4 geometria

Prévia do material em texto

Lista de Exercícios: Matemática | Geometria 
Página 1 de 49 
 
1. (Unicamp 2021) No plano cartesiano, 
considere a reta de equação 
x 2y 4,+ =
 
sendo 
A,B
 os pontos de interseção dessa 
reta com os eixos coordenados. A equação 
da reta mediatriz do segmento de reta AB é 
dada por 
a) 
2x y 3.− =
 
b) 
2x y 5.− =
 
c) 
2x y 3.+ =
 
d) 
2x y 5.+ =
 
 
2. (Unicamp 2020 - Adaptada) A figura 
abaixo exibe a planificação de um poliedro 
convexo, com faces triangulares 
congruentes e faces retangulares, em que 
são indicados os comprimentos 
a, b
 e c. 
 
 
 
A soma do número de vértices e de arestas 
desse poliedro é 
a) 28 
b) 25 
c) 20 
d) 16 
e) 15 
 
3. (Famerp 2020) Dois cubos idênticos, de 
aresta igual a 
1dm,
 foram unidos com 
sobreposição perfeita de duas das suas 
faces. P é vértice de um dos cubos, Q é 
vértice do outro cubo e R é vértice 
compartilhado por ambos os cubos, 
conforme indica a figura. 
 
 
 
A área do triângulo de vértices 
P, Q
 e R é 
igual a 
a) 
26
dm
2 
b) 
26
dm
3 
c) 
23
dm
2 
d) 
26
dm
6 
e) 
22 3
dm
3 
 
4. (Unicamp 2020) Se um tetraedro regular 
e um cubo têm áreas de superfície iguais, a 
razão entre o comprimento das arestas do 
tetraedro e o comprimento das arestas do 
cubo é igual a 
a) 2 3. 
b) 
4 2 3. 
c) 
42 3. 
d) 
4 42 3. 
 
5. (Unesp 2020) O quilate do ouro é a razão 
entre a massa de ouro presente e a massa 
total da peça, multiplicada por 24. Por 
exemplo, uma amostra com 18 partes em 
massa de ouro e 6 partes em massa de 
outro metal (ou liga metálica) é um ouro de 
18 quilates. 
 
Assim, um objeto de ouro de 18 quilates 
tem 
3
4 de ouro e 
1
4 de outro metal em 
massa. 
 
O ouro é utilizado na confecção de muitos 
objetos, inclusive em premiações 
esportivas. A taça da copa do mundo de 
futebol masculino é um exemplo desses 
objetos. 
 
A FIFA declara que a taça da copa do 
mundo de futebol masculino é maciça (sem 
nenhuma parte oca) e sua massa é de 
pouco mais de 
6 kg.
 Acontece que, se a 
taça fosse mesmo de ouro e maciça, ela 
pesaria mais do que o informado. 
 
(“O peso da taça”. 
https://ipemsp.wordpress.com. Adaptado.) 
 Lista de Exercícios: Matemática | Geometria 
Página 2 de 49 
 
 
 
Considere que a taça seja feita apenas com 
ouro 18 quilates, cuja composição é de ouro 
com densidade 
319,3 g cm
 e uma liga 
metálica com densidade 
36,1g cm , e que o 
volume da taça é similar ao de um cilindro 
reto com 
5 cm
 de raio e 
36 cm
 de altura. 
 
Utilizando 3,π = se a taça fosse maciça, 
sua massa teria um valor entre 
a) 
30 kg
 e 
35 kg.
 
b) 
15 kg
 e 
20 kg.
 
c) 
40 kg
 e 
45 kg.
 
d) 
10 kg
 e 
15 kg.
 
e) 
20 kg
 e 
25 kg.
 
 
6. (Famerp 2020) Em um plano cartesiano, 
dois vértices de um triângulo equilátero 
estão sobre a reta de equação 
y 2x 2.= −
 O 
terceiro vértice desse triângulo está sobre a 
reta de equação 
y 2x 2.= +
 A altura desse 
triângulo, na mesma unidade de medida dos 
eixos cartesianos ortogonais, é igual a 
a) 
4 3
5 
b) 
3 3
4 
c) 
2 5
5 
d) 
4 5
5 
e) 
3
2 
 
7. (Fgv 2020) No plano cartesiano, a reta de 
equaחדo 
3x 4y 0+ =
 determina, na 
circunferךncia 
2 2x y 4x 2y 20 0,+ − − − =
 
uma corda cujo comprimento י: 
a) 2 22 
b) 2 18 
c) 2 20 
d) 2 21 
e) 2 19 
 
8. (Unicamp 2020) Sabendo que 𝑐 é um 
número real, considere, no plano cartesiano, 
a circunferência de equação 
2 2x y 2cx.+ = 
Se o centro dessa circunferência pertence à 
reta de equação 
x 2y 3,+ =
 então seu raio é 
igual a 
a) 2. 
b) 3. 
c) 2. 
d) 3. 
 
9. (Esc. Naval 2020) Seja uma elipse 
centrada na origem de focos 
A(0; 4)−
 e B. 
Considere 
C(4; 4)
 e P pontos sobre a 
elipse. Dado o ponto 
D(3; 2),
 considere m 
a distância de D a P e n a distância de P 
a um dos focos. O menor valor possível de 
m n+ é: 
a) 
5
2 2
2
 
 +  
  
b) 
5
2
2
 
+  
  
c) 
5
2 2
2
 
 −  
  
d) 
2 (2 5) +
 
e) 
(2 5)+
 
 
10. (Famerp 2020) A figura indica o 
retângulo FAME e o losango MERP 
desenhados, respectivamente, em uma 
parede e no chão a ela perpendicular. O 
ângulo 
ˆMER mede 120 , 
ME 2 m=
 e a 
área do retângulo FAME é igual a 
212 m . 
 
 
 
Na situação descrita, a medida de RA é 
 Lista de Exercícios: Matemática | Geometria 
Página 3 de 49 
 
a) 
3 3 m
 
b) 
4 3 m
 
c) 
5 2 m
 
d) 
3 2 m
 
e) 
4 2 m
 
 
11. (Espm 2019) Dona Maria confecciona 
bolos com a forma abaixo e vende-os aos 
pedaços. 
 
 
 
A tabela mostra as diversas opções de cor-
tes no bolo e seus respectivos preços por 
pedaços: 
 
 
 
A opção que proporciona o maior lucro para 
a vendedora é a: 
a) A 
b) B 
c) C 
d) D 
e) E 
 
12. (Unesp 2019) Os pontos P e Q sobre 
a superfície da Terra possuem as seguintes 
coordenadas geográficas: 
 
 Latitude Longitude 
P 30 N 45 L 
Q 30 N 15 O 
 
Considerando a Terra uma esfera de raio 
6.300 km,
 a medida do menor arco PQ 
sobre a linha do paralelo 
30 N
 é igual a 
a) 
1.150 3 kmπ
 
b) 
1.250 3 kmπ
 
c) 
1.050 3 kmπ
 
d) 
1.320 3 kmπ
 
e) 
1.350 3 kmπ
 
 
13. (Espm 2019) No plano cartesiano 
abaixo estão representados o gráfico da 
função 
2y x=
 e o triângulo equilátero OAB. 
 
 
 
A área desse triângulo mede: 
a) 2 3 
b) 3 
c) 3 
d) 2 
e) 3 3 
 
14. (Espm 2019) As soluções reais da 
equação 
2 2 2 2(x x) (y y) 0− + − =
 
representadas em um plano cartesiano, são 
vértices de um polígono cuja área vale: 
a) 1 
b) 2 
c) 2 
d) 2 2 
e) 4 
 
15. (Espm 2019) A figura abaixo representa 
uma parte de um bairro, onde os segmentos 
são as ruas e os pontos são as esquinas. 
Como só podemos caminhar pelas ruas, a 
distância entre os pontos A e B é de 6 
quarteirões. 
 
 Lista de Exercícios: Matemática | Geometria 
Página 4 de 49 
 
 
 
O número de esquinas assinaladas no 
mapa, que são equidistantes de A e B, é 
igual a: 
a) 5 
b) 6 
c) 9 
d) 8 
e) 7 
 
16. (Espm 2019) Num triângulo retângulo 
de hipotenusa a e catetos b e c, a medida 
da altura relativa à hipotenusa é igual a 4. 
O valor da expressão 
a b c
b c a c a b
+ +
   é 
igual a: 
a) 1 
b) 2 
c) 
1
2 
d) 
1
4 
e) 
1
8 
 
17. (Espm 2019) Uma praça tem a forma de 
um quadrado de 
200 m
 de lado. Partindo 
juntas de um mesmo canto P, duas amigas 
percorrem o perímetro da praça 
caminhando em sentidos opostos, com 
velocidades constantes. O primeiro en-
contro delas se dá em um ponto A e o 
segundo, em um ponto B. Se a medida do 
segmento PA é 
250 m,
 então, o segmento 
PB mede: 
a) 
50 m
 
b) 
100 m
 
c) 
150 m
 
d) 
200 m
 
e) 
250 m
 
 
18. (Espm 2019) Se o lado de cada 
quadrícula da figura abaixo mede 
4 m,
 a 
área do terreno representado mede: 
 
 
a) 
2448 m
 
b) 
2512 m
 
c) 
2380 m
 
d) 
2624 m
 
e) 
2655 m
 
 
19. (Unicamp 2019) No triângulo ABC 
exibido na figura a seguir, M é o ponto 
médio do lado AB, e N é o ponto médio do 
lado AC. 
 
 
 
Se a área do triângulo MBN é igual a t, 
então a área do triângulo ABC é igual a 
a) 3t. 
b) 2 3t. 
c) 4t. 
d) 3 2t. 
 
20. (Espm 2019) Na figura abaixo, ABCD 
 Lista de Exercícios: Matemática | Geometria 
Página 5 de 49 
 
é um quadrado e M é ponto médio do lado 
AD. O valor de 
tgα
 é: 
 
 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
21. (Esc. Naval 2018) Observe a figura 
abaixo. 
 
 
 
O cubo ABCDEFGH, de aresta 
3 cm,
 é 
rotacionado em torno de sua diagonal AG, 
gerando um sólido de revolução de volume 
V. Dessa forma, pode-seafirmar que o 
valor de V, em 
3cm , é tal que: 
a) V 17 
b) 17 V 27  
c) 36 V 55  
d) 27 V 36  
e) 55 V 74  
 
22. (Espm 2018) Um marceneiro dispunha 
de 2 placas de madeira iguais, medindo 
60 cm
 por 
2 m.
 Sem sobrepor as placas, 
ele fez exatamente 7 cortes retilнneos, 
dividindo-as em peзas retangulares, com as 
quais construiu a estante mostrada ao lado, 
sem sobra alguma de material. 
 
 
 
Supondo desprezнveis as espessuras dos 
cortes e das placas, podemos afirmar que o 
volume 
V x y z=  
 ocupado pela estante, 
em 
3cm й igual a: 
a) 264.000 
b) 176.000 
c) 198.000 
d) 236.000 
e) 218.000 
 
23. (Fgv 2018) Sobre a face quadrada 
BCHG do paralelepípedo reto-retângulo 
ABCDEFGH foram traçados GQ e HP, 
intersectando-se em J, com P e Q 
dividindo BC em três segmentos 
congruentes tais que BP PQ QC.= = Sabe-
se ainda que 
HE 8 cm=
 e que GJHEFI é 
um prisma reto de volume 
381cm . 
 
 
 Lista de Exercícios: Matemática | Geometria 
Página 6 de 49 
 
 
O volume do paralelepípedo ABCDEFGH, 
em 
3cm , é igual a 
a) 243. 
b) 216. 
c) 192. 
d) 96. 
e) 72. 
 
24. (Espm 2018) A figura abaixo representa 
a planificação da superfície lateral de um 
prisma triangular reto, onde as medidas 
x, y, z
 e w são números inteiros 
consecutivos, nessa ordem. 
 
 
 
Se a soma das medidas de todas as arestas 
desse prisma é 
42 cm,
 podemos afirmar 
que seu volume é de: 
a) 
336 cm
 
b) 
342 cm
 
c) 
348 cm
 
d) 
354 cm
 
e) 
360 cm
 
 
25. (Fgv 2018) Um telhado retangular 
ABCD ABCD tem área igual a 
2120 m
 e 
está conectado a uma calha de escoamento 
de água da chuva. A calha tem a forma de 
um semicilindro reto, de diâmetro 
AF DE 0,4 m= =
 e capacidade igual a 720 
litros. 
 
 
 
Considerando 
DG 5 m=
 e adotando 3,π = 
a medida do ângulo agudo 
ˆCDG, indicada 
na figura por ,α é igual a 
a) 75 . 
b) 60 . 
c) 45 . 
d) 30 . 
e) 15 . 
 
26. (Fgv 2018) Um trapézio é delimitado 
pelos eixos x e 
y
 do plano cartesiano e 
pelas retas de equações 
y 2x 1= +
 e x 4.= 
O sólido de revolução obtido quando esse 
trapézio sofre uma rotação completa em 
torno do eixo 
y
 tem volume, em unidades 
cúbicas de comprimento dos eixos 
cartesianos, igual a 
a) 
304
3
π
 
b) 101π 
c) 
302
3
π
 
d) 96π 
e) 
286
3
π
 
 
27. (Unesp 2018) Observe a figura da 
representação dos pontos M e N sobre a 
superfície da Terra. 
 
 Lista de Exercícios: Matemática | Geometria 
Página 7 de 49 
 
 
 
Considerando a Terra uma esfera de raio 
6.400 km
 e adotando = 3,π para ir do 
ponto M ao ponto N, pela superfície da 
Terra e no sentido indicado pelas setas 
vermelhas, a distância percorrida sobre o 
paralelo 60 Norte será igual a 
a) 
2.100 km.
 
b) 
1.600 km.
 
c) 
2.700 km.
 
d) 
1.800 km.
 
e) 
1.200 km.
 
