AS Álgebra linear II

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Álgebra Linear II - Turma_001 Atividades Av 
PERGUNTA 1 
1. Considere os seguintes subconjuntos do espaço vetorial E = R2: 
 
A = {(x,y) ∈ R2:x = y} 
B = {(x,y) ∈ R2:x = -y} 
C = {(x,y) ∈ R2:x+y =2} 
D = {(x,y) ∈ R2:x-3y = 0} 
E = {(x,y) ∈ R2:|x-y| = 1} 
 
Em relação à afirmação "São subespaços vetoriais do R2", assinale a alternativa correta: 
 
a. Apenas o subconjunto A. 
 
b. Os subconjuntos A, B e C. 
 
c. Os subconjuntos A, B e D. 
 
d. Todos os subconjuntos, exceto o subconjunto E. 
 
e. Todos os subconjuntos, exceto o subconjunto C. 
0,25 pontos 
PERGUNTA 2 
1. Vimos que os espaços euclidianos Rn são espaços vetoriais sobre R. Em particular, o 
próprio conjunto de números reais R é um espaço vetorial sobre si mesmo, com as 
operações usuais de adição e multiplicação por escalar (escalar real), o que significa, 
neste caso específico, as operações usuais de adição e multiplicação de números reais. 
Vimos, também, que alguns subconjuntos de um espaço vetorial herdam essa 
estrutura, sendo assim considerados subespaços vetoriais. Considere Q o conjunto dos 
números racionais, Q ⊂ R e escolha a alternativa certa. 
 
a. Q é subespaço vetorial de R, pois como subconjunto herda as operações usuais 
de R. 
 
b. Q não é subespaço vetorial de R, pois nem sempre a soma de dois números 
racionais é um número racional. 
 
c. Q não é subespaço vetorial de R, pois nem sempre a multiplicação de dois 
números racionais é um número racional. 
 
d. Q não é subespaço vetorial de R, pois nem todos os números racionais têm seu 
inverso multiplicativo. 
 
e. Q não é subespaço vetorial de R, pois pode existir um escalar real que, 
multiplicado por um número racional, resulta em um número irracional. 
0,25 pontos 
PERGUNTA 3 
1. Assinale a alternativa verdadeira. 
 
a. Dados S e T, dois subespaços vetoriais de E, seja W = S ∩ T ≠ ∅. Então W é 
subespaço vetorial de E. 
 
b. Dados S e T, dois subespaços vetoriais de E, seja W = S ∪ T, então W é 
subespaço vetorial de E. 
 
c. V = R2 é um subespaço vetorial do espaço vetorial R3. 
 
d. Seja E = Pn o espaço vetorial dos polinômios p(x) de grau menor ou igual a n, n 
≥ 0. Considere o subconjunto V de E, definido por V = {p(x) ∈ Pn: p(x)=ax2 + 1, a 
∈ R}, com as operações usuais de E de adição de polinômios e multiplicação de 
polinômio por escalar real. Então V é subespaço vetorial de E. 
 
e. Seja E = M2x2 o espaço vetorial das matrizes 2x2 com elementos reais. 
Considere o subconjunto V de E, definido V ={ , a, b ∈ R}, com as 
operações usuais de E de adição de matrizes e multiplicação de matriz por 
escalar real. Então V é subespaço vetorial de E. 
0,25 pontos 
PERGUNTA 4 
1. Seja E = R2 espaço vetorial sobre R com as operações usuais de adição e multiplicação 
por escalar. Das alternativas a seguir, assinale a única que representa um subespaço 
vetorial de E. 
 
a. W = {(x,y) ϵ R2:y ≥ 0} 
 
b. W = {(x,y) ∈ R2:x < 0} 
 
c. W = {(x,y) ∈ R2:y = x + 2} 
 
d. W = {(x,y) ∈ R2:y = 2x} 
 
e. W = {(x,y) ∈ R2:y = 2} 
 
Unidade II 
PERGUNTA 1 
1. Assinale a alternativa correta: 
 
a. Se S e T são dois subconjuntos finitos e não vazios, com S ⊂ T, se S é L. I., 
então T também é L. I. 
 
b. Se S e T são dois subconjuntos finitos e não vazios, com S ⊂ T, se T é L. 
D., então S também é L. D. 
 
c. Se S e T são dois subconjuntos finitos e não vazios, com S ⊂ T, se S é L. I., 
então T é L. I. 
 
d. Se S e T são dois subconjuntos finitos e não vazios, com S ⊂ T, se T é L. I., 
então S é L. D. 
 
e. Se S e T são dois subconjuntos finitos e não vazios, com S ⊂ T, se T é L. I., 
então S também é L. I. 
0,25 pontos 
PERGUNTA 2 
1. Dado E = P2(t) o espaço vetorial de todos os polinômios de grau ≤ 2, com 
coeficientes reais, sejam os polinômios p(t) = t + t2 e q(t) = 1 + t. Considere 
ainda o espaço vetorial gerado S = [ p(t), q(t) ] Assinale a alternativa falsa: 
 
a. S = E, pois qualquer polinômio de E pode ser escrito como combinação 
linear de p(t) e q(t). 
 
b. S ≠ E porque dim S = 2 < dim E 
 
c. Os polinômios p(t) e q(t) são L. I., mas não geram E 
 
d. O polinômio r(t) = 2t2 – t – 3 pertence a S 
 
e. O polinômio z(t) = t2 + t + 2 não pertence a S 
0,25 pontos 
PERGUNTA 3 
1. Sejam E = R2 e V = {(1,1), (2, -1)} uma base de E. Dado o vetor W = (2, 5), se as 
coordenadas de W em relação à base V é dada por , assinale a resposta 
correta: 
 
a. 
 
 
b. 
 
 
c. 
 
