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<p>Universidade Federal de Uberlândia - UFU</p><p>Faculdade de Engenharia Elétrica - FEELT</p><p>Apostila de Conceitos TeóricosApostila de Conceitos TeóricosApostila de Conceitos TeóricosApostila de Conceitos Teóricos</p><p>e Exercícios Propostose Exercícios Propostose Exercícios Propostose Exercícios Propostos</p><p>Curso de Graduação</p><p>Prof. Dr. Geraldo Caixeta GuimarãesProf. Dr. Geraldo Caixeta GuimarãesProf. Dr. Geraldo Caixeta GuimarãesProf. Dr. Geraldo Caixeta Guimarães</p><p>Versão 2010</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>SSUUMMÁÁRRIIOO i</p><p>SUMÁRIO</p><p>INTRODUÇÃO GERAL iii</p><p>FORMULÁRIO GERAL v</p><p>Capítulo I – ANÁLISE VETORIAL 01</p><p>1.1 – CONCEITOS GERAIS 01</p><p>1.2 – O PRODUTO ESCALAR (OU PRODUTO INTERNO) 01</p><p>1.3 – O PRODUTO VETORIAL (OU PRODUTO EXTERNO) 02</p><p>1.4 – SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS, CILÍNDRICAS E ESFÉRICAS 03</p><p>1.4.1 – Representação de um ponto nos 3 sistemas de coordenadas 03</p><p>1.4.2 – Transformações entre os 3 sistemas de coordenadas 04</p><p>1.4.3 – Vetores unitários nos 3 sistemas de coordenadas 04</p><p>1.4.4 – Produtos escalares entre vetores unitários nos 3 sistemas de coordenadas 04</p><p>1.4.5 – Elementos diferenciais de linha, área e volume nos 3 sistemas de coordenadas 05</p><p>1.5 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 06</p><p>Capítulo II – LEI DE COULOMB E INTENSIDADE DE CAMPO ELÉTRICO 09</p><p>2.1 – LEI DE COULOMB 09</p><p>2.2 – INTENSIDADE DE CAMPO ELÉTRICO 09</p><p>2.3 – CAMPO ELÉTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO VOLUMÉTRICA CONTÍNUA DE CARGAS 10</p><p>2.4 – CAMPO ELÉTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO LINEAR CONTÍNUA DE CARGAS 10</p><p>2.5 – CAMPO ELÉTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO SUPERFICIAL CONTÍNUA DE CARGAS 11</p><p>2.6 – LINHA DE FORÇA E ESBOÇO DE CAMPO 12</p><p>2.7 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 13</p><p>Capítulo III – DENSIDADE DE FLUXO ELÉTRICO, LEI DE GAUSS E DIVERGÊNCIA 15</p><p>3.1 – DENSIDADE DE FLUXO ELÉTRICO ( D ) 15</p><p>3.2 – A LEI DE GAUSS 15</p><p>3.3 – APLICAÇÃO DA LEI DE GAUSS – GAUSSIANA 15</p><p>3.4 – DIVERGÊNCIA 17</p><p>3.5 – TEOREMA DA DIVERGÊNCIA 18</p><p>3.6 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 19</p><p>Capítulo IV – ENERGIA E POTENCIAL 21</p><p>4.1 – ENERGIA (TRABALHO) PARA MOVER UMA CARGA PONTUAL EM UM CAMPO ELÉTRICO 21</p><p>4.2 – DEFINIÇÃO DE DIFERENÇA DE POTENCIAL (VAB) E POTENCIAL (V) 21</p><p>4.3 – O POTENCIAL DE UMA CARGA PONTUAL 21</p><p>4.4 – O POTENCIAL DE UM SISTEMA DE CARGAS DISTRIBUÍDAS 22</p><p>4.4.1 – VAB de uma reta ∞ com ρL constante 22</p><p>4.4.2 – VAB de um plano ∞ com ρs constante 22</p><p>4.5 – GRADIENTE DO POTENCIAL ( V∇ ) 23</p><p>4.6 – O DIPOLO ELÉTRICO 24</p><p>4.7 – ENERGIA NO CAMPO ELETROSTÁTICO 25</p><p>4.7.1 – Energia (trabalho) para uma distribuição discreta de cargas 25</p><p>4.7.2 – Energia (trabalho) para uma distribuição contínua de carga 25</p><p>4.8 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 26</p><p>Capítulo V – CONDUTORES, DIELÉTRICOS E CAPACITÂNCIA 29</p><p>5.1 – CORRENTE (I) E DENSIDADE DE CORRENTE ( J ) 29</p><p>5.2 – CONTINUIDADE DA CORRENTE 30</p><p>5.3 – CONDUTORES METÁLICOS – RESISTÊNCIA (R) 30</p><p>5.4 – O MÉTODO DAS IMAGENS 31</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>SSUUMMÁÁRRIIOO ii</p><p>5.5 – A NATUREZA DOS MATERIAIS DIELÉTRICOS – POLARIZAÇÃO (P) 32</p><p>5.6 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA MATERIAIS DIELÉTRICOS PERFEITOS 33</p><p>5.7 – CAPACITÂNCIA 34</p><p>5.8 – EXEMPLOS DE CÁLCULO DE CAPACITÂNCIA 34</p><p>5.9 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 39</p><p>Capítulo VI – EQUAÇÕES DE POISSON E DE LAPLACE 45</p><p>6.1 – IMPORTÂNCIA DAS EQUAÇÕES DE POISSON E LAPLACE 45</p><p>6.1.1 – Equação de Poisson 45</p><p>6.1.2 – Equação de Laplace 45</p><p>6.2 – TEOREMA DA UNICIDADE 46</p><p>6.3 – EXEMPLOS DE SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE LAPLACE 46</p><p>6.4 – EXEMPLO DE SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE POISSON 50</p><p>6.5 – SOLUÇÃO PRODUTO DA EQUAÇÃO DE LAPLACE 51</p><p>6.6 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 54</p><p>Capítulo VII – CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO 59</p><p>7.1 – LEI DE BIOT-SAVART 59</p><p>7.2 – LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE (CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO) 59</p><p>7.3 – ROTACIONAL 62</p><p>7.4 – TEOREMA DE STOKES 64</p><p>7.5 – FLUXO MAGNÉTICO (Φ) E DENSIDADE DE FLUXO MAGNÉTICO ( B</p><p>�</p><p>) 64</p><p>7.6 – POTENCIAIS ESCALAR E VETOR MAGNÉTICOS 65</p><p>7.7 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 67</p><p>Capítulo VIII – FORÇAS E CIRCUITOS MAGNÉTICOS, MATERIAIS E</p><p>INDUTÂNCIA 71</p><p>8.1 – FORÇA SOBRE UMA CARGA EM MOVIMENTO 71</p><p>8.2 – FORÇA SOBRE UM ELEMENTO DIFERENCIAL DE CORRENTE 71</p><p>8.3 – FORÇA ENTRE ELEMENTOS DIFERENCIAIS DE CORRENTE 72</p><p>8.4 – TORQUE EM UMA ESPIRA INFINITESIMAL PLANA 72</p><p>8.5 – A NATUREZA DOS MATERIAIS MAGNÉTICOS 73</p><p>8.6 – MAGNETIZAÇÃO E PERMEABILIDADE MAGNÉTICA 73</p><p>8.7 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA O CAMPO MAGNÉTICO 74</p><p>8.8 – CIRCUITO MAGNÉTICO 75</p><p>8.9 – ENERGIA DE UM CAMPO MAGNETOSTÁTICO 77</p><p>8.10 – AUTO-INDUTÂNCIA E INDUTÂNCIA MÚTUA 77</p><p>8.11 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 80</p><p>Capítulo IX – CAMPOS VARIÁVEIS NO TEMPO E AS EQUAÇÕES DE MAXWELL 85</p><p>9.1 – A LEI DE FARADAY 85</p><p>9.1.1 – Fem devido a um campo que varia dentro de um caminho fechado estacionário 86</p><p>9.1.2 – Fem devido a um campo estacionário e um caminho móvel 87</p><p>9.1.3 – Fem total devido a um campo variável e um caminho móvel 88</p><p>9.2 – CORRENTE DE DESLOCAMENTO 88</p><p>9.3 – EQUAÇÕES DE MAXWELL EM FORMA PONTUAL OU DIFERENCIAL 90</p><p>9.4 – EQUAÇÕES DE MAXWELL EM FORMA INTEGRAL 90</p><p>9.5 – EXEMPLOS DE CÁLCULO DA INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA 91</p><p>9.6 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 94</p><p>REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 99</p><p>Anexo I – SOLUÇÃO DE EQUAÇÃO DIFERENCIAL POR SÉRIE INFINITA DE</p><p>POTÊNCIAS 100</p><p>Anexo II – CURVAS B-H DE VÁRIOS MATERIAIS FERROMAGNÉTICOS 102</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>IINNTTRROODDUUÇÇÃÃOO GGEERRAALL iii</p><p>INTRODUÇÃO GERAL</p><p>Importância do Curso de Eletromagnetismo</p><p>Este curso deve ser encarado com bastante seriedade devido sua indiscutível importância</p><p>no currículo de Engenharia. Para facilitar a aprendizagem, ele é iniciado apresentando os</p><p>fundamentos matemáticos necessários para então considerar os aspectos físicos da disciplina. A</p><p>teoria básica dos campos elétricos, da densidade de fluxo elétrico, a Lei de Gauss, os potenciais e</p><p>correntes elétricas, todos da Eletrostática e Eletrodinâmica, são apresentados em seqüência até</p><p>se chegar nas formulações da Equações de Poisson e Laplace. Já dentro do Magnetismo,</p><p>considera-se primeiramente a teoria básica dos campos magnéticos, abordando importantes</p><p>princípios como a Lei de Biot-Savart e a Lei Circuital de Ampère. Vários conceitos do</p><p>Eletromagnetismo são então introduzidos, culminando com o estudo dos campos baseados nas</p><p>equações de Maxwell, o qual justifica as aproximações que conduzem a teoria de circuitos</p><p>elétricos. Todos os conceitos aqui apresentados devem formar a base para a construção de novos</p><p>alicerces de conhecimento, como aqueles relacionados às disciplinas que tratam de máquinas</p><p>elétricas, aterramentos elétricos, linhas de transmissão, propagação de ondas, antenas, etc.</p><p>Metodologia Adotada</p><p>• O curso foi esquematizado da forma mais simples possível para ser ministrado através de</p><p>aulas expositivas, com diálogos, discussões, demonstrações, incluindo soluções de exercícios,</p><p>e, sempre que possível, com interpretação e aplicação prática de cada resultado.</p><p>• O conteúdo programático do curso é disposto de tal maneira que os assuntos mais difíceis são</p><p>abordados no seu final, sendo os capítulos colocados numa forma seqüencial e lógica para</p><p>auxiliar a aprendizagem.</p><p>• Além dos livros indicados abaixo foi preparada esta apostila, intitulada Conceitos Teóricos e</p><p>Exercícios Propostos de Eletromagnetismo, a qual tem o objetivo de servir de roteiro de</p><p>aulas teóricas e fonte suplementar de exercícios, reduzindo o tempo utilizado na exposição de</p><p>assuntos e transcrição de enunciados de exercícios no quadro, permitindo assim que mais</p><p>tempo seja dedicado a explicação e aplicação prática de conceitos da disciplina.</p><p>• Uma outra apostila de Exercícios Resolvidos de Eletromagnetismo também foi preparada,</p><p>contendo numerosos exemplos numéricos e literais de cada capítulo do programa, visando</p><p>com isto facilitar o entendimento e a auto-aprendizagem do aluno.</p><p>• Vários recursos didáticos poderão ser empregados no curso como:</p><p>esférica no espaço livre, definida por r = 4 cm, contém uma densidade</p><p>superficial de carga de 20 [µC/m2]. Determinar o valor do raio rA,, em centímetros, se a região</p><p>compreendida entre as esferas de raios r = 6 cm e r = rA contém exatamente 1 mJ de energia.</p><p>Resposta: rA = 6,54 [cm].</p><p>4.6) O campo potencial no vácuo é expresso por V = k/ρ.</p><p>a) Determinar a quantidade de carga na região cilíndrica a < ρ < b e 0 < z < 1.</p><p>b) Determinar a energia armazenada na região cilíndrica a < ρ < b e 0 < z < 1.</p><p>Respostas: a) </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−⋅=</p><p>ab</p><p>11</p><p>k2Q oπε ; b) </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−⋅=</p><p>22</p><p>2</p><p>oE</p><p>11</p><p>k</p><p>2</p><p>1</p><p>W</p><p>ba</p><p>πε .</p><p>4.7) Uma linha de cargas uniforme de 2 m de comprimento com carga total de 3 nC está situada</p><p>sobre o eixo z com o ponto central da linha localizado a +2 m da origem. Num ponto P sobre</p><p>o eixo x, distante +2 m da origem, pede-se:</p><p>a) Determinar o potencial elétrico devido a linha de cargas;</p><p>b) Determinar o potencial elétrico se a carga total for agora concentrada no ponto central da</p><p>linha;</p><p>c) Calcular e comentar sobre a diferença percentual entre os dois valores de potencial obtidos.</p><p>Respostas: a) VPL = 9,63 V;</p><p>b) VPQ = 9,55 V;</p><p>c) (VPQ – VPL)x100%/VPQ = -0,83 %</p><p>Uma carga concentrada produz um potencial menor do que esta mesma carga</p><p>distribuída, caso sejam iguais as distâncias dos centros destas cargas ao ponto</p><p>desejado.</p><p>4.8) Uma carga Q0 = +10 µC está colocada no centro de um quadrado de lado 1 m e vértices A, B,</p><p>C, D. Supondo o meio o vácuo, determinar o trabalho necessário para:</p><p>a) Mover a carga QA = +10 µC do infinito até fixá-la no vértice A do quadrado;</p><p>b) Mover também a carga QB = –20 µC do infinito até fixá-la no vértice B do quadrado;</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo IIVV:: EENNEERRGGIIAA EE PPOOTTEENNCCIIAALL 28</p><p>c) Finalmente mover também a carga QC = +30 µC do infinito até fixá-la no vértice C do</p><p>quadrado.</p><p>Respostas: a) WA = 1,271 J; b) WB = –4,340 J; c) WC = 0,327 J.</p><p>4.9) a) Determinar o potencial VP no ponto P(2, 0, 0) devido a uma carga total Q = 2 nC</p><p>distribuída uniformemente ao longo do eixo y, de y = 0 até y = 2 m.</p><p>b) Supondo que a mesma carga total Q = 2 nC seja agora concentrada num ponto, determinar</p><p>em que posição esta deverá ser colocada ao longo do eixo y para produzir o mesmo</p><p>potencial VP no ponto P(2, 0, 0) obtido no item (a).</p><p>Respostas: a) VP = 7,9324 V;</p><p>b) y = ± 1,072 m.</p><p>4.10) a) Determinar a fórmula para o cálculo da diferença de potencial entre 2 pontos quaisquer A</p><p>e B devido a uma carga pontual Q, no vácuo. (Supor a carga na origem.)</p><p>b) Determinar a fórmula para o cálculo da diferença de potencial entre 2 pontos quaisquer A</p><p>e B devido a uma carga distribuída uniformemente numa linha infinita com densidade ρL,</p><p>no vácuo.</p><p>c) Uma carga com densidade linear constante ρL está distribuída sobre todo o eixo z e uma</p><p>carga pontual Q está localizada no ponto (1, 0, 0). Sejam os pontos A(4, 0, 0), B(5, 0, 0)</p><p>e C(8, 0, 0). Se VAB = VBC = 1 volt, determinar os valores numérico de ρL e de Q. O</p><p>meio é o vácuo.</p><p>Respostas: a) </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p>πε</p><p>=</p><p>BAo r</p><p>1</p><p>r</p><p>1</p><p>4</p><p>Q</p><p>ABV ;</p><p>b)</p><p>A</p><p>B</p><p>o</p><p>L ln</p><p>2 ρ</p><p>ρ</p><p>πε</p><p>ρ</p><p>=ABV ;</p><p>c) 81,86L −=ρ pC/m; Q = 1800,04 pC</p><p>4.11) Sabendo-se que ( )222 yxln4z20yx2 +−+=V V, no vácuo, determine o valor das seguintes</p><p>grandezas no ponto P(6; -2,5; 3):</p><p>a) V; b) E ; c) D ; d) ρv.</p><p>Respostas: a) 135P −=V [V]; b) zyxP a20a5,72a1,61E −−= [V/m];</p><p>c) zyxP a177a642a541D −−= [pC/m2]; d) 5,88v =ρ [pC/m3].</p><p>4.12) Um dipolo z1 a20p = nC.m, localiza-se na origem, no vácuo, e um segundo dipolo</p><p>z2 a50p −= nC.m localiza-se em (0, 0, 10).</p><p>Determine V e E no ponto médio entre os dipolos.</p><p>Resposta: 2,25M =V [V]; zM a32,4E −= [V/m].</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo VV:: CCOONNDDUUTTOORREE</p><p>CONDUTORES, DIELÉTRICOS E CAPACITÂNCIA</p><p>5.1 – CORRENTE (I) E DENSI</p><p>A corrente elétrica (convencional) representa o movimento de cargas positivas e é expressa por:</p><p>dt</p><p>dQ</p><p>I = > 0 (Unidade de corrente: C/s ou A)</p><p>A densidade de corrente de convecção</p><p>volume (nuvem) de cargas com densidade volumétrica</p><p>vJ vρ= (Unidade de densidade de corrente: A/m</p><p>Para um condutor com densidade de carga dos elétrons</p><p>velocidade de arrastamento (“drift speed”)</p><p>( ) (EvJ eede −=µ−ρ=ρ=</p><p>Definindo eeµρ−=σ como condutividade do condutor (em S/m), obtemos finalmente:</p><p>EJ σ= → densidade de corrente de condução</p><p>A tabela a seguir mostra as expressões para cálculo da condutividade</p><p>que o sinal menos é compensado pelo valor negativo da densidade volumétrica de carga negativa.</p><p>Líquido ou gás</p><p>Condutor</p><p>Semicondutor</p><p>µ = mobilidade da carga (sempre +) [m</p><p>ρ = densidade volumétrica de carga (</p><p>h →</p><p>e → elétron</p><p>Relação entre corrente e densidade de corrente (ver figura):</p><p>A corrente dI que atravessa uma área dS é dada por (ver figura):</p><p>dSJdI N= (de onde tem</p><p>θ=θ= coscos dSJdSJdI</p><p>SdJdI •=</p><p>Daí, ∫= •s SdJI</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>EESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA</p><p>Capítulo V</p><p>CONDUTORES, DIELÉTRICOS E CAPACITÂNCIA</p><p>CORRENTE (I) E DENSIDADE DE CORRENTE ( J )</p><p>(convencional) representa o movimento de cargas positivas e é expressa por:</p><p>(Unidade de corrente: C/s ou A)</p><p>densidade de corrente de convecção J (uma grandeza vetorial) representa o movimento de um</p><p>volume (nuvem) de cargas com densidade volumétrica ρv (em C/m3) numa velocidade</p><p>(Unidade de densidade de corrente: A/m2)</p><p>m densidade de carga dos elétrons ρv = ρe, onde os elétrons se deslocam com</p><p>velocidade de arrastamento (“drift speed”) Evv ed µ−== (µe = mobilidade dos elétrons), tem</p><p>) Eeeµρ−</p><p>como condutividade do condutor (em S/m), obtemos finalmente:</p><p>densidade de corrente de condução (Forma pontual da Lei de Ohm)</p><p>A tabela a seguir mostra as expressões para cálculo da condutividade σ de vários meios. O</p><p>sinal menos é compensado pelo valor negativo da densidade volumétrica de carga negativa.</p><p>Meio Condutividade σσσσ [S/m]</p><p>Líquido ou gás σ = – ρ– µ– + ρ+ µ+</p><p>Condutor σ = – ρe µe</p><p>Semicondutor σ = – ρe µe + ρh µh</p><p>= mobilidade da carga (sempre +) [m2/(V s)]</p><p>= densidade volumétrica de carga (±) [C/m3]</p><p>lacuna ou buraco (do inglês “hole”)</p><p>elétron</p><p>Relação entre corrente e densidade de corrente (ver figura):</p><p>A corrente dI que atravessa uma área dS é dada por (ver figura):</p><p>(de onde tem-se:</p><p>dS</p><p>dI</p><p>J N = )</p><p>29</p><p>CONDUTORES, DIELÉTRICOS E CAPACITÂNCIA</p><p>(convencional) representa o movimento de cargas positivas e é expressa por:</p><p>(uma grandeza vetorial) representa o movimento de um</p><p>) numa velocidade v (em m/s).</p><p>, onde os elétrons se deslocam com</p><p>= mobilidade dos elétrons), tem-se:</p><p>como condutividade do condutor (em S/m), obtemos finalmente:</p><p>(Forma pontual da Lei de Ohm)</p><p>de vários meios. Observe</p><p>sinal menos é compensado pelo valor negativo da densidade volumétrica de carga negativa.</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo VV:: CCOONNDDUUTTOORREE</p><p>5.2 – CONTINUIDADE DA CORR</p><p>A corrente através de uma superfície</p><p>igual a razão do decréscimo de cargas</p><p>região – princípio da continuidade</p><p>dt</p><p>dQ</p><p>SdJsI i−== •∫</p><p>onde +</p><p>dt</p><p>dQi = razão (taxa) de acréscimo (incremento) de cargas no tempo dentro da superfície.</p><p>Aplicando o teorema da divergência à expressão acima, obtemos:</p><p>t</p><p>J v</p><p>∂</p><p>ρ∂</p><p>−=∇ •</p><p>“A corrente ou carga por segundo que sai</p><p>de decréscimo de carga p</p><p>5.3 – CONDUTORES METÁLICOS</p><p>Definição de resistência de um condutor qualquer:</p><p>∫σ</p><p>∫−</p><p>==</p><p>•</p><p>•</p><p>s</p><p>a</p><p>bab</p><p>SdE</p><p>LdE</p><p>I</p><p>V</p><p>R</p><p>Para um condutor que possui seção reta uniforme</p><p>cilíndrico da figura, com área S e comprimento</p><p>E</p><p>SdE</p><p>LdE</p><p>I</p><p>V</p><p>R</p><p>s</p><p>0</p><p>ab</p><p>σ</p><p>=</p><p>∫σ</p><p>∫−</p><p>==</p><p>•</p><p>•</p><p>�</p><p>Exemplo: Calcular R para o condutor em forma de cunha da figura, para</p><p>⇒</p><p>ρ</p><p>=</p><p>ρφ</p><p>==</p><p>E</p><p>k</p><p>h</p><p>I</p><p>S</p><p>I</p><p>J</p><p>k</p><p>dzd</p><p>k</p><p>d</p><p>k</p><p>R</p><p>h</p><p>0 0</p><p>b</p><p>a</p><p></p><p></p><p>σ</p><p>=</p><p>∫ ∫ φρ</p><p>ρ</p><p>∫ ρ</p><p>σρ</p><p>=</p><p>φ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>EESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA</p><p>CONTINUIDADE DA CORRENTE</p><p>A corrente através de uma superfície fechada (fluxo de cargas positivas para fora da superfície) é</p><p>de cargas positivas (ou acréscimo de cargas negativas) no interior da</p><p>continuidade. Matematicamente, expressamos como:</p><p>(Forma integral da equação da continuidade)</p><p>= razão (taxa) de acréscimo (incremento) de cargas no tempo dentro da superfície.</p><p>ivergência à expressão acima, obtemos:</p><p>(Forma pontual da equação da continuidade)</p><p>“A corrente ou carga por segundo que sai (diverge) de um pequeno volume é igual a razão</p><p>de decréscimo de carga por unidade de volume em cada ponto.”</p><p>CONDUTORES METÁLICOS – RESISTÊNCIA (R)</p><p>de um condutor qualquer:</p><p>[Ω] (parâmetro positivo)</p><p>seção reta uniforme (condutor</p><p>cilíndrico da figura, com área S e comprimento � ):</p><p>SE</p><p>E</p><p>σ</p><p>�</p><p>⇒</p><p>S</p><p>R</p><p>σ</p><p>=</p><p>�</p><p>Calcular R para o condutor em forma de cunha da figura, para J (ou I) no sentido radial.</p><p>ρ</p><p>σρ</p><p>=</p><p>σ</p><p>= a</p><p>kJ</p><p>h</p><p>ln</p><p>hk</p><p>ln</p><p>k</p><p>a</p><p>b</p><p>b</p><p>a</p><p>σφ</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>=</p><p>φ</p><p></p><p></p><p>ρ</p><p>σ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>30</p><p>(fluxo de cargas positivas para fora da superfície) é</p><p>(ou acréscimo de cargas negativas) no interior da</p><p>(Forma integral da equação da continuidade)</p><p>= razão (taxa) de acréscimo (incremento) de cargas no tempo dentro da superfície.</p><p>(Forma pontual da equação da continuidade)</p><p>de um pequeno volume é igual a razão</p><p>(ou I) no sentido radial.</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo VV:: CCOONNDDUUTTOORREE</p><p>5.4 – O MÉTODO DAS IMAGENS</p><p>Aplicação: Na solução de problemas envolvendo um plano condutor aterrado pela substituição</p><p>deste por uma superfície equipotencial mais as</p><p>Exemplo: Calcular o campo elétrico</p><p>Aplicando o método das imagens, temos:</p><p>21 EEE +=</p><p>onde 1E e 2E são os campos no ponto P</p><p>devido, respectivamente, a carga objeto</p><p>(carga original) e a carga imagem.</p><p>Assim,</p><p>1 2</p><p>2o</p><p>2</p><p>R2</p><p>1o</p><p>1 a</p><p>R4</p><p>Q</p><p>a</p><p>R4</p><p>Q</p><p>E</p><p>πε</p><p>+</p><p>πε</p><p>=</p><p>onde:</p><p>11R R/Ra</p><p>1</p><p>= , sendo R</p><p>22R R/Ra</p><p>2</p><p>= , sendo</p><p>Substituindo os valores, temos:</p><p>10</p><p>4</p><p>10</p><p>2</p><p>aa</p><p>2</p><p>36</p><p>10</p><p>4</p><p>1010</p><p>E</p><p>zy</p><p>9</p><p>9</p><p>π</p><p>−</p><p>+</p><p>−</p><p>π</p><p>π</p><p>×</p><p>=</p><p>−</p><p>−</p><p>( ) (zy a</p><p>1010</p><p>90</p><p>aa</p><p>22</p><p>90</p><p>E −−=</p><p>Daí: zy a35,40a97,28E −=</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>EESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA</p><p>O MÉTODO DAS IMAGENS</p><p>Na solução de problemas envolvendo um plano condutor aterrado pela substituição</p><p>deste por uma superfície equipotencial mais as cargas imagens, como ilustra a figura.</p><p>Calcular o campo elétrico E no ponto P(0,1,1) m, para a configuração mostrada abaixo.</p><p>Aplicando o método das imagens, temos:</p><p>são os campos no ponto P</p><p>devido, respectivamente, a carga objeto</p><p>(carga original) e a carga imagem.</p><p>2Ra</p><p>zy1 aaR −= o vetor distância orientado de Q</p><p>, sendo zy2 a3aR += o vetor distância orientado de Q</p><p>valores, temos:</p><p>10</p><p>a3a</p><p>10</p><p>36</p><p>10</p><p>1010 zy</p><p>9</p><p>9 +</p><p>π</p><p>×</p><p>−</p><p>−</p><p>) ( ) ( )zyzyzy a3a85,2aa82,31a3a +−−=+</p><p>z [V/m] (Nota: Conferir o sentido de E na figura)</p><p>31</p><p>Na solução de problemas envolvendo um plano condutor aterrado pela substituição</p><p>cargas imagens, como ilustra a figura.</p><p>no ponto P(0,1,1) m, para a configuração mostrada abaixo.</p><p>o vetor distância orientado de Q1 = Q a P,</p><p>o vetor distância orientado de Q2 = –Q a P.</p><p>na figura)</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo VV:: CCOONNDDUUTTOORREE</p><p>5.5 – A NATUREZA DOS MATER</p><p>Polarização P é definido como sendo o momento elétrico total por unidade de volume, isto é:</p><p>limp</p><p>v</p><p>1</p><p>limP</p><p>v</p><p>vn</p><p>1i</p><p>i</p><p>0v</p><p>=∑</p><p>∆</p><p>=</p><p>→∆</p><p>∆</p><p>=→∆</p><p>onde n é o número de dipolos elétricos por unidade de volume</p><p>A lei de Gauss relaciona a densidade de fluxo elétrico</p><p>∫ •= SdDQ (</p><p>Por analogia, pode-se também relacionar o campo</p><p>sendo esta carga chamada de carga de polarização</p><p>∫ •−= SdPQP (</p><p>A lei Gauss em termos da carga total</p><p>∫ •ε= SdEQ oT</p><p>onde:</p><p>QT = Q + QP = soma da carga livre com a carga de polarização</p><p>εo = 8,854×10-12 = permissividade elétrica do vácuo</p><p>Substituindo as cargas pelas suas expressões com integrais, obtemos a seguinte expressão geral que</p><p>relaciona os 3 campos D , E e P</p><p>PED o +ε=</p><p>Para um material linear, homogêneo e isotrópico (mesma propriedade em todas as direções) tem</p><p>EP oeεχ= [C/m2]</p><p>sendo χe é a suscetibilidade elétrica do material</p><p>constante é relacionada com a permissividade elétrica relativa</p><p>εR, (grandeza também adimensional) através da expressão:</p><p>1Re −ε=χ</p><p>Combinando estas 3 últimas equações obtém</p><p>ED ε=</p><p>onde:</p><p>oR εε=ε</p><p>sendo ε a permissividade elétrica absoluta</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>EESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA</p><p>A NATUREZA DOS MATERIAIS DIELÉTRICOS – POLARIZAÇÃO (P)</p><p>é definido como sendo o momento elétrico total por unidade de volume, isto é:</p><p>v</p><p>p</p><p>lim total</p><p>0 ∆→</p><p>(Unidade: C/m2 – mesma unidade de</p><p>é o número de dipolos elétricos por unidade de volume ∆v</p><p>A lei de Gauss relaciona a densidade de fluxo elétrico D com a carga elétrica livre</p><p>(Nota: D sai ou diverge da carga livre positiva</p><p>se também relacionar o campo P com uma carga, QP, que produz este campo,</p><p>carga de polarização.</p><p>(Nota: P sai ou diverge da carga de polarização</p><p>carga total, QT, (lei de Gauss generalizada) é expressa por:</p><p>= soma da carga livre com a carga de polarização</p><p>permissividade elétrica do vácuo (unidade: F/m)</p><p>Substituindo as cargas pelas suas expressões com integrais, obtemos a seguinte expressão geral que</p><p>P , para qualquer tipo de meio:</p><p>(Nota: No vácuo 0P = )</p><p>Para um material linear, homogêneo e isotrópico (mesma propriedade em todas as direções) tem</p><p>suscetibilidade elétrica do material (constante adimensional,</p><p>permissividade elétrica relativa (ou constante dielétrica) do material,</p><p>, (grandeza também adimensional) através da expressão:</p><p>Combinando estas 3 últimas equações obtém-se:</p><p>permissividade elétrica absoluta do material, dada em F/m.</p><p>32</p><p>POLARIZAÇÃO (P)</p><p>é definido como sendo o momento elétrico total por unidade de volume, isto é:</p><p>mesma unidade de D )</p><p>carga elétrica livre, Q, isto é:</p><p>positiva)</p><p>, que produz este campo,</p><p>carga de polarização negativa)</p><p>ressa por:</p><p>(unidade: F/m)</p><p>Substituindo as cargas pelas suas expressões com integrais, obtemos a seguinte expressão geral que</p><p>Para um material linear, homogêneo e isotrópico (mesma propriedade em todas as direções) tem-se:</p><p>(constante adimensional, χ lê-se “csi”). Esta</p><p>(ou constante dielétrica) do material,</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo VV:: CCOONNDDUUTTOORREE</p><p>Relações usando as densidades volumétricas de carga livre,</p><p>polarização, ρP, e de carga total, ρ</p><p>dvQ vv ρ∫=</p><p>dvQ PvP ρ∫=</p><p>dvQ TvT ρ∫=</p><p>5.6 – CONDIÇÕES DE CONTORN</p><p>Condição de contorno para as componentes tangenciais:</p><p>Para o pequeno percurso fechado retangular da figura, pode</p><p>0LdE</p><p>retângulo</p><p>=•∫</p><p>Fazendo 0h →∆ (tendendo a fronteira), obtemos:</p><p>0LELE 2t1t =∆−∆ ⇒ E</p><p>Condição de contorno para as componentes normais:</p><p>Para o pequeno cilindro da figura, pode</p><p>interna</p><p>cilindro</p><p>QSdD =•∫</p><p>Fazendo 0h →∆ (tendendo a fronteira), obtemos:</p><p>(i) Para a fronteira com carga (</p><p>SDSD S2n1n ρ=∆−∆</p><p>(ii) Para a fronteira sem carga (</p><p>2n1n DD = (Neste caso D</p><p>Relação de contorno se o meio 2 for um</p><p>Componentes tangenciais:</p><p>Componentes normais: D</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>EESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA</p><p>Relações usando as densidades volumétricas de carga livre, ρv (ou simplesmente</p><p>ρT:</p><p>ρ=∇ • D v</p><p>PP ρ−=∇ •</p><p>ToE ρ=ε∇ •</p><p>CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA MATERIAIS DIELÉTRICOS PERFEITOS</p><p>componentes tangenciais:</p><p>Para o pequeno percurso fechado retangular da figura, pode-se aplicar:</p><p>(válida para o campo E conservativo)</p><p>(tendendo a fronteira), obtemos:</p><p>2t1t EE = ⇒ 2t1t EE = (Et é contínuo)</p><p>Condição de contorno para as componentes normais:</p><p>Para o pequeno cilindro da figura, pode-se aplicar:</p><p>(Lei de Gauss)</p><p>ndo a fronteira), obtemos:</p><p>carga (ρS ≠ 0):</p><p>SS∆ ⇒ S2n1n DD ρ=− (Neste caso D</p><p>carga (ρS = 0):</p><p>(Neste caso Dn é contínuo)</p><p>Relação de contorno se o meio 2 for um condutor perfeito (σ2 → ∞ ⇒ E2 = D2</p><p>Componentes tangenciais: 0E 1t = ⇒ 0D 1t = (as comp. tangenciais se anulam)</p><p>s1nD ρ= ⇒ 1s1n /E ερ= (existem somente comp. normais)</p><p>33</p><p>(ou simplesmente ρ), de carga de</p><p>LÉTRICOS PERFEITOS</p><p>conservativo)</p><p>(Neste caso Dn é descontínuo)</p><p>2 = 0):</p><p>(as comp. tangenciais se anulam)</p><p>(existem somente comp. normais)</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo VV:: CCOONNDDUUTTOORREE</p><p>5.7 – CAPACITÂNCIA</p><p>Qualquer dispositivo formado por 2 condutor</p><p>forma um capacitor (figura) cuja</p><p>∫−</p><p>∫ ε</p><p>==</p><p>+</p><p>− •</p><p>•</p><p>LdE</p><p>SdE</p><p>V</p><p>Q</p><p>C s</p><p>o</p><p>5.8 – EXEMPLOS DE CÁLCULO</p><p>Análise do capacitor de placas planas paralelas:</p><p>adzaE</p><p>adSaE</p><p>V</p><p>Q</p><p>C</p><p>zz</p><p>0</p><p>d</p><p>zz</p><p>S</p><p>0</p><p>o ∫−</p><p>ε∫</p><p>==</p><p>•</p><p>•</p><p>Observe também as fórmulas:</p><p>EdVo =</p><p>SS</p><p>Q</p><p>ED ρ==ε=</p><p>onde os campos E e D são considerados constantes no dielétrico do capacitor ideal.</p><p>Ex. 1: Carrega-se um capacitor de placas pla</p><p>constante. Desconsiderando os efeitos de bordas (capacitor ideal), determinar as variações</p><p>instantâneas sofridas por: W</p><p>a) O espaço livre entre as placas é substituído por um dielétrico com</p><p>b) A fonte de tensão é removida com as placas afastadas tal que d</p><p>Solução do caso 1(a) – ver figura abaixo</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>EESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA</p><p>Qualquer dispositivo formado por 2 condutores separados por um dielétrico</p><p>forma um capacitor (figura) cuja capacitância é definida como:</p><p>[F] (parâmetro positivo)</p><p>EXEMPLOS DE CÁLCULO DE CAPACITÂNCIA</p><p>Análise do capacitor de placas planas paralelas:</p><p>( )d0E</p><p>SE</p><p>z</p><p>z</p><p>−−</p><p>ε</p><p>= ⇒</p><p>d</p><p>S</p><p>C</p><p>ε</p><p>=</p><p>onde os campos E e D são considerados constantes no dielétrico do capacitor ideal.</p><p>se um capacitor de placas planas paralelas no espaço livre com uma fonte de tensão</p><p>constante. Desconsiderando os efeitos de bordas (capacitor ideal), determinar as variações</p><p>instantâneas sofridas por: WE, D, E, C, Q, V, e ρs, quando:</p><p>O espaço livre entre as placas é substituído por um dielétrico com εR</p><p>A fonte de tensão é removida com as placas afastadas tal que d2 = 3d</p><p>ver figura abaixo:</p><p>V2 = V1 = V (mesma fonte de tensão)</p><p>E2 = E1 (E = V/d)</p><p>D2 = 3 D1 (D = εR ε0 E)</p><p>C2 = 3 C1 (C = εR ε0 S/d)</p><p>ρS2 = 3 ρS1 (ρS = DN = D)</p><p>Q2 = 3 Q1 (Q = ρS S)</p><p>W2 = 3 W1 (W = (1/2) C V2 ou W = (1/2)</p><p>34</p><p>onde os campos E e D são considerados constantes no dielétrico do capacitor ideal.</p><p>nas paralelas no espaço livre com uma fonte de tensão</p><p>constante. Desconsiderando os efeitos de bordas (capacitor ideal), determinar as variações</p><p>R = 3;</p><p>= 3d1.</p><p>(mesma fonte de tensão)</p><p>ou W = (1/2) εRε0 E</p><p>2 vol)</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo VV:: CCOONNDDUUTTOORREE</p><p>Solução do caso 1(b) – ver figura abaixo</p><p>Ex. 2: Determinar C de um capacitor coaxial</p><p>Para uma Gaussiana cilíndrica de raio a <</p><p>∫ =• ernaintQSdD</p><p>2</p><p>Q</p><p>DQL2D</p><p>πρ</p><p>=⇒+=πρ</p><p>ρ</p><p>περ</p><p>=</p><p>ε</p><p>= a</p><p>L2</p><p>QD</p><p>E</p><p>∫ =ρ περ</p><p>−==</p><p>a</p><p>babo a</p><p>L2</p><p>Q</p><p>VV</p><p>Vln</p><p>L2</p><p>Q</p><p>V o</p><p>a</p><p>b</p><p>o ⇒</p><p></p><p></p><p></p><p>ρ</p><p>πε</p><p>−</p><p>=</p><p>)a/bln(</p><p>L2</p><p>V</p><p>Q</p><p>C</p><p>o</p><p>πε</p><p>==</p><p>Ex. 3: Determinar C de um capacitor esférico</p><p>Para uma gaussiana esférica de raio a < r < b</p><p>∫ =• ernaintQSdD</p><p>2</p><p>2</p><p>r4</p><p>Q</p><p>DQr4D</p><p>π</p><p>=⇒=π</p><p>r2</p><p>a</p><p>r4</p><p>QD</p><p>E</p><p>πε</p><p>=</p><p>ε</p><p>=</p><p>∫ =</p><p>πε</p><p>−==</p><p>a</p><p>br 2abo a</p><p>r4</p><p>Q</p><p>VV</p><p>=⇒</p><p></p><p></p><p>−</p><p>πε</p><p>−</p><p>= V</p><p>r</p><p>1</p><p>4</p><p>Q</p><p>V o</p><p>a</p><p>b</p><p>o</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>EESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA</p><p>ver figura abaixo:</p><p>Q2 = Q1 (fonte de tensão removida)</p><p>ρS2 = ρS1 (ρS = Q/S)</p><p>D2 = D1 (D = DN = ρS)</p><p>E2 = E1 (E = D/ε0)</p><p>C2 = C1/3 (C = εR ε0 S/d)</p><p>V2 = 3V1 (V = Q/C ou V = E d)</p><p>W2 = 3 W1 (W = (1/2) C V2 ou W = (1/2)</p><p>capacitor coaxial de raios a e b (a < b).</p><p>Para uma Gaussiana cilíndrica de raio a < ρ < b e comprimento L</p><p>L</p><p>Q</p><p>πρ</p><p>ρρ ρ• ada</p><p>a</p><p>b</p><p>ln</p><p>L2</p><p>Q</p><p>πε</p><p>=</p><p>)</p><p>capacitor esférico de raios a e b (a < b).</p><p>Para uma gaussiana esférica de raio a < r < b</p><p>• rr adra</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p>πε b</p><p>1</p><p>a</p><p>1</p><p>4</p><p>Q</p><p>o</p><p>35</p><p>(fonte de tensão removida)</p><p>(V = Q/C ou V = E d)</p><p>ou W = (1/2) εRε0 E</p><p>2 vol)</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo VV:: CCOONNDDUUTTOORREE</p><p>b</p><p>1</p><p>a</p><p>1</p><p>4</p><p>V</p><p>Q</p><p>C</p><p>o −</p><p>πε</p><p>== (Se b</p><p>Ex. 4: Determinar C de uma linha de transmissão com dois fios infinitos paralelos</p><p>Seja uma configuração condutora constituída por 2 fios (infinitos) paralelos, situados em um meio</p><p>de permissividade ε, conforme mostrado na figura abaixo.