Matemática em Contexto Função exponencial, logaritmica e sequências (64)

Prévia do material em texto

Progress ão geométrica
Professor, as sugestões para o desenvolvimento deste tópico 
encontram-se nas Orientações específicas deste Manual.
Situação 1
Crescimento populacional
Embora o IBGE tenha feito 
previamente alguns testes de 
coleta de dados pela internet, 
visando à realização do Censo 
demográfico de 2020, este ainda 
seria predominantemente presencial, 
com mais de 180 000 recenseadores 
visitando cerca de 71 000 000 de 
municípios em todo o território 
nacional. Pela natureza presencial 
de coleta do Censo, atendendo 
às orientações do Ministério da 
Saúde relacionadas à pandemia de 
coronavírus que ocorreu em 2020, 
a edição do Censo 2020 foi adiada 
para 2021.
Para a realização do Censo 2010, o IBGE contou com smartphones
modificados exclusivamente para a coleta dos dados dos entrevistados. 
Além de agilizar o cadastramento das informações, os aparelhos 
permitiam que elas chegassem mais rapidamente ao Sistema Central 
de Processamento do IBGE, pois, após as entrevistas presenciais, os 
recenseadores levavam os aparelhos a um posto de coleta e transmitiam 
todos os dados via internet diretamente para o sistema.
Como você viu no capítulo 1, a quantidade de habitantes de uma po-
pulação pode crescer exponencialmente, aumentando de maneira muito 
rápida ao longo dos anos.
No Brasil, o IBGE realiza periodicamente o Censo demográfico da po-
pulação, coletando, em âmbito nacional, não apenas a quantidade de ha-
bitantes, como dados relacionados às condições de vida deles e às carac-
terísticas do domicílio em que vivem. Em geral, o Censo é realizado a cada 
10 anos, salvo em ocasiões em que, por motivos externos, precisou ter a 
data alterada.
Para efeito de estudo do crescimento populacional, considere um mu-
nicípio que tinha, de acordo com o Censo, aproximadamente 4 000 ha-
bitantes em 1980, 8 000 habitantes em 1990 e 16 000 habitantes depois 
de 10 anos.
	a) O aumento na quantidade de habitantes a cada década nesse municí-
pio é o mesmo?
	b) Descreva um padrão de crescimento da quantidade de habitantes des-
sa população.
	 c) Considerando esse padrão de crescimento, escreva no caderno a lei de 
uma função do tipo exponencial que relaciona a quantidade de habi-
tantes F(x) dessa população em função da quantidade x de décadas a 
partir de 1980. 
	d) Agora, calcule a quantidade de habitantes desse município nas pró-
ximas décadas, mantendo o padrão que você identificou, e escreva a 
sequência formada pela quantidade de habitantes a cada década.
A quantidade de habitantes da população desse município a cada década estabelece uma sequência 
numérica. Podemos considerar que cada termo dessa sequência, a partir do segundo, é obtido dobrando o 
termo anterior. Esse tipo de sequência é chamada progressão geométrica.
	e) Conhecendo o padrão dessa sequência, estime a quantidade de habitantes do município nos anos 2050 
e 2060.
	 f) Em qual década a população dessa cidade passará de 4 000 000 habitantes?
Não.
Exemplo de resposta: A cada década a quantidade 
de habitantes da população dobra.
Exemplo de resposta: F: N* ñ R
1
*
 tal que F(x) 5 4 000 ? 2x.
Exemplo de resposta: (4 000, 8 000, 16 000, 32 000, 64 000, 128 000, »)
512 000 habitantes e 1 024 000 pessoas, respectivamente.
Na década de 2070.
P
a
u
lo
 L
ie
b
e
rt
/A
g
ê
n
c
ia
 E
s
ta
d
o
R
e
p
ro
d
u
ç
ã
o
/I
B
G
E
 –
 I
n
s
ti
tu
to
 B
ra
s
ile
ir
o
 d
e
 G
e
o
g
ra
fi
a
 e
 E
s
ta
tí
s
ti
c
a
Não escreva no livro.
