Material Didático - Fundamentos Teóricos e Metodológicos da Matemática e Prática

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PEDAGOGIA 
Fundamentos Teóricos e 
Metodológicos da Matemática e 
Prática 
 
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 Núcleo de Ensino a Distância 
 
 
A227c AGUIAR, Aglaer de Mattos 
Fundamentos Teóricos e Metodológicos da Matemática e Prática. Aglaer 
de Mattos Aguiar. Atualizado por Michel da Costa, 2023. 
115 fls. 
Universidade Metropolitana de Santos, Licenciatura em Pedagogia, 2008. 
 
1. Pedagogia 2. Matemática 3. Fundamentos Teóricos e Metodológicos 
das Matemática e Prática 
 CDD 371.102 
 
 
Créditos e Copyright 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vanessa Laurentina Maia 
Crb8 71/97 
Bibliotecária UNIMES 
 
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formato. 
 
 
 
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SUMÁRIO 
 
Aula 01_A Educação Matemática ...................................................................... 4 
Aula 02_Educação Matemática no Ensino Fundamental ..................................10 
Aula 03_Mitos no Ensino de Matemática - Material Concreto, Contagem e 
Tabuada ............................................................................................................14 
Aula 04_Alguns Mitos no Ensino de Matemática: Sistema Numérico em partes, 
tecnologias e resolução de problemas ..............................................................21 
Aula 05_Parâmetros Curriculares Nacionais ....................................................26 
Aula 06_Conteúdos Propostos para o Ensino Fundamental .............................34 
Aula 07_Conteúdos Conceituais e Procedimentais para o Primeiro Ciclo do 
Ensino Fundamental .........................................................................................41 
Aula 08_Conteúdos Atitudinais e Critérios de Avaliação para os Anos Iniciais do 
Ensino Fundamental .........................................................................................45 
Aula 09_Números Naturais e Sistema de Numeração Decimal ........................56 
Aula 10_Teoria dos Campos Conceituais – Gèrard Vergnaud: Campo Aditivo 63 
Aula 11_Teoria dos Campos Conceituais – Gèrard Vergnaud: Campo 
Multiplicativo ......................................................................................................68 
Aula 12_Espaço e Forma ..................................................................................72 
Aula 13_Grandezas, Medidas e Tratamento da Informação .............................81 
Aula 14_Números Racionais .............................................................................89 
Aula 15_Uso do Material Dourado e Ábaco de Pinos .......................................98 
Aula 16_ Álgebra nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental – BNCC (BRASIL, 
2017) ...............................................................................................................111 
 
 
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Aula 01_A Educação Matemática 
 
Palavras-chave: Educação Matemática; relação professor-aluno; currículo. 
 
 
A atuação dos professores em sala de aula é fruto do que pensam sobre a 
Matemática e o seu ensino. Durante a vida escolar, os futuros professores 
desenvolvem suas concepções com base no contato com educadores que 
percorreram este mesmo caminho que ele está percorrendo, ou seja, as concepções 
são transmitidas de professor para aluno-professor, e se multiplicam através deste 
ciclo. 
A importância do professor na quebra deste ciclo é indiscutível. Os 
professores são os principais protagonistas da mudança dos processos pelos quais 
a Matemática é aprendida e ensinada nas escolas. Para começar a compreendermos 
melhor este ciclo que envolve a Educação Matemática no Ensino Fundamental, 
vamos estudar os conceitos acerca da Educação Matemática, bem como sua origem. 
Conceito 
Trabalhar com Educação Matemática significa buscar significado em todas as 
atividades utilizadas no ensino e aprendizagem da Matemática, relacionando os 
conteúdos matemáticos com a cultura e o cotidiano dos alunos. 
A educação matemática ocupa uma área de estudo que integra a Matemática, 
a Pedagogia e a Psicologia. 
• A Psicologia fornece instrumentos para uma melhor compreensão dos 
processos educativos. 
• A Pedagogia surge disponibilizando correntes e recursos didáticos para o 
ensino e aprendizagem da Matemática. 
• A Matemática se configura como o objeto de estudo e prática da Educação 
Matemática. 
Enquanto o Ensino da Matemática preza por uma visão mais estreita, 
buscando entendê-la como ciência, priorizando a lógica matemática e se colocando 
a serviço dela, a Educação Matemática estende a discussão à História da 
Matemática, à consideração da realidade do aluno, levando em conta a 
 
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aprendizagem não formal, fora da escola, e colocando a Matemática a serviço do 
cidadão. 
A Educação Matemática direciona seus esforços em fornecer instrumentos 
metodológicos que possam ser utilizados pelo professor para aperfeiçoar suas 
atividades didáticas. Instrumentos estes, que são divulgados não somente através 
de congressos, mas também por livros especializados, cabendo ao professor de 
Matemática aplicar tais recursos em sala de aula, tornando sua tarefa menos 
complicada, e encurtando cada vez mais a distância entre seus alunos e a 
Matemática. 
 
Desenvolvimento Histórico 
Desde o princípio do século XX os professores de Matemática se reuniam com 
o intuito de debater e repensar sobre o ensino específico desta matéria. Porém, foi 
somente a partir da década de 1950, que a Unesco passou a organizar congressos 
internacionais para tratar exclusivamente a respeito da educação matemática. No 
início da década de 1970, primeiramente na França, a didática da Matemática 
passou a ser concebida como campo de sistematização de estudos específicos 
sobre os processos de ensino e aprendizagem da matéria. 
A Educação Matemática surgiu, oficialmente, no ano de 1980, quando foram 
publicados, nos Estados Unidos, pelo NCTM-National Council of Teachers of 
Matematics, o Conselho Nacional de Professores de Matemática, inúmeros livros 
direcionados para uma maior aproximação entre os professores, os alunos e a 
Matemática. Tais obras foram motivadas pela preocupação, nos planos didáticos e 
pedagógicos, com a maneira pela qual os alunos aprendem matemática em sala de 
aula, que no decorrer dos anos tem sido cercada por inúmeros mitos e preconceitos, 
buscando demonstrar por meio de pesquisas e estudos que é possível transformá-
la em desafiadora, instigante e agradável. 
Desde então, os teóricos envolvidos no processo de desenvolvimento da 
Educação Matemática defendem a ideia de que cada matéria precisa desenvolver 
sua própria didática. Tal ideia parte da crença de que um único campo de estudo não 
é capaz de atender todas as especificidades de ensino que cada um dos variados 
campos de conhecimento apresenta. A criação de campos de pesquisas dentro das 
universidades estimulou e impulsionou o surgimento de organizações de professores 
 
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de matemática,com a intenção única de estudar e aperfeiçoar o ensino da matéria. 
Com o passar dos anos, tais organizações se multiplicaram, fortaleceram, 
estruturaram e, atualmente, influenciam fortemente na elaboração das diretrizes 
curriculares para o ensino da matemática em muitos países. 
Na apresentação do livro “Aprendendo e Ensinando Geometria”, publicado em 
São Paulo, pela Editora Atual, no ano de 1994, assim é descrito o Movimento da 
Educação Matemática no Brasil: 
 
A Educação Matemática, como área autônoma de estudos e pesquisas, tem 
poucos anos de existência formal no Brasil. No entanto, o reconhecimento 
de sua importância vem crescendo aceleradamente entre nós, haja vista os 
inúmeros congressos de Educação Matemática realizados ultimamente em 
vários pontos do país, sempre com um número bastante grande de ativos 
participantes. 
Relações da Matemática com a Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional 
 
No Brasil, compreendemos por Ensino Fundamental uma das três etapas da 
Educação Básica, com duração de nove anos, envolvendo crianças entre 06 e 14 
anos de idade. 
O Ensino Fundamental foi criado pela Lei de Diretrizes e Bases, promulgada 
sob o n° 9.394, em 20 de dezembro de 1996, assumindo o lugar do antigo “Ensino 
de Primeiro Grau”. Recentemente, o Governo Brasileiro editou a Lei 11.114/2005, 
ampliando a duração do Ensino Fundamental de oito para nove anos, passando a 
abranger a chamada “Classe de Alfabetização”, classe anterior à primeira série, com 
matrícula obrigatória aos seis anos de idade, e concedendo até 2.010 prazo para 
que os estados e municípios se ajustem às exigências da lei. 
O ensino Fundamental ficou caracterizado da seguinte forma: 
1) Primeiro ao quinto ano: envolvendo alunos de seis a dez anos. É um estágio 
caracterizado pela alfabetização e solidificação de conteúdos básicos; 
2) Sexto ao nono ano: envolvendo alunos entre 11 e 14 anos. Caracteriza-se pela 
diversificação e especificidade de conteúdos. 
 
Lei de Diretrizes e Bases para a Educação Nacional 
A Lei nº 9.394, de 20 de dezembro de 1996, foi criada no intuito de estabelecer 
Diretrizes e Bases para a Educação Nacional, dentre as quais destacaremos, a 
 
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seguir, aquelas que atingem o Ensino Fundamental, bem como as que tratam dos 
tópicos relacionados ao desenvolvimento da Educação Matemática. 
O artigo primeiro assim versa sobre a educação: 
Artigo 1º.- A educação abrange processos formativos que se desenvolvem 
na vida familiar, na convivência humana, no trabalho, nas instituições de 
ensino e pesquisa, nos movimentos sociais e organizações da sociedade 
civil e nas manifestações culturais. 
Destaca, ainda, em seu segundo inciso, que a educação escolar deverá 
vincular-se ao mundo do trabalho e à prática social. 
Tais preceitos reproduzem aquela que é considerada como principal meta 
central da Educação Matemática em sala de aula, ou seja, a aproximação entre os 
conhecimentos matemáticos e o cotidiano dos alunos. 
 
Responsabilidades Didáticas das Instituições de Ensino e Professores: 
Em seu artigo doze, a Lei estabelece como incumbência didática dos 
estabelecimentos de ensino o seguinte: 
1) Elaborar e executar a proposta pedagógica ou o plano de ensino; 
2) Assegurar o cumprimento dos dias letivos e horas-aula estabelecidos; 
3) Velar pelo cumprimento do plano de aula de cada professor; 
4) Promover a integração entre a escola e a sociedade. 
No mesmo caminho, o Artigo 13 atribui aos docentes as seguintes obrigações 
didáticas: 
1) Participar da elaboração da proposta pedagógica, ou do plano de ensino; 
2) Elaborar e cumprir o Plano de Aula, em sintonia com a Proposta Pedagógica; 
3) Zelar pela aprendizagem dos alunos; 
4) Colaborar com a articulação entre a escola e a sociedade. 
Os artigos 12 e 13 estabelecem preceitos suficientes para o bom 
desenvolvimento da Educação Matemática. Ocorre que o simples cumprimento 
destes não basta, o primordial é a qualidade com que o plano de ensino será 
elaborado, o preparo dos profissionais que irão projetá-lo e cumpri-lo, a boa 
formação dos professores que irão preparar os planos de aulas, a capacidade com 
que irão praticá-los e a maneira como escola e professores trabalharão a 
proximidade entre sociedade e escola. 
 A este respeito o professor Fiorentini publicou o livro “Princípios para as 
Licenciaturas - uma reflexão sobre a formação dos professores de Matemática, 
 
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Química e Física”, no ano de 1997, onde destaca a importância de uma formação 
adequada à condição do professor em sala de aula que 
 
 
lhe possibilite compreender e responder crítica e competentemente aos 
desafios do mundo contemporâneo, desafios colocados pelo 
desenvolvimento científico e tecnológico, e também aqueles que se 
processam no domínio dos valores e das implicações políticas e éticas 
trazidas por esse desenvolvimento. O professor precisa, ainda, ter uma 
visão educacional e conjuntural, que lhe possibilite, junto com seus pares, 
enfrentar um mercado de trabalho totalmente desvalorizado e, assim, 
superar a degradação que passa a Educação no país, principalmente no 
que se refere ao ensino fundamental e médio. 
 
Ainda focando a formação dos professores destacamos os seguintes artigos: 
 
1) A formação de docentes para atuar na educação básica far-se-á em nível 
superior, em curso de licenciatura, de graduação plena, em universidades e 
institutos superiores de educação, admitida, como formação mínima para o 
exercício do magistério na educação infantil e nos 5 (cinco) primeiros anos 
do ensino fundamental, a oferecida em nível médio na modalidade normal 
(artigo 62); 
2) Tal formação deverá incluir prática de, no mínimo, trezentas horas (artigo 
65); 
3) Os sistemas de ensino deverão promover e valorizar os profissionais de 
educação (artigo 67). 
 
Estrutura da Educação Escolar 
 
Quanto à estrutura da educação escolar, o Artigo 21 preceitua que a 
Educação Escolar irá compor-se de: 
1) Educação Básica – formada por Educação Infantil, Ensino Fundamental 
e Ensino Médio; 
 2) Educação Superior. 
 
Currículo 
 
O Artigo 26 estabelece que os currículos do Ensino Fundamental deverão 
possuir uma base comum nacional, a ser complementada em cada sistema de 
ensino e estabelecimento escolar, por uma parte diversificada, conforme as 
características regionais e locais da sociedade, cultura local, economia e clientela. 
Especificamente sobre a matemática, o inciso primeiro determina que tal 
currículo deverá abranger, necessariamente, Língua Portuguesa e Matemática. 
 
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 Mais adiante, o artigo 32 versa especificamente sobre o Ensino Fundamental, 
estabelecendo parâmetros dentre os quais destacamos: 
 
1) Desenvolvimento da capacidade de aprender, tendo como meios básicos o 
pleno domínio sobre cálculos; 
2) Desenvolvimento da Capacidade de Aprendizagem. 
 
Daí deduz-se que as matrizes curriculares das instituições de ensino deverão 
abranger o domínio sobre cálculos e o desenvolvimento da aprendizagem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Aula 02_Educação Matemática no Ensino Fundamental 
 
Palavras-chave: Educação Matemática; parâmetros curriculares nacionais; base 
nacional comum curricular. 
 
Considerando que a Educação Matemática vai além da simples transmissão 
de conteúdos mediante o ensino tradicional, focando seus esforços em desenvolver 
metodologias que possibilitem ao professor aperfeiçoar suas atividades didáticas, o 
educador matemático no Ensino Fundamental deveria, em conformidade com a Lei 
de Diretrizes e Bases para a Educação, gerar e implementarinstrumentos que 
viabilizem o desenvolvimento da capacidade de aprender, tendo como meios básicos 
o pleno domínio sobre cálculos e o desenvolvimento da capacidade de 
aprendizagem. 
A Educação Matemática no Ensino Fundamental, incorporando novas 
tecnologias e modernos recursos pedagógicos, visa, como campo de estudo, 
fornecer novas ferramentas didáticas e instrumentos metodológicos que possam 
aperfeiçoar a sua prática em sala de aula, servindo como recursos para o professor 
de Matemática em suas atividades didáticas. Atualmente, o cenário apontado pelo 
SAEB, com relação ao aprendizado da Matemática no Ensino Fundamental, aponta 
para a sua importância, tanto na formação do professor quanto no aperfeiçoamento 
de seu desempenho em sala de aula. 
 
Cenário da Matemática no Ensino Fundamental do Brasil 
Através do Ministério da Educação– MEC -, bem como do Instituto Nacional 
de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira – INEP -, o governo brasileiro 
criou, no ano de 1990, o Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica 
 – SAEB – , com a finalidade de avaliar o conhecimento, habilidades e competências 
adquiridas e desenvolvidas pelos alunos. Na opinião de especialistas no assunto, 
como Carlos Henrique Araújo, Mestre em Sociologia, e Nildo Luzio, Mestre em 
História Social, o SAEB é a avaliação mais importante sobre o aprendizado das 
crianças brasileiras. 
 
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Segundo o SAEB/2003, a quantidade de alunos que alcançaram um patamar 
aceitável na escala de desempenho em matemática, foi inferior a 3%. Os demais 
97% dos avaliados, não desenvolveram competências e habilidades condizentes 
com uma boa escolarização em Ensino Fundamental. Analisando mais 
profundamente o relatório do SAEB/2003, podemos perceber que menos de 52% 
dos estudantes apresentam desempenho abaixo do esperado para a série que 
cursam, enquanto pouco mais de 6% dos estudantes apresentaram aprendizado 
esperado para a série correspondente. 
Em outras palavras, 51,71% dos alunos não são capazes de responder a 
comandos operacionais elementares compatíveis com a série em que se 
encontram, enquanto que menos de 6,81% dos alunos demonstram tal capacidade 
compatível com a respectiva série. 
Outro resultado que merece destaque diz respeito à constatação de que 
apenas 1% dos alunos é maduro o suficiente para demonstrar habilidades de 
interpretação de problemas em um nível superior ao exigido na série em que se 
encontram. Tais dados chamam a atenção para as lacunas deixadas pelo ensino da 
Matemática no Ensino Fundamental, principalmente quando se direcionam as 
atenções para a influência dos professores neste quadro tão negativo. 
Um fato que se torna cada vez mais evidente é que, tanto nos antigos cursos 
de magistério quanto nos modernos cursos oferecidos pelas faculdades de 
educação, a preparação para o ensino da Matemática está sendo ineficiente para 
gerar uma aprendizagem adequada. Por mais que os professores possam dominar 
as habilidades matemáticas pertinentes ao Ensino Fundamental, a carência 
pedagógica em sua formação acaba comprometendo a transmissão dos conteúdos 
matemáticos em sala de aula. 
 
A importância do Professor para o desenvolvimento da Educação Matemática 
no Ensino Fundamental 
A missão principal do professor de matemática consiste em atuar como elo 
entre os alunos e o saber matemático. Ocorre que as concepções dos professores 
acerca da Matemática e do seu ensino acabam afetando sua eficácia nesse papel 
de mediador. Portanto, considerando que os padrões de comportamento 
característicos dos professores são resultados de suas concepções sobre a 
 
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disciplina e seu ensino, qualquer tentativa de melhorar o ensino da Matemática deve 
considerar a compreensão dos professores e como ela está relacionada com suas 
práticas. 
Os professores que, quando estudantes, passaram por escolas onde o ensino 
e a aprendizagem da Matemática estavam relacionados à transmissão e recepção 
passiva de conhecimentos já construídos, repetição e reprodução, tendem a 
encontrar dificuldades ao interagir com alunos em ambientes que privilegiem a 
construção do saber matemático. Superar tais dificuldades só será possível na 
medida em que o professor reunir condições para promover um ambiente que 
estimule o aluno a criar, comparar, discutir, rever, perguntar e ampliar idéias. 
Daí a importância do desenvolvimento de um trabalho cooperativo entre 
educadores e pesquisadores, estreitando laços entre a Universidade e a Escola, 
desenvolvendo e praticando metodologias e recursos necessários para a evolução 
do ensino da Matemática. É justamente neste ponto que entra a Educação 
Matemática oferecendo ferramentas e implementando, em sala de aula, propostas 
didáticas capazes de reconduzir o ensino da Matemática a patamares, no mínimo, 
mais aceitáveis. 
Neste sentido, um grande desafio que se apresenta, é ir além da 
automatização de procedimentos. Os alunos precisam ser motivados a resolver um 
número significativo de problemas, sempre raciocinando sobre situações do 
cotidiano. Quanto mais forem capazes de reconhecer a aplicabilidade da Matemática 
em seu cotidiano, mais fácil será a sua assimilação em relação aos conteúdos 
transmitidos. Quanto mais as atividades pedagógicas focarem a reflexão dos 
estudantes melhores resultados serão alcançados. 
Um exemplo de tais atividades seria a organização dos alunos em grupo para 
promover um censo sobre a própria escola. Através desta tarefa poderão contar 
quantidade de alunos, professores, funcionários, obter informações sobre o sexo, 
idade, aprendendo noções de proporção e porcentagem, desenvolvendo tabelas e 
gráficos, e, ainda, aplicar recursos de informática durante as atividades. 
Nesta linha, outro tipo de atividade que pode ser proposta diz respeito à 
integração dos alunos na sociedade, mais especificamente no bairro onde residem, 
onde as crianças seriam incentivadas a visitarem o comércio próximo às suas 
 
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residências, aprendendo, na prática, a trabalhar com contas, percentuais, juros, 
pesos e medidas. 
 
 
 
 
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Aula 03_Mitos no Ensino de Matemática - Material Concreto, 
Contagem e Tabuada 
 
Palavras-chave: Educação Matemática; mitos na matemática; metodologia do 
ensino de matemática. 
 
Iniciaremos nossa aula com algumas questões para refletir sobre alguns 
mitos acerca da matemática e seu respectivo ensino: 
Primeiras Reflexões: 
• Meninas têm mais dificuldade para aprender Matemática do que meninos? 
• Pessoas de algumas nacionalidades têm mais facilidade para aprender 
matemática que outras? 
• Quem aprende Matemática é uma pessoa muito inteligente? 
• A Matemática é para poucos? 
 
O que vocês pensam a respeito dessas questões? 
A Professora Célia Carolino Pires, em 2014, fez algumas explorações acerca 
de alguns desses mitos, pois tais assuntos são veiculadas com muita frequência e 
certa naturalidade nos meios educacionais. Apesar de atualmente possuirmos um 
avanço dos estudos na área de Educação Matemática, prevalecem ainda dois 
mitos: 
O primeiro pode ser identificado como sendo do tipo biológico-genético. Esse 
mito é o de que a Matemática é algo para quem tem dom, para quem é 
“geneticamente” dotado de certas qualidades hereditárias. O segundo pode ser 
caracterizado como do tipo sociológico. Com base nesse mito é preciso ter um 
capital cultural para atingir o universo matemático. 
Embora constituam temas polêmicos e que merecem ser investigados, para 
educadores que atuam na sala de aula esses mitos acabam se constituindo, muitas 
vezes em atitudes preconceituosas e imobilizadoras. 
Assim, pareceque seria muito interessante que se conceba que na escola 
básica, com ou sem dom, com ou sem capital cultural, todos têm o direito de ter 
acesso e apropriar-se de conhecimentos matemáticos, o que pode ser resumido no 
slogan “a Matemática é para todos”. 
 
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Em seus estudos, Curi (2004) entrevistou professoras polivalentes, que 
ensinam matemática nos quatro primeiros anos do ensino fundamental e analisou 
textos elaborados por elas sobre suas memórias do tempo de estudantes, alguns 
dos quais estão transcritos abaixo: 
Não tinha boas relações com a Matemática. Sempre fui “ruim” em Matemática 
e sentia muito medo e vergonha. As atitudes negativas que minhas professoras 
transmitiam levavam a resultados não satisfatórios. Passei por várias escolas, mas 
nunca consegui me identificar com a Matemática. Tinha medos e traumas, que me 
acompanharam por muito tempo (Curi, 2004). 
Como eu fui alfabetizada em Matemática? Deus me livre... A professora com 
uma régua na mão, se eu não soubesse tome reguada... estou falando mentira? As 
colegas que têm a minha idade sabem disso, tinha campeonato de tabuada, tinha 
pânico de errar tabuada... pânico das aulas de Matemática... às vezes a gente sabia, 
mas não tinha nem coragem de falar o resultado... a gente sofria... (Curi, 2004). 
As experiências negativas e os traumas são uma referência muito frequente 
nos depoimentos dos entrevistados por Curi (2004) e, certamente, coincidem com 
os depoimentos informais de uma grande maioria de pessoas que cursaram o ensino 
fundamental. Nesse estudo, outro fato que chama a atenção é o de que a escolha 
profissional e, em particular, a opção pelo magistério das séries iniciais tem relação 
com essas experiências traumáticas como alunos de Matemática. 
No ano de 1980, comecei a cursar o magistério, não foi uma opção minha, 
mas de minha mãe, que estava cansada de ter que pagar professor particular para 
eu aprender Matemática. Não gostava de Matemática. Fui reprovada no 1.º colegial 
em Matemática por faltas, pois não assistia à aula, ficava na quadra jogando vôlei. 
As aulas eram chatas e cansativas, não me interessavam. Minha mãe me propôs 
que pagaria uma escola particular se eu cursasse o magistério e foi assim que 
“acabei sendo professora”. (Curi, 2004). 
A percepção de que não sabia Matemática e de não gostava de estudar essa 
matéria teve muita influência na minha escolha profissional, basicamente fugi da 
Matemática quando optei por fazer o curso de magistério (Curi, 2004). 
Não sabia e não gostava de Matemática. Nunca tive bons professores, tinha 
medo de alguns professores e tinha certeza de que a Matemática não era para mim. 
 
