MODELAGEM E FUNÇÕES NA RESOLUÇÃO DE PROB

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MODELAGEM E FUNÇÕES NA RESOLUÇÃO DE 
PROBLEMAS 
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Sumário 
NOSSA HISTÓRIA .................................................................................. 2 
MODELAGEM MATEMÁTICA NO PROCESSO DE ENSINO E 
APRENDIZAGEM................................................................................................3 
MODELAGEM MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA..............5 
COMO IDENTIFICAR UMA ATIVIDADE DE MODELAGEM 
MATEMÁTICA?...................................................................................................7 
POR QUE MODELAGEM?.......................................................................9 
A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS APLICADA NO ESTUDO DAS 
FUNÇÕES.........................................................................................................11 
DESAFIO MATEMÁTICO: A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NO 
ENSINO DA MATEMÁTICA...............................................................................13 
METODOLOGIA DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS...........................15 
COMO A MODELAGEM MATEMÁTICA E A RESOLUÇÂO DE 
PROBLEMAS PODEM INTERVIR NO PROCESSO DE ENSINO-
APRENDIZAGEM..............................................................................................20 
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS.................................24 
APRENDER MATEMÁTICA ATRAVÉS DE RESOLUÇÃO DE 
PROBLEMAS.....................................................................................................25 
DEFININDO UM PROBLEMA.................................................................26 
REFERÊNCIAS ......................................................................................28 
 
 
 
 
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NOSSA HISTÓRIA 
 
 
A nossa história inicia com a realização do sonho de um grupo de 
empresários, em atender à crescente demanda de alunos para cursos de 
Graduação e Pós-Graduação. Com isso foi criado a nossa instituição, como 
entidade oferecendo serviços educacionais em nível superior. 
A instituição tem por objetivo formar diplomados nas diferentes áreas de 
conhecimento, aptos para a inserção em setores profissionais e para a 
participação no desenvolvimento da sociedade brasileira, e colaborar na sua 
formação contínua. Além de promover a divulgação de conhecimentos culturais, 
científicos e técnicos que constituem patrimônio da humanidade e comunicar o 
saber através do ensino, de publicação ou outras normas de comunicação. 
A nossa missão é oferecer qualidade em conhecimento e cultura de forma 
confiável e eficiente para que o aluno tenha oportunidade de construir uma base 
profissional e ética. Dessa forma, conquistando o espaço de uma das instituições 
modelo no país na oferta de cursos, primando sempre pela inovação tecnológica, 
excelência no atendimento e valor do serviço oferecido. 
 
 
 
 
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MODELAGEM MATEMÁTICA NO PROCESSO DE ENSINO E 
APRENDIZAGEM 
 
 
 
 
 
 
 