</p><p>Foi visto no capítulo 4 que a diferença de potencial entre 2 pontos A e B devido</p><p>com carga uniformemente distribuída é dada por:</p><p>A</p><p>BL</p><p>AB ln</p><p>2</p><p>V</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>πε</p><p>ρ</p><p>= (</p><p>Para os 2 fios infinitos paralelos da figura, com cargas simétricas com densidade linear uniforme, o</p><p>potencial do ponto P(x, y, 0) em relação a um ponto qualquer O (referência) no plano x = 0, é:</p><p>L</p><p>1</p><p>0L</p><p>PO ln</p><p>2</p><p>ln</p><p>2</p><p>V</p><p>πε</p><p>ρ</p><p>−</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>πε</p><p>ρ</p><p>=</p><p>onde: ρ1 e ρ10 = ρ0 são as menores distâncias do fio 1 (carga +) aos pontos P e O, respectivamente;</p><p>ρ2 e ρ20 = ρ0 são as menores distâncias do fio 2 (carga</p><p>Da figura tem-se:</p><p>( ) 22</p><p>1 yax +−=ρ</p><p>( ) 22</p><p>2 yax ++=ρ</p><p>Substituindo (03) e (04) em (02) e fazendo V</p><p>( )</p><p>( ) 22</p><p>22</p><p>L</p><p>yax</p><p>yax</p><p>ln</p><p>2</p><p>V</p><p>+−</p><p>++</p><p>πε</p><p>ρ</p><p>=</p><p>Seja V = V1 = constante, uma superfície equipotencial. Então, o lugar geométrico dos pontos no</p><p>espaço em que V = V1 é obtido fazend</p><p>( )</p><p>( )</p><p>/V4</p><p>22</p><p>22</p><p>e</p><p>yax</p><p>yax</p><p>L1=</p><p>+−</p><p>++ ρπε</p><p>onde k1 é uma constante arbitrária dependente de V</p><p>1</p><p>L</p><p>1 kln</p><p>4</p><p>V</p><p>πε</p><p>ρ</p><p>=</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>EESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA</p><p>Se b → ∞ ⇒ a4C πε= = capacitância do capacitor esférico isolado)</p><p>linha de transmissão com dois fios infinitos paralelos</p><p>Seja uma configuração condutora constituída por 2 fios (infinitos) paralelos, situados em um meio</p><p>, conforme mostrado na figura abaixo.</p><p>Foi visto no capítulo 4 que a diferença de potencial entre 2 pontos A e B devido</p><p>com carga uniformemente distribuída é dada por:</p><p>(ρA e ρB são as menores distâncias do fio aos pontos A e B)</p><p>Para os 2 fios infinitos paralelos da figura, com cargas simétricas com densidade linear uniforme, o</p><p>potencial do ponto P(x, y, 0) em relação a um ponto qualquer O (referência) no plano x = 0, é:</p><p>1</p><p>2L</p><p>2</p><p>0 ln</p><p>2</p><p>ln</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>πε</p><p>ρ</p><p>=</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>são as menores distâncias do fio 1 (carga +) aos pontos P e O, respectivamente;</p><p>são as menores distâncias do fio 2 (carga –) aos pontos P e O, respectivamente.</p><p>stituindo (03) e (04) em (02) e fazendo VPO = V (com a referência V0 = 0 implícita), obtém</p><p>( )</p><p>( ) 22</p><p>22</p><p>L</p><p>2</p><p>2</p><p>yax</p><p>yax</p><p>ln</p><p>4 +−</p><p>++</p><p>πε</p><p>ρ</p><p>=</p><p>= constante, uma superfície equipotencial. Então, o lugar geométrico dos pontos no</p><p>é obtido fazendo:</p><p>1k=</p><p>é uma constante arbitrária dependente de V1 e expressa por:</p><p>36</p><p>apacitância do capacitor esférico isolado)</p><p>linha de transmissão com dois fios infinitos paralelos</p><p>Seja uma configuração condutora constituída por 2 fios (infinitos) paralelos, situados em um meio</p><p>Foi visto no capítulo 4 que a diferença de potencial entre 2 pontos A e B devido a um fio infinito</p><p>são as menores distâncias do fio aos pontos A e B) (01)</p><p>Para os 2 fios infinitos paralelos da figura, com cargas simétricas com densidade linear uniforme, o</p><p>potencial do ponto P(x, y, 0) em relação a um ponto qualquer O (referência) no plano x = 0, é:</p><p>(02)</p><p>são as menores distâncias do fio</p><p>1 (carga +) aos pontos P e O, respectivamente;</p><p>) aos pontos P e O, respectivamente.</p><p>(03)</p><p>(04)</p><p>= 0 implícita), obtém-se:</p><p>(05)</p><p>= constante, uma superfície equipotencial. Então, o lugar geométrico dos pontos no</p><p>(06)</p><p>(07)</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo VV:: CCOONNDDUUTTOORREE</p><p>Desenvolvendo a expressão (06) temos:</p><p>( )222</p><p>1 xyaax2xk =++−</p><p>( ) ( ) (1kax21kx 11</p><p>2 ++−−</p><p>( ya</p><p>1k</p><p>1k</p><p>ax2x 22</p><p>1</p><p>12 ++</p><p>−</p><p>+</p><p>−</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>k</p><p>a2</p><p>y</p><p>1k</p><p>1k</p><p>ax</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p>+</p><p>−</p><p>A equação (08) representa uma circunferência centrada em:</p><p>1k</p><p>1k</p><p>ahx</p><p>1</p><p>1</p><p>−</p><p>+</p><p>== e 0y =</p><p>e raio:</p><p>1k</p><p>ka2</p><p>br</p><p>1</p><p>1</p><p>−</p><p>==</p><p>De (09), pode-se isolar k1, do seguinte modo:</p><p>akahhk 11 +=−</p><p>( ) ahahk1 +=−</p><p>ah</p><p>ah</p><p>k1</p><p>−</p><p>+</p><p>=</p><p>Substituindo (11) em (10):</p><p>ah</p><p>ah</p><p>a21</p><p>ah</p><p>ah</p><p>b</p><p>−</p><p>+</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p>−</p><p>+</p><p>ah</p><p>ah</p><p>a2</p><p>ah</p><p>a2</p><p>b</p><p>−</p><p>+</p><p>=</p><p>−</p><p>( ) ah</p><p>ah</p><p>ah</p><p>b</p><p>2</p><p>2</p><p>−</p><p>+</p><p>=</p><p>−</p><p>ah</p><p>ah</p><p>b2</p><p>+=</p><p>−</p><p>222 ahb −=</p><p>22 bha −=</p><p>Substituindo agora (12) em (11) e racionalizando o denominador:</p><p>22</p><p>22</p><p>1</p><p>h</p><p>h</p><p>bhh</p><p>bhh</p><p>k</p><p>−</p><p>+</p><p>=</p><p>−−</p><p>−+</p><p>=</p><p>ou</p><p>2</p><p>22</p><p>1 b</p><p>bhh</p><p>k</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> −+</p><p>=</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>EESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA</p><p>Desenvolvendo a expressão (06) temos:</p><p>222 yaax2x +++</p><p>( )( ) 01kya 1</p><p>22 =−+</p><p>) 0=</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>1k</p><p>ka</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p>A equação (08) representa uma circunferência centrada em:</p><p>0</p><p>, do seguinte modo:</p><p>Substituindo agora (12) em (11) e racionalizando o denominador:</p><p>( )222</p><p>2</p><p>22</p><p>22</p><p>22</p><p>22</p><p>22</p><p>bhh</p><p>bhh</p><p>bhh</p><p>bhh</p><p>bh</p><p>bh</p><p>−−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> −+</p><p>=</p><p>−+</p><p>−+</p><p>×</p><p>−</p><p>−</p><p>37</p><p>(08)</p><p>(09)</p><p>(10)</p><p>(11)</p><p>(12)</p><p>2</p><p>2</p><p>22</p><p>2</p><p>b</p><p>bhh </p><p></p><p></p><p></p><p> −+</p><p>=</p><p>(13)</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo VV:: CCOONNDDUUTTOORREE</p><p>Substituindo (13) em (07):</p><p>b</p><p>bhh</p><p>ln</p><p>4</p><p>V</p><p>22</p><p>L</p><p>1 </p><p></p><p></p><p> −+</p><p>πε</p><p>ρ</p><p>=</p><p>De (14) podemos obter a capacitância de um capacitor formado por um condutor cilíndrico no</p><p>potencial V = V1 e um plano condutor no potencial V = 0, separados por uma distância h (ver</p><p>figura abaixo). Esta pode ser obtida pela definição de capacitância por:</p><p>0V</p><p>L</p><p>V</p><p>Q</p><p>C</p><p>1</p><p>L</p><p>o −</p><p>ρ</p><p>== ⇒ C</p><p>Para b << h, obtém se a capacitância de um capacitor formado por um fio condutor (de raio muito</p><p>pequeno e igual a b) e um plano condutor, separados por uma distância h:</p><p>C</p><p>A expressão (15) também permite</p><p>cilíndricos nos potenciais V1 e –</p><p>2h (ver figura abaixo).</p><p>Esta capacitância, obtida pela definição e da aplicação do método das i</p><p>metade do valor encontrado em (15), isto é:</p><p>2)V(V</p><p>L</p><p>V</p><p>Q</p><p>'C</p><p>11</p><p>L</p><p>o</p><p>ρ</p><p>=</p><p>−−</p><p>ρ</p><p>==</p><p>Para b << h, obtém se a capacitância de um capacitor formado por 2 fios condutores (de raios</p><p>muito pequenos e iguais a b), separados por uma distância 2h</p><p>transmissão:</p><p>C</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>EESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA</p><p>b</p><p>bhh</p><p>ln</p><p>2</p><p>22</p><p>L</p><p>2</p><p>2 −+</p><p>πε</p><p>ρ</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>De (14) podemos obter a capacitância de um capacitor formado por um condutor cilíndrico no</p><p>e um plano condutor no potencial V = 0, separados por uma distância h (ver</p><p>figura abaixo). Esta pode ser obtida pela definição de capacitância por:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> −+</p><p>πε</p><p>=</p><p>bbhhln</p><p>L2</p><p>C</p><p>22</p><p>h, obtém se a capacitância de um capacitor formado por um fio condutor (de raio muito</p><p>pequeno e igual a b) e um plano condutor, separados por uma distância h:</p><p>( )bh2ln</p><p>L2</p><p>C</p><p>πε</p><p>=</p><p>A expressão (15) também permite obter a capacitância do capacitor formado por 2 condutores</p><p>–V1 (cargas simétricas), separados um do outro por uma distância</p><p>Esta capacitância, obtida pela definição e da aplicação do método das imagens, corresponde a</p><p>metade do valor encontrado em (15), isto é:</p><p>2</p><p>C</p><p>V2</p><p>L</p><p>1</p><p>L = ⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> −+</p><p>πε</p><p>=</p><p>bbhhln</p><p>L</p><p>'C</p><p>22</p><p>Para b << h, obtém se a capacitância de um capacitor formado por 2 fios condutores (de raios</p><p>muito pequenos e iguais a b), separados por uma distância 2h – configuração de uma linha de</p><p>( )bh2ln</p><p>L</p><p>'C</p><p>πε</p><p>=</p><p>38</p><p>(14)</p><p>De (14) podemos obter a capacitância de um capacitor formado por um condutor cilíndrico no</p><p>e um plano condutor no potencial V = 0, separados por uma distância h (ver</p><p>(15)</p><p>h, obtém se a capacitância de um capacitor formado por um fio condutor (de raio muito</p><p>(16)</p><p>obter a capacitância do capacitor formado por 2 condutores</p><p>(cargas simétricas), separados um do outro por uma distância</p><p>magens, corresponde a</p><p>(17)</p><p>Para b << h, obtém se a capacitância de um capacitor formado por 2 fios condutores (de raios</p><p>configuração de uma linha de</p><p>(18)</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo VV:: CCOONNDDUUTTOORREE</p><p>5.9 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS</p><p>5.1) Uma carga está distribuída. com densidade linear de carga</p><p>segmento que se estende do ponto (0,0,</p><p>plano z = 0 existe um plano condutor bastante grande, pede</p><p>a) Determinar a densidade superficial de carga na origem;</p><p>b) Se esta carga linearmente distribuída fosse concentrada em um ponto, determinar a posição</p><p>no eixo z que ela deveria ser colocada para obter a mesma solução de (a).</p><p>Respostas: a)</p><p>2S</p><p>9</p><p>2</p><p>a</p><p>−</p><p>=ρ [</p><p>5.2) Suponha que o plano z = 1 m separa o espaço em duas regiões com dielétricos de</p><p>permeabilidades relativas ε</p><p>[ηC] situada na origem.</p><p>dielétricos perfeitos (Dn1 = D</p><p>a) O campo elétrico na região 1, aplicado ao ponto (0, 2, 1);</p><p>b) O campo elétrico na região 2, aplicado ao ponto (0, 2, 1);</p><p>c) O ângulos formados pelos dois campos com a direção normal ao plano z = 1.</p><p>Respostas: a) 2(</p><p>5</p><p>59</p><p>E1</p><p>�</p><p>⋅=</p><p>c) θ1 = 63,44o e</p><p>5.3) A região 1, definida por 0 <</p><p>relativa εR1 = 2, enquanto que a região 2, definida por</p><p>material dielétrico de permissividade relativa</p><p>elétrico na região 1 é dada por</p><p>a) 2nD</p><p>�</p><p>;</p><p>Respostas: a) φ= a4D 2n</p><p>��</p><p>; b)</p><p>d) 2 a5,4P</p><p>��</p><p>+= ρ</p><p>5.4) A superfície de separação entre dois dielétricos é expressa pela equação do plano dada por:</p><p>1z</p><p>4</p><p>y</p><p>3</p><p>x</p><p>=++ . O dielétrico 1 contém a origem e possui permissividade relativa</p><p>dielétrico 2 possui pemissividade relativa</p><p>elétrico uniforme expresso por</p><p>condições de contorno, quando necessário):</p><p>a) 2na (versor normal ao plano do lado da região 2); b)</p><p>Respostas: a) 4(</p><p>13</p><p>1</p><p>2n aa ⋅=</p><p>c) (t2</p><p>13</p><p>1</p><p>E ⋅=</p><p>e) (t1 9</p><p>13</p><p>1</p><p>E ⋅=</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>EESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA</p><p>EXERCÍCIOS PROPOSTOS</p><p>Uma carga está distribuída. com densidade linear de carga ρL = π/z [</p><p>segmento que se estende do ponto (0,0,a) ao ponto (0,0,3a), sendo a > 0. Sabendo que sobre o</p><p>plano z = 0 existe um plano condutor bastante grande, pede-se:</p><p>Determinar a densidade superficial de carga na origem;</p><p>Se esta carga linearmente distribuída fosse concentrada em um ponto, determinar a posição</p><p>no eixo z que ela deveria ser colocada para obter a mesma solução de (a).</p><p>[ηC/m2]; b) aln3</p><p>2</p><p>3</p><p>z = = 1,5722a [m].</p><p>Suponha que o plano z = 1 m separa o espaço em duas regiões com dielétricos de</p><p>εR1 = 2 e εR2 = 4. A região 1 contém uma carga pontual de 10</p><p>C] situada na origem. Determinar, a partir das condições de contorno para materiais</p><p>= Dn2 e Et1 = Et2), o seguinte:</p><p>O campo elétrico na região 1, aplicado ao ponto (0, 2, 1);</p><p>O campo elétrico na região 2, aplicado ao ponto (0, 2, 1);</p><p>los formados pelos dois campos com a direção normal ao plano z = 1.</p><p>)aa2 zy</p><p>��</p><p>+ [V/m]; b) )aa4(</p><p>10</p><p>59</p><p>E zy2</p><p>���</p><p>+⋅= [V/m];</p><p>e θ2 = 75,96o</p><p>.</p><p>A região 1, definida por 0 < φ < π/4 rad, contém um material dielétrico de permissividade</p><p>= 2, enquanto que a região 2, definida por π/4 < φ < π</p><p>material dielétrico de permissividade relativa εR2 = 4. Sabendo-se que a densidade de fluxo</p><p>é dada por z1 a5a4a3D</p><p>����</p><p>++= φρ [ηC/m2], determinar, na região 2:</p><p>b) 2tD</p><p>�</p><p>; c) 2D</p><p>�</p><p>; d)</p><p>; b) z2t a10a6D</p><p>���</p><p>+= ρ ; c) 2 10a4a6D</p><p>���</p><p>++= φρ</p><p>za5,7a3</p><p>��</p><p>++ φ .</p><p>A superfície de separação entre dois dielétricos</p><p>é expressa pela equação do plano dada por:</p><p>. O dielétrico 1 contém a origem e possui permissividade relativa</p><p>dielétrico 2 possui pemissividade relativa εR2 = 4. Na região do dielétrico 2 existe um campo</p><p>elétrico uniforme expresso por yx2 3aaE += . Determinar os seguintes parâmetros (usando as</p><p>condições de contorno, quando necessário):</p><p>(versor normal ao plano do lado da região 2); b) n2E ; c) t2E ; d)</p><p>)123 zyx aaa ++ ; b) 1234(</p><p>13</p><p>1</p><p>yxn2 aaE ++⋅=</p><p>)( zyx 12369 aaa −+ ; d) ( xn1 4</p><p>13</p><p>2</p><p>aE ⋅=</p><p>)( zyx 12369 aaa −+ .</p><p>39</p><p>/z [ηC/m], ao longo do</p><p>> 0. Sabendo que sobre o</p><p>Se esta carga linearmente distribuída fosse concentrada em um ponto, determinar a posição</p><p>no eixo z que ela deveria ser colocada para obter a mesma solução de (a).</p><p>Suponha que o plano z = 1 m separa o espaço em duas regiões com dielétricos de</p><p>= 4. A região 1 contém uma carga pontual de 10</p><p>Determinar, a partir das condições de contorno para materiais</p><p>los formados pelos dois campos com a direção normal ao plano z = 1.</p><p>[V/m];</p><p>/4 rad, contém um material dielétrico de permissividade</p><p>π/2 rad, contém outro</p><p>se que a densidade de fluxo</p><p>], determinar, na região 2:</p><p>d) 2P</p><p>�</p><p>;</p><p>za10</p><p>�</p><p>;</p><p>A superfície de separação entre dois dielétricos é expressa pela equação do plano dada por:</p><p>. O dielétrico 1 contém a origem e possui permissividade relativa εR1 = 2 e o</p><p>= 4. Na região do dielétrico 2 existe um campo</p><p>. Determinar os seguintes parâmetros (usando as</p><p>; d) n1E ; e) t1E .</p><p>)12 za ;</p><p>)zy 123 aa ++ ;</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo VV:: CCOONNDDUUTTOORREE</p><p>5.5) Seja um condutor plano no potencial zero situado uma distância</p><p>cilíndrico, de raio b, no potencial V</p><p>o módulo da densidade de carga (em C/m) no cilindro, no plano, ou na linha equivalente de</p><p>cargas (supondo uniforme) e</p><p>a) A capacitância (a partir da definição) entre o condutor plano e o</p><p>b) A capacitância entre dois condutores cilíndricos paralelos, mesmo raio</p><p>simétricos ±V1, com seus eixos separados por uma distância 2</p><p>c) Repetir os itens (a) e (b) supondo</p><p>Respostas: a)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> +</p><p>=</p><p>h</p><p>1</p><p>ln</p><p>C</p><p>c)</p><p>( bh2ln</p><p>L 2</p><p>C1</p><p>πε</p><p>=</p><p>5.6) a) Determinar a expressão que fornece a diferença de potencial V</p><p>no espaço livre devido a uma linha infinita de carga com densidade linear constante</p><p>b) Uma linha infinita de carga está paralela a um plano condutor. Determinar o potencial V</p><p>no ponto P eqüidistante entre o plano condutor (com V</p><p>[C/m].</p><p>c) Para a mesma configuração do item (b) determinar a magnitude do campo elétrico</p><p>resultante E neste mesmo ponto P.</p><p>Respostas: a)</p><p>πε</p><p>ρ</p><p>=</p><p>o</p><p>L</p><p>AB 2</p><p>V</p><p>5.7) Uma configuração de carga é constituída por duas cargas pontuais Q</p><p>situadas em (0, a, 0) e (2a,</p><p>= 0. Determinar (em função de Q,</p><p>a) O potencial elétrico no ponto P(</p><p>b) O vetor campo elétrico no ponto P(</p><p>c) O vetor força resultante sobre a carga Q</p><p>Respostas: a) VP = 0; b) E</p><p>5.8) Um condutor de cobre (condutividade</p><p>truncada, de dimensões 2 <</p><p>Se ρ</p><p>ρ</p><p>aE</p><p>�� 410−</p><p>= [V/m], no interior do condutor, determinar:</p><p>a) A corrente total que atravessa o condutor;</p><p>b) A resistência do condutor,</p><p>c) O valor do potencial no centro do condutor em relação a uma de suas extremidades.</p><p>Respostas: a) I = 121,47 [A]; b) R = 1,475 [</p><p>c) Pb 540V = ,</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>EESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA</p><p>Seja um condutor plano no potencial zero situado uma distância h do eixo de um condutor</p><p>, no potencial V1, expresso por:</p><p>b</p><p>hh 2</p><p>L</p><p>1 ln</p><p>2</p><p>V</p><p>+</p><p>πε</p><p>ρ</p><p>=</p><p>o módulo da densidade de carga (em C/m) no cilindro, no plano, ou na linha equivalente de</p><p>cargas (supondo uniforme) e ε a permissividade elétrica do meio. Determinar:</p><p>A capacitância (a partir da definição) entre o condutor plano e o condutor cilíndrico acima;</p><p>A capacitância entre dois condutores cilíndricos paralelos, mesmo raio</p><p>, com seus eixos separados por uma distância 2h;</p><p>Repetir os itens (a) e (b) supondo b << h.</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−+</p><p>πε</p><p>bbh</p><p>22</p><p>L 2</p><p>; b)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> −+</p><p>πε</p><p>=</p><p>bhh</p><p>22</p><p>2</p><p>ln</p><p>L</p><p>C</p><p>)b</p><p>L</p><p>e</p><p>( )bh2ln</p><p>L</p><p>C2</p><p>πε</p><p>= .</p><p>Determinar a expressão que fornece a diferença de potencial VAB</p><p>no espaço livre devido a uma linha infinita de carga com densidade linear constante</p><p>Uma linha infinita de carga está paralela a um plano condutor. Determinar o potencial V</p><p>no ponto P eqüidistante entre o plano condutor (com V = 0) e a linha com</p><p>Para a mesma configuração do item (b) determinar a magnitude do campo elétrico</p><p>resultante E neste mesmo ponto P.</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>A</p><p>B</p><p>o</p><p>ln ; b) VP = 50 ln3 = 54,93 [V]; c) E</p><p>(Nota: h = distância da linha infinita ao plano condutor.)</p><p>Uma configuração de carga é constituída por duas cargas pontuais Q</p><p>, a, 0), respectivamente, e um plano condutor aterrado (V = 0) em y</p><p>= 0. Determinar (em função de Q, a e εo):</p><p>O potencial elétrico no ponto P(a, a, 0);</p><p>O vetor campo elétrico no ponto P(a, a, 0);</p><p>O vetor força resultante sobre a carga Q2.</p><p>x</p><p>2</p><p>o</p><p>P</p><p>50</p><p>525Q</p><p>aE</p><p>aπε</p><p>)( −⋅</p><p>= ; c)</p><p>(</p><p>o</p><p>2</p><p>2</p><p>64</p><p>2Q</p><p>F</p><p>⋅</p><p>=</p><p>aπε</p><p>Um condutor de cobre (condutividade σ = 71085 ⋅, [S/m]) tem a forma de uma cunha</p><p>truncada, de dimensões 2 < ρ < 12 [cm], 0 < φ < 30o, 0 < z < 4 [cm].</p><p>[V/m], no interior do condutor, determinar:</p><p>corrente total que atravessa o condutor;</p><p>b) A resistência do condutor,</p><p>c) O valor do potencial no centro do condutor em relação a uma de suas extremidades.</p><p>Respostas: a) I = 121,47 [A]; b) R = 1,475 [µΩ];</p><p>410−⋅ [V] ou 4</p><p>Pa 10251V −⋅−= , [V].</p><p>40</p><p>do eixo de um condutor</p><p>b</p><p>b22 −</p><p>[V], sendo ρL</p><p>o módulo da densidade de carga (em C/m) no cilindro, no plano, ou na linha equivalente de</p><p>a permissividade elétrica do meio. Determinar:</p><p>condutor cilíndrico acima;</p><p>A capacitância entre dois condutores cilíndricos paralelos, mesmo raio b e potenciais</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> b</p><p>;</p><p>entre 2 pontos A e B</p><p>no espaço livre devido a uma linha infinita de carga com densidade linear constante ρL.</p><p>Uma linha infinita de carga está paralela a um plano condutor. Determinar o potencial V</p><p>= 0) e a linha com ρ πεL o= 100</p><p>Para a mesma configuração do item (b) determinar a magnitude do campo elétrico</p><p>h3</p><p>400</p><p>= [V/m].</p><p>: h = distância da linha infinita ao plano condutor.)</p><p>Uma configuração de carga é constituída por duas cargas pontuais Q1 = +Q e Q2 = −Q,</p><p>, 0), respectivamente, e um plano condutor aterrado (V = 0) em y</p><p>)(</p><p>)</p><p>yx</p><p>2</p><p>4</p><p>aa +</p><p>−</p><p>a</p><p>.</p><p>[S/m]) tem a forma de uma cunha</p><p>c) O valor do potencial no centro do condutor em relação a uma de suas extremidades.</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo VV:: CCOONNDDUUTTOORREE</p><p>5.9) A região entre as placas planas de um capacitor de placas paralelas é constituída por 3</p><p>camadas diferentes de dielétricos, dispostas como na figura abaixo (</p><p>dielétrico, S = área, a = comprimento). Determinar:</p><p>a) As capacitâncias individuais dos três capacitores formados (C</p><p>total resultante (CT);</p><p>b) As diferenças de potencial existentes nos dielétricos 1 e 2, isto é V</p><p>c) As magnitudes dos campos elétricos nos três dielétricos, isto é E</p><p>d) As magnitudes das densidades de fluxo nos três dielétricos, isto é D</p><p>Respostas: a) CC 21 ==</p><p>b) VV 21 ==</p><p>d) DD 21 ==</p><p>5.10) Um arco, carregado com carga distribuída com densidade constante</p><p>um círculo de raio a. Sabendo</p><p>apoiadas sobre um plano condutor, porém isoladas deste, determinar o campo elétrico (</p><p>obtido no centro do círculo formado pelo arco.</p><p>Resposta: y</p><p>o</p><p>L aE</p><p>aπε</p><p>ρ−</p><p>= .</p><p>5.11) A capacitância de um capacitor coaxial de comprimento L e condutores interno e externo de</p><p>raios a e b, respectivamente, é dada pela expressão:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>πε</p><p>=</p><p>a</p><p>b</p><p>ln</p><p>L 2</p><p>C , onde ε representa a permissividade elétrica do meio entre os condutores.</p><p>Seja agora a configuração obtida com três cilindros condutores coaxiais, todos de espessura</p><p>desprezível, comprimento L e raios</p><p>dielétrico de permissividade</p><p>dielétrico de permissividade</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>EESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA</p><p>A região entre as placas planas de um capacitor de placas paralelas é constituída por 3</p><p>camadas diferentes de dielétricos, dispostas como na figura abaixo (ε</p><p>= comprimento). Determinar:</p><p>acitâncias individuais dos três capacitores formados (C1, C2</p><p>As diferenças de potencial existentes nos dielétricos 1 e 2, isto é V1 e V</p><p>As magnitudes dos campos elétricos nos três dielétricos, isto é E1, E2</p><p>As magnitudes das densidades de fluxo nos três dielétricos, isto é D1</p><p>a</p><p>S</p><p>2 oε</p><p>,</p><p>a</p><p>S</p><p>C o</p><p>3</p><p>ε</p><p>= e</p><p>a</p><p>S</p><p>2C o</p><p>T</p><p>ε</p><p>= ;</p><p>2</p><p>V</p><p>; c)</p><p>a2</p><p>V</p><p>E1 = ,</p><p>a4</p><p>V</p><p>E 2 = e</p><p>a3</p><p>V</p><p>E3 = ;</p><p>a2</p><p>Voε</p><p>e</p><p>a</p><p>V</p><p>D o</p><p>3</p><p>ε</p><p>= .</p><p>Um arco, carregado com carga distribuída com densidade constante ρL representa a metade de</p><p>. Sabendo-se que este arco está em pé, com apenas suas extremidades</p><p>apoiadas sobre um plano condutor, porém isoladas deste, determinar o campo elétrico (</p><p>obtido no centro do círculo formado pelo arco.</p><p>. (Nota: Adotou-se o plano condutor situado sobre y = 0)</p><p>A capacitância de um capacitor coaxial de comprimento L e condutores interno e externo de</p><p>, respectivamente, é dada pela expressão:</p><p>representa a permissividade elétrica do meio entre os condutores.</p><p>Seja agora a configuração obtida com três cilindros condutores coaxiais, todos de espessura</p><p>desprezível, comprimento L e raios a, 2a e 4a. Entre os condutores interno e central existe um</p><p>elétrico de permissividade ε1 = εo, e entre os condutores central e externo existe um</p><p>dielétrico de permissividade ε2 = 2εo.</p><p>41</p><p>A região entre as placas planas de um capacitor de placas paralelas é constituída por 3</p><p>ε = permissividade do</p><p>e C3) e a capacitância</p><p>e V2;</p><p>2 e E3;</p><p>1, D2 e D3.</p><p>representa a metade de</p><p>com apenas suas extremidades</p><p>apoiadas sobre um plano condutor, porém isoladas deste, determinar o campo elétrico ( E )</p><p>situado sobre y = 0)</p><p>A capacitância de um capacitor coaxial de comprimento L e condutores interno e externo de</p><p>representa a permissividade elétrica do meio entre os condutores.</p><p>Seja agora a configuração obtida com três cilindros condutores coaxiais, todos de espessura</p><p>. Entre os condutores interno e central existe um</p><p>, e entre os condutores central e externo existe um</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo VV:: CCOONNDDUUTTOORREE</p><p>a) Determinar os valores das três capacitâncias obtidas com esta configuração;</p><p>b) Se uma tensão V é aplicada entre os condutores interno</p><p>que surgirão entre os condutores interno e central (V</p><p>externo (V2), ambas tomadas em porcentagem de V.</p><p>Respostas: a)</p><p>2ln</p><p>L2</p><p>C o</p><p>1</p><p>πε</p><p>=</p><p>b) V1 = 66,67% de V e V</p><p>5.12) A figura mostra uma concha de metal semi</p><p>(condutividade σ = 4 S/m). Uma bola de metal de raio a = 0,1 m flutua no centro da concha,</p><p>ficando a metade mergulhada</p><p>a) Determinar a resistência total entre a bola e a concha.</p><p>b) Se uma voltagem V0 = 1 volt for aplicada entre os dois</p><p>condutores, calcular:</p><p>• a corrente resultante,</p><p>• a densidade de corrente na região entre a bola e a</p><p>concha, supondo função somente de r,</p><p>• campo elétrico na região</p><p>Respostas: a) </p><p></p><p></p><p>πσ</p><p>=</p><p>a</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>R</p><p>b) I = 2,79 A,</p><p>5.13) A figura mostra dois blocos infinitos de dielétricos perfeitos e paralelos, rodeados pelo espaço</p><p>livre, onde na região 3,</p><p>Determinar:</p><p>a) εR3</p><p>b) εR2</p><p>c) 1E</p><p>�</p><p>d) a diferença de potencial através das regiões 2 e</p><p>3.</p><p>Respostas: a) εR3 = 1,339; b)</p><p>c) z1 a004,8E =</p><p>d) V = V2 + V3 = 0,106 + 0,300 = 0,406 [V]</p><p>5.14) Uma esfera de raio a é feita de um dielétrico homogêneo com permissividade elétrica</p><p>εR constante. A esfera está centrada na origem no espaço livre. Os campos de potencial no</p><p>interior e exterior da esfera são expressos, respectivamente, por:</p><p>2</p><p>cosEr3</p><p>V</p><p>R</p><p>o</p><p>int</p><p>+ε</p><p>θ</p><p>−= e</p><p>a) Mostrar que intE é uniforme (isto é, possui módulo constante).</p><p>b) Mostrar que oext EE =</p><p>c) Mostrar que estes campos obedecem a</p><p>em r = a.</p><p>Atenção: Cuidado para não esquecer o sinal negativo das expressões acima.</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>EESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA</p><p>Determinar os valores das três capacitâncias obtidas com esta configuração;</p><p>Se uma tensão V é aplicada entre os condutores interno e externo, determinar as tensões</p><p>que surgirão entre os condutores interno e central (V1) e entre os condutores central e</p><p>), ambas tomadas em porcentagem de V.</p><p>,</p><p>2ln</p><p>L4</p><p>C o</p><p>2</p><p>πε</p><p>= ,</p><p>2ln3</p><p>L4</p><p>C o</p><p>3</p><p>πε</p><p>= ;</p><p>= 66,67% de V e V2 = 33,33% de V.</p><p>A figura mostra uma concha de metal semi-esférica de raio b = 1 m cheia de água do mar</p><p>= 4 S/m). Uma bola de metal de raio a = 0,1 m flutua no centro da concha,</p><p>ficando a metade mergulhada na água. Pede-se:</p><p>Determinar a resistência total entre a bola e a concha.</p><p>= 1 volt for aplicada entre os dois</p><p>a densidade de corrente na região entre a bola e a</p><p>concha, supondo função somente de r,</p><p>campo elétrico na região entre a bola e a concha.</p><p>Ω=</p><p></p><p></p><p>− 358,0</p><p>b</p><p>1</p><p>;</p><p>b) I = 2,79 A, r2</p><p>a</p><p>r</p><p>444,0</p><p>J = [A/m2], r2</p><p>a</p><p>r</p><p>111,0</p><p>E = [V/m]</p><p>A figura mostra dois blocos infinitos de dielétricos perfeitos e paralelos, rodeados pelo espaço</p><p>z3 a6E</p><p>��</p><p>= V/m e z3 a18P</p><p>��</p><p>= pC/m2. Se</p><p>d) a diferença de potencial através das regiões 2 e</p><p>= 1,339; b) εR2 = 1,512;</p><p>z [V/m];</p><p>= 0,106 + 0,300 = 0,406 [V]</p><p>é feita de um dielétrico homogêneo com permissividade elétrica</p><p>constante. A esfera está centrada na origem no espaço livre. Os campos de potencial no</p><p>interior e exterior da esfera são expressos, respectivamente, por:</p><p>θ</p><p>+ε</p><p>−ε</p><p>+θ−= cos</p><p>2</p><p>1</p><p>r</p><p>E</p><p>cosErV</p><p>R</p><p>R</p><p>2</p><p>o</p><p>3</p><p>oext</p><p>a</p><p>é uniforme (isto é, possui módulo constante).</p><p>zoa para r >> a.</p><p>Mostrar que estes campos obedecem a todas as condições de fronteira</p><p>: Cuidado para não esquecer o sinal negativo das expressões acima.</p><p>42</p><p>Determinar os valores das três capacitâncias obtidas com esta configuração;</p><p>e externo, determinar as tensões</p><p>) e entre os condutores central e</p><p>esférica de raio b = 1 m cheia de água do mar</p><p>= 4 S/m). Uma bola de metal de raio a = 0,1 m flutua no centro da concha,</p><p>[V/m]</p><p>A figura mostra dois blocos infinitos de dielétricos perfeitos e paralelos, rodeados pelo espaço</p><p>. Se z2 a24P</p><p>��</p><p>= pC/m2.</p><p>é feita de um dielétrico homogêneo com permissividade elétrica</p><p>constante. A esfera está centrada na origem no espaço livre. Os campos de potencial no</p><p>(Eo = constante)</p><p>fronteira do dielétrico</p><p>: Cuidado para não esquecer o sinal negativo das expressões acima.</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo VV:: CCOONNDDUUTTOORREE</p><p>Respostas: a)</p><p>+ε</p><p>=</p><p>E3</p><p>E</p><p>R</p><p>o</p><p>int</p><p>b) (oext cosEE =</p><p>c) De extE −=</p><p>De intE ∇−=</p><p>Logo, de ND</p><p>5.15) Um capacitor coaxial de raio interno</p><p>contém duas camadas dielétricas, sendo uma na região 1 definida por</p><p>outra na região 2 definida por</p><p>a) Determinar a capacitância do capacitor coaxial.</p><p>b) Determinar Dρ e Eρ em</p><p>= c+ (na região 2 próximo a fronteira com a região 1), sabendo</p><p>(referência) e V = 100 volts em</p><p>Respostas: a)</p><p>CC</p><p>CC</p><p>C</p><p>21</p><p>21</p><p>+</p><p>=</p><p>b) D1 = 107,46 nC/m</p><p>5.16) Dado a ( φρ−= a210J 4 sen</p><p>(a) a região do plano x = 0, limitada por 0 <</p><p>(b) a região do plano y = 0, limitada por 0 <</p><p>Atenção: O problema é mais fácil de resolver em co</p><p>Fazer uma figura ilustrativa para facilitar a visualização.</p><p>Respostas: a) I = 20 mA; b)</p><p>5.17) Sabendo as equações D =</p><p>isotrópico)</p><p>a) Demonstrar as seguintes relações para a polarização na fronteira entre 2 dielétricos</p><p>perfeitos:</p><p>P</p><p>P</p><p>1R</p><p>2R</p><p>1t</p><p>2t</p><p>ε</p><p>ε</p><p>=</p><p>partindo das condições de contorno normal</p><p>b) Determinar a constante dielétrica (ou permissividade elétrica relativa</p><p>qual a densidade de fluxo elétrico é quatro vezes a polarização.</p><p>Atenção: Empregar somente as fórmulas dadas acima para resolver os dois itens.</p><p>Respostas: a) Demonstração; b)</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS</p><p>DE ELETROMAGNETISMO</p><p>EESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA</p><p>( )θθ−θ asenacos</p><p>2 r , portanto</p><p>2</p><p>E3</p><p>E</p><p>R</p><p>o</p><p>int</p><p>+ε</p><p>=</p><p>) zor aEasenacos =θ−θ θ , pois =• cosaa rz</p><p>extV∇ e r=a, ( rR</p><p>R</p><p>o</p><p>ext senacos</p><p>2</p><p>E3</p><p>E −θε</p><p>+ε</p><p>=</p><p>intV∇ e r=a, ( )r</p><p>R</p><p>o</p><p>int asenacos</p><p>2</p><p>E3</p><p>E θ−θ</p><p>+ε</p><p>= θ</p><p>2N1N D= ⇒</p><p>NN intRext EE ε= e de T1T EE =</p><p>Um capacitor coaxial de raio interno a = 2 cm, raio externo b = 4 cm e comprimento L = 1 m,</p><p>contém duas camadas dielétricas, sendo uma na região 1 definida por a <</p><p>outra na região 2 definida por c < ρ < b com εR2 = 4. Sendo c = 3 cm, pede</p><p>Determinar a capacitância do capacitor coaxial.</p><p>em ρ = c– (na região 1 próximo a fronteira com a região 2) e em</p><p>(na região 2 próximo a fronteira com a região 1), sabendo-se que V = 0 em</p><p>(referência) e V = 100 volts em ρ = a.</p><p>pF55,202pF</p><p>51,77341,274</p><p>51,77341,274</p><p>=</p><p>+</p><p>×</p><p>=</p><p>= 107,46 nC/m2, E1 = 6,068 kV/m, D2 = 107,46 nC/m</p><p>)φρ φ+ a2a cos [A/m2], determinar a corrente que cruza:</p><p>= 0, limitada por 0 < y < 2 cm e 0 < z < 1 cm, na direção</p><p>= 0, limitada por 0 < x < 2 cm e 0 < z < 1 cm, na direção</p><p>O problema é mais fácil de resolver em coordenadas cilíndricas</p><p>Fazer uma figura ilustrativa para facilitar a visualização.</p><p>= 20 mA; b) I = 20 mA.</p><p>PEo +ε= e ED ε= (para um dielétrico linear, homogêneo e</p><p>Demonstrar as seguintes relações para a polarização na fronteira entre 2 dielétricos</p><p>1</p><p>1</p><p>−</p><p>−</p><p>e</p><p>( )</p><p>( )1</p><p>1</p><p>P</p><p>P</p><p>1R2R</p><p>2R1R</p><p>1n</p><p>2n</p><p>−εε</p><p>−εε</p><p>= ,</p><p>partindo das condições de contorno normal 2n1n DD = e tangencial</p><p>rminar a constante dielétrica (ou permissividade elétrica relativa</p><p>qual a densidade de fluxo elétrico é quatro vezes a polarização.</p><p>: Empregar somente as fórmulas dadas acima para resolver os dois itens.</p><p>a) Demonstração; b) εR = 4/3</p><p>43</p><p>constante</p><p>2</p><p>= ;</p><p>θcos e θ−=• θ senaaz ;</p><p>)</p><p>TN extext EEa +=θ θ</p><p>)</p><p>TN intint EE +=</p><p>2T ⇒</p><p>TT intext EE =</p><p>= 4 cm e comprimento L = 1 m,</p><p>< ρ < c com εR1 = 2, e</p><p>, pede-se:</p><p>(na região 1 próximo a fronteira com a região 2) e em ρ</p><p>se que V = 0 em ρ = b</p><p>= 107,46 nC/m2, E2 = 3,034 kV/m</p><p>], determinar a corrente que cruza:</p><p>< 1 cm, na direção xa− ;</p><p>< 1 cm, na direção ya− .</p><p>cilíndricas.