Tarefa Complementar - OCTA - Teoremas das Equações Polinomiais

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Tarefa Complementar – Aulas 57, 58, 59 e 60 
Equações Polinomiais 
 
Prof. Rodolfo Pereira Borges 
1 
1. (Pucrj 2018) A soma das raízes da equação 
3 2x 2x 6x 0   vale: 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 4 
e) 9 
 
 
2. (Fac. Albert Einstein - Medicin 2017) Um polinômio de 
quinto grau tem 2 como uma raiz de multiplicidade 3. A 
razão entre o coeficiente do termo de quarto grau e o 
coeficiente do termo de quinto grau é igual a 7. A razão 
entre o termo independente e o coeficiente do termo de quinto 
grau é igual a 96. 
 
A menor raiz desse polinômio vale 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
 
3. (Mackenzie 2016) A equação 3 22x 3x 3x 2 0    tem 
como raízes 
1
,
2
 m e n. Então, nm é igual a 
a) 1 ou 0 
b) 
1
2
 ou 2 
c) 2 ou 1 
d) 
1
2
 ou 
1
2
 
e) 2 ou 1 
 
4. (Unicamp 2013) Sejam r, s e t as raízes do polinômio 
 
3
3 2 bp x x ax bx ,
a
      
 
 em que a e b são constantes 
reais não nulas. Se 2s r t, então a soma de r t é igual a 
a) 
b
a.
a
 
b) 
b
a.
a
  
c) 
b
a .
a
 
d) 
b
a.
a
 
 
5. (Mackenzie 2012) As raízes da equação 
3 2x 9x 23x 15 0,    colocadas em ordem crescente, são 
os três primeiros termos de uma progressão aritmética cuja 
soma dos 20 primeiros termos é 
a) 500 
b) 480 
c) 260 
d) 400 
e) 350 
6. (Fgv 2012) A figura mostra o gráfico da função 
3 2f(x) 2x 3x 36x 81.    
a) Resolva a equação 3 22x 3x 36x 81 0.    
b) Para que valores de x tem-se f(x) 0 ? 
 
 
 
7. (Mackenzie 2014) Se são as raízes da equação 
 onde p e q são coeficientes reais e 
 é uma das raízes dessa equação, então é 
igual a 
a) 15 
b) 9 
c) – 15 
d) – 12 
e) – 9 
 
8. (Unicamp 2020) Sabendo que a é um número real, 
considere a equação quadrática 22x ax 10 0.   Se as 
soluções dessa equação são números inteiros, o módulo da 
soma das soluções é igual a 
a) 3. 
b) 4. 
c) 5. 
d) 6. 
 
9. (Famema 2020) Sabendo-se que o número complexo 2 i 
é raiz do polinômio 3 2x ax bx 5,   em que a e b são 
números reais, conclui-se que a b é igual a 
a) 7. 
b) 5. 
c) 8. 
d) 6. 
e) 4. 
 
 
10. (Fgv 2021) De acordo com o teorema fundamental da 
álgebra, quando resolvida em , a equação algébrica 
4 3 2x 3x 2x 6x 0    possui quatro raízes. A respeito 
dessas raízes, pode-se afirmar 
a) que duas são números irracionais e duas são números 
racionais positivos. 
b) duas são números irracionais, uma é um número inteiro não 
negativo e a outra é um número racional não inteiro. 
c) duas são números imaginários puros e duas são números 
inteiros não positivos. 
d) duas são números imaginários puros e duas são números 
inteiros não negativos. 
, eα β γ
3 2x x px q 0,   
1 2iα   α β γ 
 
 
 2
e) duas são números imaginários, uma é um número irracional 
e uma é número inteiro. 
 
11. (Unicamp 2020) Sabendo que a é um número real, 
considere a equação quadrática 22x ax 10 0.   Se as 
soluções dessa equação são números inteiros, o módulo da 
soma das soluções é igual a 
a) 3. 
b) 4. 
c) 5. 
d) 6. 
 
 
 
APROFUNDANDO 
 
 
1. (Unicamp 2019) Sabendo que a e b são números reais, 
considere o polinômio cúbico 3 2p(x) x ax x b.    Se a 
soma e o produto de duas de suas raízes são iguais a 1, então 
p(1) é igual a 
a) 0. 
b) 1. 
c) 2. 
d) 3. 
 
