INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

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INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
Profª.: Sarah Faria Monteiro Mazzini Costa
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
Existem integrais que não são possíveis de resolver analiticamente
utilizando os métodos de resolução que aprendemos no cálculo. Para
resolver esse problema podemos aproximar os valores dessas integrais
utilizando métodos numéricos.
Nesta seção abordaremos as técnicas das somas de Riemann e as regras
dos Trapézios e de Simpson.
Dada uma função contínua 𝒇: 𝒂, 𝒃 →
ℝ+ e as retas 𝒙 = 𝒂 e 𝒙 = 𝒃, a área da
região limitada entre o gráfico de 𝒇, o
eixo 𝑶𝒙 e as retas 𝒙 = 𝒂 e 𝒙 = 𝒃 é dada
pela integral definida:
න
𝒂
𝒃
𝒇 𝒙 𝒅𝒙 .
• SOMAS DE RIEMANN
Dada uma função contínua 𝒇: 𝒂, 𝒃 → ℝ, fazemos uma partição do intervalo
𝒂, 𝒃 dividindo-o em 𝒏 intervalos iguais de comprimento 𝚫 =
𝒃−𝒂
𝒏
.
Para cada subintervalo 𝒙𝒊, 𝒙𝒊+𝟏 escolhemos um número 𝒙𝒊
∗ ∈ 𝒙𝒊, 𝒙𝒊+𝟏 e
definimos
න
𝒂
𝒃
𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = lim
𝒏→∞
෍
𝒊=𝟏
𝒏
𝒇 𝒙𝒊
∗ 𝚫𝐱
Isso significa que quanto mais particionamos o intervalo 𝒂, 𝒃 mais nos
aproximamos do valor da integral 𝒂׬
𝒃
𝒇 𝒙 𝒅𝒙 .
Exemplo: Usando somas de Riemann, considerando quatro subintervalos e 
escolhendo 𝒙𝒊
∗ como o extremo superior de cada subintervalo, aproxime 𝟎׬
𝟐
𝒆𝒙
𝟐
𝒅𝒙
• O intervalo considerado é 𝟎, 𝟐 . Portanto ∆𝒙 =
𝟐−𝟎
𝟒
= 𝟎, 𝟓.
• O primeiro subintervalo é 𝟎, 𝟎. 𝟓 e 𝒙𝟏
∗ = 𝟎. 𝟓. Assim 𝒇 𝒙𝟏
∗ ∆𝒙 = 𝒆𝟎.𝟓
𝟐
× 𝟎. 𝟓.
• O segundo subintervalo é 𝟎. 𝟓, 𝟏 e 𝒙𝟐
∗ =1. Assim 𝒇 𝒙𝟐
∗ ∆𝒙 = 𝒆𝟏
𝟐
× 𝟎. 𝟓.
• O terceiro subintervalo é 𝟏, 𝟏. 𝟓 e 𝒙𝟐
∗ = 𝟏. 𝟓. Assim 𝒇 𝒙𝟑
∗ ∆𝒙 = 𝒆𝟏.𝟓
𝟐
× 𝟎. 𝟓.
• O quarto subintervalo é 𝟏. 𝟓, 𝟐 e 𝒙𝟐
∗ = 𝟐. Assim 𝒇 𝒙𝟐
∗ ∆𝒙 = 𝒆𝟐
𝟐
× 𝟎. 𝟓.
Portanto, pelo método das somas de Riemann,
𝟎׬
𝟐
𝒆𝒙
𝟐
𝒅𝒙 ≈ 𝒆𝟎.𝟓
𝟐
× 𝟎. 𝟓 + 𝒆𝟏
𝟐
× 𝟎. 𝟓 + 𝒆𝟏.𝟓
𝟐
× 𝟎. 𝟓 + 𝒆𝟐
𝟐
× 𝟎. 𝟓 ≈ 𝟑𝟒, 𝟎𝟒.
• REGRA DOS TRAPÉZIOS
Nas somas de Riemann aproximamos a área abaixo da curva por retângulos.
Na regra dos trapézios, como o próprio nome já diz, aproximaremos por
trapézios.
A área de um trapézio de altura 𝒉 e bases 𝑩 𝒆 𝒃 é 𝑨 =
𝑩+𝒃 𝒉
𝟐
=
(𝒇 𝒃 +𝒇(𝒂))(𝒃−𝒂)
𝟐
.
Considerando a área do trapézio, a integral definida pode ser
aproximada por
න
𝒂
𝒃
𝒇 𝒙 𝒅𝒙 =
𝒃 − 𝒂
𝟐
[𝒇 𝒃 + 𝒇(𝒂)]
Exemplo: Use a regra do trapézio para estimar o valor da integral 
න
𝟎
𝟐
𝟏 + 𝒙𝟑𝒅𝒙
• Aplicando a regra dos trapézios, temos 
න
𝟎
𝟐
𝟏 + 𝒙𝟑𝒅𝒙 ≈
𝟐 − 𝟎
𝟐
𝒇 𝟐 + 𝒇 𝟎 = 𝟗 + 𝟏 = 𝟑 + 𝟏 = 𝟒
Assim, usando a regra do trapézio, temos 𝟎׬
𝟐
𝟏 + 𝒙𝟑𝒅𝒙 ≈ 𝟒.
• REGRA DE SIMPSON
Se 𝒇 𝒙 é uma função contínua, e os pontos 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 , 𝒙𝟏, 𝒚𝟏 , 𝒙𝟐, 𝒚𝟐 do gráfico
de 𝒇 estão igualmente espaçados horizontalmente, ou seja, se
𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 = 𝒙𝟏 − 𝒙𝟎 ≔ 𝒉,
então podemos aproximar
න
𝒙𝟎
𝒙𝟐
𝒇 𝒙 𝒅𝒙 ≈
𝒉
𝟑
(𝒚𝟎 + 𝟒𝒚𝟏 + 𝒚𝟐)
Exemplo: Use a regra de Simpson para estimar o valor da integral 𝟐׬
𝟑
𝟏 + 𝒙𝟑𝒅𝒙 .
• Precisamos de três pontos do gráfico de 𝒇 𝒙 = 𝟏 + 𝒙𝟑 igualmente
espaçados, considerando os extremos do intervalo 𝟐, 𝟑 . São eles:
𝟐, 𝟑 , 𝟐. 𝟓, 𝟒. 𝟎𝟕𝟕𝟒 , (𝟑, 𝟓. 𝟐𝟗𝟏𝟓)
• Além disso, temos 𝒉 =
𝟑−𝟐
𝟐
= 𝟎. 𝟓.
• Portanto, a aproximação para o valor da integral é 
න
𝟐
𝟑
𝟏 + 𝒙𝟑𝒅𝒙 =
𝟎. 𝟓
𝟑
𝒚𝟎 + 𝟒𝒚𝟏 + 𝒚𝟐 =
𝟎. 𝟓
𝟑
𝟑 + 𝟒 ⋅ 𝟒. 𝟎𝟕𝟕𝟒 + 𝟓. 𝟐𝟗𝟏𝟓 ≈ 𝟒, 𝟎𝟗𝟖𝟐