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Tinha muito medo da Matemática e como gostava de crianças decidi: vou ser 
professora, pois não preciso de Matemática para ensinar as crianças (Curi, 2004). 
 Retornando às questões feitas no início da aula, devemos refletir sobre como 
podemos fazer nossos alunos aprenderem e gostarem de matemática e ao mesmo 
tempo não podemos nos deixar levar por preconceitos em nenhuma condição, e 
termos sempre em nossas ideias que sim, “A matemática é para todos!”. 
Em continuidade, nessa aula, veremos alguns mitos que por diversas vezes 
estão presentes em nossa rotina diária, mas por diversas vezes ao ensinar, 
professores, consciente ou inconscientemente, trabalham com base nas concepções 
de educação (matemática) nas quais acreditam. Seguem-se os dias, os anos e 
ensinam, acreditando em seus trabalhos. Entretanto, é consenso entre os 
professores que ensinar matemática tem sido um desafio que se amplia a cada dia. 
De um lado, professores, com a tarefa de ensinar; e de outro, os alunos, nem sempre 
tão interessados em aprender a matemática que propomos. 
Compartilhamos algumas ideias de Follador (2005), que já apontava que essa 
discussão não é nova, nem no Brasil, nem no mundo. Profissionais ligados à 
Educação Matemática têm defendido ideias como as do professor Ubiratan 
D’Ambrósio que, ainda em 1991, escreveu que “a matemática que estamos 
ensinando e como a estamos ensinando é obsoleta, desinteressante e inútil.” Por 
outro lado, esse mesmo autor enfatiza que a matemática é uma ciência útil a 
praticamente todos os setores da sociedade (D’AMBRÓSIO, 1991, p. 2). 
Assim sendo, o fato de ensinarmos uma matemática desinteressante, 
obsoleta e inútil parece não ser um problema advindo da matemática, mas do modo 
como lidamos com ela na escola. 
Nessa linha de raciocínio, D’Ambrósio traz como proposta que ensinemos 
“uma matemática viva, uma matemática que vai nascendo com o aluno enquanto ele 
mesmo vai desenvolvendo os meios de trabalhar a realidade na qual ele está agindo” 
(D’AMBRÓSIO, 1991, p.2). 
Ao concordarmos com as ideias deste autor e trazermos esta problemática 
para os anos séries iniciais do Ensino Fundamental, provocamos em nós um 
inevitável questionamento: que matemática ensinar e como ensiná-la? Como torná-
la interessante, provocadora e instigante? 
 
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Temos à nossa disposição um considerável número de publicações 
resultantes de pesquisas acadêmicas que podem nos ajudar a encontrar algumas 
dessas respostas. Entretanto, estas propostas fechadas em si mesmas nada mudam 
no cotidiano escolar. É necessário estudá-las, discuti-las de modo crítico e fazer 
adaptações para pô-las em prática no nosso ambiente escolar, com nossas 
condições de trabalho, enfim, no nosso contexto. 
Outras contribuições importantes das pessoas que se dedicam a pesquisar e 
escrever são aquelas que discutem concepções, tendências, mitos, crenças e tabus 
ligados à Matemática, tanto como ciência quanto como disciplina escolar. A esta 
última, acrescentemos as discussões acerca do ensino/aprendizagem. Estudar estes 
autores e discutir a pertinência de suas ideias e estudos, com nossos pares, pode 
nos ajudar a compreender nossas escolhas, enquanto professores, avaliá-las, revê-
las e aprimorá-las. 
Como exemplo, podemos citar o artigo de Magina e Spinillo (2004) no qual as 
autoras discutem alguns mitos sobre educação matemática no ensino fundamental. 
Estes mitos foram selecionados pelas autoras entre aqueles que têm alto nível de 
aceitação ou de rejeição entre os professores. 
Os seis mitos discutidos por elas também surgem com frequência 
considerável nas questões levantadas pelos professores nos cursos de formação 
nos quais assumimos a docência, o que nos levou a sintetizá-los neste texto. 
MITO 01 - MATERIAL CONCRETO 
O primeiro desses mitos enfatiza que o material concreto é essencial para o 
ensino da matemática inicial. Com base no estudo de outros pesquisadores e em 
seus próprios estudos, as autoras afirmam que “o material concreto não é o único e 
nem o mais importante recurso na compreensão matemática, como usualmente se 
supõe. Não se deseja dizer com isso que tal recurso deva ser abolido da sala de 
aula, mas que seu uso seja analisado de forma crítica, avaliando-se sua efetiva 
contribuição para a compreensão matemática.” (MAGINA & SPINILLO, 2004, p.11). 
Segundo as autoras os alunos não percebem uma relação entre as ações 
realizadas no material concreto e a formalização matemática. Assim sendo, sugerem 
que as situações de ensino poderiam combinar material concreto com 
representações gráficas diversas2, fugindo da rotina estabelecida em sala de aula 
 
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 18 
em que primeiro resolvem-se os problemas e operações por meio de objetos, e 
depois representam-se no papel com a formalização do uso do algoritmo. 
MITO 02 - CONTAGEM 
O segundo mito discutido pelas autoras é a afirmação de que a contagem não 
traz benefícios à compreensão matemática. As autoras não discordamdo fato de a 
simples contagem não garantir a compreensão de vários aspectos importantes para 
a construção do conceito de número. 
Entretanto, defendem que a contagem tem seu papel na construção do 
conceito de número e nas suas relações com a quantificação, desde que não seja 
uma atividade em si mesma. É preciso explicitar à criança “o propósito de se contar 
estimulando-a a desenvolver seus próprios objetivos numéricos: descobrir, conferir, 
comparar, enumerar, dividir igualmente etc.” (MAGINA & SPINILLO, 2004, p.13). 
Pode-se ainda retirar do texto dessas duas autoras o estabelecimento de uma 
relação entre o mito da contagem e o mito citado no parágrafo anterior (uso de 
material concreto), quando elas afirmam que “através da contagem, a criança pode 
fazer a importante passagem dos objetos físicos para os objetos matemáticos, isto 
é, dos manipulativos para os números e seus símbolos. Aquilo que é falado 
(contagem em voz alta) pode ser escrito, lido, reconhecido, marcado no papel 
(notação convencional ou não) e, mais importante, pode ser interpretado por outra 
pessoa” (ibid., p.13). 
MITO 03 - TABUADA 
Consideramos o terceiro mito levantado pelas autoras como aquele que 
envolve um dos aspectos mais polêmicos e discutidos no ensino de matemática: a 
tabuada. Este mito foi enunciado assim: “a tabuada é pura memorização da 
multiplicação.” As autoras discutem amplamente a questão do redimensionamento 
do ensino da tabuada considerando seu potencial na aprendizagem da matemática. 
Entretanto, a defesa que fazem vai além da compreensão e memorização, pois 
sugerem atividades significativas com a tabuada, objetivando além do ensino da 
multiplicação, o ensino do caráter gerativo do sistema numérico decimal. Também 
propõem uma reflexão acerca das relações entre a multiplicação e a adição, e 
multiplicação e a divisão. Afirmam, ainda, que a escola não pode se limitar a 
“apresentar” aos alunos apenas as tabuadas do 1 ao 10, mas outras tabuadas, de 
 
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 19 
modo que os alunos compreendam que as regras de organização da tabuada podem 
ser aplicadas a números subsequentes ao 10. 
Ao lidar com a tabuada é preciso que a criança compreenda o que acontece 
com a sequência dos números. Por exemplo: ao lidar com a tabuada do 3 partindo 
da multiplicação 3 X 1 = 3, é preciso que ela compreenda que o próximo produto (3 
X 2 = 6) é resultado da adição 3 + 3, o próximo (3 X 3 = 9) resulta de 3 + 3 + 3 = 9, 
e assim sucessivamente. Ou seja, é importante que a criança compreenda que a 
tabuada é resultado de adições sucessivas de um mesmo número. Assim, ao ter 
memorizado alguns casos e compreendido o caráter gerativo da tabuada, o aluno 
poderá gerar outros casos a partir da adição, quando o par numérico conhecido 
antecede o par numérico desconhecido. Por exemplo: o aluno conhece o resultado 
de 3 X 4, que é 12, e quer conhecer o resultado de 3 X 5; então adiciona 3 ao 12, 
obtendo 15, que é resultado de 3 X 5. Poderá, também, gerar outros casos a partir 
da subtração, quando o par numérico desconhecido antecede o par numérico 
conhecido. Por exemplo: o aluno conhece o resultado de 3 X 5, que é 15, e quer 
descobrir o resultado de 3 X 4; então ele subtrai 3 de 15 e obtém 12, que é o resultado 
de 3 X 4. 
Porém, compreender esta relação entre a adição e a multiplicação na tabuada 
é o que há de mais básico. O potencial da tabuada como recurso didático é ainda 
maior, pois permite, também, relacionar a multiplicação à divisão. Pode-se, por 
exemplo, mostrar à criança que 3 x 5 = 15 ajuda a descobrir o resultado de 15 ÷ 5 e 
15 ÷ 3. 
A compreensão da comutatividade é outro potencial da tabuada elencado por 
Magina e Spinillo (2004). A partir de atividades que permitem analisar a da tabuada, 
é possível discutir com os alunos disposição as relações entre os pares numéricos e 
seus resultados, proporcionando reflexão que auxilie na compreensão de princípios 
que regem a multiplicação, como a comutatividade. 
As autoras elencaram ainda outras relações que se pode estabelecer entre as 
tabuadas. Uma delas é mostrar aos alunos por que dois diferentes pares numéricos 
da tabuada apresentam um mesmo resultado. Outra é mostrar que o resultado da 
tabuada do 4 é sempre o dobro do resultado da tabuada do 2; o resultado da tabuada 
do 4 é sempre a metade do resultado da tabuada do 8, o resultado da tabuada do 6 
é o triplo do resultado da tabuada do 2 e o dobro do resultado da tabuada do 3. As 
 
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 20 
autoras pontuam, ainda, que a compreensão dessas relações pode favorecer, por 
exemplo, o uso da calculadora (MAGINA, SPINILLO, 2004) 
 
 
 
 
 
 
 
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 21 
Aula 04_Alguns Mitos no Ensino de Matemática: Sistema 
Numérico em partes, tecnologias e resolução de problemas 
 
Palavras-chave: Educação Matemática; mitos na matemática; metodologia do 
ensino de matemática. 
 
Em continuidade à aula anterior, mostraremos ideias acerca de outros três 
mitos que estão presentes na sala de aula ao ensinar matemática: como ensinar ao 
aluno o sistema numérico: estabelecer ou não partes do sistema de numeração 
decimal? Como fazer em relação à resolução de problemas para fazer com que os 
alunos realmente aprendam? E o terceiro e último mito aqui descrito seria como fazer 
o uso das tecnologias no ensino de matemática. 
Ressaltamos que os mitos aqui abordados, utilizando as referências citadas 
não esgotam as possibilidades: há muitos outros mitos. Mas, devemos sempre 
refletir em como fazer e o porquê de nossas escolhas enquanto professor. 
MITO 04 – SISTEMA NUMÉRICO EM PARTES 
O quarto mito diz que o sistema numérico decimal deve ser ensinado em 
partes, iniciando-se com números “pequenos” (menores que uma dezena). 
Ilustrando com um exemplo no qual uma criança estabelece relações entre as 
dezenas e as unidades graças ao modo como a professora apresentou uma 
sequência numérica, as autoras enfatizam que “o contato com uma sequência mais 
ampla e representativa do sistema (aspecto este que não é contemplado na 
sequência de um a quinze, cujos nomes dos números são a exceção e não a regra 
do sistema) permite tanto descobrir a sua regularidade, como, sobretudo, descobrir 
o caráter gerativo do sistema, propiciando organizar as informações em um sistema 
lógico” (p.15). 
Ao discutir este mito, as autoras levantam ainda um aspecto importante que é 
o fato da análise sobre o nome dos números servir de pista para a compreensão do 
sistema decimal. Elas afirmam que “refletir sobre os nomes dos números pode ser 
um recurso efetivo para, por meio de uma análise morfossintática das palavras, se 
compreenderem a organização geral do sistema. Esta é uma forma de abordar o 
número a partir da linguagem” (p.16). 
 
 
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MITO 05 – PROBLEMAS E OPERAÇÕES 
 
O quinto mito identificado por Magina e Spinillo (2004) é do âmbito da 
resolução de problemas. Neste mito está implícita a ideia de que na escola deve-se 
propor um problema para cada operação: problemas de adição, de subtração, de 
multiplicação e de divisão. A resolução de problemas, seja como método, seja como 
conteúdo, vem sendo defendida por muitos pesquisadores no Brasil e no mundo. 
Mas, a resolução de problemas defendida por estes profissionais nada tem a ver com 
a sequência didática, na qual ensina-se uma determinada operação e o seu algoritmo 
correspondente (adição, multiplicação, subtração ou divisão) para depois propor 
problemas que requeiram o emprego desta operação. Tampouco é considerada uma 
boa prática aquela na qual se propõe uma operação para cada problema, ou seja, 
se o professor deseja trabalhar com o algoritmo da adição, propõe problemas que 
envolvema operação de adição; se deseja trabalhar com o algoritmo da subtração, 
propõe problemas que envolvem a operação de subtração, e assim por diante. Esta 
prática leva a criança a concluir que para cada problema há uma (e apenas uma) 
operação a ser empregada. 
Este tipo de abordagem pode fazer com que a criança entenda que, ao 
resolver problemas propostos na escola, tem sempre que fazer 1 “conta” com dados 
extraídos do enunciado e dar 1 resposta única ao problema. 
Se queremos formar indivíduos capazes de resolver problemas de modo 
reflexivo, é preciso propor tipos variados de problemas, incluindo, por exemplo, 
problemas sem solução, problemas com mais de uma solução, problemas com 
excesso de dados, problemas cuja resolução envolva mais de uma operação e 
problemas que possam ser resolvidos pela combinação de diferentes operações. 
Aliado a isso, os problemas propostos para os alunos serão mais interessantes se 
permitirem ser resolvidos de várias formas e se for oportunizado pelo professor que 
os alunos discutam essas resoluções entre eles. Este tipo de abordagem permite ao 
professor discutir os acertos e os erros dos alunos, não no sentido de premiar ou 
punir, mas no sentido de compreender as formas de raciocínio dos alunos e as 
 
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 23 
dificuldades que eles enfrentam. Para o aluno, este processo permite refletir sobre o 
seu próprio pensamento e sobre o modo de pensar dos outros. 
Mito 6 – NOVAS TECNOLOGIAS 
 
O sexto e último mito identificado e discutido por Magina e Spinillo (2004) diz 
respeito às novas tecnologias. Ele foi enunciado assim: as novas tecnologias são a 
chave para a aprendizagem da matemática ou são um modismo que vai passar? 
Para discutir este mito, as autoras levantaram diversos aspectos: o primeiro deles 
alia as tecnologias ao desenvolvimento do pensamento humano. Tendo sido o 
próprio homem o inventor de um grande conjunto de instrumentos culturais, pode-se 
dizer, a grosso modo, que os instrumentos criados pelo homem influenciam o seu 
modo de pensar. 
Nesse sentido, as tecnologias são entendidas como mediadoras da ação dos 
indivíduos. Como exemplo, as autoras descrevem como a régua, instrumento cultural 
criado pelo homem para realizar medições, ajuda o homem a construir seu 
conhecimento sobre medidas. Colocando a informática e, mais especificamente, o 
computador no rol dos muitos instrumentos culturais criados pelo homem, as autoras 
entendem que “um computador coloca à disposição da criança muitos sistemas de 
signos desenvolvidos pela matemática, mas é preciso que a criança saiba usá-lo” 
(MAGINA & SPINILLO, 2004, p.26). 
Assim, sugerem que o educador não perca de vista que o computador pode 
realmente contribuir para a aprendizagem de conceitos matemáticos 
Elas advertem, porém, da necessidade da intervenção do professor e de suas 
escolhas tanto na elaboração das atividades quanto na condução do processo de 
sistematização do conhecimento. 
Para Magina e Spinillo (2004, p.28), 
 
 “o computador não é, não foi e nem será o redentor da 
educação, visto que se trata de um recurso para mediar a construção 
do conhecimento do aluno; por outro lado, é inegável a sua 
contribuição. Além disso, o computador não é algo passageiro, é um 
recurso que veio para ficar, fazendo parte da cultura e da organização 
social do século 21.” 
 
As autoras lembram que esses equipamentos estão cada vez mais presentes 
no cotidiano das pessoas das mais diferentes classes sociais. Assim sendo, sugerem 
que se discuta o papel das ferramentas informatizadas na escola, que se reflita 
 
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criticamente sobre seus limites e possibilidades em vez de adotar-se posições 
extremas a favor ou contra. 
É importante lembrar que as autoras selecionaram estes seis mitos discutidos 
acima para escrever o artigo aqui mencionado. Entretanto, as mesmas admitem que 
há outros mitos não discutidos por elas. Certamente, num único texto é impossível 
discutir todos os mitos, crenças e tabus relacionados a uma determinada área do 
conhecimento, tampouco isso seria possível numa discussão relacionada à 
matemática. Como já dissemos anteriormente, há muitas publicações discutindo 
esses aspectos. Outro exemplo que podemos citar é o artigo escrito por Falzetta 
(2003), no qual o autor discute cinco tabus acerca da resolução de problemas 
identificados por pesquisadores em Educação Matemática. 
Além desse tipo de artigo, podemos contar com publicações que discutem o 
trabalho na sala de aula com um determinado eixo, conceito ou conteúdo da 
disciplina. Dentre esses artigos, há alguns com enfoque maior nos aspectos 
cognitivos, outros que evidenciam os métodos de ensino, outros que discutem o 
ensino-aprendizagem de um determinado conceito, outros que sugerem atividades 
para aplicar na sala de aula, enfim, a produção em Educação Matemática no Brasil 
e no mundo tem sido significativa. Cabe a nós, profissionais da educação, fazermos 
bom uso dessa produção objetivando ensinar a “matemática viva” sugerida por 
D’Ambrósio. 
 
REFERÊNCIAS 
 
D’AMBRÓSIO, U. Educação matemática: da teoria à prática. Campinas: Papirus, 
1997. 
 
FOLLADOR, Dolores. Orientações Pedagógicas para Professor – Mitos na 
Educação Matemática – Secretaria do Estado do Paraná, 2005. p.11-17. 
Disponível em: https://pt.scribd.com/document/3288214/matematica-cba-prof-pag-
1-a-70 Acesso em: 10 jun. 2023. 
 
IFRAH, G. Os números: a história de uma grande invenção. 8.ed. Rio de Janeiro: 
Globo, 1998. 
 
LORENZATO, S. Por que não ensinar Geometria? Educação Matemática em 
Revista. SBEM, n.1, 1995, p.3-13. 
 
https://pt.scribd.com/document/3288214/matematica-cba-prof-pag-1-a-70
https://pt.scribd.com/document/3288214/matematica-cba-prof-pag-1-a-70
 
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 25 
MACHADO, Nilson José. Medindo comprimentos. São Paulo: Scipione, 2000. 
(Coleção Vivendo a Matemática). 
 
PARRA, Cecília. Didática da Matemática: Reflexões Psicopedagógicas. Porto 
Alegre: Artes Médicas, 1996. 
 
SECRETARIA DE EDUCAÇÃO FUNDAMENTAL. Parâmetros Curriculares 
Nacionais. Rio de Janeiro: DP&A, 2000. 
 
 
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 26 
Aula 05_Parâmetros Curriculares Nacionais 
Palavras-chave: currículo; Parâmetros Curriculares Nacionais; orientações 
didáticas para o ensino de matemática. 
 
Objetivo, Função e Missão 
 
Os Parâmetros Curriculares Nacionais foram desenvolvidos com o objetivo de 
servir como um referencial para a planificação do currículo escolar na esfera 
nacional, estadual e municipal. A função essencial dos PCN é orientar e garantir a 
coerência das políticas de melhoria da qualidade de ensino, socializando discussões, 
pesquisas e recomendações, subsidiando a participação de técnicos e professores 
brasileiros, principalmente daqueles que se encontram mais isolados, apresentando, 
usualmente, menor contato com a produção pedagógica atual. Entretanto, se, por 
um lado, a missão dos Parâmetros Curriculares Nacionais consiste em atuar como 
elemento catalisador de ações na busca por uma melhoria da qualidade da educação 
brasileira, de outro, não pretendem resolver todos os problemas que afetam a 
qualidade do ensino e da aprendizagem no país. 
Pode-se afirmar que a missão dos PCN é o enorme desafio de melhorar a 
qualidade da educação nacional. Uma busca pela qualidade é uma questão bastante 
complexa que envolve investimentos em diferentes frentes, começando, 
necessariamente, pela formação inicial e continuada de professores, passando por 
uma política salarial digna e um condizente plano de carreira, envolvendo a melhoria 
da qualidade do livro didático, de recursos televisivos e de multimídia, e a 
disponibilidade de materiais didáticos. 
Outro aspecto importante que os PCN trazempara o centro do debate quando 
o tema é melhoria de ensino, diz respeito às atividades escolares de ensino e 
aprendizagem e a questão curricular que assume inegável importância para a política 
educacional da nação brasileira. 
 
Objetivos propostos pelos PCN ao Ensino Fundamental 
 
Os Parâmetros Curriculares Nacionais indicam como objetivos do ensino 
fundamental que os alunos sejam capazes de: 
 
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 27 
• compreender a cidadania como participação social e política, assim 
como exercício de direitos e deveres políticos, civis e sociais, 
adotando, no dia a dia, atitudes de solidariedade, cooperação e 
repúdio às injustiças, respeitando o outro e exigindo para si o mesmo 
respeito; 
• posicionar-se de maneira crítica, responsável e construtiva nas 
diferentes situações sociais, utilizando o diálogo como forma de 
mediar conflitos e de tomar decisões coletivas; 
• conhecer características fundamentais do Brasil nas dimensões 
sociais, materiais e culturais como meio para construir 
progressivamente a noção de identidade nacional e pessoal e o 
sentimento de pertinência ao país; 
• conhecer e valorizar a pluralidade do patrimônio sociocultural 
brasileiro, bem como aspectos socioculturais de outros povos e 
nações, posicionando-se contra qualquer discriminação baseada em 
diferenças culturais, de classe social, de crenças, de sexo, de etnia 
ou outras características individuais e sociais; 
• perceber-se integrante, dependente e agente transformador do 
ambiente, identificando seus elementos e as interações entre eles, 
contribuindo ativamente para a melhoria do meio ambiente; 
• desenvolver o conhecimento ajustado de si mesmo e o sentimento 
de confiança em suas capacidades afetiva, física, cognitiva, ética, 
estética, de inter-relação pessoal e de inserção social, para agir com 
perseverança na busca de conhecimento e no exercício da 
cidadania; 
• conhecer e cuidar do próprio corpo, valorizando e adotando hábitos 
saudáveis como um dos aspectos básicos da qualidade de vida e 
agindo com responsabilidade em relação à sua saúde e à saúde 
coletiva; 
• utilizar as diferentes linguagens — verbal, matemática, gráfica, 
plástica e corporal — como meio para produzir, expressar e 
comunicar suas ideias, interpretar e usufruir das produções culturais, 
em contextos públicos e privados, atendendo a diferentes intenções 
e situações de comunicação; 
• saber utilizar diferentes fontes de informação e recursos 
tecnológicos para adquirir e construir conhecimentos; 
 
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• questionar a realidade formulando-se problemas e tratando de 
resolvê-los, utilizando para isso o pensamento lógico, a criatividade, 
a intuição, a capacidade de análise crítica, selecionando 
procedimentos e verificando sua adequação. 
Corrente Didática 
A corrente didática proposta pelos Parâmetros Curriculares Nacionais valoriza 
a importância da participação construtiva do aluno e, simultaneamente, da 
intervenção do professor durante a aprendizagem de conteúdos específicos, 
favorecendo o desenvolvimento das capacidades essenciais à formação do 
indivíduo. Os PCN não admitem a concepção de um processo de ensino e 
aprendizagem desenvolvido através de etapas onde o conhecimento é “acabado”, 
muito pelo contrário, eles propõem uma visão participativa do aluno na construção 
do próprio conhecimento. 
Como construção do conhecimento, no que tange aos objetivos educacionais, 
os PCN sugerem a conceituação do significado das áreas de ensino e dos temas da 
vida social contemporânea, adotando como eixo o desenvolvimento de capacidades 
do aluno. O desenvolvimento de tais capacidades deve integrar um processo onde 
os conteúdos curriculares agem não somente como fins em si mesmos, mas 
principalmente como meios de aquisição destas. O aluno deve ser sujeito de sua 
própria formação, em um complexo processo interativo, em que também o professor 
se veja como sujeito de conhecimento. 
Cabe destacar, que por mais que o professor, os companheiros de classe e 
os materiais didáticos possam, e devam, contribuir para que a aprendizagem se 
realize, nada pode substituir a atuação do próprio aluno na tarefa de construir 
significados sobre os conteúdos da aprendizagem. É ele quem modifica, enriquece 
e, portanto, constrói novos e mais potentes instrumentos de ação e interpretação. 
 