 
2. (Unicamp 2018) Sejam p(x) e q(x) polinômios com 
coeficientes reais. Dividindo-se p(x) por q(x), obtêm-se 
quociente e resto iguais a 2x 1. Nessas condições, é correto 
afirmar que 
a) o grau de p(x) é menor que 5. 
b) o grau de q(x) é menor que 3. 
c) p(x) tem raízes complexas. 
d) q(x) tem raízes reais. 
 
3. (Fuvest 2018) Considere o polinômio 
n n 1
n 1 1 0P(x) x a x a x a ,

     em que 
0 n 1a , , a .   Sabe-se que as suas n raízes estão sobre a 
circunferência unitária e que 0a 0. 
 
O produto das n raízes de P(x), para qualquer inteiro n 1, 
é: 
a) 1 
b) ni 
c) n 1i  
d) n( 1) 
e) n 1( 1)  
 
 
4. (Fuvest 2017) Considere uma folha de papel retangular 
com lados 20 cm e 16 cm. Após remover um quadrado de 
lado x cm de cada um dos cantos da folha, foram feitas 4 
dobras para construir uma caixa (sem tampa) em forma de 
paralelepípedo reto-retângulo com altura x cm. As linhas 
tracejadas na figura indicam onde as dobras foram feitas. 
 
 
 
a) Expresse o volume da caixa em função de x. 
b) Determine o conjunto dos valores de x para os quais o 
volume da caixa é maior ou igual a 3384 cm . 
 
5. (Fgv 2017) A equação algébrica 3 2x 7x kx 216 0,    
em que k é um número real, possui três raízes reais. Sabendo-
se que o quadrado de uma das raízes dessa equação é igual ao 
produto das outras duas, então o valor de k é igual a 
a) 64. 
b) 42. 
c) 36. 
d) 18. 
e) 24. 
 
6. (Pucrj 2016) Considere o polinômio 2p(x) x bx 3   e 
assinale a alternativa correta. 
a) O polinômio tem pelo menos uma raiz real para todo 
b .  
b) O polinômio tem exatamente uma raiz real para b 12. 
c) O polinômio tem infinitas raízes reais para b 0. 
d) O polinômio não admite raiz real para 
1
b 1 .
3
  
e) O polinômio tem exatamente três raízes reais para b .π 
 
7. (Pucsp 2016) Se 2 é a única raiz da equação 
3 2x 4x 6x 4 0,    então, relativamente às demais raízes 
dessa equação, é verdade que são números complexos 
a) cujas imagens pertencem ao primeiro e quarto quadrantes 
do plano complexo. 
b) que têm módulos iguais a 2. 
c) cujos argumentos principais são 45 e 135 . 
d) cuja soma é igual a 2i. 
 
 
8. (Unicamp 2015) Considere o polinômio 
3 2p(x) x x ax a,    onde a é um número real. Se x 1 
é a única raiz real de p(x), então podemos afirmar que 
a) a 0. 
b) a 1. 
c) a 0. 
 
 
 3
d) a 1. 
 
 
9. (Fgv 2014) O número 1 é raiz de multiplicidade 2 da 
equação polinomial 4 3 2x 2x 3x ax b 0.     O produto 
a b é igual a 
a) -8 
b) -4 
c) -32 
d) 16 
e) -64 
 
10. (Epcar (Afa) 2013) As raízes da equação algébrica 
3 22x ax bx 54 0    formam uma progressão 
geométrica. 
Se a, b , b 0, então a
b
 é igual a 
a) 
2
3
 
b) 3 
c) 
3
2
 
d) 
1
3
 
 
11. (Unicamp 2013) Considere o polinômio 
2( ) 11 2,   p x x x k em que x é variável real e k um 
parâmetro fixo, também real. 
 
a) Para qual valor do parâmetro k o resto do quociente de p(x) 
por x – 1 é igual a 3? 
b) Supondo, agora, k = 4, e sabendo que a e b são raízes de 
p(x), calcule o valor de sen .
a b
π π  
 
 
 
 
12. (Fuvest 2013) Considere o polinômio   4p x x 1.  
a) Ache todas as raízes complexas de p(x). 
b) Escreva p(x) como produto de dois polinômios de segundo 
grau, com coeficientes reais. 
 
