9 GERAIS DE RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

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RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
1 
 
 
 
 
 
 
1. (G1 - cftmg 2016) O triângulo ABC é 
retângulo em ˆABC e os segmentos BD e AC 
são perpendiculares. 
 
 
 
Assim, a medida do segmento DC vale 
a) 10 3. b) 6 3. c) 
15
.
2
 d) 
13
.
2
 
 
2. (Uemg 2016) Observe a figura: 
 
 
 
Tendo como vista lateral da escada com 6 
degraus, um triângulo retângulo isósceles de 
hipotenusa 10 metros, Magali observa que 
todos os degraus da escada têm a mesma altura. 
A medida em cm, de cada degrau, corresponde 
aproximadamente a: 
a) 37. b) 60. c) 75. d) 83. 
 
3. (Unifor 2014) Um corredor A está sobre uma 
linha reta e corre sobre ela no sentido AX com 
velocidade constante igual à metade do corredor 
B que se desloca no sentido BX. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo a partida simultânea e considerando que a 
reta BA faz um ângulo reto com a reta AX, o 
ângulo α que a trajetória de B deve fazer com a 
reta BA para que seja possível o encontro é de: 
a) 30 b) 35 c) 40 d) 45 e) 60 
 
4. (Unifor 2014) Sobre uma rampa de 3m de 
comprimento e inclinação de 30 com a 
horizontal, devem-se construir degraus de altura 
30cm. 
 
 
 
Quantos degraus devem ser construídos? 
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 
 
5. (Unifor 2014) Uma pessoa está a 80 3 m de 
um prédio e vê o topo do prédio sob um ângulo de 
30 , como mostra a figura abaixo. 
 
 
 
Se o aparelho que mede o ângulo está a 1,6 m de 
distância do solo, então podemos afirmar que a 
altura do prédio em metros é: 
a) 80,2 b) 81,6 c) 82,0 d) 82,5 e) 83,2 
 
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6- (Pucrs 2012) Arquimedes,candidato a um dos 
cursos da Faculdade de Engenharia, visitou a 
PUCRS para colher informações. Uma das 
constatações que fez foi a de que existe grande 
proximidade entre Engenharia e Matemática. 
 
Em uma aula prática de Topografia, os alunos 
aprendiam a trabalhar com o teodolito, 
instrumento usado para medir ângulos. Com o 
auxílio desse instrumento, é possível medir a 
largura y de um rio. De um ponto A, o observador 
desloca-se 100 metros na direção do percurso do 
rio, e então visualiza uma árvore no ponto C, 
localizada na margem oposta sob um ângulo de 
60°, conforme a figura abaixo. 
 
 
 
Nessas condições, conclui-se que a largura do rio, 
em metros, é 
a) 
100 3
3
 b) 
100 3
2
 c) 100 3 
d) 
50 3
3
 e) 200 
 
7. (Unemat 2010) Na figura abaixo, o triângulo 
ABC é um triângulo equilátero de 3 cm de lado, e 
o triângulo retângulo BCD tem lados BD = 4 cm e 
CD = 5 cm e = 90° . 
 
 
Qual a medida do segmento AD? 
a) 3 
b) 4 3 
c) 100 3 
d) 25 12 3 
e) 2 3 
 
 
 
 
8. (Enem 2010) Um balão atmosférico, lançado 
em Bauru (343 quilômetros a Noroeste de São 
Paulo), na noite do último domingo, caiu nesta 
segunda-feira em Cuiabá Paulista, na região de 
Presidente Prudente, assustando agricultores da 
região. O artefato faz parte do programa Projeto 
Hibiscus, desenvolvido por Brasil, Franca, 
Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição do 
comportamento da camada de ozônio, e sua 
descida se deu após o cumprimento do tempo 
previsto de medição. 
 
 
 
Disponível em: http://www.correiodobrasil.com.br. Acesso em: 
02 maio 2010. 
 
Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o 
balão. Uma estava a 1,8 km da posição vertical do 
balão e o avistou sob um ângulo de 60°; a outra 
estava a 5,5 km da posição vertical do balão, 
alinhada com a primeira, e no mesmo sentido, 
conforme se vê na figura, e o avistou sob um 
ângulo de 30°. 
Qual a altura aproximada em que se encontrava o 
balão? 
a) 1,8 km b)1,9 km c) 3,1 km d)3,7 km e) 5,5 km 
 
9. (Ufpb 2010) Em parques infantis, é comum 
encontrar um brinquedo, chamado escorrego, 
constituído de uma superfície plana inclinada e 
lisa (rampa), por onde as crianças deslizam, e de 
uma escada que dá acesso à rampa. No parque 
de certa praça, há um escorrego, apoiado em um 
piso plano e horizontal, cuja escada tem 2m de 
comprimento e forma um ângulo de 45º com o 
piso; e a rampa forma um ângulo de 30º com o 
piso, conforme ilustrado na figura a seguir. 
 
