material LXVII

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- Resposta: O número cromático é 10. 
 - Explicação: Aplicação do teorema de coloração de vértices para grafos completos. 
 
12. **Matemática Discreta** 
 - Problema: Quantos anagramas da palavra "MATHEMATICS" começam com a letra "M"? 
 - Resposta: \( \frac{10!}{2!} = 1814400 \). 
 - Explicação: Cálculo considerando as letras repetidas. 
 
13. **Otimização** 
 - Problema: Encontre os pontos críticos da função \( f(x, y) = x^2 + y^2 - 4x - 2y \). 
 - Resposta: Os pontos críticos são \( (2, 1) \). 
 - Explicação: Cálculo das derivadas parciais e resolução do sistema de equações. 
 
14. **Topologia** 
 - Problema: Mostre que o espaço topológico \( \mathbb{R}^2 \) com a topologia usual 
não é homeomorfo ao espaço topológico \( \mathbb{R} \) com a topologia discreta. 
 - Resposta: Não há bijeção contínua entre \( \mathbb{R}^2 \) e \( \mathbb{R} \) com 
essas topologias. 
 - Explicação: Análise das propriedades topológicas dos espaços. 
 
15. **Equações Diferenciais Parciais** 
 - Problema: Resolva a equação do calor unidimensional \( u_t = ku_{xx} \), sujeita às 
condições iniciais e de contorno apropriadas. 
 - Resposta: \( u(x,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi kt}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{(x-y)^2}{4kt}} 
u_0(y) \, dy \). 
 - Explicação: Solução utilizando o método da transformada de Fourier. 
 
16. **Lógica Matemática** 
 - Problema: Verifique se as seguintes afirmações são tautologias: \( (p \land (p \to q)) \to 
q \) e \( (p \lor q) \to (q \lor p) \). 
 - Resposta: A primeira é uma tautologia; a segunda não é. 
 - Explicação: Tabelas verdade para verificar as proposições. 
 
17. **Álgebra Multilinear** 
 - Problema: Defina o conceito de tensor e explique como ele é usado na álgebra 
multilinear. 
 - Resposta: Um tensor é um objeto matemático que generaliza conceitos como vetores 
e matrizes, permitindo a representação de transformações multilinear. 
 - Explicação: Descrição do conceito e sua aplicação na matemática. 
 
18. **Teoria dos Números Avançada** 
 - Problema: Resolva a equação diofantina \( x^3 + y^3 = z^3 \). 
 - Resposta: Não existem soluções não triviais inteiras para essa equação. 
 - Explicação: Aplicação do teorema de Fermat sobre a soma de dois cubos. 
 
19. **Análise Funcional** 
 - Problema: Mostre que um espaço normado completo é também um espaço de 
Banach. 
 - Resposta: Um espaço normado completo é um espaço de Banach por definição. 
 - Explicação: Conceitos básicos de completude e convergência em espaços 
normados. 
 
20. **Geometria Algébrica** 
 - Problema: Descreva a interseção de um círculo \( x^2 + y^2 = 4 \) com uma elipse \( 
\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1 \). 
 - Resposta: A interseção são quatro 
 
 pontos: \( (\pm 2, 0) \) e \( (0, \pm 3) \). 
 - Explicação: Solução do sistema de equações para encontrar os pontos de interseção. 
 
21. **Teoria dos Números Computacional** 
 - Problema: Implemente o algoritmo de Miller-Rabin para testar a primalidade de um 
número. 
 - Resposta: Implementação do algoritmo em Python/C++/Java/etc. 
 - Explicação: Descrição do algoritmo e sua aplicação em testes de primalidade. 
 
22. **Cálculo Variacional** 
 - Problema: Encontre a curva que minimiza a integral \( \int_{0}^{1} (y')^2 \, dx \), com \( 
y(0) = 0 \) e \( y(1) = 1 \). 
 - Resposta: A curva é \( y(x) = x \). 
 - Explicação: Aplicação do princípio de mínimos quadrados de Euler-Lagrange. 
 
23. **Probabilidade Avançada** 
 - Problema: Calcule a esperança matemática da variável aleatória definida pela 
densidade de probabilidade \( f(x) = \begin{cases} 2x, & 0 \leq x \leq 1 \\ 0, & \text{caso 
contrário} \end{cases} \). 
 - Resposta: A esperança é \( \mathbb{E}[X] = \frac{2}{3} \). 
 - Explicação: Cálculo da esperança usando a definição de esperança matemática. 
 
24. **Equações Diferenciais Não Lineares** 
 - Problema: Resolva a equação diferencial não linear \( y' = y^2 + y \) com a condição 
inicial \( y(0) = 1 \). 
 - Resposta: \( y(x) = \frac{1}{1 - e^{-x}} \). 
 - Explicação: Resolução usando a técnica de separação de variáveis. 
 
25. **Teoria dos Conjuntos** 
 - Problema: Demonstre que o conjunto dos números racionais é enumerável. 
 - Resposta: Exiba uma bijeção entre \( \mathbb{Q} \) e \( \mathbb{N} \). 
 - Explicação: Construção de uma função bijetiva entre os conjuntos. 
 
26. **Álgebra de Lie** 
 - Problema: Defina um álgebra de Lie e explique como ela se relaciona com grupos de 
Lie. 
 - Resposta: Um álgebra de Lie é um espaço vetorial munido de uma operação bilinear 
antissimétrica satisfazendo o identidade de Jacobi. Grupos de Lie são estruturas que 
incorporam propriedades de álgebras de Lie em sua estrutura de grupo. 
 - Explicação: Descrição formal das definições e suas inter-relações. 
 
27. **Economia Matemática**