Plano de Aula: Funções Matemáticas

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Ministério da Educação 
Secretaria de Educação Profissional e Tecnológica 
Instituto Federal Catarinense – Campus Avançado Sombrio 
Curso de Licenciatura em Matemática 
 
PLANO DE AULA 
 
1 IDENTIFICAÇÃO 
 
Secretaria de Estado da Educação de Santa Catarina – 22ª Gerei 
Escola: Escola de Educação Básica Bulcão Viana 
Município: Praia Grande, SC. 
Disciplina: Matemática 
Série: 1º ano Nível: Ensino Médio Turma: 01 
Professora: Cristilaine Alves Hendz 
Tempo previsto: 3 horas 
 
2 TEMA: Funções 
 
2.1 Subtemas: Função Composta, Função Inversa, Qualidades 
 
3 JUSTIFICATIVA 
O conceito de função é um dos mais importantes da Matemática e ocupa lugar 
de destaque em vários de seus ramos, bem como em outras áreas do conhecimento. É 
muito comum e conveniente expressar fenômenos físicos, biológicos, sociais, entre 
outros, por meio de funções. (DANTE, 2012) 
O estudo das funções permite ao aluno adquirir a linguagem algébrica como a 
linguagem das ciências, necessária para expressar a relação entre grandezas e modelar 
situações-problema, construindo modelos descritivos de fenômenos e permitindo várias 
conexões dentro e fora da própria matemática. (PCN, 2000) 
As funções correspondem a uma lei de proporcionalidade entre grandezas. É 
possível relacionar mais de duas grandezas através de uma mesma função, por exemplo, 
a altura que a lava e o vapor atingem em um vulcão em erupção é obtida em função da 
pressão dos gases no interior do Vulcão e da Terra. Contudo, essa pressão depende da 
temperatura atingida pela atividade vulcânica. (OLIVEIRA, 2013) 
 
4 OBJETIVOS 
 
 Classificar funções quanto ao seu crescimento ou decrescimento; 
 Analisar e construir gráficos de funções crescentes e decrescentes; 
 Identificar funções sobrejetora, injetora e bijetora, por meio de diagramas e 
gráficos; 
 Determinar e construir gráficos de funções inversas; 
 Definir e resolver problemas que envolvem função composta. 
 
5 CONTEÚDOS ENVOLVIDOS 
 
Função por meio de conjuntos, domínio, contradomínio e conjunto imagem de 
uma função, construção de gráficos de funções. 
 
6 ESTRATÉGIAS 
 
6.1 Recursos: 
 
Disponíveis em sala de aula, quadro, pincel, datashow, computador, lápis, 
borracha, software matemático. 
 
6.2 Técnicas: 
 
Aula expositiva e dialogada, atividades em sala de aula. 
 
 
 
 
7 PROCEDIMENTOS 
 
7.1 Problematização: 
 
Um laboratório de provas submeteu um determinado carro a um teste de 
consumo relacionado com o custo do combustível. Os resultados foram tabulados da 
seguinte forma: 
Quadro 1 
Percurso ( ) Consumo ( ) 
10 1 
20 2 
30 3 
40 4 
 
A lei que define o consumo em função do percurso é: 
 
Quadro 2 
Consumo ( ) Custo ( ) 
1 12,00 
2 24,00 
3 36,00 
4 48,00 
 
A lei que define o custo em função do consumo é: 
 
Quadro 3 
Percurso ( ) Custo ( ) 
10 12,00 
20 24,00 
30 36,00 
40 48,00 
 
Agora, temos a relação percurso e custo. Como podemos fazer para encontrar a 
função que corresponde a esta tabela, considerando as informações anteriores? 
 