 
28. (Fgv 2018) Dados, em um plano ,α uma 
reta d e um ponto F fora dela, a parábola é 
o lugar geométrico dos pontos de α 
equidistantes de d e de F. No plano 
cartesiano, se F tem coordenadas 
(5, 7)
 e 
d tem equação 
y 3,=
 então, a equação da 
parábola associada 
ao ponto F e à reta d é 
a) 
2y 0,25x 1,2x 8,1.= − +
 
b) 
2y 0,125x 1,25x 8,125.= − +
 
c) 
2y 0,25x 0,125x 8,125.= − +
 
d) 
2y 1,25x 0,25x 8,25.= − +
 
e) 
2y 0,225x 0,125x 8.= − +
 
 
29. (Fgv 2018) Duas pessoas combinaram 
de se encontrar entre 12h00 e 13h00. Elas 
também combinaram de esperar até 20 
minutos pela outra pessoa depois de chegar 
ao local do encontro. Assumindo que os 
horários de chegada ao local de encontro 
são uniformemente distribuídos no intervalo 
de uma hora, que vai das 12h00 às 13h00, 
a probabilidade de que elas se encontrem 
no intervalo combinado é igual a 
a) 
1
3 
b) 
4
9 
c) 
5
9 
d) 
2
3 
e) 
5
6 
 
30. (Espm 2018) Seja A o vértice da 
parábola de equação 
2y x 4x 6.= − +
 A reta 
que passa pela origem O do plano 
cartesiano e pelo ponto A intercepta a 
parábola também num ponto B. Pode-se 
afirmar que: 
a) OA AB= 
b) OA 2 AB=  
c) AB 2 OA=  
d) AB 3 OA=  
e) OA 3 AB=  
 
31. (Unesp 2018) Dois dos materiais mais 
utilizados para fazer pistas de rodagem de 
veículos são o concreto e o asfalto. Uma 
pista nova de concreto reflete mais os raios 
solares do que uma pista nova de asfalto; 
porém, com os anos de uso, ambas tendem 
a refletir a mesma porcentagem de raios 
solares, conforme mostram os segmentos 
de retas nos gráficos. 
 
 
 
Mantidas as relações lineares expressas 
nos gráficos ao longo dos anos de uso, duas 
 Lista de Exercícios: Matemática | Geometria 
Página 8 de 49 
 
pistas novas, uma de concreto e outra de 
asfalto, atingirão pela primeira vez a mesma 
porcentagem de reflexão dos raios solares 
após 
a) 8,225 anos. 
b) 9,375 anos. 
c) 10,025 anos. 
d) 10,175 anos. 
e) 9,625 anos. 
 
32. (Fgv 2018) Sejam m e n números reais 
e 
3x my n
x 2y 1
+ =

+ = um sistema de equações 
nas incógnitas x e 
y.
 A respeito da 
representação geométrica desse sistema no 
plano cartesiano, é correto afirmar que, 
necessariamente, é formada por duas retas 
a) paralelas distintas, se m 6= e n 3. 
b) paralelas coincidentes, se m 6= e n 3. 
c) paralelas distintas, se m 6.= 
d) paralelas coincidentes, se n 3.= 
e) concorrentes, se m 0. 
 
33. (Unesp 2018) Os pontos P e 
Q(3, 3)
 
pertencem a uma circunferência centrada 
na origem do plano cartesiano. P também é 
ponto de intersecção da circunferência com 
o eixo 
y. 
 
 
 
Considere o ponto R, do gráfico de 
y x,=
 
que possui ordenada 
y
 igual à do ponto P. 
A abscissa x de R é igual a 
a) 9. 
b) 16. 
c) 15. 
d) 12. 
e) 18. 
 
34. (Fgv 2018) A solução gráfica do sistema 
de inequações 
2 2
2 2
3x y 2
x y 1
 + 

+  é a região 
sombreada em 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
35. (Espm 2018) Num sistema de 
coordenadas cartesianas, considere que o 
caminho que liga dois pontos só poderá ser 
feito através de segmentos paralelos aos 
eixos coordenados. Dessa forma, teremos 
uma maneira diferente de calcular a 
distância entre dois pontos A e B. Vamos 
representá-la por 
d(AB)
 e calculá-la da 
 Lista de Exercícios: Matemática | Geometria 
Página 9 de 49 
 
seguinte maneira: 
A B A Bd(AB) | x x | | y y |,= − + −
 como no 
exemplo abaixo: 
 
 
 
A B A Bd(AB) | x x | | y y |
d(AB) 4 2 6
= − + −
= + = 
 
De acordo com o texto acima, assinale a al-
ternativa que representa o conjunto dos in-
finitos pontos P do plano que estão à 
distância 
d(OP) 5=
 do ponto O : 
 
 
 
36. (Fgv 2018) Um triângulo isósceles 
ABC, com AB AC 1,= = é tal que cada 
ângulo da base BC mede o dobro do ângulo 
de vértice A. Se cos18 m, = então, o 
quadrado de BC é igual a 
a) 
22 1 m 1 m + − − 
  
b) 
22 1 m 1 m − + − 
  
c) 
22 2m− 
d) 
24 2m− 
e) 
24 4m− 
 
37. (Fgv 2018) Seja ABCD um 
paralelogramo e 
AP,BQ, CR
 e DS 
segmentos contidos em retas paralelas 
entre si, localizados do mesmo lado do 
plano que contém o paralelogramo ABCD. 
Sabe-se que 
AP 10,BQ 8, CR 18,DS 22,= = = =
 T é 
ponto de intersecção entre AC e BD, e que 
M e N são, respectivamente, pontos 
médios de PR e QS, como mostra a figura. 
 
 
 
Nas condições dadas, a medida MN é igual 
a 
a) 1. 
b) 1,5. 
c) 2. 
d) 2,5. 
e) 3. 
 
38. (Fgv 2018) A figura representa uma 
semicircunferência de diâmetro CD, 
perfeitamente inscrita no retângulo ABCD. 
Sabe-se que P é um ponto de AB, e que 
 Lista de Exercícios: Matemática | Geometria 
Página 10 de 49 
 
AP é diâmetro da circunferênciaque 
tangencia a semicircunferência maior em T. 
 
 
 
Se 
CD 8 cm,=
 a área sombreada na figura 
é, em 
2cm , igual a 
a) 
64 15
2
π−
 
b) 32 8π− 
c) 
64 15
4
π−
 
d) 32 9π− 
e) 16 4π− 
 
39. (Famerp 2018) As tomografias 
computadorizadas envolvem sobreposição 
de imagens e, em algumas situações, é 
necessário conhecer a área da região de 
intersecção das imagens sobrepostas. Na 
figura, um triângulo equilátero ABC se 
sobrepõe a um círculo de centro N e raio
NB NC NM,= = com M e N sendo pontos 
médios, respectivamente, de AB e BC. 
 
 
 
Sendo a área de triângulo equilátero de lado 
 igual a 
2 3
4 e a área de círculo de raio 
r igual a 
2r ,π se o lado do triângulo ABC 
medir 
4 cm,
 então, a área de intersecção 
entre o triângulo e o círculo, em 
2cm , será 
igual a 
a) 3 3π + 
b) 
3 3
2
π +
 
c) 3π + 
d) 
2 6 3
3
π +
 
e) 2 3π + 
 
40. (Espm 2018) Considere uma malha 
quadriculada cujas células são quadrados 
de lado 1. Segundo o teorema de Pick, a 
área de um polígono simples cujos vértices 
são nós dessa malha, é igual ao número de 
nós da malha que se encontram no interior 
do polígono mais metade do número de nós 
que se encontram sobre o perímetro do 
polígono, menos uma unidade. 
 
 
 
De acordo com esse teorema, a área do po-
lígono representado na figura acima é igual 
a: 
a) 21 
b) 18 
c) 23 
d) 19 
e) 22 
 
41. (Espm 2018) O quadrado e o retângulo 
da figura abaixo foram montados com as 
mesmas 4 peças. A medida x é igual a: 
 
 Lista de Exercícios: Matemática | Geometria 
Página 11 de 49 
 
 
a) 2 5 1− 
b) 5 1− 
c) 5 1+ 
d) 3 5 2− 
e) 
3 5
2 
 
42. (Espm 2018) Na figura abaixo, 
M,N
 e 
P são os pontos de tangência do triângulo 
retângulo ABC com sua circunferência 
inscrita. Se AB 3= e AC 4,= a área do 
triângulo BMN é igual a: 
 
 
a) 1,2 
b) 2,0 
c) 1,8 
d) 2,4 
e) 1,6 
 
43. (Fgv 2018) A figura indica um hexágono 
regular ABCDEF, de área 1S ,
 e um 
hexágono regular GHIJKL, de vértices nos 
pontos médios dos apótemas do hexágono 
ABCDEF e área 2S . 
 
 
 
Nas condições descritas, 
2
1
S
S
 é igual a 
a) 
3
4 
b) 
8
25 
c) 
7
25 
d) 
1
5 
e) 
3
16 
 
44. (Fgv 2018) Sabe-se da trigonometria 
que 
2 2sen cos 1.θ θ+ = Um triângulo ABC 
possui coordenadas 
A( 6, 0),B(6, 0), C(6 cos , 6 sen ),θ θ−
 com 
θ e sen 0.θ  Sendo assim, o triângulo 
ABC, necessariamente, é 
a) isósceles e tem área igual a 36. 
b) equilátero e tem área máxima igual a 
36 3. 
c) retângulo e tem área máxima igual a 12. 
d) retângulo e tem área máxima igual a 36. 
e) acutângulo e tem área máxima igual a 
12. 
 
45. (Espm 2018) As soluções inteiras da 
equação 
2 2x y 7− =
 representam pontos 
no plano cartesiano. A área do polígono 
convexo com vértices nesses pontos é igual 
a: 
a) 72 
b) 64 
c) 56 
 Lista de Exercícios: Matemática | Geometria 
Página 12 de 49 
 
d) 52 
e) 48 
 
46. (Esc. Naval 2017) Sejam 
g
 e f funções 
reais, determine a área da região limitada 
pelo eixo 
y,
 por 
g(x) | x 3 | 4= − − +
 e pela 
assíntota de 
3 3 2f(x) x x= −
 e assinale a 
opção correta. 
a) 
13
4 
b) 
40
9 
c) 7 
d) 
81
16 
e) 9 
 
47. (Unicamp 2017) Considere o quadrado 
de lado a 0 exibido na figura abaixo. Seja 
A(x)
 a função que associa a cada 0 x a  
a área da região indicada pela cor cinza. 
 
 
 
O gráfico da função 
y A(x)=
 no plano 
cartesiano é dado por 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
 
48. (Unicamp 2017) Um paralelepípedo 
retângulo tem faces de áreas 
22 cm ,
 
23 cm
 
e 
24 cm .
 O volume desse paralelepípedo é 
igual a 
a) 
32 3 cm .
 
b) 
32 6 cm .
 
c) 
324 cm .
 
d) 
312 cm .
 
 
49. (Espm 2017) Em volta do 
paralelepípedo reto-retângulo mostrado na 
figura abaixo será esticada uma corda do 
vértice A ao vértice E, passando pelos 
pontos 
B, C
 e D. 
 
 
 
De acordo com as medidas dadas, o menor 
comprimento que essa corda poderá ter é 
igual a: 
 Lista de Exercícios: Matemática | Geometria 
Página 13 de 49 
 
a) 15 
b) 13 
c) 16 
d) 14 
e) 17 
 
50. (Esc. Naval 2017) Sejam 
A, B, C, D
 e X 
pontos do 
3. Considere o tetraedro 
ABCD e a função real f, dada por 
3x 1
f(x) .
x 4
−
=
− Sabendo que o número real 
m é o valor para que 
AB AD
X A m AC
3 2
 
= + − +  
  pertença ao 
plano BCD, calcule 
f '( m)−
 e assinale a 
opção correta. 
a) 
1
2 
b) 
1
3 
c) 
1
4 
d) 
1
5 
e) 
1
6 
 
51. (Esc. Naval 2017) Uma pirâmide 
triangular tem como base um triângulo de 
lados 
13 cm,14 cm
 e 
15 cm;
 as outras 
arestas medem . Sabendo que o volume 
da pirâmide é de 
3105 22 cm ,
 o valor de , 
em cm, é igual a: 
a) 
155
8 
b) 
335
11 
c) 
275
9 
d) 
205
8 
e) 
95
8 
 
52. (Fatec 2017) Um cilindro circular reto é 
dividido em N partes quando interceptado 
por quatro planos. Um dos planos é paralelo 
às bases do cilindro e os outros três, 
perpendiculares a elas. A figura mostra os 
cortes obtidos com essas intersecções. 
 
 
 
Assim sendo, de acordo com a figura, o 
valor de N é 
a) 10. 
b) 12. 
c) 14. 
d) 15. 
e) 17. 
 
53. (Espm 2017) O designer de uma 
empresa precisa criar uma embalagem que 
atenda a dois requisitos: 
 
- Caber, em seu interior, uma fina haste re-
tilínea de 
10 cm
 de comprimento. 
- Ter o menor espaço interno possível. 
 
Entre os modelos apresentados abaixo, 
apenas um atende aos requisitos 
necessários. Assinale a alternativa 
correspondente a ele. 
 
Obs.: as medidas estão dadas em centíme-
tros. Para os cálculos, use 3,14.π = 
a) 
b) 
 Lista de Exercícios: Matemática | Geometria 
Página 14 de 49 
 
c) 
d) 
e) 
 
54. (Fgv 2017) Os pontos 
A(0,1),
 
B(1,1),
 
C(1, 0)
 e 
D( k, k),− −
 com k 0, formam o 
quadrilátero convexo ABCD, com eixo de 
simetria sobre a bissetriz dos quadrantes 
ímpares. 
 
