Lista_de_Exercicios_Espacos_vetoriais

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Lista de Exercícios - Espaços vetoriais 
Espaços vetoriais 
 
1. Determine o vetor nulo nos seguintes espaços vetoriais: 
 O espaço das matrizes 2 4 . 
 O espaço   : 0,1 / é contínuaf f 
 O espaço das funções de uma variável com domínio nos números naturais. 
 O espaço dos polinômios de grau três com as operações canônicas. 
 
2. Ache o inverso aditivo do vetor dado em seu respectivo espaço vetorial. 
 Em 2P do vetor 2( ) 3 2p x x x    
 No espaço das matrizes 2 2 com coeficientes reais com as operações usuais para a soma de matrizes e multiplicação por escalar do vetor 
1 1
0 3
    . 
 No espaço das funções de variável real  / ,x xae be a b  com as operações usuais do vetor( ) 3 2x xf x e e  . 
 
3. Seja C o conjunto dos números complexos. Defina a soma em C por       a bi c di a c b d i       e defina a multiplicação por um escalar por  biabia   ,  . Mostre que C é um espaço vetorial 
em relação a essas operações. É o conjunto dos números racionais em , com as operações usuais, um espaço vetorial? 
 
4.Mostre que os seguintes conjuntos são espaços vetoriais. 
 O conjunto dos polinômios  1( ) / ,P x a bx a b   de grau menor ou igual a um, com as operações usuais para a soma e a multiplicação por escalar. 
 O conjunto das matrizes 2 2 com coeficientes reais com as operações usuais para a soma e a multiplicação por escalar. 
 O conjunto dos vetores linha com três componentes com as operações usuais para a soma e a multiplicação por escalar. 
 O conjunto 4{ / 0}
x
y
L x y z w
z
w
           
com as operações usuais em 4 . 
 
5 Mostre que os seguintes conjuntos não são espaços vetoriais, indicando qual ou quais axiomas não são satisfeitos. 
 
 com as operações usuais de 2 , o conjunto 3{ / 1}
x
y x y z
z
        
 
 com as operações usuais de 2 , o conjunto 3 2 2 2{ / 1}
x
y x y z
z
        
 
 com as operações usuais para matrizes, o conjunto 
1
{ / , , }
a
a b c
b c
     
 com as operações usuais para polinômios, o conjunto 2
0 1 2 0 1 2{ / , , }a a x a x a a a    onde  é o conjunto dos números reais maiores que zero. 
 com as operações usuais, o conjunto 2{ / 3 4, 2 - 3 e 6 4 10}
x
x y x y x y
y
         
6. Mostre que o conjunto das combinações lineares das variáveis x e y é um espaço vetorial com as operações usuais. 
 
7. Seja P o conjunto de todos os polinômios. Mostre que P, com as operações usuais de soma e multiplicação por um escalar para funções, forma um espaço vetorial. 
8. Determine em ambos os casos se 3 é um espaço vetorial sob as seguintes operaçoes: 
 
1 2
1 2
1 2
0
0 e 
0
x x x rx
y y r y ry
z z z rz
                                               
 
 
1 2
1 2
1 2
0 0
0 e 0
0 0
x x x
y y r y
z z z
                                               
 
9. Determine se os conjuntos das matrizes 2 2 seguintes são espaços vetoriais (com as operações usuais). 
 As matrizes diagonais 
0
{ / , }
0
a
a b
b
     . 
 
 As matrices { / , }
a a b
a b
a b b
     
 
 
10. Sejam x, y e z vetores de um espaço vetorial V. Mostre que, se x + y = x + z então y = z. 
11. Seja S o conjunto de todos os pares ordenados de números reais. Defina a multiplicação por um escalar e a soma em S por 
   2121 ,, xxxx   
     0,,, 112121 yxyyxx  
 Usando o símbolo  para denotar a soma nesse sistema para evitar confusão com a soma usual de x + y de vetores linhas. Mostre que S, junto com a multiplicação usual por um escalar e a operação  , não é um 
espaço vetorial. Quais dos oito axiomas não são válidos? 
 
12. Seja V o conjunto de todos os pares ordenados de números reais com a soma definida por     22112121 ,,, yxyxyyxx  e a multiplicação por um escalar definida por   2121 ,, xxxx   . Como a 
multiplicação por um escalar é definida de maneira diferente da usual, usamos um símbolo diferente para evitar confusão com a multiplicação usual de um vetor linha por um escalar. V é um espaço vetorial em relação 
a essas operações? Justifique sua resposta.