Cálculo de Áreas e Volumes

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA (UFBA)
INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA
DISCIPLINA: MATA03 - CÁLCULO B
LISTA 1
Área de regiões no plano
(1) Esboce a região limitada pelas curvas indicadas e encontre sua área:
(a) y = x; y = 3
√
x
(b) 3y − x = 8; y = |x|
(c) y = x2 − 3x; y = 0; x = 5
(d) y = (x− 2)2; y = x
(e) y = |x|; y = x2 − 2
(f) x = 1− y2; x = y2 − 1
(2) Esboce a região R e encontre sua área:
(a) R = {(x, y) ∈ R2;x2 − 1 ≤ y ≤ 0}
(b) R = {(x, y) ∈ R2; 0 ≤ y ≤ | senx|, 0 ≤ x ≤ 2π}
(c) R = {(x, y) ∈ R2;
√
x ≤ y ≤ 3, 0 ≤ x ≤ 1}
(d) R = {(x, y) ∈ R2;x2 − 1 ≤ y ≤ x+ 1}
(e) R = {(x, y) ∈ R2;x ≥ 0, x3 − x ≤ y ≤ −x2 + 5x}
(3) Represente a área da região R por uma integral:
(a) R é a região no primeiro quadrante limitada pelo eixo x, pela reta y =
√
3x e pelo ćırculo
x2 + y2 = 4.
(b) R é a região de interseção dos ćırculos x2 + y2 = 4 e (x− 2)2 + (y − 2)2 = 4.
(4) Encontre a área da região limitada pela parábola y = x2, pela reta tangente a esta parábola em
(1, 1) e pelo eixo Ox.
(5) Encontre o número b tal que a reta y = b divida a região limitada pelas curvas y = x2 e y = 4 em
duas regiões com áreas iguais. (Dica: b
√
b =
√
b3)
(6) Determine m de modo que a área da região acima da reta y = mx e abaixo da parábola y = 2x−x2
seja 36.
(7) Encontre os valores de c tais que a área da região delimitada pelas parábolas y = x2 − c2 e
y = c2 − x2 seja 576.
1
2
Volumes
(1) Determine o volume do sólido S tal que:
(a) A base de S é um ćırculo de raio a, e as seções transversais perpendiculares à um eixo da
base são quadrados.
(b) A base de S é a região parabólica R = {(x, y);x2 ≤ y ≤ 1}, e as seções transversais perpen-
diculares ao eixo y são triângulos equiláteros com um lado na base.
(c) A base de S é a região limitada pela parábola y = 1−x2 e pelo eixo x, e as seções transversais
perpendiculares ao eixo x são triângulos isósceles com altura igual à base.
(d) S é um tetraedro com três faces perpendiculares entre si e as três arestas perpendiculares
entre si com comprimentos de 3cm, 4cm e 5cm.
(e) S é uma calota de uma esfera de raio r e altura h.
(f) S é uma pirâmide regular com altura h = 9 e base quadrada de lado ℓ = 4.
(2) Encontre o volume comum de dois cilindros circulares, cada um com raio r, se os eixos dos cilindros
se intersectam em ângulos retos.
(3) Utilize o método das seções transversais para determinar o volume do sólido gerado pela rotação
da região limitada por:
(a) y =
1
x
; x = 1; x = 2; y = 0, em torno do eixo x.
(b) y = x
2
3 ; x = 1; y = 0, em torno do eixo y.
(c) y = x2; y = 4, ao redor da reta y = 4.
(d) y = x4; y = 1, ao redor da reta y = 2.
(e) y =
√
lnx; y = 0; x = e, em torno do eixo x.
(f) y = coshx; y = x2; x = −1; x = 1, em torno do eixo x.
(g) y = ex + 1; x = 0; x = 1, y = 1, em torno do eixo x.
(4) Utilize o método da casca ciĺındrica para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da
região limitada por:
(a) y =
1
x
; x = 1; x = 2; y = 0, em torno do eixo y.
(b) y = 3 + 2x− x2; x+ y = 3, em torno do eixo y.
(c) y = 4(x− 2)2; y = x2 − 4x+ 7, em torno do eixo y.
(d) y = ln(x); x = 1; x = 2; y = 0, em torno do eixo y.
(e) y = lnx; y = 0; x = e, em torno do eixo y.
3
(f) y =
√
x; y = 0; x = 1, em torno do eixo y.
(g) y =
2
1 + x2
; x = 1; x = 2, em torno do eixo y.
(h) y =
2
1 + x2
; y = x2; x = 1; x = 2, em torno do eixo y.
(5) Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região limitada por:
(a) x = y − y2; x = 0; 0 ≤ y ≤ 1 em torno do eixo y.
(b) y = x; x = 2; x = 4; y = 0, ao redor da reta x = 1.
(c) y =
√
x− 1; y = 0; x = 5, em torno da reta y = 3.
(d) x+ y = 3; x = 4− (y − 1)2, em torno do eixo x.
(e) x = 2y2, y ≥ 0, x = 2, em torno da reta y = 2.
(f) y = x+ 1, y = 0, x = 0, x = 2, em torno do eixo x.
(6) Seja S o toro gerado pela rotação do ćırculo (x− R)2 + y2 = r2 ao redor do eixo y. Construa as
integrais que representam o volume do S, pelo método das seções transversais e pelo método das
cascas ciĺındricas.
