Trinômio do Segundo Grau

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Pré-Cálculo 2024-1– EP03 Página 1 de 39 
DISCIPLINA PRÉ-CÁLCULO 2024-1 
 Profa. Maria Lúcia Campos 
Profa. Marlene Dieguez 
 
EP03 – Trinômio do Segundo Grau e Polinômios 
 
Caro Aluno 
No EP03 continuaremos a estudar tópicos do Ensino Médio que podem estar esquecidos ou que 
talvez você nunca tenha estudado. 
O primeiro tópico que você terá que rever ou aprender no EP03 é: Trinômio do Segundo Grau. Em 
Trinômio do Segundo Grau serão abordados os tópicos: completamento de quadrado, fatoração, gráfico 
e estudo do sinal. Esse material sobre o Trinômio do Segundo Grau pode ser utilizado como material de 
consulta durante todo o período. 
A seguir vamos rever duas importantes propriedades de desigualdades usadas na comparação de 
números reais e na resolução de inequações. 
São apresentados vários exemplos de resolução de equações e inequações aplicando estudo de 
sinais de trinômio e as duas propriedades de desigualdades. 
Depois dos exemplos de resolução de inequações estão feitas as deduções das raízes, fatoração e 
do estudo do sinal do trinômio do segundo grau. A leitura dessas deduções é opcional, não será 
necessária para fazer os exercícios, mas se tiver curiosidade, leia as deduções que são bem interessantes 
e você vai se acostumando com provas de resultados da matemática. 
 
No final desse EP estudaremos os POLINÔMIOS. 
Um polinômio com coeficientes reais, na variável 𝒙, é uma expressão do tipo: 
𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0, onde 𝑛 ∈ ℤ, 𝑛 ≥ 0 e 𝑎𝑖 ∈ ℝ, 𝑖 = 0, 1, 2,⋯ , 𝑛. 
Assim como operamos com os números, podemos também operar com os polinômios. É importante 
praticar a multiplicação e a divisão entre polinômios. Saber encontrar as raízes reais e fatorar 
polinômios é muito útil para as nossas disciplinas de Cálculo. Abordaremos também o Dispositivo de 
Briot-Ruffini, que é um algoritmo eficiente e prático para a determinação do quociente 𝑞(𝑥) e do resto 
𝑟(𝑥) na divisão euclidiana de um polinômio 𝑝(𝑥) por 𝑥 − 𝑎 . 
 
Vamos trabalhar? 
 
TRINÔMIO DO SEGUNDO GRAU 
A expressão 𝐸(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑥 ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 0 , 𝑎, 𝑏 , 𝑐 constantes reais, é chamada de 
TRINÔMIO DO SEGUNDO GRAU. 
 
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O GRÁFICO DO TRINÔMIO DO SEGUNDO GRAU 
Vamos ver que o gráfico de um trinômio do segundo grau é uma parábola. 
Falando da parábola... 
O que conhecemos da parábola? As justificativas do que vamos descrever a seguir serão apresentadas 
na disciplina Geometria Analítica, mas precisamos dominar essas características de uma parábola para 
esboçar o seu gráfico. 
 
A parábola de equação 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 , onde 𝑎, 𝑏, 𝑐 são constantes e 𝑎 ≠ 0 , tem eixo de simetria 
paralelo ao eixo 𝑦 e esse eixo de simetria contém o vértice da parábola, que denotamos por (𝑥𝑉 , 𝑦𝑉). A 
reta tangente à parábola no vértice 𝑉 é paralela ao 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥. 
Além disso, sabemos também que 
▪ quando 𝑎 > 0, a concavidade da parábola é voltada para cima. 
▪ quando 𝑎 < 0, a concavidade da parábola é voltada para baixo. 
Uma equação muito conhecida, a equação 𝑦 = 𝑎𝑥2, obtida quando 𝑎 ≠ 0, 𝑏 = 0, 𝑐 = 0 representa 
uma parábola com vértice na origem e eixo de simetria coincidente com o eixo 𝑦. 
 
 
 
Ao lado estão os dois 
tipos de parábola que 
tem equação 𝑦 = 𝑎𝑥2. 
 
 
 
Jéssica
Realce
Jéssica
Realce
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Usando as coordenadas no vértice 𝑉 e de dois pontos simétricos da parábola, vemos que podemos 
desenhar a parábola, como nas figuras abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
Dos gráficos acima, observamos que para esboçar a parábola que é o gráfico da equação 
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 , basta, por exemplo, conhecer o seu vértice (𝑥𝑉, 𝑦𝑉) e um outro ponto dessa 
parábola, que pode ser P1(𝑥1, 𝑦1) = (𝑥𝑉 + 𝑟, 𝑦1) onde 𝑟 é uma constante positiva, pois através do seu 
eixo de simetria conheceremos o ponto simétrico à P1(𝑥1, 𝑦1), que é P2(𝑥2, 𝑦2) = (𝑥𝑉 − 𝑟, 𝑦1), ou, o 
outro ponto pode ser P2(𝑥2, 𝑦2) = (𝑥𝑉 − 𝑟, 𝑦2), e através do seu eixo de simetria conheceremos o ponto 
simétrico à P2(𝑥2, 𝑦2), que é (𝑥𝑉 + 𝑟, 𝑦2). 
Uma forma de encontrar o vértice: por completamento de quadrado 
Vamos conhecer agora uma das formas de encontrar o vértice de qualquer parábola. Para isso vamos 
completar o quadrado* na expressão 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 da equação 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 e encontrar valores 
para as constantes ℎ e 𝑘 de forma a reescrever a expressão 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 na forma 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘. 
Assim, 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 equivale a 𝑦 = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘, que por sua vez equivale a 
𝑦 − 𝑘 = 𝑎(𝑥 − ℎ)2. 
A equação acima é chamada de forma canônica da equação de uma parábola, cujo vértice é 𝑉(ℎ, 𝑘) e, 
além disso, a concavidade é para cima quando 𝑎 > 0 e para baixo quando 𝑎 < 0. Como é usual 
representar a abscissa do vértice por 𝑥𝑉 e a ordenada do vértice por 𝑦𝑉, temos 𝑉(𝑥𝑉, 𝑦𝑉) = 𝑉(ℎ, 𝑘). 
Por analogia, 𝐸(𝑥) = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘 é chamada de forma canônica do trinômio do segundo grau 
𝐸(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 e o gráfico do trinômio do segundo grau é uma parábola de vértice 𝑉(𝑥𝑉, 𝑦𝑉) =
𝑉(ℎ, 𝑘), e lembramos que, além disso, a concavidade é para cima quando 𝑎 > 0 e para baixo quando 
𝑎 < 0. 
* O que é completar quadrado e como completar quadrado? 
Jéssica
Realce
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Vamos aprender através de aplicação de procedimento passo a passo, em dois exemplos. 
Exemplo 1 𝐸(𝑥) = (𝑥 +
3
2
)
2
−
25
4
= 𝑥2 + 3𝑥 − 4 onde, 
𝐸(𝑥) = (𝑥 +
3
2
)
2
−
25
4
= (𝑥 − (−
3
2
))
2
−
25
4
 é um trinômio do segundo grau escrito na forma 
canônica 𝐸(𝑥) = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘, onde 𝑎 = 1, ℎ = −
3
2
 , e 𝑘 = −
25
4
 . 
𝐸(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥 − 4 é um trinômio do segundo grau escrito na forma geral 𝐸(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 
onde 𝑎 = 1, 𝑏 = 3, e 𝑐 = −4. 
Se queremos partir da forma canônica para chegar na forma geral é preciso aplicar o produto notável 
(𝑥 + 𝐵)2 = 𝑥2 + 2𝐵𝑥 + 𝐵2, em (𝑥 +
3
2
)
2
. Assim, 
𝐸(𝑥) = (𝑥 +
3
2
)
2
−
25
4
= (𝑥2 + 2 ∙
3
2
∙ 𝑥 + (
3
2
)
2
) −
25
4
= 𝑥2 + 3𝑥 +
9
4
−
25
4
= 
𝑥2 + 3𝑥 + −
16
4
= 𝑥2 + 3𝑥 − 4. 
Se quisermos fazer o procedimento contrário, isto é, partir da forma geral e chegar na forma canônica, 
devemos aplicar o procedimento abaixo, que é chamado de "completar o quadrado", 
𝐸(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥 − 4 Colocamos parênteses nas duas primeiras parcelas. 
𝐸(𝑥) = (𝑥2 + 3𝑥) − 4 Dentro dos parênteses queremos um quadrado perfeito, 
(𝑥 + 𝐵)2 = 𝑥2 + 2𝐵𝑥 + 𝐵2. Como no quadrado perfeito o valor de 𝐵 
deve aparecer multiplicado por 2𝑥, devemos multiplicar e dividir por 2 
o coeficiente de 𝑥, que é 3, para obter o valor de 𝐵. Observe abaixo que 
𝐵 =
3
2
. 
 
𝐸(𝑥) = (𝑥2 + 2 ∙
3
2
𝑥) − 4 Observando os termos que estão dentro dos parênteses, vemos que 
para obter o quadrado perfeito de (𝑥 +
3
2
) , dentro dos parênteses será 
preciso somar(
3
2
)
2
e, para compensar, subtrair (
3
2
)
2
. Assim, 
𝐸(𝑥) = (𝑥2 + 2 ∙
3
2
𝑥 + (
3
2
)
2
− (
3
2
)
2
) − 4 
Temos que 𝑥2 + 2 ∙
3
2
𝑥 + (
3
2
)
2
= (𝑥 +
3
2
)
2
 e prosseguindo nas contas, 
𝐸(𝑥) = ((𝑥 +
3
2
)
2
− (
3
2
)
2
) − 4 = (𝑥 +
3
2
)
2
−
9
4
− 4 = (𝑥 +
3
2
)
2
−
25
4
 . 
Observação: 
No exemplo 1 desenvolvemos o procedimento no caso particular em que 𝑎 = 1, que pode ser replicado 
em qualquer 𝐸(𝑥) = 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. 
A seguir veremos um exemplo em que 𝑎 ≠ 1. Nesse caso, há uma nova etapa no início do procedimento. 
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Exemplo 2 𝐸(𝑥) = 5 (𝑥 +
3
10
)
2
+
31
20
= 5𝑥2 + 3𝑥 + 2 onde, 
𝐸(𝑥) = 5 (𝑥 +
3
10
)
2
+
31
20
 é um trinômio do segundo grau escrito na forma canônica 𝐸(𝑥) = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 +
𝑘, onde 𝑎 = 5, ℎ = −
3
10
 e 𝑘 =
31
20
 . 
𝐸(𝑥) = 5𝑥2 + 3𝑥+ 2 é um trinômio do segundo grau escrito na forma geral 𝐸(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 
onde 𝑎 = 5, 𝑏 = 3, e 𝑐 = 2. 
Se queremos partir da forma canônica para chegar na forma geral é preciso aplicar o produto notável 
(𝑥 + 𝐵)2 = 𝑥2 + 2𝐵𝑥 + 𝐵2, em (𝑥 +
3
10
)
2
. Assim, 
𝐸(𝑥) = 5 (𝑥 +
3
10
)
2
+
31
20
= 5(𝑥2 + 2 ∙
3
10
∙ 𝑥 + (
3
10
)
2
) +
31
20
= 5(𝑥2 +
3
5
𝑥 +
9
100
) +
31
20
= 
= 5𝑥2 + 5 ∙
3
5
𝑥 + 5 ∙
9
100
+
31
20
= 5𝑥2 + 3𝑥 +
9
20
+
31
20
= 5𝑥2 + 3𝑥 +
40
20
= 5𝑥2 + 3𝑥 + 2. 
Se quisermos fazer o procedimento contrário, isto é, partir da forma geral e chegar na forma canônica, 
devemos aplicar o procedimento abaixo, que é chamado de "completar o quadrado", 
𝐸(𝑥) = 5𝑥2 + 3𝑥 + 2 Nas duas primeiras parcelas, colocando em evidência 
o coeficiente de 𝑥2, que é 5, obtemos, 
𝐸(𝑥) = 5 (𝑥2 +
3
5
𝑥) + 2 Dentro dos parênteses queremos um quadrado perfeito, 
(𝑥 + 𝐵)2 = 𝑥2 + 2𝐵𝑥 + 𝐵2. Como no quadrado perfeito o valor de 𝐵 
deve aparecer multiplicado por 2𝑥, devemos multiplicar e dividir por 2 
o coeficiente de 𝑥, que é 
3
5
, para obter o valor de 𝐵. Observe abaixo que 
𝐵 =
3
10
. 
𝐸(𝑥) = 5 (𝑥2 + 2 ∙
3
2∙5
𝑥) + 2 = 5 (𝑥2 + 2 ∙
3
10
𝑥) + 2 
observando os termos que estão dentro dos parênteses, vemos que para obter o quadrado perfeito 
de (𝑥 +
3
10
) , dentro dos parênteses será preciso somar (
3
10
)
2
e para compensar, subtrair (
3
10
)
2
. 
Assim, 
𝐸(𝑥) = 5 (𝑥2 + 2 ∙
3
10
𝑥 + (
3
10
)
2
− (
3
10
)
2
) + 2 
Temos que 𝑥2 + 2 ∙
3
10
𝑥 + (
3
10
)
2
= (𝑥 +
3
10
)
2
 e prosseguindo nas contas, 
𝐸(𝑥) = 5 ((𝑥 +
3
10
)
2
− (
3
10
)
2
) + 2 = 5 (𝑥 +
3
10
)
2
− 5(
3
10
)
2
+ 2 aqui, {5 (
3
10
)
2
=
5∙9
100
=
9
20
} 
𝐸(𝑥) = 5 (𝑥 +
3
10
)
2
−
9
20
+ 2 = (𝑥 +
3
10
)
2
+
31
20
 . 
Esse procedimento aplicado no exemplo 2 pode ser replicado em qualquer 𝑬(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄. 
Para ganhar agilidade, use esse procedimento para obter a forma canônica nos exemplos abaixo. 
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1. 𝐸(𝑥) = 4𝑥2 + 40𝑥 + 90 [ resposta: 4(𝑥 + 5)2 − 10 ] 
2. 𝐸(𝑥) = 2𝑥2 − 2𝑥 + 1 [ resposta: 2 (𝑥 −
1
2
)
2
+
1
2
 ] 
3. 𝐸(𝑥) = −𝑥2 − 3𝑥 +
27
4
 [ resposta: −(𝑥 +
3
2
)
2
+ 9 ] 
 
