 = 𝐸1𝑑1 + 𝐸2𝑑2 𝑒 𝜀1𝐸1 = 𝜀2𝐸2</p><p>𝑉0 = 𝐸1𝑑1 +</p><p>𝜀1𝐸1</p><p>𝜀2</p><p>𝑑2</p><p>→ 𝑉0 = (𝑑1 +</p><p>𝜀1</p><p>𝜀2</p><p>𝑑2) 𝐸1</p><p>Sabe-se que 𝜌𝑆1 = 𝐷1 = 𝜀1𝐸1, tem-se</p><p>𝑉0 = (𝑑1 +</p><p>𝜀1</p><p>𝜀2</p><p>𝑑2) (</p><p>𝜌𝑆1</p><p>𝜀1</p><p>) → 𝑉0 = 𝜌𝑆1 (</p><p>𝑑1</p><p>𝜀1</p><p>+</p><p>𝑑2</p><p>𝜀2</p><p>)</p><p>Como 𝐷1 = 𝐷2, a magnitude da carga superficial é a mesma em cada placa. A capacitância</p><p>será, então,</p><p>𝐶 =</p><p>𝑄</p><p>𝑉0</p><p>=</p><p>𝜌𝑆1𝑆</p><p>𝑉0</p><p>→ 𝐶 =</p><p>1</p><p>𝑑1</p><p>𝜀1𝑆</p><p>+</p><p>𝑑2</p><p>𝜀2𝑆</p><p>=</p><p>1</p><p>1</p><p>𝐶1</p><p>+</p><p>1</p><p>𝐶2</p><p>ou ainda,</p><p>1</p><p>𝐶</p><p>=</p><p>1</p><p>𝐶1</p><p>+</p><p>1</p><p>𝐶2</p><p>Supondo, agora, que exista um terceiro plano condutor ao longo da interface, encontraremos</p><p>cargas superficiais em cada lado deste condutor, e as magnitudes destas cargas serão iguais. A análise,</p><p>então, será a mesma anteriormente descrita e, conseqüentemente, a capacitância fica inalterada,</p><p>desde que o condutor adicional tenha uma espessura desprezível.</p><p>Vale ainda ressaltar, que este é o princípio de associação de capacitores em série. Portanto,</p><p>poder-se-á, assim, determinar a capacitância equivalente (𝐶𝑒𝑞) devido a n capacitores associados em</p><p>série por meio da expressão:</p><p>1</p><p>𝐶𝑒𝑞</p><p>=</p><p>1</p><p>𝐶1</p><p>+</p><p>1</p><p>𝐶2</p><p>+ ⋯+</p><p>1</p><p>𝐶𝑛</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>83</p><p>Em um último exemplo, consideraremos que uma fronteira dielétrica seja posicionada normal</p><p>às duas placas condutoras e o dielétrico ocupa as áreas 𝑆1 e 𝑆2, um ao lado do outra, então uma</p><p>diferença de potencial 𝑉0 produziria os campos 𝐸1 = 𝐸2 = 𝑉0/𝑑. Estes são campos normais às placas</p><p>e devem ser iguais. Então,</p><p>𝜌𝑆1 = 𝐷1 = 𝜀1𝐸1 = 𝜀1</p><p>𝑉0</p><p>𝑑</p><p>𝑒 𝜌𝑆2 = 𝐷2 = 𝜀2𝐸2 = 𝜀2</p><p>𝑉0</p><p>𝑑</p><p>assim,</p><p>𝐶 =</p><p>𝑄</p><p>𝑉0</p><p>=</p><p>𝜌𝑆1𝑆1 + 𝜌𝑆2𝑆2</p><p>𝑉0</p><p>→ 𝐶 =</p><p>𝜀1𝑆1 + 𝜀2𝑆2</p><p>𝑑</p><p>= 𝐶1 + 𝐶2</p><p>como era de se espera.</p><p>Este é o princípio de associação de capacitores em paralelo. Neste sentido, poder-se encontrar</p><p>a capacitância equivalente devido à associação de n capacitores em paralelo como se segue</p><p>𝐶𝑒𝑞 = 𝐶1 + 𝐶2 + ⋯+ 𝐶𝑛</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>84</p><p>6 – EQUAÇÕES DE POISSON E DE LAPLACE</p><p>6.1 Equações de Poisson e de Laplace</p><p>A obtenção da equação de Poisson é extremamente simples. A partir da forma pontual da lei</p><p>de Gauss (ou divergência),</p><p>∇⃗⃗⃗ ∙ �⃗⃗⃗� = 𝜌𝑣</p><p>da definição de �⃗⃗⃗�,</p><p>�⃗⃗⃗� = 𝜀�⃗⃗�</p><p>e da relação do gradiente,</p><p>�⃗⃗� = −∇⃗⃗⃗𝑉</p><p>por substituição, temos</p><p>∇⃗⃗⃗ ∙ �⃗⃗⃗� = ∇⃗⃗⃗ ∙ (𝜀�⃗⃗�) = ∇⃗⃗⃗ ∙ (−𝜀 ∇⃗⃗⃗𝑉) = 𝜌𝑣</p><p>ou</p><p>∇⃗⃗⃗ ∙ ∇⃗⃗⃗𝑉 = −</p><p>𝜌𝑣</p><p>𝜀</p><p>para a região homogênea na qual 𝜀 é constante. Em coordenadas cartesianas,</p><p>∇⃗⃗⃗ ∙ 𝐴 =</p><p>𝜕𝐴𝑥</p><p>𝜕𝑥</p><p>+</p><p>𝜕𝐴𝑦</p><p>𝜕𝑦</p><p>+</p><p>𝜕𝐴𝑧</p><p>𝜕𝑧</p><p>�⃗⃗�𝑉 =</p><p>𝜕𝑉</p><p>𝜕𝑥</p><p>�̂�𝑥 +</p><p>𝜕𝑉</p><p>𝜕𝑦</p><p>�̂�𝑦 +</p><p>𝜕𝑉</p><p>𝜕𝑧</p><p>�̂�𝑧</p><p>e, portanto,</p><p>∇⃗⃗⃗ ∙ ∇⃗⃗⃗𝑉 =</p><p>𝜕</p><p>𝜕𝑥</p><p>(</p><p>𝜕𝑉</p><p>𝜕𝑥</p><p>) +</p><p>𝜕</p><p>𝜕𝑦</p><p>(</p><p>𝜕𝑉</p><p>𝜕𝑦</p><p>) +</p><p>𝜕</p><p>𝜕𝑧</p><p>(</p><p>𝜕𝑉</p><p>𝜕𝑧</p><p>) =</p><p>𝜕2𝑉</p><p>𝜕𝑥2</p><p>+</p><p>𝜕2𝑉</p><p>𝜕𝑦2</p><p>+</p><p>𝜕2𝑉</p><p>𝜕𝑧2</p><p>= −</p><p>𝜌𝑣</p><p>𝜀</p><p>Usualmente, a operação ∇⃗⃗⃗ ∙ ∇⃗⃗⃗ é abreviada para ∇2 (e pronunciado “nabla dois”), e temos</p><p>∇2𝑉 = −</p><p>𝜌𝑣</p><p>𝜀</p><p>que é a nossa equação de Poisson, representada em coordenadas cartesianas.</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>85</p><p>Se 𝜌𝑣 = 0, indicando densidade volumétrica de carga zero, mas permitindo a existência de</p><p>cargas pontuais e de distribuições lineares e superficiais de carga, então</p><p>∇2𝑉 = 0</p><p>que é a equação de Laplace. A operação ∇2 é chamada de laplaciano de 𝑉.</p><p>Em coordenadas cartesianas, a equação de Laplace é</p><p>∇2𝑉 =</p><p>𝜕2𝑉</p><p>𝜕𝑥2</p><p>+</p><p>𝜕2𝑉</p><p>𝜕𝑦2</p><p>+</p><p>𝜕2𝑉</p><p>𝜕𝑧2</p><p>= 0 (𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑖𝑎𝑛𝑎𝑠)</p><p>Para as demais coordenadas a expressão do laplaciano será</p><p>∇2𝑉 =</p><p>1</p><p>𝜌</p><p>𝜕</p><p>𝜕𝜌</p><p>(𝜌</p><p>𝜕𝑉</p><p>𝜕𝜌</p><p>) +</p><p>1</p><p>𝜌2 (</p><p>𝜕2𝑉</p><p>𝜕∅2) +</p><p>𝜕2𝑉</p><p>𝜕𝑧2</p><p>= 0 (𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑐𝑖𝑙í𝑛𝑑𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠)</p><p>∇2𝑉 =</p><p>1</p><p>𝑟2</p><p>𝜕</p><p>𝜕𝑟</p><p>(𝑟2</p><p>𝜕𝑉</p><p>𝜕𝑟</p><p>) +</p><p>1</p><p>𝑟2𝑠𝑒𝑛𝜃</p><p>𝜕</p><p>𝜕𝜃</p><p>(𝑠𝑒𝑛𝜃</p><p>𝜕𝑉</p><p>𝜕𝜃</p><p>) +</p><p>1</p><p>𝑟2𝑠𝑒𝑛2𝜃</p><p>𝜕2𝑉</p><p>𝜕𝜙2</p><p>= 0 (𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑒𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠)</p><p>Para resolver estas equações laplacianas para um dado problema, outras informações são</p><p>necessárias, tais como certas condições de fronteira, conforme será visto logo a seguir.</p><p>6.2 Teorema da Unicidade</p><p>Vamos considerar que temos duas soluções para a equação de Laplace, o campo potencial 𝑉1</p><p>e o campo potencial 𝑉2, ambos funções genéricas das coordenadas usadas. Portanto,</p><p>∇2𝑉1 = 0 𝑒 ∇2𝑉2 = 0</p><p>a partir das quais</p><p>∇2(𝑉1 − 𝑉2) = 0</p><p>Cada solução também deve satisfazer as mesmas condições de fronteira, e se representarmos</p><p>os valores dos potenciais dados nas fronteiras por 𝑉𝑏. No caso de o valor de 𝑉1 na fronteira 𝑉1𝑏 e o</p><p>valor de 𝑉2 na fronteira 𝑉2𝑏 ser idênticos a 𝑉𝑏, ou seja,</p><p>𝑉1𝑏 = 𝑉2𝑏 = 𝑉𝑏</p><p>então, teremos</p><p>𝑉1 = 𝑉2</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>86</p><p>Isto é baseado no teorema da unicidade que diz que “se uma resposta satisfaz a equação de</p><p>Laplace ou a equação de Poisson e também satisfaz as condições de fronteira, então ela é uma única</p><p>solução possível”.</p><p>6.3 Exemplos de Solução da Equação de Laplace</p><p>Diversos métodos foram desenvolvidos para resolver a equação diferencial parcial de segunda</p><p>ordem conhecida como equação de Laplace. O primeiro e mais simples método é aquele da integração</p><p>direta.</p><p>O método da integração direta se aplica apenas aos problemas unidimensionais, ou seja, nos</p><p>quais o campo potencial é função apenas de uma das três coordenadas. Como estamos trabalhando</p><p>com apenas três sistemas de coordenadas, pode parecer que há nove problemas a serem resolvidos,</p><p>mas um pouco de reflexão irá mostrar que o campo que varia somente com 𝑥 é fundamentalmente o</p><p>mesmo que varia somente com 𝑦 ou apenas com 𝑧. A rotação dos eixos não modifica o problema físico.</p><p>Na realidade, há cinco problemas a serem resolvidos, um em coordenadas cartesianas (𝑥), dois em</p><p>coordenadas cilíndricas (𝜌 𝑒 𝜙) e dois em coordenadas esféricas (𝑟 𝑒 𝜃).</p><p>A. Cálculo da equação de Laplace para o caso da variação do potencial elétrico em função</p><p>apenas de 𝒙.</p><p>A equação de Laplace se reduz a</p><p>𝜕2𝑉</p><p>𝜕𝑥2</p><p>= 0</p><p>e a derivada parcial pode ser substituída pela derivada ordinária, já que 𝑉 não é uma função de 𝑦 ou</p><p>de 𝑧,</p><p>𝑑2𝑉</p><p>𝑑𝑥2</p><p>= 0</p><p>Integrando-se,</p><p>𝑑𝑉</p><p>𝑑𝑥</p><p>= 𝐴 → 𝑉 = 𝐴𝑥 + 𝐵</p><p>onde 𝐴 e 𝐵 são constantes de integração.</p><p>As superfícies equipotenciais são dadas por 𝑥 constante e são planos infinitos. Considerando-</p><p>se, como condições de fronteira, 𝑉 = 𝑉1 em 𝑥 = 𝑥1 e 𝑉 = 𝑉2 em 𝑥 = 𝑥2 . Estes valores são então</p><p>substituídos na equação anterior, fornecendo</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>87</p><p>𝐴 =</p><p>𝑉1 − 𝑉2</p><p>𝑥1 − 𝑥2</p><p>𝑒 𝐵 =</p><p>𝑉2𝑥1 − 𝑉1𝑥2</p><p>𝑥1 − 𝑥2</p><p>logo,</p><p>𝑉 =</p><p>𝑉1(𝑥 − 𝑥2) − 𝑉2(𝑥 − 𝑥1)</p><p>𝑥1 − 𝑥2</p><p>Esta expressão é estendida para variações unidimensionais do potencial elétrico em função</p><p>apenas de y ou apenas de z.</p><p>B. Cálculo da equação de Laplace para o caso da variação do potencial elétrico em função</p><p>apenas de 𝝆.</p><p>A equação de Laplace se reduz a</p><p>1</p><p>𝜌</p><p>𝜕</p><p>𝜕𝜌</p><p>(𝜌</p><p>𝜕𝑉</p><p>𝜕𝜌</p><p>) = 0</p><p>e a derivada parcial pode ser substituída pela derivada ordinária,</p><p>1</p><p>𝜌</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝜌</p><p>(𝜌</p><p>𝑑𝑉</p><p>𝑑𝜌</p><p>) = 0</p><p>Excluindo-se 𝜌 = 0 e integrando-se,</p><p>𝜌</p><p>𝑑𝑉</p><p>𝑑𝜌</p><p>= 𝐴 → 𝑉 = 𝐴 ln𝜌 + 𝐵</p><p>onde 𝐴 e 𝐵 são constantes de integração.</p><p>C. Cálculo da equação de Laplace para o caso da variação do potencial elétrico em função</p><p>apenas de 𝝓.</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>88</p><p>A equação de Laplace se reduz a</p><p>1</p><p>𝜌2 (</p><p>𝜕2𝑉</p><p>𝜕∅2) = 0</p><p>e a derivada parcial pode ser substituída pela derivada ordinária,</p><p>1</p><p>𝜌2 (</p><p>𝑑2𝑉</p><p>𝑑∅2) = 0</p><p>Excluindo-se 𝜌 = 0 e integrando-se,</p><p>𝑑𝑉</p><p>𝑑∅</p><p>= 𝐴 → 𝑉 = 𝐴∅ + 𝐵</p><p>onde 𝐴 e 𝐵 são constantes de integração.</p><p>D. Cálculo da equação de Laplace para o caso da variação do potencial elétrico em função</p><p>apenas de 𝒓.</p><p>A equação de Laplace se reduz a</p><p>1</p><p>𝑟2</p><p>𝜕</p><p>𝜕𝑟</p><p>(𝑟2</p><p>𝜕𝑉</p><p>𝜕𝑟</p><p>) = 0</p><p>e a derivada parcial pode ser substituída pela derivada ordinária,</p><p>1</p><p>𝑟2</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑟</p><p>(𝑟2</p><p>𝑑𝑉</p><p>𝑑𝑟</p><p>) = 0</p><p>Excluindo-se 𝑟 = 0 e integrando-se,</p><p>𝑟2</p><p>𝑑𝑉</p><p>𝑑𝑟</p><p>= 𝐴 → 𝑉 =</p><p>−𝐴</p><p>𝑟</p><p>+ 𝐵</p><p>onde 𝐴 e 𝐵 são constantes de integração.</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>89</p><p>E. Cálculo da equação de Laplace para o caso da variação do potencial elétrico em função</p><p>apenas de 𝜽.</p><p>A equação de Laplace se reduz a</p><p>1</p><p>𝑟2𝑠𝑒𝑛𝜃</p><p>𝜕</p><p>𝜕𝜃</p><p>(𝑠𝑒𝑛𝜃</p><p>𝜕𝑉</p><p>𝜕𝜃</p><p>) = 0</p><p>e a derivada parcial pode ser substituída pela derivada ordinária,</p><p>1</p><p>𝑟2𝑠𝑒𝑛𝜃</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝜃</p><p>(𝑠𝑒𝑛𝜃</p><p>𝑑𝑉</p><p>𝑑𝜃</p><p>) = 0</p><p>Excluindo-se 𝑟 = 0, 𝜃 = 0 ou 𝜋 e integrando-se,</p><p>𝑠𝑒𝑛𝜃</p><p>𝑑𝑉</p><p>𝑑𝜃</p><p>= 𝐴 → 𝑉 = 𝐴 ln (tan</p><p>𝜃</p><p>2</p><p>) + 𝐵</p><p>onde 𝐴 e 𝐵 são constantes de integração.</p><p>6.4 Exemplo de Solução da Equação de Poisson</p><p>Para selecionar um problema que possa ilustrar a aplicação da equação de Poisson, devemos</p><p>considerar que a densidade volumétrica de carga é especificada. Contudo, este não é usualmente o</p><p>caso; de fato, ela é muitas vezes a grandeza sobre a qual procuramos alguma informação. Todavia,</p><p>para fins didáticos, vamos considerá-la conhecida.</p><p>Num primeiro exemplo poderíamos considerar 𝜌𝑣 = −2𝑥𝜀, com variações unidirecionais de</p><p>tensão em função de 𝑥.</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>90</p><p>Como segundo exemplo, escolhemos uma junção 𝑝𝑛 entre duas metades de uma barra</p><p>semicondutora, estendendo-se na direção 𝑥 . Devemos considerar que a região 𝑥 < 0 é do tipo 𝑝</p><p>dopada e que a região 𝑥 > 0 é do tipo 𝑛 também dopada. O grau de dopagem é idêntico em cada lado</p><p>da junção. O gráfico a seguir mostra a relação 𝜌𝑣 𝜌𝑣0⁄ ao longo da distribuição, onde 𝜌𝑣 é a densidade</p><p>volumétrica de carga e 𝜌𝑣0 é a máxima densidade volumétrica de carga relacionada com as</p><p>concentrações dos aceitadores e doadores presentes no material.</p><p>Este gráfico pode ser expresso pela equação</p><p>𝜌𝑣 = 2𝜌𝑣0𝑠𝑒𝑐ℎ (</p><p>𝑥</p><p>𝑎</p><p>) 𝑡𝑎𝑛ℎ (</p><p>𝑥</p><p>𝑎</p><p>)</p><p>onde 𝑎 é uma constante que altera as características de contorno do gráfico.</p><p>São especificadas duas condições de fronteira. A primeira está relacionada ao fato que</p><p>nenhuma densidade de carga líquida e nenhum campo podem existir longe da junção, como é sugerido</p><p>na figura anterior. Assim, quando 𝑥 → ±∞, 𝐸𝑥 = 0. A segunda condição dada é que a referência zero</p><p>de potencial deve ser escolhida no centro da junção, em 𝑥 = 0.</p><p>Vamos agora resolver a equação de Poisson,</p><p>∇2𝑉 = −</p><p>𝜌𝑣</p><p>𝜀</p><p>aplicando-se a distribuição de cargas dada,</p><p>𝑑2𝑉</p><p>𝑑𝑥2</p><p>= −</p><p>2𝜌𝑣0</p><p>𝜀</p><p>𝑠𝑒𝑐ℎ (</p><p>𝑥</p><p>𝑎</p><p>) 𝑡𝑎𝑛ℎ (</p><p>𝑥</p><p>𝑎</p><p>)</p><p>Como pode-se notar, este é um problema unidimensional no qual variações com 𝑦 e 𝑧 não</p><p>estão presentes.</p><p>Integrando a primeira vez,</p><p>𝑑𝑉</p><p>𝑑𝑥</p><p>=</p><p>2𝜌𝑣0𝑎</p><p>𝜀</p><p>𝑠𝑒𝑐ℎ (</p><p>𝑥</p><p>𝑎</p><p>) + 𝐶1</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>91</p><p>Integrando-se novamente a expressão,</p><p>𝑉 =</p><p>4𝜌𝑣0𝑎</p><p>2</p><p>𝜀</p><p>𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑒𝑥/𝑎) + 𝐶1𝑥 + 𝐶2</p><p>Aplica-se agora a segunda condição de fronteira: 𝑉 = 0 em 𝑥 = 0, tem-se</p><p>0 =</p><p>4𝜌𝑣0𝑎</p><p>2</p><p>𝜀</p><p>𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑒0) + 𝐶10 + 𝐶2</p><p>𝐶2 = −</p><p>4𝜌𝑣0𝑎</p><p>2</p><p>𝜀</p><p>𝜋</p><p>4</p><p>Para aplicação da primeira condição de contorno, qual seja, 𝐸𝑥 = 0 quando 𝑥 → ±∞ ,</p><p>devemos obter o campo elétrico a partir da expressão do campo potencial, assim</p><p>�⃗� = −∇⃗⃗ V = − [</p><p>2𝜌𝑣0𝑎</p><p>𝜀</p><p>𝑠𝑒𝑐ℎ (</p><p>𝑥</p><p>𝑎</p><p>) + 𝐶1] �̂�𝑥</p><p>𝐸𝑥 = −</p><p>2𝜌𝑣0𝑎</p><p>𝜀</p><p>𝑠𝑒𝑐ℎ (</p><p>𝑥</p><p>𝑎</p><p>) − 𝐶1</p><p>Aplicando-se a condição de contorno anterior, encontramos 𝐶1 = 0. Portanto,</p><p>𝐸𝑥 = −</p><p>2𝜌𝑣0𝑎</p><p>𝜀</p><p>𝑠𝑒𝑐ℎ (</p><p>𝑥</p><p>𝑎</p><p>)</p><p>O gráfico representativo desta intensidade de campo elétrico é</p><p>e, finalmente, podemos escrever a equação completa para o potencial:</p><p>𝑉 =</p><p>4𝜌𝑣0𝑎</p><p>2</p><p>𝜀</p><p>[𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑒𝑥/𝑎) −</p><p>𝜋</p><p>4</p><p>]</p><p>O gráfico representativo deste potencial é</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>92</p><p>A equação de Poisson pode ser aplicada a qualquer problema que envolva densidade</p><p>volumétrica de carga, tal como aqui exemplificado.</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>93</p><p>7 – CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO</p><p>7.1 Lei de Biot-Savart</p><p>O campo magnético estacionário pode ser gerado a partir de:</p><p> um ímã permanente;</p><p> uma corrente contínua, ou;</p><p> um campo elétrico variando linearmente com o tempo.</p><p>Vamos ignorar o ímã permanente e deixar o campo elétrico variante no tempo para uma</p><p>discussão posterior. Nossas relações atuais dizem respeito ao campo magnético produzido por um</p><p>elemento diferencial de corrente contínua no espaço livre.</p><p>Consideremos uma corrente 𝐼 fluindo em um vetor de comprimento diferencial 𝑑𝐿 de um</p><p>filamento. A lei de Biot-Savart afirma que o diferencial de intensidade de campo magnético 𝑑�⃗⃗⃗� gerado</p><p>por um diferencial de corrente 𝐼 𝑑�⃗⃗� em um ponto 𝑃 posicionado pelo vetor �⃗⃗� em relação a este</p><p>diferencial de corrente é dado por</p><p>𝑑�⃗⃗⃗� =</p><p>𝐼 𝑑�⃗⃗� × �̂�𝑅</p><p>4𝜋𝑅2</p><p>=</p><p>𝐼 𝑑�⃗⃗� × �⃗⃗�</p><p>4𝜋𝑅3</p><p>A figura a seguir ilustra a equação da lei de Biot-Savart.</p><p>A unidade da intensidade do campo magnético �⃗⃗⃗� é ampère por metro (𝐴/𝑚). Sua direção é</p><p>dada pelo produto vetorial de dois vetores, conforme equação, significando que a mesma é normal ao</p><p>plano que contém o filamento diferencial e a linha desenhada a partir do filamento ao ponto 𝑃.</p><p>Ainda, de acordo com a figura anterior, considerando o elemento de corrente no ponto 1 e</p><p>descrevendo como ponto 2 o ponto 𝑃 no qual o campo deve ser determinado, tem-se</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>94</p><p>𝑑�⃗⃗⃗�2 =</p><p>𝐼1 𝑑�⃗⃗�1 × �⃗⃗�12</p><p>4𝜋𝑅12</p><p>3</p><p>A lei de Biot-Savart, como foi até então apresentada, é impossível de se verificar</p><p>experimentalmente pois o elemento diferencial de corrente não pode ser isolado. Daí segue que</p><p>somente a forma integral da lei pode ser verificada experimentalmente,</p><p>�⃗⃗⃗�2 = ∮</p><p>𝐼1 𝑑�⃗⃗�1 × �⃗⃗�12</p><p>4𝜋𝑅12</p><p>3</p><p>Ou, ainda, sem os índices:</p><p>�⃗⃗⃗� = ∮</p><p>𝐼 𝑑�⃗⃗� × �̂�𝑅</p><p>4𝜋𝑅2</p><p>A lei de Biot-Savart também pode ser expressa em termos de fontes distribuídas, como uma</p><p>densidade de corrente 𝐽 e uma densidade superficial de corrente �⃗⃗⃗�, conforme será introduzida. A</p><p>corrente superficial fluindo em uma lâmina de espessura infinitesimal tem sua densidade de corrente</p><p>𝐽 infinita, então, usamos a densidade superficial de corrente que é medida em ampère por metro (de</p><p>largura), a qual é designada por �⃗⃗⃗�. Se a densidade superficial de corrente é uniforme, a corrente total</p><p>𝐼 em qualquer elemento de largura 𝑏 é</p><p>𝐼 = 𝐾𝑏</p><p>onde consideramos que a largura 𝑏 é medida perpendicularmente à direção na qual a corrente está</p><p>fluindo, conforme ilustrado na figura a seguir. Para uma densidade superficial de corrente não-</p><p>uniforme, a integração se faz necessária,</p><p>𝐼 = ∫𝐾 𝑑𝑏</p><p>onde 𝑑𝑏 é um elemento diferencial do caminho sobre o qual a corrente está fluindo.</p><p>Assim, o elemento diferencial de corrente 𝐼 𝑑�⃗⃗�, onde 𝑑�⃗⃗� está na direção da corrente, pode ser</p><p>expresso em termos da densidade superficial de corrente �⃗⃗⃗� ou da densidade corrente 𝐽,</p><p>𝐼 𝑑�⃗⃗� = �⃗⃗⃗� 𝑑𝑆 = 𝐽 𝑑𝑣</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>95</p><p>e formas alternativas da lei de Biot-Savart podem ser obtidas,</p><p>�⃗⃗⃗� = ∫</p><p>�⃗⃗⃗� × �̂�𝑅 𝑑𝑆</p><p>4𝜋𝑅2</p><p>𝑆</p><p>e</p><p>�⃗⃗⃗� = ∫</p><p>𝐽 × �̂�𝑅 𝑑𝑣</p><p>4𝜋𝑅2</p><p>𝑣𝑜𝑙</p><p>Podemos ilustrar a aplicação da lei de Biot-Savart considerando um filamento reto</p><p>infinitamente longo, conforme mostrado na figura abaixo. Primeiramente, considera-se um fragmento</p><p>infinitesimal do filamento (Ponto 1) e em seguida integra-se.</p><p>O Ponto 2, no qual queremos determinar o campo, é, portanto, escolhido no plano 𝑧 = 0. O</p><p>ponto do campo 𝑟 é, então, 𝑟 = 𝜌�̂�𝜌. O ponto da fonte 𝑟′ é dado por 𝑟′ = 𝑧′�̂�𝑧 e, portanto,</p><p>�⃗⃗�12 = 𝑟 − 𝑟′ = 𝜌�̂�𝜌 − 𝑧′�̂�𝑧</p><p>de forma que</p><p>�̂�𝑅12 =</p><p>�⃗⃗�12</p><p>|�⃗⃗�12|</p><p>=</p><p>𝜌�̂�𝜌 − 𝑧′�̂�𝑧</p><p>√𝜌2 + 𝑧′2</p><p>Fazendo 𝑑�⃗⃗� = 𝑑𝑧′�̂�𝑧, então</p><p>𝑑�⃗⃗⃗�2 =</p><p>𝐼 𝑑𝑧′�̂�𝑧 × (𝜌�̂�𝜌 − 𝑧′�̂�𝑧)</p><p>4𝜋(𝜌2 + 𝑧′2)3/2</p><p>Como a corrente está na direção dos valores de 𝑧′, os limites da integral são −∞ e ∞, e temos</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>96</p><p>�⃗⃗⃗�2 = ∫</p><p>𝐼 𝑑𝑧′�̂�𝑧 × (𝜌�̂�𝜌 − 𝑧′�̂�𝑧)</p><p>4𝜋(𝜌2 + 𝑧′2)3/2</p><p>∞</p><p>−∞</p><p>= ∫</p><p>𝐼𝜌𝑑𝑧′�̂�∅</p><p>4𝜋(𝜌2 + 𝑧′2)3/2</p><p>∞</p><p>−∞</p><p>�⃗⃗⃗�2 =</p><p>𝐼𝜌�̂�∅</p><p>4𝜋</p><p>∫</p><p>𝑑𝑧′</p><p>(𝜌2 + 𝑧′2)3/2</p><p>∞</p><p>−∞</p><p>�⃗⃗⃗�2 =</p><p>𝐼�̂�∅</p><p>4𝜋</p><p>𝑧′</p><p>𝜌√𝜌2 + 𝑧′2</p><p>|</p><p>−∞</p><p>∞</p><p>�⃗⃗⃗�2 =</p><p>𝐼</p><p>2𝜋𝜌</p><p>�̂�∅</p><p>A direção do vetor intensidade de campo magnético é circunferencial. As linhas de força são,</p><p>portanto, círculos ao redor do filamento, e o campo pode ser mapeado em uma seção transversal</p><p>como na figura abaixo. Vale ressaltar, que neste caso a corrente elétrica está entrando na página, o</p><p>que leva a um campo magnético de sentido horário.</p><p>A comparação desta figura com o mapa do campo elétrico em relação a uma linha de cargas</p><p>infinita mostra que as linhas de força do campo magnético correspondem exatamente às superfícies</p><p>equipotenciais do campo elétrico. Esta correspondência não é acidental, porém não será ainda</p><p>explorada agora.</p><p>De forma genérica, para um fio posicionado em qualquer ponto 1 do sistema cartesiano, pode-</p><p>se usar a seguinte equação para o cálculo do campo magnético no ponto 2:</p><p>�⃗⃗⃗�2 =</p><p>𝐼</p><p>2𝜋𝑅12</p><p>(�̂�𝐿 × �̂�𝑅12)</p><p>sendo: �⃗⃗�12 o vetor que sai do condutor e vai até o ponto onde se quer encontrar o campo magnético</p><p>(ponto 2), 𝑅12 é o módulo do vertor �⃗⃗�12, �̂�𝑅12 vetor unitário de �⃗⃗�12 e �̂�𝐿 vetor unitário representativo</p><p>da direção do filamento (�̂�𝑥, �̂�𝑦 ou �̂�𝑧).</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>97</p><p>Esta equação também pode ser escrita sem a colocação dos índices, de forma a seguir a mesma</p><p>lógica adotada nos desenvolvimentos feitos para o campo elétrico, então</p><p>�⃗⃗⃗� =</p><p>𝐼</p><p>2𝜋𝑅</p><p>(�̂�𝐿 × �̂�𝑅)</p><p>7.2 Lei Circuital de Ampère</p><p>A lei circuital de Ampère vem resolver, de forma muito mais simples, os problemas</p><p>relacionados com campo magnético. A mesma é uma alternativa à lei de Biot-Savart. Um paralelo que</p><p>pode ser feito, é o uso da lei de Gauss como facilitadora da resolução de problemas relacionados com</p><p>campo elétrico, sendo esta uma alternativa à lei de Coulomb.</p><p>A lei circuital de Ampère afirma que a integral de linha de �⃗⃗⃗� em qualquer caminho fechado é</p><p>exatamente igual à corrente envolvida por este caminho,</p><p>∮ �⃗⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗� = 𝐼</p><p>Define-se corrente positiva aquela que flui na direção de avanço de um parafuso direito</p><p>girando na direção em que o caminho fechado é percorrido (também pode-se usar, de forma mais</p><p>simples, a regra da mão direita aprendida no ensino de segundo grau).