Funções Matemáticas

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MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNÇÃO IDENTIDADE ............................................................... 2 
FUNÇÃO LINEAR ........................................................................ 2 
FUNÇÃO AFIM ............................................................................. 3 
GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 1º GRAU ......................................... 3 
IMAGEM ....................................................................................... 5 
COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM ........................................... 5 
ZERO DA FUNÇÃO AFIM ............................................................ 6 
FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES ...................... 7 
SINAL DE UMA FUNÇÃO ............................................................ 9 
SINAL DA FUNÇÃO AFIM ......................................................... 10 
INEQUAÇÕES ........................................................................... 12 
SISTEMA DE INEQUAÇÕES ..................................................... 13 
INEQUAÇÕES SIMULTÂNEAS ................................................. 14 
INEQUAÇÕES-PRODUTO ........................................................ 14 
INEQUAÇÃO-QUOCIENTE ....................................................... 17 
RESPOSTAS ............................................................................. 19 
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ................................................ 24 
 
No final das séries de exercícios podem aparecer 
sugestões de atividades complementares. Estas 
sugestões referem-se a exercícios do livro 
“Matemática” de Manoel Paiva fornecido pelo FNDE e 
adotado pelo IFMG – Campus Ouro Preto durante o 
triênio 2015-2017. 
 
Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se 
referem ao volume 1. 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 2 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
FUNÇÃO IDENTIDADE 
 
Uma função f de ℝ em ℝ recebe o 
nome de FUNÇÃO IDENTIDADE quando 
associa a cada elemento x  ℝ o próprio x, 
isto é: 
𝑓:ℝ → ℝ 
𝑓(𝑥) = 𝑥 
 
 Desta forma, todos os pares 
ordenados que pertencem à função 
identidade são do tipo (a; a) e o gráfico que 
a representa contém as bissetrizes do 1º e 3º 
quadrantes. 
 
 
 
A imagem da função identidade é Im = ℝ. 
FUNÇÃO LINEAR 
 
Uma função f de ℝ em ℝ recebe o 
nome de FUNÇÃO LINEAR quando associa 
a cada elemento x  ℝ o elemento ax  ℝ 
onde a  0 é o número real dado, isto é: 
 
𝑓:ℝ → ℝ 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ≠ 0 
 
 É possível 
demonstrar que o 
gráfico da função 
linear é uma reta que 
passa pela origem, 
mas veremos esta 
demonstração mais 
a frente, num caso mais geral. 
A imagem da função identidade é Im = ℝ e 
isto pode ser percebido facilmente, veja: 
 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 ⇔ 𝑦 = 𝑎 ∙ 𝑥 
𝑦 = 𝑎 ∙ 𝑥 ⇔ 𝑥 =
𝑦
𝑎
 
 
assim, 𝑥 =
𝑦
𝑎
∈ ℝ, a  0, tal que: 
 
y)x(f
a
y
a)x(f
xa)x(f



 
 
Ex.: 1 Vamos construir o gráfico da função 
𝑦 = 2𝑥. 
 
Resolução: como já sabemos que o gráfico 
da função linear é uma reta e que dois pontos 
distintos determinam uma reta, basta que 
encontremos dois pontos para construir o 
gráfico. Além disso, o gráfico da função linear 
passa sempre pela origem assim, já temos o 
ponto (0; 0) bastando encontrar apenas mais 
um ponto. 
Vamos, então, atribuir um valor não nulo a x 
e calcular o correspondente y = 2x. 
 
𝑥 2 ∙ 𝑥 𝑦 
1 2 ∙ 1 2 
 
Agora devemos localizar, 
num sistema cartesiano, 
os pontos P(0; 0) e Q(1; 
2) e traçar a reta PQ que 
será o gráfico procurado. 
 
Note que Im(f) = ℝ. 
 
Veja o gráfico na coluna 
a seguir. 
 
 
Ex.2: 
Construir o gráfico da função 𝑦 = −2𝑥. 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 3 FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
Resolução: 
Analogamente, temos: 
 
𝑥 −2 ∙ 𝑥 𝑦 
1 −2 ∙ 1 −2 
 
Agora, P(0; 0) e Q(1; -2). 
 
 
 Mais a frente, vamos tratar de um 
assunto que já pode ser observado nestes 
dois gráficos. Vamos, então, de forma 
incipiente, aproveitar a oportunidade. 
No Ex.1, o termo que multiplica o x é 
2. Este fator é chamado de “taxa de 
variação”. Isto significa que para cada uma 
unidade que o x varia, há uma variação de 2 
unidades em y. 
No Ex.2, essa taxa de variação é 
-2, ou seja, cada unidade em x faz o y variar 
em –2 unidades. 
Agora vamos construir alguns 
gráficos. 
 
 
1) Construa, num mesmo sistema 
cartesiano, os 4 gráfico de funções 
constantes a seguir. 
a) y = 2 
b) y = 2 
c) y = -3 
d) y = 0 
 
2) Construir, num mesmo sistema 
cartesiano, os gráficos das funções 𝑓:ℝ → ℝ 
a seguir. 
a) y = x 
b) y = 2x 
c) y = 3x 
d) 
2
x
y  
3) Construir, num mesmo sistema 
cartesiano, os gráficos das funções 𝑓:ℝ → ℝ 
a seguir. 
a) y = -x 
b) y = -2x 
c) y = -3x 
d) 
2
x
y  
FUNÇÃO AFIM 
 
Uma função 𝑓:ℝ → ℝ recebe o nome 
de FUNÇÃO AFIM quando associa a cada 
elemento 𝑥 ∈ ℝ o elemento 
𝑎𝑥 + 𝑏 ∈ ℝ onde 𝑎  0, isto é: 𝑓:ℝ → ℝ 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 com 𝑎  0 
 
 
1.: y = 2x + 4 onde a = 2 e b = 4 
2.: y = -3x + 5 onde a = -3 e b = 5 
3.: y = x – 1 onde a = 1 e b = -1 
4.: y = 3x onde a = 3 e b = 0 
 
 Observe este último exemplo. Note 
que, quando 𝑏 = 0, a função 
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 assume a forma da função 
linear e, assim, podemos dizer que a função 
linear é um caso particular de uma função 
afim. 
 
GRÁFICO DA FUNÇÃO 
DO 1º GRAU 
 
 O gráfico da função do primeiro grau é 
uma reta e isto pode ser facilmente 
 
CÁSSIO VIDIGAL 4 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
demonstrado. A demonstração não faz parte 
da ementa deste curso. Caso tenha interesse 
ou curiosidade, ela foi acrescentada no final 
desta apostila. 
 
Ex.1: Construir o gráfico da função 
y = 2x + 1. 
Resolução; 
Sabendo que este gráfico é uma reta, 
vamos encontrar dois de seus pontos, 
localiza-los no plano cartesiano e, em 
seguida traçar a reta. 
 
x 2x+1 y 
0 2 • 0 + 1 1 
1 2 • 1 + 1 3 
O gráfico da função, então, é uma reta 
que passa pelos pontos (0; 1) e 
(1; 3). 
 
