Matematicas Simplificadas-278

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CAPÍTULO 12
 GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA • Funciones trigonométricas para ángulos notables
807
Aplicación de los valores trigonométricos de los ángulos notables
Ej
em
pl
os
EJEMPLOS
Calcula el valor numérico de 2 sen 30° cos 60°.
Solución
Se sustituyen los valores de las funciones trigonométricas y se efectúa la operación:
2 sen 30° ⋅ cos 60° = 2 ⋅ 1
2
1
2
1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ⋅⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
 Determina el valor numérico de la expresión: tan2 60° + ctg2 45°.
Solución
Se sustituyen los valores de las funciones trigonométricas y se determina que:
tan2 60° + ctg2 45° = (tan 60°)2 + (ctg 45°)2 = ( 3 )2 + (1)2 = 3 + 1 = 4
Por tanto, tan2 60° + ctg2 45° = 4
 Calcula el valor numérico de sen 7
6
π + 3 sen 11
6
π .
Solución
Los ángulos se expresan en función de ángulos agudos para obtener los valores de las funciones trigonométricas:
sen 
7
6
π = sen 2
2 6
⋅ +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
π π
 = – sen 
π
6
 = – 
1
2
sen 
11
6
π = sen 4
2 6
⋅ −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
π π
 = – sen 
π
6
 = – 
1
2
Entonces,
sen 
7
6
π + 3 sen 
11
6
π = –
1
2
+ 3 −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1
2
 = –
1
2
–
3
2
= –
4
2 
= – 2
Por tanto, sen 
7
6
π + 3 sen 
11
6
π = – 2
 Mediante ángulos notables demuestra la siguiente igualdad:
sen 30° – (cos 30° ⋅ ctg 60°)2 = cos2 60°
Solución
Primero se encuentran los valores de las funciones trigonométricas:
sen 30° = 
1
2
; cos 30° = 
3
2
; ctg 60° = 
1
3
; cos 60° = 
1
2
Después se sustituyen los valores de las funciones y se demuestra que se cumple con la igualdad:
sen 30° – (cos 30° ⋅ ctg 60°)2 = cos2 60°
 
1
2
3
2
1
3
2
− ⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 = 
1
2
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 
1
2
1
2
2
− ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = 
1
4
 
1
2
1
4
− = 
1
4
 
1
4
 = 
1
4
Con lo cual queda demostrada la igualdad propuesta.
22
33
44
1
 12 CAPÍTULO
 MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
Demuestra la siguiente igualdad, mediante el valor de los ángulos notables:
sen sec2 3
2
3 2π π+ = csc
π
6
Solución
Primero se encuentran los valores de las funciones trigonométricas:
sen 
3
2
π = – 1; sec 2π = 1; csc 
π
6
 = 2
Entonces:
 
−( ) + ( )1 3 1
2
 = 2
 1 3+ = 2
 4 = 2
 2 = 2
Por tanto, la igualdad es verdadera.
5
Completa la siguiente tabla:
sen cos tan csc sec ctg
Grados Radianes
2p
0° 0
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
210°
225°
p
240°
270°
300°
315°
330°
360°
p
6
p
4
p
3
p
3
p
4
p
6
7p
6
5p
4
4p
3
3p
2
5p
3
7p
4
11p
6
p
2
 EJERCICIO 40
808
 CAPÍTULO 12
 GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA • Funciones trigonométricas para ángulos notables
809
Encuentra el valor numérico de las siguientes expresiones:
 1. 2 sen 30° cos 30° 9. 2 sen
π
4
 cos
π
4
sen cos2 2
6 6
π π+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 2. 2 sen 30° sen 60° 10. 2 sen 30° cos 30° (1 – 2 sen2 30°)
 3. 3 tan
π
6
 sen
π
3 
11. tan sen ctg2 25
3
4
5
6
3
5
4
π π π+ −
 4. sec2 45° – 2 tan2 45° 12. 
cos sec
csc sen
 120 180
 270 330
° °
° °
+
+
 5. sen2 30° cos2 30° 13. 
sen tan
tan cos
 120 240
 315 300
° °
° °
( )( )
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦⎦
⎥
3
 6. sen cos2 2
3
245 45° °⎡⎣ ⎤⎦ 
14. tan sen cos 225 180 240° ° °( )( )( )
 7. 3 tan 60° ctg 30° sen 45° csc 45° 15. sen 90° + cos sen 210 300
2
° °+( ) + sec 240°
 8. 2 sen 60° sec 30° cos 45° tan 45°
Utiliza ángulos notables para demostrar las siguientes igualdades:
16. 
sen sen cos
sen sen
ta
240 120 60
120 60
° ° °
° °
+ ⋅
⋅ −( ) = nn 210°
17. tan sen sen
p p p
3
2
3
1
6
⋅ = +
18. sen sen sen sec180 2 60 240 45
2
° ° ° °= + ( )
19. cos sen sec225 3 225 2 45° ° °+ = −
20. csc
sen
sen sen
60
30
150 300
°
°
° °
= −
⋅
 Ú Verifi ca tus resultados en la sección de soluciones correspondiente