</p><p>A figura abaixo mostra um fio circular conduzindo uma corrente contínua 𝐼, a integral de linha</p><p>de �⃗⃗⃗� nos caminhos fechados indicados por 𝑎 e 𝑏 resultam em uma mesma resposta 𝐼 , apesar dos</p><p>integrandos serem diferentes. Já a integral no caminho fechado 𝑐, o qual passa através do condutor,</p><p>fornece uma resposta menor que 𝐼 e é exatamente aquela porção da corrente total que é envolvida</p><p>pelo caminho em questão.</p><p>Outro paralelo que pode ser feito entre a lei de Gauss e lei circuital de Ampère é o fato da</p><p>primeira estar relacionada com a determinação da carga total envolvida por uma superfície fechada</p><p>(também chamada de superfície gaussiana), enquanto a segunda estar relacionada com a</p><p>determinação da corrente total envolvida por um caminho fechado (também conhecido por espira</p><p>amperiana).</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>98</p><p>Como um primeiro exemplo da aplicação da lei circuital de Ampère, consideraremos</p><p>novamente o cálculo da intensidade de campo magnético �⃗⃗⃗� para uma linha infinita, conforme figura</p><p>abaixo.</p><p>Em nosso exemplo, o caminho ideal deverá ser um círculo de raio 𝜌 centrado no condutor. A</p><p>lei circuital se torna</p><p>∮ �⃗⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗� = ∮ �⃗⃗⃗� ∙ 𝜌 𝑑∅ �̂�∅ = ∫ 𝐻∅ 𝜌 𝑑∅</p><p>2𝜋</p><p>0</p><p>= 𝐻∅ 𝜌∫ 𝑑∅</p><p>2𝜋</p><p>0</p><p>= 𝐻∅ 2𝜋 𝜌 = 𝐼</p><p>ou</p><p>𝐻∅ =</p><p>𝐼</p><p>2𝜋𝜌</p><p>�⃗⃗⃗� =</p><p>𝐼</p><p>2𝜋𝜌</p><p>�̂�∅</p><p>que é igual a expressão já calculada através da lei de Biot-Savart.</p><p>Em um segundo exemplo, considere uma linha de transmissão coaxial infinitamente longa</p><p>conduzindo uma corrente total 𝐼 uniformemente distribuída no condutor central e −𝐼 no condutor</p><p>externo. A linha é mostrada na figura abaixo. A simetria é a mesma do exemplo anterior, o que nos</p><p>possibilita o uso da expressão que foi ali encontrada.</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>99</p><p>Para o caminho circular de raio 𝜌, em que 𝜌 é maior que o raio do condutor interno e menor</p><p>que o raio interno do condutor externo, tem-se</p><p>𝐻∅ =</p><p>𝐼</p><p>2𝜋𝜌</p><p>(𝑎 < 𝜌 < 𝑏)</p><p>Para o caminho circular de raio 𝜌 menor que o raio do condutor interno, tem-se</p><p>𝐻∅ =</p><p>𝐼𝑒𝑛𝑣𝑜𝑙𝑣𝑖𝑑𝑎</p><p>2𝜋𝜌</p><p>=</p><p>𝐼</p><p>2𝜋𝜌</p><p>𝜋𝜌2</p><p>𝜋𝑎2</p><p>=</p><p>𝐼𝜌</p><p>2𝜋𝑎2</p><p>(𝜌 < 𝑎)</p><p>Se o raio 𝜌 é maior que o raio externo do condutor externo, nenhuma corrente é envolvida,</p><p>uma vez que a somatória das correntes é zero, então</p><p>𝐻∅ = 0 (𝜌 > 𝑐)</p><p>Finalmente, se o caminho está situado dentro do condutor externo, temos</p><p>𝐻∅ =</p><p>𝐼𝑒𝑛𝑣𝑜𝑙𝑣𝑖𝑑𝑎</p><p>2𝜋𝜌</p><p>=</p><p>[𝐼 − 𝐼 (</p><p>𝜋𝜌2 − 𝜋𝑏2</p><p>𝜋𝑐2 − 𝜋𝑏2)]</p><p>2𝜋𝜌</p><p>=</p><p>𝐼</p><p>2𝜋𝜌</p><p>𝑐2 − 𝜌2</p><p>𝑐2 − 𝑏2</p><p>(𝑏 < 𝜌 < 𝑐)</p><p>A variação da intensidade do campo magnético com o raio é mostrada na figura a seguir para</p><p>o caso de um cabo coaxial no qual 𝑏 = 3𝑎 e 𝑐 = 4𝑎. É importante notar que tal cabo coaxial, mesmo</p><p>conduzindo corrente elevada, não produziria qualquer efeito notável em um circuito adjacente, uma</p><p>vez que campo externo é zero.</p><p>Como um terceiro exemplo, vamos discutir o campo magnético de uma lâmina com corrente</p><p>fluindo na direção 𝑦 positiva e localizada no plano 𝑧 = 0 . Seja esta, uma lâmina de densidade</p><p>superficial de corrente �⃗⃗⃗� = 𝐾𝑦�̂�𝑦, conforme mostrada na figura abaixo.</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>100</p><p>O caminho escolhido para tal problema está representado na figura como 1-1’-2’-2 composto</p><p>por segmentos de reta que são, cada um, paralelos ou perpendiculares a 𝐻𝑥 e a 𝐻𝑧. A lei de Biot-Savart</p><p>mostra que as contribuições a 𝐻𝑧 produzidas por um par de filamentos simetricamente localizados se</p><p>cancelam, assim, 𝐻𝑧 é nulo, restando apenas 𝐻𝑥 , pois 𝐻𝑦 está na mesma direção do fluxo,</p><p>conseqüentemente, também é nulo. A lei circuital de Ampère fornece</p><p>𝐻𝑥1𝐿 + 𝐻𝑥2(−𝐿) = 𝐼 = 𝐾𝑦𝐿</p><p>ou</p><p>𝐻𝑥1 − 𝐻𝑥2 = 𝐾𝑦</p><p>Se o caminho 3-3’-2’-2 for escolhido, a mesma corrente é envolvida e</p><p>𝐻𝑥3 − 𝐻𝑥2 = 𝐾𝑦</p><p>e, portanto,</p><p>𝐻𝑥3 = 𝐻𝑥1</p><p>e</p><p>𝐻𝑥1 = −𝐻𝑥2</p><p>pois os dois estão em sentido opostos (regra da mão direita).</p><p>Daí, segue que 𝐻𝑥 é o mesmo para todo 𝑧 positivo e de igual modo, 𝐻𝑥 é o mesmo para todo</p><p>𝑧 negativo. Então, por causa da simetria, a intensidade de campo magnético em um lado da lâmina de</p><p>região. O campo pode assumir características escalares ou vetorial.</p><p>Em geral para o campo vetorial, o módulo e a direção da função irão variar à medida que nos</p><p>movemos através da região, e o valor da função vetorial deve ser determinado utilizando-se os valores</p><p>das coordenadas do ponto em questão. Já o campo escalar terá apenas o módulo variando. E como</p><p>consideramos apenas o sistema de coordenadas cartesianas, devemos esperar que o campo vetorial</p><p>ou escalar seja função das variáveis x, y e z.</p><p>Se novamente representarmos o vetor posição por 𝑟 , então o campo vetorial �⃗� pode ser</p><p>expresso, em notação funcional, como �⃗�(𝑟); enquanto o campo escalar T é escrito como 𝑇(𝑟) ,</p><p>havendo, neste caso, variação apenas do módulo da função.</p><p>Pode-se citar como exemplos de campo escalar o campo da temperatura de um líquido no</p><p>interior de um prato de sopa em função do vetor posição, ou ainda, o campo potencial elétrico de uma</p><p>carga pontual. Por outro lado, são exemplos de campo vetorial a velocidade da corrente de água de</p><p>um rio em função do vetor posição, o campo elétrico de uma esfera carregada e o campo magnético</p><p>de um fio conduzindo corrente contínua.</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>8</p><p>1.6 Produto Escalar</p><p>Dados dois vetores 𝐴 e �⃗⃗�, o produto escalar, ou produto interno, é definido como o produto</p><p>entre o módulo de 𝐴, o módulo de �⃗⃗� e o cosseno do menor ângulo entre eles. Assim,</p><p>𝐴 ∙ �⃗⃗� = |𝐴||�⃗⃗�| 𝑐𝑜𝑠𝜃𝐴𝐵</p><p>Percebe-se, que um ponto aparece entre os dois vetores. O mesmo deve ser forte para dar</p><p>mais ênfase, lê-se “A escalar B”. O produto escalar tem como resultado um escalar, como o próprio</p><p>nome indica, e obedece à propriedade comutativa, pois o sinal do ângulo não afeta o termo cosseno,</p><p>ou seja,</p><p>𝐴 ∙ �⃗⃗� = �⃗⃗� ∙ 𝐴</p><p>A determinação do ângulo entre dois vetores no espaço tridimensional é muitas vezes um</p><p>trabalho que se prefere evitar. Por essa razão, a definição de produto escalar normalmente não é</p><p>usada em sua forma básica.</p><p>Um resultado mais útil é obtido considerando-se dois vetores cujas componentes cartesianas</p><p>são dadas por 𝐴 = 𝐴𝑥�̂�𝑥 + 𝐴𝑦�̂�𝑦 + 𝐴𝑧�̂�𝑧 e �⃗⃗� = 𝐵𝑥�̂�𝑥 + 𝐵𝑦�̂�𝑦 + 𝐵𝑧�̂�𝑧. O produto escalar também</p><p>obedece à propriedade distributiva, portanto, 𝐴 ∙ �⃗⃗� fornece uma soma de nove termos escalares, cada</p><p>um envolvendo o produto escalar de dois vetores unitários. Então,</p><p>𝐴 ∙ �⃗⃗� = (𝐴𝑥�̂�𝑥 + 𝐴𝑦�̂�𝑦 + 𝐴𝑧�̂�𝑧 ) ∙ (𝐵𝑥�̂�𝑥 + 𝐵𝑦�̂�𝑦 + 𝐵𝑧�̂�𝑧)</p><p>= 𝐴𝑥𝐵𝑥(�̂�𝑥 ∙ �̂�𝑥) + 𝐴𝑥𝐵𝑦(�̂�𝑥 ∙ �̂�𝑦) + 𝐴𝑥𝐵𝑧(�̂�𝑥 ∙ �̂�𝑧)</p><p>+ 𝐴𝑦𝐵𝑥(�̂�𝑦 ∙ �̂�𝑥) + 𝐴𝑦𝐵𝑦(�̂�𝑦 ∙ �̂�𝑦) + 𝐴𝑦𝐵𝑧(�̂�𝑦 ∙ �̂�𝑧)</p><p>+ 𝐴𝑧𝐵𝑥(�̂�𝑧 ∙ �̂�𝑥) + 𝐴𝑧𝐵𝑦(�̂�𝑧 ∙ �̂�𝑦) + 𝐴𝑧𝐵𝑧(�̂�𝑧 ∙ �̂�𝑧)</p><p>como o ângulo entre dois vetores unitários diferentes no sistema de coordenadas cartesianas é 90°,</p><p>temos</p><p>�̂�𝑥 ∙ �̂�𝑦 = �̂�𝑥 ∙ �̂�𝑧 = �̂�𝑦 ∙ �̂�𝑥 = �̂�𝑦 ∙ �̂�𝑧 = �̂�𝑧 ∙ �̂�𝑥 = �̂�𝑧 ∙ �̂�𝑦 = 0</p><p>Os três termos restantes envolvem o produto escalar de um vetor unitário por ele mesmo, o</p><p>que é igual à unidade, finalmente obtendo-se:</p><p>𝐴 ∙ �⃗⃗� = 𝐴𝑥𝐵𝑥 + 𝐴𝑦𝐵𝑦 + 𝐴𝑧𝐵𝑧</p><p>que é uma expressão que não envolve ângulos.</p><p>Vale ressaltar que, o produto escalar de um vetor por ele mesmo é o quadrado de seu módulo,</p><p>ou seja,</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>9</p><p>𝐴 ∙ 𝐴 = |𝐴|</p><p>2</p><p>= 𝐴2</p><p>e o produto escalar de qualquer vetor unitário por ele mesmo é igual à unidade, ou seja, �̂�𝐴 ∙ �̂�𝐴 = 1.</p><p>Uma das aplicações mais importantes do produto escalar é o cálculo da componente de um</p><p>vetor dada uma certa direção. Podemos obter a componente (escalar) de �⃗⃗� na direção especificada</p><p>pelo vetor unitário �̂� como</p><p>�⃗⃗� ∙ �̂� = |�⃗⃗�||�̂�|𝑐𝑜𝑠𝜃𝐵𝑎 = |�⃗⃗�|𝑐𝑜𝑠𝜃𝐵𝑎</p><p>Neste caso é usado o termo projeção. Assim, �⃗⃗� ∙ �̂� é a projeção do vetor �⃗⃗� na direção �̂�,</p><p>conforme pode ser observado na figura a seguir.</p><p>Para obtermos a componente vetorial de �⃗⃗� na direção de �̂�, multiplicamos a componente</p><p>escalar (projeção) por �̂�, como ilustrado na figura que se segue, ficando (�⃗⃗� ∙ �̂�)�̂�.</p><p>1.7 Produto Vetorial</p><p>Dados dois vetores 𝐴 e �⃗⃗�, definiremos agora o produto vetorial, ou produto cruzado, de 𝐴 e</p><p>�⃗⃗�, escrito com uma cruz entre os dois vetores, como 𝐴 × �⃗⃗�, e lido “A vetorial B”.</p><p>O produto vetorial 𝐴 × �⃗⃗� é um vetor; o módulo de 𝐴 × �⃗⃗� é igual ao produto dos módulos de</p><p>𝐴, �⃗⃗� e o seno do menor ângulo entre 𝐴 e �⃗⃗�; a direção de 𝐴 × �⃗⃗� é perpendicular ao plano que contém</p><p>𝐴 e �⃗⃗� e está ao longo de duas possíveis perpendiculares, todavia escolhe-se aquela que está no sentido</p><p>do avanço de um parafuso direito à medida que 𝐴 é girado para �⃗⃗�, conforme figura a seguir.</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>10</p><p>Outra forma de determinar o sentido do vetor �̂�𝑁 é por meio da regra da mão direita. Sendo</p><p>esta regra de mais fácil análise.</p><p>Na forma de equação, podemos escrever</p><p>𝐴 × �⃗⃗� = �̂�𝑁 |𝐴||�⃗⃗�| 𝑠𝑒𝑛𝜃𝐴𝐵</p><p>O produto vetorial não é comutativo, já que 𝐴 × �⃗⃗� = −(�⃗⃗� × 𝐴).</p><p>Se a definição de produto vetorial é aplicada aos vetores unitários �̂�𝑥 e �̂�𝑦 , encontramos</p><p>�̂�𝑥 × �̂�𝑦 = �̂�𝑧, onde cada vetor possui módulo unitário, os dois vetores são perpendiculares e a rotação</p><p>de �̂�𝑥 para �̂�𝑦 indica a direção positiva de z pela definição do sistema de coordenadas do tipo triedro</p><p>direito. De maneira semelhante, �̂�𝑦 × �̂�𝑧 = �̂�𝑥 e �̂�𝑧 × �̂�𝑥 = �̂�𝑦.</p><p>O cálculo do produto vetorial por meio de sua definição exige mais trabalho do que o cálculo</p><p>do produto escalar, porém este trabalho pode ser evitado usando-se as componentes cartesianas para</p><p>os dois vetores 𝐴 e �⃗⃗� e expandindo-se o produto vetorial como a soma de nove produtos vetoriais,</p><p>cada um envolvendo dois vetores unitários.</p><p>𝐴 × �⃗⃗� = (𝐴𝑥�̂�𝑥 + 𝐴𝑦�̂�𝑦 + 𝐴𝑧�̂�𝑧 ) × (𝐵𝑥�̂�𝑥 + 𝐵𝑦�̂�𝑦 + 𝐵𝑧�̂�𝑧)</p><p>= 𝐴𝑥𝐵𝑥(�̂�𝑥 × �̂�𝑥) + 𝐴𝑥𝐵𝑦(�̂�𝑥 × �̂�𝑦) + 𝐴𝑥𝐵𝑧(�̂�𝑥 × �̂�𝑧)</p><p>+ 𝐴𝑦𝐵𝑥(�̂�𝑦 × �̂�𝑥) + 𝐴𝑦𝐵𝑦(�̂�𝑦 × �̂�𝑦) + 𝐴𝑦𝐵𝑧(�̂�𝑦 × �̂�𝑧)</p><p>+ 𝐴𝑧𝐵𝑥(�̂�𝑧 × �̂�𝑥) + 𝐴𝑧𝐵𝑦(�̂�𝑧 × �̂�𝑦) + 𝐴𝑧𝐵𝑧(�̂�𝑧 × �̂�𝑧)</p><p>Já vimos que �̂�𝑥 × �̂�𝑦 = �̂�𝑧, �̂�𝑦 × �̂�𝑧 = �̂�𝑥 e �̂�𝑧 × �̂�𝑥 = �̂�𝑦. Os três termos remanescentes são</p><p>iguais a zero, pois o produto vetorial de qualquer vetor por ele mesmo é igual a zero, já que o seno do</p><p>ângulo envolvido é nulo. Estes resultados podem ser combinados para se obter</p><p>𝐴 × �⃗⃗� = (𝐴𝑦𝐵𝑧 − 𝐴𝑧𝐵𝑦)�̂�𝑥 + (𝐴𝑧𝐵𝑥 − 𝐴𝑥𝐵𝑧)�̂�𝑦 + (𝐴𝑥𝐵𝑦 − 𝐴𝑦𝐵𝑥)�̂�𝑧</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>11</p><p>que pode ser escrita como um determinante, numa forma mais fácil de ser lembrada:</p><p>𝐴 × �⃗⃗� = |</p><p>�̂�𝑥 �̂�𝑦 �̂�𝑧</p><p>𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧</p><p>𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧</p><p>|</p><p>Usando-se o cálculo do produto vetorial por meio desta matriz não há necessidade da</p><p>aplicação de qualquer regra adicional para se encontrar o vetor normal, uma vez que o mesmo já será</p><p>determinado pela resolução da equação.</p><p>1.8 Sistema de Coordenadas Cilíndricas Circulares</p><p>O sistema de coordenadas cartesianas é, em geral, o preferido dos estudantes, contudo</p><p>existem vários problemas onde a simetria pede um tratamento mais adequado para sua resolução.</p><p>O sistema de coordenadas cilíndricas (com o objetivo de facilitar, não usaremos o termo</p><p>“circulares”, apesar de existirem outros tipos de sistemas de coordenadas cilíndricas) é uma versão</p><p>tridimensional das coordenadas polares da geometria analítica. No sistema de coordenadas polares</p><p>bidimensional, um ponto é localizado em um plano dando-se a sua distância 𝜌 da origem e o ângulo 𝜙</p><p>entre a linha do ponto à origem e uma linha radial</p><p>corrente é o negativo da do outro lado. Acima da lâmina,</p><p>𝐻𝑥 =</p><p>1</p><p>2</p><p>𝐾𝑦 (𝑧 > 0)</p><p>enquanto que, abaixo,</p><p>𝐻𝑥 = −</p><p>1</p><p>2</p><p>𝐾𝑦 (𝑧 < 0)</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>101</p><p>Considerando �̂�𝑁 um vetor unitário normal (para fora) da lâmina de corrente, o resultado pode</p><p>ser escrito de forma genérica para todo 𝑧 como</p><p>�⃗⃗⃗� =</p><p>1</p><p>2</p><p>�⃗⃗⃗� × �̂�𝑁</p><p>Um quarto exemplo da aplicação da lei circuital de Ampère será demonstrado para a um</p><p>solenóide ideal (infinitamente longo) de raio 𝑎 e densidade de corrente uniforme 𝐾𝑎�̂�∅ , como</p><p>mostrado na figura (a) a seguir. Para tal referência,</p><p>�⃗⃗⃗� = 𝐾𝑎�̂�𝑧 (𝜌 < 𝑎)</p><p>�⃗⃗⃗� = 0 (𝜌 > 𝑎)</p><p>Isto é verdade porque, levando-se em consideração dois lados opostos de cada espira</p><p>formadora do solenóide, o campo em seu interior é somado, enquanto que em seu exterior o campo</p><p>é disperso.</p><p>Se o solenóide tiver um comprimento finito 𝑑 , consistindo em 𝑁 espiras enroladas muito</p><p>próximas, em um filamento conduzindo uma corrente 𝐼, então o campo em pontos bem dentro do</p><p>solenóide é dado aproximadamente por,</p><p>�⃗⃗⃗� = 𝐾𝑎�̂�𝑧 =</p><p>𝐼𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙</p><p>𝑑</p><p>�̂�𝑧 =</p><p>𝑁𝐼</p><p>𝑑</p><p>�̂�𝑧 (𝑏𝑒𝑚 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑒𝑛ó𝑖𝑑𝑒)</p><p>A aproximação é útil se não for aplicada em pontos mais perto do que dois raios das</p><p>extremidades abertas, nem em pontos mais próximos da superfície do solenóide que duas vezes a</p><p>separação entre as espiras.</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>102</p><p>Estas equações podem também ser encontradas através da aplicação da lei de Amperè a um</p><p>corte transvessal do solenóide.</p><p>Um quinto e último exemplo é o caso do toróide mostrado na figura abaixo. Aplicando-se a lei</p><p>circuital de Ampère chega-se, para toróide de 𝑁 espira, às seguintes expressões</p><p>�⃗⃗⃗� =</p><p>𝑁𝐼</p><p>2𝜋𝜌</p><p>�̂�𝜙 (𝑏𝑒𝑚 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑜 𝑡𝑜𝑟ó𝑖𝑑𝑒)</p><p>�⃗⃗⃗� = 0 (𝑓𝑜𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑡𝑜𝑟ó𝑖𝑑𝑒)</p><p>Tem-se boas aproximações com as equações anteriores, contudo deve-se considerar que os</p><p>pontos avaliados estão distantes da superfície do toróide de várias vezes a separação entre as espiras.</p><p>7.3 Rotacional</p><p>Aplicaremos, agora, a lei circuital de Ampère a um perímetro de elemento diferencial de</p><p>superfície e discutiremos a terceira e última das derivadas especiais da análise vetorial, o rotacional.</p><p>Nosso objetivo imediato é obter a forma pontual da lei circuital de Ampère.</p><p>Escolhendo-se as coordenadas cartesianas e um caminho fechado incremental de lados Δ𝑥 e</p><p>Δ𝑦. Admitimos que alguma corrente, ainda não especificada, produz um valor de referência para �⃗⃗⃗� no</p><p>centro desse pequeno retângulo (�⃗⃗⃗�0), que pode ser escrito</p><p>�⃗⃗⃗�0 = 𝐻𝑥0�̂�𝑥 + 𝐻𝑦0�̂�𝑦 + 𝐻𝑧0�̂�𝑧</p><p>A integral de linha fechada de �⃗⃗⃗� neste caminho é, então, aproximadamente, a soma dos</p><p>quatro valores de �⃗⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗� em cada lado. A figura abaixo mostra este caminho.</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>103</p><p>Escolhemos, conforme pode ser visto, a direção de percurso como 1-2-3-4-1, que corresponde</p><p>a uma corrente na direção �̂�𝑧, e a primeira contribuição é, portanto,</p><p>(�⃗⃗⃗� ∙ Δ�⃗⃗�)</p><p>1−2</p><p>= �⃗⃗⃗�1−2 ∙ Δ𝑦�̂�𝑦 = (𝐻𝑥,1−2�̂�𝑥 + 𝐻𝑦,1−2�̂�𝑦 + 𝐻𝑧,1−2�̂�𝑧) ∙ Δ𝑦�̂�𝑦</p><p>(�⃗⃗⃗� ∙ Δ�⃗⃗�)</p><p>1−2</p><p>= 𝐻𝑦,1−2Δ𝑦</p><p>Podendo 𝐻𝑦,1−2 ser dado em termos de 𝐻𝑦0 mais a taxa de variação 𝐻𝑦 com 𝑥 para uma</p><p>distância Δ𝑥/2 do centro ao ponto médio do lado 1-2:</p><p>𝐻𝑦,1−2 = 𝐻𝑦0 +</p><p>𝜕𝐻𝑦</p><p>𝜕𝑥</p><p>(Δ𝑥/2)</p><p>Assim,</p><p>(�⃗⃗⃗� ∙ Δ�⃗⃗�)</p><p>1−2</p><p>= (𝐻𝑦0 +</p><p>1</p><p>2</p><p>𝜕𝐻𝑦</p><p>𝜕𝑥</p><p>Δ𝑥)Δ𝑦</p><p>Ao longo dos demais trechos do caminho temos, por meio de cálculo análogo ao anterior,</p><p>(�⃗⃗⃗� ∙ Δ�⃗⃗�)</p><p>3−4</p><p>= −(𝐻𝑦0 −</p><p>1</p><p>2</p><p>𝜕𝐻𝑦</p><p>𝜕𝑥</p><p>Δ𝑥)Δ𝑦</p><p>enquanto,</p><p>(�⃗⃗⃗� ∙ Δ�⃗⃗�)</p><p>2−3</p><p>= −(𝐻𝑥0 +</p><p>1</p><p>2</p><p>𝜕𝐻𝑥</p><p>𝜕𝑦</p><p>Δ𝑦)Δ𝑥</p><p>(�⃗⃗⃗� ∙ Δ�⃗⃗�)</p><p>4−1</p><p>= (𝐻𝑥0 −</p><p>1</p><p>2</p><p>𝜕𝐻𝑥</p><p>𝜕𝑦</p><p>Δ𝑦)Δ𝑥</p><p>Somando-se as contribuições de todos os lados, tem-se</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>104</p><p>∮ �⃗⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗� = (</p><p>𝜕𝐻𝑦</p><p>𝜕𝑥</p><p>−</p><p>𝜕𝐻𝑥</p><p>𝜕𝑦</p><p>)∆𝑥∆𝑦</p><p>Assumindo-se uma densidade de corrente genérica 𝐽, a corrente envolvida pelo caminho em</p><p>questão é, então Δ𝐼 = 𝐽𝑧 Δ𝑥 Δ𝑦, e</p><p>∮ �⃗⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗� = (</p><p>𝜕𝐻𝑦</p><p>𝜕𝑥</p><p>−</p><p>𝜕𝐻𝑥</p><p>𝜕𝑦</p><p>)∆𝑥∆𝑦 = ∆𝐼 = 𝐽𝑧 ∆𝑥∆𝑦</p><p>ou</p><p>∮ �⃗⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗�</p><p>∆𝑥∆𝑦</p><p>=</p><p>𝜕𝐻𝑦</p><p>𝜕𝑥</p><p>−</p><p>𝜕𝐻𝑥</p><p>𝜕𝑦</p><p>= 𝐽𝑧</p><p>Ao fazermos o caminho fechado reduzir-se, a expressão acima se torna mais exata, e no limite</p><p>temos a igualdade</p><p>lim</p><p>∆𝑥,∆𝑦→0</p><p>∮ �⃗⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗�</p><p>∆𝑥∆𝑦</p><p>=</p><p>𝜕𝐻𝑦</p><p>𝜕𝑥</p><p>−</p><p>𝜕𝐻𝑥</p><p>𝜕𝑦</p><p>= 𝐽𝑧</p><p>Escolhendo-se caminhos fechados orientados perpendicularmente a cada um dos eixos</p><p>coordenados restantes, processos análogos levarão a expressões para as componentes 𝑥 e 𝑦 da</p><p>densidade de corrente,</p><p>lim</p><p>∆𝑦,∆𝑧→0</p><p>∮ �⃗⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗�</p><p>∆𝑦∆𝑧</p><p>=</p><p>𝜕𝐻𝑧</p><p>𝜕𝑦</p><p>−</p><p>𝜕𝐻𝑦</p><p>𝜕𝑧</p><p>= 𝐽𝑥</p><p>e</p><p>lim</p><p>∆𝑧,∆𝑥→0</p><p>∮ �⃗⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗�</p><p>∆𝑧∆𝑥</p><p>=</p><p>𝜕𝐻𝑥</p><p>𝜕𝑧</p><p>−</p><p>𝜕𝐻𝑧</p><p>𝜕𝑥</p><p>= 𝐽𝑦</p><p>Nos limites acima, vemos que uma componente da densidade de corrente é dada pelo limite</p><p>do quociente da integral de linha fechada pela área envolvida à medida que o caminho da integral</p><p>tende a zero. Esse limite está presente em outros campos da ciência e há muito tempo recebeu o nome</p><p>de rotacional. A forma matemática da definição é</p><p>(𝑟𝑜𝑡 �⃗⃗⃗�)</p><p>𝑁</p><p>= lim</p><p>∆𝑆𝑁→0</p><p>∮ �⃗⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗�</p><p>∆𝑆𝑁</p><p>onde Δ𝑆𝑁 é a área plana envolvida pela integral de linha fechada. O índice 𝑁 indica que a componente</p><p>do rotacional é aquela componente que é normal à superfície envolvida pelo caminho fechado.</p><p>O rotacional pode ser escrito em termos do operador vetorial, ou seja,</p><p>𝑟𝑜𝑡 �⃗⃗⃗� = ∇⃗⃗⃗ × �⃗⃗⃗�</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>105</p><p>De forma geral temos que o resultado do rotacional é o próprio vetor densidade de corrente,</p><p>ou ainda,</p><p>∇⃗⃗⃗ × �⃗⃗⃗� = 𝐽</p><p>Esta é a segunda das quatro equações de Maxwell aplicada a condições não variantes no</p><p>tempo, também conhecida como forma pontual da lei circuital de Ampère.</p><p>Em coordenadas cartesianas, considerando-se as componentes 𝑥, 𝑦 e 𝑧, o rotacional será</p><p>∇⃗⃗⃗ × �⃗⃗⃗� = (</p><p>𝜕𝐻𝑧</p><p>𝜕𝑦</p><p>−</p><p>𝜕𝐻𝑦</p><p>𝜕𝑧</p><p>) �̂�𝑥 + (</p><p>𝜕𝐻𝑥</p><p>𝜕𝑧</p><p>−</p><p>𝜕𝐻𝑧</p><p>𝜕𝑥</p><p>) �̂�𝑦 + (</p><p>𝜕𝐻𝑦</p><p>𝜕𝑥</p><p>−</p><p>𝜕𝐻𝑥</p><p>𝜕𝑦</p><p>) �̂�𝑧 (𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑖𝑎𝑛𝑎)</p><p>Este resultado de rotacional para coordenadas cartesianas pode ser escrito na forma de um</p><p>determinante,</p><p>∇⃗⃗⃗ × �⃗⃗⃗� = ||</p><p>�̂�𝑥 �̂�𝑦 �̂�𝑧</p><p>𝜕</p><p>𝜕𝑥</p><p>𝜕</p><p>𝜕𝑦</p><p>𝜕</p><p>𝜕𝑧</p><p>𝐻𝑥 𝐻𝑦 𝐻𝑧</p><p>||</p><p>Em coordenadas cilíndricas e esféricas o rotacional é dado, respectivamente, por</p><p>∇⃗⃗⃗ × �⃗⃗⃗� = (</p><p>1</p><p>𝜌</p><p>𝜕𝐻𝑧</p><p>𝜕∅</p><p>−</p><p>𝜕𝐻∅</p><p>𝜕𝑧</p><p>) �̂�𝜌 + (</p><p>𝜕𝐻𝜌</p><p>𝜕𝑧</p><p>−</p><p>𝜕𝐻𝑧</p><p>𝜕𝜌</p><p>) �̂�∅ + (</p><p>1</p><p>𝜌</p><p>𝜕(𝜌𝐻∅)</p><p>𝜕𝜌</p><p>−</p><p>1</p><p>𝜌</p><p>𝜕𝐻𝜌</p><p>𝜕∅</p><p>) �̂�𝑧 (𝑐𝑖𝑙í𝑛𝑑𝑟𝑖𝑐𝑎)</p><p>∇⃗⃗⃗ × �⃗⃗⃗� =</p><p>1</p><p>𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃</p><p>(</p><p>𝜕(𝐻∅ 𝑠𝑒𝑛𝜃)</p><p>𝜕𝜃</p><p>−</p><p>𝜕𝐻𝜃</p><p>𝜕∅</p><p>) �̂�𝑟 +</p><p>1</p><p>𝑟</p><p>(</p><p>1</p><p>𝑠𝑒𝑛𝜃</p><p>𝜕𝐻𝑟</p><p>𝜕∅</p><p>−</p><p>𝜕(𝑟𝐻∅)</p><p>𝜕𝑟</p><p>) �̂�𝜃</p><p>+</p><p>1</p><p>𝑟</p><p>(</p><p>𝜕(𝑟𝐻𝜃)</p><p>𝜕𝑟</p><p>−</p><p>𝜕𝐻𝑟</p><p>𝜕𝜃</p><p>) �̂�∅ (𝑒𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑎)</p><p>É importante salientar que só existe rotacional de �⃗⃗⃗� porque a integral dele ao longo de um</p><p>caminho fechado não é nula se houve uma corrente na região, pois ∮ �⃗⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗� = 𝐼. Já para o caso da</p><p>integral do campo elétrico ao longo de um caminho fechado, tem-se ∮ �⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗� = 0, o que nos permite</p><p>afirma que</p><p>(𝑟𝑜𝑡 �⃗⃗�)</p><p>𝑁</p><p>= lim</p><p>∆𝑆𝑁→0</p><p>∮ �⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗�</p><p>∆𝑆𝑁</p><p>= lim</p><p>∆𝑆𝑁→0</p><p>0</p><p>∆𝑆𝑁</p><p>= 0</p><p>então,</p><p>∇⃗⃗⃗ × �⃗⃗� = 0</p><p>Esta é a terceira das quatro equações de Maxwell aplicada a condições não variantes no</p><p>tempo.