 
 É facilmente perceptível, pelo gráfico, 
que tanto o domínio quanto a imagem desta 
função são formados por todos os números 
reais, assim: 
 
𝐷(𝑓) = ℝ e𝐼𝑚(𝑓) = ℝ 
 
Ex.2: Construir o gráfico da função 
y = -x + 3 
Resolução: 
De modo análogo, temos: 
x -x + 3 y 
0 -0 + 3 3 
2 -2 + 3 1 
Assim, o gráfico da função, então, é a 
reta que passa pelos pontos 
(0; 3) e (2; 1). 
 
 
𝐷(𝑓) = ℝ e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ 
 
 
 
4) Construa o gráfico da cada uma das 8 
funções apresentadas. 
(Dica: em cada situação siga os exemplos fazendo, 
inclusive, a tabela afim de que a construção fique 
organizada) 
 
a) y = 2x – 1 
b) y = x+2 
c) y = 3x+2 
d) 
2
3x2
y

 
e) y = –3x – 4 
f) y = –x – 1 
g) y = –2x + 3 
h) 
2
x34
y

 
 
5) Resolver analiticamente e graficamente o 
sistema de equações do 1º grau: 





4y3x2
3yx
 
 
6) Resolva analiticamente e graficamente os 
sistemas de equações do 1º grau: 
a) 





1yx
5yx
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 5 FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
b) 





8y3x2
14y2x3
 
c) 





4y4x2
2y2x
 
 
7) Resolva os sistemas: 
a) 















4
1
yx
1
yx
1
4
3
yx
1
yx
1
 
Sugestão: faça b
yx
1
ea
yx
1




 
 
b) 















1
3yx2
3
1yx
2
12
5
3yx2
2
1yx
3
 
 
8) Obter a equação da reta que passa pelos 
pontos: 
a) (1; 2) e (3; -2). 
b) (2; 3) e (3; 5) 
c) (3; -2) e (2; -3) 
d) (1; -1) e (-1; 2) 
______________________ 
 
ATIVIDADES COMPLEMENTARES 
Pág. 153 e 154– Exercícios 02 a 04 
IMAGEM 
O conjunto imagem de uma função 
afim 𝑓:ℝ → ℝ definida por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 
com 𝑎  0 é ℝ. 
De fato, qualquer que seja 𝑦  ℝ, 
existe 𝑥 =
𝑦−𝑏
𝑎
 ∈ ℝ tal que 𝑓(𝑥) = 𝑓 (
𝑦−𝑏
𝑎
) =
𝑎 ∙
𝑦−𝑏
𝑎
+ 𝑏 = 𝑦. 
 
COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM 
 O coeficiente a da função 
 f(x) = ax + b é denominado coeficiente 
angular ou declividade da reta representada 
no plano cartesiano. 
 
 O coeficiente b da função 
y = ax + b é denominado coeficiente linear. 
 
 Os coeficientes a e b tem influência 
sensível no gráfico da funçãoafim. 
 
 Veja os exemplos a seguir onde são 
mostradas variações independentes em 
cada coeficiente. 
 
Ex.1: Veja a construção, num mesmo plano 
cartesiano, de gráficos de 6 funções. Note 
que em todos os casos, o coeficiente b não 
muda. A única variação é no coeficiente a. 
 
Observe que a variação do coeficiente 
a faz variar a declividade da reta que 
representa o gráfico da função. 
 
Ex.2: Agora você pode observar construções 
de funções que possuem o mesmo 
coeficiente angular variando, apenas, o 
coeficiente linear. 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 6 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
Veja neste caso, que a variação do 
coeficiente b faz variar o ponto em que a reta 
do gráfico da função toca o eixo OY. 
 
9) Obter a equação da reta que passa pelo 
ponto (1; 3) e tem coeficiente angular igual a 
2. 
 
10) Obter a equação da reta que passa pelo 
ponto (-2; 4) e tem coeficiente angular igual 
a -3. 
 
11) Obter a equação da reta que passa pelo 
ponto (-3; 1) e tem coeficiente angular igual 
a 
2
1
 . 
12) Obter a equação da reta que passa pelo 
ponto (-2; 1) e tem coeficiente angular igual 
a 4. 
 
13) Obter a equação da reta que tem 
coeficiente angular igual a -3 e passa pelo 
ponto (-3; -2) 
 
14) Dados os gráficos das funções 
de ℝ em ℝ, obter a lei de correspondência 
dessas funções. Para tal considere cada 
quadradinho como referência de uma 
unidade. 
 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
 
d) 
 
 
ZERO DA FUNÇÃO AFIM 
 
 Zero ou raiz de uma função é todo 
número x cuja imagem é nula, isto é, f(x) = 0. 
 
x é zero de y = f(x)  f(x) = 0 
 
 Assim, para determinar o zero de 
uma função afim, basta resolver a equação 
do 1º grau 
𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 
 
que apresenta uma única solução 𝑥 = −
𝑏
𝑎
. 
 
 
Ex.1: Qual o zero da função f(x) = 2x – 1? 
2𝑥 − 1 = 0 → 2𝑥 = 1 → 𝑥 = 
1
2
 
Logo, a raiz da função é 
2
1
. 
 
Ex. 2: Podemos interpretar o zero da função 
afim como sendo a abscissa do ponto onde 
o gráfico corta o eixo OX. 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 7 FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
Note o gráfico da função 
f(x) = 2x – 1, intercepta o eixo das abscissas 
em 
2
1
x  , isto é, no ponto 





0;
2
1
. 
 
 
FUNÇÕES CRESCENTES OU 
DECRESCENTES 
 
 Uma função 𝑓: 𝐴  𝐵 definida por 
 𝑦 = 𝑓(𝑥) é CRESCENTE no conjunto 
𝐴1  𝐴 se, para dois valores quaisquer 𝑥1 e 
𝑥2 pertencentes a 𝐴1, com 𝑥1 < 𝑥2, temos 
𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2) 
 
 Em termos técnicos, 𝑓 é crescente 
quando: 
( 𝒙𝟏, 𝒙𝟐) (𝒙𝟏 < 𝒙𝟐  𝒇(𝒙𝟏) < 𝒇(𝒙𝟐)) 
 
Esta expressão acima também pode 
ser escrita desta forma: 
 
( 𝒙𝟏, 𝒙𝟐) (𝒙𝟏  𝒙𝟐 ⇒ 
𝒇(𝒙𝟏) − 𝒇(𝒙𝟐)
𝒙𝟏 − 𝒙𝟐
> 𝟎) 
 
Em termos não técnicos, podemos 
dizer que uma função é crescente num certo 
intervalo quando se, ao aumentar o x, o valor 
de y também aumenta. 
 
 Veja, agora, no gráfico, a 
caracterização de uma função crescente. 
 
 
Uma função 𝑓: 𝐴  𝐵 definida por 
𝑦 = 𝑓(𝑥) é DECRESCENTE no conjunto 
𝐴1  𝐴 se, para dois valores quaisquer 𝑥1 e 
𝑥2 pertencentes a 𝐴1, com 𝑥1 < 𝑥2, tivermos 
𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2). 
 