 
 
13. (Fgv 2011) O polinômio P(x) = x4 - 5x3 + 3x2 + 5x - 4 tem 
o número 1 como raiz dupla. 
O valor absoluto da diferença entre as outras raízes é igual a: 
a) 5 
b) 4 
c) 3 
d) 2 
e) 1 
 
 
14. (Espcex (Aman) 2020) Sabe-se que as raízes da equação 
3 2x 3x 6x k 0    estão em progressão aritmética. Então 
podemos afirmar que o valor de 
k
2
 é igual a 
a) 
5
.
2
 
b) 4. 
c) 
7
.
2
 
d) 3. 
e) 
9
.
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito 
 
Resposta da questгo 1: 
 [C] 
 
De acordo com a relação de Girard, a soma das raízes será 
dada por: 
( 2)
S 2
1
 
  
 
Resposta da questгo 2: 
 [D] 
 
Seja 3p(x) (x 2) (x a)(x b),    em que a e b são raízes 
de p. Logo, temos 
3 2 2
5 4 3 2
p(x) (x 6x 12x 8)(x (a b)x ab)
x (a b 6)x (ab 6(a b) 12)x (6ab 12(a b) 8)x
(12ab 8(a b))x 8ab.
      
            
   
 
 
Em consequência, vem 
a b 6
7
a b 11
8ab ab 12
96
1
a 4
b 3
     

 
 

 
 
 
 
Portanto, segue que a menor raiz de p é 3. 
 
 
 
 4
Resposta da questгo 3: 
 [E] 
 
Dividindo a equação por 
1
x ,
2
  
 
 temos: 
 
 
 
 3 2 212x 3x 3x 2 0 x 2x 2x 4 0.2
           
 
 
 
Determinando as raízes m e n, temos: 
2 22x 2x 4 0. x x 2 0 x 2 ou x 1.           
 
Portanto, nm poderá ser 1( 2) 2   ou 21 1.  
 
 
Resposta da questгo 4: 
 [D] 
 
s2 = r  t implica que as raízes deste polinômio estão em 
Progressão Geométrica, o que nos permite escrever que : 
 
  sr, s, t , s, s q ,
q
 
  
 
 em que q é a razão da P.G. 
 
Utilizando as relações de Girard para soma e produto das 
raízes, podemos escrever: 
 
3
b
s ba
s s q s
q 1 a
a b
r s t r t a
1 a
  
       
       
 
 
Resposta da questгo 5: 
 [D] 
 
Como a soma dos coeficientes da equação é 0, concluímos 
que 1 é raiz. 
Aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini, conseguiremos 
fatorar a equação: 
 
 
 
3 2 2x 9x 23x 15 0 (x 1) (x 8x 15) 0 x 1 ou x 3 ou x 5.              
 
Temos então a P.A. (1, 3, 5, ...) de razão r = 2. 
 
20a 1 19 2 39.    
 
Calculando agora a soma dos 20 primeiros termos: 
 
   1 20
20
a a 20 1 39 20
S 400.
2 2
   
   
 
Resposta da questгo 6: 
 a) No gráfico percebe-se que 3 é raiz com multiplicidade 
par, o que nos leva a concluir que 3 é raiz dupla, já que a 
equação é de terceiro grau. 
Podemos, então, determinar a terceira raiz, aplicando o 
dispositivo de Briot-Ruffini: 
 
 
 
Concluímos que 
3 2 22x 3x 36x 81 (x 3) (2x 9) 0.       Logo, a 
terceira raiz será x = –9/2 
S = {–9/2, 3}. 
b) De acordo com o gráfico e a raiz encontrada no item (a), 
temos: 
 
 
 
f(x) 0 para x 
9
/ x .
2
   
 
Resposta da questгo 7: 
 [C] 
 
Se é raiz, então Logo, 
 
 
 
Desse modo, e, portanto, pelas 
Relações de Girard, obtemos 
 
 
 
1 2iα   1 2i.β  
3 2
2
3 2
x x px q (x 1 2i)(x 1 2i)(x )
(x 2x 5)(x )
x ( 2)x (2 5)x 5 .
γ
γ
γ γ γ
        
   
     
2 1 3γ γ     
q
( 5 ) 15.
1
α β γ γ        
 
 
 5
Resposta da questão 8: 
 [D] 
 
Sejam S e P, respectivamente, a soma e o produto das raízes 
da equação. Logo, pelas Relações de Girard, temos 
a
S
2
  e 
10
P 5.
2
  Donde segue que as soluções da equação só 
podem ser 1 e 5 ou 1 e 5. Em qualquer caso, o módulo 
da soma é igual a 6. 
 