 
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Alguns Caminhos para Fazer Matemática na Sala de Aula 
Como vimos na última aula, o currículo de Matemática deve contribuir para a 
transformação dos alunos em cidadãos ativos da sociedade. Neste sentido, a 
educação matemática deve preparar os alunos para entender e decidir sobre 
questões políticas e sociais, ler e interpretar informações complexas, muitas vezes 
contraditórias, que incluem dados estatísticos e índices divulgados pelos meios de 
comunicação. Não há um único caminho capaz de cumprir as missões acima 
descritas. No entanto, conhecer diversas possibilidades de trabalho em sala de aula 
é fundamental para que o professor construa sua prática. 
O recurso à Resolução de Problemas 
A Resolução de Problemas foi criada a partir de distintas motivações como: 
1) Problemas de ordem prática: divisão de terras, cálculo de créditos; 
2) Problemas vinculados a outras ciências: Física, Astronomia; 
3) Problemas relacionados a investigações internas à própria Matemática. 
Porém, desde sua origem, a Resolução de Problemas tem desempenhado, 
no ensino, um papel não condizente com tais motivações que ocasionaram sua 
criação. 
Usualmente, a prática da Resolução de Problemas, em sala de aula, envolve 
os seguintes passos: 
1) O professor ensina um conceito, procedimento ou técnica; 
2) O problema é apresentado com a intenção de avaliar se os alunos são 
capazes de empregar o que lhes foi ensinado. 
Ou seja, a maioria dos alunos, acaba desenvolvendo a ideia de que resolver 
um problema significa, simplesmente, fazer cálculos envolvendo os números de um 
enunciado, ou forma de reprodução daquilo que aprenderam em sala de aula. 
Consequentemente, o saber matemático não se apresenta ao aluno como um 
sistema de conceitos. Ao invés de conceber a matemática como um instrumento para 
a solução de problemas, ele acaba enxergando-a como objeto de um interminável 
discurso simbólico, abstrato e incompreensível. Esta impressão acerca da 
Matemática acaba disseminando, entre os alunos, a falsa concepção de que o ensino 
e a aprendizagem da matemática integram um processo que envolve apenas 
reprodução e imitação. 
 
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A proposta dos Parâmetros Curriculares Nacionais quanto à prática da 
Resolução de Problemas em sala de aula pode ser resumida nos seguintes 
princípios: 
• O ponto de partida da atividade matemática não é a definição, mas o 
problema. No processo de ensino e aprendizagem, conceitos, ideias e 
métodos matemáticos devem ser abordados mediante a exploração de 
problemas, ou seja, de situações em que os alunos precisem desenvolver 
algum tipo de estratégia para resolvê-las; 
• O problema certamente não é um exercício em que o aluno aplica, de 
forma quase mecânica, uma fórmula ou um processo operatório. Só há 
problema se o aluno for levado a interpretar o enunciado da questão que 
lhe é posta e a estruturar a situação que lhe é apresentada; 
• Aproximações sucessivas ao conceito são construídas para resolver um 
certo tipo de problema; num outro momento, o aluno utiliza o que aprendeu 
para resolver outros, o que exige transferências, retificações, rupturas, 
segundo um processo análogo ao que se pode observar na história da 
Matemática; 
• O aluno não constrói um conceito em resposta a um problema, mas 
constrói um campo de conceitos quetomam sentido num campo de 
problemas. Um conceito matemático se constrói articulado com outros 
conceitos, por meio de uma série de retificações e generalizações; 
• A resolução de problemas não é uma atividade para ser desenvolvida em 
paralelo ou como aplicação da aprendizagem, mas uma orientação para 
a aprendizagem, pois proporciona o contexto em que se pode apreender 
conceitos, procedimentos e atitudes matemáticas. 
Um problema matemático é uma situação que demanda a realização de uma 
sequência de ações ou operações para obter um resultado. Ou seja, a solução não 
está disponível de início, mas é possível construí-la. 
O recurso à História da Matemática 
A História da Matemática, quando associada a outros recursos didáticos e 
metodológicos, pode prestar importante contribuição ao processo de ensino e 
aprendizagem da disciplina. 
A História da Matemática demonstra aos alunos que a Matemática é uma 
criação humana, apresentando seu desenvolvimento histórico, explicando como, ao 
longo dos anos, a matéria foi se ajustando às necessidades e preocupações de 
diferentes culturas, em diferentes momentos históricos. A tendência é que sua 
aprendizagem se torne mais desafiadora e motivadora. Nesta mesma linha, outra 
 
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 31 
importante contribuição que a História da Matemática pode trazer ao ensino da 
matéria, diz respeito às relações que podem ser estabelecidas entre os conceitos e 
processos matemáticos do passado e do presente. 
Um terceiro benefício refere-se ao fato de que todo conceito, quando 
abordado em conexão com sua história, acaba se tornando um eficaz veículo de 
informação cultural, sociológica e antropológica. 
Muitas situações pertinentes ao convívio entre professores e alunos em sala 
de aula são propícias ao recurso à História da Matemática, oportunizando um efetivo 
esclarecimento de ideias matemáticas que estão sendo construídas pelo aluno, 
principalmente na constituição de um olhar mais crítico sobre os objetos de 
conhecimento. 
O recurso às Tecnologias da Informação 
A cada dia que passa, a informática se torna mais essencial na vida dos 
alunos e da sociedade como um todo. Presente em praticamente todas as atividades 
do cotidiano, sua inevitável inserção nos processos de ensino e de aprendizagem 
acaba erguendo-se como um grande desafio para as escolas contemporâneas. 
Alguns recursos tecnológicos já fazem parte do dia a dia em sala de aula, 
como é o caso das calculadoras. Apesar de muitos pais e professores acreditarem 
que o uso da calculadora inibe o desenvolvimento intelectual dos alunos, existem 
estudos e experiências que a apontam como um instrumento didático importante 
para a melhoria do ensino da Matemática. A justificativa para tal visão é o fato de 
que ela pode ser usada como motivação durante a realização de tarefas 
exploratórias e de investigação. Além disso, quando vista como o primeiro contato 
do aluno com a tecnologia, a calculadora pode demonstrar o quanto os meios 
tecnológicos disponíveis na sociedade contemporânea podem ser úteis em nossas 
vidas. 
O fato é que, na sociedade contemporânea, a informática está presente em 
quase todas suas ramificações, o que torna o computador um recurso didático cada 
dia mais indispensável. Os computadores pessoais oferecem versáteis 
possibilidades ao processo de ensino e aprendizagem de Matemática, não apenas 
por sua destacada presença na sociedade moderna, mas essencialmente pelas 
possibilidades de sua aplicação como ferramenta didática. O caráter lógico-
 
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 32 
matemático dos computadores, quando bem trabalhado, pode se transformar em 
grande aliado ao desenvolvimento cognitivo dos alunos. 
É claro que a presença efetiva dos computadores em sala de aula, ainda é 
uma realidade um pouco distante do cenário que atravessa a educação no Brasil, 
porém, os professores devem estar preparados para aplicar a informática como 
recurso didático. Neste sentido, é importante que conheçam o maior número possível 
de softwares educacionais. 
Para uma escolha do software mais adequado a suas pretensões 
educacionais, é fundamental que o professor aprenda a conhecê-los e entendê-los 
em função dos objetivos específicos que pretende alcançar. Os softwares oferecem 
apoio para o ensino (banco de dados, elementos visuais), mas também podem ser 
usados como fonte de aprendizagem e ferramenta para o desenvolvimento de 
habilidades. 
Recurso aos Jogos 
Além dos recursos indicados pelos Parâmetros Curriculares Nacionais para o 
Ensino da Matemática, como Resolução de Problemas, História da Matemática e 
Tecnologia, também são indicados os Jogos. 
Além de ser um objeto sociocultural em que a Matemática está presente, o 
jogo é uma atividade natural no desenvolvimento dos processos psicológicos 
básicos; supõe um “fazer sem obrigação externa e imposta”, embora demande 
exigências, normas e controle. 
No jogo, mediante a articulação entre o conhecido e o imaginado, desenvolve-
se o autoconhecimento — até onde se pode chegar — e o conhecimento dos outros 
— o que se pode esperar e em que circunstâncias. 
Para crianças pequenas, os jogos são as ações que elas repetem 
sistematicamente, mas que possuem um sentido funcional (jogos de exercício), isto 
é, são fonte de significados e, portanto, possibilitam compreensão, geram satisfação, 
formam hábitos que se estruturam num sistema. Essa repetição funcional também 
deve estar presente na atividade escolar, pois é importante no sentido de ajudar a 
criança a perceber regularidades. 
Por meio dos jogos as crianças não apenas vivenciam situações que se 
repetem, mas aprendem a lidar com símbolos e a pensar por analogia (jogos 
simbólicos): os significados das coisas passam a ser imaginados por elas. Ao criarem 
 
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essas analogias, tornam-se produtoras de linguagens, criadoras de convenções, 
capacitando-se para se submeterem a regras e dar explicações. 
Além disso, passam a compreender e a utilizar convenções e regras que serão 
empregadas no processo de ensino e aprendizagem. Essa compreensão favorece 
sua integração num mundo social bastante complexo e proporciona as primeiras 
aproximações com futuras teorizações. 
Em estágio mais avançado, as crianças aprendem a lidar com situações mais 
complexas (jogos com regras) e passam a compreender que as regras podem ser 
combinações arbitrárias que os jogadores definem; percebem também que só 
podem jogar em função da jogada do outro (ou da jogada anterior, se o jogo for 
solitário). Os jogos com regras têm um aspecto importante, pois neles o fazer e o 
compreender constituem faces de uma mesma moeda. 
A participação em jogos de grupo também representa uma conquista 
cognitiva, emocional, moral e social para a criança e um estímulo para o 
desenvolvimento do seu raciocínio lógico. 
Finalmente, um aspecto relevante nos jogos é o desafio genuíno que eles 
provocam no aluno, que gera interesse e prazer. Por isso, é importante que os jogos 
façam parte da cultura escolar, cabendo ao professor analisar e avaliar a 
potencialidade educativa dos diferentes jogos e o aspecto curricular que se deseja 
desenvolver. 
 
REFERÊNCIA 
 
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares 
nacionais: matemática. Volume 3. Secretaria de Educação Fundamental. – 
Brasília MEC/SEF, 1997. 142p. 
 
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Aula 06_Conteúdos Propostos para o Ensino Fundamental 
 
Palavras-chave: Educação Matemática; conteúdos para ensino de matemática; 
Matemática nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental. 
 
 
Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais, a seleção de conteúdos para 
a Educação Matemática no Ensino Fundamental deve atender aquelesobjetivos por 
ele propostos, e que serão reproduzidos na próxima aula, sempre focando a 
essencialidade quanto ao desempenho das funções básicas do cidadão brasileiro. 
Dessa forma, selecionar os conteúdos apropriados requer uma discussão 
complexa, que não se pode solucionar, simplesmente, através da proposta de uma 
listagem de conteúdos comuns a serem desenvolvidos nacionalmente. 
Seleção de conteúdos 
Dos currículos de Matemática para o ensino fundamental devem constar: 
1) O estudo dos números e das operações (no campo da Aritmética e da 
Álgebra); 
2) O estudo do espaço e das formas (no campo da Geometria) e; 
3) O estudo das grandezas e das medidas (que permite interligações entre os 
campos da Aritmética, da Álgebra e da Geometria). 
O maior desafio para selecionar conteúdos está na dificuldade em identificar 
dentro de cada um desses amplos campos, quais conhecimentos, competências, 
hábitos e valores são socialmente relevantes, bem como determinar em que medidas 
contribuem para o desenvolvimento intelectual do aluno. Ou seja, definir quais os 
conteúdos, dentro dos campos acima identificados, mais contribuem para a 
construção e coordenação do pensamento lógico-matemático, da criatividade, da 
intuição, da capacidade de análise e de crítica, que constituem esquemas lógicos de 
referência para interpretar fatos e fenômenos. 
Os PCN não tratam a Lógica como um bloco de conteúdo a ser trabalhado de 
forma sistemática no Ensino Fundamental, porém seus princípios podem ser úteis à 
Educação Matemática, se forem abordados de maneira integrada aos demais 
conteúdos desde as séries iniciais. Do mesmo modo, certas ideias ou procedimentos 
matemáticos, como proporcionalidade, composição e estimativa surgem como fontes 
 
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naturais e potentes de inter-relação, prestando-se a uma abordagem dos conteúdos 
em que diversas relações podem ser estabelecidas. 
Assim sendo, a seleção de conteúdos a serem trabalhados pode se dar numa 
perspectiva mais ampla, ao procurar identificar não só os conceitos, mas também os 
procedimentos e as atitudes a serem trabalhados em classe, o que trará, certamente, 
um enriquecimento ao processo de ensino e aprendizagem. 
Blocos de conteúdos 
Números e Operações 
No Ensino Fundamental, os conceitos numéricos são construídos pelos 
alunos por intermédio de um processo dialético. Neste processo dialético, os 
números e as operações atuam tanto como ferramentas para a solução de 
problemas quanto como objeto de estudo. 
Por meio da História da Matemática, os alunos podem acompanhar o 
surgimento de diversas categorias de números que apareceram a partir dos mais 
variados problemas que a humanidade precisou enfrentar para seguir adiante em 
seu processo de evolução. 
Neste caminho, os alunos podem perceber como surgiram os números 
naturais, inteiros, positivos, negativos, racionais e irracionais, compreendendo sua 
origem e entendendo melhor sua aplicabilidade. O próximo passo consiste em 
apresentar aos alunos situações-problemas através das quais poderão praticar o uso 
dos números em operações matemáticas como: adição, subtração, divisão, 
multiplicação, radiciação e potenciação, ampliando assim seus conhecimentos sobre 
os conceitos numéricos. 
Os cálculos devem focar as distintas compreensões de cada uma das 
operações, suas relações recíprocas, bem como seu aspecto reflexivo, trabalhando 
nos seguintes modos: exato, aproximado, mental e escrito. 
Espaço e Forma 
Por Espaço e Forma entende-se os conceitos geométricos, que ocupam 
importante espaço no currículo da Matemática, graças ao interesse que desperta nos 
alunos. Através da Geometria os alunos aprendem a descrever e representar, de 
maneira organizada, o mundo que os cerca e sua relação estreita com o cotidiano, 
uma vez que está diretamente presente no modo como enxergamos as formas que 
fazem parte de nossas vidas. Ou seja, a caixa de sapato é retangular, um pedaço de 
 
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pizza é triangular, e assim por diante. Esta característica possibilita que os conceitos 
geométricos ofereçam inúmeras possibilidades para o desenvolvimento de 
atividades envolvendo situações-problema. 
A proximidade da Geometria com a vida dos alunos além da escola permite 
uma contribuição importante na aprendizagem dos números e medidas, pois facilita 
a compreensão e desperta o interesse para a observação dos detalhes e das 
diferenças entre os espaços e as formas. 
Quando o ensino da Geometria é aplicado envolvendo obras de arte, 
desenhos animados, recortes de jornais e revistas, pode-se ainda evidenciar aos 
alunos as conexões entre a Matemática e os demais campos de estudo. 
Grandezas e Medidas 
Os estudos das Grandezas e Medidas apresentam, como principal, 
característica sua aplicabilidade prática e útil. Na vida em sociedade, destaca-se a 
maioria das atividades realizadas pelos alunos. Tal característica lhe atribui um 
valioso papel no currículo da Matemática, uma vez que possibilita ao aluno enxergar 
de forma clara as relações possíveis entre a disciplina praticada em sala de aula e 
sua utilidade no cotidiano. 
As atividades envolvendo Grandezas e Medidas proporcionam aos alunos um 
melhor entendimento sobre os conceitos de Espaços e Formas, pois permitem 
materializar as figuras geométricas conferindo-lhes medidas como altura e largura. 
Também apresentam situações favoráveis ao trabalho com o significado dos 
números, sua aplicação em operações matemáticas, proporcionalidade e escala. 
Tratamento da Informação 
O Tratamento da Informação poderia estar inserido em qualquer um dos 
blocos acima, porém sua crescente importância na sociedade moderna acaba 
impondo a necessidade de um bloco específico ao seu aprendizado. 
Este bloco de estudos é composto por noções de estatística, de probabilidade 
e de combinatória. 
• As noções estatísticas têm por finalidade possibilitar que o aluno 
se torne capaz de construir procedimentos para coletar, organizar, comunicar 
e interpretar dados, fazendo uso de tabelas, gráficos e representações que 
atualmente aparecem frequentemente em seu dia a dia. 
 
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• No ensino da combinatória, o objetivo é preparar o aluno para 
enfrentar situações-problema que envolvam combinações, arranjos, 
permutações e, especialmente, o princípio multiplicativo da contagem. 
• No que tange à probabilidade, a meta central é ensinar aos 
alunos como interpretar a natureza aleatória de grande parte dos 
acontecimentos do cotidiano, demonstrando-lhes como pode ser possível 
identificar prováveis resultados desses acontecimentos. As noções de acaso 
e incerteza, que se manifestam intuitivamente, podem ser exploradas na 
escola, em situações nas quais o aluno realiza experimentos e observa 
eventos. 
 
Organização de Conteúdos e Avaliação 
 
Após a seleção dos conteúdos para a Educação Matemática no Ensino após 
a seleção dos conteúdos para a Educação Matemática no Ensino Fundamental, o 
próximo passo consiste em organizá-los em ciclos e desenvolver o projeto que cada 
professor irá realizar durante o ano letivo. Os PCNs dividem o ensino fundamental 
em 4 ciclos, a saber: 
1) Primeiro Ciclo: primeira e segunda série. 
2) Segundo Ciclo: terceira e quarta série. 
3) Terceiro Ciclo: quinta e sexta série. 
4) Quarto Ciclo: sétima e oitava série. 
Organização de Conteúdos 
Segundo os PCN, a organização de conteúdos deve levar em conta os 
seguintes pressupostos: 
1) A variedade de conexões que podem ser estabelecidas entre os 
diferentes blocos, ou seja, durante a fase de planejamentos de suas aulas, 
os professores devem articular os mais variados aspectos dos distintos blocos 
que integram o currículo da Matemática. O objetivo é viabilizar aos alunos o 
entendimentodos princípios e métodos básicos do corpo de conhecimentos 
matemáticos, tais como proporcionalidade, equivalência, e dedução, 
 
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estabelecendo relações entre a Matemática, as situações cotidianas dos 
alunos e as demais áreas do conhecimento. 
2) A ênfase maior ou menor que deve ser dada a cada item, ou seja, 
distinguir os pontos que merecem mais atenção daqueles que não são tão 
fundamentais, por exemplo: o estudo da representação decimal dos números 
racionais é fundamental devido à disseminação das calculadoras e de outros 
instrumentos que a utilizam. 
3) Os níveis de aprofundamento dos conteúdos em função das 
possibilidades de compreensão dos alunos, ou seja, considerando que um 
mesmo tema será explorado em distintos instantes da aprendizagem, 
respeitando o fato de que sua consolidação se dará por meio de um número 
cada vez maior de relações estabelecidas, faz-se necessária uma 
identificação acerca do nível de aprofundamento adequado a cada ciclo. 
A pormenorização dos conteúdos por ciclos, estabelecida pelos PCN, 
não implica sua imediata transposição para a prática da sala de aula. Cabe 
salientar que, ao serem reinterpretados regionalmente seja nos Estados ou 
nos Municípios, bem como localmente, no interior das unidades escolares, os 
conteúdos, além de incorporarem elementos específicos de cada realidade, 
serão organizados de forma articulada e ajustada ao projeto educacional de 
cada escola. 
 Avaliação em Matemática 
A revisão e a reformulação da Educação Matemática propostas pelos PCN ao 
Ensino Fundamental passam necessariamente por uma mudança na forma de 
avaliação dos alunos. 
 
Porém, não basta coletar indícios sobre o desempenho dos alunos, o 
professor precisa ter em mente o modo como irá trabalhar com tais informações. É 
precisamente neste ponto que surge a análise do erro como possibilidade de 
aperfeiçoamento dos processos de aprendizagem. 
O ser humano é falível, logo a aprendizagem escolar tem no erro um 
componente inevitável. Porém, o modo como este será analisado e trabalhado é que 
irá fazer a diferença no aprimoramento da Educação Matemática. O erro deve ser 
encarado como um novo caminho para se alcançar o acerto, é claro que o professor 
deve tomar o devido cuidado para que os alunos entendam que errar não é bom, 
 
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pois embora o erro integre o processo de desenvolvimento educacional, o acerto é 
que deve ser a meta constante. É muito comum que o aluno, frente a um novo 
aprendizado, não saiba como acertar. Então, na busca pelo acerto, realiza algumas 
tentativas, construindo sua própria lógica para alcançar a solução satisfatória. Neste 
processo, o erro é inevitável, servindo inclusive como uma forma de crescimento em 
busca do acerto. 
Sobre os erros no processo de aprendizagem, assim ditam os PCN: 
 
diferentes fatores podem ser causa de um erro. Por exemplo, um 
aluno que erra o resultado da operação 126 - 39 pode não ter 
estabelecido uma correspondência entre os dígitos ao ‘armar’ a 
conta; pode ter subtraído 6 de 9, apoiado na ideia de que na 
subtração se retira o número menor do número maior; pode ter 
colocado qualquer número como resposta por não ter compreendido 
o significado da operação; pode ter utilizado um procedimento aditivo 
ou contar errado; pode ter cometido erros de cálculo por falta de um 
repertório básico. 
 
Ao identificar o motivo que levou um aluno ao erro, o professor pode analisar 
qual seria a intervenção mais ajustada para auxiliar tal aluno na avaliação do 
percurso que ele está atravessando para alcançar o acerto. Caso todos os erros 
fossem trabalhados de maneira idêntica, apenas identificando e explicando outra 
vez, alguns alunos seriam capazes de progredir, caso a explicação esclarecesse 
alguma forma particular de dúvida, porém a maioria dos alunos permaneceria com 
suas dúvidas, sem a compreensão necessária para encontrar seu próprio caminho 
rumo ao acerto. 
Os Parâmetros Curriculares Nacionais foram desenvolvidos com o objetivo de 
servir como um referencial para a planificação do currículo escolar na esfera 
nacional, estadual e municipal. 
A função essencial dos PCN é orientar e garantir a coerência das políticas de 
melhoria da qualidade de ensino, socializando discussões, pesquisas e 
recomendações, subsidiando a participação de técnicos e professores brasileiros, 
principalmente daqueles que se encontram mais isolados, apresentando, 
usualmente, menor contato com a produção pedagógica atual. Entretanto, se, por 
um lado, a missão dos Parâmetros Curriculares Nacionais consiste em atuar como 
elemento catalisador de ações na busca de uma melhoria da qualidade da educação 
brasileira, de outro, não pretendem resolver todos os problemas que afetam a 
qualidade do ensino e da aprendizagem no país. 
 
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 40 
Para a Educação Matemática no Ensino Fundamental, a corrente didática 
proposta pelos Parâmetros Curriculares Nacionais valoriza a importância da 
participação construtiva do aluno e, simultaneamente, da intervenção do professor 
durante a aprendizagem de conteúdos específicos, favorecendo o desenvolvimento 
das capacidades essenciais à formação do indivíduo, reconhecendo o valor da 
matemática em seu cotidiano. 
 Não há um único caminho capaz de cumprir as missões acima descritas. No 
entanto, conhecer diversas possibilidades de trabalho em sala de aula é fundamental 
para que o professor construa sua prática, dentre as quais podemos destacar: 
1) O recurso à Resolução de Problemas; 
2) O recurso à História da Matemática; 
3) O recurso às Tecnologias da Informação. 
4) O recurso aos Jogos. 
Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais, a seleção de conteúdos para 
a Educação Matemática no Ensino Fundamental deve atender a certos objetivos por 
ele propostos, sempre focando a essencialidade quanto ao desempenho das 
funções básicas do cidadão brasileiro. 
Dessa forma, selecionar os conteúdos apropriados requer uma discussão 
complexa que não se pode selecionar simplesmente através da proposta de uma 
listagem de conteúdos comuns a serem desenvolvidos nacionalmente. 
Dos currículos de Matemática para o ensino fundamental devem constar: 
1) O estudo dos números e das operações (no campo da Aritmética e 
da Álgebra); 
2) O estudo do espaço e das formas (no campo da Geometria) e; 
3) O estudo das grandezas e das medidas (que permite interligações 
entre os campos da Aritmética, da Álgebra e da Geometria). 
 A organização de tais conteúdos deve levar em conta os seguintes 
pressupostos: 
1) A variedade de conexões que podem ser estabelecidas entre os 
diferentes blocos; 
2) A ênfase maior ou menor que deve ser dada a cada item; 
3) Os níveis de aprofundamento dos conteúdos em função das 
possibilidades de compreensão dos alunos. 
 
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 41 
Aula 07_Conteúdos Conceituais e Procedimentais para o Primeiro 
Ciclo do Ensino Fundamental 
 
Palavras-chave: Parâmetros Curriculares Nacionais; Matemática nos Anos Iniciais; 
blocos de conteúdos. 
 