 
 
O valor de k para que o quadrilátero ABCD 
seja dividido em dois polígonos de mesma 
área pelo eixo 
y
 é igual a 
a) 
2 5
.
4
+
 
b) 
3 2
.
4
+
 
c) 
1 2
.
2
+
 
d) 
1 3
.
2
+
 
e) 
1 5
.
2
+
 
 
55. (Fgv 2017) Os pontos de coordenadas 
cartesianas 
(2, 3)
 e 
( 1, 2)−
 pertencem a 
uma circunferência. Uma reta que passa, 
necessariamente, pelo centro dessa 
circunferência tem equação 
a) 
3x y 9 0.− + =
 
b) 
3x y 9 0.+ − =
 
c) 
3x y 4 0.+ − =
 
d) 
x 3y 4 0.+ − =
 
e) 
x 3y 9 0.+ − =
 
 
56. (Fgvrj 2017) Considere a reta de 
equação 
4x 7y 10 0.− + = 
Seja 
y mx h= +
 a equação da reta obtida ao 
se fazer a reflexão da reta dada em relação 
ao eixo X.− 
 
O valor de m h+ é: 
a) 
10
11
−
 
b) 
10
7
−
 
c) 2− 
d) 7− 
e) 10− 
 
57. (Espm 2017) Os pontos do plano 
cartesiano que atendem às condições 
0 x 4, 0 y 3   
 e 
x y 2+ 
 
simultaneamente, formam uma figura plana 
cuja área é igual a: 
a) 14 
b) 16 
c) 12 
d) 10 
e) 8 
 
58. (Fgv 2017) No plano cartesiano, a 
região determinada pelas inequações 
simultâneas 
2 2x y 4+ 
 e 
x y 0+ 
 tem 
área igual a: 
a) 2π 
b) 2,5π 
c) 3π 
d) 3,5π 
e) 4π 
 
59. (Unicamp 2017) Considere a 
circunferência de equação cartesiana 
 Lista de Exercícios: Matemática | Geometria 
Página 15 de 49 
 
2 2x y x y.+ = −
 Qual das equações a seguir 
representa uma reta que divide essa 
circunferência em duas partes iguais? 
a) 
x y 1.+ = −
 
b) 
x y 1.− = −
 
c) 
x y 1.− =
 
d) 
x y 1.+ =
 
 
60. (Esc. Naval 2017) Seja 
P(x, y)
 um 
ponto da elipse2 2
2 2
x y
1,
a b
+ =
 de focos 1F
 e 
2F
 e excentricidade e. Calcule 1 2PF PF
 e 
assinale a opção correta. 
a) 
2 2ex a(1 2e )+ +
 
b) 
2 2e x a (1 e)− +
 
c) 
2 2 2e x a (1 2e)+ −
 
d) 
2 2e x a(1 e )− +
 
e) 
2 2 2 2e x a (1 2e )+ −
 
 
61. (Fgv 2017) Na representação gráfica do 
sistema de equações 
2 2
2
x y 4
4x y 2
 + =

− = no plano 
cartesiano, uma das soluções й 
(0, 2).−
 A 
distância entre os pontos que representam 
as duas outras soluções desse sistema й 
igual a 
a) 14. 
b) 
7
.
2 
c) 
15
.
2 
d) 
14
.
2 
e) 
3
.
2 
 
62. (Unesp 2017) Na figura, o losango 
FGCE possui dois lados sobrepostos aos 
do losango ABCD e sua área é igual à área 
indicada em verde. 
 
 
 
Se o lado do losango ABCD mede 
6 cm,
 o 
lado do losango FGCE mede 
a) 
2 5 cm.
 
b) 
2 6 cm.
 
c) 
4 2 cm.
 
d) 
3 3 cm.
 
e) 
3 2 cm.
 
 
63. (Fgv 2017) O quadrado PQRS está 
inscrito em um círculo de centro C. A corda 
intersecta a diagonal do quadrado em A, 
sendo que 
QA 6 cm=
 e 
AB 4 cm.= 
 
 
 
Nas condições descritas, a medida do lado 
do quadrado PQRS, em cm, é igual a 
a) 2 10. 
b) 5 2. 
c) 2 15. 
d) 6 2. 
e) 7 2. 
 
64. (Fgv 2017) Um canteiro com formato 
retangular tem área igual a 
240 m
 e sua 
diagonal mede 
89 m.
 O perímetro desse 
retângulo é: 
a) 
20 m
 
b) 
22 m
 
 Lista de Exercícios: Matemática | Geometria 
Página 16 de 49 
 
c) 
24 m
 
d) 
26 m
 
e) 
28 m
 
 
65. (Unicamp 2017) Considere o triângulo 
retângulo ABD exibido na figura abaixo, em 
que 
AB 2 cm,=
 
BC 1cm=
 e 
CD 5 cm.=
 
Então, o ângulo θ é igual a 
 
 
a) 15 . 
b) 30 . 
c) 45 . 
d) 60 . 
 
66. (Fgvrj 2017) A área de um trapézio 
mede 
21.800 cm .
 A altura desse trapézio 
mede 
50 cm.
 Considere o problema de 
determinar as medidas das bases desse 
trapézio, sabendo que essas medidas, em 
centímetros, são números inteiros divisíveis 
por 8. 
 
O número de soluções desse problema é: 
a) 3. 
b) 2. 
c) 1. 
d) 4. 
e) 5. 
 
67. (Famerp 2017) Em uma circunferência 
trigonométrica de centro C e origem dos 
arcos em O, foram marcados os pontos P 
e Q, sendo que as medidas dos arcos OP 
e OQ são iguais, respectivamente, a α e 
2 ,α conforme indica a figura. 
 
 
 
Sabendo-se que Q' é a projeção ortogonal 
de Q sobre o eixo 
y,
 que λ é uma 
semicircunferência de diâmetro CQ' e que 
1
sen ,
3
α =
 a área da região colorida na 
figura é 
a) 
7
36
π
 
b) 
31
162
π
 
c) 
5
27
π
 
d) 
65
324
π
 
e) 
16
81
π
 
 
68. (Unesp 2017) O hexágono marcado na 
malha quadriculada sobre a fotografia 
representa o contorno do câmpus da Unesp 
de Rio Claro, que é aproximadamente plano. 
 
 Lista de Exercícios: Matemática | Geometria 
Página 17 de 49 
 
 
 
A área aproximada desse câmpus, em 
2km , 
é um número pertencente ao intervalo 
a) 
[0,8;1,3[
 
b) 
[1,8; 2,3[
 
c) 
[2,3; 2,8[
 
d) 
[1,3;1,8[
 
e) 
[0,3; 0,8[
 
 
69. (Fgvrj 2017) A razão entre a área do 
quadrado inscrito em um semicírculo de raio 
R e a área do quadrado inscrito em um 
círculo de raio R é: 
a) 
1
2 
b) 
1
3 
c) 
3
4 
d) 
2
5 
e) 
1
4 
 
70. (Unicamp 2017) Seja i a unidade 
imaginária, isto é, 
2i 1.= − O lugar 
geométrico dos pontos do plano cartesiano 
com coordenadas reais 
(x, y)
 tais que 
(2x yi)(y 2xi) i+ + =
 é uma 
a) elipse. 
b) hipérbole. 
c) parábola. 
d) reta. 
 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
Leia o texto publicado em maio de 2013 para 
responder à(s) questão(ões) a seguir. 
 
Os Estados Unidos se preparam para 
uma invasão de insetos após 17 anos 
 
 Elas vivem a pelo menos 20 
centímetros sob o solo há 17 anos. E neste 
segundo trimestre, bilhões de cigarras 
(Magicicada septendecim) emergirão para 
invadir partes da Costa Leste, enchendo os 
céus e as árvores, e fazendo muito barulho. 
 Há mais de 170 espécies de 
cigarras na América do Norte, e mais de 2 
mil espécies ao redor do mundo. A maioria 
aparece todos os anos, mas alguns tipos 
surgem a cada 13 ou 17 anos. Os 
visitantes deste ano, conhecidos como 
Brood II (Ninhada II, em tradução livre) 
foram vistos pela última vez em 1996. Os 
moradores da Carolina do Norte e de 
Connecticut talvez tenham de usar rastelos 
e pás para retirá-las do caminho, já que as 
estimativas do número de insetos são de 30 
bilhões a 1 trilhão. 
 Um estudo brasileiro descobriu que 
intervalos baseados em números primos 
ofereciam a melhor estratégia de 
sobrevivência para as cigarras. 
 
<http://tinyurl.com/zh8daj6> Acesso em: 
30.08.2016. Adaptado. 
 
 
71. (Fatec 2017) O texto afirma que os 
habitantes das áreas próximas às da 
população de cigarras da Ninhada II talvez 
tenham que retirá-las do caminho. Imagine 
que 30 bilhões dessas cigarras ocupem 
totalmente uma estrada em formato 
retangular, com 10 metros de largura. 
Nesse cenário hipotético, as cigarras 
estariam posicionadas lado a lado, sem 
sobreposição de indivíduos. 
Considerando que a área ocupada por uma 
cigarra dessa espécie é igual a 
47 10− 
metros quadrados, então N quilômetros 
dessa estrada ficarão ocupados por essa 
população. 
 
O menor valor de N será igual a 
a) 2,1 
b) 21 
c) 210 
d) 2.100 
e) 21.000 
 Lista de Exercícios: Matemática | Geometria 
Página 18 de 49 
 
 
72. (Fgv 2016) Em 2013, uma empresa 
exportou 600 mil dólares e, em 2014, 
exportou 650 mil dólares de um certo 
produto. Suponha que o gráfico das 
exportações 
y
 ( em milhares de dólares) em 
função do ano x seja formado por pontos 
colineares. Desta forma, a exportação 
triplicará em relação à de 2013 no ano de 
a) 2036 
b) 2038 
c) 2035 
d) 2037 
e) 2034 
 
73. (Espm 2016) A partir do quadrado 
ABCD, de lado 4, constrói-se uma 
sequência infinita de novos quadrados, cada 
um com vértices nos pontos médios dos 
lados do anterior, como mostrado abaixo: 
 
 
 
O comprimento da poligonal infinita des-
tacada na figura por linhas mais grossas é 
igual a: 
a) 4 2 
b) 4 2 1+ 
c) 8 2+ 
d) 4 2 2+ 
e) 8 
 
74. (Esc. Naval 2016) O plano 1π passa 
pela interseção dos planos 
2 : x 3y 5z 4 0π + + − =
 e 
3 : x y 2z 17 0.π − − + =
 Sendo 1π paralelo 
ao eixo 
y,
 pode-se afirmar que o ângulo que 
1π faz com o plano 4 : 2x 3y z 5 0π − + + − =
 
vale: 
a) 
9
arc cos
238
 
 =  
  
b) 
157
arc cos
9
 
 = −  
  
c) 
9
arc cos
238
 
 = − 
  
d) 
157
arc cos
9
 
 =   
  
e) 
238
arc cos
9
 
 =   
  
 
75. (Fgvrj 2016) Dado um tetraedro regular 
de aresta 
6 cm,
 assinale os pontos que 
dividem cada aresta em três partes iguais. 
Corte o tetraedro pelos planos que passam 
pelos três pontos de divisão mais próximos 
de cada vértice e remova os pequenos 
tetraedros regulares que ficaram formados. 
A soma dos comprimentos de todas as 
arestas do sólido resultante, em 
centímetros, é 
a) 56. 
b) 32. 
c) 30. 
d) 36. 
e) 48. 
 
76. (Fgv 2016) Em uma folha de papel, 
desenha-se um hexágono regular ABCDEF 
de lado 
3 cm
 e inscrito em uma 
circunferência de centro O. O hexágono é 
recortado, e, em seguida, faz-se um recorte 
no raio OB. A partir do recorte no raio, o 
pedaço de papel será usado para formar 
uma pirâmide de base quadrangular e 
centro O. Tal pirâmide será feita com a 
sobreposição e a colagem dos triângulos 
OAB e OCD, e dos triângulos OAF e 
OBC. 
 
 
 
O volume da pirâmide formada após as 
 Lista de Exercícios: Matemática | Geometria 
Página 19 de 49 
 
sobreposições e colagens, em 
3cm , é igual 
a 
a) 3 2 
b) 3 3 
c) 4 2 
d) 
9 2
2 
e) 
93
2 
 
77. (Esc. Naval 2016) Um cilindro circular 
reto tem área total A, raio da base R e 
altura h. Se o volume máximo desse cilindro 
é expresso por um número real m e a 
função f da variável real x é definida por 
1
2 3f(x) (2 x ) 1,π= +
 pode-se dizer que 
f(m)
 
a) 
1
A
3 
b) A 3+ 
c) 
1
(A 3)
3
+
 
d) 
1
(A 3)
3
−
 
e) 
2
A 1
3
+
 
 
78. (Espm 2016) A reta de equação 
y 4=
 
intercepta a circunferência de equação 
2 2x y 18+ =
 nos pontos A e B. A equação 
da parábola que passa por A, B e pela 
origem do sistema de eixos cartesianos 
pode ser dada por: 
a) 
2y x 2x= +
 
b) 
2y x 2= +
 
c) 
2y 2x=
 
d) 
2y 2x 2x= −
 
e) 
2y 2x 2x= +
 
 
79. (Esc. Naval 2016) A área da região 
limitada pelos gráficos das funções 
2y 9 x ,= −
 
y | x |=
 e 
3 2 2x
y
4
+
=
 é igual 
a: 
a) 
3 2
(3 2)
4
π −
 
b) 
3
( 2)
4
π −
 
c) 
3
( 2 2)
4
π −
 
d) 
3
(3 2)
4
π −
 
e) 
3
(3 2 2)
4
π −
 
 
80. (Fgv 2016) No plano cartesiano, a reta 
de equação 
3x 4y 17+ =
 tangencia uma 
circunferência de centro no ponto 
(1,1). 
A equação dessa circunferência é: 
a) 
2 2x y 2x 2y 4 0+ − − − = 
b) 
2 2x y 2x 2y 2 0+ − − − =
 
c) 
2 2x y 2x 2y 5 0+ − − − =
 
d) 
2 2x y 2x 2y 3 0+ − − − =
 
e) 
2 2x y 2x 2y 1 0+ − − − =
 
 
81. (Fgv 2016) O ponto da reta 
x 3y 5− =
 
que é mais próximo ao ponto 
(1, 3)
 tem 
coordenadas cuja soma é: 
a) 1,6 
b) 1,2 
c) 1,0 
d) 1,4 
e) 0,8 
 
82. (Espm 2016) A figura abaixo mostra a 
planta de um terreno retangular de vértices 
A, B, C
 e D, representada no plano 
cartesiano. A altitude h (em metros) de 
cada ponto 
(x, y)
 desse terreno, em relação 
a um plano horizontal adotado como 
referência, pode ser obtida pela função 
(x 2) (40 y)
h .
80
+  −
=
 
 
 Lista de Exercícios: Matemática | Geometria 
Página 20 de 49 
 
 
 
A maior altitude que um ponto localizado 
sobre a diagonal AC poderá ter é igual a: 
a) 
1,70 m
 
b) 
1,85 m
 
c) 
1,90 m
 
d) 
1,75 m
 
e) 
1,80 m
 
 
83. (Fgv 2016) O número de pares 
ordenados 
(x, y),
 com x e 
y
 inteiros, que 
satisfazem a desigualdade 
2 2x y 8x 11 0+ − + 
é igual a 
a) 24. 
b) 21. 
c) 19. 
d) 18. 
e) 13. 
 