</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>106</p><p>Como interpretação física do rotacional sugere-se que o mesmo seja testado por meio de uma</p><p>“roda propulsora de navio a vapor” bem pequena.</p><p>Para testar um campo para o rotacional,</p><p>mergulhamos nossa roda propulsora em um campo, com os eixos dela alinhados com a direção da</p><p>componente do rotacional desejada, e observamos a ação do campo sobre a roda. Se nenhuma</p><p>rotação for observada significa que o rotacional é nulo; velocidades angulares elevadas significam</p><p>maiores valores do rotacional; reversão na direção de giro significa uma mudança no sinal do</p><p>rotacional. Observação: a direção do rotacional é ao longo do eixo da roda propulsora, como dada pela</p><p>regra da mão direita.</p><p>Como exemplo, considere o fluxo de água em um rio, conforme figura (a) abaixo. A velocidade</p><p>da água é praticamente zero no fundo e aumenta linearmente à medida que se aproxima da superfície.</p><p>Uma roda propulsora colocada na posição mostrada, com seu eixo perpendicular ao papel, irá girar no</p><p>sentido horário, mostrando a presença da componente do rotacional na direção da normal para dentro</p><p>da superfície da folha. Se a velocidade da água não varia se subimos ou descemos o rio e também não</p><p>mostra variação quando cruzamos o rio, então esta componente é a única componente presente no</p><p>centro da corrente em questão.</p><p>Na figura (b) acima são mostradas as linhas de força da intensidade de campo magnético em</p><p>um condutor filamentar extremamente longo. O medidor de rotacional posicionado neste campo de</p><p>linhas curvas mostra que um maior número de pás tem uma força no sentido horário exercida sobre</p><p>elas, mas que esta força é, em geral, menor que a força no sentido anti-horário exercida sobre o menor</p><p>número de pás mais próximas do fio. Então, é possível que o torque sobre a roda propulsora seja zero.</p><p>Na realidade a roda propulsora não gira neste caso, pois como �⃗⃗⃗� = (𝐼/2𝜋𝜌)�̂�𝜙 obtemos um</p><p>rotacional nulo, como se segue,</p><p>∇⃗⃗⃗ × �⃗⃗⃗� = (</p><p>1</p><p>𝜌</p><p>𝜕𝐻𝑧</p><p>𝜕∅</p><p>−</p><p>𝜕𝐻∅</p><p>𝜕𝑧</p><p>) �̂�𝜌 + (</p><p>𝜕𝐻𝜌</p><p>𝜕𝑧</p><p>−</p><p>𝜕𝐻𝑧</p><p>𝜕𝜌</p><p>) �̂�∅ + (</p><p>1</p><p>𝜌</p><p>𝜕(𝜌𝐻∅)</p><p>𝜕𝜌</p><p>−</p><p>1</p><p>𝜌</p><p>𝜕𝐻𝜌</p><p>𝜕∅</p><p>) �̂�𝑧</p><p>∇⃗⃗⃗ × �⃗⃗⃗� = −</p><p>𝜕𝐻∅</p><p>𝜕𝑧</p><p>�̂�𝜌 +</p><p>1</p><p>𝜌</p><p>𝜕(𝜌𝐻∅)</p><p>𝜕𝜌</p><p>�̂�𝑧 = 0</p><p>Este resultado se justifica pelo fato de não haver corrente elétrica naquela posição.</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>107</p><p>7.4 Teorema de Stokes</p><p>Considere a princípio a superfície 𝑆 da figura abaixo, a qual está dividida em superfícies</p><p>incrementais de área Δ𝑆.</p><p>Se aplicarmos a definição de rotacional a uma dessas superfícies incrementais da figura</p><p>anterior teremos</p><p>∮ �⃗⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗�</p><p>∆𝑆</p><p>= (∇⃗⃗⃗ × �⃗⃗⃗�)</p><p>𝑁</p><p>onde novamente indica um vetor normal à superfície direcionado segundo a regra da mão direita.</p><p>O índice em 𝑑�⃗⃗�Δ𝑆 indica que o caminho fechado é o perímetro de uma área incremental Δ𝑆. Este</p><p>resultado pode também ser escrito como</p><p>∮ �⃗⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗�∆𝑆</p><p>∆𝑆</p><p>= (∇⃗⃗⃗ × �⃗⃗⃗�) ∙ �̂�𝑁</p><p>ou</p><p>∮ �⃗⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗�∆𝑆 = (∇⃗⃗⃗ × �⃗⃗⃗�) ∙ �̂�𝑁∆𝑆</p><p>e, ainda</p><p>∮ �⃗⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗�∆𝑆 = (∇⃗⃗⃗ × �⃗⃗⃗�) ∙ ∆𝑆</p><p>onde �̂�𝑁 é um vetor unitário na direção da normal a Δ𝑆 segundo a regra da mão direita.</p><p>N</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>108</p><p>Agora, vamos determinar ∮ �⃗⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗� para a superfície 𝑆 como um todo e não apenas para uma</p><p>superfície incremental Δ𝑆. Para tanto, basta fazer o somatório de (∇⃗⃗⃗ × �⃗⃗⃗�) ∙ Δ𝑆 na superfície total 𝑆.</p><p>Tem-se, portanto,</p><p>∮ �⃗⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗� = ∫(∇⃗⃗⃗ × �⃗⃗⃗�) ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>onde 𝑑�⃗⃗� é tomado apenas no perímetro de 𝑆. Esta identidade é válida para qualquer campo vetorial e</p><p>é conhecida como teorema de Stokes.</p><p>Outra forma mais simples de se obter o teorema de Stokes para o campo magnético é</p><p>desenvolvida a seguir a partir da lei de Ampère. Temos que</p><p>∮ �⃗⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗� = 𝐼</p><p>e</p><p>𝐼 = ∫𝐽 ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>então,</p><p>∮ �⃗⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗� = ∫ 𝐽 ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>Sabe-se também, do princípio de rotacional, que</p><p>∇⃗⃗⃗ × �⃗⃗⃗� = 𝐽</p><p>fazendo-se a substituição adequada, tem-se novamente a expressão do teorema de Stokes,</p><p>∮ �⃗⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗� = ∫(∇⃗⃗⃗ × �⃗⃗⃗�) ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>7.5 Fluxo Magnético e Densidade de Fluxo Magnético</p><p>Define-se densidade de fluxo magnético �⃗⃗�, para o espaço livre, como sendo</p><p>�⃗⃗� = 𝜇0�⃗⃗⃗�</p><p>onde �⃗⃗� é medida em webers por metro quadrado (𝑊𝑏/𝑚2) ou, no Sistema Internacional de</p><p>Unidades, em tesla (𝑇). A constante 𝜇0 é conhecida por constante de permeabilidade magnética do</p><p>espaço livre e tem seu valor dado por</p><p>𝜇0 = 4𝜋10−7 𝐻/𝑚</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>109</p><p>O vetor densidade de fluxo magnético �⃗⃗� pode ser comparado com o vetor densidade de fluxo</p><p>elétrico �⃗⃗⃗�, o qual foi visto anteriormente no estudo do campo elétrico.</p><p>Uma vez conhecido o vetor densidade de fluxo magnético, é possível calcular o fluxo</p><p>magnético (Φ) através da equação</p><p>Φ = ∫ �⃗⃗� ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>a unidade de fluxo magnético é, naturalmente, weber (𝑊𝑏).</p><p>Fazendo-se um paralelo com o fluxo elétrico de uma superfície fechada, que pela lei de Gauss</p><p>é</p><p>Ψ = ∮ �⃗⃗⃗� ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>= 𝑄𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎</p><p>tem-se para o fluxo magnético de uma superfície fechada (aplicando-se a lei de Gauss):</p><p>Φ = ∮ �⃗⃗� ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>= 𝑄𝑚𝑎𝑔𝑛é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 = 0</p><p>O resultado é nulo porque não existe carga magnética separada, uma vez que não é possível</p><p>separar o pólo norte do pólo sul de um material magnético, diferentemente das cargas elétricas, onde</p><p>as cargas positivas e cargas negativas são facilmente separadas. Portanto, segue-se que a aplicação da</p><p>divergência para um campo magnético será</p><p>∇⃗⃗⃗ ∙ �⃗⃗� = 0</p><p>esta é a quarta e última das quatro equações de Maxwell que se aplicam a campos elétricos estáticos</p><p>e campos magnéticos estacionários.</p><p>A seguir tem-se um quadro comparativo das grandezas e teoremas relacionados à eletrostática</p><p>e à magnetostática (estudo do campo magnético estacionário).</p><p>ELETROSTÁTICA MAGNETOSTÁTICA</p><p>Lei de Coulomb:</p><p>�⃗⃗� = ∫</p><p>𝑑𝑄</p><p>4𝜋𝜀0𝑅</p><p>2</p><p>�̂�𝑅 (𝑉/𝑚)</p><p>Lei de Bio-Savart:</p><p>�⃗⃗⃗� = ∮</p><p>𝐼 𝑑�⃗⃗� × �̂�𝑅</p><p>4𝜋𝑅2</p><p>(𝐴/𝑚)</p><p>Densidade de Fluxo Elétrico (�⃗⃗⃗�):</p><p>�⃗⃗⃗� = 𝜀0�⃗⃗� (𝐶/𝑚2)</p><p>Densidade de Fluxo Magnético (�⃗⃗�):</p><p>�⃗⃗� = 𝜇0�⃗⃗⃗� (𝑊𝑏/𝑚2 𝑜𝑢 𝑇)</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>110</p><p>Fluxo Elétrico (Ψ):</p><p>Ψ = ∫ �⃗⃗⃗� ∙ 𝑑𝑆 (𝐶)</p><p>Fluxo Magnético (Φ):</p><p>Φ = ∫ �⃗⃗� ∙ 𝑑𝑆 (𝑊𝑏)</p><p>Lei de Gauss:</p><p>Ψ = ∮ �⃗⃗⃗� ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>= 𝑄𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎</p><p>Lei Circuital de Ampère:</p><p>∮ �⃗⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗� = 𝐼𝑒𝑛𝑣𝑜𝑙𝑣𝑖𝑑𝑜</p><p>Lei Circuital de Ampère para o Campo Elétrico:</p><p>∮ �⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗� = 0</p><p>Lei de Gauss para o Campo Magnético:</p><p>∮ �⃗⃗� ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>= 0</p><p>Divergência:</p><p>∇⃗⃗⃗ ∙ �⃗⃗⃗� = 𝜌𝑣</p><p>(forma pontual da Lei de Gauss)</p><p>Rotacional:</p><p>∇⃗⃗⃗ × �⃗⃗⃗� = 𝐽</p><p>(forma pontual da Lei Circuital de Ampère)</p><p>Rotacional para o Campo Elétrico:</p><p>∇⃗⃗⃗ × �⃗⃗� = 0</p><p>Divergência para o Campo Magnético:</p><p>∇⃗⃗⃗ ∙ �⃗⃗� = 0</p><p>Teorema da Divergência:</p><p>∮ �⃗⃗⃗� ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>= ∫ (∇⃗⃗⃗ ∙ �⃗⃗⃗�) 𝑑𝑣</p><p>𝑣𝑜𝑙</p><p>= ∫ 𝜌𝑣 𝑑𝑣</p><p>𝑣𝑜𝑙</p><p>= 𝑄𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎</p><p>Teorema de Stokes:</p><p>∮ �⃗⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗� = ∫(∇⃗⃗⃗ × �⃗⃗⃗�) ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>= ∫𝐽 ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>= 𝐼𝑒𝑛𝑣𝑜𝑙𝑣𝑖𝑑𝑜</p><p>7.6 Potenciais Magnéticos Escalar e Vetorial</p><p>O potencial magnético escalar, que é designado por 𝑉𝑚 , tem algumas propriedades</p><p>semelhantes às do potencial elétrico. Escreve-se, então,</p><p>�⃗⃗⃗� = −∇⃗⃗⃗𝑉𝑚</p><p>Essa definição não deve entrar em conflito com os resultados anteriores para o campo</p><p>magnético, e portanto,</p><p>∇⃗⃗⃗ × �⃗⃗⃗� = 𝐽 = ∇⃗⃗⃗ × (−∇⃗⃗⃗𝑉𝑚)</p><p>Entretanto, o rotacional do gradiente de qualquer escalar é identicamente zero, uma</p><p>identidade vetorial cuja demonstração não será realizada aqui, ficando</p><p>∇⃗⃗⃗ × (−∇⃗⃗⃗𝑉𝑚) = 0</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>111</p><p>Portanto, vemos que se �⃗⃗⃗� for definido</p><p>como o gradiente do potencial magnético escalar,</p><p>então a densidade de corrente deve ser zero (𝐽 = 0) através da região na qual o potencial magnético</p><p>escalar está definido. Temos, então,</p><p>�⃗⃗⃗� = −∇⃗⃗⃗𝑉𝑚 (𝐽 = 0)</p><p>A unidade de medida do potencial magnético escalar é Ampère. Esse potencial escalar também</p><p>deve satisfazer a equação de Laplace. Por isso, no espaço livre,</p><p>∇⃗⃗⃗ ∙ �⃗⃗� = 0 (4ª 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑀𝑎𝑥𝑤𝑒𝑙𝑙)</p><p>∇⃗⃗⃗ ∙ �⃗⃗� = ∇⃗⃗⃗ ∙ (𝜇0�⃗⃗⃗�) = 𝜇0 ∇⃗⃗⃗ ∙ �⃗⃗⃗� = 0</p><p>e, assim,</p><p>𝜇0 ∇⃗⃗⃗ ∙ �⃗⃗⃗� = 𝜇0 ∇⃗⃗⃗ ∙ (−∇⃗⃗⃗𝑉𝑚) = 0</p><p>ou</p><p>∇2𝑉𝑚 = 0 (J⃗ = 0)</p><p>O potencial magnético escalar 𝑉𝑚, diferentemente do potencial elétrico 𝑉, não é uma função</p><p>unívoca da posição. O potencial elétrico 𝑉 é unívoco; uma vez que estabelecido um zero de referência,</p><p>há apenas um valor de 𝑉 associado a cada ponto no espaço livre.</p><p>Outra diferença está no fato que o potencial eletrostático 𝑉 é um campo conservativo,</p><p>enquanto o potencial magnético 𝑉𝑚 não é conservativo. Se dermos uma volta completa ao redor de</p><p>uma linha infinita carregada teremos ∮ �⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗� = 0, já no caso do campo magnético, dando-se uma</p><p>volta completa ao redor de uma linha infinita (fio) contendo uma corrente 𝐼 teremos: ∮ �⃗⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗� = 𝐼 e</p><p>se dermos duas voltas ∮ �⃗⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗� = 2𝐼 e assim por diante.</p><p>Deixaremos agora o estudo do campo potencial magnético escalar e introduziremos o conceito</p><p>do campo potencial magnético vetorial. Este campo vetorial é extremamente útil no estudo de</p><p>irradiação de antenas, de aberturas e fuga de irradiação de linhas de transmissão, de guias de onda e</p><p>de fornos de microondas. O campo potencial magnético vetorial tem a vantagem de poder ser usado</p><p>em regiões onde a densidade corrente é zero ou diferente de zero.</p><p>A escolha de um potencial magnético vetorial é indicada notando-se que</p><p>∇⃗⃗⃗ ∙ �⃗⃗� = 0</p><p>Em seguida, uma identidade vetorial mostra que a divergência do rotacional de qualquer</p><p>campo vetorial é zero. Portanto, escolheu-se</p><p>�⃗⃗� = ∇⃗⃗⃗ × 𝐴</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>112</p><p>onde 𝐴 significa um potencial magnético vetorial e automaticamente satisfaz a condição de que a</p><p>densidade fluxo magnético deve ter divergência zero, como a operação rotacional implica uma</p><p>diferenciação em relação ao comprimento, as unidades de 𝐴 são webers por metro (𝑊𝑏/𝑚). O campo</p><p>�⃗⃗⃗� é</p><p>𝜇0�⃗⃗⃗� = ∇⃗⃗⃗ × 𝐴</p><p>�⃗⃗⃗� =</p><p>1</p><p>𝜇0</p><p>∇⃗⃗⃗ × 𝐴</p><p>e</p><p>∇⃗⃗⃗ × �⃗⃗⃗� = 𝐽 =</p><p>1</p><p>𝜇0</p><p>∇⃗⃗⃗ × ∇⃗⃗⃗ × 𝐴</p><p>O rotacional do rotacional de um campo vetorial não é zero e é dado por uma expressão</p><p>razoavelmente complicada</p><p>∇⃗⃗⃗ × ∇⃗⃗⃗ × 𝐴 = ∇⃗⃗⃗(∇⃗⃗⃗ ∙ 𝐴) − ∇2𝐴</p><p>Em casos específicos para os quais a forma de 𝐴 é conhecida, a operação rotacional pode ser</p><p>aplicada duas vezes para determinar a densidade de corrente.</p><p>Desenvolvendo a equação do potencial magnético vetorial 𝐴 pode ser chegar à seguinte</p><p>expressão</p><p>𝐴 = ∮</p><p>𝜇0𝐼 𝑑�⃗⃗�</p><p>4𝜋𝑅</p><p>Notamos nesta equação que o vetor potencial magnético tem o mesmo sentido e direção que</p><p>𝐼 𝑑�⃗⃗�. A equação anterior pode também ser escrita em sua forma diferencial,</p><p>𝑑𝐴 =</p><p>𝜇0𝐼 𝑑�⃗⃗�</p><p>4𝜋𝑅</p><p>até que um caminho fechado completo no qual a corrente flui seja considerado.</p><p>Para exemplificar a aplicação do conceito de potencial magnético vetorial, considere o campo</p><p>potencial magnético vetorial de um filamento diferencial posicionado na origem no espaço livre,</p><p>conforme figura a seguir. O mesmo estende-se na direção 𝑧 positiva, de forma que 𝑑�⃗⃗� = 𝑑𝑧 �̂�𝑧.</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>113</p><p>Usando-se coordenadas cilíndricas para determinar 𝑑𝐴 no ponto (𝜌, 𝜙, 𝑧):</p><p>𝑑𝐴 =</p><p>𝜇0𝐼 𝑑𝑧 �̂�𝑧</p><p>4𝜋√𝜌2 + 𝑧2</p><p>ou</p><p>𝑑𝐴𝑧 =</p><p>𝜇0𝐼 𝑑𝑧</p><p>4𝜋√𝜌2 + 𝑧2</p><p>𝑑𝐴𝜌 = 0 𝑑𝐴𝜙 = 0</p><p>Para encontrar a intensidade de campo magnético, devemos tomar o rotacional da equação</p><p>anterior, o que leva a</p><p>𝑑�⃗⃗⃗� =</p><p>1</p><p>𝜇0</p><p>∇⃗⃗⃗ × 𝑑𝐴 =</p><p>1</p><p>𝜇0</p><p>(−</p><p>𝜕 𝑑𝐴𝑧</p><p>𝜕𝜌</p><p>) �̂�𝜙</p><p>ou</p><p>𝑑�⃗⃗⃗� =</p><p>𝐼 𝑑𝑧</p><p>4𝜋</p><p>𝜌</p><p>(𝜌2 + 𝑧2)3/2</p><p>�̂�𝜙</p><p>que é facilmente mostrada como sendo o mesmo valor dado pela lei de Biot-Savart.</p><p>Para uma lâmina de corrente �⃗⃗⃗�, o elemento diferencial de corrente se torna</p><p>𝐼 𝑑�⃗⃗� = �⃗⃗⃗� 𝑑𝑆</p><p>No caso de uma corrente fluindo através de um volume com uma densidade 𝐽, temos</p><p>𝐼 𝑑�⃗⃗� = 𝐽 𝑑𝑣</p><p>As expressões alternativas para 𝐴 são, então,</p><p>𝐴 = ∫</p><p>𝜇0�⃗⃗⃗�𝑑𝑆</p><p>4𝜋𝑅</p><p>𝑆</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>114</p><p>e</p><p>𝐴 = ∫</p><p>𝜇0𝐽𝑑𝑣</p><p>4𝜋𝑅</p><p>𝑣𝑜𝑙</p><p>Fica evidente, pela observação das equações dadas, que o potencial magnético vetorial tem</p><p>seu valor de referência zero no infinito, ou seja, 𝐴 = 0 em 𝑅 = ∞, pois nenhum elemento de corrente</p><p>finito pode produzir qualquer contribuição quando 𝑅 → ∞.</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>115</p><p>8 – FORÇAS MAGNÉTICAS, MATERIAIS E INDUTÂNCIA</p><p>8.1 Força em uma Carga em Movimento</p><p>Experimentalmente, podemos verificar que uma partícula carregada movimentando-se em um</p><p>campo magnético cuja densidade de fluxo é �⃗⃗� , sofre a ação de uma força cuja magnitude é</p><p>proporcional à carga 𝑄, à sua velocidade �⃗� e ao próprio valor de �⃗⃗�. A direção da força é perpendicular</p><p>a �⃗� e a �⃗⃗� e é dada por um vetor unitário da direção de �⃗� × �⃗⃗� (regra da mão esquerda). A força pode</p><p>ser, portanto, expressa como</p><p>�⃗� = 𝑄 �⃗� × �⃗⃗�</p><p>Conforme pode ser notado, a força é normal à trajetória, por isso ela não pode alterar a</p><p>magnitude da velocidade da partícula, em outras palavras, o vetor aceleração é sempre perpendicular</p><p>ao vetor velocidade, então a energia cinética da partícula permanece inalterada, e segue daí que o</p><p>campo magnético estacionário é incapaz de transferir energia para a carga em movimento. Por outro</p><p>lado no que tange ao campo elétrico, este exerce uma força sobre a partícula que é independente da</p><p>direção em que a partícula se desloca e, portanto, acarreta uma transferência de energia entre o</p><p>campo e a partícula, a mesma é encontrada, conforme já visto, pela expressão</p><p>�⃗� = 𝑄�⃗⃗�</p><p>A força sobre uma partícula em movimento devida aos campos elétrico e magnético</p><p>combinados é facilmente obtida através da superposição, ou seja,</p><p>�⃗� = 𝑄(�⃗⃗� + �⃗� × �⃗⃗�)</p><p>Esta equação é conhecida como a equação de força de Lorentz, e sua solução é necessária</p><p>para a determinação do movimento de partículas carregadas sob a ação combinada dos campos</p><p>elétrico e magnético.</p><p>8.2 Força em um Elemento Diferencial de Corrente</p><p>A força sobre uma partícula carregada que se desloca através de um campo magnético</p><p>estacionário pode ser escrita como uma força diferencial exercida sobre um elemento diferencial de</p><p>carga,</p><p>𝑑�⃗� = 𝑑𝑄 �⃗� × �⃗⃗�</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>116</p><p>A figura (a) a seguir mostra um diferencial de carga contido em um diferencial de fio ou tira.</p><p>Este filamento é percorrido por uma corrente 𝐼, o mesmo tem largura 𝑤 e está submetido a uma</p><p>densidade de fluxo magnético �⃗⃗� entrando na folha. Este experimento foi primeiro implementado por</p><p>Edwin Hall em 1879, que mostrou que os elétrons de condução em movimento em um condutor</p><p>podem ser defletidos por um campo magnético. Esta constatação é conhecida por efeito Hall.</p><p>Percebe-se que ao aplicar um campo magnético, conforme figura, ocorre um acúmulo de carga</p><p>no lado direito da tira em questão. Este acúmulo de carga ao longo do lado direito da tira (e a</p><p>deficiência correspondente de carga deste sinal no lado esquerdo), produz um campo elétrico �⃗⃗�𝐻 ao</p><p>longo da tira, conforme mostrado na figura (b). Este campo é conhecido por campo elétrico de Hall.</p><p>Desta forma,</p><p>surge uma diferença de potencial 𝑉𝐻 = 𝐸𝐻𝑤, chamada de potencial Hall (ou tensão Hall),</p><p>ao longo deste diferencial de tira. Esta tensão é factível de medição.</p><p>À medida que os portadores de carga (de sinal positivo ou negativo) se movimentam, eles são</p><p>defletidos, neste caso, para a direita da tira pela força magnética. E à medida que as cargas se</p><p>empilham no lado direito, elas estabelecem um campo elétrico que age dentro do condutor opondo-</p><p>se ao movimento (dos portadores adicionais) para os lados. O equilíbrio é rapidamente atingido e a</p><p>tensão Hall atinge o seu valor máximo; o diferencial de força magnética lateral é dessa forma</p><p>equilibrado pelo diferencial de força elétrica lateral. Em termos vetoriais, o diferencial de força de</p><p>Lorentz sobre os portadores de carga é nula, ou seja,</p><p>𝑑�⃗� = 𝑑𝑄(�⃗⃗�𝐻 + �⃗� × �⃗⃗�) = 0</p><p>logo,</p><p>�⃗⃗�𝐻 = −�⃗� × �⃗⃗�</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>117</p><p>Passaremos agora a uma análise macroscópica, fora do condutor. Vimos, em capítulos</p><p>anteriores, que a densidade de corrente de convecção em termos da velocidade e da densidade</p><p>volumétrica de carga é</p><p>𝐽 = 𝜌𝑣�⃗�</p><p>O elemento diferencial de carga também pode ser expresso em termos de densidade</p><p>volumétrica de carga (𝑑𝑣),</p><p>𝑑𝑄 = 𝜌𝑣 𝑑𝑣</p><p>Assim,</p><p>𝑑�⃗� = 𝑑𝑄 �⃗� × �⃗⃗� = (𝜌𝑣 𝑑𝑣)�⃗� × �⃗⃗�</p><p>ou</p><p>𝑑�⃗� = 𝐽 × �⃗⃗� 𝑑𝑣</p><p>Sabe-se também que</p><p>𝐽 𝑑𝑣 = �⃗⃗⃗� 𝑑𝑆 = 𝐼 𝑑�⃗⃗�</p><p>e, assim, para uma densidade superficial de corrente, tem-se</p><p>𝑑�⃗� = �⃗⃗⃗� × �⃗⃗� 𝑑𝑆</p><p>e para um filamento diferencial de corrente,</p><p>𝑑�⃗� = 𝐼 𝑑�⃗⃗� × �⃗⃗�</p><p>Integrando-se as equações anteriores, temos</p><p>�⃗� = ∫ 𝐽 × �⃗⃗� 𝑑𝑣</p><p>𝑣𝑜𝑙</p><p>�⃗� = ∫ �⃗⃗⃗� × �⃗⃗� 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>e</p><p>�⃗� = ∮ 𝐼 𝑑�⃗⃗� × �⃗⃗� = −𝐼 ∮ �⃗⃗� × 𝑑�⃗⃗�</p><p>Um resultado simples é obtido aplicando-se a equação anterior a um condutor reto em um</p><p>campo magnético uniforme,</p><p>�⃗� = 𝐼 �⃗⃗� × �⃗⃗�</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>118</p><p>A magnitude da força é dada pela equação familiar</p><p>𝐹 = 𝐵𝐼𝐿 𝑠𝑒𝑛𝜃</p><p>onde 𝜃 é o ângulo entre os vetores que representam a direção do fluxo de corrente e a direção da</p><p>densidade de fluxo magnético.</p><p>8.3 Força entre Elementos Diferenciais de Corrente</p><p>O campo magnético em um ponto 2 gerado por um elemento de corrente em um ponto 1 foi</p><p>determinado no capítulo anterior como sendo</p><p>𝑑�⃗⃗⃗�2 =</p><p>𝐼1 𝑑�⃗⃗�1 × �̂�𝑅12</p><p>4𝜋𝑅12</p><p>2</p><p>Já o diferencial de força sobre um elemento diferencial de corrente num ponto 2 foi</p><p>determinado na secção anterior como sendo</p><p>𝑑�⃗�2 = 𝐼2 𝑑�⃗⃗�2 × �⃗⃗�2</p><p>e aplicando este resultado ao nosso problema, substituímos �⃗⃗�2 por 𝑑�⃗⃗�2 (a densidade de fluxo</p><p>diferencial no ponto 2 causada pelo elemento de corrente 1) e simbolizamos a quantidade diferencial</p><p>de força diferencial no elemento 2 por 𝑑(𝑑�⃗�2), que é uma diferencial dupla:</p><p>𝑑(𝑑�⃗�2) = 𝐼2 𝑑�⃗⃗�2 × 𝑑�⃗⃗�2</p><p>Sabe-se também que</p><p>𝑑�⃗⃗�2 = 𝜇0 𝑑�⃗⃗⃗�2 = 𝜇0</p><p>𝐼1 𝑑�⃗⃗�1 × �̂�𝑅12</p><p>4𝜋𝑅12</p><p>2</p><p>Então, obtém-se a força entre os dois elementos diferenciais de corrente,</p><p>𝑑(𝑑�⃗�2) = 𝜇0</p><p>𝐼1𝐼2</p><p>4𝜋𝑅12</p><p>2 𝑑�⃗⃗�2 × (𝑑�⃗⃗�1 × �̂�𝑅12)</p><p>Conforme pode-se observar, a equação é um tanto quanto complicada. Isto deve-se ao fato de</p><p>que a força está sendo expressa de forma direta sem a determinação do campo magnético. O conceito</p><p>de campo magnético foi introduzido de modo a dividir em duas partes o problema da determinação</p><p>da interação de uma distribuição de corrente sobre uma segunda distribuição. Deve-se, portanto,</p><p>evitar formas diretas de representação de interações entre correntes em que não há o uso do conceito</p><p>intermediário de campo magnético.