Resposta da questão 9: 
 [E] 
 
Se 2 i é raiz, então 2 i também é raiz e, portanto, temos 
3 2
3 2
x ax bx 5 (x r)(x 2 i)(x 2 i)
x ( r 4)x (4r 5)x 5r,
        
      
 
 
com r sendo a terceira raiz do polinômio. 
Em consequência, vem a r 4,   b 4r 5  e r 1. 
 
A resposta é 
a b r 4 4r 5
3r 1
4.
     
 

 
 
 
Resposta da questão 10: 
 [D] 
 
Tem-se que 
4 3 2 3 2
2
2
x 3x 2x 6x x(x 3x 2x 6)
x(x (x 3) 2(x 3))
x(x 3)(x 2).
      
   
  
 
 
Portanto, as raízes da equação são 0, 3, 2i e 2i, ou seja, 
duas são números imaginários puros e duas são números 
inteiros não negativos. 
 
Resposta da questão 11: 
 [D] 
 
Sejam S e P, respectivamente, a soma e o produto das raízes 
da equação. Logo, pelas Relações de Girard, temos 
a
S
2
  e 
10
P 5.
2
  Donde segue que as soluções da equação só 
podem ser 1 e 5 ou 1 e 5. Em qualquer caso, o módulo 
da soma é igual a 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APROFUNDANDO 
 
Resposta da questгo 1: 
 [D] 
 
Sejam 1 2x , x e 3x as raízes de p(x), com 1 2x x 1   e 
1 2x x 1.   Daí, pelas Relações de Girard, temos 
1 2 3 3x x x a x 1 a       
e 
1 2 3 3x x x b x b.      
 
Portanto, vem b 1 a  e, assim, encontramos 
3 2p(1) 1 a 1 1 (1 a)
1 a 1 1 a
3.
     
    

 
 
 
Resposta da questгo 2: 
 [C] 
 
Tem-se que 
2 2
2
p(x) q(x)(x 1) x 1
(x 1)(q(x) 1).
   
  
 
 
Logo, nada se pode afirmar sobre as raízes de q, o grau de q 
é maior do que 2 (basta observar o grau do resto) e, portanto, 
sendo o grau do quociente igual a 2, vem que o grau de p é 
maior do que ou igual a 5. 
Finalmente, desde que 2x 1 0  possui raízes complexas, 
podemos afirmar que p possui raízes complexas. 
 
Resposta da questгo 3: 
 [E] 
 
Sejam 1 2 nr , r , , r as raízes de P. Desde que tais raízes estão 
sobre a circunferência unitária, temos 
1 2 n 1 2 n| r | | r | | r | 1 | r r r | 1.          
 
Por outro lado, pelas Relações de Girard, vem 
 
 
 6
n n0
1 2 n 0
a
r r r ( 1) ( 1) a ,
1
         
 
com 0a .

 
Logo, segue que 1 2 nr r r 1.     Mas 0a 0 e, portanto, 
só pode ser 0a 1.  
A resposta é n 1( 1) . 
 
 
Resposta da questгo 4: 
 a) Como as dimensões da caixa, em centímetros, são iguais a 
x,16 2x e 20 2x, temos 
3 2V x (16 2x)(20 2x) 4x 72x 320x,       
 
em que V é o volume, em centímetros cúbicos, e 
0 x 8.  
 
b) Tem-se que 
3 2 3 24x 72x 320x 384 x 18x 80x 96 0.        
 
Logo, observando que x 2 é raiz da equação 
3 2x 18x 80x 96 0,    e, sabendo de (a) que 
0 x 8,  vem 
2(x 2)(x 16x 48) 0 (x 2)(x 4)(x 12) 0
2 x 4.
        
  
 
 
A resposta é {x | 2 x 4}.   
 
