11_PDFsam_Modelos Matemáticos de Equações Diferenciais

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Equações Diferenciais 9
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Equações diferenciais 
de primeira ordem
As equações diferenciais são utilizadas em inúmeras áreas de conhecimento, pois 
referem-se às equações que descrevem taxas de variações. Assim sendo, sua resolução 
permite representar diversos fenômenos, desde simulações econômicas para o desen-
volvimento de um comércio local, até simulações físicas sobre o desenvolvimento 
do universo. Este primeiro capítulo está dividido em três partes. A primeira busca 
apresentar dois exemplos simples de equações diferenciais e como utilizar o cálculo 
diferencial e integral para resolvê-los. Também tem como objetivo apresentar algu-
mas classificações e nomenclaturas próprias que permitem diferenciar as equações. A 
segunda apresenta um método composto de três etapas para resolver equações dife-
renciais separáveis, enfocando a diferença entre a solução geral e a solução particu-
lar. A terceira parte apresenta o que são as equações diferenciais homogêneas e um 
método que pode ser utilizado para transformar essas equações em equações diferen-
ciais separáveis.
Equações diferenciais de primeira ordem1
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1.1 Exemplos e formulação de equações 
diferenciais
As equações diferenciais, que são escritas em função de taxas de varia-
ção, aparecem frequentemente nas mais diversas áreas, como na Economia 
para cálculo de taxas de juros; na Engenharia Elétrica nos circuitos elétricos; na 
Psicologia em modelos de aprendizagem; na Física em diversas simulações, como a de queda 
livre; na Química para simulações de decaimento radioativo; entre inúmeras outras aplicações.
A quantidade de modelos que podem ser descritos a partir do uso das equações dife-
renciais são tantos que poderíamos escrever diversas páginas apenas sobre isso. Entretanto, 
a continuidade do estudo de equações diferenciais para alguma área específica é realizada 
dentro das disciplinas de interesse daquela área. Vale a pena introduzir ao leitor dois casos 
de simulação simples para observar como é conduzida a geração de modelos dentro de 
equações diferenciais.
O primeiro caso se trata do uso das Leis de Newton para simular a queda livre de um 
objeto qualquer. Existem diversas notações para descrever a Segunda Lei de Newton. Entre 
as escolhas possíveis, definimos m como sendo a massa do objeto, 
a seu vetor aceleração, 

F 
o somatório das forças aplicadas nesse objeto. Nesse caso,

F m a= . (1)
representa a Segunda Lei de Newton. Essa lei é considerada uma equação diferencial, pois 
apresenta alguma relação entre variáveis que, por sua vez, representam taxas de variação. 
Para cada simulação teremos diversos comportamentos para o fenômeno. Por exemplo, 
pode ser que:
m f t� � � (2)
caso em que o objeto está perdendo ou ganhando massa ao longo do tempo. Ou pode 
ser que:
a g t� � � (3)
caso em que o objeto está ganhando ou perdendo velocidade ao longo do tempo. Essas dife-
renças entre cada problema específico fazem com que cada equação diferencial seja solucio-
nada de forma única, adequada à modelagem que está sendo realizada.
No caso mais simples, a queda livre sem resistência do ar, a única força que atua no 
objeto em queda é a força da gravidade, que tem valor conhecido dado por:

F mg� � (4)
em que g representa a aceleração da gravidade. Aquele que busca conhecer o comporta-
mento do objeto em queda livre está determinado em descobrir em que posição o objeto 
estará ao longo do tempo. Ou seja, busca-se determinar uma função posição como:
x h t� � � (5)
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Equações diferenciais de primeira ordem
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A relação entre a e x é definida, pela Física, como sendo:


a
d x
dt
=
2
2
(6)
o que indica que a aceleração é a taxa de variação segunda da posição em função do tempo. 
Com todas essas informações em mãos, podemos reescrever a equação 1 (Segunda Lei de 
Newton) como:
� �m g m
d x
dt
. .
2
2
(7)
resolvendo a equação pelos métodos conhecidos do cálculo diferencial e integral:



g
d x
dt
=
2
2
 gdt d x2 2=
 

gdt d x2 2� ��


gtdt C
dx
dt
� �1
dx
dt
gt C

� � 1
dx gt C dt � �� �� � 1


x t
gt
C t C� � � � �
2
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As constantes de integração que surgem durante a resolução do problema, C1 e C2, re-
presentam particularidades do problema de queda livre que não foram descritos. De acordo 
com esse modelo, a posição inicial do objeto pode ser qualquer, visto que não definimos a 
informação de que x x0 0� � � ou a velocidade inicial da simulação poderia não ser nula, ou 
seja, v v0 0� � � . A inclusão dessas características surge nas equações diferenciais por meio 
das constantes de integração e são próprias de cada uma das simulações. Como afirmam 
Boyce e DiPrima:
Para solucionar uma equação diferencial utilizamos o processo de integração. 
Ao aplicar o método de integração, obtemos uma constante arbitrária que gera 
uma infinidade de soluções para o problema. Geralmente essa constante será se-
lecionada por meio de uma condição inicial. Essa condição inicial ocorre quando 
o problema estudado possui um valor inicial. Dessa forma, o valor inicial é utili-
zado para que a constante arbitrária seja encontrada. (BOYCE; DIPRIMA, 2010)
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Ainda sobre a aplicação e a simulação de fenômenos a partir de equações diferenciais, 
o segundo caso é o decaimento radioativo. Na Química, no estudo do desenvolvimento das 
substâncias radioativas, sabe-se que certos elementos químicos deixam de existir aos poucos, 
passando a se tornar outros, processo que chamamos de decaimento radioativo. Determinou-
se que o decaimento dessa substância é proporcional à quantidade de substância em deter-
minado momento. Em outras palavras,
dQ
dt
kQ� � (8)
em que Q é a quantidade de substância em certo instante de tempo t, e k é uma constan-
te de proporcionalidade arbitrária que define quão rápido essa substância está diminuin-
do. Alguém interessado em conhecer a quantidade de substância radioativa em função do 
tempo, pode utilizar as operações conhecidas do cálculo diferencial e integral e resolver 
essa equação:
dQ
dt
kQ� �
dQ
Q
kdt� �
dQ
Q
kdt� �� �
lnQ kt C� � � 1
Q e kt C� � � 1
Q C e kt� �
2
na qual C eC2
1= . Tal exemplo também fica dependente de uma constante de integração que 
precisa ser determinada. Em equações diferenciais, para a determinação exata da solução 
geral é necessário que o problema informe um valor inicial. Por exemplo, se sabemos que 
no instante t t= =0 0, Q t0 100 1� � � �% , podemos substituir na expressão Q t C e kt� � � �
2 para 
obter a constante C2:
Q t Q C e Ck
0 2
0
20 1� � � � � � � �� .
Nesse caso, a solução geral se tornaria Q t e kt� � � � .
Nesses dois exemplos, o método que foi utilizado representa uma possibilidade para 
a resolução de algumas equações diferenciais. Sabendo a importância delas nas diferentes 
áreas e suas potenciais aplicações, a continuidade do estudo desse tema se dá pela classifica-
ção dos diferentes tipos de equação. Existem várias maneiras para solucionar uma equação 
diferencial, dessa forma, identificar qual método de solução é mais adequado ao problema 
estudado se torna uma tarefa difícil. Para auxiliar nessa escolha, podemos classificar o tipo 
de equação diferencial que estamos estudando.
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Inicialmente podemos analisar se a função desconhecida da equação diferencial em 
estudo depende de uma ou de várias variáveis independentes. Teremos uma equação di-
ferencial ordinária se a função depender de uma única variável independente. Teremos 
uma equação diferencial parcial se a função depender de várias variáveis independentes 
(BOYCE; DIPRIMA, 2010).
O oscilador harmônico, simulado em Física, representa uma equação diferencial 
ordinária:
m
d
dt
x t kx t
2
2 � � � � � � (9)
enquanto a equação do calor representa uma equação diferencial parcial:
�
�
�
�
�
T
t
a
T
x
2
2
(10)A quantidade de funções desconhecidas também fornece uma classificação para as 
equações diferenciais. Quando houver duas ou mais funções desconhecidas, utilizamos 
um sistema de equações diferenciais para determiná-las. Outra classificação importante se 
dá pela derivada de maior ordem da equação diferencial em estudo, de forma que a or-
dem dessa derivada classifica a ordem da equação diferencial (BOYCE; DIPRIMA, 2010). 
Por exemplo,
d y
dt
y e t
2
2
2� �
é uma equação diferencial de segunda ordem, enquanto:
d y
dt
d y
dt
t
3
3
2
2 2� � � �cos
é uma equação diferencial de terceira ordem.
Uma equação diferencial ordinária é classificada como linear se suas funções forem 
lineares, ou seja, suas funções não são resultado de produtos de outras funções. Quando 
houver uma função desconhecida que seja o resultado do produto de duas funções, então 
teremos uma equação diferencial ordinária não linear. A mesma ideia vale para as equações 
diferenciais parciais (BOYCE; DIPRIMA, 2010), como no exemplo:
�
�
�
�
�
�
u
y
u
u
x
. 0
 
uma equação diferencial nem sempre possui solução.
Portanto, antes de iniciar a resolução de um problema, é importante verificar a existência de 
solução. Essa verificação se dá por meio de teoremas que garantem a solução da equação sob 
determinadas condições. Entretanto, tal solução nem sempre pode ser expressa por meio de 
funções elementares. Por esse motivo, devemos estudar tanto os métodos para problemas 
simples, quanto os métodos para problemas mais complexos (BOYCE; DIPRIMA, 2010).