 
 
 
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De acordo com essas informações, é correto 
afirmar que o comprimento (L) da rampa é de: 
a) 2 m b) 2 2 m c) 3 2 m d) 4 2 m 
e) 5 2 m 
 
10. (Uemg 2010) Na figura, a seguir, um 
fazendeiro (F) dista 600 m da base da montanha 
(ponto B). A medida do ângulo A F̂ B é igual a 30º. 
 
 
 
Ao calcular a altura da montanha, em metros, o 
fazendeiro encontrou a medida correspondente a 
a) 200 3. b) 100 2. c) 150 3. d) 250 2. 
 
11. (Espm 2010) Uma pessoa cujos olhos estão a 
1,80 m de altura em relação ao chão avista o topo 
de um edifício segundo um ângulo de 30° com a 
horizontal. Percorrendo 80 m no sentido de 
aproximação do edifício, esse ângulo passa a 
medir 60°. Usando o valor 1,73 para a raiz 
quadrada de 3, podemos concluir que a altura 
desse edifício é de aproximadamente: 
a) 59 m b) 62 m c) 65 m d) 69 m e) 71 m 
 
12. (Unesp 2010) Em um experimento sobre 
orientação e navegação de pombos, considerou-
se o pombal como a origem O de um sistema de 
coordenadas cartesianas e os eixos orientados 
Sul-Norte (SN) e Oeste-Leste (WL). Algumas aves 
foram liberadas num ponto P que fica 52 km ao 
leste do eixo SN e a 30 km ao sul do eixo WL. 
O ângulo azimutal de P é o ângulo, em graus, 
medido no sentido horário a partir da semirreta ON 
até a semirreta OP. No experimento descrito, a 
distância do pombal até o ponto de liberação das 
aves, em km, e o ângulo azimutal, em graus, 
desse ponto são, respectivamente: 
 
Dado: 3604 60. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 42,5 e 30. 
b) 42,5 e 120. c) 60 e 30. d) 60 e 120. 
e) 60 e 150. 
 
 
13. (G1 - cftmg 2011) Um foguete é lançado de 
uma rampa situada no solo sob um ângulo de 
60º , conforme a figura. 
 
 
 
Dados: 
3
sen 60º
2
 ; 
1
cos 60º
2
 ; 
tg 60º 3 . 
 
A altura em que se encontra o foguete, após ter 
percorrido 12km , é 
a) 600 dam 
b) 12.000 m 
c) 6.000 3 dm 
d) 600.000 3 cm 
 
14. (Fuvest 2017) O paralelepípedo reto-
retângulo ABCDEFGH, representado na figura, 
tem medida dos lados AB 4, BC 2  e BF 2. 
 
 
 
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O seno do ângulo HAF é igual a 
a) 
1
2 5
 b) 
1
5
 c) 
2
10
 
d) 
2
5
 e) 
3
10
 
 
15. (G1 - cftmg 2017) Em um triângulo retângulo, 
a tangente de um de seus ângulos agudos é 2. 
Sabendo-se que a hipotenusa desse triângulo é 
5, o valor do seno desse mesmo ângulo é 
a) 
4
.
5
 b) 
5
.
4
 c) 
5
.
5
 d) 
2 5
.
5
 
 
16. (Fgv 2017) A torre de controle de tráfego 
marítimo de Algés, em Portugal, tem o formato de 
um prisma oblíquo, com base retangular de área 
2247 m . A inclinação da torre é de 
aproximadamente 76,7 , com deslocamento 
horizontal de 9 m da base superior em relação à 
base inferior do prisma. 
 
 
 
 
Dados: 
α sen α cos α tg α 
13,3 0,23 0,97 0,24 
 
Nas condições descritas, o volume do prisma que 
representa essa torre, aproximado na casa da 
centena, é igual a 
a) 39.300 m . b) 38.900 m . c) 38.300 m . 
d) 34.600 m . e) 34.200 m . 
 
17. (Upe-ssa 1 2017) A medida da área do 
triângulo retângulo, representado a seguir, é de 
212,5 cm . Qual é o valor aproximado do seno do 
 
 
ângulo “ ”?θ Considere 2 1,4. 
 
 
 
a) 0,45 b) 0,52 c) 0,61 d) 0,71 e) 0,85 
 
18. (Upf 2017) Considere o triângulo ABC 
representado na figura. 
 
 
 
Sabe-se que: 
AB 8
ˆACB 30

 
 
Qualdas expressões seguintes representa BC, 
em função de ?α 
a) 16senα b) 8senα 
c) 4 3 senα d) 16cosα e) 4cosα 
 
19. (G1 - ifal 2017) Um estudante do Curso de 
Edificações do IFAL utiliza um teodolito para 
determinar a altura de um prédio construído em 
um terreno plano. A uma determinada distância 
desse prédio, ele vê o topo do prédio sob um 
ângulo de 30 . Aproximando-se do prédio mais 
60 m, passa a ver o topo do prédio sob um ângulo 
de 60 . 
Considerando que a base do prédio está no 
mesmo nível da luneta do teodolito, qual a altura 
deste prédio? 
a) 10 3 m. 
b) 28 m. 
c) 30 m. 
d) 20 3 m. 
e) 30 3 m. 
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20. (Enem (Libras) 2017) A famosa Torre de 
Pisa, localizada na Itália, assim como muitos 
outros prédios, por motivos adversos, sofrem 
inclinações durante ou após suas construções. 
Um prédio, quando construído, dispunha-se 
verticalmente e tinha 60 metros de altura. Ele 
sofreu uma inclinação de um ângulo ,α e a 
projeção ortogonal de sua fachada lateral sobre o 
solo tem largura medindo 1,80 metro, conforme 
mostra a figura. 
 