</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>119</p><p>8.4 Força e Torque em um Circuito Fechado</p><p>Na definição de torque, ou momento, de uma força, é necessário considerar uma origem em</p><p>relação à qual o torque deve ser calculado, assim como o ponto de aplicação da força. Na figura (a) a</p><p>seguir, aplicamos uma força �⃗� no ponto 𝑃 e estabelecemos a origem em 𝑂 com um braço de alavanca</p><p>�⃗⃗� se estendendo de 𝑂 a 𝑃. A direção do vetor torque �⃗⃗� é normal tanto à força �⃗� quanto ao braço de</p><p>alavanca �⃗⃗� e é orientada no sentido de avanço de um parafuso direito quando giramos o braço de</p><p>alavanca.</p><p>O torque, portanto, pode ser expresso pelo produto vetorial</p><p>�⃗⃗� = �⃗⃗� × �⃗�</p><p>sua unidade no Sistema Internacional de medidas é dada em N.m.</p><p>Suponhamos agora que duas forças, �⃗�1 em 𝑃1 e �⃗�2 em 𝑃2, com braços de alavanca �⃗⃗�1 e �⃗⃗�2</p><p>respectivamente, se estendendo a partir de uma origem comum 𝑂, como mostrado na figura (b)</p><p>anterior, sejam aplicadas a um objeto de forma fixa e que este objeto não sofra translação. Então, o</p><p>torque em relação à origem é</p><p>�⃗⃗� = �⃗⃗�1 × �⃗�1 + �⃗⃗�2 × �⃗�2</p><p>onde</p><p>�⃗�1 + �⃗�2 = 0</p><p>e, portanto,</p><p>�⃗⃗� = (�⃗⃗�1 − �⃗⃗�2) × �⃗�1 = �⃗⃗�21 × �⃗�1</p><p>O vetor �⃗⃗�21 liga o ponto de aplicação de �⃗�2 ao ponto de aplicação de �⃗�1 e é independente da</p><p>origem dos dois vetores �⃗⃗�1 e �⃗⃗�2. Portanto, o torque é também independente da escolha da origem.</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>120</p><p>Isto pode ser estendido para quaisquer números de forças. Observação: o ponto 𝑂 da origem, em</p><p>geral, é designado no eixo de rotação e no plano que contém as forças aplicadas, se as diversas forças</p><p>forem co-planares.</p><p>Uma vez feita a introdução do conceito de torque, consideremos agora o torque em uma espira</p><p>infinitesimal de corrente imersa em um campo magnético �⃗⃗�. A espira pertence ao plano 𝑥𝑦, os lados</p><p>da espira são paralelos aos eixos 𝑥 e 𝑦 e são de comprimento 𝑑𝑥 e 𝑑𝑦, conforme figura abaixo. O valor</p><p>do campo magnético no centro da espira é dado por �⃗⃗�0. Como a espira é de tamanho diferencial, o</p><p>valor de �⃗⃗� em todos os pontos da espira pode ser tomado como sendo �⃗⃗�0 , isto porque estamos</p><p>trabalhando com dimensões infinitesimais, diferentemente do desenvolvimento do rotacional, onde</p><p>tínhamos dimensões incrementais. A força total na espira será zero, pois o campo é o mesmo em todos</p><p>os lados desta, contudo, podemos fazer um estudo do torque na mesma, escolhendo-se, para tanto, o</p><p>ponto de origem do torque no centro da espira.</p><p>Sabe-se que o infinitesimal de força em um infinitesimal de comprimento é dado por</p><p>𝑑�⃗� = 𝐼 𝑑�⃗⃗� × �⃗⃗�</p><p>Então, o vetor diferencial de força no lado 1 é</p><p>𝑑�⃗�1 = 𝐼 𝑑𝑥 �̂�𝑥 × �⃗⃗�0</p><p>e considerando �⃗⃗�0 = 𝐵0𝑥�̂�𝑥 + 𝐵0𝑦�̂�𝑦 + 𝐵0𝑧�̂�𝑧, pode-se escrever</p><p>𝑑�⃗�1 = 𝐼 𝑑𝑥 (𝐵0𝑦�̂�𝑧 − 𝐵0𝑧�̂�𝑦)</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>121</p><p>Para este lado da espira, o braço da alavanca �⃗⃗� se estende da origem ao ponto médio do lado,</p><p>�⃗⃗�1 = −</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑑𝑦 �̂�𝑦, e a contribuição para o torque total é</p><p>𝑑�⃗⃗�1 = �⃗⃗�1 × 𝑑�⃗�1 = (−</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑑𝑦 �̂�𝑦) × [𝐼 𝑑𝑥 (𝐵0𝑦�̂�𝑧 − 𝐵0𝑧�̂�𝑦)] = −</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝐼 𝐵0𝑦 �̂�𝑥</p><p>A contribuição para o torque no lado 3 é igual à contribuição dada pela expressão anterior</p><p>𝑑�⃗⃗�3 = �⃗⃗�3 × 𝑑�⃗�3 = (</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑑𝑦 �̂�𝑦) × [−𝐼 𝑑𝑥 (𝐵0𝑦�̂�𝑧 − 𝐵0𝑧�̂�𝑦)] = −</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝐼 𝐵0𝑦 �̂�𝑥 = 𝑑�⃗⃗�1</p><p>e</p><p>𝑑�⃗⃗�1 + 𝑑�⃗⃗�3 = −𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝐼 𝐵0𝑦 �̂�𝑥</p><p>Calculando-se o torque nos lados 2 e 4, encontramos</p><p>𝑑�⃗⃗�2 + 𝑑�⃗⃗�4 = 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝐼 𝐵0𝑥 �̂�𝑦</p><p>e o torque total é, então,</p><p>𝑑�⃗⃗� = 𝐼 𝑑𝑥 𝑑𝑦(𝐵0𝑥 �̂�𝑦 − 𝐵0𝑦 �̂�𝑥)</p><p>A quantidade dentro dos parênteses pode ser expressa pelo produto vetorial,</p><p>𝑑�⃗⃗� = 𝐼 𝑑𝑥 𝑑𝑦(�̂�𝑧 × �⃗⃗�0)</p><p>ou</p><p>𝑑�⃗⃗� = 𝐼 𝑑𝑆 × �⃗⃗�</p><p>�⃗⃗� = 𝐼 ∫𝑑𝑆 × �⃗⃗�</p><p>𝑆</p><p>onde 𝑑𝑆 é o vetor área da espira diferencial de corrente, conforme figura anterior, e o índice em �⃗⃗�0</p><p>foi omitido.</p><p>Definimos agora o</p><p>produto da corrente da espira pelo vetor área da espira como o momento</p><p>de dipolo magnético diferencial 𝑑�⃗⃗⃗�, com unidades de 𝐴.𝑚2. Assim,</p><p>𝑑�⃗⃗⃗� = 𝐼 𝑑𝑆</p><p>e</p><p>𝑑�⃗⃗� = 𝑑�⃗⃗⃗� × �⃗⃗�</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>122</p><p>Estas equações desenvolvidas são válidas para espiras diferenciais de qualquer formato e não</p><p>somente para formas retangulares. O torque em uma espira circular ou triangular é também dada em</p><p>termos do vetor área da superfície ou vetor do momento de dipolo.</p><p>O torque em uma espira plana de qualquer tamanho ou formato, em um campo magnético</p><p>uniforme, é dado pela expressão</p><p>�⃗⃗� = 𝐼 𝑆 × �⃗⃗� = �⃗⃗⃗� × �⃗⃗�</p><p>Devemos notar que o torque em uma espira de corrente sempre tende a girar a espira de</p><p>modo a alinhar o campo magnético produzido pela espira com o campo magnético do meio, ou melhor,</p><p>com o campo que está causando o torque.</p><p>8.5 Natureza dos Materiais Magnéticos</p><p>Analisaremos o modelo de um simples átomo, onde um elétron em uma órbita é análogo a</p><p>uma pequena espira de corrente (na qual a corrente tem direção oposta à do deslocamento do elétron)</p><p>e, como tal, experimenta um torque quando sujeito a um campo magnético externo, torque este</p><p>tendendo a alinhar o campo magnético produzido pelo elétron em órbita com o campo magnético</p><p>externo.</p><p>Um segundo momento é atribuído ao spin do elétron. Um elétron pode ter um momento</p><p>magnético de spin de ±9. 10−24𝐴.𝑚2; os sinais de mais e de menos indicam que alinhamentos aditivos</p><p>ou subtrativos ao campo magnético externo são possíveis.</p><p>Uma terceira contribuição para o momento de um átomo é causada pelo spin do núcleo.</p><p>Embora este fator forneça um efeito desprezível sobre as propriedades magnéticas dos materiais, ele</p><p>é a base do procedimento de mapeamento com ressonância magnética nuclear atualmente fornecido</p><p>por muitos hospitais.</p><p>Assim, cada átomo contém muitas componentes diferentes do momento, e a sua combinação</p><p>determina as características magnéticas do material e permite sua classificação magnética geral.</p><p>Descreveremos, de modo breve, seis diferentes tipos de material, a saber:</p><p> Diamagnético;</p><p> Paramagnético;</p><p> Ferromagnético.</p><p>O material diamagnético é aquele em que os átomos constituintes do material possuem</p><p>pequenos campos magnéticos produzidos pela movimentação dos elétrons em suas órbitas os quais</p><p>combinam com os campos produzidos pelos spins dos elétrons para produzir um campo líquido nulo.</p><p>Note que estamos considerando aqui os campos produzidos pelo movimento do elétron em si na</p><p>ausência de qualquer campo magnético externo; podemos também descrever este material como</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>123</p><p>aquele em que o momento magnético permanente �⃗⃗⃗�0 de cada átomo é zero. Neste material quando</p><p>é aplicado um campo magnético externo a este material, o alinhamento dos momentos magnéticos</p><p>de seus átomos é oposto às linhas do campo externo. O campo resultante é, portanto, menor que o</p><p>campo magnético externo aplicado. Exemplos de materiais diamagnéticos: bismuto metálico,</p><p>hidrogênio, hélio, cloreto de sódio, cobre, ouro, silício, germânio, grafite e enxofre.</p><p>No material paramagnético os efeitos do spin do elétron e do movimento orbital não se</p><p>cancelam em cada átomo. O átomo como um todo tem um pequeno momento magnético, mas a</p><p>orientação aleatória dos átomos em uma grande amostra produz um momento magnético médio zero.</p><p>O material não apresenta efeitos magnéticos na ausência de um campo externo. Porém, quando um</p><p>campo externo é aplicado, há um pequeno torque em cada momento atômico, e estes momentos</p><p>tendem a se alinhar com o campo externo. Este alinhamento age de modo a aumentar o valor de �⃗⃗�</p><p>dentro do material em relação ao valor fora do material. Exemplo de materiais paramagnéticos:</p><p>potássio, oxigênio, tungstênio, cloreto de érbio, óxido de neodímio e óxido de ítrio.</p><p>No material ferromagnético cada átomo tem um momento de dipolo relativamente grande,</p><p>causado principalmente pelos momentos de spin dos elétrons. Forças atômicas fazem com que estes</p><p>momentos se alinhem de modo paralelo em regiões contendo um grande número de átomos. Estas</p><p>regiões são chamadas domínios, e podem ter uma grande variedade de forma e tamanho, dependendo</p><p>do material e da história magnética da amostra. Materiais ferromagnéticos virgens terão domínios</p><p>com fortes momentos magnéticos; os momentos dos domínios, contudo, mudam de direção de</p><p>domínio para domínio, causando um efeito global de cancelamento e o material como um todo não</p><p>tem momento magnético. Porém, quando da aplicação de um campo magnético externo, aqueles</p><p>domínios que têm momentos na direção do campo aplicado aumentam seu tamanho às custas dos</p><p>seus vizinhos e o campo magnético interno aumenta grandemente em relação ao campo externo.</p><p>Quando o campo externo é removido, um alinhamento do domínio completamente aleatório não é</p><p>usualmente atingido e um campo de dipolo residual, ou remanescente, permanece na estrutura</p><p>macroscópica. Este fato do momento magnético do material ser diferente depois de o campo haver</p><p>sido removido, ou o fato de o estado magnético do material ser função de sua história magnética, é</p><p>conhecido por histerese magnética e será mais bem detalhada em capítulos seguintes. Exemplos de</p><p>materiais ferromagnéticos: ferro, níquel e cobalto, contudo, perdem esta característica em</p><p>temperaturas superiores à temperatura Curie (770°C). Também tem-se como exemplo as ligas:</p><p>alumínio-níquel-cobalto, bismuto-magnésio e cobre-magnésio-estanho.</p><p>8.6 Magnetização e Permeabilidade</p><p>Faremos agora uma descrição de materiais magnéticos em uma base mais quantitativa,</p><p>mostrando como os dipolos magnéticos agem como fontes distribuídas de campo magnético. O</p><p>resultado será uma equação que parece muito com a lei circuital de Ampère, ∮ �⃗⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗� = 𝐼. Entretanto,</p><p>a corrente será o movimento das cargas ligadas (elétrons em órbita, spin dos elétrons e spin nuclear),</p><p>e o campo, que tem dimensões de �⃗⃗⃗�, será chamado de magnetização �⃗⃗⃗�. A corrente produzida pelas</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>124</p><p>cargas ligadas é chamada de corrente ligada 𝐼𝑏 ou mais comumente chamada por corrente de</p><p>magnetização.</p><p>A corrente ligada em cada molécula (𝐼𝑏−𝑢𝑛𝑖𝑡á𝑟𝑖𝑜), circula ao redor de um caminho fechado,</p><p>limitando uma área diferencial 𝑑𝑆, o que estabelece um momento de dipolo �⃗⃗⃗�, sendo</p><p>�⃗⃗⃗� = 𝐼𝑏−𝑢𝑛𝑖𝑡á𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑆</p><p>Se existe 𝑛 dipolos magnéticos por unidade de volume e considerando um volume ∆𝑣, então</p><p>o momento de dipolo magnético total é determinado pela soma vetorial</p><p>�⃗⃗⃗�𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = ∑�⃗⃗⃗�𝑖</p><p>𝑛∆𝑣</p><p>𝑖=1</p><p>Cada um dos �⃗⃗⃗�𝑖 pode ser diferente. Todavia, se houver um campo magnético externo,</p><p>observará um alinhamento de todos momentos de dipolo individuais para a mesma direção do campo</p><p>externo aplicado. Neste caso, estamos considerando que o material é isotrópico. Assim sendo,</p><p>�⃗⃗⃗�𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = ∑�⃗⃗⃗�𝑖</p><p>𝑛∆𝑣</p><p>𝑖=1</p><p>= 𝑛 ∆𝑣 �⃗⃗⃗�</p><p>A seguir, definimos a magnetização �⃗⃗⃗� como o momento de dipolo magnético por unidade de</p><p>volume,</p><p>�⃗⃗⃗� = lim</p><p>∆𝑣→0</p><p>1</p><p>∆𝑣</p><p>∑ �⃗⃗⃗�𝑖</p><p>𝑛∆𝑣</p><p>𝑖=1</p><p>e observamos que suas unidades devem ser as mesmas de �⃗⃗⃗� (𝐴/𝑚), uma vez que �⃗⃗⃗�𝑖 é dado em</p><p>𝐴.𝑚2 e ∆𝑣 em 𝑚3.</p><p>Para o caso de todos os momento de dipolo individuais estiverem alinhados para uma mesma</p><p>direção devido à aplicação de um campo magnético externo, teremos:</p><p>�⃗⃗⃗� = lim</p><p>∆𝑣→0</p><p>1</p><p>∆𝑣</p><p>𝑛 ∆𝑣 �⃗⃗⃗� = 𝑛 �⃗⃗⃗�</p><p>A figura abaixo mostra diversos momentos magnéticos �⃗⃗⃗� que fazem um ângulo 𝜃 com o</p><p>elemento do caminho 𝑑�⃗⃗�, cada momento consiste em uma corrente ligada 𝐼𝑏−𝑢𝑛𝑖𝑡á𝑟𝑖𝑜 circulando em</p><p>torno de uma área 𝑑𝑆. O elemento 𝑑�⃗⃗�</p><p>é uma pequena porção de um caminho fechado.</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>125</p><p>Considerando-se um pequeno volume de dimensões 𝑑𝑆 e 𝑑�⃗⃗�, ou volume de 𝑑𝑆 ∙ 𝑑�⃗⃗�, dentro</p><p>do qual há 𝑛 𝑑𝑆 ∙ 𝑑�⃗⃗� dipolos magnéticos. Ao mudar de uma orientação aleatória para este</p><p>alinhamento parcial, a corrente ligada que atravessa a superfície limitada pelo caminho aumenta em</p><p>𝐼𝑏 para cada um dos 𝑛 𝑑𝑆 ∙ 𝑑�⃗⃗� dipolos. Assim,</p><p>𝑑𝐼𝑏 = (𝑛 𝑑𝑆 ∙ 𝑑�⃗⃗�)𝐼𝑏−𝑢𝑛𝑖𝑡á𝑟𝑖𝑜 = 𝑛 (𝐼𝑏−𝑢𝑛𝑖𝑡á𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑆) ∙ 𝑑�⃗⃗� = 𝑛 �⃗⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗� = �⃗⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗�</p><p>E dentro de um contorno totalmente fechado,</p><p>𝐼𝑏 = ∮ �⃗⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗�</p><p>Esta equação tem alguma semelhança com a lei circuital de Ampère, e podemos agora</p><p>generalizar a relação entre �⃗⃗� e �⃗⃗⃗� de modo a aplicá-la a qualquer meio além do espaço livre. Assim</p><p>sendo, vamos escrever a lei circuital de Ampère em termos da corrente total, ligada mais livre,</p><p>∮</p><p>�⃗⃗�</p><p>𝜇0</p><p>∙ 𝑑�⃗⃗� = 𝐼𝑇</p><p>onde</p><p>𝐼𝑇 = 𝐼𝑏 + 𝐼</p><p>e 𝐼 é a corrente total livre envolvida pelo caminho fechado. Note que a corrente livre aparece sem</p><p>índice, uma vez que ela é o tipo mais importante de corrente.</p><p>Combinando essas três últimas equações, obtemos uma expressão para a corrente livre</p><p>envolvida,</p><p>𝐼 = 𝐼𝑇 − 𝐼𝑏 = ∮</p><p>�⃗⃗�</p><p>𝜇0</p><p>∙ 𝑑�⃗⃗� − ∮ �⃗⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗� = ∮(</p><p>�⃗⃗�</p><p>𝜇0</p><p>− �⃗⃗⃗�) ∙ 𝑑�⃗⃗�</p><p>Vale ressaltar que a lei circuital de Ampère continua sendo escrita em termos da corrente livre,</p><p>𝐼 = ∮ �⃗⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗�</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>126</p><p>Então, podemos definir �⃗⃗⃗� em termos de �⃗⃗� e �⃗⃗⃗�:</p><p>�⃗⃗⃗� =</p><p>�⃗⃗�</p><p>𝜇0</p><p>− �⃗⃗⃗�</p><p>esta relação é comumente escrita de um modo que evita frações e sinais de menos:</p><p>�⃗⃗� = 𝜇0(�⃗⃗⃗� + �⃗⃗⃗�)</p><p>A relação entre �⃗⃗� , �⃗⃗⃗� e �⃗⃗⃗� pode ser simplificada para um meio linear isotrópico, onde a</p><p>susceptibilidade magnética 𝜒𝑚 é definida como</p><p>�⃗⃗⃗� = 𝜒𝑚 �⃗⃗⃗�</p><p>Assim sendo, temos</p><p>�⃗⃗� = 𝜇0(�⃗⃗⃗� + 𝜒𝑚 �⃗⃗⃗�) = 𝜇0(1 + 𝜒𝑚)�⃗⃗⃗� = 𝜇0𝜇𝑅 �⃗⃗⃗�</p><p>onde</p><p>𝜇𝑅 = 1 + 𝜒𝑚</p><p>é definida como a permeabilidade relativa 𝜇𝑅. Em seguida, definimos a permeabilidade 𝜇:</p><p>𝜇 = 𝜇0𝜇𝑅</p><p>e isto nos permite escrever a relação simples entre �⃗⃗� e �⃗⃗⃗�,</p><p>�⃗⃗� = 𝜇�⃗⃗⃗�</p><p>Materiais magnéticos anisotrópicos não podem ser descritos em termos dos parâmetros</p><p>susceptibilidade e permeabilidade como desenvolvido acima.</p><p>8.7 Condições de Fronteira Magnéticas</p><p>A figura abaixo mostra a fronteira entre dois materiais lineares, homogêneos e isotrópicos com</p><p>permeabilidades 𝜇1 e 𝜇2 . A condição de fronteira para componentes normais é determinada</p><p>permitindo-se que a superfície corte uma pequena superfície gaussiana cilíndrica. Aplicando a lei de</p><p>Gauss para o campo magnético a partir da equação já conhecida</p><p>∮ �⃗⃗� ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>= 0</p><p>encontramos que</p><p>𝐵𝑁1∆𝑆 − 𝐵𝑁2∆𝑆 = 0</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>127</p><p>uma vez que a altura do cilindro é considerada próxima a zero e, conseqüentemente, sua área lateral</p><p>fica sendo nula.</p><p>Assim,</p><p>𝐵𝑁2 = 𝐵𝑁1</p><p>então,</p><p>𝐻𝑁2 =</p><p>𝜇1</p><p>𝜇2</p><p>𝐻𝑁1</p><p>A componente normal de �⃗⃗� é continua, mas a componente normal de �⃗⃗⃗� é descontínua.</p><p>Um segundo passo, que já é de praxe no estudo das condições de fronteira, é a aplicação da</p><p>integral de linha do campo (neste caso, lei circuital de Ampère)</p><p>∮ �⃗⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗� = 𝐼</p><p>que é aplicada ao redor de um pequeno caminho fechado pertencente a um plano normal à superfície</p><p>da fronteira, como mostrada à direita da figura anterior. Considerando a fronteira conduzindo uma</p><p>corrente superficial �⃗⃗⃗� cuja componente normal ao plano do caminho fechado é e fazendo a</p><p>integral no caminho com sentido horário, temos</p><p>𝐻𝑡1∆𝐿 − 𝐻𝑡2∆𝐿 = 𝐾∆𝐿</p><p>ou</p><p>𝐻𝑡1 − 𝐻𝑡2 = 𝐾</p><p>K</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>128</p><p>De forma genérica, usando o produto vetorial para identificar as componentes tangenciais,</p><p>(�⃗⃗⃗�1 − �⃗⃗⃗�2) × �̂�𝑁12 = �⃗⃗⃗�</p><p>onde �̂�𝑁12 é o vetor unitário normal à fronteira dirigido da região 1 para a região 2.</p><p>As condições de contorno para componentes tangenciais serão mais simples se a densidade</p><p>superficial de corrente for zero. Esta é uma densidade de cargas livres e deverá ser zero se nenhum</p><p>dos dois materiais for condutor.</p><p>8.8 Circuito Magnético</p><p>O estudo de circuito magnético será realizado a partir de um quadro comparativo com circuitos</p><p>elétricos resistivos de corrente contínua.</p><p>CIRCUITO ELÉTRICO CIRCUITO MAGNÉTICO</p><p>Relação do Potencial Elétrico com a Intensidade</p><p>de Campo Elétrico:</p><p>�⃗⃗� = −∇⃗⃗⃗𝑉 (𝑉/𝑚)</p><p>Relação do Potencial Magnético com a</p><p>Intensidade de Campo Magnético:</p><p>�⃗⃗⃗� = −∇⃗⃗⃗𝑉𝑚 (𝐴/𝑚)</p><p>Diferença de Potencial Elétrico:</p><p>𝑉𝐴𝐵 = ∫ �⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗�</p><p>𝐵</p><p>𝐴</p><p>(𝑉)</p><p>Diferença de Potencial Magnético (Força</p><p>Magnetomotriz - fmm):</p><p>𝑉𝑚𝐴𝐵 = ∫ �⃗⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗�</p><p>𝐵</p><p>𝐴</p><p>(𝐴 𝑜𝑢 𝐴. 𝑒)</p><p>𝐴. 𝑒 = “ampère-espiras”</p><p>Corrente Elétrica Total:</p><p>𝐼 = ∫ 𝐽 ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>(𝐴)</p><p>Fluxo Magnético Total:</p><p>Φ = ∫�⃗⃗� ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>(𝑊𝑏)</p><p>Densidade de Corrente Elétrico:</p><p>𝐽 = 𝜎�⃗⃗� (𝐶/𝑚2)</p><p>(Forma pontual da lei de Ohm)</p><p>Densidade de Fluxo Magnético:</p><p>�⃗⃗� = 𝜇�⃗⃗⃗� (𝑊𝑏/𝑚2 𝑜𝑢 𝑇)</p><p>Resistência Elétrica:</p><p>𝑅 =</p><p>𝑉</p><p>𝐼</p><p>(Ω)</p><p>ou</p><p>𝑅 =</p><p>𝑑</p><p>𝜎𝑆</p><p>Relutância Magnética:</p><p>ℜ =</p><p>𝑉𝑚</p><p>𝛷</p><p>(𝐴. 𝑒/𝑊𝑏)</p><p>ou</p><p>ℜ =</p><p>𝑑</p><p>𝜇𝑆</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>129</p><p>Integral de Linha do Campo Elétrico:</p><p>∮ �⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗� = 0</p><p>(Lei de Kirchhoff das Tensões)</p><p>Integral de Linha do Campo Magnético:</p><p>∮ �⃗⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗� = 𝐼𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑁𝐼</p><p>Neste quadro anterior tem-se a definição de relutância magnética ℜ como a relação entre</p><p>força magnetomotriz (𝑉𝑚) e o fluxo magnético total (Φ). Outra observação a ser feita é relativa à</p><p>última linha da tabela, onde a integral de linha do campo magnético é igual à corrente total, que pode</p><p>ser considerada como 𝐼 fluindo através de um enrolamento de 𝑁 espiras.</p><p>A equação para relutância ℜ =</p><p>𝑑</p><p>𝜇𝑆</p><p>só pode ser aplicada em material magnético homogêneo</p><p>linear isotrópico de comprimento 𝑑 e de seção reta uniforme 𝑆, porém o único material com estas</p><p>especificações que aplicaremos esta relação em nosso curso será o ar.</p><p>A principal diferença entre análise de circuitos elétricos e análise de circuitos magnéticos está</p><p>na natureza não-linear das porções ferromagnéticas nesta última. Quando materiais ferromagnéticos</p><p>estão presentes no circuito a relação entre 𝐵 e 𝐻 deixa de ser linear.