</p><p>(para um dielétrico linear, homogêneo e</p><p>Demonstrar as seguintes relações para a polarização na fronteira entre 2 dielétricos</p><p>e tangencial 2t1t EE = .</p><p>rminar a constante dielétrica (ou permissividade elétrica relativa) εR do material no</p><p>: Empregar somente as fórmulas dadas acima para resolver os dois itens.</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo VV:: CCOONNDDUUTTOORREE</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>EESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA</p><p>Anotações do Capítulo V</p><p>44</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo VVII:: EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE PPOOIISSSSOONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE 45</p><p>Capítulo VI</p><p>EQUAÇÕES DE POISSON E DE LAPLACE</p><p>6.1 – IMPORTÂNCIA DAS EQUAÇÕES DE POISSON E LAPLACE</p><p>Veja no quadro abaixo uma comparação de 2 procedimentos usados para a determinação da</p><p>capacitância de um capacitor. Os passos do primeiro são baseados nos conceitos teóricos dos</p><p>capítulos 2 até 5, os quais dependem inicialmente do conhecimento da distribuição de carga,</p><p>grandeza esta de difícil obtenção prática. Por outro lado, o segundo procedimento apresenta uma</p><p>situação mais realística, a qual requer primeiramente a obtenção do potencial através das equações</p><p>de Poisson ou Laplace. Estas equações e este novo procedimento são abordados neste capítulo.</p><p>Quadro - Procedimentos para cálculo da Capacitância de um Capacitor</p><p>Passo</p><p>ou</p><p>Etapa</p><p>Procedimento I – Antigo Procedimento II – Novo</p><p>Considera-se conhecida a (expressão da) densidade</p><p>superficial de carga ρS de um dos condutores do</p><p>capacitor (Nota: Se a carga deste condutor não for</p><p>positiva, trabalhar com o módulo de ρS).</p><p>Considera-se conhecida a expressão que fornece o</p><p>potencial V em todos os pontos do capacitor,</p><p>incluindo a diferença de potencial 0V entre os 2</p><p>condutores.</p><p>(i)</p><p>Calcula-se a carga do condutor:</p><p>dSQ SS ρ∫=</p><p>Calcula-se o vetor E</p><p>�</p><p>no dielétrico:</p><p>VE ∇−=</p><p>��</p><p>(ii)</p><p>Calcula-se o vetor D</p><p>�</p><p>no dielétrico:</p><p>QSdDS =∫ •</p><p>��</p><p>(Gauss)</p><p>Calcula-se o vetor D</p><p>�</p><p>no dielétrico:</p><p>ED</p><p>��</p><p>ε=</p><p>(iii)</p><p>Calcula-se o vetor E</p><p>�</p><p>no dielétrico:</p><p>ε= /DE</p><p>��</p><p>Calcula-se a densidade ρS em um condutor (de</p><p>preferência o condutor positivo):</p><p>condutora superfície naNS DD</p><p>�</p><p>==ρ</p><p>(iv)</p><p>Calcula-se a ddp 0V entre os condutores:</p><p>LdEVV</p><p>A</p><p>B</p><p>AB0</p><p>��</p><p>•∫−==</p><p>Calcula-se a carga total no condutor escolhido:</p><p>dSQ SS ρ∫=</p><p>(v)</p><p>Calcula-se, finalmente, a capacitância do capacitor:</p><p>0V</p><p>Q</p><p>C =</p><p>Calcula-se, finalmente, a capacitância do capacitor:</p><p>0V</p><p>Q</p><p>C =</p><p>6.1.1 – Equação de Poisson</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>∇−=</p><p>ε=</p><p>ρ=∇ •</p><p>VE</p><p>ED</p><p>D v</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>⇒ ( )[ ] vV ρ=∇−ε∇ •</p><p>��</p><p>⇒ ( )[ ] vV ρ−=∇ε∇ •</p><p>��</p><p>Se a permissividade ε for constante, obtemos:</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>−=∇∇ vV. ou</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>−=∇ v2V Poisson</p><p>6.1.2 – Equação de Laplace</p><p>Se ainda a densidade volumétrica ρv for nula (dielétrico perfeito), obtemos: 0V2 =∇ Laplace</p><p>Nota: ∇∇=∇ .2 = divergência do gradiente = (div.)(grad.) = Laplaciano ou “nabla 2”</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo VVII:: EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE PPOOIISSSSOONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE 46</p><p>6.2 – TEOREMA DA UNICIDADE</p><p>“Se uma resposta do potencial satisfaz a equação de Laplace ou a equação de Poisson e</p><p>também satisfaz as condições de contorno, então esta é a única solução possível.”</p><p>6.3 – EXEMPLOS DE SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE LAPLACE</p><p>A seguir serão mostrados vários exemplos de solução da Equação de Laplace para problemas</p><p>unidimensionais, isto é, onde V é função somente de uma única variável. Os tipos de exemplos</p><p>possíveis são:</p><p>1. V = f(x), sendo x coordenada cartesiana (válido também para V = f(y) e V = f(z))</p><p>2. V = f(ρ), sendo ρ coordenada cilíndrica</p><p>3. V = f(φ), sendo φ coordenada cilíndrica (válido também se φ é coordenada esférica)</p><p>4. V = f(r), sendo r coordenada esférica</p><p>5. V = f(θ), sendo θ coordenada esférica</p><p>Ex.1: Cálculo de V = f(x), sendo x coordenada cartesiana</p><p>0V2 =∇ ⇒ 0</p><p>x</p><p>V</p><p>2</p><p>2</p><p>=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>⇒ 0</p><p>dx</p><p>Vd</p><p>2</p><p>2</p><p>=</p><p>Integrando 1a vez: A</p><p>dx</p><p>dV</p><p>=</p><p>Integrando 2a vez: BAxV +=</p><p>onde A e B são as constantes de integração que são determinadas a partir de condições de</p><p>contorno (ou de fronteira) estabelecidas para a região em análise.</p><p>Condições de contorno: x = constante ⇒ superfície plana</p><p>Sejam:</p><p></p><p></p><p></p><p>==</p><p>==</p><p>22</p><p>11</p><p>xxemVV</p><p>xxemVV</p><p>Substituindo acima, obtemos A e B como:</p><p>12</p><p>12</p><p>xx</p><p>VV</p><p>A</p><p>−</p><p>−</p><p>=</p><p>e</p><p>12</p><p>1221</p><p>xx</p><p>xVxV</p><p>B</p><p>−</p><p>−</p><p>=</p><p>Logo:</p><p>12</p><p>1221</p><p>12</p><p>12</p><p>xx</p><p>xVxV</p><p>x</p><p>xx</p><p>VV</p><p>V</p><p>−</p><p>−</p><p>+</p><p>−</p><p>−</p><p>=</p><p>Suponha agora que as condições de contorno sejam estabelecidas da seguinte maneira:</p><p></p><p></p><p></p><p>====</p><p>====</p><p>dxxemVVV</p><p>0xxem0VV</p><p>2o2</p><p>11</p><p>Assim, temos:</p><p>d</p><p>V</p><p>A o= e 0B = ⇒ x</p><p>d</p><p>V</p><p>V o= (0 ≤ x ≤ d)</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo VVII:: EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE PPOOIISSSSOONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE 47</p><p>Etapas de cálculo da capacitância C do capacitor de placas // formado:</p><p>(i) x</p><p>o a</p><p>d</p><p>V</p><p>VE</p><p>�</p><p>��</p><p>−=∇−=</p><p>(ii) x</p><p>o a</p><p>d</p><p>V</p><p>ED</p><p>�</p><p>�� ε</p><p>−=ε=</p><p>(iii)</p><p>d</p><p>V</p><p>DDD o</p><p>dx0xns</p><p>ε</p><p>====ρ</p><p>==</p><p>���</p><p>(iv) S</p><p>d</p><p>V</p><p>SdSQ o</p><p>ssS</p><p>ε</p><p>=ρ=ρ∫=</p><p>(v)</p><p>o</p><p>o</p><p>o V</p><p>d/SV</p><p>V</p><p>Q</p><p>C</p><p>ε</p><p>== ⇒</p><p>d</p><p>S</p><p>C</p><p>ε</p><p>= (Mesmo resultado obtido na seção 5.8)</p><p>Ex.2: Cálculo de V = f(ρρρρ), sendo ρρρρ coordenada cilíndrica</p><p>0</p><p>d</p><p>dV</p><p>d</p><p>d1</p><p>0V2 =</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρρ</p><p>⇒=∇ (ρ ≠ 0)</p><p>Integrando 1a vez: A</p><p>d</p><p>dV</p><p>=</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>Re-arrajando e integrando 2a vez: BlnAV +ρ=</p><p>Condições de contorno: ρ = constante ⇒ superfície cilíndrica</p><p></p><p></p><p></p><p>=ρ=</p><p>=ρ=</p><p>a em VV</p><p>(refer.)b em 0V</p><p>o</p><p>(b > a)</p><p>Daí, obtém-se A e B e substituindo acima:</p><p>( )</p><p>( )a/bln</p><p>/bln</p><p>VV o</p><p>ρ</p><p>= (a < ρ < b)</p><p>Etapas de cálculo da capacitância C do</p><p>capacitor coaxial formado:</p><p>(i) ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>=</p><p>ρ</p><p>ρ−−</p><p>=</p><p>ρ∂</p><p>∂</p><p>−=∇−= a</p><p>1</p><p>)a/bln(</p><p>V</p><p>/b</p><p>/b</p><p>)a/bln(</p><p>aV</p><p>a</p><p>V</p><p>VE o</p><p>2</p><p>o</p><p>(ii) ρ</p><p>ρ</p><p>ε</p><p>=ε= a</p><p>1</p><p>)a/bln(</p><p>V</p><p>ED o</p><p>(iii)</p><p>)a/bln(a</p><p>V</p><p>D o</p><p>ans</p><p>ε</p><p>==ρ</p><p>=ρ</p><p>(= densidade superficial no condutor interno c/ carga +Q)</p><p>(iv) ∫ π</p><p>ε</p><p>=ρ=ρ= s</p><p>o</p><p>ss La2</p><p>)a/bln(a</p><p>V</p><p>SdSQ</p><p>(v)</p><p>)a/bln(</p><p>L2</p><p>V</p><p>Q</p><p>C</p><p>o</p><p>πε</p><p>== (Mesmo resultado obtido na seção 5.8, Ex. 2)</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo VVII:: EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE PPOOIISSSSOONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE 48</p><p>Ex. 3: Cálculo de V = f(φφφφ), sendo φφφφ coordenada cilíndrica</p><p>0V2 =∇ ⇒ 0</p><p>d</p><p>Vd1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>=</p><p>φρ</p><p>(ρ ≠ 0)</p><p>Fazendo ρ ≠ 0 ⇒ 0</p><p>d</p><p>Vd</p><p>2</p><p>2</p><p>=</p><p>φ</p><p>Integrando 1a vez: A</p><p>d</p><p>dV</p><p>=</p><p>φ</p><p>Re-arrajando e integrando 2a vez: BAV +φ=</p><p>Condições de contorno: φ = constante ⇒ superfície</p><p>semi-plana radial nascendo em z</p><p></p><p></p><p></p><p>α=φ=</p><p>=φ=</p><p>em VV</p><p>0 em0V</p><p>o</p><p>Daí, obtém-se A e B e substituindo acima:</p><p>φ</p><p>α</p><p>= oV</p><p>V</p><p>Nota: Calcular a capacitância do capacitor formado por dois planos finitos definidos por:</p><p>φ = 0, a < ρ < b, 0 < z < h (Adotar V = 0)</p><p>φ = α, a < ρ < b, 0 < z < h (Adotar V = Vo)</p><p>Desprezar os efeitos das bordas. (Resposta:</p><p>a</p><p>b</p><p>ln</p><p>α</p><p>ε</p><p>=</p><p>h</p><p>C )</p><p>Ex. 4: Cálculo de V = f(r), sendo r coordenada esférica</p><p>0</p><p>dr</p><p>dV</p><p>r</p><p>dr</p><p>d</p><p>r</p><p>1</p><p>0V 2</p><p>2</p><p>2 =</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⇒=∇ (r ≠ 0)</p><p>Integrando 1a vez: A</p><p>dr</p><p>dV</p><p>r2 =</p><p>Re-arranjando e integrando 2a vez:</p><p>B</p><p>r</p><p>A</p><p>V +−=</p><p>Condições de contorno: r = constante ⇒ superfície esférica</p><p></p><p></p><p></p><p>==</p><p>==</p><p>ar em VV</p><p>(refer.) b r em0V</p><p>o</p><p>(b > a)</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo VVII:: EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE PPOOIISSSSOONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE 49</p><p>Daí, obtém-se A e B e substituindo acima:</p><p>b</p><p>1</p><p>a</p><p>1</p><p>b</p><p>1</p><p>r</p><p>1</p><p>VV o</p><p>−</p><p>−</p><p>=</p><p>Etapas de cálculo da capacitância C do capacitor esférico formado:</p><p>(i) r2</p><p>o</p><p>r a</p><p>r</p><p>1</p><p>b</p><p>1</p><p>a</p><p>1</p><p>V</p><p>a</p><p>r</p><p>V</p><p>VE </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p>−</p><p>−</p><p>=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>−=∇−=</p><p>(ii) r2</p><p>o a</p><p>r</p><p>1</p><p>b</p><p>1</p><p>a</p><p>1</p><p>V</p><p>ED</p><p>−</p><p>ε</p><p>=ε=</p><p>(iii) ( ) 2</p><p>o</p><p>arns</p><p>a</p><p>1</p><p>b</p><p>1</p><p>a</p><p>1</p><p>V</p><p>D</p><p>−</p><p>ε</p><p>==ρ = (= densidade superficial no condutor interno c/ carga +Q)</p><p>(iv) ∫ π</p><p>−</p><p>ε</p><p>=ρ= s</p><p>2</p><p>2</p><p>o</p><p>s a4</p><p>a</p><p>1</p><p>b</p><p>1</p><p>a</p><p>1</p><p>V</p><p>dsQ</p><p>(v)</p><p>b</p><p>1</p><p>a</p><p>1</p><p>4</p><p>V</p><p>Q</p><p>C</p><p>o −</p><p>πε</p><p>== (Mesmo resultado obtido na seção 5.8, Ex. 3)</p><p>Ex. 5: Cálculo de V = f(θθθθ), sendo θθθθ coordenada esférica</p><p>0V2 =∇ ⇒ 0</p><p>d</p><p>dV</p><p>sen</p><p>d</p><p>d</p><p>senr</p><p>1</p><p>2</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>θ</p><p>θ</p><p>θθ</p><p>(r ≠ 0, θ ≠ 0, θ ≠ π)</p><p>Fazendo r ≠ 0, θ ≠ 0 e θ ≠ π:</p><p>0</p><p>d</p><p>dV</p><p>sen</p><p>d</p><p>d</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>θ</p><p>θ</p><p>θ</p><p>Integrando 1a vez: A</p><p>d</p><p>dV</p><p>sen =</p><p>θ</p><p>θ</p><p>Re-arrajando e integrando 2a vez: ( )[ ] B2tglnAV +θ=</p><p>Condições de contorno: θ = constante ⇒ superfície cônica</p><p></p><p></p><p></p><p>α=θ=</p><p>π=θ=</p><p>em VV</p><p>2 em0V</p><p>o</p><p>(α < π/2)</p><p>Daí, obtém-se A e B e substituindo acima:</p><p>( )[ ]</p><p>( )[ ]2/tgln</p><p>2/tglnV</p><p>V o</p><p>α</p><p>θ</p><p>=</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo VVII:: EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE PPOOIISSSSOONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE 50</p><p>Nota: Calcular a capacitância do capacitor formado por dois cones finitos definidos por:</p><p>θ = π/2, 0 < r < r1, 0 < φ < 2π (Adotar V = 0)</p><p>θ = α, 0 < r < r1, 0 < φ < 2π (Adotar V = Vo)</p><p>Desprezar os efeitos das bordas. (Resposta:</p><p>( )[ ]2tg</p><p>r2</p><p>C 1</p><p>α</p><p>πε−</p><p>=</p><p>ln</p><p>)</p><p>6.4 – EXEMPLO DE SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE POISSON</p><p>Exemplo: A região entre dois cilindros condutores coaxiais com raios a e b, conforme mostrado na</p><p>figura abaixo, contém uma densidade volumétrica de carga uniforme ρV . Se o campo</p><p>elétrico E e o potencial V são ambos nulos no cilindro</p><p>interno, determinar a expressão matemática que fornece o</p><p>potencial V na região, entre os condutores assumindo que</p><p>sua permissividade seja igual à do vácuo.</p><p>Solução:</p><p>Equação de Poisson:</p><p>o</p><p>v2 V1</p><p>V</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρρ</p><p>−=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>⋅=∇</p><p>Integrando pela 1a vez:</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>A</p><p>2</p><p>V</p><p>A</p><p>2</p><p>V</p><p>o</p><p>v</p><p>2</p><p>o</p><p>v +⋅−=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>⇒+⋅−=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>(01)</p><p>Porém, sabe-se que: EE −=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>⇒</p><p>∂</p><p>∂</p><p>−==⇒</p><p>∂</p><p>∂</p><p>−=⇒∇−=</p><p>ρρρ</p><p>ρ</p><p>V</p><p>V</p><p>V</p><p>V EaEE (02)</p><p>Substituindo (02) em (01), temos:</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>A</p><p>2</p><p>V</p><p>o</p><p>v +⋅−=−=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>E (03)</p><p>1a Condição de Contorno (Obtenção de A): 0 =E para ρ = a. (04)</p><p>Substituindo (04) em (03), temos:</p><p>2</p><p>o</p><p>v</p><p>o</p><p>v</p><p>2</p><p>A</p><p>A</p><p>2</p><p>0 a</p><p>a</p><p>a ⋅</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>=⇒−⋅</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>= (05)</p><p>Substituindo (05) em (01), temos:</p><p>ρε</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>2</p><p>o</p><p>v</p><p>o</p><p>v</p><p>22</p><p>V</p><p>a</p><p>⋅+⋅−=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>(06)</p><p>Integrando pela 2a vez:</p><p>B</p><p>222</p><p>V 2</p><p>o</p><p>v</p><p>2</p><p>o</p><p>v +⋅+⋅−= ρ</p><p>ε</p><p>ρρ</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>lna (07)</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo VVII:: EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE PPOOIISSSSOONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE 51</p><p>2a Condição de Contorno (Obtenção de B): 0V = para ρ = a. (08)</p><p>Substituindo (08) em (07), temos:</p><p>aaaaa</p><p>a</p><p>lnln</p><p>2</p><p>o</p><p>v2</p><p>o</p><p>v2</p><p>o</p><p>v</p><p>2</p><p>o</p><p>v</p><p>24</p><p>B B</p><p>222</p><p>0 ⋅−⋅=⇒+⋅+⋅−=</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>(09)</p><p>Substituindo (09) em (07), temos:</p><p>aaaa ln</p><p>24</p><p>ln</p><p>24</p><p>V 2</p><p>o</p><p>v2</p><p>o</p><p>v2</p><p>o</p><p>v2</p><p>o</p><p>v ⋅</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>−⋅</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>+ρ⋅</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>+ρ⋅</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>−=</p><p>( ) [ ]V ln</p><p>24</p><p>V 2</p><p>o</p><p>v22</p><p>o</p><p>v </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> ρ</p><p>⋅</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>+ρ−⋅</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>=</p><p>a</p><p>aa (10)</p><p>6.5 – SOLUÇÃO PRODUTO DA EQUAÇÃO DE LAPLACE</p><p>Suponha o potencial seja função das variáveis x e y de acordo com a seguinte expressão:</p><p>XY)y(f)x(fV == onde )x(fX = e )y(fY = (01)</p><p>Aplicando a equação de Laplace, obtemos:</p><p>0V2 =∇ ⇒ 0</p><p>y</p><p>V</p><p>x</p><p>V</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>+</p><p>∂</p><p>∂</p><p>(02)</p><p>(01) → (02):</p><p>0</p><p>y</p><p>Y</p><p>X</p><p>x</p><p>X</p><p>Y</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>+</p><p>∂</p><p>∂</p><p>(03)</p><p>Dividindo (03) por XY:</p><p>0</p><p>y</p><p>Y</p><p>Y</p><p>1</p><p>x</p><p>X</p><p>X</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>+</p><p>∂</p><p>∂</p><p>Separando os termos somente dependentes de x dos termos somente dependentes de y, escrevemos:</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>dy</p><p>Yd</p><p>Y</p><p>1</p><p>dx</p><p>Xd</p><p>X</p><p>1</p><p>−= (04)</p><p>Como )x(fX = e )y(fY = , então para que a equação (04) seja verdadeira, cada um dos membros</p><p>de (04) deve resultar em uma mesma constante. Chamando esta constante de α2, temos:</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>dx</p><p>Xd</p><p>X</p><p>1</p><p>α= (05)</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>dy</p><p>Yd</p><p>Y</p><p>1</p><p>α−= (06)</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo VVII:: EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE PPOOIISSSSOONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE 52</p><p>Re-escrevendo (05) e (06) temos:</p><p>X</p><p>dx</p><p>Xd 2</p><p>2</p><p>2</p><p>α= (07)</p><p>Y</p><p>dy</p><p>Yd 2</p><p>2</p><p>2</p><p>α−= (08)</p><p>Solução da equação (07) pelo Método de Dedução Lógica: Basta responder a seguinte pergunta:</p><p>“Qual é a função cuja segunda derivada é igual a própria função multiplicada por uma</p><p>constante positiva?”</p><p>Solução 1: Função trigonométrica hiperbólica em seno ou co-seno. Assim:</p><p>xhBxhAX α+α= sencos (09)</p><p>Solução 2: Função exponencial. Assim:</p><p>x'x' eBeAX α−α += (10)</p><p>Solução da equação (08) pelo Método de Dedução Lógica: Basta responder a seguinte pergunta:</p><p>“Qual é a função cuja segunda derivada é igual a própria função multiplicada por uma</p><p>constante negativa?”</p><p>Solução 1: Função trigonométrica em seno ou co-seno. Assim:</p><p>yDyCY α+α= sencos (11)</p><p>Solução 2: Função exponencial complexa. Assim:</p><p>yj'yj' eDeCY α−α += (12)</p><p>Nota: Veja no Anexo I a solução da equação diferencial (07) por série infinita de potências.</p><p>Solução final da equação (01):</p><p>Substituindo (09) e (11) em (01), obtemos finalmente:</p><p>( )( )yDyCxhBxhAXYV α+αα+α== sencossencos (13)</p><p>sendo que as constantes A, B, C e D são determinadas pelas condições de contorno do problema.</p><p>Exemplo: Calcule o potencial na região interna da calha</p><p>retangular da figura. São conhecidos todos os</p><p>potenciais nos contornos metálicos da calha.</p><p>Observe que temos, neste caso, V = f(x) f(y).</p><p>Partir da expressão (13) obtida acima.</p><p>Solução: Pela figura temos as condições de contorno:</p><p>(i) V = 0 em x = 0,</p><p>(ii) V = 0 em y = 0,</p><p>(iii) V = 0 em y = d, 0 < x < c</p><p>(iv) V = Vo em x = c, 0 < y < d</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo VVII:: EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE PPOOIISSSSOONN</p><p>EE DDEE LLAAPPLLAACCEE 53</p><p>Aplicando as condições (i) e (ii) em (13) obtemos A = C = 0 e chamando BD = V1, chegamos a:</p><p>yxhVyxhBDXYV 1 αα=αα== sensensensen (14)</p><p>e aplicando a condição (iii), V = 0 em y = d, temos:</p><p>dxhV0 1 αα= sensen ⇒ ( )…,2,1,0n</p><p>d</p><p>n</p><p>=</p><p>π</p><p>=α (15)</p><p>Substituindo α de (15) em (14):</p><p>d</p><p>yn</p><p>d</p><p>xn</p><p>hVV 1</p><p>ππ</p><p>= sensen (16)</p><p>Para a condição (iv) é impossível escolher um n ou V1 de modo que V = Vo em x = c, para cada 0</p><p>< y < d. Portanto, deve-se combinar um número infinito de campos de potenciais com valores</p><p>diferentes de n e valores correspondentes de V1, isto é, V1n. Assim, genericamente devemos ter:</p><p>d</p><p>yn</p><p>d</p><p>xn</p><p>hVV n1</p><p>0n</p><p>ππ</p><p>=∑</p><p>∞</p><p>=</p><p>sensen 0 < y < d (17)</p><p>Aplicando agora a última condição de contorno (iv), V = Vo em x = c, 0 < y < d, obtemos:</p><p>d</p><p>yn</p><p>d</p><p>cn</p><p>hVV n1</p><p>0n</p><p>o</p><p>ππ</p><p>=∑</p><p>∞</p><p>=</p><p>sensen 0 < y < d (18)</p><p>ou</p><p>d</p><p>yn</p><p>bV n</p><p>0n</p><p>o</p><p>π</p><p>=∑</p><p>∞</p><p>=</p><p>sen 0 < y < d (19)</p><p>onde,</p><p>d</p><p>cn</p><p>hVb n1n</p><p>π</p><p>= sen (20)</p><p>A equação (19) pode representar uma série de Fourier em seno para f(y) = V(y) = Vo em 0 < y < d</p><p>(região de interesse) e f(y) = V(y) = –Vo em d < y < 2d, repetindo a cada período T = 2d. O gráfico</p><p>desta função é mostrado na figura abaixo.</p><p>Sendo a função ímpar, o coeficiente bn é dado por:</p><p>dy</p><p>d</p><p>yn</p><p>sen)y(f</p><p>T</p><p>2</p><p>b</p><p>T</p><p>0y</p><p>n</p><p>π</p><p>∫=</p><p>=</p><p>n=0,1,2,3,...</p><p>ou</p><p>( ) dy</p><p>d</p><p>yn</p><p>senV</p><p>d</p><p>1</p><p>dy</p><p>d</p><p>yn</p><p>senV</p><p>d</p><p>1</p><p>b o</p><p>d2</p><p>dy</p><p>o</p><p>d</p><p>0y</p><p>n</p><p>π</p><p>−∫+</p><p>π</p><p>∫=</p><p>==</p><p>Resolvendo as integrais, obtemos:</p><p>ímparnpara</p><p>n</p><p>V4</p><p>b o</p><p>n</p><p>π</p><p>= (21)</p><p>e</p><p>parnpara0bn =</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo VVII:: EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE PPOOIISSSSOONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE 54</p><p>Substituindo bn de (21) em (20) e isolando V1n chegamos a:</p><p>d</p><p>cn</p><p>hn</p><p>V4</p><p>V o</p><p>n1 π</p><p>π</p><p>=</p><p>sen</p><p>(22)</p><p>Finalmente, substituindo (22) em (17) obtemos a expressão para o potencial como:</p><p>d</p><p>yn</p><p>d</p><p>xn</p><p>h</p><p>d</p><p>cn</p><p>hn</p><p>V4</p><p>V o</p><p>ímpar</p><p>1n</p><p>ππ</p><p>π</p><p>π</p><p>∑=</p><p>∞</p><p>=</p><p>sensen</p><p>sen</p><p>0 < x < c, 0 < y < d (23)</p><p>ou,</p><p>d</p><p>cn</p><p>hn</p><p>d</p><p>yn</p><p>d</p><p>xn</p><p>hV4</p><p>V</p><p>ímpar</p><p>1n</p><p>o</p><p>π</p><p>ππ</p><p>∑</p><p>π</p><p>=</p><p>∞</p><p>= sen</p><p>sensen</p><p>0 < x < c, 0 < y < d (24)</p><p>6.6 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS</p><p>6.1) Num meio uniforme de permissividade ε existe uma distribuição de cargas com densidade</p><p>volumétrica ρv(r) = k, ocupando uma região esférica oca definida, em coordenadas esféricas,</p><p>por a ≤ r ≤ b. Assumindo que o potencial seja zero em r = a, determinar pela equação de</p><p>Laplace/Poisson, o campo elétrico ( )rE</p><p>�</p><p>e o potencial V(r) dentro das regiões:</p><p>a) 0 ≤ r ≤ a; b) a ≤ r ≤ b; c) r ≥ b.</p><p>Nota: Pode-se usar a Lei de Gauss para obter a segunda condição de contorno para E</p><p>�</p><p>.</p><p>Respostas: a) ( ) 0r =E</p><p>�</p><p>e V(r) = 0;</p><p>b) ( ) r</p><p>2</p><p>3</p><p>r</p><p>r</p><p>3</p><p>k</p><p>r aE</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−⋅=</p><p>a</p><p>ε</p><p>�</p><p>e ( )</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−+⋅</p><p>−</p><p>=</p><p>2</p><p>3</p><p>r2</p><p>r</p><p>3</p><p>k</p><p>rV</p><p>232 aa</p><p>ε</p><p>;</p><p>c) ( ) r</p><p>2</p><p>33</p><p>r3</p><p>k</p><p>r aE</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> −</p><p>⋅=</p><p>ab</p><p>ε</p><p>�</p><p>e ( ) </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+−</p><p>−</p><p>⋅</p><p>ε</p><p>=</p><p>2</p><p>3</p><p>2r3</p><p>k</p><p>rV</p><p>2233</p><p>a3bab</p><p>.</p><p>6.2) Na região interna entre os planos z = 0 e z = 2a foi colocada uma carga uniformemente</p><p>distribuída com densidade volumétrica ρv. Na região externa aos planos, o meio é somente o</p><p>vácuo. Determinar a distribuição de potenciais para:</p><p>a) A região interna entre os planos definida por a2z0 ≤≤ ;</p><p>Nota: A primeira condição de contorno é obtida fixando a referência de potencial zero em</p><p>z = 0. A segunda condição de contorno é obtida verificando onde o campo elétrico</p><p>é nulo, baseando-se na simetria da configuração de cargas.</p><p>b) A região externa entre os planos definida por a2z ≥ .</p><p>Nota: As condições de contorno devem ser obtidas partindo dos resultados do item</p><p>anterior.</p><p>Respostas: a) </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−⋅</p><p>−</p><p>= a</p><p>2</p><p>zz</p><p>V</p><p>o</p><p>v</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>; b) ( )a</p><p>a</p><p>2zV</p><p>o</p><p>v −⋅</p><p>−</p><p>=</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo VVII:: EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE PPOOIISSSSOONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE 55</p><p>6.3) Dados os campos de potencial ]V[yx3V −=′ e ( ) ]V[cos7r25V 2 θ−=′′ , pede-se:</p><p>a) Verificar se estes campos de potencial satisfazem a Equação de Laplace;</p><p>b) Determinar, para cada campo de potencial acima, a densidade volumétrica de carga no</p><p>ponto P(0,5 ; 1,5 ; 1,0) no espaço livre.</p><p>Respostas: a) V′ satisfaz (dielétrico perfeito) e V ′′ não satisfaz a Equação de Laplace;</p><p>b) ρv = 0 (dielétrico perfeito) para V′ e ρv = –283,97 [pC/m3] para V ′′ .</p><p>6.4) Seja ( )[ ] BA += 2tg θlnV a expressão algébrica para o cálculo do potencial elétrico no</p><p>dielétrico entre dois cones condutores coaxiais, sendo θ o ângulo medido a partir do eixo dos</p><p>cones e A e B duas constantes. Sejam estes cones condutores definidos por θ = 60o e θ =</p><p>120o, separados por um espaço infinitesimal na origem. O potencial em P(r=1, θ =</p><p>60o, φ= 90o) é 50 V e o campo elétrico em Q(r=2, θ = 90o, φ= 120o) é θa</p><p>�</p><p>50 [V/m].</p><p>Determinar:</p><p>a) O valor do potencial V no ponto Q;</p><p>b) A diferença de potencial Vo entre os dois cones;</p><p>c) O ângulo θ no qual o potencial elétrico é nulo.</p><p>Respostas: a) VQ = – 4,93 [V]; b) Vo = 109,86 [V]; c) θ = 87,18o.</p><p>6.5) Suponha que o espaço livre seja preenchido com uma carga distribuída com densidade</p><p>volumétrica de carga ρV = kεox [C/m3]. Sejam os valores do quadro abaixo e 6106 k ⋅= .</p><p>Pede-se:</p><p>a) Determinar as expressões matemáticas de</p><p>V(x) e E(x);</p><p>b) Completar os valores de V(x) e E(x) no</p><p>quadro.</p><p>Respostas: a) x1500</p><p>6</p><p>kx</p><p>)x(V</p><p>3</p><p>+</p><p>−</p><p>= e 1500</p><p>2</p><p>kx</p><p>)x(E</p><p>2</p><p>−= ;</p><p>b)</p><p>6.6) A figura mostra um capacitor de placas</p><p>paralelas, com dois dielétricos (regiões) de</p><p>permissividades relativas εR1 e εR2.</p><p>Pede-se:</p><p>a) Os valores das diferenças de potenciais</p><p>V10 e V20, nas 2 regiões, em função da</p><p>tensão da bateria Vo;</p><p>b) As expressões matemáticas de V1(x) e</p><p>V2(x) nas 2 regiões, determinadas a partir</p><p>da equação de Laplace e condições de</p><p>contorno apropriadas.</p><p>Respostas: a)</p><p>3</p><p>V</p><p>V o</p><p>10 = e</p><p>3</p><p>V2</p><p>V o</p><p>20 = ; b) x</p><p>3</p><p>V</p><p>xV o</p><p>1</p><p>d</p><p>=)( e )x2</p><p>3</p><p>V</p><p>xV o</p><p>2 d</p><p>d</p><p>−= ()(</p><p>x [mm] V(x) [V] E(x) [V/m]</p><p>0 0</p><p>5</p><p>10 – 1200</p><p>15</p><p>x [mm] V(x) [V] E(x) [V/m]</p><p>0 0 –1500</p><p>5 7,375 –1425</p><p>10 14,0 –1200</p><p>15 13,125 –825</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo VVII:: EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE PPOOIISSSSOONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE 56</p><p>6.7) Um capacitor é constituído de duas placas planas condutoras situadas em φ = 0 e φ = α. As</p><p>placas são limitadas pelos cilindros ρ = a e ρ = b e pelos planos z = 0 e z = h. Se a diferença</p><p>de potencial entre as placas condutoras for Vo, pede-se:</p><p>a) Determinar a expressão matemática do potencial V na região, partindo da equaçao de</p><p>Laplace;</p><p>b) Determinar a expressão matemática da capacitância;</p><p>c) Dizer se é possível obter a mesma expressão da capacitância do item anterior, partindo da</p><p>Lei de Gauss empregando uma superfície gaussiana. Justificar sua resposta;</p><p>d) Determinar a separação que conduz a mesma capacitância do item (b) quando as placas são</p><p>colocadas numa posição paralela, com o mesmo dielétrico entre elas.</p><p>Nota: Assumir a permissividade do dielétrico como sendo a do vácuo.</p><p>Respostas: a) φ</p><p>α</p><p>oV</p><p>V = ; b)</p><p>a</p><p>bh</p><p>ln⋅=</p><p>α</p><p>ε oC ;</p><p>c) Não é possível obter uma superfície gaussiana para a solução pela Lei de</p><p>Gauss, pois em qualquer plano radial (φ = cte), D não é constante (D = f (ρ)),</p><p>apesar de ser normal à estes planos;</p><p>d) ( ) ( )[ ]ablnabd α−=</p><p>6.8) Num dispositivo o potencial elétrico é função somente da variável z, possuindo uma região</p><p>com densidade volumétrica de carga ρv = ρo(z/z1) e condições de fronteira dadas por E = 0</p><p>em z = 0 e V = 0 em z = z1. Determinar para qualquer ponto nesta região:</p><p>a) O potencial elétrico V,</p><p>b) O campo elétrico E</p><p>�</p><p>.</p><p>Respostas: a) ( )3</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>o zz</p><p>z6</p><p>V −</p><p>ε</p><p>ρ−</p><p>= ; b) z</p><p>2</p><p>1</p><p>o az</p><p>z2</p><p>E</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>=</p><p>6.9) a) Desenvolver as equações de Poisson e Laplace para um meio linear, homogêneo e</p><p>isotrópico.</p><p>b) Sendo v = campo vetorial qualquer e f = campo escalar qualquer, demostrar a seguinte</p><p>identidade vetorial:</p><p>( ) ( ) ( )fvvfvf ••• ∇+∇=∇</p><p>Sugestão: Usar o sistema de coordenadas cartesianas para facilitar sua demonstração.</p><p>c) De que maneira deve a permissividade elétrica (ε) variar em um meio não-homogêneo sem</p><p>carga, de modo que a equação de Laplace continue válida?</p><p>Sugestão: Iniciar pelo desenvolvimento do item (a), supondo ε variando espacialmente</p><p>(com a distância). Usar também a identidade vetorial do item (b).</p><p>Respostas: a) Equação de Poisson: ερ−=∇ /V v</p><p>2 , Equação de Laplace (ρv = 0): 0V2 =∇ ;</p><p>b) Demonstração;</p><p>c) Fazendo na identidade vetorial acima f = ε e Vv ∇= e tomando 0V2 =∇</p><p>(Laplace), obtém-se ( ) 0E =•ε∇ , logo E⊥ε∇ e a permissividade elétrica (ε)</p><p>deve variar somente numa direção perpendicular ao campo elétrico ( )E .</p><p>6.10) a) Demonstrar, partindo da equação de Laplace, que a capacitância C de um capacitor</p><p>esférico formado por 2 superfícies condutoras esféricas de raios a e b (b > a), separadas</p><p>por um dielétrico de permissividade elétrica ε, é dada por:</p><p>ba</p><p>11</p><p>4</p><p>C</p><p>−</p><p>πε</p><p>=</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo VVII:: EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE PPOOIISSSSOONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE 57</p><p>b) Determinar a capacitância, CESFERA, de um capacitor esférico isolado formado por uma</p><p>esfera de cobre de raio 9 cm, no vácuo.</p><p>c) Se uma camada de um dielétrico uniforme (com εR = 3) de espessura d é colocada</p><p>envolvendo a esfera de raio 9 cm do item (b), determinar d tal que a nova capacitância</p><p>total equivalente seja 2 × CESFERA.</p><p>Atenção: Note que a configuração final é de 2 capacitores esféricos dispostos em série.</p><p>Respostas: a) Demonstração; b) CESFERA = 4πεoa = 10 pF (b → ∞); c) d = 27 cm.</p><p>6.11) Dada a equação diferencial de segunda ordem 0X'xX2"X =−+ , considere uma solução na</p><p>forma de série infinita de potências, e calcule os valores numéricos dos coeficientes a2 até a6</p><p>desta série, sendo a0 = 1 e a1 = –2.</p><p>Atenção: Como X é função somente de x, fazer ∑</p><p>∞</p><p>=</p><p>=</p><p>0n</p><p>n</p><p>n xX a .</p><p>Respostas: a2 = 1/2, a3 = 1/3, a4 = –1/8, a5 = –1/12, a6 = 7/240.</p><p>6.12) Sabendo-se que uma solução produto para a Equação de Laplace em duas dimensões é dada</p><p>por 111 YXV = , onde 1X e 1Y são funções somente de x e y, respectivamente, verificar se</p><p>cada uma das 5 funções dadas a seguir satisfaz ou não à equação de Laplace, justificando sua</p><p>resposta.</p><p>a) 11a YXV −= ;</p><p>b) 1b YV = ;</p><p>c) yYXV 11c += ;</p><p>d) 11d YX2V = ;</p><p>e) 22</p><p>11e yxYXV −+=</p><p>Respostas: (a) e (b) não satisfazem a Equação de Laplace. Observe que 1</p><p>2X∇ e 1</p><p>2Y∇ não</p><p>são solucionáveis, já que não se sabe suas expressões matemáticas. Assim, não se</p><p>pode afirmar que ( ) 0YX 11</p><p>2 =−∇ para (a), e nem que 0Y1</p><p>2 =∇ para (b);</p><p>(c), (d) e (e) satisfazem a Equação de Laplace, já que ( ) 0YX 11</p><p>2 =∇ (dado) e</p><p>também ( ) 0y2 =∇ e ( ) 022yx 222 =−=−∇ .</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo VVII:: EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE PPOOIISSSSOONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE 58</p><p>Anotações do Capítulo VI</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo VVIIII:: CCAAMMPPOO MMAAGGNNÉÉTTIICCOO EESSTTAACCIIOONNÁÁRRIIOO 59</p><p>Capítulo VII</p><p>CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO</p><p>7.1 – LEI DE BIOT-SAVART</p><p>O campo magnético d H</p><p>�</p><p>produzido pelo elemento de</p><p>corrente contínua Ld</p><p>�</p><p>I no ponto P (ver figura) é:</p><p>2</p><p>R4</p><p>I</p><p>π</p><p>×</p><p>= RaLd</p><p>Hd</p><p>��</p><p>�</p><p>⇒ ∫</p><p>π</p><p>×</p><p>=</p><p>2R4</p><p>I RaLd</p><p>H</p><p>��</p><p>�</p><p>(A/m)</p><p>onde</p><p>I dL K dS J dv</p><p>� � �</p><p>= = (ver figura)</p><p>dL</p><p>d</p><p>K</p><p>I</p><p>= = densidade superficial de corrente (A/m)</p><p>dS</p><p>d</p><p>J</p><p>I</p><p>= = densidade (volumétrica) de corrente (A/m2)</p><p>Exemplo: Calcular o campo magnético H</p><p>�</p><p>num ponto P</p><p>devido a um filamento retilíneo infinito com</p><p>corrente I.