Os PCN definem os seguintes conteúdos conceituais e procedimentais para 
a Matemática no primeiro ciclo do Ensino Fundamental: 
Números Naturais e Sistemas de Numeração Decimal 
• Reconhecimento de números no contexto diário. 
• Utilização de diferentes estratégias para quantificar elementos 
de uma coleção: contagem, pareamento, estimativa e correspondência de 
agrupamentos. 
• Utilização de diferentes estratégias para identificar números em 
situações que envolvem contagens e medidas. 
• Comparação e ordenação de coleções pela quantidade de 
elementos e ordenação de grandezas pelo aspecto da medida. 
• Formulação de hipóteses sobre a grandeza numérica, pelaidentificação da quantidade de algarismos e da posição ocupada por eles na 
escrita numérica. 
• Leitura, escrita, comparação e ordenação de números familiares 
ou frequentes. 
• Observação de critérios que definem uma classificação de 
números (maior que, menor que, estar entre) e de regras usadas em seriações 
(mais 1, mais 2, dobro, metade). 
• Contagem em escalas ascendentes e descendentes de um em 
um, de dois em dois, de cinco em cinco, de dez em dez, etc., a partir de 
qualquer número dado. 
• Identificação de regularidades na série numérica para nomear, 
ler e escrever números menos frequentes. 
• Utilização de calculadora para produzir e comparar escritas 
numéricas. 
 
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• Organização em agrupamentos para facilitar a contagem e a 
comparação entre grandes coleções. 
• Leitura, escrita, comparação e ordenação de notações 
numéricas pela compreensão das características do sistema de numeração 
decimal (base, valor posicional). 
 Operações com Números Naturais 
• Análise, interpretação, resolução e formulação de situações-
problema, compreendendo alguns dos significados das operações, em 
especial da adição e da subtração. 
• Reconhecimento de que diferentes situações-problema podem 
ser resolvidas por uma única operação e de que diferentes operações podem 
resolver um mesmo problema. 
• Utilização de sinais convencionais (+, -, x, :, =) na escrita das 
operações. 
• Construção dos fatos básicos das operações a partir de 
situações-problema, para constituição de um repertório a ser utilizado no 
cálculo. 
• Organização dos fatos básicos das operações pela identificação 
de regularidades e propriedades. 
• Utilização da decomposição das escritas numéricas para a 
realização do cálculo mental exato e aproximadas. 
• Cálculos de adição e subtração, por meio de estratégias 
pessoais e algumas técnicas convencionais. 
• Cálculos de multiplicação e divisão por meio de estratégias 
pessoais. 
• Utilização de estimativas para avaliar a adequação de um 
resultado e uso de calculadora para desenvolvimento de estratégias de 
verificação e controle de cálculos. 
 Espaço e Forma 
• Localização de pessoas ou objetos no espaço, com base em 
diferentes pontos de referência e algumas indicações de posição. 
• Movimentação de pessoas ou objetos no espaço, com base em 
diferentes pontos de referência e algumas indicações de direção e sentido. 
 
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• Descrição da localização e movimentação de pessoas ou 
objetos no espaço, usando sua própria terminologia. 
• Dimensionamento de espaços, percebendo relações de 
tamanho e forma. 
• Interpretação e representação de posição e de movimentação 
no espaço a partir da análise de maquetes, esboços, croquis e itinerários. 
• Observação de formas geométricas presentes em elementos 
naturais e nos objetos criados pelo homem e de suas características: 
arredondadas ou não, simétricas ou não, etc. 
• Estabelecimento de comparações entre objetos do espaço físico 
e objetos geométricos — esféricos, cilíndricos, cônicos, cúbicos, piramidais, 
prismáticos — sem uso obrigatório de nomenclatura. 
• Percepção de semelhanças e diferenças entre cubos e 
quadrados, paralelepípedos e retângulos, pirâmides e triângulos, esferas e 
círculos. 
• Construção e representação de formas geométricas. 
 
Grandezas e Medidas 
• Comparação de grandezas de mesma natureza, por meio de 
estratégias pessoais e uso de instrumentos de medida conhecidos — fita 
métrica, balança, recipientes de um litro, etc. 
• Identificação de unidades de tempo — dia, semana, mês, 
bimestre, semestre, ano — e utilização de calendários. 
• Relação entre unidades de tempo - dia, semana, mês, bimestre, 
semestre, ano. 
• Reconhecimento de cédulas e moedas que circulam no Brasil e 
de possíveis trocas entre cédulas e moedas em função de seus valores. 
• Identificação dos elementos necessários para comunicar o 
resultado de uma medição e produção de escritas que representem essa 
medição. 
• Leitura de horas, comparando relógios digitais e de ponteiros. 
 
Tratamento da Informação 
 
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 44 
• Leitura e interpretação de informações contidas em imagens. 
• Coleta e organização de informações. 
• Criação de registros pessoais para comunicação das 
informações coletadas. 
• Exploração da função do número como código na organização 
de informações (linhas de ônibus, telefones, placas de carros, registros de 
identidade, bibliotecas, roupas, calçados). 
• Interpretação e elaboração de listas, tabelas simples, de dupla 
entrada e gráficos de barra para comunicar a informação obtida. 
• Produção de textos escritos a partir da interpretação de gráficos e 
tabelas. 
 
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 45 
 
Aula 08_Conteúdos Atitudinais e Critérios de Avaliação para os 
Anos Iniciais do Ensino Fundamental 
 
Palavras-chave: Parâmetros Curriculares Nacionais; Matemática nos Anos Iniciais; 
orientações didáticas. 
 
 
Conteúdos Atitudinais e Critérios de Avaliação para o Primeiro Ciclo do 
Ensino Fundamental 
 
Conteúdos atitudinais 
A seguir estão relacionados os conteúdos atitudinais integrantes dos PCN 
para o primeiro ciclo do ensino fundamental: 
• Desenvolvimento de atitudes favoráveis para a aprendizagem de 
Matemática. 
• Confiança na própria capacidade para elaborar estratégias 
pessoais diante de situações-problema. 
• Valorização da troca de experiências com seus pares como 
forma de aprendizagem. 
• Curiosidade por questionar, explorar e interpretar os diferentes 
usos dos números, reconhecendo sua utilidade na vida cotidiana. 
• Interesse e curiosidade por conhecer diferentes estratégias de 
cálculo. 
• Valorização da utilidade dos elementos de referência para se 
localizar e identificar a localização de objetos no espaço. 
• Sensibilidade pela observação das formas geométricas na 
natureza, nas artes, nas edificações. 
• Valorização da importância das medidas e estimativas para 
resolver problemas cotidianos. 
• Interesse por conhecer, interpretar e produzir mensagens, que 
utilizam formas gráficas para apresentar informações. 
 
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 46 
• Apreciação da organização na elaboração e apresentação dos 
trabalhos. 
 
 
 
Critérios de avaliação 
 
A respeito dos critérios a serem adotados neste ciclo, assim determinam os 
PCN: 
os critérios indicados apontam aspectos considerados essenciais em 
relação às competências que se espera que um aluno desenvolva até o final 
do primeiro ciclo. Apresentam-se numa forma que permite a cada professor 
adequá-los em função do trabalho efetivamente realizado em sua sala de 
aula. Resolver situações-problema que envolvam contagem e medida, 
significados das operações e seleção de procedimentos de cálculo. 
 
A expectativa em relação ao aluno, é que ele seja capaz de solucionar 
problemas expressos através de situações orais, textos ou representações 
matemáticas, abrindo mão de conhecimentos relacionados aos números, às 
medidas, aos significados das operações, selecionando um procedimento de cálculo 
pessoal ou convencional e construindo sua expressão gráfica. Ao encerrar tal ciclo, 
os distintos significados das operações não estão consolidados. Por esta razão, os 
problemas precisam abordar os significados que já foram apropriados pelos alunos, 
definindo como prioridade as situações envolvendo adição e subtração. 
A seguir transcrevemos as expectativas em relação a cada um dos conteúdos 
matemáticos, no que tange aos critérios de avaliação: 
1) Ler e escrever números, utilizando conhecimentos sobre a escrita 
posicional. 
Espera-se que o aluno seja capaz de utilizar o número como um instrumentopara representar e resolver situações quantitativas presentes no cotidiano, 
evidenciando a compreensão das regras do sistema de numeração decimal. 
2) Comparar e ordenar quantidades que expressem grandezas familiares 
aos alunos, interpretar e expressar os resultados da comparação e da 
ordenação. 
Espera-se que o aluno tenha noção de quantidade e utilize procedimentos 
para identificar e comparar quantidades, em função da ordem de grandeza envolvida, 
 
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 47 
e que seja capaz de ordenar quantidades, localizar números em intervalos, numa 
sequência numérica (o “limite” da sequência numérica é estabelecido em função do 
que for possível avançar, considerando-se as experiências numéricas da classe) 
3) Medir, utilizando procedimentos pessoais, unidades de medida não 
convencionais ou convencionais (dependendo da familiaridade) e 
instrumentos disponíveis e conhecidos. 
Espera-se que o aluno saiba medir fazendo uso de unidades de medida não 
convencionais, que sejam adequadas ao atributo que se quer medir. O conhecimento 
e uso de unidades e instrumentos convencionais não são essenciais até o final do 
primeiro ciclo e dependem da familiaridade que os alunos possam ter com esses 
elementos em situações do cotidiano. Outro aspecto a ser observado é a capacidade 
do aluno de realizar algumas estimativas de resultados de medições. 
4) Localizar a posição de uma pessoa ou um objeto no espaço e 
identificar características nas formas dos objetos. 
Espera-se que o aluno utilize elementos de posição como referência para 
situar-se e movimentar-se em espaços que lhe sejam familiares, assim como para 
definir a situação de um objeto num determinado espaço. É importante também 
verificar se ele é capaz de estabelecer semelhanças e diferenças entre os objetos, 
pela observação de suas formas. A expressão dessas observações é feita por meio 
de diferentes representações (gráficas, orais, com materiais etc.). 
 
Conteúdos Conceituais e Procedimentais para o Segundo Ciclo do Ensino 
Fundamental 
 
Os PCNs definem os seguintes conteúdos conceituais e procedimentais para 
a Matemática no segundo ciclo do Ensino Fundamental: 
Conteúdos conceituais e procedimentais 
▄ Números Naturais e Racionais 
• Reconhecimento de números naturais e racionais no contexto 
diário. 
• Compreensão e utilização das regras do sistema de numeração 
decimal, para leitura, escrita, comparação e ordenação de números naturais 
de qualquer ordem de grandeza. 
 
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• Formulação de hipóteses sobre a grandeza numérica, pela 
observação da posição dos algarismos na representação decimal de um 
número racional. 
• Extensão das regras do sistema de numeração decimal para 
compreensão, leitura e representação dos números racionais na forma 
decimal. 
• Comparação e ordenação de números racionais na forma 
decimal. 
• Localização na reta numérica, de números racionais na forma 
decimal. 
• Leitura, escrita, comparação e ordenação de representações 
fracionárias de uso frequente. 
• Reconhecimento de que os números racionais admitem 
diferentes (infinitas) representações na forma fracionária. 
• Identificação e produção de frações equivalentes, pela 
observação de representações gráficas e de regularidades nas escritas 
numéricas. 
• Exploração dos diferentes significados das frações em 
situações-problema: parte-todo, quociente e razão. 
• Observação de que os números naturais podem ser expressos 
na forma fracionária. 
• Relação entre representações fracionária e decimal de um 
mesmo número racional. 
• Reconhecimento do uso da porcentagem no contexto diário. 
▄ Operações com Números Naturais e Racionais 
• Análise, interpretação, formulação e resolução de situações-
problema, compreendendo diferentes significados das operações envolvendo 
números naturais e racionais. 
• Reconhecimento de que diferentes situações-problema podem 
ser resolvidas por uma única operação e de que diferentes operações podem 
resolver um mesmo problema. 
 
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 49 
• Resolução das operações com números naturais, por meio de 
estratégias pessoais e do uso de técnicas operatórias convencionais, com 
compreensão dos processos nelas envolvidos. 
• Ampliação do repertório básico das operações com números 
naturais para o desenvolvimento do cálculo mental e escrito. 
• Cálculo de adição e subtração de números racionais na forma 
decimal, por meio de estratégias pessoais e pelo uso de técnicas operatórias 
convencionais. 
• Desenvolvimento de estratégias de verificação e controle de 
resultados pelo uso do cálculo mental e da calculadora. 
• Decisão sobre a adequação do uso do cálculo mental — exato 
ou aproximado — ou da técnica operatória, em função do problema, dos 
números e das operações envolvidas. 
• Cálculo simples de porcentagens. 
 ▄ Espaço e Forma 
• Descrição, interpretação e representação da posição de uma 
pessoa ou objeto no espaço, de diferentes pontos de vista. 
• Utilização de malhas ou redes para representar, no plano, a 
posição de uma pessoa ou objeto. 
• Descrição, interpretação e representação da movimentação de 
uma pessoa ou objeto no espaço e construção de itinerários. 
• Representação do espaço por meio de maquetes. 
• Reconhecimento de semelhanças e diferenças entre corpos 
redondos, como a esfera, o cone, o cilindro e outros. 
• Reconhecimento de semelhanças e diferenças entre poliedros 
(como os prismas, as pirâmides e outros) e identificação de elementos como 
faces, vértices e arestas. 
• Composição e decomposição de figuras tridimensionais, 
identificando diferentes possibilidades. 
• Identificação da simetria em figuras tridimensionais. 
• Exploração das planificações de algumas figuras 
tridimensionais. 
 
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 50 
• Identificação de figuras poligonais e circulares nas superfícies 
planas das figuras tridimensionais. 
• Identificação de semelhanças e diferenças entre polígonos, 
usando critérios como número de lados, número de ângulos, eixos de simetria, 
etc. 
• Exploração de características de algumas figuras planas, tais 
como: rigidez triangular, paralelismo e perpendicularismo de lados etc. 
• Composição e decomposição de figuras planas e identificação 
de que qualquer polígono pode ser composto a partir de figuras triangulares. 
• Ampliação e redução de figuras planas pelo uso de malhas. 
• Percepção de elementos geométricos nas formas da natureza e 
nas criações artísticas. 
• Representação de figuras geométricas. 
 ▄ Grandezas e Medidas 
• Comparação de grandezas de mesma natureza, com escolha de 
uma unidade de medida da mesma espécie do atributo a ser mensurado. 
• Identificação de grandezas mensuráveis no contexto diário: 
comprimento, massa, capacidade, superfície, etc. 
• Reconhecimento e utilização de unidades usuais de medida 
como metro, centímetro, quilômetro, grama, miligrama, quilograma, litro, 
mililitro, metro quadrado, alqueire, etc. 
• Reconhecimento e utilização de unidades usuais de tempo e de 
temperatura. 
• Estabelecimento das relações entre unidades usuais de medida 
de uma mesma grandeza. 
• Reconhecimento dos sistemas de medida que são decimais e 
conversões usuais, utilizando-as nas regras desse sistema. 
• Reconhecimento e utilização das medidas de tempo e realização 
de conversões simples. 
• Utilização de procedimentos e instrumentos de medida, em 
função do problema e da precisão do resultado. 
• Utilização do sistema monetário brasileiro em situações-
problema. 
 
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 51 
• Cálculo de perímetro e de área de figuras desenhadas em 
malhas quadriculadas e comparação de perímetros e áreas de duas figurassem uso de fórmulas. 
 ▄ Tratamento da Informação 
• Coleta, organização e descrição de dados. 
• Leitura e interpretação de dados apresentados de maneira 
organizada (por meio de listas, tabelas, diagramas e gráficos) e construção 
dessas representações. 
• Interpretação de dados apresentados por meio de tabelas e 
gráficos, para identificação de características previsíveis ou aleatórias de 
acontecimentos. 
• Produção de textos escritos, a partir da interpretação de gráficos 
e tabelas, e construção de gráficos e tabelas com base em informações 
contidas em textos jornalísticos, científicos ou outros. 
• Obtenção e interpretação de média aritmética. 
• Exploração da ideia de probabilidade em situações-problema 
simples, identificando sucessos possíveis, sucessos seguros e as situações 
de “sorte”. 
• Utilização de informações dadas para avaliar probabilidades. 
• Identificação das possíveis maneiras de combinar elementos de 
uma coleção e de contabilizá-las usando estratégias pessoais. 
 
Conteúdos para o Segundo Ciclo do Ensino Fundamental 
 
Conteúdos atitudinais 
 A seguir estão relacionados os conteúdos atitudinais integrantes dos PCN 
para o segundo ciclo do ensino fundamental: 
• Confiança em suas possibilidades para propor e resolver 
problemas. 
• Perseverança, esforço e disciplina na busca de resultados. 
• Segurança na defesa de seus argumentos e flexibilidade para 
modificá-los. 
 
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 52 
• Respeito pelo pensamento do outro, valorização do trabalho 
cooperativo e do intercâmbio de ideias, como fonte de aprendizagem. 
• Apreciação da limpeza, ordem, precisão e correção na 
elaboração e na apresentação dos trabalhos. 
• Curiosidade em conhecer a evolução histórica dos números, de 
seus registros, de sistemas de medida utilizados por diferentes grupos 
culturais. 
• Confiança na própria capacidade para elaborar estratégias 
pessoais de cálculo, interesse em conhecer e utilizar diferentes estratégias 
para calcular e os procedimentos de cálculo que permitem generalizações e 
precisão. 
• Curiosidade em conhecer a evolução histórica dos 
procedimentos e instrumentos de cálculo utilizados por diferentes grupos 
culturais. 
• Valorização da utilidade dos sistemas de referência para 
localização no espaço. 
• Sensibilidade para observar simetrias e outras características 
das formas geométricas, na natureza, nas artes, nas edificações. 
• Curiosidade em conhecer a evolução histórica das medidas, 
unidades de medida e instrumentos utilizados por diferentes grupos culturais 
e reconhecimento da importância do uso adequado dos instrumentos e 
unidades de medida convencionais. 
• Interesse na leitura de tabelas e gráficos como forma de obter 
informações. 
• Hábito em analisar todos os elementos significativos presentes 
em uma representação gráfica, evitando interpretações parciais e 
precipitadas. 
Critérios de avaliação 
Sobre os critérios de avaliação no segundo ciclo, assim definem os PCNs: 
 
Os critérios indicados apontam aspectos considerados essenciais em 
relação às competências que se espera que um aluno desenvolva até o final 
do segundo ciclo. Apresentam-se numa forma que permite a cada professor 
adequá-los em função do trabalho efetivamente realizado em sua sala de 
aula. 
 
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 53 
 
1) Resolver situações-problema que envolvam contagem, medidas, os 
significados das operações, utilizando estratégias pessoais de resolução e 
selecionando procedimentos de cálculo: 
Espera-se que o aluno possa resolver problemas fazendo uso de 
conhecimentos ligados aos números naturais e racionais, tanto na forma fracionária 
quanto na decimal, às medidas e aos significados das operações, construindo 
estratégias pessoais de solução, escolhendo procedimentos de cálculo, encontrando 
justificativa tanto nos processos de solução quanto nos procedimentos de cálculo 
conforme a situação proposta. 
2) Ler, escrever números naturais e racionais, ordenar números naturais 
e racionais na forma decimal, pela interpretação do valor posicional de cada 
uma das ordens: 
Espera-se que o aluno seja capaz de ler, escrever, ordenar, identificar 
sequências, além de localizar, em intervalos, números naturais e números racionais 
na forma decimal, através da percepção das principais características do sistema de 
numeração decimal. 
3) Realizar cálculos, mentalmente e por escrito, envolvendo números 
naturais e racionais (apenas na representação decimal) e comprovar os 
resultados, por meio de estratégias de verificação: 
Espera-se que o aluno saiba calcular com agilidade, fazendo uso de métodos 
pessoais e convencionais, identificando as situações que exigem resultados exatos 
ou aproximados. Faz-se também importante a avaliação do uso de estratégias de 
verificação de resultados, abrindo mão até mesmo das calculadoras. 
4) Medir e fazer estimativas sobre medidas, utilizando unidades e 
instrumentos de medida mais usuais e que melhor se ajustem à natureza da 
medição realizada: 
Espera-se que o aluno tenha aprendido a selecionar a unidade de medida, 
bem como o instrumento mais ajustado a cada situação. Espera-se ainda que o aluno 
seja capaz de fazer previsões razoáveis (estimativas) sobre resultados de situações 
que envolvam grandezas de comprimento, capacidade e massa, e saiba ler, 
interpretar e produzir registros utilizando a notação convencional das medidas. 
 
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 54 
5) Interpretar e construir representações espaciais (croquis, itinerários, 
maquetes), utilizando-se de elementos de referência e estabelecendo relações 
entre eles: 
Espera-se que o aluno esteja apto a identificar e estabelecer pontos de 
referência, assim como estimar distâncias ao construir representações de espaços 
conhecidos, fazendo o adequado uso da terminologia usual referente a posições. 
6) Reconhecer e descrever formas geométricas tridimensionais e 
bidimensionais: 
Espera-se que o aluno saiba identificar características das formas 
geométricas tridimensionais e bidimensionais, notando semelhanças e diferenças 
entre elas (superfícies planas e arredondadas, formas das faces, simetrias) e 
percebendo elementos que as constituem (faces, arestas, vértices, lados, ângulos). 
7) Recolher dados sobre fatos e fenômenos do cotidiano, utilizando 
procedimentos de organização, e expressar o resultado, utilizando tabelas e 
gráficos: 
Espera-se que o aluno tenha aprendido a coletar, organizar e registrar dados 
através de tabelas e gráficos, interpretando tais formas de registro para tecer 
previsões. 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
D’AMBRÓSIO, U. Educação matemática: da teoria à prática. Campinas: Papirus, 
1997. 
 
IFRAH, G. Os números: a história de uma grande invenção. 8.ed. Rio de Janeiro: 
Globo, 1998. 
 
LORENZATO, S. Por que não ensinar Geometria? Educação Matemática em 
Revista. SBEM, n.1, 1995, p.3-13. 
 
MACHADO, Nilson José. Medindo comprimentos. São Paulo: Scipione, 2000. 
(Coleção Vivendo a Matemática). 
 
SECRETARIA DE EDUCAÇÃO FUNDAMENTAL. Parâmetros Curriculares 
Nacionais. Rio de Janeiro: DP&A, 2000. 
 
 
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 55 
PARRA, Cecília. Didática da Matemática: Reflexões Psicopedagógicas. Porto 
Alegre: Artes Médicas, 1996. 
Site: www.mec.gov.br 
 
 
 
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 56 
Aula 09_Números Naturais e Sistema de Numeração Decimal 
 
Palavras-chave: Matemática nos Anos Iniciais; orientações didáticas para o ensino 
de matemática; metodologias para calcular nos Anos Iniciais. 
 
Os alunos constroem os conhecimentos acerca dos números naturais, por 
meio de um processo onde possam aplicá-los como uma ferramenta para a 
resolução de problemas, ou então, como objeto de estudo.A este respeito assim recomendam os PCN: 
Sua utilidade é percebida pelas crianças antes mesmo de chegarem à 
escola; elas conhecem números de telefone, de ônibus, lidam com preços, 
numeração de calçado, idade, calendário. O estudo dos números como 
objeto matemático também deve partir de contextos significativos para os 
alunos, envolvendo, por exemplo, o reconhecimento da existência de 
diferentes tipos de números (naturais, racionais e outros) e de suas 
representações e classificações (primos, compostos, pares, ímpares, etc.) 
 