 Em termos técnicos, 𝑓 é crescente 
quando: 
( 𝒙𝟏, 𝒙𝟐) (𝒙𝟏 < 𝒙𝟐  𝒇(𝒙𝟏) > 𝒇(𝒙𝟐)) 
Esta expressão acima também pode 
ser escrita desta forma: 
( 𝒙𝟏, 𝒙𝟐) (𝒙𝟏  𝒙𝟐 ⇒ 
𝒇(𝒙𝟏) − 𝒇(𝒙𝟐)
𝒙𝟏 − 𝒙𝟐
< 𝟎) 
Em termos não técnicos, podemos 
dizer que uma função é decrescente num 
certo intervalo quando se, ao aumentar o x, 
o valor de y diminui. 
 Veja, agora, no gráfico, a 
caracterização de uma função decrescente. 
 
 
 
 
Ex.1: A função f(x) = 2x – 1 é crescente pois 
tomados dois valores de x distintos x1 e x2 
com x1 < x2, temos: 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 8 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
1x21x2xx 2121  
Ex.2: A função f(x) = -3x + 2 é decrescente 
pois tomados dois valores de x distintos x1 e 
x2 com x1 < x2, temos: 
2x32x3xx 2121  
Notemos que uma função y = f(x) pode 
assumir comportamentos variados 
(crescente ou decrescente) em todo o seu 
domínio. 
É bastante comum que, inclusive, que 
a função seja crescente em alguns intervalos 
e decrescentes em outros. 
 
Veja o exemplo abaixo. A função é 
decrescente em ℝ− e crescente em ℝ+ 
 
 
15) Com base nos gráficos a seguir, de 
funções de domínio e contradomínio reais, 
especificar onde a função é crescente e onde 
a função é decrescente. 
a) 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
 O estudo do comportamento quanto 
a crescimento ou decrescimento de uma 
função afim é feito em relação ao 
coeficiente angular. 
 A função afim é crescente se, e 
somente se, o coeficiente angular for 
positivo. 
Dada a função 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 + 𝒃, 
Se 𝒂 > 𝟎 então f é crescente. 
 
DEMONSTRAÇÃO 
 
 

crescente é baxxf 
 
   

)xx(0
xx
xfxf
21
21
21 


 
   

0
xx
baxbax
21
21 


 

0
xx
baxbax
21
21 


 
 
0a
0
xx
xxa
21
21




 
 
 
Assim, podemos observar que 
f(x) = ax + b é crescente  a > 0 
 
16) Demonstre que f(x) = ax + b se, e 
somente se, a < 0. 
 
17) Especificar se cada uma das funções 
abaixo é crescente ou decrescente. 
a) y = 2x + 8 
b) y = 3x – 9 
c) y = -4x + 6 
d) y = -2x – 6 
 
 
 
MATEMÁTICA I 9 FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
e) 1
5
x
y  
f) 
2
1
x2y  
g) 
2
x1
y

 
h) 
2
x3
1y  
 
18) Para quais valores de k a função 
f(x) = (k + 5)x – 7 é crescente? 
 
19) Estudar, segundo os valores do 
parâmetro k, a variação (crescente, 
decrescente ou constante) das funções 
abaixo. 
a) y = (k – 1)x + 2 
b) y = (k + 5)x – 7 
c) y = (4 – k)x + 2 
d) y = k(x + 3) – 5 
 
SINAL DE UMA FUNÇÃO 
Seja a função 𝑓: 𝐴  𝐵 definida por 
𝑦 = 𝑓(𝑥). Estudar o sinal da função é 
determinar para que valores de x temos y 
maior, menor ou igual a zero. 
 Graficamente, isto pode ser feito 
observando os intervalos em que o gráfico 
está acima ou abaixo do eixo x. 
 Note que o que realmente interessa é 
o comportamento do gráfico em relação ao 
eixo OX não importando a posição do eixo 
OY. 
 
Estudar o sinal da função y = f(x) cujo gráfico 
está representado na figura a seguir. 
 
 
 Como foi dito, não importa a posição 
do eixo das ordenadas, então vamos retira-
lo e preparar um aspecto prático. 
 
 
 
 
 
Conclusão: 
𝑓(𝑥) = 0 para 
𝑥 = −3 ou 𝑥 = 1 ou 𝑥 = 4 ou 𝑥 = 8 
𝑓(𝑥) > 0 para 
−3 < 𝑥 < 1 ou 1 < 𝑥 < 4 ou 𝑥 > 8 
𝑓(𝑥) < 0 para 
𝑥 < −3 ou 4 < 𝑥 < 8 
 
 
20) Estudar o sinal das funções cujos 
gráficos estão representados a seguir. 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 10 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
SINAL DA FUNÇÃO AFIM 
 
Como vimos, estudar o sinal de uma 
função 𝑦 = 𝑓(𝑥) significa estabelecer, para 
cada valor de 𝑥  𝐷(𝑓), qual das sentenças 
é verdadeira: 
𝑦 > 0 𝑦 = 0 𝑦 < 0 
 Para a função afim 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, 
temos com dois casos a considerar: 
1º caso: 𝑎 > 0 
Neste caso a função é crescente. Como para 
𝑥 = −
𝑏
𝑎
 temos 𝑦 = 𝑓 (−
𝑏
𝑎
)=0, vem: 
𝑥 < −
𝑏
𝑎
⇒ 𝑓(𝑥) < 𝑓 (−
𝑏
𝑎
) ⇒ 𝑓(𝑥) < 0 
 
𝑥 > −
𝑏
𝑎
⇒ 𝑓(𝑥) > 𝑓 (−
𝑏
𝑎
) ⇒ 𝑓(𝑥) > 0 
 
Considerando os valores de 𝑥 sobre 
um eixo, o sinal da função da função 
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 com 𝑎 > 0, é: 
 
 Entende-se, com esta notação, que 
para valores de 𝑥 à direita de −
𝑏
𝑎
, a função 
retorna um valor positivo ( + ) e para valores 
à esquerda de −
𝑏
𝑎
, a função retorna valores 
negativos ( - ). 
 Um outro processo de analisarmos a 
variação do sinal da função afim é construir 
o gráfico cartesiano. 
 Já vimos que o gráfico cartesiano da 
função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 é uma reta e se o 
coeficiente angular a é positivo, a função é 
crescente. 
 Construindo o gráfico de 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 com 𝑎 > 0 e lembrando o 
que está sendo dito na página 22, que a 
posição do eixo y não importa, temos: 
 
2º caso: 𝑎 < 0 
 
Neste caso a função é decrescente. Também 
para 𝑥 = −
𝑏
𝑎
 temos 𝑦 = 𝑓 (−
𝑏
𝑎
)=0, vem: 
𝑥 < −
𝑏
𝑎
⇒ 𝑓(𝑥) > 𝑓 (−
𝑏
𝑎
) ⇒ 𝑓(𝑥) > 0 
 
𝑥 > −
𝑏
𝑎
⇒ 𝑓(𝑥) < 𝑓 (−
𝑏
𝑎
) ⇒ 𝑓(𝑥) < 0 
 
Considerandoos valores de 𝑥 sobre 
um eixo, o sinal da função da função 
 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 com 𝑎 < 0, é: 
 
 Entende-se, com esta notação, que 
para valores de 𝑥 à direita de −
𝑏
𝑎
 a função 
retorna um valor negativo ( - ) e para valores 
à esquerda de−
𝑏
𝑎
, a função retorna valores 
positivo ( + ). 
 Também podemos analisar com a 
construção do gráfico lembrando que para 
𝑎 > 0, a função é decrescente. 
 