 
 
O valor do ângulo de inclinação pode ser 
determinado fazendo-se o uso de uma tabela 
como a apresentada. 
 
Ângulo α 
(Grau) 
Seno 
0,0 0,0 
1,0 0,017 
1,5 0,026 
1,8 0,031 
2,0 0,034 
3,0 0,052 
 
Uma estimativa para o ângulo de inclinação ,α 
quando dado em grau, é tal que 
a) 0 1,0α  b) 1,0 1,5α  c) 1,5 1,8α  
d) 1,8 2,0α  e) 2,0 3,0α  
 
21. (G1 - ifsul 2017) A figura a seguir representa 
a área de um jardim com o formato de um 
triângulo retângulo isóscele. Nele deverá ser 
colocada uma tela para cercar totalmente o 
terreno. 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando os dados apresentados, quantos 
metros de tela, no mínimo, serão necessários? 
a) 4 2 2 b) 2 2 2 c) 4 2 d) 2 2 
 
22. (Puccamp 2017) Burj Khalifa, localizado em 
Dubai, é considerado o edifício mais alto do 
mundo, com cerca de 830 m. A figura ao lado da 
fotografia representa a extensão vertical desse 
edifício altíssimo, dividida em 8 níveis igualmente 
espaçados. 
 
 
 
Dado: adote 3 1,73 em suas contas finais. 
 
Utilizando os dados fornecidos, um feixe de laser 
emitido a partir do ponto indicado na figura por P 
atingiria a coluna central do Burj Khalifa, 
aproximadamente, na marca 
a) 5N . b) 6N . c) 7N . d) 4N . e) 3N . 
 
 
23. (G1 - ifal 2017) Ao soltar pipa, um garoto 
libera 90 m de linha, supondo que a linha fique 
esticada e forme um ângulo de 30 com a 
horizontal. A que altura a pipa se encontra do 
solo? 
a) 45 m. b) 45 3 m. c) 30 3 m. 
d) 45 2 m. e) 30 m. 
 
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24. (Efomm 2016) Determine o perímetro do 
triângulo ABD, em cm, representado na figura 
abaixo: 
 
 
a) 5 3 5 b) 5(2 2)( 3 1)  
c) 20 4 5 d) 45 e) 50 
 
25. (Enem 2018) Para decorar um cilindro circular 
reto será usada uma faixa retangular de papel 
transparente, na qual está desenhada em negrito 
uma diagonal que forma 30 com a borda inferior. 
O raio da base do cilindro mede 
6
cm,
π
 e ao 
enrolar a faixa obtém-se uma linha em formato de 
hélice, como na figura. 
 
 
 
O valor da medida da altura do cilindro, em 
centímetro, é 
a) 36 3 
b) 24 3 
c) 4 3 
d) 36 
e) 72 
 
26. (G1 - ifpe 2018) Os alunos pré-egressos do 
campus Jaboatão dos Guararapes resolveram ir 
até a Lagoa Azul para celebrar a conclusão dos 
cursos. Raissa, uma das participantes do evento, 
ficou curiosa pra descobrir a altura do paredão 
rochoso que envolve a lagoa. Então pegou em sua 
mochila um transferidor e estimou o ângulo no 
ponto A, na margem onde estava, e, após nadar, 
 
 
 
aproximadamente, 70 metros em linha reta em 
direção ao paredão, estimou o ângulo no ponto B, 
conforme mostra a figura a seguir: 
 
 
 
De acordo com os dados coletados por Raissa, 
qual a altura do paredão rochoso da Lagoa Azul? 
 
Dados: sen (17 ) 0,29,  tan (17 ) 0,30,  
cos (27 ) 0,89  e tan (27 ) 0,51.  
a) 50 metros. 
b) 51 metros. 
c) 89 metros. 
d) 70 metros. 
e) 29 metros 
 
27. (G1 - cftmg 2018) Uma rua é formada por 
uma malha de paralelepípedos cuja imagem 
superior planificada está representada abaixo. 
 