Agora vamos esboçar o gráfico de algumas parábolas encontrando os seus vértices por completamento 
de quadrado. 
1. Queremos esboçar o gráfico do trinômio 𝑬(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟑. 
Vamos identificar a parábola de equação 𝑦 = 3𝑥2 − 6𝑥 + 3. 
Completando o quadrado dessa expressão: 
𝑦 = 3𝑥2 − 6𝑥 + 3 = 3(𝑥2 − 2𝑥) + 3 = 3(𝑥2 − 2 ∙ 1 ∙ 𝑥) + 3 = 3(𝑥2 − 2 ∙ 1 ∙ 𝑥 + 1 − 1) + 3 
= 3(𝑥2 − 2 ∙ 1 ∙ 𝑥 + 1) − 3 + 3 = 3(𝑥 − 1)2 + 0 = 3(𝑥 − 1)2. 
Assim, 
𝑦 = 3𝑥2 − 6𝑥 + 3 ⟺ 𝑦 = 3(𝑥 − 1)2 + 0 ⟺ 𝑦 − 0 = 3(𝑥 − 1)2 
Essa equação representa uma parábola de vértice 𝑉 = (ℎ, 𝑘) = (1, 0) e como 𝑎 = 3 > 0 , a parábola 
tem concavidade voltada para cima. 
Fazendo 𝑥 = 0 na equação 𝑦 = 3𝑥2 − 6𝑥 + 3 encontramos 𝑦 = 3 ∙ 02 − 6 ∙ 0 + 3 = 3. Assim, o ponto 
(0, 3) = (1 − 1, 3) é um ponto da parábola e o seu simétrico com relação ao eixo de simetria da 
parábola é (1 + 1, 3) = (2, 3) é também um ponto da parábola. 
A parábola que representa o gráfico do trinômio 
 𝐸(𝑥) = 3𝑥2 − 6𝑥 + 3 está desenhada na figura ao lado. 
 
 
 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2. Queremos esboçar o gráfico do trinômio 𝑬(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟓. 
Vamos identificar a parábola de equação 𝑦 = 2𝑥2 − 4𝑥 + 5. 
Completando o quadrado dessa expressão: 
𝑦 = 2𝑥2 − 4𝑥 + 5 = 2(𝑥2 − 2𝑥) + 5 = 2(𝑥2 − 2 ∙ 1 ∙ 𝑥) + 5 = 2(𝑥2 − 2 ∙ 1 ∙ 𝑥 + 1 − 1) + 5 
= 2(𝑥2 − 2 ∙ 1 ∙ 𝑥 + 1) − 2 + 5 = 2(𝑥 − 1)2 + 3 
Assim, 
𝑦 = 2𝑥2 − 4𝑥 + 5 ⟺ 𝑦 = 2(𝑥 − 1)2 + 3 ⟺ 𝑦 − 3 = 2(𝑥 − 1)2 
Pré-Cálculo 2024-1– EP03 Página 7 de 39 
Essa equação representa uma parábola de vértice 𝑉 = (ℎ, 𝑘) = (1, 3) e como 𝑎 = 2 > 0, a parábola 
tem concavidade voltada para cima. 
Fazendo 𝑥 = 0 na equação 𝑦 = 2𝑥2 − 4𝑥 + 5 encontramos 𝑦 = 2 ∙ 02 − 4 ∙ 0 +
5 = 5. Assim, o ponto (0, 5) = (1 − 1, 5) é um ponto da parábola e o seu simétrico 
com relação ao eixo de simetria da parábola (1 + 1, 5) = (2, 5) é também um 
ponto da parábola. 
A parábola que representa o gráfico do trinômio 𝐸(𝑥) = 2𝑥2 − 4𝑥 + 5 está 
desenhada na figura ao lado. 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
3. Queremos esboçar o gráfico do trinômio 𝑬(𝒙) = −𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 +
𝟐𝟕
𝟒
. 
Vamos identificar a parábola de equação 𝑦 = −𝑥2 − 3𝑥 +
27
4
. 
Completando o quadrado dessa expressão: 
𝑦 = −𝑥2 − 3𝑥 +
27
4
= −(𝑥2 + 3𝑥) +
27
4
= −(𝑥2 + 2 ∙
3
2
∙ 𝑥) +
27
4
= 
= −(𝑥2 + 2 ∙
3
2
∙ 𝑥 +
 9 
4
−
 9 
4
) +
27
4
= −(𝑥2 + 2 ∙
3
2
∙ 𝑥 +
 9 
4
) − (−
 9 
4
) +
27
4
= 
 − (𝑥 +
3
2
)
2
+
36
4
= −(𝑥 +
3
2
)
2
+ 9 
Assim, 
𝑦 = −𝑥2 − 3𝑥 +
27
4
 ⟺ 𝑦 = −(𝑥 +
3
2
)
2
+ 9 ⟺ 𝑦 − 9 = −(𝑥 +
3
2
)
2
. 
Essa equação representa uma parábola de vértice 𝑉 = (ℎ, 𝑘) = (−
3
2
, 9) e como 𝑎 = −1 < 0 , a 
parábola tem concavidade voltada para baixo. 
Fazendo 𝑥 = 0 na equação 𝑦 = −𝑥2 − 3𝑥 +
27
4
 encontramos 𝑦 =
−(0)2 − 3 ∙ 0 +
27
4
=
27
4
. Assim, o ponto (0,
27
4
) = (−
3
2
+
3
2
,
27
4
) é um ponto 
da parábola e o seu simétrico com relação ao eixo de simetria da parábola 
(−
3
2
−
3
2
,
27
4
) = (−3,
27
4
) é também um ponto da parábola. 
A parábola que representa o gráfico do trinômio 𝐸(𝑥) = −𝑥2 − 3𝑥 +
27
4
 
está desenhada na figura ao lado. 
 
Vamos ver que há outra forma de encontrar o gráfico de 𝐸(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. Nesse caso é preciso 
encontrar as interseções do trinômio do segundo grau 𝐸(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 com o 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥, claro que 
se elas ocorrerem. 
Vamos estudar agora, as possíveis interseções do trinômio do segundo grau 𝐸(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 com 
o 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥. 
Na interseção com 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥, 𝑦 = 0, logo é preciso resolver a equação de segundo grau 
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. 
Vamos usar a fórmula de Bháskara para resolver, se possível, essa equação. 
Pré-Cálculo 2024-1– EP03 Página 8 de 39 
▪ Se Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0 então a equação 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 não tem solução em ℝ , ou seja, não tem 
raiz real. 
▪ Se Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0 então a equação 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 tem duas soluções iguais em ℝ, ou seja, 
tem raiz real dupla: 𝑥1 = 𝑥2 =
−𝑏
2𝑎
. 
Nesse caso a parábola toca o 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥 em um único ponto, que coincide com o vértice da parábola. 
Logo o vértice da parábola é 𝑽(𝒙𝑽, 𝒚𝑽) = (
−𝒃
𝟐𝒂
, 𝟎). 
▪ Se Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 > 0 então a equação 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 tem duas soluções diferentes em ℝ ou 
seja, tem duas raízes reais distintas: 𝑥1 =
−𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
 e 𝑥2 =
−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
. 
Também é usual dizer que 𝑥 =
−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
 ou 𝑥 =
−𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
 , ou seja, 𝑥 =
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
. 
Nesse caso a parábola corta o 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥 em dois pontos distintos, 𝑃1(𝑥1, 0) e 𝑃2(𝑥2, 0). 
IMPORTANTE: 
Vamos ver um exemplo de como determinar as raízes de um trinômio do segundo grau quando este 
está escrito na sua forma canônica, 𝐸(𝑥) = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘 , sem usar a fórmula de Bhaskara. 
Seja 𝐸(𝑥) = 9(𝑥 − 1)2 − 15 , para encontrar as suas raízes devemos fazer 𝐸(𝑥) = 0. 
9(𝑥 − 1)2 − 15 = 0 ⟺ 9(𝑥 − 1)2 = 15 ⟺ (𝑥 − 1)2 =
15
9
 ⟺ 𝑥 − 1 = ±√
15
9
 ⟺ 
𝑥 = 1 ±
√15
3
=
3±√15
3
 . Logo as raízes são 𝑥1 =
3+√15
3
 e 𝑥2 =
3−√15 
3
 . 
ATENÇÃO: na parte final desse texto você pode encontrar a Dedução das Soluções ou Raízes da Equação 
do Segundo Grau. 
 
Para esboçar a parábola queé o gráfico do trinômio do segundo grau 𝐸(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, quando: 
❖ Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0 , completamos o quadrado na expressão 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 da equação 𝑦 =
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 para encontrar a forma canônica da equação da parábola, 𝑦 − 𝑘 = 𝑎(𝑥 − ℎ)2, 
e identificar o seu vértice 𝑉(ℎ, 𝑘) = 𝑉(𝑥𝑉, 𝑦𝑉). Depois encontramos um outro ponto dessa 
parábola, P1(𝑥1, 𝑦1) = P1(𝑥𝑉 + 𝑟, 𝑦1) onde 𝑟 é uma constante positiva, pois através do seu eixo 
de simetria conheceremos o ponto simétrico à P1(𝑥1, 𝑦1), que é P2(𝑥𝑉 − 𝑟, 𝑦1). Esses dois 
pontos também podem ser encontrados assim, primeiro P2(𝑥2, 𝑦2) = P2(𝑥𝑉 − 𝑟, 𝑦2) e depois 
conheceremos o seu simétrico, que é P1(𝑥1, 𝑦1) = P1(𝑥𝑉 + 𝑟, 𝑦2). 
❖ Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0 , a parábola toca o 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥 em um único ponto, que coincide com o vértice 
da parábola. Logo o vértice da parábola é 𝑉(𝑥𝑉 , 𝑦𝑉) = (
−𝑏
2𝑎
, 0). Conhecendo o seu vértice, 
procedemos como acima, encontrando um outro ponto dessa parábola P1(𝑥1, 𝑦1) = P1(𝑥𝑉 +
𝑟, 𝑦1) onde 𝑟 é uma constante positiva e o seu simétrico com relação ao eixo de simetria da 
Pré-Cálculo 2024-1– EP03 Página 9 de 39 
parábola, P2(𝑥𝑉 − 𝑟, 𝑦1). Esses dois pontos também podem ser encontrados assim, primeiro 
P2(𝑥2, 𝑦2) = P2(𝑥𝑉 − 𝑟, 𝑦2) e depois conheceremos o seu simétrico, que é P1(𝑥1, 𝑦1) = P1(𝑥𝑉 +
𝑟, 𝑦2). 
Observe que nos dois casos acima, o “outro ponto” da parábola que buscamos pode ser o ponto de 
interseção dessa parábola com o 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦 , quando 𝑥 = 0 , logo 𝑦 = 𝑎 ∙ 02 + 𝑏 ∙ 0 + 𝑐 = 𝑐. A parábola 
corta o 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦 em um ponto (0, 𝑐) e assim, encontramos um outro ponto dessa parábola. Mas atenção, 
se esse ponto (0, 𝑐) coincidir com o vértice da parábola, veja que ainda não encontramos o “outro 
ponto” da parábola que precisamos. 
❖ Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 > 0 , as duas raízes reais distintas: 𝑥1 =
−𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
 e 𝑥2 =
−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
 são 
tais que os pontos (𝑥1, 0), (𝑥2, 0), são pontos da parábola, estão no eixo 𝑥 e são simétricos em 
relação ao eixo da parábola. 
Nesse caso, para encontrar o vértice da parábola, começamos encontrado a abscissa 𝑥𝑉 do 
vértice 𝑉(𝑥𝑉, 𝑦𝑉) , que é o valor médio de 𝑥1 e 𝑥2, isto é, 𝒙𝑽 =
𝒙𝟏+𝒙𝟐
𝟐
. A ordenada do vértice da 
parábola é obtida substituindo 𝑥𝑉 na equação da parábola, e assim, 𝒚𝑽 = 𝒂𝒙𝑽
𝟐 + 𝒃𝒙𝑽 + 𝒄. 
ATENÇÃO: Para determinar as coordenadas do vértice também podemos usar fórmulas, mas isso tem 
a desvantagem de ser preciso "decorar fórmula", que podem ser esquecidas. Se 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 , o 
discriminante é Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 e: 
a abscissa do vértice é 𝑥𝑉 = −
𝑏
2𝑎
 e a ordenada do vértice é 𝑦𝑉 = −
Δ
4𝑎
. 
Agora vamos esboçar a parábola que representa o gráfico de mais alguns trinômios do segundo grau: 
4. 𝑬(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔 
Como 𝑎 = 2 > 0 já sabemos que a parábola tem concavidade para cima. 
Vamos encontrar, se possível, as raízes do trinômio. 
Δ = (−1)2 − 4 ∙ 2 ∙ (−6) = 1 + 48 = 49 > 0, logo o trinômio possui duas raízes reais distintas que são 
as abscissas dos pontos onde o gráfico, que é uma parábola, corta o 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥. 
Determinando as raízes, 𝑥 =
−(−1)±√1−4∙2∙(−6)
2∙2
=
1±√1+48
4
=
1±7
4
. 
Logo 𝑥1 =
8
4
= 2 e 𝑥2 =
−6
4
= −
3
2
. 
Para esboçar o gráfico basta determinar mais um ponto da parábola. Vamos 
optar por determinar o ponto de interseção do gráfico com o 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦. 
𝑥 = 0 𝑦 = 𝐸(0) = 2 ∙ 02 − 0 − 6 = −6. 
A parábola que representa o gráfico do trinômio está esboçada ao lado. 
Como uma informação a mais sobre essa parábola, vamos calcular o seu 
vértice: 
Pré-Cálculo 2024-1– EP03 Página 10 de 39 
𝑥𝑉 =
2+(−
3
2
)
2
=
4−3
4
=
1 
4
 𝑒 𝑦𝑉 = 2 ∙
1
16
−
1
4
− 6 =
1
8
−
2
8
− 6 = −
1
8
− 6 = −
49
8
 