Ou seja, o aluno traz para a sala de aula certa familiarização com os números 
entre 1 e 9, bem como números que podem indicar a idade de alguém próximo, ou 
ainda horas, tais como 12, 13, 15, além de números que costumam ver nos 
calendários, como, por exemplo: 28, 29, 30 e 31. Dessa maneira, as atividades 
envolvendo leitura, escrita, comparação e ordenação de notações numéricas devem 
adotar como ponto de partida tais números que a criança já conhece quando chega 
à escola. 
Segundo os PCN, esse trabalho pode ser feito por meio de atividades em que, 
por exemplo, o professor: 
* elabora, junto com os alunos, um repertório de situações em que 
usam números; 
* pede aos alunos que recortem números em jornais e revistas e 
façam a leitura deles (do jeito que sabem); 
* elabora, com a classe, listas com números de linhas de ônibus da 
cidade, números de telefones úteis, números de placas de carros, e solicita a 
leitura deles; 
* orienta os alunos para que elaborem fichas onde cada um vai 
anotar os números referentes a si próprio, tais como: idade, data de nascimento, 
número do calçado, peso, altura, número de irmãos, número de amigos etc.; 
 
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 57 
* trabalha diariamente com o calendário para identificar o dia do mês 
e registrar a data; 
* solicita aos alunos que façam aparecer, no visor de uma 
calculadora, números escritos no quadro ou indicados oralmente; 
* pede aos alunos que observem a numeração da rua onde moram, 
onde começa e onde termina, e que registrem o número de suas casas e de seus 
vizinhos. 
* verifica como os alunos fazem contagens e como fazem a leitura 
de números com dois ou mais dígitos e que hipóteses possuem acerca das 
escritas desses números. 
 Porém, no dia a dia em sala de aula, o professor acaba adotando uma outra 
forma de trabalho. Usualmente o ponto de partida costuma ser a ordem sequencial 
que compõe uma escrita numérica, ou seja, unidade, dezena, centena, milhar. A 
ideia é que o aluno, ao ler os números, compreenda e assimile a sua escrita. 
 Por mais que, sob a visão do adulto, que já domina as regras de formação 
do sistema de numeração, o processo descrito no parágrafo anterior possa 
parecer simples e natural, as crianças costumam apresentar certa dificuldade de 
aprendizagem, deixando o professor sem entender direito o que está 
acontecendo. As crianças, mesmo sem compreender a formação do sistema de 
numeração, são capazes de localizar qual o maior número de uma certa lista, 
analisando qual o número que apresenta a maior quantidade de algarismos, por 
exemplo: 156, 15, 2. Neste exemplo, as crianças costumam indicar que o 156 é o 
maior pois tem mais “números”. 
Neste sentido, assim sugerem os PCN: 
para produzir escritas numéricas, alguns alunos recorrem à justaposição de 
escritas que já conhecem, organizando-as de acordo com a fala. Assim, por 
exemplo, para representar o 128, podem escrever 100 20 8 (cem/vinte/oito) 
ou 100 20 e 8 (cem/vinte e oito). É importante que o professor dê a seus 
alunos a oportunidade de exporem suas hipóteses sobre os números e as 
escritas numéricas, pois essas hipóteses constituem subsídios para a 
organização de atividades. 
 
Algumas situações que favorecem a aprendizagem dos alunos em relação 
aos números merecem destaque: 
1) Sugerir aos alunos que comparem quantidades de seu cotidiano. 
Por exemplo: os meninos trazem para a classe sua coleção de bolinhas de gude, 
 
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 58 
enquanto as meninas trazem seus papéis de carta. O objetivo é levá-los a comparar 
as quantidades de suas coleções, deduzindo relações entre tais quantidades, como 
“a coleção de bolinhas do Zezinho apresenta o dobro em relação à coleção do 
Joãozinho”. Num próximo passo o professor sugere ao “Zezinho” que informe 
quantas bolas ele tem a mais que o “Joãozinho”. E assim por diante. 
2) Reproduzir em sala de aula uma situação onde os alunos possam 
identificar em certa tabela a posição de um objeto em relação aos demais pela 
quantidade de pontos que acumula. Por exemplo: a colocação de um time em certo 
campeonato, a classificação do Brasil no quadro de medalhas olímpico. A intenção 
é que o aluno possa identificar que, para ordenar os elementos da referida tabela, 
foi considerada uma determinada sequência de fatos, do primeiro ao último. Nessa 
tarefa, poderão recorrer a diferentes estratégias, como a contagem, o pareamento, 
a estimativa, o arredondamento, e ainda, conforme a quantidade utilizada, até a 
correspondência de agrupamentos. 
As atividades envolvendo cálculos também proporcionam situações 
favoráveis à obtenção de conhecimento acerca de números, como no exemplo das 
coleções acima citadas, quando os alunos precisam contar a quantidade de 
elementos para poder compará-los. Considerar e trabalhar as escritas pessoais dos 
alunos é um aspecto importante para o processo de aprendizagem, porém não se 
deve deixar de lado as escritas convencionais, sem as quais eles não encontrarão 
referência para se apropriarem do conhecimento socialmente definido. 
Os PCN sobre os sistemas de numeração assim sugerem: 
 
As características do sistema de numeração — agrupamentos de 10 em 10, 
valor posicional — serão observadas, principalmente, por meio da análise 
das representações numéricas e dos procedimentos de cálculo em 
situações-problema. É no trabalho com números ‘maiores’ e menos 
frequentes na vivência das crianças que será necessário explorar os 
procedimentos de leitura, associando-os à representação escrita do 
número. O recurso à história da numeração e aos instrumentos como 
ábacos e calculadoras pode contribuir para um trabalho interessante com 
os números e, em especial, com o sistema de numeração. 
 
Cálculo Mental 
Sobre o cálculo mental os PCN definem: 
 
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 59 
Os procedimentos de cálculo mental constituem-se na base do cálculo 
aritmético que se usa no cotidiano. De forma simples, pode-se dizer que se 
calcula mentalmente quando se efetua uma operação, recorrendo-se a 
procedimentos confiáveis, sem os registros escritos e sem a utilização de 
instrumentos. 
 
A adição entre 43.000 e 19.000 pode ser calculada de formas diferentes como, 
por exemplo: 
 
 Ao desenvolver o cálculo mental, os alunos apoiam-se na existência de 
diversas formas de calcular, bem como no fato de que poderá selecionar a forma 
que mais se ajusta a situação que enfrenta, conforme os números e as operações 
envolvidas em tal situação. 
Cada situação de cálculo representa um problema aberto que pode ser 
resolvido de distintas formas, fazendo uso de procedimentos originais para alcançar 
o resultado. 
Tal como definem os PCN: 
 
no cálculo mental, a reflexão centra-se no significado dos cálculos 
intermediários e isso facilita a compreensão das regras do cálculo escrito. 
O exercício e a sistematização dos procedimentos de cálculo mental, ao 
longo do tempo, levam-no a ser utilizado como estratégia de controle do 
cálculo escrito. 
 
Aproximações e estimativas 
A maior parte dos cálculos desenvolvidos fora da sala de aula são realizados 
por meio de procedimentos mentais que, na maioria das vezes, desconsideram as 
atividades escolares. 
Usualmente, no cotidiano,os alunos não encontram lápis e papel todas as 
vezes que precisam calcular. Instrumentos que, na verdade, nem sempre são 
necessários, uma vez que a maioria das respostas pode ser alcançada a partir da 
aproximação. 
 
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 60 
Para obter resultados precisos pode-se sempre recorrer a instrumentos como 
as balanças e as calculadoras. Justamente por tais motivos é que um dos objetivos 
do moderno ensino do cálculo consiste em motivar os alunos a desenvolver e 
sistematizar procedimentos de cálculos através de estimativas e estratégias de 
verificação e controle de resultados. 
Neste sentido, assim propõem os PCN: 
 
para atender a esse objetivo, é primordial que aprendam a reconhecer se 
certos resultados relacionados a contagens, medidas, operações são ou 
não razoáveis em determinadas situações. A estimativa constrói-se 
juntamente com o sentido numérico e com o significado das operações e 
muito auxilia no desenvolvimento da capacidade de tomar decisões. O 
trabalho com estimativas supõe a sistematização de estratégias. Seu 
desenvolvimento e aperfeiçoamento depende de um trabalho contínuo de 
aplicações, construções, interpretações, análises, justificativas e 
verificações a partir de resultados exatos. 
 
As estimativas devem integrar as diversas estratégias que conduzem os 
alunos a compreender o significado de um valor aproximado, desde os primeiros 
contatos com quantidades e medidas. 
Os alunos precisam sentir-se familiarizados com o significado de estimativa, 
para poder decidir quando será apropriada a sua aplicação, para perceber que a 
aproximação é eficaz em certas situações específicas, como na identificação de 
unidades adequadas a certas grandezas. 
Conforme o aluno vai aprendendo sobre os intervalos que concedem a uma 
estimativa um padrão de aceitabilidade, mas ele irá dominar a habilidade de justificar 
e comprovar suas próprias opiniões e, por conseguinte, refinar seus conhecimentos 
acerca de cálculos. 
É por este motivo que as estimativas devem ir além do entendimento das 
expressões: “maior que”, “menor que” e “estar entre”. A associação das calculadoras 
com os procedimentos de estimativa ganha grande importância em sala de aula, pois 
proporcionam aos alunos situações onde poderão perceber se aplicaram 
corretamente a estimativa, bem como se o resultado alcançado pode ser 
considerado satisfatório. 
Tais atividades, reunindo calculadora e estimativa, além de reduzir a margem 
de erros, permitem aos alunos evitar a utilização puramente mecânica da 
calculadora. 
 
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 61 
Sobre a estimativa nos processos de cálculo, assim propõem os PCN: 
 
Os procedimentos de cálculo por estimativa desenvolvem-se 
concomitantemente aos processos de cálculo mental: pelo reconhecimento 
da grandeza numérica, por meio de decomposições dos números, pelo 
estabelecimento de relações de dobro e metade, entre outros. O cálculo por 
estimativas apoia-se em aspectos conceituais referentes aos números e às 
operações (ordem de grandeza, valor posicional, proporcionalidade e 
equivalência), em procedimentos (como decompor, substituir, arredondar, 
compensar), na aplicação de estratégias de cálculo mental. 
 Exemplo 
• estimar um produto arredondando um dos fatores (3 x 29 é um 
resultado próximo de 3 x 30); 
• ao resolver 45 – 19, ajuda saber que 45 - 20 = 25? De que serve 
pensar que 19 é o mesmo que 15 + 4? Seguir contando de 19 a 45 ajuda a 
obter o resultado? Esse é um procedimento prático? 
Cálculo escrito 
Sobre o cálculo escrito, assim versam os PCN: 
Na atividade de resolução de problemas é comum que os alunos construam 
registros numéricos para expressar os procedimentos de cálculo mental que 
utilizam. A análise desses registros evidencia, muitas vezes, o domínio de 
conhecimentos matemáticos que são a base para o cálculo escrito e 
particularmente para a compreensão das técnicas de cálculo que 
usualmente são ensinadas na escola. 
 
Por exemplo, se para multiplicar 14 por 7, o aluno faz 7 x 7 + 7 x 7; isso mostra 
que, nessa situação, ele recorre à decomposição de um dos termos e à 
distributividade para encontrar o resultado, de uma forma bastante simples. 
A partir de tal raciocínio, pode-se levar os alunos a perceberem que existe 
outra forma de decompor um número que leva à obtenção do mesmo resultado: 10 
x 7 + 4 x 7. Este tipo de decomposição é o usado nas técnicas de multiplicação. 
Normalmente, as técnicas operatórias ensinadas nas escolas baseiam-se em 
regras do sistema de numeração decimal, assim como nas propriedades e 
regularidades das operações. O fato é que justamente a ausência de tais 
conhecimentos em sala de aula conduz os alunos à maioria dos erros apresentados 
nos processos de cálculo. Isso ocorre quando o professor não explora da maneira 
devida os registros pessoais dos alunos que, na verdade, representam formas 
intermediárias de acesso ao registro das técnicas usuais. 
Neste sentido, assim sugerem os PCN: 
 
 
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 62 
O cálculo deve ser incentivado nas mais diferentes situações de 
aprendizagem. O recurso às calculadoras é uma delas. Na elaboração de 
atividades envolvendo o uso de calculadoras é importante que a criança 
seja colocada diante de desafios e estimulada a explicitar, verbalmente ou 
por escrito, os procedimentos que utiliza. A título de exemplo, apresentam-
se algumas atividades que podem ser feitas usando a calculadora: 
• A partir de um número registrado no visor da calculadora, sem apagá-lo, 
fazer aparecer um outro número; por exemplo, transformar: 
a) 459 em 409 
b) 7.403 em 7.003 
c) 354 em 9.054 
• Eliminar o “7” das seguintes escritas numéricas, sem apagá-las: 3.074, 
32.479, 879. 
• Descobrir o resultado das operações, nas condições dadas: 
a) 273 + 129, sem usar a tecla que indica adição; 
b) 1.000 : 43, usando só a tecla que indica a adição; só a tecla que indica a 
multiplicação, só a tecla que indica a divisão; 
c) partindo do número 572,com uma única operação,obter:502; 5.720; 57, 
2. 
 
 
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 63 
Aula 10_Teoria dos Campos Conceituais – Gèrard Vergnaud: 
Campo Aditivo 
 
Palavras-chave: Parâmetros Curriculares Nacionais; Matemática nos Anos Iniciais; 
teoria dos campos conceituais. 
 
Gèrard Vergnaud, nascido em 1933, é um matemático, filósofo e psicólogo 
francês. Atualmente, professor emérito do Centro Nacional de Pesquisa Científica, 
em Paris. Foi discípulo de Jean Piaget no doutorado, sendo pesquisador em didática 
da matemática e tendo desenvolvido a “Teoria dos Campos Conceituais”, bastante 
utilizada para os conhecimentos da disciplina, mas também para diversos outros 
campos das ciências. 
Na Teoria dos Campos Conceituais, Vergnaud amplia e redireciona o foco 
piagetiano das operações lógicas gerais, das estruturas gerais do pensamento, para 
o estudo do funcionamento cognitivo do “sujeito em situação”, tomando como 
referência o próprio conteúdo do conhecimento para análise conceitual do domínio 
desse conhecimento. 
Campo conceitual é também definido por Vergnaud como um conjunto de 
problemas e situações cujo tratamento requer conceitos, procedimentos e 
representações de tipos diferentes, mas intimamente relacionados. Em outros 
trabalhos (1988, p. 141; 1990, p. 146), Vergnaud define campo conceitual como 
sendo, em primeiro lugar, um conjunto de situações cujo domínio requer, por sua 
vez, o domínio de vários conceitos de naturezas distintas. Por exemplo, o campo 
conceitual das estruturas multiplicativas consiste de todas as situações que podem 
ser analisadas como problemas de proporções simples e múltiplas para os quais 
geralmente é necessária uma multiplicação, uma divisão ou uma combinação dessas 
operações. Vários tipos de conceitosmatemáticos estão envolvidos nas situações 
que constituem o campo conceitual das estruturas multiplicativas e no pensamento 
necessário para dominar tais situações. Entre tais conceitos estão o de função linear, 
função não-linear, espaço vetorial, análise dimensional, fração, razão, taxa, número 
racional, multiplicação e divisão. Analogamente, o campo conceitual das estruturas 
aditivas é o conjunto de situações cujo domínio requer uma adição, uma subtração 
ou uma combinação de tais operações. 
 
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 64 
Cabe, ainda, ressaltar que para a Teoria dos Campos Conceituais, Vergnaud 
considerou além de Piaget, ideias de Vygostky no que tange ao conceito de Zona de 
Desenvolvimento Proximal e mediação, já que com pessoas mais capazes, os alunos 
têm oportunidade de ampliar seus conhecimentos, aumentando seu 
desenvolvimento real por meio das situações que são vivenciadas. 
Nesse mesmo sentido, Costa (2010) indica que a resolução de problemas 
permite ao aluno traçar seu próprio caminho no desenvolvimento de competências e 
conhecimentos necessários, ou seja, o aluno pode desenvolver conteúdos 
conceituais, procedimentais e atitudinais relacionados à Matemática. 
As ideias presentes na Teoria dos Campos Conceituais serviram de base nos 
Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática no que tange aos significados das 
operações adição e subtração (campo aditivo) e multiplicação e divisão (campo 
multiplicativo). 
 
Parâmetros Curriculares Nacionais – Matemática – 1º e 2º Ciclos do 
Ensino Fundamental - Operações com Números Naturais – (BRASIL, 1997, 
p.69-71) 
 
Campo Aditivo - Significados 
O desenvolvimento da investigação na área da Didática da Matemática traz 
novas referências para o tratamento das operações. Entre elas, encontram-se as 
que apontam os problemas aditivos e subtrativos como aspecto inicial a ser 
trabalhado na escola, concomitantemente ao trabalho de construção do significado 
dos números naturais. 
A justificativa para o trabalho conjunto dos problemas aditivos e subtrativos 
baseia-se no fato de que eles compõem uma mesma família, ou seja, há estreitas 
conexões entre situações aditivas e subtrativas. A título de exemplo, analisa-se a 
seguinte situação: 
“João possuía 8 figurinhas e ganhou mais algumas num jogo. Agora ele tem 
13 figurinhas”1. 
Ao observar as estratégias de solução empregadas pelos alunos, pode-se 
notar que a descoberta de quantas figurinhas João ganhou, às vezes, é encontrada 
pela aplicação de um procedimento aditivo, e, outras vezes, subtrativo. 
 
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Isso evidencia que os problemas não se classificam em função unicamente 
das operações a eles relacionadas a priori, e sim em função dos procedimentos 
utilizados por quem os soluciona. 
Outro aspecto importante é o de que a dificuldade de um problema não está 
diretamente relacionada à operação requisitada para a sua solução. É comum 
considerar-se que problemas aditivos são mais simples para o aluno do aqueles que 
envolvem subtração. 
Mas a análise de determinadas situações pode mostrar o contrário: 
— Carlos deu 5 figurinhas a José e ainda ficou com 8 figurinhas. Quantas 
figurinhas Carlos 
tinha inicialmente? 
— Pedro tinha 9 figurinhas. Ele deu 5 figurinhas a Paulo. Com quantas 
figurinhas ele ficou? 
O primeiro problema, que é resolvido por uma adição, em geral se apresenta 
como mais difícil do que o segundo, que frequentemente é resolvido por uma 
subtração. 
Pelo aspecto do cálculo, adição e subtração também estão intimamente 
relacionadas. Para calcular mentalmente 40 - 26, alguns alunos recorrem ao 
procedimento subtrativo de decompor o número 26 e subtrair primeiro 20 e depois 6; 
outros pensam em um número que devem juntar a 26 para se obter 40, recorrendo 
neste caso a um procedimento aditivo. 
A construção dos diferentes significados leva tempo e ocorre pela descoberta 
de diferentes procedimentos de solução. Assim, o estudo da adição e da subtração 
deve ser proposto ao longo dos dois ciclos, juntamente com o estudo dos números 
e com o desenvolvimento dos procedimentos de cálculo, em função das dificuldades 
lógicas, específicas a cada tipo de problema, e dos procedimentos de solução de 
que os alunos dispõem. 
Dentre as situações que envolvem adição e subtração a serem exploradas 
nesses dois ciclos, podem se destacar, para efeito de análise e sem qualquer 
hierarquização, quatro grupos: 
Num primeiro grupo, estão as situações associadas à ideias de combinar 
dois estados para obter um terceiro, mais comumente identificada como ação 
de “juntar”. 
 
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 66 
Exemplo: 
— Em uma classe há 15 meninos e 13 meninas. Quantas crianças há nessa 
classe? 
A partir dessa situação é possível formular outras duas, mudando-se a 
pergunta. As novas situações são comumente identificadas como ações de 
“separar/tirar”. Exemplos: 
— Em uma classe há alguns meninos e 13 meninas, no total são 28 alunos. 
Quantos meninos há nessa classe? 
— Em uma classe de 28 alunos, 15 são meninos. Quantas são as meninas? 
Num segundo grupo, estão as situações ligadas à ideia de 
transformação, ou seja, alteração de um estado inicial, que pode ser positiva 
ou negativa. 
Exemplos: 
— Paulo tinha 20 figurinhas. Ele ganhou 15 figurinhas num jogo. Quantas 
figurinhas ele tem agora? (transformação positiva). 
— Pedro tinha 37 figurinhas. Ele perdeu 12 num jogo. Quantas figurinhas ele 
tem agora? (transformação negativa). 
Cada uma dessas situações pode gerar outras: 
— Paulo tinha algumas figurinhas, ganhou 12 no jogo e ficou com 20. Quantas 
figurinhas ele possuía? 
— Paulo tinha 20 figurinhas, ganhou algumas e ficou com 27. Quantas 
figurinhas ele ganhou? 
— No início de um jogo, Pedro tinha algumas figurinhas. No decorrer do jogo 
ele perdeu 20 e terminou o jogo com 7 figurinhas. Quantas figurinhas ele possuía no 
início do jogo? 
— No início de um jogo Pedro tinha 20 figurinhas. Ele terminou o jogo com 8 
figurinhas. O que aconteceu no decorrer do jogo? 
Num terceiro grupo, estão as situações ligadas à ideia de comparação. 
Exemplo: 
— No final de um jogo, Paulo e Carlos conferiram suas figurinhas. Paulo tinha 
20 e Carlos tinha 10 a mais que Paulo. Quantas eram as figurinhas de Carlos? 
 
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 67 
Se se alterar a formulação do problema e a proposição da pergunta, 
incorporando ora dados positivos, ora dados negativos, podem-se gerar várias 
outras situações: 
— Paulo e Carlos conferiram suas figurinhas. Paulo tem 12 e Carlos, 7. 
Quantas figurinhas Carlos deve ganhar para ter o mesmo número que Paulo? 
— Paulo tem 20 figurinhas. Carlos tem 7 figurinhas a menos que Paulo. 
Quantas figurinhas tem Carlos? 
Num quarto grupo, estão as situações que supõem a compreensão de 
mais de uma transformação (positiva ou negativa). 
Exemplo: 
— No início de uma partida, Ricardo tinha um certo número de pontos. No 
decorrer do jogo ele ganhou 10 pontos e, em seguida, ganhou 25 pontos. O que 
aconteceu com seus pontos no final do jogo? 
Também neste caso, as variações positivas e negativas podem levar a novas 
situações: 
— No início de uma partida, Ricardo tinha um certo número de pontos. No 
decorrer do jogo ele perdeu 20 pontos e ganhou 7 pontos. O que aconteceu com 
seus pontos no final do jogo? 
— Ricardo iniciou uma partida com 15 pontos de desvantagem. Ele terminou 
o jogo com 30 pontos de vantagem. O que aconteceu durante o jogo? 
Embora, todas estas situações façam parte do campo aditivo, elas colocam 
em evidência níveis diferentes de complexidade. Note-se que, no início da 
aprendizagem escolar, os alunos ainda não dispõem de conhecimentos e 
competências para resolver todas elas, necessitando de uma ampla experiênciacom 
situações-problema que os leve a desenvolver raciocínios mais complexos por meio 
de tentativas, explorações e reflexões. 
Desse modo, o trabalho com as operações deve ser planejado coletivamente 
pelos professores, não apenas para ser desenvolvido nos Anos Iniciais, mas também 
nos Anos Finais do Ensino Fundamental. 
 
 
 
 
 
 
 
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 68 
 
Aula 11_Teoria dos Campos Conceituais – Gèrard Vergnaud: 
Campo Multiplicativo 
 
Palavras-chave: Parâmetros Curriculares Nacionais; Matemática nos Anos Iniciais; 
teoria dos campos conceituais. 
 
 
Campo Multiplicativo - Significados 
 
Dentre as situações relacionadas à multiplicação e à divisão, a serem 
exploradas nestes dois ciclos, podem-se destacar, para efeito de análise e sem 
qualquer hierarquização, quatro grupos: 
Num primeiro grupo, estão as situações associadas ao que se poderia 
denominar multiplicação comparativa. 
Exemplos: 
— Pedro tem R$ 5,00 e Lia tem o dobro dessa quantia. Quanto tem Lia? 
— Marta tem 4 selos e João tem 5 vezes mais selos que ela. Quantos selos 
tem João? 
A partir dessas situações de multiplicação comparativa é possível formular 
situações que envolvem a divisão. Exemplo: 
— Lia tem R$ 10,00. Sabendo que ela tem o dobro da quantia de Pedro, 
quanto tem Pedro? 
Num segundo grupo, estão as situações associadas à comparação entre 
razões, que, portanto, envolvem a ideias de proporcionalidade. 
Os problemas que envolvem essas ideias são muito frequentes nas situações 
cotidianas e, por isso, são mais bem compreendidos pelos alunos. 
Exemplos: 
— Marta vai comprar três pacotes de chocolate. Cada pacote custa R$ 8,00. 
Quanto ela vai pagar pelos três pacotes? (A ideias de proporcionalidade está 
presente: 1 está para 8, assim como 3 está para 24.) 
 
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 69 
— Dois abacaxis custam R$ 2,50. Quanto pagarei por 4 desses abacaxis? 
(Situação em que o aluno deve perceber que comprará o dobro de abacaxis e deverá 
pagar — se não houver desconto 
— o dobro, R$ 5,00, não sendo necessário achar o preço de um abacaxi para 
depois calcular o de 4.) 
A partir dessas situações de proporcionalidade, é possível formular outras que 
vão conferir significados à divisão, associadas às ações “repartir (igualmente)” e 
“determinar quanto cabe”. 
Exemplos associados ao primeiro problema: 
— Marta pagou R$ 24,00 por 3 pacotes de chocolate. Quanto custou cada 
pacote? (A quantia em dinheiro será repartida igualmente em 3 partes e o que se 
procura é o valor de uma parte.) 
— Marta gastou R$ 24,00 na compra de pacotes de chocolate que custavam 
R$ 3,00 cada um. Quantos pacotes de chocolate ela comprou? (Procura-se verificar 
quantas vezes 3 cabe em 24, ou seja, identifica-se a quantidade de partes.) 
Num terceiro grupo, estão as situações associadas à configuração 
retangular. 
Exemplos: 
— Num pequeno auditório, as cadeiras estão dispostas em 7 fileiras e 8 
colunas. Quantas cadeiras há no auditório? 
— Qual é a área de um retângulo cujos lados medem 6 cm por 9 cm? 
Nesse caso, a associação entre a multiplicação e a divisão é estabelecida por 
meio de situações tais como: 
— As 56 cadeiras de um auditório estão dispostas em fileiras e colunas. Se 
são 7 as fileiras, quantas são as colunas? 
— A área de uma figura retangular é de 54 cm2. Se um dos lados mede 6 cm, 
quanto mede o outro lado? 
Num quarto grupo, estão as situações associadas às ideias de 
combinatória. 
Exemplo: 
— Tendo duas saias — uma preta (P) e uma branca (B) — e três blusas — 
uma rosa (R), uma azul (A) e uma cinza (C) —, de quantas maneiras diferentes posso 
me vestir? 
 
