Prévia do material em texto

GEOM. ESPACIAL 6: CILINDROS 
 
 
Prof. Marcão 
 
1 
1. (UNICAMP 1993) Um cilindro circular reto é cortado por um plano 
não paralelo à sua base, resultando no sólido ilustrado na figura a 
seguir. Calcule o volume desse sólido em termos do raio da base r , 
da altura máxima AB a e da altura mínima CD b . Justifique seu 
raciocínio. 
 
 
 
2. (FGV 2007) Inclinando-se em 45º um copo cilíndrico reto de altura 
15 cm e raio da base 3,6 cm, derrama-se parte do liquido que 
completava totalmente o copo, conforme indica a figura. 
 
 
 
Admitindo-se que o copo tenha sido inclinado com movimento 
suave em relação à situação inicial, a menor quantidade do líquido 
derramada corresponde a um percentual do liquido contido 
inicialmente no copo de 
a) 48% b) 36% c)28% 
d) 24% e) 18% 
 
3. (UNIFESP 2006) A figura indica algumas das dimensões de um 
bloco de concreto formado a partir de um cilindro circular obliquo, 
com base no solo, e de um semicilindro. 
 
Dado que o raio da circunferência da base do cilindro obliquo mede 
10cm, o volume do bloco de concreto, em cm³, é 
 a) 11 000  b)10 000  c)5 500  
d) 5 000  e) 1 100  
 
4. (ITA 2004) Considere um cilindro circular reto, de volume igual a 
360π cm3, e uma pirâmide regular cuja base hexagonal está 
inscrita na base do cilindro. Sabendo que a altura da pirâmide é o 
dobro da altura do cilindro e que a área da base da pirâmide é de 
54 3 cm², então, a área lateral da pirâmide mede, em cm². 
 a) 18 427 b) 27 427 c) 36 427 
 d) 108 3 e) 45 427 
5. (FUVEST 2003) Um cilindro obliquo tem raio das bases igual a 1, 
altura 2 3 e está inclinado de um ângulo de 60º (ver figura). O plano  
é perpendicular às bases do cilindro, passando por seus centros. Se P 
e A são os pontos representados na figura, calcule PA. 
 
 
 
6. (ITA 1994) Num cilindro circular reto sabe-se que a altura h e o raio 
da base r são tais que os números ,h,r formam, nesta ordem, uma 
progressão aritmética de soma 6 . O valor da área total deste cilindro 
é: 
  
 
3 3 3
3 3
a) b)2 c)15
d)20 e)30
 
 
7. (Espcex (Aman) 2012) A figura abaixo representa dois tanques 
cilíndricos, 1T e 2T , ambos com altura h, e cujos raios das bases 
medem R e R 2, respectivamente. Esses tanques são usados para 
armazenar combustível e a quantidade de combustível existente em 
cada um deles é tal que seu nível corresponde a 
2
3
 da altura. 
 
 
 
O tanque 1T contém gasolina pura e o tanque 2T contém uma mistura 
etanol-gasolina, com 25% de etanol. Deseja-se transferir gasolina pura 
do tanque 1T para 2T até que o teor de etanol na mistura em 2T caia 
para 20%. Nessas condições, ao final da operação, a diferença entre a 
altura dos níveis de 1T e 2T será 
a) 
1
h
2
 b) 
1
h
3
 c) 
1
h
4
 
d) 
1
h
5
 e) 
1
h
6
 
 
8. (ITA 1972) Dado um cilindro de revolução de raio r e altura h , sabe-
se que a média harmônica entre o raio r e a altura é 4 e que sua área 
total é 2 .u a . O raio r deve satisfazer a relação: 
  
   
   
  
3
3 2
3 2
3
a)r r 2 0
b)r 4r 5r 2 0
c)r r r 1 0
d)r 3r 2 0
e)nenhuma das respostas anteriores
 
 
 
 
 
 2 
9. (Ita 2014) Um cilindro reto de altura h = 1 cm tem sua base no 
plano xy definida por 
2 2x y 2x 4y 4 0.     Um plano, contendo a reta y x 0  e 
paralelo ao eixo do cilindro, o secciona em dois sólidos. Calcule a 
área total da superfície do menor sólido. 
 