Portanto, 𝑉(𝑥𝑉, 𝑦𝑉) = (
1 
4
 , −
49
8
) . 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
5. 𝑬(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟏𝟖 
Como 𝑎 = 2 > 0 já sabemos que a parábola tem concavidade para cima. 
Vamos encontrar, se possível, as raízes do trinômio. 
Δ = (−12)2 − 4 ∙ (2) ∙ 18 = 144 − 144 = 0, logo o trinômio possui duas raízes reais iguais, ou seja, 
uma raiz real dupla, que é a abscissa do vértice da parábola, o ponto em que a parábola tangencia o 
𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥. 
Determinando a raiz real dupla, 𝑥 =
12±√0
4
=
12±0
4
= 3. 
Logo, o vértice da parábola é 𝑉(3, 0). 
Para esboçar o gráfico precisamos determinar mais dois pontos da parábola. Vamos optar por 
determinar o ponto de interseção do gráfico com o 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦. 
Interseção com o 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦: 𝑥 = 0 𝑦 = 2 ∙ 02 − 12 ∙ 0 + 18 = 18. 
Como a ordenada desse ponto é um valor alto, o ponto de interseção com 
o 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦 fica distante da origem, é melhor procurar outro ponto, por 
exemplo, 
𝑥 = 1, 𝑦 = 2 ∙ 12 − 12 ∙ 1 + 18 = 8, assim, um ponto da parábola é 
𝑃1(1, 8) = (3 − 2, 8) e outro ponto é o seu simétrico em relação ao eixo 
de simetria da parábola, 𝑃2(3 + 2, 8) = (5, 8). 
A parábola que representa o gráfico do trinômio está esboçada ao lado. 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
6. 𝑬(𝒙) = −𝟑𝒙𝟐 − 𝟔𝒙, 
Como 𝑎 = −3 < 0 já sabemos que a parábola tem concavidade para baixo. 
Vamos encontrar, se possível, as raízes do trinômio. 
Δ = (−6)2 − 4 ∙ (−3) ∙ 0 = 36 > 0, logo o trinômio possui duas raízes reais distintas que são as 
abscissas dos pontos onde o gráfico, que é uma parábola, corta o 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥. 
Nesse caso vamos determinar as raízes resolvendo diretamente a equação: 
−3𝑥2 − 6𝑥 = 0 ⟺ −3𝑥(𝑥 + 2) = 0 ⟺ −3𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 + 2 = 0 ⟺ 𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = −2. 
Logo 𝑥1 = −2 e 𝑥2 = 0. 
Para esboçar o gráfico basta determinar mais um ponto da parábola. Vamos determinar o vértice da 
parábola. 
Pré-Cálculo 2024-1– EP03 Página 11 de 39 
A abscissa do vértice é 𝑥𝑉 =
𝑥1+𝑥2
2
=
−2+0
2
= −1. Logo, 𝑥𝑉 = −1. 
A ordenada do vértice é obtida substituindo 𝑥𝑉 no trinômio, 
𝑦𝑉 = −3(−1)
2 − 6(−1) = −3 + 6 = 3. 
Logo, 𝑉(𝑥𝑉, 𝑦𝑉) = (−1, 3). 
A parábola que representa o gráfico do trinômio está esboçada ao lado. 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
7. 𝑬(𝒙) = −𝒙𝟐 − 𝟐√𝟐 𝒙 − 𝟐. 
Como 𝑎 = −1 < 0 já sabemos que a parábola tem concavidade para baixo. 
Vamos encontrar, se possível, as raízes do trinômio. 
Δ = (−2√2)
2
− 4 ∙ (−1) ∙ (−2) = 8 − 8 = 0, logo o trinômio possui duas raízes reais iguais, ou seja, 
uma raiz real dupla, que é a abscissa do vértice da parábola, o ponto em que a parábola tangencia o 
𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥. 
Determinando a raiz real dupla, 𝑥 =
2√2±√0
−2
=
2√2±0
−2
= −√2. 
Logo, o vértice da parábola é 𝑉(−√2, 0). 
Para esboçar o gráfico precisamos determinar mais dois pontos da parábola. Vamos optar por 
determinar o ponto de interseção do gráfico com o 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦. 
Interseção com o 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦: 𝑥 = 0 𝑦 = −1 ∙ 02 − 2√2 ∙ 0 − 2 = −2. 
Assim, um ponto da parábola é 𝑃1(0, −2) = (−√2 + √2, −2) e outro 
ponto é o seu simétrico em relação ao eixo de simetria da parábola, 
𝑃2(−√2 − √2,−2) = (−2√2,−2). 
A parábola que representa o gráfico do trinômio está esboçada ao lado. 
 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
8. 𝑬(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟐 𝒙 + 𝟑. 
Como 𝑎 = 1 > 0 já sabemos que a parábola tem concavidade para cima. 
Vamos encontrar, se possível, as raízes do trinômio. 
Δ = (2)2 − 4 ∙ 1 ∙ 3 = 4 − 12 = −8 < 0, logo o trinômio não possui raízes reais, a parábola não corta 
nem tangencia o 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥. 
Vamos determinar o vértice 𝑉 por completamentode quadrado. 
𝐸(𝑥) = 𝑥2 + 2 𝑥 + 3 = (𝑥2 + 2𝑥) + 3 = (𝑥2 + 2𝑥 + 1 − 1) + 3 = (𝑥2 + 2𝑥 + 1) − 1 + 3 = 
= (𝑥 + 1)2 + 2. 
Comparando com a forma canônica do trinômio 𝐸(𝑥) = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘, concluímos que ℎ = −1 e 𝑘 =
2. Assim o vértice 𝑉(𝑥𝑉, 𝑦𝑉) = (ℎ, 𝑘) = (−1, 2). 
Observação: nesse caso para encontrar o vértice também poderíamos ter usado as fórmulas: 
𝑥𝑉 = −
𝑏
2𝑎
= −
2
2
= −1 𝑦𝑉 = −
Δ
4𝑎
= −
−8
4
= 2. Mas, atenção, muito cuidado, se esquecer ou 
decorar errado as fórmulas, não vai ser possível encontrar o vértice correto. Por esse motivo, julgamos 
que é melhor usar completamento de quadrado para encontrar o vértice. 
Pré-Cálculo 2024-1– EP03 Página 12 de 39 
Para esboçar o gráfico precisamos determinar mais dois pontos da parábola. 
Vamos optar por determinar o ponto de interseção do gráfico com o 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦. 
Interseção com 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦: 𝑥 = 0, 𝑦 = 02 + 2.0 + 3 = 3. 
Assim, um ponto da parábola é 𝑃1(0, 3) = (−1 + 1, 3) e outro ponto é o seu 
simétrico em relação ao eixo de simetria da parábola, 𝑃2(−1 − 1, 3) = (−2, 3). 
A parábola que representa o gráfico do trinômio está esboçada ao lado. 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
9. 𝑬(𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝟒 𝒙 − 𝟕. 
Como 𝑎 = −1 < 0 já sabemos que a parábola tem concavidade para baixo. 
Vamos encontrar, se possível, as raízes do trinômio. 
Δ = (4)2 − 4 ∙ (−1) ∙ (−7) = 16 − 28 = −12 < 0, logo o trinômio não possui raízes reais, a parábola 
não corta nem tangencia o 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥. 
Vamos determinar o vértice 𝑉 por completamento de quadrado. 
𝐸(𝑥) = −𝑥2 + 4 𝑥 − 7 = −(𝑥2 − 4𝑥) − 7 = −(𝑥2 − 2 ∙ 2 ∙ 𝑥 + 4 − 4) − 7 = 
−(𝑥2 − 2 ∙ 2 ∙ 𝑥 + 4) + 4 − 7 = −(𝑥 − 2)2 − 3. 
Comparando com a forma canônica do trinômio 𝐸(𝑥) = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘, concluímos que ℎ = 2 e 𝑘 =
−3. Assim o vértice 𝑉(𝑥𝑉 , 𝑦𝑉) = (ℎ, 𝑘) = (2,−3). 
Para esboçar o gráfico precisamos determinar mais dois pontos da parábola. 
Vamos optar por determinar o ponto de interseção do gráfico com o 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦. 
Interseção com 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦: 𝑥 = 0, 𝑦 = −02 + 4.0 − 7 = −7 
Assim, um ponto da parábola é 𝑃1(0, −7) = (2 − 2,−7) e outro ponto é o 
seu simétrico em relação ao eixo de simetria da parábola, 𝑃2(2 + 2,−7) =
(4,−7). 
A parábola que representa o gráfico do trinômio está esboçada ao lado. 
FATORAÇÃO DO TRINÔMIO DO SEGUNDO GRAU 
❖ Afirmação 1: 
Se 𝑥1 e 𝑥2 são as raízes reais da equação 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 então o trinômio 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 pode ser 
fatorado em ℝ e sua fatoração é: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2). 
❖ Afirmação 2: Se a equação 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 não possui solução em ℝ então o trinômio 𝑎𝑥2 +
𝑏𝑥 + 𝑐 não pode ser fatorado em ℝ e um dos dois casos é verdadeiro: 
(i) 𝑎 > 0, e neste caso temos que 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0 para todo 𝑥 ∈ ℝ 
ou 
(ii) 𝑎 < 0, e neste caso temos que 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0 para todo 𝑥 ∈ ℝ. 
OBSERVAÇÃO: no final do texto sobre trinômio, depois dos exemplos, em JUSTIFICATIVAS DAS RAÍZES, 
FATORAÇÃO E SINAL DO TRINÔMIO DE SEGUNDO GRAU, você pode encontrar as provas de que essas 
afirmações são de fato verdadeiras. 
 
Pré-Cálculo 2024-1– EP03 Página 13 de 39 
ANÁLISE DO SINAL DO TRINÔMIO DO SEGUNDO GRAU 
A análise de sinal de 𝐸(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. 
Lembramos que analisar o sinal de uma expressão 𝐸(𝑥) que depende de uma variável real 𝑥 
significa encontrar os valores de 𝑥 em que 𝐸(𝑥) é nula (ou seja 𝐸(𝑥) = 0), encontrar os valores 
de 𝑥 em que 𝐸(𝑥) é positiva (ou seja 𝐸(𝑥) > 0) e encontrar os valores de 𝑥 em que 𝐸(𝑥) é 
negativa (ou seja 𝐸(𝑥) < 0). 
Exemplos de fatoração e análise de sinal 
Se possível, vamos fatorar cada trinômio. Vamos analisar o sinal do trinômio. Vamos dar as respostas 
em forma de união de intervalos disjuntos (intervalos disjuntos não têm pontos em comum). 
1. 𝑬(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔. 
Determinando as raízes, 𝑥 =
−(−1)±√1−4∙2∙(−6)
2∙2
=
1±√1+48
4
=
1±7
4
. 
Logo 𝑥1 =
8
4
= 2 e 𝑥2 =
−6
4
= −
3
2
. 
Pela afirmação 1, 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2). Temos que 𝑎 = 2, 𝑥1 = 2, 𝑥2 = −
3
2
. 
Logo, a fatoração é 𝐸(𝑥) = 2𝑥2 − 𝑥 − 6 = 2(𝑥 − 2) (𝑥 +
3
2
) = (𝑥 − 2)(2𝑥 + 3). 
Vamos analisar o sinal de duas formas diferentes, usando a fatoração e usando o gráfico. 
Análise de sinal usando a fatoração 𝐸(𝑥) = (𝑥 − 2)(2𝑥 + 3). 
• Sabemos que um produto de dois fatores é nulo se pelo menos um dos dois fatores é nulo. 
Assim, 𝐸(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 = 2 ou 𝑥 = −
3
2
. 
Observação: o símbolo " ⟺ " significa "se e somente se", ou "se e só se" ou "equivale a". 
• Sabemos que o sinal de um produto é positivo se os dois fatores são positivos ou se os dois 
fatores são negativos. 
𝐸(𝑥) > 0 ⟺ { 𝑥 − 2 > 0 e 2𝑥 + 3 > 0 } ou { 𝑥 − 2 < 0 e 2𝑥 + 3 < 0 }. 
Resolvendo cada uma, 
{ 𝑥 − 2 > 0 e 2𝑥 + 3 > 0 } ⟺ { 𝑥 > 2 e 𝑥 > −
3
2
} ⟺ 𝑥 > 2. 
{ 𝑥 − 2 < 0 e 2𝑥 + 3 < 0 } ⟺ { 𝑥 < 2 e 𝑥 < −
3
2
} ⟺ 𝑥 < −
3
2
. 
Concluindo 𝐸(𝑥) > 0 ⟺ 𝑥 < −
3
2
 ou 𝑥 > 2. 
• Sabemos que o sinal de um produto é negativo se um dos fatores é positivo e o outro fator é 
negativo. 
𝐸(𝑥) < 0 ⟺ { 𝑥 − 2 > 0 e 2𝑥 + 3 < 0 } ou { 𝑥 − 2 < 0 e 2𝑥 + 3 > 0 } 
Resolvendo cada uma, 
{ 𝑥 − 2 > 0 e 2𝑥 + 3 < 0 } ⟺ { 𝑥 > 2 e 𝑥 < −
3
2
} . Nesse caso não existe valor para 𝑥 que 
satisfaça as duas desigualdades. 
Pré-Cálculo 2024-1– EP03 Página 14 de 39 
{ 𝑥 − 2 < 0 e 2𝑥 + 3 > 0 } ⟺ { 𝑥 < 2 e 𝑥 > −
3
2
} ⟺ −
3
2
< 𝑥 < 2. 
Concluindo 𝐸(𝑥) < 0 ⟺ −
3
2
< 𝑥 < 2 . 
Resumindo e concluindo a análise de sinal: 
𝐸(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 = 2 ou 𝑥 = −
3
2
. 
𝐸(𝑥) > 0 ⟺ 𝑥 < −
3
2
 ou 𝑥 > 2. Em forma de intervalo, 𝑥 ∈ (−∞,−
3
2
) ∪ (2,∞). 
𝐸(𝑥) < 0 ⟺ −
3
2
< 𝑥 < 2. Em forma de intervalo, 𝑥 ∈ (−
3
2
, 2) 
Análise de sinal usando o gráfico de 𝐸(𝑥) = 2𝑥2 − 𝑥 − 6. 
O gráfico de 𝐸(𝑥) = 2𝑥2 − 𝑥 − 6, ao lado, já foi esboçado anteriormente. 
Observando o esboço da parábola ao lado podemos concluir que 
𝐸(𝑥) > 0 quando o gráfico está situado acima do 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥. 
Nesse caso, 𝑥 < −
3
2
 ou 𝑥 > 2. 
𝐸(𝑥) < 0 quando o gráfico está situado abaixo do 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥. 
Nesse caso, −
3
2
< 𝑥 < 2. 
Resumindo e concluindo a análise de sinal: 
𝐸(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 = 2 ou 𝑥 = −
3
2
. 
𝐸(𝑥) > 0 ⟺ 𝑥 < −
3
2
 ou 𝑥 > 2. Em forma de intervalo, 𝑥 ∈ (−∞,−
3
2
) ∪ (2,∞). 
𝐸(𝑥) < 0 ⟺ −
3
2
< 𝑥 < 2. Em forma de intervalo, 𝑥 ∈ (−
3
2
, 2). 
 