7.2 Historicização 
 
Segundo Dante (2012), o conceito de função é um dos mais importantes da 
Matemática. Este conceito sofreu uma grande evolução ao longo dos séculos, sendo que 
a introdução do método analítico na definição de função (séc. XVI e XVII) veio 
revolucionar a Matemática. 
Foi Leibniz (1646-1716) quem primeiro usou o termo “função” em 1673 no 
manuscrito Latino “Methodustangentium inversa, seu de fuctionibus”. Leibniz usa o 
termo apenas para designar, em termos muito gerais, a dependência de uma curva de 
quantidades geométricas como as subtangentes e subnormais. Introduziu igualmente a 
terminologia de “constante”, “variável” e “parâmetro”. 
Como consequência da evolução do estudo das funções surge numerosas 
aplicações da Matemática a outras ciências. Pois, os cientistas partindo de observações 
procuravam uma fórmula (uma função), para explicar os sucessivos resultados obtidos. 
A função era, então, o modelo matemático que explicava a relação entre as variáveis. 
 
7.3 Operacionalização da aula 
 
Crescimento e decrescimento de uma função 
Vamos analisar as seguintes situações: 
 O gráfico abaixo mostra a população brasileira de 1940 a 2000. 
 
Neste gráfico podemos perceber que a população está aumentando em função do 
aumento do tempo (anos), logo a curva é denominada “crescente”. 
Diz-se que f é crescente, se para , então . 
 
 Este gráfico mostra um tanque de água sendo esvaziado. 
 
Pelo gráfico notamos a diminuição do volume de água em função do aumento de tempo 
(minutos), portanto a curva é “decrescente”. 
Diz-se que g é decrescente, se , então . 
 
 Função Constante – os valores da imagem permanecem inalterados, mesmo 
aumentando os valores da variável independente. 
 
 
 
Construindo e Analisando os gráficos 
1- Seja a função real dada por . Para analisar se essa função é crescente 
ou decrescente, vamos representá-la graficamente. 
Atribuindo a alguns valores reais e substituindo na função dada, obtemos suas 
respectivas imagens. 
 
 
 f 
 
 
 
Podemos notar que, ao aumentarmos os 
valores atribuídos a , os valores das 
imagens correspondentes em também 
aumentam. 
Nesse caso, dizemos que a função é 
crescente em . 
 
2- Veja o gráfico da função de em dada por . 
 
 
 
 
 
 
 
Nesse gráfico podemos perceber que: 
 Para , essa função é crescente; 
 Para , essa função é decrescente; 
 Para , ; para , temos . Por isso, dizemos que é o 
ponto de máximo da função. 
 
3- Observe o gráfico da função de em dado por . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Veja que: 
 Para , essa função é crescente; 
 Para , essa função é constante; 
 Para , ; 
 Para , ; 
 Para , . 
 
Função Injetora, Sobrejetora e Bijetora 
Função Injetora: Diz-se que é injetora se, e somente se, para quaisquer , , com 
, se tivermos . 
 
O diagrama ao lado representa a função , 
definida por . 
 
Veja que associa elementos distintos de a 
elementos distintos de . Portanto é injetora. 
 
Função Sobrejetora: Uma função é sobrejetora quando, para qualquer elemento , 
pode-se encontrar um elemento , tal que . Ou seja, 
 
O diagrama ao lado representa a função , 
definida por 
 
 e 
 
Note que o conjunto imagem da função é igual ao 
seu contradomínio. Logo, é sobrejetora. 
 
Função Bijetora: Diz-se que é bijetora se, e somente se, é sobrejetora e injetora 
simultaneamente. 
Considere o diagrama que representa a função , definida por . De acordo 
com o que vimos anteriormente, a função é, ao mesmo tempo, sobrejetora e injetora. Trata-se, 
portanto, de uma função bijetora. 
 
Função inversa 
O objetivo de uma função inversa é criar funções a partir de outras. Uma função somente 
será inversa se for bijetora, isto é, os pares ordenados da função deverão pertencer à função 
inversa da seguinte maneira: e . 
Dados os conjuntos , e função definida 
pela fórmula . Temos o diagrama dessa função abaixo: 
 
Então: 
Essa função é bijetora, pois cada elemento do domínio está ligado com um elemento 
diferente no conjunto imagem. Assim, podemos dizer que essa função, por ser bijetora, admite 
inversa. A sua função inversa será indicada por , e será preciso realizar a troca entre 
e na função , dessa forma temos: 
 
 
 
Portanto . 
Veja o diagrama abaixo: 
 
Então: 
O que é domínio na vira imagem na e vice e versa. 
Graficamente ocorre a seguinte situação: 
 
 
Exemplo 1: Dada a função , calcule a sua inversa. 
Trocando e , teremos: 
 
 
 
 
Portanto, a função , terá inversa igual a . 
 