 
 
Podemos fazer um resumo do estudo 
do sinal da função afim como está no quadro 
em destaque na coluna ao lado. Observe: 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 > 0,
{
 
 
 
 𝑓(𝑥) > 0 𝑠𝑒 𝑥 > −
𝑏
𝑎
𝑓(𝑥) = 0 𝑠𝑒 𝑥 = −
𝑏
𝑎
𝑓(𝑥) < 0 𝑠𝑒 𝑥 < −
𝑏
𝑎
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 11 FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 < 0,
{
 
 
 
 𝑓(𝑥) > 0 𝑠𝑒 𝑥 < −
𝑏
𝑎
𝑓(𝑥) = 0 𝑠𝑒 𝑥 = −
𝑏
𝑎
𝑓(𝑥) < 0 𝑠𝑒 𝑥 > −
𝑏
𝑎
 
 
 
Ex.1: Estudar o sinal da função 
𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1. 
Resolução 
𝑓(𝑥) = 0 ⟺ 2𝑥 + 1 = 0 ⟺ 𝑥 = −
1
2
 
Como 𝑎 > 0 (𝑎 = 2), temos que 𝑓 é 
crescente, assim: 
{
 
 
 
 𝑓(𝑥) > 0 𝑠𝑒 𝑥 > −
1
2
𝑓(𝑥) = 0 𝑠𝑒 𝑥 = −
1
2
𝑓(𝑥) < 0 𝑠𝑒 𝑥 < −
1
2
 
 Note que, de fato, quando 
procuramos, pela função acima, a imagem 
de um número qualquer maior que−
1
2
, 
encontraremos um valor positivo. A imagem 
de −
1
2
 é zero e a imagem de qualquer valor 
menor que −
1
2
 é um número negativo 
Só para exemplificar, vamos 
encontrar os valores de 𝑓(3) e de 𝑓(−5) 
𝑓(3) = 2 ∙ 3 + 1 = 7 
𝑓(−5) = 2 ∙ (−5) + 1 = −9 
Como previsto, a imagem de 3 é 
positiva e a imagem de -5 é negativa 
Ex.2: Estudar o sinal da função 
𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 3. 
Resolução: 
−2𝑥 + 3 = 0 ⟺ ⋯⟺ 𝑥 =
3
2
 
Como 𝑎 < 0 (𝑎 = −2), temos que a função 
𝑓 é decrescente, assim: 
{
 
 
 
 𝑓(𝑥) > 0 𝑠𝑒 𝑥 <
3
2
𝑓(𝑥) = 0 𝑠𝑒 𝑥 =
3
2
𝑓(𝑥) < 0 𝑠𝑒 𝑥 >
3
2
 
 
Mais uma vez vamos verificar a resposta 
com um valor maior que a raiz ( 5 ) e outro 
menor que a raiz ( 1 ). 
    113121  ff 
    713525  ff 
 
 
21) Estudar os sinais das seguintes funções 
definidas em ℝ: 
a) f(x) = 2x + 3 
b) f(x) = -3x + 2 
c) f(x) = 4 – x 
d) f(x) = 5 + x 
e)  
2
3
x
xf  
f)  
2
3
3

x
xf 
g)  
3
4
2  xxf 
h) f(x) = -x 
22) Seja 𝑓:ℝ → ℝ a função definida por 
𝑓(𝑥) = 4𝑥 – 5. Determine os valores do 
domínio para os quais a função produz 
imagem maior que 0 (zero). 
______________________ 
ATIVIDADES COMPLEMENTARES 
Pág. 163 – Exercícios 18 a 20 
 
CÁSSIO VIDIGAL 12 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
INEQUAÇÕES 
 O último exercício apresentado (22) é 
um exemplo de inequação. Vamos agora 
resolver outras inequações. 
 
 
Ex.: Seja 𝑓:ℝ → ℝ a função definida por 
f(x) = 4x – 5. Determine os valores do 
domínio para os quais a função produz 
imagem maior que 3. 
Resolução: 
Note que este exemplo é bem parecido com 
o último exercício. Para encontrar a solução, 
basta resolver a inequação 
 
4x – 5 > 3 
4x > 8 
x > 2 
Logo a solução é 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 > 2} 
 
Ex.2: Considerando as funções 
𝑓(𝑥) = 4𝑥 – 1 e 𝑔(𝑥) = −𝑥 + 3, determine 
os valores de x para os quais temos 
f(x)  g(x). 
 
Resolução: 
Vamos resolver a inequação: 
4𝑥 − 1 ≤ −𝑥 + 3 
4𝑥 + 𝑥 ≤ 3 + 1 
5𝑥 ≤ 4 
𝑥 ≤
4
5
 
Solução: 
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≤
4
5
} 
Esta solução pode ser verificada de fato 
quando você substitui em ambas as funções 
valores iguais. Vamos testar completando a 
tabela abaixo. Os dois primeiros valores são 
menores que 
4
5
 e os dois últimos são maiores. 
𝑥 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) Qual é maior? 
−1 
1
3
 
4
5
 
1 
4 
Este mesmo exemplo pode ter uma 
solução gráfica. No plano cartesiano abaixo, 
você pode ver os gráficos das duas funções. 
 
 Note que em 𝑥 = 
4
5
, as funções são 
iguais (é o ponto onde elas se cruzam). Para 
valores menores que
4
5
, a função 𝑓 é menor 
que a função 𝑔 e isto pode ser verificado pois 
à esquerda de 𝑥 =
4
5
 . o gráfico de 𝑓 está 
abaixo do gráfico de 𝑔. Esta situação se 
inverte à direita de 𝑥 =
4
5
. 
 
23) Para que valores reais de x a função 
𝑓(𝑥) =
2
3
−
𝑥
2
 é negativa? 
 
24) Para que valores do domínio da função 
de 𝑓: ℝ → ℝ definida por 𝑓(𝑥) =
3𝑥−1
2
 a 
imagem é menor que 4? 
 