(7) Considere a região R limitada pelas curvas y =
√
x, y = 0 e x = c > 0.
(a) Encontre o valor de c para o qual o sólido obtido pela rotação de R em torno do eixo x tenha
volume igual a 8π.
(b) Para c = 4, encontre b >
√
c de modo que o sólido obtido pela rotação de R em torno da reta
y = b tenha volume igual a 8π.
Comprimento de gráficos e centróide
(1) Calcule o comprimento das curvas:
(a) y =
x2
2
− lnx
4
; 2 ≤ x ≤ 4
(b) x =
1
3
√
y(y − 3); 1 ≤ y ≤ 9
(c) x =
y4
8
+
1
4y2
; 1 ≤ y ≤ 2
(d) y = ln(cosx); 0 ≤ x ≤ π
3
(2) Mostre que o comprimento da curva y =
1
4
ex+ e−x em qualquer intervalo é igual ao valor da área
da região limitada pela curva.
(3) Determine o centróide da região limitada por:
(a) y = 4− x2, y = 0; −2 ≤ x ≤ 2
(b) y =
√
x, y = 3, x = 0
(c) x = y2 − 2y, y = x
(d) x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 4; x ≥ 0, y ≥ 0
(e) y = ex, x = 0, x = 1, y = 0
(f) y = x+ 2, y = x2
4
(g) y = senx, y = cosx; 0 ≤ x ≤ π
4 (h) y = x, y =
1
x
, y = 0, x = 2
(4) Utilize o Teorema de Pappus-Guldin para determinar:
(a) o volume do sólido de revolução gerado pela rotação do hexágono regular inscrito no ćırculo
(x− 2)2 + y2 = 1 ao redor do eixo y.
(b) o volume do sólido de revolução gerado pela rotação do triângulo com vértices nos pontos
(2, 3), (2, 5), (5, 4) ao redor do eixo x.
(c) o centróide da região A = {(x, y) ∈ R2;x2 + y2 ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0}.
Área de superf́ıcies
(1) Determine a área da superf́ıcie de revolução gerada pela rotação das curvas:
(a) y =
ex + e−x
2
; −1 ≤ x ≤ 1; em torno do eixo x.
(b) x =
y3
3
; 0 ≤ y ≤ 1; em torno do eixo y.
(c) y = 1− x; 0 ≤ x ≤ 1; em torno do eixo y.
(d) y = 3
√
x− 2; 2 ≤ x ≤ 6; em torno do eixo x.
(e) y = cos(2x); 0 ≤ x ≤ π
6
; em torno do eixo x.
(f) y = 1− x2; 0 ≤ x ≤ 1; em torno do eixo y.
(2) Determine a integral que representa do elipsóide gerado pela rotação da curva
x2
9
+
y2
4
= 1; y ≥ 0,
em torno do eixo x.
5
GABARITO
Área de regiões no plano
(1) (a)
1
2
, (b) 8, (c)
79
6
, (d)
9
2
, (e)
20
3
, (f)
8
3
; (2) (a)
4
3
, (b) 4, (c)
7
3
. (d)
9
2
, (e)
16
3
; (3) (a)∫ √
3
0
(√
4− y2
)
−
( y√
3
)
dy. (b)
∫ 2
0
(
√
4− x2)− (2−
√
4x− x2)dx; (4)
1
12
; (5) 4
2
3 ; (6) −4; (7) 6, −6.
Volumes
(1) (a)
16a3
3
, (b)
√
3
2
, (c)
8
15
, (d) 10, (e) πh2(r − h
3
), (f) 48; (2)
16r3
3
; (3) (a)
π
2
, (b)
3π
4
, (c)
512π
15
,
(d)
208π
45
; (4) (a)
π
2
, (b)
27π
2
, (c) 16π, (d) 4π ln 2 − 3
2
π; (5) (a)
π
30
, (b)
76π
3
, (c) 24π, (d)
27π
2
, (e)
13π
3
, (f)
26π
3
; (6) vol(S) = 8πR
∫ r
0
√
r2 − y2dy; vol(S) =
∫ R+r
R−r
4πx
√
r2 − (x−R)2dx.
Comprimento de gráficos e centróide
(1) (a) 6+
ln 2
4
, (b)
32
3
, (c)
33
16
, (d) ln(2+
√
3); (3) (a)
(
0,
8
5
)
, (b)
(27
10
,
9
4
)
, c
(3
5
,
3
2
)
, (d)
( 28
9π
,
28
9π
)
, (e)( 1
e− 1
,
e+ 1
4
)
, (f)
(1
2
,
8
5
)
, (g)
( π
√
2− 4
4(
√
2− 1)
,
1
4(
√
2− 1)
)
, (h)
( 8
3(1 + 2 ln 2)
,
5
6(1 + 2 ln 2)
)
; (4) (a) 6
√
3π,
(b) 24π, (c)
( 8
3π
,
8
3π
)
.
Área de superf́ıcie
(1) (a)
π
2
(e2 + 4− e−2), (b)
π
9
(2
√
2− 1), (c) π
√
2, (d) 49π, (e)
π
√
3
2
+
π ln(2 +
√
3)
4
, (f)
π(5
√
5− 1)
6
;
(2) (a)
8π
9
∫ 3
0
√
81− 5x2dx,