A modelagem matemática, de uma forma simples, resume-se à criação 
de um modelo matemático (um padrão ou fórmula matemática) para 
explicação ou compreensão de um fenômeno natural. Esse fenômeno 
pode ser de qualquer área do conhecimento. Atualmente, podemos 
perceber o uso da modelagem matemática na criação de bovinos, 
produção de materiais para construção civil, movimentação de animais, 
teoria da decisão, crescimento de cidades, controle biológico de pragas e 
outros. 
O atual papel da educação matemática é formar cidadãos aptos para o 
convívio em sociedade, respeitando as diferenças, agindo de forma crítica 
e reflexiva diante das situações cotidianas. Através do uso da modelagem 
matemática na sala de aula podemos trabalhar a interdisciplinaridade, a 
transversalidade, mostrando ao aluno como a matemática pode ser útil 
em sua vida fora do ambiente escolar e como ela interage com as demais 
áreas do conhecimento. O aluno passa a perceber a importância da 
matemática para a compreensão de fenômenos naturais, como é possível 
“prever” alguns acontecimentos utilizando fórmulas e modelos e isso 
acaba despertando seu interesse pela ciência. 
A introdução da modelagem matemática pode ser feita através da 
resolução de problemas, trazendo para dentro de sala a realidade do 
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aluno, uma vez que a matemática só fará sentido para os educados 
quando ela se tornar significativa e prazerosa. As diversas situações-
problemas farão com que a capacidade de interpretação melhore, o aluno 
assuma uma posição crítica ao tentar resolvê-las e consiga analisar que 
pode haver mais de uma solução e que há vários caminhos para chegar 
até elas. Observe que isso é essencial para a solução de situações que 
são vividas por todos nós diariamente. Precisamos de cidadãos 
matematicamente alfabetizados que, ao se depararem com seus 
problemas econômicos, no comércio, na medicina e em outras situações 
diárias, consigam resolvê-los de forma rápida e precisa. 
MODELAGEM MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 
O interesse em utilizar a Modelagem Matemática como estratégia de ensino nas 
aulas de Matemática com alunos do Ensino Fundamental baseia-se na busca da 
melhoria da qualidade de ensino desta disciplina escolar ofertada nestas séries. 
Os alunos que ingressam nas séries iniciais do Ensino Fundamental enfrentam 
um período de transição na vida escolar, antes acostumados a uma rotina 
diferente, com menos professores, atendimento diferenciado e metodologia 
adequada para a idade, agora se vêem diante de disciplinas separadas com 
professores diferentes. Esta fase caracteriza-se como um rito de passagem entre 
a infância e a adolescência, e, portanto, causa anseios e angústias nos alunos, 
que podem apresentar dificuldades em entender conceitos matemáticos. Estas 
dificuldades de adaptação podem ser agravadas por metodologias inadequadas 
para um período de grandes mudanças pelo qual passam os estudantes. No que 
se refere à Matemática, uma das características marcantes desta fase é o início 
da abstração de conceitos aprendidos em séries anteriores e que, muitas vezes, 
não foram bem assimilados, e portanto, podem se tornam distantes e irreais para 
os alunos, como observa Sadovsky (2007,p.8): 
[...] a Matemática, não só no Brasil, é apresentada sem vínculos com os problemas que fazem 
sentido na vida das crianças e dos adolescentes. Os aspectos mais interessantes da disciplina, 
como resolver problemas, discutir idéias, checar informações e ser desafiado, são pouco 
explorados na escola. O ensino se resume a regras mecânicas que ninguém sabe, nem o 
professor, para que servem. 
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Neste contexto, a Modelagem Matemática pode ser uma contribuição para 
amenizar os problemas resultantes desta transição. Apresentando uma 
Matemática mais real, inserida no cotidiano dos alunos, a Modelagem 
ajuda na organização do pensamento e pode ser um instrumento a mais 
para que aluno interprete o mundo em que vive segundo suas próprias 
conclusões e entendimento, e desenvolve a capacidade de exercitar o seu 
papel de cidadão que pensa e discute os problemas da comunidade em 
que está inserido. 
Neste contexto, a Modelagem Matemática pode ser uma contribuição para 
amenizar os problemas resultantes desta transição. Apresentando uma 
Matemática mais real, inserida no cotidiano dos alunos, a Modelagem 
ajuda na organização do pensamento e pode ser um instrumento a mais 
para que aluno interprete o mundo em que vive segundo suas próprias 
conclusões e entendimento, e desenvolve a capacidade de exercitar o seu 
papel de cidadão que pensa e discute os problemas da comunidade em 
que está inserido. 
Nesta perspectiva, a Modelagem Matemática proporciona ao aluno 
situações, nas aulas de matemática, em que pode ser criativo e motivado 
a solucionar problemas pela curiosidade do momento vivenciado. A 
Modelagem Matemática, além de ser uma tendência que proporciona uma 
articulação entre os conceitos matemáticos e a realidade, pode ser vista, 
também, numa perspectivaque valoriza o pensamento crítico e reflexivo 
do aluno. 
 
 
 
 
 
 
 
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COMO IDENTIFICAR UMA ATIVIDADE DE MODELAGEM 
MATEMÁTICA? 
O que caracteriza uma Modelagem Matemática, segundo Biembengut e 
Hein (2003), é o fato de o problema advir de uma situação real e que 
depois, de formular e resolver um modelo que solucione o problema, este 
modelo possa ser aplicado, também, como suporte para outras 
aplicações. Os procedimentos que identificam os passos da modelagem, 
segundo Biembengut e Hein (2003) são: 
 a) Interação: esta etapa é identificada pela pesquisa e o reconhecimento 
da situação-problema. Geralmente, o problema surge em outras áreas do 
conhecimento, a investigação é fundamental para a familiarização do 
tema e a seleção de dados para o processo de resolução do problema. 
b) Matematização: este período proporciona um desafio maior para quem 
vai desenvolver a pesquisa e subdivide-se em formulação e resolução do 
problema, traduzindo, através da linguagem matemática a situação real 
para um modelo matemático que poderá solucionar o problema inicial. 
c) Modelo matemático: esta etapa consiste em validar ou não a solução 
encontrada para o problema, verificando o grau de confiabilidade na sua 
utilização e a sua aplicação em outras situações análogas. 
Definido o tema do problema a ser pesquisado, começa a fase da 
interação, momento em que o grupo busca informações sobre o assunto, 
em livros, revistas, entrevistas, observações e outras fontes. Quanto 
maior for o envolvimento e o aprofundamento com o tema, maior será a 
facilidade em compreendê-lo. Nesta etapa, o professor deve promover a 
investigação do assunto por parte dos alunos no sentido de entender cada 
vez mais o entorno a ser pesquisado. Aguçados pela curiosidade inerente 
à idade e incentivados pelo professor, os alunos iniciam a matematização, 
ou seja, o surgimento de perguntas decorrentes da análise dos dados 
coletados e das observações feitas diretamente no ambiente pesquisado. 
Este momento é propício para o desenvolvimento, a formulação e a 
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construção do pensar matemático através de um modelo matemático 
adequado para a resolução dos problemas levantados. 
 