25) Dadas as funções 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3, 
𝑔(𝑥) = 2 − 3𝑥 e ℎ(𝑥) =
4𝑥−1
2
 definidas e, ℝ, 
para quais valores de x tem-se: 
a) f(x) > g(x) 
b) g(x) < h(x) 
c) f(x)  h(x) 
 
 
 
MATEMÁTICA I 13 FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
26) 
 
Dados os gráficos das funções 𝑓, 𝑔 e ℎ 
definidas em ℝ e considerando cada 
quadrinho como uma unidade, determine os 
valores de 𝑥  ℝ, tais que: 
a) f(x) > g(x) 
b) g(x)  h(x) 
c) f(x)  h(x) 
d) g(x) > 4 
e) f(x)  0 
 
27) Dado um número real k, a função 
𝑓:ℝ → ℝ definida por 𝑓(𝑥) = 𝑘 ∙ 𝑥 é chamada 
de função linear (pág. 2). 
a) Prove que o gráfico da função linear passa 
pela origem do sistema de ordenadas. 
b) Prove que se f é linear então 
𝑓(𝑎 + 𝑏) = 𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏) ∀𝑥 ∈ ℝ 
 
28) Uma grandeza y é diretamente 
proporcional a uma grandeza x quando y é 
uma função linear de x. Se y é diretamente 
proporcional a x e quando 𝑥 = 4 temos 
 𝑦 = 10. Então, para 𝑥 = 10, qual é o valor 
de y? 
 
SISTEMA DE INEQUAÇÕES 
Um sistema de inequações é um 
conjunto de duas ou mais inequações 
consideradas simultaneamente o que 
equivale a inequações em x separadas pelo 
conectivo e. O conjunto solução do sistema 
de inequações é a INTERSECÇÃO dos 
conjuntos-solução das diversas 
inequações que a formam. 
 
 
Ex.1: Resolver o sistema de inequações 
{
3 − 2x ≤ 1 ①
 3x − 1 ≤ 5 ②
 
Resolução: 
De ①, 
3 − 2x ≤ 1 
𝑥 ≥ 1 
 
De ②, 
3x − 1 ≤ 5 
𝑥 ≤ 2 
 
Vamos, agora, fazer a interseção entre as 
soluções: 
 
Logo, a solução é: 
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 1 ≤ 𝑥 ≤ 2} 
 
Ex.2: Resolver o sistema 
{
𝑥 − 1
3
−
𝑥 + 1
4
≥ 4 ①
1 −
𝑥 + 2
3
≥ 0 ②
 
De ①, 
   
2929
245243322
4
6
1312
4
2
1
3
1








xx
xxx
xxxx
 
De ②, 
11
23
3
2
10
3
2
1






xx
x
xx
 
 
Solução: 
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≤ −29} 
 
CÁSSIO VIDIGAL 14 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
INEQUAÇÕES SIMULTÂNEAS 
 Uma dupla desigualdade 
f(x) < g(x) < h(x) pode ser decomposta em 
duas desigualdades simultâneas, isto é, 
equivale a uma sistema de duas inequações 
em x separadas pelo conectivo e, aquele 
mesmo da intersecção entre conjuntos que 
estudamos na primeira apostila. 
Por isso, para resolver uma situação 
com inequações simultâneas, devemos 
gerar um sistema de duas (ou mais) 
inequações e fazer a intersecção entre as 
soluções de cada inequação. Assim: 
     
   
   





xhxg
xgxf
xhxgxf 
 Indicando por S1 o conjunto solução 
da primeira inequação e por S2 o conjunto 
solução da segunda inequação, o conjunto 
solução das inequações simultâneas é: 
S = S1  S2 
 
Ex.: Resolver 3𝑥 + 2 < −𝑥 + 3 ≤ 𝑥 + 4 
Resolução: 
 
{
3𝑥 + 2 < −𝑥 + 3 ①
−𝑥 + 3 ≤ 𝑥 + 4 ②
 
De ①, De ②, 
4
1
14
323



x
x
xx
 
x
x
xx



2
1
21
43
 
A intersecção desses dois conjuntos é 
 
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ| −
1
2
≤ 𝑥 <
1
4
} 
 
29) Resolver os sistemas a seguir: 
a) 





0123
033
x
x
 
b) 





4826
2315
xx
xx
 
c) 
   
 




0225
01212
xx
xx
 
d) 
   
 




xxx
xx
71136
152231
 
 
30) Resolver as inequações em : 
a) -2 < 3x – 1 < 4 
b) -4 < 4 – 2x  3 
c) -3 < 3x – 2 < x 
d) 1
2
371 
x
xx 
e) 3x + 4 < 5 <6 – 2x 
f) 2 – x < 3x + 2 < 4x + 1 
 
31) Com base nos gráficos das funções f, g 
e h definidas em , determinar os valores 
de x  , tais que: 
 
a) f(x) < g(x)  h(x) 
b) g(x)  f(x)  h(x) 
c) h(x)  f(x) < g(x) 
INEQUAÇÕES-PRODUTO 
Sendo 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) duas funções na 
variável 𝑥, as inequações 
𝑓(𝑥)  𝑔(𝑥) > 0 𝑓(𝑥)  𝑔(𝑥) < 0 
𝑓(𝑥)  𝑔(𝑥)  0 𝑓(𝑥)  𝑔(𝑥)  0 
são denominadas inequações-produto. 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 15 FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
 Vejamos, porexemplo, como 
determinamos o conjunto solução S de uma 
inequação do tipo 𝑓(𝑥)  𝑔(𝑥) > 0. 
 De acordo com a regra dos sinais do 
produto de números reais, um número 𝑥0 é 
solução da inequação 𝑓(𝑥)  𝑔(𝑥) > 0 se, e 
somente se, 𝑓(𝑥0) e 𝑔(𝑥0), não nulos, têm o 
mesmo sinal. 
 Assim, são possíveis dois casos: 
1º: 𝑓(𝑥) > 0 e 𝑔(𝑥) > 0 
 Se S1 e S2 são, respectivamente, os 
conjuntos-soluções dessas inequações, 
então S1  S2 é o conjunto solução do 
sistema. 
2º: f(𝑥) < 0 e 𝑔(𝑥) < 0 
 Se S3 e S4 são, respectivamente, os 
conjuntos-soluções dessas inequações, 
então S3  S4 é o conjunto solução do 
sistema. 
 Daí concluímos que o conjunto-
solução da inequação produto 
𝑓(𝑥)  𝑔(𝑥) > 0 é: 
 
S = (S1  S2 )  (S3  S4 ) 
 Um raciocínio análogo poderia ser 
feito para f(x)  g(x) < 0 porém buscando 
intervalos onde as funções possuem sinais 
diferentes. 
 Também no caso de f(x)  g(x)  0 ou 
f(x)  g(x)  0, podemos agir da mesma forma 
sendo possível, neste caso, marcar os 
pontos que anulam cada função. 
 
