Algebra Linear

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<p>Professor: Fernando Henrique Nogueira Amaral</p><p>Disciplina: Álgebra Linear</p><p>Lista de Exercícios 01 – Unidade 1</p><p>1. Verdadeiro ou falso?</p><p>2. Prove que ℝ² é um espaço vetorial.</p><p>3. O conjunto das matrizes reais 𝑚 × 𝑛, denotado 𝑀𝑚𝑥𝑛(ℝ), com a operação</p><p>de adição entre matrizes e multiplicação por escalar usuais é um</p><p>espaço vetorial real. Por exemplo, as matrizes 2 × 2. Vamos verificar</p><p>que o conjunto das matrizes de dimensão 2 × 2, 𝑀2(ℝ), satisfaz as</p><p>condições de espaço vetorial.</p><p>4. Verifique se 𝑉 = ℝ² é um espaço vetorial, seja 𝑉 com operações de</p><p>adição e multiplicação por escalar definidas por:</p><p>Para todo 𝑣1 = (𝑎1, 𝑏1) e 𝑣2 = (𝑎2, 𝑏2) e 𝛼 ∈ ℝ:</p><p>Adição: 𝑣1 + 𝑣2 = (𝑎1, 𝑏1) + (𝑎2, 𝑏2) = (𝑎1, 𝑏1).</p><p>Produto: 𝛼𝑣1 = 𝛼(𝑎1, 𝑏1) = (𝛼𝑎1, 𝛼𝑏1)</p><p>5. Verifique se 𝑉 = ℝ² é um espaço vetorial, seja 𝑉 com operações de</p><p>adição e multiplicação por escalar definidas por:</p><p>Para todo 𝑣1 = (𝑎1, 𝑏1) e 𝑣2 = (𝑎2, 𝑏2) e 𝛼 ∈ ℝ:</p><p>Adição: 𝑣1 + 𝑣2 = (𝑎1, 𝑏1) + (𝑎2, 𝑏2) = (𝑎1 + 𝑎2, 0).</p><p>Produto: 𝛼𝑣1 = 𝛼(𝑎1, 𝑏1) = (𝛼𝑎1, 𝛼𝑏1).</p><p>6. Seja o espaço vetorial ℝ2 = {(𝑎, 𝑏)| 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ} munido das operações</p><p>usuais. Verifique se 𝑊 = {(𝑎, 𝑏) ∈ ℝ2| 𝑎 + 𝑏 = 0} é um subespaço vetorial</p><p>de ℝ2.</p><p>7. Seja o espaço vetorial ℝ2 = {(𝑎, 𝑏)| 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ} munido das operações</p><p>usuais. Verifique se 𝑊 = {(𝑎, 𝑏) ∈ ℝ2| 𝑎𝑏 = 0} é um subespaço vetorial de</p><p>ℝ2.</p><p>8. Seja o espaço vetorial ℝ2 = {(𝑎, 𝑏)| 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ} munido das operações</p><p>usuais. Verifique se 𝑊 = {(𝑎, 𝑏) ∈ ℝ2| 2𝑎 + 𝑏 = 0} é um subespaço vetorial</p><p>de ℝ2.</p><p>9. Seja 𝑆 = {(𝑥, 2𝑥)|𝑥 ∈ ℝ}. Verifique se 𝑆 é um subespaço vetorial de ℝ².</p><p>10. Seja 𝑆 = {(𝑥, 𝑥 + 1)|𝑥 ∈ ℝ}. Verifique se 𝑆 é um subespaço vetorial de</p><p>ℝ².</p><p>11. Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços de ℝ³.</p><p>a) Todos os vetores da forma (𝑎, 0, 0), seja 𝑎 ∈ ℝ.</p><p>b) Todos os vetores da forma (𝑎, 1, 0), seja 𝑎 ∈ ℝ.</p><p>12. Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços de 𝑀2𝑥2(ℝ).</p><p>a) Todos as matrizes 2𝑥2 com elementos inteiros.</p><p>b) Todos as matrizes da forma (</p><p>𝑎 𝑏</p><p>𝑐 𝑑</p><p>) , 𝑐𝑜𝑚 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 0.</p><p>13. Seja o espaço vetorial ℝ3 munido das operações usuais. Sejam os</p><p>conjuntos 𝑊1 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3| 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0} e 𝑊2 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3| − 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 =</p><p>0}. Responda:</p><p>a) 𝑊1 𝑒 𝑊2 são subespaços vetoriais de ℝ3? Qual a interpretação</p><p>geométrica?</p><p>b) 𝑊1 ∩ 𝑊2 é subespaços vetorial de ℝ3? Qual a interpretação</p><p>geométrica?</p><p>14. Sejam os subespaços:</p><p>𝑊1 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ³| (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑡, 𝑡, 2𝑡), 𝑡 ∈ ℝ}</p><p>𝑊2 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ³| (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−𝑚, 3𝑚, 𝑚), 𝑚 ∈ ℝ}</p><p>Determine 𝑊1 + 𝑊2.</p><p>15. Sejam os subespaços:</p><p>𝑊1 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ³| (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥, 0, 0), 𝑥 ∈ ℝ}</p><p>𝑊2 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ³| (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (0, 𝑦, 𝑧), 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ}</p><p>Determine 𝑊1 + 𝑊2.</p><p>Interprete geometricamente.</p><p>16. Sejam os subespaços:</p><p>𝑊1 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ³| (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥, 0, 0), 𝑥 ∈ ℝ}</p><p>𝑊2 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ³| (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥, 𝑦, 0), 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ}</p><p>Determine 𝑊1 + 𝑊2.</p><p>Interprete geometricamente.</p><p>17. Sejam os subespaços:</p><p>𝑊1 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ³| (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2𝑡, −𝑡, 𝑡), 𝑡 ∈ ℝ}</p><p>𝑊2 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ³| (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑚, 𝑚, 3𝑚), 𝑚 ∈ ℝ}</p><p>𝑊3 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ³| 𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 0}</p><p>Determine se as seguintes somas são somas diretas:</p><p>a) 𝑊1 + 𝑊2</p><p>b) 𝑊1 + 𝑊3</p><p>c) 𝑊2 + 𝑊3</p>