POR QUE MODELAGEM? 
Geralmente são apresentados cinco argumentos: motivação, facilitação 
da aprendizagem, preparação para utilizar a matemática em diferentes 
áreas, desenvolvimento de habilidades gerais de exploração e 
compreensão do papel sócio-cultural da 
matemática. Segundo Blum (1995), esses cinco 
argumentos são importantes e representam facetas da Modelagem da 
educação escolar. Porém, para ele, o último está diretamente conectado 
com o interesse de formar sujeitos para atuar ativamente na sociedade e, 
em particular, capazes de analisar a forma como a matemática é usada 
nos debates sociais. 
As atividades de Modelagem podem contribuir para desafiar a ideologia 
da certeza e colocar lentes críticas sobre aplicações da matemática. E 
com isso, potencializar a intervenção das pessoas nos debates e nas 
tomadas de decisões sociais que envolvem aplicações matemáticas. 
O QUE É UMA ATIVIDADE DE MODELAGEM 
Toda atividade escolar oferece condições sob as quais os alunos são 
convidados a atuar. No caso de Modelagem, são colocadas algumas 
condições que propiciam determinadas ações e discussões singulares em 
relação a outros ambientes de aprendizagem. 
Para Jonei Barbosa, o ambiente de Modelagem está associado à 
problematização e investigação. O primeiro refere-se ao ato de criar 
perguntas e/ou problemas enquanto que o segundo, à busca, seleção, 
organização e manipulação de informações e reflexão sobre elas. Ambas 
as atividades não são separadas, mas articuladas no processo de 
envolvimento dos alunos para abordar a atividade proposta. Nela, podem-
se levantar questões e realizar investigações que atingem o âmbito do 
conhecimento reflexivo. 
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 Em resumo, Jonei diz que Modelagem é um ambiente de aprendizagem 
no qual os alunos são convidados a problematizar e investigar, por meio 
da matemática, situações com referência na realidade. 
QUAL O LUGAR DE MODELAGEM NO CURRÍCULO? 
 Há várias maneiras de programar Modelagem no currículo. Incorporá-la 
na escola deve significar também o movimento do currículo de 
matemática para um paradigma de investigações (Skovsmose, 2000). 
 A literatura tem apresentado experiências de Modelagem que variam 
quanto à extensão e às tarefas que cabem ao professor e ao aluno. 
 A seguir seguem três casos dados por Jonei Barbosa: 
 Caso 1 
O professor apresenta um problema, devidamente relatado, com dados 
qualitativos e quantitativos, cabendo aos alunos a investigação. Aqui, os alunos 
não precisam sair da sala de aula para coletar novos dados e a atividade não é 
muito extensa. 
 Caso 2 
Os alunos deparam-se apenas com o problema para investigar, mas têm que 
sair da sala de aula para coletar dados. Ao professor, cabe apenas a tarefa de 
formular o problema inicial. Nesse caso, os alunos são mais responsabilizados 
pela condução das tarefas. 
 Caso 3 
Trata-se de projetos desenvolvidos a partir de temas “não-matemáticos”, que 
podem ser escolhidos pelo professor ou pelos alunos. Aqui, a formulação do 
problema, a coleta de dados e a resolução são tarefas dos alunos. 
Os três casos ilustram a flexibilidade da Modelagem nos diversos contextos 
escolares. Em certos períodos, a ênfase pode ser projetos pequenos de 
investigação, como no caso 1; em outros, pode ser projetos mais longos, como 
os casos 2 e 3. 
 
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A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS APLICADA NO ESTUDO DAS 
FUNÇÕES 
A partir da experiência profissional, tenho percebido o crescente 
desinteresse pela matemática, no ensino fundamental e no ensino médio. 
Estatisticamente percebo também que as maiores evasões e 
desistências, acontecem nas séries iniciais de cada ciclo, ou seja, nas 
quintas séries do ensino fundamental e nos primeiros anos do ensino 
médio. Pesquisas comprovam que a dificuldade com a matemática é um 
dos motivos que aumentam as estatísticas das evasões. E por que a 
matemática é uma disciplina vilã neste contexto? Entre os motivos que 
afastam alunos das salas de aula, estão os argumentos de ser uma 
disciplina que requer abstração, pré requisitos, raciocínio lógico e os 
assuntos estudados distantes do dia-a-dia, entre outros. Na nossa práxis, 
as atividades propostas em forma de exercícios ou situações problemas 
descontextualizadas podem contribuir no aumento da evasão e 
desinteresse pelos estudos. O aluno muitas vezes se questiona, ou 
questiona o professor: “Onde vou usar isso?” “Por que estou estudando 
este conteúdo?” “Onde eu aplicarei este conhecimento?” Algumas vezes 
não temos uma resposta convincente para uma aplicabilidade imediata. 
Os livros didáticos apresentam atividades muitas vezes distantes da 
realidade, principalmente as relacionadas aos problemas. Isto faz com 
que se dificulte a compreensão e provoque desinteresse em sua 
resolução. Sobre esta questão Werneck (2002) aponta que: 
[...] Ensinamos demais e os alunos aprendem de menos e cada vez menos! Aprendem 
menos porque os assuntos são cada dia mais desinteressantes, mais desligados da 
realidade dos fatos e dos objetivos mais distantes da realidade da vida dos 
adolescentes. (Wernek, 2002,p.13) 
Entendo o interesse como um dos principais aliados do professor para o 
sucesso da educação. É evidente que muitas outras razões contribuem 
para o fracasso escolar. Como por exemplo, a indisciplina que vem 
aumentando dia a dia na sala de aula e cada dia mais os educadores 
sentem dificuldades de como lidar com estes problemas que sem dúvida 
contribuem para o desinteresse do aluno. Popularmente se diz que “para 
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aprender, tendo interesse, meio caminho já está andado”. E para aprender 
resolver problemas, temos que querer resolvê-los. Sendo assim, o aluno 
irá sentir vontadede resolvê-lo ao sentir-se desafiado e perceber alguma 
afinidade com sua realidade. Passamos boa parte das aulas construindo 
e trabalhando a base matemática que deverá ser aplicada na resolução 
de problemas. E por uma série de motivos, muitas vezes “pula-se” a 
resolução de problemas, alegando diversas circunstâncias no decorrer do 
ano como exemplo: dificuldade para cumprir o calendário e os itens do 
planejamento e do currículo, surgimento de imprevistos reduzindo a 
quantidade de aulas previstas no calendário, alunos com grande 
diversidade de conhecimento, reservar tempo para diversas atividades de 
recuperação e avaliação do rendimento, são alguns fatos que fazem com 
que a resolução de problemas seja deixada para segundo plano, quando 
deveria ser uma das atividades principais. Neste sentido Lester Jr, et au 
Dante (2008) diz que “A razão principal de se estudar Matemática é 
aprender como se resolvem problemas”. Aprender a resolver exercícios é 
apenas um meio e não um fim. Na prática a matemática deve auxiliar na 
resolução de problemas práticos e encontrar soluções para necessidades 
bem como contribuir para o desenvolvimento do pensamento matemático 
 
