Gráfico EWMA e planos de amostragem

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DESCRIÇÃO
A análise estatística no controle de qualidade é onde os métodos estatísticos são usados para medir, monitorar e manter a qualidade geral dos
produtos.
PROPÓSITO
Compreender a aplicação de técnicas estatísticas e análise de dados relacionados ao controle da qualidade de processos, apresentando sua aplicação
prática na determinação de planos de amostragens.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o estudo, tenha em mãos uma calculadora que preferencialmente execute cálculo de exponenciais.
Como apoio para a solução de problemas que serão apresentados, se possível, acesse um computador com aplicativo Microsoft Excel ® ou Apache
OpenOffice.
Para acompanhamento dos exemplos citados durante o tema, é de essencial importância que você tenha em mãos as tabelas de Fatores de linha
central e Fatores para limites de controle, e também a tabela de níveis gerais de inspeção e níveis especiais de inspeção.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Identificar a aplicação do gráfico EWMA
MÓDULO 2
Reconhecer os tipos de amostras
javascript:void(0);
javascript:void(0);
MÓDULO 3
Reconhecer em planos de amostragem o nível de qualidade aceitável
BEM-VINDO AOS ESTUDOS DO CONTROLE ESTATÍSTICO DA
QUALIDADE
MÓDULO 1
 Identificar a aplicação do gráfico EWMA
INTRODUÇÃO
O gráfico de controle EWMA (Exponentially Weighted Moving Chart – Gráfico Móvel Exponencialmente Ponderado), como todos os gráficos de
controle, é um método para observar a variação do processo ao longo do tempo.
O objetivo de usar um gráfico de controle EWMA é detectar rapidamente pequenas mudanças na média do processo. Normalmente, essa “média do
processo” é o valor desejado, ou seja, a meta. O gráfico de controle EWMA pode ser usado com amostras individuais ou subgrupos.
Enquanto muitos gráficos de controle variável são dois gráficos – por exemplo, gráfico de controle individual
X̄R
– o gráfico de controle EWMA é na verdade um único gráfico. Para cada amostra sucessiva, um valor de EWMA é calculado.
Esse cálculo envolve a ponderação dos dados anteriores. Portanto, os dados anteriores influenciam o valor do EWMA.
 ATENÇÃO
Os valores de EWMA são então plotados em um gráfico e os limites de controle, calculados e adicionados ao gráfico.
Portanto, nessa etapa, o gráfico está pronto para ser interpretado, pois é o aspecto mais importante dos gráficos de controle.
Começaremos comparando o gráfico de controle EWMA com o gráfico de controle individual e, a seguir, mostraremos como os cálculos são feitos.
IMPORTÂNCIA DA APLICAÇÃO DO GRÁFICO EWMA
Vamos admitir que estejamos monitorando um fluxo de um processo para determinada característica do produto X. É importante que mantenhamos
essa característica do produto em um valor médio de 30.
Amostra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
X 32,0 27,0 33,0 29,3 30,1 27,0 31,0 30,1 31,2 30,5 29,6 28,1 29,9 31,3
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Coletamos uma amostra por hora. Os dados das últimas 20 horas são apresentados na tabela acima. Vamos usar esses dados para construir os
gráficos de controle
X̄
e o da amplitude móvel para os dados acima.
Agora é hora de interpretar os gráficos.
Imagem: Mauro Rezende Filho
 O gráfico
X̄
mostra que nosso processo está sob controle estatístico. Não há pontos além dos limites de controle e nenhum padrão não aleatório.
A média é 30,6. Isso é perto o suficiente de 30? Boa pergunta. Talvez sim. Talvez não. O limite de controle superior é 36,4 e o limite de controle inferior
é 24,8.
No sentido clássico, enquanto o processo permanecer inalterado, este é o intervalo em que ele deve operar: de 24,8 a 36,4, com uma média de longo
prazo de 30,6. Algumas pessoas mudariam a “média” do gráfico
X̄
para 30, pois é aqui que você está tentando controlar o processo. Isso não é recomendado porque os testes fora de controle realmente não se aplicam
a uma média configurada artificialmente.
Observe agora que no gráfico R há uma sequência de 12 pontos em uma linha abaixo da faixa média. O valor de sigma (o desvio-padrão) pode ser
estimado a partir da faixa média da amplitude móvel. O valor estimado de sigma é o valor médio da amplitude (2,19) dividido por 1,128. Para esse
exemplo, o valor estimado de sigma é 1,95. Isso será usado posteriormente no cálculo dos limites de controle EWMA.
Imagem: Mauro Rezende Filho
Agora, vamos dar uma olhada na aparência do gráfico de controle EWMA nessa situação. Para cada resultado de amostra, um valor de EWMA é
calculado. Abordaremos esses cálculos a seguir.
 ATENÇÃO
Lembre-se de que o EWMA é influenciado por dados anteriores. Como será mostrado a seguir, dá menos peso aos pontos de dados mais antigos.
O valor de EWMA é então plotado junto aos limites de controle. A figura a seguir é o gráfico de controle EWMA com base nos dados da tabela.
Imagem: Mauro Rezende Filho
Observe que, com o gráfico de controle EWMA, a linha central é o valor-alvo. Você pode também usar a média, mas, se o objetivo é manter o processo
no alvo, a linha central deve ser o valor-alvo.
Os limites de controle no EWMA começam curvos e, em seguida, nivelam-se. Vamos explorar isso mais adiante. Observe que esses limites de controle
são mais rígidos do que os do gráfico de controle individual.
 SAIBA MAIS
O único teste fora de controle que se aplica ao gráfico de controle EWMA é um ponto além dos limites de controle.
Na figura, você pode ver que há um ponto além da LSC, o ponto 19. Esse é um sinal de que o processo saiu do valor-alvo. A razão para essa mudança
deve ser investigada e corrigida. No mínimo, o processo deve ser ajustado para trazê-lo de volta ao objetivo.
Portanto, o gráfico de controle EWMA produziu um sinal de que o gráfico
X̄
errou. Mas apenas olhar para o gráfico EWMA nos fez perder o sinal no gráfico da amplitude móvel, o longo prazo abaixo da média. Portanto, é
provavelmente vantajoso olhar para o gráfico da amplitude ao fazer um gráfico de controle EWMA.
Agora, vamos dar uma olhada em como a estatística EWMA é calculada e como influenciar a sensibilidade do gráfico de controle EWMA para detectar
mudanças no processo.
CALCULANDO O EWMA
Para calcular o EWMA, você deve decidir sobre um fator de ponderação,
λ
. Isso define quanto peso é dado aos pontos de dados anteriores. É comum usar 0,2. Esse foi o valor de
λ
usado no gráfico. O valor de EWMA para a amostra i é definido como o seguinte:
EWMAI = ZI = ΛXI + (1 − Λ)ZI− 1
Em que:
zi = i
com EWMA;
Xi = i
é o resultado da amostra;
λ = o
é o fator de ponderação
(0 < λ ≤ 1)
;
zi− 1 = (i − 1)
EWMA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Uma vez que os cálculos usam
i − 1
, você tem que descobrir como lidar com a primeira amostra quando
i = 1
. Afinal, não há amostra 0. Você lida com isso definindo
zi− 1
para a amostra 1, para a média de todos os dados ou para o alvo.
A média de todos os dados é 30,6, mas usaremos o valor alvo de 30. Portanto:
Z0 = 30
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O primeiro resultado da amostra é 32. O valor de z para a amostra 1 é:
Z1 = ΛX1 + (1 − Λ) Z0 = 0, 2 × 32 + (1 − 0, 2) × 30 = 30, 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O segundo resultado da amostra é 27. O valor de z para a amostra 2 é:
Z2 = ΛX2 + (1 − Λ) Z1 = 0, 2 × 27 + (1 − 0, 2) × 30, 4 = 29, 72
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A tabela a seguir apresenta o resultado desses cálculos.
Amostra X z
1 32,0 30,400
2 27,0 29,720
3 33,0 30,376
4 29,3 30,161
5 30,1 30,149
6 27,0 29,519
7 31,0 29,815
8 30,1 29,872
9 31,2 30,138
10 30,5 30,210
11 29,6 30,088
12 28,1 29,690
13 29,9 29,732
14 31,3 30,046
15 30,1 30,057
16 31,2 30,285
17 32,6 30,748
18 33,3 31,259
19 34,8 31,967
20 29,9 31,554
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Os valores de z são plotados no gráfico de controle EWMA. A linha central nográfico é a meta (que estamos usando) ou a média do processo. Tudo o
que resta é calcular os limites de controle.
CALCULANDO OS LIMITES DE CONTROLE PARA A TABELA DE
CONTROLE EWMA
Os limites de controle dependem do número de amostras. O LSC e LIC para a i-ésima amostra são dados por:
LSCI = Μ0 + 3Σ
Λ
2 − Λ 1 − (1 − Λ)2I
LICI = Μ0 − 3Σ
Λ
2 − Λ 1 − (1 − Λ)2I
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
μ0
é o alvo e
s
é o desvio-padrão estimado do gráfico de amplitude móvel.
 ATENÇÃO
Observe que existe o valor de “2i” sob a raiz quadrada. É por isso que os limites de controle são variáveis e parecem curvar-se primeiro e depois se
nivelar.
Os limites de controle para a primeira amostra são dados por:
LSC1 = 30 + 3 × 1, 95
0, 2
2 − 0, 2 1 − (1 − 0, 2)2X1 = 30, 387
LIC1 = 30 + 3 × 1, 95
0, 2
2 − 0, 2 1 − (1 − 0, 2)2X1 = 29, 613
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
√ [ ]
√ [ ]
√ [ ]
√ [ ]
Amostra X z Alvo LSC LIC
1 32,0 30,400 30,00 30,387 29,613
2 27,0 29,720 30,00 30,542 29,458
3 33,0 30,376 30,00 30,657 39,343
4 29,3 30,161 30,00 30,752 29,248
5 30,1 30,149 30,00 30,832 29,168
6 27,0 29,519 30,00 30,903 29,097
7 31,0 29,815 30,00 30,966 29,034
8 30,1 29,872 30,00 31,023 28,977
9 31,2 30,138 30,00 31,074 28,926
10 30,5 30,210 30,00 31,122 28,878
11 29,6 30,088 30,00 31,166 28,834
12 28,1 29,690 30,00 31,206 28,794
13 29,9 29,732 30,00 31,244 28,756
14 31,3 30,046 30,00 31,279 28,721
15 30,1 30,057 30,00 31,312 28,688
16 31,2 30,285 30,00 31,343 28,657
17 32,6 30,748 30,00 31,371 28,629
18 33,3 31,259 30,00 31,399 28,601
19 34,8 31,967 30,00 31,424 28,576
20 29,9 31,554 30,00 31,449 28,551
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
VALORES DE LAMBDA
O exemplo acima usou um fator de ponderação, “
λ
”, igual a 0,2. Nas equações de limite de controle também usamos 3 como o multiplicador para sigma, ou seja, usamos ± 3 limites sigma.
 DICA
Você pode variar os valores de “
λ
” e o multiplicador de sigma para alterar a sensibilidade do gráfico. Os valores de 0,2 e 0,3 fornecem sensibilidade muito boa na maioria dos casos,
captando desvios de 1 sigma com cerca de dez amostras.
ANÁLISE DE CAPACIDADE (CAPABILIDADE)
A análise de capacidade é usada para avaliar se um sistema é estatisticamente capaz de atender a um conjunto de especificações e/ou requisitos. É
necessário um conjunto de dados, normalmente gerado por um gráfico de controle. Entretanto, os dados podem ser coletados especificamente para
esse propósito.
Especificações ou requisitos são os valores numéricos dentro dos quais se espera que o sistema opere, ou seja, os valores mínimo e máximo
aceitáveis. Ocasionalmente, há apenas um limite, máximo ou mínimo.
 SAIBA MAIS
Clientes, engenheiros ou gerentes geralmente definem especificações: requisitos numéricos, objetivos, objetivos ou padrões. É importante lembrar que
as especificações não são iguais aos limites de controle, que vêm de gráficos de controle e são baseados nos dados. As especificações são os
requisitos numéricos do sistema.
Todos os métodos de análise de capacidade requerem que os dados sejam estatisticamente estáveis, sem a presença de causas especiais de
variação. Para avaliar se os dados são estatisticamente estáveis, um gráfico de controle deve ser preenchido. Se houver causas especiais, os dados
do sistema serão alterados.
A análise de capacidade, quando executada, mostrará aproximadamente o que aconteceu no passado, mas não pode ser usada para prever a
capacidade no futuro. Fornecerá apenas um instantâneo do processo, na melhor das hipóteses.
Se, no entanto, um sistema é estável, a análise de capacidade mostra não apenas a capacidade do sistema no passado, mas também, se o sistema
permanecer estável, prevê o desempenho futuro do sistema.
A análise de capacidade é resumida em índices. Eles podem ser monitorados e relatados ao longo do tempo para mostrar como um processo está
sofrendo alterações. Os principais índices usados são Cp e Cpk. O Cpk é o que melhor indicador de que o processo está dentro das especificações ou
requisitos. Se o Cpk for menor que 1, o sistema está produzindo dados fora das especificações ou requisitos.
Dados discretos podem ser defeitos – por exemplo, arranhões e número de erros em uma única unidade de material ou dados. A capacidade desses
dados pode ser calculada a partir de distribuições binomiais ou de Poisson, usando pacotes de software.
Os dados também podem ser convertidos em forma contínua e, em seguida, o método normal de capacidade do processo pode ser usado. Veja por
exemplo os gráficos abaixo:
Imagem: Mauro Rezende Filho
Podemos ver que quando têm uma distribuição mais ampla, os dados do processo refletem a baixa capacidade, enquanto uma distribuição de variação
mais estreita mostra uma boa capacidade.
Por estar abaixo dos limites da especificação, há mais área para cometer os erros, ao passo que, na figura de capacidade fraca, podemos ver a
variação do processo excedendo os limites da especificação.
Além disso, na figura, podemos diferenciar entre VOC (Voz do Cliente) e VOP (Voz do processo) . VOC (LSE – LIE) é fornecido pelo cliente,
enquanto VOP (LSC – LIC) vem dos dados e cria o Limite de controle superior e o limite de controle inferior.
 ATENÇÃO
Embora VOC forneça limite de especificação superior e limite de especificação inferior, ele só pode ser unilateral. Contudo, os limites de controle
devem ter ambos os lados.
MEDIDAS DE CAPACIDADE DO PROCESSO (ÍNDICES)
Fórmulas de capacidade do processo (Cp e Cpk) são usadas para o processo de curto prazo, ou dentro de 6
σ
.