 
Exemplo 2: Dada a função definida por Qual é a sua inversa? 
Essa função não admite inversa, pois ela é sobrejetora, mas não é injetora. 
 
Função Composta 
Pensando na problematização: Observe os valores do quadro 3 e noteainda que a lei que define 
essa função é , obtida fazendo a composição entre as funções e , isto é, 
aplicando a função a e depois aplicando a função a . 
 
Logo, 
 
Definição: Dadas as funções e , denomina-se função composta de com , 
nessa ordem, a função definida por para . 
 
Exemplos: 
1. Dados os conjuntos , e 
considere as funções definida por e 
definida por . 
a) Obtenha 
Solução: 
 
 
 
 
b) Obtenha a lei de formação da função . 
Solução: 
 
2. Sejam as funções reais e definidas respectivamente por e 
. Determine: 
a) e 
Solução: 
 
 
b) Os valores de para que se tenha . 
Solução: 
 
 
 
 
 
8 AVALIAÇÃO 
 
8.1 Instrumentos de avaliação 
 
A partir do desenvolvimento e compreensão dos conceitos estudados, será realizado uma 
avaliação individual com os seguintes exercícios de aplicação do tema: 
1. Classifique as seguintes afirmações como verdadeira (V) ou falsa (F) justificando as 
alternativas que julgar falsas. 
( ) Uma função é sobrejetora quando . 
( ) Diz-se que é decrescente, se para , então . 
( ) Uma função é constante se os valores da imagem permanecem inalterados, mesmo 
aumentando os valores da variável independente. 
 
2. A inversa da função , cujo D = - {-2} e CD = - {1} é: 
a) b) c) 
 
 d) e) 
 
3. Sejam as funções reais e definidas respectivamente por e 
– x. Determine e . 
 
4. Fundamentados em nossos estudos em sala de aula some as alternativas verdadeiras. 
01 – O diagrama representa uma função , que não admite inversa. 
 
 
02 – Sejam as funções e . A função . 
 
04 – O gráfico abaixo é de uma função crescente. 
 
08 – A função inversa de é . 
 
SOMA = 
 
 
Respostas: 
1. Falsa, Falsa e Verdadeira 
2. Letra b 
3. e 
4. As afirmações verdadeiras são 1, 2 e 4. Total da soma: 7 
 
8.2 Critérios de avaliação 
 
Os principais critérios de avaliação para esta aula é a participação, o comprometimento 
com as tarefas, a frequência, a assiduidade e o interesse demonstrado no momento da realização 
das atividades. 
 
9 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
DANTE, Luiz Roberto. Matemática contexto e aplicações. Volume 1. ensino médio. São Paulo: 
Ática, 2012. 
 
GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática completa. 1ª série do Ensino 
Médio. 2. ed. renovada. São Paulo: FTD, 2005. 
 
IEZZI, Gelson. [et al]. Matemática: ciências e aplicações. V. 1, ensino médio. 6. ed. São Paulo: 
Saraiva, 2010. 
 
OLIVEIRA, Gabriel Alessandro de. Função composta. Disponível em: 
<http://www.mundoeducacao.com/matematica/funcao-composta.htm>. Acesso em: 13/08/2015 
 
PCN. Parâmetros curriculares nacionais: ensino médio – Parte III. MEC, Brasília, 2000. 
 
SILVA, Claudio Xavier da; FILHO, Benigno Barreto. Matemática aula por aula. 1ª série do 
ensino médio. 2. ed. renovada. São Paulo: FTD, 2005.