2. 𝑬(𝒙) = −𝟑𝒙𝟐 − 𝟔𝒙. 
Determinando as raízes, 𝑥 =
−(−6)±√(−62)−4∙(−3)∙0
2∙(−3)
=
6±√36
−6
=
6±6
−6
. 
Logo 𝑥1 =
12
−6
= −2 e 𝑥2 =
0
−6
= 0. 
Pela afirmação 1, 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2). Temos que 𝑎 = −3, 𝑥1 = −2, 𝑥2 = 0. 
Logo, a fatoração é 𝐸(𝑥) = −3𝑥2 − 6𝑥 = −3(𝑥 + 2)(𝑥 − 0) = −3 𝑥 (𝑥 + 2). 
OBSERVAÇÃO: a fatoração de 𝐸(𝑥) = −3𝑥2 − 6𝑥 também pode ser feita, colocando −3𝑥 em 
evidência: 𝐸(𝑥) = −3𝑥2 − 6𝑥 = −3𝑥 (𝑥 + 2). 
Análise de sinal usando a fatoração 𝐸(𝑥) = −3 𝑥 (𝑥 + 2). 
• Sabemos que um produto de dois fatores é nulo se pelo menos um dos dois fatores é nulo. 
Assim, 𝐸(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 = 0 ou 𝑥 = −2. 
Observação: o símbolo " ⟺ " significa "se e somente se", ou "se e só se" ou "equivale a". 
Pré-Cálculo 2024-1– EP03 Página 15 de 39 
• Sabemos que o sinal de um produto é positivo se os dois fatores são positivos ou se os dois 
fatores são negativos. 
𝐸(𝑥) > 0 ⟺ {−3𝑥 > 0 e 𝑥 + 2 > 0 } ou {−3𝑥 > 0 e 𝑥 + 2 > 0 }. 
Resolvendo cada uma, 
{−3𝑥 > 0 e𝑥 + 2 > 0 } ⟺ { 𝑥 < 0 e 𝑥 > −2} ⟺ −2 < 𝑥 < 0. 
{−3𝑥 < 0 e 𝑥 + 2 < 0 } ⟺ { 𝑥 > 0 e 𝑥 < −2} . Nesse caso não existe valor para 𝑥 que 
satisfaça as duas desigualdades. 
Concluindo 𝐸(𝑥) > 0 ⟺ −2 < 𝑥 < 0. 
• Sabemos que o sinal de um produto é negativo se um dos fatores é positivo e o outro fator é 
negativo. 
𝐸(𝑥) < 0 ⟺ {−3𝑥 > 0 e 𝑥 + 2 < 0 } ou {−3𝑥 < 0 e 𝑥 + 2 > 0 } 
Resolvendo cada uma, 
{−3𝑥 > 0 e 𝑥 + 2 < 0 } ⟺ { 𝑥 < 0 e 𝑥 < −2} ⟺ 𝑥 < −2. 
{−3𝑥 < 0 e 𝑥 + 2 > 0 } ⟺ { 𝑥 > 0 e 𝑥 > −2} ⟺ 𝑥 > 0. 
Concluindo 𝐸(𝑥) < 0 ⟺ 𝑥 < −2 ou 𝑥 > 0. 
Resumindo e concluindo a análise de sinal: 
𝐸(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 = 0 ou 𝑥 = −2. 
𝐸(𝑥) > 0 ⟺ −2 < 𝑥 < 0. Em forma de intervalo, 𝑥 ∈ (−2, 0). 
𝐸(𝑥) < 0 ⟺ 𝑥 < −2 ou 𝑥 > 0. Em forma de intervalo, 𝑥 ∈ (−∞,−2) ∪ (0,∞). 
Análise de sinal usando o gráfico de 𝐸(𝑥) = −3𝑥2 − 6𝑥. 
O gráfico de 𝐸(𝑥) = −3𝑥2 − 6𝑥, ao lado, já foi esboçado anteriormente. 
Observando o esboço ou o tipo da parábola ao lado podemos concluir que 
𝐸(𝑥) > 0 se o gráfico está situado acima do 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥. Nesse caso, −2 < 𝑥 < 0. 
𝐸(𝑥) < 0 se o gráfico está situado abaixo do 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥. Nesse caso, 𝑥 < −2 ou 𝑥 > 0. 
Resumindo e concluindo a análise de sinal: 
𝐸(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 = −2 ou 𝑥 = 0. 
𝐸(𝑥) > 0 ⟺ −2 < 𝑥 < 0. Em forma de intervalo, 𝑥 ∈ (−2, 0). 
𝐸(𝑥) < 0 ⟺ 𝑥 < −2 ou 𝑥 > 0. Em forma de intervalo, 𝑥 ∈ (−∞,−2) ∪ (0,∞). 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
3. 𝑬(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟏𝟖. 
Determinando as raízes, 𝑥 =
−(−12)±√(−12)2−4∙(2)∙18
2∙2
=
12±√144−144
4
=
12±0
4
= 3. 
Logo 𝑥1 = 𝑥2 = 3. 
Pela afirmação 1, 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2). Temos que 𝑎 = 2, 𝑥1 = 𝑥2 = 3. 
Pré-Cálculo 2024-1– EP03 Página 16 de 39 
Logo, a fatoração é 𝐸(𝑥) = 2𝑥2 − 12𝑥 + 18 = 2(𝑥 − 3)(𝑥 − 3) = 2(𝑥 − 3)2. 
Análise de sinal usando a fatoração 𝐸(𝑥) = 2(𝑥 − 3)2. 
• Como 2 > 0 e sabemos que qualquer número real elevado ao quadrado é positivo ou nulo, 
podemos ver que: 
𝐸(𝑥) = 0 ⟺ (𝑥 − 3)2 = 0 ⟺ 𝑥 − 3 = 0 ⟺ 𝑥 = 3 
𝐸(𝑥) > 0 ⟺ (𝑥 − 3)2 > 0 ⟺ 𝑥 − 3 ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠ 3 ⟺ 𝑥 < 3 𝑜𝑢 𝑥 > 3 
𝐸(𝑥) < 0 ⟺ (𝑥 − 3)2 < 0. Não existe valor para 𝑥 que satisfaça essa desigualdade. 
Resumindo e concluindo a análise de sinal: 
𝐸(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 = 3. 
𝐸(𝑥) > 0 ⟺ 𝑥 < 3 𝑜𝑢 𝑥 > 3 . Em forma de intervalo, 𝑥 ∈ (−∞, 3) ∪ (3,∞). 
𝐸(𝑥) < 0. Não existe valor para 𝑥. 
 
Análise de sinal usando o gráfico de 𝐸(𝑥) = 2𝑥2 − 12𝑥 + 18. 
O gráfico de 𝐸(𝑥) = 2𝑥2 − 12𝑥 + 18, ao lado, já foi esboçado 
anteriormente. 
Observando o esboço da parábola ao lado podemos concluir que 
𝐸(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 = 3. 
𝐸(𝑥) > 0 ⟺ 𝑥 < 3 ou 𝑥 > 3. Em forma de intervalo, 
𝑥 ∈ (−∞, 3) ∪ (3,∞). 
𝐸(𝑥) < 0 Não existe valor para 𝑥. 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
4. 𝑬(𝒙) = −𝒙𝟐 − 𝟐√𝟐 𝒙 − 𝟐. 
Determinando as raízes, 𝑥 =
−(−2√2 )±√(−2√2)
2
−4∙(−1)∙(−2)
2∙(−1)
=
2√2±√8−8
−2
=
2√2±0
−2
= −√2. 
Logo 𝑥1 = 𝑥2 = −√2 (raiz dupla). 
Pela afirmação 1, 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2). Temos que 𝑎 = −1, 𝑥1 = 𝑥2 = −√2. 
Logo, a fatoração é: 
𝐸(𝑥) = −𝑥2 − 2√2 𝑥 − 2 = −(𝑥 − (−√2)) (𝑥 − (−√2)) = −(𝑥 + √2)(𝑥 + √2) = −(𝑥 + √2)
2
. 
Análise de sinal usando a fatoração 𝐸(𝑥) = −(𝑥 + √2)
2
= (−1)(𝑥 + √2)
2
. 
• Sabemos que qualquer número real elevado ao quadrado é positivo ou nulo, podemos ver que: 
𝐸(𝑥) = 0 ⟺ (−1) (𝑥 + √2)
2
= 0 ⟺ 𝑥 + √2 = 0 ⟺ 𝑥 = −√2 
Pré-Cálculo 2024-1– EP03 Página 17 de 39 
𝐸(𝑥) > 0 ⟺ −1 < 0 e (𝑥 + √2)
2
< 0. Não existe valor para 𝑥 que satisfaça a desigualdade 
(𝑥 + √2)
2
< 0. 
𝐸(𝑥) < 0 ⟺ −1 < 0 𝑒 (𝑥 + √2)
2
> 0 ⟺ 𝑥 + √2 ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠ −√2 ⟺ 
 𝑥 < −√2 𝑜𝑢 𝑥 > −√2. 
Resumindo e concluindo a análise de sinal: 
𝐸(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 = −√2. 
𝐸(𝑥) > 0. Não existe valor para 𝑥. 
𝐸(𝑥) < 0 ⟺ 𝑥 < −√2 𝑜𝑢 𝑥 > −√2 . Em forma de intervalo, 𝑥 ∈ (−∞,−√2) ∪ (−√2,∞). 
Análise de sinal usando o gráfico de 𝐸(𝑥) = −𝑥2 − 2√2 𝑥 − 2. 
O gráfico de 𝐸(𝑥) = −𝑥2 − 2√2 𝑥 − 2, ao lado, já foi esboçado anteriormente. 
Observando o esboço da parábola ao lado podemos concluir que 
𝐸(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 = −√2. 
𝐸(𝑥) > 0 Não existe valor para 𝑥. 
𝐸(𝑥) < 0 ⟺ 𝑥 < −√2 𝑜𝑢 𝑥 > −√2 . Em forma de intervalo, 
𝑥 ∈ (−∞,−√2) ∪ (−√2,∞). 
 
 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
5. 𝑬(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟐 𝒙 + 𝟑. 
Determinando as raízes, 𝑥 =
−2±√(2)2−4∙1∙3
2∙(1)
=
−2±√4−12
2
=
−2±√−8
2
. 
Como Δ = −8 < 0, o trinômio não possui raízes reais, não é possível fatorar o trinômio. 
Nesse caso vamos analisar o sinal de duas formas diferentes, usando a Afirmação 2 e usando o gráfico. 
Análise de sinal usando a Afirmação 2: 
Se a equação 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 não possui solução, um dos dois casos é verdadeiro: 
(i) 𝑎 > 0, e neste caso temos que 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0 para todo 𝑥 ∈ ℝ 
ou 
(ii) 𝑎 < 0, e neste caso temos que 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0 para todo 𝑥 ∈ ℝ. 
Aplicando no trinômio, 
Como 𝑎 = 1 > 0, temos que 𝑥2 + 2𝑥 + 3 > 0 para todo 𝑥 ∈ ℝ. 
Resumindo e concluindo a análise de sinal: 
Pré-Cálculo 2024-1– EP03 Página 18 de 39 
𝐸(𝑥) = 0 Não existe valor para 𝑥. 
𝐸(𝑥) > 0 ⟺ 𝑥 ∈ ℝ . Em forma de intervalo, 𝑥 ∈ (−∞,∞). 
𝐸(𝑥) < 0. Não existe valor para 𝑥. 
Análise de sinal usando o gráfico. 
O gráfico de 𝐸(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 + 3, ao lado, já foi esboçado anteriormente. 
Observando o esboço da parábola podemos concluir que 
𝐸(𝑥) = 0 Não existe valor para 𝑥. 
𝐸(𝑥) > 0 ⟺ 𝑥 ∈ ℝ . Em forma de intervalo, 𝑥 ∈ (−∞,∞). 
𝐸(𝑥) < 0. Não existe valor para 𝑥. 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
6. 𝑬(𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝟒 𝒙 − 𝟕. 
Determinando as raízes, 𝑥 =
−4±√(4)2−4∙(−1)∙(−7)
2∙(−1)
=
−4±√16−28
−2
=
−4±√−12
−2
. 
Como Δ = −12 < 0, o trinômio não possui raízes reais, não é possível fatorar o trinômio. 
Análise de sinal usando a Afirmação 2: 
Se a equação 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 não possui solução, um dos dois casos é verdadeiro: 
(i) 𝑎 > 0, e neste caso temos que 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0 para todo 𝑥 ∈ ℝ 
ou 
(ii) 𝑎 < 0, e neste caso temos que 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0 para todo 𝑥 ∈ ℝ. 
Aplicando no trinômio, 
Como 𝑎 = −1 < 0, temos que −𝑥2 + 4 𝑥 − 7 < 0 para todo 𝑥 ∈ ℝ. 
Resumindo e concluindo a análise de sinal: 
𝐸(𝑥) = 0 Não existe valor para 𝑥. 
𝐸(𝑥) > 0 Não existe valor para 𝑥. 
𝐸(𝑥) < 0 ⟺ 𝑥 ∈ ℝ . Em forma de intervalo, 𝑥 ∈ (−∞,∞). 
Análise de sinal usando o gráfico. 
O gráfico de 𝐸(𝑥) = −𝑥2 + 4 𝑥 − 7, ao lado, já foi esboçado anteriormente. 
Observando o esboço da parábola podemos concluir que 
𝐸(𝑥) = 0 Não existe valor para 𝑥. 
𝐸(𝑥) > 0 Não existe valor para 𝑥. 
𝐸(𝑥) < 0 ⟺ 𝑥 ∈ ℝ . Em forma de intervalo, 𝑥 ∈ (−∞,∞). 
 