DESAFIO MATEMÁTICO: A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NO 
ENSINO DA MATEMÁTICA 
A Resolução de Problemas enquanto metodologia de ensino vem sendo 
debatida por acadêmicos de Licenciatura em Matemática e nas formações 
continuadas de professores atuantes, visto que tem se mostrado como uma 
alternativa eficaz para a aprendizagem matemática, pois ela busca construir o 
conhecimento em vez de reproduzi-lo. O crédito que se dá a essa forma de 
ensino é devido às causas que propulsaram o desenvolvimento da matemática 
enquanto ciência aplicada, que sem dúvida foram às tentativas de resolver 
problemas encontrados no dia a dia da sociedade. 
Segundo D’Ambrósio (2009), a matemática tem se evoluído simultaneamente à 
sociedade, através de problemas que surgiam na vida do homem e este era 
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instigado a resolvê-los. Na história da matemática há importantes legados dos 
povos desde a Antiguidade Mediterrânea, estes eram desafiados pelos 
obstáculos do dia a dia, como a repartição de terras férteis e as construções no 
Egito e necessidades óbvias da atividade de pastoreio na Babilônia. Assim, 
pode-se entender que todo esse conhecimento matemático que é disponível hoje 
seja resultado do esforço de inúmeras pessoas que buscavam, dentro de suas 
culturas, soluções para os problemas por eles vivenciados. 
No entanto, apesar do desenvolvimento da matemática, em parte, decorrer das 
situações de ordem prática da sociedade, vislumbrou-se somente a partir da 
década de 1970, que a Resolução de Problemas poderia ser utilizada como 
metodologia de ensino da Matemática. Ou seja, a importância dada a esta 
tendência de ensino é relativamente recente. 
 Onuchi e Alevatto (2009) afirmam que somente nesse período é que os 
educadores matemáticos passaram a trabalhar a ideia de que o desenvolvimento 
da capacidade de resolver problemas merecia mais atenção. 
Subsequentemente, vários autores vislumbram positivamente a utilização desta 
estratégia em sala de aula. Mas inicialmente é preciso conceituar o que é um 
problema dentro desta metodologia. Diferente do que muitos professores acham 
que formaliza um problema, segundo Silveira (2001), um problema matemático 
envolve situações em que o aluno conhece os objetivos do problema, mas não 
conhece os meios para realizá-los. Esse processo de busca pelo resultado 
requer descobertas de ferramentas e informações matemáticas, fazendo com 
que várias estratégias sejam formuladas e testadas. Resolver problemas é, 
portanto, criar estratégias para conciliar um obstáculo, atingir objetivos, mesmo 
não sabendo como chegar ao que se espera. A aprendizagem será uma 
consequência deste processo de resolução de problemas. 
Em contrapartida o PCN (2000, p. 44), afirma que “Um problema matemático é 
uma situação que demanda a realização de uma sequência de ações ou 
operações para obter um resultado. Ou seja, a solução não está disponível de 
início, no entanto é possível construí-la”. Ainda de acordo com o PCN (2000), a 
proposta de focar na resolução de problemas é de que os conceitos, idéias, 
métodos e definições matemáticas, que tradicionalmente os alunos se apropriam 
através de reprodução/imitação e memorização, devem ser assimilados a partir 
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da exploração de problemas. O aluno será levado a interpretar o problema e a 
estruturar a situação com os dados de que se dispõe. A resolução de um 
problema contribui para a resolução de outro, fazendo com que haja 
transferências, correção e rupturas, semelhante ao que se observa na história 
da matemática. 
Para Onuchic (1999, p. 210-211.), na abordagem de Resolução de Problemas, 
o aluno tanto aprende matemática resolvendo problemas como aprende 
matemática para resolver problemas. Acontece então, que os problemas 
permitem alcançar uma duplicidade de objetivos: aprender matemática ao 
mesmo tempo em que se torna capaz de aplicá-la para resolver problemas do 
cotidiano. Assim, o processo da resolução de problemas pode ser um meio para 
a construção dos conhecimentos matemáticos essenciais para a sociedade que 
está em constante evolução. 
 