CP =
LSE − LIE
6Σ CPU =
LSE − MÉDIA
3Σ
CPL =
MÉDIA − LIE
3Σ CPK = MIN(CPU, CPL)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No Cpk, k significa variação fora do alvo.
A análise de capacidade é uma ferramenta excelente para demonstrar a extensão de uma melhoria feita em um processo. Pode resumir uma grande
quantidade de informações de maneira simples, mostrando a capacidade de um processo, a extensão da melhoria necessária e, posteriormente, a
extensão da melhoria alcançada.
Tanto o Cp quanto o Cpk fornecem a capacidade do processo. Enquanto o Cp fala sobre a propagação dos dados e a largura do intervalo de
dados, o Cpk fala sobre os pontos de dados próximos à média.
Embora ambos forneçam capacidade de processo, o Cpk oferece uma capacidade de processo mais precisa, uma vez que vê o ponto de dados com
média, diferentemente de Cp, que fornece os pontos de dados entre LSE e LIE.
Há chances de que os pontos de dados fiquem entre os limites da especificação, mas longe do destino. Portanto, o processo será mais eficiente se a
distância entre os pontos e o alvo for menor, que podemos ver pelo valor Cpk.
EXEMPLO 1
Um engenheiro está analisando para saber a sua capabilidade. A especificação do item é 30,0 ± 4,0. Das amostras tiradas para a análise, foram
obtidas as seguintes informações: desvio-padrão
(σ) = 1
,
LSC = 34
e
LIC = 26
. Calculando, temos:
CP =
LSE − LIE
6 Σ =
34 − 26
6 × 1 = 1, 33
CPU =
LSE − MÉDIA
3 Σ =
34 − 30
3 × 1 = 1, 33
CPL =
MÉDIA − LIE
3 Σ =
30 − 26
3 × 1 = 1, 33
CPK = MIN(CPU, CPL) = MIN(1, 33, 1, 33) = 1, 33
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
INTERPRETAÇÕES DE CP
Quando o valor Cp > 1: a propagação do processo é menor, e todos os pordutos estão dentro do limite de especificação. Aqui, o processo é
considerado perfeitamente capaz de atender ao limite da especificação
INTERPRETAÇÕES DE CP
Quando o valor Cp = 1: a propagação do processo é um pouco ampla, mas está funcionando dentro do limite de especificação projetado. Aqui o
processo é considerado apenas capaz de atender ao limite da especificação.
Quando o valor Cp < 1: a propagação do processo é grande e a maioria dos produtos fica fora do limite de especificação. Aqui o processo éconsiderado incapaz.
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
INTERPRETAÇÕES DE CPK
Quando o valor Cp = Cpk: Diz-se que a média do processo está no centro.
Quando o valor Cpk < 1: indica que a média do processo é desviada do alvo e itens com defeitos serão produzidos.
Quando o valor Cpk > 1: o centro ou a média do processo pode ser desviado do alvo, mas ainda assim o processo é capaz de atender às
especificações do projeto.
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
Para atingir a qualidade Seis Sigma na organização, devemos reduzir a variação no processo de forma a atingir o valor desejado de Cp.
TEORIA NA PRÁTICA
UMA EMPRESA PRODUZ EIXOS TRASEIROS PARA UM VEÍCULO. A TABELA A SEGUIR
APRESENTA UMA MEDIÇÃO (DADOS EM MM) DE 20 AMOSTRAS, ONDE SÃO
APRESENTADAS AS MÉDIAS E AMPLITUDES DESSAS MEDIÇÕES, FEITAS EM UM
PRIMEIRO MOMENTO PARA A VERIFICAÇÃO DA ESTABILIDADE DO PROCESSO.
Imagem: Mauro Rezende Filho
O LIMITE DE ESPECIFICAÇÃO DETERMINADOS PELO CLIENTE É 1.000 ± 5 MM. O
ENGENHEIRO DE PROCESSOS RESOLVEU ADOTAR A CARTA EWMA PARA AVALIAR A
ESTABILIDADE OU NÃO DO PROCESSO.
VOCÊ, COMO ESTAGIÁRIO DO DEPARTAMENTO, FOI INCUMBIDO DA ANÁLISE, E O
ENGENHEIRO AGUARDA A SUA RESPOSTA.
SOLUÇÃO
GRÁFICO DE ANÁLISE DE PROCESSO EWMA
MÃO NA MASSA
A EMPRESA YDUQS CONTROLE TOTAL ESTÁ PREOCUPADA COM AS RECLAMAÇÕES QUE RECEBE DE SEUS
CLIENTES SOBRE DIFICULDADES NO ENVASE DO SEU PRODUTO XYZ. HÁ A SUSPEITA DE QUE O PROCESSO
PRODUTIVO POSSA NÃO ESTAR GARANTINDO QUE A VISCOSIDADE DO XYZ SE MANTENHA DENTRO DAS
ESPECIFICAÇÕES. FORAM COLETADAS AMOSTRAS DIÁRIAS DE VISCOSIDADE DE BATELADAS QUÍMICAS
DURANTE 30 DIAS E NENHUMA DELAS APRESENTOU VALORES DE VISCOSIDADE INFERIOR A 4,0 PA.S OU
SUPERIOR A 8,0 PA.S, QUE SÃO AS ESPECIFICAÇÕES DO PRODUTO, TENDO COMO ALVO 6,0 PA.S, COMO
MOSTRADO A SEGUIR:
IMAGEM: MAURO REZENDE FILHO
CONCLUIU-SE, ASSIM, QUE O PROCESSO ESTAVA SOB CONTROLE E QUE DEVE HAVER ALGUMA OUTRA RAZÃO
PARA AS RECLAMAÇÕES. COM BASE NAS INFORMAÇÕES, PERGUNTA-SE, O LIMITE DE CONTROLE É IGUAL A:
A) LSC = 6,8
B) LSC = 5,8
C) LSC = 8,4
D) LSC = 7,4
E) LSC = 7,6
A TABELA A SEGUIR APRESENTA A ESPESSURA DA CAMADA DE CROMO DE UM PROCESSO DE “CROMO DURO”
EM UMA FERRAMENTA DE CORTE (CORTADOR DA CORRENTE DA SERRA DE FITA). ANALISE O PROCESSO TENDO
EM CONTA QUE O ALVO É DE 28 MICROS. FORAM COLETADAS 25 AMOSTRAS DE 5 ELEMENTOS.
IMAGEM: MAURO REZENDE FILHO
COM BASE NESSAS INFORMAÇÕES E SOB O OLHAR DO EWMA COM
Λ = 0, 2
, MARQUE A ALTERNATIVA CORRETA:
A) O processo está sob controle pois na carta EWMA todos os valores estão dentro da faixa de controle
B) O processo não está sob controle pois na EWMA alguns valores estão fora da faixa de controle
C) O processo não está sob controle pois na carta X-barra e das amplitudes existem valores fora da faixa de controle
D) O processo não está sob controle pois na carta X-barra existem valores fora da faixa de controle apesar de a carta amplitudes apresentar todos os
valores dentro da faixa de controle
E) O processo está sob controle pois na carta das amplitudes todos os valores estão na faixa de controle
UMA EMPRESA ESTÁ ANALISANDO SEU PROCESSO PARA SABER A SUA CAPABILIDADE. A ESPECIFICAÇÃO DO
ITEM É 20 ± 4,0. DAS AMOSTRAS TIRADAS PARA A ANÁLISE, FORAM OBTIDAS AS SEGUINTES INFORMAÇÕES:
DESVIO-PADRÃO
(Σ) = 1, 5
,
LSC = 22
E
LIC = 18
. SOBRE ESSE PROCESSO, PODEMOS AFIRMAR QUE APRESENTA UMA CAPABILIDADE:
A) Forte
B) Fraca
C) Forte, porque os limites de controle são superiores aos limites de especificação
D) Fraca, porque os limites de controle são superiores aos limites de especificação
E) Fraca, porque os limites de controle não são superiores aos limites de especificação
UM PROCESSO ESTÁ CARACTERIZADO POR UMA DISTRIBUIÇÃO NORMAL COM MÉDIA DE 52G E UM DESVIO-
PADRÃO DE 1,5G. SABENDO QUE AS ESPECIFICAÇÕES DE NOSSO CLIENTE SÃO DE 50 ± 4G, PODEMOS AFIRMAR
QUE OS CP E CPK SÃO RESPECTIVAMENTE:
A) 0,888 e 0,888
B) 0,888 e 0,44
C) 1,33 e 0,44
D) 0,44 e 0,44
E) 1,568 e 0,954
CONSIDERE A MÉDIA E AMPLITUDE DE 20 AMOSTRAS DE TAMANHO N = 4 REPRESENTADAS NA TABELA A
SEGUIR:
IMAGEM: MAURO REZENDE FILHO
SOB O FOCO DA CARTA DE CONTROLE EWMA, E CONSIDERANDO
Λ = 0, 3
E O ALVO = 1.000, PODEMOS AFIRMAR QUE QUANTOS PONTOS ESTÃO FORA DE CONTROLE?
A) Nenhum ponto
B) Dois pontos
C) Cinco pontos
D) Nove pontos
E) Dez pontos
CONSIDERE A MÉDIA E AMPLITUDE DE 20 AMOSTRAS DE TAMANHO N = 4 REPRESENTADAS NA TABELA A
SEGUIR:
IMAGEM: MAURO REZENDE FILHO
CONSIDERANDO AS ESPECIFICAÇÕES (994,0 – 1006,0), O CP E O CPK, PARA AS SEGUINTES A MÉDIA X = 1.000 E O
DESVIO-PADRÃO = 2,0, SERÃO RESPECTIVAMENTE IGUAIS A:
A) 1,02 e 1,0
B) 1,0 e 1,02
C) 1,0 e 1,0
D) 1,02 e 1,02
E) 0,994 e 1,006
GABARITO
A empresa YDUQS Controle Total está preocupada com as reclamações que recebe de seus clientes sobre dificuldades no envase do seu
produto XYZ. Há a suspeita de que o processo produtivo possa não estar garantindo que a viscosidade do XYZ se mantenha dentro das
especificações. Foram coletadas amostras diárias de viscosidade de bateladas químicas durante 30 dias e nenhuma delas apresentou
valores de viscosidade inferior a 4,0 Pa.s ou superior a 8,0 Pa.s, que são as especificações do produto, tendo como alvo 6,0 Pa.s, como
mostrado a seguir:
Imagem: Mauro Rezende Filho
Concluiu-se, assim, que o processo estava sob controle e que deve haver alguma outra razão para as reclamações. Com base nas
informações, pergunta-se, o limite de controle é igual a:
A alternativa "C " está correta.
MÃO NA MASSA 1
A tabela a seguir apresenta a espessura da camada de cromo de um processo de “cromo duro” em uma ferramenta de corte (cortador da
corrente da serra de fita). Analise o processo tendo em conta que o alvo é de 28 micros. Foram coletadas 25 amostras de 5 elementos.
Imagem: Mauro Rezende Filho
Com base nessas informações e sob o olhar do EWMA com
λ = 0, 2
, marque a alternativa correta:
A alternativa "A " está correta.
Vamos primeiro elaborar as cartas de controle. Para tanto, vamos inicialmente determinar os limites para as cartas X-barra e das amplitudes.
Calculemos então a média e a amplitude:
Imagem: Mauro Rezende Filho
Imagem: Mauro Rezende Filho
Calculando os demais indicadores necessários, temos:
¯
¯
X =
¯
X1 +
¯
X2 + . . . +
¯
Xn
n
=
27, 39 + 29, 30 + . . . + 28, 97
25
= 28, 49
¯
R =
R1 + R2 + . . . + Rn
n
=
27, 39 + 29, 30 + . . . + 28, 97
25
= 4, 37
LCSx − barra =
¯
¯
 X + A2
¯
R = 28, 49 + 0, 577x4, 37 = 31, 01
LCIx − barra =
¯
¯
 X − A2
¯
R = 28, 49 + 0, 577x4, 37 = 25, 97
LCSamp = D4
¯
R = 2, 114x4, 37 = 9, 23
LCIamp = D3
¯
R = 2, 114x0 = 0
Os gráficos serão:
Imagem: Mauro Rezende Filho
Na carta x-barra, observam-se três pontos fora das especificações. Essas causas especiais deverão ser analisadas e, após a sua eliminação, procede-
se novamente a determinação dos limites de controle.
Imagem: Mauro Rezende Filho
Na carta das amplitudes observa-se apenas um ponto fora das especificações, mas esse não é o nosso foco. Vamos verificar sob o olhar do EWMA.
Z1 = ΛX1 + (1 − Λ)Z0 = 0, 2 × (27, 4 + (1 − 0, 2) × 28 = 27, 879
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O segundo resultado da amostra é 29,3. O valor de z para a amostra 2 é:
Z2 = ΛX2 + (1 − Λ)Z1 = 0, 2 × 29, 3 + (1 − 0, 2) × 27, 879 = 28, 163
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A tabela a seguir apresenta o resultado desses cálculos:
Imagem: Mauro Rezende Filho
Os valores de z são plotados no gráfico de controle EWMA. A linha central no gráfico é a meta (que estamos usando) ou a média do processo. Tudo o
que resta é calcular os limites de controle para a primeira amostra.
LSC1 = 28 + 3 × 3, 87
0, 2
2 − 0, 2 1 − (1 − 0, 2)2 × 1 = 28, 770
LIC1 = 28 − 3 × 3, 87
0, 2
2 − 0, 2 1 − (1 − 0, 2)2 × 1 = 27, 230
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Imagem: Mauro Rezende Filho
√[ ]
√ [ ]
Imagem: Mauro Rezende Filho
Observa-se o processo absolutamente sob controle.
Uma empresa está analisando seu processo para saber a sua capabilidade. A especificação do item é 20 ± 4,0. Das amostras tiradas para a
análise, foram obtidas as seguintes informações: desvio-padrão
(σ) = 1, 5
,
LSC = 22
e
LIC = 18
. Sobre esse processo, podemos afirmar que apresenta uma capabilidade:
A alternativa "B " está correta.
Vamos ao cálculo da capabilidade do processo:
CP =
LSE − LIE
6 Σ =
24 − 16
6 × 1, 5 = 0, 89
CPU =
LSE − MÉDIA
3 Σ =
24 − 20
3 × 1, 5 = 0, 89
CPL =
MÉDIA − LIE
3 Σ =
20 − 16
3 × 1, 5 = 0, 89
CPK = MIN(CPU, CPL) = MIN(0, 89, 0, 89) = 0, 89
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como Cpk é menor que 1, indica que a capabilidade do processo é fraca.