Resposta da questгo 5: 
 [B] 
 
Sejam a, b e c as raízes da equação, com 2a bc. Logo, 
pelas Relações de Girard, segue que 
2
3
a b c 7a b c 7
ab ac bc k a(b c) a k
abc 216 a 216
b c 13
6 13 36 k
a 6
b c 13
k 42 .
a 6
    
      
   
 
    
 
 
  
 
 
 
Resposta da questгo 6: 
 [D] 
 
[A] Incorreta. Se b 0, então 2p(x) x 3.  Logo, p não 
possui nenhuma raiz real para b 0. 
[B] Incorreta. Desde que 2b 12,Δ   temos 0Δ  para 
b 12 e, portanto, p possui duas raízes reais distintas 
para b 12. 
[C] Incorreta. Conforme (a). 
[D] Correta. De fato, pois 
1
1 12 2 3.
3
   
[E] Incorreta. O polinômio tem grau 2 e, portanto, não pode 
ter três raízes reais. Além disso, tem-se 2 12 0π   e, assim, 
p não possui nenhuma raiz real. 
 
Resposta da questгo 7: 
 [A] 
 
Aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini, temos: 
 
 
 
Ou seja, 
3 2 2x 4x 6x 4 (x 2) (x 2x 2) 0         
 
Determinando as demais raízes através da equação: 
2
x 1 i
2 2i
x 2x 2 0 x
2
x 1 i
 

    
 
 
 
Estas raízes possuem afixos localizados no primeiro e quarto 
quadrantes. Portanto, a alternativa [A] está correta. 
 
Resposta da questгo 8: 
 [C] 
 
Reescrevendo p(x) sob a forma 2p(x) (x a) (x 1),    e 
sabendo que x 1 é a única raiz real de p(x), deve-se ter 
a 0. 
 
 
Resposta da questгo 9: 
 [C] 
 
Seja o polinômio 4 3 2p(x) x 2x 3x ax b.     Sabendo 
que 1 é raiz de multiplicidade 2, tem-se que 
p(1) 0 a b 4.    Além disso, sendo 
3 2p'(x) 4x 6x 6x a,    deve-se ter 
 
3 2p'(1) 0 4 1 6 1 6 1 a 0
a 8.
        
 
 
 
Portanto, segue que b 4  e, assim, a b 8 ( 4) 32.      
 
Resposta da questгo 10: 
 [D] 
 
 
 7
 
Raízes em progressão geométrica. , e q.
q
α
α α  
 
Multiplicando as raízes e utilizando a relação do produto de 
Girard, temos: 
 
354q 27 3.
q 2
α
α α α α          
 
Substituindo 3α   na equação, temos: 
 
     3 2 a 12 3 a 3 b 3 54 0 9a 3b 0 .
b 3
                 
 
Resposta da questгo 11: 
 a) Utilizando o teorema do resto, temos: 
 
 
2
p 1 3 
1 – 11.1 k 2 3
8 k 3
 k 11

  
  

 
 
b) Fazendo k = 4, temos P(x) = x2 – 11x + 6 com raízes a e b, 
onde: 
a + b = –(–11)/1 = 11 e a.b = 6/1 = 6 
 
(a b). 11 1
sen sen sen
a b a.b 6 2
π π π π          
   
 
 
 
Resposta da questгo 12: 
 a) P(x) = x4 + 2.x2 + 1 – 2x2 
 
2 2
2 2
P(x) (x 1) ( 2 x)
P(x) (x 2 x 1)(x 2 x 1)
   
      
 
 
Resolvendo as equações: 
 
2x 2 x 1 0,   temos 
2 2i 2 2i
x ou x
2 2
 
  
 2x 2 x 1 0,    temos 
2 2i 2 2i
x ou x
2 2
   
  
 
 b) P(x) = x4 + 2.x2 + 1 – 2x2 
2 2
2 2
P(x) (x 1) ( 2 x)
P(x) (x 2 x 1)(x 2 x 1)
   
      
 
 
 
Resposta da questгo 13: 
 [A] 
 
Aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini, vem: 
 
1 1 5 3 5 4
1 1 4 1 4 0
1 3 4 0
 
 
  
 
Assim, 
4 3 2
2 2
2
P(x) x 5x 3x 5x 4
(x 1) (x 3x 4)
(x 1) (x 4)(x 1).
    
   
    
 
Portanto, como as outras duas raízes são 4 e 1, o valor 
absoluto da diferença entre essas raízes é | 1 4 | | 5 | 5.     
 
Resposta da questão 14: 
 [B] 
 
Sejam a r, a e a r as raízes da equação. Logo, pelas 
Relações de Girard, segue que 

      

            

     
3
a r a a r
a 11
6
(a r) a (a r) (a r) a (a r) r 3 .
1
k k 8
(a r) a (a r)
1
 
 
A resposta é  
k 8
4.
2 2