</p><p>Solução:</p><p>( ) ( ) 2/3222/322</p><p>zz</p><p>z</p><p>adz</p><p>z</p><p>)aza(adz</p><p>Hd</p><p>+ρπ</p><p>ρ</p><p>=</p><p>+ρπ</p><p>−ρ×</p><p>=</p><p>φρ</p><p>4</p><p>I</p><p>4</p><p>I</p><p>����</p><p>�</p><p>( ) ( )</p><p>+∞</p><p>∞−</p><p>φφ∞+</p><p>∞− </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+ρρπ</p><p>ρ</p><p>=</p><p>+ρ</p><p>∫</p><p>π</p><p>ρ</p><p>=</p><p>2/12222/322 z</p><p>az</p><p>z</p><p>adz</p><p>H</p><p>��</p><p>�</p><p>4</p><p>I</p><p>4</p><p>I</p><p>φ</p><p>πρ</p><p>= aH</p><p>��</p><p>2</p><p>I</p><p>7.2 – LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE (CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO)</p><p>“A integral de linha de H ao longo de qualquer percurso fechado é exatamente igual à corrente</p><p>enlaçada pelo percurso”. A expressão matemática é dada por:</p><p>� �</p><p>H dL• =∫ I (I = corrente total enlaçada, sentido convencional)</p><p>Amperiana (def.): É um percurso (caminho) especial com as seguintes propriedades:</p><p>(i) É um percurso fechado;</p><p>(ii) Em cada um de seus pontos H</p><p>�</p><p>é tangencial ou H</p><p>�</p><p>é normal ao percurso. Assim,</p><p>se 0LdHLdH =⇒⊥ • ; (Neste caso H</p><p>�</p><p>é normal à amperiana)</p><p>se dLHLdHLd//H =⇒ • (Neste caso H</p><p>�</p><p>é tangencial à amperiana)</p><p>(iii) Em todos os pontos onde Ld//H , a magnitude de H</p><p>�</p><p>é constante.</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo VVIIII:: CCAAMMPPOO MMAAGGNNÉÉTTIICCOO EESSTTAACCIIOONNÁÁRRIIOO 60</p><p>Cálculo de H</p><p>�</p><p>, aplicando a lei circuital de Ampère (e amperiana), para alguns casos especiais:</p><p>a) Condutor retilíneo ∞∞∞∞ com corrente I</p><p>∫ = enlaçadaILdH</p><p>��</p><p>.</p><p>I=φρ∫ φ</p><p>π</p><p>=φ</p><p>φφ adaH</p><p>2</p><p>0</p><p>��</p><p>. ⇒ I=φ∫ρ</p><p>π</p><p>φ dH</p><p>2</p><p>0</p><p>πρ</p><p>=φ</p><p>2</p><p>I</p><p>H ⇒ φ</p><p>πρ</p><p>= aH</p><p>��</p><p>2</p><p>I</p><p>b) Película plana ∞∞∞∞ com corrente com densidade superficial uniforme xxaKK</p><p>��</p><p>=</p><p>∫ = enlaçadaILdH</p><p>��</p><p>.</p><p>dyKLdH x</p><p>L</p><p>0</p><p>A</p><p>D</p><p>D</p><p>C</p><p>C</p><p>B</p><p>B</p><p>A</p><p>∫=∫+∫+∫+∫</p><p>��</p><p>.</p><p>LK0LH0LH xyy =+++ ⇒ 2KH xy =</p><p>Nota: Forma geral para obtenção do campo H</p><p>�</p><p>devido a</p><p>uma película plana ∞ com corrente uniforme:</p><p>naK</p><p>2</p><p>1</p><p>H</p><p>���</p><p>×= ( H</p><p>�</p><p>independe da distância)</p><p>onde na</p><p>�</p><p>é versor normal ao plano orientado para o lado que se deseja obter H</p><p>�</p><p>.</p><p>Ex.: Acima do plano da figura anterior: ( ) yyxyxzxx HaK</p><p>2</p><p>1</p><p>aK</p><p>2</p><p>1</p><p>aaK</p><p>2</p><p>1</p><p>H</p><p>������</p><p>=−=−=×=</p><p>Atenção: Provar que o campo magnético H</p><p>�</p><p>na região entre 2 superfícies infinitas condutoras e</p><p>paralelas com densidades de corrente uniformes iguais e de sentidos opostos é dado por:</p><p>naKH</p><p>���</p><p>×= ( H</p><p>�</p><p>= 0 nas regiões externas às 2 superfícies)</p><p>c) Linha de transmissão coaxial com corrente total +I uniformemente distribuída no condutor</p><p>central e –I no condutor externo</p><p>∫ = enlaçadaILdH</p><p>��</p><p>. onde φ= aHH</p><p>��</p><p>e φφρ= adLd</p><p>��</p><p>Para uma amperiana circular de raio ρ, tal que:</p><p>ρ < a ⇒</p><p>2a2</p><p>H</p><p>π</p><p>ρ</p><p>=φ I (no condutor central)</p><p>a < ρ < b ⇒</p><p>πρ</p><p>=φ 2</p><p>H</p><p>I</p><p>(no dielétrico)</p><p>b < ρ < c ⇒</p><p>22</p><p>22</p><p>c</p><p>cI</p><p>b2</p><p>H</p><p>−</p><p>ρ−</p><p>πρ</p><p>=φ (condutor externo)</p><p>ρ > c ⇒ 0H =φ (fora: blindagem magnética)</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo VVIIII:: CCAAMMPPOO MMAAGGNNÉÉTTIICCOO EESSTTAACCIIOONNÁÁRRIIOO 61</p><p>d) Solenóide de comprimento ∞∞∞∞ com uma distribuição superficial de corrente φ= aKK a</p><p>��</p><p>Para o solenóide infinitamente longo e a amperiana retangular ABCD temos:</p><p>∫ = enlaçadaILdH</p><p>��</p><p>. ⇒⇒⇒⇒ dLKLdH a</p><p>d</p><p>0</p><p>A</p><p>D</p><p>D</p><p>C</p><p>C</p><p>B</p><p>B</p><p>A</p><p>∫∫∫∫∫ =+++</p><p>��</p><p>. ⇒⇒⇒⇒ dK000dH a=+++</p><p>Portanto: aKH = ⇒⇒⇒⇒ zaaKH</p><p>��</p><p>=</p><p>Se o solenóide for de comprimento finito d com N espiras nas quais flui uma corrente I,</p><p>temos:</p><p>d</p><p>Ka</p><p>NI</p><p>= ⇒ za</p><p>d</p><p>H</p><p>�� NI</p><p>= (Bem dentro do solenóide)</p><p>e) Toróide ideal com distribuição superficial de corrente zaaKK</p><p>��</p><p>= em 0z,o =−ρ=ρ a ,</p><p>sendo ρρρρo o raio médio e a o raio da seção transversal do anel toroidal</p><p>∫ = enlaçadaILdH</p><p>��</p><p>. (Lei circuital de Ampère)</p><p>Para uma amperiana circular de raio ρ, tal que:</p><p>ρ < ρo – a ⇒ 0H =φ (fora do anel)</p><p>ρo – a < ρ < ρo + a ⇒</p><p>ρ</p><p>−ρ</p><p>=φ</p><p>ao</p><p>aKH</p><p>Vetorialmente: φφ</p><p>ρ</p><p>−ρ</p><p>= aKH o</p><p>a</p><p>�� a</p><p>ρ > ρo + a ⇒ 0H =φ (fora do anel)</p><p>Se este toróide possuir N espiras nos quais flui uma corrente I, temos:</p><p>( )a</p><p>NI</p><p>−ρπ</p><p>=</p><p>o</p><p>a 2</p><p>K ⇒ φ</p><p>πρ</p><p>= a</p><p>2</p><p>H</p><p>�� NI</p><p>(Bem dentro do toróide)</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo VVIIII:: CCAAMMPPOO MMAAGGNNÉÉTTIICCOO EESSTTAACCIIOONNÁÁRRIIOO 62</p><p>7.3 – ROTACIONAL</p><p>Seja um vetor (ou campo vetorial) qualquer expresso por: zzyyxx aAaAaAA</p><p>����</p><p>++=</p><p>Definição:</p><p>quadro e giz,</p><p>equipamentos audio-visuais, microcomputador e datashow.</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>IINNTTRROODDUUÇÇÃÃOO GGEERRAALL iv</p><p>• São também selecionados estudantes monitores com objetivo de:</p><p>� Prestar atendimento aos alunos, auxiliando-os na solução de listas de exercícios,</p><p>� Corrigir as listas de exercícios que forem entregues pelos alunos,</p><p>� Auxiliar o professor na correção de testes aplicados durante o curso,</p><p>� Auxiliar o professor na supervisão da aplicação de provas e/ou testes.</p><p>Formas de Avaliação</p><p>• São realizadas 3 provas do tipo sem consulta, com questões abertas ou dissertativas, isto é,</p><p>não são incluídas questões do tipo teste de múltipla escolha.</p><p>• São também aplicados 3 testes rápidos (30 minutos no máximo), distribuídos ao longo do</p><p>período, podendo estes ocorrem de surpresa, a critério do professor.</p><p>• É preparado um total de 9 listas de exercícios, relativas aos 9 capítulos, com 4 exercícios</p><p>cada uma, indicados previamente para cada aluno de acordo com a matéria lecionada nestes</p><p>capítulos, tomando como base o livro texto (referência [1]) e o livro de exercícios adotado</p><p>(referência [2]). Os exercícios são definidos pelo professor de tal maneira que nenhum aluno</p><p>tenha os mesmos quatro exercícios de seu colega. Cada lista deverá ser entregue até no</p><p>máximo uma semana após o encerramento das aulas correspondentes ao capítulo da lista.</p><p>• Para ser aprovado na disciplina, cada aluno deverá cumprir os seguintes requisitos:</p><p>� Freqüência mínima de 75% nas aulas ministradas, a qual é verificada através de</p><p>chamada oral e/ou assinatura de lista de presença em sala de aula;</p><p>� Soma total das notas obtidas nas diversas avaliações igual ou superior a 60 pontos de</p><p>um total de 100 pontos, os quais são distribuídos segundo o quadro abaixo.</p><p>TIPO DE AVALIAÇÃO VALOR DATA</p><p>Primeira Prova (Capítulos I a IV) 20</p><p>Segunda Prova (Capítulos V e VI) 20</p><p>Terceira Prova (Capítulos VII a IX) 30</p><p>3 Testes Rápidos (4 pontos cada um) 12</p><p>9 Listas de Exercícios (2 pontos cada uma) 18</p><p>Total = 100</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>FORMULÁRIO GERAL v</p><p>FORMULÁRIO GERAL</p><p>1. DIVERGÊNCIA</p><p>� CARTESIANAS:</p><p>z</p><p>zD</p><p>y</p><p>yD</p><p>x</p><p>xD</p><p>∂</p><p>∂</p><p>+</p><p>∂</p><p>∂</p><p>+</p><p>∂</p><p>∂</p><p>=•∇ D</p><p>��</p><p>� CILÍNDRICAS:</p><p>z</p><p>zDD1)D(1</p><p>∂</p><p>∂</p><p>+</p><p>∂φ</p><p>φ∂</p><p>ρ</p><p>+</p><p>∂ρ</p><p>ρρ∂</p><p>ρ</p><p>=•∇ D</p><p>��</p><p>� ESFÉRICAS:</p><p>∂φ</p><p>φ∂</p><p>θ</p><p>+</p><p>∂θ</p><p>θθ∂</p><p>θ</p><p>+</p><p>∂</p><p>∂</p><p>=•∇</p><p>D</p><p>senr</p><p>1)D(sen</p><p>senr</p><p>1</p><p>r</p><p>)rDr(</p><p>r</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>D</p><p>��</p><p>2. GRADIENTE</p><p>� CARTESIANAS: zyx z</p><p>V</p><p>y</p><p>V</p><p>x</p><p>V</p><p>V aaa</p><p>���</p><p>�</p><p>∂</p><p>∂</p><p>+</p><p>∂</p><p>∂</p><p>+</p><p>∂</p><p>∂</p><p>=∇</p><p>� CILÍNDRICAS: zz</p><p>VV1V</p><p>V aaa</p><p>���</p><p>�</p><p>∂</p><p>∂</p><p>+</p><p>∂φ</p><p>∂</p><p>ρ</p><p>+</p><p>∂ρ</p><p>∂</p><p>=∇ φρ</p><p>� ESFÉRICAS: φθ</p><p>∂φ</p><p>∂</p><p>θ</p><p>+</p><p>∂θ</p><p>∂</p><p>+</p><p>∂</p><p>∂</p><p>=∇ aaa</p><p>���</p><p>� V</p><p>senr</p><p>1V</p><p>r</p><p>1</p><p>r</p><p>V</p><p>V r</p><p>3. LAPLACIANO</p><p>� CARTESIANAS:</p><p>�</p><p>∇ = + +2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2V</p><p>V</p><p>x</p><p>V</p><p>y</p><p>V</p><p>z</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>� CILÍNDRICAS:</p><p>�</p><p>∇ =</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> + +2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1 1</p><p>V</p><p>V V V</p><p>zρ</p><p>∂</p><p>∂ρ</p><p>ρ∂</p><p>∂ρ ρ</p><p>∂</p><p>∂φ</p><p>∂</p><p>∂</p><p>� ESFÉRICAS:</p><p>�</p><p>∇ =</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> +</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> +2</p><p>2</p><p>2</p><p>2 2 2</p><p>2</p><p>2</p><p>1 1 1</p><p>V</p><p>r r</p><p>r</p><p>V</p><p>r r</p><p>V</p><p>r</p><p>V∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂ θ</p><p>∂</p><p>∂θ</p><p>θ</p><p>∂</p><p>∂θ θ</p><p>∂</p><p>∂φsen</p><p>sen</p><p>sen</p><p>4. ROTACIONAL</p><p>� CARTESIANAS: z</p><p>xy</p><p>y</p><p>zx</p><p>x</p><p>yz</p><p>y</p><p>H</p><p>x</p><p>H</p><p>x</p><p>H</p><p>z</p><p>H</p><p>z</p><p>H</p><p>y</p><p>H</p><p>aaaH</p><p>���</p><p>��</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>∂</p><p>∂</p><p>−</p><p>∂</p><p>∂</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>∂</p><p>∂</p><p>−</p><p>∂</p><p>∂</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>∂</p><p>∂</p><p>−</p><p>∂</p><p>∂</p><p>=×∇</p><p>� CILÍNDRICAS:</p><p>( )</p><p>z</p><p>zz</p><p>HH1</p><p>H</p><p>z</p><p>H</p><p>z</p><p>HH1</p><p>aaaH</p><p>���</p><p>��</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>∂φ</p><p>∂</p><p>−</p><p>∂ρ</p><p>ρ∂</p><p>ρ</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>∂ρ</p><p>∂</p><p>−</p><p>∂</p><p>∂</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>∂</p><p>∂</p><p>−</p><p>∂φ</p><p>∂</p><p>ρ</p><p>=×∇</p><p>ρφ</p><p>φ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>φ</p><p>� ESFÉRICAS:</p><p>( ) ( ) ( )</p><p>φ</p><p>θ</p><p>θ</p><p>φθφ</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>∂θ</p><p>∂</p><p>−</p><p>∂</p><p>∂</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>∂</p><p>∂</p><p>−</p><p>∂φ</p><p>∂</p><p>θ</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>∂φ</p><p>∂</p><p>−</p><p>∂θ</p><p>θ∂</p><p>θ</p><p>=×∇ aaaH</p><p>���</p><p>��</p><p>H</p><p>r</p><p>rH</p><p>r</p><p>1</p><p>r</p><p>rHH</p><p>senr</p><p>1</p><p>r</p><p>1</p><p>HsenH</p><p>senr</p><p>1 rr</p><p>r</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>FORMULÁRIO GERAL vi</p><p>5. EQUAÇÕES DE MAXWELL</p><p>Forma Pontual Forma Integral</p><p>t∂</p><p>∂</p><p>−=×∇</p><p>B</p><p>E</p><p>�</p><p>��</p><p>∫ ∫ •</p><p>∂</p><p>∂</p><p>−=• S</p><p>B</p><p>LE d</p><p>t</p><p>d</p><p>S</p><p>�</p><p>�</p><p>dt</p><p>JJ</p><p>D</p><p>JH</p><p>��</p><p>�</p><p>���</p><p>+=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>+=×∇ ∫ ∫ •</p><p>∂</p><p>∂</p><p>+=• S</p><p>D</p><p>LH d</p><p>t</p><p>Id</p><p>S</p><p>�</p><p>�</p><p>vρ=•∇ D</p><p>��</p><p>dvd</p><p>vol vS ∫∫ ρ=• SD</p><p>�</p><p>0=•∇ B</p><p>��</p><p>0d</p><p>S</p><p>=•∫ SB</p><p>�</p><p>6. CONDIÇÕES DE CONTORNO ENTRE 2 MEIOS</p><p>Componentes tangenciais: Et1 = Et2 Ht1 – Ht2 = k</p><p>Componentes normais: Dn1 – Dn2 = ρS Bn1 = Bn2</p><p>7. PERMISSIVIDADE DO ESPAÇO LIVRE</p><p>Permissividade elétrica do vácuo:</p><p>π</p><p>≅×=ε</p><p>−</p><p>−</p><p>36</p><p>10</p><p>10854,8</p><p>9</p><p>12</p><p>o [F/m]</p><p>Permeabilidade magnética do vácuo: µ πo = × −4 10 7 [H/m]</p><p>8. FÓRMULAS IMPORTANTES DO ELETROMAGNETISMO</p><p>Lei de Gauss: internaQ=•∫S dSD</p><p>�</p><p>Teorema da Divergência: ( )dv d</p><p>volS ∫∫ •∇=• DSD</p><p>���</p><p>Equação de Poisson:</p><p>�</p><p>∇ = −2V vρ</p><p>ε</p><p>Equação de Laplace:</p><p>�</p><p>∇ =2 0V</p><p>Lei de Biot-Savart: ∫</p><p>π</p><p>×</p><p>=</p><p>2</p><p>R4</p><p>dI RaL</p><p>H</p><p>�</p><p>�</p><p>onde dvdSdI JKL</p><p>���</p><p>==</p><p>Lei Circuital de Ampère:</p><p>enlacada</p><p>Id∫ =• LH</p><p>�</p><p>Teorema de Stokes: ( )∫ ∫ •×∇=• SHLH dd</p><p>S</p><p>���</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>FORMULÁRIO GERAL vii</p><p>9. OUTRAS FÓRMULAS DO ELETROMAGNETISMO</p><p>PED</p><p>���</p><p>+ε= o</p><p>EP</p><p>��</p><p>oeεχ=</p><p>ED</p><p>��</p><p>ε=</p><p>ε ε ε= r o</p><p>∫ •=</p><p>volE dv</p><p>2</p><p>1</p><p>W ED</p><p>��</p><p>t</p><p>N</p><p>∂</p><p>Φ∂</p><p>−=fem</p><p>∫ •= LE d</p><p>�</p><p>fem</p><p>( ) S</p><p>B</p><p>LBv d</p><p>t</p><p>d</p><p>S</p><p>•</p><p>∂</p><p>∂</p><p>−•×= ∫∫</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>fem</p><p>∫ •=Φ</p><p>S</p><p>dSB</p><p>�</p><p>I</p><p>N</p><p>L</p><p>Φ</p><p>=</p><p>2</p><p>=</p><p>I</p><p>W2</p><p>L H</p><p>1</p><p>122</p><p>12 I</p><p>N</p><p>M</p><p>Φ</p><p>=</p><p>( )MHB</p><p>���</p><p>+µ= o</p><p>HM</p><p>��</p><p>mχ=</p><p>HB</p><p>��</p><p>µ=</p><p>µ µ µ= r o</p><p>∫ •=</p><p>volH dv</p><p>2</p><p>1</p><p>W HB</p><p>��</p><p>EF</p><p>��</p><p>QE =</p><p>( )BvF</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>×= QM</p><p>( )BvEFFF</p><p>�</p><p>�</p><p>����</p><p>×+=+= QME</p><p>BLF</p><p>�</p><p>×= dId</p><p>BSFrT</p><p>�</p><p>�</p><p>×=×= dIdd</p><p>Sm d Id =</p><p>BmT</p><p>�</p><p>×= dd</p><p>AB</p><p>���</p><p>×∇=</p><p>( )0=∇−= JH</p><p>���</p><p>mV</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>FORMULÁRIO GERAL viii</p><p>10. FÓRMULAS DE DERIVADAS #</p><p># u e v são funções de x; c, a e n são constantes arbitrárias.</p><p>1. [ ] 0a</p><p>dx</p><p>d</p><p>=</p><p>2. [ ] cxc</p><p>dx</p><p>d</p><p>=</p><p>3. [ ] 1nn xncxc</p><p>dx</p><p>d −=</p><p>4. [ ]</p><p>x2</p><p>1</p><p>x</p><p>dx</p><p>d</p><p>=</p><p>5. [ ]</p><p>dx</p><p>du</p><p>un</p><p>1</p><p>u</p><p>dx</p><p>d</p><p>n 1n</p><p>n</p><p>−</p><p>=</p><p>6. [ ]</p><p>dx</p><p>dv</p><p>dx</p><p>du</p><p>vu</p><p>dx</p><p>d</p><p>+=+</p><p>7. [ ]</p><p>dx</p><p>du</p><p>cuc</p><p>dx</p><p>d</p><p>=</p><p>8. [ ]</p><p>dx</p><p>du</p><p>v</p><p>dx</p><p>dv</p><p>uvu</p><p>dx</p><p>d</p><p>+=</p><p>9.</p><p>2v</p><p>u</p><p>dx</p><p>dv</p><p>v</p><p>dx</p><p>du</p><p>v</p><p>u</p><p>dx</p><p>d</p><p>−</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p>10. [ ]</p><p>dx</p><p>du</p><p>unu</p><p>dx</p><p>d 1nn −=</p><p>11. [ ]</p><p>dx</p><p>du</p><p>aaa</p><p>dx</p><p>d uu</p><p>ln=</p><p>12. [ ]</p><p>dx</p><p>dv</p><p>uu</p><p>dx</p><p>du</p><p>uvu</p><p>dx</p><p>d v1vv</p><p>ln+= −</p><p>13. ( )[ ]</p><p>dx</p><p>du</p><p>du</p><p>df</p><p>uf</p><p>dx</p><p>d</p><p>=</p><p>14. [ ] ( )1a,0a</p><p>dx</p><p>du</p><p>u</p><p>elog</p><p>ulog</p><p>dx</p><p>d a</p><p>a ≠≠=</p><p>15. [ ]</p><p>dx</p><p>du</p><p>u</p><p>1</p><p>u</p><p>dx</p><p>d</p><p>=ln</p><p>16. [ ]</p><p>dx</p><p>du</p><p>ucosusen</p><p>dx</p><p>d</p><p>=</p><p>17. [ ]</p><p>dx</p><p>du</p><p>usenucos</p><p>dx</p><p>d</p><p>−=</p><p>18. [ ]</p><p>dx</p><p>du</p><p>usectgu</p><p>dx</p><p>d 2=</p><p>19. [ ]</p><p>dx</p><p>du</p><p>ucosecucotg</p><p>dx</p><p>d 2−=</p><p>20. [ ]</p><p>dx</p><p>du</p><p>tguusecusec</p><p>dx</p><p>d</p><p>=</p><p>21. [ ]</p><p>dx</p><p>du</p><p>ucotgucosecucosec</p><p>dx</p><p>d</p><p>−=</p><p>22. [ ]</p><p>dx</p><p>du</p><p>u1</p><p>1</p><p>uarcsen</p><p>dx</p><p>d</p><p>2−</p><p>=</p><p>23. [ ]</p><p>dx</p><p>du</p><p>u1</p><p>1</p><p>uarccos</p><p>dx</p><p>d</p><p>2−</p><p>−=</p><p>24. [ ]</p><p>dx</p><p>du</p><p>u1</p><p>1</p><p>uarctg</p><p>dx</p><p>d</p><p>2+</p><p>=</p><p>25. [ ]</p><p>dx</p><p>du</p><p>u1</p><p>1</p><p>uarccotg</p><p>dx</p><p>d</p><p>2+</p><p>−=</p><p>26. [ ]</p><p>dx</p><p>du</p><p>1uu</p><p>1</p><p>uarcsec</p><p>dx</p><p>d</p><p>2 −</p><p>=</p><p>27. [ ]</p><p>dx</p><p>du</p><p>1uu</p><p>1</p><p>uarccosec</p><p>dx</p><p>d</p><p>2 −</p><p>−=</p><p>28.</p><p>dx</p><p>du</p><p>du</p><p>dy</p><p>dx</p><p>dy</p><p>= (Regra de Chain)</p><p>29. dz</p><p>z</p><p>F</p><p>dy</p><p>y</p><p>F</p><p>dx</p><p>x</p><p>F</p><p>dF</p><p>∂</p><p>∂</p><p>+</p><p>∂</p><p>∂</p><p>+</p><p>∂</p><p>∂</p><p>=</p><p>(Diferencial total de )z,y,x(F )</p><p>30.</p><p>yF</p><p>xF</p><p>dx</p><p>dy</p><p>0)y,x(F</p><p>∂∂</p><p>∂∂</p><p>−=⇒=</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>FORMULÁRIO GERAL ix</p><p>11. FÓRMULAS DE INTEGRAIS #</p><p># u e v são funções de x; C, a e n são constantes arbitrárias.</p><p>1. ( )[ ] )x(fdxxf</p><p>dx</p><p>d</p><p>=∫</p><p>2. ( ) Cdxvdxudxvu ++=+ ∫ ∫∫</p><p>3. Cdxuadxua += ∫∫</p><p>4. ( )1nC</p><p>1n</p><p>u</p><p>duu</p><p>1n</p><p>n −≠+</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>∫</p><p>5. ∫ += Cu</p><p>u</p><p>du</p><p>ln</p><p>6. ∫ += Cedue uu</p><p>7. ( )1a,0aC</p><p>a</p><p>a</p><p>dua</p><p>u</p><p>u ≠>+=∫</p><p>ln</p><p>8. ∫ +−= Cucosduusen</p><p>9. ∫ += Cusenduucos</p><p>10. CusecCucosduutg +=+−=∫ lnln</p><p>11. CucosecCusenduucotg +−=+=∫ lnln</p><p>12. ∫ ++= Cutgusecduusec ln</p><p>C</p><p>42</p><p>u</p><p>tg +</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> π</p><p>+= ln</p><p>13. ∫ ++−= Cucotgucosecduucosec ln</p><p>= C</p><p>2</p><p>u</p><p>tg +</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>ln</p><p>14. ∫ +−= C</p><p>4</p><p>u2sen</p><p>2</p><p>u</p><p>duusen 2</p><p>15. ∫ ++= C</p><p>4</p><p>u2sen</p><p>2</p><p>u</p><p>duucos2</p><p>16. ∫ += Cutgduusec2</p><p>17. ∫ +−= Cucotgduucosec2</p><p>18. ∫ +−= Cuutgduutg2</p><p>A componente do rotacional de A</p><p>�</p><p>na direção da normal (versor na</p><p>�</p><p>) de uma área ∆S é</p><p>dado por:</p><p>( )</p><p>S</p><p>LdA</p><p>limaA.rot</p><p>0S</p><p>n</p><p>∆</p><p>•∫</p><p>=•</p><p>→∆</p><p>��</p><p>��</p><p>onde Ld</p><p>�</p><p>representa o vetor diferencial de comprimento integrado ao longo do perímetro da área ∆S</p><p>Para determinar uma expressão matemática para o rotacional no sistema de coordenadas</p><p>cartesianas, seja o vetor A</p><p>�</p><p>aplicado no vértice da área ∆S = ∆y∆z que se situa mais próximo da</p><p>origem, ou vértice 1 da figura mostrada ao lado.</p><p>Neste caso, pela definição acima, temos:</p><p>( )</p><p>zy</p><p>LdA</p><p>limaA.rot 12341</p><p>0zy</p><p>x</p><p>∆∆</p><p>∫ •</p><p>=•</p><p>→∆∆</p><p>��</p><p>��</p><p>Desenvolvendo separadamente ∫ •</p><p>12341</p><p>LdA</p><p>��</p><p>, temos:</p><p>LdALdA</p><p>1</p><p>4</p><p>4</p><p>3</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>112341</p><p>����</p><p>•∫+∫+∫+∫=∫ •</p><p>zAyz</p><p>z</p><p>A</p><p>Azy</p><p>y</p><p>A</p><p>AyALdA z</p><p>y</p><p>y</p><p>z</p><p>zy</p><p>12341</p><p>∆−∆</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>∆</p><p>∂</p><p>∂</p><p>+−∆</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>∆</p><p>∂</p><p>∂</p><p>++∆≅∫ •</p><p>��</p><p>zy</p><p>z</p><p>A</p><p>y</p><p>A</p><p>LdA</p><p>yz</p><p>12341</p><p>∆∆</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>∂</p><p>∂</p><p>−</p><p>∂</p><p>∂</p><p>≅∫ •</p><p>��</p><p>Substituindo acima, obtemos, no limite, a componente do</p><p>rotacional de A</p><p>�</p><p>na direção do eixo x:</p><p>( ) </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>∂</p><p>∂</p><p>−</p><p>∂</p><p>∂</p><p>=•</p><p>z</p><p>A</p><p>y</p><p>A</p><p>aA.rot</p><p>yz</p><p>x</p><p>��</p><p>Semelhantemente, obtemos as componentes do rotacional</p><p>de A</p><p>�</p><p>nas direções dos eixos y e z, isto é:</p><p>( ) </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>∂</p><p>∂</p><p>−</p><p>∂</p><p>∂</p><p>=•</p><p>x</p><p>A</p><p>z</p><p>A</p><p>aA.rot zx</p><p>y</p><p>��</p><p>(ver figura)</p><p>( ) </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>∂</p><p>∂</p><p>−</p><p>∂</p><p>∂</p><p>=•</p><p>y</p><p>A</p><p>x</p><p>A</p><p>aA.rot xy</p><p>z</p><p>��</p><p>(ver figura)</p><p>Combinando os 3 componentes (na forma vetorial),</p><p>chegamos ao vetor que representa o rotacional de A</p><p>�</p><p>,</p><p>sendo expresso por:</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo VVIIII:: CCAAMMPPOO MMAAGGNNÉÉTTIICCOO EESSTTAACCIIOONNÁÁRRIIOO 63</p><p>z</p><p>xy</p><p>y</p><p>zx</p><p>x</p><p>yz a</p><p>y</p><p>A</p><p>x</p><p>A</p><p>a</p><p>x</p><p>A</p><p>z</p><p>A</p><p>a</p><p>z</p><p>A</p><p>y</p><p>A</p><p>A.rot</p><p>����</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>∂</p><p>∂</p><p>−</p><p>∂</p><p>∂</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>∂</p><p>∂</p><p>−</p><p>∂</p><p>∂</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>∂</p><p>∂</p><p>−</p><p>∂</p><p>∂</p><p>=</p><p>Para o vetor campo magnético zzyyxx aHaHaHH</p><p>����</p><p>++= e usando a notação de rotacional com o</p><p>vetor nabla, pode-se escrever:</p><p>HH.rot</p><p>���</p><p>×∇=</p><p>Em coordenadas cartesianas, e somente neste sistema de coordenadas, o rotacional de um vetor</p><p>pode ser obtido através do seguinte determinante:</p><p>zyx</p><p>zyx</p><p>HHH</p><p>z/y/x/</p><p>aaa</p><p>H ∂∂∂∂∂∂=×∇</p><p>���</p><p>��</p><p>Nota: Ver no FORMULÁRIO GERAL as outras expressões do rotacional ( H</p><p>��</p><p>×∇ ) nos sistemas</p><p>de coordenadas cilíndricas e esféricas.</p><p>Aplicando novamente a definição do cálculo da componente do rotacional na direção do eixo x,</p><p>porém agora para o vetor campo magnético, e considerando a lei circuital de Ampère, obtemos:</p><p>( ) x</p><p>0zy</p><p>12341</p><p>0zy</p><p>x J</p><p>zy</p><p>lim</p><p>zy</p><p>LdH</p><p>limaH.rot =</p><p>∆∆</p><p>∆</p><p>=</p><p>∆∆</p><p>∫ •</p><p>=•</p><p>→∆∆→∆∆</p><p>xI</p><p>��</p><p>��</p><p>onde ∆Ix = corrente envolvida pelo percurso 12341, ou corrente que atravessa a área ∆Sx = ∆y∆z.</p><p>De maneira análoga, obtém-se:</p><p>( ) yy JaH.rot =•</p><p>��</p><p>( ) zz JaH.rot =•</p><p>��</p><p>Daí, concluímos que o rotacional do vetor campo magnético resulta (na magnetostática) no vetor</p><p>densidade de corrente, ou seja:</p><p>JH</p><p>���</p><p>=×∇ (Forma pontual da lei circuital de Ampère)</p><p>Propriedades do operador rotacional:</p><p>1) A divergência do rotacional de qualquer função ou campo vetorial é sempre nula.</p><p>( ) 0A =×∇•∇</p><p>���</p><p>Seja, por exemplo, HA</p><p>��</p><p>= . Da expressão JH</p><p>���</p><p>=×∇ chegamos a 0J =•∇</p><p>��</p><p>.</p><p>2) O rotacional do gradiente de qualquer função ou campo escalar é sempre nulo.</p><p>( ) 0f =∇×∇</p><p>��</p><p>Seja, por exemplo, f = -V. Da expressão V∇−=</p><p>��</p><p>E chegamos a 0E =×∇</p><p>��</p><p>.</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo VVIIII:: CCAAMMPPOO MMAAGGNNÉÉTTIICCOO EESSTTAACCIIOONNÁÁRRIIOO 64</p><p>7.4 – TEOREMA DE STOKES</p><p>Pela definição de rotacional, temos:</p><p>( ) n</p><p>S aH</p><p>S</p><p>LdH ���</p><p>��</p><p>•×∇≈</p><p>∆</p><p>∫ • ∆</p><p>( ) SaHLdH nS ∆•×∇≈∫ • ∆</p><p>�����</p><p>( ) SHLdH S</p><p>�����</p><p>∆•×∇≈∫ • ∆</p><p>Somando a circulação de todos os ∆S da superfície S, chegamos na expressão matemática do</p><p>teorema de Stokes:</p><p>( )</p><p>C S</p><p>H dL H dS• = ∇× •∫ ∫</p><p>�� � � �</p><p>�</p><p>Notas: 1 - O contorno C envolve a superfície S. Os vetores dL</p><p>�</p><p>(de C) e dS</p><p>�</p><p>devem satisfazer a</p><p>“regra da mão direita” (com o polegar apontando dS</p><p>�</p><p>e os outros dedos apontando dL</p><p>�</p><p>);</p><p>2 - O teorema de Stokes é válido para qualquer campo vetorial, e não somente o campo H</p><p>�</p><p>.</p><p>7.5 – FLUXO MAGNÉTICO (ΦΦΦΦ) E DENSIDADE DE FLUXO MAGNÉTICO ( B</p><p>�</p><p>)</p><p>A densidade de fluxo magnético B</p><p>�</p><p>é definida para o vácuo de permeabilidade magnética µo (sendo</p><p>µo = 4π ×10-7 H/m ) e o campo magnético H</p><p>�</p><p>, como:</p><p>HB o</p><p>��</p><p>µ= (Unidade: Wb/m2)</p><p>Nota: B</p><p>�</p><p>é definido em outros meios somente a partir da seção 8.6 desta apostila.</p><p>O fluxo magnético Φ que atravessa uma área S é obtido integrando B</p><p>�</p><p>sobre a área S, isto é:</p><p>Φ = •∫</p><p>� �</p><p>B dSS (Unidade: Wb)</p><p>Exemplo: Calcular o fluxo magnético Φ entre o condutor interno (raio ρ = a) e o condutor externo</p><p>(raio ρ = b) de uma linha coaxial de comprimento L no vácuo.</p><p>Solução: φ</p><p>πρ</p><p>= aH</p><p>��</p><p>2</p><p>I</p><p>na região a < ρ < b</p><p>φ</p><p>πρ</p><p>µ</p><p>=µ= aHB</p><p>���</p><p>2</p><p>I</p><p>φφ ρ</p><p>πρ</p><p>µ</p><p>∫∫=∫=Φ adzdaSdB bL</p><p>0</p><p>S</p><p>����</p><p>..</p><p>2</p><p>I</p><p>a</p><p>a</p><p>b</p><p>2</p><p>IL</p><p>ln</p><p>π</p><p>µ</p><p>=Φ [Wb]</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo VVIIII:: CCAAMMPPOO MMAAGGNNÉÉTTIICCOO EESSTTAACCIIOONNÁÁRRIIOO 65</p><p>Analogias entre as equações da eletrostática e da magnetostática</p><p>ELETROSTÁTICA MAGNETOSTÁTICA</p><p>1) Densidade de fluxo elétrico</p><p>ED o</p><p>��</p><p>ε= (no vácuo)</p><p>1) Densidade de campo magnético</p><p>HB o</p><p>��</p><p>µ= (no vácuo)</p><p>2) Fluxo elétrico</p><p>SdD</p><p>S</p><p>��</p><p>•=ψ ∫</p><p>2) Fluxo magnético</p><p>SdB</p><p>S</p><p>��</p><p>•=Φ ∫</p><p>3) Lei de Gauss da eletrostática</p><p>intST QSdD =•=ψ ∫</p><p>��</p><p>3) Lei de Gauss da magnetostática</p><p>0dSB</p><p>S</p><p>=•∫</p><p>�</p><p>4) Divergência da densidade de fluxo elétrico</p><p>vD ρ=•∇</p><p>��</p><p>4) Divergência da densidade de fluxo magético</p><p>0B =•∇</p><p>��</p><p>5) Rotacional do campo elétrico</p><p>0E =×∇</p><p>��</p><p>5) Rotacional do campo magnético</p><p>JH</p><p>���</p><p>=×∇</p><p>6) Circulação do campo elétrico</p><p>0LdE =•∫</p><p>��</p><p>6) Circulação do campo magnético</p><p>SdJILdH</p><p>S</p><p>����</p><p>•==• ∫∫</p><p>7.6 – POTENCIAIS ESCALAR E VETOR MAGNÉTICOS</p><p>O potencial escalar magnético Vm é definido, analogamente ao potencial eletrostático, a partir de:</p><p>mVH ∇−=</p><p>��</p><p>(Unidade de Vm: A ou Aespira)</p><p>Esta expressão é definida somente na região onde 0J =</p><p>�</p><p>. (Por quê?)</p><p>Outras expressões (obtidas por analogia com o potencial eletrostático):</p><p>0Jem0Vm</p><p>2 ==∇</p><p>��</p><p>(Equação de Laplace para materiais homogêneos magnetizáveis)</p><p>LdHV</p><p>a</p><p>bab,m</p><p>��</p><p>•−= ∫ (Depende de percurso específico para ir de “b” até “a”)</p><p>O potencial vetor magnético A</p><p>�</p><p>é um campo vetorial tal que:</p><p>� � �</p><p>B A= ∇ × que satisfaz</p><p>� �</p><p>∇ • =B 0 (Unidade de A</p><p>�</p><p>: Wb/m)</p><p>Outras expressões (obtidas por analogia com o potencial eletrostático):</p><p>∫</p><p>π</p><p>µ</p><p>=</p><p>R4</p><p>Ld</p><p>A</p><p>�</p><p>� I</p><p>(Comparar com ∫</p><p>πε</p><p>ρ</p><p>=</p><p>R4</p><p>dLLV . Note que a direção de A</p><p>�</p><p>é a mesma de Ld</p><p>�</p><p>)</p><p>JA2 ���</p><p>µ−=∇ (Comparar com a Equação de Poisson</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>−=∇ v2V</p><p>�</p><p>)</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo VVIIII:: CCAAMMPPOO MMAAGGNNÉÉTTIICCOO EESSTTAACCIIOONNÁÁRRIIOO 66</p><p>Exemplo: Para a região entre o condutor interno (raio ρ = a) e o</p><p>condutor externo (raio ρ = b) da linha (ou cabo)</p><p>coaxial do exemplo anterior, calcular:</p><p>(a) Vm por mVH ∇−=</p><p>��</p><p>(b) LdHV</p><p>P</p><p>fRe</p><p>mP</p><p>��</p><p>•∫−=</p><p>(c) A</p><p>�</p><p>por BA</p><p>���</p><p>=×∇</p><p>Solução:</p><p>(a) mVH ∇−=</p><p>��</p><p>⇒ φφ</p><p>φ∂</p><p>∂</p><p>ρ</p><p>−=</p><p>πρ</p><p>a</p><p>V1</p><p>a</p><p>2</p><p>I m ��</p><p>⇒</p><p>π</p><p>−=</p><p>φ 2</p><p>I</p><p>d</p><p>dVm ⇒ C</p><p>2</p><p>I</p><p>Vm +φ</p><p>π</p><p>−=</p><p>Adotando Vm = 0 em φ = 0 (referência), obtemos C = 0 ⇒ φ</p><p>π</p><p>−=</p><p>2</p><p>I</p><p>Vm</p><p>Seja um ponto P(a < ρ <b, φ = π/4, z) situado na região entre os condutores (dielétrico) do</p><p>cabo coaxial. Este pode ser atingido de várias maneiras, partindo da referência, mantendo os</p><p>mesmos valores de ρ e z, e deslocando-se de um ângulo φ = ±2nπ+π/4, isto é, φ = π/4,</p><p>9π/4, 17π/4, ..., no sentido anti-horário, ou, φ = -7π/4, -15π/4, ... no sentido horário.</p><p>Assim, o potencial VmP, com relação a referência de potencial zero em φ = 0, possui</p><p>múltiplos valores em P,</p><p>dependendo do percurso usado para chegar até P. Por exemplo:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> π</p><p>π</p><p>−=</p><p>42</p><p>I</p><p>VmP ou </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> π</p><p>π</p><p>−=</p><p>4</p><p>9</p><p>2</p><p>I</p><p>VmP ou </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> π−</p><p>π</p><p>−=</p><p>4</p><p>7</p><p>2</p><p>I</p><p>VmP , etc...</p><p>Daí, pode-se concluir que o potencial escalar magnético representa um campo não-</p><p>conservativo. Lembre-se que o potencial eletrostático entre 2 pontos não depende do</p><p>percurso ou caminho entre estes, representando assim um campo conservativo.</p><p>(b) Adotando Vm = 0 em φ = 0 (referência), o potencial no ponto P(a < ρ <b, φ, z) é:</p><p>LdHV</p><p>P</p><p>fRe</p><p>mP</p><p>��</p><p>•∫−= ⇒ φ∫</p><p>π</p><p>−=φρ•</p><p>πρ</p><p>∫−=</p><p>φ</p><p>=φ</p><p>φφ</p><p>φ</p><p>=φ</p><p>d</p><p>2</p><p>I</p><p>ada</p><p>2</p><p>I</p><p>V</p><p>00</p><p>mP</p><p>��</p><p>⇒ φ</p><p>π</p><p>−=</p><p>2</p><p>I</p><p>VmP</p><p>(c) BA</p><p>���</p><p>=×∇ ⇒ φφ</p><p>ρ</p><p>πρ</p><p>µ=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>ρ∂</p><p>∂</p><p>−</p><p>∂</p><p>∂</p><p>a</p><p>2</p><p>I</p><p>a</p><p>A</p><p>z</p><p>A z ��</p><p>⇒</p><p>πρ</p><p>µ=</p><p>ρ∂</p><p>∂</p><p>−</p><p>2</p><p>IAz</p><p>Integrando: ∫∫ ρ</p><p>ρ∂</p><p>π</p><p>µ−=∂</p><p>2</p><p>I</p><p>A z ⇒ C</p><p>2</p><p>I</p><p>Az +ρ</p><p>π</p><p>µ</p><p>−= ln</p><p>Tomando Az = 0 em ρ = b (referência), obtemos: b</p><p>2</p><p>I</p><p>C ln</p><p>π</p><p>µ</p><p>= ⇒</p><p>ρπ</p><p>µ</p><p>=</p><p>b</p><p>2</p><p>I</p><p>Az ln</p><p>Vetorialmente: zzz a</p><p>b</p><p>2</p><p>I</p><p>aAA</p><p>���</p><p>ρπ</p><p>µ</p><p>== ln</p><p>Atenção: Note que A</p><p>�</p><p>tem o mesmo sentido de za</p><p>�</p><p>(sentido da corrente no condutor central</p><p>pois ρ < b). Também A</p><p>�</p><p>decresce com o aumento de ρ desde ρ = a até ρ = b.</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo VVIIII:: CCAAMMPPOO MMAAGGNNÉÉTTIICCOO EESSTTAACCIIOONNÁÁRRIIOO 67</p><p>7.7 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS</p><p>7.1) a) Demonstrar que o campo magnético H</p><p>�</p><p>num ponto P devido a um filamento retilíneo de</p><p>comprimento finito (extremidades A e B), com corrente I no sentido indicado, é dado por:</p><p>( ) φαα</p><p>πρ</p><p>aH</p><p>��</p><p>4 21 sensen +=</p><p>I</p><p>, sendo:</p><p>α1, α2 = ângulos positivos medidos conforme indicados,</p><p>φa</p><p>�</p><p>= vetor unitário que define o sentido do campo no pto P,</p><p>ρ = menor distância, na perpendicular, do ponto P ao segmento</p><p>AB ou ao seu prolongamento.</p><p>b) A partir da expressão de H</p><p>�</p><p>acima, determinar seus valores nos pontos C(0, 4, 0), D(3, 4,</p><p>0) e E(-3, 4, 0), se o filamento for colocado sobre o eixo x, com suas extremidades A e B</p><p>posicionadas, respectivamente, em (-3, 0, 0) e (3, 0, 0).</p><p>c) A partir da expressão de H</p><p>�</p><p>acima, determinar seus valores nos mesmos pontos C, D e E,</p><p>com o filamento sobre o eixo x, porém, agora com sua extremidade A posicionada na</p><p>origem e sua extremidade B estendendo ao infinito.</p><p>Respostas: a) Demonstração;</p><p>b) zC</p><p>40</p><p>3</p><p>aH</p><p>π</p><p>I</p><p>= [A/m], zD</p><p>208</p><p>133</p><p>aH</p><p>π</p><p>I</p><p>= [A/m], zE</p><p>208</p><p>133</p><p>aH</p><p>π</p><p>I</p><p>= [A/m];</p><p>c) zC</p><p>16</p><p>aH</p><p>π</p><p>I</p><p>= [A/m], zD</p><p>10</p><p>aH</p><p>π</p><p>I</p><p>= [A/m], zE</p><p>40</p><p>aH</p><p>π</p><p>I</p><p>= [A/m];</p><p>7.2) Um filamento de corrente muito longo está situado sobre a reta x = 5 e z = 0, possuindo uma</p><p>corrente de 20π [A], orientada no sentido positivo do eixo y. Determinar o campo magnético</p><p>H</p><p>�</p><p>(na forma vetorial) nos seguintes pontos:</p><p>a) O(0,0,0); b) P(0,0,5); c) Q(5,0,5); d) S(5,5,5).</p><p>Respostas: a) zO 2 aH = [A/m]; b) zxP aaH += [A/m];</p><p>c) xQ 2 aH = [A/m]; d) xS 2 aH = [A/m].</p><p>7.3) Uma corrente filamentar I, no vácuo, sobre o eixo z, flui no sentido positivo do eixo. Seja um</p><p>percurso retangular ABCDA sobre o plano z = 0, com vértices nos pontos A(a,a,0), B(-a,a,0),</p><p>C(-a,-a,0) e D(a,-a,0). Determinar, para este percurso e utilizando o menor caminho, os</p><p>seguintes valores:</p><p>a) VmAB ; b) VmBC ; c) VmCD ; d) VmDA ;</p><p>e) VmAB + VmBC + VmCD + VmDA → Concluir a respeito do valor obtido;</p><p>f) VmAC por 2 caminhos (via B e depois via D) → Comparar os valores e concluir a respeito.</p><p>Respostas: a)</p><p>4</p><p>I</p><p>VmAB = ; b)</p><p>4</p><p>I</p><p>VmBC = ; c)</p><p>4</p><p>I</p><p>VmCD = ; d)</p><p>4</p><p>I</p><p>VmDA = ;</p><p>e) IVVVV mDAmCDmBCmAB =+++ = corrente enlaçada;</p><p>f)</p><p>2</p><p>I</p><p>V 1mAC = ≠</p><p>2</p><p>I</p><p>V 2mAC −= ⇒ Logo o sistema não é conservativo.</p><p>7.4) Encontre a indução magnética no centro de um triângulo equilátero de lado a, conduzindo</p><p>uma corrente I.</p><p>Resposta:</p><p>a 2</p><p>I9</p><p>B o</p><p>π</p><p>µ</p><p>= .</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo VVIIII:: CCAAMMPPOO MMAAGGNNÉÉTTIICCOO EESSTTAACCIIOONNÁÁRRIIOO 68</p><p>7.5) Um toróide no espaço livre com seção transversal retangular é formado pela interseção dos</p><p>planos z=0 e z=3 [cm] e os cilindros ρ=5 [cm] e ρ=7,5 [cm]. Uma densidade superficial de</p><p>corrente flui na superfície interna do toróide sendo dada por z300aK</p><p>��</p><p>=int [A/m].</p><p>Determinar:</p><p>a) O valor total da corrente Itotal na superfície interna do toróide;</p><p>b) As densidades superficiais de corrente (forma vetorial) nas outras 3 superfícies do toróide,</p><p>identificando-as por extK</p><p>�</p><p>, topoK</p><p>�</p><p>e baseK</p><p>�</p><p>;</p><p>c) O campo magnético H</p><p>�</p><p>dentro do toróide;</p><p>d) O fluxo magnético total Φ total que circula dentro do toróide.</p><p>Respostas: a) Itotal = 30π [A]; b) zext 200aK −= [A/m], ρ</p><p>ρ</p><p>aK</p><p>15</p><p>topo = [A/m],</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>aK</p><p>15</p><p>base −= [A/m]; c) φ</p><p>ρ</p><p>aH</p><p>15</p><p>= [A/m]; d) Φ total = 0,23 [µWb].