84. (Unicamp 2016) Considere o círculo de 
equação cartesiana 
2 2x y ax by,+ = +
 onde 
a e b são números reais não nulos. O 
número de pontos em que esse círculo 
intercepta os eixos coordenados é igual a 
a) 1. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 4. 
 
85. (Fgv 2016) No plano cartesiano, os 
pontos 
(x,y)
 que satisfazem a equação 
2x 5x 4 0− + = são representados por 
a) um par de retas paralelas. 
b) dois pontos do eixo das ordenadas. 
c) dois pontos do eixo das abscissas. 
d) uma parábola com abscissa do vértice 
igual a 
5
.
2
−
 
e) uma parábola com concavidade voltada 
para cima. 
 
86. (Esc. Naval 2016) Um triângulo inscrito 
em um círculo possui um lado de medida 
42 3 oposto ao ângulo de 15 . O produto do 
apótema do hexágono regular pelo apótema 
do triângulo equilátero inscritos nesse 
círculo é igual a: 
a) 
3( 3 2)+
 
b) 
4(2 3 3)+
 
c) 8 3 12+ 
d) 
2(2 3 3)+
 
e) 
6( 2 1)+
 
 
87. (Fgv 2016) Na figura seguinte, as retas 
r e s são paralelas entre si, e 
perpendiculares à reta t. Sabe-se, ainda, 
que 
AB 6 cm,=
 CD 3 cm,= AC é 
perpendicular a CD, e a medida do ângulo 
entre CD, e a reta s é 30 . 
 
 
 
Nas condições descritas, a medida de DE, 
em cm, é igual a 
a) 12 3 3+ 
b) 12 2 3+ 
c) 6 4 3+ 
d) 6 2 3+ 
e) 3 2 3+ 
 
88. (Espm 2016) Num mapa, uma estrada 
retilínea passa sucessivamente pelas 
cidades 
A,B
 e C e uma cidade D, distante 
120 km
 de A, está localizada de tal forma 
que o ângulo DAB mede 36 . Um viajante 
fez o trajeto 
AB,BD
 e DC, percorrendo em 
cada trecho a mesma distância. Se ele 
 Lista de Exercícios: Matemática | Geometria 
Página 21 de 49 
 
tivesse ido diretamente de A até C, teria 
percorrido uma distância de: 
a) 
120 km
 
b) 
60 3 km
 
c) 
(120 cos 36 ) km 
 
d) 
120
km
cos 36
 
e) 
140 km
 
 
89. (Fgv 2016) Assinale a sentença 
verdadeira: 
a) Dois lados de um triângulo retângulo 
medem 3 e 
4;
 logo o terceiro lado mede 
5. 
b) Um polígono regular de perímetro 
2p
 e 
apótema de medida a está inscrito em 
uma circunferência. A área desse 
polígono é 
p a.
 
c) Três pontos distintos do espaço 
determinam sempre um único plano que 
os contém. 
d) Em um círculo de área 100 ,π a distância 
máxima entre dois de seus pontos é 25. 
e) A diagonal, não da face, de um cubo de 
lado de medida é 
5
.
2 
 
90. (Fgvrj 2016) Na figura a seguir, ABCD 
é um quadrado de lado 6, CN 2= e 
DM 1.= 
 
 
 
A área do triângulo PMN é 
a) 9. 
b) 
25
.
2 
c) 15. 
d) 12. 
e) 
27
.
2 
 
91. (Espm 2016) A área do terreno 
representado na figura abaixo é igual a: 
 
 
a) 
21896 m
 
b) 
21764 m
 
c) 
22016 m
 
d) 
21592 m
 
e) 
21948 m
 
 
92. (Unicamp 2016) A figura abaixo exibe 
um quadrilátero ABCD, onde AB AD= e 
BC CD 2 cm.= =
 
 
 
 
A área do quadrilátero ABCD é igual a 
a) 
22 cm .
 
b) 
22 cm .
 
c) 
22 2 cm .
 
d) 
23 cm .
 
 
93. (Unesp 2016) Um cubo com aresta de 
medida igual a x centímetros foi 
seccionado, dando origem ao prisma 
indicado na figura 1. A figura 2 indica a vista 
superior desse prisma, sendo que AEB é 
um triângulo equilátero. 
 
 Lista de Exercícios: Matemática | Geometria 
Página 22 de 49 
 
 
 
Sabendo-se que o volume do prisma da 
figura 1 é igual a 
− 32(4 3)cm ,
 x é igual a 
a) 2 
b) 
7
2 
c) 3 
d) 
5
2 
e) 
3
2 
 
94. (Fgv 2016) A figura indica um 
semicírculo de centro C e diâmetro 
DE 24 cm,=
 e um triângulo retângulo ABC. 
A área sombreada no semicírculo é igual a 
269 cm . 
 
 
 
Nas condições descritas, a medida do 
ângulo , denotado por , é igual a 
a) 75 . 
b) 75,5 . 
c) 82 . 
d) 82,5 . 
e) 85 . 
 
95. (Fatec 2016) Na figura, os pontos A, B, 
C e D são pontos médios dos lados do 
quadrado MNPQ de lado de medida . Os 
pontos E e F pertencem ao segmento BD 
de modo que 
BE FD .
4
= =
 
 
A área do quadrado MNPQ é igual a k 
vezes a área da superfície destacada em 
cinza. 
 
 
 
Assim sendo, o valor de k é 
a) 2. 
b) 4. 
c) 6. 
d) 8. 
e) 10. 
 
96. (Fgv 2016) Um triângulo isósceles tem 
a base medindo 10 e um dos ângulos da 
base medindo 45 . A medida do raio da 
circunferência inscrita nesse triângulo é: 
a) 5 2 4− 
b) 5 2 6− 
c) 5 2 3− 
d) 5 2 5− 
e) 5 2 2− 
 
97. (Fatec 2016) Nas competições 
olímpicas de Tiro com Arco, o alvo possui 
1,22 m
 de diâmetro. Ele é formado por dez 
circunferências concêntricas pintadas sobre 
um mesmo plano e a uma distância 
constante de 
6,1cm
 entre si, como vemos 
no esquema. 
 
 Lista de Exercícios: Matemática | Geometria 
Página 23 de 49 
 
 
 
Podemos afirmar corretamente que a razão 
entre a área da região cinza e a área total do 
alvo, nessa ordem, é igual a 
a) 
3
.
10 
b) 
2
.
15 
c) 
1
.
25 
d) 
10
.
61 
e) 
5
.
21 
 
98. (Esc. Naval 2016) A equação 
 
2 2
2
sen x 1 sec x
31
1 cos x 0 ,
16
1 0 1
= −
 
 
com 
x 0, ,
2
π 
  
  possui como solução o 
volume de uma pirâmide com base 
hexagonal de lado e altura h 3.= Sendo 
assim, é correto afirmar que o valor de é 
igual a: 
a) 
22
9
π
 
b) 18
π
 
c) 
8
9
π
 
d) 
32
9
π
 
e) 4
π
 
 
99. (Esc. Naval 2016) A curva plana C é 
representada pelo gráfico da função real 
cos xf(x) x=
 e tem uma reta tangenteno 
ponto de abscissa x .π= Essa reta 
tangente, o eixo 
y
 e o arco de curva 
2 2x y 2 x 0+ −  =
 situado abaixo do eixo x, 
determinam uma região R, cuja área vale 
a) 
( 1)π π +
 
b) 
2 4
2
π
π
π
 
− 
  
c) 
2 4
2
π
π
π
 
+ 
  
d) 
2
2
4
2
π
π
π
 
+ 
  
e) 
( 2) +
 
 
 Lista de Exercícios: Matemática | Geometria 
Página 24 de 49 
 
Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [A] 
 
A equação segmentária da reta 
x 2y 4+ =
 é 
x y
1.
4 2
+ =
 Logo, temos 
A (4, 0)=
 e 
B (0, 2).=
 
Se M é o ponto médio de AB, então 
4 0 0 2
M , (2,1).
2 2
+ + 
= = 
  
 
A equação explícita da reta 
x 2y 4+ =
 é 
1
y x 2.
2
= − +
 Em consequência, como a 
mediatriz é perpendicular ao segmento AB, 
segue que seu coeficiente angular é igual a 
2. 
A resposta é 
y 1 2(x 2) 2x y 3.− = −  − =
 
 
Resposta da questão 2: 
 [B] 
 
Considere a figura. 
 
 
 
Da figura, segue que o poliedro possui 9 
vértices e 16 arestas. 
 
A soma do número de vértices e de arestas 
é: 9 16 25.+ = 
 
Resposta da questão 3: 
 [A] 
 
Considere a figura. 
 
 
 
Pelo Teorema de Pitágoras, tem-se que 
 
2 2 2 2 2 2PQ PS QS PQ 1 2
PQ 5 dm.
= +  = +
 = 
 
Ademais, é imediato que =PR 2dm e 
=QR 3dm. 
 
Finalmente, como 
2 2 2
PQ PR QR ,= + 
podemos concluir que o triângulo PQR é 
retângulo em R e, assim, a resposta é 
 
2
1 1
PR PQ 2 3
2 2
6
dm .
2
  =  
=
 
 
Resposta da questão 4: 
 [C] 
 
Sejam a e , respectivamente, a medida da 
aresta do cubo e a medida da aresta do 
tetraedro. Logo, temos 
 
2
2 2
2
4
6
3 6a
3a
2 3
a
2 3.
a
=  =
 =
 =
 
 
Resposta da questão 5: 
 [A] 
 
O volume, V, da taça é dado por 
2 3V 5 36 3 25 36 2700cm .π=       
 
 Lista de Exercícios: Matemática | Geometria 
Página 25 de 49 
 
Sejam m a massa total da taça, om
 a 
massa de ouro e 
m
 a massa da liga. Logo, 
vem 
o
3
m m
4
=
 e 
1
m m.
4
=
 
 
Ademais, sabendo que a densidade de um 
corpo é a razão entre a sua massa e o seu 
volume, temos 
o
o
m 3m
V
19,3 77,2
= =
 
e 
m m
V .
6,1 24,4
= =
 
 
Portanto, segue de imediato que 
3m m
2700 m 33816 g 34kg.
77,2 24,4
+ =   
 
 
É claro que 30 34 35.  
 
Resposta da questão 6: 
 [D] 
 
As retas 
− + =2x y 2 0
 e 
− − =2x y 2 0
 
possuem o mesmo coeficiente angular, qual 
seja, 2. Logo, sćo paralelas. Daķ, segue 
que a altura do triāngulo equilįtero 
corresponde ą distāncia entre elas. 
A resposta é 
2 2
| 2 2 | 4 5
.
52 ( 1)
− −
=
+ −
 
 
Resposta da questão 7: 
 [D] 
 
Pontos de intersecção entre a reta e a 
circunferência: 
2
2
2
2
2 2
2
2
3x
3x 4y 0 y
4
3x 3x
x 4x 2 20 0
4 4
9x 3x
x 4x 20 0
16 2
16x 9x 64x 24x 320 0
25x 40x 320 0
5x 8x 64 0
8 64 1280 4 4 21
x
10 5
3 4 4 21 3 3 21
y
4 5 5
+ =  = −
   
+ − − − − − =   
   
+ − + − =
+ − + − =
− − =
− − =
 + 
= =
  − 
= − =  
  
4 4 21 3 3 21
,
5 5
 + − −
  
  e 
4 4 21 3 3 21
,
5 5
 − − +
  
  
 
Logo, o comprimento da corda vale: 
2 2
2 2 2
4 4 21 4 4 21 3 3 21 3 3 21
c
5 5 5 5
8 21 6 21 21 21
c 100 10
5 5 5 5
c 2 21
   + − − − − +
= − + −      
   
     −
= + =  =           
     
 = 
 
 
Resposta da questão 8: 
 [D] 
 
Completando os quadrados, vem 
 
2 2 2 2 2x y 2cx (x c) y c .+ =  − + = 
 
Logo, a circunferência tem centro em 
(c, 0)
 
e raio igual a c. 
Sabendo que 
(c, 0)
 pertence à reta 
x 2y 3,+ =
 temos 
 
c 2 0 3 c 3.+  =  = 
 
Resposta da questão 9: 
 [A] 
 
Considere a figura. 
 