Um processo está caracterizado por uma distribuição normal com média de 52g e um desvio-padrão de 1,5g. Sabendo que as especificações
de nosso cliente são de 50 ± 4g, podemos afirmar que os Cp e Cpk são respectivamente:
A alternativa "B " está correta.
Veja os cálculos:
CP =
LSE − LIE
6 Σ =
54 − 46
6 × 1, 5 = 0, 888
CPKSUP =
LSE − Μ
3 Σ =
54 − 52
3 × 1, 5 = 0, 44
CPKINF =
Μ − LIE
3 Σ =
52 − 46
3 × 1, 5 = 1, 33
CPK = MIN CPKSUP, CPKINF = 0, 44
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considere a média e amplitude de 20 amostras de tamanho n = 4 representadas na tabela a seguir:
Imagem: Mauro Rezende Filho
Sob o foco da carta de controle EWMA, e considerando
λ = 0, 3
e o alvo = 1.000, podemos afirmar que quantos pontos estão fora de controle?
A alternativa "A " está correta.
( )
Vamos inicialmente calcular os limites de controle EWMA:
Z1 = ΛX1 + (1 − Λ) Z0 = 0, 3 × 1000, 7 + (1 − 0, 2) × 1.000 = 1.000, 21
Z2 = ΛX2 + (1 − Λ) Z1 = 0, 3 × 998, 2 + (1 − 0, 2) × 1.000, 21 = 999, 61
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A tabela a seguir apresenta o resultado desses cálculos:
Imagem: Mauro Rezende Filho
Os valores de z são plotados no gráfico de controle EWMA. A linha central no gráfico é a meta (que estamos usando) ou a média do processo.
Tudo o que resta é calcular os limites de controle, que dependem do número de amostras.
Os limites de controle para a primeira amostra são dados por:
LSC1 = 1.000 + 3 × 3, 923
0, 3
2 − 0, 3 1 − (1 − 0, 3)2 × 1 = 1.003, 53
LIC1 = 1.000 − 3 × 3, 923
0, 3
2 − 0, 3 1 − (1 − 0, 3)2 × 1 = 996, 47
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Imagem: Mauro Rezende Filho
√ [ ]
√ [ ]
Imagem: Mauro Rezende Filho
Observa-se o processo absolutamente sob controle.
Considere a média e amplitude de 20 amostras de tamanho n = 4 representadas na tabela a seguir:
Imagem: Mauro Rezende Filho
Considerando as especificações (994,0 – 1006,0), o Cp e o Cpk, para as seguintes a média X = 1.000 e o desvio-padrão = 2,0, serão
respectivamente iguais a:
A alternativa "C " está correta.
Veja os cálculos:
CP =
LSE − LIE
6 Σ =
1.006 − 994
6 × 2 = 1, 0
CPKSUP =
LSE − Μ
3 Σ =
1.006 − 1.000
3 × 2 = 1, 0
CPKINF =
Μ − LIE
3 Σ =
1.000 − 994
3 × 2 = 1, 0
CPK = MIN CPKSUP, CPKINF = 1, 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
UMA FÁBRICA POSSUI UMA MÁQUINA EXTRUSORA PARA FABRICAR POTES PARA MAIONESE. O CLIENTE ACEITA
VARIAÇÕES ENTRE 0,16MM E 0,24MM. SENDO ASSIM, POTES PRODUZIDOS COM ESPESSURA FORA DESSE
INTERVALO SÃO REPROVADOS. A MÁQUINA EXTRUSORA FABRICA POTES COM ESPESSURA MÉDIA DE 0,18MM,
COM DESVIO-PADRÃO DE 0,02 MM. QUAL É A CAPABILIDADE DESSA MÁQUINA EXTRUSORA?
A) 1,33
B) 1,00
C) 0,67
D) 0,33
E) - 0,33
(CESGRANRIO 2011). A CP, CAPACIDADE OU CAPABILIDADE, É UM DOS INDICADORES MAIS UTILIZADOS PARA
MEDIR A VARIABILIDADE DE UM PROCESSO. CONSIDERANDO-SE UM PROCESSO NORMALMENTE DISTRIBUÍDO,
AO AFIRMAR-SE QUE UM PROCESSO ESTÁ CENTRALIZADO E POSSUI
CP = 2
, ESSE PROCESSO APRESENTA:
A) 2 desvios-padrão entre a média e cada limite de especificação
B) 3 desvios-padrão entre a mediana e cada limite de especificação
C) 3 desvios-padrão entre a média e cada limite de especificação
D) 6 desvios-padrão entre a média e cada limite de especificação
E) 12 desvios-padrão entre a média e cada limite de especificação
GABARITO
Uma fábrica possui uma máquina extrusora para fabricar potes para maionese. O cliente aceita variações entre 0,16mm e 0,24mm. Sendo
assim, potes produzidos com espessura fora desse intervalo são reprovados. A máquina extrusora fabrica potes com espessura média de
0,18mm, com desvio-padrão de 0,02 mm. Qual é a capabilidade dessa máquina extrusora?
A alternativa "D " está correta.
Veja os cálculos:
( )
CP =
LSE − LIE
6 Σ =
0, 24 − 0, 16
6 × 0, 02 = 0, 667
CPKSUP =
LSE − Μ
3 Σ =
0, 24 − 0, 18
3 × 0, 2 = 1, 0
CPKINF =
Μ − LIE
3 Σ =
0, 18 − 0, 16
3 × 0, 02 = 0, 33
CPK = MIN CPKSUP, CPKINF = 0, 33
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(CESGRANRIO 2011). A Cp, capacidade ou capabilidade, é um dos indicadores mais utilizados para medir a variabilidade de um processo.
Considerando-se um processo normalmente distribuído, ao afirmar-se que um processo está centralizado e possui
Cp = 2
, esse processo apresenta:
A alternativa "D " está correta.
Veja que a fórmula de cálculo do Cp considera 6
σ
:
CP =
LSE − LIE
6 Σ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 2
 Reconhecer os tipos de amostras
( )
OS TIPOS DE AMOSTRAS
INTRODUÇÃO
A amostragem por aceitação pode ser aplicada onde grandes quantidades de itens semelhantes ou grandes lotes de material estão sendo comprados
ou transferidos de uma parte de uma organização para outra.
Diferentemente do controle de processo estatístico, em que o propósito é verificar a produção à medida que avança, a amostragem de aceitação é
aplicada a grandes lotes de mercadorias que já foram produzidos.
Um grande supermercado vende laranjas. As laranjas são compradas em grandes lotes de um hortifrúti. O gerente do supermercado deseja testar as
laranjas para se certificar de que são frescas e de boa qualidade. Ele pode testá-las apenas cortando-as e provando.
Imagem: Shutterstock.com
Após o teste, não será mais possível vendê-las. Ele deve, portanto, tomar uma decisão sobre se o lote é ou não aceitável com base no teste de uma
amostra relativamente pequena de laranjas. Isso é conhecido como amostragem por aceitação.
O teste nas laranjas é chamado de teste destrutivo porque após o teste ter sido realizado a laranja não é mais vendável.
 SAIBA MAIS
Outras razões para aplicar a amostragem por aceitação são que comprar grandes lotes de componentes pode ser muito caro ou demorar muito para
testá-los. Em outros casos, ao lidar com um fornecedor bem-conceituado, o cliente pode estar bastante confiante de que o lote será satisfatório, mas
será ainda necessário testar uma pequena amostra para ter certeza.
DEMONSTRAÇÃO
AMOSTRAGEM DE ACEITAÇÃO POR ATRIBUTOS
Cada item testado é classificado como conforme ou não conforme. Muitos anos atrás, itens costumavam ser classificados como defeituoso ou não
defeituoso, mas atualmente não se respeita empresa de manufatura que admite fabricar itens defeituosos.
Uma amostra é retirada e, se contiver muitos itens não conformes, o lote é rejeitado; caso contrário, aceito. Para que esse método seja eficaz, os lotes
contendo alguns itens não conformes devem ser aceitáveis.
Se somente for aceitável que a porcentagem de itens não conformes é zero, isso só pode ser alcançado examinando cada item e removendo qualquer
um que não esteja em conformidade. Isso é conhecido como inspeção 100% e não é amostragem de aceitação. No entanto, a definição de não
conforme pode ser escolhida conforme a necessidade.
 SAIBA MAIS
Se o conteúdo de potes de geleia deve ter entre 453g e 461g, seria possível definir um frasco com conteúdo fora da faixa de 455g e 459g como nãoconforme?
Lotes contendo até, digamos, 5% de itens não conformidade, poderiam então ser aceitos com o conhecimento de que, a menos que haja algo muito
incomum sobre a distribuição, isso garantiria que praticamente todos os frascos no lote contivessem entre 453g e 461g.
Para qualquer estratégia de análise, a característica operacional é um gráfico da probabilidade de aceitar um lote em relação à proporção não
conforme no lote. Desde que a amostra seja pequena comparada ao tamanho do lote e a amostragem aleatória, a probabilidade de cada membro da
amostra ser não conforme pode ser considerada constante. Nesse caso, o número de itens não conformes em um lote seguirá uma distribuição
binomial.
Vamos admitir que de um plano de amostragem de aceitação é possível tirar uma amostra de tamanho cinquenta e rejeitar o lote se três ou mais itens
não conformes forem encontrados. Se dois ou menos itens não conformes forem encontrados, o lote será aceito. Esse plano é frequentemente
denotado por
n = 50
,
r = 3
.
Para um lote contendo determinada proporção de itens não conformes, a probabilidade de a amostra conter dois ou menos itens não conformes pode
ser lida diretamente das tabelas da distribuição binomial (ou pode ser calculada).
 SAIBA MAIS
Se o lote continha 4% de itens não conformes, a probabilidade de qualquer item específico na amostra que estará sendo classificada como não
conforme é 0,04 e a probabilidade de o lote conter dois ou menos itens não conformes e, portanto, sendo aceito 0,6767.
Relembrando estatística, uma distribuição binomial pode ser considerada simplesmente a probabilidade de um resultado de sucesso ou falha em um
experimento ou pesquisa repetido várias vezes. A binomial é um tipo de distribuição que tem dois resultados possíveis (o prefixo “bi” significa dois, ou
duas vezes).
EXEMPLO 2
O lançamento de uma moeda tem apenas dois resultados possíveis: cara ou coroa e fazer um teste pode ter dois resultados possíveis: passar ou
falhar. Sua fórmula é a seguinte:
P(X) =
N !
(N − X) !X !P
XQN−X
Em que:
X =
número total de “sucessos” (aprovação ou reprovação, cara ou coroa etc.);
p =
probabilidade de sucesso em uma tentativa individual;
q = 1– p
, probabilidade de fracasso;
n =
número de tentativas.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 3
Oitenta por cento das peças produzidas por uma máquina são conformes. Se selecionarmos aleatoriamente nove peças, qual a probabilidade de as
seis serem conformes?
X = 6
n = 9
p = 0, 8
q = (1– 0, 8) = 0, 2
P(X) =
9!
(9 − 6)!6!0, 860, 29 − 6 = 0, 176 = 17, 6%
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 4
Um fabricante recebe grandes lotes de componentes diariamente e decide instituir um esquema de amostragem de aceitação. Três possíveis planos
são considerados. Cada um requer uma amostra de 30 componentes a serem testados.
PLANO A
Aceite o lote se não houver componentes não conformes encontrados, caso contrário, rejeite.
PLANO B
Aceite o lote se não houver mais de um componente não conforme encontrado, caso contrário, rejeite.
PLANO C
Aceite o lote se não houver mais de um componente não conforme encontrado, caso contrário, rejeite.
Descreva:
Para cada plano, calcule a probabilidade de aceitar um lote contendo:
2% não conformes;
8% não conformes.
Sem esboço de cálculo adicional nos mesmos eixos, qual a característica operacional de cada plano?
Qual plano seria mais adequado em cada uma das circunstâncias listadas a seguir?
Deve haver uma alta probabilidade de aceitar lotes contendo 2% não conformes.
Deve haver uma alta probabilidade de rejeição de lotes contendo 8% não conformes.
É necessário um equilíbrio entre o risco de aceitar lotes contendo 8% de defeitos e o risco de rejeição lotes contendo 2% de não conformes.
SOLUÇÃO
a) A probabilidade pode ser calculada ou obtida diretamente de tabelas da distribuição binomial.
Para um lote contendo 2% de não conformidade, a probabilidade de qualquer membro da amostra ser um componente não conforme é 0,02.
Lembre-se de que o lote é grande, então já que a amostra normalmente será retirada sem reposição, terá um efeito desprezível nas probabilidades dos
últimos membros da amostra.
A probabilidade de qualquer membro da amostra não ser um componente não conforme é de:
1 − 0, 02 = 0, 98
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A probabilidade de não haver componente não conforme na amostra é:
javascript:void(0)
0, 9830 = 0, 545
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essa é a probabilidade de o lote ser aceito se o plano A for usado.
Se o plano B for usado, o lote será aceito se a amostra contiver 0 ou 1 item não conforme, cuja probabilidade é de:
0, 9830 + 30 × 0, 02 × 0, 9829 = 0, 879
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se o plano C for usado, o lote será aceito se a amostra contiver 0, 1 ou 2 componentes não conformes. A probabilidade disso é:
0, 9830 + 30 × 0, 02 × 0, 9829 + 30 × 0, 022 × 0, 9828 = 0, 886
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Cálculos semelhantes podem ser realizados quando o lote contém 8% de componentes não conformes, ou as probabilidades podem ser lidas
diretamente das tabelas de distribuição binomial com
n = 30
e
p = 0, 08
. Isso dá os seguintes resultados para a probabilidade de aceitação:
PLANO A : 0, 082 PLANO B : 0, 296 PLANO C : 0, 565
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
b) Da parte (a), temos dois pontos na operação característica de cada plano. Além disso, todos operando com características vão até o ponto (0, 1) –
se o lote não contém componentes não conformes, cada amostra não conterá componentes não conformes e isso deve fazer com que o lote seja
aceito.
Cada característica operacional irá também passar pelo ponto (1, 0). No entanto, essa parte da curva não tem interesse. Corresponde a lotes que
contêm apenas itens não conformes.
Amostragem de aceitação não seria usada se houvesse alguma possibilidade de isso ocorrer. O gráfico pode agora ser esboçado como mostrado a
seguir:
Imagem: Mauro Rezende Filho
c)
O Plano C seria o mais adequado, pois tem maior probabilidade (0,978) de aceitar um lote contendo 2% não conformes.
