Matemática Ciências e Aplicações V3-124-126

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Sejam as retas r: y = 3x + 1 e s: y = -2x -1 Temos m, = 3 e m, = -2. 
Sendo 0 o ângulo agudo formado entre r e s, temos:
| mr - ms 3 - (-2) 5
| 1 + m,m5 1 + 3 ■ (-2) -5
e 8 é o ângulo agudo cuja tangente vale 1 (8 = arctgl), ou seja, 8 = 45°
Sendo r: y = 2x - 3 e s: y = 2x + 1, temos m, = ms = 2 => r // s => 8 = 0°.
Para calcular o ângulo agudo formado entre e s retas 
r: x + y - 2 = 0 e s : x - 3 = 0, notemos que m, = -1 e 
não existe m5, pois s é vertical.
Assim, tg8 = 1-1 = 1 e 8 = 45°
86 Qual o ângulo agudo formado pelas retas 2x - y - 5 = 0 e 3x + y + I = 0?
87 Encontre a tangente do ângulo agudo formado entre as retas 4x - 3y + 1 = 0 e x - 5y = 0.
88 Forneça a expressão do ângulo agudo 0 formado entre as retas de equações 3x - y + 5 = 0 e 2x + 3y - 3 = 0.
89 Determine o ângulo agudo formado entre as retas x = 2 e y = x + 1.
90 Qual é o ângulo agudo formado entre a reta r, que passa por P(1. 2) e pela ori­gem, e a reta s, que encontra /-sobre o eixo das abscissas e passa por (3, -1)?
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91 Conduza pela origem as retas que formam ângulo de 45° com r: 6x + 2y - 3 = 0.
92 Dados os pontos A(4, -1), B(2, -1) e 0,5 + yj3 . ^3 ). determine os ângulos internos do triângulo ABC.
93 São dados os pontos A(3, 0), B(10, 1) e M(6, k). Determine os valores de k para os quais o ângulo BA.Vl mede 45c.
94 (ESPM-SP) Qual é o maior ângulo, em radianos, formado pelas diagonais do quadrilátero ABCD?Dados: A(5, 5): B(5, -4); C(2, -4); D(2, 2).
O Distância entre ponto e reta
A primeira aplicação importante de perpendicüaridade é a pesquisa sobre a distância 
entre um ponto e uma reta, muito útil para a determinação de alturas de triângulos e retas 
tangentes a circunferências. Mas há muitas outras aplicações.
A distância entre um ponto e uma reta nada mais é que uma distância entre dois 
pontos: o ponto dado e o pé da perpendicular à reta dada, conduzida pelo ponto dado.
Assim, dados P e r :
dK , = d
De posse da equação de r é possível encontrar a equação de s _L r, s passando por P. 
Interceptando r e s, obtemos Q; basta encontrar a distância entre P e O . e o problema 
se resolve.
Adotando r: ax + by + c = 0 e P(x0, y0) como a reta e o ponto em questão e seguindo, , , |axQ + by0 + c|o processo descrito acima, chegamos a dP , = - — — —L .Va2 + b2
Esta é a expressão usada para se obter a distância de um ponto a uma reta. 
Devemos ter sempre dP , 5* 0.
M - M L M A I I C A : T iÊ M C lA t A PI IC A Ç O C S
Exemplo 1
Sejam P(2,3) e r: 3x - 4y + 1 = 0. Para achar a distância entre eles, basta substituir as 
coordenadas de P na equação geral de r e os coeficientes a e b no radicando:
3 • 2 - 4 ■ 3 + 1dt , = — = ^ -W + M F = -£-=* d fi r = 1
Exemplo 2
Dados os vértices de um triângulo ABC: A(l, 1), B(3, 3) e C(0, 4), para achar o compri­
mento da altura hc, relativa ao lado AB, determinamos inicialmente a reta suporte do lado
AB: é a primeira bissetriz, que possui equação 
x - y = 0.
Só falta achar a distância entre C e ela:
d = hc 1 • 0 - 1 • 4 + 0 _ 4Vl2 + H ) ? ” V2
I □ t-DQOQO
95 Encontre a distância entre o ponto P e a reta r, em cada caso:a) P(2. 3) e r: 5x + 12y - 7 = 0 c) PCI, 11) e r: 4x - y + 7 = 0b) PC5. -4) e r: 3x + 4y + 6 = 0 d) PC2, —3) er: y = 5x + 13
96 (PUC-SP) Determine a distância do ponto 0(1, 1) à reta /.cuja equação é 
x + y - 3 = 0.
97 Dados os pontos A(2, 5). B(3, -1) e C(6. 0). encontre a altura relativa ao lado BC do triângulo ABC.
98 Determine o comprimento da altura relativa ao lado BC do triângulo ABC, sendo A<—3. 0). B(6. 8) e C a origem do sistema cartesiano.
99 (UF-CE) Considere o triângulo cujos vértices são os pontos A(2, 0), B(0, 4) e CÍ2^5 ,4 + -y5 )• Determine a medida da altura relativa ao lado AB.
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