 
 
Se cada retângulo tem lados de medida 1,5 dm e 
3 dm, a distância do vértice A do retângulo 1R ao 
vértice B do retângulo 2R , em metros, vale 
a) 
3 61
.
2
 
b) 
3 61
.
20
 
c) 
3 2
.
4
 
d) 
15 2
.
20
 
 
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28. (G1 - ifal 2018) Um atleta de 1,70 metro de 
altura, percebe que, ao fazer flexões no momento 
em que estica os braços, seu corpo, em linha reta, 
forma um ângulo de 30 com o piso. Nessas 
condições, a que altura do piso se encontra a 
extremidade da sua cabeça? (Considere que os 
braços formam com o piso um ângulo reto). 
a) 85 cm. 
b) 85 3 cm. 
c) 
170 3
cm.
3
 
d) 85 2 cm. 
e) 340 cm. 
 
 
29. (G1 - ifsc 2019) Um portão de elevação com 
4,52 metros de altura é articulado em seu centro 
C, possui sua extremidade superior A fixa e a 
extremidade B só pode se mover verticalmente, 
conforme a figura. O portão, que inicialmente está 
fechado, é levantado de maneira que a 
extremidade B sobe 4 cm. Isso produz um 
deslocamento da articulação C. Qual a abertura 
horizontal x, em centímetros, percorrida pela 
articulação C? 
 
 
 
Assinale a alternativa CORRETA. 
a) 24 cm 
b) 30 cm 
c)17 cm 
d)10 cm 
e) 4 cm 
 
 
 
 
 
30. (Uece 2019) A medida, em metros, do lado de 
um quadrado onde o comprimento de cada uma 
das diagonais é 2 m é igual a 
a) 2 2. b) 2.c)
2
.
2
d) 3 2. 
 
31. (G1 - cp2 2019) A haste (de 7 m de 
comprimento) de uma bandeira está apoiada, 
verticalmente, sobre o telhado de uma escola. De 
um ponto do plano horizontal onde a escola se 
situa, avistam-se a ponta superior e a base dessa 
haste, em ângulos de 60 e 45 , 
respectivamente, conforme mostra a figura: 
 
Considere: 3 1,7 
 
 
 
A altura aproximada da escola, em metros, é 
a) 4. 
b) 7. 
c)10. 
d)17. 
 
32. (G1 - cp2 2019) Um engenheiro deseja 
projetar uma ponte estaiada para ligar duas 
cidades vizinhas. Ele precisa instalar 8 cabos de 
sustentação que ligam uma torre (vertical) à parte 
horizontal da ponte, e dispõe de 1.400 metros de 
cabo para isso. Os cabos devem ser fixados à 
mesma distância um do outro, tanto na torre 
quanto na parte horizontal. Assim, a distância da 
base da torre ao primeiro ponto de fixação vertical 
deve ser igual à distância entre dois pontos de 
fixação vertical consecutivos. Essa mesma 
distância deve ser utilizada da base da torre ao 
primeiro ponto de fixação horizontal e entre os 
pontos de fixação horizontal consecutivos, 
conforme mostra a figura a seguir: 
 
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8 
 
 
 
 
Utilize 2 1,41 
 
 
 
A distância, em metros, entre dois pontos 
consecutivos de fixação desses cabos deve ser 
aproximadamente de 
a) 49,5. 
b) 70,0. 
c) 98,5. 
d)100,0. 
 
33. (G1 - cotil 2019) O prefeito de uma cidade 
turística pretende construir um teleférico unindo o 
parque cultural ao topo de uma montanha de 
200 m de altura, como mostra a figura abaixo. 
Considerando que a plataforma de embarque do 
teleférico deve estar a uma altura de 5 m do chão 
e que o pico da montanha possa ser observado 
sob um ângulo de 30 , determine a distância 
percorrida pelo teleférico do ponto de embarque 
ao topo da montanha.a) 350 m 
b) 370 m 
c) 390 m 
d) 410 m 
 
34. (G1 - cotil 2019) A acessibilidade urbana é 
um tema que merece atenção, especialmente 
quando as cidades crescem sem que haja 
planejamento de ações que garantam o bem- 
 
 
 
estar, a segurança e a autonomia no uso de 
equipamentos urbanos por pessoas com algum 
tipo de limitação, seja ela de mobilidade, idade ou 
percepção. Assim, para a construção de uma 
rampa de acesso, calculando-se sua inclinação, 
usa-se a seguinte expressão matemática: 
 
hx100
i ,
C
 em que: 
 
i é a inclinação da rampa em porcentagem; 
h é a altura do desnível; 
C é o comprimento da projeção horizontal. 
 
 
 
Qual é o ângulo formado em uma rampa que 
possui 100% de inclinação? 
a)180 
b) 90 
c) 60 
d) 45 
 
35 - (IBMEC SP Insper) 
Quando um avião de papel está a 1,5 metro do 
chão plano, ele inicia uma trajetória ascendente 
retilínea com ângulo constante de 30º de 
inclinação em relação à horizontal. Durante essa 
trajetória sua velocidade é constante e igual a 0,8 
m/s, até atingir a altura de 2,9 metros em relação 
ao chão. 
 
 
 
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Do instante em que o avião começou sua trajetória 
de 30º em relação à horizontal até atingir a altura 
de 2,9 m em relação ao chão, o tempo decorrido 
foi de 
 
a) 2,8 s. 
b) 3,5 s. 
c) 3,1 s. 
d) 2,0 s. 
e) 3,9 s. 
 