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 70 
Analisando-se esses problemas, vê-se que a resposta à questão formulada 
depende das combinações possíveis; no segundo, por exemplo, os alunos podem 
obter a resposta, num primeiro momento, fazendo desenhos, diagramas de árvore, 
até esgotar as possibilidades: 
(P, R), (P, A), (P, C), (B, R), (B, A), (B, C): 
Esse resultado, que se traduz pelo número de combinações possíveis entre 
os termos iniciais, evidencia um conceito matemático importante, que é o de produto 
cartesiano. 
Note que por essa interpretação, não se diferenciam os termos iniciais, sendo 
compatível a interpretação da operação com sua representação escrita. Combinar 
saias com blusas é o mesmo que combinar blusas com saias e isso pode ser 
expresso por 2 x 3 = 3 x 2. 
A ideia de combinação também está presente em situações relacionadas com 
a divisão: 
— Numa festa, foi possível formar 12 casais diferentes para dançar. Se havia 
3 moças e todos os presentes dançaram, quantos eram os rapazes? 
Os alunos costumam solucionar esse tipo de problema por meio de tentativas 
apoiadas em procedimentos multiplicativos, muitas vezes representando 
graficamente o seguinte raciocínio: 
— Um rapaz e 3 moças formam 3 pares. 
— Dois rapazes e 3 moças formam 6 pares. 
— Três rapazes e 3 moças formam 9 pares. 
— Quatro rapazes e 3 moças formam 12 pares. 
Levando-se em conta tais considerações, pode-se concluir que os problemas 
cumprem um importante papel no sentido de propiciar as oportunidades para as 
crianças, do primeiro e segundo ciclos, interagirem com os diferentes significados 
das operações, levando-as a reconhecer que um mesmo problema pode ser 
resolvido por diferentes operações, assim como uma mesma operação pode estar 
associada a diferentes problemas. 
 
REFERÊNCIAS 
 
 
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 71 
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares 
nacionais: matemática /Secretaria de Educação Fundamental. – Brasília: 
MEC/SEF, 1997. 142p. 
 
COSTA, M. Resolução de Problemas na formação continuada do professor 
dos anos iniciais do Ensino Fundamental: Contribuições do Pró-Letramento no 
município de Cubatão, Dissertação de Mestrado Acadêmico. Universidade 
Bandeirante de São Paulo, 2010. Disponível em: 
https://s3.amazonaws.com/pgsskroton-
dissertacoes/592cb864bc9b68e2a25513fae7b21227.pdf (Acesso em 16/08/2018) 
 
MOREIRA, M. A. A Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud, o ensino de 
ciências e a pesquisa nesta área. In: Revista Investigações em Ensino de 
Ciências – Volume 7, pp. 7-29, 2002. Disponível em: 
https://www.if.ufrgs.br/cref/ojs/index.php/ienci/article/download/569/361 (Acesso em 
14/08/2018) 
 
VERGNAUD, G. Multiplicative structures. In: Hiebert, H. and Behr, M. (Eds.). 
Research Agenda in Mathematics Education. Number Concepts and Operations 
in the Middle Grades. Hillsdale, N.J.: Lawrence Erlbaum. pp. 141-161, 1988. 
 
VERGNAUD. G. La théorie des champs conceptuels. Recherches en Didactique 
des Mathématiques, 10 (23). pp. 133-170, 1990. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 72 
Aula 12_Espaço e Forma 
 
Palavras-chave: Geometria; Matemática nos Anos Iniciais; orientações curriculares; 
Tangram. 
 
Sobre o ensino do Espaço e Forma assim sugerem os PCN: 
 
Estudos sobre a construção do espaço pela criança destacam que a 
estruturação espacial se inicia, desde muito cedo, pela constituição de um 
sistema de coordenadas relativo ao seu próprio corpo. É a fase chamada 
egocêntrica, no sentido de que, para se orientar, a criança é incapaz de 
considerar qualquer outro elemento, que não o seu próprio corpo, como 
ponto de referência. Aos poucos, ela toma consciência de que os diferentes 
aspectos sob os quais os objetos se apresentam para ela são perfis de uma 
mesma coisa, ou seja, ela gradualmente toma consciência dos movimentos 
de seu próprio corpo, de seu deslocamento. 
 
Tal capacidade de mover-se mentalmente e de identificar o espaço a partir de 
distintos pontos de vista são condições essenciais à coordenação espacial. É neste 
processo quetem origem as noções de direção, sentido, distância, ângulo e diversas 
outras consideradas fundamentais à construção do pensamento geométrico. 
A princípio, o espaço surge para a criança de uma maneira essencialmente 
prática: o aluno constrói suas primeiras noções espaciais através dos sentidos e 
movimentos. Tal espaço percebido pela criança é chamado de espaço perceptivo, 
onde o conhecimento dos objetos resulta de um contato direto com eles. O espaço 
perceptivo irá possibilitar a construção de um espaço representativo, onde o aluno 
será capaz, dentre outras coisas, de evocar os objetos em sua ausência. 
Algumas formas geométricas como o ponto, a reta e o quadrado não integram 
o espaço perceptivo. Podem até ser percebidas de uma forma ideal, mas 
essencialmente não pertencem a esse espaço sensível. Por este motivo dizemos 
que a Geometria parte do mundo sensível e o estrutura no mundo geométrico dos 
volumes, das superfícies, das linhas e dos pontos. 
A este respeito assim questionam os PCN: 
 
 
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 73 
A questão que se pode levantar, então, é: como passar de um espaço a 
outro? É multiplicando suas experiências sobre os objetos do espaço em 
que vive que a criança aprenderá a construir uma rede de conhecimentos 
relativos à localização, à orientação, que lhe permitirá penetrar no domínio 
da representação dos objetos e, assim, distanciar-se do espaço sensorial 
ou físico. É o aspecto experimental que colocará em relação esses dois 
espaços: o sensível e o geométrico. De um lado, a experimentação permite 
agir, antecipar, ver, explicar o que se passa no espaço sensível, e, de outro, 
possibilita o trabalho sobre as representações dos objetos do espaço 
geométrico e, assim, desprender-se da manipulação dos objetos reais para 
raciocinar sobre representações mentais. 
Um fator essencial para a aprendizagem sobre espaço é a localização, que 
está ligada inicialmente à necessidade de se considerar a orientação. O primeiro 
passo para um aluno orientar-se no espaço é se orientar a partir de seu próprio corpo. 
O conhecimento sobre o corpo decorre do conhecimento do espaço e, 
simultaneamente, torna-o possível. 
Trabalhar com atividades que possibilitem ao aluno o aperfeiçoamento da 
capacidade de definir pontos de referência ao seu redor, para efeito de localização, 
durante o primeiro ciclo do Ensino Fundamental, torna-se essencial ao ensino dos 
conceitos acerca de Espaço. 
Exemplo 
1) Atividades em que o aluno se situe no espaço, desloque-se nele, dê e 
receba instruções de localização, compreenda e utilize termos como esquerda, 
direita, giro, distância, deslocamento, acima, abaixo, ao lado, na frente, atrás, perto; 
2) Construção de itinerários, a partir de instruções dadas. É interessante que 
os alunos relatem oralmente como é o trajeto do lugar onde moram até a escola, 
desenhem o itinerário que fazem, sempre dando pontos de referência. 
Já com relação às formas, assim falam os PCN: 
 
Experiências mostram que as crianças discriminam algumas formas 
geométricas bem mais cedo do que as reproduzem. O pensamento 
geométrico se desenvolve inicialmente pela visualização: as crianças 
conhecem o espaço como algo que existe ao redor delas. As figuras 
geométricas são reconhecidas por suas formas, por sua aparência física, 
em sua totalidade, e não por suas partes ou propriedades. Por meio da 
observação e experimentação elas começam a discernir as características 
de uma figura, e a usar as propriedades para conceituar classes de formas. 
 
A principal fonte de exploração das formas são os próprios objetos que 
constituem o espaço. O aluno precisa ser motivado, por exemplo, a notar posições 
 
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 74 
relativas dos objetos, a identificar no seu entorno e nos objetos que nele se 
encontram formas distintas, tridimensionais e bidimensionais, planas e não planas, 
a fazer construções, modelos ou desenhos do espaço (de diferentes pontos de vista) 
e descrevê-los. 
Apenas através de um trabalho constante sobre observação e construção das 
formas, o aluno poderá identificar as semelhanças e diferenças entre as mesmas. 
Neste processo, distintas atividades podem ser desenvolvidas, tais como: compor e 
decompor figuras, perceber a simetria como característica de algumas figuras e não 
de outras. A partir de tal exploração surgirá o reconhecimento de figuras 
tridimensionais (como cubos, paralelepípedos, esferas, cilindros, cones, pirâmides 
etc.) e bidimensionais (como quadrados, retângulos, círculos, triângulos, 
pentágonos, etc.), além da identificação de suas propriedades. 
Um dos fatores que chama a atenção dos alunos para o aprendizado da 
Geometria diz respeito à facilidade de sua identificação no cotidiano. Neste caminho, 
o professor deve desenvolver um trabalho que motive os alunos a reconhecer as 
figuras geométricas nas criações do homem e da natureza. 
A este respeito assim sugerem os PCN: 
 
Isso pode ocorrer por meio de atividades em que ele possa explorar formas 
como as de flores, elementos marinhos, casa de abelha, teia de aranha, ou 
formas em obras de arte, esculturas, pinturas, arquitetura, ou ainda em 
desenhos feitos em tecidos, vasos, papéis decorativos, mosaicos, pisos, etc. 
As atividades geométricas podem contribuir também para o 
desenvolvimento de procedimentos de estimativa visual, seja de 
comprimentos, ângulos ou outras propriedades métricas das figuras, sem 
usar instrumentos de desenho ou de medida. Isso pode ser feito, por 
exemplo, por meio de trabalhos com dobraduras, recortes, espelhos, 
empilhamentos, ou pela modelagem de formas em argila ou massa. 
Construir maquetes e descrever o que nelas está sendo representado é 
também uma atividade muito importante, especialmente no sentido de dar 
ao professor uma visão do domínio geométrico de seus alunos. O uso de 
alguns softwares disponíveis também é uma forma de levar o aluno a 
raciocinar geometricamente 
 
 
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 75 
Tangram 
O Tangram é um quebra-cabeça chinês, formado por apenas sete peças (um 
quadrado, um paralelogramo e cinco triângulos), a partir das quais se podem criar 
aproximadamente 1.700 figuras. As regras desse jogo consistem em montar, a partir 
das sete peças do Tangram, figuras como letras, números, objetos, pessoas, figuras 
geométricas, colocando-as lado a lado sem sobreposição. 
Esse jogo tem origem milenar, e veio da China para a América, por volta de 
1.818. Quanto ao nome TANGRAM, há muitas versões a respeito. Uma delas parte 
do significado da palavra, onde TAN é uma palavra relacionada a uma das mais 
poderosas e longas dinastias chinesas chamada T’ANG, que no resto do mundo 
passou a associar-se a “origem chinesa”. Enquanto GRAM quer dizer algo 
desenhado ou escrito em diagrama. Assim sendo, TANGRAM seria “diagrama 
chinês”. As atividades envolvendo a construção de figuras através das peças do 
Tangram têm como objetivo principal estimular a criatividade dos alunos e 
estabelecer relações de tamanho entre as figuras. 
Ao trabalhar de forma livre com as peças do Tangram as crianças podem 
descobrir, por seus próprios caminhos, as relações entre o tamanho das figuras. 
 
 
Uma forma de familiarizar os alunos consiste nos seguintes passos: 
1) Elaborar uma figura com as peças do Tangram; 
2) Contornar a figura com o uso de um lápis sobre uma folha de papel; 
3) Pintar a figura; 
 
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 76 
4) Identificar, na figura já pintada, a localização de cada peça do Tangram. 
 
Uma vez familiarizados com o Tangram, os alunos podem fazer construções 
livres com as peças do jogo, utilizando silhuetas de figuras já prontas: 
1) Sobrepondo figuras com as peças do quebra-cabeça; 
2) Reproduzindo a figura sem sobreposição daspeças. 
No ensino da Geometria, o Tangram pode ser adotado em atividades do tipo: 
1) Construa um quadrado usando apenas os triângulos; 
2) Construa um quadrado com duas peças; 
3) Construa um quadrado com quatro peças; 
4) Construa um triângulo grande, usando quatro peças do Tangram. 
5) Construa um paralelogramo, usando apenas triângulos. 
 
Outra utilidade para o Tangram diz respeito ao ensino e à aprendizagem da 
noção de área. Neste caso, o triângulo pequeno é adotado como unidade de medida 
não-padronizada. A adoção do triângulo pequeno como unidade de medida deve-se 
ao fato de que ele se sobrepõe em todas as peças um número inteiro de vezes. 
Porém, o professor também pode sugerir aos alunos a escolha de uma 
unidade de medida qualquer, tornando possível o surgimento de frações para indicar 
o resultado das medidas. O Tangram pode ser construído pelos alunos fazendo uso 
da dobradura, visando estimular o desenvolvimento da comunicação oral e escrita 
em Matemática. Ao se deparar com ordens orais e escritas através de simbologias 
e esquemas, o aluno estará desenvolvendo uma atividade de leitura e codificação. 
Ao descrever as etapas de uma dobradura, o aluno desenvolve e interioriza 
noções de espaço, usa e cria convenções para a representação gráfica, bem como 
relaciona o conteúdo em estudo com os conceitos já estudados, anteriormente. 
 
 
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 77 
Passos para a construção do Tangram: 
 
 
 
Ensino por meio do Tangram 
Os alunos são capazes de reconhecer certas formas geométricas muito antes 
de desenvolverem a capacidade de reproduzi-las. O pensamento geométrico dos 
alunos é construído a partir da visualização: as crianças reconhecem o espaço como 
 
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 78 
algo que existe ao seu redor. As figuras geométricas são identificadas por suas 
formas, aparência física, e não por suas partes ou propriedades. 
Através da observação e experimentação, os alunos iniciam a discernir as 
características de uma figura em relação à outra. A principal fonte de exploração das 
formas são os próprios objetos que constituem o espaço. 
Somente por intermédio de um trabalho constante sobre observação e 
construção de formas, que o aluno será capaz de identificar as semelhanças e 
diferenças entre as figuras geométricas. Neste processo, distintas atividades podem 
ser desenvolvidas, tais como: compor e decompor figuras, perceber a simetria como 
característica de algumas figuras e não de outras. 
Plano de Aula: Espaço e Forma 
1) Assunto: Figuras Geométricas. 
2) Conteúdo: Construção e representação de formas geométricas. 
3) Objetivos: Depois dessa atividade, espera-se que os alunos sejam 
capazes de: manipular o Tangram, reconhecer certas figuras planas, ideia de 
simetria. 
4) Intervenções do Professor: 
a) Expor aos alunos a origem e regras do Tangram. 
b) Apresentar as peças do Tangram aos alunos. 
c) Explicar cada uma das formas que integra o Tangram. 
d) Explicar as regras do Tangram. 
5) Material didático: Tangram, lápis ou caneta e papel sulfite. 
6) Descrição das Atividades: 
Organização da classe: 
Os alunos deverão formar grupos de quatro alunos. 
Dinâmica de trabalho: 
a) Distribuir a cada grupo um jogo de sete peças que integram o Tangram. 
b) Deixar que os alunos manipulem o Tangram por cerca de 5 minutos. 
c) Distribuir aos alunos papel sulfite, lápis e caneta. 
d) Deixar que os alunos contornem livremente as formas do Tangram durante 
cerca de 5 minutos. 
e) Aplicar atividades. 
 
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 79 
f) Ao final de cada atividade, quando todos tiverem terminado, efetuar 
correção coletiva, procurando discutir as diferentes soluções encontradas pelos 
alunos. 
Atividades: 
a) Desenhar no papel sulfite cada uma das peças do Tangram, identificando-
as. 
b) Montar um quadrado grande com as sete peças dos Tangram. 
c) Contornar tal quadrado. 
d) Fazer um desenho livre com as peças do Tangram. 
e) Circundar, com lápis, o desenho sobre o sulfite. 
f) Identificar cada uma das peças do Tangram no desenho. 
Solução 
a) quadrado; paralelogramo; triângulos. 
 
b) 
c) 
 
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 80 
d) 
Observação: os itens “e” e “f” devem ser corrigidos individualmente por aluno 
conforme a figura que construíram, levando em conta as identificações apontadas 
no item “a”. 
7) Avaliação: 
a) Verificar o conhecimento que os alunos possuem sobre figuras geométricas 
antes do início das atividades. 
b) Observar a realização das atividades comparando se houve alguma 
evolução na compreensão dos seguintes conceitos: tangram, figuras geométricas e 
simetria. 
c) Solicitar aos alunos que exponham oralmente o que fizeram nas atividades. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 81 
 
Aula 13_Grandezas, Medidas e Tratamento da Informação 
 
Palavras-chave: orientações didáticas; grandezas e medidas; tratamento da 
informação. 
 
Grandezas e Medidas 
 Acerca da didática do ensino sobre Grandezas e Medidas no Ensino 
Fundamental, assim comentam os PCN: 
nas situações cotidianamente vivenciadas pelos alunos, a existência de 
grandezas de naturezas diversas e a frequente necessidade de estabelecer 
comparação entre elas, ou seja, de medi-las, justificam a necessidade do 
trabalho com este conteúdo. A comparação de grandezas de mesma 
natureza que dá origem à ideia de medida e o desenvolvimento de 
procedimentos para o uso adequado de instrumentos, tais como balança, 
fita métrica e relógio, conferem a este conteúdo um acentuado caráter 
prático. 
 
As atividades envolvendo medidas oportunizam aos alunos a abordagem de 
aspectos históricos da construção de conhecimento, pois, desde a Antiguidade, em 
quase todas as civilizações, a Matemática se dedicou basicamente à comparação 
de grandezas. 
Um exemplo deste fato é a utilização de partes do próprio corpo, como palmos 
e pés, como unidade de medida. Este tipo de entendimento se revela como uma 
maneira interessante de trabalhar com os alunos, porque possibilita a reconstrução 
histórica de um procedimento onde a medição tinha como base as dimensões do 
corpo humano, além de ressaltar aspectos curiosos como o fato de que, em certas 
civilizações, as medidas do corpo do rei eram tidas como padrão. Atualmente, o 
Sistema Internacional de Unidades baseia-se em unidades como: para massa, o 
quilograma; para comprimento, o metro; para tempo, o segundo; para temperatura, 
o kelvin; para intensidade elétrica, o ampère. 
Sobre as representações mentais dos alunos durante a aprendizagem das 
Grandezas e Medidas, assim dissertam os PCN: 
 
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 82 
 
é no contexto das experiências intuitivas e informais com a medição que o 
aluno constrói representações mentais que lhe permitem, por exemplo, 
saber que comprimentos como 10, 20 ou 30 centímetros são possíveis de 
se visualizar numa régua, que 1 quilo é equivalente a um pacote pequeno 
de açúcar ou que 2 litros correspondem a uma garrafa de refrigerante 
grande. Essas representações mentais favorecem as estimativas e o 
cálculo, evitam erros e permitem aos alunos, o estabelecimento de relações 
entre as unidades usuais, ainda que não tenham a compreensão plena dos 
sistemas de medidas. 
 
Ainda em casa, antes de ingressar na escola, as crianças já acumulam 
experiências sobre marcações do tempo como: dia, noite, mês, hoje, amanhã, hora 
do almoço, hora da escola, bem como com as medidas de massa, capacidade, 
temperatura, dentre outras. Porém, isso não quer dizer que já tenham construído um 
sólido entendimento sobre os atributos mensuráveis de um objeto, nem que 
dominem procedimentos de medida.Dessa forma, é essencial que, no transcorrer do Ensino Fundamental, os 
alunos entrem em contato com distintas situações que os conduzam a trabalhar com 
grandezas físicas para que reconheçam como o atributo será medido e o que 
significa a medida. 
 Os PCN sugerem que estruturas conceituais relativas às medidas são 
desenvolvidas por meio de experiências em que se enfatizam aspectos, tais como: 
• o processo de medição é o mesmo para qualquer atributo 
mensurável; é necessário escolher uma unidade adequada, 
comparar essa unidade com o objeto que se deseja medir e, 
finalmente, computar o número de unidades obtidas; 
• a escolha da unidade é arbitrária, mas ela deve ser da mesma 
espécie do atributo que se deseja medir. Há unidades mais e menos 
adequadas e a escolha depende do tamanho do objeto e da precisão 
que se pretende alcançar; 
• quanto maior o tamanho da unidade, menor é o número de vezes 
que se a utiliza para medir um objeto; 
• se, por um lado, pode-se medir usando padrões não convencionais, 
por outro lado, os sistemas convencionais são importantes, 
especialmente em termos de comunicação. 
 
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 83 
Através da solução de situações-problema, o aluno se tornará capaz de 
perceber a grandeza como uma propriedade de certa coleção de objetos. Também 
poderá observar o aspecto da “conservação” de uma grandeza, isto é, o fato de que, 
embora o objeto mude de posição ou de forma, algo pode permanecer constante, 
como, por exemplo, sua massa. Reconhecerá ainda que a grandeza pode ser 
utilizada como um critério para ordenar uma determinada coleção de objetos: do 
mais comprido para o mais curto ou do mais pesado para o mais leve. 
Tratamento da Informação 
Acerca do ensino sobre o Tratamento da Informação, assim prescrevem os 
PCN: 
É cada vez mais frequente a necessidade de se compreender as 
informações veiculadas, especialmente pelos meios de comunicação, para 
tomar decisões e fazer previsões que terão influência não apenas na vida 
pessoal, como na de toda a comunidade. Estar alfabetizado, neste final de 
século, supõe saber ler e interpretar dados apresentados de maneira 
organizada e construir representações, para formular e resolver problemas 
que impliquem no recolhimento de dados e na análise de informações. Essa 
característica da vida contemporânea traz ao currículo de Matemática uma 
demanda em abordar elementos da estatística, da combinatória e da 
probabilidade, desde os ciclos iniciais. 
 
Durante a construção de gráficos, o professor precisa verificar se os alunos 
são capazes de ler os dados neles representados e descritos. Neste sentido, ele 
deve requisitar que os alunos exponham sua interpretação sobre os gráficos e propor 
que formulem perguntas que possam ser respondidas a partir de tais dados. Há 
ainda informações sobre os próprios alunos como peso, altura, nacionalidade dos 
avós, times de futebol de sua preferência, que podem ser trabalhados e 
apresentados graficamente. 
A elaboração de tabelas e gráficos que demonstram o comportamento do 
tempo durante certo período, como dias ensolarados, chuvosos e nublados, além do 
acompanhamento das previsões do tempo pelos meios de comunicação indicam a 
possibilidade de se fazer algumas previsões, através da observação de ocorrências. 
Pela observação da frequência de ocorrência de um certo acontecimento, e um 
número razoável de experiências, pode-se construir certas noções de probabilidade. 
 
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 84 
Tal como indica a atual Base Nacional Comum Curricular (BRASIL, 2017), as 
medidas quantificam grandezas do mundo físico e são fundamentais para a 
compreensão da realidade. Assim, a unidade temática Grandezas e medidas, ao 
propor o estudo das medidas e das relações entre elas – ou seja, das relações 
métricas –, favorece a integração da Matemática a outras áreas de conhecimento, 
como Ciências (densidade, grandezas e escalas do Sistema Solar, energia elétrica 
etc.) ou Geografia (coordenadas geográficas, densidade demográfica, escalas de 
mapas e guias etc.). 
Essa unidade temática contribui ainda para a consolidação e ampliação da 
noção de número, a aplicação de noções geométricas e a construção do pensamento 
algébrico. 
No Ensino Fundamental – Anos Iniciais, a expectativa é que os alunos 
reconheçam que medir é comparar uma grandeza com uma unidade e expressar o 
resultado da comparação por meio de um número. 
Além disso, devem resolver problemas oriundos de situações cotidianas que 
envolvem grandezas como comprimento, massa, tempo, temperatura, área (de 
triângulos e retângulos) e capacidade e volume (de sólidos formados por blocos 
retangulares), sem uso de fórmulas, recorrendo, quando necessário, a 
transformações entre unidades de medida padronizadas mais usuais. Espera-se, 
também, que resolvam problemas sobre situações de compra e venda e 
desenvolvam, por exemplo, atitudes éticas e responsáveis em relação ao consumo. 
Sugere-se que esse processo seja iniciado utilizando, preferencialmente, 
unidades não convencionais para fazer as comparações e medições, o que dá 
sentido à ação de medir, evitando a ênfase em procedimentos de transformação de 
unidades convencionais. 
No entanto, é preciso considerar o contexto em que a escola se encontra: em 
escolas de regiões agrícolas, por exemplo, as medidas agrárias podem merecer 
maior atenção em sala de aula. 
 