O Plano A tem a menor probabilidade (0,082) de aceitar um lote contendo 8% de não conformes. É, portanto, o plano mais adequado, já que a
probabilidade de rejeitar um lote contendo 8% não conforme é 1- 0,082 = 0,918, e este é o maior dos três planos.
O Plano B seria o mais adequado neste caso. Pode ser visto no gráfico que tem uma probabilidade menor do que A de rejeitar um lote contendo
2% de não conformidades e uma probabilidade menor do que C de aceitar um lote contendo 8% não conformes.
PLANOS DE AMOSTRAGEM DUPLA
Vejamos um exemplo de um plano de amostragem dupla:
Pegue uma amostra de tamanho 30. Aceite o lote se 0 ou 1 item não conforme como for encontrado e rejeite o lote se 3 ou mais itens não conformes
forem encontrados. Se exatamente 2 itens não conformes forem encontrados, pegue mais uma amostra de tamanho 30. Aceite o lote se um total de 4
ou menos (de 60) forem encontrados; caso contrário, rejeite o lote.
Tal plano é o seguinte:
n = 30
;
a = 1
,
r = 3
;
n = 30
;
a = 4
,
r = 5
.
O número de aceitação é um, ou seja, o lote será aceito se até 1 item não conforme for encontrado. O número de rejeição é “r”, ou seja, o lote será
rejeitado se “r” ou mais itens não conformes forem encontrados.
Observe que os números de aceitação e rejeição se referem a todos os itens que foram inspecionados, não apenas para a amostra mais recente. Não
há razão para a primeira e a segunda amostras terem tamanhos iguais, mas na prática quase sempre é o caso.
A ideia por trás dos planos de amostragem dupla é que um lote muito bom ou um lote muito ruim pode ser detectado com umaamostra relativamente
pequena. Contudo, para um lote intermediário, é desejável obter uma amostra maior antes de decidir se aceita ou rejeita.
 
EXEMPLO 5
Uma empresa deve apresentar um esquema de amostragem de aceitação. Três planos alternativos são considerados.
PLANO A
Pegar uma amostra de 50 e aceitar o lote se não houver itens não conformes; caso contrário, rejeitar.
PLANO B
Pegar uma amostra de 50 e aceitar o lote se 2 ou menos itens não conformes forem encontrados.
PLANO C
Pegar uma amostra de 40 e aceitar o lote se não houver itens não conformes. Rejeitar o lote se 2 ou mais itens forem encontrados. Se um for
encontrado, prosseguir com a amostra de tamanho 40. Se um total de 2 ou menos (de 80) for encontrado, aceitar o lote; caso contrário, rejeite.
Determinar a probabilidade de aceitação para cada um dos planos A, B e C se os lotes forem enviados contendo:
1% não conforme;
10% não conformes.
Sem cálculos adicionais, esboçar nos mesmos eixos a característica operacional para os planos A, B e C.
Mostrar que, para lotes contendo 1% não conforme, o número médio de itens inspecionados ao usar o Plano C é semelhante ao número
inspecionado ao usar os planos A ou B.
SOLUÇÃO
a) Plano A: aceitar 0
P(ACEITAR) = (1 − P)50
Para
p = 0, 01
javascript:void(0)
,
P(aceitar) = (1– 0, 01)50 = 0, 605
Para
p = 0, 1
,
P(aceitar) = (1– 0, 1)50 = 0, 005
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
b) Plano B: aceitar 0, 1 ou 2
P(ACEITAR) = (1 − P)50 + 50 × P × (1 − P)49 + 50 ×
49
2 × P2 × (1 − P)48
Para
p = 0, 01
,
P(aceitar) = 0, 986
Para
p = 0, 1
,
P(aceitar) = 0, 112
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Plano C: Aceitar 0 na primeira amostra (nesse caso, não será tomada a segunda amostra); ou 1 na primeira amostra e 0 na segunda amostra; ou 1 na
primeira amostra e 1 na segunda amostra. Não há outras maneiras de aceitar o lote, ou seja, se 2 ou mais são encontrados na primeira amostra, o lote
é imediatamente rejeitado; e se 1 for encontrado na primeira amostra e 2 ou mais na segunda (dando um total de 3 ou mais), o lote é rejeitado.
As amostras são do mesmo tamanho e o lote é grande; então, a probabilidade de aceitação pode ser expressa como:
P(0) + P(1) × P(0) + P(1) × P(1)
P(0) = (1 − P)40
( )
P (1) = 40 × P × (1 − P)39
PARA P = 0, 01 ENTÃO P(0) = 0, 669 E P(1) = 0, 270
P(ACEITAR) = 0, 669 + 0, 270 × 0, 669 + 0, 2702 = 0, 923
PARA P = 0, 1 ENTÃO P(0) = 0, 0148, P(1) = 0, 00657
P (ACEITAR) = 0, 0148 + 0, 0657 × 0, 0148 + 0, 06572 = 0, 020
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
c) As características operacionais são mostradas a seguir:
% A B C
0 1 1 1
0,01 0,60501 0,98618 0,92285
0,02 0,36417 0,29157 0,74024
0,03 0,21807 0,8108 0,53772
0,04 0,12989 0,67671 0,365
0,05 0,07694 0,54053 0,23648
0,06 0,04533 0,41625 0,14842
0,07 0,02656 0,31079 0,09122
0,08 0,01547 0,22597 0,05535
% A B C
0,09 0,00896 0,16054 0,03336
0,1 0,00515 0,11173 0,02007
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Imagem: Mauro Rezende Filho
d) Para o Plano C, se a primeira amostra contiver 0 ou 2 ou mais não conformes, uma decisão de aceitar ou rejeitar o lote é feita imediatamente. Uma
segunda amostra só é coletada se a primeira amostra contiver exatamente 1 item não conforme. O número médio de itens inspecionados é:
40 + 40 × P(1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para lotes contendo 1% não conforme, a média número de itens inspecionados é:
40 + 40 × 0, 270 = 50, 8
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O número médio inspecionado é semelhante a 50 inspecionados nos planos de amostra única.
AMOSTRAGEM DE ACEITAÇÃO POR VARIÁVEL
A amostragem de aceitação pode ser realizada medindo uma variável em vez de classificar um item como conforme ou não conforme. Variáveis como
espessura, força ou peso podem ser medidos.
 SAIBA MAIS
Um plano típico seria pegar uma amostra de tamanho “n” e rejeitar o lote se a medição média, “x”, for menor que “k”. Se a variável fosse, digamos,
porcentagem de impureza na matéria-prima, onde um pequeno valor fosse aceitável, o plano seria pagar uma amostra de tamanho “n” e rejeitar o lote
se a medição média, “x”, for maior que “k”.
Normalmente, é mais fácil e rápido classificar um item como conforme ou não conforme do que fazer uma medição exata. No entanto, a informação
obtida a partir de uma medição exata em amostras de tamanhos de maiores e menores são necessárias. Uma decisão quando usar atributos ou
variáveis, dependerá das circunstâncias particulares de cada caso.
EXEMPLO 6
Um componente para uso na fabricação de computadores deixa de funcionar se a temperatura ficar muito alta. Um lote desses componentes tem uma
temperatura média de falha de 95,6 °C, com desvio-padrão de 2,4°C. A empresa que está recebendo esse lote opera o seguinte esquema de
amostragem de aceitação: testar uma amostra de tamanho 16 e rejeitar o lote se a falha média é inferior a 95,0°C.
Imagem: Shutterstock.com
É razoável supor uma distribuição normal, uma vez que estamos preocupados com a média de uma amostra razoavelmente grande. Os lotes serão
aceitos se a média da amostra exceder 95,0 °C.
Imagem: Mauro Rezende Filho
A probabilidade de o lote ser aceito é de 0,841.
A característica operacional pode ser construída realizando esse cálculo para lotes com meios diferentes (assumindo que o desvio-padrão permanece
em 2,4°C). Os cálculos podem ser colocados em uma tabela, conforme apresentado mais adiante (Tenha cuidado ao usar a cauda correta da
distribuição normal, isso vai depender do sinal).
µ 93,2 93,3 93,4 93,5 93,6 93,7 93,8 93,9 94 94,1
Z 3,0 2,8 2,7 2,5 2,3 2,2 2,0 1,8 1,7 1,5
p
(aceitar)
0,004432 0,007106 0,011396 0,017528 0,026222 0,038153 0,053991 0,074311 0,099477 0,129
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Imagem: Mauro Rezende Filho
PLANO DE AMOSTRAGEM DE RETIFICAÇÃO
Como vimos, em um plano de amostragem de aceitação, o consumidor aceita o lote se os critérios são satisfeitos. Caso contrário, rejeita o lote. Isso
aumenta o risco do produtor. Planos de amostragem retificadora são usados para reduzir o risco.
Nesse plano, o lote inteiro não é rejeitado. Em vez disso, qualquer unidade/item do lote passa por inspeção. Isso significa que 100% da inspeção do
lote rejeitado é realizada e as unidades defeituosas encontradas no lote são substituídas por unidades sem defeito. Esse procedimento é conhecido
como retificação, triagem ou detalhamento dos lotes rejeitados.
O plano de amostragem em que 100% do controle é realizado para lotes rejeitados é chamado de plano de inspeção de amostragem retificadora. É
também chamado de plano retificador de amostragem ou retificação.
Suponha que lotes do mesmo tamanho (N) sejam recebidos do fornecedor ou da linha de montagem final e submetidos à inspeção, uma de cada vez.
O procedimento para implementar o plano de amostragem de retificação é descrito nas etapas a seguir:

ETAPA 1
Extraímos uma amostra aleatória de tamanho "n" do lote recebido do fornecedor ou a montagem final.
ETAPA 2
Inspecionamos cada unidade da amostra e classificamos como defeituosa ou não defeituosa com base em certos critérios. No fim da inspeção,
contamos o número de unidades defeituosas encontradas na amostra.


ETAPA 3
Comparamos o número de unidades defeituosas encontradas na amostra com critérios de aceitação.
ETAPA 4
Se os critérios de aceitação forem satisfeitos, aceitamos todo o lote até substituir todas as unidades defeituosas na amostra por unidades não
defeituosas. E se os critérios não são satisfeitos, aceitamos o lote inspecionando-o por completo e substituindo todas as unidades defeituosas, por
unidades não defeituosas.

EXEMPLO 7
Suponha que uma empresa de fabricação de bolas de bilhar forneça lotes de 200 bolas.Para verificar a qualidade dos lotes, o comprador e a empresa
fabricante decidem que de cada lote será sorteada uma amostra de tamanho 20. O lote será aceito se a amostra inspecionada contiver no máximo
uma bola com defeito. Caso contrário, o lote será rejeitado. Se eles usarem o plano de amostragem de retificação, vamos ver o procedimento para sua
implementação.
Imagem: Shutterstock.com
Para a implementação do plano de amostragem retificadora, o comprador sorteará 20 bolas de cada lote, e inspecionará cada bola da amostra,
classificando-a como defeituosa ou não defeituosa, com base em certos critérios estabelecidos.
No final da inspeção, contará o número de bolas defeituosas encontradas na amostra e comparará com os critérios de aceitação. Se o número de
bolas defeituosas na amostra é menor ou igual a 1 (número de aceitação), será aceito o lote e substituídas todas as bolas defeituosas na amostra por
bolas sem defeito.
 ATENÇÃO
Se o número de bolas defeituosas for maior que o número de aceitação, realizará uma inspeção 100% para esse lote em vez de rejeitá-lo. As bolas
defeituosas encontradas no lote serão substituídas por bolas não defeituosas e o lote será aceito.
QUALIDADE MÉDIA DE SAÍDA (AOQ)
Em um plano de inspeção por amostragem, os itens ou unidades produzidas/fabricadas pela empresa são entregues em lotes. O nível médio de
qualidade dos lotes é definido pelo produtor e consumidor por meio de negociação, e o produtor envia os lotes ao consumidor para inspeção.
A qualidade dos lotes antes da inspeção é conhecida como qualidade de recebimento e a qualidade dos lotes que foram aceitos após a inspeção é
conhecida como qualidade de saída. Em uma aceitação de um plano de amostragem, os lotes são aceitos ou rejeitados. Portanto, a qualidade de
saída é igual à qualidade de entrada.
No entanto, em uma amostragem retificadora de plano de inspeção, os lotes rejeitados são retificados ou selecionados. Então, a saída de qualidade
será diferente da qualidade de entrada. Portanto, o conceito de qualidade média de saída (AOQ) é particularmente útil para a avaliação do plano de
amostragem de retificação.
A qualidade esperada dos lotes após a aplicação da inspeção por amostragem é chamada de qualidade média de saída. É calculada da seguinte
forma:
AOQ =
NÚMERO DE UNIDADES DEFEITUOSAS NO LOTE APÓS A INSPEÇÃO
NÚMERO TOTAL DE UNIDADES NO LOTE
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas não sabemos o número de unidades defeituosas em todo o lote após a inspeção de amostras. Portanto, temos uma forma alternativa de calcular
AOQ.
Se
N
é o tamanho de cada lote, “
n
” é o tamanho da amostra inspecionada em cada lote, “
p
” é a qualidade de entrada dos lotes, e “
Pa
” é a probabilidade de aceitar o lote de qualidade de entrada “
p
”, AOQ para plano de amostragem único é dado por:
AOQ =
P(N − N)PA
N
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se desenharmos um gráfico de AOQ versus a qualidade de entrada, a curva assim obtida é conhecida como curva AOQ.
Uma curva AOQ típica é mostrada na figura a seguir:
Imagem: Mauro Rezende Filho
Se analisarmos a curva AOQ, observamos que para p = 0, os lotes de entrada não têm unidades defeituosas e, portanto, não há unidades defeituosas
nos lotes de saída. O consumidor aceita todos os lotes. Portanto, nesse caso, AOQ = 0.
QUALIDADE DE ENTRADA BOA
Quando a qualidade de entrada é boa, uma grande proporção dos lotes será aceita pelo plano de amostragem retificadora e apenas uma fração menor
será rastreada. Portanto, a qualidade de saída será boa.

QUALIDADE DE ENTRADA RUIM
No entanto, quando a qualidade de entrada não é boa, uma grande proporção dos lotes será rastreada. Nesses casos, a qualidade de saída também
será boa porque as unidades ou os itens serão substituídos ou retificados.
Entre esses extremos, o AOQ aumenta até seu máximo e depois diminui. O valor máximo de AOQ representa a pior média possível para a qualidade
de saída. É conhecido como limite médio de qualidade de saída (AOQL). O AOQL nos diz que não importa quão ruim seja a qualidade de entrada –
em média, a qualidade de saída nunca será pior que AOQL.