Pré-Cálculo 2024-1– EP03 Página 19 de 39 
Duas importantes propriedades de desigualdades usadas na comparação de números 
reais e na resolução de inequações. 
Vamos rever duas propriedades de desigualdades que são usadas na comparação de números reais e na 
resoluçãode inequações: 
(I) Propriedade (elevar ao quadrado os dois lados de uma desigualdade) 
 
Dados 𝒂 ≥ 𝟎 e 𝒃 ≥ 𝟎, vale a propriedade: 𝒂 < 𝒃 ⟺ 𝒂𝟐 < 𝒃𝟐 
 
 
Muita atenção, essa propriedade não vale para todos os reais, veja a hipótese, que exige 
𝑎 ≥ 0 e 𝑏 ≥ 0. 
Exemplos de comparação de números, sem uso da calculadora. 
1. Quem é maior? 𝟓√𝟕 ou 𝟔√𝟓 ? 
Nesse caso podemos usar a propriedade (I) para responder: 5√7 < 6√5 ?, pois os dois números são 
positivos: 5√7 < 6√5 ⟺ (5√7)
2
< (6√5)
2
 ⟺ 25 ∙ 7 < 36 ∙ 5 ⟺ 5 ∙ 7 < 36. 
Todas as desigualdades são equivalentes e como a última é verdadeira, concluímos que a primeira é 
verdadeira, ou seja, 5√7 < 6√5 e o maior número é 6√5. 
2. Quem é maior? −𝟐√𝟑 ou −𝟑√𝟐 ? 
Nesse caso não podemos usar a propriedade (I) para responder quem é maior entre os dois números 
dados pois os dois números são negativos. Vejamos o que ocorreria se tivéssemos aplicado a 
propriedade (I): 
 −2√3 < −3√2 ⟺ (−2√3)
2
< (−3√2)
2
 ⟺ 4 ∙ 3 < 9 ∙ 2 ⟺ 12 < 18. 
As desigualdades são equivalentes e como a última é verdadeira, concluímos que −2√3 < −3√2 
também é verdadeira, ou seja, o maior é −3√2. Mas essa resposta está errada. O correto é antes aplicar 
outra propriedade, veja. 
−2√3 < −3√2 
(∗)
⇔ 2√3 > 3√2 
(∗∗)
⇔ (2√3)
2
> (3√2)
2
 ⟺ 4 ∙ 3 > 9 ∙ 2 ⟺ 12 > 18. 
As desigualdades são equivalentes e como a última é falsa, concluímos que a primeira é falsa, ou seja 
−2√3 < −3√2 é falsa. Logo a verdadeira é −2√3 > −3√2 e o maior é −2√3. 
(*) aqui aplicamos a propriedade: multiplicando os dois lados de uma inequação por um número 
negativo, a desigualdade troca de sinal, neste caso troca de < para > . 
(**) aqui, como os dois números são positivos, podemos aplicar a propriedade (I) (elevar os dois lados 
ao quadrado). 
 
 
Pré-Cálculo 2024-1– EP03 Página 20 de 39 
Exemplos de resolução de inequação usando a propriedade (I) (elevar os dois lados ao quadrado) 
(1) (Exercício (4)(f) do EP01). Temos que resolver a inequação |𝑥 − 1| < |𝑥 − 4|. 
Como o módulo de qualquer número real é positivo ou nulo, podemos aplicar a propriedade (I), elevar 
ao quadrado os dois lados da inequação. Assim, 
|𝑥 − 1| < |𝑥 − 4| ⟺ |𝑥 − 1|2 < |𝑥 − 4|2 
(∗)
⇔ (𝑥 − 1)2 < (𝑥 − 4)2 ⟺ 
𝑥2 − 2𝑥 + 1 < 𝑥2 − 8𝑥 + 16 ⟺ −2𝑥 + 8𝑥 < 16 − 1 ⟺ 6𝑥 < 15 ⟺ 2𝑥 < 5 ⟺ 𝑥 <
5
2
 . 
(*) aqui usamos |𝑎|2 = 𝑎2 , ∀ 𝑎 ∈ ℝ. 
Portanto, a solução 𝑆 da inequação |𝑥 − 1| < |𝑥 − 4| é 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 <
5
2
} = (−∞ ,
5
2
). 
Leia o comentário feito no Gabarito do EP01, após a resolução desse exercício. Aqui o exercício foi 
resolvido de forma bem mais simples. 
 
(2) (Exercício (5)(f) do EP01). Temos que resolver a inequação |2𝑥 − 1| < −5𝑥 
Como |2𝑥 − 1| ≥ 0 então 0 ≤ |2𝑥 − 1| < −5𝑥 , portanto −5𝑥 > 0 e assim 𝒙 < 𝟎. Esta é uma 
exigência ou restrição para essa inequação. 
Considerando a restrição −5𝑥 > 0, ou seja, 𝑥 < 0, e considerando que |2𝑥 − 1| ≥ 0, podemos aplicar 
a propriedade I, elevando os dois lados ao quadrado, 
|2𝑥 − 1| < −5𝑥 e 𝑥 < 0 ⟺ (|2𝑥 − 1|)2 < (−5𝑥)2 e 𝑥 < 0 ⟺ 
(2𝑥 − 1)2 < (−5𝑥)2 e 𝑥 < 0 ⟺ 4𝑥2 − 4𝑥 + 1 < 25𝑥2 e 𝑥 < 0 ⟺ 
25𝑥2 − 4𝑥2 + 4𝑥 − 1 > 0 e 𝑥 < 0 ⟺ 21𝑥2 + 4𝑥 − 1 > 0 e 𝑥 < 0 ⟺ 
Determinando as raízes de 21𝑥2 + 4𝑥 − 1 = 0, 
21𝑥2 + 4𝑥 − 1 = 0 ⟺ 𝑥 =
−4±√16−4(21)(−1)
2(21)
=
−4±√16+84
42
=
−4±√100
42
=
−4±10
42
= {
6
42
=
1
7
−
14
42
= −
1
3
 
Portanto as raízes são 𝑥1 = −
1
3
 e 𝑥2 =
1
7
. 
Usando a análise de sinal do trinômio 𝐸(𝑥) = 21𝑥2 + 4𝑥 − 1: 
como o coeficiente de 𝑥2 é 21 > 0, o gráfico do trinômio é uma parábola com concavidade para cima e 
𝐸(𝑥) = 21𝑥2 + 4𝑥 − 1 > 0 ⟺ 𝑥 < −
1
3
 𝑜𝑢 𝑥 >
1
7
. 
Considerando a restrição 𝑥 < 0, 
21𝑥2 + 4𝑥 − 1 > 0 e −𝑥 < 0 ⟺ {𝑥 < −
1
3
 ou 𝑥 >
1
7
} ∩ {𝑥 < 0} = {𝑥 < −
1
3
} = (−∞,−
1
3
) 
Portanto, a solução 𝑆 da inequação |2𝑥 − 1| < −5𝑥 é 𝑆 = (−∞,−
1
3
). 
Observação: no EP01 esse exercício foi resolvido usando definição de módulo, aqui resolvemos usando 
o trinômio do segundo grau. Deixamos você decidir, qual é a forma mais simples para você. 
 
Pré-Cálculo 2024-1– EP03 Página 21 de 39 
(3) Vamos resolver √𝟏𝟐 − 𝒙 < 𝟗 − 𝟐𝒙. 
Ainda não tínhamos resolvido esse tipo de inequação. Vamos elevar ao quadrado os dois lados da 
desigualdade, respeitando duas restrições de raiz quadrada, 
• Radicando positivo ou nulo, ou seja, 12 − 𝑥 ≥ 0 e 
• √12 − 𝑥 ≥ 0 e √12 − 𝑥 < 9 − 2𝑥 ⟹ 9 − 2𝑥 > 0 
Resolvendo as restrições, 
• 12 − 𝑥 ≥ 0 ⟺ 12 ≥ 𝑥 ⟺ 𝑥 ≤ 12 
• 9 − 2𝑥 > 0 ⟺ 9 > 2𝑥 ⟺ 𝑥 <
9
2
 
Assim, 𝑥 ≤ 12 e 𝑥 <
9
2
 . Logo, 𝑥 < 
9
2
 
Considerando que √12 − 𝑥 ≥ 0 e 9 − 2𝑥 > 0, podemos aplicar a propriedade de elevar ao quadrado 
os dois lados da inequação. Assim, 
√12 − 𝑥 < 9 − 2𝑥 e 𝑥 <
9
2
 ⟺ (√12 − 𝑥)
2
< (9 − 2𝑥)2 e 𝑥 <
9
2
 ⟺ 
12 − 𝑥 < 81 − 36𝑥 + 4𝑥2 e 𝑥 <
9
2
 ⟺ 0 < 81 − 12 − 36𝑥 + 𝑥 + 4𝑥2 ⟺ 
4𝑥2 − 35𝑥 + 69 > 0 e 𝑥 <
9
2
. 
Determinando as raízes de 4𝑥2 − 35𝑥 + 69 = 0, 
 4𝑥2 − 35𝑥 + 69 = 0 ⟺ 𝑥 =
35±√(35)2−4(4)(69)
2(4)
=
35±√1225−1104
8
=
35±√121
8
=
35±11
8
= {
46
8
=
23
4
24
8
= 3
 
Logo as raízes são 𝑥1 = 3 e 𝑥2 =
23
4
. 
Como o coeficiente de 𝑥2 é 4 > 0, o gráfico do trinômio é uma parábola com concavidade para cima e 
𝐸(𝑥) = 4𝑥2 − 35𝑥 + 69 > 0 ⟺ 𝑥 < 3 ou 𝑥 >
23
4
. 
Considerando a restrição 𝑥 <
9
2
 e observando que 3 <
9
2
<
23
4
, 
4𝑥2 − 35𝑥 + 69 > 0 e 𝑥 <
9
2
 ⟺ {𝑥 < 3 ou 𝑥 >
23
4
} ∩ {𝑥 <
9
2
} = {𝑥 < 3} = (−∞ ,3) . 
Portanto a solução 𝑆 de √12 − 𝑥 < 9 − 2𝑥 e´: 𝑆 = (−∞ ,3). 
 
Vamos rever mais uma propriedade de desigualdades que é usada na resolução de inequações. 
(II) Propriedade ("multiplicação em cruz") 
 
“Sendo 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 , 𝑑 números reais positivos, então 
𝑎
𝑏
 < 
𝑐
𝑑
 ⟺ 𝑎 × 𝑑 < 𝑐 × 𝑏”. 
 
Um exemplo: 
2
3
 < 
7
8
 ⟺ 2 × 8 < 7 × 3 . 
Mas, percebemos que muitos alunos, fazem esta “multiplicação em cruz”, sem prestar atenção se os 
termos envolvidos na inequação são positivos. 
Pré-Cálculo 2024-1– EP03 Página 22 de 39 
Veja o que acontece: 
Sabemos que 
−3 
2
 < 
 2 
−3
 é verdadeira porque 
−3
2
= −
 3 
2
 , 
 2
−3
= −
 2 
3
 e −
3
2
< −
2
3
 são 
verdadeiras. 
Considerando a desigualdade 
−3 
2
< 
 2
 −3
 (verdadeira), se multiplicarmos em cruz, obtemos 
−3 × (−3) < 2 × 2, ou seja, 9 < 4 . FALSO!!!. Mas o que ocorreu? 
Ocorreu que uma outra propriedade da relação de ordem dos números reais, não foi respeitada. A 
propriedade diz que: 
“Se 𝑐 < 0 então 𝑎 < 𝑏 ⟺ 𝑎 × 𝑐 > 𝑏 × 𝑐 ”. (ao multiplicarmos uma desigualdade por um 
número negativo, invertemos a desigualdade). 
Mas, que operações estão “escondidas” quando fazemos uma multiplicação em cruz? 
Primeiro multiplicamos ambos os lados por −3 : −3 × 
−3
 2
 < −3 × 
2
−3
 ⟹ −3 × 
−3 
 2
< 2. 
Veja que aqui já erramos, pois multiplicamos a desigualdade por um número negativo e não invertemos 
a desigualdade. 
Agora multiplicamos ambos os lados da desigualdade −3 × 
−3 
 2
< 2 por 2 : 
2 × (−3) × 
−3 
 2
< 2 × 2 ⟹ (−3) × (−3) < 2 × 2 ⟹ 9 < 4 . FALSO!!! 
As equivalências corretas são: 
Primeiro multiplicamos ambos os lados por −3 e invertemos a desigualdade, pois −3 < 0: 
−3 × 
−3
 2
> −3 × 
2
−3
 ⟹ −3 × 
−3
 2
 > 2 . 
Agora multiplicamos ambos os lados da desigualdade −3 × 
−3
 2
 > 2 por 2 : 
2 × (−3 ) × 
−3
 2
 > 2 × 2 ⟹ −3 × (−3)> 2 × 2 > 9 > 4 . CORRETO!!! 
Podemos sempre simplificar a desigualdade da seguinte forma: 
−3 
2
 < 
 2 
−3
 ⟺ 
−3 
2
 − ( 
 2 
−3
) < 0 ⟺ 
−3 
2
 + 
 2 
3
 < 0 ⟺ 
 