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 85 
Os números racionais estão presentes também no tratamento da informação, 
pela atual BNCC (BRASIL, 2017) considerados objetos do conhecimento da Unidade 
Temática Probabilidade e Estatística. São muitas tabelas, gráfico e infográficos que 
possuem dados representados por números racionais. 
Quanto aos aspectos didáticos pedagógicos, podemos dizer que é bastante 
interessante que o professor desenvolva atividades permanentes para que o aluno 
compreenda o quanto os números racionais estão presentes nas diferentes 
grandezas, medidas e estatística. 
Há possibilidade de trabalhos com projetos interdisciplinares em que sejam 
desenvolvidas habilidades pertinentes às outras áreas do conhecimento em 
componentes diversos: Geografia, Ciências da Natureza, Língua Portuguesa entre 
outros. 
Atualmente, ser alfabetizado envolve conhecimentos como ler e interpretar 
dados apresentados de forma organizada e construir representações para formular 
e resolver problemas que envolvam levantamento de dados e análise de 
informações. Ao apresentar dados expostos através de gráficos, cabe aos 
professores notar se seus alunos estão conseguindo assimilar as informações que 
estão sendo descritas e representadas. Neste caminho, devem solicitar aos alunos 
que manifestem sua interpretação pessoal sobre os gráficos demonstrados, propor 
ainda que elaborem questões a serem respondidas com base em tais dados. 
Um modo de ajudar os alunos a compreender a representação e coleta de 
dados propostos pelo Tratamento da Informação, consiste em trabalhar com dados 
que integram a vida do aluno em seu cotidiano, tais como peso, altura, nacionalidade 
dos avós, times de futebol de sua preferência, cor dos olhos ou quantidade de 
irmãos. 
Plano de Aula: Tratamento da Informação 
1) Assunto: Figuras Geométricas. 
2) Conteúdos: Coleta, organização e descrição de dados. 
3) Objetivos: Depois dessa atividade, espera-se que os alunos sejam 
capazes de: solucionar problemas, coletar dados, organizá-los e descrevê-los. 
4) Intervenções do Professor: 
 
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 86 
a) Pedir aos alunos que venham à lousa um por um e escrevam sua idade no 
quadro negro. 
b) Apresentar aos alunos as características do gráfico em colunas. 
c) Demonstrar aos alunos como montar uma tabela estatística. 
d) Mostrar aos alunosrecortes de jornais ou revistas contendo informações 
estatísticas, envolvendo tabelas e gráficos. 
e) Montar junto com os alunos uma tabela constando a idade dos alunos por 
quantidade. 
f) Demonstrar graficamente, junto com a classe, através de um gráfico em 
colunas, a tabela construída. 
5) Material didático: Recortes de jornais ou revistas contendo tabelas 
estatísticas e gráficos, folha contendo questões, caneta ou lápis. 
6) Descrição das Atividades: 
Organização da classe: 
a) Juntar os alunos da terceira e quarta série em uma única classe. 
b) Considerando que cada classe é composta por 40 alunos, iremos formar 
oito grupos de cinco alunos. 
Dinâmica de trabalho: 
a) Relacionar no quadro negro a idade de cada aluno. Sendo que cada aluno 
deverá escrever a própria idade. 
b) Distribuir aos alunos papel com questões, lápis e caneta. 
c) Aplicar atividades. 
d) Ao final de cada atividade, quando todos tiverem terminado, efetuar 
correção coletiva, procurando discutir as diferentes soluções encontradas pelos 
alunos. 
Atividades: 
Problema: Segundo o governo federal brasileiro, os alunos do segundo ciclo 
do Ensino Fundamental devem ter entre 9 e 10 anos de idade. Com base em tal 
informação, vamos verificar como estão os alunos de nossa escola em relação a tal 
determinação. 
a) Montar na lousa uma tabela estatística constando a idade dos alunos e a 
quantidade de alunos por idade: 
b) Elaborar um gráfico em colunas a partir da tabela encontrada: 
 
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 87 
c) Responder as seguintes questões: 
- Quantos alunos encontram-se com idade inferior a nove anos? 
- Quantos alunos encontram-se com idade superior a dez anos? 
- Quantos alunos encontram-se com idade entre nove e dez anos? 
Solução: 
Quando o último aluno escreveu sua idade na lousa, o professor organizou o 
seguinte ROL: 
 
Solicitar aos alunos que agrupem as quantidades de idades da seguinte 
forma: 
alunos com 8 anos: 06 
alunos com 9 anos: 14 
alunos com 10 anos:18 
alunos com 11 anos: 02 
A partir de tais dados, elaborar, com a participação dos alunos, a seguinte 
tabela: 
a) 
 
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b) 
 
 - Quantos alunos encontram-se com idade inferior a nove anos? 
Resposta: 06 alunos 
- Quantos alunos encontram-se com idade superior a dez anos? 
Resposta: 02 alunos 
- Quantos alunos encontram-se com idade entre nove e dez anos? 
Resposta: 32 alunos 
7) Avaliação: 
a) Verificar o conhecimento que os alunos possuem sobre Tratamento da 
Informação antes do início da aula. 
b) Observar a realização das atividades comparando se houve alguma 
evolução na compreensão dos seguintes conceitos: resolução de problemas, coleta, 
organização e apresentação de dados. 
c) Solicitar aos alunos que exponham oralmente o que fizeram nas atividades. 
 
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 89 
Aula 14_Números Racionais 
 
Palavras-chave: Matemática nos Anos Iniciais; teoria dos campos conceituais; Base 
Nacional Comum Curricular; fração. 
 
Sobre o ensino dos números racionais, assim prescrevem os PCNs “a 
abordagem dos números racionais no segundo ciclo tem como objetivo principal 
levar os alunos a perceberem que os números naturais, já conhecidos, são 
suficientes para resolver determinados problemas”. 
Através de atividades nas quais, apenas envolvendo números naturais, não é 
possível descrever a medida de uma grandeza ou a resolução de uma divisão, os 
alunos acabam encontrando os números racionais como único caminho para 
responder aos novos problemas que se apresentam em sala de aula. 
É por meio da divisão entre dois números inteiros, com exceção dos casos 
onde o divisor é zero, que o conceito de número racional será construído. 
Todo número que representa o quociente entre dois números inteiros, 
excluindo o zero, pode ser classificado como um número racional. Isto ocorre, pois, 
até este ciclo ainda não se trabalha com números inteiros negativos; logo os números 
racionais a serem trabalhados são quociente de números naturais. 
Cabe destacar que, apesar da utilização dos números naturais, durante o 
ensino dos números racionais para que os alunos compreendam plenamente os seus 
conceitos, precisarão romper com certas ideias já construídas sobre os números 
naturais, fato que irá adicionar maior tempo ao processo de aprendizagem, bem 
como uma abordagem adequada. 
Sobre tal conflito assim comentam os PCNs: 
Ao raciocinar sobre os números racionais como se fossem naturais, os 
alunos acabam tendo de enfrentar vários obstáculos: 
•um deles está ligado ao fato de que cada número racional pode ser 
representado por diferentes (e infinitas) escritas fracionárias; por exemplo, 
1/3, 2/6, 3/9 e 4/12 são diferentes representações de um mesmo número; 
•outro diz respeito à comparação entre racionais: acostumados com a 
relação 3>2, terão que construir uma escrita que lhes parece contraditória, 
ou seja, 1/3 < ½; 
• se o “tamanho” da escrita numérica era um bom indicador da ordem de 
grandeza no caso de números naturais (8.345>41), a comparação entre 2,3 
e 2,125 já não obedece ao mesmo critério 
• se ao multiplicar um número natural por outro natural (sendo este diferente 
de 0 ou 1) a expectativa era a de encontrar um número maior que ambos, 
ao multiplicar 10 por ½ se surpreenderão ao ver que o resultado é menor 
do que 10; 
 
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 90 
• se a sequência os números naturais permite falar em sucessor e 
antecessor, para os racionais isso não faz sentido, uma vez que entre dois 
números racionais qualquer é sempre possível encontrar outro racional; 
assim, o aluno deverá perceber que entre 0,8 e 0,9, estão números como 
0,81, 0,815 ou 0,87”. 
Se o professor escolher iniciar o trabalho com números racionais através de 
sua relação com o cotidiano, deve perceber que neste contexto eles surgem, 
usualmente, na forma decimal, ou seja, números com vírgula. 
A utilização, cada vez maior, de calculadoras e computadores tornou a 
representação decimal mais frequente em nosso dia a dia. Dessa maneira, as 
atividades com números decimais tornaram-se mais frequentes nas escolas. 
Tais atividades podem ser trabalhadas fazendo uso de exercícios onde os 
alunos são motivados a praticar a divisão, recorrendo à calculadora, entre números 
como: 1 dividido por 2, 2 dividido por 4 e 4 dividido por 8. 
Sobre o uso da calculadora os PCNs assim sugerem: 
 
Usando a calculadora, também perceberão que as regras do sistema de 
numeração decimal, utilizadas para representar números naturais, podem 
ser aplicadas para se obter a escrita dos racionais na forma decimal, 
acrescentando-se novas ordens à direita da unidade (a primeira ordem) e 
de forma decrescente. Além da exploração dessas escritas, pelo uso da 
calculadora, os alunos também estabelecerão relação entre elas e as 
representações referentes ao sistema monetário e aos sistemas de medida. 
 
Já com relação à exploração dos conceitos de representações fracionárias, a 
prática usualmente adotada envolve situações em que a relação parte - todo está 
implícita, como é o caso das tradicionais divisões constantes nas barras de 
chocolate, ou nas tortas divididas em partes idênticas. Neste caso, a fração evidencia 
a relação entre o número de partes e o total das partes. 
Uma segunda forma de trabalhar com frações é através do quociente, a partir 
da divisão envolvendo números naturais. Neste caso, o aluno aprenderá a distinguir 
entre o quociente e a relação parte - todo, pois, dividir um chocolate em partes e 
comer uma dessas partes representa uma situação bem diferente daquela onde é 
preciso dividir, por exemplo, dois chocolates para cinco pessoas. 
Outra maneira, distinta das duas acima, consiste em fazer uso da fração como 
um índice comparativoentre duas quantidades de uma grandeza. 
 
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 91 
Neste caso, a fração será vista como razão. Por exemplo: 2 entre cada 4 
moradores da grande São Paulo vieram do Nordeste. 
Há ainda uma quarta forma de trabalhar com frações, trata-se do uso da 
fração como operador. Neste caso, a fração irá desempenhar um papel 
transformador. Por exemplo: que número devo multiplicar por 4 para obter 2? 
Sobre tais formas de trabalhar com a fração em sala de aula, assim versam 
os PCNs: 
a construção do conceito de número racional pressupõe uma organização 
de ensino que possibilite experiências com diferentes significados e 
representações, o que demanda razoável espaço de tempo; trata-se de um 
trabalho que apenas será iniciado no segundo ciclo de ensino fundamental 
e consolidado nos dois ciclos finais. 
 
Operações com Números Racionais 
A maioria dos conceitos envolvendo operações com números naturais 
também pode ser aplicada às operações com números racionais. 
Os PCN sugerem que as operações devem ser trabalhadas da seguinte 
forma: 
1) Adição e subtração serão trabalhadas em situações de transformação, 
combinação e comparação; 
2) Multiplicação e divisão serão exploradas em situações como razão, 
comparação, configuração retangular. 
3) A multiplicação como significado combinatório não deve ser extensivo aos 
números racionais não inteiros. 
 
Sobre a extensão dos conceitos de números naturais aos racionais, assim 
versam os PCNs: 
 
Assim como se podem estender as regras do sistema de numeração 
decimal para facilitar a compreensão dos números racionais na forma 
decimal, os procedimentos de cálculos empregados nos cálculos com 
números naturais também podem ser utilizados como recursos para realizar 
cálculos envolvendo números decimais. Além disso, é importante que as 
atividades de cálculo com números decimais estejam sempre vinculadas a 
situações contextualizadas, de modo que seja possível fazer uma estimativa 
ou enquadramento do resultado, utilizando números naturais mais 
próximos. 
 
 
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 92 
Dessa forma, ao trabalhar atividades como: qual será o valor do perímetro de 
um terreno que tenha 15,7m de largura por 8,1m de comprimento. 
O aluno poderá abrir mão do recurso da estimativa, calculando (2x16+2x8), o 
que lhe proporcionará uma confiável base para conferir o resultado exato alcançado 
por meio do cálculo escrito. 
Os PCN ainda recomendam que os professores trabalhem em seus alunos 
uma estruturada base para a leitura e escrita dos números decimais, sempre em 
paralelo ao desenvolvimento do cálculo escrito, recorrendo a verbalizações que 
facilitem a percepção do valor posicional das ordens que integram os números com 
os quais estão trabalhando. 
O entendimento da deslocação da vírgula, uma, duas, três ordens para a 
direita ou esquerda, em números decimais, é facilitado quando os alunos dominarem 
os conceitos sobre a divisão e multiplicação mental por 10, 100 e 1000. 
Sobre o cálculo de porcentagem assim recomendam os PCNs: 
 
em relação ao cálculo de porcentagem nos dois primeiros ciclos, alguns 
recursos mais simples e evidentes para as crianças podem ser explorados, 
deixando para ciclos posteriores a apresentação de técnicas convencionais. 
Partindo de um trabalho em que o aluno compreenda o significado da 
expressão ‘dez por cento’, ele pode, por exemplo, calcular 35% de 120, 
achando 10% de 120 (12), 5% de 120 (metade de 12) e adicionando as 
parcelas: 12+12+12+6=42. 
 
 
 
 
Frações e seus múltiplos significados: dos PCN à BNCC 
 
Trabalhos científicos no âmbito internacional, tais como Campos (2014, 2005), 
Mamede (2007), Nunes (2005), Silva (2005, 2014), Merlini (2005) mostram que o 
ensino de frações ainda é um dos conteúdos que os alunos mais apresentam 
dificuldades. 
Essas mesmas pesquisas, indicam que um dos principais insucessos no 
ensino de frações deve-se ao fato de pouco explorar os múltiplos significados da 
mesma. A aquisição de um dado conceito matemático pressupõe o seu 
reconhecimento em diversas situações e em diversos contextos. Com o conceito do 
número racional isso se torna bem mais evidente, pois podemos dizer que para 
 
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 93 
construir esse importante conceito matemático, torna-se necessário explora-lo em 
várias situações e em diferentes contextos. 
Essa ideia está apoiada na Teoria dos Campos Conceituais de Gerard 
Vergnaud, segundo um campo conceitual é um conjunto de situações, cujo domínio 
progressivo exige uma variedade de conceitos, de procedimentos e de 
representações simbólicas em estreita conexão. Nessa perspectiva, a construção 
de um conceito envolve uma terna de conjuntos, que segundo a Teoria dos Campos 
Conceituais de Vergnaud é chamada simbolicamente de S, I, R, sendo que S é um 
conjunto de situações que tornam o conceito significativo; I é um conjunto de 
invariantes (objetos, propriedades, relações); R é um conjunto de representações 
simbólicas que podem ser usadas para pontuar e representar os invariantes. 
No sentido de estabelecer relação entre o conceito e situação, Vergnaud se 
apoia nas ideias de Piaget, relacionando a terna (S, I,R) aos elementos básicos da 
Função Simbólica, dessa forma: S refere-se à realidade ou referente; I, R refere-se 
à representação. Essa representação vista a interação entre os dois aspectos do 
pensamento, o significado (I) e o significante (R). 
Nesse contexto, entendemos que a aquisição do conceito de número racional 
na sua representação fracionária, que a partir de agora chamaremos de fração, 
poderá ser construído com sucesso se explorado seus diferentes significados. 
Corrobora com essa ideia Kieren (1998) que afirma que a noção completa de 
fração abrange quatro subconstructos, medida, quociente, número proporcional e 
operador multiplicativo. Behr, Lesh, Post e Silver (1983) evidenciam sete 
interpretações para as frações que denominam de subconstructos: medida, razão, 
taxa, quociente, coordenadas lineares, decimal e operador. Ohlsson (1987) analisa 
as frações na perspectiva de quatro interpretações: razão, parte-todo, operador e 
uma interpretação parâmetro/parâmetro que não é descrita. 
 
PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS – A FRAÇÃO E SEUS 
SIGNIFICADOS 
 
No que se refere à representação fracionária, dos números racionais, os PCN 
evidenciam que o contato dos alunos com essa representação é pouco frequente em 
seu contexto diário, pois limita-se a metades, terços, quartos, na maioria das vezes 
 
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 94 
pela via da linguagem oral do que das representações. Os PCN sugerem ainda que, 
a prática mais comum para explorar o conceito de fração é a que recorre as situações 
que está implícita a relação parte-todo. Nesse caso, a fração indica a relação que 
existe entre o número de partes e o total de partes. Outro significado das frações é 
a do quociente, baseia-se na divisão (a : b = a/b; b ≠ 0). Para o aluno essa situação 
se diferencia da interpretação anterior (parte-todo), pois dividir “um chocolate em 3 
partes e comer duas dessas partes é uma situação diferente daquela em que é 
preciso dividir 2 chocolates para três pessoas” (PCN, 1997, p.103). 
Os PCN sugerem ainda uma terceira situação diferente das duas anteriores 
“é aquela em que a fração é usada como uma espécie de índice comparativo entre 
duas quantidades e uma grandeza, ou seja, quando é interpretada como razão” 
(PCN, 1997, p.104) 
Resumidamente, os PCN sugerem que, no segundo ciclo do Ensino 
Fundamental, sejam trabalhados três significados: parte-todo, razão e quociente, e 
somente no terceiro ciclo do Ensino Fundamental seja introduzido o significado de 
operador multiplicativo. 
Assumimos em nosso estudo, assimcomo Nunes em suas pesquisas em 
andamento na Inglaterra, fração com cinco significados: número, parte-todo, 
quociente, medida e operador multiplicativo. A título de ilustração, apresentaremos 
sucintamente cada significado. 
 
Fração com o significado Número 
A ideia envolvida nesse significado é o da notação a/b, expressando um 
número na reta numérica, ou ainda sua representação na notação decimal. Exemplo: 
Represente 1/5 na reta numérica. 
 
Fração com o significado Parte-Todo 
A ideia presente nesse significado é a partição de um dado objeto em n partes, 
isto é, um todo dividido em partes iguais e que cada parte poderá ser representada 
como 1/n, e que o procedimento da dupla contagem dá conta de se chegar a uma 
resposta correta. Exemplo: Uma barra de chocolate foi dividida em 4 partes iguais. 
João comeu 3 dessas partes. Que fração representa o que João comeu? 
 
 
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 95 
Fração com o significado Quociente 
Esse significado está presente em situações associadas à ideia de partição, 
o quociente representa o tamanho de cada grupo quando se conhece o número de 
grupos a ser formado. Exemplo: Duas pizzas foram divididas igualmente para 3 
pessoas. Quanto recebeu cada uma? 
 
Fração com o significado Medida / Medida Probabilidade 
Está presente nesse significado a ideia de dividirmos uma unidade em partes 
iguais (subunidades), e verificarmos quantas dessas partes caberão naquele que se 
quer medir. Exemplo: Um tambor pode conter 11 litros de leite. Quantas canecas de 
2 litros serão necessárias para encher esse tambor? 
 
Fração com o significado Operador Multiplicativo 
Esse significado está associado o papel de transformação, isto é, uma ação 
que se deve imprimir sobre um número, transformando o seu valor nesse processo. 
Exemplo: Pedro tinha uma coleção de 30 soldadinhos de chumbo e deu a seu amigo 
2/3 dessa coleção. Com quantos soldadinhos de chumbo Pedro ficou? 
 
BASE NACIONAL COMUM CURRICULAR E FRAÇÕES (BRASIL, 2017) 
 
Objetos do Conhecimento Habilidades 
Significados de metade, terça 
parte, quarta parte, quinta parte 
e décima parte 
(EF03MA09) Associar o quociente de uma divisão com 
resto zero de um número natural por 2, 3, 4, 5 e 10 às 
ideias de metade, terça, quarta, quinta e décima partes. 
 
Números racionais: frações 
unitárias mais usuais (1/2, 1/3, 
1/4, 1/5, 1/10 e 1/100) 
(EF04MA09) Reconhecer as frações unitárias mais usuais 
(1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/10 e 1/100) como unidades de medida 
menores do que uma unidade, utilizando a reta numérica 
como recurso. 
 
Representação fracionária dos 
números racionais: 
reconhecimento, significados, 
leitura e representação na reta 
numérica 
(EF05MA03) Identificar e representar frações (menores e 
maiores que a unidade), associando-as ao resultado de 
uma divisão ou à ideia de parte de um todo, utilizando a 
reta numérica como recurso. 
 
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 96 
Comparação e ordenação de 
números racionais na 
representação decimal e na 
fracionária utilizando a noção de 
equivalência 
(EF05MA04) Identificar frações equivalentes. 
(EF05MA05) Comparar e ordenar números racionais 
positivos (representações fracionária e decimal), 
relacionando-os a pontos na reta numérica. 
Cálculo de porcentagens e 
representação fracionária 
(EF05MA06) Associar as representações 10%, 25%, 
50%, 75% e 100% respectivamente à décima parte, quarta 
parte, metade, três quartos e um inteiro, para calcular 
porcentagens, utilizando estratégias pessoais, cálculo 
mental e calculadora, em contextos de educação 
financeira, entre outros. 
 
Cálculo de probabilidade de 
eventos equiprováveis 
(EF05MA23) Determinar a probabilidade de ocorrência 
de um resultado em eventos aleatórios, quando todos os 
resultados possíveis têm a mesma chance de ocorrer 
(equiprováveis). 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
COSTA, Michel. O Ensino de Frações nos Anos Iniciais do Ensino 
Fundamental: dificuldades, entraves e possibilidades. Artigo presentado na 
Conferência Interamericana de Educação Matemática – CIAEM: México, 2015. 
Disponível em: http://xiv.ciaem-
redumate.org/index.php/xiv_ciaem/xiv_ciaem/paper/view/1035/708 Acesso em: 01 
jun. 2023. 
 
D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Educação matemática: da teoria à prática. Campinas: 
Papirus, 1997. 
 
LORENZATO, S. Por que não ensinar Geometria? Educação Matemática em 
Revista. SBEM, n.1, 1995, p.3-13. 
 
MACHADO, Nilson José. Medindo comprimentos. São Paulo: Scipione, 2000. 
(Coleção Vivendo a Matemática). 
 
PARRA, Cecília. Didática da Matemática: Reflexões Psicopedagógicas. Porto 
Alegre: Artes Médicas, 1996. 
 
SECRETARIA DE EDUCAÇÃO FUNDAMENTAL. Parâmetros Curriculares 
Nacionais. Rio de Janeiro: DP&A, 2000. 
 
SILVA, Angélica da Fontoura Garcia. O Desafio do desenvolvimento 
profissional docente: Análise da formação continuada de um grupo de 
professores das séries iniciais do Ensino Fundamental, tendo como objeto de 
discussão o processo de ensino e aprendizagem de frações. Tese de Doutorado 
http://xiv.ciaem-redumate.org/index.php/xiv_ciaem/xiv_ciaem/paper/view/1035/708
http://xiv.ciaem-redumate.org/index.php/xiv_ciaem/xiv_ciaem/paper/view/1035/708
 
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em Educação Matemática. PUC/SP, 2007. Disponível em: 
http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/2010/artigos_teses/MATEMA
TICA/Tese_Garcia.pdf Acesso em: 01 jun. 2023. 
 
 
http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/2010/artigos_teses/MATEMATICA/Tese_Garcia.pdf
http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/2010/artigos_teses/MATEMATICA/Tese_Garcia.pdf
 
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Aula 15_Uso do Material Dourado e Ábaco de Pinos 
 
Palavras-chave: Matemática nos Anos Iniciais; materiais manipulativos no ensino 
de matemática; orientações didáticas. 
 
