Matematicas Simplificadas-293

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14 CAPÍTULO
 MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
852
Demuestra las siguientes igualdades:
 1. cos cos
5
12
11
12
p p+ = − 2
2
 2. 
sen sen
sen sen
40 20
40 20
º º
º º
+
−
= 
3
3
10ctg º
 3. 
sen sen
sen sen
p p
p p
6
5
18
5
18 6
+
−
= 
tan
tan
2
9
18
p
p
 4. cos (x – π) + cos (x + π) = – 2 cos x
 5. sen 2x + sen 4x – sen 6x = 4sen x sen 2x sen 3x
 6. sen x – sen 2x + sen 3x – sen 4x = – 4sen 
x
2
 cos
5
2
x
 cos x
 7. cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 4cos
5
2
x
 cos x cos
x
2
 8. tan x = 
sen x sen x
cos x cos x
5 3
5 3
−
+
 9. 
1 2
3
2−
−
sen x
sen x sen x
= 
1
2
csc x
10. 
cos x y cos x y
sen x y sen x y
+( ) − −( )
+( ) − −( )
= – tan x
11. 
1
2 3sen x sen x sen x+ +
= 
1
4
3
2 2
csc
x
x sec
x
sec
12. 
1
4
cos a b c cos a b c cos a b c cos a b c+ +( )+ + −( )+ − +( )+ − −(( )⎡⎣ ⎤⎦ = cos a cos b cos c
 EJERCICIO 49
Ecuaciones trigonométricas
Una ecuación trigonométrica es una expresión que tiene como incógnita valores angulares bajo los signos de funciones 
trigonométricas.
Al resolver una ecuación trigonométrica se debe encontrar el o los valores que satisfacen dicha ecuación, esto es, 
que en una ecuación trigonométrica no siempre existe una solución única, en ocasiones existen varias, las cuales se 
expresan como conjunto solución.
 Ú Este ejercicio no tiene soluciones al fi nal del libro por ser demostraciones 
 CAPÍTULO 14
 GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA • Identidades y ecuaciones trigonométricas
853
Resuelve la siguiente ecuación para 0 ≤ x ≤ 2p.
sen x +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
p
4
 = 1
Solución
Se despeja la incógnita x y la función seno se representa como arc sen en el segundo miembro, luego el intervalo 
indica que se tomarán como solución aquellas entre 0° y 360°
 sen x +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
p
4
 = 1 S x +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
p
4
= arc sen (1)
 x + 
p
4
 = 
p
2
 x = 
p
2
 –
p
4
=
p
4
= 45° 
El resultado puede expresarse en grados o en radianes.
Resuelve la siguiente ecuación para u si 0° ≤ u ≤ 360°.
3 tan u – 4 = tan u –2
Solución
Se agrupan los términos que tienen a las incógnitas y se reducen: 
3 tan u – 4 = tan u –2 S 3 tan u – tan u = –2 + 4
 2 tan u = 2
 tan u = 1
De esta expresión se despeja el ángulo u
tan u = 1 S u = arc tan (1)
 u = 
p
4
 = 45°
Luego, la tangente es positiva en el primero y tercer cuadrantes, por consiguiente, el conjunto solución es 
p
4
 y 
5
4
p
.
Resuelve la siguiente ecuación para x si 0 ≤ x ≤ 2p.
2 sen2 x –1 = – sen x
Solución
Se agrupan los términos en el primer miembro:
2 sen2 x –1 = –sen x S 2sen2 x + sen x – 1 = 0 
La expresión resultante se factoriza, 
(2sen x –1)(sen x + 1) = 0
Por tanto, 2sen x – 1 = 0 y sen x + 1 = 0, de las cuales se despeja la incógnita x, entonces,
 2sen x –1 = 0 sen x + 1 = 0
 sen x =
1
2
 sen x = –1
 x = arc sen 1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 x = arc sen (– 1) 
 x = 
p p
6
5
6
, x = 
3
2
p
Luego, el conjunto solución es 
p p p
6
5
6
3
2
, y .
22
33
1
Ej
em
pl
os
EJEMPLOS
 14 CAPÍTULO
 MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
854
Resuelve la siguiente ecuación para u, si 0° ≤ u ≤ 360°.
4 cos2 u – 3 = 0
Solución
Se despeja cos u de la ecuación:
4 cos2 u – 3 = 0 S 4 cos2 u = 3 S cos2 u = 
3
4
 cos u = ±
3
2
Se obtienen dos ecuaciones 
cos u = 
3
2
 y cos u = –
3
2Se despeja el ángulo u
u = arc cos
3
2
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ = 30°, 330° ; u = arc cos −
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
3
2
= 150°, 210°
Al fi nal, el conjunto solución es 30°, 150°, 210° y 330°.
Resuelve la siguiente ecuación para u si 0° ≤ u ≤ 360°.
2 sen2 u = – sen u
Solución
Se resuelve la ecuación:
2sen2 u + sen u = 0 S sen u (2 sen u + 1) = 0
Se obtienen dos ecuaciones:
 sen u = 0 2 sen u + 1 = 0
Se despeja el ángulo u,
 sen u = 0 2 sen u + 1 = 0
 u = arc sen (0) u = arc sen −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1
2
 u = 0°, 180°, 360° u = 210°, 330°
Por tanto, el conjunto solución es 0°, 180°, 210°, 330° y 360°.
Resuelve la siguiente ecuación para x si 0° ≤ x ≤ 360°.
2 cos2 x = sen x – 1
Solución
 2 cos2 x = sen x – 1 S 2(1 – sen2 x) = sen x – 1
 2 – 2sen2 x = sen x – 1
 2 – 2sen2 x – sen x + 1 = 0
 – 2sen2 x – sen x + 3 = 0 (÷ – 1)
 2sen2 x + sen x –3 = 0
 (2sen x + 3)(sen x – 1) = 0
Se despeja el ángulo x de ambas ecuaciones:
 sen x – 1 = 0 2 sen x + 3 = 0
 x = arc sen (1) sen x = –
3
2
(no existe solución)
 x = 90°
Cabe mencionar que 2 sen x + 3 = 0 no tiene solución porque –1 ≤ sen x ≤ 1, entonces el conjunto solución es 90°.
55
66
4