</p><p>Consideremos uma amostra de material ferromagnético completamente desmagnetizada;</p><p>tanto 𝐵 quanto 𝐻 inicialmente são zero. Quando começamos a aplicar uma força magnetomotriz</p><p>(fmm), a densidade de fluxo também cresce, mas não linearmente, como mostram os dados</p><p>experimentais da figura a seguir.</p><p>Depois de 𝐻 atingir um valor de cerca de 100 𝐴. 𝑒/𝑚 , a densidade de fluxo cresce mais</p><p>suavemente e começa a saturar quando 𝐻 é de várias centenas de 𝐴. 𝑒/𝑚 . Tendo atingido uma</p><p>saturação parcial, passemos a outra figura que se segue abaixo, onde podemos continuar nossa</p><p>experiência a partir do ponto 𝑥 com a redução de 𝐻.</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>130</p><p>Ao reduzimos 𝐻, os efeitos da histerese começam a aparecer e não conseguimos voltar pela</p><p>nossa curva original. Mesmo depois de 𝐻 ser zero (em 𝐵 = 𝐵𝑟), há densidade de fluxo remanescente.</p><p>Quando 𝐻 é invertido e então trazido de volta a zero e o ciclo completo traçado diversas vezes, obtém-</p><p>se o chamado laço de histerese. A fmm necessária para reduzir a densidade</p><p>de fluxo a zero é</p><p>identificada por 𝐻𝑐, a “força” coerciva. Conforme pode ser observado, para menores valores máximos</p><p>de 𝐻, menores laços de histerese serão obtidos.</p><p>8.9 Energia Potencial e Forças em Materiais Magnéticos</p><p>A expressão geral para a energia em um campo eletrostático foi introduzida em capítulos</p><p>anteriores como</p><p>𝑊𝐸 =</p><p>1</p><p>2</p><p>∫ �⃗⃗⃗� ∙ �⃗⃗� 𝑑𝑣</p><p>𝑣𝑜𝑙</p><p>onde se supõe uma relação linear entre �⃗⃗⃗� e �⃗⃗�.</p><p>Usando os conceitos vistos para campo magnético, podemos desenvolver uma expressão de</p><p>energia por métodos semelhantes àqueles usados na obtenção da relação de energia eletrostática. A</p><p>energia total armazenada em um campo magnético estacionário em que �⃗⃗� está linearmente</p><p>relacionado com �⃗⃗⃗� é</p><p>𝑊𝐻 =</p><p>1</p><p>2</p><p>∫ �⃗⃗� ∙ �⃗⃗⃗� 𝑑𝑣</p><p>𝑣𝑜𝑙</p><p>Considerando �⃗⃗� = 𝜇�⃗⃗⃗�, temos as fórmulas equivalentes</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>131</p><p>𝑊𝐻 =</p><p>1</p><p>2</p><p>∫ 𝜇𝐻2 𝑑𝑣</p><p>𝑣𝑜𝑙</p><p>ou</p><p>𝑊𝐻 =</p><p>1</p><p>2</p><p>∫</p><p>𝐵2</p><p>𝜇</p><p>𝑑𝑣</p><p>𝑣𝑜𝑙</p><p>Suponha que temos um solenóide longo com um núcleo de aço-silício. Esse solenóide, quando</p><p>percorrido por uma corrente, gera nesse núcleo uma densidade de fluxo magnético chamada 𝐵𝑎ç𝑜. Se</p><p>aplicarmos uma força mecânica 𝐹 para separar duas seções do núcleo enquanto mantemos a</p><p>densidade fluxo constante, estaremos aplicando uma força sobre uma distância 𝑑𝐿. Realiza-se assim,</p><p>um trabalho 𝐹 𝑑𝐿, então</p><p>𝑑𝑊𝐻 = 𝐹 𝑑𝐿 =</p><p>1</p><p>2</p><p>𝐵𝑎ç𝑜</p><p>2</p><p>𝜇0</p><p>𝑆 𝑑𝐿</p><p>onde 𝑆 é a área da seção reta do núcleo. Assim,</p><p>𝐹 =</p><p>𝐵𝑎ç𝑜</p><p>2 𝑆</p><p>2𝜇0</p><p>Observa-se que o trabalho aparece como a energia armazenada no gap de ar que criamos. O</p><p>núcleo não sofre variação alguma de campo ou energia.</p><p>8.10 Indutância e Indutância Mútua</p><p>A indutância é o último dos três parâmetros familiares da teoria de circuitos a ser definido.</p><p>Como um prelúdio para definir a indutância, precisamos introduzir o conceito de enlaces de fluxo</p><p>(também chamado de fluxo concatenado). Consideremos um toróide de 𝑁 espiras no qual uma</p><p>corrente 𝐼 produz um fluxo total Φ. Devemos admitir que este fluxo envolve cada uma das 𝑁 espiras</p><p>e também que cada uma das 𝑁 espiras envolve o fluxo total Φ. O enlace de fluxo é definido pelo</p><p>produto 𝑁Φ. A figura a seguir mostra uma porção de uma bobina com seus enlaces de fluxo parciais.</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>132</p><p>A auto-indutância, ou indutância própria, ou simplesmente indutância é definida como a</p><p>relação entre o total de enlaces de fluxo e a corrente que eles envolvem,</p><p>𝐿 =</p><p>𝑁Φ</p><p>𝐼</p><p>Esta definição é aplicável somente a meios magnéticos lineares, de modo que o fluxo seja</p><p>proporcional à corrente. Se materiais ferromagnéticos estão presentes, não há uma definição única</p><p>para indutância que seja útil em todos os casos. A unidade de indutância é henry (𝐻).</p><p>Uma outra definição equivalente para indutância pode ser feita usando um ponto de vista de</p><p>energia,</p><p>𝐿 =</p><p>2𝑊𝐻</p><p>𝐼2</p><p>onde 𝐼 é a corrente total fluindo em um caminho fechado e 𝑊𝐻 é a energia no campo magnético</p><p>produzida pela corrente. Obs.: no livro texto foi feita a demonstração da equivalência entre estas duas</p><p>últimas equações.</p><p>No interior de qualquer condutor também contém fluxo magnético, e este fluxo envolve uma</p><p>fração variável da corrente total, dependendo de sua localização. Estes enlaces de fluxo levam a uma</p><p>indutância interna, que deve ser combinada com a indutância externa para obter a indutância total. A</p><p>indutância interna por metro de um longo fio reto de seção reta circular de raio 𝑎 e distribuição</p><p>uniforme de corrente uniforme é</p><p>𝐿𝑎,𝑖𝑛𝑡 =</p><p>𝜇</p><p>8𝜋</p><p>(𝐻/𝑚)</p><p>Quando têm-se dois circuitos em um mesmo arranjo magnético, usualmente, define-se uma</p><p>indutância comum entre os mesmos, a qual é chamada de indutância mútua. A indutância mútua</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>133</p><p>entre os circuito 1 e 2, 𝑀12, em termos dos enlaces de fluxo mútuos (fluxos comuns aos dois circuito)</p><p>pode ser escrita como</p><p>𝑀12 =</p><p>𝑁2Φ12</p><p>𝐼1</p><p>onde Φ12 significa fluxo produzido por 𝐼1 que envolve o caminho da corrente filamentar 𝐼2 e 𝑁2 é o</p><p>número de espiras do circuito 2.</p><p>A troca dos índices não muda os lados direito e esquerdo da equação anterior, portanto,</p><p>𝑀12 = 𝑀21</p><p>A indutância mútua também é medida em henrys, e devemos nos referir ao contexto para</p><p>conseguir diferençá-la da magnetização.</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>134</p><p>9 – CAMPOS VARIANTES NO TEMPO E EQUAÇÕES DE MAXWELL</p><p>9.1 Lei de Faraday</p><p>A figura abaixo mostra uma espira como uma parte de um circuito que contém um</p><p>amperímetro. Esse é um dos experimentos de Faraday.</p><p>Ao se empurrar um ímã em forma de barra em direção à espira, o ponteiro do amperímetro</p><p>deflete, mostrando que uma corrente fluiu pela espira. Se o ímã for mantido estacionário em relação</p><p>à espira, o ponteiro do amperímetro não deflete. Ao mover-se o ímã para longe da espira, o ponteiro</p><p>do amperímetro deflete novamente, mas em sentido oposto. Se for utilizado o outro lado (pólo) do</p><p>ímã, o experimento funciona como descrito anteriormente, mas o sentido das deflexões do ponteiro</p><p>é invertido. Quanto mais rápido o ímã se move, maior é a leitura no mostrador.</p><p>A corrente que surge neste experimento é chamada de corrente induzida e diz-se que é</p><p>formada a partir de uma força eletromotriz induzida – fem.</p><p>A figura que se segue mostra um aparato de outro experimento de Faraday.</p><p>As espiras são posicionadas próximas e em repouso uma em relação à outra. Quando fechamos</p><p>a chave S, formando assim uma corrente contínua na espira à direita, o ponteiro do mostrador da</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>135</p><p>espira à esquerda deflete momentaneamente. Quando abrimos a chave, interrompendo a corrente, o</p><p>ponteiro deflete mais uma vez momentaneamente, mas no sentido oposto. Este experimento mostra</p><p>que existe uma fem induzida na espira esquerda da figura sempre que a corrente na espira à direita se</p><p>altera.</p><p>Um aspecto característico desses dois experimentos é o movimento ou a variação. É o</p><p>movimento do ímã ou a variação da corrente que é responsável pelos efeitos de fems induzidas.</p><p>Como podemos perceber, por meio dos experimentos de Faraday, é a variação do fluxo</p><p>magnético na espira que induz uma fem na mesma. Faraday tornou esta afirmação quantitativa por</p><p>meio de uma equação, que é conhecida como lei de Faraday, a qual estabelece que</p><p>𝑓𝑒𝑚 = −</p><p>𝑑Φ</p><p>𝑑𝑡</p><p>Esta equação exige um caminho fechado, embora não necessariamente um caminho fechado</p><p>condutor; o caminho fechado, por exemplo, pode incluir um capacitor ou pode ser uma linha</p><p>puramente imaginária no espaço. O fluxo magnético é o fluxo que atravessa a superfície cujo perímetro</p><p>é o caminho fechado e 𝑑𝛷/𝑑𝑡 é a taxa de variação temporal deste fluxo. O sinal de menos advém da</p><p>chamada lei de Lenz que afirma que a tensão induzida age de modo a produzir um fluxo de oposição</p><p>à variação.</p><p>Um valor de 𝑑𝛷/𝑑𝑡 diferente de zero pode ser resultado de qualquer uma das seguintes</p><p>situações:</p><p> Um fluxo variável no tempo através de um caminho fechado estacionário.</p><p> Movimento relativo entre um fluxo estacionário e um caminho fechado.</p><p> Uma combinação das duas situações anteriores.</p><p>Se o caminho fechado for constituído por espiras condutoras filamentares, pode-se</p><p>escrever</p><p>𝑓𝑒𝑚 = −𝑁</p><p>𝑑Φ</p><p>𝑑𝑡</p><p>Força eletromotriz, ao longo de um caminho fechado, foi definida em capítulos anteriores</p><p>como sendo</p><p>𝑓𝑒𝑚 = ∮ �⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗�</p><p>Na eletrostática, esta integral de linha leva a uma diferença de potencial resultante nula.</p><p>Contudo,</p><p>agora, considerando-se campos variantes no tempo, o resultado é uma fem ou uma tensão</p><p>induzida.</p><p>Para se chegar a uma equação que relaciona de forma direta esta variação de campo</p><p>magnético com o surgimento do campo elétrico, primeiramente, substitui-se a equação de definição</p><p>N</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>136</p><p>de Φ na equação da lei de Faraday e, posteriormente, passar-se o termo da derivada para dentro da</p><p>integral, tornando-se, assim, uma derivada parcial da densidade de fluxo magnético �⃗⃗�. Isto só pode</p><p>ser feito porque a única grandeza variante no tempo dentro da integral é a densidade de fluxo</p><p>magnético, ou seja,</p><p>𝑓𝑒𝑚 = −</p><p>𝑑Φ</p><p>𝑑𝑡</p><p>= −</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑡</p><p>(∫ �⃗⃗� ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>) = −∫</p><p>𝜕�⃗⃗�</p><p>𝜕𝑡</p><p>∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>aplicando-se o teorema de Stokes à integral de linha fechada do campo elétrico, temos</p><p>𝑓𝑒𝑚 = ∮ �⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗� = ∫(∇⃗⃗⃗ × �⃗⃗�)</p><p>𝑆</p><p>∙ 𝑑𝑆</p><p>e, por último, igualando-se esta duas equações acima, encontramos</p><p>∇⃗⃗⃗ × �⃗⃗� = −</p><p>𝜕�⃗⃗�</p><p>𝜕𝑡</p><p>Esta é uma das quatro equações de Maxwell quando escritas na forma diferencial, ou pontual</p><p>(forma esta em que elas são comumente usadas), para campos variantes no tempo.</p><p>Um exemplo ilustrativo da aplicação da lei de Faraday no caso de uma densidade de fluxo</p><p>magnético �⃗⃗� constante e um caminho em movimento é mostrado na figura abaixo, na qual há uma</p><p>barra movendo-se para a direita com velocidade �⃗� em um circuito que é completado por dois trilhos e</p><p>um voltímetro.</p><p>Considere a posição da barra dada por 𝑦, o fluxo que atravessa a superfície dentro do caminho</p><p>fechado em qualquer tempo 𝑡 é dado por</p><p>Φ = 𝐵𝑦𝑑</p><p>Fazendo-se a substituição na equação da lei de Faraday, tem-se</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>137</p><p>𝑓𝑒𝑚 = −</p><p>𝑑Φ</p><p>𝑑𝑡</p><p>= −</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑡</p><p>(𝐵𝑦𝑑) = −𝐵</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑡</p><p>𝑑 = −𝐵𝑣𝑑</p><p>onde a fem está em função da velocidade, podendo então se notar que, tendo um campo estacionário</p><p>e um distância 𝑑 constante, a tensão gerada será apenas função da intensidade da velocidade. Quanto</p><p>maior a velocidade maior será a fem gerada e se invertemos o sentido de 𝑣, haverá também uma</p><p>inversão no sinal da fem medida.</p><p>9.2 Corrente de Deslocamento</p><p>Voltemos agora nossa atenção para o campo elétrico variante no tempo. Devemos,</p><p>primeiramente, observar a forma pontual da lei circuital de Ampère aplicada a campos magnéticos</p><p>estacionários,</p><p>∇⃗⃗⃗ × �⃗⃗⃗� = 𝐽</p><p>Esta equação é inadequada para condições de campo magnético variante no tempo, conforme</p><p>será constatado a seguir.</p><p>Tomando-se a divergência em cada lado da equação anterior tem-se</p><p>∇⃗⃗⃗ ∙ (∇⃗⃗⃗ × �⃗⃗⃗�) = ∇⃗⃗⃗ ∙ 𝐽</p><p>0 = ∇⃗⃗⃗ ∙ 𝐽</p><p>pois a divergência de qualquer rotacional é zero. Contudo, temos que a equação da continuidade de</p><p>corrente afirma que</p><p>∇⃗⃗⃗ ∙ 𝐽 = −</p><p>𝜕𝜌𝑣</p><p>𝜕𝑡</p><p>Portanto, a afirmativa acima de que ∇⃗⃗⃗ ∙ 𝐽 = 0 só será verdadeira se 𝜕𝜌𝑣/𝜕𝑡 = 0. Esta é uma</p><p>limitação que deve ser corrigida para o caso de campos variantes no tempo, onde 𝜕𝜌𝑣/𝜕𝑡 ≠ 0. Para</p><p>tal, suponhamos que adicionemos um termo desconhecido �⃗� na equação em questão,</p><p>∇⃗⃗⃗ × �⃗⃗⃗� = 𝐽 + �⃗�</p><p>Mais uma vez, tomando-se a divergência, temos</p><p>∇⃗⃗⃗ ∙ (∇⃗⃗⃗ × �⃗⃗⃗�) = ∇⃗⃗⃗ ∙ (𝐽 + 𝐺) = ∇⃗⃗⃗ ∙ 𝐽 + ∇⃗⃗⃗ ∙ �⃗�</p><p>0 = ∇⃗⃗⃗ ∙ 𝐽 + ∇⃗⃗⃗ ∙ �⃗�</p><p>Assim,</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>138</p><p>∇⃗⃗⃗ ∙ �⃗� = −∇⃗⃗⃗ ∙ 𝐽</p><p>∇⃗⃗⃗ ∙ �⃗� =</p><p>𝜕𝜌𝑣</p><p>𝜕𝑡</p><p>Substituindo-se 𝜌𝑣 por ∇⃗⃗⃗ ∙ �⃗⃗⃗�,</p><p>∇⃗⃗⃗ ∙ �⃗� =</p><p>𝜕</p><p>𝜕𝑡</p><p>(∇⃗⃗⃗ ∙ �⃗⃗⃗�) = ∇⃗⃗⃗ ∙</p><p>𝜕�⃗⃗⃗�</p><p>𝜕𝑡</p><p>pela qual obtemos a solução mais simples para �⃗�,</p><p>�⃗� =</p><p>𝜕�⃗⃗⃗�</p><p>𝜕𝑡</p><p>Portanto, a lei circuital de Ampère na forma pontual se torna</p><p>∇⃗⃗⃗ × �⃗⃗⃗� = 𝐽 +</p><p>𝜕�⃗⃗⃗�</p><p>𝜕𝑡</p><p>O termo adicional 𝜕�⃗⃗� /𝜕𝑡 tem dimensões de densidade de corrente (ampères por metro</p><p>quadrado). Como ele é resultado de uma densidade de fluxo elétrico variante no tempo, Maxwell o</p><p>denominou de densidade de corrente de deslocamento. Geralmente, denota-se esta densidade por</p><p>𝐽 𝑑, ou ainda:</p><p>∇⃗⃗⃗ × �⃗⃗⃗� = 𝐽 + 𝐽 𝑑</p><p>𝐽 𝑑 =</p><p>𝜕�⃗⃗⃗�</p><p>𝜕𝑡</p><p>Em um meio não-condutor no qual nenhuma densidade volumétrica de cargas esteja presente,</p><p>𝐽 = 0 e, então,</p><p>∇⃗⃗⃗ × �⃗⃗⃗� =</p><p>𝜕�⃗⃗⃗�</p><p>𝜕𝑡</p><p>(𝐽 = 0)</p><p>Note a simetria existente com a equação para campo elétrico</p><p>∇⃗⃗⃗ × �⃗⃗� = −</p><p>𝜕�⃗⃗�</p><p>𝜕𝑡</p><p>A corrente total de deslocamento que atravessa qualquer superfície dada é expressa pela</p><p>integral de superfície,</p><p>𝐼𝑑 = ∫𝐽 𝑑 ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>= ∫</p><p>𝜕�⃗⃗⃗�</p><p>𝜕𝑡</p><p>∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>139</p><p>e podemos obter a versão variante no tempo da lei circuital de Ampère integrando sobre a superfície</p><p>𝑆 a equação</p><p>∇⃗⃗⃗ × �⃗⃗⃗� = 𝐽 +</p><p>𝜕�⃗⃗⃗�</p><p>𝜕𝑡</p><p>∫(∇⃗⃗⃗ × �⃗⃗⃗�) ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>= ∫𝐽 ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>+ ∫</p><p>𝜕�⃗⃗⃗�</p><p>𝜕𝑡</p><p>∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>= 𝐼 + 𝐼𝑑</p><p>e aplicando o teorema de Stokes,</p><p>∮ �⃗⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗� = 𝐼 + 𝐼𝑑 = 𝐼 + ∫</p><p>𝜕�⃗⃗⃗�</p><p>𝜕𝑡</p><p>𝑆</p><p>∙ 𝑑𝑆</p><p>Para ilustrar a natureza física desta composição de correntes, ou seja, corrente de condução e</p><p>corrente de deslocamento, observe a figura a seguir. A figura (a) mostra um capacitor circular de placas</p><p>paralelas. Uma corrente 𝐼 entra pela placa da esquerda e uma corrente igual 𝐼 deixa a placa da direita.</p><p>Uma espira amperiana envolve o fio nesta figura (a) e forma o contorno da superfície que é atravessada</p><p>pelo fio. A corrente no fio estabelece um campo magnético, cuja densidade de fluxo é indicada na</p><p>figura por �⃗⃗�. Pode-se escrever para este caminho fechado que</p><p>∮ �⃗⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗� = 𝐼</p><p>ou seja, que a integral de linha do campo magnético no caminho fechado é igual à corrente de</p><p>condução do fio.</p><p>Na figura (b), manteve-se a mesma espira, mas estendendo-a para o espaço entre as placas do</p><p>capacitor. Sabe-se que no espaço entre as placas do capacitor não existe corrente nenhuma de</p><p>condução porque nenhum fio condutor está presente interligando as superfícies do capacitor e,</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>140</p><p>conseqüentemente, se usássemos a equação anterior teríamos resposta zero para a integral de linha,</p><p>o que não é experimentalmente verdadeiro. Neste espaço entre placas, o campo elétrico é muito mais</p><p>intenso que o campo magnético, a corrente de condução não existe, contudo tem-se aí a chamada</p><p>corrente de deslocamento e podemos escrever</p><p>∮ �⃗⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗� = 𝐼𝑑</p><p>esta corrente de deslocamento, neste exemplo, possui o mesmo valor da corrente de condução.</p><p>Para algumas regiões, a corrente é quase toda de condução, mas para aquelas superfícies que</p><p>passam entre as placas do capacitor a corrente de condução é zero e é a corrente de deslocamento</p><p>que é igual à integral de linha de �⃗⃗⃗�.</p><p>A corrente de deslocamento está associada aos campos elétricos variantes no tempo e,</p><p>portanto, existe em todos os condutores imperfeitos, conduzindo uma corrente de condução variante</p><p>no tempo. Por isso, introduzimos um pequeno erro quando desprezamos a corrente de deslocamento</p><p>em todas as superfícies que não passam entre as placas. Nestes espaços o campo magnético é muito</p><p>mais intenso que o campo elétrico, o qual se encontra confinado no fio, o que nos leva a uma corrente</p><p>de deslocamento irrelevante.</p><p>9.3 Equações de Maxwell na Forma Pontual</p><p>Uma vez encontradas as equações de Maxwell para campos variantes no tempo (as mesmas</p><p>são também válidas para campos estacionários), iremos aqui destacá-las em suas formas pontuais.</p><p>Equações de Maxwell</p><p>na Forma Pontual</p><p>1ª ∇⃗⃗⃗ × �⃗⃗� = −</p><p>𝜕�⃗⃗�</p><p>𝜕𝑡</p><p>2ª ∇⃗⃗⃗ × �⃗⃗⃗� = 𝐽 +</p><p>𝜕�⃗⃗⃗�</p><p>𝜕𝑡</p><p>3ª �⃗⃗� ∙ �⃗⃗⃗� = 𝜌𝑣</p><p>4ª �⃗⃗� ∙ �⃗⃗� = 0</p><p>A primeira equação foi desenvolvida a partir da lei de Faraday e relaciona variações de campo</p><p>magnético com</p><p>surgimento de campo elétrico. A segunda equação é a forma pontual da lei circuital de</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>141</p><p>Ampère contemplando campos variantes e estacionários, a mesma introduz o conceito de corrente de</p><p>deslocamento. A terceira e quarta equações permanecem inalteradas quando sujeitas a campos</p><p>variantes no tempo. A terceira equação é a divergência do campo elétrico, a qual resulta em uma</p><p>densidade de cargas elétricas que pode ser positiva ou negativa. A quarta equação trata-se da</p><p>divergência aplicada ao campo magnético, como não existem “cargas magnéticas” separadas, ou</p><p>pólos, a densidade de “cargas magnéticas”, se assim pode dizer, sempre será zero.</p><p>Estas quatro equações formam a base de toda a teoria eletromagnética. Elas são equações</p><p>diferenciais parciais e relacionam os campos elétricos e magnéticos um com o outro e às suas fontes,</p><p>densidades de carga e de corrente. As equações auxiliares são apresentadas no quadro abaixo.</p><p>Equações Auxiliares</p><p>�⃗⃗⃗� = 𝜀�⃗⃗� Relaciona �⃗⃗⃗� e �⃗⃗�</p><p>�⃗⃗� = 𝜇�⃗⃗⃗� Relaciona �⃗⃗� e �⃗⃗⃗�</p><p>𝐽 = 𝜎�⃗⃗� Densidade de Corrente de Condução</p><p>𝐽 = 𝜌𝑣�⃗� Densidade de Corrente de Convecção</p><p>�⃗⃗⃗� = 𝜀0�⃗⃗� + �⃗⃗�</p><p>�⃗⃗� = 𝜒𝑒𝜀0�⃗⃗�</p><p>Polarização</p><p>�⃗⃗� = 𝜇0(�⃗⃗⃗� + �⃗⃗⃗�)</p><p>�⃗⃗⃗� = 𝜒𝑚𝜇0�⃗⃗⃗�</p><p>Magnetização</p><p>𝑓 = 𝜌𝑣(�⃗⃗� + �⃗� × �⃗⃗�)</p><p>Força de Lorentz escrita na forma</p><p>pontual em por unidade de volume.</p><p>Os potenciais 𝑉 e 𝐴 não foram incluídos acima porque não são estritamente necessários,</p><p>embora sejam extremamente úteis.</p><p>9.4 Equações de Maxwell na Forma Integral</p><p>Uma equação na forma diferencial, tal como foi tratada na seção anterior, sempre representa</p><p>uma teoria. Não são capazes de lidar com grandezas físicas macroscópicas. Já as formas integrais das</p><p>equações de Maxwell são usualmente mais fáceis de serem reconhecidas em termos das leis</p><p>experimentais, portanto, vamos reunir, agora, estas formas integrais das equações de Maxwell</p><p>anteriormente apresentadas.</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>142</p><p>Equações de Maxwell</p><p>na Forma Integral</p><p>1ª ∮ �⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗� = −∫</p><p>𝜕�⃗⃗�</p><p>𝜕𝑡</p><p>𝑆</p><p>∙ 𝑑𝑆</p><p>2ª ∮ �⃗⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗� = 𝐼 + ∫</p><p>𝜕�⃗⃗⃗�</p><p>𝜕𝑡</p><p>𝑆</p><p>∙ 𝑑𝑆</p><p>3ª ∮ �⃗⃗⃗� ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>= ∫ 𝜌𝑣 𝑑𝑣</p><p>𝑣𝑜𝑙</p><p>4ª ∮�⃗⃗� ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>= 0</p><p>A primeira equação na forma integral é encontrada integrando-se a primeira equação na forma</p><p>pontual sobre uma superfície e aplicando o teorema de Stokes. Esta é a equação da lei de Faraday. A</p><p>segunda equação advém do mesmo processo aplicado na primeira. Ela representa a lei circuital de</p><p>Ampère. A terceira e quarta equações representam a lei de Gauss para campos elétricos e magnéticos,</p><p>respectivamente, e são obtidas integrando-se as formas pontuais através de um volume e usando o</p><p>teorema da divergência. Os dois principais teoremas do eletromagnetismo são:</p><p>Teoremas do Eletromagnetismo</p><p>∮ �⃗⃗⃗� ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>= ∫ �⃗⃗� ∙ �⃗⃗⃗� 𝑑𝑣</p><p>𝑣𝑜𝑙.