10. (Esc. Naval 2014) Sabendo-se que um cilindro de revolução de 
raio igual a 20 cm, quando cortado por um plano paralelo ao eixo de 
revolução, a uma distância de 12 cm desse eixo, apresenta secção 
retangular com área igual à área da base do cilindro. O volume 
desse cilindro, em centímetros cúbicos é 
a) 26.000 b) 25.000 c) 24.000 
d) 23.000 e) 22.000 
 
11. (ITA – 2000) Um cilindro circular reto é seccionado por um 
plano paralelo ao seu eixo. A secção fica a 5cm do eixo e separa 
na base um arco de 120º. Sendo de 330 cm2 a área da secção 
plana retangular, então o volume da parte menor do cilindro 
seccionado mede, em cm3. 
 a) 31030  b) 32030  c) 31020  
d) 32550  e) 375100  
 
12. (ITA 1995) O raio de um cilindro de revolução mede 1,5 m. 
Sabe-se que a área da base do cilindro coincide com a área da 
secção determinada por um plano que contém o eixo do cilindro. 
Então, a área total do cilindro, em 2m , vale 
   
  
   
2
2
3 9 (2 )
a) b) c) (2 )
4 4
3 ( 1)
d) e)
2 2
 
 
13. (Ufg 2012) Um posto de gasolina possui um reservatório 
cilíndrico horizontal com dimensões internas de 2 metros de 
diâmetro por 10 metros de comprimento. O posto iniciou as vendas 
do dia com o reservatório cheio de gasolina. Após uma hora, 
verificou-se que o nível de gasolina no reservatório havia baixado 
meio metro, como representado na figura a seguir. 
 
 
 
Diante do exposto, determine quantos litros de gasolina foram 
vendidos nesse período de uma hora. 
Dados: 3,14 e 3 1,73π   
 
14. (IME 1982) Sejam    'k e k os círculos das bases e O o 
centro do cilindro de raios R e altura h . No círculo  k , inscreve-se 
um triângulo eqüilátero ABC. Um ponto A’, pertencente ao círculo 
 'k , projeta-se paralelamente ao eixo do cilindro, em um ponto D 
do arco de  k que subentende BC. Determine a posição de A’ 
para que a área do triângulo A’BC seja máxima, e nessa posição de 
A’ calcule a distância de O (centro do cilindro) ao plano de A’BC. 
 
15. (OBM) Dois cilindros circulares retos de mesmo raio r se cortam de 
tal forma que seus eixos são concorrentes e perpendiculares. Calcule o 
volume da parte comum aos cilindros. 
 
16. (Ita 2013) No sistema xOy os pontos  A 2,0 ,  B 2,5 e 
 C 0,1 são vértices de um triângulo inscrito na base de um cilindro 
circular reto de altura 8. Para este cilindro, a razão 
volume
,
área total da superfície
 em unidade de comprimento, é igual a 
a) 1. b) 
100
.
105
 c) 
10
.
11
 
d) 
100
.
115
 e) 
5
.
6
 
 
17. (ITA 1989) Os lados congruentes de um triângulo isósceles formam 
um ângulo de 30 graus e o lado oposto a este ângulo mede x cm . 
Este triângulo é a base de uma pirâmide de altura H cm , que está 
inscrita em um cilindro de revolução. Deste modo, o volume V , em 
centímetros cúbicos, deste cilindro é igual a 
2 2 2
2 2
 
1 2
a)2 x H b) x H c) x H 
 
3 3
d) 3 x H e) x H
  
 
 
 
18. (ITA 1955) Um cilindro de 8 cm de raio foi inscrito em um prisma 
triangular. Calcular o excesso de volume do prisma sobre o do cilindro. 
 