 
 
Sabendo que a elipse está centrada na 
origem, temos c 4= e 
B (0, 4).=
 Ademais, 
como o eixo maior está contido no eixo das 
 Lista de Exercícios: Matemática | Geometria 
Página 26 de 49 
 
ordenadas, segue que a equação da elipse 
é 
2 2
2 2
x y
1.
b a
+ =
 
 
Pela relação fundamental da elipse, 
sabemos que 
2 2 2 2 2a b c b a 16.= +  = − 
 
Portanto, como C pertence à elipse, 
2a 0 
e 
2b 0, vem 
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
x y 4 4
1 1
b a a 16 a
(a 24) 320
a 4(1 5)
a 2(1 5).
+ =  + =
−
 − =
 = +
 = + 
 
A distância do ponto A ao ponto D é 
2 2d(A, D) (3 0) (2 ( 4)) 3 5.= − + − − =
 
 
Tomando o triângulo ADP, pela 
Desigualdade Triangular, vem 
d(A,P) d(A,D) d(D,P), +
 com a igualdade 
ocorrendo se, e somente se, 
A,D
 e P 
forem colineares. Desse modo, segue que 
d(A,P) 3 5 m. + 
 
Supondo P no primeiro quadrante, temos 
d(B,P) d(A,P).
 Logo, se 
d(B,P) n,=
 
então, pela definição de elipse, vem 
d(A,P) d(B,P) 2a d(A,P) 2a n.+ =  = − 
 
Substituindo essa relação na desigualdade 
anterior, encontramos 
2a n 3 5 m m n 4(1 5) 3 5
5
m n 2 2 .
2
−  +  +  + −
 
 +  + 
  
 
Em consequência, o valor mínimo de m n+ 
é 
5
2 2 .
2
 
+ 
  
 
Resposta da questão 10: 
 [B] 
 
Sendo 
212 m
 a área do retângulo FAME, 
temos 
 =   =
 =
EM AM 12 2 AM 12
AM 6 m. 
 
Como MERP é losango, vem 
= =ER EM 2m
 e EMR ERM 30 . =  
Portanto, pela Lei dos Senos, temos 
MR EM MR 2
sen120 sen30senMER senERM
3
2
2MR
1
2
MR 2 3 m.
=  =
 

 =
 = 
 
Em consequência, do triângulo AMR, pelo 
Teorema de Pitágoras, vem 
2 2 2 2 2 2AR AM MR AR 6 (2 3)
AR 48
AR 4 3 m.
= +  = +
 =
 = 
 
Resposta da questão 11: 
 [B] 
 
Note que n cortes paralelos a um plano 
dividem as faces perpendiculares a esse 
plano em n 1+ partes. Desse modo, as 
possíveis receitas são 
 
3 4 4 2 R$ 96,00,
3 3 3 4 R$ 108,00,
2 3 5 3 R$ 90,00,
4 3 2 4 R$ 96,00
   =
   =
   =
   = 
e 
3 3 5 2 R$ 90,00.   = 
 
Portanto, a opção que proporciona o maior 
lucro para Dona Maria é a B. 
 
Resposta da questão 12: 
 [C] 
 
Seja r o raio da circunferência de centro C 
correspondente à latitude 
30 N.
 Logo, 
temos 
r
cos30 r 3150 3 km.
6300
 =  =
 
 
Portanto, sendo 
CPQ rad,
4 12 3
π π π
= + =
 vem 
 Lista de Exercícios: Matemática | Geometria 
Página 27 de 49 
 
PQ 3150 3 1050 3km.
3
π
π=  =
 
 
Resposta da questão 13: 
 [E] 
 
As coordenadas do ponto A são 
2(a, a ), 
pois o ponto A pertence ao gráfico da 
função 
2f(x) x .= 
A distância do ponto A até a origem do 
sistema cartesiano é 2a, ou seja, o lado do 
triângulo equilátero. 
2 2 2 4 2(a) (2a) 2a a 4a 4a a 0+ =  + =  =
 
ou a 3.= 
 
Concluímos que o lado do triângulo 
equilátero é 2a 2 3.=  
 
Portanto, sua área será dada por: 
2(2 3) 3
A 3 3
4
 
= = 
 
 
Resposta da questão 14: 
 [A] 
 
2 2 2 2 2 2(x x) (y y) 0 x x 0 e y y 0− + − =  − = − = 
 
Resolvendo as equações obtemos os 
seguintes pares ordenados 
(x, y) : 
(0, 0), (0,1), (1, 0)
 e 
(1,1)
 que são vértices de 
um quadrado de lado 1 no sistema 
Cartesiano Ortogonal. Portanto, a área 
desse quadrado é dada por: 
2A 1 1.= = 
 
Resposta da questão 15: 
 [E] 
 
Os pontos que estão a mesma distância de 
A e B caminhando apenas pelas ruas, 
estão destacados na figura abaixo. São 7 
no total. 
 
 
 
Resposta da questão 16: 
 [C] 
 
Uma das relações métricas de um triângulo 
retângulo nos diz que o produto dos catetos 
ι igual ao produto da hipotenusa pela altura, 
ou seja, b c a h. =  . Logo: 
2 2 2 2 2 2
2
a b c a b c a a 2 a 2 1
b c a c a b a b c a a h 4 2a h
+ + + 
+ + = = = = =
        
 
Resposta da questão 17: 
 [B] 
 
O primeiro passo é calcular a medida x 
indicada na figura abaixo: 
 
 
 
2 2 2x 200 250 x 150 m+ =  = 
 
Concluímos então que uma das amigas irá 
percorrer 
350 m
 até o primeiro ponto de 
encontro A. 
 Lista de Exercícios: Matemática | Geometria 
Página 28 de 49 
 
Para chegar ao ponto B esta mesma amiga 
deverá percorrer mais 
350 m
 a partir do 
ponto A. 
 
 
 
Logo, a medida do segmento de extremos 
P e B será dada por: 
PB 200 100 100 m.= − =
 
 
Resposta da questão 18: 
 [A] 
 
Caso olado de cada quadrícula medisse 
1m,
 pela Fórmula de Pick, a área do terreno 
seria dada por 
21
14 22 1 28 m .
2
 + − =
 
 
Contudo, desde que a área de cada 
quadrícula corresponde a 
2 24 16 m ,=
 
podemos afirmar que a área do terreno 
mede 
216 28 448 m . =
 
 
Resposta da questão 19: 
 [C] 
 
Sendo M o ponto médio de AB e tendo os 
triângulos AMN e MBN a mesma altura, 
temos 
(AMN) (MBN) t.= =
 Analogamente, 
sendo N o ponto médio de AC, vem 
(BCN) (BAN).= 
Portanto, a reposta é 
4(MBN) 4t.=
 
 
Resposta da questão 20: 
 [C] 
 
Considere a figura. 
 
 
 
Sem perda de generalidade, considere 
AB 2.= Logo, segue que AM 1= e, assim, 
pelo Teorema de Pitágoras, vem BM 5.= 
Como MAN BCN 45 =  e ANM BNC ,α = 
podemos afirmar que os triângulos ANM e 
CNB são semelhantes por AA. Portanto, 
temos 
 
AM MN 1 MN
2BC BN 5 MN
5
MN .
3
=  =
−
 =
 
 
Ademais, pela Lei dos Senos, encontramos 
5
AM MN 1 3
sen sen 2senMAN
2
2 5
cossec .
3 2
α α
α
=  =
 =
 
 
Finalmente, sabendo que 
2 21 cotg cossec ,α α+ =
 temos 
2
2 22 5 1
cotg 1 cotg
93 2
tg 3.
α α
α
 
= −  = 
 
 = 
 
Resposta da questão 21: 
 [C] 
 
Do enunciado, temos a seguinte figura: 
 
 Lista de Exercícios: Matemática | Geometria 
Página 29 de 49 
 
 
 
BG 3 2= 
AG 3 3= 
 
O sólido pode ser aproximado por dois 
cones retos e um cilindro reto. 
 
Note que ABGH é um retângulo. Daí, no 
triângulo retângulo AGB, segue que: 
3 2 3 3 3 r
3 2 3 r
3 2
r
3
3 2 3
r
3 3
3 6
r
3
r 6
 = 
= 
=
= 
=
= 
 
Daí, 
22 2
2
2
3 h 6
9 h 6
h 3
h 3
2h a 3 3
2 3 a 3 3
a 3
= +
= +
=
=
+ =
+ =
= 
 
Logo, 
2 2
2 2
3
1
V 2 r h r a
3
1
V 2 6 3 6 3
3
V 4 3 6 3
V 10 3
V 54,4 cm
36 V 55
π π
π π
π π
π
     +  
     +  
 +


  
 
Resposta da questão 22: 
 [C] 
 
Do enunciado, uma maneira de se fazer os 
cortes é: 
 
 
 
Daí, 
x 60, y 30= =
 e z 110= 
 
Portanto, 
3
V 60 30 110
V 198000 cm
=  
=
 
 
Resposta da questão 23: 
 [B] 
 
Calculando: 
GHJ
GHJ
GHJ
2GHJ
prisma
2
paralelepípedo
GHJ PQJ
GH GB BC CH a
ha 3a
h
a a h 4
3
a h a 3a
V 8 81 8 81 a 27
2 2 4
V a 8 27 8 216
  
= = = =
=  =
−

=  =    =  =
=  =  =
 
 
Resposta da questão 24: 
 [A] 
 
Calculando: 
 Lista de Exercícios: Matemática | Geometria 
Página 30 de 49 
 
( ) ( ) ( )
3
x y z w 42
2x 2 x 1 2 x 2 3 x 3 42 9x 15 42 x 3 y 4 z 5 w 6
triângulo 3,4,5 retângulo!
3 4
V 6 36 cm
2
+ + + =
+  + +  + +  + =  + =  =  =  =  =


=  =
 
 
Resposta da questão 25: 
 [B] 
 
Calculando: 
( )
2
0,2
AD 0,72 AD 12 m
2
DC 12 120 DC 10
5 1
cos CDG CDG 60
10 2
π 
 =  =
 =  =
= =  = 
 
 
Resposta da questão 26: 
 [A] 
 
Graficamente: 
 
 
 
Considerando um cilindro de revolução de 
altura igual a 9 e base de raio 4, e um cone 
de revolução de base idêntica e altura 8, 
pode-se calcular: 
2 2
sólido cilindro cone
sólido
1
V V V 4 9 4 8
3
8 304
V 16 9
3 3
π π
π
π
= − =   −   
 
=  − = 
  
 
Resposta da questão 27: 
 [B] 
 
Considere a figura, em que O é o centro da 
Terra e P é o pé da perpendicular baixada 
de N sobre OB. 
 
 
 
Sabendo que 
AON 60 ,= 
 temos 
NOP 30= 
 e, portanto, vem 
NP 1 NP
senNOP
2 6400ON
NP 3200km
=  =
 = 
 
Ademais, como 
MPN 2 15 rad,
6
π
=   =
 
encontramos 
MN MPN NP
3200
6
1600km.
π
= 
= 
 
 
Resposta da questão 28: 
 [B] 
 
Calculando: 
( ) ( )
2 2
PF Pd
2 2 2 2
2
2
d d x 5 y 7 y 3
x 10x 25 y 14y 49 y 6y 9 x 10x 65 8y
x 10x 65
y 0,125x 1,25x 8,125
8
=  − + − = −
− + + − + = − +  − + =
− +
= = − +
 
 
Resposta da questão 29: 
 [C] 
 
Sendo x e 
y
 os tempos em minutos entre 
12 h
 e 
13 h
 em que é possível cada uma 
 Lista de Exercícios: Matemática | Geometria 
Página 31 de 49 
 
das pessoas chegarem, pode-se inferir que 
o encontro ocorrerá apenas se: 
x y 20
x y 20,se x y
ou
x y 20,se x y
− 
−  


− +   
 
Graficamente: 
 
 
 
Os possíveis horários de chegada estão 
compreendidos nos pontos pertencentes ao 
quadrado destacado, enquanto que os 
possíveis horários de chegada que resultem 
no encontro entre as duas pessoas estão 
compreendidos na área hachurada 
destacada. Assim, pode-se calcular: 
2
2
hachurada
2
quadrado
40
60 2
S 2000 20 52P(encontro)
S 3600 36 960
− 
= = = = =
 
 
Resposta da questão 30: 
 [B] 
 
Calculando: 
( )
( )
( )
( )
2
v
2
v
2 2
y x 4x 6
4 4
x 2
2 1 2
A 2,2
( 4) 4 1 6 8
y 2
4 1 4
reta r : y 2 m x 2
Na origem 0 2 m 0 2 2m 2 m 1
reta r : y x
x 3 y 3 B 3,3
x 4x 6 x x 5x 6 0 ou
x 2 (ponto A)
= − +
− 
= − = =  

− −   = − = =
 
− =  −
 − =  −  − = −  =
=
 =  = 

− + =  − + =  
 =
 
 
Graficamente: 
 
 
 
Assim, pode-se concluir que OA 2 AB.=  
 
Resposta da questão 31: 
 [B] 
 
Calculando: 
Concreto :
35 25 5
m
0 6 3
5
y x 35
3
Asfalto :
16 10
m 1
6 0
y x 10
5 5 8
x 10 x 35 x x 35 10 x 25 x 9,375 anos
3 3 3
− −
= =
−
−
= +
−
= =
−
= +
−
+ = + → + = − → = → =
 
 
Resposta da questão 32: 
 [A] 
 
Calculando: 
r r
s s
3 n
r : 3x my n m e h
m m
1 1
s : x 2y 1 m e h
2 2
−
+ =  = =
−
+ =  = =
 
 
Se concorrentes: 
r s
3 1
m m m 6
m 2
− −
    
 
 
Se paralelas e distintas: 
r s
r s
m m m 6
n 1
h h n 3
m 2
=  =
    
 
 Lista de Exercícios: Matemática | Geometria 
Página 32 de 49 
 
 
Se coincidentes: 
r s
r s
m m m 6
h h n 3
=  =
=  =
 
 
Resposta da questão 33: 
 [E] 
 
Calculando: 
( ) ( )
( )
Q 3 , 3 raio 3 2 P 0 , 3 2
R x , 3 2 y x 3 2 x x 18
→ = →
→ = → = → =
 
 
Resposta da questão 34: 
 [C] 
 
As equações apresentadas representam 
uma elipse e uma circunferência de raio 1. 
A solução gráfica de ser a intersecção de 
duas áreas. Calculando: 
2 2
2 2
2 2
3x y 6
3x y 2 1 raio menor 6
12 2 3
3
x y 1 raio 1

+   +   = 
 

+   =  
 
Assim, a solução gráfica é a região 
sombreada representada em [C] (eixo 
menor da elipse é menor que o diâmetro da 
circunferência). 
 
