Math e Calculo AB

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- a) \(-1\) 
 - b) \(1\) 
 - c) \(7\) 
 - d) \(1\) 
 - **Resposta: a) \(-1\)**. 
 Explicação: O determinante de uma matriz \(2 \times 2\) é calculado como \(ad - bc\). Aqui, 
\(2 \cdot 7 - 3 \cdot 5 = 14 - 15 = -1\). 
 
**4.** Encontre o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - 2x^2 + x - 4}{2x^3 + x - 3} \). 
 - a) \( \frac{1}{2} \) 
 - b) \(1\) 
 - c) \(-1\) 
 - d) \(0\) 
 - **Resposta: a) \(\frac{1}{2}\)**. 
 Explicação: O termo dominante no numerador e no denominador é \(x^3\). Dividindo o 
numerador e o denominador por \(x^3\), obtemos \( \frac{1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} - 
\frac{4}{x^3}}{2 + \frac{1}{x^2} - \frac{3}{x^3}} \). À medida que \(x \to \infty\), os termos com 
\(x\) no denominador tendem a zero e o limite é \(\frac{1}{2}\). 
 
**5.** Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = xy \) com a condição inicial \( y(0) = 1 \). 
 - a) \( y = e^{\frac{x^2}{2}} \) 
 - b) \( y = e^{x^2} \) 
 - c) \( y = e^x \) 
 - d) \( y = e^{2x} \) 
 - **Resposta: a) \( y = e^{\frac{x^2}{2}} \)**. 
 Explicação: A equação diferencial é separável. Integrando ambos os lados, obtemos \( \ln |y| 
= \frac{x^2}{2} + C \). Aplicando a condição inicial, obtemos \( C = 0 \) e \( y = e^{\frac{x^2}{2}} 
\). 
 
**6.** Qual é o valor da série infinita \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} \)? 
 - a) 1 
 - b) \( \frac{1}{2} \) 
 - c) \( \frac{2}{3} \) 
 - d) \( \frac{1}{2} \) 
 - **Resposta: a) 1**. 
 Explicação: Usando a decomposição em frações parciais, \( \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - 
\frac{1}{n+1} \). A série telescópica resulta em 1. 
 
**7.** Qual é o maior valor de \( f(x) = \ln(x) - \frac{1}{x} \) para \( x > 0 \)? 
 - a) 1 
 - b) 0 
 - c) \(\ln(2)\) 
 - d) \(\frac{1}{2}\) 
 - **Resposta: c) \(\ln(2)\)**. 
 Explicação: A derivada de \( f(x) \) é \( \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \). Igualando a zero e 
resolvendo, obtemos \( x = 2 \). Substituindo \( x = 2 \) em \( f(x) \), obtemos \( \ln(2) - 
\frac{1}{2} \), que é o valor máximo. 
 
**8.** Qual é o valor de \( \int_{0}^{\pi/2} \sin^2(x) \, dx \)? 
 - a) \( \frac{\pi}{4} \) 
 - b) \( \frac{\pi}{8} \) 
 - c) \( \frac{\pi}{2} \) 
 - d) \( \frac{\pi}{6} \) 
 - **Resposta: b) \(\frac{\pi}{8}\)**. 
 Explicação: Usando a identidade \( \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \), a integral se torna \( 
\frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/2} (1 - \cos(2x)) \, dx \), que é \( \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{8} \). 
 
**9.** Qual é a solução da equação \( z^2 + 1 = 0 \) no conjunto dos números complexos? 
 - a) \( \pm i \) 
 - b) \( \pm 1 \) 
 - c) \( \pm \sqrt{2} \) 
 - d) \( \pm i \sqrt{2} \) 
 - **Resposta: a) \( \pm i \)**. 
 Explicação: A equação é \( z^2 = -1 \). Tomando a raiz quadrada, obtemos \( z = \pm i \). 
 
**10.** Encontre o valor de \( \frac{d^2}{dx^2} \left( e^{2x} \sin(x) \right) \). 
 - a) \( e^{2x} (2 \sin(x) + \sin(x) - 2 \cos(x)) \) 
 - b) \( e^{2x} (4 \sin(x) - \cos(x)) \) 
 - c) \( e^{2x} (2 \sin(x) - \cos(x)) \) 
 - d) \( e^{2x} (2 \sin(x) + \cos(x)) \) 
 - **Resposta: b) \( e^{2x} (4 \sin(x) - \cos(x)) \)**. 
 Explicação: Usando a regra do produto e derivando duas vezes, obtemos \( \frac{d^2}{dx^2} 
\left( e^{2x} \sin(x) \right) = e^{2x} (4 \sin(x) - \cos(x)) \). 
 
**11.** Qual é o valor da soma \( \sum_{k=1}^{n} k^2 \)? 
 - a) \( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \) 
 - b) \( \frac{n(n+1)}{2} \) 
 - c) \( \frac{n(n+1)(n+2)}{6} \) 
 - d) \( \frac{n^2(n+1)}{2} \) 
 - **Resposta: a) \( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)**. 
 Explicação: Esta é a fórmula para a soma 
 
 dos quadrados dos primeiros \( n \) números naturais. 
 
**12.** Qual é o polinômio característico da matriz \(\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 
\end{pmatrix}\)? 
 - a) \( \lambda^2 - 4\lambda + 1 \) 
 - b) \( \lambda^2 - 4\lambda + 2 \) 
 - c) \( \lambda^2 - 3\lambda - 2 \) 
 - d) \( \lambda^2 - 2\lambda + 1 \) 
 - **Resposta: a) \( \lambda^2 - 4\lambda + 1 \)**. 
 Explicação: O polinômio característico é dado por \( \det(A - \lambda I) \), que neste caso é \( 
\lambda^2 - 4\lambda + 1 \). 
 
**13.** Qual é o valor da integral \( \int_{1}^{e} \frac{1}{x \ln(x)} \, dx \)? 
 - a) \( \ln(\ln(e)) \) 
 - b) \( \ln(\ln(1)) \)