 
Ex.1: Resolver em ℝ a inequação 
(𝑥 + 2) ∙ (2𝑥 − 1) > 0. 
Resolução 
Como estamos procurando valores 
para x que tornem o produto 
(𝑥 + 2) ∙ (2𝑥 − 1) positivo, então sabemos 
que (𝑥 + 2) e (2𝑥 − 1) devem ter o mesmo 
sinal. 
A forma mais prática de encontrar os 
intervalos onde isto acontece é fazer um 
estudo dos sinais de cada parte e montar 
num quadro como você verá. 
f(x) = x + 2 
x + 2 = 0  x = -2 
Como a função é crescente, 
 
 
 
2
1
012
12


xx
xxg
 
Esta função também é crescente, então, 
 
 Vamos agora montar um quadro para 
o estudo do sinal da inequação produto: 
 
Assim temos a solução: 
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 < −2 𝑜𝑢 𝑥 >
1
2
} 
Ex.2: Resolver em ℝ a inequação 
(3𝑥 − 2) ∙ (𝑥 + 1) ∙ (3 − 𝑥) < 0 
 
Resolução: 
 
3
2
023
23


xx
xxf
 
 
 
101
1


xx
xxg
 
 
 
303
3


xx
xxh
 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 16 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
 O próximo passo é montar o quadro 
de sinais onde a linha S é a solução obtida 
de 
     xhxgxf  
 
E temos a solução: 
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ| − 1 < 𝑥 <
2
3
 𝑜𝑢 𝑥 > 3} 
 Quando uma inequação-produto 
apresenta  ou , devemos lembrar que as 
raízes de cada uma das funções que formam 
a inequação-produto zeram toda a 
inequação e, desta forma, devem fazer parte 
da solução. 
 Veja no exemplo. 
 
Ex.1: Resolver, em ℝ, a inequação 
(𝑥 + 2) ∙ (2𝑥 − 1) ≥ 0 
 
 
f(x) = x + 2 
x + 2 = 0  x = -2 
 
 
2
1
012
12


xx
xxg
 
 
 
 
Assim temos a solução: 
 
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≤ −2 𝑜𝑢 𝑥 ≥
1
2
} 
_____________________________ 
 
 Dentre as inequações-produto, são 
importantes as inequações do tipo: 
 
     
      00
00


nn
nn
xfxf
xfxf
 
 Para resolver estas inequações, 
vamos lembrar duas propriedades das 
potências de base real e expoente inteiro: 
 “toda potência de base real e 
expoente par é um número real não 
negativo”, isto é: 
Nn,a,a n  02
 
 “toda potência de base real e 
expoente ímpar conserva o sinal da 
base”, ou seja: 
Nnaa
aa
aa
n
n
n






00
00
00
12
12
12
 
Assim sendo, temos as seguintes 
equivalências: 
  
 
 





parénsexf
ímparénsexf
xf
n
0
0
0 
  
 






parénsex
ímparénsexf
xf
n 0
0 
  
 
 





parénsefDx
ímparénsexf
xf
n 0
0 
  
 
 





parénsexf
ímparénsexf
xf
n
0
0
0 
 
 
Ex.1: 
 







3
2
023023
3
x|xSxx 
Ex.2: 
 







4
3
034034
6
x|xSxx 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 17 FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
Ex.3: 
 







2
1
512012
5
x|xSxx 
Ex.4:    Sx 02
4
 
Ex.5: 
   4028028
7
 x|xSxx 
Ex.6:    Sx 013
2
 
Ex.7:    4048048
4
 Sxx 
 
 
 
32) Resolver em ℝ as inequações a seguir: 
a)    03533  xx 
b)    02524  xx 
c)     034225  xxx 
d)     064323  xxx 
e)    07216  xx 
f)    02725  xx 
g)     0351423  xxx 
h)     0412735  xxx 
 
33) Resolver em ℝ as inequações a seguir: 
a)   03
4
x 
b)   083
3
x 
c)   054
6
 x 
d)   071
5
 x 
e)   053
2
x 
f)   015
3
x 
g)   034
4
 x 
h)   083
5
x 
 
34) Resolver em ℝ a inequação 
    0323
65
 xx 
 
35) Resolver em ℝ as inequações: 
a)     02745
34
 xx 
b)       045213
853
 xxx 
c)       054266
1047
 xxx 
d)       0646215
68
 xxx 
______________________ 
ATIVIDADES COMPLEMENTARES 
Pág. 164– Ver R.7 
INEQUAÇÃO-QUOCIENTE 
 
Sendo f(x) e g(x) duas funções de 
variável real x, as inequações do tipo 
 
 
 
0
xg
xf
 
 
 
0
xg
xf
 
 
 
0
xg
xf
 
 
 
0
xg
xf
 
são denominadas inequações-quociente. 
 Considerando que regras de sinais do 
produto e do quociente de números reais são 
análogas, podemos, então, construir o 
quadro-quociente de modo análogo ao 
quadro-produto observando o fato de que o 
denominador de uma fração nunca pode ser 
nulo. 
 
 
Ex.: Resolver em ℝ a inequação 2
1
43



x
x
. 
 Resolução: 
Inicialmente devemos transformar a 
desigualdade de forma a compará-la a 0 
(zero). 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 18 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
 
0
1
25
0
1
2243
0
1
12
1
43
02
1
43
2
1
43


















x
x
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
 
 
5
2
025
25


xx
xxf
 
 
 
101
1


xx
xxg
 
 
Fazendo o quadro-quociente para o estudo 
dos sinais, temos: 
 
Solução: 
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≤ −
2
5
 𝑜𝑢 𝑥 > 1} 
 
 
36) Resolver em ℝ as inequações: 
a) 0
2
12



x
x
 b) 0
23
23



x
x
 
c) 0
18
43



x
x
 d) 0
13
23



x
x
 
 
37) Resolver em ℝ as inequações: 
a) 1
43
35



x
x
 b) 2
43
25



x
x
 
c) 3
1
1



x
x
 d) 1
42
53



x
x
 
 
38) Resolver em ℝ as inequações: 
a)   
 
0
4
4321



x
xx b) 
 
  
0
3552
13



xx
x
 
c)   
 
0
45
1445



x
xx d)  
  
0
35
21



xx
x 
 
39) Resolver em ℝ as inequações: 
a) 
3
2
4
1


 xx
 b) 
2
2
1
1


 xx
 
c) 
4
3
2
1





x
x
x
x
 d) 
53
2
23
5





x
x
x
x
 
e) 
54
15
14
25





x
x
x
x
 
 
f) 0
3
3
2
2
1
1





 xxx
 
g) 
1
1
1
1
13
2




 xxx
 
______________________ 
 
ATIVIDADES COMPLEMENTARES 
Pág. 168– Análise de Resolução 
 
 
 
40) Construa, num mesmo plano cartesiano, 
o gráfico das funções abaixo. 
f(x) = x 
g(x) = x + 3 
h(x) = x - 3 
 
41) Construa, num mesmo plano cartesiano, 
o gráfico das funções abaixo. 
f(x) = -x 
g(x) = -x + 3 
h(x) = -x - 3 
 
42) Construa, num mesmo plano cartesiano, 
o gráfico das funções abaixo. 
f(x) = 2x - 4 
g(x) = x - 4 
h(x) = -x - 4 
 
43) Construa o gráfico da função: 
 






163
12
xparax
xparax
xf 
 
44) Construa o gráfico da função: 
 