(−3×3)+(2×2) 
2×3
< 0 ⟺ 
−5 
6
< 0 . 
Como a última desigualdade da direita é verdadeira, então pelas equivalências é verdade também que 
 
−3 
2
 < 
 2 
−3
 . 
Portanto, “multiplicação em cruz”, sem análise do sinal dos termos envolvidos, pode ser perigoso! O 
melhor é lembrar que: 
Pré-Cálculo 2024-1– EP03 Página 23 de 39 
 
𝑎
𝑏
 < 
𝑐
𝑑
 ⟺ 
𝑎
𝑏
− 
𝑐
𝑑
 < 0 ⟺ 
 𝑎𝑑 − 𝑐𝑏 
𝑏𝑑
 < 0 
 Isto vale sempre que 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ e 𝑏 ≠ 0, 𝑑 ≠ 0 
 
Exemplo: Vamos resolver a inequação 𝑥 − 4 <
12
𝑥
 usando a propriedade anterior: 
𝑥 − 4 <
12
𝑥
 ⟺ 𝑥 − 4 −
12
𝑥
< 0 ⟺ 
𝑥2−4𝑥−12
𝑥
< 0 ⟺ 
(𝑥−6)(𝑥+2)
𝑥
< 0 
Usando uma tabela de sinais concluímos que a solução dessa inequação é (−∞,−2) ∪ (0, 6). 
(Confira!) 
Se, inadvertidamente, multiplicamos em cruz, deveríamos multiplicar por 𝑥 e se não levarmos em 
consideração o sinal de 𝑥 , obteríamos 
(𝑥 − 4)𝑥 < 12 ⟺ 𝑥2 − 4𝑥 + 12 < 0 ⟺ (𝑥 − 6)(𝑥 + 2) < 0 
Usando uma tabela de sinais concluímos que a solução dessa inequação é (−2, 0) ∪ (6,∞). 
Essa solução é diferente da solução encontrada antes e está ERRADA ! 
Se ainda está duvidando atribua valores a 𝑥, por exemplo, 𝑥 = 1, que não faz parte da segunda solução 
encontrada. Substituindo 𝑥 = 1 na equação original, obtemos 
1 − 4 <
12
1
 ⟺ −3 < 12 e concluímos que logo 𝑥 = 1 satisfaz a equação, é solução da equação e 
faz parte da primeira solução encontrada. 
 
JUSTIFICATIVAS DAS RAÍZES, FATORAÇÃO E SINAL DO TRINÔMIO DE SEGUNDO GRAU 
O objetivo será justificar os principais resultados do trinômio do segundo grau que aplicamos nos 
exemplos. 
𝐸(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 e da equação de segundo grau 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, tão conhecidos. Para deduzir 
esses resultados será aplicado o “método de completar o quadrado”. Atenção, não será cobrado em 
nenhuma avaliação ou atividade de Pré-Cálculo as deduções a seguir. O importante é o aluno conhecer 
os principais resultados. 
DEDUÇÃO DAS SOLUÇÕES OU RAÍZES DA EQUAÇÃO DE SEGUNDO GRAU 
Considere a equação do segundo grau 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, 𝑎, 𝑏, 𝑐 constantes reais, 𝑎 ≠ 0, 𝑥 ∈ ℝ. 
Completando o quadrado do trinômio do segundo grau 𝐸(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ∶ 
𝐸(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 (𝑥2 +
𝑏
𝑎
𝑥) + 𝑐 = 𝑎 (𝑥2 + 2 ∙
𝑏
2𝑎
𝑥) + 𝑐 = 
= 𝑎 (𝑥2 + 2 ∙
𝑏
2𝑎
𝑥 +
𝑏2
4𝑎2
−
𝑏2
4𝑎2
) + 𝑐 = 𝑎 (𝑥2 + 2 ∙
𝑏
2𝑎
𝑥 +
𝑏2
4𝑎2
) − 𝑎 ∙
𝑏2
4𝑎2
+ 𝑐 = 
Pré-Cálculo 2024-1– EP03 Página 24 de 39 
𝑎 (𝑥 +
𝑏
2𝑎
)
2
−
𝑏2
4𝑎
+ 𝑐 = 𝑎 (𝑥 +
𝑏
2𝑎
)
2
− (
𝑏2
4𝑎
− 𝑐) = 𝑎 (𝑥 +
𝑏
2𝑎
)
2
− (
𝑏2 − 4𝑎𝑐
4𝑎
) 
Assim, resolvendo a equação de segundo grau, 
 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ⟺ 𝑎 (𝑥 +
𝑏
2𝑎
)
2
− (
𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎
) = 0 ⇔ 
𝑎 (𝑥 +
𝑏
2𝑎
)
2
=
𝑏2 − 4𝑎𝑐
4𝑎
 ⟺ (𝑥 +
𝑏
2𝑎
)
2
=
𝑏2 − 4𝑎𝑐
4𝑎2
 
Como (𝑥 +
𝑏
2𝑎
)
2
≥ 0 , para que a equação (𝑥 +
𝑏
2𝑎
)
2
=
𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎2
 tenha solução em ℝ (ou seja, tenha 
raízes reais) é preciso que, 
𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎2
≥ 0. 
Mas, 
𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎2
≥ 0 ⟺ o discriminante Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 ≥ 0 , pois 𝑎 ≠ 0, e 4𝑎2 > 0. 
Quando há solução em ℝ, temos dois casos a considerar: 
Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0 ou Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 > 0. 
• Quando Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0, resolvendo a equação, temos que: 
(𝑥 +
𝑏
2𝑎
)
2
= 0 ⟺ 𝑥 +
𝑏
2𝑎
= 0 ⟺ 𝑥 = −
𝑏
2𝑎
 
• Quando Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 > 0, resolvendo a equação, temos que: 
 (𝑥 +
𝑏
2𝑎
)
2
=
𝑏2 − 4𝑎𝑐
4𝑎2
 ⟺ 
𝑥 +
𝑏
2𝑎
= ±√
𝑏2 − 4𝑎𝑐
4𝑎2
 ⟺ 
𝑥 +
𝑏
2𝑎
= ±
√𝑏2 − 4𝑎𝑐
√4𝑎2
 ⟺ 
𝑥 +
𝑏
2𝑎
= ±
√𝑏2 − 4𝑎𝑐
2√𝑎2
 ⟺ 
𝑥 +
𝑏
2𝑎
= ±
√𝑏2 − 4𝑎𝑐
2|𝑎|
 
Quando 𝑎 > 0 , |𝑎| = 𝑎 e 𝑥 +
𝑏
2𝑎
= ±
√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
 ⟺ 𝑥 = −
𝑏
2𝑎
±
√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
 ⟺ 𝑥 =
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
 
Quando 𝑎 < 0 , |𝑎| = −𝑎 e 𝑥 +
𝑏
2𝑎
= ±
√𝑏2−4𝑎𝑐
−2𝑎
 ⟺ 𝑥 = −
𝑏
2𝑎
∓
√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
 ⟺ 𝑥 =
−𝑏∓√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
 
OBSERVAÇÃO: 
Podemos dizer que a equação 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 tem solução em ℝ se e só se Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 ≥ 0 . 
Pré-Cálculo 2024-1– EP03 Página 25 de 39 
Quando Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 > 0 , temos que a equação 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 , tem duas soluções diferentes, 
pois 
−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
≠
−𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
 . Essas soluções são: 𝑥1 =
−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
 e 𝑥2 =
−𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
. 
Quando Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0 , temos que 𝑥 =
−𝑏
2𝑎
 , e assim a equação 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 , tem uma única 
solução em ℝ . Também podemos usar a fórmula 𝑥 =
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
 para esse caso, pois 
−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
=
−𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
=
−𝑏±0
2𝑎
=
−𝑏
2𝑎
. Nesse caso 𝑥1 = 𝑥2 =
−𝑏
2𝑎
, ou seja, tem duas raízes iguais, 
chamada de raiz dupla. 
RESUMINDO, 
▪ Se Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0 dizemos que a equação 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 não tem solução em ℝ ou não tem 
raiz real. 
▪ Se Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0 dizemos que a equação 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 tem uma única solução em ℝ, ou 
tem duas raízes reais iguais, ou tem raiz real dupla: 𝑥1 = 𝑥2 =
−𝑏
2𝑎
. 
• Se Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 > 0 então dizemos que a equação 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 tem duas soluções 
diferentes em ℝ ou tem duas raízes reais distintas: 𝑥1 =
−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
 e 𝑥2 =
−𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
 . Nesse 
caso também é usual dizer que 𝑥 =
−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
 ou 𝑥 =
−𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
. 
DEDUÇÃO DA FATORAÇÃO DO TRINÔMIO DO SEGUNDO GRAU 
▪ AFIRMAÇÃO 1: 
Se 𝑥1 e 𝑥2 são as raízes da equação 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 então 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2). 
Vamos verificar que essa afirmação é, de fato, verdadeira. 
Se 𝑥1 e 𝑥2 são as raízes da equação 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 então 𝑥1 =
−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
 e 𝑥2 =
−𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
 . 
Substituindo esses valores de 𝑥1 e 𝑥2 em 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2), obtemos: 
𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) = 𝑎 (𝑥 −
−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
) (𝑥 −
−𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
) = 
= 𝑎 (𝑥 +
𝑏
2𝑎
−
√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
) (𝑥 +
𝑏
2𝑎
+
√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
) = 𝑎 ((𝑥 +
𝑏
2𝑎
) −
√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
)((𝑥 +
𝑏
2𝑎
) +
√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
) = 
= 𝑎 ((𝑥 +
𝑏
2𝑎
)
2
− (
√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
)
2
) = 𝑎 (𝑥2 + 2 ∙
𝑏
2𝑎
∙ 𝑥 + (
𝑏
2𝑎
)
2
−
𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎2
) = 
= 𝑎 (𝑥2 +
𝑏
𝑎
∙ 𝑥 +
𝑏2
4𝑎2
−
𝑏2
4𝑎2
+
4𝑎𝑐
4𝑎2
) = 𝑎 (𝑥2 +
𝑏
𝑎
∙ 𝑥 +
𝑐
𝑎
) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. 
OBSERVAÇÃO: 
Pré-Cálculo 2024-1– EP03 Página 26 de 39 
Esta demonstração vale, ainda se Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0, quando temos 𝑥1 = 𝑥2 =
−𝑏
2𝑎
 . Vale notar que se 
Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0 , então 𝑐 =
𝑏2
4𝑎
 . 
❖ AFIRMAÇÃO 2: 
Se a equação 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 não possui solução, um dos dois casos é verdadeiro: 
(i) 𝑎 > 0 , e neste caso temos que 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0 para todo 𝑥 ∈ ℝ 
ou 
(ii) 𝑎 < 0 , e neste caso temos que 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0 para todo 𝑥 ∈ ℝ. 
JUSTIFICATIVA: 
Ao completar o quadrado, vimos que 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 (𝑥 +
𝑏
2𝑎
)
2
−
𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎
= 𝑎 ((𝑥 +
𝑏
2𝑎
)
2
−
𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎2
), 
ou seja, 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 ((𝑥 +
𝑏
2𝑎
)
2
−
𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎2
) . 
Vamos verificar que se a equação não possui solução, então (𝑥 +
𝑏
2𝑎
)
2
−
𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎2
> 0 para todo 𝑥 ∈ ℝ. 
Sabemos que: 
✓ (𝑥 +
𝑏
2𝑎
)
2
≥ 0, para todo 𝑥 ∈ ℝ. 
✓ quando a equação não possui solução e 𝑎 ≠ 0, então e 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0 e 4𝑎2 > 0, donde 
𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎2
< 0. Logo −
𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎2
> 0. 
Logo, sendo (𝑥 +
𝑏
2𝑎
)
2
≥ 0 e −
𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎2
> 0 então (𝑥 +
𝑏
2𝑎
)
2
−
𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎2
> 0. 
Como 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 ((𝑥 +
𝑏
2𝑎
)
2
−
𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎2
) , concluímos que o sinal de 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 só depende 
do sinal de 𝑎. 
ANÁLISE DO SINAL DO TRINÔMIO DO SEGUNDO GRAU 
A análise de sinal de 𝐸(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. 
Lembramos que analisar o sinal de uma expressão 𝐸(𝑥) que depende de uma variável real 𝑥 
significa encontrar os valores de 𝑥 em que 𝐸(𝑥) é nula (ou seja 𝐸(𝑥) = 0), encontrar os valores 
de 𝑥 em que 𝐸(𝑥) é positiva (ou seja 𝐸(𝑥) > 0) e encontrar os valores de 𝑥 em que 𝐸(𝑥) é 
negativa (ou seja 𝐸(𝑥) < 0). 
❖ Se o trinômio 𝐸(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 possui duas raízes distintas: 
Consideremos que as raízes são 𝑥1 e 𝑥2 , 𝑥1 ≠ 𝑥2, 𝑥1 < 𝑥2. 
Pela Afirmação 1 anterior, 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) 
• Primeiro caso, quando 𝒂 > 𝟎 (parábola com concavidade para cima), o sinal de 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 só vai 
depender dos sinais de (𝑥 − 𝑥1) e de (𝑥 − 𝑥2). 
• 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 se e só se 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) = 0 se e só se 𝑥 = 𝑥1 ou 𝑥 = 𝑥2 
• 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0 se e só se (𝑥 − 𝑥1) e (𝑥 − 𝑥2) são positivos ou (𝑥 − 𝑥1) e (𝑥 − 𝑥2) são 
negativos. 
Pré-Cálculo 2024-1– EP03 Página 27 de 39 
Resolvendo cada condição, 
(𝑥 − 𝑥1) > 0 e (𝑥 − 𝑥2) > 0 ⟺ 𝑥 > 𝑥1 e 𝑥 > 𝑥2. Como 𝑥1 < 𝑥2, concluímos que 𝑥 > 𝑥2. 
(𝑥 − 𝑥1) < 0 e (𝑥 − 𝑥2) < 0 ⟺ 𝑥 < 𝑥1 e 𝑥 < 𝑥2. Como 𝑥1 < 𝑥2, concluímos que 𝑥 < 𝑥1. 
Concluindo, 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0 se e só se 𝑥 < 𝑥1 ou 𝑥 > 𝑥2 
• 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0 se e só se (𝑥 − 𝑥1) e (𝑥 − 𝑥2) têm sinais contrários, isto é, 
[(𝑥 − 𝑥1) positivo e (𝑥 − 𝑥2) negativo] ou [(𝑥 − 𝑥1) negativo e (𝑥 − 𝑥2) positivo] 
Resolvendo cada condição, 
(𝑥 − 𝑥1) > 0 e (𝑥 − 𝑥2) < 0 ⟺ 𝑥 > 𝑥1 e 𝑥 < 𝑥2. Como 𝑥1 < 𝑥2, concluímos que 
𝑥1 < 𝑥 < 𝑥2 ou (𝑥 − 𝑥1) < 0 e (𝑥 − 𝑥2) > 0 ⟺ 𝑥 < 𝑥1 e 𝑥 > 𝑥2. Como 𝑥1 < 𝑥2, 
concluímos que não existe 𝑥 que satisfaça 𝑥 < 𝑥1 e 𝑥 > 𝑥2. 
Concluindo, 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0 se e só se 𝑥1 < 𝑥 < 𝑥2. 
 