Material Dourado 
A educadora italiana Maria Montessori criou diversos materiais didáticos, 
dentre os quais se destaca o material das contas douradas, ou material dourado. 
O material dourado pode ser encontrado em madeira, borracha ou acrílico. 
Em geral, suas peças seguem a mesma regra de agrupamento originalmente 
desenvolvida por Montessori, ou seja, cada unidade é representada por um cubinho 
de 1cm³ de volume. Caso a escola ou o professor não disponha do material dourado 
para o desenvolvimento do trabalho em sala de aula, os próprios alunos podem criar 
o seu conjunto, fazendo uso de papéis quadriculados colados em cartolina. Um dos 
objetivos do material dourado é destacar as regras de agrupamento de 10 em 10, 
característica do sistema de numeração decimal. Porém, outros objetivos podem ser 
alcançados pelo professor, conforme seu planejamento. 
O primeiro contato dos alunos com o material dourado deve ser desenvolvido 
de modo que eles possam estabelecer o maior número possível de relações entre 
as peças do material, através da problematização e da troca de ideias entre os 
colegas de classe. 
 
 O material concreto proporciona aos alunos a representação concreta e 
manipulável das quantidades. Entretanto, o material dourado não trabalha uma das 
características do sistema de numeração que é o denominado valor posicional. Para 
 
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tal, o professor deverá utilizar o material montessoriano conhecido como “visão de 
conjunto” em que as unidades estão representadas em amarelo ou laranja, as 
dezenas em azul e as centenas em vermelho. Para representar o número 1.213, o 
aluno irá recorrer a um cubo, duas placas, uma barra e três cubinhos, conforme a 
representação acima. 
Ao trabalhar com o material dourado, a ordem em que as figuras são 
apresentadas representam a quantidade que elas totalizam e devem ser 
apresentadasna mesma ordem da representação do numeral. Então a unidade 
estará sempre representada como no numeral, ou seja: à direita da dezena e da 
centena. 
 
 Exemplo: 
 
 
 
 
Atualmente, o ensino sobre os números naturais deve destacar duas 
situações: 
 
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1) Considerar o conhecimento prévio dos alunos, identificando o 
conhecimento que cada aluno traz, sobre os números, de casa para a sala de aula; 
2) Favorecer situações que associem um significado aos números, como por 
exemplo, utilização do material dourado. 
Neste sentido, os professores devem iniciar a aula fazendo perguntas do tipo: 
1) Para que usamos os números naturais? 
2) Quais as funções que os números desempenham em nosso dia a dia? 
 As crianças costumam chegar à escola com um conhecimento prévio sobre 
os números, sendo capazes de, por exemplo, identificar o maior número de uma lista, 
mesmo desconhecendo as regras do sistema de numeração decimal. Normalmente, 
utilizam a quantidade de algarismos em um número para definir se ele é maior ou 
menor que outro, por exemplo: 345 é maior que 86, pois têm um algarismo a mais, 
e 86 é menor do que 1245, uma vez que apresenta dois algarismos a menos. 
Nesta fase, os alunos acreditam que o maior número é aquele que apresenta 
maior quantidade de algarismos em sua formação. O interessante é que tal critério 
de classificação acaba funcionando, mesmo que a criança não seja capaz de 
identificar o nome do número que está classificando. Tal critério é elaborado a partir 
da interação do aluno com a escrita numérica. Outro critério adotado pelos alunos 
para identificar se um número é maior que outro consiste na comparação entre o 
primeiro algarismo da escrita de cada número. Exemplo: 68 é maior que 23, pois 6 é 
maior do que 2. 
Ou seja, se os números comparados possuem igual quantidade de 
algarismos, o aluno irá deduzir que o maior número será aquele que apresentar o 
maior algarismo na primeira posição da escrita numérica. Mesmo sem ter 
conhecimento sobre unidade, dezena, centena e milhar. Como vimos até aqui, os 
alunos recorrem à escrita numérica para classificar os números. Da mesma maneira, 
fazem uso da justaposição de escritas para escrever os números, e tendem a 
organizá-los de acordo com a própria fala. Para representar o número 235, podem 
escrever 200 30 5. 
A este respeito, assim comenta Célia Maria Carolino Pires, presidente da 
Associação Brasileira de Educação Matemática, “as crianças costumam dizer que 
escrevem do jeito que a professora falou”. 
 
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Neste caminho, pode-se afirmar que as crianças escrevem os números de 
maneira não-convencional, por exemplo: 
1) dezessete = 10 7 
2) duzentos = 200 
3) duzentos e dez = 200 10 
4) cento e vinte e cinco = 100 20 5 
Plano de Aula: Números Naturais 
1) Assunto: Regras do Sistema Decimal. 
2) Conteúdos: Leitura, escrita, comparação e ordenação de notações 
numéricas pela compreensão das características do sistema de numeração decimal 
(base, valor posicional). 
3) Objetivos: Depois dessa atividade, espera-se que os alunos sejam 
capazes de: relacionar as peças do material dourado com unidade, dezena, centena 
e unidade de milhar; realizar os agrupamentos e trocas na base dez. 
4) Intervenções do Professor: 
a) Apresentar o material dourado aos alunos, aproximando-o dos 
conhecimentos que as crianças possuem sobre agrupamentos e trocas. 
Como o Material Dourado não faz parte da realidade dos alunos, é importante 
que eles tenham a oportunidade de manipular e observar as características das 
peças antes de qualquer atividade. 
b) O Material Dourado não deve ser utilizado para um trabalho inicial com o 
Sistema de Numeração Decimal por ser estruturado, isto é, já traz em sua forma o 
agrupamento de dez em dez (uma das características desse sistema). É interessante 
que os alunos já tenham trabalhado com agrupamentos e trocas em outras bases. 
5) Material didático: Material Dourado e folha de sulfite dividida em 3 partes 
iguais. 
6) Descrição das Atividades: 
Organização da classe: 
a) Os alunos deverão formar duplas, juntando as carteiras, para que tenham 
espaço suficiente para utilizar o material. 
b) Sobre as carteiras, os alunos deverão deixar apenas o envelope com o 
material (ou a caixa do industrializado), lápis preto e papel sulfite. 
Dinâmica de trabalho: 
 
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a) Antes de distribuir o material combinar com os alunos que, após a 
realização das atividades, cada dupla deverá guardar o material como o receberam, 
verificando se não caiu nenhuma peça no chão. 
b) Esclarecer aos alunos que, com essas peças, eles realizarão algumas 
atividades. Os alunos lerão as atividades e responderão cada um em seu próprio 
ritmo. 
c) Pedir que os alunos abram o envelope ou a caixa e estipular um tempo para 
que manipulem livremente o material. 
d) Mostrar cada peça, nomeando-as: cubinho, barra, placa e cubo. 
e) Pedir que separem as peças segundo a classificação ensinada. 
f) Ao final de cada atividade, quando todos tiverem terminado, efetuar 
correção coletiva, procurando discutir as diferentes soluções encontradas pelos 
alunos. 
Atividades: 
a) Quantas unidades o número 125 possui? 
b) Qual é o algarismo das unidades no número 125? 
c) Qual é a dezena do número 125? 
d) Qual é a centena do número 125? 
e) Quantas dezenas há no número 125? 
f) Quantas centenas há no número 125? 
Respondendo as questões através do material dourado: 
a) Fazendo a decomposição desse número temos: 
125 cubinhos. 
Ao decompor o número no papel sulfite, teremos: 1 Centena: 100, 2 Dezenas: 
20, Unidades: 5. 
Decomposição esta que no material dourado ficaria assim: 
 
 
 
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Portanto: o número 125 foi formado pelos agrupamentos e trocas de 125 
unidades. 
A partir do caminho adotado vamos responder as demais questões: 
Vamos desenhar no papel sulfite o seguinte esquema representativo do 
sistema decimal: 
 
b) Logo, o número que representa as unidades de 125 é o 5. 
c) O número que representa as dezenas de 125 é o 2. 
d) O número que representa as centenas de 125 é o 1. 
Na resposta da questão “a” pode-se observar que os algarismos mostram a 
quantidade de centenas, dezenas e unidades “soltas”, isto é, que não puderam ser 
agrupadas por não terem a quantidade necessária (os agrupamentos ocorrem só de 
10 em 10). 
– 125 unidades: 120 unidades podem agrupadas em 12 dezenas, sobrando 5 
unidades; 
– 12 dezenas: 10 podem ser agrupadas em 1 centena, sobrando 2 dezenas; 
– 1 centena não pode ser agrupada sobrando, então, 1 centena. 
e) Portanto, o número 125 tem: 
12 dezenas e 5 unidades. 
Bem como: uma centena, duas dezenas e cinco unidades 
E ainda: cento e vinte e cinco unidades. 
7) Avaliação: 
a) Verificar o conhecimento que os alunos possuem sobre o Sistema de Numeração 
Decimal, antes de começar as atividades. 
b) Observar a realização das atividades. Comparando se houve alguma evolução na 
compreensão dos seguintes conceitos: agrupamentos e trocas na base dez, 
decomposição de um número. 
c) Solicitar aos alunos que resumam o que fizeram nas atividades, verificando o 
vocabulário matemático utilizado na elaboração do resumo. 
 
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 Ábaco de Pinos 
O ábaco de pinos favorece o trabalho do sistema decimal em sala de aula, 
pois, auxilia os alunos a entender os agrupamentos e as trocas de quantidades. Ao 
contrário do que ocorre com o material dourado, o ábaco de pinos proporciona aos 
alunos a aprendizagem do valor posicional. 
 
 
 O ábaco de pinos é um material que pode ser facilmente construído pelos 
alunos em salade aula. A partir de material reciclável, por exemplo: a base pode ser 
uma caixa de sapato, os pinos podem ser montados com canudinhos plásticos, ou 
palito de churrasco confeccionados em madeira, e bolinhas de isopor podem servir 
como as unidades que serão encaixadas nos pinos. 
O funcionamento do ábaco de pinos segue as mesmas regras do sistema de 
numeração. Usualmente o ábaco é formado por três pinos, sendo que o primeiro 
representa a centena, o segundo a dezena e o terceiro as unidades, da esquerda 
para a direita, conforme evidencia a figura acima. Dessa forma, cada grupo de dez 
bolinhas no pino das unidades, será representado por uma única bolinha no pino que 
indica as dezenas. Da mesma maneira, dez bolinhas no pino que identifica as 
dezenas serão representadas por uma única bolinha no pino das centenas. 
 
 
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A primeira apresentação do ábaco aos alunos deve ser feita a partir de fatos 
relacionados com a sua história e criação. 
A seguir, enquanto os alunos manipulam o ábaco, com o intuito de familiarizar-
se com o material, seria interessante que o professor apresentasse questões do tipo: 
1. Qual a função das bolinhas no ábaco? 
2. O que cada pino representa? 
3. No material dourado trocamos dez cubinhos por uma barra, e no 
ábaco como este processo ocorre? 
4. Represente o número 123 no material dourado, depois no ábaco. 
Qual a diferença? 
Outra importante aplicabilidade do ábaco diz respeito ao aprendizado dos 
cálculos. Principalmente ao trabalharmos com adição e subtração. 
Na adição, começamos preenchendo o ábaco com bolinhas condizentes a um 
dos números, a partir daí, acrescentaremos as bolinhas pertinentes ao outro número 
que integra a soma, respeitando as regras do ábaco e do sistema de numeração. 
 
 
 
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Na subtração inicia-se a conta preenchendo o ábaco com o número maior, 
depois retira-se o número de bolinhas referente ao número menor. 
 
Ensinando por meio do ábaco de pinos 
A aprendizagem de cálculos, como subtração e adição, requer o 
desenvolvimento de habilidades que dependem de pontos de apoio, dentre os quais 
se destacam o domínio da contagem e das combinações aritméticas. 
Ao ensinar cálculos a seus alunos o professor deve atentar para três pontos 
principais: 
1) Reconhecer as estratégias adotadas pelos alunos e explicitá-las, visando 
ampliar seus conhecimentos e aperfeiçoar os procedimentos; 
2) Perceber que os distintos procedimentos e variados tipos de cálculo 
relacionam-se e complementam-se. 
3) O cálculo escrito apoia-se no cálculo mental e nas estimativas e 
aproximações, ao passo que o cálculo mental, pela própria natureza, possui 
estratégias limitadas. 
Plano de Aula: Operações com Números Naturais 
1) Assunto: Adição e Subtração de Números Naturais. 
 
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2) Conteúdo: Cálculos de adição e subtração, por meio de estratégias 
pessoais e algumas técnicas convencionais. 
3) Objetivos: Depois dessa atividade, espera-se que os alunos sejam 
capazes de: manipular o ábaco, decompor os números em centena, dezena e 
unidade, a partir dos pinos do ábaco, adicionar e subtrair através das bolinhas do 
ábaco. 
4) Intervenções do Professor: 
a) Apresentar o ábaco aos alunos, expondo fatos relativos a sua origem. 
b) Como o ábaco de pinos não integra a realidade cotidiana dos alunos, é 
importante que eles tenham a oportunidade de manipular livremente o instrumento, 
antes mesmo de explicar a utilidade das bolinhas e dos pinos. 
c) Esclarecer aos alunos que cada bolinha do ábaco representa uma unidade. 
Que os pinos, da esquerda para a direita, respeitam as regras do sistema decimal, 
ou seja, centena, dezena e unidade. 
d) Explicar e exemplificar que cada dez bolinhas no pino da unidade indicam 
uma bolinha no pino da dezena, do mesmo modo que dez bolinhas no pino da 
dezena são representados por uma única bolinha no pino da centena. 
5) Material didático: Ábaco de Bolinhas. 
6) Descrição das Atividades: 
Organização da classe: 
a) Os alunos deverão ser divididos em grupos, considerando a quantidade de 
alunos e o número de ábacos disponíveis. 
Dinâmica de trabalho: 
a) Antes de distribuir o material, combinar com os alunos que, após a 
realização das atividades, cada grupo deverá se responsabilizar por guardar o 
material com a mesma ordem que receberam, verificando se não ficou nenhuma 
bolinha no chão. 
b) Esclarecer aos alunos que o ábaco servirá de base para a efetuação de 
algumas contas de subtrair e adicionar, cada um em seu próprio ritmo. 
c) Solicitar aos alunos que manipulem livremente o ábaco durante cinco 
minutos cada um. 
d) Demonstrar na prática como funciona o ábaco, esclarecendo a função de 
cada pino, e quanto vale cada bolinha em relação aos pinos. 
 
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e) Pedir que representem no ábaco alguns números, como 5, 12, 25, 123, 
para verificar se entenderam o funcionamento do material. 
f) Aplicar atividades individuais e coletivas, dentro de cada grupo. 
g) Ao final de cada atividade, quando todos tiverem terminado, efetuar 
correção coletiva, procurando discutir as diferentes soluções encontradas pelos 
alunos. 
 Atividades: 
 Individuais: escolher um aluno do grupo para responder. 
a) Represente no ábaco o número 12, agora some 33 a este número, qual o 
resultado? 
b) Represente no ábaco o número 8, depois acrescente o número 121, qual o 
resultado? 
 
Coletivas: escolher um grupo para realizar cada atividade na frente da classe 
para que todos repitam o cálculo em seus respectivos instrumentos. 
c) Represente no ábaco o número 235, agora subtraia 134, qual o resultado? 
d) Represente no ábaco o número 119, agora subtraia 98, qual o resultado? 
 Respondendo as questões através do ábaco: 
 a) 
 
representa o número 33 
representa o número 12 
Logo o resultado de “a” será 45. 
b) 
 
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representa o número 121 
representa o número 008 
Logo o resultado de “b” será 129. 
c) 
 
 d) 
 
Observação: Segundo a regra do ábaco, cada dez bolinhas em um pino 
representa apenas uma no pino a sua esquerda. Sendo assim, se subtrairmos nove 
dezenas de uma centena, restará uma bolinha representando uma dezena a ser 
colocada no pino das dezenas. 
7) Avaliação: 
a) Verificar o conhecimento que os alunos possuem sobre o Sistema de 
Numeração Decimal, adição e subtração antes de começar as atividades. 
 
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b) Observar a realização das atividades comparando se houve alguma 
evolução na compreensão dos seguintes conceitos: decomposição dos números 
conforme o sistema decimal proposto pelo ábaco de pinos, adição e subtração. 
c) Solicitar aos alunos que exponham oralmente o que fizeram nas atividades. 
 
 
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Aula 16_ Álgebra nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental – 
BNCC (BRASIL, 2017) 
 
Palavras-chave: pensamento algébrico; Base Nacional Comum Curricular; 
orientações didáticas. 
 
Os professores do 1º ao 5º ano do Ensino Fundamental que se aventurarem 
a ler o texto da Base Nacional Comum Curricular (BNCC) podem se assustar com 
uma nova unidade temática que só costumava surgir a partir do 6º ano: o eixo da 
Álgebra. Para muitos, tais conteúdos significam equações e sentenças com números 
e letras misturados. Mas, calma porque não é só isso. "Não falamos em adiantar as 
relações de abstração entre números e letras, mas em trabalhar o pensamento 
algébrico", explica o professor Ruy Pietropaolo, autor da BNCC. Para Maria Ignez 
Diniz, diretora do grupo Mathema,parceiro pedagógico dos planos de aula NOVA 
ESCOLA, isso significa "olhar para a aritmética com mais ênfase na maneira de 
pensar do que na técnica e no procedimento de cálculo". Ou seja: é mais importante 
que as crianças pensem sobre o que está por trás das operações matemáticas do 
que apenas memorizem como usar os algoritmos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
"O pensamento algébrico é levar o aluno da observação à generalização", diz 
Maria Ignez. Desde as primeiras aulas de Matemática, as crianças fazem isso. Ao 
estudar padrões em sequências de números ou imagens, por exemplo. Mais tarde, 
esse pensamento se expande para as operações. É assim que elas notam que 2 + 
 
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3 = 3 + 2. Cabe ao professor explorar regularidades e relações de equivalência. "Elas 
percebem que a ordem das parcelas não altera o resultado da soma.” O docente 
pode incentivá-las a investigar se isso ocorre com outras operações também. 
(Rev. Nova Escola – disponível em: 
https://novaescola.org.br/conteudo10050/algebra-nos-anos-iniciais - acesso em 
20/09/19) 
 
Etimologia da Álgebra 
 
Segundo o Dicionário Prático Ilustrado (SÉGUIER, 1966, p. 47-48) a palavra 
álgebra, substantivo feminino, de origem árabe (al-jabr), também possui como 
significado: “ciência que generaliza as questões numéricas calculando as grandezas 
representadas por letras” e que também conta que “a álgebra foi introduzida na 
Europa pelos Árabes, no século X, os quais haviam colhido nos livros gregos. O 
conhecimento da álgebra foi durante longo tempo patrimônio exclusivo dos sábios”. 
 Segundo Lins e Gimenez (2001, p. 89) existe “um certo consenso a respeito 
de quais são as coisas da álgebra: equações, cálculo literal, funções, por exemplo 
[...]”, ou seja, há um consenso sobre os conteúdos a serem trabalhados nesta 
subárea, mas não sobre o que é pensar algebricamente. 
 A álgebra como parte do currículo, historicamente recebe ênfase, nos anos 
finais do ensino fundamental e no ensino médio, na educação básica. Nas últimas 
décadas, portanto, pesquisas como a de Fiorentini, Miorim e Miguel (1993); 
Fiorentini, Fernandes e Cristovão (2005); Carraher, et al (2006); Kaput (2008); e 
outras apresentam uma tendência de considerar seu desenvolvimento, o do 
pensamento algébrico inicialmente, desde os primeiros anos de escolaridade por 
meio do estudo de padrões e regularidades. Assim, considerando que o pensamento 
algébrico também se desenvolve por meio da compreensão das relações, padrões e 
estruturas matemáticas, inicialmente da aritmética. 
 
 
 
 
https://novaescola.org.br/conteudo10050/algebra-nos-anos-iniciais%20-%20acesso%20em%2020/09/19
https://novaescola.org.br/conteudo10050/algebra-nos-anos-iniciais%20-%20acesso%20em%2020/09/19
 
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ÁLGEBRA NOS ANOS INICIAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL - BNCC 
Objeto do 
Conhecimento 
Habilidades 
Padrões figurais e 
numéricos: 
investigação de 
regularidades ou 
padrões em 
sequências 
(EF01MA09) Organizar e ordenar objetos familiares ou 
representações por figuras, por meio de atributos, tais 
como cor, forma e medida. 
Sequências recursivas: 
observação de regras 
usadas utilizadas em 
seriações numéricas (+ 
1, + 2, - 1, - 2, por 
exemplo) 
(EF01MA10) Descrever, após o reconhecimento e a 
explicitação de um padrão (ou regularidade), os 
elementos ausentes em sequências recursivas de 
números naturais, objetos ou figuras. 
Construção de 
sequências repetitivas 
e de sequências 
recursivas 
(EF02MA09) Construir sequências de números naturais 
em ordem crescente ou decrescente a partir de um 
número qualquer, utilizando uma regularidade 
estabelecida. 
Identificação de 
regularidade de 
sequências e 
determinação de 
elementos ausentes na 
sequência 
(EF02MA10) Descrever um padrão (ou regularidade) de 
sequências repetitivas e de sequências recursivas, por 
meio de palavras, símbolos ou desenhos. 
Identificação de 
regularidade de 
sequências e 
determinação de 
elementos ausentes na 
sequência 
(EF02MA11) Descrever os elementos ausentes em 
sequências repetitivas e em sequências recursivas de 
números naturais, objetos ou figuras. 
Identificação e 
descrição de 
regularidades em 
sequências numéricas 
recursivas 
(EF03MA10) Identificar regularidades em sequências 
ordenadas de números naturais, resultantes da 
realização de adições ou subtrações sucessivas, por um 
mesmo número, descrever uma regra de formação da 
sequência e determinar elementos faltantes ou 
seguintes. 
Relação de igualdade 
(EF03MA11) Compreender a ideia de igualdade para 
escrever diferentes sentenças de adições ou de 
subtrações de dois números naturais que resultem na 
mesma soma ou diferença. 
Sequência numérica 
recursiva formada por 
EF04MA11) Identificar regularidades em sequências 
numéricas compostas por múltiplos de um número 
natural. 
 
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múltiplos de um 
número natural 
Sequência numérica 
recursiva formada por 
números que deixam o 
mesmo resto ao ser 
divididos por um 
mesmo número natural 
diferente de zero 
(EF04MA12) Reconhecer, por meio de investigações, 
que há grupos de números naturais para os quais as 
divisões por um determinado número resultam em 
restos iguais, identificando regularidades. 
Relações entre adição e 
subtração e entre 
multiplicação e divisão 
(EF04MA13) Reconhecer, por meio de investigações, 
utilizando a calculadora quando necessário, as relações 
inversas entre as operações de adição e de subtração e 
de multiplicação e de divisão, para aplicá-las na 
resolução de problemas. 
Propriedades da 
igualdade 
(EF04MA14) Reconhecer e mostrar, por meio de 
exemplos, que a relação de igualdade existente entre 
dois termos permanece quando se adiciona ou se 
subtrai um mesmo número a cada um desses termos. 
Propriedades da 
igualdade 
(EF04MA15) Determinar o nº desconhecido que torna 
verdadeira uma igualdade que envolve as operações 
fundamentais com nºs naturais. 
Propriedades da 
igualdade e noção de 
equivalência 
(EF05MA10) Concluir, por meio de investigações, que a 
relação de igualdade existente entre dois membros 
permanece ao adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir 
cada um desses membros por um mesmo número, para 
construir a noção de equivalência. 
Propriedades da 
igualdade e noção de 
equivalência 
(EF05MA11) Resolver e elaborar problemas cuja 
conversão em sentença matemática seja uma igualdade 
com uma operação em que um dos termos é 
desconhecido. 
Grandezas diretamente 
proporcionais 
Problemas envolvendo 
a partição de um todo 
em duas partes 
proporcionais 
(EF05MA12) Resolver problemas que envolvam variação 
de proporcionalidade direta entre duas grandezas, para 
associar a quantidade de um produto ao valor a pagar, 
alterar as quantidades de ingredientes de receitas, 
ampliar ou reduzir escala em mapas, entre outros. 
Grandezas diretamente 
proporcionais 
Problemas envolvendo 
a partição de um todo 
em duas partes 
proporcionais 
(EF05MA13) Resolver problemas envolvendo a partilha 
de uma quantidade em duas partes desiguais, tais como 
dividir uma quantidade em duas partes, de modo que 
uma seja o dobro da outra, com compreensão da ideia 
de razão entre as partes e delas com o todo. 
 
 
 
 
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 115 
 
REFERÊNCIAS 
 
D’AMBRÓSIO, U. Educação matemática: da teoria à prática. Campinas: Papirus, 
1997. 
 
LORENZATO, S. Por que não ensinar Geometria? Educação Matemática em 
Revista. SBEM, n.1, 1995, p.3-13. 
 
MACHADO, Nilson José. Medindo comprimentos. São Paulo: Scipione, 2000. 
(Coleção Vivendo a Matemática). 
 
PARRA, Cecília. Didática da Matemática: Reflexões Psicopedagógicas. Porto 
Alegre: Artes Médicas, 1996. 
 
SECRETARIA DE EDUCAÇÃO FUNDAMENTAL. Parâmetros CurricularesNacionais. Rio de Janeiro: DP&A, 2000.