</p><p>Teorema da Divergência</p><p>∮ �⃗⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗� = ∫(∇⃗⃗⃗ × �⃗⃗⃗�) ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>Teorema de Stokes</p><p>As quatro equações integrais nos permitem encontrar as condições de fronteira para os</p><p>campos elétrico e magnético. A tabela abaixo traz uma síntese destas condições de fronteira, já</p><p>estudadas, para materiais perfeitos.</p><p>Condições de Fronteira</p><p>Para Campo Elétrico</p><p>𝐸𝑡𝑔1 = 𝐸𝑡𝑔2</p><p>𝐷𝑁1 − 𝐷𝑁2 = 𝜌𝑣</p><p>Para Campo Magnético</p><p>𝐻𝑡𝑔1 − 𝐻𝑡𝑔2 = 𝐾</p><p>𝐵𝑁1 = 𝐵𝑁2</p><p>arbitrária, tomada como 𝜙 = 0. Um sistema de</p><p>coordenadas tridimensionais cilíndricas circulares é obtido especificando-se a distância z do ponto a</p><p>um plano arbitrário 𝑧 = 0, perpendicular à reta 𝜌 = 0.</p><p>No sistema de coordenadas cilíndricas não mais consideraremos os três eixos como nas</p><p>coordenada cartesianas, todavia o ponto continua sendo definido pela interseção de três superfícies</p><p>mutuamente perpendiculares. Estas superfícies são: uma cilíndrica circular (𝜌 = constante), uma plana</p><p>(𝜙 = constante) e uma outra também plana (𝑧 = constante), conforme pode ser visto na figura (a)</p><p>abaixo.</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>12</p><p>Os vetores unitários apontam na direção crescente dos valores das coordenadas e são</p><p>perpendiculares à superfície na qual esta coordenada é constante, sendo os três vetores especificados</p><p>como: �̂�𝜌, �̂�𝜙 e �̂�𝑧. A figura (b) anterior mostra estes três vetores.</p><p>Os vetores unitários são novamente mutuamente perpendiculares, pois cada um é normal a</p><p>uma das três superfícies mutuamente perpendiculares, definindo-se, um sistema de coordenadas</p><p>cilíndricas do tipo triedro direito, no qual �̂�𝜌 × �̂�𝜙 = �̂�𝑧 ou um sistema no qual o polegar, o indicador</p><p>e o dedo médio da mão direita apontam, respectivamente, na direção crescente de 𝜌, 𝜙 e 𝑧.</p><p>Um elemento diferencial de volume em coordenadas cilíndricas pode ser obtido aumentando-</p><p>se 𝜌, 𝜙 e 𝑧 de incrementos diferenciais 𝑑𝜌, 𝑑𝜙 e 𝑑𝑧. Os dois cilindros de raios 𝜌 e 𝜌 + 𝑑𝜌, os dois</p><p>planos radiais nos ângulos 𝜙 e 𝜙 + 𝑑𝜙 e os dois planos “horizontais” nas “elevações” 𝑧 e 𝑧 + 𝑑𝑧</p><p>limitam um pequeno volume, como mostrado na figura (c) anterior. Note que 𝑑𝜌 e 𝑑𝑧 têm dimensões</p><p>de comprimento, mas 𝑑𝜙 não tem; 𝜌 𝑑𝜙 é o comprimento. O volume aproximado da figura será dado</p><p>por 𝜌 𝑑𝜌 𝑑𝜙 𝑑𝑧, pois a forma do elemento de volume, por ser muito pequeno, aproxima-se à de um</p><p>paralelepípedo.</p><p>As variáveis dos sistemas de coordenadas retangular e cilíndrico são facilmente relacionadas</p><p>umas com as outras. Temos que</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>13</p><p>𝑥 = 𝜌 𝑐𝑜𝑠𝜙</p><p>𝑦 = 𝜌 𝑠𝑒𝑛𝜙</p><p>𝑧 = 𝑧</p><p>Do outro ponto de vista, podemos expressar as variáveis cilíndricas em temos de x, y e z</p><p>𝜌 = √𝑥2 + 𝑦2 (𝜌 > 0)</p><p>𝜙 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛</p><p>𝑦</p><p>𝑥</p><p>(𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒)</p><p>𝑧 = 𝑧</p><p>O valor adequado do ângulo 𝜙 é determinado por inspeção dos sinais de x e y, para encontrar</p><p>o quadrante do ângulo.</p><p>Dado o vetor cartesiano</p><p>𝐴 = 𝐴𝑥�̂�𝑥 + 𝐴𝑦�̂�𝑦 + 𝐴𝑧�̂�𝑧</p><p>desejamos encontrar o mesmo vetor, porém em coordenadas cilíndricas, do tipo</p><p>𝐴 = 𝐴𝜌�̂�𝜌 + 𝐴𝜙�̂�𝜙 + 𝐴𝑧�̂�𝑧</p><p>Para determinar qualquer componente de um vetor em uma direção desejada, basta fazer o</p><p>produto escalar entre o vetor e o vetor unitário na direção desejada. Assim,</p><p>𝐴𝜌 = 𝐴 ⋅ �̂�𝜌</p><p>𝐴𝜙 = 𝐴 ⋅ �̂�𝜙</p><p>𝐴𝑧 = 𝐴 ⋅ �̂�𝑧</p><p>desenvolvendo-se as equações, tem-se</p><p>𝐴𝜌 = (𝐴𝑥�̂�𝑥 + 𝐴𝑦�̂�𝑦 + 𝐴𝑧�̂�𝑧) ⋅ �̂�𝜌 = 𝐴𝑥(�̂�𝑥 ⋅ �̂�𝜌) + 𝐴𝑦(�̂�𝑦 ⋅ �̂�𝜌)</p><p>𝐴𝜙 = (𝐴𝑥�̂�𝑥 + 𝐴𝑦�̂�𝑦 + 𝐴𝑧�̂�𝑧) ⋅ �̂�𝜙 = 𝐴𝑥(�̂�𝑥 ⋅ �̂�𝜙) + 𝐴𝑦(�̂�𝑦 ⋅ �̂�𝜙)</p><p>𝐴𝑧 = (𝐴𝑥�̂�𝑥 + 𝐴𝑦�̂�𝑦 + 𝐴𝑧�̂�𝑧) ⋅ �̂�𝑧 = 𝐴𝑧</p><p>Analisando-se a figura abaixo, podemos identificar o ângulo entre �̂�𝑥 e �̂�𝜌 como sendo 𝜙, e</p><p>assim, �̂�𝑥 ⋅ �̂�𝜌 = 𝑐𝑜𝑠𝜙; já o ângulo entre �̂�𝑦 e �̂�𝜌 como sendo 90° − 𝜙 e assim, �̂�𝑦 ⋅ �̂�𝜌 = 𝑠𝑒𝑛𝜙. Os</p><p>produtos escalares entre os vetores unitários estão resumidos na tabela abaixo.</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>14</p><p>Produtos escalares entre os vetores unitários dos sistemas de</p><p>coordenadas retangular e cilíndrico</p><p>�̂�𝜌 �̂�𝜙 �̂�𝑧</p><p>�̂�𝒙 ⋅ 𝑐𝑜𝑠𝜙 −𝑠𝑒𝑛𝜙 0</p><p>�̂�𝒚 ⋅ 𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜙 0</p><p>�̂�𝒛 ⋅ 0 0 1</p><p>Vale ressaltar que para a mudança de qualquer vetor de um sistema de coordenada para outro,</p><p>é necessário saber o ponto de origem do mesmo, conforme será melhor compreendido a partir da</p><p>realização de exercícios práticos.</p><p>Complementarmente, podemos também traformar um vetor de coordenadas cilíndrica para</p><p>cartesiana por meio do mesmo procedimento supra-apresentado, todavia, nesta situação, as</p><p>projeções serão feita na direção dos eixo x, y e z do sistema cartesiano.</p><p>A transformação de campos vetoriais de coordenadas cartesianas para cilíndricas ou vice-versa</p><p>é efetuada usando-se as equações de transformação de escalares, mostradas anteriormente, e os</p><p>produtos escalares entre os vetores unitários dados na tabela acima.</p><p>1.9 Sistema de Coordenadas Esféricas</p><p>A figura (a) abaixo mostra o sistema de coordenadas esféricas sobre os três eixos cartesianos.</p><p>Inicialmente, definimos a distância da origem a qualquer ponto como 𝑟. A superfície 𝑟 = constante é</p><p>uma esfera.</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>15</p><p>A segunda coordenada é o ângulo 𝜃 entre o eixo 𝑧 e a linha desenhada da origem ao ponto em</p><p>questão. A superfície 𝜃 = constante é um cone.</p><p>A terceira coordenada é o ângulo ∅ , exatamente o mesmo ângulo ∅ das coordenadas</p><p>cilíndricas. Ele é o ângulo entre o eixo 𝑥 e a projeção no plano 𝑧 = 0 da linha desenhada da origem ao</p><p>ponto. A superfície ∅ = constante é um plano que inicia no eixo 𝑧 e vai até o infinito (plano semi-</p><p>infinito).</p><p>Podemos novamente considerar qualquer ponto como a interseção de três superfícies</p><p>mutuamente perpendiculares – uma esfera, um cone e um plano – cada uma orientada na maneira</p><p>descrita anteriormente e mostrada na figura (b) acima.</p><p>Os três vetores unitários são �̂�𝒓 , �̂�𝜽 e �̂�𝝓 . Os mesmos encontram-se mutuamente</p><p>perpendiculares e definem um sistema de coordenadas esféricas do tipo triedro direito, em que,</p><p>�̂�𝒓 × �̂�𝜽 = �̂�𝝓 . Pela regra da mão direita o polegar, o indicador e o dedo médio indicam,</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>16</p><p>respectivamente, 𝑟, 𝜃 e ∅, conforme pode ser visualizado na figura (c) acima. Note que a componente</p><p>∅, diferentemente do que foi verificado nas coordenadas cilíndricas, é o 3º termo e não o 2º.</p><p>Um elemento diferencial de volume pode ser construído em coordenadas esféricas</p><p>aumentando-se 𝑟, 𝜃 e ∅ por 𝑑𝑟, 𝑑𝜃 e 𝑑∅, como mostra a figura (d) anterior. A distância entre as duas</p><p>superfícies de raios 𝑟 e 𝑟 + 𝑑𝑟 é 𝑑𝑟; a distância entre os cones com ângulos de geração 𝜃 e 𝜃 + 𝑑𝜃 é</p><p>𝑟 𝑑𝜃 e a distância entre os dois planos radiais de ângulos ∅ e ∅ + 𝑑∅ é calculado como sendo</p><p>𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑∅. O volume aproximado do elemento será 𝑟2 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑∅.</p><p>A transformação de escalares do sistema de coordenadas esféricas para cartesianas pode ser</p><p>feita usando-se</p><p>𝑥 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜙</p><p>𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜙</p><p>𝑧 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃</p><p>A transformação no sentido inverso é realizada com a ajuda de</p><p>𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 (𝑟 > 0)</p><p>𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛</p><p>√𝑥2 + 𝑦2</p><p>𝑧</p><p>(0° < 𝜃 < 180°) (𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒)</p><p>𝜙 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛</p><p>𝑦</p><p>𝑥</p><p>(𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒)</p><p>A transformação dos vetores requer a determinação dos produtos vetoriais entre os vetores</p><p>unitários das coordenadas cartesianas e esféricas. Os produtos são obtidos de maneira análoga ao</p><p>exposto para as coordenadas cilíndricas. Os mesmos podem ser observados na tabela a seguir.</p><p>Produtos escalares entre os vetores unitários dos sistemas de</p><p>coordenadas retangular e esférico</p><p>�̂�𝒓 �̂�𝜽 �̂�∅</p><p>�̂�𝒙 ⋅ 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜙 −𝑠𝑒𝑛𝜙</p><p>�̂�𝒚 ⋅ 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜙</p><p>�̂�𝒛 ⋅ 𝑐𝑜𝑠𝜃 −𝑠𝑒𝑛𝜃 0</p><p>Pode-se, também, transformar os escalares do sistema de coordenadas esféricas para</p><p>cilíndricas,</p><p>para tanto, deve-se usar</p><p>𝜌 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃</p><p>𝜙 = 𝜙</p><p>𝑧 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>17</p><p>A transformação no sentido inverso será</p><p>𝑟 = √𝜌2 + 𝑧2 (𝑟 > 0)</p><p>𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛</p><p>𝜌</p><p>𝑧</p><p>(0° < 𝜃 < 180°) (𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒)</p><p>𝜙 = 𝜙</p><p>Já a transformação dos vetores requer novamente a determinação dos produtos vetoriais</p><p>entre os vetores unitários das coordenadas cilíndricas e esféricas. Estes podem ser observados na</p><p>tabela a seguir.</p><p>Produtos escalares entre os vetores unitários dos sistemas de</p><p>coordenadas cilíndrico e esférico</p><p>�̂�𝒓 �̂�𝜽 �̂�∅</p><p>�̂�𝝆 ⋅ 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 0</p><p>�̂�∅ ⋅ 0 0 1</p><p>�̂�𝒛 ⋅ 𝑐𝑜𝑠𝜃 −𝑠𝑒𝑛𝜃 0</p><p>Observação 1: quando se diz "𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒", há a necessidade, no caso do ângulo</p><p>encontrado não ser condizente com a expectativa, de se somar 180° ao mesmo. Isto é verdade para</p><p>todas as operações envolvendo 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛.</p><p>Observação 2: todas as transformações de vetores, de um sistema de coordenada para outro,</p><p>feitas neste capítulo, foram realizadas considerando que os sistemas possuem um ponto de origem</p><p>comum. Todavia, caso a origem dos distintos sistemas seja pontos distintos, haverá necessidade de se</p><p>realizar uma operação de translação para o cálculo do ponto de partida do vetor a ser transformado.</p><p>Neste sentido, neste nosso curso, quando necessário, será realizado uma explanação apropriada</p><p>abordando tal operação.</p><p>Com base nos conceitos expostos, os quadros mostrados na página seguinte resumem as</p><p>operações associadas à utilização dos três sistemas de coordenadas estudados.</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>18</p><p>Transformações entre os três sistemas de coordenadas:</p><p>Transformações entre os três sistemas de coordenadas</p><p>Sistema Cartesiano Cilíndrico Esférico</p><p>𝑥 = 𝑥 𝑥 = 𝜌. 𝑐𝑜𝑠𝜙 𝑥 = 𝑟. 𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜙</p><p>Cartesiano 𝑦 = 𝑦 𝑦 = 𝜌. 𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑦 = 𝑟. 𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑠𝑒𝑛𝜙</p><p>𝑧 = 𝑧 𝑧 = 𝑧 𝑧 = 𝑟. 𝑐𝑜𝑠𝜃</p><p>𝜌 = √𝑥2 + 𝑦2, 𝜌 ≥ 0 𝜌 = 𝜌 𝜌 = 𝑟. 𝑠𝑒𝑛𝜃</p><p>Cilíndrico 𝜙 = 𝑡𝑎𝑛−1(𝑦 𝑥⁄ ), 0 ≤ 𝜙 ≤ 2𝜋 𝜙 = 𝜙 𝜙 = 𝜙</p><p>𝑧 = 𝑧 𝑧 = 𝑧 𝑧 = 𝑟. 𝑐𝑜𝑠𝜃</p><p>𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2, 𝑟 ≥ 0 𝑟 = √𝜌2 + 𝑧2, 𝑟 ≥ 0 𝑟 = 𝑟</p><p>Esférico 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1 (√𝑥2 + 𝑦2 𝑧⁄ ) , 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1(𝜌 𝑧⁄ ), 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 𝜃 = 𝜃</p><p>𝜙 = 𝑡𝑎𝑛−1(𝑦 𝑥⁄ ), 0 ≤ 𝜙 ≤ 2𝜋 𝜙 = 𝜙, 0 ≤ 𝜙 ≤ 2𝜋 𝜙 = 𝜙</p><p>Produtos escalares entre os vetores unitários nos três sistemas de coordenadas:</p><p>Produtos escalares entre os vetores unitários dos sistemas de</p><p>coordenadas retangular e cilíndrico</p><p>�̂�𝜌 �̂�𝜙 �̂�𝑧</p><p>�̂�𝒙 ⋅ 𝑐𝑜𝑠𝜙 −𝑠𝑒𝑛𝜙 0</p><p>�̂�𝒚 ⋅ 𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜙 0</p><p>�̂�𝒛 ⋅ 0 0 1</p><p>Produtos escalares entre os vetores unitários dos sistemas de</p><p>coordenadas retangular e esférico</p><p>�̂�𝒓 �̂�𝜽 �̂�∅</p><p>�̂�𝒙 ⋅ 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜙 −𝑠𝑒𝑛𝜙</p><p>�̂�𝒚 ⋅ 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜙</p><p>�̂�𝒛 ⋅ 𝑐𝑜𝑠𝜃 −𝑠𝑒𝑛𝜃 0</p><p>Produtos escalares entre os vetores unitários dos sistemas de</p><p>coordenadas cilíndrico e esférico</p><p>�̂�𝒓 �̂�𝜽 �̂�∅</p><p>�̂�𝝆 ⋅ 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 0</p><p>�̂�∅ ⋅ 0 0 1</p><p>�̂�𝒛 ⋅ 𝑐𝑜𝑠𝜃 −𝑠𝑒𝑛𝜃 0</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>19</p><p>Elementos diferenciais de linha, área e volume nos três sistemas de coordenadas:</p><p>Coordenadas cartesianas Coordenadas cilíndricas Coordenadas esféricas</p><p>Elementos diferenciais nos três sistemas de coordenadas:</p><p>Elementos Diferenciais nos três sistemas de coordenadas</p><p>Sistema Linha (𝒅�⃗⃗⃗�) Área (𝒅�⃗⃗⃗�) Volume (𝒅𝒗)</p><p>𝑑𝑆𝑥</p><p>⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝑦𝑑𝑧�̂�𝑥</p><p>Cartesiano 𝑑�⃗⃗� = 𝑑𝑥�̂�𝑥 + 𝑑𝑦�̂�𝑦 + 𝑑𝑧�̂�𝑧 𝑑𝑆𝑦</p><p>⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝑥𝑑𝑧�̂�𝑦 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧</p><p>𝑑𝑆𝑧</p><p>⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑑𝑥𝑑𝑦�̂�𝑧</p><p>𝑑𝑆𝜌</p><p>⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝜌𝑑𝜙𝑑𝑧�̂�𝜌</p><p>Cilíndrico 𝑑�⃗⃗� = 𝑑𝜌�̂�𝜌 + 𝜌𝑑𝜙�̂�𝜙 + 𝑑𝑧�̂�𝑧 𝑑𝑆𝜙</p><p>⃗⃗ ⃗⃗⃗ = 𝑑𝜌𝑑𝑧�̂�𝜙 𝑑𝑣 = 𝜌𝑑𝜌𝑑𝜙𝑑𝑧</p><p>𝑑𝑆𝑧</p><p>⃗⃗ ⃗⃗ = 𝜌𝑑𝜌𝑑𝜙�̂�𝑧</p><p>𝑑𝑆𝑟</p><p>⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑟2𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃𝑑𝜙�̂�𝑟</p><p>Esférico 𝑑�⃗⃗� = 𝑑𝑟�̂�𝑟 + 𝑟𝑑𝜃�̂�𝜃 + 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜙�̂�𝜙 𝑑𝑆𝜃</p><p>⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝑟𝑑𝜙�̂�𝜃 𝑑𝑣 = 𝑟2𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝜙</p><p>𝑑𝑆𝜙</p><p>⃗⃗ ⃗⃗⃗ = 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃�̂�𝜙</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>20</p><p>2 – LEI DE COULOMB E INTENSIDADE DE CAMPO ELÉTRICO</p><p>2.1 Lei de Coulomb</p><p>Lei de Coulomb: a força elétrica aplicada por um corpo carregado em outro, depende</p><p>diretamente do produto das intensidades das cargas presentes em cada corpo e inversamente do</p><p>quadrado de suas distâncias, ou seja,</p><p>𝐹 = 𝑘</p><p>𝑄1𝑄2</p><p>𝑅2</p><p>[𝑁]</p><p>Onde k é chamada de constante de Coulomb. Esta equação é aplicada para objetos carregados</p><p>cujo tamanho é muito menor que a distância entre estes, ou seja, somente para cargas pontuais.</p><p>A constante k é dada por</p><p>𝑘 =</p><p>1</p><p>4𝜋𝜀0</p><p>onde 𝜀0 é conhecida por constante elétrica ou constante de permissividade do ar, sendo seu valor, no</p><p>SI (Sistema Internacional), igual a</p><p>𝜀0 = 8,85418781762𝑥10−12 =</p><p>1</p><p>36𝜋</p><p>10−9 𝐶2 𝑁.𝑚2⁄</p><p>𝑘 = 8,99𝑥109 𝑁.𝑚2 𝐶2⁄</p><p>A lei de Coulomb é agora escrita como</p><p>𝐹 =</p><p>𝑄1𝑄2</p><p>4𝜋𝜀0𝑅</p><p>2</p><p>Para podermos representar o vetor força da lei de Coulomb, precisamos saber se a força que</p><p>atua sobre as cargas é de repulsão ou atração. Pois, como é sabido, cargas de mesmos sinais se repelem</p><p>e cargas de sinais contrários se atraem. Todavia, neste curso, as equações serão, via de regra,</p><p>desenvolvidas de modo a chegarmos a resultados definitivos sem que, para isto, haja a necessidade</p><p>de análises complementares, conforme poderemos notar através do equacionamento final a seguir.</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>21</p><p>Na figura acima, temos o vetor 𝑟1 localizando 𝑄1 enquanto 𝑟2 localiza 𝑄2 . Então, o vetor</p><p>�⃗⃗�12 = 𝑟2 − 𝑟1 representa o segmento de reta orientado de 𝑄1 para 𝑄2, como mostrado. O vetor �⃗�2 é</p><p>a força em 𝑄2 e é mostrado para o caso em que 𝑄1 e 𝑄2 possuem o mesmo sinal. A forma vetorial da</p><p>lei de Coulomb será</p><p>�⃗�2 =</p><p>𝑄1𝑄2</p><p>4𝜋𝜀0𝑅12</p><p>2 �̂�12</p><p>onde �̂�12 é o vetor unitário na mesma direção �⃗⃗�12. Esta equação pode ser considerada uma equação</p><p>genérica, uma vez que a mesma pode ser aplicadas a qualquer tipo interação (atração ou repulsão).</p><p>A força expressa pela lei de Coulomb é uma força mútua de ação e reação, já que cada uma</p><p>das duas cargas experimenta uma força de mesma intensidade direção, apesar de sentidos opostos.</p><p>Assim, a força sobre a carga 1 será:</p><p>�⃗�1 = −�⃗�2 =</p><p>𝑄1𝑄2</p><p>4𝜋𝜀0𝑅21</p><p>2 �̂�21</p><p>2.2 Intensidade de Campo Elétrico</p><p>Se considerarmos uma carga fixa numa posição 𝑄1, e lentamente movermos uma segunda</p><p>carga, chamada de carga de teste 𝑄𝑡, em torno da primeira, notaremos que existe por toda parte uma</p><p>força nesta segunda carga; em outras palavras, esta segunda carga está mostrando a existência de um</p><p>campo de força. A força sobre ela é dada por</p><p>�⃗�𝑡 =</p><p>𝑄1𝑄𝑡</p><p>4𝜋𝜀0𝑅1𝑡</p><p>2 �̂�1𝑡</p><p>A intensidade de campo elétrico é definida pela razão da força observada nesta carga teste -</p><p>�⃗�𝑡 - pela unidade da carga teste - 𝑄𝑡. Usando a letra maiúscula 𝐸 para a intensidade do campo elétrico,</p><p>temos</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>22</p><p>�⃗⃗� =</p><p>�⃗�𝑡</p><p>𝑄𝑡</p><p>=</p><p>𝑄1</p><p>4𝜋𝜀0𝑅1𝑡</p><p>2 �̂�1𝑡</p><p>A intensidade do campo elétrico deve ser medida em unidades de Newton por Coulomb, ou</p><p>ainda, volts por metro, conforme será deduzido posteriormente. Dispensando-se os índices, podemos</p><p>reescrever a equação anterior como</p><p>�⃗⃗� =</p><p>𝑄</p><p>4𝜋𝜀0𝑅</p><p>2</p><p>�̂�𝑅</p><p>Relembrando que 𝑅 é a magnitude do vetor �⃗⃗�, segmento de reta orientado do ponto no qual</p><p>a carga pontual 𝑄 está localizada ao</p><p>ponto no qual �⃗⃗� é desejado, e que �̂�𝑅 é um vetor unitário na</p><p>direção de �⃗⃗�.</p><p>Se localizarmos 𝑄 no centro do sistema de coordenadas esféricas, o vetor unitário �̂�𝑅, então,</p><p>se torna o vetor unitário radial �̂�𝑟, e 𝑅 é 𝑟. Assim,</p><p>�⃗⃗� =</p><p>𝑄</p><p>4𝜋𝜀0𝑟</p><p>2</p><p>�̂�𝑟</p><p>Já se escrevermos esta expressão em coordenadas cartesianas para a carga na origem, temos</p><p>�⃗⃗� = 𝑟 = 𝑥�̂�𝑥 + 𝑦�̂�𝑦 + 𝑧�̂�𝑧 e �̂�𝑟 =</p><p>𝑥�̂�𝑥+𝑦�̂�𝑦+𝑧�̂�𝑧</p><p>√𝑥2+𝑦2+𝑧2</p><p>, portanto,</p><p>�⃗⃗� =</p><p>𝑄</p><p>4𝜋𝜀0(𝑥</p><p>2 + 𝑦2 + 𝑧2)</p><p>(</p><p>𝑥</p><p>√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2</p><p>�̂�𝑥 +</p><p>𝑦</p><p>√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2</p><p>�̂�𝑦 +</p><p>𝑧</p><p>√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2</p><p>�̂�𝑧)</p><p>Então, pode-se notar que o sistema de coordenadas esféricas, devido à simetria do problema</p><p>em questão, é o mais adequado para uma representação (quando a carga encontra-se localizada na</p><p>origem do sistema).</p><p>Se considerarmos a carga deslocada da origem do sistema, o campo não mais possuirá simetria</p><p>esférica, e teremos que usar coordenadas cartesianas. Para uma carga 𝑄 localizada no ponto</p><p>𝑟′ = 𝑥′�̂�𝑥 + 𝑦′�̂�𝑦 + 𝑧′�̂�𝑧 , como mostrada na figura abaixo, encontramos o campo num ponto</p><p>genérico 𝑟 = 𝑥�̂�𝑥 + 𝑦�̂�𝑦 + 𝑧�̂�𝑧, expressando �⃗⃗� como 𝑟 − 𝑟′, e então</p><p>�⃗⃗�(𝑟) =</p><p>𝑄</p><p>4𝜋𝜀0|𝑟 − 𝑟′|2</p><p>𝑟 − 𝑟′</p><p>|𝑟 − 𝑟′|</p><p>�⃗⃗�(𝑟) =</p><p>𝑄(𝑟 − 𝑟′)</p><p>4𝜋𝜀0|𝑟 − 𝑟′|3</p><p>�⃗⃗�(𝑟) =</p><p>𝑄[(𝑥 − 𝑥′)�̂�𝑥 + (𝑦 − 𝑦′)�̂�𝑦 + (𝑧 − 𝑧′)�̂�𝑧]</p><p>4𝜋𝜀0[(𝑥 − 𝑥′)2 + (𝑦 − 𝑦′)2 + (𝑧 − 𝑧′)2]3/2</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>23</p><p>Para o caso em que se pretende encontrar a intensidade de campo elétrico proveniente de</p><p>várias cargas pontuais, basta somar vetorialmente o campo devido a cada uma destas cargas, ou seja,</p><p>�⃗⃗�(𝑟) =</p><p>𝑄1</p><p>4𝜋𝜀0|𝑟 − 𝑟1</p><p>′|2</p><p>�̂�1 +</p><p>𝑄2</p><p>4𝜋𝜀0|𝑟 − 𝑟2</p><p>′|2</p><p>�̂�2 + ⋯ +</p><p>𝑄𝑛</p><p>4𝜋𝜀0|𝑟 − 𝑟𝑛</p><p>′|2</p><p>�̂�𝑛</p><p>A figura a seguir apresenta um exemplo da soma vetorial da intensidade de campo elétrico</p><p>total em um ponto P devido a duas cargas pontuais 𝑄1 e 𝑄2.</p><p>2.3 Distribuições Contínuas de Cargas</p><p>Caso tenhamos uma distribuição de carga ao longo de um volume qualquer, podemos</p><p>representar a densidade volumétrica de carga por 𝜌𝑣, tendo a unidade de Coulomb por metro cúbico</p><p>(C/m3).</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>24</p><p>Uma pequena quantidade de carga Δ𝑄 em um pequeno volume Δ𝑣 é</p><p>Δ𝑄 = 𝜌𝑣 Δ𝑣</p><p>A carga total dentro de um volume finito é obtida pela integração através deste volume,</p><p>𝑄 = ∭𝜌𝑣 𝑑𝑣</p><p>𝑣𝑜𝑙.</p><p>Muito embora a indicação de uma integração tripla, normalmente apenas um sinal de</p><p>integração é indicado, porém o diferencial 𝑑𝑣 significará integração através de um volume, portanto,</p><p>uma integração tripla.</p><p>Caso a carga esteja distribuída ao longo de uma área, teremos uma distribuição superficial de</p><p>carga. A mesma é representada por 𝜌𝑆, que é a densidade superficial de carga com unidade dada em</p><p>Coulomb por metro quadrado (C/m2). Então,</p><p>𝑄 = ∬𝜌𝑆 𝑑𝑆</p><p>𝑠𝑢𝑝.