Resposta da questão 35: 
 [B] 
 
Vamos supor que O é a origem do sistema 
cartesiano. 
Seja 
P(x, y). 
 
Assim, do enunciado, temos: 
5 x 0 y 0
x y 5
= − + −
+ =
 
 
Daí, 
( )
( )
( )
( )
x y 5 x 0, y 0
x y 5 x 0, y 0
x y 5 x 0, y 0
x y 5 x 0, y 0
 + =  

− =  

− + =  

− − =   
 
O sistema acima é representado pelo 
quadrado da alternativa [B]. 
 
Resposta da questão 36: 
 [E] 
 
Calculando: 
( )
( )
2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2
x 2x 2x 180 x 36
BC 1 1 2 1 1 cos36
cos18 m cos36 2 cos 18 1 2m 1
BC 1 1 2 1 1 2m 1
BC 2 2 2m 1 4 4m
+ + =   = 
= + −    
 =   =   − = −
= + −    −
= − − = −
 
 
Resposta da questão 37: 
 [A] 
 
Considerando-se os trapézios APRC e 
BQSD, pode-se calcular: 
AP CR 10 18
TM 14
2 2
BQ SD 8 22
TN 15
2 2
MN TN TM 15 14 1
+ +
= = =
+ +
= = =
= − = − = 
 
Resposta da questão 38: 
 [A] 
 
 
 
Considerando o triângulo retângulo 
desenhado em vermelho na figura acima, e 
sendo r o raio da circunferência menor e R 
o raio da circunferência maior, pode-se 
escrever: 
( ) ( )
2 22R r R R r+ = + −
 
 
mas R 4= 
( ) ( )
2 22 2 2
2 2
hachurada
4 r 4 4 r 16 8r r 16 16 8r r 16r 16 r 1
4 1 64 15
S 4 8 32 8
2 2 2 2
π π π π
π
+ = + −  + + = + − +  =  =
  −
=  − + = − + =
 
 
Resposta da questão 39: 
 [D] 
 
A área de intersecção será igual a área de 
dois triângulos equiláteros de lado 2 somado 
 Lista de Exercícios: Matemática | Geometria 
Página 33 de 49 
 
com a área de um setor circular de 60 , 
conforme a figura a seguir. 
 
 
 
Calculando: 
2
triângulo
2 2
setor
int er secção triângulo setor
2 3
S 3
4
R 2 4
S
6 6 6
4 6 3 2
S 2S S 2 3
6 3
π π π
π π
= =
= = =
+
= + = + =
 
 
Resposta da questão 40: 
 [A] 
 
Do enunciado e da figura, a área do 
polígono representado na figura é 
16
14 121.
2
+ − =
 
 
Resposta da questão 41: 
 [C] 
 
Calculando: 
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2
2
x 2 x x 2 x x 4x 4 x 2 2x x 4x 4 2x 2x
x 2x 4 0
2 4 1 ( 4) 4 16 20
x 1 5
2 20 2 2 5
x 1 5 ou
2 2
x 1 5 (não convém)
+ =  + +  + + =  +  + + = +
− − =
 = −   − = + =
 = +
 
= = =   

= − 
 
Resposta da questão 42: 
 [E] 
 
Do enunciado e da figura, temos: 
 
 
 
No triângulo ABC, 
( )
2 2 2BC 3 4 BC 5= +  =
 
 
Daí, 
3 x 4 x 5 x 1− + − =  = 
 
Ainda no triângulo ABC, 
( )
4ˆsen ABC
5
=
 
 
Assim, sendo S a medida da área do 
triângulo BMN, temos: 
1 4
S 2 2 S 1,6
2 5
=     =
 
 
Resposta da questão 43: 
 [E] 
 
Calculando: 
1
1
1 1
2
2
1 2
2
1 1
3
apótema a
2
3 31
2 2 4
3
S 3 34
S 4 16

 =
 
=  =
 
   
 = = =     
 
  
 
Resposta da questão 44: 
 [D] 
 
Os pontos A e B determinam o diâmetro 
de uma circunferência de raio 6 com centro 
na origem. O ponto C está posicionado 
também há uma distância de 6 unidades da 
origem. Desse modo, o triângulo descrito 
terá sua hipotenusa sobre o eixo x sendo, 
portanto, um triângulo retângulo. Pode-se 
calcular: 
máx
12 6 sen
S 36 sen S 36
2
θ
θ
 
= =   =
 
 Lista de Exercícios: Matemática | Geometria 
Página 34 de 49 
 
 
Resposta da questão 45: 
 [E] 
 
Calculando: 
( ) ( )
2
2 2
y x 7
x y 7 ou ainda
x y x y 7
x y 1 x 4
x y 7 y 3
x y 7 x 4
x y 1 y 3
 = −

− =  

−  + =

− = =

+ = =
− = =

+ = = − 
 
Substituindo: 
( ) ( )
2
4,3 4 7 9 3 − = = 
 
 
E ainda: 
( ) ( )
2
4,3 4 7 9 3−  − − = = 
 
 
Logo: 
( ) ( ) ( ) ( ) Logo : S 4,3 ; 4,3 ; 4, 3 ; 4, 3= − − − −
 
 
Assim, os pontos formam um retângulo de 
comprimento 8 (de 4 até 
4)−
 e altura 6 (de 
3 até 
3).−
A área desse polígono portanto 
será igual a 48 (
6 8 48). =
 
 
Resposta da questão 46: 
 [B] 
 
De 
( )g x x 3 4,= − − +
 
 
 
 
Então, 
( )
x 1 se x 3
g x
x 7 se x 3
+ 
= 
− +  
 
De 
( )
3 3 2f x x x ,= −
 temos que sua 
assíntota é dada por 
y ax b,= +
 de tal modo 
que: 
( )
x
f x
a lim
x→+
=
 ou 
( )
x
f x
a lim
x→−
=
 ou 
( )( )
x
b lim f x ax
→+
= −
 ou 
( )( )
x
b lim f x ax
→−
= −
. 
 
De 
( )
3 3 2f x x x ,= −
 
( )
( )
( )
33 33 3 2
3
3
x x
3
x x
1 1x 1 x 1
f x xx x 1x
1
x x x x x
f x 1
lim lim 1 1
x x
f x 1
lim lim 1 1
x x
→+ →+
→− →−
 
 −  − 
−  
= = = = −
= − =
= − =
 
 
Assim, 
a 1.= 
 
Com a 1,= temos: 
( )
( )
( )
3 3 2 3 33
3
3
1 1
f x ax x x x x 1 x x 1 x
x x
1
f x ax x 1 1
x
1
1 1
x
f x ax
1
x
 
− = − − =  − − =  − − 
 
 
− =  − −  
 
− −
− =
 
( )( )
3
x x
1
1 1
0x
lim f x ax lim
1 0
x
→+ →+
− −
− = =
 
 
Como houve uma indeterminação do tipo 
0
,
0 vamos usar a Primeira Regra de L’ 
Hospital. 
Fazendo 
1
u,
x
=
 
( )( )
( )( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
3
x u 0
2 3
x u 0
2 3
x u 0
1 u 1
lim f x ax lim
u
1
1 u 1
13lim f x ax lim
1 3
1
1 u 1
13lim f x ax lim
1 3
+
+
+
→+ →
−
→+ →
−
→− →
− −
− =
 −  −
− = = −
 −  −
− = = −
 
 
Portanto, 
 Lista de Exercícios: Matemática | Geometria 
Página 35 de 49 
 
1
b
3
= −
 
 
Dessa forma, a assíntota de 
( )
3 3 2f x x x= −
 é 
1
y x .
3
= −
 
 
 
 
As retas 
y x 7= − +
 e 
1
y x
3
= −
 são 
perpendiculares, assim como as retas 
y x 7= − +
 e 
y x 1.= + 
 
B é ponto de intersecção das retas 
1
y x
3
= −
 
e 
y x 7,= − +
 logo, é solução do sistema 
1
y x
.3
y x 7

= −

 = − + 
 
Então, 
11 10
B , .
3 3
 
 
  
 
A área do trapézio ABCD é dada por: 
( ) ( )
22 2 2
2 21 11 10 1 11 10 40
3 0 4 1 0 3 4
2 3 3 3 3 3 9
 
          − + − + − + − −  − + − =                  
  
 
Resposta da questão 47: 
 [D] 
 
Calculando: 
( )2 2 2a a x
A(x) a 2 a a ax A(x) ax
2
  −
= −  = − + → =  
  
 
O único gráfico que apresenta uma função 
linear é o mostrado na alternativa [D]. 
 
Resposta da questão 48: 
 [B] 
 
( )
22 2 2
3
V a b c
ab 2
bc 3
ac 4
ab bc ac a b c 2 3 4 a b c 24
V 24 2 6 cm
=  
=

=
 =
  =   =   →   =
= = 
 
Resposta da questão 49: 
 [B] 
 
Considere a planificação da superfície 
lateral do paralelepípedo, na qual está 
indicado o comprimento mínimo, AE, da 
corda. 
 
 
 
Portanto, sendo AA' 12= e A'E 5,= pelo 
Teorema de Pitágoras, vem 
2 2 2 2 2 2AE AA ' A 'E AE 12 5
AE 13.
= +  = +
 =
 
 
Resposta da questão 50: 
 [C] 
 
Vamos admitir que o tetraedro ABCD é 
regular. 
Sem perda de generalidade, consideremos 
o tetraedro regular abaixo 
 
 Lista de Exercícios: Matemática | Geometria 
Página 36 de 49 
 
 
 
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
AB
AB 0, 3a, 3a 3 0, a, a 3
3
AC 0,3a, 3a 3 AC 0, 3a,3a 3
AD 3a 3 3a 3
AD 3a 3,0, 3a 3 ,0,
2 2 2
AB AD 3a 3 a 3
AC , 4a,
3 2 2 2
AB AD
A m AC 0,3a,3a 3
3 2
= − −  = − −
= −  − = −
 −
= −  =   
 
 
− + = −  
 
 
+ − + = +  
 
3am 3 am 3
, 4am,
2 2
 
−  
  
 
Como X está no plano BCD, 
( )X x,y,0 ,
 ou 
seja, 
am 3
3a 3 0
2
am 3
3a 3
2
m
3
2
m 6
+ =
= −
= −
= − 
 
De 
( )
3x 1
f x ,
x 4
−
=
− 
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 3
2
3 2 3
2
3 2
2
3x x 4 x 1 1
f ' x
x 4
3x 12x x 1
f ' x
x 4
2x 12x 1
f ' x
x 4
 − − − 
=
−
− − +
=
−
− +
=
−
 
 
Como m 6,= − 
( ) ( )( ) ( )f ' m f ' 6 f ' 6− = − − =
 
 
Então, 
( ) ( )f ' m f ' 6− =
, logo, 
( )
( )
( )
3 2
2
2 6 12 6 1
f ' 6
6 4
1
f ' 6
4
 −  +
=
−
=
 
 
Resposta da questão 51: 
 [A] 
 
 
 
No triângulo ABC, 
( ) ( ) ( )ABC
ABC
2
ABC
2p 13 14 15
2p 42
p 21
S 21 21 13 21 14 21 15
S 21 8 7 6
S 84 cm
= + +
=
=
=  −  −  −
=   
=
 
 
Por outro lado, 
ABC
13 14 15
S ,
4r
 
=
 logo, 
13 14 15
84
4r
13 14 15
4r
84
13 1 15
4r
6
13 5
4r
2
65
r
8
 
=
 
=
 
=

=
=
 
 
Como o volume da pirâmide é 
3105 22 cm , 
 Lista de Exercícios: Matemática | Geometria 
Página 37 de 49 
 
1
105 22 84 h
3
105 22 28h
105 22
h
28
15 22
h
4
=  
=
=
=
 
 
No triângulo VOC, 
 Lista de Exercícios: Matemática | Geometria 
Página 38 de 49 
 
( )
2 2 2
22
2
22
2
22 2 2 2
2
2 2 2
2 2 2 2 2
2
2 2
2 2 2 2
2
2 2
2
2
2 2
2 2
2
2 2
r h
65 15 22
8 4
5 13 5 3 22
4 2 4
5 13 5 3 22
4 2 4
5 13 2 5 3 22
4 2
5 13 2 3 22
4 2
5 961
4 2
5 31
4 2
= +
  
= +        
   
= +        
  
= +

 +   
=

 +  
=


=


=
 
 
Como 0, 
2 2
2 2
5 31
4 2
5 31
4 2
155
cm
8

=


=

=
 
 
Resposta da questão 52: 
 [C] 
 
A base do cilindro foi dividida em 7 partes 
pelos planos perpendiculares a elas, 
dividindo assim o cilindro em sete sólidos. 
Considerando o plano paralelo às bases 
cada um destes 7 sólidos foi dividido em 
duas partes. Portanto o valor de N será 
2 7 14. = 
 
Resposta da questão 53: 
 [A] 
 