36 - (UniNorte AM) 
Se as medidas dos catetos de um triângulo 
retângulo são dadas pelas raízes da equação 
06x33x2  , então a tangente do menor 
ângulo interno desse triângulo é igual a 
 
a) –2 
b) 3 
c) 2
1
 
d) 2
3
 
e) 2 
 
37 - (UFU MG) 
Uma academia de ginástica disponibiliza a seus 
usuários um banco para que possam desenvolver 
suas atividades físicas com o auxílio de um 
instrutor habilitado. Esse banco pode ser utilizado 
para diversas atividades e por pessoas com 
diferentes biotipos, uma vez que possui uma parte 
prolongável e uma parte inclinável. 
Na Figura 1, a seguir, o banco foi inclinado em 30º 
em relação à posição horizontal, mas a parte 
prolongável não foi utilizada, mantendo sua 
extensão igual a d cm. Na Figura 2, o banco foi 
inclinado um pouco mais até formar um ângulo de 
45º em relação à posição horizontal e, além disso, 
a parte prolongável foi utilizada para ampliar a 
extensão do banco em x cm em relação à sua 
extensão inicial de d cm. 
Na posição da Figura 1, o encosto desse banco 
atinge a altura de h cm em relação à base 
horizontal do banco; na posição da Figura 2, o 
encosto desse banco atinge a altura de H cm em 
relação a essa mesma base horizontal, que é o 
 
 
 
 
dobro da altura h. 
 
 
 
Considere 4,12  . 
Segundo as informações apresentadas, a 
razão entre o prolongamento x e a extensão 
inicial d do banco é um número que pertence 
ao intervalo 
 
a) 






5
1
 ,0
. 
b) 






5
4
 ,
5
2
. 
c) 






5
2
 ,
5
1
. 
d) 






5
6
 ,
5
4
. 
 
 
 
 
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RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
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38 - (IFAL) 
A figura abaixo mostra um trecho de um mapa 
rodoviário com duas cidades A e B e uma rodovia 
principal, representada pela linha tracejada. 
 
 
 
O prefeito da cidade B, pretende construir uma 
estrada que ligue sua cidade a rodovia principal. 
Para reduzir custos ele vai construir a estrada com 
menor comprimento possível. Quantos 
quilômetros terá essa nova estrada? 
a) 10 
b) 20 
c) 30 
d) 40 
e) 80 
 
39 - (IFAL) 
Andando por uma das margens paralelas de um 
rio, um homem vê, de um certo ponto, sob uma 
direção que forma 30º com a margem, uma árvore 
na outra margem do rio. Após se deslocar pela 
margem por 20 m ele passa a avistar a mesma 
árvore com novo ângulo de 60º. Qual a largura do 
rio? 
 
a) 10m 
b) 310 
c) 20m 
d) 320 
e) 40m 
 
40 - (FAMEMA SP) 
A figura mostra o triângulo retângulo ABC, de 
hipotenusa cm 10 AB  , com o ângulo º30CB̂A  e o 
ponto D sobre o lado BC . 
 
 
 
 
 
 
Sabendo que AD é bissetriz do ângulo CÂB , o 
valor da razão DC
BD
é 
a) 2 
b) 1 
c) 2
1
 
d) 3 
e) 3
1
 
 
TEXTO: 1 - Comuns às questões: 41,42 
Uma das unidades da ETEC fará uma rampa de 
acesso com 50 metros de comprimento e com 
ângulo de 6° em relação ao nível do solo. No 
projeto, estabeleceu-se que a largura (L) da rampa 
tenha medida igual a três vezes a medida da 
altura (h) atingida pela rampa, como mostra a 
figura. 
 
Adote: sen 6º = 0,1 
 
 
41 - (ETEC SP) 
Depois de terminada a construção dessa rampa, 
uma pessoa que, ao subi-la, atinja exatamente 3
1
 
da altura total da rampa, terá percorrido, em 
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RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
11 
 
 
 
relação ao plano horizontal, um total de 
a) 112 m. 
b) 113 m. 
c) 114 m. 
d) 115 m. 
e) 116 m. 
 
42 - (ETEC SP) 
Com base nas informações dadas, a largura (L) da 
rampa, em metros, será igual a 
a) 10. 
b) 15. 
c) 20. 
d) 25. 
e) 30. 
 
43 - (FM Petrópolis RJ) 
Um triângulo retângulo é tal que o comprimento do 
seu menor cateto corresponde à metade do 
comprimento de sua hipotenusa. 
O seu menor ângulo interno mede 
a) 10º 
b) 45º 
c) 90º 
d) 30º 
e) 60º 
 
44 - (Univag MT) 
Considere o triângulo retângulo ADE, o retângulo 
CFED e o triângulo retângulo ABC, com o ponto D 
sobre o lado AC, conforme mostra a figura. 
 