</p><p>7.6) Calcular o campo magnético H</p><p>�</p><p>no ponto P</p><p>da figura, admitindo que os fios são muito</p><p>longos.</p><p>Resposta: z</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>I</p><p>aH </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+⋅=</p><p>πa</p><p>7.7) Dado z</p><p>2</p><p>y</p><p>2</p><p>x</p><p>2 z1xzy1x2yz aaaH )()( +−++=</p><p>�</p><p>a) Determinar ∫ • dLH ao longo do contorno quadrado indo de P(0, 2, 0) a A(0, 2+b, 0) a</p><p>B(0, 2+b, b) a C(0, 2, b) a P(0, 2, 0);</p><p>b) Determinar H×∇ ;</p><p>c) Mostrar que ( )xH×∇ =</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>∆</p><p>•∫</p><p>→∆ S0S</p><p>dLH</p><p>lim em P.</p><p>Respostas: a) ∫ • dLH</p><p>3</p><p>2</p><p>48</p><p>4</p><p>32 b</p><p>bb −−−= ;</p><p>b) z</p><p>22</p><p>y</p><p>2</p><p>x</p><p>2 )zzy2( )zyz2( )y)1x(2( aaaH −++++−=×∇ ;</p><p>c) Demonstração (Notar que ∆S = b2 e que em P, x = 0, y = 2, z = 0).</p><p>7.8) Seja uma espira circular de raio ρ = a, situada no plano z = 0, na qual circula uma corrente I</p><p>no sentido anti-horário. Determinar no ponto P(0,0,h):</p><p>a) O campo magnético H</p><p>�</p><p>;</p><p>b) O potencial magnético Vm, supondo a referência de potencial zero no infinito.</p><p>Respostas: a)</p><p>( ) ( )</p><p>z2/3z2/3</p><p>a</p><p>2</p><p>a</p><p>2</p><p>H</p><p>���</p><p>22</p><p>2</p><p>22</p><p>2</p><p>ah</p><p>aI</p><p>az</p><p>aI</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>= ; b)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+</p><p>−=</p><p>22</p><p>m</p><p>ah</p><p>hI</p><p>V 1</p><p>2</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo VVIIII:: CCAAMMPPOO MMAAGGNNÉÉTTIICCOO EESSTTAACCIIOONNÁÁRRIIOO 69</p><p>7.9) Determinar no ponto P da figura abaixo, as contribuições para a intensidade do campo</p><p>magnético H</p><p>�</p><p>causadas por I (sentido anti-horário) para:</p><p>a) A seção semi-circular de raio a;</p><p>b) Os 2 condutores horizontais de comprimento l,</p><p>c) O condutor vertical de comprimento 2a,</p><p>d) Repetir o item (b) supondo l >> a,</p><p>e) Repetir o item (c) supondo l >> a.</p><p>Respostas: a) za</p><p>4</p><p>I</p><p>H</p><p>��</p><p>a</p><p>= ; b) za</p><p>2</p><p>I</p><p>H</p><p>��</p><p>22</p><p>ala</p><p>l</p><p>+π</p><p>= ; c) za</p><p>2</p><p>I</p><p>H</p><p>��</p><p>22</p><p>all</p><p>a</p><p>+π</p><p>= ;</p><p>d) za</p><p>2</p><p>I</p><p>H</p><p>��</p><p>aπ</p><p>= ; e) za</p><p>2</p><p>I</p><p>H</p><p>��</p><p>2</p><p>l</p><p>a</p><p>π</p><p>=</p><p>7.10) Dado φθ θ+</p><p>θ</p><p>= ar180a</p><p>r10</p><p>H</p><p>2</p><p>���</p><p>cos</p><p>sen</p><p>, no espaço livre, determinar:</p><p>a) H</p><p>��</p><p>×∇ ;</p><p>b) a corrente que sai da superfície cônica θ = 30o, 0 ≤ φ ≤ 2π,</p><p>0 ≤ r ≤ 2, usando um dos lados do teorema de Stokes;</p><p>c) usando o outro lado do teorema de Stokes, verificar o resultado</p><p>anterior.</p><p>Respostas: a) φθ</p><p>θ</p><p>+θ−</p><p>θ</p><p>θ</p><p>=×∇ a</p><p>r30</p><p>a360a</p><p>180</p><p>H r</p><p>�����</p><p>sen</p><p>cos</p><p>sen</p><p>cos2</p><p>;</p><p>b) 1o lado: A19593360SdH</p><p>S</p><p>−=π−==•×∇∫ I</p><p>���</p><p>;</p><p>c) 2o lado: A19593360LdH −=π−==•∫ I</p><p>��</p><p>7.11) Três superfícies infinitas de corrente localizam-se, no vácuo, da seguinte maneira: xa100 A/m</p><p>em z = 0, xa50− A/m em z = 4 m, e xa50− A/m em z = –4 m.</p><p>a) Sendo Vm = 0 em P(1, 2, 3), ache Vm em Q(1,5; 2,6; 3,7).</p><p>b) Sendo 0A = em P(1, 2, 3), ache A em Q(1,5; 2,6; 3,7).</p><p>Sugestão: Use a componente apropriada de AB ×∇= e o seu conhecimento acerca da</p><p>direção do vetor A .</p><p>Respostas: a) A30V100y50V mQm =⇒−= ;</p><p>b) ( ) m/Wba0,44Aa150z50A xQxoo µ−=⇒µ+µ−=</p><p>7.12) Partindo da identidade vetorial ( ) AAA 2∇−•∇∇≡×∇×∇ , e utilizando coordenadas</p><p>cartesianas, mostre zz</p><p>2</p><p>yy</p><p>2</p><p>xx</p><p>22 aaaA AAA ∇+∇+∇≡∇ , podendo A ser um vetor</p><p>qualquer.</p><p>Resposta: Demonstração.</p><p>7.13) Demonstre que o potencial vetor magnético para dois fios compridos, retos e paralelos, que</p><p>conduzem a mesma corrente I, em sentidos opostos, é: L</p><p>1</p><p>2o</p><p>r</p><p>r</p><p>ln</p><p>2</p><p>I</p><p>aA</p><p>��</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>π</p><p>µ</p><p>= , onde r2 e r1 são</p><p>as distâncias dos fios ao ponto desejado</p><p>e La</p><p>�</p><p>é o vetor unitário paralelo aos fios.</p><p>Resposta: Demonstração.</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo VVIIII:: CCAAMMPPOO MMAAGGNNÉÉTTIICCOO EESSTTAACCIIOONNÁÁRRIIOO 70</p><p>Anotações do Capítulo VII</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo VVIIIIII:: FFOORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTOOSS MMAAGGNNÉÉTTIICCOOSS,, MMAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA 71</p><p>Capítulo VIII</p><p>FORÇAS E CIRCUITOS MAGNÉTICOS, MATERIAIS E INDUTÂNCIA</p><p>8.1 – FORÇA SOBRE UMA CARGA EM MOVIMENTO</p><p>BvQF</p><p>���</p><p>×= (Unidade da força: N)</p><p>Se ambos os campos elétrico e magnético estão presentes, a</p><p>força sobre uma carga pontual Q, chamada força de Lorentz, é:</p><p>( )BvEQF</p><p>����</p><p>×+= em N, ou ( )BvEf v</p><p>����</p><p>×+ρ= em N/m3</p><p>8.2 – FORÇA SOBRE UM ELEMENTO DIFERENCIAL DE CORRENTE</p><p>( ) ( ) ( ) BdtvIBvIdtBvdQFd</p><p>�������</p><p>×=×=×= ⇒ BLIdFd</p><p>���</p><p>×=</p><p>Para um condutor retilíneo, com .cteB =</p><p>�</p><p>, obtemos: BLIF</p><p>���</p><p>×=</p><p>Módulo da força F</p><p>�</p><p>: θ= senLIBF onde θ é o ângulo entre os</p><p>vetores L</p><p>�</p><p>e B</p><p>�</p><p>Sentido da força F</p><p>�</p><p>: Regra do produto vetorial, indo de L</p><p>�</p><p>para B</p><p>�</p><p>.</p><p>Nota: Caso os vetores L</p><p>�</p><p>e B</p><p>�</p><p>sejam perpendiculares (θ =90o), pode-se usar a conhecida</p><p>“Regra dos 3 dedos da mão esquerda” para obter o sentido de F</p><p>�</p><p>. Assim, com o</p><p>dedo indicador apontando B</p><p>�</p><p>e o dedo médio apontando L</p><p>�</p><p>(ou I), obtém-se o dedo</p><p>polegar apontando o sentido de F</p><p>�</p><p>.</p><p>Exemplo: Determinar as forças de repulsão entre 2 condutores filamentares retilíneos longos e</p><p>paralelos, separados por uma distância d por onde fluem correntes I iguais e opostas.</p><p>Solução:</p><p>Os sentidos das forças estão indicados na figura.</p><p>As duas forças possuem mesmo módulo, o qual é obtido do</p><p>seguinte modo (no vácuo):</p><p>LBF I= onde</p><p>d2</p><p>HB oo</p><p>π</p><p>µ=µ=</p><p>I</p><p>Logo: L</p><p>d2</p><p>F o I</p><p>I</p><p>π</p><p>µ= ⇒</p><p>d2L</p><p>F o</p><p>π</p><p>µ</p><p>=</p><p>2I</p><p>[N/m]</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo VVIIIIII:: FFOORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTOOSS MMAAGGNNÉÉTTIICCOOSS,, MMAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA 72</p><p>8.3 – FORÇA ENTRE ELEMENTOS DIFERENCIAIS DE CORRENTE</p><p>Densidade do fluxo magnético no ponto 2 devido ao elemento diferencial de corrente no ponto 1:</p><p>2</p><p>12</p><p>R11</p><p>o2o2</p><p>R4</p><p>aLdI</p><p>HdBd 12</p><p>π</p><p>×</p><p>µ=µ=</p><p>��</p><p>��</p><p>Relembrando, a força diferencial em um elemento diferencial de corrente é expressa por:</p><p>BLIdFd</p><p>���</p><p>×=</p><p>Substituindo B</p><p>�</p><p>por 2Bd</p><p>�</p><p>, e 22 LdILId</p><p>��</p><p>= , a quantidade diferencial da força diferencial no</p><p>elemento diferencial de corrente no ponto 2 torna-se:</p><p>( ) 2222 BdLdIFdd</p><p>���</p><p>×=</p><p>Substituindo 2Bd</p><p>�</p><p>:</p><p>( )</p><p>2</p><p>12</p><p>R11</p><p>o222</p><p>R4</p><p>aLdI</p><p>LdIFdd 12</p><p>π</p><p>×</p><p>µ×=</p><p>��</p><p>��</p><p>( )</p><p>2</p><p>12</p><p>R1</p><p>2</p><p>21</p><p>o2</p><p>R</p><p>aLd</p><p>Ld</p><p>4</p><p>II</p><p>Fdd 12</p><p>��</p><p>�� ×</p><p>×</p><p>π</p><p>µ= ⇒ ∫ ∫</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> ×</p><p>×</p><p>π</p><p>µ=</p><p>2</p><p>12</p><p>R1</p><p>2</p><p>21</p><p>o2</p><p>R</p><p>aLd</p><p>Ld</p><p>4</p><p>II</p><p>F 12</p><p>��</p><p>��</p><p>Nota: A segunda integral é necessária para obter o campo magnético em 2 devido à corrente no</p><p>ponto 1. Pelo demonstrado, é melhor dividir o problema de calcular a força magnética em</p><p>duas partes: primeiro calcula-se o vetor campo magnético, e depois calculamos a força.</p><p>8.4 – TORQUE EM UMA ESPIRA INFINITESIMAL PLANA</p><p>Para a espira infinitesimal retangular da figura e da definição de torque ( FrT</p><p>���</p><p>×= ) , obtém-se:</p><p>BSdTd</p><p>���</p><p>×= I (Unidade de T</p><p>�</p><p>: Nm)</p><p>Definindo o momento magnético diferencial da espira como:</p><p>Sdmd</p><p>��</p><p>I= (Unidade de m</p><p>�</p><p>: Am2)</p><p>podemos escrever o torque na espira como sendo:</p><p>BmdTd</p><p>���</p><p>×=</p><p>De uma maneira geral, para B</p><p>�</p><p>constante em toda área S, temos:</p><p>BmBST</p><p>�����</p><p>×=×= I</p><p>Notas:</p><p>• As equações acima são também válidas para qualquer forma de</p><p>espira de corrente, como por exemplo a espira circular.</p><p>• O torque na espira ( T</p><p>�</p><p>) atua de tal maneira a alinhar o momento</p><p>magnético ( m</p><p>�</p><p>) produzido pela espira com o campo magnético externo ( B</p><p>�</p><p>).</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo VVIIIIII:: FFOORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTOOSS MMAAGGNNÉÉTTIICCOOSS,, MMAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA 73</p><p>8.5 – A NATUREZA DOS MATERIAIS MAGNÉTICOS</p><p>Existem 3 tipos de momentos magnéticos em um átomo causados por:</p><p>1o) Rotação (spin) do elétron em torno de seu próprio eixo: spinm</p><p>�</p><p>2o) Rotação do núcleo em torno de seu próprio eixo: núcleom</p><p>�</p><p>3o) Movimento circular (órbita) do elétron em torno do núcleo: orbm</p><p>�</p><p>Dependendo da combinação desses momentos magnéticos pode-se classificar 6 tipos diferentes de</p><p>material, conforme mostrado na seguinte tabela.</p><p>CLASSIFICAÇÃO</p><p>DO MATERIAL</p><p>MOMENTOS</p><p>MAGNÉTICOS</p><p>B µµµµR</p><p>VALORES USUAIS</p><p>ALGUNS EXEMPLOS</p><p>E COMENTÁRIOS</p><p>1 – Diamagnético 0mm spinorb =+</p><p>��</p><p>Bint < Bapl,</p><p>Bint ≅ Bapl</p><p>µR < 1,</p><p>µR ≅ 1</p><p>H, He, NaCl, Cu, Au, Si, Ge, S,</p><p>grafite, gases inertes.</p><p>2 – Paramagnético pequenospinorb mm =+</p><p>��</p><p>Bint > Bapl,</p><p>Bint ≅ Bapl</p><p>µR > 1,</p><p>µR ≅ 1</p><p>K, O, Al, Be, tungstênio, terras-</p><p>raras, vários sais.</p><p>3 – Ferromagnético</p><p>orbspin mm</p><p>��</p><p>>> Bint >> Bapl µR >> 1</p><p>103<µR <106</p><p>Fe, Co, Ni, ligas. Domínios</p><p>magnéticos fortes</p><p>4 – Antiferromagnético</p><p>orbspin mm</p><p>��</p><p>>> Bint ≅ Bapl µR ≅ 1</p><p>Óxido de magnésio. Momentos</p><p>adjacentes se opõem e cancelam</p><p>5 – Ferrimagnético</p><p>orbspin mm</p><p>��</p><p>> Bint > Bapl µR > 1</p><p>10<µR <103</p><p>Ferrites. Momentos adjacentes</p><p>desiguais paralelos e opostos</p><p>6 – Superparamagnético</p><p>orbspin mm</p><p>��</p><p>> Bint > Bapl µR > 1</p><p>1 < µR < 10</p><p>Fitas magnéticas de gravação.</p><p>Matriz não magnética.</p><p>8.6 – MAGNETIZAÇÃO E PERMEABILIDADE MAGNÉTICA</p><p>Magnetização M</p><p>�</p><p>é definido como sendo o momento magnético total por unidade de volume, isto é:</p><p>v</p><p>m</p><p>limm</p><p>v</p><p>1</p><p>limM total</p><p>0v</p><p>vn</p><p>1i</p><p>i</p><p>0v ∆</p><p>=∑</p><p>∆</p><p>=</p><p>→∆</p><p>∆</p><p>=→∆</p><p>�</p><p>��</p><p>(Unidade: A/m – mesma unidade de H)</p><p>onde n é o número de dipolos magnéticos por unidade de volume ∆v</p><p>A lei circuital de Ampère relaciona o campo magnético H</p><p>�</p><p>com a corrente de condução I que</p><p>produz este campo, isto é:</p><p>∫ •= LdH</p><p>��</p><p>I</p><p>Por analogia, pode-se também relacionar o campo M</p><p>�</p><p>com uma corrente, Im, que produz este</p><p>campo, sendo esta corrente chamada de corrente de magnetização.</p><p>∫ •= LdM</p><p>��</p><p>mI</p><p>A lei circuital de Ampère em termos da corrente total, IT, é expressa por:</p><p>∫ •</p><p>µ</p><p>= Ld</p><p>B</p><p>o</p><p>�</p><p>�</p><p>TI</p><p>onde:</p><p>IT = I + Im = soma das correntes de condução e de magnetização</p><p>µo = 4π×10-7 = permeabilidade magnética do vácuo (unidade: H/m)</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo VVIIIIII:: FFOORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTOOSS MMAAGGNNÉÉTTIICCOOSS,, MMAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA 74</p><p>Substituindo as correntes pelas suas expressões com integrais, obtemos a seguinte expressão geral</p><p>que relaciona os 3 campos B</p><p>�</p><p>, H</p><p>�</p><p>e M</p><p>�</p><p>em qualquer tipo de meio:</p><p>MH</p><p>B</p><p>o</p><p>��</p><p>�</p><p>+=</p><p>µ</p><p>⇒ ( )MHB o</p><p>���</p><p>+µ= (Análoga a PED o</p><p>���</p><p>+ε= )</p><p>Para um meio linear e isotrópico, pode-se relacionar M</p><p>�</p><p>linearmente com H</p><p>�</p><p>por:</p><p>HM m</p><p>��</p><p>χ= (Análoga a EP oe</p><p>��</p><p>εχ= )</p><p>sendo χm chamada de susceptibilidade magnética (constante adimensional).</p><p>Substituindo M</p><p>�</p><p>na expressão geral, e arranjando os termos, obtemos a conhecida relação:</p><p>HB</p><p>��</p><p>µ=</p><p>onde:</p><p>oRµµ=µ = permeabilidade magnética absoluta (unidade: H/m)</p><p>mR 1 χ+=µ = permeabilidade magnética relativa (constante adimensional)</p><p>Nota: Por analogia com JH</p><p>���</p><p>=×∇ , pode-se chegar a: mJM</p><p>���</p><p>=×∇ e ( ) To JB</p><p>���</p><p>=µ×∇ .</p><p>8.7 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA O CAMPO MAGNÉTICO</p><p>Aplicando a lei de Gauss do campo magnético ao pequeno cilindro da figura e fazendo ∆h→0:</p><p>0SdB</p><p>S</p><p>=•∫</p><p>��</p><p>⇒ 0SBSB 2n1n =∆−∆ ⇒ 2n1n BB =</p><p>Logo, a componente normal da densidade de fluxo magnético é contínua, isto é, não se altera.</p><p>Aplicando a lei circuital de Ampère ao pequeno circuito fechado da figura, fazendo ∆h→0, temos:</p><p>enlaçadaILdH =•∫</p><p>��</p><p>⇒ LKLHLH 2t1t ∆=∆−∆ ⇒ KHH 2t1t =−</p><p>Logo, a</p><p>componente tangencial do campo magnético sofre uma descontinuidade de K, isto é, altera-</p><p>se de K quando existe uma distribuição superficial de corrente na fronteira entre os 2 meios. Em</p><p>forma vetorial, a expressão para o campo magnético acima é dada por:</p><p>( ) KaHH 12n21</p><p>����</p><p>=×− (Nota: 12na</p><p>�</p><p>= versor normal à fronteira dirigido da região 1 para a 2)</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo VVIIIIII:: FFOORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTOOSS MMAAGGNNÉÉTTIICCOOSS,, MMAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA 75</p><p>Se não existe distribuição de corrente na fronteira, isto é, se K = 0, obtém-se: 2t1t HH =</p><p>Logo, a componente tangencial do campo magnético é contínua, isto é, não se altera quando não</p><p>existe uma distribuição superficial de corrente (K) na fronteira entre os 2 meios.</p><p>8.8 – CIRCUITO MAGNÉTICO</p><p>A análise de circuitos magnéticos é feita por analogia com circuitos elétricos de corrente contínua</p><p>constante. O quadro abaixo indica a analogia entre as equações desses circuitos.</p><p>CIRCUITO ELÉTRICO CIRCUITO MAGNÉTICO</p><p>1) Intensidade de campo elétrico</p><p>VE ∇−=</p><p>��</p><p>1) Intensidade de campo magnético</p><p>mVH ∇−=</p><p>��</p><p>2) Diferença de potencial elétrico</p><p>∫ •=</p><p>B</p><p>A</p><p>AB LdEV</p><p>��</p><p>2) Diferença de potencial magnético</p><p>∫ •=</p><p>B</p><p>A</p><p>AB,m LdHV</p><p>��</p><p>3) Lei de Ohm, forma pontual</p><p>EJ</p><p>��</p><p>σ=</p><p>3) Densidade de fluxo magnético</p><p>HB</p><p>��</p><p>µ=</p><p>4) Corrente elétrica</p><p>∫ •= S SdJ</p><p>��</p><p>I</p><p>4) Fluxo magnético</p><p>Φ = •∫</p><p>� �</p><p>B dSS</p><p>5) Resistência (R)</p><p>S</p><p>L</p><p>R</p><p>σ</p><p>=</p><p>5) Relutância (ℜ)</p><p>S</p><p>L</p><p>µ</p><p>=ℜ</p><p>6) Lei de Ohm</p><p>IV R=</p><p>6) Lei de Ohm para circuitos magnéticos</p><p>Φℜ=mV</p><p>7) Lei de Kirchhoff das malhas</p><p>∫ =• 0LdE</p><p>��</p><p>7) Lei circuital de Ampère</p><p>∫ =• enlaçadaILdH</p><p>��</p><p>ou ∫ =• NILdH</p><p>��</p><p>Exemplo: Seja um toróide de núcleo de ar, de área de seção reta</p><p>S = 6 cm2, raio médio rm = 15 cm, envolvido por um</p><p>enrolamento com N = 500 espiras onde circula uma</p><p>corrente I = 4 A. Calcular a intensidade do campo</p><p>magnético H no interior do toróide.</p><p>Solução 1: Usando a equação do circuito elétrico análogo:</p><p>LHNFmm =Φℜ== I</p><p>Wb/Aesp1025,1</p><p>106104</p><p>10152</p><p>S</p><p>r2</p><p>S</p><p>L 9</p><p>47</p><p>2</p><p>o</p><p>m</p><p>o</p><p>×=</p><p>×××π</p><p>××π</p><p>=</p><p>µ</p><p>π</p><p>=</p><p>µ</p><p>=ℜ</p><p>−−</p><p>−</p><p>Wb106,1</p><p>1025,1</p><p>4500NFmm 6</p><p>9</p><p>−×=</p><p>×</p><p>×</p><p>=</p><p>ℜ</p><p>=</p><p>ℜ</p><p>=Φ</p><p>I</p><p>23</p><p>4</p><p>6</p><p>m/Wb1067,2</p><p>106</p><p>106,1</p><p>S</p><p>B −</p><p>−</p><p>−</p><p>×=</p><p>×</p><p>×</p><p>=</p><p>Φ</p><p>=</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo VVIIIIII:: FFOORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTOOSS MMAAGGNNÉÉTTIICCOOSS,, MMAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA 76</p><p>m/Aesp2120</p><p>104</p><p>1067,2B</p><p>H</p><p>7</p><p>3</p><p>o</p><p>=</p><p>×π</p><p>×</p><p>=</p><p>µ</p><p>=</p><p>−</p><p>−</p><p>Solução 2: Usando a lei circuital de Ampère:</p><p>∫ =• enlaçadaILdH</p><p>��</p><p>⇒ INr2H m =π× ⇒</p><p>mr2</p><p>N</p><p>H</p><p>π</p><p>=</p><p>I</p><p>⇒ m/Aesp2120</p><p>10152</p><p>4500</p><p>H</p><p>2</p><p>=</p><p>××π</p><p>×</p><p>=</p><p>−</p><p>Exemplo: Seja um toróide de núcleo de aço-silício (figura abaixo) de área de seção reta S = 6 cm2,</p><p>raio médio rm = 15 cm, com um entreferro ar� = 2 mm, o qual está envolvido por um</p><p>enrolamento com N = 500 espiras. Calcular a corrente I que deve circular no enrolamento</p><p>para que a densidade de fluxo magnético em todo o núcleo seja B = 1 Wb/m2.</p><p>Solução:</p><p>Escrevendo a equação do circuito elétrico análogo:</p><p>Φℜ+Φℜ== araçoNFmm I</p><p>ou,</p><p>ar,maço,m VVNFmm +== I</p><p>ou,</p><p>araraçoaço LHLHNFmm +== I</p><p>Daí,</p><p>N</p><p>LHLH araraçoaço +</p><p>=I</p><p>Fazendo Baço = B = 1 Wb/m2 e levando na curva do aço-silício (ver figura acima) obtemos:</p><p>200Haço = Aesp/m</p><p>Fazendo Bar = B = 1 Wb/m2, obtemos:</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo VVIIIIII:: FFOORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTOOSS MMAAGGNNÉÉTTIICCOOSS,, MMAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA 77</p><p>5</p><p>7</p><p>o</p><p>ar</p><p>ar 109577,7</p><p>104</p><p>1B</p><p>H ×=</p><p>×π</p><p>=</p><p>µ</p><p>=</p><p>−</p><p>Aesp/m</p><p>Logo,</p><p>( )</p><p>A56,3</p><p>500</p><p>002,0109577,7002,015,02200 5</p><p>=</p><p>××+−×π×</p><p>=I</p><p>Nota: Se desejarmos considerar o aumento da área da seção transversal por onde passa o fluxo no</p><p>ar (devido ao espalhamento de fluxo quando o mesmo passa do ferro para o ar), utiliza-se o</p><p>fator de espraiamento k, fazendo ferroar kSS = , sendo k > 1.</p><p>8.9 – ENERGIA DE UM CAMPO MAGNETOSTÁTICO</p><p>A energia total armazenada no campo magnetostático no qual B</p><p>�</p><p>é relacionado linearmente com H</p><p>�</p><p>é obtida por:</p><p>∫ •= volH dvHB</p><p>2</p><p>1</p><p>W</p><p>��</p><p>[J] (Análoga a: ∫ •= volE dvED</p><p>2</p><p>1</p><p>W</p><p>��</p><p>)</p><p>Notas: a) Fazendo HB</p><p>��</p><p>µ= , ou</p><p>µ</p><p>=</p><p>B</p><p>H</p><p>�</p><p>�</p><p>obtemos:</p><p>∫ µ= vol</p><p>2</p><p>H dvH</p><p>2</p><p>1</p><p>W ou ∫</p><p>µ</p><p>= vol</p><p>2</p><p>H dv</p><p>B</p><p>2</p><p>1</p><p>W</p><p>b) A densidade de energia (em J/m3) é dada por:</p><p>µ</p><p>=µ=•=</p><p>2</p><p>2H B</p><p>2</p><p>1</p><p>H</p><p>2</p><p>1</p><p>HB</p><p>2</p><p>1</p><p>dv</p><p>dW ��</p><p>8.10 – AUTO-INDUTÂNCIA E INDUTÂNCIA MÚTUA</p><p>Auto-indutância ou indutância própria ou simplesmente indutância, L, de um circuito fechado</p><p>(espira ou bobina) é definida como a razão entre o fluxo total enlaçado pelo circuito (Λ) e a corrente</p><p>(I) que produz este fluxo. (Ver figura).</p><p>II</p><p>Φ</p><p>=</p><p>Λ</p><p>=</p><p>N</p><p>L (Unidade: Henry, H)</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo VVIIIIII:: FFOORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTOOSS MMAAGGNNÉÉTTIICCOOSS,, MMAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA 78</p><p>Nota: A equação da indutância pode também ser obtida a partir da energia no campo magnético</p><p>(WH) devido a corrente I que flui no circuito fechado. Assim, temos:</p><p>2</p><p>I</p><p>HW2</p><p>L = ⇒ 2</p><p>IL</p><p>2</p><p>1</p><p>WH =</p><p>Indutância mútua, M, entre 2 circuitos fechados é definida como a razão entre o fluxo total</p><p>enlaçado pelos 2 circuitos e a corrente que produz este fluxo. (Ver figura).</p><p>11 II</p><p>12212</p><p>12</p><p>N</p><p>M</p><p>Φ</p><p>=</p><p>Λ</p><p>= (Unidade: Henry, H)</p><p>Nota: Em termos de energia mútua, temos:</p><p>( ) ( )dvHH</p><p>1</p><p>dvHB</p><p>1</p><p>M</p><p>vol</p><p>21</p><p>vol</p><p>2112 ∫ •µ=∫ •=</p><p>����</p><p>2121 IIII</p><p>onde:</p><p>1B</p><p>�</p><p>, 1H</p><p>�</p><p>= campo que resulta de I1 (com I2 = 0)</p><p>2H</p><p>�</p><p>= campo que resulta de I2 (com I1 = 0)</p><p>Na obtenção de M21, o lado direito da expressão</p><p>acima não varia, pois o produto escalar é</p><p>comutativo.</p><p>Portanto,</p><p>2112 MM =</p><p>Exemplo: A figura mostra 2 solenóides coaxiais de raios r1 e r2, r1 < r2, com n1 e n2 espiras/m.</p><p>Determinar (em H/m) as auto-indutâncias L1 e L2 e as indutâncias mútuas M12 e M21.</p><p>Solução: Da seção 7.2, e sendo N = no espiras, n = no espiras/m:</p><p>zz ana</p><p>N</p><p>H</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>I</p><p>I</p><p>== bem dentro do solenóide</p><p>0H =</p><p>�</p><p>fora do solenóide</p><p>Assim, para o solenóide 1 (interno) temos:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>>ρ</p><p><ρ=</p><p>=</p><p>1</p><p>1z1z</p><p>1</p><p>1 r</p><p>r</p><p>para</p><p>para</p><p>0</p><p>ana</p><p>N</p><p>H</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>1</p><p>1 I</p><p>I</p><p>Similarmente, para o solenóide 2 (externo) temos:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>>ρ</p><p><ρ=</p><p>=</p><p>2</p><p>2z2z</p><p>2</p><p>2 r</p><p>r</p><p>para</p><p>para</p><p>0</p><p>ana</p><p>N</p><p>H</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>2</p><p>2 I</p><p>I</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo VVIIIIII:: FFOORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTOOSS MMAAGGNNÉÉTTIICCOOSS,, MMAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA 79</p><p>a) Cálculo de L1 e M12 em H/m (supondo I2 = 0):</p><p>111 III</p><p>11111</p><p>1</p><p>nN</p><p>L</p><p>Φ</p><p>=</p><p>Φ</p><p>=</p><p>Λ</p><p>=</p><p>�</p><p>onde 2</p><p>110110111 rnSHSB πµ=µ==Φ 1I</p><p>Logo: 2</p><p>1</p><p>2</p><p>10</p><p>1 rn</p><p>L</p><p>πµ=</p><p>�</p><p>[H/m]</p><p>111 III</p><p>12212212</p><p>12</p><p>nN</p><p>M</p><p>Φ</p><p>=</p><p>Φ</p><p>=</p><p>Λ</p><p>=</p><p>�</p><p>onde 2</p><p>11011011112 rnSHSB πµ=µ==Φ=Φ 1I</p><p>Logo: 2</p><p>1210</p><p>12 rnn</p><p>M</p><p>πµ=</p><p>�</p><p>[H/m]</p><p>b) Cálculo de L2 e M21 em H/m (supondo I1 = 0):</p><p>222 III</p><p>22222</p><p>2</p><p>nN</p><p>L</p><p>Φ</p><p>=</p><p>Φ</p><p>=</p><p>Λ</p><p>=</p><p>�</p><p>onde 2</p><p>220220222 rnSHSB πµ=µ==Φ 2I</p><p>Logo: 2</p><p>2</p><p>2</p><p>20</p><p>2 rn</p><p>L</p><p>πµ=</p><p>�</p><p>[H/m]</p><p>222 III</p><p>21121121</p><p>21</p><p>nN</p><p>M</p><p>Φ</p><p>=</p><p>Φ</p><p>=</p><p>Λ</p><p>=</p><p>�</p><p>onde 2</p><p>1201201221 rnSHSB πµ=µ==Φ 2I</p><p>Logo:</p><p>��</p><p>122</p><p>1210</p><p>21 M</p><p>rnn</p><p>M</p><p>=πµ= [H/m]</p><p>Atenção: Adotando agora n1 = 50 espiras/cm e n2 = 80 espiras/cm; r1 = 2 cm e r2 = 3 cm, para os</p><p>2 solenóides coaxiais da figura, calcular os valores numéricos de L1 e L2 e M12 e M21.</p><p>m/mH5,39L250104L 1</p><p>227</p><p>1 =⇒×π×××π= −</p><p>m/mH4,227L380104L 2</p><p>227</p><p>2 =⇒×π×××π= −</p><p>m/mH2,63MM28050104MM 2112</p><p>27</p><p>2112 ==⇒×π××××π== −</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo VVIIIIII:: FFOORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTOOSS MMAAGGNNÉÉTTIICCOOSS,, MMAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA 80</p><p>8.11 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS</p><p>8.1) Assume-se que o material ferromagnético da</p><p>figura possui</p><p>permeabilidade constante igual</p><p>a µ. Sendo S1 = S2 = S3 = S = a área da</p><p>seção reta em qualquer parte do núcleo, �1,</p><p>�2 e �3 = os comprimentos médios do braço</p><p>esquerdo, braço central e braço direito,</p><p>respectivamente (com �1 = �3 = 2 � e �2 = �),</p><p>determinar:</p><p>a) A indutância L2 da bobina de N2 espiras</p><p>do braço central;</p><p>b) A indutância mútua M21 entre as duas bobinas.</p><p>Respostas: a)</p><p>�2</p><p>S N</p><p>L</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>µ</p><p>= ; b)</p><p>�4</p><p>S NN</p><p>M 21</p><p>21</p><p>µ</p><p>= .</p><p>8.2) Um condutor retilíneo muito longo estende-se sobre o eixo y, possuindo</p><p>uma corrente I1, no sentido indicado. Um condutor de forma retangular</p><p>rígida, com corrente I2 no sentido ABCDA, é posicionado no plano xy ao</p><p>lado do condutor retilíneo, conforme mostrado na figura. Determinar:</p><p>a) Os vetores forças sobre cada um dos lados do condutor retangular;</p><p>b) O vetor força resultante sobre o condutor retangular;</p><p>c) O fluxo total devido a I1 que atravessa o condutor retangular;</p><p>d) A indutância mútua entre os 2 condutores.</p><p>Respostas: a) x</p><p>21o</p><p>AB</p><p>a 2</p><p>b</p><p>aF</p><p>π</p><p>µ II</p><p>−= , y</p><p>21o</p><p>BC 2</p><p>2</p><p>aF ln</p><p>π</p><p>µ II</p><p>= ,</p><p>x</p><p>21o</p><p>CD</p><p>a 4</p><p>b</p><p>aF</p><p>π</p><p>µ II</p><p>= ,</p><p>y</p><p>21o</p><p>DA 2</p><p>2</p><p>aF ln</p><p>π</p><p>µ II</p><p>−= ; b) x</p><p>21o</p><p>R</p><p>a 4</p><p>b</p><p>aF</p><p>π</p><p>µ II</p><p>−= ;</p><p>c) 2</p><p>2</p><p>b1o ln</p><p>π</p><p>µ I</p><p>=Φ ; d) 2</p><p>2</p><p>b</p><p>M o</p><p>12 ln</p><p>π</p><p>µ</p><p>= .</p><p>8.3) Duas placas infinitas, formadas de materiais magnéticos homogêneos, lineares e isotrópicos,</p><p>de espessuras 3 e 4 [mm], localizam-se no vácuo conforme a figura abaixo. Se</p><p>�</p><p>a z tem a</p><p>direção indicada e</p><p>� � � �</p><p>H a a a1 2 3= + +x y z [kA/m] na região (1), ache o ângulo entre o campo</p><p>vetorial</p><p>�</p><p>H e o vetor unitário</p><p>�</p><p>a z nas regiões (1), (2), (3) e (4).</p><p>Respostas:</p><p>θ1 = θ4 = 36,70o,</p><p>θ2 = 56,14o;</p><p>θ3 = 65,91o.</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo VVIIIIII:: FFOORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTOOSS MMAAGGNNÉÉTTIICCOOSS,, MMAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA 81</p><p>8.4) Um condutor filamentar infinito situa-se sobre o eixo z e conduz uma corrente I1 no sentido</p><p>za</p><p>�</p><p>+ . Um segmento reto de condutor sólido se estende de PA(–�, l, 0) a PB(+�, 1, 0).</p><p>Determinar:</p><p>a) O campo magnético H</p><p>�</p><p>gerado pelo condutor infinito em um ponto genérico sobre o</p><p>segmento condutor;</p><p>b) O valor diferencial de força dF que surge devido ao campo magnético H</p><p>�</p><p>do item (a)</p><p>atuando em um ponto genérico no segmento condutor quando este conduz uma corrente I2</p><p>no sentido xa</p><p>�</p><p>+ ;</p><p>c) O torque resultante totalT</p><p>�</p><p>sobre o segmento condutor em relação ao ponto P0 (0, 1, 0).</p><p>Respostas: a)</p><p>)</p><p>)(</p><p>1(x 2</p><p>xI</p><p>2</p><p>xy1</p><p>+</p><p>−</p><p>=</p><p>π</p><p>aa</p><p>H ;</p><p>b) z</p><p>2</p><p>21o</p><p>1(x 2</p><p>xdxII</p><p>adF</p><p>)+</p><p>=</p><p>π</p><p>µ</p><p>;</p><p>c) ( ) y</p><p>21o</p><p>total arctg</p><p>II</p><p>aT �� −</p><p>−</p><p>=</p><p>π</p><p>µ</p><p>.</p><p>8.5) Um eletroimã com a armadura de ferro em forma de ∪</p><p>produz força suficiente para manter uma barra de ferro</p><p>suspensa. Seja µR = 1800 para o ferro da armadura e da</p><p>barra, e os ampères-espiras aplicados à bobina NI = 1</p><p>[kA]. O comprimento médio total ao longo da</p><p>armadura e da barra é de 1 [m] com uma seção</p><p>transversal de 0,1 [m2]. Uma lâmina de cobre de 1</p><p>[mm] entre a armadura e a barra previne o contato</p><p>ferro-a-ferro.</p><p>Adotando µcobre = µo, determinar:</p><p>a) fluxo magnético produzido pelo eletroimã;</p><p>b) A massa da barra de ferro (g = 9,8 m/s2).</p><p>Respostas: a) Φ = 0,0492 [Wb]; b) m = Φ2/(µo g S) = 1965,6 [Kg].</p><p>8.6) Uma espira condutora circular de raio a está localizada sobre o plano z = 0 e nela circula</p><p>uma corrente I na direção φ+ a</p><p>�</p><p>. Para um campo uniforme ( ) 2aaBB yxo</p><p>���</p><p>+= , calcular a</p><p>magnitude (módulo) e a direção (vetor unitário) do torque na espira.</p><p>Respostas: Io</p><p>2BaT π=</p><p>�</p><p>; ( ) 2aaa yxT</p><p>���</p><p>+−= .</p><p>8.7) Seja uma bobina solenoidal (solenóide) de N espiras, com núcleo de ar, raio da seção reta</p><p>igual a a e comprimento do núcleo igual a �.</p><p>a) Determinar, usando a Lei Circuital de Ampère, a expressão que fornece o campo</p><p>magnético resultante no interior do solenóide;</p><p>b) Determinar, utilizando a definição de indutância, a expressão que fornece a indutância</p><p>própria da bobina solenoidal.</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo VVIIIIII:: FFOORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTOOSS MMAAGGNNÉÉTTIICCOOSS,, MMAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA 82</p><p>Respostas: a)</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>H a=</p><p>NI</p><p>z ; b) L</p><p>No=</p><p>µ π2 2 a</p><p>�</p><p>.</p><p>8.8) Um toróide, que possui seção transversal quadrada, é limitado pelas superfícies z = 0, z =</p><p>20 [mm], ρ = 30 [mm] e ρ = 50 [mm]. A superfície em ρ = 30 [mm] conduz uma corrente</p><p>distribuída cuja densidade superficial é</p><p>� �</p><p>K a= −10 z [kA/m]. Determinar:</p><p>a) As densidades superficiais de correntes correspondentes às outras três superfícies, isto é</p><p>( )</p><p>�</p><p>K ρ=50 , ( )</p><p>�</p><p>K z=0 e ( )</p><p>�</p><p>K z=20 ;</p><p>b) O campo magnético</p><p>�</p><p>H no interior do toróide;</p><p>c) A energia total armazenada (WH) no interior do toróide, cuja permeabilidade relativa é µR</p><p>= 20.</p><p>Respostas: a) ( ) z50 6aK</p><p>��</p><p>==ρ [kA/m], ( ) ρ=</p><p>ρ</p><p>= aK</p><p>�� 300</p><p>0z [A/m] e ( ) ρ=</p><p>ρ</p><p>−= aK</p><p>�� 300</p><p>20z [A/m];</p><p>b)</p><p>� �</p><p>H a= −</p><p>300</p><p>ρ</p><p>φ [A/m]; c) WH = 72,6 [mJ].</p><p>8.9) A figura mostra uma bobina com N = 400</p><p>espiras enrolada num núcleo de material</p><p>ferromagnético formado com 2 materiais</p><p>diferentes: (1) ferro fundido e (2) aço fundido.</p><p>Determinar a corrente I na bobina, se a</p><p>densidade de fluxo magnético no ferro fundido</p><p>é B1 = 0,5 T.</p><p>Nota: Ver em anexo as curvas B-H destes</p><p>materiais.</p><p>Resposta: I = 2,41 A</p><p>8.10) Determinar o módulo da intensidade de campo magnético no interior de um material para o</p><p>qual:</p><p>a) a densidade de fluxo magnético é 4 mWb/m2 e a permeabilidade relativa é 1,008;</p><p>b) a suscetibilidade magnética é –0,006 e a magnetização é 19 A/m;</p><p>c) temos 8,1×1028 átomos/m3, cada átomo possui um momento de dipolo de 4×10-30 A.m2</p><p>e χm = 10-4.</p><p>Respostas: a) H = 3.160 [A/m]; b) H = 3.170 [A/m]; c) H = 3.240 [A/m].</p><p>8.11) Em um certo material magnético φρ= a5H 3 A/m e µ = 4×10-6 H/m.</p><p>Determinar, para ρ = 2 m:</p><p>a) J ; b) mJ c) TJ</p><p>Respostas: a) . za80J = [A/m2]; b) zm a6,174J = [A/m2]; c) zT a6,254J = [A/m2]</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo VVIIIIII:: FFOORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTOOSS MMAAGGNNÉÉTTIICCOOSS,, MMAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA 83</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo VVIIIIII:: FFOORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTOOSS MMAAGGNNÉÉTTIICCOOSS,, MMAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA 84</p><p>8.12) a) Usando a lei circuital de Ampère, demonstrar que o campo magnético H</p><p>�</p><p>produzido por</p><p>uma lâmina de corrente com densidade superficial de corrente K</p><p>�</p><p>uniforme é expresso</p><p>por:</p><p>NaK</p><p>2</p><p>1</p><p>H</p><p>���</p><p>×=</p><p>sendo:</p><p>Na</p><p>�</p><p>= versor normal à lâmina orientado para o lado desejado</p><p>b) Uma espira retangular condutora está</p><p>posicionada sobre o plano z = 0 conforme</p><p>mostra a figura ao lado, sendo seus vértices em</p><p>A(1,2,0), B(3,2,0), C(3,6,0) e D(1,6,0). Uma</p><p>pequena corrente I circula no sentido anti-</p><p>horário na espira, que está submetida a uma</p><p>densidade de fluxo magnético B</p><p>�</p><p>produzido por</p><p>2 lâminas de corrente x1 a400K</p><p>��</p><p>= A/m em</p><p>z = 3 m, e z2 a300K</p><p>��</p><p>−= A/m em y = 0, no</p><p>espaço livre. Determinar:</p><p>b.1) O campo vetorial total B</p><p>�</p><p>sobre a espira</p><p>devido as 2 lâminas de corrente;</p><p>b.2) As forças resultantes sobre os 4 lados da espira e força total resultante;</p><p>b.3) O torque total resultante T</p><p>�</p><p>em relação ao centro da espira, usando a fórmula</p><p>FrT</p><p>���</p><p>×= .</p><p>(Nota: Supor as forças aplicadas nos centros de cada lado da espira);</p><p>b.4) O torque total resultante T</p><p>�</p><p>, usando a fórmula BST</p><p>���</p><p>×= I .