EXEMPLO 8
Admita que uma empresa de fabricação de bolas de bilhar forma lotes de 500 bolas. Para verificar a qualidade dos lotes, o comprador retira 20 bolas
de cada lote e aceita o lote se a amostra contiver no máximo 1 bola com defeito. De outra forma, o rejeita.
Imagem: Shutterstock.com
Suponha que a qualidade dos lotes enviados seja de 0,03. Calcule o AOQ para esse plano de amostragem.
Se os lotes rejeitados forem selecionados e todas as bolas com defeito são substituídas por outros sem defeito, calcule o AOQ novamente.
SOLUÇÃO
Temos então:
N = 500
,
N = 20
,
C = 1
E
P = 0, 03
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sabemos que, em um plano de amostragem de aceitação, os lotes são aceitos ou rejeitados, e a qualidade média de saída é igual à qualidade de
entrada. Portanto, no primeiro caso, quando o lote é aceito ou rejeitado, AOQ é igual à qualidade do lote enviado, ou seja,
AOQ = 0, 03
.
No segundo caso, quando os lotes rejeitados são selecionados e todas as bolas defeituosas são substituídas por outras sem defeito, calculamos AOQ
usando uma equação. Nesse caso, temos que calcular a probabilidade de aceitar muito (
Pa
).
Como
N ≥ 10n
, podemos usar a distribuição binomial e da tabela dessa distribuição, que poderá ser localizada em qualquer livro de estatística ou na web:
javascript:void(0)
P(X = K) =
N !
(N − K) !K !P
K(1 − P)N−K
P(X = 0) =
20!
(20 − 0)!0!0, 030(1 − 0, 03)20 − 0 = 0, 5438
P(X = 1) =
20!
(20 − 1)!1!0, 031(1 − 0, 03)20 − 1 = 0, 3364
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto
P(x ≤ 1) = 0, 5438 + 0, 3364 = 0, 8802
AOQ =
P(N − N)PA
N
=
0, 03 × (500 − 20) × 0, 8802
500 = 0, 025
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
NÚMERO MÉDIO DA AMOSTRA (ASN)
No plano de amostragem de aceitação, a decisão de aceitação ou rejeição de um lote ocorre através dos planos de amostragem, com base nas
informações fornecidas pela(s) amostra(s) retirada(s) do lote. Então o número médio da amostra pode ser definido como se segue:
01
02
01
O número médio da amostra (ASN) é definido como a média (esperada) do número de unidades de amostra por lote, que é necessária para se chegar
a uma decisão sobre a aceitação ou rejeição do lote no plano de amostragem de aceitação. A curva desenhada entre o ASN e a qualidade do lote (p) é
conhecida como ASN curva.
02
Em um único plano de amostragem, tomamos a decisão de aceitação ou rejeição do lote com base em apenas uma única amostra de tamanho “n”.
Portanto, o ASN em um único plano de amostragem é simplesmente o tamanho da amostra “n”, o que significa que ASN é constante.
Portanto, a curva ASN para um único plano de amostragem é uma linha reta, conforme apresenta a figura a seguir:
Imagem: Mauro Rezende Filho
O número médio da amostra para um plano de amostragem duplo varia com a qualidade do lote e é uma função da proporção real defeituosa (p) no
lote. O conceito de número médio de amostra é considerado para o plano de amostragem de aceitação. A inspeção total média (ATI) desempenha o
mesmo papel em uma retificação do plano de amostragem.
INSPEÇÃO TOTAL MÉDIA (ATI)
O número médio de unidades inspecionadas por lote pelo plano retificação de amostragem é chamado de inspeção total média (ATI).
ATI é o número de unidades inspecionadas por lote para tomar a decisão de aceitação ou rejeição do lote do plano retificação de amostragem com
inspeção de 100% dos lotes rejeitados.
Se a qualidade do lote for p, o controle total médio (ATI) para uma única amostra plano é dado por:
ATI = N + (1 − PA) (N – N)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto:
ATI = ASN + (NÚMERO MÉDIO DE UNIDADES INSPECIONADASNOS LOTES REJEITADOS)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, se o lote for aceito com base no plano de amostragem de retificação:
ATI = ASN
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De outra forma:
ATI > ASN
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se um lote não contiver nenhuma unidade defeituosa, obviamente será aceito pelo plano de amostragem e apenas
n
itens serão inspecionados. Portanto, nesse caso, ATI será igual ao tamanho da amostra
n
.

Se todas as unidades do lote estiverem com defeito, o lote será rejeitado e será acionada fiscalização 100% do lote. Nesse caso, ATI será igual ao
tamanho do lote
N
.

Se a qualidade do lote estiver entre 0 e 1, ou seja,
0 < p < 1
, ATI ficará entre o tamanho da amostra
n
e o tamanho do lote
N
. Isso significa que ATI é uma função da qualidade do lote
p
.
EXEMPLO 9
Um hospital recebe seringas injetáveis descartáveis em lotes de 2.000. Um plano de amostragem simples com
n = 25
e
c = 2
está sendo usado para inspeção. Calcule o número médio da amostra (ASN).
Suponha que os lotes recebidos contenham 5% de unidades defeituosas. Calcule a inspeção total média (ATI) para esses planos de amostragem, se
os lotes rejeitados forem 100% inspecionados e todas as seringas defeituosas forem substituídos por seringas não defeituosas.
SOLUÇÃO
javascript:void(0)
Temos:
N = 2.000, N = 25, C = 2, P = 0, 05
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No primeiro caso, a decisão de aceitação ou rejeição do lote é tomada apenas em uma única amostra de tamanho
n = 25
. Portanto, o ASN para esse plano é simplesmente o tamanho da amostra, ou seja,
ASN = n = 25
. Calculamos ATI da seguinte maneira:
PA =
N !
(N − K) !K !P
K(1 − P)N−K =
25!
(25 − 0)!0!0, 050(1 − 0, 05)25 − 0 = 0, 2774
PA =
N !
(N − K) !K !P
K(1 − P)N−K =
25!
(25 − 1)!1!0, 051(1 − 0, 05)25 − 1 = 0, 3650
PA =
N !
(N − K) !K !P
K(1 − P)N−K =
25!
(25 − 2)!2!0, 052(1 − 0, 05)25 − 2 = 0, 2305
P(X ≤ 2) = 0, 2774 + 0, 3650 + 0, 2305 = 0, 8729
ATI = 25 + (1 – 0, 8729) (2.000 – 25) = 276, 02 = 277
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TEORIA NA PRÁTICA
SUPONHA QUE UM FORNECEDOR DISPONIBILIZE CANETAS COM O LOGOTIPO DE
SUA EMPRESA QUE VOCÊ DISTRIBUI EM FEIRAS DE NEGÓCIOS. VOCÊ RECEBE AS
CANETAS EM LOTES DE 5.000 E ACABOU DE IMPLEMENTAR UM PLANO DE
AMOSTRAGEM PARA INSPECIONAR 52 UNIDADES. VOCÊ SABE QUE NORMALMENTE
3% APRESENTAM DEFEITOS. SE O NÚMERO DE CANETAS DEFEITUOSAS FOR 2 OU
MENOS, VOCÊ ACEITA A REMESSA INTEIRA.
SEU GERENTE SE OPÔS A ESSE PLANO E PENSA QUE VOCÊ DEVE ENVIAR AS
CANETAS DE VOLTA SE HOUVER ALGUM DEFEITO ENCONTRADO. VOCÊ DEVE
COMPARAR O PLANO ATUAL COM O PROPOSTO POR ELE E DESTACAR OS RISCOS E
BENEFÍCIOS DE CADA PLANO.
SOLUÇÃO
MÃO NA MASSA
UM ESQUEMA DE AMOSTRAGEM DE ACEITAÇÃO CONSISTE EM INSPECIONAR 25 ITENS E REJEITAR O LOTE SE
DOIS OU MAIS ITENS NÃO CONFORMES SÃO ENCONTRADOS. A PROBABILIDADE DE ACEITAR UM LOTE
CONTENDO 15% NÃO CONFORME SERÁ IGUAL A:
A) 0,931
B) 0,0931
C) 0,815
D) 0,0815
E) 0,685
UMA MONTADORA RECEBE PISTÕES EM LOTES DE 200. UM PLANO DE AMOSTRAGEM SIMPLES COM
N = 10
E
C = 2
ESTÁ SENDO USADO PARA INSPEÇÃO. APÓS CALCULAR ASN (SUPONHA QUE OS LOTES RECEBIDOS
CONTENHAM 3% DE UNIDADES DEFEITUOSAS) E ATI PARA ESSES PLANOS DE AMOSTRAGEM, SE OS LOTES
REJEITADOS FOREM 100% INSPECIONADOS E TODOS OS PISTÕES DEFEITUOSOS FOREM SUBSTITUÍDOS POR
NÃO DEFEITUOSOS, OS VALORES DE ASN E ATI SERÃO, RESPECTIVAMENTE, IGUAIS A:
A) 10 e 22
B) 22 e 10
C) 12 e 25
D) 14 e 28
E) 18 e 14
UM FABRICANTE DE MESAS DE SINUCA, RECEBE GRANDES LOTES DE BOLAS DIARIAMENTE E DECIDE INSTITUIR
UM ESQUEMA DE AMOSTRAGEM DE ACEITAÇÃO. DOIS POSSÍVEIS PLANOS SÃO CONSIDERADOS. CADA UM DOS
QUAIS REQUER UMA AMOSTRA DE 20 BOLAS A SER TESTADA.
PLANO A: ACEITE O LOTE SE NÃO HOUVER COMPONENTES NÃO CONFORMES ENCONTRADOS; CASO
CONTRÁRIO, REJEITE.
PLANO B: ACEITE O LOTE SE NÃO HOUVER MAIS DE UM COMPONENTE NÃO CONFORME ENCONTRADO;
CASO CONTRÁRIO, REJEITE.
O FABRICANTE DESEJA SABER, PARA CADA PLANO, QUAL A PROBABILIDADE DE ACEITAR UM LOTE CONTENDO
3% NÃO CONFORME. QUAL ALTERNATIVA A SEGUIR É A CORRETA?
A) 0,7521 e 0,9056
B) 0,6824 e 0,8925
C) 0,5438 e 0,8802
D) 0,4502 e 0,8543
E) 0,1884 e 0,7061
UMA EMPRESA FABRICA BOLAS DE BOLICHE EM LOTES DE 100 BOLAS. PARA VERIFICAR A QUALIDADE DOS
LOTES, O COMPRADOR RETIRA 10 BOLAS DE CADA LOTE E O ACEITA SE A AMOSTRA CONTIVER NO MÁXIMO
TRÊS BOLAS COM DEFEITO – CASO CONTRÁRIO, O LOTE É REJEITADO. SUPONHA QUE A QUALIDADE DOS
LOTES ENVIADOS SEJA DE 0,01. PARA ESSE PLANO DE AMOSTRAGEM, AOQ SERÁ IGUAL A:
A) 0,0051
B) 0,0067
C) 0,0084
D) 0,0090
E) 0,0075
UMA EMPRESA FABRICANTE DE COMPUTADORES UTILIZA 46 PARAFUSOS DE AÇO INOX EM CADA
EQUIPAMENTO. COMO SÃO MUITOS PEQUENOS E LEVES, ELES SÃO COMPRADOS EM LOTES DE 5KG COM
PACOTES DE 500G. PARA VERIFICAR A QUALIDADE DOS LOTES, O COMPRADOR RETIRA 50G DE CADA LOTE E O
ACEITA SE A AMOSTRA CONTIVER NO MÁXIMO 5G COM DEFEITO; CASO CONTRÁRIO, ELE O REJEITA.
OS DEFEITOS SÃO FALTA DA CABEÇA, FALTA DA FENDA E/OU FALDA DA ROSCA. HISTORICAMENTE, A
QUALIDADE DOS LOTES ENVIADOS É DE 0,03. APÓS CALCULAR AOQ, O PLANO DE AMOSTRAGEM SERÁ IGUAL A:
A) 0,3315
B) 0,0304
C) 0,0296
D) 0,0157
E) 0,0229
UM FABRICANTE DE COMPUTADORES COMPRA CHIPS DE UMA EMPRESA EM LOTES DE 400. VINTE CHIPS SÃO
AMOSTRADOS DE CADA LOTE ALEATORIAMENTE E INSPECIONADOS QUANTO A DEFEITOS. O FABRICANTE DO
COMPUTADOR ACEITA O LOTE SE A AMOSTRA INSPECIONADA CONTIVER NO MÁXIMO UM CHIP COM DEFEITO.
CASO CONTRÁRIO, ELE O REJEITA.
SUPONHA QUE OS LOTES RECEBIDOS CONTENHAM 3% DE CHIPS DEFEITUOSOS. CALCULE ASN PARA ESSE
PLANO. SE OS LOTES REJEITADOS FOREM SELECIONADOS E TODOS ESTIVEREM COM DEFEITO, OS CHIPS DE
COMPUTADOR SÃO SUBSTITUÍDOS POR OUTROS SEM DEFEITO. CALCULE AOQ E ATI PARA ESSE PLANO.
A) 58
B) 60
C) 62
D) 66
E) 70
GABARITO
Um esquema de amostragem de aceitação consiste em inspecionar 25 itens e rejeitar o lote se dois ou mais itens não conformes são
encontrados. A probabilidade de aceitar um lote contendo 15% não conforme será igual a:
A alternativa "B " está correta.
O lote será aceito se 0 ou 1 item não conforme for encontrado em uma amostra de 25 de um lote contendo 15%. Isso pode ser calculado usando a
distribuição binomial
n = 25
,
p = 0, 15
.
P(X = K) =
N !
(N − K) !K !P
K(1 − P)N−K
P(X = 0) =
25!
(25 − 0)!0!0, 150(1 − 0, 15)25 − 0 = 0, 0172
P(X = 1) =
25!
(25 − 1)!1!0, 151(1 − 0, 15)25 − 1 = 0, 0759
P(X ≤ 1) = 0, 0172 + 0, 0759 = 0, 0931
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Uma montadora recebe pistões em lotes de 200. Um plano de amostragem simples com
n = 10
e
c = 2
está sendo usado para inspeção. Após calcular ASN (suponha que os lotes recebidos contenham 3% de unidades defeituosas) e ATI para
esses planos de amostragem, se os lotes rejeitados forem 100% inspecionados e todos os pistões defeituosos forem substituídos por não
defeituosos, os valores de ASN e ATI serão, respectivamente, iguais a:
A alternativa "A " está correta.