 
METODOLOGIA DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS 
Muitas pesquisas já foram realizadas sobre a Metodologia de Resolução 
de Problemas no ensino da Matemática, porém no cotidiano dos professores da 
área ainda surgem muitas indagações a respeito do assunto. Segundo os PCN’s 
de Matemática (BRASIL, 1998), a resolução de problemas possibilita aos alunos 
mobilizar conhecimentos e desenvolver a capacidade para gerenciar as 
informações que estão o seu alcance. Assim, os alunos terão oportunidade de 
ampliar seus conhecimentos acerca de conceitos e procedimentos matemáticos 
bem como ampliar a visão que têm dos problemas, da Matemática, do mundo 
em geral e desenvolver sua autoconfiança. A atividade de resolver problemas 
está presente na vida das pessoas, exigindo soluções que muitas vezes 
requerem estratégias de enfrentamento. O aprendizado de estratégias auxilia o 
aluno a enfrentar novas situações em outras áreas do conhecimento. 
Sendo assim, é de suma importância que o professores compreendam 
como trabalhar esta metodologia, a fim de desenvolver no aluno a capacidade 
de resolver situações desafiadoras, interagir entre os pares, desenvolver a 
comunicação, a criatividade e o senso crítico. Dante (1998), afirma que embora 
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tão valorizada, a resolução de problemas é um dos tópicos mais difíceis de 
serem trabalhados na sala de aula. É muito comum os alunos saberem efetuar 
os algoritmos e não conseguirem resolver um problema que envolva um ou mais 
desses algoritmos. Isso se deve à maneira com que os problemas matemáticos 
são trabalhados na sala de aula e apresentados nos livros didáticos, muitas 
vezes apenas como exercícios de fixação dos conteúdos trabalhados. Um 
problema pode envolver muito mais do que a simples resolução das operações. 
Deve, sim, possibilitar ao aluno desenvolver estratégias, buscar vários caminhos 
para solucioná-lo à sua maneira, de acordo com sua realidade e raciocínio. Para 
Dante (1998), um problema é qualquer situação que exija a maneira matemática 
de pensar e conhecimentos específicos para solucioná-la. O autor ressalta que 
um bom problema deve: 
• Ser desafiador para o aluno; 
• Ser real; z ser interessante; 
• Ser o elemento de um problema realmente desconhecido; 
• Não consistir na aplicação evidente e direta de uma ou mais 
operações aritméticas; 
• Ter um nível adequado de dificuldade. 
Um bom problema deve ser capaz de instigar o aluno a resolvê-lo. Deve 
ser interessante, criativo, desenvolver seu pensamento e desafiá-lo 
constantemente, pois ao contrário ele ficará desmotivado. Existem 
diferenças básicas entre exercícios e problemas. No primeiro, o aluno nãoprecisa decidir sobre o procedimento a ser utilizado para se chegar à 
solução. Pozo(1998, apud, SOARES & PINTO 2001) exemplifica: 
“As tarefas em que precisa aplicar uma fórmula logo depois desta ter sido explicada em 
aula, ou após uma lição na qual ela aparece explicitamente... servem para consolidar e 
automatizar certas técnicas, habilidades e procedimentos necessários para posterior 
solução de problemas...”. 
Dante (1998) também faz esta diferenciação onde exercício serve para 
exercitar, para praticar um determinado algoritmo ou processo e 
problema é a descrição de uma situação onde se procura algo 
desconhecido e não temos previamente nenhum algoritmo que garanta a 
solução. Para este mesmo autor, a resolução de um problema exige 
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certa dose de iniciativa e criatividade, aliada ao conhecimento de 
algumas estratégias. Segundo Soares & Bertoni Pinto (2001), tanto os 
exercícios quantos os problemas têm seu valor, cabe ao professor 
manter um equilíbrio dos mesmos durante o ano letivo. Para Dante 
(1998) os objetivos da resolução de problemas são: 
• Fazer o aluno pensar produtivamente; 
• Desenvolver o raciocínio do aluno; 
• Ensinar o aluno a enfrentar situações novas; 
• Dar ao aluno a oportunidade de se envolver com as aplicações da 
Matemática; 
• Tornar as aulas de Matemática mais interessantes e desafiadoras; 
• Equipar o aluno com estratégias para resolver problemas; 
• Dar uma boa base matemática às pessoas 
A partir da leitura e interpretação dos problemas, é possível o 
envolvimento do aluno na busca por estratégias de resolução, na 
persistência em encontrar uma solução, na ampliação e na ressignificação 
de conceitos e idéias que ele já conhece. Por este motivo, vários autores 
evidenciaram a importância do uso desta metodologia nas aulas. Alves 
(2004, apud, ZUFFI & ONUCHIC) coloca como um dos objetivos da 
Educação Básica, desenvolver no aluno a capacidade de solucionar 
problemas. Segundo Onuchic (1999), o problema não deve ser tratado 
como um caso isolado, mas como um passo para alcançar a natureza 
interna da Matemática, assim como seus usos e aplicações. Ele define 
como problema tudo aquilo que não se sabe fazer, mas que se está 
interessado em resolver. Dante (1998) classifica os problemas em vários 
tipos: 
• Exercícios de reconhecimento, onde o objetivo é fazer com que o aluno 
reconheça, identifique ou lembre um conceito; 
• Exercícios de algoritmos: servem para treinar a habilidade em executar 
um algoritmo e reforçar conhecimentos anteriores; 
• Problemas – padrão: a solução já está contida no enunciado, e a tarefa 
básica é transformar a linguagem usual em linguagem matemática, 
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com o objetivo de recordar e fixar os fatos básicos através dos 
algoritmos das quatro operações; 
• Problemas-processo ou heurísticos: sua solução envolve as 
operações que não estão contidas no enunciado, exigem do aluno um 
tempo para pensar e arquitetar um plano de ação; 
• Problemas de aplicação: também chamados de situações-problema, 
são aqueles que retratam situações reais do dia-a-dia e que exigem o 
uso da Matemática para serem resolvidos; 
• Problemas de quebra-cabeça: constituem a chamada Matemática 
recreativa, e sua solução depende quase sempre de um golpe de sorte 
ou da facilidade em perceber algum truque. 
O principal é analisar o potencial do problema no desenvolvimento de 
capacidades cognitivas, procedimento e atitudes e na construção de 
conceitos e aquisição de fatos da Matemática. O melhor critério para 
organizar um repertório é selecionar, ou mesmo formular problemas que 
possibilitem aos alunos pensar sobre o próprio pensamento, que os 
coloquem diante de variadas situações. Portanto, o professor deve ter em 
mente os objetivos que deseja alcançar para que possa fazer o uso 
adequado da resolução de problemas, seja para aplicar alguma técnica 
ou conceito desenvolvido, trabalharem com problemas abertos nos quais 
há mais de uma solução possível, suscitando o debate e a argumentação 
em defesa de cada resolução, trabalhar com problemas gerados a partir 
de situações de jogo ou da interpretação de dados estatísticos. A seleção 
do problema deverá ser decorrente dos objetivos a serem alcançados. 
COMO A MODELAGEM MATEMÁTICA E A RESOLUÇÂO DE 
PROBLEMAS PODEM INTERVIR NO PROCESSO DE ENSINO-
APRENDIZAGEM 
A preocupação com o ensino de matemática surgiu há muito tempo. Ela 
surgiu pelo fato de que os educadores não viam na matemática uma conexão 
com a realidade social. Desde então, muitas pesquisas e estudos na área 
surgiram e assim, várias teorias se consolidaram. Para este trabalho, fez-se 
necessária a compreensão de duas importantes teorias tanto para a Matemática 
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como para a Educação Matemática, pois para a realização de todo o estudo 
empreendido, os pilares que o sustentou foram a Modelagem Matemática que, 
neste caso, direciona-se no sentido do ensino de matemática e a Resolução de 
Problemas. Ao levar em consideração essas duas vertentes como fundamentais 
para essa pesquisa, tratar-se-á daqui em diante da definição de cada uma delas 
para um melhor entendimento posterior do que esta pesquisa se propôs. 
1. A Modelagem Matemática como meio para o ensino-aprendizagem 
A Modelagem Matemática é uma das vertentes com grande ênfase no 
ensino de matemática atualmente. Isso se verifica pelo fato de que o ensino por 
modelagem não se encontra dissociado do contexto social. Desse modo, tratar-
se-á aqui de diferenciar quatro itens essenciais sobre este tema – Modelo 
Matemático, Modelagem, Modelagem Matemática e Modelação Matemática -, 
pois são eles que justificam processos utilizados pelos alunos juntamente com 
os professores na realização de suas atividades, a partir da quais se realizou 
esta pesquisa. Para Biembengut (2011, p. 12), pode-se definir como Modelo 
Matemático “um conjunto de símbolos e relações matemáticas que procura 
traduzir de alguma forma, um fenômeno em questão, ou problema de situação 
real”. Do mesmo modo, Bassanezi (2011, p. 25) também afirma de modo 
análogo, que o Modelo Matemático é aquele que pode traduzir em símbolos e 
operações próprios da matemática um problema em questão e, da mesma 
maneira, em sentido contrário, consegue-se o resultado da pesquisa na 
linguagem original do problema. 
Por tratar, neste momento, da Modelagem como meio de ensino e 
aprendizagem da matemática, é importante destacar agora a denominação dada 
ao termo Modelação Matemática segundo Biembengut (2011, p. 18), que define 
como “O método que utiliza a essência da modelagem em cursos regulares, com 
programa”. Além disso, a autora ainda complementa o seguinte: “A modelação 
matemática norteia-se por desenvolver o conteúdo programático a partir de um 
tema ou modelo matemático e orientar o aluno na realização de seu próprio 
modelomodelagem” (BIEMBENGUT, 2011, p. 18). 
2. A Resolução de Problemas como meio de ensino-aprendizagem 
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Entre as tendências para o ensino de matemática, a Resolução de 
Problemas se destaca no cenário da Educação Matemática, pois ela consegue 
fazer o aluno pensar de um modo diferente sobre as situações que lhe são 
propostas. Esse fato deve-se ao motivo de que essa tendência de ensino não 
somente faz o aluno compreender melhor o conteúdo matemático e aplicá-lo em 
uma situação, mas também pelo fato de que o aluno pode desenvolver o seu 
pensamento crítico e aguçar a sua criatividade de modo a compreender melhor 
situações que estão presentes no meio em que vive. Diante do que foi 
evidenciado anteriormente, é importante esclarecer a noção de problema, pois 
existem implicações em torno desse assunto. Assim, conforme Lopes et al. 
(2005, p. 9) a palavra problema pode admitir significados diferentes de acordo 
com cada indivíduo em sua particularidade e, por isso, o que pode se apresentar 
como um problema para um pode não ser para o outro. Pelo fato deo termo 
problema variar de o acordo com o indivíduo, então, é necessário enfatizar o que 
Lopes et al. (2005, p. 9) adverte sobre o que se considera como problema: 
Diremos ainda que um problema deve despertar a curiosidade do indivíduo, provocar-
lhe uma certa tensão durante a procura de um plano de resolução, e finalmente, fazê-lo sentir a 
alegria inerente à descoberta da solução. Um problema é matemático quando envolve o 
conhecimento de conceitos, técnicas e algoritmos matemáticos para a sua resolução. 
Dentro do trabalho de ensino a partir da Modelagem como foi enfatizado 
na seção anterior, pode-se destacar o fato de que, no contexto real 
trabalhado, surgem questionamentos, os quais geram situações 
problematizadas e/ou problemas que contribuem para o aprendizado 
matemático. Desse modo, pode-se destacar um problema como uma 
dada situação problematizada em que o sujeito tem consciência da 
ligação entre os referentes dessa situação. Isso quer dizer que o problema 
é caracterizado pelo fato de o sujeito ter consciência do que se busca e 
tenta conscientemente alcançar um determinado fim ou objetivo, 
organizando e desenvolvendo sua atividade mental, de modo a direcioná-
la à resolução do problema. Assim, esse problema surge a partir de uma 
situação problematizada e essa, por sua vez, possui elementos 
insuficientemente esclarecidos ou mesmo desconhecidos, ao contrário do 
problema (cf. RUBINSTEIN, 1966, apud HUETE & BRAVO, 2006, p.125). 
A Resolução de Problemas não deve ser vista apenas como uma técnica 
18 
 