</p><p>Respostas: a) Demonstração;</p><p>b.1) xoyo a150a200B</p><p>���</p><p>µ+µ=</p><p>b.2) 0F =</p><p>�</p><p>, CDzoAB Fa400F</p><p>���</p><p>−=µ= I , BCzoDA Fa600F</p><p>���</p><p>−=µ= I ;</p><p>b.3) yoxo a1200a1600T</p><p>���</p><p>II µ+µ−= ;</p><p>b.4) yoxo a1200a1600T</p><p>���</p><p>II µ+µ−= (igual ao obtido no item anterior)</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo</p><p>VVIIIIII:: FFOORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTOOSS MMAAGGNNÉÉTTIICCOOSS,, MMAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA 85</p><p>Anotações do Capítulo VIII</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo IIXX:: CCAAMMPPOOSS VVAARRIIÁÁVVEEIISS NNOO TTEEMMPPOO EE AASS EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE MMAAXXWWEELLLL 85</p><p>Capítulo IX</p><p>CAMPOS VARIÁVEIS NO TEMPO E AS EQUAÇÕES DE MAXWELL</p><p>9.1 – A LEI DE FARADAY</p><p>Haverá uma força eletromotriz, fem, ou tensão induzida, em qualquer uma das seguintes situações:</p><p>1. Um caminho fechado estacionário é enlaçado por um fluxo magnético variável no tempo;</p><p>2. Um caminho (fechado) se movimenta com relação a um fluxo magnético estacionário;</p><p>3. Um caminho (fechado) móvel enlaçado por um fluxo magnético variável no tempo (1 + 2).</p><p>A lei de Faraday quantifica esta fem estabelecendo que ela é proporcional a taxa de variação de</p><p>fluxo que atravessa o caminho fechado (que não precisa ser condutor), sendo expressa por:</p><p>dt</p><p>dΦ</p><p>−=fem [V] (para um caminho fechado) (01)</p><p>ou,</p><p>dt</p><p>d</p><p>N</p><p>Φ</p><p>−=fem [V] (para um caminho fechado com N espiras - bobina) (02)</p><p>Nota: O sinal menos das equações acima provém da lei de Lenz a qual indica que a fem está numa</p><p>direção (ou possui uma polaridade) tal a produzir um fluxo magnético de oposição à</p><p>variação do fluxo original.</p><p>A fem induzida é definida como uma tensão induzida num caminho fechado, sendo expressa por:</p><p>∫ •= LdE</p><p>��</p><p>fem (03)</p><p>Substituindo ∫ •=Φ</p><p>S</p><p>SdB</p><p>��</p><p>em (01) e igualando com (03):</p><p>∫ •∫ −=•=</p><p>SC</p><p>SdB</p><p>dt</p><p>d</p><p>LdE</p><p>����</p><p>fem (04)</p><p>onde</p><p>C = contorno da área S ao redor do qual a integral de linha é calculada,</p><p>S = área limitada pelo contorno C onde a integral de superfície é calculada.</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo IIXX:: CCAAMMPPOOSS VVAARRIIÁÁVVEEIISS NNOO TTEEMMPPOO EE AASS EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE MMAAXXWWEELLLL 86</p><p>Nota: Na equação (04), o sentido de Ld</p><p>�</p><p>deve sempre</p><p>concordar com o sentido de Sd</p><p>�</p><p>de acordo com a regra da</p><p>mão direita ou do saca-rolhas (ver figura ao lado). Os dedos</p><p>indicam a direção do caminho fechado, ou de Ld</p><p>�</p><p>, e o</p><p>polegar indica a direção de Sd</p><p>�</p><p>. Adota-se para a fem o</p><p>mesmo sentido de Ld</p><p>�</p><p>. Se o valor da fem for negativo, então</p><p>seu sentido real (ver figura) é o contrário daquele de Ld</p><p>�</p><p>.</p><p>Vamos agora separar a análise da fem em 3 partes, calculando:</p><p>(1) a contribuição para a fem total por um campo magnético que varia dentro de um caminho</p><p>fechado estacionário - fem variacional ou de transformador,</p><p>(2) a contribuição para a fem total por um caminho ou contorno que se move sob a ação de um</p><p>campo magnético constante - fem de velocidade ou de gerador,</p><p>(3) a fem total, correspondendo a soma de (1) e (2).</p><p>9.1.1 – Fem devido a um campo que varia dentro de um caminho fechado estacionário</p><p>Passando a derivada para dentro da integral de superfície do lado direito de (04), obtemos:</p><p>∫ •</p><p>∂</p><p>∂</p><p>−=•∫=</p><p>S</p><p>Sd</p><p>t</p><p>B</p><p>LdE</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>fem (Equação de Maxwell, forma integral) (05)</p><p>Usando o teorema de Stokes e transformando a integral de linha fechada em integral da superfície</p><p>envolvida pela linha,</p><p>Sd</p><p>t</p><p>B</p><p>SdE</p><p>SS</p><p>�</p><p>�</p><p>���</p><p>•</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∫−=•×∇∫</p><p>Igualando os integrandos, chegamos a:</p><p>t</p><p>B</p><p>E</p><p>∂</p><p>∂</p><p>−=×∇</p><p>�</p><p>��</p><p>(Equação de Maxwell, forma pontual) (06)</p><p>Notas:</p><p>(a) As equações (05) e (06), chamadas de equações de Maxwell nas formas integral e pontual,</p><p>respectivamente, são obtidas da lei de Faraday aplicada a um caminho ou circuito fechado.</p><p>(b) Se B</p><p>�</p><p>não é função do tempo, as equações (05) e (06) reduzem as equações eletrostáticas:</p><p>0LdE =•∫</p><p>��</p><p>0E =×∇</p><p>��</p><p>Exemplo: Seja um campo magnético simples o qual aumenta exponencialmente com o tempo</p><p>dentro de uma região cilíndrica ρ < b e expresso por z</p><p>kt</p><p>o aeBB</p><p>��</p><p>= , sendo Bo uma</p><p>constante. Determinar a fem e o campo elétrico E</p><p>�</p><p>induzidos num contorno circular</p><p>(espira) de raio ρ = a, a < b (ver figura abaixo), situado no plano z = 0.</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo IIXX:: CCAAMMPPOOSS VVAARRIIÁÁVVEEIISS NNOO TTEEMMPPOO EE AASS EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE MMAAXXWWEELLLL 87</p><p>Solução: Tomando φφ= aEE</p><p>��</p><p>(adotando o sentido anti-horário)</p><p>na espira, e aplicando a equação (05) obtemos:</p><p>2</p><p>aafem π−=π= φ</p><p>kt</p><p>oekBE2</p><p>Logo, obtemos na espira de raio ρ = a</p><p>2</p><p>afem π−= kt</p><p>oekB (sentido real é horário)</p><p>a</p><p>kt</p><p>oekB</p><p>2</p><p>1</p><p>E −=φ (sentido real é horário)</p><p>Genericamente, as expressões de fem e E</p><p>�</p><p>para qualquer ρ, ρ < b, são dadas por:</p><p>2</p><p>fem πρ−= kt</p><p>oekB φρ−= aekB</p><p>2</p><p>1</p><p>E kt</p><p>o</p><p>��</p><p>Nota: Refaça este exercício usando a equação de Maxwell na forma pontual (06).</p><p>9.1.2 – Fem devido a um campo estacionário e um caminho móvel</p><p>O fluxo que atravessa a superfície contida pelo caminho fechado em um tempo t é:</p><p>BydSB ==Φ</p><p>A partir da lei de Faraday (fem adotada no sentido anti-horário), obtemos :</p><p>d</p><p>dt</p><p>dy</p><p>B</p><p>dt</p><p>d</p><p>−=</p><p>Φ</p><p>−=fem ⇒ Bvd−=fem (07)</p><p>Para uma carga Q movendo-se a uma velocidade v</p><p>�</p><p>em um campo magnético B</p><p>�</p><p>, tem-se:</p><p>BvQF</p><p>���</p><p>×= ⇒ Bv</p><p>Q</p><p>F ��</p><p>�</p><p>×= ⇒ BvEm</p><p>���</p><p>×= (08)</p><p>onde mE</p><p>�</p><p>representa um campo elétrico de movimento (que gera fem)</p><p>Assim, temos:</p><p>( ) LdBvLdEm</p><p>�����</p><p>•×∫=•∫=fem (09)</p><p>No caso do condutor que se move sob a ação do campo magnético (figura acima), obtemos:</p><p>( ) ( ) dxBvadxBvLdE</p><p>d</p><p>0</p><p>xm ∫−=−•×∫=•∫=</p><p>�����</p><p>fem ⇒ Bvd−=fem (= equação (07) acima)</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo IIXX:: CCAAMMPPOOSS VVAARRIIÁÁVVEEIISS NNOO TTEEMMPPOO EE AASS EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE MMAAXXWWEELLLL 88</p><p>9.1.3 – Fem total devido a um campo variável e um caminho móvel</p><p>Se a densidade de fluxo magnético está também variando com o tempo, então nós devemos incluir</p><p>ambas as contribuições, a fem de transformador (05) e a fem de movimento (09), resultando em:</p><p>( ) LdBvSd</p><p>t</p><p>B</p><p>LdE</p><p>S</p><p>����</p><p>�</p><p>��</p><p>•×+•</p><p>∂</p><p>∂</p><p>−=•= ∫∫∫fem (10)</p><p>Nota: Tanto a expressão (10) acima pode ser usada em qualquer situação para calcular a fem, como</p><p>também pode-se usar a expressão (01). Se o circuito envolver N espiras, sob a ação do fluxo</p><p>Φ, o valor final da fem deve ser multiplicado por N.</p><p>9.2 – CORRENTE DE DESLOCAMENTO</p><p>A forma pontual da lei circuital de Ampère,</p><p>JH</p><p>���</p><p>=×∇ (11)</p><p>apesar de adequada para aplicação em situações com campos magnéticos estacionários é</p><p>inadequada para aplicação em condições variáveis no tempo.</p><p>Demonstração da validade desta afirmativa:</p><p>Tomando a divergência de ambos os lados de (11):</p><p>JH</p><p>�����</p><p>•∇=×∇•∇</p><p>Mas sabemos que 0)Hrot(div =</p><p>�</p><p>, resultando:</p><p>0J =•∇</p><p>��</p><p>(12)</p><p>Porém, a equação da continuidade (seção 5.2) afirma que:</p><p>t</p><p>J v</p><p>∂</p><p>ρ∂</p><p>−=•∇</p><p>��</p><p>(13)</p><p>Para que haja igualdade entre (12) e (13) é necessário que:</p><p>0</p><p>t</p><p>v =</p><p>∂</p><p>ρ∂</p><p>o qual representa uma limitação irreal para campos variáveis no tempo.</p><p>Tornando a expressão (11) compatível para qualquer situação:</p><p>Adicionando um termo desconhecido G</p><p>�</p><p>a (11), temos:</p><p>GJH</p><p>����</p><p>+=×∇ (14)</p><p>Tomando novamente a divergência de ambos os lados:</p><p>GJH</p><p>�������</p><p>•∇+•∇=×∇•∇</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo IIXX:: CCAAMMPPOOSS VVAARRIIÁÁVVEEIISS NNOO TTEEMMPPOO EE AASS EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE MMAAXXWWEELLLL 89</p><p>Fazendo 0)Hrot(div =</p><p>�</p><p>, resulta em:</p><p>0GJ =•∇+•∇</p><p>����</p><p>Da equação da continuidade (13),</p><p>tt</p><p>G vv</p><p>∂</p><p>ρ∂</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>∂</p><p>ρ∂</p><p>−−=•∇</p><p>��</p><p>De Dv</p><p>��</p><p>•∇=ρ , temos:</p><p>( )</p><p>t</p><p>D</p><p>t</p><p>D</p><p>G</p><p>∂</p><p>∂</p><p>•∇=</p><p>∂</p><p>•∇∂</p><p>=•∇</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>��</p><p>Daí, chegamos a:</p><p>t</p><p>D</p><p>G</p><p>∂</p><p>∂</p><p>=</p><p>�</p><p>�</p><p>(15)</p><p>Substituindo (15) em (14), chegamos finalmente a:</p><p>t</p><p>D</p><p>JH</p><p>∂</p><p>∂</p><p>+=×∇</p><p>�</p><p>���</p><p>(Lei circuital de Ampère, forma pontual) (16)</p><p>Fazendo</p><p>t</p><p>D</p><p>Jd</p><p>∂</p><p>∂</p><p>=</p><p>�</p><p>�</p><p>(17)</p><p>sendo dJ</p><p>�</p><p>chamada de densidade de corrente de deslocamento.</p><p>Substituindo (17) em (16):</p><p>dJJH</p><p>����</p><p>+=×∇ (18)</p><p>Semelhantemente</p><p>a corrente de condução, pode-se determinar a corrente de deslocamento por:</p><p>Sd</p><p>t</p><p>D</p><p>SdJI</p><p>S</p><p>d</p><p>S</p><p>d</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>•</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∫=•∫= (19)</p><p>Integrando (16) sobre uma superfície S, para obtenção da forma integral da lei circuital de Ampère:</p><p>Sd</p><p>t</p><p>D</p><p>SdJSdH</p><p>SS</p><p>�</p><p>�</p><p>�����</p><p>•</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∫+•∫=•×∇∫</p><p>Aplicando o teorema de Stokes ao primeiro membro da expressão acima, chegamos a:</p><p>Sd</p><p>t</p><p>D</p><p>LdH</p><p>S</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>•</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∫+=+=•∫ III d (Lei circuital de Ampère, forma integral) (20)</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo IIXX:: CCAAMMPPOOSS VVAARRIIÁÁVVEEIISS NNOO TTEEMMPPOO EE AASS EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE MMAAXXWWEELLLL 90</p><p>9.3 – EQUAÇÕES DE MAXWELL EM FORMA PONTUAL OU DIFERENCIAL</p><p>As quatro equações básicas de Maxwell são as seguintes:</p><p>(1)</p><p>� �</p><p>�</p><p>∇ × = −E</p><p>B</p><p>t</p><p>∂</p><p>∂</p><p>(Lei de Faraday, forma pontual) (21)</p><p>(2)</p><p>� � �</p><p>�</p><p>� �</p><p>∇ × = + = +H J</p><p>D</p><p>t</p><p>J J d</p><p>∂</p><p>∂</p><p>(Lei de Ampère, forma pontual) (22)</p><p>(3)</p><p>� �</p><p>∇ • =D vρ (Lei de Gauss do cpo. elétrico, forma pontual) (23)</p><p>(4)</p><p>� �</p><p>∇ • =B 0 (Lei de Gauss do cpo. magnético, forma pontual) (24)</p><p>Equações auxiliares:</p><p>(5)</p><p>� �</p><p>D E= ε (25)</p><p>(6)</p><p>� �</p><p>B H= µ (26)</p><p>(7) EJ</p><p>��</p><p>σ= (27)</p><p>(8) vJ</p><p>��</p><p>ρ= (28)</p><p>Equações envolvendo campos de polarização e magnetização:</p><p>(9)</p><p>� � �</p><p>D E Po= +ε (29)</p><p>(10) ( )</p><p>� � �</p><p>B H Mo= +µ (30)</p><p>Para materiais lineares:</p><p>(11)</p><p>� �</p><p>P Ee o= χ ε (31)</p><p>(12)</p><p>� �</p><p>M Hm= χ (32)</p><p>Equação da força de Lorentz</p><p>(13) ( )BvEfff vME</p><p>������</p><p>×+ρ=+= (força por unidade de volume) (32)</p><p>9.4 – EQUAÇÕES DE MAXWELL EM FORMA INTEGRAL</p><p>As quatro equações básicas de Maxwell são as seguintes:</p><p>(1)</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>E dL</p><p>B</p><p>t</p><p>dSS• = −∫ •∫</p><p>∂</p><p>∂</p><p>(Lei de Faraday, forma integral) (33)</p><p>(2)</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>H dL</p><p>D</p><p>t</p><p>dSS• = + ∫ •∫ I</p><p>∂</p><p>∂</p><p>(Lei de Ampère, forma integral) (34)</p><p>(3)</p><p>� �</p><p>D dS dvS vvol•∫ = ∫ ρ (Lei de Gauss do cpo. elétrico, forma integral) (35)</p><p>(4)</p><p>� �</p><p>B dSS •∫ = 0 (Lei de Gauss do cpo. magnético, forma integral) (36)</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo IIXX:: CCAAMMPPOOSS VVAARRIIÁÁVVEEIISS NNOO TTEEMMPPOO EE AASS EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE MMAAXXWWEELLLL 91</p><p>Condições de contorno entre 2 meios ou regiões quaisquer:</p><p>Componentes tangenciais:</p><p>(5) Et1 = Et2 (37)</p><p>(6) Ht1 – Ht2 = k (Se k = 0, então: Ht1 = Ht2) (38)</p><p>Componentes normais:</p><p>(7) Dn1 – Dn2 = ρS (Se ρS = 0, então: Dn1 = Dn2) (39)</p><p>(8) Bn1 = Bn2 (40)</p><p>Condições de contorno entre 2 regiões se a região 2 for condutora perfeita (σ = ∞):</p><p>Componentes tangenciais:</p><p>(9) Et1 = 0 (41)</p><p>(10) Ht1 = k (42)</p><p>Componentes normais:</p><p>(11) Dn1 = ρS (43)</p><p>(12) Bn1 = 0 (44)</p><p>9.5 – EXEMPLOS DE CÁLCULO DA INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA</p><p>Como visto na seção 9.1, quando um circuito se movimenta ( 0v ≠ ) e B varia com o tempo</p><p>( 0tB ≠∂∂ ), a fem induzida total (representada nas figuras pelo símbolo ν) no circuito é dada por:</p><p>( ) Sd</p><p>t</p><p>B</p><p>s</p><p>dB v ••</p><p>∂</p><p>∂</p><p>−×=+= ∫∫ �tm femfemfem (caso geral) (45)</p><p>sendo femm e femt as fem(s) de movimento e de transformador, respectivamente.</p><p>A equação (45) será usada nos exemplos a seguir que apresentam grau de dificuldade crescente.</p><p>Exemplo 1: Espira – sem movimento e com variação de B (ver figura).</p><p>Seja tcosBB 0 ω= na espira fixa de área A da figura.</p><p>Fazendo 0v = em (1), obtemos:</p><p>tsenBASd</p><p>t</p><p>B</p><p>s 0 ωω=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>−== •∫tfemfem [V]</p><p>(Nota: Sd tomado no mesmo sentido de B )</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo IIXX:: CCAAMMPPOOSS VVAARRIIÁÁVVEEIISS NNOO TTEEMMPPOO EE AASS EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE MMAAXXWWEELLLL 92</p><p>Exemplo 2: Espira – com movimento e sem variação de B (ver figura).</p><p>Seja a espira formada com o condutor</p><p>deslizante conforme figura.</p><p>Se 0</p><p>t</p><p>B</p><p>constante B =</p><p>∂</p><p>∂</p><p>⇒= .</p><p>Substituindo em (45), obtemos:</p><p>( ) �� vBdB v −=×== •∫mfemfem [V]</p><p>(Nota: �d tomado de acordo com Sd ou B )</p><p>Exemplo 3: Espira– com movimento e com variação de B (ver figura anterior).</p><p>Na figura anterior, faça tcosBB 0 ω= .</p><p>Assim 0v ≠ e 0tB ≠∂∂ na equação (45) acima.</p><p>Cálculo da femm devido a velocidade do condutor (fem de movimento) – 1a parcela de (45):</p><p>( ) tcosBvvBdB v 0 ω−=−=×= •∫ ���mfem (Nota: �d de acordo com Sd ou B )</p><p>Cálculo da femt devido a variação temporal de B (fem de transformador) – 2a parcela de (45):</p><p>tsenBtsenBASd</p><p>t</p><p>B</p><p>s 00 ωω=ωω=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>−= •∫ xfemt �</p><p>Cálculo da fem total:</p><p>tsenBtcosvB 00 ωω+ω−=+= �� xfemfemfem tm</p><p>( ) ( )δ+ωω+= tsenvB 22</p><p>0 xfem �</p><p>onde ( )xω−=δ − vtan 1 e x = comprimento instantâneo da espira</p><p>Exemplo 4: Tira condutora móvel – sem variação de B ( 0tB =∂∂ ) (ver figura).</p><p>Seja a espira fixa formada com a</p><p>tira deslizante da figura.</p><p>Se 0</p><p>t</p><p>B</p><p>constante B =</p><p>∂</p><p>∂</p><p>⇒=</p><p>Substituindo em (45), obtemos:</p><p>( ) �� vBdB v −=×= •∫mfem</p><p>(Nota: �d tomado de acordo com Sd ou B )</p><p>(Aplicação: Gerador de disco de Faraday)</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo IIXX:: CCAAMMPPOOSS VVAARRIIÁÁVVEEIISS NNOO TTEEMMPPOO EE AASS EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE MMAAXXWWEELLLL 93</p><p>Exemplo 5: Tira móvel – com variação de B .</p><p>Na figura anterior faça tcosBB 0 ω=</p><p>Cálculo da femm devido ao movimento da tira – 1a parcela de (45):</p><p>( ) tcosvBvBdB v 0 ω−=−=×= •∫ ���mfem</p><p>Cálculo da femt devido a variação temporal de B – 2a parcela de (45):</p><p>tsenBAtsenBSd</p><p>t</p><p>B</p><p>s 010 ωω=ωω=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>−= •∫ �xfemt</p><p>Cálculo da fem total:</p><p>tsenBtcosvB 010 ωω+ω−=+= �� xfemfemfem tm</p><p>( ) ( )δ+ωω+= tsenvB 2</p><p>1</p><p>2</p><p>0 xfem �</p><p>onde ( ))(vtan 1</p><p>1 xω−=δ −</p><p>Exemplo 6: Espira rotativa – sem variação de B (gerador CA) – (ver figura).</p><p>Seja a figura representativa de um gerador</p><p>CA elementar (com uma única espira), onde</p><p>temos:</p><p>(a) vista em perspectiva, com a espira em</p><p>posição vertical,</p><p>(b) vista da seção transversal perpendicular</p><p>ao eixo, com a espira numa posição</p><p>qualquer.</p><p>Seja θ o ângulo entre v e B medido no sentido</p><p>anti-horário, sendo θ = 0 para a espira na posição</p><p>vertical (considerar como instante t = 0).</p><p>Se 0</p><p>t</p><p>B</p><p>constante B =</p><p>∂</p><p>∂</p><p>⇒=</p><p>De (45) e �d tomado de acordo com Sd</p><p>(regra do saca-rolhas):</p><p>( ) θ=×= •∫ senvB2dB v ��mfem</p><p>Como θ = ωt e v = ωR</p><p>tsenBR2 ωω= �mfem</p><p>Como �R2 = A = área da espira</p><p>tsenBA ωω=mfem</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo IIXX:: CCAAMMPPOOSS VVAARRIIÁÁVVEEIISS NNOO TTEEMMPPOO EE AASS EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE MMAAXXWWEELLLL 94</p><p>Exemplo 7: Espira rotativa – com variação de B (figura anterior).</p><p>Seja tsenBB 0 ω= na figura anterior (sendo a freqüência ω de oscilação deste campo igual a</p><p>velocidade angular ω de rotação da espira).</p><p>Quando 0 e 0B0t =θ=⇒= (espira na posição vertical)</p><p>De (45) e �d consistente com Sd (regra da mão direita ou do saca-rolhas), obtemos:</p><p>)t2cos1(B RtsenB R2 0</p><p>2</p><p>0 ω−ω=ωω= ��mfem</p><p>)t2cos1(B RtcosBR2 0</p><p>2</p><p>0 ω+ω−=ωω−= ��tfem</p><p>t2cosBR2 0 ωω−=+= �tm femfemfem</p><p>Notas sobre o exemplo 7:</p><p>a) A componente CC (estacionária ou independente do tempo) da fem, existente</p><p>tanto em femm como em femt, desapareceu na fem total (ν);</p><p>b) A fem total é função do dobro da freqüência angular ω (expressa em rad/s) que</p><p>representa tanto a freqüência (ω) de rotação da espira como também a freqüência</p><p>(ω) de variação temporal do campo magnético.</p><p>EXERCÍCIOS PROPOSTOS:</p><p>9.1) Partindo das equações de Maxwell no espaço livre (vácuo), determinar:</p><p>a) O campo magnético</p><p>�</p><p>H a partir de x)nyt( cosA aE</p><p>��</p><p>−ω= .</p><p>b) O campo elétrico</p><p>�</p><p>E a partir de zy )nztsen()nzt( cosy aaB</p><p>���</p><p>−ω+−ω=</p><p>Nota: A, ω e n são constantes e oon εµω=</p><p>Respostas: a) [ ] [ ] z</p><p>o</p><p>z</p><p>o</p><p>)t( cos)nyt( cos</p><p>n</p><p>A</p><p>)ny( cos)nyt( cos</p><p>An</p><p>aaH</p><p>���</p><p>ω−−ω</p><p>ωε</p><p>−=−−ω</p><p>ωµ</p><p>−= ;</p><p>b) [ ] [ ] xx</p><p>oo</p><p>)t( cos)nzt( cos</p><p>n</p><p>y</p><p>)nz( cos)nzt( cos</p><p>ny</p><p>aaE</p><p>���</p><p>ω−−ω</p><p>ω</p><p>=−−ω</p><p>ωεµ</p><p>= .</p><p>9.2) a) Uma espira quadrada de lado � = 1 [m]</p><p>tem seu plano normal a um campo magnético</p><p>�</p><p>B .</p><p>Determinar a fem máxima induzida na espira nas seguintes condições:</p><p>a.1) A espira é mantida estacionária enquanto o campo magnético varia de acordo com B</p><p>= B0cos2πft sendo f = 159 [Hz] e B0 = 3 [mT];</p><p>a.2) O campo é mantido fixo em B = B0 = 3 [mT] enquanto a espira gira a uma rotação</p><p>constante f = 159 [rot./s], cortando o fluxo magnético devido a B.</p><p>b) Na figura ao lado, a corrente induzida no circuito II, à</p><p>direita, será no sentido horário ou anti-horário, quando</p><p>a chave do circuito I é fechada? Justificar sua resposta</p><p>com os conceitos já estudados.</p><p>Respostas: a.1) femmax ≈ 3 [V];</p><p>a.2) femmax ≈ 3 [V];</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo IIXX:: CCAAMMPPOOSS VVAARRIIÁÁVVEEIISS NNOO TTEEMMPPOO EE AASS EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE MMAAXXWWEELLLL 95</p><p>b) Quando a chave é fechada; uma corrente flui no sentido horário no Circuito I,</p><p>produzindo um fluxo que entra no laço do Circuito I e sai no laço do Circuito</p><p>II. Pela Lei de Lenz, a corrente induzida no laço do Circuito II deve produzir</p><p>um fluxo em oposição ao fluxo indutor, isto é, entrando no laço do Circuito II.</p><p>Então, a corrente induzida no Circuito II deve fluir no sentido horário.</p><p>9.3) a) Junto a uma superfície condutora perfeita temos os campos de uma onda eletromagnética</p><p>expressos por: E = 8 [V/m] e H = 2,8 ⋅ −10 3 [A/m]. Determinar os valores das densidades</p><p>de carga e de corrente na superfície do condutor.</p><p>b) Em uma certa região do espaço livre o campo elétrico vale xo tcos z senE)t( aE</p><p>��</p><p>ωβ=</p><p>sendo Eo o valor máximo do campo elétrico, ω a frequência [rad/s], t o tempo [s], β um</p><p>parâmetro [rad/m] e z a distância [m].</p><p>b.1) Determinar 2 expressões para</p><p>�</p><p>H( )t nesta região partindo das equações de Maxwell;</p><p>b.2) A partir destas 2 expressões de</p><p>�</p><p>H( )t calcular também o valor numérico de</p><p>β</p><p>ω .</p><p>Respostas: a) ρS = 8εo [C/m2] e K = 2,8 ⋅ −10 3 [A/m];</p><p>b.1) y</p><p>o</p><p>o tsenz cos</p><p>E</p><p>aH</p><p>��</p><p>ω⋅β</p><p>ωµ</p><p>β</p><p>−= e y</p><p>oo tsenz cos</p><p>E</p><p>aH</p><p>��</p><p>ω⋅β</p><p>β</p><p>ωε</p><p>−= ;</p><p>b.2) 8</p><p>oo</p><p>103c</p><p>1</p><p>×==</p><p>εµ</p><p>=</p><p>β</p><p>ω</p><p>[m/s] = velocidade da luz.</p><p>9.4) Duas bobinas A e B, de 300 e 600 espiras respectivamente, são colocadas lado a lado. Pela</p><p>bobina A, faz-se circular uma corrente de 1,5 [A], produzindo um fluxo de 0,12 [mWb]</p><p>nesta bobina e um fluxo de 0,09 [mWb] na bobina B. Calcular:</p><p>a) A auto-indutância da bobina A;</p><p>b) A indutância mútua entre as bobinas A e B;</p><p>c) O valor médio da fem induzida em B quando se interrompe a corrente de A num tempo de</p><p>0,2 [s].</p><p>Respostas: a) LA = 24 [mH]; b) M = 36 [mH]; c) femB = 0,27 [V].</p><p>9.5) Um condutor retilíneo longo conduz uma corrente expressa por:</p><p>i = 100 sen(400t), onde t é o tempo.</p><p>Determinar a fem (por unidade de comprimento) induzida por</p><p>este condutor sobre uma linha telefônica próxima, constituída</p><p>por dois cabos paralelos ao condutor, conforme mostra o</p><p>esquema.</p><p>Resposta: [ ]fem</p><p>t</p><p>�</p><p>= −2 77 400, cos mV</p><p>m .</p><p>9.6) Uma bobina (primário) de 2000 espiras está enrolada sobre um núcleo de ar de 100 [cm] de</p><p>comprimento e 2 [cm] de diâmetro. Outra bobina (secundário) está enrolada sobre a bobina</p><p>primária. Admitindo que a corrente na bobina primária varia de 0 a 10 [A] em 0,01 segundo e</p><p>que não haja fluxo disperso, determine:</p><p>a) O número de espiras que a bobina secundária deve possuir para que a fem induzida nesta</p><p>seja de 2 [V];</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo IIXX:: CCAAMMPPOOSS VVAARRIIÁÁVVEEIISS NNOO TTEEMMPPOO EE AASS EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE MMAAXXWWEELLLL 96</p><p>b) O valor médio da fem induzida na bobina secundária, admitindo que ela possui 1100</p><p>espiras e o núcleo é de ferro, apresentando uma permeabilidade relativa constante e igual a</p><p>115.</p><p>Respostas: a) N2 = 2533 espiras; b) fem2 = 100 [V].</p><p>9.7) Uma espira quadrada possui os vértices em (0; 0; 0), (0,2; 0; 0), (0,2; 0,2; 0) e (0; 0,2; 0) em t</p><p>= 0. A espira é um condutor perfeito exceto em um de seus lados, onde existe um pequeno</p><p>resistor de 100 [Ω] e está se movendo através do campo ( )[ ]B a= ⋅ −5 6 10 28 cos t y z</p><p>�</p><p>[µT]</p><p>com uma velocidade constante de 40</p><p>�</p><p>a x [m/s]. Calcular:</p><p>a) A tensão induzida (fem) na espira em função do tempo;</p><p>b) A potência dissipada (PR) no resistor em função do tempo;</p><p>c) O torque (T) produzido na espira em função do tempo.</p><p>Respostas:</p><p>a) ( ) ( )[ ]t106cos4,0t106cos 103fem 888 ⋅−−⋅⋅−= [µV];</p><p>b) ( )°−⋅= 5,78t106cos 1,142P 82</p><p>R [W]; c) T = 0.</p><p>9.8) Num fio infinito, situado sobre o eixo y, circula uma corrente I no sentido +</p><p>�</p><p>a y . Uma espira</p><p>quadrada de lado a, situa-se no plano xy, com seu lado paralelo e próximo do fio, mantido</p><p>inicialmente a uma distância h do fio. Calcular a fem induzida na espira, se:</p><p>a) A espira permanece imóvel e a corrente do fio é I = Imsenωt;</p><p>b) A espira se afasta do fio com velocidade constante e igual a v e a corrente do fio é</p><p>constanteII m == .</p><p>Respostas: a) </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> +</p><p>π</p><p>ωωµ</p><p>−=</p><p>h</p><p>aha</p><p>ln</p><p>2</p><p>tcos I</p><p>fem mo ; b)</p><p>( )ahh</p><p>va</p><p>2</p><p>+π</p><p>µ</p><p>=</p><p>2</p><p>I</p><p>fem mo .</p><p>9.9) Um anel de 3 voltas, com 0,5 [m2] de área, situado no ar, tem um campo magnético uniforme</p><p>normal ao plano do anel.</p><p>a) Se a densidade de fluxo variar de 5 [mT/s] qual é a fem que aparece nos terminais do anel?</p><p>b) Se a fem nos terminais do anel for de 100 [mV], qual será a taxa de variação do campo</p><p>magnético?</p><p>Respostas: a) fem = –7,5 [mV]; b)</p><p>dB</p><p>dt</p><p>= −66 6, [mT/s].</p><p>9.10) Calcular o valor máximo da corrente no fio</p><p>infinito da figura a fim de que o valor eficaz da</p><p>corrente na resistência de 0,05 [Ω] da espira</p><p>retangular seja igual a 0,1 [A].</p><p>Resposta: Im = 13,73 [A].</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo IIXX:: CCAAMMPPOOSS VVAARRIIÁÁVVEEIISS NNOO TTEEMMPPOO EE AASS EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE MMAAXXWWEELLLL 97</p><p>9.11) A figura abaixo mostra um condutor retilíneo, longo e estreito, de comprimento � , conectado</p><p>através de fios condutores flexíveis a um voltímetro e executando um movimento harmônico</p><p>simples no plano yz, sendo submetido a um campo magnético variável dado por</p><p>xmax atcosBB</p><p>��</p><p>ω= . O eixo z é uma posição de equilíbrio do condutor o qual vibra no plano</p><p>yz (entre y = –b e y = +b), com uma velocidade dada por ymax atcosvv</p><p>��</p><p>ω= .</p><p>a) Determinar a fem induzida no condutor, desprezando a contribuição dos fios flexíveis.</p><p>b) Indicar, na figura, o sentido da corrente resultante no instante</p><p>ω</p><p>π</p><p>=</p><p>2</p><p>t segundos.</p><p>Respostas: a) tBt2Bv maxmaxmax ωω+ω−= senlcosfem ; b) Sentido anti-horário.</p><p>9.12) Considere uma região cilíndrica infinitamente longa contendo um</p><p>campo alternado dado em coordenadas cilíndricas como</p><p>zo a)tcos(BB</p><p>��</p><p>α+ω= em ρ ≤ a e 0B =</p><p>�</p><p>em ρ > a, sendo oB e</p><p>α constantes, e ω a freqüência angular. Isto significa que B</p><p>�</p><p>é</p><p>espacialmente constante sobre a área do círculo de raio ρ e oscila</p><p>harmonicamente no tempo, como acontece com um solenóide</p><p>infinito ideal onde circula corrente alternada. Determinar o campo</p><p>elétrico induzido E</p><p>�</p><p>, devido a este campo magnético alternado B</p><p>�</p><p>,</p><p>na região:</p><p>a) ρ ≤ a , isto é, internamente a região cilíndrica ou ao solenóide</p><p>infinito ideal de raio a;</p><p>b) ρ > a, isto é, externamente a região cilíndrica ou ao solenóide</p><p>infinito ideal de raio a;</p><p>Respostas: a) )t(senB</p><p>2</p><p>1</p><p>E o α+ωωρ=φ para ρ ≤ a;</p><p>b) )t(senB</p><p>2</p><p>1</p><p>E o α+ω</p><p>ρ</p><p>ω=φ</p><p>2</p><p>a</p><p>para ρ > a.</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo IIXX:: CCAAMMPPOOSS VVAARRIIÁÁVVEEIISS NNOO TTEEMMPPOO EE AASS EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE MMAAXXWWEELLLL 98</p><p>9.13) A figura ao lado mostra uma barra condutora (formada por três segmentos) situada sobre</p><p>dois trilhos condutores paralelos conectados a um voltímetro. Toda a configuração está submetida a</p><p>uma densidade de fluxo magnético B</p><p>�</p><p>.</p><p>Calcular a fem induzida em cada uma das seguintes situações:</p><p>a) za2B</p><p>��</p><p>= µT, xa6v</p><p>��</p><p>= m/s;</p><p>b) z</p><p>t60 ae2B</p><p>��</p><p>−= µT, 0v =</p><p>�</p><p>m/s;</p><p>c) z</p><p>t60 ae2B</p><p>��</p><p>−= µT, xa6v</p><p>��</p><p>= m/s.</p><p>Dizer também qual é o sentido da corrente induzida em cada situação justificando sua</p><p>resposta.</p><p>Respostas: Para concordar com o vetor B</p><p>�</p><p>, adota-se o sentido anti-horário para a fem (e,</p><p>portanto, para a corrente resultante). Após o cálculo da fem, chega-se a:</p><p>a) 2,1−=fem µV. Logo a corrente será no sentido horário.</p><p>b) t60e9,0 −=fem µV. Logo a corrente será no sentido anti-horário.</p><p>c) t60e3,0 −−=fem µV. Logo a corrente será no sentido horário.</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>RREEFFEERRÊÊNNCCIIAASS BBIIBBLLIIOOGGRRÁÁFFIICCAASS 99</p><p>REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS</p><p>1. HAYT JR, Willian, BUCK, J.A. “Eletromagnetismo”, McGraw-hill Interamericana, 7a</p><p>Edição, 2008. (Livro texto)</p><p>2. EDMINISTER, Joseph, “Eletromagnetismo”, Coleção Schaum, Editora Bookman, 2 a</p><p>Edição, 2006. (Livro de Exercícios)</p><p>3. GUIMARÃES, G.C., Apostila de Exercícios Resolvidos de Eletromagnetismo, ano</p><p>2001.</p><p>4. QUEVEDO, C.P., “Eletromagnetismo”, Edições Loyola, São Paulo, 1993.</p><p>5. COREN, R.L., “Basic Engineering Electromagnetics”, Prentice-Hall International</p><p>Editions, 1989.</p><p>6. KRAUS, J.D., “Electromagnetics”, McGraw Hill, 1999.</p><p>7. MARTINS, N., “Introdução à Teoria da Eletricidade e do Magnetismo”, Editora Edgard</p><p>Blücher Ltda, 1973.</p><p>8. REITZ, J.R., MILFORD, F.J., CHRISTY, R.W., “Fundamentos da Teoria</p><p>Eletromagnética”, Editora Campus, 1982.</p><p>9. KIP, A.F., “Fundamentos de Eletricidad y Magnetismo”, McGraw-Hill, 1972.</p><p>10. SCHWARZ, S.E., “Electromagnetics for Engineers”, Saunders College Publishing,</p><p>1990.</p><p>11. SHADOWITZ, A., “The Electromagnetic Field”, Dover Publications, Inc., New York,</p><p>1975.</p><p>12. MACEDO, A., “Eletromagnetismo”, Editora Guanabara S.A., Rio de Janeiro, 1988.</p><p>13. ULABY, Fawwaz T., “Eletromagnetismo para Engenheiros”, Editora Artmed -</p><p>Bookman, 2007.</p><p>14. PAUL, Clayton R., “Eletromagnetismo para Engenheiros”, Editora LTC, 2006.</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>RREEFFEERRÊÊNNCCIIAASS BBIIBBLLIIOOGGRRÁÁFFIICCAASS 100</p><p>Anotações Gerais</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>AAnneexxoo II:: SSOOLLUUÇÇÃÃOO DDEE EEQQUUAAÇÇÃÃOO DDIIFFEERREENNCCIIAALL PPOORR SSÉÉRRIIEE IINNFFIINNIITTAA DDEE PPOOTTÊÊNNCCIIAASS 101</p><p>Anexo I</p><p>SOLUÇÃO DE EQUAÇÃO DIFERENCIAL POR</p><p>SÉRIE INFINITA DE POTÊNCIAS</p><p>Este anexo pretende mostrar que a solução da equação diferencial (01) abaixo, ou da equação (07)</p><p>da seção 6.5 (resolvida naquele lugar pelo Método da Dedução Lógica), pode ser feita por um</p><p>método mais longo, porém mais potente e abrangente: a Substituição por Série Infinita de Potências.</p><p>X</p><p>dx</p><p>Xd 2</p><p>2</p><p>2</p><p>α= (01)</p><p>Supondo que a solução procurada X seja representada por uma série infinita de potências de x:</p><p>∑</p><p>∞</p><p>=</p><p>=</p><p>0n</p><p>n</p><p>nxaX (02)</p><p>Substituindo (02) em (01), efetuando as derivações, obtém-se:</p><p>( ) ∑∑</p><p>∞</p><p>=</p><p>∞</p><p>=</p><p>−</p><p>α=−</p><p>0n</p><p>n</p><p>n</p><p>2</p><p>0n</p><p>2n</p><p>n xaxa1nn (03)</p><p>Se as duas séries infinitas de potências são iguais, estão os coeficientes correspondentes de mesma</p><p>potência de x das duas séries devem ser iguais, termo a termo. Assim,</p><p>0</p><p>2</p><p>2 aa12 α=×× ; 1</p><p>2</p><p>3 aa23 α=×× ; ..., ( )( ) n</p><p>2</p><p>2n aa)1n2n α=++ + (04)</p><p>Os coeficientes pares podem ser expressos em função do coeficiente 0a , enquanto que os</p><p>coeficientes ímpares podem ser escritos em função de 1a , conforme mostra o quadro:</p><p>Coeficientes pares Coeficientes ímpares</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>2 a</p><p>!2</p><p>a</p><p>12</p><p>a</p><p>α</p><p>=</p><p>×</p><p>α</p><p>=</p><p>α</p><p>α</p><p>=</p><p>×</p><p>α</p><p>= 1</p><p>3</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>a</p><p>!3</p><p>a</p><p>23</p><p>a</p><p>0</p><p>4</p><p>2</p><p>2</p><p>4 a</p><p>!4</p><p>a</p><p>34</p><p>a</p><p>α</p><p>=</p><p>×</p><p>α</p><p>=</p><p>α</p><p>α</p><p>=</p><p>×</p><p>α</p><p>= 1</p><p>5</p><p>3</p><p>2</p><p>5</p><p>a</p><p>!5</p><p>a</p><p>45</p><p>a</p><p>0</p><p>6</p><p>4</p><p>2</p><p>6 a</p><p>!6</p><p>a</p><p>56</p><p>a</p><p>α</p><p>=</p><p>×</p><p>α</p><p>=</p><p>α</p><p>α</p><p>=</p><p>×</p><p>α</p><p>= 1</p><p>7</p><p>5</p><p>2</p><p>7</p><p>a</p><p>!7</p><p>a</p><p>67</p><p>a</p><p>... ...</p><p>0</p><p>n</p><p>n a</p><p>!n</p><p>a</p><p>α</p><p>= (n par)</p><p>α</p><p>α</p><p>= 1</p><p>n</p><p>n</p><p>a</p><p>!n</p><p>a (n ímpar)</p><p>Substituindo estes coeficientes de volta na série de potências original (02), obtém-se:</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>AAnneexxoo II:: SSOOLLUUÇÇÃÃOO DDEE EEQQUUAAÇÇÃÃOO DDIIFFEERREENNCCIIAALL PPOORR SSÉÉRRIIEE IINNFFIINNIITTAA DDEE PPOOTTÊÊNNCCIIAASS 102</p><p>∑∑</p><p>∞</p><p>=</p><p>∞</p><p>=</p><p>α</p><p>α</p><p>+</p><p>α</p><p>=</p><p>ímparn</p><p>1n</p><p>n</p><p>n</p><p>1</p><p>parn</p><p>0n</p><p>n</p><p>n</p><p>0 x</p><p>!n</p><p>a</p><p>x</p><p>!n</p><p>aX</p><p>ou,</p><p>( ) ( )</p><p>∑∑</p><p>∞</p><p>=</p><p>∞</p><p>=</p><p>α</p><p>α</p><p>+</p><p>α</p><p>=</p><p>ímparn</p><p>1n</p><p>n</p><p>1</p><p>parn</p><p>0n</p><p>n</p><p>0 !n</p><p>xa</p><p>!n</p><p>x</p><p>aX (05)</p><p>Reconhecendo que a primeira e a segunda série do segundo membro de (05) são, respectivamente, o</p><p>co-seno hiperbólico e o seno hiperbólico, expressos por (06) e (07),</p><p>( ) ( ) ( )</p><p>⋅⋅⋅+</p><p>α</p><p>+</p><p>α</p><p>+=</p><p>α</p><p>=α ∑</p><p>∞</p><p>= !4</p><p>x</p><p>!2</p><p>x</p><p>1</p><p>!n</p><p>x</p><p>xcosh</p><p>42</p><p>parn</p><p>0n</p><p>n</p><p>(06)</p><p>( ) ( ) ( )</p><p>⋅⋅⋅+</p><p>α</p><p>+</p><p>α</p><p>+α=</p><p>α</p><p>=α ∑</p><p>∞</p><p>= !5</p><p>x</p><p>!3</p><p>x</p><p>x</p><p>!n</p><p>x</p><p>xsenh</p><p>53</p><p>ímparn</p><p>1n</p><p>n</p><p>(07)</p><p>chega-se a equação (08):</p><p>xsenh</p><p>a</p><p>xcoshaX 1</p><p>0 α</p><p>α</p><p>+α= (08)</p><p>Fazendo 0aA = e α= /aB 1 , chega-se a solução final (09) mostrada abaixo.