,-
1,
-
1) 
 
d. 
 
 
e. 
 
0,25 pontos 
PERGUNTA 4 
1. Seja E = R3 e o subconjunto W de E, W = {(1,0,1), (1,1,1), (0,1,0)}. Assinale a 
alternativa correta. 
 
a. W gera E 
 
b. W é uma base de E 
 
c. W é L. I. 
 
d. dim(W) = 2 
 
e. W ∪ {(2, 2,2)} é base de E 
 
Unidade III 
PERGUNTA 1 
1. Seja uma transformação linear T: R2→ R2 e considere o triângulo △ABC do 
desenho a seguir. Então, assinale a alternativa CORRETA: 
 
 
 
 
a. T (x,y) = (-2x, 2y) amplia em dobro a figura do △ABC e rebate 
o △ABC em relação ao eixo Y. 
 
b. T (x,y) = (-2x, 2y) amplia em dobro a figura do △ABC e rebate 
o △ABC em relação ao eixo X. 
 
c. T (x,y) = (-2x, y) amplia em dobro a figura do △ABC e rebate o △ABC em 
relação ao eixo X. 
 
d. T (x,y) = (2x, -y) amplia em dobro a figura do △ABC e rebate o △ABC em 
relação ao eixo Y 
 
e. T (x,y) = (-x, 2y) amplia em dobro a figura do △ABCe rebate o △ABC em 
relação ao eixo X 
0,25 pontos 
PERGUNTA 2 
1. Seja T: R2→ R2 tal que a matriz [T] associada à transformação linear T é dada 
por . Assinale a alternativa que indica o vetor u tal que T(u) = u. 
 
a. u = (-1, 3). 
 
b. u = (1, -3). 
 
c. u = (3, -1). 
 
d. u = (-3, 3). 
 
e. u = (3, 3). 
0,25 pontos 
PERGUNTA 3 
1. Dada a matriz , considere a transformação linear TA associada à matriz A. 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 
a. TA(0,1) = (0, -2). 
 
b. N(TA) ≠ 0, em que 0 é o vetor nulo e N(TA) é o núcleo de TA. 
 
c. O conjunto {TA(1,0), TA(0,1)} é base do R2. 
 
d. TA é sobrejetora. 
 
e. TA é injetora. 
0,25 pontos 
PERGUNTA 4 
1. Dados U e V dois espaços vetoriais sobre R, considere uma transformação 
linear T: U →V. Sabendo que N(T) representa o núcleo de T e Im(T) a imagem 
de T, assinale a alternativa FALSA. 
 
a. Para o vetor 0 ∈ U, T(0) = 0 ∈ V. 
 
b. T sempre leva base de U em base de V. 
 
c. Se T é injetora, então N(T) = {0}, 0 ∈ U. 
 
d. dim N(T) + dim Im(T) = dim (U). 
 
e. Se T é sobrejetora, então Im(T) = V. 
 
Unidade IV 
PERGUNTA 1 
1. Veja a imagem a seguir e assinale a alternativa correta que indica a 
transformação T que transporta o círculo em vermelho de centro (0,0) para a 
posição do círculo em azul, cujo centro é o ponto (3,4). 
 
 
 
 
a. A transformação T(x,y) = (3x , 4y) 
 
b. A transformação T(x,y) = (4y , 3y) 
 
c. A transformação T(x,y) = (x+4y , y+3x) 
 
d. A transformação T(x,y) = (x+3 , y+4) 
 
e. A transformação T(x,y) = (3 , 4) 
0,25 pontos 
PERGUNTA 2 
1. Seja T: R3 → R2 definida por T(x,y,z) = (x+z , y-z) uma transformação 
linear. Se α = {(1,1,1),(1,0,1),(-1,2,1)} e β = {(1,0),(1,1)} são bases 
de R3 e R2, respectivamente, assinale a alternativa que exibe a matriz 
de T em relação às bases α e β, [T]β,α. 
B) 
 
a. 
 
0,25 pontos 
PERGUNTA 3 
1. Seja T um operador linear definido no R2. Sabendo que sua matriz em relação à 
base α = {(1,-1),(1,1)} é , assinale a alternativa que define T. 
 
a. T(x,y) = (x + y , y) 
 
b. T(x,y) = (-x + y , x) 
 
c. T(x,y) = (-y , x + y) 
 
d. T(x,y) = (x , x + y) 
 
e. T(x,y) = (-y , x - y) 
0,25 pontos 
PERGUNTA 4 
1. Assinale a alternativa correta acerca da transformação linear T(x,y) = (y,x): 
 
a. 
T é uma rotação de um ângulo . 
 
b. 
T é uma rotação de um ângulo . 
 
c. T é uma reflexão em torno do eixo coordenado vertical. 
 
d. T é uma reflexão em torno do eixo coordenado horizontal. 
 
e. T é uma reflexão em torno da reta y = x, bissetriz dos primeiro e terceiro 
quadrantes do plano cartesiano.