133
128a149_V1_MATEMATICA_Dante_g21At_Cap3_LA.indd 133128a149_V1_MATEMATICA_Dante_g21At_Cap3_LA.indd 133 04/09/2020 14:0704/09/2020 14:07
Situação 2
Taxa de crescimento relativo
Você já ouviu dizer que o Índice Bovespa (conhecido como Ibovespa) caiu 2% ou subiu 1,7% em determi-
nado dia? Essas porcentagens indicam a razão entre o aumento ou a queda do valor de fechamento da bolsa 
brasileira nesse dia, em reais, e o valor de fecha-
mento do dia útil anterior. Essa razão é chamada de 
taxa de crescimento relativo.
Assim, considerando uma grandeza qualquer, 
quando passamos de um valor a para um valor b, 
temos a taxa de crescimento relativo dessa grandeza 
igual a 
b a
a
2
. Por exemplo, a taxa de crescimento 
relativo da produtividade de uma empresa do ramo 
alimentício cuja produção semanal passa de 5 tone-
ladas para 8 toneladas é de 60%, pois 
8 5
2
3
2
2
5 5 
5 0,60 5 60%. Com essa informação, mantendo 
essa taxa de crescimento relativo semanal constan-
te, para calcular a produção em uma semana multi-
plicamos a produção na semana anterior por 1,6.
Se uma grandeza tem taxa de crescimento relativo igual a i, então o novo valor é obtido calculando (1 1 i) vezes o valor 
anterior.
No exemplo, (1 1 i ) 5 (1 1 0,60) 5 1,60 ou 1,6.
Fique atento
	a) Retome a situação 1 da página anterior. Qual é a taxa de crescimento relativo da quantidade de habitantes 
da população entre 1980 e 1990? E entre 1990 e 2000?
	b) Mantendo essa taxa de crescimento relativo constante a cada década, por quanto devemos multiplicar a 
quantidade de habitantes da população de uma década para calcular o número da década seguinte? Jus-
tifique sua resposta e compare esse cálculo com a resposta que você deu ao item b da situação 1.
Como você viu, a quantidade de habitantes da população desse município a cada década estabelece uma 
sequência numérica chamada progressão geométrica. Sempre que uma sequência numérica tiver taxa de 
crescimento relativo constante entre os termos consecutivos, teremos uma progressão geométrica.
Investigue mais uma situação: Em 2015, uma empresa alimentícia produziu 200 t de alimentos e, a cada 
ano, a produção aumentou 10% em relação ao ano anterior.
	 c) Nessa situação, a taxa de crescimento relativo é constante? Se sim, qual é essa taxa?
	d) Quantas toneladas de alimentos essa empresa produziu em cada ano de 2016 a 2020?
	e) Escreva no caderno a sequência que representa a produção anual dessa empresa, em toneladas.
	 f) Escreva uma fórmula do termo geral e uma fórmula de recorrência que podem ser associadas a essa 
sequência.
Pela fórmula de recorrência dessa sequência é possível observar que cada termo, a partir do segundo, é 
obtido multiplicando o termo anterior por um número fixo (no caso, 1,1), e, por isso, essa sequência também 
é uma progressão geométrica. Nesse caso, o valor 1,1 é chamado razão dessa progressão.
100% em ambas as décadas.
Por 2, pois (1 1 i) 5 (1 1 1) 5 2. Multiplicar por 2 ou dobrar a quantidade de habitantes.
Sim, de 10%.
220 t em 2016; 242 t em 2017; 266,2 t em 2018; 292,82 t em 2019 e 322,102 t em 2020.
(200; 220; 242; 266,2; 292,82; 322,102; »)
Fórmula do termo geral: a
n
 5 200 ? (1,1)n 2 1, com n . 1; fórmula de 
recorrência: a
1
 5 200 e a
n
 5 1,1 ? a
n 2 1
, com n . 2.
O Índice Bovespa foi criado em 1968 e é o principal indicador 
de desempenho das ações negociadas na Bolsa de Valores 
oficial do Brasil (a B3 – Brasil, Bolsa, Balcão). Ele é composto 
das empresas mais importantes do mercado de capitais 
brasileiro. 
R
e
p
ro
d
u
ç
ã
o
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
Não escreva no livro.
134
128a149_V1_MATEMATICA_Dante_g21At_Cap3_LA.indd 134128a149_V1_MATEMATICA_Dante_g21At_Cap3_LA.indd 134 04/09/2020 14:0704/09/2020 14:07