 
de aplicar o saber matemático discutido durante as aulas, ela deve ser 
colocada como um elemento fundamental de desenvolvimento da 
aprendizagem matemática, pois considera que, ao resolver problemas, o 
aluno possui um contato maior com os elementos e o saber matemático 
e, por isso, consegue compreender melhor os conceitos. 
3. O elo entre a Resolução de Problemas e a Modelagem Matemática 
no ensino de Matemática 
Por tratar-se de problemas no contexto da Modelagem, deve-se destacar 
como acontece a aprendizagem matemática a partir da Resolução de 
Problemas, que considera o papel da Modelagem Matemática como sendo o de 
gerar questionamentos seguidos de problemas que almejam alguma solução. Ao 
se considerar a afirmação de Bassanezi (2011, p. 24) na qual ele afirma que 
“Modelagem Matemática é um processo dinâmico utilizado para a obtenção e 
validação de modelos matemáticos”, pode-se relacioná-la com a afirmação que 
ele faz sobre a Modelagem Matemática no ensino: “A modelagem no ensino é 
apenas uma estratégia de aprendizagem, onde o mais importante não é chegar 
imediatamente a um modelo bem sucedido, mas, caminhar seguindo etapas 
onde o conteúdo matemático vai sendo sistematizado e aplicado” (cf. 
BASSANEZI, 2011, p. 38). 
Ao tratar da Resolução de Problemas no contexto da Modelagem 
Matemática, também é possível destacar quatro passos na resolução de 
problemas, segundo Polya (apud HUETE & BRAVO, 2006, p. 160 – 161): 
• Compreensão do problema. Aquele que deve resolver o 
problema reúne informação acerca do problema e pergunta: 
“O que quer (ou o que é que se desconhece)? O que há (ou 
quais são os dados e condições)?”. 
• Elaboração de um plano. O sujeito tenta utilizar a experiência 
passada para encontrar um método de solução e pergunta: 
“Conheço um problema relacionado? Posso reformular o 
objetivo de uma nova forma utilizando minha experiência 
passada (trabalhando para trás) ou posso reordenar os dados 
de uma nova forma que se relacione com minha experiência 
19 
 