</p><p>xsenhBxcoshAX α+α= (09)</p><p>Deve-se observar que as constantes A e B são calculadas em termos das condições de contorno</p><p>estabelecidas para o problema.</p><p>As funções hiperbólicas de (09) podem ser escritas em termos de exponenciais, ou seja,</p><p>2</p><p>ee</p><p>xcosh</p><p>xx α−α</p><p>+</p><p>=α (10)</p><p>2</p><p>ee</p><p>xsenh</p><p>xx α−α</p><p>−</p><p>=α (11)</p><p>Assim, substituindo (10) e (11) em (09), obtém-se a expressão final (12) em termos de</p><p>exponenciais, onde foram selecionadas novas constantes arbitrárias 'A e 'B .</p><p>x'x' eBeAX α−α</p><p>+= (12)</p><p>Atenção: O aluno deve exercitar a utilização do método aqui apresentado (Substituição por Série</p><p>Infinita de Potências), resolvendo agora a equação diferencial (08) da seção 6.5,</p><p>mostrada novamente em (13).</p><p>Y</p><p>dy</p><p>Yd 2</p><p>2</p><p>2</p><p>α−= (13)</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>AAnneexxoo IIII:: CURVAS B-H DE VÁRIOS MATERIAIS FERROMAGNÉTICOS 103</p><p>Anexo II</p><p>CURVAS B-H DE VÁRIOS MATERIAIS FERROMAGNÉTICOS</p><p>Este anexo tem o objetivo de apresentar as curvas de magnetização ou curvas B-H de quatro</p><p>materiais ferromagnéticos diferentes a serem utilizadas em problemas do capítulo VIII, ou seja:</p><p>A – Curva de magnetização do ferro fundido,</p><p>B – Curva de magnetização do aço fundido,</p><p>C – Curva de magnetização do aço-silício,</p><p>D – Curva de magnetização da liga ferro-níquel.</p><p>Figura 1 - Curvas B – H para H < 400 A/m</p><p>Atenção para as divisões usadas na figura 1:</p><p>Eixo B (eixo vertical) = 0,02 T por cada divisão (menor divisão)</p><p>Eixo H (eixo horizontal) = 5 A/m por cada divisão (menor divisão)</p><p>D</p><p>C</p><p>B</p><p>A</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>AAnneexxoo IIII:: CURVAS B-H DE VÁRIOS MATERIAIS FERROMAGNÉTICOS 104</p><p>Figura 2 - Curvas B – H para H > 400 A/m</p><p>Atenção para as divisões usadas na figura 2:</p><p>Eixo B (eixo vertical) = 0,02 T por cada divisão (menor divisão)</p><p>Eixo H (eixo horizontal) = 50 A/m por cada divisão (menor divisão)</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>A</p><p>Fórmulas</p><p>Tabelas</p><p>19. ∫ +−−= Cuucotgduucotg2</p><p>20. ∫ += Cusecduutgusec</p><p>21. ∫ +−= Cucosecduucotgucosec</p><p>22. C</p><p>a</p><p>u</p><p>arctg</p><p>a</p><p>1</p><p>au</p><p>du</p><p>22</p><p>+=</p><p>+</p><p>∫</p><p>23. C</p><p>au</p><p>au</p><p>a2</p><p>1</p><p>au</p><p>du</p><p>22</p><p>+</p><p>+</p><p>−</p><p>=</p><p>−</p><p>∫ ln</p><p>24. C</p><p>ua</p><p>ua</p><p>a2</p><p>1</p><p>ua</p><p>du</p><p>22</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>=</p><p>−</p><p>∫ ln</p><p>25. C</p><p>a</p><p>u</p><p>arcsen</p><p>ua</p><p>du</p><p>22</p><p>+=</p><p>−</p><p>∫</p><p>26. C</p><p>a</p><p>auu</p><p>au</p><p>du 22</p><p>22</p><p>+</p><p>++</p><p>=∫</p><p>+</p><p>ln</p><p>27. Cauu</p><p>au</p><p>du 22</p><p>22</p><p>+−+=</p><p>−</p><p>∫ ln</p><p>28. C</p><p>a</p><p>u</p><p>arcsec</p><p>a</p><p>1</p><p>auu</p><p>du</p><p>22</p><p>+=</p><p>−</p><p>∫</p><p>29. C</p><p>u</p><p>aua</p><p>a</p><p>1</p><p>auu</p><p>du 22</p><p>22</p><p>+</p><p>++</p><p>−=</p><p>+</p><p>∫ ln</p><p>30. C</p><p>u</p><p>uaa</p><p>a</p><p>1</p><p>uau</p><p>du 22</p><p>22</p><p>+</p><p>−+</p><p>−=</p><p>−</p><p>∫ ln</p><p>31.</p><p>( )</p><p>C</p><p>au</p><p>u</p><p>a</p><p>1</p><p>au</p><p>du</p><p>2222/322</p><p>+</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>∫</p><p>32. 2222 ua</p><p>2</p><p>u</p><p>duua −=−∫</p><p>C</p><p>a</p><p>u</p><p>arcsen</p><p>2</p><p>a 2</p><p>++</p><p>33. 2222 au</p><p>2</p><p>u</p><p>duau ±=±∫</p><p>Cauu 22 +±+± ln</p><p>34. ∫ ∫−= duvvudvu (Integração por partes)</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo II:: ÁÁNNÁÁLLIISSEE VVEETT</p><p>1.1 – CONCEITOS GERAIS</p><p>• Grandeza Escalar – Representada por um</p><p>Ex.: Tensão ou potencial, corrente, carga, tempo, massa,</p><p>• Grandeza Vetorial – Representada por uma</p><p>Ex.: Densidade de corrente, velocidade, aceleração, força, torque, etc.</p><p>Atenção: No curso de Eletromagnetismo não será feita distinção entre a magn</p><p>intensidade e valor absoluto de um vetor. A magnitude de um vetor é um valor sempre</p><p>positivo.</p><p>• Campo Escalar – Cada ponto</p><p>Ex.: Campo de potenciais, campo de temperaturas, campo de pressões, etc.</p><p>Notação: Seja yx 22 ++=φ</p><p>Se φ = potencial ⇒</p><p>Se φ = temperatura</p><p>Se φ = pressão ⇒</p><p>• Campo Vetorial – Cada ponto</p><p>Ex.: Campo elétrico, campo magnético, campo gravitacional, etc.</p><p>Notação: Seja x a4a3E</p><p>��</p><p>�</p><p>+=</p><p>Se E</p><p>�</p><p>= campo elétrico</p><p>possuindo módulo igual a</p><p>(também chamados de versores):</p><p>Atenção: No curso de Eletromagnetismo adota</p><p>que seu módulo pode ser representado por</p><p>1.2 – O PRODUTO ESCALAR (OU</p><p>O produto escalar entre 2 vetores</p><p>θ=• cosBABA</p><p>����</p><p>(</p><p>Propriedades do produto escalar</p><p>(a) ABBA</p><p>����</p><p>•=• (propriedade comutativa)</p><p>(b) 0BA =•</p><p>��</p><p>⇔ A ⊥ B</p><p>(c) 22</p><p>AAAA ==•</p><p>���</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>TTOORRIIAALL</p><p>Capítulo I</p><p>ANÁLISE VETORIAL</p><p>Representada por um número real, positivo ou negativo.</p><p>: Tensão ou potencial, corrente, carga, tempo, massa, volume, temperatura, pressão, etc.</p><p>Representada por uma magnitude, direção e sentido.</p><p>: Densidade de corrente, velocidade, aceleração, força, torque, etc.</p><p>No curso de Eletromagnetismo não será feita distinção entre a magn</p><p>intensidade e valor absoluto de um vetor. A magnitude de um vetor é um valor sempre</p><p>Cada ponto da região é representado por um escalar.</p><p>: Campo de potenciais, campo de temperaturas, campo de pressões, etc.</p><p>100z 2 =+ definindo um campo escalar.</p><p>⇒ temos uma superfície equipotencial esférica.</p><p>= temperatura ⇒ temos uma superfície isotérmica esférica.</p><p>⇒ temos uma superfície isobárica esférica.</p><p>Cada ponto da região equivale a um vetor.</p><p>: Campo elétrico, campo magnético, campo gravitacional, etc.</p><p>zy a5</p><p>�</p><p>+ definindo um campo vetorial.</p><p>= campo elétrico ⇒ temos uma região onde o campo elétrico é uniforme,</p><p>possuindo módulo igual a 25E =</p><p>�</p><p>e direção fixa definida pelos vetores unitários</p><p>(também chamados de versores): xa</p><p>�</p><p>, ya</p><p>�</p><p>e za</p><p>�</p><p>.</p><p>No curso de Eletromagnetismo adota-se a seguinte notação para vetores:</p><p>que seu módulo pode ser representado por A</p><p>�</p><p>ou A , ou, simplesmente, A.</p><p>PRODUTO ESCALAR (OU PRODUTO INTERNO)</p><p>O produto escalar entre 2 vetores A e B é definido como:</p><p>(θ = menor ângulo entre A e B )</p><p>Propriedades do produto escalar:</p><p>(propriedade comutativa)</p><p>B (o produto escalar entre 2 vetores perpendiculares é nulo)</p><p>1</p><p>, positivo ou negativo.</p><p>volume, temperatura, pressão, etc.</p><p>.</p><p>No curso de Eletromagnetismo não será feita distinção entre a magnitude, módulo,</p><p>intensidade e valor absoluto de um vetor. A magnitude de um vetor é um valor sempre</p><p>: Campo de potenciais, campo de temperaturas, campo de pressões, etc.</p><p>temos uma superfície equipotencial esférica.</p><p>temos uma superfície isotérmica esférica.</p><p>onde o campo elétrico é uniforme,</p><p>e direção fixa definida pelos vetores unitários</p><p>se a seguinte notação para vetores: A</p><p>�</p><p>ou A , sendo</p><p>, ou, simplesmente, A.</p><p>(o produto escalar entre 2 vetores perpendiculares é nulo)</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo II:: ÁÁNNÁÁLLIISSEE VVEETT</p><p>(i) Aplicação do produto escalar:</p><p>A projeção (ou componente) escalar</p><p>A</p><p>A</p><p>BaBBa .. == ( a = vetor unitário na direção de</p><p>A projeção (ou componente) vetorial</p><p>( )aaBBa .= ⇒ BBa </p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>A projeção escalar (Bx) do vetor</p><p>aBB xx .= ( xa = vetor unitário do eixo</p><p>A projeção vetorial ( B x) do vetor</p><p>( ) aaBaBB xxxxx .==</p><p>(ii) Aplicação do produto escalar</p><p>O ângulo θ compreendido entre 2 vetores</p><p>1.3 – O PRODUTO VETORIAL (</p><p>O produto vetorial entre 2 vetores</p><p>naBABA</p><p>�</p><p>����</p><p>θ=× sen</p><p>onde na</p><p>�</p><p>= vetor unitário (versor) normal ao plano formado pelos vetores</p><p>(e sentido) é obtida pela regra do saca</p><p>Propriedades do produto vetorial</p><p>(a) ABBA</p><p>����</p><p>×−=× (propriedade não</p><p>(b) 0BA =×</p><p>��</p><p>⇔ A // B</p><p>(c) 0AA =×</p><p>��</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>TTOORRIIAALL</p><p>: obtenção da componente ou projeção de um vetor (ex.:</p><p>numa dada direção (ex.: o vetor A ou o eixo</p><p>escalar do vetor B sobre o vetor A é:</p><p>= vetor unitário na direção de A )</p><p>vetorial do vetor B sobre A é:</p><p>A</p><p>A</p><p>A</p><p>A</p><p>B</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>.</p><p>B sobre o eixo x é:</p><p>= vetor unitário do eixo x)</p><p>) do vetor B sobre o eixo x é:</p><p>Aplicação do produto escalar: obtenção do ângulo compreendido entre 2 vetores quaisquer.</p><p>compreendido entre 2 vetores A e B é obtido por:</p><p>A</p><p>A .</p><p>=θcos</p><p>O PRODUTO VETORIAL (OU PRODUTO EXTERNO)</p><p>O produto vetorial entre 2 vetores A e B é definido como:</p><p>(θ = menor ângulo entre A e B )</p><p>vetor unitário (versor) normal ao plano formado pelos vetores</p><p>(e sentido) é obtida pela regra do saca-rolhas (mão direita) indo de A para</p><p>Propriedades do produto vetorial:</p><p>(propriedade não-comutativa)</p><p>B (o produto vetorial entre 2 vetores paralelos é nulo)</p><p>2</p><p>de um vetor (ex.: B )</p><p>ou o eixo x → ver figuras).</p><p>compreendido entre 2 vetores quaisquer.</p><p>B</p><p>B.</p><p>vetor unitário (versor) normal ao plano formado pelos vetores A e B , cuja direção</p><p>para B .</p><p>(o produto vetorial entre 2 vetores paralelos é nulo)</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo II:: ÁÁNNÁÁLLIISSEE VVEETT</p><p>(i) Aplicação do produto vetorial</p><p>Obtenção do vetor ou versor normal</p><p>por 2 vetores A e B .</p><p>BAN</p><p>���</p><p>×=</p><p>BA</p><p>BA</p><p>N</p><p>N</p><p>a n ��</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>×</p><p>×</p><p>==</p><p>(ii) Aplicação do produto vetorial</p><p>Obtenção da área de um</p><p>vetores A e B .</p><p>BaseS ramologparale ×=</p><p>S</p><p>2</p><p>1</p><p>S logparaletriângulo =</p><p>Exercício: Demonstrar que o volume de um paralelepípedo pode ser obtido através do produto</p><p>misto:</p><p>( ) CBAvol</p><p>���</p><p>•×=</p><p>sendo A</p><p>�</p><p>, B</p><p>�</p><p>e C</p><p>�</p><p>paralelepípedo.</p><p>1.4 – SISTEMAS DE COORDENA</p><p>1.4.1 – Representação de um ponto nos 3 sistemas de coordenadas</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>TTOORRIIAALL</p><p>Aplicação do produto vetorial:</p><p>versor normal a um plano formado</p><p>(vetor normal)</p><p>(versor normal</p><p>Aplicação do produto vetorial:</p><p>de um paralelogramo (ou triângulo) cujos lados são as magnitudes dos</p><p>BAABAltura</p><p>����</p><p>×=θ=× sen</p><p>BA</p><p>2</p><p>1</p><p>ramolog</p><p>��</p><p>×=</p><p>Demonstrar que o volume de um paralelepípedo pode ser obtido através do produto</p><p>C</p><p>�</p><p>, respectivamente, o comprimento, a largura e a altura do</p><p>SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS, CILÍNDRICAS E ESFÉRICAS</p><p>Representação de um ponto nos 3 sistemas de coordenadas</p><p>3</p><p>) cujos lados são as magnitudes dos</p><p>Demonstrar que o volume de um paralelepípedo pode ser obtido através do produto</p><p>, respectivamente, o comprimento, a largura e a altura do</p><p>ÍNDRICAS E ESFÉRICAS</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo</p><p>II:: ÁÁNNÁÁLLIISSEE VVEETT</p><p>1.4.2 – Transformações entre os 3 sistemas de coordenadas</p><p>Quadro das transformações entre os três sistemas de coordenadas</p><p>SISTEMA Cartesiano</p><p>Cartesiano</p><p>zz</p><p>yy</p><p>xx</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>Cilíndrico</p><p>zz</p><p>0 )x/y(tan</p><p>yx</p><p>1-</p><p>22</p><p>=</p><p>=φ</p><p>ρ+=ρ</p><p>Esférico</p><p>(</p><p>( )=φ</p><p>+=θ</p><p>++=</p><p>x/ytan</p><p>yxtan</p><p>zyxr</p><p>1-</p><p>221-</p><p>222</p><p>1.4.3 – Vetores unitários nos 3 sistemas de coordenadas</p><p>1.4.4 – Produtos escalares entre vetores unitários nos 3 sistemas de coordenadas</p><p>Coordenadas cartesianas e cilíndricas</p><p>Nota: O produto escalar entre o vetor unitário</p><p>de coordenadas esféricas, é dado pelo coseno do ângulo formado entre o vetor unitário</p><p>esférico ra</p><p>�</p><p>(ou θa</p><p>�</p><p>) e sua projeção no plano</p><p>por esta projeção e o vetor unitário</p><p>�</p><p>aρ</p><p>�</p><p>aφ</p><p>�</p><p>a</p><p>�</p><p>ax •••• cosφφφφ - senφφφφ</p><p>�</p><p>ay •••• senφφφφ cosφφφφ</p><p>�</p><p>az •••• 0 0</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>TTOORRIIAALL</p><p>Transformações entre os 3 sistemas de coordenadas</p><p>Quadro das transformações entre os três sistemas de coordenadas</p><p>Cartesiano Cilíndrico</p><p>zz</p><p>seny</p><p>cosx</p><p>=</p><p>φρ=</p><p>φρ=</p><p>2</p><p>0</p><p>π≤φ≤</p><p>≥</p><p>zz =</p><p>φ=φ</p><p>ρ=ρ</p><p>)</p><p>π≤φ≤</p><p>π≤θ≤</p><p>≥</p><p>20</p><p>0 z</p><p>0r</p><p>( )</p><p>π≤φ≤φ=φ</p><p>π≤θ≤ρ=θ</p><p>≥+ρ=</p><p>20</p><p>0 ztan</p><p>0r zr</p><p>1-</p><p>22</p><p>Vetores unitários nos 3 sistemas de coordenadas</p><p>Produtos escalares entre vetores unitários nos 3 sistemas de coordenadas</p><p>Coordenadas cartesianas e cilíndricas Coordenadas cartesianas e esféricas</p><p>O produto escalar entre o vetor unitário xa</p><p>�</p><p>(ou ya</p><p>�</p><p>) e o vetor unitário</p><p>de coordenadas esféricas, é dado pelo coseno do ângulo formado entre o vetor unitário</p><p>) e sua projeção no plano xy, multiplicado pelo coseno do ângulo formado</p><p>or unitário xa</p><p>�</p><p>(ou ya</p><p>�</p><p>).</p><p>�</p><p>a r</p><p>�</p><p>aθ</p><p>�</p><p>ax •••• senθθθθ cosφφφφ cosθθθθ cos</p><p>�</p><p>ay •••• senθθθθ senφφφφ cosθθθθ sen</p><p>�</p><p>az •••• cosθθθθ - sen</p><p>�</p><p>az</p><p>0</p><p>0</p><p>1</p><p>4</p><p>Quadro das transformações entre os três sistemas de coordenadas</p><p>Esférico</p><p>θ=</p><p>φθ=</p><p>φθ=</p><p>rcosz</p><p>sen rseny</p><p>cos senrx</p><p>θ=</p><p>φ=φ</p><p>θ=ρ</p><p>rcosz</p><p>senr</p><p>π</p><p>φ=φ</p><p>θ=θ</p><p>= rr</p><p>Produtos escalares entre vetores unitários nos 3 sistemas de coordenadas</p><p>Coordenadas cartesianas e esféricas</p><p>) e o vetor unitário ra</p><p>�</p><p>(ou θa</p><p>�</p><p>) do sistema</p><p>de coordenadas esféricas, é dado pelo coseno do ângulo formado entre o vetor unitário</p><p>, multiplicado pelo coseno do ângulo formado</p><p>θ</p><p>�</p><p>aφ</p><p>cosφφφφ - senφφφφ</p><p>senφφφφ cosφφφφ</p><p>senθθθθ 0</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo II:: ÁÁNNÁÁLLIISSEE VVEETT</p><p>Exercício: Completar o quadro abaixo relativo ao produto escalar entre vetores unitários dos</p><p>sistemas de coordenadas cilíndricas e esféricas</p><p>1.4.5 – Elementos diferenciais de linha</p><p>Quadro dos elementos</p><p>Sistema Linha</p><p>Cartesiano</p><p>x dyadxLd +=</p><p>Cilíndrico dL d a d a dz aρ φ= ρ + ρ φ +</p><p>Esférico θ+= rdadrLd r</p><p>�</p><p>a r</p><p>�</p><p>aθ</p><p>�</p><p>a</p><p>�</p><p>aρ ••••</p><p>�</p><p>aφ ••••</p><p>�</p><p>az ••••</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>TTOORRIIAALL</p><p>Completar o quadro abaixo relativo ao produto escalar entre vetores unitários dos</p><p>sistemas de coordenadas cilíndricas e esféricas</p><p>Elementos diferenciais de linha, área e volume nos 3 sistemas de coordenadas</p><p>Quadro dos elementos diferenciais nos 3 sistemas de coordenadas</p><p>Linha (d L ) Área (d S )</p><p>zy adzady +</p><p>zz</p><p>yy</p><p>xx</p><p>adxdySd</p><p>adxdzSd</p><p>adydzSd</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>dv</p><p>zdL d a d a dz aρ φ= ρ + ρ φ +</p><p>zz addSd</p><p>adzdSd</p><p>adzdSd</p><p>φρρ=</p><p>ρ=</p><p>φρ=</p><p>φφ</p><p>ρρ</p><p>dv</p><p>φθ φθ+θ adsenra</p><p>φφ</p><p>θθ</p><p>θ=</p><p>φθ=</p><p>φθθ=</p><p>ardrdSd</p><p>adrdsenrSd</p><p>addsenrSd r</p><p>2</p><p>r</p><p>dv</p><p>�</p><p>aφ</p><p>5</p><p>Completar o quadro abaixo relativo ao produto escalar entre vetores unitários dos</p><p>nos 3 sistemas de coordenadas</p><p>diferenciais nos 3 sistemas de coordenadas</p><p>Volume (dv)</p><p>dzdydxdv =</p><p>dzdddv φρρ=</p><p>φθθ= ddrdsenrdv 2</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo II:: ÁÁNNÁÁLLIISSEE VVEETT</p><p>1.5 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS</p><p>1.1) As superfícies que delimitam um volume são definidas por:</p><p>7π/9, z = 2 e z = 20. Determinar:</p><p>a) O volume determinado pela</p><p>b) O comprimento de um segmento linear que une dois vértices opostos do volume.</p><p>Respostas: a) Volume = 375</p><p>1.2) Um vetor aaE</p><p>��</p><p>�</p><p>++= φρ</p><p>plana x y z+ + = 2 . Determinar:</p><p>a) o vetor E</p><p>�</p><p>no sistema de coordenadas cartesianas;</p><p>b) o ângulo θ que o vetor E</p><p>�</p><p>c) as duas componentes vetoriais de</p><p>Respostas: a) x aaE</p><p>�</p><p>�</p><p>+−=</p><p>c) ( xN 3</p><p>1</p><p>aE</p><p>�</p><p>�</p><p>=</p><p>1.3) Um vetor A</p><p>�</p><p>, com módulo igual a 10, está orientado do ponto P(r = 5;</p><p>origem de um sistema de coordenadas</p><p>a) coordenadas esféricas no ponto P.</p><p>b) coordenadas cartesianas no ponto</p><p>Respostas: a) r 10 aA −=</p><p>�</p><p>; b)</p><p>1.4) Dado o vetor yx aaA</p><p>��</p><p>�</p><p>+=</p><p>a) As coordenadas esféricas</p><p>b) O ângulo α que A</p><p>�</p><p>faz com a superfície esférica, centrada na origem, que passa por P;</p><p>c) O ângulo β que A</p><p>�</p><p>faz com a superfície cônica, coaxial com o eixo z, que passa por P;</p><p>d) O ângulo γ que A</p><p>�</p><p>faz com o semi</p><p>Respostas: a) ;( = 22rP θ</p><p>1.5) Um vetor A</p><p>�</p><p>, de módulo igual 8, está situado sobre a linha reta que passa</p><p>P(r = 10, θ = 30o, φ = 0o) e</p><p>Determinar:</p><p>a) O vetor A</p><p>�</p><p>expresso em coordenadas cartesianas;</p><p>b) O ângulo que o vetor A</p><p>�</p><p>c) O módulo da projeção do vetor</p><p>Respostas: a) 212 aA ,−=</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>TTOORRIIAALL</p><p>EXERCÍCIOS PROPOSTOS</p><p>As superfícies que delimitam um volume são definidas por: ρ = 5 e ρ</p><p>/9, z = 2 e z = 20. Determinar:</p><p>O volume determinado pelas superfícies em questão, utilizando integração;</p><p>O comprimento de um segmento linear que une dois vértices opostos do volume.</p><p>Respostas: a) Volume = 375π; b) PQ = 21,59 .</p><p>za</p><p>�</p><p>+ está aplicado no ponto P(x = 0, y = 1, z = 1) da superfície</p><p>. Determinar:</p><p>no sistema de coordenadas cartesianas;</p><p>E</p><p>�</p><p>faz com o vetor normal à superfície plana;</p><p>as duas componentes vetoriais de E</p><p>�</p><p>normal e tangencial à superfície plana.</p><p>zy aa</p><p>��</p><p>+ ; b) θ =70,53o;</p><p>)zy aa</p><p>��</p><p>++ e ( yxT 224</p><p>3</p><p>1</p><p>aaaE</p><p>���</p><p>�</p><p>++−=</p><p>, com módulo igual a 10, está orientado do ponto P(r = 5;</p><p>origem de um sistema de coordenadas cartesianas. Expressar este vetor em:</p><p>coordenadas esféricas no ponto P.</p><p>coordenadas cartesianas no ponto P.</p><p>; b) zyx 25 5 5 aaaA −−−=</p><p>�</p><p>.</p><p>zy a</p><p>�</p><p>+ aplicado ao ponto P(x = – 3 , y = 1, z = 2), determinar:</p><p>As coordenadas esféricas r, θ e φ do ponto P;</p><p>faz com a superfície esférica, centrada na origem, que passa por P;</p><p>faz com a superfície cônica, coaxial com o eixo z, que passa por P;</p><p>faz com o semi-plano radial, partindo do eixo z, que passa por P.</p><p>);; °=°= 15045 φθ b) α = 75o; c) β = 123,9</p><p>, de módulo igual 8, está situado sobre a linha reta que passa</p><p>) e Q(r = 20, θ = 60o, φ = 90o) , e orientado no sentido de P a Q.</p><p>expresso em coordenadas cartesianas;</p><p>faz com o vetor normal à superfície plana z = 0;</p><p>O módulo da projeção do vetor A</p><p>�</p><p>sobre a superfície plana z = 0.</p><p>zyx 590 677 aaa ,, ++ ; b) α = 85,75o; c) Proj</p><p>6</p><p>= 10, φ = 2π/9 e φ =</p><p>superfícies em questão, utilizando integração;</p><p>O comprimento de um segmento linear que une dois vértices opostos do volume.</p><p>está aplicado no ponto P(x = 0, y = 1, z = 1) da superfície</p><p>normal e tangencial à superfície plana.</p><p>)za</p><p>�</p><p>.</p><p>, com módulo igual a 10, está orientado do ponto P(r = 5; θ = π/4; φ = π/4) à</p><p>. Expressar este vetor em:</p><p>, y = 1, z = 2), determinar:</p><p>faz com a superfície esférica, centrada na origem, que passa por P;</p><p>faz com a superfície cônica, coaxial com o eixo z, que passa por P;</p><p>plano radial, partindo do eixo z, que passa por P.</p><p>= 123,9o; d) γ = 142,06o.</p><p>, de módulo igual 8, está situado sobre a linha reta que passa pelos pontos</p><p>) , e orientado no sentido de P a Q.</p><p>mal à superfície plana z = 0;</p><p>987 Proj ,=A .</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo II:: ÁÁNNÁÁLLIISSEE VVEETT</p><p>1.6) Transformar o vetor 5E =</p><p>a) A(r = 4, θ = 30o, φ =</p><p>120</p><p>b) B(x = – 2 , y = 2 , z =</p><p>Respostas: a) aE</p><p>4</p><p>5</p><p>r +=</p><p>1.7) Sejam dados os pontos A(r = 1,</p><p>representam 2 vértices extremos da porção de um volume esférico formado com estes pontos.</p><p>Determinar, usando integração quando possível, o seguinte:</p><p>a) O volume total (vol) da porção de volume esférico formado;</p><p>b) Os vetores normais de área,</p><p>esférico nas direções dos vetores unitários</p><p>c) O comprimento do segmento AB (“diagonal principal” da porção de volume esférico);</p><p>d) O vetor</p><p>→</p><p>AB , localizado em A e dirigido de A para B, expresso em coordenadas esf</p><p>Respostas: a) vol. =</p><p>36</p><p>13π</p><p>; b)</p><p>d) =AB 3713,1</p><p>1.8) Sejam dados os dois pontos A(r = 10,</p><p>Determinar:</p><p>a) A distância d entre os dois pontos medida em linha reta;</p><p>b) A distância d’ entre os dois pontos medida ao longo da superfície esférica r = 10.</p><p>Respostas: a) d = 11,37 unidades de comprimento.</p><p>b) d’ = 12,09 unidades de comprimento</p><p>1.9) a) Se os vetores axA =</p><p>representam os lados de um paralelepípedo retângulo, quais os valores de</p><p>b) Determinar o volume do paralelepípedo retângulo formado acima.</p><p>Respostas: a) x = –1,5, y =</p><p>b) vol. = 20,25 unidades de volume</p><p>1.10) Sejam 2 pontos em coordenadas esféricas</p><p>Determinar:</p><p>a) A distância entre os 2 pontos medida em</p><p>b) A distância entre os 2 pontos medida ao longo da superfície esférica r = 5;</p><p>c) O ângulo entre as 2 linhas que se estendem da origem até os 2 pontos;</p><p>d) A área compreendida entre estas 2 linhas e o círculo de raio r = 5.</p><p>Respostas: a) AB = 5,32 unida</p><p>c) 64,34o = 1,123 rad, d) área = 14,04 unidades de área.</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>TTOORRIIAALL</p><p>x x5 a</p><p>�</p><p>para coordenadas esféricas nos seguintes pontos:</p><p>= 120o);</p><p>, z = –2).</p><p>φθ aa</p><p>2</p><p>35</p><p>4</p><p>35</p><p>+ ; b) aE</p><p>2</p><p>25</p><p>2</p><p>25</p><p>r −=</p><p>Sejam dados os pontos A(r = 1, θ = π/3, φ = π/6) e B(r = 3, θ = π/2,</p><p>representam 2 vértices extremos da porção de um volume esférico formado com estes pontos.</p><p>Determinar, usando integração quando possível, o seguinte:</p><p>(vol) da porção de volume esférico formado;</p><p>Os vetores normais de área, rS</p><p>�</p><p>, θS</p><p>�</p><p>φS</p><p>�</p><p>, que saem da superfície da porção de volume</p><p>esférico nas direções dos vetores unitários ra</p><p>�</p><p>, θa</p><p>�</p><p>e φa</p><p>�</p><p>, respectivamente ;</p><p>O comprimento do segmento AB (“diagonal principal” da porção de volume esférico);</p><p>, localizado em A e dirigido de A para B, expresso em coordenadas esf</p><p>; b) rr 8</p><p>3</p><p>aS</p><p>�</p><p>� π</p><p>= , θθ</p><p>π</p><p>= aS</p><p>�</p><p>�</p><p>3</p><p>, φφ</p><p>π</p><p>= aS</p><p>�</p><p>�</p><p>3</p><p>2</p><p>; c) AB = 2,2318</p><p>+=−+ aaaaa 4487,1 5093,1 5,0 6883,1 3713 rzyx</p><p>Sejam dados os dois pontos A(r = 10, θ = 45o, φ = 0o) e B(r = 10, θ = 60</p><p>entre os dois pontos medida em linha reta;</p><p>entre os dois pontos medida ao longo da superfície esférica r = 10.</p><p>a) d = 11,37 unidades de comprimento.</p><p>b) d’ = 12,09 unidades de comprimento.</p><p>zyx a3a3a ++ , zyx a2aya2B ++= , e</p><p>representam os lados de um paralelepípedo retângulo, quais os valores de</p><p>b) Determinar o volume do paralelepípedo retângulo formado acima.</p><p>1,5, y = –1,0, z = –0,5 unidades de comprimento;</p><p>b) vol. = 20,25 unidades de volume</p><p>Sejam 2 pontos em coordenadas esféricas ( )oo 30,60,5r =φ=θ= e (r =</p><p>A distância entre os 2 pontos medida em linha reta;</p><p>A distância entre os 2 pontos medida ao longo da superfície esférica r = 5;</p><p>O ângulo entre as 2 linhas que se estendem da origem até os 2 pontos;</p><p>A área compreendida entre estas 2 linhas e o círculo de raio r = 5.</p><p>a) AB = 5,32 unidades de comprimento; b) AB = 5,61 unidades de comprimento;</p><p>= 1,123 rad, d) área = 14,04 unidades de área.</p><p>7</p><p>para coordenadas esféricas nos seguintes pontos:</p><p>φθ aa 5 + .</p><p>/2, φ = π/4), os quais</p><p>representam 2 vértices extremos da porção de um volume esférico formado com estes pontos.</p><p>, que saem da superfície da porção de volume</p><p>, respectivamente ;</p><p>O comprimento do segmento AB (“diagonal principal” da porção de volume esférico);</p><p>, localizado em A e dirigido de A para B, expresso em coordenadas esféricas.</p><p>; c) AB = 2,2318</p><p>φθ + aa 7786,0 .</p><p>= 60o, φ = 90o).</p><p>entre os dois pontos medida ao longo da superfície esférica r = 10.</p><p>, e zyx azaaC ++= ,</p><p>representam os lados de um paralelepípedo retângulo, quais os valores de x, y e z?</p><p>)oo 120,30,5 =φ=θ= .</p><p>A distância entre os 2 pontos medida ao longo da superfície esférica r = 5;</p><p>O ângulo entre as 2 linhas que se estendem da origem até os 2 pontos;</p><p>des de comprimento; b) AB = 5,61 unidades de comprimento;</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo II:: ÁÁNNÁÁLLIISSEE VVEETT</p><p>1.11) Um círculo, centrado na origem, com raio de 2 unidades, situa</p><p>Determinar o vetor unitário, situado sobre o plan</p><p>( )0,1,3 e está apontado no sentido de crescimento do eixo</p><p>(a) Em coordenadas cartesianas;</p><p>Respostas: a) xa</p><p>2</p><p>1</p><p>a +−=</p><p>1.12) Determinar uma expressão para calcular a distância entre dois pontos</p><p>)z,,(Q 222 φρ em função das coordenadas cilíndricas dos pontos.</p><p>Resposta: 2</p><p>2</p><p>2</p><p>1d −ρ+ρ=</p><p>1.13) Demonstrar que =α sencos</p><p>α = ângulo entre o versor a</p><p>�</p><p>θ = ângulo entre o versor a</p><p>�</p><p>φ = ângulo entre o versor a</p><p>�</p><p>Resposta: Sugestão: Observar que</p><p>φ=•ρ cosaa x</p><p>��</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>TTOORRIIAALL</p><p>Um círculo, centrado na origem, com raio de 2 unidades, situa-se sobre o plano</p><p>Determinar o vetor unitário, situado sobre o plano xy, que é tangente ao círculo no ponto P</p><p>e está apontado no sentido de crescimento do eixo y:</p><p>Em coordenadas cartesianas; (b) Em coordenadas esféricas.</p><p>ya</p><p>2</p><p>3</p><p>; b) φ= aa</p><p>Determinar uma expressão para calcular a distância entre dois pontos</p><p>em função das coordenadas cilíndricas dos pontos.</p><p>( ) ( )2</p><p>121221 zzcos2 −+φ−φρρ</p><p>φθcossen , usando produtos escalares, sendo:</p><p>ra</p><p>�</p><p>(coord. esférica) e o versor xa</p><p>�</p><p>(coord. cartesiana)</p><p>za</p><p>�</p><p>(coord. cartesiana) e o versor ra</p><p>�</p><p>(coord. esférica)</p><p>xa</p><p>�</p><p>(coord. cartesiana) e o versor ρa</p><p>�</p><p>(coord. cilíndrica).</p><p>Sugestão: Observar que θ+θ= ρ cosasenaa zr</p><p>���</p><p>e que • aa r</p><p>��</p><p>e 0aa xz =•</p><p>��</p><p>8</p><p>se sobre o plano xy.</p><p>, que é tangente ao círculo no ponto P</p><p>(b) Em coordenadas esféricas.</p><p>Determinar uma expressão para calcular a distância entre dois pontos )z,,(P 111 φρ e</p><p>usando produtos escalares, sendo:</p><p>(coord. cartesiana)</p><p>(coord. esférica)</p><p>(coord. cilíndrica).</p><p>α= cosa x</p><p>�</p><p>,</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo IIII:: LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 9</p><p>Capítulo II</p><p>LEI DE COULOMB E INTENSIDADE DE CAMPO ELÉTRICO</p><p>2.1 – LEI DE COULOMB</p><p>Força de uma carga Q1 sobre uma carga Q2:</p><p>122</p><p>12o</p><p>21</p><p>2 a</p><p>R4</p><p>QQ</p><p>F</p><p>πε</p><p>= [N]</p><p>onde:</p><p>R 12 = vetor orientado de Q1 a Q2</p><p>a 12 = versor orientado de Q1 a Q2</p><p>Notas: O módulo de 2F depende dos valores das cargas pontuais, da distância entre elas e do meio.</p><p>Adota-se vácuo como o meio neste caso, e em todas as análises posteriores até o capítulo 5.</p><p>A orientação de 2F (ou sentido de 2F ) depende apenas dos sinais das 2 cargas pontuais.</p><p>2.2 – INTENSIDADE DE CAMPO ELÉTRICO</p><p>Força de uma carga pontual Q1 sobre uma carga de prova positiva QP situada num ponto P:</p><p>P12</p><p>P1o</p><p>P1</p><p>P a</p><p>R4</p><p>QQ</p><p>F</p><p>πε</p><p>=</p><p>Campo elétrico gerado pela carga pontual Q1 no ponto P (definição):</p><p>P12</p><p>P1o</p><p>1</p><p>P</p><p>P a</p><p>R4</p><p>Q</p><p>Q</p><p>F</p><p>E</p><p>πε</p><p>== (Unidade: N/C ou V/m)</p><p>Nota: A orientação do campo elétrico E depende apenas do sinal da carga que o produz (Q1).</p><p>Assim, as linhas de força do campo elétrico saem (ou divergem) das cargas positivas e</p><p>entram (ou convergem) para as cargas negativas.</p><p>Campo elétrico gerado por n cargas pontuais:</p><p>( ) m</p><p>n</p><p>1m</p><p>2</p><p>mo</p><p>m a</p><p>rr4</p><p>Q</p><p>rE ∑</p><p>−πε</p><p>=</p><p>=</p><p>[V/m]</p><p>onde: Qm = m-ésima carga pontual</p><p>mr = posição da m-ésima carga pontual</p><p>r = posição do ponto onde se quer o campo</p><p>m</p><p>m</p><p>m rr</p><p>rr</p><p>a</p><p>−</p><p>−</p><p>= = versor da m-ésima carga pontual</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo IIII::</p><p>LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 10</p><p>2.3 – CAMPO ELÉTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO VOLUMÉTRICA CONTÍNUA DE</p><p>CARGAS</p><p>Definindo</p><p>dv</p><p>dQ</p><p>v =ρ = densidade volumétrica de carga (em C/m3), temos que dQ = ρvdv.</p><p>Assim a fórmula para calcular o campo elétrico num ponto P, no vácuo, de um volume de cargas é:</p><p>∫</p><p>πε</p><p>= R2</p><p>o</p><p>a</p><p>R4</p><p>dQ</p><p>E [V/m] (FÓRMULA GERAL)</p><p>sendo:</p><p>Ra = versor orientado de dQ ao ponto P (saindo)</p><p>R = distância de dQ ao ponto P</p><p>εo = permissividade elétrica do vácuo [F/m]</p><p>Nota: Genericamente: ρv dv = ρS ds = ρL dL = dQ, para volume → superfície → linha → ponto.</p><p>2.4 – CAMPO ELÉTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO LINEAR CONTÍNUA DE CARGAS</p><p>Definindo</p><p>dL</p><p>dQ</p><p>L =ρ = densidade linear de carga (em C/m), temos que dQ = ρLdL.</p><p>Demonstrar que a fórmula que fornece o campo elétrico num ponto P, no vácuo, devido a uma</p><p>filamento retilíneo ∞∞∞∞ com carga uniformemente distribuída (ver figura), é expressa por:</p><p>ρ</p><p>ρπε</p><p>ρ</p><p>= a</p><p>2</p><p>E</p><p>o</p><p>L</p><p>sendo:</p><p>ρL = densidade linear de carga [C/m] (valor constante)</p><p>ρ = menor distância (direção normal) da linha ao ponto P [m]</p><p>ρa = versor normal à linha orientado para o ponto P</p><p>Solução: Posicionando o eixo z sobre o filamento e o plano xy sobre</p><p>o ponto P para facilitar a solução (ver figura), temos:</p><p>dzdQ Lρ=</p><p>ρρ+−= aazR z e 22zR ρ+= ⇒</p><p>22</p><p>z</p><p>R</p><p>z</p><p>aaz</p><p>R</p><p>R</p><p>a</p><p>ρ+</p><p>ρ+−</p><p>==</p><p>ρ</p><p>Substituindo na fórmula geral acima obtemos:</p><p>( )</p><p>( )</p><p>( )</p><p>ρ</p><p>ρρ</p><p>+=</p><p>ρ+πε</p><p>ρ+−ρ∞+</p><p>−∞=</p><p>=</p><p>ρ+</p><p>ρ+−</p><p>ρ+πε</p><p>ρ∞+</p><p>−∞=</p><p>= ∫∫ EE</p><p>z4</p><p>aazdz</p><p>z</p><p>z</p><p>aaz</p><p>z4</p><p>dz</p><p>zE z2/322</p><p>o</p><p>zL</p><p>22</p><p>z</p><p>22</p><p>o</p><p>L</p><p>Por simetria 0Ez = .</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo IIII:: LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 11</p><p>Fazendo a substituição trigonométrica (ver triângulo ao lado):</p><p>αρ= tgz</p><p>ααρ= ddz 2</p><p>sec</p><p>e levando na expressão acima e desenvolvendo,</p><p>( )</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ αα</p><p>ρπε</p><p>ρ</p><p>=</p><p>ρ+αρ</p><p>ααρ</p><p>πε</p><p>ρρ</p><p>== ∫∫</p><p>π</p><p>π−=α</p><p>π+</p><p>π−=α</p><p>ados</p><p>4</p><p>ad</p><p>4</p><p>EE 2/</p><p>2/</p><p>2/</p><p>2/</p><p>o</p><p>L</p><p>2/322o</p><p>L c</p><p>tg</p><p>sec</p><p>2</p><p>2</p><p>[ ] [ ] ρ</p><p>π</p><p>π−=αρ</p><p>π</p><p>π−=αρ +</p><p>πε</p><p>ρ</p><p>=α</p><p>πε</p><p>ρ</p><p>== a11</p><p>4</p><p>a</p><p>4</p><p>EE 2/</p><p>2/</p><p>o</p><p>L2/</p><p>2/</p><p>o</p><p>L sen</p><p>Daí chegamos finalmente a: ρρ</p><p>ρπε</p><p>ρ</p><p>== a</p><p>2</p><p>EE</p><p>o</p><p>L</p><p>Logo, para uma linha ∞ com carga uniformemente distribuída, a magnitude de E é</p><p>inversamente proporcional à distância (ρ), e a direção de E é radial (normal) à linha.</p><p>2.5 – CAMPO ELÉTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO SUPERFICIAL CONTÍNUA DE</p><p>CARGAS</p><p>Definindo</p><p>dS</p><p>dQ</p><p>S=ρ = densidade superficial de carga (em C/m2 ), temos que dQ = ρS dS.