Para calcular o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região R em torno do eixo x, podemos usar o método dos discos. A região R é delimitada pela curva \(y = -x^2\), pelo eixo x (ou seja, \(y = 0\)) e pela reta \(x = 1\). 1. Identificar os limites de integração: A região está entre \(x = 0\) e \(x = 1\). 2. Expressão para o volume: O volume \(V\) é dado pela integral: \[ V = \pi \int_{0}^{1} [f(x)]^2 \, dx \] onde \(f(x) = -x^2\). 3. Substituir \(f(x)\): \[ V = \pi \int_{0}^{1} (-x^2)^2 \, dx = \pi \int_{0}^{1} x^4 \, dx \] 4. Calcular a integral: \[ \int x^4 \, dx = \frac{x^5}{5} \] Avaliando de 0 a 1: \[ \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{1} = \frac{1^5}{5} - \frac{0^5}{5} = \frac{1}{5} \] 5. Substituir na fórmula do volume: \[ V = \pi \cdot \frac{1}{5} = \frac{\pi}{5} \] Portanto, o volume do sólido de revolução é \(\frac{\pi}{5}\).