 
passada (trabalhando para frente)?” (é aqui que surge o 
insight). 
• Colocando o plano em ação. O sujeito põe em prática seu 
plano de solução comprovando cada passo. 
• Reflexão. O sujeito tenta comprovar o resultado utilizando 
outro método ou vendo como tudo se encaixa e se pergunta: 
“Posso utilizar este resultado ou este método para resolver 
outros problemas?”. 
As etapas descritas acima, em que ocorre a resolução de um problema 
matemático, conforme Polya (1992, apud HUETE & BRAVO, 2006), são 
momentos em que o aluno passa por uma atividade mental muito 
importante, pois é quando os conceitos e as definições do saber 
matemático, além de assuntos ligados a outras áreas passam por um 
refinamento em favor da resolução do problema ou da situação proposta. 
Nesse sentido, esse momento é quando o aluno consegue fazer uma 
maior interação com o saber matemático e, desse modo, consegue 
conjecturar alguns modelos de resolução do problema que, 
posteriormente, passa pelo processo de validação, que consiste em 
observar se, de fato, o modelo corresponde à situação proposta. 
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS 
Os problemas matemáticos são resolvidos utilizando inúmeros recursos 
matemáticos, destacando, entre todos, os princípios algébricos, os quais 
são divididos de acordo com o nível de dificuldade e abordagem dos 
conteúdos. Nas séries iniciais os cálculos envolvem adições e subtrações; 
posteriormente, multiplicações e divisões. 
Na 2ª fase do Ensino Fundamental os problemas são resolvidos com a 
utilização dos fundamentos algébricos, isto é, criamos equações 
matemáticas com valores desconhecidos (letras). Observe algumas 
situações que podem ser descritas com utilização da álgebra. 
 