 
 
A área do retângulo CFED é 
a) 312 cm2 
b) 316 cm2 
c) 314 cm2 
d) 310 cm2 
e) 38 cm2 
 
45 - (UECE) 
Se a razão entre as medidas dos catetos de um 
triângulo retângulo é igual a 2
1
, o valor do seno 
do menor dos ângulos internos desse triângulo é 
 
a) 2
3
. 
b) 3
3
. 
c) 3
2
. 
d) 2
2
. 
 
46 - (FAMEMA SP) 
A figura mostra um quadrado ABCD, com 6 cm de 
lado, e um triângulo retângulo ABF de hipotenusa 
AF , com o ponto F no prolongamento do lado BC 
e o ponto E sendo a intersecção dos segmentos 
DC e AF . 
 
 
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RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
12 
 
 
Sabendo que o ângulo FÂB mede 60º, a medida 
do segmento CE é 
a)  33  cm. 
b)  332  cm. 
c)  332  cm. 
d) 32 cm. 
e)  332  cm. 
 
47 - (PUCCampinas SP) 
Paulo está deitado na cama e assistindo à TV. Na 
figura, C representa um ponto sobre a cama a 
partir do qual o controle remoto da TV foi acionado 
na direção do receptor de sinal indicado por R. A 
medida do ângulo entre a linha que representa o 
sinal transmitido e a cama é igual a  . 
 
 
 
Sabe-se, ainda, que: 
 
− R está a 1,2 m do chão; 
− a altura da cama em relação ao chão é de 
40 cm; 
− C está a 4 metros de distância da parede 
em que a TV está fixada; 
− a espessura da TV é desprezível. 
 
Nas condições descritas e consultando a tabela, α 
é igual a 
a) 78,5º 
b) 11,5º 
c) 12,1º 
d) 12,4º 
e) 11,3º 
 
 
48 - (FGV ) 
A figura indica uma gangorra apoiada no chão 
plano. As medidas x e y estão em centímetros, 
sendo que y é maior do que x. Quando encostada 
com o chão de um dos lados, a gangorra forma 
ângulo de 50º. Do outro lado, quando encostada 
com o chão, a gangorra forma ângulo de 40º com 
ele. 
 
 
 
Admitindo-se que a distância entre os dois pontos 
de contato da gangorra com o chão seja igual a n 
centímetros e que a tg 40º seja igual a m, o valor 
de y, em centímetros, é igual a: 
 
a) 
2m1
n

 
b) 
2m1
n

 
c) 
m1
n

 
d) 
m1
n

 
e) 
m1
mn


 
 
49 - (FAMERP SP) 
Duas equipes de escavação vão perfurar um túnel 
AB em uma montanha, sendo que uma delas 
partirá de A e a outra de B, a fim de se 
encontrarem. Para cavar nas direções corretas os 
engenheiros precisam determinar as medidas dos 
ângulos  e  , indicados na figura, que essa 
direção forma com as retas 
 
 
 
Licensed to Maria Clara Nacif Moura - mcnacif@hotmail.com - 126.787.456-27RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
13 
 
 
 
 
perpendiculares AC e BC , respectivamente. 
 
 
 
 
De acordo com o projeto e com os dados 
fornecidos,  e  são, respectivamente, iguais a 
 
a) 18,4º e 71,6º. 
b) 21,8º e 68,2º. 
c) 14º e 76º. 
d) 26,6º e 63,4º. 
e) 16º e 74º. 
 
50 - (USF SP) 
As rampas são uma boa forma de assegurar a 
acessibilidade para cadeirantes e indivíduos com 
mobilidade reduzida. A acessibilidade a 
edificações, mobiliário, espaços e equipamentos 
urbanos é assegurada em lei. 
 
A Associação Brasileira de Normas Técnicas 
(ABNT), de acordo com a Lei Brasileira de 
Inclusão da Pessoa com Deficiência 
(13.146/2015), regula a construção e define a 
inclinação das rampas, bem como os cálculos 
para a sua construção. As diretrizes de cálculo da 
ABNT, indicam um limite máximo de inclinação de 
8,33% (proporção de 1:12). Isso significa que uma 
rampa, para vencer um desnível de 1 m, deve ter, 
no mínimo, 12 m de comprimento e isso define 
 
 
 
que o ângulo de inclinação da rampa, em relação 
ao plano horizontal, não pode ser maior que 7º. 
De acordo com as informações anteriores, para 
que uma rampa, com comprimento igual a 14 m e 
inclinação de 7º em relação ao plano, esteja 
dentro das normas da ABNT, ela deve servir para 
vencer um desnível com altura máxima de 
Use: sen 7º = 0,12; cos 7º = 0,99 e tg 7º = 0,12. 
a) 1,2 m. 
b) 1,32 m. 
c) 1,4 m. 
d) 1,56 m. 
e) 1,68 m. 
 