É dado que:
N = 200
n = 10
c = 2
p = 0, 03
No primeiro caso, a decisão de aceitação ou rejeição do lote é tomada apenas em uma única amostra de tamanho
n = 10
. Portanto, ASN para esse plano é simplesmente o tamanho da amostra, ou seja,
ASN = n = 10
. Calculamos ATI usando da seguinte maneira:
PA =
N !
(N − K) !K !P
K(1 − P)N−K =
10!
(10 − 0)!0!0, 030(1 − 0, 03)10 − 0 = 0, 7374
PA =
N !
(N − K) !K !P
K(1 − P)N−K =
10!
(10 − 1)!1!0, 031(1 − 0, 03)10 − 1 = 0, 2281
PA =
N !
(N − K) !K !P
K(1 − P)N−K =
10!
(10 − 2)!2!0, 032(1 − 0, 03)10 − 2 = 0, 0317
P(X ≤ 2) = 0, 7374 + 0, 2281 + 0, 0317 = 0, 9972
ATI = 10 + (1 – 0, 8729) (200 – 10) = 21, 43 = 22
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Um fabricante de mesas de sinuca, recebe grandes lotes de bolas diariamente e decideinstituir um esquema de amostragem de aceitação.
Dois possíveis planos são considerados. Cada um dos quais requer uma amostra de 20 bolas a ser testada.
Plano A: Aceite o lote se não houver componentes não conformes encontrados; caso contrário, rejeite.
Plano B: Aceite o lote se não houver mais de um componente não conforme encontrado; caso contrário, rejeite.
O fabricante deseja saber, para cada plano, qual a probabilidade de aceitar um lote contendo 3% não conforme. Qual alternativa a seguir é a
correta?
A alternativa "C " está correta.
Para um lote contendo 3% de não conformidade, a probabilidade de qualquer membro da amostra ser um componente não conforme é 0,03. (Como o
lote é grande, a amostra normalmente será retirada sem reposição e terá um efeito desprezível nas probabilidades dos últimos membros da amostra.)
A probabilidade de qualquer membro da amostra não ser um componente não conforme é:
1 − 0, 03 = 0, 97
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A probabilidade de haver nenhum componente não conforme na amostra é:
0, 9720 = 0, 5438
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essa é a probabilidade de o lote ser aceito se o Plano A for usado.
Se o Plano B for usado, o lote será aceito se a amostra contiver 0 ou 1 item não conforme. A probabilidade de isso ocorrer é:
0, 9720 + 20 × 0, 03 × 0, 9719 = 0, 8802
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Uma empresa fabrica bolas de boliche em lotes de 100 bolas. Para verificar a qualidade dos lotes, o comprador retira 10 bolas de cada lote e
o aceita se a amostra contiver no máximo três bolas com defeito – caso contrário, o lote é rejeitado. Suponha que a qualidade dos lotes
enviados seja de 0,01. Para esse plano de amostragem, AOQ será igual a:
A alternativa "D " está correta.
É dado que:
N = 100
n = 10
p = 0, 01
Nós primeiro calculamos
Pa
(probabilidade binomial) para 0, 1, 2 e 3 bolas:
PA =
N !
(N − K) !K !P
K(1 − P)N−K =
10!
(10 − 0)!0!0, 010(1 − 0, 01)10 − 0 = 0, 604382
PA =
N !
(N − K) !K !P
K(1 − P)N−K =
10!
(10 − 1)!1!0, 011(1 − 0, 01)10 − 1 = 0, 09135
PA =
N !
(N − K) !K !P
K(1 − P)N−K =
10!
(10 − 2)!2!0, 012(1 − 0, 01)10 − 2 = 0, 0042
PA =
N !
(N − K) !K !P
K(1 − P)N−K =
10!
(10 − 3)!3!0, 013(1 − 0, 01)10 − 3 = 0, 0001
P(X ≤ 3) = 0, 9044 + 0, 0914 + 0, 0042 + 0, 0001 = 0, 9999
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O cálculo de AOQ será:
AOQ =
P(N − N)PA
N
=
0, 01 × (100 − 10) × 0, 9999
100 = 0, 0090
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Uma empresa fabricante de computadores utiliza 46 parafusos de aço inox em cada equipamento. Como são muitos pequenos e leves, eles
são comprados em lotes de 5kg com pacotes de 500g. Para verificar a qualidade dos lotes, o comprador retira 50g de cada lote e o aceita se
a amostra contiver no máximo 5g com defeito; caso contrário, ele o rejeita.
Os defeitos são falta da cabeça, falta da fenda e/ou falda da rosca. Historicamente, a qualidade dos lotes enviados é de 0,03. Após calcular
AOQ, o plano de amostragem será igual a:
A alternativa "C " está correta.
AOQ é calculado como:
AOQ =
P(N − N)PA
N
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para calcular o
Pa
temos:
PA(K ≤ 5) = P(K = 0) + P(K = 1) + P(K = 2) + . . . + P(K = 5)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A tabela a seguir apresenta estes cálculos:
Imagem: Mauro Rezende Filho
AOQ será igual a:
AOQ =
0, 03(5.000 − 50)0, 9963
5.000 = 0, 0296
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Um fabricante de computadores compra chips de uma empresa em lotes de 400. Vinte chips são amostrados de cada lote aleatoriamente e
inspecionados quanto a defeitos. O fabricante do computador aceita o lote se a amostra inspecionada contiver no máximo um chip com
defeito. Caso contrário, ele o rejeita.
Suponha que os lotes recebidos contenham 3% de chips defeituosos. Calcule ASN para esse plano. Se os lotes rejeitados forem
selecionados e todos estiverem com defeito, os chips de computador são substituídos por outros sem defeito. Calcule AOQ e ATI para esse
plano.
A alternativa "D " está correta.
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
OBSERVE AS AFIRMATIVAS A SEGUIR:
OS PROCESSOS DE AMOSTRAGEM DE ACEITAÇÃO GERALMENTE NÃO REQUEREM AÇÃO CORRETIVA
QUANDO OS LOTES SÃO REJEITADOS.
ATI POR LOTE REPRESENTA O NÚMERO MÉDIO DE PRODUTOS INSPECIONADOS EM DETERMINADO NÍVEL DE
QUALIDADE E PROBABILIDADE DE ACEITAÇÃO.
UM PLANO DE AMOSTRAGEM DE ACEITAÇÃO INFORMA QUANTAS UNIDADES DA AMOSTRA DE UM LOTE OU
REMESSA E QUANTOS DEFEITOS VOCÊ PODE PERMITIR NESSA AMOSTRA.
ALÉM DE UMA DECISÃO INICIAL SOBRE AQL, TAMBÉM É NECESSÁRIO DECIDIR SOBRE UM NÍVEL DE
INSPEÇÃO
ESTÁ CORRETO O QUE SE AFIRMA EM:
A) I e II
B) I e III
C) II e III
D) I, II e III
E) II, III e IV
OBSERVE AS AFIRMATIVAS A SEGUIR:
O PLANO DE AMOSTRAGEM EM QUE 100% DO CONTROLE É REALIZADO PARA LOTES REJEITADOS É
CHAMADO DE PLANO DE INSPEÇÃO DE AMOSTRAGEM RETIFICADORA.
A QUALIDADE DOS LOTES ANTES DA INSPEÇÃO É CONHECIDA COMO QUALIDADE DE RECEBIMENTO, E A
QUALIDADE DOS LOTES QUE FORAM ACEITOS APÓS A INSPEÇÃO É CONHECIDA COMO QUALIDADE DE
SAÍDA.
NO PLANO DE AMOSTRAGEM DE ACEITAÇÃO, A DECISÃO DE ACEITAÇÃO OU REJEIÇÃO DE UM LOTE É
REALIZADA COM BASE NAS INFORMAÇÕES FORNECIDAS PELA(S) AMOSTRA(S) RETIRADA(S) DO LOTE.
ATI É O NÚMERO DE UNIDADES INSPECIONADAS POR LOTE PARA TOMAR A DECISÃO DE ACEITAÇÃO OU
REJEIÇÃO DO LOTE EM RETIFICAÇÃO DO PLANO DE AMOSTRAGEM COM INSPEÇÃO 100% DOS LOTES
REJEITADOS.
ASN SE DEFINE COMO A MODA (ESPERADA) DO NÚMERO DE AMOSTRAS POR LOTE NECESSÁRIO PARA SE
CHEGAR A UMA DECISÃO SOBRE A ACEITAÇÃO OU A REJEIÇÃO DO LOTE NO PLANO DE AMOSTRAGEM DE
ACEITAÇÃO. A CURVA DESENHADA ENTRE ASN E A QUALIDADE DO LOTE (P) É CONHECIDA COMO ASN
CURVA.
ESTÁ CORRETO O QUE SE AFIRMA EM:
A) I, II e IV
B) I, III e V
C) II, III, IV e V
D) I, II e III
E) I, II, III e IV
GABARITO
Observe as afirmativas a seguir:
Os processos de amostragem de aceitação geralmente não requerem ação corretiva quando os lotes são rejeitados.
ATI por lote representa o número médio de produtos inspecionados em determinado nível de qualidade e probabilidade de aceitação.
Um plano de amostragem de aceitação informa quantas unidades da amostra de um lote ou remessa e quantos defeitos você pode
permitir nessa amostra.
Além de uma decisão inicial sobre AQL, também é necessário decidir sobre um nível de inspeção
Está correto o que se afirma em:
A alternativa "E " está correta.
A alternativa I está errada porque sempre teremos ações corretivas em planos de aceitação.
A alternativa II está correta, já que ATI representa a média dos produtos aceitos para determinada probabilidade fixada.
A alternativa III está correta, pois é uma característica básica de um plano de amostragem de aceitação.
A alternativa IV também está correta porque sempre devemos fixar um nível de inspeção.
Observe as afirmativas a seguir:
O plano de amostragem em que 100% do controle é realizado para lotes rejeitados é chamado de plano de inspeção de amostragem
retificadora.
A qualidade dos lotes antes da inspeção é conhecida como qualidade de recebimento, e a qualidade dos lotes que foram aceitos após a
inspeção é conhecida como qualidade de saída.
No plano de amostragem de aceitação, a decisão de aceitação ou rejeição de um lote é realizada com base nas informações fornecidas
pela(s) amostra(s) retirada(s) do lote.
ATI é o número de unidades inspecionadas por lote para tomar a decisão de aceitação ou rejeição do lote em retificação do plano de
amostragem com inspeção 100% dos lotes rejeitados.
ASN se define como a moda (esperada) do número de amostras por lote necessário para se chegar a uma decisão sobre a aceitação ou
a rejeição do lote no plano de amostragem de aceitação.A curva desenhada entre ASN e a qualidade do lote (p) é conhecida como ASN
curva.
Está correto o que se afirma em:
A alternativa "E " está correta.
Ao recebermos um lote, chamamos a qualidade das amostras deste lote de qualidade de recebimento. Feito isso, analisamos 100% de todo esse lote
(ATI). Através do número de aceitação de amostras por lote, classificamos a decisão da qualidade de aceitação ou de rejeição do lote. Sendo o lote
aceito, chamamos a qualidade do lote de qualidade de saída. Porém, se 100% de um lote for rejeitado, chamamos de inspeção de amostragem
retificadora.
MÓDULO 3
 Reconhecer em planos de amostragem o nível de qualidade aceitável
PLANOS DE AMOSTRAGEM E O NÍVEL DE QUALIDADE ACEITÁVEL
PLANOS DE AMOSTRAGEM E O NÍVEL DE QUALIDADE ACEITÁVEL
Em algumas indústrias, é tradicional usar amostragem de lote ou amostragem de aceitação para aceitar ou rejeitar qualquer produto no ponto de envio
ou recebimento. Nessa abordagem, em vez de testar ou inspecionar cada item em um lote, uma amostra dos itens é selecionada para teste ou
inspeção. Se o número de itens não conformes na amostra ultrapassar um nível predeterminado, todo o lote é rejeitado. De outra forma, o lote é aceito.
Imagem: Shutterstock.com
Essa técnica é mais barata do que inspeção 100% ou teste. Também pode ser necessário usar técnicas de amostragem quando o teste é destrutivo.
Contudo, como já vimos, a amostragem de aceitação envolve algum risco. Idealmente, seria preferível que um procedimento de aceitação aprove
todos os lotes conformes e rejeite todos os lotes não conformes. Infelizmente, isso é impossível com a amostragem de aceitação.
 SAIBA MAIS
AQL é a sigla para nível de qualidade aceitável. Isso é definido como a máxima porcentagem de defeito (ou número máximo de defeitos por cem
unidades) que pode ser considerada satisfatória como média do processo.
DEMONSTRAÇÃO
A preocupação com a amostragem baseada em AQL pode ser ilustrada traçando a curva característica (OC) para esse plano de amostragem. A curva
OC é um gráfico que mostra, para qualquer dado nível “verdadeiro” de qualidade, a probabilidade de que o lote seja aceito sob o plano de amostragem.
Imagem: Mauro Rezende Filho
A linha vertical vermelha à esquerda da curva OC está em um verdadeiro percentual de defeito de 0,1%, o AQL. A probabilidade correspondente de
aceitação é 0,911. A probabilidade de que um lote com esse nível de qualidade seja aceito é superior a 90%.
Infelizmente, a linha vermelha vertical à direita mostra a porcentagem de defeito em que a probabilidade de aceitação cai para 5%. Esse nível de
qualidade é 0,949%, quase dez vezes o AQL. Existe uma grande probabilidade – ou seja, de duas ou até três vezes o nível aceitável de defeitos – de o
lote não ser rejeitado.
Isso ilustra a preocupação fundamental com AQL. É projetado para minimizar o risco do produtor. Faz pouco para controlar o risco do consumidor.
Então, o que um comprador deve fazer?
O AQL é uma ferramenta estatística para inspecionar um tamanho de amostra específica para determinado lote e define o número máximo de defeitos
aceitáveis. Em outras palavras, é a pior média tolerável do processo quando uma série contínua de lotes é submetida à amostragem de
aceitação.
 SAIBA MAIS
Recentemente o AQL foi renomeado de nível de aceitação da qualidade para limites de aceitação da qualidade. É o limite do que o cliente define
como o que realmente não é aceitável. Os clientes preferem produtos ou serviços com zero defeitos, que é o nível de qualidade aceitável ideal.
O AQL de um produto varia de setor para setor. As empresas que lidam com ferramentas médicas teriam AQL mais rigoroso, pois a aceitação de
produtos defeituosos poderia resultar em riscos à saúde. As empresas geralmente enfrentam duas situações possíveis: o custo envolvido no teste de
níveis aceitáveis estreitos ou a deterioração devido a níveis aceitáveis mais baixos com um custo potencial de recall do produto. AQL é uma estatística
importante para empresas que buscam o nível Seis Sigma de controle de qualidade.