O dobro de um número adicionado com 4 → 2x + 4. 
A soma de dois números consecutivos → x + (x + 1) 
20 
 
 
O quadrado de um número mais 10 → x² + 10 
O triplo de um número adicionado ao dobro do número → 3x + 2x 
A metade da soma de um número com 15 → (x + 15)/2 
A quarta parte de um número → x/4 
APRENDER MATEMÁTICA ATRAVÉS DE RESOLUÇÃO DE 
PROBLEMAS 
A resolução de problemas permite que estudantes desenvolvam o 
pensamento matemático de maneira ativa. Entenda passo a passo como 
isso pode ser feito. 
Um problema é uma tarefa para a qual não se possui um esquema, uma 
estratégia ou um algoritmo previamente definido. Demanda-se certo 
esforço intelectual no delineamento da estratégia de solução, a qual 
poderá combinar esquemas anteriores e/ou produzir novos. Chamamos 
de problemas matemáticos aqueles cujas soluções demandam idéias, 
conceitos e/ou algoritmos pertencentes à disciplina matemática. 
DEFININDO UM PROBLEMA 
Antes mesmo de começar a resolver um problema de matemática, você 
deve entender o que é esse conceito. 
Seja qual for o seu nível de educação e a dificuldade do problema a 
resolver, o princípio é o mesmo. 
Um problema matemático é uma questão a ser resolvida com o raciocínio 
e elementos matemáticos. 
E esta definição pode ser adaptada de acordo com a o seu nível de 
complexidade: 
• Os primeiros problemas devem ser considerados como um 
enigma a ser resolvido, seguindo as informações 
fornecidas. Este estágio é importante porque se trata do 
primeiro nível de familiarização com os números e suas 
relações. 
Um bom exemplo segue uma linha como: São 14 
21 
 
 
horas. Alexandre e Tom vão caminhar pela floresta. A que 
horas eles completarão o trajeto se o passeio dura uma hora e 
trinta e cinco minutos? 
• Durante a segunda metade do ensino fundamental, 
descobrimos as equações, as frações e as porcentagens. Os 
problemas vão ficando mais complicados. Os exercícios ficam 
assim: o café verde perde 6% de sua massa durante a 
torrefação. Quanta massa de café você obtém com 18 kg de 
café verde? 
• No início do ensino médio, a exigência de uma compreensão 
matemática se torna maior. O método de resolução dos 
problemas fica mais complexo e a necessidade de 
entendimento das informações corretas é essencial. Exemplo 
de um problema aberto nesse esquema: Nicolas tem um 
arame farpado com 75 metros de comprimento. Ele quer fechar 
seu jardim com esse fio. Este jardim deve ser retangular. Ele 
também quer que seja tão grande quanto possível, para plantar 
o maior volume que conseguir de flores. Como ele deve fazer 
isso ? 
O nível de complexidadedifere nos três casos, mas sempre há uma 
ordem, pistas e uma pergunta para responder. 
O problema pode ser considerado como uma investigação para 
resolver! Mesmo que você não tenha a facilidade necessária com os 
números, você pode considerar os problemas como um grande 
alinhamento de evidências e tentar buscar a melhor maneira de solucionar 
cada uma das etapas. 
conhecidos: Sabemos que a mãe tinha 30 anos quando Laura nasceu e 
que seu irmão era 4 anos mais velho do que ela. Além disso, a soma de 
suas idades é igual a 100 anos. 
 
 
22 
 
 
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