45
423
232
xparax
xparax
xparax
xf 
 
 
 
MATEMÁTICA I 19 FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
RESPOSTAS 
1) 
 
 
2) 
 
 
3) 
 
 
4) a) 
 
 
 b) 
 
 
 c) 
 
 
 d) 
 
 
 e) 
 
 
 f) 
 
 
 
 g) 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 20 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
 h) 
 
 
5) Resolução: 
SOLUÇÃO ANALÍTICA. 
Existem diversas formas de se 
resolver analiticamente esta questão como, 
por exemplo, por substituição, por adição ou 
por comparação. Aqui vou resolver apenas 
por adição, mas você pode [e deve] escolher 
outra forma. 
{
𝑥 − 𝑦 = −3 × (−2)
2𝑥 + 3𝑦 = 4
 →
−2𝑥 + 2𝑦 = 6 
2𝑥 + 3𝑦 = 4 
 
Fazendo + encontramos: 
5𝑦 = 10 → 𝑦 = 2 
Substituindo em 
2𝑥 + 3 ∙ 2 = 4 → ⋯ → 𝑥 = −1 
 
 Solução: 𝑆 = {(−1; 2)} 
 
 
 SOLUÇÃO GEOMÉTRICA 
 O primeiro passo para resolverpelo 
método geométrico é escrever um sistema 
equivalente àquele dado porém isolando y 
em ambas as equações. 














3
4x2
y
3xy
4y3x2
3yx
 
Agora vamos construir os gráficos de cada 
umas das funções afins e o ponto de 
intersecção entre os dois gráficos será a 
solução do sistema. 
x 3x y x 
3
4x2  
Y 
0 30 3 2 
3
422  0 
-4 
34
 
-
1 
 -4 
 
3
442  
4 
 
 
 
 
Solução: 𝑆 = {(−1; 2)} 
 
6) a) 𝑆 = {(3; 2)} 
 
 
 b) 𝑆 = {(−2; 4)} 
 
 
 c) 𝑆 = Ø 
 
 
7) a) 𝑆 = {(3; −1)} 
 b) 𝑆 = {(2; 1)} 
8) Resolução 
Se estamos procurando uma 
equação de reta, então esta equação 
assumirá a forma de uma função afim do tipo 
y = ax + b. 
Desta forma, considerando que o 
ponto (1, 2) pertence à reta de equação y = 
ax + b, temos a sentença verdadeira 
2 = a • 1 + b  a + b = 2 
 Analogamente, para o ponto 
(3, -2) obtemos: 
-2 = a • 3 + b  3a + b = -2 
Resolvendo, agora, o sistema 





2ba3
2ba
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 21 FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
encontramos a = -2 e b = 4. Substituindo a e 
b em y = ax + b, encontramos a equação 
procurada que, neste caso, é: 
y = -2x + 4 
 
 b) 𝑦 = 2𝑥 + 1 
 c) 𝑦 = 𝑥 – 5 
 d) 𝑦 =
1−3𝑥
2
 
 
9) Resolução 
 A equação procurada é da forma y = ax + b. 
Se o coeficiente angular é 2, então a = 2. Substituindo x 
= 1, y = 3 e 
a = 2 em y = ax + b, vem: 
 
3 = 2 • 1 + b  b = 1 
Logo, a equação procurada é 
 
y = 2x + 1 
 
10) 𝑦 = −3𝑥 − 2 
 
11) 𝑦 = −
𝑥
2
−
1
2
. 
 
12) 𝑦 =
3
2
𝑥 − 4. 
13) 𝑦 = −
𝑥
3
− 3. 
 
14) a) 𝑦 =
𝑥
3
+
1
3
 
 b) 𝑦 = −
𝑥
2
+ 4 
 c) 𝑦 =
2𝑥
3
−
1
3
 
 d) 𝑦 = 2𝑥 + 3 
 
15) a) Crescente: 
 ] - ; -7[, ]-6; -4[ e ]1; [ 
Decrescente: 
]-7; -6[ e ]-4; 1[ 
 b) Crescente: ] -1; 0[ e ]1; [ 
Decrescente: ] - ; -1[ e ]0; 1[ 
 c) Crescente: ] - ; 0[ e ]0;  [ 
 
16) Demonstração 
 
17) Crescente: a, b, e, f, g. 
Decrescente: c, d, h. 
 
18) 𝑘 > −5 
 
19) a) Crescente para 
k – 1 > 0  k > 1 
Constante para 
k – 1 = 0  k = 1 
Decrescente para 
k – 1 < 0  k < 1 
 b) Cresc.: k > -5 
Const.: k = -5 
Decresc.: k < -5 
 c) Cresc.: k < 4 
Const.: k = 4 
Decresc.: k > 4 
 d) Cresc.: k > 0 
Const.: k = 0 
Decresc.: k < 0 
 
20) a) f(x) = 0 para x = -1 ou x = 0 ou 
x = 4 ou x = 7 
f(x) > 0 para x < -1 ou 
0 < x < 4 ou x > 7 
f(x) < 0 para -1 < x < 0 ou 
4 < x < 7 
 b) f(x) = 0 para x = -4 ou x = 1 ou 
x = 6 
f(x) > 0 para -4 < x < 1 
f(x) < 0 para x < -4 ou 
1 < x < 6 ou x > 6 
 c) f(x) = 0 para x = -2 ou x = 0 ou 
x = 2 
f(x) > 0 para x < -2 ou x > 2 
f(x) < 0 para -2 < x < 0 ou 
0 < x < 2 
 
21) a) 
{
 
 
 
 𝑦 > 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 > −
3
2
𝑦 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = −
3
2
𝑦 < −𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < −
3
2
. 
 b) 
{
 
 
 
 𝑦 > 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 <
2
3
𝑦 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 
2
3
𝑦 < −𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 >
2
3
. 
 c) {
𝑦 > 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 4
𝑦 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 4
𝑦 < −𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 > 4
. 
 d) {
𝑦 > 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 > −5
𝑦 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = −5
𝑦 < −𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < −5
. 
 
CÁSSIO VIDIGAL 22 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
 e) {
𝑦 > 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 6
𝑦 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 6
𝑦 < −𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 > 6
. 
 f) 
{
 
 
 
 𝑦 > 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 > −
9
2
𝑦 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = −
9
2
𝑦 < −𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < −
9
2
. 
 g) 
{
 
 
 
 𝑦 > 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 >
2
3
𝑦 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 
2
3
𝑦 < −𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 <
2
3
. 
 h) {
𝑦 > 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 0
𝑦 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 0
𝑦 < −𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 > 0
. 
 