Essa análise de sinal para 𝑎 > 0 
e raízes distintas pode ser 
visualizada na parábola desenhada 
a seguir. 
 
• Segundo caso, quando 𝒂 < 𝟎 
(parábola com concavidade para baixo), o sinal de 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 terá o sinal contrário do sinal do 
produto (𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2). 
• 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 se e só se 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) = 0 se e só se 𝑥 = 𝑥1 ou 𝑥 = 𝑥2 
o 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0 se e só se (𝑥 − 𝑥1) e (𝑥 − 𝑥2) têm sinais contrários, um é positivo e o 
outro é negativo. 
Resolvendo cada condição, 
(𝑥 − 𝑥1) > 0 e (𝑥 − 𝑥2) < 0 ⟺ 𝑥 > 𝑥1 e 𝑥 < 𝑥2. Como 𝑥1 < 𝑥2, concluímos que 𝑥1 < 𝑥 < 𝑥2. 
(𝑥 − 𝑥1) < 0 e (𝑥 − 𝑥2) > 0 ⟺ 𝑥 < 𝑥1 e 𝑥 > 𝑥2. Como 𝑥1 < 𝑥2, concluímos que não existe 𝑥 
que satisfaça 𝑥 < 𝑥1 e 𝑥 > 𝑥2. 
Concluindo, 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0 se e só se 𝑥1 < 𝑥 < 𝑥2. 
• 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0 se e só se (𝑥 − 𝑥1) e (𝑥 − 𝑥2) são positivos ou (𝑥 − 𝑥1) e (𝑥 − 𝑥2) 
são negativos. 
Resolvendo cada condição, 
(𝑥 − 𝑥1) > 0 e (𝑥 − 𝑥2) > 0 ⟺ 𝑥 > 𝑥1 e 𝑥 > 𝑥2. Como 𝑥1 < 𝑥2, concluímos que 𝑥 > 𝑥2. 
ou 
(𝑥 − 𝑥1) < 0 e (𝑥 − 𝑥2) < 0 ⟺ 𝑥 < 𝑥1 e 𝑥 < 𝑥2. Como 𝑥1 < 𝑥2, concluímos que 𝑥 < 𝑥1. 
Concluindo, 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0 se e só se 𝑥 < 𝑥1 ou 𝑥 > 𝑥2 
Pré-Cálculo 2024-1– EP03 Página 28 de 39 
 
Essa análise de sinal para 
𝑎 < 0 e raízes distintas 
pode ser visualizada na 
parábola desenhada a 
seguir. 
 
❖ Se o trinômio 𝐸(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 possui duas raízes iguais, 𝑥1 = 𝑥2, pela Afirmação 1 anterior, 
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)
2. 
• Primeiro caso, quando 𝒂 > 𝟎 (parábola com concavidade para cima), o sinal de 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 só vai 
depender do sinal de (𝑥 − 𝑥1)
2. 
o 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 se e só se 𝑎(𝑥 − 𝑥1)
2 = 0 se e só se 𝑥 = 𝑥1. 
o 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0 se e só se (𝑥 − 𝑥1)
2 é positivo. 
Resolvendo, (𝑥 − 𝑥1)
2 > 0 ⟺ 𝑥 − 𝑥1 ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠ 𝑥1. 
o 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0 se e só se (𝑥 − 𝑥1)
2 é negativo. 
Resolvendo, (𝑥 − 𝑥1)
2 < 0 não tem solução para 𝑥 pois (𝑥 − 𝑥1)
2 ≥ 0 para qualquer base 
(𝑥 − 𝑥1). 
Essa análise de sinal para 𝑎 > 0 
e raízes iguais pode ser 
visualizada na parábola 
desenhada a seguir. 
 
 
• Segundo caso, quando 𝒂 < 𝟎 (parábola com concavidade para baixo), o sinal de 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 terá o 
sinal contrário do sinal de.(𝑥 − 𝑥1)
2. 
o 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 se e só se 𝑥 = 𝑥1. 
o 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0 se e só se (𝑥 − 𝑥1)
2 é negativo. 
Resolvendo, (𝑥 − 𝑥1)
2 < 0 não tem solução para 𝑥 pois (𝑥 − 𝑥1)
2 ≥ 0 para qualquer base 
(𝑥 − 𝑥1). 
o 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0 se e só se (𝑥 − 𝑥1)
2 é positivo. 
Resolvendo, (𝑥 − 𝑥1)
2 > 0 ⟺ 𝑥 − 𝑥1 ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠ 𝑥1. 
 
Essa análise de sinal para 𝑎 <
0 e raízes iguais pode ser 
visualizada na parábola 
desenhada a seguir. 
 
 
Pré-Cálculo 2024-1– EP03 Página 29 de 39 
❖ Se o trinômio 𝐸(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 não possui raízes reais, pela Afirmação 2 da seção anterior, o 
sinal de 𝐸(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 só depende do sinal de 𝑎. 
• Primeiro caso, quando 𝒂 > 𝟎 (parábola com concavidade para cima), o sinal de 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 terá o 
mesmo sinal de 𝒂. 
o 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 não existe 𝑥. 
o 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0 para todo 𝑥 real. 
o 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0 não existe 𝑥. 
Essa análise de sinal para 𝑎 > 0 e sem raízes reais 
pode ser visualizada na parábola desenhada a seguir. 
 
• Segundo caso, quando 𝒂 < 𝟎 (parábola com concavidade para baixo), o sinal de 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 terá o 
sinal contrário mesmo sinal de (𝑥 − 𝑥1)
2. 
o 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 não existe 𝑥. 
o 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0 não existe 𝑥. 
o 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0 para todo 𝑥 real. 
Essa análise de sinal para 𝑎 < 0 e sem raízes 
reais pode ser visualizada na parábola 
desenhada a seguir. 
 
 
 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
POLINÔMIOS 
 
Nos resultados a seguir, você encontrará expressões como: 
fatores lineares, fatores quadráticos, fatorar um polinômio, decompor em fatores lineares e ou fatores 
quadráticos irredutíveis. 
Vamos explicar o que essas expressões significam. 
Fatores lineares: são polinômios de grau 1, da forma 𝑎𝑥 + 𝑏 , 𝑎 , 𝑏 ∈ ℝ , 𝑎 ≠ 0. 
Fatores quadráticos: são polinômios de grau 2, da forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 , 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 ∈ ℝ , 𝑎 ≠ 0. 
Fatorar um polinômio: é uma forma resumida de dizer "escreva o polinômio como produto de fatores lineares 
e/ou fatores quadráticos irredutíveis". 
Decompor em fatores lineares e ou fatores quadráticos irredutíveis: significa fatorar o polinômio, ou seja, 
escrever o polinômio como produto de fatores lineares e/ou fatores quadráticos irredutíveis. 
 
Exemplos de polinômios fatorados: 
𝑝(𝑥) = 𝑥3 + 5𝑥2 + 2𝑥 − 8 = (𝑥 − 1)(𝑥 + 2)(𝑥 + 4) (3 fatores lineares) 
Pré-Cálculo 2024-1– EP03 Página 30 de 39 
𝑝(𝑥) = 3𝑥3 + 15𝑥2 + 6𝑥 − 24 = (3𝑥 − 3)(𝑥 + 2)(𝑥 + 4) = 3(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)(𝑥 + 4) (3 fatores 
lineares) 
𝑝(𝑥) = 2𝑥3 + 7𝑥2 − 5𝑥 − 4 = (𝑥 − 1)(2𝑥 + 1)(𝑥 + 4) = 2(𝑥 − 1) (𝑥 +
1
2
) (𝑥 + 4) (3 fatores 
lineares) 
𝑝(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 − 3 = (𝑥 − 1)(𝑥2 + 2𝑥 + 3) (1 fator linear e 1 fator quadrático irredutível em ℝ) 
𝑝(𝑥) = 2𝑥4 + 3𝑥3 + 3𝑥2 − 5𝑥 − 3 = (𝑥 − 1)(2𝑥 + 1)(𝑥2 + 2𝑥 + 3) (2 fatores lineares e 1 fator 
quadrático irredutível em ℝ) 
𝑝(𝑥) = 2𝑥4 + 5𝑥3 + 3𝑥2 − 𝑥 − 1 = (𝑥 + 1)3(2𝑥 − 1) (4 fatores lineares) 
 
Como estamos interessados em fatorar polinômios, vamos lembrar alguns resultados importantes que 
nos permitiráencontrar a fatoração de polinômios. 
Resultado 1: 
"Seja 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0 um polinômio na variável 𝑥 , onde 𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 1 
e 𝑎𝑖 ∈ ℝ, 𝑖 = 0, 1, 2,⋯ , 𝑛. Dizemos que um número real 𝛼 é uma raiz do polinômio 𝑝(𝑥) se, e 
somente se, 𝑝(𝛼) = 0". 
_________________________________________________________________________ 
Resultado 2: 
"Todo polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0, onde 𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 1 e 𝑎𝑖 ∈ ℝ, 𝑖 = 0, 1,
2,⋯ , 𝑛, se decompõe em fatores lineares e/ou fatores quadráticos irredutíveis". 
_________________________________________________________________________ 
Resultado 3: 
Em especial, vamos trabalhar com a fatoração do polinômio de grau 2, 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 onde, 
𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ, com 𝑎 ≠ 0. 
O polinômio de grau 2 é o nosso conhecido trinômio de segundo grau, 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. 
No EP02 vimos que: . 
❖ Afirmação 1: 
Se 𝑥1 e 𝑥2 são as raízes reais da equação 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 então o trinômio 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 pode ser 
fatorado em ℝ e sua fatoração é: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2). 
❖ Afirmação 2: Se a equação 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 não possui solução em ℝ então o trinômio 𝑎𝑥2 +
𝑏𝑥 + 𝑐 não pode ser fatorado em ℝ. 
 
_________________________________________________________________________ 
Resultado 4: 
"Todo polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0, onde 𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 1, n ímpar e 𝑎𝑖 ∈
ℝ, 𝑖 = 0, 1, 2,⋯ , 𝑛, tem pelo menos uma raiz real". 
_________________________________________________________________________ 
Resultado 5: 
Pré-Cálculo 2024-1– EP03 Página 31 de 39 
"Se 𝛼 é uma raiz inteira do polinômio, 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0, onde 𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 1 
e 𝑎𝑖 ∈ ℤ, 𝑖 = 0, 1, 2,⋯ , 𝑛, então 𝛼 é um divisor do termo independente 0a ". 
 
Resultado 6: 
"Se 
 𝑝
𝑞
 , onde 𝑝 e 𝑞 são números inteiros, 𝑞 ≠ 0 , 𝑝 e 𝑞 primos entre si, é uma raiz do polinômio 
𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0 onde 𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 1 , 𝑎𝑖 números inteiros, 𝑖 = 0, 1,
2,⋯ , 𝑛 , então 𝑝 é um divisor do termo independente 𝑎0 e 𝑞 é um divisor do coeficiente 𝑎𝑛 ". 
_________________________________________________________________________ 
Resultado 7: 
"O resto da divisão de um polinômio 𝑝(𝑥) por 𝑥 − 𝑎 é 𝑝(𝑎)". 
_________________________________________________________________________ 
Resultado 8: 
"Um polinômio 𝑝(𝑥) é divisível por 𝑥 − 𝑎 se, e somente se, 𝑝(𝑎) = 0". 
_________________________________________________________________________ 
Resultado 9: 
"Se 𝑥1 , 𝑥2, …… . , 𝑥𝑛 são raízes de um polinômio de grau 𝑛 , 
 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0 , então 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) … . (𝑥 − 𝑥𝑛)". 
_________________________________________________________________________ 
Resultado 10: 
"Um polinômio 𝑝(𝑥) , com 𝑔𝑟(𝑝(𝑥)) ≥ 𝑛 é divisível pelos binômios (𝑥 − 𝑥1), 
(𝑥 − 𝑥2) , … , (𝑥 − 𝑥𝑛), onde 𝑥1 , 𝑥2, …… . , 𝑥𝑛 são todos distintos entre si, se, e somente se, 𝑝(𝑥) é 
divisível pelo produto (𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)… . (𝑥 − 𝑥𝑛)". 
_________________________________________________________________________ 
Vamos fatorar, em ℝ, alguns polinômios! 
Exemplo 1 Fatore, em ℝ , o polinômio 𝑝(𝑥) = 4𝑥3 + 3𝑥2 − 4𝑥 − 3. 
Solução: 
Para fatorar 𝑝(𝑥) precisamos conhecer as suas raízes. 
As possíveis raízes inteiras de 𝑝(𝑥) são os divisores do termo independente −3 , que são: 
−1 , +1 , −3 , +3. 
Note que 𝑝(−1) = 0 ; 𝑝(1) = 0 ; 𝑝(−3) = −72 ; 𝑝(3) = 120 
Portanto, 𝑝(𝑥) tem somente duas raízes inteiras, que são 𝑥 = −1 e 𝑥 = 1 
Se 𝑥 = −1 é uma raiz de 𝑝(𝑥) então 𝑝(𝑥) é divisível por 𝑥 − (−1) = 𝑥 + 1 . 
Se 𝑥 = 1 é uma raiz de 𝑝(𝑥) então 𝑝(𝑥) é divisível por 𝑥 − 1. 
Logo, 𝑝(𝑥) é divisível por (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) = 𝑥2 − 1. 
Dividindo 𝑝(𝑥) por 𝑥2 − 1 , obtemos 𝑝(𝑥) = (𝑥2 − 1)(4𝑥 + 3). 
Pré-Cálculo 2024-1– EP03 Página 32 de 39 
Assim a fatoração procurada é 𝑝(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)(4𝑥 + 3). 
_________________________________________________________________________ 
 