19. (Unicamp 2013) A embalagem de certo produto alimentício, 
em formato de cilindro circular, será alterada para acomodar um novo 
rótulo com informações nutricionais mais completas. Mantendo o 
mesmo volume da embalagem, a sua área lateral precisa ser 
aumentada. Porém, por restrições de custo do material utilizado, este 
aumento da área lateral não deve ultrapassar 25%. Sejam r e h o raio e 
a altura da embalagem original, e R e H o raio e a altura da embalagem 
alterada. Nessas condições podemos afirmar que: 
a) 
R 3
r 4
 e 
H 16
.
h 9
 b) 
R 9
r 16
 e 
H 4
.
h 3
 
 
c) 
R 4
r 5
 e 
H 25
.
h 16
 d) 
R 16
r 25
 e 
H 5
.
h 4
 
 
20. (Enem 2ª aplicação 2010) Um fabricante de creme de 
leite comercializa seu produto em embalagens cilíndricas de diâmetro da 
base medindo 4 cm e altura 13,5 cm. O rótulo de cada uma custa R$ 
0,60. Esse fabricante comercializará o referido produto em embalagens 
ainda cilíndricas de mesma capacidade, mas com a medida do diâmetro 
da base igual à da altura. Levando-se em consideração exclusivamente 
o gasto com o rótulo, o valor que o fabricante deverá pagar por esse 
rótulo é de 
a) R$ 0,20, pois haverá uma redução de 
2
3
 na superfície da embalagem 
coberta pelo rótulo. 
b) R$ 0,40, pois haverá uma redução de1
3
 na superfície da embalagem 
coberta pelo rótulo. 
c) R$ 0,60, pois não haverá alteração na capacidade da embalagem. 
d) R$ 0,80, pois haverá um aumento de 
1
3
 na superfície da embalagem 
coberta pelo rótulo. 
 
 3 
e) R$ 1,00, pois haverá um aumento de 
2
3
 na superfície da 
embalagem coberta pelo rótulo. 
 
 
21. (Ufpr 2014) Um cilindro de raio r está inscrito em uma esfera de 
raio 5, como indica a figura abaixo. 
 
 
 
Obtenha o maior valor de x, de modo que o volume desse cilindro 
seja igual a 72 .π 
 a) 13 2. b) 3. c) 3 2. 
 d) 2 5. e) 4. 
 
22. Qual deve ser o formato de uma lata cilíndrica de volume 𝒱 
(cilindro circular reto) para minimizar o gasto de material para 
confeccioná-la? 
 
 
 
23. Qual o volume máximo de um cilindro regular inscrito em uma 
esfera? 
 
 
 
24. (Phillips Exeter Academy) Carlos enrola uma tira de papel em 
torno de uma vela de cera, cujo diâmetro é de duas unidades. 
Então corta ambos (a tira e a vela) com uma faca bem afiada, 
fazendo um angulo de 45º com o eixo da vela. Após desenrolar o 
papel e planificá-lo, Carlos vê a curva formada pela borda cortada e 
imagina que ela possa ser descrita matematicamente. Prove que a 
curva é senoidal. 
 
25. Calcule o volume do cilindro cuja base está contida na face 
ABC de um tetraedro regular ABCD de aresta a e a outra base está 
limitada pelos baricentros das outras faces do tetraedro. 
 
26. Em um hexaedro regular ABCD-EFGH de aresta a, os centros 
das faces AEFB, EFGH, CDHG e ABCD são 𝑂 , 𝑂 , 𝑂 𝑒 𝑂 , 
respectivamente. Calcule o volume do cilindro reto do qual duas 
geratrizes diametralmente opostas são 𝑂 𝑂 𝑒 𝑂 𝑂 
 
27. Os comprimentos dos eixos maiores de um tronco de cilindro de 
secção reta circular são 13 e 15. Se os comprimentos das 
geratrizes maior e menor são 20 e 6, calcule o volume do tronco de 
cilindro. 
28. Se inscreve um octaedro regular M-ABCD-N em um cilindro circular 
reto tal que AB e CD são diâmetros de suas bases. Se AB=a, calcule o 
volume da parte do cilindro limitada pelos planos que contem as 
regiões triangulares BMA e DNC.