51- (UNEB BA) 
Ao decolar, um avião sobe formando, com a pista 
horizontal, o ângulo de 30º. Essa pista é reta e 
está a 0,5 quilômetros de distância de uma torre 
de transmissão de energia elétrica, com 200 
metros de altura. 
Considerando-se cos 30º = 0,8 e sen 30º = 0,5, se 
preciso, e mantendo o trajeto da pista, é correto 
afirmar que, tendo percorrido a distância horizontal 
de 0,5 quilômetros, o avião 
01. irá colidir com a torre, pois estará 
exatamente a 50m de altura. 
02. irá colidir com a torre, pois estará 
exatamente a 112m de altura. 
03. irá colidir com a torre, pois estará, 
exatamente, a 200m de altura. 
04. não irá colidir com a torre, pois estará, 
aproximadamente, a 112m acima da torre. 
05. não poderá colidir com a torre, pois estará, 
exatamente, voando a 200m acima da torre. 
 
52 - (UNCISAL) 
De um ponto do chão situado a 150 m de distância 
de um edifício, vê-se o topo do prédio sob um 
ângulo de 60º, como mostra a figura, desenhada 
sem escala. 
 
 
 
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RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
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Se for adotado 7,13  , o ponto do chão a partir 
do qual se vê o topo sob um ângulo de 45º ficará a 
uma distância do edifício igual a 
a) 75,0 m. 
b) 105,0 m. 
c) 127,5 m. 
d) 255,0 m. 
e) 355,0 m. 
 
53 - (FGV ) 
Um observador, situado próximo a um prédio, 
observa o topo do mesmo sob um ângulo de 45º. 
Ao caminhar mais 15 metros em direção ao 
prédio, ele vê o topo sob um ângulo de 60º. 
Desprezando a altura do observador, e adotando 
para 3 o valor 1,7, podemos concluir que a 
altura do prédio, em metros, está compreendida 
entre: 
a) 35 e 37 
b) 29 e 31 
c) 31 e 33 
d) 27 e 29 
e) 33 e 35 
 
54 - (IFMT) 
Na saída de um dos hangares do aeroporto, um 
dos funcionários avista um avião, de modo que a 
inclinação de sua visão em relação à horizontal 
forme um ângulo de 67º. 
 
 
 
Desprezando a altura do observador, podemos 
afirmar que a altura h aproximada, em 
quilômetros, na qual se encontra o avião é (use tg 
67º = 2,3558) 
a) 3,526 km 
b) 5,125 km 
c) 6,478 km 
d) 8,832 km 
e) 11,050 km 
 
 
55 - (ETEC SP) 
Um especialista, ao fazer um levantamento 
hidrográfico de uma região marítima, representou 
no plano cartesiano os dados obtidos. Ao terminar 
a sua tarefa observou que, em particular, as ilhas 
A, B e C formavam um triângulo conforme a figura. 
 
 
 
 
Sabendo que as coordenadas dos pontos que 
representam as ilhas são A(2; 3), B(18; 15) e 
C(18; 3), pode-se concluir que a tangente do 
ângulo BAC é 
a) 
.
5
3
 
b) 
.
4
3
 
c) 
.
5
4
 
d) 
.
4
5
 
e) 
.
3
4
 
 
56 - (IFMT) 
 
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RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
15 
 
 
 
Ao chegar ao topo (ponto A) de uma montanha de 
300 metros de altura, um alpinista observou a 
grandiosa montanha ao lado. Com seu binóculo 
conseguiu saber que estava a 433 metros de 
distância do ponto ideal de subida da outra 
montanha e que, ao olhar para o topo da 
montanha maior (ponto B), este movimento 
produzia um ângulo de 30°, conforme a figura. 
Sabendo que 433 ÷ 0,866 = 500, e adotando 
 h1 = 300 metros, y = 433 metros,  =30°, 
podemos dizer que a altura da montanha maior 
(h1 + h2) é de aproximadamente: 
a) 500 metros 
b) 550 metros 
c) 800 metros 
d) 450 metros 
e) 400 metros 
 
57 - (IFMT) 
Um topógrafo para descobrir a altura de um prédio 
posicionou o teodolito a 13 metros do prédio, 
formando um ângulo de visão de 42° com o topo 
do prédio, conforme a figura abaixo. Sabendo que 
o teodolito está a 1,50 metros do chão, qual a 
altura deste prédio? Considere sen 42º = 0,67; 
cos 42º = 0,74; tan 42º = 0,90. 
 
 
a) 8,71 metros 
b) 9,62 metros 
c) 11,70 metros 
d) 13,20 metros 
e) 10,21 metros 
 
 
 
 
58 - (UFAL) 
Trigonometria do Triângulo Retângulo 
Há muito tempo, medições eram realizadas de 
formas indiretas, principalmente referentes aos 
corpos celestes, vista a sua importância para a 
navegação, bem como para “prever o futuro”– 
para os crédulos. Com o estudo das relações 
métricas no triângulo retângulo, estas medidas se 
tornaram mais eficientes, mais precisas. 
 [...] 
Razões trigonométricas 
Ao compararmos duas grandezas por meio de 
uma divisão estaremos dando sentido ao conceito 
de razão. A palavra razão é etimologicamente 
ligada ao termo ratio, que traduzido do latim 
significa, entre outras coisas, rateio, repartição. 
Disponível em: 
<http://www.infoescola.com/matematica/trigonometria-do-
triangulo-retangulo/>. 
Acesso em: 04 ago. 2017. 
 
