MA22_Unidade_22

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Aplicações da integral �
Volumes
Sumário
22.1 Método das seções transversais . . . . . . . . . . . 5
22.2 Método das cascas cilíndricas . . . . . . . . . . . . . 6
22.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
22.4 Mais aplicações da integral � Áreas e comprimentos 11
22.5 Comprimento de curva . . . . . . . . . . . . . . . . 15
22.6 Uma nota sobre os métodos numéricos . . . . . . . 17
22.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Unidade 22
Sólidos de revolução
Os sólidos de revolução são aqueles obtidos girando uma região plana R em
torno de um eixo, chamado eixo de rotação.
Exemplo 1 Seja R a região limitada pelo grá�co de y =
√
1− x2 e pelo eixo Ox.
Se usarmos o eixo Ox como eixo de rotação, obteremos a esfera sólida como
um objeto de revolução. Em contrapartida, se usarmos a reta x = −1 como
o eixo de rotação, obteremos um sólido de revolução diferente. Veja as �guras
seguintes.
Nesta unidade, usaremos as integrais de�nidas para estabelecer e calcular
volumes de sólidos de revolução.
Volumes de sólidos de revolução
Seja f : [a, b] −→ R uma função contínua tal que f(x) ≥ 0, para todo
x ∈ [a, b]. Consideraremos o sólido de revolução obtido pela rotação da região
limitada pelo eixo Ox e pelo grá�co de f , em torno do eixo Ox.
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
–1.5 –1 –0.5 0.5 1 1.5x
2
Unidade 22Aplicações da integral � Volumes
Considere a = x0dos seguintes eixos: (a) x = 2; (b)
y = −1.
2. Seja R a região limitada pela curva y =
√
x, pelo eixo Ox, com x ∈ [0, 4].
Faça um esboço do sólido obtido pela revolução de R em torno do eixo
Ox e calcule o seu volume.
3. Calcule o volume do sólido de revolução da região R em torno do eixo
indicado:
(a) R = { (x, y) ∈ R | 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x/2 }; Ox.
(b) R = { (x, y) ∈ R | 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ cos x/2 }; Oy.
(c) R = { (x, y) ∈ R | 1 ≤ y ≤ x2 − 4x+ 4 }; Ox.
(d) R = { (x, y) ∈ R | 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ ex }; Ox.
(e) R = { (x, y) ∈ R | 0 ≤ x ≤ 2, 1/x ≤ y ≤ ex }; Ox.
4. Esboce o grá�co da região R sob o grá�co da função y = 2 + 2 cos x
sobre o intervalo [0, π]. Calcule o volume do sólido de revolução de R em
torno do eixo Oy e faça um esboço desse sólido.
5. Calcule o volume do sólido de revolução em torno do eixo Ox da região
sob o grá�co da função f(x) = x
√
cos x, no intervalo [0, π/2].
6. Calcule o volume do sólido de revolução em torno do eixo Ox da região
sob o grá�co da função f(x) = sec x, no intervalo [π/4, π/3].
7. Em uma esfera de raio 1 foi cavado um buraco cilíndrico, cujo eixo de
simetria é um diâmetro máximo da esfera. Calcule o volume obtido da
esfera menos o cilindro, sabendo que o raio do cilindro é 1/2.
8. Calcule o volume do sólido cuja base é o disco x2 + y2 ≤ 4 tal que
cada uma de suas seções transversais perpendiculares ao eixo Ox é um
quadrado.
9
Unidade 22 Exercícios
9. Um sólido é construído sobre o triângulo de vértices (0,−2), (0, 2) e (4, 0),
de tal forma que cada seção perpendicular ao eixo Ox é um semicírculo.
10. Uma cunha é cortada do cilindro x2 +y2 ≤ 1 pelos planos z = 0 e z = y.
Calcule o seu volume.
10
Unidade 22Aplicações da integral � Volumes
22.4 Mais aplicações da integral � Áreas e
comprimentos
Área de uma superfície de revolução
Vamos agora obter áreas das superfícies que recobrem os sólidos de revolu-
ção. O ponto de partida será o tronco de cone. A área de um tronco de cone
reto, de geratriz g, com raio da base maior R e raio da base menor r é igual à
área de um trapézio de altura g, com base maior 2πR e base menor 2πr. Isto
é,
A = π (R + r) g.
Seja S a superfície obtida da rotação do grá�co da função contínua f :
[a, b] −→ R cuja restrição ao intervalo aberto (a, b) é de classe C1 (dizemos
que uma função é de classe C1 quando, além de ser diferenciável, a função
derivada f ′ é contínua). Queremos atribuir uma área a S. Usaremos o seguinte
processo de aproximação: para cada partição a = x0de um arco de circunferência de raio r,
correspondente a um ângulo α 0, volume do sólido obtido da revolução de R em torno do eixo Oy
é dado por:
V = 2π
∫ b
a
x f(x) dx.
Se A : [a, b] −→ R é uma função contínua e positiva que descreve as áreas
das seções transversais perpendiculares ao eixo Ox de um dado sólido, então
seu volume é dado por:
17
Unidade 22 Uma nota sobre os métodos numéricos
V =
∫ b
a
A(x) dx.
Fórmula da área da superfície de revolução do grá�co da função de classe C1
sobre o intervalo [a, b]:
A = 2π
∫ b
a
f(x)
√
1 +
(
f ′(x)
)2
dx.
Fórmula do comprimento do grá�co de f :
L =
∫ b
a
√
1 +
(
f ′(x)
)2
dx.
18
Unidade 22Aplicações da integral � Volumes
22.7 Exercícios
1. Calcule a área do cone de raio da base r e de altura h.
2. Calcule o comprimento do segmento de parábola y = f(x) = x2 sobre o
intervalo [0, a].
3. Em cada um dos casos a seguir, calcule a área da superfície obtida pela
revolução do grá�co da função dada, sobre o intervalo indicado.
(a) f(x) =
x2
2
, [0, 2];
(b) f(x) = ex, [0, 1];
(c) f(x) = 2
√
x, [1, 4];
(d) f(x) = sen x, [0, π/2].
4. Ao girarmos a circunferência x2 + (y − 2)2 = 1 em torno do eixo Ox,
obtemos um toro. Calcule a área dessa superfície. Veja o exemplo 13.3.
5. Determine o comprimento da curva f(x) = 2x3/2 sobre o intervalo [0, 7].
6. Determine o comprimento do grá�co de f(x) =
x3
6
+
1
2x
sobre o intervalo
[2, 4].
7. Calcule o volume limitado pela superfície gerada pelo grá�co da função
f(x) = x−2/3, para x ≥ 1, e a área que a recobre, se possível.
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