</p><p>E, por fim, para uma distribuição de cargas ao longo de uma linha, temos a densidade linear</p><p>de carga, que é representada por 𝜌𝐿, cuja a unidade é Coulomb por metro (C/m). Assim,</p><p>𝑄 = ∫𝜌𝐿 𝑑𝐿</p><p>2.4 Campo de uma Linha de Cargas</p><p>Consideremos uma linha reta de cargas ao longo do eixo z no sistema de coordenadas</p><p>cilíndricas (devido à simetria existente) de −∞ a ∞, como mostra a figura a seguir. Neste caso, temos</p><p>uma densidade linear de carga dada por 𝜌𝐿. Desejamos a intensidade do campo elétrico �⃗⃗� em todo e</p><p>qualquer ponto resultante desta linha de cargas de densidade uniforme (𝜌𝐿 constante).</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>25</p><p>Escolhemos um ponto 𝑃(0, 𝑦, 0) no eixo y no qual determinaremos o campo. Aplicando-se a</p><p>equação da intensidade de campo de cargas pontuais para determinar o campo incremental em P</p><p>devido à carga incremental tem-se:</p><p>𝑑𝑄 = 𝜌𝐿 𝑑𝑧′</p><p>Assim,</p><p>�⃗⃗�(𝑟) =</p><p>𝑄(𝑟 − 𝑟′)</p><p>4𝜋𝜀0|𝑟 − 𝑟′|3</p><p>(para carga pontual)</p><p>𝑑�⃗⃗� =</p><p>𝜌𝐿 𝑑𝑧′(𝑟 − 𝑟′)</p><p>4𝜋𝜀0|𝑟 − 𝑟′|3</p><p>(para carga incremental numa linha de cargas)</p><p>onde</p><p>𝑟 = 𝑦�̂�𝑦 = 𝜌�̂�𝜌</p><p>𝑟′ = 𝑧′�̂�𝑧</p><p>e</p><p>𝑟 − 𝑟′ = 𝜌�̂�𝜌 − 𝑧′�̂�𝑧</p><p>Portanto,</p><p>𝑑�⃗⃗� =</p><p>𝜌𝐿 𝑑𝑧′(𝜌�̂�𝜌 − 𝑧′�̂�𝑧)</p><p>4𝜋𝜀0(𝜌</p><p>2 + 𝑧′2)3/2</p><p>De forma genérica:</p><p>𝑑�⃗⃗� = 𝑑𝐸𝜌�̂�𝜌 + 𝑑𝐸𝜙�̂�𝜙 + 𝑑𝐸𝑧�̂�𝑧</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>26</p><p>Pode-se perceber, por meio da figura, que a componente 𝐸𝑧 será nula devido a simetria,</p><p>restando tão somente 𝐸𝜌, então</p><p>𝑑𝐸𝜌 =</p><p>𝜌𝐿 𝜌 𝑑𝑧′</p><p>4𝜋𝜀0(𝜌</p><p>2 + 𝑧′2)3/2</p><p>e</p><p>𝐸𝜌 = ∫</p><p>𝜌𝐿 𝜌 𝑑𝑧′</p><p>4𝜋𝜀0(𝜌</p><p>2 + 𝑧′2)3/2</p><p>∞</p><p>−∞</p><p>Integrando a expressão, tem-se</p><p>𝐸𝜌 =</p><p>𝜌𝐿</p><p>4𝜋𝜀0</p><p>𝜌 (</p><p>1</p><p>𝜌2</p><p>𝑧′</p><p>√𝜌2 + 𝑧′2</p><p>)</p><p>−∞</p><p>∞</p><p>e</p><p>𝐸𝜌 =</p><p>𝜌𝐿</p><p>2𝜋𝜀0𝜌</p><p>ou, de forma vetorial:</p><p>�⃗⃗� =</p><p>𝜌𝐿</p><p>2𝜋𝜀0𝜌</p><p>�̂�𝜌</p><p>Esta é a resposta desejada, mas há outras maneiras de obtê-la. Por outro lado, vale ressaltar</p><p>que, caso calculemos a integral de 𝐸𝑧, encontraremos como resultado, zero, ou seja,</p><p>𝐸𝑧 = ∫</p><p>−𝑧′𝜌𝐿 𝑑𝑧′</p><p>4𝜋𝜀0(𝜌</p><p>2 + 𝑧′2)3/2</p><p>∞</p><p>−∞</p><p>= 0</p><p>Devemos também examinar o fato de que nem todas as linhas de carga estão localizadas ao</p><p>longo do eixo z. Como exemplo, consideremos uma linha de cargas infinita paralela ao eixo z em</p><p>𝑥 = 6 , 𝑦 = 8 , como mostrada na figura abaixo. Desejamos determinar �⃗⃗� em um ponto genérico</p><p>𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧).</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>27</p><p>Na equação da intensidade de campo encontrada para a linha de carga infinita, substitui-se 𝜌</p><p>pela distância radial entre a linha de carga e o ponto P, 𝑅 = √(𝑥 − 6)2 + (𝑦 − 8)2 e consideramos �̂�𝜌</p><p>como sendo �̂�𝑅. Assim,</p><p>�⃗⃗� =</p><p>𝜌𝐿</p><p>2𝜋𝜀0√(𝑥 − 6)2 + (𝑦 − 8)2</p><p>�̂�𝑅</p><p>onde</p><p>�̂�𝑅 =</p><p>�⃗⃗�</p><p>|�⃗⃗�|</p><p>=</p><p>(𝑥 − 6)�̂�𝑥 + (𝑦 − 8)�̂�𝑦</p><p>√(𝑥 − 6)2 + (𝑦 − 8)2</p><p>Portanto,</p><p>�⃗⃗� =</p><p>𝜌𝐿</p><p>2𝜋𝜀0</p><p>(𝑥 − 6)�̂�𝑥 + (𝑦 − 8)�̂�𝑦</p><p>(𝑥 − 6)2 + (𝑦 − 8)2</p><p>Nota-se, novamente, que o campo não é uma função de z. De forma genérica, para linha de</p><p>carga paralela a qualquer eixo do sistema de coordenadas cartesianas, pode-se escrever:</p><p>�⃗⃗� =</p><p>𝜌𝐿</p><p>2𝜋𝜀0𝑅</p><p>�̂�𝑅</p><p>2.5 Campo de uma Lâmina de Cargas</p><p>Outra configuração básica é a lâmina infinita de carga de densidade uniforme (𝜌𝑆 constante).</p><p>Consideremos que a mesma está localizada no plano yz (x = 0), conforme figura a seguir.</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>28</p><p>Partiremos o desenvolvimento da análise do campo de uma linha de cargas. Para tanto,</p><p>dividiremos a lâmina infinita em faixas de larguras diferenciais. Cada faixa equivalerá a uma linha de</p><p>cargas, de acordo com a figura anterior.</p><p>A densidade linear de carga de cada faixa, neste caso, será:</p><p>𝜌𝐿 = 𝜌𝑆 𝑑𝑦′</p><p>Aplicando-se a equação da intensidade de campo de linha de cargas, temos</p><p>�⃗⃗� =</p><p>𝜌𝐿</p><p>2𝜋𝜀0𝑅</p><p>�̂�𝑅 (para linha de cargas)</p><p>𝑑�⃗⃗� =</p><p>𝜌𝑆 𝑑𝑦′</p><p>2𝜋𝜀0𝑅</p><p>�̂�𝑅 (para linha de cargas incremental numa lâmina infinita de cargas)</p><p>sendo</p><p>𝑟 = 𝑥�̂�𝑥</p><p>𝑟′ = 𝑦′�̂�𝑦</p><p>�⃗⃗� = 𝑟 − 𝑟′ = 𝑥�̂�𝑥 − 𝑦′�̂�𝑦</p><p>𝑅 = |�⃗⃗�| = √𝑥2 + 𝑦′2</p><p>�̂�𝑅 =</p><p>�⃗⃗�</p><p>|�⃗⃗�|</p><p>=</p><p>𝑥�̂�𝑥 − 𝑦′�̂�𝑦</p><p>√𝑥2 + 𝑦′2</p><p>Portanto,</p><p>𝑑�⃗⃗� =</p><p>𝜌𝑆 𝑑𝑦′(𝑥�̂�𝑥 − 𝑦′�̂�𝑦)</p><p>2𝜋𝜀0(𝑥</p><p>2 + 𝑦′2)</p><p>De forma genérica:</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>29</p><p>𝑑�⃗⃗� = 𝑑𝐸𝑥�̂�𝑥 + 𝑑𝐸𝑦�̂�𝑦 + 𝑑𝐸𝑧�̂�𝑧</p><p>Analisando-se a simetria, tem-se que a componente 𝐸𝑦 será nula, restando tão somente a</p><p>componente 𝐸𝑥. Então</p><p>𝑑𝐸𝑥 =</p><p>𝜌𝑆 𝑥 𝑑𝑦′</p><p>2𝜋𝜀0(𝑥</p><p>2 + 𝑦′2)</p><p>e</p><p>𝐸𝑥 = ∫</p><p>𝜌𝑆 𝑥 𝑑𝑦′</p><p>2𝜋𝜀0(𝑥</p><p>2 + 𝑦′2)</p><p>∞</p><p>−∞</p><p>Integrando, com o auxílio de tabela de integrais,</p><p>temos</p><p>𝐸𝑥 =</p><p>𝜌𝑆</p><p>2𝜋𝜀0</p><p>[𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (</p><p>𝑦′</p><p>𝑥</p><p>)]</p><p>−∞</p><p>∞</p><p>e</p><p>𝐸𝑥 =</p><p>𝜌𝑆</p><p>2𝜀0</p><p>Porém, vale ressaltar que, caso calculemos a integral de 𝐸𝑦 , encontraremos zero como</p><p>resultado, ou seja,</p><p>𝐸𝑦 = ∫</p><p>−𝑦′𝜌𝑆 𝑑𝑦′</p><p>2𝜋𝜀0(𝑥</p><p>2 + 𝑦′2)</p><p>∞</p><p>−∞</p><p>= 0</p><p>Já, se o ponto P tivesse sido escolhido no semi-eixo x negativo, então</p><p>𝐸𝑥 = −</p><p>𝜌𝑆</p><p>2𝜀0</p><p>pois o campo está sempre dirigido para fora, no caso de uma superfície positivamente carregada. Esta</p><p>dificuldade no sinal é usualmente contornada especificando-se um vetor unitário �̂�𝑁, o qual é normal</p><p>à lâmina e (sempre) direcionado para fora da mesma. Então,</p><p>�⃗⃗� =</p><p>𝜌𝑆</p><p>2𝜀0</p><p>�̂�𝑁</p><p>A título de exemplo, se uma segunda lâmina de cargas, tendo uma densidade de carga negativa</p><p>−𝜌𝑆 , fosse adicionada no plano localizado em 𝑥 = 𝑎 , poderíamos determinar o campo total</p><p>adicionando as contribuições de cada lâmina.</p><p>Na região 𝑥 > 𝑎,</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>30</p><p>�⃗⃗� = �⃗⃗�+ + �⃗⃗�− =</p><p>𝜌𝑆</p><p>2𝜀0</p><p>�̂�𝑥 −</p><p>𝜌𝑆</p><p>2𝜀0</p><p>�̂�𝑥 = 0</p><p>e para 𝑥 < 0,</p><p>�⃗⃗� = �⃗⃗�+ + �⃗⃗�− =</p><p>𝜌𝑆</p><p>2𝜀0</p><p>(−�̂�𝑥) −</p><p>𝜌𝑆</p><p>2𝜀0</p><p>(−�̂�𝑥) = 0</p><p>e quando 0 < 𝑥 < 𝑎,</p><p>�⃗⃗� = �⃗⃗�+ + �⃗⃗�− =</p><p>𝜌𝑆</p><p>2𝜀0</p><p>�̂�𝑥 −</p><p>𝜌𝑆</p><p>2𝜀0</p><p>(−�̂�𝑥) =</p><p>𝜌𝑆</p><p>𝜀0</p><p>�̂�𝑥</p><p>Este é um resultado importante na prática, pois é o campo encontrado entre as placas</p><p>paralelas de um capacitor separadas por ar, contanto que as dimensões lineares das placas sejam bem</p><p>menores que a sua separação e também que estejamos considerando um ponto bem distante das</p><p>bordas.</p><p>2.6 Linhas de Força e Esboço de Campos</p><p>As linhas de força são linhas imaginárias em cada ponto do espaço sob influência de um campo</p><p>elétrico. Elas são empregadas no sentido de visualizar melhor a atuação do campo elétrico. Por</p><p>convenção, são propriedades destas linhas:</p><p> as linhas de força começam nas cargas positivas e terminam nas cargas negativas;</p><p> a tangente à linha de força passando por qualquer ponto no espaço fornece a direção</p><p>do campo elétrico naquele ponto;</p><p> a intensidade do campo elétrico em qualquer ponto é proporcional ao número de</p><p>linhas por unidade de área transversal perpendicular às mesmas.</p><p>Contudo, se tentássemos esboçar o campo de uma carga pontual, a variação do campo para</p><p>dentro e para fora da página poderia essencialmente causar dificuldades. Por esta razão, o esboço é</p><p>habitualmente limitado a representações bidimensionais, conforme exemplos abaixo.</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>31</p><p>No caso de um campo bidimensional, vamos arbitrariamente considerar 𝐸𝑧 = 0. As linhas de</p><p>força estão assim confinadas aos planos nos quais z é constante. Na figura abaixo, linhas de força são</p><p>mostradas, e as componentes 𝐸𝑥 e 𝐸𝑦 são indicadas em um ponto genérico.</p><p>As equações das linhas de força podem ser obtidas por meio da evidente constatação que</p><p>𝐸𝑦</p><p>𝐸𝑥</p><p>=</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑥</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>32</p><p>Como ilustração deste método considere o campo de uma linha de cargas uniforme com</p><p>distribuição linear 𝜌𝐿 = 2𝜋𝜀0,</p><p>�⃗⃗� =</p><p>𝜌𝐿</p><p>2𝜋𝜀0𝜌</p><p>�̂�𝜌 =</p><p>1</p><p>𝜌</p><p>�̂�𝜌</p><p>Em coordenadas cartesianas,</p><p>�⃗⃗� =</p><p>𝑥</p><p>𝑥2 + 𝑦2</p><p>�̂�𝑥 +</p><p>𝑦</p><p>𝑥2 + 𝑦2</p><p>�̂�𝑦</p><p>Assim, formamos a equação diferencial</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑥</p><p>=</p><p>𝐸𝑦</p><p>𝐸𝑥</p><p>=</p><p>𝑦</p><p>𝑥</p><p>𝑜𝑢</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑦</p><p>=</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝑥</p><p>Portanto,</p><p>𝑙𝑛 𝑦 = 𝑙𝑛 𝑥 + 𝐶 𝑜𝑢 𝑙𝑛 𝑦 = 𝑙𝑛 𝑥 + 𝑙𝑛 𝐶</p><p>ou ainda,</p><p>𝑦 = 𝐶𝑥</p><p>Neste caso, para encontrar a equação matemática de uma linha de força em particular, basta</p><p>substituirmos as coordenadas de um ponto pertecente à mesma e calcularmos a contante C acima.</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>33</p><p>3 – DENSIDADE DE FLUXO ELÉTRICO, LEI DE GAUSS E</p><p>DIVERGÊNCIA</p><p>3.1 Densidade de Fluxo Elétrico</p><p>A figura a seguir ilustra um experimento de Faraday em que se têm duas esferas condutoras</p><p>concêntricas separadas entre si por um material dielétrico. A esfera interna é previamente carregada</p><p>com carga +𝑄 , posteriormente, coloca-se a esfera externa descarregada e conecta-a</p><p>momentaneamente a terra. Com isto Faraday observou que a esfera externa, que a princípio estava</p><p>descarregada, ficava carregada com carga igual (em magnitude) à carga da esfera interna e que isto</p><p>era verdade independente do material dielétrico que separava as duas esferas.</p><p>Ele concluiu que da esfera interna para a externa havia um certo tipo de “deslocamento” que</p><p>era independente do meio, e agora nos referimos a este “deslocamento” ou fluxo como fluxo elétrico.</p><p>O mesmo será representado por 𝛹 (psi) e dado, conforme experimento, por</p><p>𝛹 = 𝑄</p><p>O fluxo elétrico é então medido em Coulomb. Podemos observar, por meio da figura anterior,</p><p>que as trajetórias do fluxo elétrico se estendem da esfera interna para a externa e são indicadas por</p><p>linhas de força simetricamente distribuídas, desenhadas de uma esfera a outra.</p><p>A densidade de fluxo elétrico é a razão entre o fluxo elétrico e a área da superfície que o</p><p>mesmo cruza. Trata-se de uma grandeza vetorial e é representada pela letra �⃗⃗⃗�. A direção de �⃗⃗⃗� em um</p><p>ponto é a direção das linhas de fluxo naquele ponto, e sua magnitude é dada pelo número de linhas</p><p>de fluxo que cruzam a superfície normal a elas dividido pela área da superfície. A unidade de �⃗⃗⃗� é,</p><p>naturalmente, Coulomb por metro quadrado (algumas vezes descrita como “linhas por metro</p><p>quadrado”, pois cada linha está relacionada à quantidade de carga).</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>34</p><p>Novamente, nos referindo à figura anterior, a densidade de fluxo elétrico está na direção radial</p><p>e tem um valor de</p><p>�⃗⃗⃗�|</p><p>𝑟=𝑎</p><p>=</p><p>𝑄</p><p>4𝜋𝑎2</p><p>�̂�𝑟 (𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎)</p><p>�⃗⃗⃗�|</p><p>𝑟=𝑏</p><p>=</p><p>𝑄</p><p>4𝜋𝑏2</p><p>�̂�𝑟 (𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎)</p><p>e para a distância radial 𝑟, onde 𝑎 ≤ 𝑟 ≤ 𝑏,</p><p>�⃗⃗⃗� =</p><p>𝑄</p><p>4𝜋𝑟2</p><p>�̂�𝑟</p><p>Se substituíssemos a esfera interna por uma carga pontual carregada com a mesma carga 𝑄, a</p><p>densidade de fluxo elétrico no ponto distando 𝑟 metros desta carga pontual ainda é dada pela equação</p><p>anterior.</p><p>Como a intensidade de campo elétrico radial de uma carga pontual no espaço livre é</p><p>�⃗⃗� =</p><p>𝑄</p><p>4𝜋𝜀0𝑟</p><p>2</p><p>�̂�𝑟</p><p>podemos escrever que, no espaço livre,</p><p>�⃗⃗⃗� = 𝜀0�⃗⃗�</p><p>Embora esta expressão seja aplicável somente ao vácuo, ela não se restringe somente ao</p><p>campo de uma carga pontual, a mesma é verdadeira para qualquer configuração no espaço livre, seja</p><p>ela uma distribuição volumétrica, superficial ou linear.</p><p>3.2 Lei de Gauss</p><p>Imaginemos uma distribuição de carga, conforme mostrada na figura abaixo, como uma</p><p>nuvem de cargas pontuais, envolvidas por uma superfície fechada com uma forma qualquer. Se a carga</p><p>total é +𝑄 Coulomb, então 𝑄 Coulomb de fluxo elétrico irão atravessar a superfície, o vetor densidade</p><p>de fluxo elétrico �⃗⃗⃗� terá algum valor �⃗⃗⃗�𝑆 , onde o índice 𝑆 meramente nos lembra que �⃗⃗⃗� deve ser</p><p>calculado na superfície, e �⃗⃗⃗�𝑆 irá em geral variar em magnitude e direção de um ponto da superfície</p><p>para outro.</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>35</p><p>Especificando o elemento incremental da superfície, tal como ilustrado na figura anterior,</p><p>como sendo o vetor Δ𝑆 normal à superfície e apontando para fora da mesma, podemos então escrever</p><p>que o incremento de fluxo elétrico (∆𝛹) neste elemento incremental de superfície será:</p><p>∆𝛹 = 𝐷𝑆 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝛥𝑆 = (𝐷𝑆 𝑐𝑜𝑠𝜃) 𝛥𝑆 = �⃗⃗⃗�𝑆 ∙ 𝛥𝑆</p><p>O fluxo total que atravessa a superfície fechada é obtido adicionando-se as contribuições</p><p>diferenciais que atravessam cada elemento de superfície Δ𝑆,</p><p>𝛹 = ∮ �⃗⃗⃗�𝑆</p><p>∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>(𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒 𝑓𝑒𝑐ℎ𝑎𝑑𝑎)</p><p>Esta integral resultante é uma integral de superfície fechada, ou seja, é uma integral dupla da</p><p>superfície total. Tal superfície é freqüentemente chamada de superfície gaussiana. Temos, então, a</p><p>formulação matemática de Gauss, que afirma</p><p>𝛹 = ∮ �⃗⃗⃗�𝑆 ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>= 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑒𝑛𝑣𝑜𝑙𝑣𝑖𝑑𝑎 = 𝑄</p><p>A carga envolvida pode ser um conjunto de várias cargas pontuais, ou uma linha de cargas, ou</p><p>uma superfície de cargas, ou ainda, uma distribuição volumétrica de cargas. Como a equação da</p><p>distribuição volumétrica é uma generalização das outras expressões, podemos escrever a Lei de Gauss</p><p>em termos desta</p><p>∮ �⃗⃗⃗�𝑆 ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>= ∫ 𝜌𝑣 𝑑𝑣</p><p>𝑣𝑜𝑙</p><p>uma afirmativa matemática significando simplesmente que o fluxo elétrico total através de qualquer</p><p>superfície fechada é igual à carga envolvida.</p><p>Para ilustrar a aplicação da lei de Gauss, vamos conferir os resultados do experimento de</p><p>Faraday colocando uma carga pontual 𝑄 na origem do sistema de coordenadas esféricas e escolhendo</p><p>uma superfície fechada como uma esfera de raio 𝑟. Temos então</p><p>∮ �⃗⃗⃗�𝑆 ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>= ∮(𝜀0�⃗⃗�) ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>= ∮ (𝜀0</p><p>𝑄</p><p>4𝜋𝜀0𝑟</p><p>2</p><p>�̂�𝑟) ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>=</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>36</p><p>= ∮ (</p><p>𝑄</p><p>4𝜋𝑟2</p><p>�̂�𝑟) ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>= ∮</p><p>𝑄</p><p>4𝜋𝑟2</p><p>𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>=</p><p>𝑄</p><p>4𝜋𝑟2</p><p>∮𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>=</p><p>𝑄</p><p>4𝜋𝑟2</p><p>4𝜋𝑟2 = 𝑄</p><p>e obtém um resultado que mostra que 𝑄 Coulomb de fluxo elétrico está atravessando a superfície,</p><p>como deveria ser, já que a carga envolvida é de 𝑄 Coulomb. A figura abaixo ilustra o fato de que os</p><p>vetores �⃗⃗⃗�𝑆 e 𝑑𝑆, neste exemplo, estão sempre na mesma direção</p><p>Já a integral de área da superfície fechada esférica é</p><p>𝑆𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 = ∫ ∫ 𝑟2𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜙</p><p>𝜃=𝜋</p><p>𝜃=0</p><p>𝜙=2𝜋</p><p>𝜙=0</p><p>= 4𝜋𝑟2</p><p>contudo, por ser a área de uma superfície esférica uma equação conhecida, não há necessidade de se</p><p>calcular a mesma em todos os exemplos que esta aparecer.</p><p>Vale ressaltar que para o cálculo do fluxo elétrico em uma superfície aberta pode-se usar</p><p>𝛹 = ∫ �⃗⃗⃗�𝑆 ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>(𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒 𝑎𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎)</p><p>3.3 Aplicações da Lei de Gauss: Algumas Distribuições Simétricas</p><p>de Cargas</p><p>A solução da equação de Gauss é fácil se formos capazes de escolher uma superfície fechada</p><p>que satisfaça duas condições:</p><p>1. �⃗⃗⃗�𝑆 deve ser normal ou tangente à superfície fechada em qualquer ponto, de modo que</p><p>�⃗⃗⃗�𝑆 ∙ 𝑑𝑆 se torna 𝐷𝑆 𝑑𝑆 ou zero, respectivamente.</p><p>2. Na parte da superfície fechada para a qual �⃗⃗⃗�𝑆 ∙ 𝑑𝑆 não é zero, 𝐷𝑆 deverá ser constante.</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>37</p><p>Isto nos permite substituir o produto escalar pelo produto dos escalares 𝐷𝑆 e 𝑑𝑆 e depois levar</p><p>𝐷𝑆 para fora da integral. A integral remanescente é, então, sobre aquela porção de área da superfície</p><p>fechada em que �⃗⃗⃗�𝑆 cruza normalmente, o que é simplesmente a área desta superfície.</p><p>Vamos considerar uma carga pontual 𝑄 na origem de um sistema de coordenadas esféricas e</p><p>decidir por uma superfície fechada adequada que irá satisfazer os dois requisitos listados acima. A</p><p>superfície em questão é obviamente uma superfície gaussiana esférica, centrada na origem e de raio</p><p>𝑟 qualquer. �⃗⃗⃗�𝑆 é normal à superfície em qualquer ponto e 𝐷𝑆 possui o mesmo valor em todos os</p><p>pontos na superfície.</p><p>Temos, então,</p><p>𝑄 = ∮ �⃗⃗⃗�𝑆 ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>= ∮ �⃗⃗⃗�𝑆 ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎</p><p>= ∮ 𝐷𝑆 𝑑𝑆</p><p>𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎</p><p>= 𝐷𝑆 ∮ 𝑑𝑆</p><p>𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎</p><p>= 𝐷𝑆 4𝜋𝑟2</p><p>e assim,</p><p>𝐷𝑆 =</p><p>𝑄</p><p>4𝜋𝑟2</p><p>Como 𝑟 pode ter qualquer valor e como �⃗⃗⃗�𝑆 está dirigido radialmente para fora,</p><p>�⃗⃗⃗� =</p><p>𝑄</p><p>4𝜋𝑟2</p><p>�̂�𝑟 𝑒 �⃗⃗� =</p><p>𝑄</p><p>4𝜋𝜀0𝑟</p><p>2</p><p>�̂�𝑟</p><p>que concorda com os resultados advindos da lei de Coulomb.</p><p>Em um segundo exemplo, consideremos uma distribuição uniforme e linear de carga situada</p><p>no eixo z se estendendo de −∞ a +∞.</p><p>Neste exemplo em questão, a superfície cilíndrica é a única superfície em que �⃗⃗⃗�𝜌 é normal em</p><p>qualquer ponto e pode ser fechada por superfícies planas normais ao eixo z. A figura abaixo mostra</p><p>um cilindro circular uniforme fechado de raio 𝜌 se estendendo de 𝑧 = 0 até 𝑧 = 𝐿.</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>38</p><p>Aplicando-se a lei de Gauss</p><p>𝑄 = ∮ �⃗⃗⃗�𝑆 ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>= ∮ �⃗⃗⃗�𝑆 ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜</p><p>= ∬ �⃗⃗⃗�𝑆 ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑏𝑎𝑠𝑒</p><p>+ ∬ �⃗⃗⃗�𝑆 ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑡𝑜𝑝𝑜</p><p>+ ∬ �⃗⃗⃗�𝑆 ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙</p><p>=</p><p>= 0 + 0 + ∬ 𝐷𝑆 𝑑𝑆</p><p>𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙</p><p>= 𝐷𝑆 ∬ 𝑑𝑆</p><p>𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙</p><p>= 𝐷𝑆 2𝜋𝜌𝐿</p><p>e obtemos</p><p>𝐷𝑆 =</p><p>𝑄</p><p>2𝜋𝜌𝐿</p><p>Em termos da densidade de carga linear: 𝐷𝑆 =</p><p>𝑄</p><p>2𝜋𝜌𝐿</p><p>=</p><p>𝜌𝐿𝐿</p><p>2𝜋𝜌𝐿</p><p>=</p><p>𝜌𝐿</p><p>2𝜋𝜌</p><p>, resultando nos vetores</p><p>�⃗⃗⃗� =</p><p>𝜌𝐿</p><p>2𝜋𝜌</p><p>�̂�𝜌 𝑒 �⃗⃗� =</p><p>𝜌𝐿</p><p>2𝜋𝜀0𝜌</p><p>�̂�𝜌</p><p>Mais uma vez em conformidade com o resultado obtido anteriormente pela aplicação da lei</p><p>de Coulomb.</p><p>Um terceiro exemplo é o problema de um cabo coaxial. Suponhamos que ter dois condutores</p><p>cilíndricos coaxiais, o interno de raio 𝑎 e o externo de raio 𝑏, cada um de extensão infinita, como</p><p>mostra a figura a seguir. Consideremos uma distribuição de carga 𝜌𝑆 na superfície externa do condutor</p><p>interno. As cargas dos dois cilindros são iguais em módulos e opostas em sinais.</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>39</p><p>Um cilindro circular reto de comprimento 𝐿 e raio 𝜌 , onde 𝑎 < 𝜌 < 𝑏 , é necessariamente</p><p>escolhido como a superfície gaussiana, e rapidamente temos</p><p>𝑄 = 𝐷𝑆2𝜋𝜌𝐿</p><p>e encontramos</p><p>𝐷𝑆 =</p><p>𝑄</p><p>2𝜋𝜌𝐿</p><p>Em termos da densidade de carga superficial: 𝐷𝑆 =</p><p>𝑄</p><p>2𝜋𝜌𝐿</p><p>=</p><p>𝜌𝑆𝑆</p><p>2𝜋𝜌𝐿</p><p>=</p><p>𝜌𝑆2𝜋𝑎𝐿</p><p>2𝜋𝜌𝐿</p><p>=</p><p>𝑎𝜌𝑆</p><p>𝜌</p><p>. Passando</p><p>para densidade linear, mais comumente usada para cabos coaxiais, temos que 𝑄 = 𝜌𝐿𝐿, então, 𝐷𝑆 =</p><p>𝑄</p><p>2𝜋𝜌𝐿</p><p>=</p><p>𝜌𝐿𝐿</p><p>2𝜋𝜌𝐿</p><p>=</p><p>𝜌𝐿</p><p>2𝜋𝜌</p><p>. Assim, em termos vetoriais, tem-se</p><p>�⃗⃗⃗� =</p><p>𝜌𝐿</p><p>2𝜋𝜌</p><p>�̂�𝜌 𝑒 �⃗⃗� =</p><p>𝜌𝐿</p><p>2𝜋𝜀0𝜌</p><p>�̂�𝜌</p><p>e a solução possui uma forma idêntica àquela da linha infinita de cargas.