</p><p>Demonstrar que a fórmula que fornece o campo elétrico num ponto P, no vácuo, devido a uma</p><p>superfície plana ∞∞∞∞ com carga uniformemente distribuída (ver figura), é expressa por:</p><p>n</p><p>o</p><p>s a</p><p>2</p><p>E</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>=</p><p>sendo:</p><p>ρS = densidade superficial de</p><p>carga [C/m2] (constante)</p><p>na = versor normal ao plano</p><p>orientado para o ponto P</p><p>Solução:</p><p>Observando a figura temos:</p><p>φρρρ=ρ= dddSdQ ss</p><p>zazaR +ρ−= ρ e 22 zR +ρ= ⇒</p><p>22</p><p>z</p><p>R</p><p>z</p><p>aza</p><p>R</p><p>R</p><p>a</p><p>+ρ</p><p>+ρ−</p><p>==</p><p>ρ</p><p>Substituindo na fórmula geral acima obtemos:</p><p>( ) 22</p><p>z</p><p>22</p><p>o</p><p>s</p><p>z</p><p>aza</p><p>z4</p><p>dd</p><p>0</p><p>2</p><p>0E</p><p>+ρ</p><p>+ρ−</p><p>+ρπε</p><p>φρρρ∞+</p><p>=ρ</p><p>π</p><p>=φ</p><p>=</p><p>ρ</p><p>∫∫</p><p>( )</p><p>( )</p><p>z2/322</p><p>o</p><p>zs</p><p>2</p><p>s</p><p>EE</p><p>z4</p><p>ddaza</p><p>0</p><p>2</p><p>0E +=</p><p>+ρπε</p><p>φρρρ+ρρ−∞+</p><p>=ρ</p><p>π</p><p>=φ</p><p>= ρ</p><p>ρ</p><p>∫∫</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo IIII:: LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 12</p><p>Por simetria 0E =ρ .</p><p>( ) ( ) 2/322o</p><p>zs</p><p>2/322o</p><p>zs</p><p>z</p><p>z</p><p>d</p><p>02</p><p>az</p><p>z</p><p>d</p><p>0d2</p><p>04</p><p>az</p><p>EE</p><p>+ρ</p><p>ρρ∞+</p><p>=ρε</p><p>ρ</p><p>=</p><p>+ρ</p><p>ρρ∞+</p><p>=ρ</p><p>φ</p><p>π</p><p>=φπε</p><p>ρ</p><p>== ∫∫∫</p><p>Fazendo a substituição trigonométrica (ver triângulo ao lado):</p><p>α=ρ tgz</p><p>αα=ρ dzd 2</p><p>sec ,</p><p>e levando na expressão acima e desenvolvendo,</p><p>( )</p><p>αα</p><p>π</p><p>=αε</p><p>ρ</p><p>=</p><p>α</p><p>ααπ</p><p>=αε</p><p>ρ</p><p>=</p><p>+α</p><p>αααπ</p><p>=αε</p><p>ρ</p><p>== ∫∫∫ d2/</p><p>02</p><p>ad2/</p><p>02</p><p>a</p><p>zz</p><p>dzz2/</p><p>02</p><p>az</p><p>EE</p><p>o</p><p>zs</p><p>o</p><p>zs</p><p>2/322</p><p>2</p><p>o</p><p>zs</p><p>z sen</p><p>sec</p><p>tg</p><p>tg</p><p>sectg</p><p>2</p><p>[ ] [ ] z</p><p>o</p><p>s2/</p><p>0</p><p>o</p><p>zs</p><p>z a10</p><p>22</p><p>a</p><p>EE +</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>=α−</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>==</p><p>π</p><p>=αcos ⇒ z</p><p>o</p><p>s</p><p>z a</p><p>2</p><p>EE</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>==</p><p>De uma forma mais geral, fazendo nz aa = ⇒ n</p><p>o</p><p>s</p><p>n a</p><p>2</p><p>EE</p><p>ε</p><p>ρ</p><p>==</p><p>Logo, para o plano ∞ com carga uniformemente distribuída, a magnitude de E é</p><p>independente da distância (z) do plano a P, e a direção de E é normal ao plano.</p><p>2.6 – LINHA DE FORÇA E ESBOÇO DE CAMPO</p><p>Obtenção da equação da linha de força de E no plano xy:</p><p>Para um ponto na linha de força no plano xy, temos:</p><p>yyxx aEaEE +=</p><p>yx ayaxL ∆+∆=∆</p><p>onde L//E ∆ (2 vetores em paralelo)</p><p>Fazendo LdL →∆ , obtemos:</p><p>yx adyadxLd +=</p><p>Como, LdE ∝ , obtemos:</p><p>dy</p><p>E</p><p>dx</p><p>E yx =</p><p>Logo, basta resolver esta equação diferencial para obter a equação da linha de força no plano xy.</p><p>Nota: Para uma linha de força de E no espaço tridimensional, obtém-se a expressão:</p><p>dz</p><p>E</p><p>dy</p><p>E</p><p>dx</p><p>E zyx == (Atenção: Resolve-se duas a duas, segundo as projeções em xy, yz e zx)</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo IIII:: LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 13</p><p>2.7 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS</p><p>2.1) Uma linha infinita possui uma distribuição de carga com densidade ρL = -100 [ηC/m] e está</p><p>situada no vácuo sobre a reta y = –5 [m] e z=0. Uma superfície plana infinita possui uma</p><p>distribuição de carga com densidade ρS = α/π [ηC/m2] e está situada no vácuo sobre o plano</p><p>z = 5 [m]. Determinar o valor da constante α para que o campo elétrico resultante no ponto</p><p>P(5,5,-5) não possua componente no eixo z.</p><p>Resposta: α = 4.</p><p>2.2) Dado um campo ( ) ( ) ( ) φφρρ φρ+φρ=φρ aaE</p><p>��</p><p>�</p><p>,E,E, em coordenadas cilíndricas, as equações</p><p>das linhas de força em um plano z = constante são obtidas resolvendo a equação diferencial:</p><p>φρρ=φρ d dEE</p><p>a) Determinar a equação da linha de força que passa pelo ponto P(ρ = 2, φ = 30o, z = 0) para o</p><p>campo φρ φρ−φρ= aaE</p><p>��</p><p>�</p><p>22 cossen .</p><p>b) Determinar um vetor unitário passando pelo ponto P(ρ = 2, φ = 30o, z = 0), que seja</p><p>paralelo ao plano z = 0 e normal a linha de força obtida no item anterior.</p><p>Respostas: a) φ=ρ 2cos82 ; b) </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+±= φρ aaa</p><p>���</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>.</p><p>2.3) Duas linhas infinitas de carga com mesmas densidades lineares uniformes ρL = k [ηC/m]</p><p>estão colocadas sobre o plano z = 0. As duas linhas se cruzam no ponto (-2, 1, 0), sendo que</p><p>uma é paralela ao eixo x e a outra paralela ao eixo y. Determinar exatamente em que posição</p><p>no plano z = 0 deverá ser colocada uma carga pontual Q = k [ηC] para que o campo elétrico</p><p>resultante na origem se anule.</p><p>Resposta:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> −</p><p>0</p><p>5</p><p>52</p><p>5</p><p>5</p><p>P</p><p>44</p><p>;; .</p><p>2.4) Determinar a força que atua sobre uma carga pontual Q1 em P(0,0,a) devido à presença de</p><p>uma outra carga Q2, a qual está uniformemente distribuída sobre um disco circular de raio a</p><p>situado sobre o plano z=0.</p><p>Resposta: ( ) z</p><p>2</p><p>o</p><p>21 22</p><p>4</p><p>QQ</p><p>aF −⋅=</p><p>aπε</p><p>2.5) Seja um campo elétrico dado por ( ) [ ]mV y2cos y2sene5 yx</p><p>x2 aaE −= − . Determinar:</p><p>a) A equação da linha de força que passa pelo ponto P(x=0,5; y=π/10; z=0);</p><p>b) Um vetor unitário tangente a linha de força no ponto P.</p><p>Respostas: a) 212,1x2ey2cos −= ou ( )606,0y2cosln5,0x += ; b) yxT 8090,05878,0 aaa −= .</p><p>2.6) O segmento reto semi-infinito, z ≥ 0, x = y = 0, está carregado com ρL = 15 nC/m, no vácuo.</p><p>Determine E nos pontos:</p><p>a) PA (0, 0, –1); b) PB (1, 2, 3)</p><p>Respostas: a) zA a8,134E −= [V/m]; b) zyxB a0,36a2,97a6,48E −+= [V/m].</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo IIII:: LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 14</p><p>2.7) Duas bolas dielétricas iguais de diâmetro bem pequeno, pesando 10 g cada uma, podem</p><p>deslizar livremente numa linha plástica vertical. Cada bola é carregada com uma carga</p><p>negativa de 1 µC. Qual é a distância entre elas, se a bola inferior for impedida de se mover?</p><p>Resposta:</p><p>d = 300 [mm]</p><p>2.8) Duas cargas pontuais de +2 C cada uma estão situadas em (1, 0, 0) m e (-1, 0, 0) m. Onde</p><p>deveria ser colocada uma carga de –1 C de modo que o campo elétrico se anule no ponto (0,</p><p>1, 0)?</p><p>Resposta: Em (x = 0, y = 0,16 m, z = 0)</p><p>2.9) a) Uma carga com densidade uniforme ρL = K C/m</p><p>está distribuída sobre um pedaço de condutor</p><p>circular de raio r = 2 m, posicionado sobre o</p><p>plano y = 1 m, conforme mostra a figura abaixo.</p><p>Determinar o campo elétrico E resultante na</p><p>origem.</p><p>b) Repetir o item (a), supondo, porém, que toda a</p><p>carga seja concentrada no ponto (0,2,0).</p><p>Respostas: a) y</p><p>o</p><p>a</p><p>8</p><p>3K</p><p>E</p><p>πε</p><p>−</p><p>= [V/m]; b) y</p><p>o</p><p>a</p><p>12</p><p>K</p><p>E</p><p>ε</p><p>−</p><p>= [V/m]</p><p>2.10) Uma carga é distribuída uniformemente, com densidade ( )π=ρ − 1810 9</p><p>s C/m2, sobre uma</p><p>lâmina retangular finita de 1 mm × 1 m, estando centrada na origem, sobre o plano z = 0, e</p><p>com os lados paralelos aos eixos x e y. Usando aproximações de senso comum, estimar o</p><p>valor do campo elétrico E</p><p>�</p><p>nos seguintes pontos do eixo z:</p><p>(a) z = 0,001 mm; (b) z = 1 cm; (c) z = 100 m</p><p>Respostas: a) za1E = [V/m]; b) za</p><p>1,0</p><p>E</p><p>π</p><p>= [V/m]; c) z</p><p>7</p><p>a</p><p>2</p><p>10</p><p>E</p><p>π</p><p>=</p><p>−</p><p>[V/m]</p><p>2.11) Quatro cargas pontuais, iguais a 3 µC localizam-se, no vácuo, nos quatro vértices de um</p><p>quadrado de 5 cm de lado. Determine o módulo da força que age em cada carga.</p><p>Resposta: 61,9 N</p><p>2.12) Uma carga pontual de 1 nC localiza-se na origem, no vácuo. Determine a equação da curva no</p><p>plano z = 0, para o qual Ex = 1 V/m.</p><p>Resposta: ( )3222 yxx8,80 += ou φ=ρ cos998,2</p><p>2.13) Três cargas pontuais Q, 2Q e 3Q ocupam respectivamente os vértices A, B e C de um</p><p>triângulo equilátero de lado l. Uma das cargas tem a máxima força exercida sobre ela e uma</p><p>outra tem a mínima força. Determinar a razão entre as magnitudes destas 2 forças.</p><p>Resposta: Razão = 1,82, sendo as magnitudes das forças máxima e mínima iguais,</p><p>respectivamente, a 7,94k e 4,36k, onde k = Q2/(4π εo l</p><p>2</p><p>)</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo IIIIII:: DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA 15</p><p>Capítulo III</p><p>DENSIDADE DE FLUXO ELÉTRICO, LEI DE GAUSS E DIVERGÊNCIA</p><p>3.1 – DENSIDADE DE FLUXO ELÉTRICO ( D )</p><p>É o fluxo por área produzido por cargas livres e é independente do meio onde estas estão situadas.</p><p>Fórmula geral: ∫</p><p>π</p><p>=ε= R2o a</p><p>R4</p><p>dQ</p><p>ED (Unidade: C/m2)</p><p>onde dQ = ρL dL= ρsds = ρvdv, dependendo da configuração de cargas.</p><p>3.2 – A LEI DE GAUSS</p><p>“O fluxo elétrico (líquido) que atravessa qualquer superfície fechada é igual a carga total interna</p><p>envolvida por esta superfície”.</p><p>A expressão matemática é dada por:</p><p>∫ ==Ψ</p><p>S</p><p>internatotal QSd.D (Unidade: C)</p><p>onde,</p><p>∫ρ=</p><p>.vol</p><p>vinterna dvQ (Nota: No SI: inttotal Q=Ψ )</p><p>3.3 – APLICAÇÃO DA LEI DE GAUSS – GAUSSIANA</p><p>Gaussiana (def.): É uma superfície especial com as seguintes propriedades:</p><p>(i) É uma superfície fechada;</p><p>(ii) Em cada um de seus pontos D é tangencial ou D é normal. Assim,</p><p>se 0SdDSdD =⇒⊥ • ; (Neste caso D é tangencial à gaussiana)</p><p>se dSDSdDSd//D =⇒ • (Neste caso D é normal à gaussiana)</p><p>(iii) Em todos os pontos onde Sd//D , a magnitude de D é constante.</p><p>Cálculo de D , aplicando a lei de Gauss (e gaussiana), para os seguintes casos especiais:</p><p>a) Carga pontual Q</p><p>Para uma gaussiana esférica de raio R</p><p>∫ =•</p><p>gaussianaS intQSdD (Lei de Gauss)</p><p>Como Sd//D e .cteD = em todos pontos da gaussiana</p><p>D (área da esfera) = Q</p><p>D 4πR2 = Q</p><p>Logo:</p><p>2R4</p><p>Q</p><p>D</p><p>π</p><p>=</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo IIIIII:: DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA 16</p><p>Em forma vetorial:</p><p>R2</p><p>a</p><p>R4</p><p>Q</p><p>D</p><p>π</p><p>= ( D é inversamente proporcional ao quadrado da distância)</p><p>b) Filamento retilíneo ∞∞∞∞ com dLdQL =ρ = constante</p><p>Para uma gaussiana cilíndrica de raio ρ</p><p>∫ =•</p><p>gaussianaS intQSdD (Lei de Gauss)</p><p>D (área lateral do cilindro) = ρL L</p><p>D 2πρL = ρL L</p><p>Logo:</p><p>πρ</p><p>ρ</p><p>=</p><p>2</p><p>D L</p><p>Em forma vetorial:</p><p>ρ</p><p>πρ</p><p>ρ</p><p>= a</p><p>2</p><p>D L ( D é inversamente proporcional à distância)</p><p>c) Cabo coaxial ∞∞∞∞ com os condutores central (+Q) e externo (–Q) com ρρρρs constante</p><p>Aplicando a lei de Gauss para uma gaussiana cilíndrica de raio ρ (ver figura),</p><p>∫ =•</p><p>gaussianaS intQSdD</p><p>temos as seguintes situações:</p><p>i) Se ρ < a ⇒ D = 0, pois a carga interna é nula</p><p>ii) Se ρ > b ⇒ D = 0, pois a carga interna líquida é nula (blindagem eletrostática)</p><p>iii) Se a < ρ < b (gaussiana tracejada) ⇒ D 2π ρ L = +Q</p><p>Daí obtemos:</p><p>L2</p><p>Q</p><p>D</p><p>πρ</p><p>=</p><p>Sendo a carga uniformemente distribuída, com densidade superficial de carga ρS no</p><p>condutor central, podemos re-aplicar a lei de Gauss, obtendo-se:</p><p>D 2π ρ L = ρS 2π a L</p><p>πρ</p><p>ρ</p><p>=</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>=</p><p>2</p><p>D Lsa</p><p>onde</p><p>aa π</p><p>ρ</p><p>=</p><p>π</p><p>===ρ</p><p>2L2</p><p>Q</p><p>S</p><p>Q</p><p>dS</p><p>dQ L</p><p>s</p><p>sendo ρL a densidade linear de carga no condutor central.</p><p>Em forma vetorial:</p><p>ρρ</p><p>πρ</p><p>ρ</p><p>=</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>= a</p><p>2</p><p>aD Lsa</p><p>( D é inversamente proporcional à distância)</p><p>Nota: Observar a semelhança com a fórmula de D para a linha ∞, obtida acima.</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo IIIIII:: DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA 17</p><p>3.4 – DIVERGÊNCIA</p><p>Seja A um vetor qualquer expresso por:</p><p>zzyyxx aAaAaAA ++=</p><p>aplicado ao vértice A(x,y,z) do pequeno volume retangular da figura acima dado por:</p><p>zyxv ∆∆∆=∆</p><p>Definindo divergência de um vetor A , ou div A , com notação matemática A•∇ , como:</p><p>v</p><p>SdA</p><p>limA S</p><p>0v ∆</p><p>=∇</p><p>•</p><p>•</p><p>∫</p><p>→∆</p><p>(Nota: O resultado desta operação é um escalar.)</p><p>onde ∇ representa o operador vetorial “nabla” ou “del”.</p><p>Para a superfície que envolve o pequeno volume retangular da figura acima temos:</p><p>SdASdA</p><p>DCGHABFEBCGFADHEEFGHABCD SSSSSSS</p><p>•• ∫∫∫∫∫∫∫ +++++=</p><p>Cálculo da 1a e da 2a integral do 2o membro (fluxo de A na direção x):</p><p>zy)x(Adzdy)x(A)a(dSa)x(ASdA xx</p><p>yy</p><p>yy</p><p>zz</p><p>zz</p><p>xABCDxx</p><p>SABCD</p><p>∆∆−≅−=−= ∫ ∫∫∫</p><p>∆+</p><p>=</p><p>∆+</p><p>=</p><p>••</p><p>zyx</p><p>x</p><p>A</p><p>)x(Azy)xx(Adzdy)xx(ASdA X</p><p>xxx</p><p>yy</p><p>yy</p><p>zz</p><p>zzSEFGH</p><p>∆∆</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>∆</p><p>∂</p><p>∂</p><p>+≅∆∆∆+≅∆+= ∫ ∫∫</p><p>∆+</p><p>=</p><p>∆+</p><p>=</p><p>•</p><p>Somando estas duas integrais, obtemos o fluxo líquido de A na direção x como:</p><p>zyx</p><p>x</p><p>A</p><p>SdA x</p><p>SS EFGHABCD</p><p>∆∆∆</p><p>∂</p><p>∂</p><p>≅+ •∫∫</p><p>Similarmente a estas duas integrais, obtemos os fluxos líquidos de A nas direções y e z como:</p><p>zyx</p><p>y</p><p>A</p><p>SdA</p><p>y</p><p>SS BCGFADHE</p><p>∆∆∆</p><p>∂</p><p>∂</p><p>≅+ •∫∫</p><p>zyx</p><p>z</p><p>A</p><p>SdA z</p><p>SS DCGHABFE</p><p>∆∆∆</p><p>∂</p><p>∂</p><p>≅+ •∫∫</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo IIIIII:: DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA 18</p><p>Somando as 3 expressões anteriores, obtemos o fluxo total líquido que sai do pequeno volume:</p><p>zyx</p><p>z</p><p>A</p><p>y</p><p>A</p><p>x</p><p>A</p><p>SdA zyx</p><p>S</p><p>∆∆∆</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>∂</p><p>∂</p><p>+</p><p>∂</p><p>∂</p><p>+</p><p>∂</p><p>∂</p><p>≅•∫</p><p>Substituindo esta última expressão na equação que define a divergência e simplificando, obtemos:</p><p>z</p><p>A</p><p>y</p><p>A</p><p>x</p><p>A</p><p>A zyx</p><p>∂</p><p>∂</p><p>+</p><p>∂</p><p>∂</p><p>+</p><p>∂</p><p>∂</p><p>=∇ •</p><p>Se A é substituído pelo vetor densidade de fluxo elétrico D e aplicado a definição de divergência:</p><p>v</p><p>0v</p><p>S</p><p>0v dv</p><p>dQ</p><p>v</p><p>Q</p><p>lim</p><p>v</p><p>SdD</p><p>limD ρ==</p><p>∆</p><p>∆</p><p>=</p><p>∆</p><p>=∇</p><p>→∆→∆</p><p>•</p><p>•</p><p>∫</p><p>Assim obtemos uma importante equação da eletrostática:</p><p>vD ρ=∇ • (1a equação de Maxwell da eletrostática)</p><p>onde ρv representa a fonte de fluxo (divergência) de D .</p><p>Notas:</p><p>0D >∇ • ⇒ A região é fonte de fluxo ou a carga líquida da região é positiva.</p><p>0D <∇ • ⇒ A região é sorvedoura de fluxo ou a carga líquida da região é negativa.</p><p>0D =∇ • ⇒ A região não é fonte nem sorvedoura de fluxo ou a carga líquida é nula.</p><p>3.5 – TEOREMA DA DIVERGÊNCIA</p><p>Da lei de Gauss, temos que: intS</p><p>QSdD =•∫</p><p>Mas, sabemos que: dvQ v</p><p>vol</p><p>int ρρρρ∫=</p><p>E também: Dv •∇=ρ</p><p>Logo, juntando todas as expressões, obtemos:</p><p>∫ ∫∇=</p><p>••</p><p>S vol</p><p>dv DSdD (Teorema da divergência de Gauss)</p><p>sendo S a área que envolve o volume vol, ou vol o volume envolvido pela área S.</p><p>Notas:</p><p>1. O teorema da divergência pode ser aplicado a qualquer campo vetorial.</p><p>2. O operador vetorial ∇ é somente definido em coordenadas cartesianas pela expressão:</p><p>zyx a</p><p>z</p><p>a</p><p>y</p><p>a</p><p>x ∂</p><p>∂</p><p>+</p><p>∂</p><p>∂</p><p>+</p><p>∂</p><p>∂</p><p>=∇</p><p>Logo, não existe uma expressão para ∇ em coordenadas cilíndricas, nem em esféricas.</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo IIIIII:: DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA 19</p><p>3.6 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS</p><p>3.1) Seja ρV = α r/ [C/m3] de r = 0 a r = R em coordenadas esféricas. Determinar D em todo o</p><p>espaço.</p><p>Resposta: r</p><p>5</p><p>r2</p><p>aD</p><p>α</p><p>= [C/m2] para 0 < r < R e r2</p><p>2</p><p>r5</p><p>RR 2</p><p>aD</p><p>α</p><p>= [C/m2] para Rr ≥ .</p><p>3.2) Uma carga com densidade linear uniforme ρL = k [ηC/m] está distribuída sobre o semi-eixo</p><p>positivo de z. No plano z = 0, uma outra carga com densidade superficial ρS = k/(2πρ)</p><p>[ηC/m2] é distribuída. Determinar o fluxo elétrico total que atravessa o cilindro ρ = a [m],</p><p>cujas bases estão situadas sobre os planos z = a e z = – a (a > 0).</p><p>Resposta: ak2T =Ψ [ηC ].</p><p>3.3) O plano z=0 contém uma distribuição superficial uniforme de carga com ρS = 10 [ηC/m2].</p><p>Determinar a quantidade de linhas de fluxo que atravessa o triângulo formado pelos pontos A</p><p>(0,2,0), B (2,0,2) e C (–2,0,2).</p><p>Resposta: 20=Ψ [ηC ].</p><p>3.4) Determinar o fluxo elétrico líquido total que sai da porção de um cilindro definido por:</p><p>0 ≤ ρ ≤ 2, 0 ≤ φ ≤ π/2, 0 ≤ z ≤ 3, devido as seguintes condições:</p><p>a) uma carga distribuída no interior da porção do cilindro com densidade volumétrica de</p><p>carga dada por ρv = 4xyz2 [C/m3], sendo que ρv = 0 no exterior da porção de cilindro.</p><p>b) a mesma quantidade de carga do item anterior, porém sendo toda ela concentrada na</p><p>origem.</p><p>Respostas: a) 72 [C]; b) 9 [C].</p><p>3.5) Seja 2</p><p>v x6=ρ [µC/m3] na região – 1≤ x ≤ 1 [m] e ρv = 0 fora desta região. Determinar:</p><p>a) A densidade de fluxo elétrico D na região 0 ≤ x ≤ 1 [m];</p><p>b) A densidade de fluxo elétrico D na região x > 1 [m];</p><p>c) A densidade de fluxo elétrico D na região –1 ≤ x ≤ 0 [m];</p><p>d) A densidade de fluxo elétrico D na região x < -1 [m].</p><p>Respostas: a) x</p><p>3x2 aD = [µC/m2]; b) x 2 aD = [µC/m2]; c) x</p><p>3x2 aD = [µC/m2];</p><p>d) x 2 aD −= [µC/m2].</p><p>3.6) Determinar o fluxo total que atravessa um cubo de lado a = 1 [m], centrado na origem e</p><p>arestas paralelas aos eixos coordenados para cada uma das seguintes situações:</p><p>a) Uma carga pontual Q = 20 [ηC] situada na origem;</p><p>b) Uma linha infinita de cargas com densidade ρL = 20 [ηC/m] situada sobre o eixo x.</p><p>Repetir a questão e calcular o fluxo que atravessa a face superior do cubo nas duas situações.</p><p>Respostas: a) 20T =Ψ [ηC ]; b) 20T =Ψ [ηC ] e a)</p><p>3</p><p>10</p><p>T =Ψ [ηC ]; b) 5T =Ψ [ηC ].</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo IIIIII:: DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA 20</p><p>3.7) Seja ( )z1z8v −=ρ [C/m3] para 0 < z < 1, ( )z1z8v +=ρ [C/m3] para – 1 < z < 0 e</p><p>0v =ρ para o restante do espaço. Determinar D em todo o espaço usando a Lei de Gauss.</p><p>Respostas: 0=D para z ≤ –1, ( ) z</p><p>23 1z3z2</p><p>3</p><p>4</p><p>aD −+⋅= [C/m3] para –1 < z < 0,</p><p>( ) z</p><p>23 1z3z2</p><p>3</p><p>4</p><p>aD −+−⋅= [C/m3] para 0 < z < 1, 0=D para z ≥ 1.</p><p>3.8) Determinar o quantidade de fluxo elétrico devido a uma carga pontual Q na origem que passa</p><p>através das superfícies esféricas definidas por:</p><p>a) raio = r, estendendo de θ = 30o a θ = 60o, e de φ = 0o a φ = 360o;</p><p>b) raio = 2r, estendendo de θ = 0o a θ = 90o, e de φ = 0o a φ = 90o.</p><p>Respostas: a) ( )[ ] Q183,0Q4/13 =−=ψ ; b) ψ = Q/8</p><p>3.9) Seja uma distribuição de carga no espaço onde ρV = K/r C/m3 para r < 2R e ρV = 0 para</p><p>r > 2R, sendo K uma constante positiva.</p><p>a) Determinar a carga total contida dentro da esfera de raio r = R;</p><p>b) Determinar a densidade de fluxo elétrico que sai da superfície esférica r = R.</p><p>Respostas: a) 2</p><p>.int KR2Q π= ; b) ra</p><p>2</p><p>K</p><p>D =</p><p>3.10) Uma carga pontual Q =24π µC está localizada na origem, uma carga de densidade 241s −=ρ</p><p>µC/m2 está distribuída na superfície esférica r = a = 0,5 m, e uma carga de densidade</p><p>242s =ρ µC/m2 está distribuída na superfície esférica r = b = 1 m.</p><p>Determinar D em todas as regiões.</p><p>Resposta: r2</p><p>a</p><p>r</p><p>6</p><p>D = µC/m2 para r < 0,5 m; 0D = para 0,5 ≤ r < 1 m;</p><p>r2</p><p>a</p><p>r</p><p>24</p><p>D = µC/m2 para r ≥ 1 m</p><p>3.11) Uma linha infinita de carga uniformemente distribuída com densidade m/C1L =ρ está</p><p>colocada sobre o eixo y. Determinar o fluxo elétrico total que atravessa as seguintes</p><p>superfícies:</p><p>(a) a porção do plano z = 1 m, limitada por –1 < x < 1 m e –1 < y < 1 m;</p><p>(b) a esfera de raio r = 1 m, centrada na origem.</p><p>Respostas: a) ψ = 0,5 C; b) ψ = 2 C.</p><p>3.12) a) Calcular a carga total em todo o espaço se a densidade volumétrica de carga é expressa em</p><p>coordenadas esféricas como 233</p><p>v )r/(1 a+=ρ , sendo a uma constante.</p><p>b) Qual é o raio da esfera, centrada na origem, com densidade volumétrica de carga constante,</p><p>ρv = 8 , que contém a mesma carga total do item anterior.</p><p>Respostas: a)</p><p>3T</p><p>3</p><p>4</p><p>Q</p><p>a</p><p>π</p><p>= ; b)</p><p>a2</p><p>1</p><p>r = .</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo IIVV:: EENNEERRGGIIAA EE PPOOTTEENNCCIIAALL 21</p><p>Capítulo IV</p><p>ENERGIA E POTENCIAL</p><p>4.1 – ENERGIA (TRABALHO) PARA MOVER UMA CARGA PONTUAL EM UM</p><p>CAMPO ELÉTRICO</p><p>Observando a figura, e adotando La como um vetor unitário na direção de Ld , tem-se:</p><p>( ) ( ) LdFdLaFLdaaFLdFLdFdW ...... ELELLEEaplicada L</p><p>−=−=−=−==</p><p>Substituindo EQFE = , chega-se a:</p><p>LdEQdW .−=</p><p>Integrando, obtém-se o trabalho (energia) necessário para mover uma carga Q desde o início (ponto</p><p>B) até o final (ponto A) de uma trajetória, sob a ação do campo elétrico E , dado por:</p><p>LdEQW .</p><p>)A(Final</p><p>)B(Início</p><p>∫−=</p><p>onde ∫ = 0LdE. , pois o trabalho do campo eletrostático</p><p>depende apenas das posições inicial e final da trajetória.</p><p>Nota: Na eletrostática, o campo elétrico é conservativo.</p><p>4.2 – DEFINIÇÃO DE DIFERENÇA DE POTENCIAL (VAB) E POTENCIAL (V)</p><p>A diferença de potencial VAB entre 2 pontos A e B é definida como sendo o trabalho necessário</p><p>para movimentar uma carga pontual unitária positiva desde B (tomado como referência) até A.</p><p>Q</p><p>W</p><p>VAB = ⇒ ∫−= A</p><p>BAB LdEV . (FÓRMULA GERAL)</p><p>Como o campo elétrico E é conservativo (na eletrostática), tem-se, para 3</p><p>pontos A, B e C:</p><p>VAB = VAC – VBC</p><p>Os potenciais “absolutos” VA e VB são obtidos adotando-se uma mesma</p><p>referência zero de potencial. Se, por exemplo, VC = 0, pode-se escrever VAB = VA – VB</p><p>4.3 – O POTENCIAL DE UMA CARGA PONTUAL</p><p>Supondo-se a carga na origem, tem-se, aplicando a fórmula geral:</p><p>A</p><p>B</p><p>A r</p><p>AB r r2B r</p><p>0</p><p>Q</p><p>V E dL a dr a</p><p>4 r</p><p>. .= − = −</p><p>πε</p><p>∫ ∫</p><p>AB A B</p><p>0 A B</p><p>Q 1 1</p><p>V V V</p><p>4 r r</p><p> </p><p>= − = − </p><p>πε  </p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo IIVV:: EENNEERRGGIIAA EE PPOOTTEENNCCIIAALL 22</p><p>Se B → ∞ ⇒ VB → 0 ⇒ A</p><p>0 A</p><p>Q</p><p>V</p><p>4 r</p><p>=</p><p>πε</p><p>(potencial absoluto)</p><p>Escrevendo de forma genérica, o potencial absoluto devido a uma carga</p><p>pontual Q fora da origem é:</p><p>0</p><p>Q</p><p>V</p><p>4 R</p><p>=</p><p>πε</p><p>sendo R a distância da carga pontual Q ao ponto desejado.</p><p>4.4 – O POTENCIAL DE UM SISTEMA DE CARGAS DISTRIBUÍDAS</p><p>Para uma carga distribuída, com referência zero no infinito:</p><p>0</p><p>dQ</p><p>4 R</p><p>V</p><p>πε</p><p>= ∫</p><p>onde: dQ = ρL dL= ρsds = ρvdv, dependendo da configuração</p><p>de cargas,</p><p>rrRR ′−== = distância (escalar) de dQ ao ponto</p><p>fixo P onde se quer obter V</p><p>4.4.1 – VAB de uma reta ∞∞∞∞ com ρρρρL constante</p><p>Partindo de ∫−= A</p><p>BAB LdEV . , obtemos:</p><p>A</p><p>B</p><p>L</p><p>AB</p><p>0</p><p>V a d a</p><p>2</p><p>.ρ</p><p>ρ ρρ</p><p>ρ</p><p>= − ρ</p><p>πε ρ∫</p><p>L B</p><p>AB</p><p>0 A</p><p>V ln</p><p>2</p><p>ρ ρ</p><p>=</p><p>πε ρ</p><p>4.4.2 – VAB de um plano ∞∞∞∞ com ρρρρs constante</p><p>Partindo de ∫−= A</p><p>BAB LdEV . , obtemos:</p><p>A</p><p>B</p><p>z s</p><p>AB z zz</p><p>0</p><p>V a dz a</p><p>2</p><p>.ρ</p><p>= −</p><p>ε∫</p><p>( )s</p><p>AB B A</p><p>0</p><p>V z z</p><p>2</p><p>ρ</p><p>= −</p><p>ε</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo IIVV:: EENNEERRGGIIAA EE PPOOTTEENNCCIIAALL 23</p><p>4.5 – GRADIENTE DO POTENCIAL ( V∇ )</p><p>O gradiente de uma função escalar (ex. V) é</p><p>definido matematicamente por:</p><p>Na</p><p>dN</p><p>dV</p><p>V =∇ (resultado = vetor)</p><p>onde dV, dN e Na</p><p>�</p><p>são mostrados na figura.</p><p>GaGa</p><p>cosdL</p><p>dV</p><p>a</p><p>dN</p><p>dV</p><p>V NNN</p><p>�</p><p>==</p><p>θ</p><p>==∇</p><p>Daí, dVcosGdL =θ ⇒ dVLdG =•</p><p>��</p><p>onde:</p><p>Nzzyyxx aGaGaGaGG =++=</p><p>���</p><p>�</p><p>Lzyx adLadzadyadxLd =++=</p><p>dz</p><p>z</p><p>V</p><p>dy</p><p>y</p><p>V</p><p>dx</p><p>x</p><p>V</p><p>dV</p><p>∂</p><p>∂</p><p>+</p><p>∂</p><p>∂</p><p>+</p><p>∂</p><p>∂</p><p>=</p><p>sendo:</p><p>Ld</p><p>�</p><p>= vetor comprimento diferencial medido numa direção qualquer,</p><p>dN = dLcosθ = menor distância entre as 2 superfícies equipotenciais V1 e V2.</p><p>Assim, obtemos a expressão do gradiente em coordenadas cartesianas:</p><p>zyx a</p><p>z</p><p>V</p><p>a</p><p>y</p><p>V</p><p>a</p><p>x</p><p>V</p><p>VG</p><p>���</p><p>��</p><p>∂</p><p>∂</p><p>+</p><p>∂</p><p>∂</p><p>+</p><p>∂</p><p>∂</p><p>=∇=</p><p>Propriedades do gradiente de uma função escalar V:</p><p>a) V∇ é normal a V</p><p>b) V∇ aponta no sentido do crescimento de V</p><p>Logo V∇ é um vetor que dá a máxima variação no espaço de uma quantidade escalar (módulo do</p><p>vetor) e a direção em que este máximo ocorre (sentido do vetor).</p><p>Se V = função potencial elétrico, então:</p><p>VE ∇−= ( E está apontado no sentido decrescente de V).</p><p>Exemplo: Utilizando gradiente, determinar a expressão de E para uma carga pontual na origem.</p><p>Solução: O potencial de uma carga pontual na origem (no vácuo) é:</p><p>0</p><p>Q</p><p>4 r</p><p>=</p><p>πε</p><p>V</p><p>Tomando o gradiente de V, em coordenadas esféricas, sabendo-se que V = f(r):</p><p>e fazendo VE ∇−= ⇒ r r2</p><p>0</p><p>V Q 1</p><p>E a a</p><p>r 4 r</p><p>∂ − </p><p>= − = −  </p><p>∂ πε  </p><p>�</p><p>� �</p><p>⇒ r2</p><p>0</p><p>Q</p><p>E a</p><p>4 r</p><p>=</p><p>πε</p><p>�</p><p>�</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo IIVV:: EENNEERRGGIIAA EE PPOOTTEENNCCIIAALL 24</p><p>4.6 – O DIPOLO ELÉTRICO</p><p>É um sistema com 2 cargas pontuais iguais e simétricas (figura c) bem próximas tal que d < < r,</p><p>sendo d a distância (separação) entre as cargas e r a distância do centro do dipolo a um ponto P</p><p>desejado.</p><p>Cálculo do potencial no ponto P devido ao dipolo na origem:</p><p>P</p><p>0 1 0 2</p><p>Q Q</p><p>V</p><p>4 r 4 r</p><p>+ −</p><p>= +</p><p>πε πε</p><p>P</p><p>0 1 2</p><p>Q 1 1</p><p>V</p><p>4 r r</p><p> </p><p>= − </p><p>πε  </p><p>2 1</p><p>P</p><p>0 1 2</p><p>r rQ</p><p>V</p><p>4 r r</p><p> −</p><p>=  </p><p>πε  </p><p>Sendo d << r, fazemos θ≅− cosdrr 12 e 2</p><p>21 rrr ≅ . Daí,</p><p>p 2</p><p>0</p><p>Qd cos</p><p>V</p><p>4 r</p><p>θ</p><p>=</p><p>πε</p><p>Campo elétrico no ponto P devido ao dipolo elétrico na origem:</p><p>( )r3</p><p>0</p><p>Qd</p><p>E 2cos a sen a</p><p>4 r</p><p>θ= θ + θ</p><p>πε</p><p>(obtido de VE ∇−= )</p><p>Definindo momento de dipolo elétrico como dQp = , onde d é o vetor cuja magnitude é a</p><p>distância entre as cargas do dipolo e cuja direção (e sentido) é de –Q para +Q:</p><p>r</p><p>p 2</p><p>0</p><p>p a</p><p>V</p><p>4 r</p><p>.</p><p>=</p><p>πε</p><p>Notas:</p><p>a) Com o aumento da distância, o potencial e o campo elétrico</p><p>caem mais rápidos para o dipolo elétrico do que para a carga</p><p>pontual.</p><p>b) Para o dipolo elétrico fora da origem, o potencial é dado por:</p><p>R</p><p>p 2</p><p>0</p><p>p a</p><p>V</p><p>4 R</p><p>.</p><p>=</p><p>πε</p><p>onde:</p><p>Ra = versor orientado do centro do dipolo ao ponto desejado;</p><p>R = distância do centro do dipolo ao ponto desejado.</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo IIVV:: EENNEERRGGIIAA EE PPOOTTEENNCCIIAALL 25</p><p>4.7 – ENERGIA NO CAMPO ELETROSTÁTICO</p><p>4.7.1 – Energia (trabalho) para uma distribuição discreta de cargas</p><p>WE = trabalho total para trazer 3 cargas Q1, Q2, Q3 do ∞ e fixá-las nos pontos 1, 2, 3, nesta ordem:</p><p>WE =W1 + W2 + W3</p><p>WE = 0 + Q2 V2,1 + Q3 V3,1 + Q3 V3,2 (i)</p><p>Nota: V2,1 = potencial no ponto 2 devido à carga Q1 no ponto 1 (V2,1 ≠ V21)</p><p>Se as 3 cargas forem fixadas na ordem inversa, isto é, fixando Q3, Q2, Q1, nos pontos 3, 2, 1, temos:</p><p>WE = W3</p><p>’ + W2</p><p>’ + W1</p><p>’</p><p>WE = 0 + Q2 V2,3 + Q1 V1,2 + Q1 V1,3 (ii)</p><p>(i) + (ii): 2WE = Q1 V1 + Q2 V2 + Q3 V3</p><p>( )332211E VQVQVQ</p><p>2</p><p>1</p><p>W ++=</p><p>Para N cargas: ∑</p><p>=</p><p>=</p><p>N</p><p>1i</p><p>iiE VQ</p><p>2</p><p>1</p><p>W [J]</p><p>4.7.2 – Energia (trabalho) para uma distribuição contínua de carga</p><p>Para uma região com distribuição contínua de carga, substituímos Qi da fórmula acima pela carga</p><p>diferencial dQ = ρvdv e a somatória se transforma numa integral em todo o volume de cargas.</p><p>∫ρ=</p><p>vol</p><p>vE Vdv</p><p>2</p><p>1</p><p>W [J]</p><p>Pode-se demonstrar que o trabalho pode ser também expresso em função de D e/ou E como:</p><p>dvED</p><p>2</p><p>1</p><p>W</p><p>vol</p><p>E ∫= • ou 2</p><p>E 0</p><p>vol</p><p>1</p><p>W E dv</p><p>2</p><p>= ε∫ ou</p><p>2</p><p>E</p><p>0vol</p><p>1 D</p><p>W dv</p><p>2</p><p>=</p><p>ε∫</p><p>Nota: A densidade de energia do campo elétrico no vácuo pode ser obtida pelas expressões:</p><p>2</p><p>2E</p><p>0</p><p>0</p><p>dW 1 1 1 D</p><p>D E E</p><p>dv 2 2 2</p><p>•= = ε =</p><p>ε</p><p>[J/m3]</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo IIVV:: EENNEERRGGIIAA EE PPOOTTEENNCCIIAALL 26</p><p>Ex. 1 Calcular a energia WE armazenada num pedaço de cabo coaxial de comprimento L e</p><p>condutores interno e externo de raios a e b, respectivamente, supondo que a densidade</p><p>superficial de carga uniforme no condutor interno é igual a ρρρρs.</p><p>Supondo uma gaussiana cilíndrica no interior do dielétrico (vácuo) de raio a < ρ < b, e</p><p>aplicando a lei de Gauss ( int</p><p>S</p><p>QSdD =∫ • ), obtemos:</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>=⇒πρ=πρ</p><p>a</p><p>a s</p><p>s DL2L2D</p><p>Substituindo na equação de energia obtida acima:</p><p>( )2L 22</p><p>s</p><p>E</p><p>0 0vol z 0 0</p><p>/1 D 1</p><p>W dv d d dz</p><p>2 2</p><p>π</p><p>= φ= ρ=</p><p>ρ ρ</p><p>= = ρ ρ φ</p><p>ε ε∫ ∫ ∫ ∫</p><p>b</p><p>a</p><p>a</p><p>[ ]</p><p>2 2</p><p>s</p><p>E</p><p>0</p><p>1</p><p>W 2 L</p><p>2</p><p>ρ</p><p>= ρ π</p><p>ε</p><p>b</p><p>a</p><p>a</p><p>ln</p><p>Daí, obtemos finalmente:</p><p>2 2</p><p>s</p><p>E</p><p>0</p><p>L</p><p>W</p><p>π ρ</p><p>=</p><p>ε</p><p>a b</p><p>ln</p><p>a</p><p>Ex. 2 Calcular a energia WE armazenada num capacitor de placas paralelas no vácuo, sendo V a</p><p>diferença de potencial entre as placas iguais de área S e separadas por uma distância d.</p><p>Supor o campo elétrico entre as placas uniforme desprezando os efeitos de bordas.</p><p>Da equação de energia obtida acima, e sabendo que V = E d, obtemos:</p><p>2</p><p>2 0</p><p>E 0</p><p>1 V</p><p>W E dv dv</p><p>2 2 d</p><p>ε  </p><p>= ε =  </p><p> </p><p>∫ ∫ ⇒ 20</p><p>E</p><p>S1</p><p>W V</p><p>2 d</p><p>ε</p><p>=</p><p>Tomando a expressão da capacitância do capacitor de placas</p><p>paralelas ideal (cap. 5), teremos:</p><p>2</p><p>E CV</p><p>2</p><p>1</p><p>W = onde 0S</p><p>C</p><p>d</p><p>ε</p><p>=</p><p>4.8 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS</p><p>4.1) Três cargas pontuais idênticas de carga Q são colocadas, uma a uma, nos vértices de um</p><p>quadrado de lado a. Determinar a energia armazenada no sistema após todas as cargas serem</p><p>posicionadas.</p><p>Resposta: ( )24</p><p>8</p><p>Q</p><p>W</p><p>o</p><p>2</p><p>E +⋅</p><p>πε</p><p>=</p><p>a</p><p>[J].</p><p>4.2) Seja uma carga distribuída ao longo da porção |z| < 1 m do eixo z, com densidade linear de</p><p>carga ρL = kz [ηC/m]. Determinar:</p><p>a) O potencial em um ponto qualquer sobre o plano z = 0;</p><p>b) O potencial em um ponto do eixo z situado a uma altura h = 2 m do plano z = 0.</p><p>Respostas: a) VA = 0; b) VB = 1,775 [kV].</p><p>CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>CCaappííttuulloo IIVV:: EENNEERRGGIIAA EE PPOOTTEENNCCIIAALL 27</p><p>4.3) Um quadrado de vértices A(0,0,0), B(0,1,0), C(1,1,0) e D(1,0,0), possui uma distribuição</p><p>linear uniforme de carga com densidade ρL = 10 [pC/m] ao longo do lado AB, uma carga</p><p>pontual Q1 = 1 [pC] no vértice C, uma carga pontual Q2 = -10 [pC] no vértice D. Determinar,</p><p>no centro P do quadrado:</p><p>a) O potencial elétrico devido a cada uma das três cargas;</p><p>b) O potencial elétrico total devido às três cargas.</p><p>Respostas: a) VP1 = 0,0127 [V], VP2 = – 0,127 [V], VL = 0,1584 [V]; b) VPT = 0,044 [V].</p><p>4.4) Um campo elétrico é dado em coordenadas cilíndricas por:</p><p>�</p><p>�</p><p>E a</p><p>V</p><p>m</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>100</p><p>2ρ</p><p>ρ</p><p>Conhecidos os pontos A(3,0,4), B(5,13,0) e C(15,6,8), expressos em coordenadas cartesianas,</p><p>determinar:</p><p>a) A diferença de potencial VAB;</p><p>b) O potencial VA se a referência zero de potencial está no ponto B;</p><p>c) O potencial VA se a referência zero de potencial está no ponto C;</p><p>d) O potencial VA se a referência zero de potencial está no infinito.</p><p>Respostas: a) VAB = 26,15 [V]; b) VA = 26,15 [V]; c) VA = 27,14 [V]; d) VA = 33,33 [V].</p><p>4.5) Uma superfície</p>