22) 𝑥 > −
5
4
 
 
23) 𝑥 >
4
3
 
 
24) 𝑥 < 3 
 
25) a) 𝑥 ≥ −
1
5
 
 b) 𝑥 >
1
2
 
 c) ∀𝑥 ∈ ℝ 
 
26) a) 𝑥 > 2 
 b) 𝑥  0 
 c) ∄𝑥 ∈ ℝ 
 d) 𝑥 < −2 
 e) 𝑥  3 
 
27) (Demonstração) 
 
28) 𝑦 = 25 
 
29) a)𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 2 < 𝑥 < 4} 
 b) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | − 3 < 𝑥 <
1
2
} 
 c) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≤ −
4
3
} 
 d) 𝑆 = ∅ 
 
30) a) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | −
1
3
< 𝑥 <
5
3
} 
 b)𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 
1
2
≤ 𝑥 < 4} 
 c)𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | −
1
3
< 𝑥 < 1} 
 d)𝑆 = ∅ 
 e)𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 <
1
3
} 
 f)𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 > 1} 
 
31) a) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 1 < 𝑥 ≤ 4} 
 b) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | − 3 ≤ 𝑥 ≤ 1} 
 c) 𝑆 = ∅ 
 
32) a) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 < −1 𝑜𝑢 𝑥 >
3
5
} 
 b) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 < −
5
2
𝑜𝑢 𝑥 > 2} 
 c) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 < −
3
4
𝑜𝑢 −
2
5
< 𝑥 < 2} 
 d) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | −
2
3
< 𝑥 <
4
3
𝑜𝑢 𝑥 > 6} 
 e) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≤ −
7
2
𝑜𝑢 𝑥 ≥
1
6
} 
 f) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | −
2
7
≤ 𝑥 ≤
5
2
} 
 g) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≤ −
3
5
𝑜𝑢 −
1
4
≤ 𝑥 ≤
3
2
} 
 h) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ |
1
4
≤ 𝑥 ≤
5
3
𝑜𝑢 𝑥 ≥
7
2
} 
 
33) a) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≠ 3} 
 b) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 < −
8
3
} 
 c) 𝑆 = ∅ 
 d) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 <
1
7
} 
 e) 𝑆 = ℝ 
 f) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≤ −
1
5
} 
 g) 𝑆 = {−
4
3
} 
 h) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≥
8
3
} 
 
34) Solução: 
 Estudaremos, separadamente, os 
sinais das funções f(x) = (x – 3)5 e 
g(x) = (2x + 3)6. 
 
 Lembrando que potência de 
expoente ímpar e base real tem sinal da 
base então o sinal de (x – 3)5 é igual ao 
sinal de x – 3, isto é: 
 
 
 A potência de expoente par e base 
real não nula é sempre positiva, então (2x 
 
 
 
MATEMÁTICA I 23 FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
+ 3)6 é positivo se 
2
3
x e é nulo se 
2
3
x , isto é: 
 
 
 
Montando o quadro para estudo de sinais, 
temos: 
 
 
Assim, 
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 < 3 𝑜𝑢 𝑥 ≠ −
3
2
} 
 
35) a) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≥
2
7
} 
 b) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | −
1
3
< 𝑥 <
2
5
} 
 c) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≤ −6 𝑜𝑢 𝑥 =
1
3
 𝑜𝑢 𝑥 = −
5
4
} 
 d) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≥
1
5
𝑜𝑢 𝑥 = −3} 
 
36) a) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 < −2 𝑜𝑢 𝑥 > −
1
2
} 
 b) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 <
2
3
𝑜𝑢 𝑥 >
3
2
} 
 c) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | −
1
5
< 𝑥 ≤
3
4
} 
 d) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≤ −
3
2
𝑜𝑢 𝑥 > −
1
3
} 
 
37) a) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 <
7
8
𝑜𝑢 𝑥 >
4
3
} 
 b) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 < −10 𝑜𝑢 𝑥 > −
4
3
} 
 c) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | − 2 ≤ 𝑥 < −1} 
 d) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 1 ≤ 𝑥 < 2} 
 
38) a) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | −
3
4
< 𝑥 <
1
2
𝑜𝑢 𝑥 > 4} 
 b) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 < −
5
2
 𝑜𝑢 −
3
5
< 𝑥 < −
1
3
} 
 c) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≤
4
5
𝑜𝑢 −
1
4
≤ 𝑥 <
5
4
} 
 d) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ |
1
2
≤ 𝑥 < 3 𝑜𝑢 𝑥 > 5} 
 
39) a) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | − 3 < 𝑥 < 4 𝑜𝑢 𝑥 > 11} 
 b) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 0 < 𝑥 < 1 𝑜𝑢 𝑥 > 2} 
 c) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | − 4 < 𝑥 < −2} 
 d) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 < −
5
3
𝑜𝑢 −
29
24
≤ 𝑥 < −
2
3
} 
 e) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | −
5
4
< 𝑥 < −
9
42
𝑜𝑢 𝑥 >
1
4
 } 
 f) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ |𝑥 < 1 𝑜𝑢
3
 2
< 𝑥 < 2 𝑜𝑢 𝑥 > 3} 
 g) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | − 1 < 𝑥 ≤ 0 𝑜𝑢 
1
3
<
𝑥 < 1 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 3} 
 
40) 
 
 
 
41) 
 
 
42) 
 
 
43) 
 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 24 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
44) 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 
 
DANTE, Luiz Roberto; Matemática. 
São Paulo, Ática, 2004 
MACHADO, Antônio dos Santos; 
Matemática, Temas e Metas. São Paulo, 
Atual, 1988 
IEZZI, Gelson e outros; 
Fundamentos da Matemática Elementar, 
Volume 1. São Paulo, Atual, 5ª edição 
Links para as vídeos-aulas sugeridas 
Pág. 06 http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/graficof1g/ 
Pág. 25 http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/estudosinalf1g 
Pág. 39 http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/inequacao-
produto/ 
 
Demonstração: 
 
 
 
Sejam A, B e C três pontos quaisquer 
distintos pertencentes ao gráfico cartesiano 
da função y = ax + b com a  0 e (x1; y1), (x2; 
y2) e (x3, y3), respectivamente, as 
coordenadas cartesianas destes pontos. 
 
Para provar que os pontos A, B e C 
pertencem a uma mesma reta, vamos 
mostrar, em princípio, que os triângulos 
ABD e BCE são semelhantes. 
 
Note que 
: 
 
 
  3baxyfy;x
2baxyfy;x
1baxyfy;x
3333
2222
1111



 
Fazendo 23  , temos: 
  4xxayy
baxy
baxy
2323
22
33



 
Fazendo 12  , temos: 
  5xxayy
baxy
baxy
1212
11
22



 
De 4 , 
 
12
12
1212
xx
yy
a
xxayy




 
De 5 , 
 
23
23
2323
xx
yy
a
xxayy




 
Assim, 
23
23
12
12
xx
yy
xx
yy
a





 
Logo os triângulos ABD e BCE são 
semelhantes e assim, os ângulos e  são 
iguais e, consequentemente A, B e C estão 
alinhados. Daí está provado que o gráfico da 
função afim é uma reta. 
 
 Sabendo, agora, que o gráfico da 
função afim é uma reta e que para 
determinar uma reta precisamos apenas de 
dois pontos, vamos usar deste recurso para 
construir tais gráficos. Veja nos exemplos a 
seguir.