[A] A haste cabe neste modelo, pois sua 
diagonal mede 
2 2 25 6 7 110 100 10cm.+ + =  = 
 
Ademais, seu espaço interno mede 
35 6 7 210cm .  = 
 
[B] A haste não cabe neste modelo, pois a 
maior distância entre dois pontos das 
bases inferior e superior mede 
2 27 7 98 100 10cm.+ =  = 
 
[C] A haste não cabe neste modelo, pois 
a medida de sua diagonal é 
2 2 24 4 8 96 100 10cm.+ + =  = 
 
[D] A haste cabe neste modelo, pois a maior 
distância entre dois pontos das bases 
inferior e superior é igual a 
2 26 8 100 10cm.+ = = 
 
Porém, seu espaço interno corresponde 
a, aproximadamente, 
2 3 33,14 4 6 301cm 210cm .  =  
 
[E] A haste cabe neste modelo, pois a maior 
distância entre dois pontos das bases 
inferior e superior é igual a 
2 28 6 100 10cm.+ = = 
 
Contudo, seu espaço interno 
corresponde a, aproximadamente, 
2 3 33,14 3 8 226cm 210cm .  =  
 
Resposta da questão 54: 
 [E] 
 
Seja E o ponto de interseção dareta que 
passa pelos pontos C e D com o eixo das 
ordenadas. A equação de tal reta é dada por 
k 0 k
y 0 (x 1) y (x 1).
k 1 k 1
− −
− =  −  =  −
− − + 
 
Em consequência, vem 
k
E 0,
k 1
 
= − 
 +  e, 
portanto, sendo k 0, temos 
2
1 k 1 k
(ADE) (ABCE) 1 k 1 1 1
2 k 1 2 k 1
k k 1 0
1 5
k .
2
   
=   +  =  + +    
 +   + 
 − − =
+
 =
 
 
Resposta da questão 55: 
 [C] 
 
Sejam A e B dois pontos de uma 
circunferência λ qualquer. A única reta do 
plano que necessariamente passa pelo 
centro de λ é a mediatriz da corda 
determinada por A e B. Em consequência, 
se 
 
=  
 
1 5
M ,
2 2 é o ponto médio da corda 
 Lista de Exercícios: Matemática | Geometria 
Página 39 de 49 
 
definida por 
=A (2, 3)
 e 
= −B ( 1, 2),
 então 
segue que a resposta é 
− −  
− = −  −  + − = 
−  
5 2 ( 1) 1
y x 3x y 4 0.
2 3 2 2 
 
Resposta da questão 56: 
 [C] 
 
Calculando: 
r s s
4 10
reta r: 4x 7y 10 0 y x
7 7
reta s: y mx h
4
m m m
7
4 10
reta s: x
7 7
4
m
7
m h 2
10
h
7
− + =  = +
= +
= −  = −
= − −
= −
 + = −
= −
 
 
Resposta da questão 57: 
 [D] 
 
Considere a figura, em que está 
representada a região do plano que satisfaz 
0 x 4, 0 y 3   
 e 
y x 2. − + 
 
 
 
A área da região é dada por 
1
4 3 2 2 10 u.a.
2
 −   =
 
 
Resposta da questão 58: 
 [A] 
 
Sobre as inequações apresentadas: 
2 2x y 4+  
 Circunferência de raio 2 e 
centro na origem. 
x y 0+  
 Reta que passa pelo segundo e 
quarto quadrantes cortando-os 
diagonalmente, passando também pela 
origem. Assim, existirá um segmento de reta 
pertencente à mesma que é diâmetro da 
circunferência anterior. 
 
Assim, a região delimitada será um 
semicírculo de raio 2, ou seja: 
22
S S 2
2
π
π

=  =
 
 
Resposta da questão 59: 
 [C] 
 
Calculando: 
   
+ = − → − + + =   
   
 
− = 
 
2 2
2 2 1 1 1
x y x y x y
2 2 2
1 1 2
C ; e R
2 2 2 
 
A reta que divide a circunferência em duas 
partes iguais passa pelo centro C e pode 
ter equação igual a 
x y 1.− =
 
 
Resposta da questão 60: 
 [E] 
 
( ) ( )1 2F c,0 ,F c,0−
 e 
( )P x,y .
 
 
Então, 
( ) ( )1 2PF x c,y e PF x c,y= + = −
 
 
O produto escalar 1 2PF PF
 é dado por: 
( ) ( )1 2
2 2 2
1 2
PF PF x c x c y y
PF PF x c y
 = +  − + 
 = − +
 
 
Da equação da elipse 
2 2
2 2
x y
1,
a b
+ =
 
( )
( )
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2
2
x b y a
1
a b
y a a b x b
b a x
y i
a
+
=
= −
−
=
 
 
Da elipse, 
( )
( )
2 2 2a b c ii
c
e c e a iii
a
= +
=  = 
 
 
 Lista de Exercícios: Matemática | Geometria 
Página 40 de 49 
 
Das equações 
( )ii
 e 
( )iii ,
 
( )
( )
2 2 2 2
2 2 2
2
2
2
a b e a
b a 1 e
b
1 e iv
a
= +
=  −
= −
 
 
Das equações 
( )i
 e 
( )iv ,
 
( ) ( )
( )
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
y 1 e a x
y a x e a e x v
= −  −
= − − +
 
 
Substituindo as equações 
( )iii
 e 
( )v
 em 
2 2 2
1 2PF PF x c y , = − + 
( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2
2 2 2 2 2
1 2
2 2 2 2
1 2
PF PF x e a a x e a e x
PF PF e x a 2e a
PF PF e x a 1 2e
 = − + − − +
 = + −
 = + −
 
 
Resposta da questão 61: 
 [C] 
 
Tem-se que 
2 2 2
2 2
2
2
x y 4 4(y 4) y 2 0
y 2 y 2
x x
4 4
(y 2)(4y 7) 0
y 2
x
4
7
y 2 ou y
4
y 2
x
4
x 0 e y 2
 ou
15 7
x e y .
4 4
 ou
15 7
x e y
4 4
 + = − + + =
 
 + +
= = 
 
+ − =

  +
=


= − =
 
+ =

= = −



 = − =




= =
 
 
Portanto, a resposta é 
15 15 15
.
4 4 2
 
− − = 
  
 
Resposta da questão 62: 
 [E] 
 
Desde que os losangos FGCE e ABCD 
são semelhantes, temos 
 
2(FGCE) 1
k ,
(ABCD) 2
= =
 com k sendo a razão de 
semelhança. 
 
Por conseguinte, dado que AB 6cm,= vem 
FG 1
FG 3 2 cm.
AB 2
=  =
 
 
Resposta da questão 63: 
 [C] 
 
Considere a figura, em que é a medida do 
lado do quadrado PQRS. 
 
 
 
É fácil ver que os triângulos BQS e CQA 
são semelhantes por AA. Ademais, como 
QS 2cm= e C é ponto médio de QS, 
temos 
2
2
QC QA 62
10QB QS 2
60
2 15 cm.
=  =
 =
 =
 
 
Resposta da questão 64: 
 [D] 
 
Sendo os lados do canteiro iguais a x e 
y,
 
pode-se escrever: 
( )
( )
( )
2 2 2 2 2
2 2
2 2
89 x y 89 x y
x 2xy y 169
2xy 80xy 40
x y 13 x y 13
Perímetro 2 x y 2 13 26 m
 = +  = +
 → + + = 
= =
+ =  + =
  + =  =
 
 
Resposta da questão 65: 
 [C] 
 
Calculando: 
 Lista de Exercícios: Matemática | Geometria 
Página 41 de 49 
 
( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2 22
AC 2 1 AC 5
AD 2 6 AD 40
5 5 40 2 5 40 cos 2 200 cos 20
10 2
cos cos 45
210 2
θ θ
θ θ θ
= + → =
= + → =
= + −    →  =
= → = → = 
 
 
Resposta da questão 66: 
 [D] 
 
Calculando: 
os
(b B) h (b B) 50
S 1800 b B 72
2 2
b B 72 b B
9
8 8 8 8 8
1e 8 1 8 8 8 72
2 e 7 2 8 7 8 72
2 n inteiros cuja soma é 9 4 possibilidades
3 e 6 3 8 6 8 72
4 e 5 4 8 5 8 72
+  + 
= = =  + =
+ =  + =
  +  =

  +  = 
 
  +  = 
  +  =  
 
Resposta da questão 67: 
 [D] 
 
Lembrando que para todo x real vale 
2 2sen x cos x 1,+ = temos 
2
2 1 2 2
cos 1 cos .
3 3
α α
 
= −  = 
  
 
Daí, vem 
1 2 2 4 2
sen2 2sen cos 2 .
3 3 9
α α α= =   =
 
 
Logo, sendo Q'' a projeção ortogonal de Q 
sobre o eixo das abscissas e 
CQ' 1u.c.,=
 
encontramos 
QQ'' 4 2
sen2 QQ'' u.c.
9CQ'
α =  =
 
 
A resposta é 
2
2
4 2
1 1 491
4 2 2 4 81
65
u.a.
324
π π
π π
π
 
 
   −   = −
 
=
 
 
Resposta da questão 68: 
 [A] 
 
Seja u a unidade de área da malha, de tal 
modo que 
 
2 2 21u 160 25.600 m 0,0256km .= = = 
 
 
 
Dividindo o hexágono em um triângulo e 
dois trapézios, como indicado acima, segue 
que a área aproximada desse polígono é 
dada por 
 
2
3 1 9 3 3 2
5 5 44 u
2 2 2
44 0,0256
1,1km .
 + +   
+  +  =   
   
= 
 
 
Portanto, temos 
[0,8;11,1 ,3[.
 
 
Resposta da questão 69: 
 [D] 
 
Calculando: 
 
 
 
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2
x 5x 4R
semicírculo R x R S x
4 4 5
x x 2x 4R
círculo R R S x
4 4 4 2
4R 4R 2
razão
5 2 5
 = +  =  = =
 = +  =  = =
  =
 
 
Resposta da questão 70: 
 [A] 
 Lista de Exercícios: Matemática | Geometria 
Página 42 de 49 
 
 
Calculando: 
( )2 2
2 2
(2x yi) (y 2xi) i 2xy 2xy 4x y i i
4x y 1 eq. de uma elipse
+  + = → − + + =
+ = → 
 
Resposta da questão 71: 
 [D] 
 
Área ocupada por 30 bilhões de cigarras: 
9 4 5 230 10 7 10 210 10 m .−   =  
 
O comprimento N da estrada será dado por: 
510 n 210 10
n 2.100.000 m
n 2.100 km
 = 
=
= 
 
Resposta da questão 72: 
 [D] 
 
Do enunciado, temos: 
 
 
 
ˆ ˆCAB EAD α= = e 
ˆ ˆABC ADE 90 ,= =  logo, 
os triângulos ACB e AED são 
semelhantes. 
 
Logo, 
( )
AB CB
AD ED
1 50
n 2013 1200
1 1
n 2013 24
1 24 1 n 2013
24 n 2013
n 2037
=
=
−
=
−
 =  −
= −
= 
 
Resposta da questão 73: 
 [D] 
 
Calculando os comprimentos dos 
segmentos destacados e sua soma: 
1
2
3
4
seg 2
2
2 2 1 2
seg 2 PG razão q S 4 2 2
2 2 11
22 2
seg 1
2


= = 


= = = → = = +
  −  
  
= = 
 
 
Resposta da questão 74: 
 [A] 
 
( )
( )
2 2
3 3
2 2
3 3
1 2
1
: x 3y 5z 4 0 : x 3y 5z 4 0
z 4x 47
: x y 2z 17 0 : 3x 3y 6z 51 0
: x 3y 5z 4 0 : 2x 6y 10z 8 0
y 7x 77
: x y 2z 17 0 : 5x 5y 10z 85 0
r r (t, 7t 77, 4t 47)
eixo y ax cz d 0 a,0,c
π π
π π
π π
π π
π π
π
+ + − = + + − = 
→ → = + 
− − + = − − + = 
+ + − = + + − = 
→ → = − − 
− − + = − − + = 
  → = − − +
→ + + = → ( )
( ) ( )
2 2 2
1, 7,4 0 a 4c
2,3,1 4,0,1 9 9
cos cos arc cos
238 238( 2) 3 1 ( 4) 0 1
θ θ θ θ
 − = → = −
−  −  
→ = → = → =  
 − + +  − + + 
 
Resposta da questão 75: 
 [D] 
 
 
 
O sólido resultante da divisão proposta pelo 
problema será formado por 4 faces 
hexagonais e 4 faces triangulares. 
Sabendo que cada aresta mede 
2 cm
 e o 
número de arestas será dado por: 
4 6 4 3A 18,
2
 + 
= =
 temos que a soma das 
medidas de todas as arestas será: 
18 2 36 cm = 
 
Resposta da questão 76: 
 [D] 
 
Calculando: 
 
 Lista de Exercícios: Matemática | Geometria 
Página 43 de 49 
 
 
 
( )
22
2
2
3
3 3 3
OM
2 2
3
GM
2
3 3 3 3 2
OG OG
2 2 2
1 3 2 9 2
V 3 V
3 2 2
=
= =
=
  
+ =  =       
=    =
 
 
Resposta da questão 77: 
 [C] 
 
( )
( )
2
2 2 3
2 2
2 2
2
máx
1
2 3
2
2
A
A 2 R 2 Rh 2 R R h h R
2 R
A AR
V R h R R R
2 R 2
A A A
V ' R R 0 R
2 2 6
A A A 6
h h
6 3 AA
2
6
A A 6 A 6
m V R h m
6 3 A 18 A
f(x) 2 x 1
A 6
f(m) 2
18 A
π π π
π
π π π
π
π π
π
π
π π
π
π
π π
π π
π π π
π
π
π
π
= + =  + → = −
 