NÍVEL SEIS SIGMA
Conjunto de práticas desenvolvidas pela Motorola com intuito de melhorar de forma sistemática os processos de mitigação de defeitos
O não cumprimento dos requisitos dos clientes no que diz respeito à qualidade é denominado defeito. Na prática, existem três categorias de defeitos,
como veremos a seguir:
DEFEITOS CRÍTICOS
Defeitos, quando aceitos, podem acarretar danos aos usuários. Esses defeitos são totalmente inaceitáveis. São definidos por AQL = 0%.
DEFEITOS PRINCIPAIS
Defeitos geralmente não aceitáveis pelos usuários finais, pois podem resultar em falha. O AQL para defeito principal é igual a 2,5%.
DEFEITOS MENORES
Defeitos que provavelmente não reduzirão de forma material a usabilidade do produto para a finalidade pretendida, mas diferem ligeiramente dos
padrões especificados. Alguns usuários finais ainda vão em frente e compram esses produtos. O AQL para defeitos pequenos é 4%.
VEJA A SEGUIR ALGUMAS CARACTERÍSTICAS DA AMOSTRAGEM DE ACEITAÇÃO:
A amostragem de aceitação pode ser realizada durante a inspeção de entrada de matérias-primas, componentes e conjuntos, em várias fases
das operações em processo ou durante a inspeção final.
A amostragem de aceitação não controla ou melhora a qualidade do nível do processo.
A qualidade não pode ser inspecionada em um produto ou serviço, mas a qualidade deve ser projetada e integrada a ele.
Os planos de amostragem apresentam vantagens, tais como:
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
Imagem: Shutterstock.com
Se a inspeção for destrutiva, a inspeção 100% não é viável;
É mais econômica e causa menos danos ao manuseio dos produtos, e se o custo de inspeção for alto ou se o tempo de inspeção for longo,
recursos limitados podem tornar a amostragem preferível;
Reduz o erro de inspeção, pois em grande quantidade, a inspeção repetitiva, como inspeção 100%, pode impedir a identificação de todas as não
conformidades ou unidades não conformes, por conta da fadiga do inspetor;
Fornece uma forte motivação para melhorar a qualidade porque um lote inteiro pode ser rejeitado.
Entretanto, podem apresentar desvantagens porque:
Existe o risco de rejeitar lotes considerados bons ou aceitar lotes considerados ruins, identificados como risco do produtor e risco do consumidor,
respectivamente;
Há menos informações sobre o produto em comparação com a inspeção 100%;
A seleção e adoção de um plano de amostragem requerem mais tempo e esforço em planejamento e documentação.
Imagem: Shutterstock.com
Na amostragem de aceitação, as unidades são escolhidas aleatoriamente de um lote ou processo. Existem dois tipos de risco inerentes a qualquer
plano de amostragem, como veremos a seguir.
Risco do produtor: É o risco associado à rejeição de um lote bom, devido à natureza inerente da amostragem aleatória. A noção do nível de
qualidade dos lotes que define o nível aceitável ou considerado bom será influenciado pelas necessidades do cliente. AQL é a terminologia usada
para definir esse nível de qualidade.
Risco do consumidor: É o risco associado à aceitação de um lote ruim, devido à natureza inerente da amostragem aleatória. Além disso, as
normas de requisitos do cliente regerão a definição de um lote considerado ruim. Nível de qualidade limitado (LQL) ou nível de qualidade
rejeitável (RQL) é a terminologia usada para definir esse nível de qualidade inaceitável. Uma terminologia alternativa é tolerância de lote por
porcentagem de defeito (LTPD), quando o nível de qualidade é expresso em porcentagem de não conformidade.
Assim, quando declaramos o risco de um produtor em um plano de amostragem, devemos declarar correspondentemente um nível desejável de
qualidade que preferimos aceitar.
 SAIBA MAIS
Se afirmarmos que o risco do produtor é de 5% para AQL de 0,02, isso significa que consideramos bons lotes que são 2% não conformes e preferimos
rejeitar esses lotes não maisdo que 5% das vezes. Se o risco do consumidor é de 10% para um LQL de 0,08, isso significa que os lotes com 8% de
não conformidade são ruins e preferimos aceitar esses lotes não mais do que 10% das vezes.
A curva OC (característica operacional) mede a execução de um plano de amostragem. Traça a probabilidade de aceitar o lote versus a proporção não
conforme do lote e mostra o poder discriminatório do plano de amostragem.
Para todos os planos de amostragem, queremos aceitar lotes com uma proporção baixa de não conformidade na maioria das vezes e não queremos
aceitar lotes com uma alta proporção de não conformidades com muita frequência. A curva OC indica o grau em que alcançamos isso.
CURVA DA CARACTERÍSTICA OPERACIONAL (CURVA OC)
Suponha que tenhamos escolhido uma proporção de não conformidade
p0
de forma que, se tivermos uma proporção não conforme menor que ou igual a
p0
, consideramos um bom lote e o aceitamos.
Contudo, se a proporção de não conformes do lote exceder
p0
, vamos considerar o lote como ruim e o rejeitamos. Veja a curva OC ideal para essas circunstâncias, na figura a seguir:
Imagem: Mauro Rezende Filho
 Ponto de referência: CURVA DA CARACTERÍSTICA OPERACIONAL (CURVA OC)
Na prática, entretanto, essa forma da curva OC não é ideal. Para construir a curva OC para um único plano de amostragem, vamos considerar N
representativo do tamanho do lote, n do tamanho da amostra e c do número de não conformes.
Uma amostra aleatória de tamanho n é escolhida do lote de tamanho N. Se o número observado de itens não conformes ou de não conformidades for
menor ou igual a c, o lote é aceito; caso contrário, é rejeitado.
Para construir uma curva OC tipo A, assumimos que a amostra é escolhida de um lote isolado de tamanho finito. A probabilidade de aceitar o lote é
calculada com base em uma distribuição hipergeométrica. A probabilidade de encontrar x itens não conformes na amostra é dada por:
P(X) =
D
X
N − D
N − X
N
N
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que D representa o número de itens não conformes no lote.
Já que o lote será aceito se c ou menos itens não conformes forem encontrados, a probabilidade de aceitação do lote é:
PA = P(X ≤ C) =
C
∑
X= 0
P(X)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para construir uma curva OC tipo B, assumimos que um fluxo de lotes é produzido pelo processo e que o tamanho do lote é grande (pelo menos 10
vezes) em comparação com o tamanho da amostra. Uma distribuição binomial pode ser usada para encontrar a probabilidade de observar c itens não
conformes em uma amostra de tamanho n.
Assumindo que a proporção do lote não conforme é p, essa probabilidade é dada por:
PA =
N !
(N − C) !C !P
C(1 − PC)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se o tamanho do lote for grande e a probabilidade de um item não conforme for pequeno, uma distribuição de Poisson pode ser usada como uma
aproximação para a distribuição binomial.
A probabilidade de “c” itens não conformes na amostra é encontrada a partir de:
P(X) =
ΛCE −Λ
C !
( )( )
( )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
λ = np
representa o número médio de itens não conformes na amostra. A probabilidade de aceitação do lote, Pa, pode então ser encontrada a partir da
mesma equação anterior.
EXEMPLO 10
Vamos construir uma curva OC para um único plano de amostragem em que o tamanho do lote é 2.000, a amostra o tamanho é 50 e o número de
aceitação é 2.
Temos então:
N = 2.000
n = 50
c = 2
A probabilidade de aceitação do lote é equivalente à probabilidade de obter 2 ou menos itens não conformes na amostra. Vamos supor que p seja 0,02
(ou seja, o lote é 2% não conforme). Como
np = (50)(0, 02) = 1, 0
, a probabilidade
Pa
de aceitar o lote é 0,9216. O gráfico desses valores é mostrado na figura da curva OC.
Calculando as probabilidades:
PA =
N !
(N − K) !K !P
K(1 − P)N−K =
50!
(50 − 0)!0!0, 020(1 − 0, 02)50 − 0 = 0, 3642
PA =
N !
(N − K) !K !P
K(1 − P)N−K =
50!
(50 − 1)!1!0, 021(1 − 0, 02)50 − 1 = 0, 3716
PA =
N !
(N − K) !K !P
K(1 − P)N−K =
50!
(50 − 2)!2!0, 022(1 − 0, 02)50 − 2 = 0, 1858
PA = 0, 3642 + 0, 3716 + 0, 1858 = 0, 9216
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Imagem: Mauro Rezende Filho
As probabilidades de aceitação de lote para diferentes valores de proporção não conforme para o plano de amostragem
N = 2000
,
n = 50
,
c = 2
são apresentadas na tabela a seguir:
Proporção de não conformes p np Probabilidade de aceitação do lote Pa
0,00 0,000 1,000
0,01 0,250 0,997
0,02 0,500 0,968
0,03 1,000 0,920
0,04 1,500 0,809
0,05 2,000 0,677
0,06 2,500 0,544
0,07 3,000 0,423
0,08 3,500 0,321
0,09 4,000 0,238
Proporção de não conformes p np Probabilidade de aceitação do lote Pa
0,10 4,500 0,017
0,11 5,000 0,125
0,12 5,500 0,088
0,13 6,000 0,062
0,14 6,500 0,043
0,15 7,000 0,030
0,16 7,500 0,020
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Elaborado por Mauro Rezende Filho
Os parâmetros n e c do plano de amostragem afetam a forma da curva OC. Desde que o tamanho do lote N seja significativamente grande em
comparação ao tamanho da amostra n, o tamanho do lote não tem um valor apreciável de impacto na forma da curva OC.
Para valores fixos de N e c, com tamanho da amostra tornando-se maior, a inclinação da curva OC se torna mais íngreme, implicando um maior poder
discriminatório. A figura a seguir mostra as curvas OC para dois planos de amostragem:
Imagem: Mauro Rezende Filho
A curva OC na figura mostra a relação entre os parâmetros AQL e LQL. Para um plano de amostragem especificado por n e c, lotes desproporcionais
em nível de não conformidade de AQL que vêm para inspeção devem ser aceitos
100(1 − α)%
do tempo.
Da mesma forma, se a proporção de lotes não conformes que chegam para inspeção é LQL, eles devem ser aceitos
100β%
do tempo.
Uma escolha adequada de n e c garante que bons lotes serão aceitos em uma grande porcentagem do tempo e que lotes ruins serão aceitos
raramente.
Imagem: Mauro Rezende Filho
 Curva OC mostrando (AQL,
1 − α
) e (LQL,
β
) para um plano de amostragem
Agora vamos discutir várias abordagens para projetar planos de amostragem. Basicamente, essas abordagens envolvem determinar o tamanho da
amostra n e o número de aceitação c do plano. Os critérios selecionados influenciam os parâmetros do plano.
RISCO DO PRODUTOR ESTIPULADO
Vamos supor que o risco do produtor seja α e seu nível de qualidade associado p1. Qual é o nível de qualidade aceitável (AQL) especificado? É aquele
dado por um nível de qualidade p1 , ou seja, 100 (1-α)% , o tempo todo.
RISCO DO CONSUMIDOR ESTIPULADO
Para encontrar o plano de amostragem apropriado, primeiro selecione um número de aceitação c. O número médio de itens não conformes na amostra
é dado por
λ = np
. Portanto, para uma probabilidade de aceitação de lote Pa igual a
1 − α
em
p = p1
, o valor de
λ
é encontrado na tabela a seguir. Porque
λ = np1 = n
(AQL), o tamanho da amostra n é encontrado dividindo o valor de n (AQL) por AQL. Os valores calculados fracionários do tamanho da amostra são
sempre arredondados para que sejamos conservadores.
Vamos ver a tabela de valores de np para um risco do produtor de 0,05 e um risco do consumidor de 0,10:
Número de aceitação c Pa = 0, 95np1 Pa = 0, 10np2 np2 ÷ np2
0 0,051 2,303 44,84
1 0,355 3,890 10,96
Número de aceitação c Pa = 0, 95np1 Pa = 0, 10np2 np2 ÷ np2
2 0,818 5,322 6,51
3 1,366 6,681 4,89
4 1,970 7,994 4,06
5 2,613 9,274 3,55
6 3,286 10,532 3,21
7 3,981 11,771 2,96
8 4,695 12,995 2,77
9 5,426 14,206 2,62
10 6,169 15,407 2,50
11 3,924 16,598 2,40
12 7,690 17,782 2,31
13 8,464 18,958 2,24
14 9,246 20,128 2,18
15 10,035 21,292 2,21
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Extraído de Grubs (1949)
EXEMPLO 11
Encontreum único plano de amostragem que satisfaça o risco de um produtor de 5% para lotes que têm 1,5% de não conformes.
SOLUÇÃO
Temos
a = 0, 05
e
AQL = 0, 015
. Se escolhermos um número de aceitação
c = 1
javascript:void(0)
, para o qual a tabela nos dá
np1 = 0, 355
, o tamanho da amostra é:
N =
0, 355
P1
=
0, 355
0, 015 = 23, 67 ≈ 24
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se o número de aceitação for 3, nós temos
np1 = 1, 366
e o tamanho da amostra é:
N =
1, 366
0, 015 = 91, 07 ≈ 92
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se o número de aceitação for 6, nós temos
np1 = 3, 286
, e o tamanho da amostra é:
N =
3, 286
0, 015 = 219, 07 ≈ 220
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que todos os três planos satisfazem o risco do produtor de 5% no valor AQL de 1,5%. No entanto, eles têm vários graus de proteção contra a
aceitação de lotes de baixa qualidade, o que seria de interesse para o consumidor.
Dos três planos mostrados,
n = 220
,
c = 6
fornece a melhor proteção ao consumidor porque tem a menor probabilidade de aceitar lotes de baixa qualidade. No entanto, devemos também
considerar o aumento dos custos de inspeção associado a esse plano, porque o tamanho da amostra para
c = 6
é o maior dos três.
EXEMPLO 12
Encontre um único plano de amostragem que irá satisfazer o risco do consumidor de 10% para lotes que são 8% não conformes.
SOLUÇÃO
Temos
β = 0, 10
e
p2 = LQL = 0, 08
.
