Matemática Ciências e Aplicações V3-286-288

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O Multiplicidade de uma raiz
Quando resolvemos a equação do 2?grau x2 - 10x + 25 = 0, encontramos duas raízes 
iguais a 5.
Usando o teorema da decomposição, fatoramos o polinômio dado: 
x- - lOx + 25 = (x - 5) • (x - 5) = (x - 5)2
Dizemos, então, que 5 é raiz de multiplicidade' 2 ou raiz dupla da equação proposta. 
Consideremos agora a equação p(x) = 0, em que a forma fatorada de p(x) é:
(x - 3)2 • (x - 4) • (x + 2?
A equação p(x) = 0 equivale a:
(x - 3)(x - 3)(x - 4)(x + 2)(x + 2)(x + 2) = 0
Segue, daí, que suas raízes são 3 ,3,4, - 2 ,- 2 e - 2 .Temos, então, uma equação poli- 
nomial do 6° grau cujo conjunto solução é S = {3, 4, -2).
Dessa forma:
• x = 3 é raiz com multiplicidade 2 ou raiz dupla da equação p(x) = 0.
• x = 4 é raiz com multiplicidade 1 ou raiz simples da equação p(x) = 0.
• x = -2 é raiz com multiplicidade 3 ou raiz tripla da equação p(x) = 0.
De um modo um pouco mais formal, dizemos que r é jm a raiz de multiplicidade m 
(m 3= 1) da equação p(x) = 0 se:
p(x) = (x - r)nr' • q(x); com q(r) * 0
Notemos que:
l°)p (x) é divisível por (x - r)"1.
2?) A condição q(r) * 0 significa quer não é raiz de q(x) e garante, então, que a multiplicidade 
da raiz r não é maior que m.
Vamos construir uma equação polinomial cujas raízes são 2, 3i e -3 i, com 
multiplicidades 2, 1 e 1, respectivamente.
Usando o teorema de decomposição, podemos escrever:
p(x) = an ■ (x - 2)3 ■ (x - 3i)' (x + 3i)'; an £ C => p(x) = an ■ (x2 - 4x + 4) ■ (x2 + 9)
Escolhendo arbitrariamente a„ = 1, segue a equação:
(x3 - 4x + 4) (x2 + 9) = 0 => x4 - 4x3 + 13x2 - 36x + 36 = 0
Em.AÇÚES Pfll INtTMIAIS n ii AinFflRirAS
Vamos encontrar as outras raízes da equação x4 + 4x3 + 2x2 + 12x + 45 = 0, sabendo 
que -3 é raiz dupla dessa equação.
Chamando de p(x) o polinômio dado, vem:
p(x) = (x + 3)2 q(x),
isto é, p(x) é divisível por (x + 3)- = x2 + 6x + 9. 
í.° modo
Efetuando a divisão de p(x) por x2 + 6x + 9, pelo método da chave, encontramos q(x):
^ + 4x3 + 2x2 + 12x +45 | x2 + 6x + 9 
Vx4 - 6x3 - 9x2 x2 - 2 x + 5_____________________ l _______/
- 2/- - 7x2 + 12x +45 q(x)
+ /2x3 + 12x2 + 18x
5^ + 30̂ + 45 
- /5x2 ~ÉQx ~/45 
0
Resolvendo a equação q(x) = 0, encontramos as outras raízes. Temos: 
x2 - 2x + 5 = 0 => (x = 1 - 2i ou x = 1 + 2i)
Exemplo 2 ----------------------- ---------------------------------------------------------------
2? modo
Para determinar q(x), é possível recorrer às divisões sucessivas:
-3
-3
1 4 2 12
1 1 -1 15
| 1 -2 5 j 0
coeficientes de q(x)
45
0 •— p(x) é divisível por x + 3 
<—p(x) é divisível por (x + 3)'
Fazendo q(x) = 0, segue que x2 - 2x + 5 = 0, donde x = 1 - 2i ou x = 1 + 2i.
Exemplo 3 ---------------------------------------------------------------
Seja a equação 3x3 + 5x2 + x + m = 0. Determinemos o valor d e m e o conjunto solução 
dessa equação, sabendo que -1 é raiz dupla.
De fato, como -1 é raiz, temos que:
3 ■ (-1)3 + 5 • (-1)- + (-1) + m = 0 => 1 + m = 0 => m = -1
M AIFMANCA; n fN C IA E APLir.AÇÜLS
Como -1 é raiz dupla, o polinômio 3x3 + 5x7 + x - 1 é divisível por (x + I)2 = x2 + 2x + 1. 
Fazendo a divisão, obtemos:
3X4 + 5x2 + x - 1 | x2 +2x + 1
x3 - 6xJ - 3x
q(x)
/x
A outra raiz vem de q(x) = 0, isto é, 3x - 1 = 0 => x = — , e o conjunto solução é
0
B B B B B O B O B B
16 A respeito cia equação (x - 2)’ (x - I)2 (x + 3)'1 = 0, determine:
a.) suas raízes e as respectivas m ulLiplicitlatles;b) seu grau:c) seu conjunto solução.
17 Escreva uma equação polinomial cujas raíz.es são i e cada uma com multiplicidade 1.
18 Escreva uma equação polinomial cujas raíz.es sào 3 — 2i, 3 + 2i e 1, cada uma com multiplicidade 1.
19 Escreva uma equação algébrica cujas raízes sejam 2 e 3, com multiplicidades respectivamenie iguais a 2 e 1.
20 Escreva uma equação algébrica em que / e —/ sejam raíz.es duplas, e 2 seja raiz simples.
21 Resolva, em C, a equação 4x'' - 4x3 + 5x’ - 4x + 1 = 0, sabendo que — é raiz. dupla dessa equação.
LÜUAÇÚIS FUI1M1MIAIS Hll Al GF HKirAS