</p><p>Caso usássemos, para a superfície gaussiana, um cilindro de raio 𝜌 > 𝑏, a carga total envolvida</p><p>seria então zero, já que o resultado da soma das cargas dos dois cilindros é nulo. Um resultado idêntico</p><p>seria obtido para 𝜌 < 𝑎, pois a carga do cilindro interno só existirá na superfície do mesmo, conforme</p><p>veremos em breve para o caso de materiais condutores.</p><p>3.4 Aplicações da Lei de Gauss: Elemento Diferencial de Volume</p><p>Agora aplicaremos o método da lei de Gauss para um tipo de problema ligeiramente diferente</p><p>– um que não possui qualquer simetria. Para se contornar a problemática da ausência de simetria, que</p><p>é imprescindível para aplicação da lei de Gauss, será necessário escolher uma superfície fechada muito</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>40</p><p>pequena em que �⃗⃗⃗� seja praticamente constante sobre ela e, que uma pequena variação de �⃗⃗⃗� possa</p><p>ser adequadamente representada pelos dois primeiros termos da expansão de �⃗⃗⃗� em série de Taylor.</p><p>Consideremos um ponto 𝑃 qualquer, mostrado na figura seguinte, representado pelo sistema</p><p>de coordenadas cartesianas. O valor de �⃗⃗⃗� neste ponto pode ser expresso em componentes</p><p>cartesianos, �⃗⃗⃗�0 = 𝐷𝑥0�̂�𝑥 + 𝐷𝑦0�̂�𝑦 + 𝐷𝑧0�̂�𝑧.</p><p>Escolhemos como nossa superfície fechada uma pequena caixa retangular, centrada em 𝑃,</p><p>tendo lados de comprimentos 𝛥𝑥, 𝛥𝑦 e 𝛥𝑧, e apliquemos a lei de Gauss,</p><p>∮ �⃗⃗⃗�𝑆 ∙ d𝑆</p><p>𝑆</p><p>= ∫</p><p>𝑓𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒</p><p>+ ∫</p><p>𝑎𝑡𝑟á𝑠</p><p>+ ∫</p><p>𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎</p><p>+ ∫</p><p>𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎</p><p>+ ∫</p><p>𝑡𝑜𝑝𝑜</p><p>+ ∫</p><p>𝑏𝑎𝑠𝑒</p><p>= 𝑄</p><p>onde, dividimos a integral sobre a superfície fechada em seis integrais, uma</p><p>para cada face.</p><p>Consideremos a primeira destas integrais detalhadamente,</p><p>∫</p><p>𝑓𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒</p><p>= �⃗⃗⃗�𝑓𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 ∙ 𝛥𝑆𝑓𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 = �⃗⃗⃗�𝑓𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 ∙ (𝛥𝑦𝛥𝑧)�̂�𝑥 =</p><p>= (𝐷𝑥,𝑓𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 �̂�𝑥 + 𝐷𝑦,𝑓𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 �̂�𝑦 + 𝐷𝑧,𝑓𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 �̂�𝑧) ∙ (𝛥𝑦𝛥𝑧 �̂�𝑥) =</p><p>= 𝐷𝑥,𝑓𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝛥𝑦𝛥𝑧</p><p>onde devemos aproximar somente o valor de 𝐷𝑥 nesta face frontal. A face frontal está a uma distância</p><p>de 𝛥𝑥/2 de 𝑃, e assim</p><p>𝐷𝑥,𝑓𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝐷𝑥0 +</p><p>𝛥𝑥</p><p>2</p><p>× 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝐷𝑥 𝑐𝑜𝑚 𝑥 =</p><p>= 𝐷𝑥0 +</p><p>𝛥𝑥</p><p>2</p><p>𝜕𝐷𝑥</p><p>𝜕𝑥</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>41</p><p>Temos, agora</p><p>∫</p><p>𝑓𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒</p><p>= 𝐷𝑥,𝑓𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝛥𝑦𝛥𝑧 = (𝐷𝑥0 +</p><p>𝛥𝑥</p><p>2</p><p>𝜕𝐷𝑥</p><p>𝜕𝑥</p><p>)𝛥𝑦𝛥𝑧</p><p>Consideremos agora a integral sobre a superfície posterior,</p><p>∫</p><p>𝑎𝑡𝑟á𝑠</p><p>= �⃗⃗⃗�𝑎𝑡𝑟á𝑠 ∙ 𝛥𝑆𝑎𝑡𝑟á𝑠 = �⃗⃗⃗�𝑎𝑡𝑟á𝑠 ∙ (𝛥𝑦𝛥𝑧)(−�̂�𝑥) =</p><p>= (𝐷𝑥,𝑎𝑡𝑟á𝑠 �̂�𝑥 + 𝐷𝑦,𝑎𝑡𝑟á𝑠 �̂�𝑦 + 𝐷𝑧,𝑎𝑡𝑟á𝑠 �̂�𝑧) ∙ (−𝛥𝑦𝛥𝑧 �̂�𝑥) =</p><p>= −𝐷𝑥,𝑎𝑡𝑟á𝑠 𝛥𝑦𝛥𝑧</p><p>e, fazendo-se novamente uma aproximação,</p><p>𝐷𝑥,𝑎𝑡𝑟á𝑠 = 𝐷𝑥0 −</p><p>𝛥𝑥</p><p>2</p><p>𝜕𝐷𝑥</p><p>𝜕𝑥</p><p>resultando</p><p>∫</p><p>𝑎𝑡𝑟á𝑠</p><p>= −𝐷𝑥,𝑎𝑡𝑟á𝑠 𝛥𝑦𝛥𝑧 = −(𝐷𝑥0 −</p><p>𝛥𝑥</p><p>2</p><p>𝜕𝐷𝑥</p><p>𝜕𝑥</p><p>)𝛥𝑦𝛥𝑧 = (−𝐷𝑥0 +</p><p>𝛥𝑥</p><p>2</p><p>𝜕𝐷𝑥</p><p>𝜕𝑥</p><p>)𝛥𝑦𝛥𝑧</p><p>Se combinarmos estas duas integrais, temos</p><p>∫</p><p>𝑓𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒</p><p>+ ∫</p><p>𝑎𝑡𝑟á𝑠</p><p>= (𝐷𝑥0 +</p><p>𝛥𝑥</p><p>2</p><p>𝜕𝐷𝑥</p><p>𝜕𝑥</p><p>)𝛥𝑦𝛥𝑧 + (−𝐷𝑥0 +</p><p>𝛥𝑥</p><p>2</p><p>𝜕𝐷𝑥</p><p>𝜕𝑥</p><p>)𝛥𝑦𝛥𝑧 =</p><p>=</p><p>𝜕𝐷𝑥</p><p>𝜕𝑥</p><p>𝛥𝑥𝛥𝑦𝛥𝑧</p><p>Usando-se exatamente este mesmo procedimento, encontramos que</p><p>∫</p><p>𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎</p><p>+ ∫</p><p>𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎</p><p>=</p><p>𝜕𝐷𝑦</p><p>𝜕𝑦</p><p>𝛥𝑥𝛥𝑦𝛥𝑧</p><p>∫</p><p>𝑡𝑜𝑝𝑜</p><p>+ ∫</p><p>𝑏𝑎𝑠𝑒</p><p>=</p><p>𝜕𝐷𝑧</p><p>𝜕𝑧</p><p>𝛥𝑥𝛥𝑦𝛥𝑧</p><p>Sendo 𝛥𝑥𝛥𝑦𝛥𝑧 = 𝛥𝑣, podemos escrever:</p><p>∮ �⃗⃗⃗�𝑆 ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>= 𝑄 = (</p><p>𝜕𝐷𝑥</p><p>𝜕𝑥</p><p>+</p><p>𝜕𝐷𝑦</p><p>𝜕𝑦</p><p>+</p><p>𝜕𝐷𝑧</p><p>𝜕𝑧</p><p>)𝛥𝑣</p><p>A expressão é uma aproximação que se torna melhor à medida que 𝛥𝑣 se torna menor.</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>42</p><p>3.5 Divergência</p><p>No subitem anterior, encontramos que</p><p>∮ �⃗⃗⃗�𝑆 ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>= 𝑄 = (</p><p>𝜕𝐷𝑥</p><p>𝜕𝑥</p><p>+</p><p>𝜕𝐷𝑦</p><p>𝜕𝑦</p><p>+</p><p>𝜕𝐷𝑧</p><p>𝜕𝑧</p><p>)𝛥𝑣</p><p>Obteremos agora a relação exata desta equação, permitindo que o elemento de volume 𝛥𝑣</p><p>tenda a zero. Para tanto, escreveremos esta equação como</p><p>(</p><p>𝜕𝐷𝑥</p><p>𝜕𝑥</p><p>+</p><p>𝜕𝐷𝑦</p><p>𝜕𝑦</p><p>+</p><p>𝜕𝐷𝑧</p><p>𝜕𝑧</p><p>) =</p><p>∮ �⃗⃗⃗�𝑆 ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>𝛥𝑣</p><p>=</p><p>𝑄</p><p>𝛥𝑣</p><p>Pode-se, assim, fazer um limite tal qual</p><p>(</p><p>𝜕𝐷𝑥</p><p>𝜕𝑥</p><p>+</p><p>𝜕𝐷𝑦</p><p>𝜕𝑦</p><p>+</p><p>𝜕𝐷𝑧</p><p>𝜕𝑧</p><p>) = lim</p><p>𝛥𝑣→0</p><p>(</p><p>∮ �⃗⃗⃗�𝑆 ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>𝛥𝑣</p><p>) = lim</p><p>𝛥𝑣→0</p><p>(</p><p>𝑄</p><p>𝛥𝑣</p><p>)</p><p>sendo que este último termo representa a densidade volumétrica de carga 𝜌𝑣, portanto</p><p>(</p><p>𝜕𝐷𝑥</p><p>𝜕𝑥</p><p>+</p><p>𝜕𝐷𝑦</p><p>𝜕𝑦</p><p>+</p><p>𝜕𝐷𝑧</p><p>𝜕𝑧</p><p>) = lim</p><p>𝛥𝑣→0</p><p>(</p><p>∮ �⃗⃗⃗�𝑆 ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>𝛥𝑣</p><p>) = 𝜌𝑣</p><p>Por enquanto, trabalhemos somente com a primeira igualdade da expressão, ou seja,</p><p>(</p><p>𝜕𝐷𝑥</p><p>𝜕𝑥</p><p>+</p><p>𝜕𝐷𝑦</p><p>𝜕𝑦</p><p>+</p><p>𝜕𝐷𝑧</p><p>𝜕𝑧</p><p>) = lim</p><p>𝛥𝑣→0</p><p>(</p><p>∮ �⃗⃗⃗�𝑆 ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>𝛥𝑣</p><p>)</p><p>pois a equação que relaciona a densidade volumétrica será tratada na próxima seção.</p><p>A expressão anterior envolve a densidade de fluxo elétrico �⃗⃗⃗�𝑆, porém a mesma poderia ser</p><p>representativa de qualquer outro campo vetorial genericamente representado pela letra 𝐴</p><p>(velocidade, aceleração, força, etc.). Podendo-se reescrevê-la como</p><p>(</p><p>𝜕𝐴𝑥</p><p>𝜕𝑥</p><p>+</p><p>𝜕𝐴𝑦</p><p>𝜕𝑦</p><p>+</p><p>𝜕𝐴𝑧</p><p>𝜕𝑧</p><p>) = lim</p><p>𝛥𝑣→0</p><p>(</p><p>∮ 𝐴 ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>𝛥𝑣</p><p>)</p><p>Esta operação apareceu tantas vezes em investigações físicas passadas que recebeu um nome</p><p>descritivo, divergência. A divergência de 𝐴 é definida como</p><p>𝐷𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝐴 = 𝑑𝑖𝑣 𝐴 = lim</p><p>𝛥𝑣→0</p><p>(</p><p>∮ 𝐴 ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>𝛥𝑣</p><p>)</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>43</p><p>e é usualmente abreviada por 𝑑𝑖𝑣 𝐴. Este vetor 𝐴 é membro da família dos vetores densidade de fluxo.</p><p>A seguinte interpretação física é válida:</p><p>“A divergência do vetor densidade de fluxo �⃗⃗⃗� é a descarga de fluxo em uma pequena</p><p>superfície fechada por unidade de volume à medida que o volume tende a zero.”</p><p>Por exemplo, consideremos a divergência da velocidade da água em uma banheira após</p><p>termos aberto o dreno. O fluxo líquido de água através de qualquer superfície fechada situada</p><p>inteiramente dentro da água deve ser igual a zero, pois a água é essencialmente incompressível e,</p><p>conseqüentemente, a água que entra e sai de diferentes regiões da superfície fechada deve ser igual.</p><p>Portanto a divergência desta velocidade é zero.</p><p>Entretanto, se considerarmos agora a velocidade do ar em um pneu que acabou de ser furado</p><p>por um prego, percebemos que o ar se expande à medida que a pressão cai e que, conseqüentemente,</p><p>há um fluxo líquido em qualquer superfície fechada situada dentro do pneu. A divergência desta</p><p>velocidade é, portanto, maior que zero. Já na operação de enchimento do pneu, o fluxo líquido em</p><p>qualquer superfície fechada situada dentro do mesmo terá de sentido oposto ao do procedimento</p><p>anterior.</p><p>Uma divergência positiva de qualquer grandeza vetorial indica uma fonte desta grandeza</p><p>vetorial naquele ponto. De forma semelhante, uma divergência negativa indica um sorvedouro</p><p>(sumidouro). Como a divergência da velocidade da água acima é zero, não existe fonte nem</p><p>sorvedouro.</p><p>A divergência para o nosso caso específico da densidade de fluxo elétrico será</p><p>𝑑𝑖𝑣 �⃗⃗⃗� = (</p><p>𝜕𝐷𝑥</p><p>𝜕𝑥</p><p>+</p><p>𝜕𝐷𝑦</p><p>𝜕𝑦</p><p>+</p><p>𝜕𝐷𝑧</p><p>𝜕𝑧</p><p>) 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑖𝑎𝑛𝑎𝑠</p><p>Esta expressão está representada em coordenadas cartesianas. Caso desejássemos escrevê-la</p><p>em coordenadas cilíndricas ou esféricas, as mesmas ficariam como se segue.</p><p>𝑑𝑖𝑣 �⃗⃗⃗� = (</p><p>1</p><p>𝜌</p><p>𝜕</p><p>𝜕𝜌</p><p>(𝜌𝐷𝜌) +</p><p>1</p><p>𝜌</p><p>𝜕𝐷𝜙</p><p>𝜕𝜙</p><p>+</p><p>𝜕𝐷𝑧</p><p>𝜕𝑧</p><p>) 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑐𝑖𝑙í𝑛𝑑𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠</p><p>𝑑𝑖𝑣 �⃗⃗⃗� = (</p><p>1</p><p>𝑟2</p><p>𝜕</p><p>𝜕𝑟</p><p>(𝑟2𝐷𝑟) +</p><p>1</p><p>𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃</p><p>𝜕</p><p>𝜕𝜃</p><p>(𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐷𝜃) +</p><p>1</p><p>𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃</p><p>𝜕𝐷𝜙</p><p>𝜕𝜙</p><p>) 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑒𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠</p><p>A divergência é uma operação que resulta em um escalar, ou seja, a divergência meramente</p><p>nos diz quanto fluxo está deixando um pequeno volume em termos de “por unidade de volume”,</p><p>nenhuma direção está associada a ela.</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>44</p><p>3.6 O Operador Vetorial �⃗⃗⃗� (Nabla)</p><p>Definimos o operador nabla �⃗⃗� como sendo um operador vetorial, representado pela</p><p>expressão:</p><p>�⃗⃗� =</p><p>𝜕</p><p>𝜕𝑥</p><p>�̂�𝑥 +</p><p>𝜕</p><p>𝜕𝑦</p><p>�̂�𝑦 +</p><p>𝜕</p><p>𝜕𝑧</p><p>�̂�𝑧</p><p>Consideremos o produto escalar dos vetores �⃗⃗� e �⃗⃗⃗�,</p><p>�⃗⃗� ∙ �⃗⃗⃗� = (</p><p>𝜕</p><p>𝜕𝑥</p><p>�̂�𝑥 +</p><p>𝜕</p><p>𝜕𝑦</p><p>�̂�𝑦 +</p><p>𝜕</p><p>𝜕𝑧</p><p>�̂�𝑧) ∙ (𝐷𝑥�̂�𝑥 + 𝐷𝑦�̂�𝑦 + 𝐷𝑧�̂�𝑧)</p><p>�⃗⃗� ∙ �⃗⃗⃗� =</p><p>𝜕𝐷𝑥</p><p>𝜕𝑥</p><p>+</p><p>𝜕𝐷𝑦</p><p>𝜕𝑦</p><p>+</p><p>𝜕𝐷𝑧</p><p>𝜕𝑧</p><p>Isto é reconhecido como a divergência de �⃗⃗⃗�, ou seja,</p><p>�⃗⃗� ∙ �⃗⃗⃗� = 𝑑𝑖𝑣 �⃗⃗⃗�</p><p>O uso de �⃗⃗� ∙ �⃗⃗⃗� é muito mais comum que 𝑑𝑖𝑣 �⃗⃗⃗�. A partir de agora, usaremos a notação �⃗⃗� ∙ �⃗⃗⃗�</p><p>para indicar a operação de divergência.</p><p>O operador �⃗⃗� não possui uma forma específica em outros sistemas de coordenadas. Se</p><p>considerarmos �⃗⃗⃗� em coordenadas cilíndricas ou esféricas, então �⃗⃗� ∙ �⃗⃗⃗� ainda indica a divergência de �⃗⃗⃗�,</p><p>conforme as expressões já definidas anteriormente, porém não temos uma fórmula para �⃗⃗� em si</p><p>nestes sistemas de coordenadas.</p><p>3.7 Primeira Equação de Maxwell (Eletrostática)</p><p>As expressões desenvolvidas para a divergência são as seguintes</p><p>�⃗⃗� ∙ �⃗⃗⃗� = lim</p><p>𝛥𝑣→0</p><p>(</p><p>∮ �⃗⃗⃗�𝑆 ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>𝛥𝑣</p><p>)</p><p>�⃗⃗� ∙ �⃗⃗⃗� =</p><p>𝜕𝐷𝑥</p><p>𝜕𝑥</p><p>+</p><p>𝜕𝐷𝑦</p><p>𝜕𝑦</p><p>+</p><p>𝜕𝐷𝑧</p><p>𝜕𝑧</p><p>�⃗⃗� ∙ �⃗⃗⃗� = 𝜌𝑣</p><p>A primeira equação é a definição da divergência; a segunda é o resultado da aplicação da</p><p>definição a um elemento diferencial de volume em coordenadas cartesianas; e a terceira é meramente</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>45</p><p>escrita usando-se de desenvolvimento</p><p>matemático. Esta última equação é um resultado do seguinte</p><p>desenvolvimento</p><p>∮ �⃗⃗⃗�𝑆 ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>= 𝑄 (𝐿𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠)</p><p>∮ �⃗⃗⃗�𝑆 ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>𝛥𝑣</p><p>=</p><p>𝑄</p><p>𝛥𝑣</p><p>lim</p><p>𝛥𝑣→0</p><p>(</p><p>∮ �⃗⃗⃗�𝑆 ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>𝛥𝑣</p><p>) = lim</p><p>𝛥𝑣→0</p><p>(</p><p>𝑄</p><p>𝛥𝑣</p><p>)</p><p>�⃗⃗� ∙ �⃗⃗⃗� = 𝜌𝑣</p><p>Esta é a primeira das quatro equações de Maxwell. Ela estabelece que o fluxo elétrico por</p><p>unidade de volume que deixa uma unidade de volume infinitesimal é exatamente igual à sua densidade</p><p>volumétrica de carga. A primeira equação de Maxwell é também descrita como a forma diferencial da</p><p>lei de Gauss. De modo recíproco, a lei de Gauss é reconhecida como a forma integral da primeira</p><p>equação de Maxwell.</p><p>A operação divergência não é limitada à densidade de fluxo elétrico, ela pode ser aplicada a</p><p>qualquer campo vetorial de densidade de fluxo.</p><p>3.8 Teorema da Divergência</p><p>O teorema da divergência se aplica a qualquer campo vetorial para o qual existe a derivada</p><p>parcial apropriada. Partindo da lei de Gauss,</p><p>∮ �⃗⃗⃗� ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>= 𝑄</p><p>e considerando</p><p>𝑄 = ∫ 𝜌𝑣 𝑑𝑣</p><p>𝑣𝑜𝑙.</p><p>e então substituindo 𝜌𝑣 por sua igualdade,</p><p>�⃗⃗� ∙ �⃗⃗⃗� = 𝜌𝑣</p><p>temos então</p><p>∮ �⃗⃗⃗� ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>= 𝑄 = ∫ 𝜌𝑣 𝑑𝑣</p><p>𝑣𝑜𝑙.</p><p>= ∫ �⃗⃗� ∙ �⃗⃗⃗� 𝑑𝑣</p><p>𝑣𝑜𝑙.</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>46</p><p>A primeira e a última expressão constituem o teorema da divergência,</p><p>∮ �⃗⃗⃗� ∙ 𝑑𝑆</p><p>𝑆</p><p>= ∫ �⃗⃗� ∙ �⃗⃗⃗� 𝑑𝑣</p><p>𝑣𝑜𝑙.</p><p>que pode ser escrito como se segue:</p><p>“A integral da componente normal de qualquer campo vetorial sobre uma superfície fechada</p><p>é igual à integral da divergência deste campo vetorial através do volume limitado por esta</p><p>superfície fechada.”</p><p>Novamente, enfatizamos que o teorema da divergência é verdadeiro para qualquer campo</p><p>vetorial. Sua vantagem advém do fato de que ele relaciona uma tripla integração através de algum</p><p>volume com uma dupla integração sobre a superfície daquele volume.</p><p>O teorema da divergência se torna óbvio fisicamente se considerarmos o volume, tal qual</p><p>apresentado na figura acima, dividido em inúmeros pequenos compartimentos de tamanho</p><p>diferencial. A consideração de uma dessas células mostra que o fluxo que diverge desta célula entra,</p><p>ou converge, para as células adjacentes, a menos que estas contenham uma porção de superfície</p><p>externa. Em resumo, a divergência da densidade de fluxo através de um volume leva, então, ao mesmo</p><p>resultado que o determinado pelo fluxo líquido que atravessa a superfície fechada.</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>47</p><p>4 – ENERGIA POTENCIAL E POTENCIAL ELÉTRICO</p><p>4.1 Trabalho Empregado no Movimento de uma Carga no Interior</p><p>de um Campo Elétrico</p><p>Se tentarmos movimentar uma carga de teste contra o campo elétrico, deveremos exercer</p><p>uma força de igual módulo e sentido contrário àquela exercida pela força proveniente do campo, e</p><p>isto requer dispêndio de energia ou trabalho. Já se tentarmos movimentar a carga na direção do</p><p>campo, nosso dispêndio de energia torna-se-á negativo; não realizaremos trabalho, o campo é que</p><p>realizará.</p><p>A força aplicada à carga 𝑄 devido a existência de um campo elétrico �⃗⃗� é</p><p>�⃗�𝐸 = 𝑄�⃗⃗�</p><p>A componente desta força numa direção 𝑑�⃗⃗� qualquer é</p><p>𝐹𝐸𝐿 = �⃗�𝐸 ∙ �̂�𝐿 = 𝑄�⃗⃗� ∙ �̂�𝐿</p><p>onde �̂�𝐿 é o vetor unitário da direção de 𝑑�⃗⃗�.</p><p>A força que deve ser aplicada por um agente externo para deslocar a carga é de módulo igual</p><p>e sentido oposto, ou seja,</p><p>𝐹𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 = −𝑄�⃗⃗� ∙ �̂�𝐿</p><p>Já o dispêndio de energia será dado pelo produto da força aplicada pela distância de</p><p>deslocamento. Pode-se então escrever que o trabalho diferencial realizado por um agente externo</p><p>deslocando 𝑄 ao longo da direção �̂�𝐿 é</p><p>𝑑𝑊 = (−𝑄�⃗⃗� ∙ �̂�𝐿)𝑑𝐿 = −𝑄�⃗⃗� ∙ �̂�𝐿𝑑𝐿 = −𝑄�⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗�</p><p>onde substituímos �̂�𝐿𝑑𝐿 pela expressão mais simples 𝑑�⃗⃗�.</p><p>O trabalho necessário para deslocar a carga de uma distância finita deve ser determinado pela</p><p>integração</p><p>𝑊 = −𝑄∫ �⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗�</p><p>𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙</p><p>𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙</p><p>onde o caminho deve ser especificado antes que a integral seja calculada. Considera-se, para tanto,</p><p>que a carga está parada nas posições inicial e final.</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>48</p><p>4.2 Integral de Linha</p><p>A expressão da integral para o trabalho é um exemplo de integral de linha, a qual, sempre</p><p>assume a forma da integral ao longo de um caminho prescrito do produto escalar entre o campo</p><p>vetorial e o vetor comprimento diferencial, qual seja:</p><p>𝑊 = −𝑄∫ �⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗�</p><p>𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙</p><p>𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙</p><p>O procedimento da integral de linha está indicado na figura abaixo, onde foi escolhido um</p><p>caminho a partir da posição inicial 𝐵 até a posição final 𝐴 e selecionado um campo elétrico uniforme.</p><p>O caminho está dividido em seis segmentos.</p><p>O trabalho envolvido no deslocamento da carga 𝑄 de 𝐵 para 𝐴 é, então, aproximadamente</p><p>𝑊 = −𝑄(�⃗⃗�1 ∙ ∆�⃗⃗�1 + �⃗⃗�2 ∙ ∆�⃗⃗�2 + ⋯+ �⃗⃗�6 ∙ ∆�⃗⃗�6)</p><p>e, como admitimos um campo uniforme</p><p>𝑊 = −𝑄�⃗⃗� ∙ (∆�⃗⃗�1 + ∆�⃗⃗�2 + ⋯+ ∆�⃗⃗�6)</p><p>A soma dos segmentos dos vetores pode ser realizada pela regra do paralelogramo, resultando</p><p>justamente em um vetor dirigido do ponto inicial para o ponto final, �⃗⃗�𝐵𝐴. Portanto,</p><p>𝑊 = −𝑄�⃗⃗� ∙ �⃗⃗�𝐵𝐴 (�⃗⃗� 𝑢𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒)</p><p>Para este caso especial de uma intensidade de campo elétrico uniforme, devemos notar que o</p><p>trabalho envolvido no deslocamento da carga depende somente de 𝑄, �⃗⃗� e �⃗⃗�𝐵𝐴. Ele não depende do</p><p>caminho escolhido para deslocar a carga, ou seja, pode-se ir de 𝐵 para 𝐴 em uma linha reta ou por um</p><p>caminho tortuoso que a resposta será a mesma.</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>49</p><p>Note que a expressão de 𝑑�⃗⃗� utiliza dos vetores de comprimentos diferenciais, os quais</p><p>encontram-se destacado a seguir.</p><p>𝑑�⃗⃗� = 𝑑𝑥 �̂�𝑥 + 𝑑𝑦 �̂�𝑦 + 𝑑𝑧 �̂�𝑧 (𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑖𝑎𝑛𝑎𝑠)</p><p>𝑑�⃗⃗� = 𝑑𝜌 �̂�𝜌 + 𝜌 𝑑𝜙 �̂�𝜙 + 𝑑𝑧 �̂�𝑧 (𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑐𝑖𝑙í𝑛𝑑𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠)</p><p>𝑑�⃗⃗� = 𝑑𝑟 �̂�𝑟 + 𝑟 𝑑𝜃 �̂�𝜃 + 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜙 �̂�𝜙 (𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑒𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠)</p><p>Para ilustrar o cálculo da integral de linha, investigaremos os diversos caminhos que devemos</p><p>considerar próximos a uma linha infinita de cargas, conforme figura a seguir.</p><p>O campo já foi obtido anteriormente e é inteiramente na direção radial,</p><p>�⃗⃗� = 𝐸𝜌�̂�𝜌 =</p><p>𝜌𝐿</p><p>2𝜋𝜀0𝜌</p><p>�̂�𝜌</p><p>Deslocando-se uma carga positiva em torno de um caminho circular de raio 𝜌1 , conforme</p><p>figura (a), tem-se 𝑑�⃗⃗� = 𝜌1𝑑𝜙 �̂�𝜙, o trabalho será:</p><p>𝑊 = −𝑄∫ �⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗�</p><p>𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙</p><p>𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙</p><p>= −𝑄 ∫</p><p>𝜌𝐿</p><p>2𝜋𝜀0𝜌</p><p>�̂�𝜌 ∙ 𝜌1𝑑𝜙 �̂�𝜙</p><p>2𝜋</p><p>0</p><p>= 0</p><p>Considerando-se agora um deslocamento da carga de 𝜌 = 𝑏 para 𝜌 = 𝑎 ao longo do caminho</p><p>radial, de acordo com figura (b) acima (sentido contrário do indicado na figura). Aqui, 𝑑�⃗⃗� = 𝑑𝜌 �̂�𝜌 e</p><p>𝑊 = −𝑄 ∫</p><p>𝜌𝐿</p><p>2𝜋𝜀0𝜌</p><p>�̂�𝜌 ∙ 𝑑𝜌 �̂�𝜌</p><p>𝜌𝑎</p><p>𝜌𝑏</p><p>= −𝑄 ∫</p><p>𝜌𝐿</p><p>2𝜋𝜀0</p><p>𝑑𝜌</p><p>𝜌</p><p>𝜌𝑎</p><p>𝜌𝑏</p><p>= −</p><p>𝑄𝜌𝐿</p><p>2𝜋𝜀0</p><p>ln</p><p>𝜌𝑎</p><p>𝜌𝑏</p><p>𝑊 =</p><p>𝑄𝜌𝐿</p><p>2𝜋𝜀0</p><p>ln</p><p>𝜌𝑏</p><p>𝜌𝑎</p><p>Como 𝜌𝑏 é maior do que 𝜌𝑎, percebe-se que o trabalho realizado é positivo, indicando que a</p><p>fonte externa (ou agente externo), que está deslocando a carga, fornece energia.</p><p>Poderíamos também efetuar o cálculo na direção �̂�𝑧 a partir de uma posição inicial 0 até uma</p><p>altura 𝐿 qualquer, o que resulta em</p><p>Universidade Federal de Uberlândia</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica</p><p>Eletromagnetismo</p><p>Prof. Ivan Nunes Santos</p><p>50</p><p>𝑊 = −𝑄 ∫ �⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗�</p><p>𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙</p><p>𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙</p><p>= −𝑄∫</p><p>𝜌𝐿</p><p>2𝜋𝜀0𝜌</p><p>�̂�𝜌 ∙ 𝑑𝑧 �̂�𝑧</p><p>𝐿</p><p>0</p><p>= 0</p><p>O que resultaria, mais uma vez, em um valor</p>