Se selecionarmos um número de aceitação igual a 1, na tabela acima obtemos:
np2 = 3.890
. O tamanho da amostra é:
N =
3.890
P2
=
3.890
0, 08 = 48, 62 ≈ 49
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se o número de aceitação for 3, nós temos
np2 = 6, 681
, e o tamanho da amostra é:
N =
6, 681
0, 08 = 83, 51 ≈ 84
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se o número de aceitação for 6, nós temos
np2 = 10, 532
, e o tamanho da amostra é:
N =
10, 532
0, 08 = 131, 65 ≈ 132
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Todos os três passam pelo ponto (
p2
javascript:void(0)
,
β
), satisfazendo assim a determinação do consumidor. O grau de proteção para lotes extremamente bons atende à preocupação do produtor. O plano
n = 132
,
c = 6
rejeitará lotes bons (digamos, 1% não conforme) o menos frequentemente dos três planos. Obviamente, há o maior tamanho da amostra, o que pode
causar um custo maior de inspeção. Outros valores do número de aceitação também podem ser selecionados.
Desejamos planos de amostragem que satisfaçam o risco do produtor (dado um nível de qualidade associado
p1 = AQL
) e o risco do consumidor (dado um nível de qualidade associado p2 = LQL).
Bons lotes, com nível de qualidade dado pela AQL, devem ser rejeitados não mais de 100α% do tempo. Lotes ruins, com nível de qualidade
especificado pela LQL, devem ser aceitos não mais de 100β% do tempo. Pode ser difícil encontrar um plano de amostragem que satisfaça exatamente
a ambos a estipulação do produtor e do consumidor.
Dois planos podem atender exatamente as expectativas do produtor e chegar perto de atender as necessidades do consumidor. Dois outros planos
podem atender exatamente as necessidades do consumidor e chegar perto das expectativas do produtor.
 DICA
Desses quatro planos, um deve ser selecionado com base em critérios de atendimento ao usuário. Pode ser de interesse, por exemplo, escolher o
plano com o menor tamanho de amostragem para minimizar custos de inspeção, ou aquele com o maior tamanho da amostragem para fornecer a
maior proteção.
EXEMPLO 13
Encontre um único plano de amostragem que satisfaça o risco para o produtor de 5% para lotes com 1,8% não conformes, e um risco do consumidor
de 10% para lotes com 9% de não conformidade.
SOLUÇÃO
Temos então:
Α = 0, 05, P1 = AQL = 0, 018, Β = 0, 10 E P2 = LQL = 0, 09
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, calculamos a razão
np2
/
np1
, que é a proporção
p2
javascript:void(0)
/
p1
:
P2
P1
=
LQL
AQL =
0, 09
0, 018 = 5, 00
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TEORIA NA PRÁTICA
DETERMINAR OS PLANOS DE AMOSTRAGEM QUE SATISFAÇAM O RISCO DO
PRODUTOR DE 5% PARA LOTES QUE SÃO 1,8% NÃO CONFORMES, E UM RISCO DO
CONSUMIDOR DE 10% PARA LOTES COM 9% DE NÃO CONFORMIDADES.
SOLUÇÃO
MÃO NA MASSA
O VALOR DO ATI PARA O PLANO DE AMOSTRAGEM EM QUE N = 1.000, N = 100, C = 2 E P= 2%, SERÁ IGUAL A:
A) 620
B) 530
C) 480
D) 310
E) 680
O PLANO DE AMOSTRAGEM QUE SATISFAÇA O RISCO DE UM PRODUTOR DE 5% PARA LOTES QUE SÃO 2,5% NÃO
CONFORMES E TAMANHO DA AMOSTRA IGUAL A 8 SERÁ IGUAL A:
A) 150 amostras
B) 165 amostras
C) 188 amostras
D) 206 amostras
E) 197 amostras
QUAL A PROBABILIDADE APROXIMADA DE ACEITAÇÃO DE UM PLANO DE AMOSTRAGEM QUE SATISFAÇA O
RISCO DE UM PRODUTOR DE 5% PARA LOTES QUE TÊM 1,5% DE NÃO CONFORMES, E UM NÚMERO DE
ACEITAÇÃO
C = 4
?
A) 25,47
B) 20,56
C) 42,88
D) 75,67
E) 30,05
QUAL VALOR DO ATI PARA O PLANO DE AMOSTRAGEM EM QUE
N = 2.000
,
N = 100
,
C = 2
E
P = 2%
?
A) 715
B) 652
C) 384
D) 1.025
E) 284
QUAL PLANO DE AMOSTRAGEM SATISFAZ O RISCO DE UM PRODUTOR DE 5% PARA LOTES QUE SÃO 2,5% NÃO
CONFORMES E CUJO TAMANHO DA AMOSTRA É IGUAL A 12?
A) 250 amostras
B) 378 amostras
C) 326 amostras
D) 288 amostras
E) 308 amostras
QUAL VALOR DO ATI PARA O PLANO DE AMOSTRAGEM EM QUE
N = 3.000
,
N = 150
,
C = 1
E
P = 3%
?
A) 317
B) 359
C) 371
D) 384
E) 363
GABARITO
O valor do ATI para o plano de amostragem em que N = 1.000, n = 100, c = 2 e p= 2%, será igual a:
A alternativa "A " está correta.
Como já vimos,
ATI = n + (1 − Pa)(N– n)
, então vamos calcular
p Pa
:
PA =
N !
(N − K) !K !P
K(1 − P)N−K =
100!
(100 − 0)!0!0, 020(1 − 0, 02)100 − 0 = 0, 1326
PA =
N !
(N − K) !K !P
K(1 − P)N−K =
100!
(100 − 1)!1!0, 021(1 − 0, 02)100 − 1 = 0, 2707
PA =
N !
(N − K) !K !P
K(1 − P)N−K =
100!
(100 − 2)!2!0, 022(1 − 0, 02)100 − 2 = 0, 2734
PA = 0, 136 + 0, 2707 + 0, 2734 = 0, 6767
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
ATI = 100 + (1– 0, 6767)(1000– 100) = 619, 03 = 620
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O plano de amostragem que satisfaça o risco de um produtor de 5% para lotes que são 2,5% não conformes e tamanho da amostra igual a 8
será igual a:
A alternativa "C " está correta.
Temos
np = 0, 05
e
AQL = 0, 025
. Se escolhermos um número de aceitação
c = 8
para a tabela nos dá
np1 = 4, 695
, e o tamanho da amostra é:
N =
4, 695
0, 025 = 187, 80 ≈ 188
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Qual a probabilidade aproximada de aceitação de um plano de amostragem que satisfaça o risco de um produtor de 5% para lotes que têm
1,5% de não conformes, e um número de aceitação
c = 4
?
A alternativa "B " está correta.
Temos
a = 0, 05
e
AQL = 0, 015
. Se escolhermos um número de aceitação
c = 4
, para o qual a tabela nos dá
np1 = 1, 970
, o tamanho da amostra é:
N =
1, 970
P1
=
1, 970
0, 015 = 131, 33 ≈ 132
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos agora determinar a probabilidade:
PA =
N !
(N − K) !K !P
K(1 − P)N−K =
132!
(132 − 0)!0!0, 050(1 − 0, 05)132 − 0 = 0, 0011
PA =
N !
(N − K) !K !P
K(1 − P)N−K =
132!
(132 − 1)!1!0, 051(1 − 0, 05)132 − 1 = 0, 0080
PA =
N !
(N − K) !K !P
K(1 − P)N−K =
132!
(132 − 2)!2!0, 052(1 − 0, 05)132 − 2 = 0, 0275
PA =
N !
(N − K) !K !P
K(1 − P)N−K =
132!
(132 − 2)!3!0, 053(1 − 0, 05)132 − 3 = 0, 0626
PA =
N !
(N − K) !K !P
K(1 − P)N−K =
132!
(132 − 2)!4!0, 054(1 − 0, 05)132 − 4 = 0, 1063
PA = 0, 0011 + 0, 0080 + 0, 0275 + 0, 626 + 0, 1063 = 0, 2056
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Qual valor do ATI parao plano de amostragem em que
N = 2.000
,
n = 100
,
c = 2
e
p = 2%
?
A alternativa "A " está correta.
MÃO NA MASSA 4
Qual plano de amostragem satisfaz o risco de um produtor de 5% para lotes que são 2,5% não conformes e cujo tamanho da amostra é igual
a 12?
A alternativa "E " está correta.
Temos
np = 0, 05
e
AQL = 0, 025
. Se escolhermos um número de aceitação
c = 12
, para o qual a tabela nos dá
np1 = 7, 690
, o tamanho da amostra é:
N =
7, 690
0, 025 = 307, 60 ≈ 308
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Qual valor do ATI para o plano de amostragem em que
N = 3.000
,
n = 150
,
c = 1
e
p = 3%
?
A alternativa "A " está correta.
Como já vimos,
ATI = n + (1 − Pa)(N– n)
, então vamos calcular
p Pa
.
PA =
N !
(N − K) !K !P
K(1 − P)N−K =
150!
(150 − 0)!0!0, 030(1 − 0, 03)150 − 0 = 0, 0104
PA =
N !
(N − K) !K !P
K(1 − P)N−K =
150!
(150 − 1)!1!0, 03(1 − 0, 03)150 − 1 = 0, 0481
PA = 0, 0104 + 0, 0481 = 0, 0585
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
ATI = 150 + (1– 0, 0585)(3000– 150) = 316, 73 = 317
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
ANALISE AS ALTERNATIVAS A SEGUIR:
UMA AMOSTRAGEM DE ACEITAÇÃO PODE SER REALIZADA DURANTE A INSPEÇÃO DE ENTRADA DE
MATÉRIAS-PRIMAS, COMPONENTES E CONJUNTOS, EM VÁRIAS FASES DAS OPERAÇÕES EM PROCESSO OU
DURANTE A INSPEÇÃO.
A AMOSTRAGEM DE ACEITAÇÃO CONTROLA OU MELHORA O NÍVEL DE QUALIDADE DO PROCESSO.
A QUALIDADE NÃO PODE SER INSPECIONADA EM UM PRODUTO OU SERVIÇO, POIS QUALIDADE DEVE SER
PROJETADA E INTEGRADA.
SE A INSPEÇÃO FOR DESTRUTIVA, A INSPEÇÃO 100% É POSSÍVEL.
ESTÁ CORRETO O QUE SE AFIRMA EM:
A) I e III
B) I e IV
C) II e IV
D) III e IV
E) I, II e IV
ANALISE AS ALTERNATIVAS A SEGUIR:
RISCO DO PRODUTOR É O RISCO ASSOCIADO À REJEIÇÃO DE UM LOTE BOM.
RISCO DO CONSUMIDOR É O RISCO ASSOCIADO À ACEITAÇÃO DE UM LOTE BOM.
SE O RISCO DO CONSUMIDOR É DE 10% PARA UM LQL DE 0,08, ISSO SIGNIFICA QUE OS LOTES COM 8% DE
NÃO CONFORMIDADE SÃO RUINS E QUE SE PREFERE ACEITAR ESSES LOTES EM NÃO MAIS DO QUE 10% DO
TEMPO.
IV. A CURVA CARACTERÍSTICA DA OPERACIONAL (OC) MEDE A EXECUÇÃO DE UM PLANO DE AMOSTRAGEM.
ESTÁ CORRETO O QUE SE AFIRMA EM:
A) I e III
B) I e IV
C) II e IV
D) III e IV
E) I, III e IV
GABARITO
Analise as alternativas a seguir:
Uma amostragem de aceitação pode ser realizada durante a inspeção de entrada de matérias-primas, componentes e conjuntos, em
várias fases das operações em processo ou durante a inspeção.
A amostragem de aceitação controla ou melhora o nível de qualidade do processo.
A qualidade não pode ser inspecionada em um produto ou serviço, pois qualidade deve ser projetada e integrada.
Se a inspeção for destrutiva, a inspeção 100% é possível.
Está correto o que se afirma em:
A alternativa "A " está correta.
Alternativa I, correta: a amostragem de aceitação pode ser realizada nas entradas do processo, bem como em suas fases
Alternativa II, errada: não é função da amostragem de aceitação controlar a qualidade
Alternativa III, absolutamente correta.
Alternativa IV, errada: se for destrutiva, não será possível pois não teremos mais as amostras.
Analise as alternativas a seguir:
Risco do produtor é o risco associado à rejeição de um lote bom.
Risco do consumidor é o risco associado à aceitação de um lote bom.
Se o risco do consumidor é de 10% para um LQL de 0,08, isso significa que os lotes com 8% de não conformidade são ruins e que se
prefere aceitar esses lotes em não mais do que 10% do tempo.
IV. A curva característica da operacional (OC) mede a execução de um plano de amostragem.
Está correto o que se afirma em:
A alternativa "E " está correta.
A única errada é a II, porque o risco consumidor está associado à aceitação de um lote ruim.
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste estudo, vimos como analisar planos de amostragem e como compatibilizar os riscos de produtor e consumidor. Trata-se de um assunto valioso
para analisar processos de inspeção, mas devemos ter o cuidado de balancear o custo-benefício entre tamanhos de lotes/amostras e custo de
inspeção.
Vimos, ainda, a carta de controle EWMA, que é melhoria da carta X-barra, assim como a importância de determinar a amostragem e suas aplicações.
Esse tipo de gráfico de controle é útil ao analisar se um processo está no alvo ou para detectar pequenas mudanças na média do processo.
Observamos que a estatística EWMA é traçada ao longo do tempo, e que a linha central no gráfico de controle é geralmente o alvo, ou seja, o valor
médio é nosso objetivo. Os limites de controle dependem do número de amostras e começarão curvos antes de se nivelarem. Somente pontos além
dos limites de controle se aplicam a pontos fora de controle.
Finalizamos mostrando como é trabalhar com os riscos do produtor e consumidor com relação a não conformidades de um processo.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
ABNT – ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Normalização. Definição. Rio de Janeiro; São Paulo, 2014. Consultado em meio
eletrônico em: 7 jan. 2021.
GRUBS, F. E. On designing single sampling plans. Annals of Mathematical Statistics, v. 20, n. 2, p. 242-256, 1949.
LENZ, H. J.; WILLRICH, P. T. Frontiers in statistical quality control. Berlin: Physica-Verlag, 2006. 358p.
MONTGOMERY, D.C. Introduction to statistical quality control. London: John Wiley & Sons, 2009. 754p.
PALADINO, E. Gestão da qualidade: teoria e prática. Rio de Janeiro: Grupo Gen, 2019. 280p.
SEBRAE – SERVIÇO BRASILEIRO DE APOIO ÀS MICRO E PEQUENAS EMPRESAS. O que é normalização? Normas Técnicas. Brasília: SEBRAE,
2016. Consultado em meio eletrônico em: 11 jan. 2021.
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CONTEUDISTA
Mauro Rezende Filho
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