= =  − = − 
 
= − → − = → =
= − → = 

   
= = =    → =       
   
= +
  
=  
 
 
( )
1
1
3 3 3A A 1
1 1 1 A 3
27 3 3
  
  + = + = + = + 
       
 
Resposta da questão 78: 
 [C] 
 
Calculando: 
2 2x y 18
x 2
y 4
 + =
→ = 
= 
 
Pontos conhecidos da parábola: 
( ) ( ) ( )0, 0 ; 2, 4 ; 2, 4−
 
 
A única equação que apresenta uma 
parábola que contenha tais pontos é a 
2y 2x .=
 
 
Resposta da questão 79: 
 [D] 
 
Sendo A e B os pontos de intersecção entre 
3 2 2x
y
4
+
=
 e 
y | x |,=
pode-se escrever: 
2 2
A ,
3 2 2x 2 23 2 2xy
x4
4 3 2 3 2y | x | B ,
2 2
 
−  +  
+  =
→  = →
  =   
  
 
Desenhando os gráficos das funções e os 
pontos calculados, tem-se: 
 
 
 
( )
2 2
AC AC
2 2
BC BC
ACB ACB
2
setor ACB
2 2
dist 0 0 dist 1
2 2
3 2 3 2
dist 0 0 dist 3
2 2
3 1 3S S
22
3 3 3S S S S 3 2
44 2
π
π
   
= − − + − → =      
   
   
= − + − → =      
   

= → =

= − = − → =  −
 
 
Resposta da questão 80: 
 [B] 
 
Do enunciado, temos: 
 
 Lista de Exercícios: Matemática | Geometria 
Página 44 de 49 
 
 
 
2 2
3 1 4 1 17
r
3 4
10
r
25
10
r
5
r 2
 +  −
=
+
−
=
=
= 
 
Assim, a equação da circunferência acima é: 
( ) ( )
2 2 2
2 2
2 2
x 1 y 1 2
x 2x 1 y 2y 1 4
x y 2x 2y 2 0
− + − =
− + + − + =
+ − − − =
 
 
Resposta da questão 81: 
 [D] 
 
Consideremos a reta r de equação 
x 3y 5− =
 e a reta s que passa pelo ponto 
(1, 3)
 e é perpendicular à reta r. O ponto P, 
intersecção de r com s, é ponto pedido. 
 
O coeficiente angular da reta r é dado por 
r
1 1
m ,
3 3
−
= =
− como a reta s é 
perpendicular à reta r concluímos que 
sm 3.= −
 Portanto, a equação da reta s 
será dada por: 
y 3 3 (x 1) y 3 3x 3 y 3x 6− = −  −  − = − +  = − + 
 
O ponto P mais próximo de 
(1, 3)
 será 
obtido com a resolução de um sistema com 
as equações das retas r e s. 
x 3y 5
y 3x 6
− =

= − + 
 
Resolvendo o sistema temos x 2,3= e 
y 0,9.= − 
Logo, 
x y 2,3 ( 0,9) 1,4.+ = + − =
 
 
Resposta da questão 82: 
 [E] 
 
A equação da reta AC pode ser escrita 
como: 
( )
( )
2
máx
2
máx máx
40 0
m 4 y 4x
10 0
(x 2) (40 4x) 1
h h x 8x 20
80 20
b 8
x 4
2a 2
1
h 4 8 4 20 h 1,80 m
20
−
= = → =
−
+  −
= → =  − + +
= − = − =
−
=  − +  + → =
 
 
Resposta da questão 83: 
 [B] 
 
Calculando: 
( )
( )22 2 2 2 2
C 4,0
x y 8x 11 0 x 8x 16 y 11 16 x 4 y 5
R 5
+ − +   − + + +   − +  
=
 
 
Esboçando-se o gráfico, tem-se: 
 
 
 
Como se o enunciado pede as coordenadas 
de x e 
y
 inteiros que satisfazem a 
desigualdade, é preciso marcar todos os 
pontos inteiros que se encontrem “dentro” 
ou sobre a circunferência. No total serão 21 
pontos. 
 
Resposta da questão 84: 
 [C] 
 
 Lista de Exercícios: Matemática | Geometria 
Página 45 de 49 
 
É fácil ver que a circunferência 
2 2x y ax by,+ = +
 intersecta a origem dos 
eixos cartesianos. Ademais, tomando x 0,= 
obtemos 
y 0=
 ou 
y b.=
 Por outro lado, 
fazendo 
y 0,=
 encontramos x 0= ou 
x a.= Em consequência, podemos afirmar 
que a resposta é 3. 
 
Resposta da questão 85: 
 [A] 
 
( ) ( )
2
2
x 5x 4 0
5 5 4 1 4
x
2 1
5 3
x
2
x 1 ou x 4
− + =
− −  − −  
=


=
= = 
 
Note que x 1= e x 4= são duas retas 
paralelas, como na figura abaixo: 
 
 
 
Resposta da questão 86: 
 [A] 
 
( )
( )
( )
4 4
4 4
2
2
4
a 2 3 2 3
2R 2R 2R
sen sen15 sen(45 30 )
4
2 3 2R R 3 6 2
6 2
RApótema triângulo equilátero inscrito
2 R 3
Pr oduto
4R 3Apótema hexágono regular inscrito
2
3 6 2 3
6 3 3 3 3 2
4
α
= → = → =
  − 
 = → =  +
−
→
=
→
  + 
 
= + = +
 
 
Resposta da questão 87: 
 [E] 
 
Os triângulos AEB e BDC são 
semelhantes e do tipo 
30, 60
 e 90 (o 
ângulo em C é igual ao ângulo em B e em 
A).
 Assim, pode-se calcular: 
x cateto menor
30 / 60 / 90 x 3 cateto maior
2x hipotenusa
=

  =
 =
 
 
Em BCD: 
BCD 30 / 60 / 90
CD 3 x 3 x 3
2x BD 2 3
  
= =  =
= = 
 
Em AEB : 
AEB 30 / 60 / 90
2x AB 6 x 3
x BE 3
DE 3 2 3
  
= =  =
= =
= + 
 
Resposta da questão 88: 
 [A] 
 
Teremos: 
 
 
 
BA BD DAB ADB BDC 36
2 36 ABD 180 ABD 108 DBC BCD 72
= → = = = 
 + =  → = → = =  
 
Logo: 
ADC ACD 72 AC AD 120 km= = → = =
 
 
Resposta da questão 89: 
 [B] 
 
[A] Consideremos o triângulo abaixo: 
 
 Lista de Exercícios: Matemática | Geometria 
Página 46 de 49 
 
 
 
Pelo Teorema de Pitágoras, 
2 2 24 3 x= + 
216 9 x= + 
27 x= 
 
Como x 0, 
x 7 5=  
 
Assim, a proposição [A] é falsa. 
 
[B] Sendo l a medida do lado do polígono 
regular citado e admitamos que ele tenha 
n lados. 
Como a medida de seu apótema é a, 
podemos calcular sua área, dividindo-o 
em n triângulos isósceles congruentes, 
de base medindo l e altura relativa à 
base medindo a . 
Assim, a área de tal polígono é: 
1
n l a
2
  
 
 
Mas, 
2p n l=  
 
Então, a área do polígono é: 
2p a
2
p a

 
 
Assim, a proposição [B] é verdadeira. 
 
[C] Como os três pontos distintos do espaço 
podem ser colineares, eles podem não 
determinar sempre um único plano que 
os contém. 
Assim, a proposição [C] é falsa. 
 
[D] Sendo r o raio do círculo de área 100 ,π 
temos: 
2r 100π π= 
2r 100= 
 
Como r 0, 
r 10= 
 
A distância máxima entre dois pontos de 
um círculo é seu diâmetro, ou seja, 
2 r. 
Nesse caso, tal distância máxima é 
2r 20 25.=  
Assim, a proposição [D] é falsa. 
 
[E] Seja um cubo ABCDEFGH de aresta 
cuja medida é l. Uma das diagonais, não 
da face, é AG. 
 
 
 
No triângulo HEG, 
( )
2 2 2EG l l= +
 
( )
2 2EG 2l=
 
 
No triângulo AEG, 
( ) ( )
2 22AG l EG= +
 
 
Substituindo 
( )
2 2EG 2l=
 na equação 
( ) ( )
2 22AG l EG ,= +
 
( )
( )
2 2 2
2 2
AG l 2l
AG 3l
= +
=
 
 
Como AG 0, 
l 5
AG l 3
2
= 
 
 
Assim, a proposição [E] é falsa. 
 
Resposta da questão 90: 
 [A] 
 
 Lista de Exercícios: Matemática | Geometria 
Página 47 de 49 
 
 
 
3 h
PMN ~ PAB h 6
6 h 6
Δ Δ  =  =
+ 
 
Portanto, a área do triângulo PMN será 
dada por: 
3 6
A
2
A 9

=
= 
 
Resposta da questão 91: 
 [B] 
 
Considere a figura. 
 
 
 
Do triângulo BCD, pelo Teorema de 
Pitágoras, vem 
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
BD BC CD BD 25 60
BD 5 (5 12 )
BD 65 m .
= +  = +
 =  +
 = 
 
Logo, do triângulo ABD, novamente pelo 
Teorema de Pitágoras, encontramos 
2 2 2 22 2BD AB AD 65 52 AD
AD (65 52) (65 52)
AD 39 m.
= +  = +
 = −  +
 = 
 
A resposta é dada por 
2
(ABCD) (ABD) (BCD)
1 1
AB AD BC CD
2 2
1
(52 39 25 60)
2
1764 m .
= +
=   +  
=   + 
=
 
 
Resposta da questão 92: 
 [B] 
 
Considere a figura. 
 
 
 
Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo 
BCD, temos 
 
2 2 2 2 2 2 2
BD BC CD 2 BC CD cosBCD BD 2 2 2 2 2
2
BD 2 2 2 cm.
= + −     = + −   
 = − 
 
Como AC é bissetriz de BAD e BCD, 
segue que os triângulos retângulos ABE e 
ADE são congruentes. Logo, podemos 
concluir que AE 2 2 cm.= − 
 
A resposta é dada por 
 
2
1 1
(ABD) (BCD) BD AE BC CD senBCD
2 2
2 2 2 2 2 1 2
2 2
2 2 2
2 2 2
2cm .
+ =   +   −  −
= +   
= − +
= 
 
Resposta da questão 93: 
 [A] 
 
Com os dados do enunciado, pode-se 
calcular: 
( )
( ) ( )
2
2
prisma
3 3
3
prisma
x 3
V 2 4 3 x x
4
x x
V 2 4 3 4 3 2 x 8 x 2
4 4
 
= − =  − 
 
 
=  − =  − → = → = → =
 
 Lista de Exercícios: Matemática | Geometria 
Página 48 de 49 
 
 
Resposta da questão 94: 
 [D] 
 
Calculando: 
 
 
 
2 2
sombrada semicírculo CFG
1 90
S S S 12 12 69
2 360
1 90 69 180 90
69 144 82,5
2 360 144 360
α
π π π
α α
π π α
 −
= − =   −   =

 −  −  − 
=  −  =  =  
   
 
Resposta da questão 95: 
 [B] 
 
Calculando: 
2 2
2 2
cinza cinza
2
MNPQ
2
MNPQ 2 MNPQ
2 2
cinza cinza
ADF CDF CBE ABE
14 2ADF ADF
2 8 2 16
A 4 A
16 4
A
A A4
4
A A
4
 =  =  = 

 = =  →  =
=  → =
=
= =  → =
 
 
Resposta da questão 96: 
 [D] 
 
Calculando: 
 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 22 210 5 r 5 r 10 2 5 r 10 2 5 r r 5 2 5= + + +  =  +  =  +  = −
 
 
Resposta da questão 97: 
 [C] 
 
Calculando: 
( )
2
2
total total
2 2
cinza cinza
2 22
cinza cinza
2
total total
122
A A 61
2
A 2 6,1 A 12,2
A A12,2 12,2 1 1
A 61 5 A 2561
π π
π π
π
π
 
=  → =  
 
=   → = 
    
= = = → =   
    
 
Resposta da questão 98: 
 [B] 
 
( ) ( )
( )
2 2
2 2 2 2 2
2
2 2
2
2
sen x 1 sec x
31
1 cos x 0 sen x cos x 1 sec x cos x 1 1
16
1 0 1
31 16 sen 2x 31 16
sen x cosx sec x cosx 1
16 16 2 16 16
sen 2x 31 16 16 4 2 1
sen 2x sen 2x sen 2x
2 16 16 16 16 4 2
2x 30 x 15
12
B h 1
V V
3
π
=   −   − = −
 
 −  = − + → − = − + 
 
 
= − + + → = → = → = 
 
=  → =  =

= → =
2 2
26 3 6 4
3
3 4 12 4 12 72 18
π π π π  
  = → = → = → =
 
 
Observação: Seria possível uma segunda 
solução atendendo a condição de x no 
primeiro quadrante, que seria x 75 ,=  
porém não há alternativa de resposta para 
esse valor de x. 
 
Resposta da questão 99: 
 [D] 
 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
cos x cos 1 1
(cos x) 1 x
0 0
(cos ) 1
2
2 2
22 2 2 2
f(x) x f( ) x Tangência T ,
derivada f '(x) x cos x x log sen
reta y y a x x
1
a f '( ) x cos log sen a
1 1 x 2
y x y
circunferência x y 2 x 0 x y
π
π π
π π π π
π
π π π π
π
π
π ππ π
π π π
− −
−
−
= → = = → =
→ =  −  
→ − =  −
= =  −   → = −
−
− = −  − → = +
→ + − = → − + =
( )centro C ,0
raio
π
π
=
= 
 
 Lista de Exercícios: Matemática | Geometria 
Página 49 de 49 
 
 
 
triângulo semicircunferência
2 2
2
S S S
22 4
S S
2 2 2
π π π ππ π
π
= +
  
= + → = + 
 