Dadas as afirmativas no contexto do texto, 
 
I. A razão entre os dois catetos de um 
triângulo retângulo é chamada tangente do ângulo 
adjacente ao primeiro cateto da razão. 
II. A razão entre o cateto de um triângulo 
retângulo oposto a um ângulo e a hipotenusa 
desse triângulo é chamada seno do tal ângulo. 
III. A razão entre o cateto de um triângulo 
retângulo adjacente a um ângulo e a hipotenusa 
desse triângulo é chamada cosseno do tal ângulo. 
verifica-se que está(ão) correta(s) 
 
a) I, apenas. 
b) III, apenas. 
c) I e II, apenas. 
d) II e III, apenas. 
e) I, II e III. 
 
59 - (Faculdade Cesgranrio RJ) 
A Figura abaixo apresenta dois modelos de rampa 
(rampa 1 e rampa 2) de mesmo comprimento, d, e 
com inclinações diferentes. 
 
 
 
 
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RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
16 
 
 
 
 
Dados 25
7
sen 
 e 4
1
sen 
, a altura h2 da rampa 
2, em cm, é 
 
a) 50,0 
b) 52,6 
c) 56,2 
d) 62,5 
e) 65,2 
 
60 - (ENEM) 
A inclinação de um telhado depende do tipo e da 
marca das telhas escolhidas. A figura é o esboço 
do telhado da casa de um específico proprietário. 
As telhas serão apoiadas sobre a superfície 
quadrada plana ABCD, sendo BOC um triângulo 
em O. Sabe-se que h é a altura do telhado em 
relação ao forro da casa (a figura plana ABOE), 
b = 10 é o comprimento do segmento OB, e d é a 
largura do telhado (segmento AB), todas as 
medidas dadas em metro. 
 
 
Disponível em: www.toptelha.com.br. 
Acesso em: 31 jul. 2012. 
 
Sabe-se que, em função do tipo de telha escolhida 
pelo proprietário, a porcentagem i de inclinação 
 
 
 
ideal do telhado, descrita por meio da relação 
b
100h
i


, é de 40%, e que a expressão que 
determina o número N de telhas necessárias na 
cobertura é dada por N = d2 x 10,5. Além disso, 
essas telhas são vendidas somente em milheiros. 
 
O proprietário avalia ser fundamental respeitar a 
inclinação idealinformada pelo fabricante, por isso 
argumenta ser necessário adquirir a quantidade 
mínima de telhas correspondente a 
 
a) um milheiro. 
b) dois milheiros. 
c) três milheiros. 
d) seis milheiros. 
e) oito milheiros. 
61 - (IFGO) 
Teodolito é um instrumento de precisão para 
medir ângulos horizontais e ângulos verticais, 
utilizado em trabalhos de construção. Uma 
empresa foi contratada para pintar um edifício de 
quatro andares. Para descobrir a área total a ser 
pintada ela precisa descobrir a altura do edifício. 
Uma pessoa posiciona o instrumento a 1,65 
metros de altura, encontrando um ângulo de 30°, 
conforme mostra a figura. Supondo que o teodolito 
esteja distante 313 metros do edifício, qual a 
altura, em metros, do prédio a ser pintado? (Adote 
2
1
º30sen 
, 2
3
º30cos 
, 3
3
º30tg 
). 
 
 
 
a) 11,65. 
b) 12,65. 
c) 13,65. 
d) 14,65. 
e) 15,65. 
 
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RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
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62 - (UNITAU SP) Uma pessoa em um terreno 
horizontal observa o topo de uma torre de energia 
sob um ângulo de 60º. Quando recua 30 m, 
observa o topo da torre sob um ângulo visual de 
30º. 
Considere: 2
1
º60cosº30sen 
 e 
 
2
3
º60senº30cos 
 
 
Pode-se afirmar CORRETAMENTE que a altura 
da torre é 
a) 315 m 
b) 330 m 
c) 30 m 
d) 20 m 
e) 15 m 
 
63. (Fmp 2021) Para medir a altura aproximada 
(h) de um prédio (PQ) em relação a um plano de 
referência, um professor fez, com seus alunos, as 
medições com o teodolito, ilustradas na figura 
abaixo. 
 
 
 
Dados: 
 20 40 
seno 0,342 0,643 
cosseno 0,940 0,766 
 
A altura h dessa torre, em metros, é, 
aproximadamente, 
a) 21,60 
b) 32,15 
c) 47,00 
d) 28,45 
e) 38,30 
 
 
Gabarito: 
 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
C A A B B C D C B A 
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
E D D E D A D A E C 
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 
B A A B B B B A B B 
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 
C A C D B C B B B A 
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
D B D B B E E A A E 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 
04 D A C B B D D D B 
61 62 63 
D A B 
 
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