Exemplo 2 Fatore, em ℝ , o polinômio 𝑝(𝑥) = 2𝑥3 + 3𝑥2 − 8𝑥 + 3 . 
Solução: 
O polinômio 𝑝(𝑥) desse exemplo 2 , tal qual o polinômio do exemplo 1 , também não é um polinômio 
mônico, isto é, o coeficiente do seu termo de mais alto grau não é 1 . Portanto esse polinômio pode 
admitir raízes racionais, do tipo, 
𝑚
𝑛
 , com 𝑚 , 𝑛 inteiros, primos entre si, e 𝑛 ≠ 0. 
Ao invés de começarmos a pesquisar as raízes inteiras de polinômio 𝑝(𝑥) , podemos já pesquisar suas 
raízes racionais. Neste caso, as possíveis raízes racionais desse polinômio são os divisores do termo 
independente 3 , que são: −1 , +1 , −3 , +3, divididos pelos divisores do coeficiente do termo de maior 
grau, que são −1 , +1 , −2 , +2. 
Assim, as possíveis raízes racionais desse polinômio são: 
−1 , +1 , −3 , +3 , − 
1
2
 ,
1
 2
 , −
3
2
 ,
3
2
 . 
. Observe que aqui também estão incluídas as possíveis raízes inteiras, que também são racionais. 
• Uma forma de encontrar a fatoração é: 
Calcular o valor de 𝑝(𝑥) nessas possíveis raízes: 
𝑝(1) = 0 ; 𝑝(−1) = −12 ; 𝑝(3) = 60 ; 𝑝(−3) = 0 ; 𝑝 (−
 1 
2
) =
15
2
 , 𝑝 (
 1 
2
) = 0 , 
 𝑝 (
 3 
2
) =
 9 
2
 e 𝑝 (−
 3 
2
) = 15. 
Como 𝑝(𝑥) é um polinômio de grau 3 , então já encontramos todas as suas raízes e assim, pelo 
Resultado 9, 
𝑝(𝑥) = 2(𝑥 − 1)(𝑥 + 3) (𝑥 −
1
2
) = (𝑥 − 1)(𝑥 + 3)(2𝑥 − 1). 
• Outra forma de encontrar a fatoração é: 
𝑝(1) = 0 
𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 8
⇒ 𝑝(𝑥) é divisível por (𝑥 − 1). 
Aplicando o algoritmo de Briot-Ruffini para dividir 𝑝(𝑥) por (𝑥 − 1), 
 2 3 −8 3 
1 2 5 −3 0 
 
Logo, 2𝑥3 + 3𝑥2 − 8𝑥 + 3 = (𝑥 − 1)(2𝑥2 + 5𝑥 − 3); 
Agora podemos fatorar o trinômio de segundo grau 2𝑥2 + 5𝑥 − 3. 
Δ = 52 − 4 ∙ 2 ∙ (−3) = 25 + 24 = 49 > 0 , donde a equação 2𝑥2 + 5𝑥 − 3 = 0 possui duas 
 raízes reais distintas, 𝑥 =
−5±√Δ 
2∙2
=
−5±√49 
4
=
−5±7 
4
, logo, 
Pré-Cálculo 2024-1– EP03 Página 33 de 39 
𝑥1 =
−5+7
4
=
2
4
=
1
2
 , 𝑥2 =
−5−7
4
=
−12
4
= −3. 
Fatorando, 2𝑥2 + 5𝑥 − 3 = 2 (𝑥 −
1
2
) (𝑥 + 3) = (2𝑥 − 1)(𝑥 + 3). 
Portanto, 𝑝(𝑥) = 2𝑥3 + 3𝑥2 − 8𝑥 + 3 = (𝑥 − 1)(2𝑥 − 1)(𝑥 + 3). 
Exemplo 3 O livro do matemático árabe al-Khwarizmi, que morreu antes de 850, contém uma extensa 
discussão sobre problemas de herança. Como escreve C. Boyer no livro História da Matemática, as 
complicadas leis árabes que regiam a divisão de heranças parecem ter encorajado o estudo da álgebra 
na Arábia. Dentro deste tema, está o seguinte problema: 
Um pai deixa a seus filhos uma herança de 𝑅$ 1.200.000,00. Três deles, renunciando a suas partes, 
fazem com que cada um dos demais receba, além do que receberia normalmente, um adicional de 
𝑅$ 90.000,00. Quantos filhos tinha, no total, este pai? 
Solução: 
Considerando 𝑥 o número de filhos, temos que cada um deles deveria receber 
𝑅$ 1.200.000,00
𝑥
. Como três 
dos seus filhos renunciaram suas partes, cada um dos demais recebeu: 
𝑅$ 1.200.000,00
𝑥
 + 𝑅$ 90.000,00 
Pensando de outra forma, como três dos seus filhos renunciaram suas partes, a herança foi dividida entre 
𝑥 − 3 filhos e cada um recebeu: 
𝑅$ 1.200.000,00
𝑥−3
 
Portanto, o número de filhos é a solução da equação: 
𝑅$ 1.200.000,00
𝑥
 + 𝑅$ 90.000,00 = 
𝑅$ 1.200.000,00
𝑥−3
 
Dividindo cada membro da equação por 𝑅$ 30.000,00 temos: 
40
𝑥
+ 3 =
40
𝑥 − 3
 
Mas, 
40
𝑥
+ 3 =
40
𝑥−3
 ⟺ 
40+3𝑥
𝑥
=
40
𝑥−3
 ⟺ 
40+3𝑥
𝑥
−
40
𝑥−3
= 0 ⟺ 
(40+3𝑥)(𝑥−3)−40𝑥
𝑥(𝑥−3)
= 0 ⟺ (40 + 3𝑥)(𝑥 − 3) − 40𝑥 = 0 ⟺ 
40𝑥 − 40 ∙ 3 + 3𝑥2− 3 ∙ 3𝑥 − 40𝑥 = 0 ⟺ 3𝑥2 − 9𝑥 − 120 = 0 ⟺ 𝑥2 − 3𝑥 − 40 = 0 
As raízes dessa equação são: 
𝑥 =
3± √(−3)2−4∙1∙(−40)
2∙1
=
3± √169
2
=
3±13
2
 ⟺ 𝑥 = 8 𝑜𝑢 𝑥 = −5. 
Portanto, o número de filhos é 8. 
Análise de sinal de expressão que contém polinômios. 
 
Pré-Cálculo 2024-1– EP03 Página 34 de 39 
Agora que já sabemos fatorar polinômios, vamos analisar o sinal dos polinômios e de expressões que 
envolvem produto, quociente, potência e raiz de polinômios. 
Analisar sinal de expressões que envolvem polinômios nos ajudará, por exemplo, a construir gráficos 
de funções. Em Cálculo I você verá o quanto isso é importante. 
 
Nos últimos exemplos vamos aplicar a análise de sinal para resolver inequações. 
 
Exemplo 1: Estude o sinal do polinômio 𝑝(𝑥) = 5𝑥4 − 𝑥3 − 4𝑥2 + 𝑥 − 1. 
Resolução: 
Vamos fatorar o polinômio 𝑝(𝑥) para estudar o sinal. Para isso, vamos pesquisar as suas raízes inteiras. 
As possíveis raízes inteiras de 𝑝(𝑥) são os divisores do termo independente −1 , que são: −1 , +1 . 
Note que 𝑝(−1) = 0 ; 𝑝(1) = 0 . 
Se 𝑥 = −1 é uma raiz de 𝑝(𝑥) então 𝑝(𝑥) é divisível por 𝑥 − (−1) = 𝑥 + 1 . 
Se 𝑥 = 1 é uma raiz de 𝑝(𝑥) então 𝑝(𝑥) é divisível por 𝑥 − 1 . 
Portanto, 𝑝(𝑥) é divisível por (𝑥 − 1 )(𝑥 + 1) = 𝑥2 − 1. 
Dividindo 𝑝(𝑥) por 𝑥2 − 1 , obtemos 𝑝(𝑥) = (𝑥2 − 1) (5𝑥2 − 𝑥 + 1). 
Como para o trinômio do segundo grau, 5𝑥2 − 𝑥 + 1 , temos: 
𝑏2 − 4𝑎𝑐 = (−1)2 − 4 ∙ 5 ∙ 1 = −19 , que é negativo, o fator quadrático 5𝑥2 − 𝑥 + 1 é irredutível 
em ℝ e sendo 𝑎 = 5 > 0 , 5𝑥2 − 𝑥 + 1 > 0 , ∀ 𝑥 ∈ ℝ . 
Portanto, o sinal de 𝑝(𝑥) = (𝑥2 − 1)(5𝑥2 − 𝑥 + 1) depende somente do sinal de 
𝑥2 − 1 = (𝑥 − 1 )(𝑥 + 1) 
Portanto, 
𝑝(𝑥) = 0 ⇔ 𝑥2 − 1 = 0 ⇔ 𝑥 = −1 ou 𝑥 = 1 ⟺ 𝑥 ∈ {−1,1}. 
𝑝(𝑥) > 0 ⇔ 𝑥2 − 1 > 0 ⇔ 𝑥 < −1 ou 𝑥 > 1 ⟺ 𝑥 ∈ (−∞,−1) ∪ (1,∞). 
𝑝(𝑥) < 0 ⇔ 𝑥2 − 1 < 0 ⇔ −1 < 𝑥 < 1 ⟺ 𝑥 ∈ (−1, 1). 
Observem que finalizamos as equivalências das duas últimas linhas com a escrita na forma de 
intervalo ou na forma de uma união de intervalos disjuntos (intervalos disjuntos não têm pontos 
em comum). 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exemplo 2 Estude o sinal da expressão 𝐸(𝑥) = 
𝑥3+𝑥
 −2𝑥2−2𝑥+4 
 . No final vamos apresentar as 
conclusões na forma de intervalo. 
Resolução: 
Fatorando o numerador 𝑥3 + 𝑥 : 
𝑥3 + 𝑥 = 𝑥(𝑥2 + 1). 
Este polinômio está completamente fatorado, pois 𝑥2 + 1 ≥ 1 > 0, nunca se anula, 
𝑥2 + 1 > 0 , ∀ 𝒙 ∈ ℝ . 
Fatorando o denominador −2𝑥2 − 2𝑥 + 4 : 
−2𝑥2 − 2𝑥 + 4 = −2 (𝑥2 + 𝑥 − 2) = −2(𝑥 − 1)(𝑥 + 2) , 
Pré-Cálculo 2024-1– EP03 Página 35 de 39 
pois as raízes de 𝑥2 + 𝑥 − 2 são: 
𝑥 = 
−1±√12−4∙1∙(−2)
2∙1
 = 
−1±√9 
2
= 
−1±3
2
 = 𝑥 = −2 ou 𝑥 = 1. 
Assim, a expressão pode ser fatorada da seguinte forma: 
𝑥3 + 𝑥
 −2𝑥2 − 2𝑥 + 4 
= 
𝑥(𝑥2 + 1)
 −2(𝑥 − 1)(𝑥 + 2) 
 
Vamos fazer a tabela dos sinais. Para isso note que: 
𝑥2 + 1 > 0 para ∀ 𝒙 ∈ ℝ ; 𝑥 − 1 > 0 ⟺ 𝑥 > 1 ; 
𝑥 + 2 > 0 ⟺ 𝑥 > −2 ; −2 < 0 para ∀ 𝒙 ∈ ℝ . 
 
Analisando o sinal da expressão 𝐸(𝑥) = 
𝑥(𝑥2+1)
 −2(𝑥−1)(𝑥+2) 
 no intervalo (−∞ , 0] : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Analisando o sinal da expressão 𝐸(𝑥) = 
𝑥(𝑥2+1)
 −2(𝑥−1)(𝑥+2) 
 no intervalo (0 , +∞) . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 −∞ < 𝑥 < −2 𝑥 = −2 −2 < 𝑥 < 0 𝑥 = 0 
𝑥 − − − − − − − −− 0 
𝑥2 + 1 + + + + + + + ++ + 
−2 − − − − − − − −− − 
𝑥 − 1 − − − − − − − −− − 
𝑥 + 2 − − − − 0 + + ++ + 
𝐸(𝑥) + + + + 𝑛𝑑 − − −− 0 
 0 < 𝑥 < 1 𝑥 = 1 1 < 𝑥 < +∞ 
𝑥 ++ + + + + ++ + 
𝑥2 + 1 ++ + + + + ++ + 
−2 −− − − − − −− − 
𝑥 − 1 −− − − 0 + ++ + 
𝑥 + 2 ++ + + + + ++ + 
𝐸(𝑥) ++ + + 𝑛𝑑 − −− − 
Pré-Cálculo 2024-1– EP03 Página 36 de 39 
Assim: 
𝐸(𝑥) = 
𝑥(𝑥2+1)
 −2(𝑥−1)(𝑥+2) 
 > 0 ⟺ 𝑥 ∈ (−∞,−2) ∪ (0 , 1); 
𝐸(𝑥) = 
𝑥(𝑥2 + 1)
 −2(𝑥 − 1)(𝑥 + 2) 
< 0 ⟺ 𝑥 ∈ (−2 , 0) ∪ (1 , +∞); 
 𝐸(𝑥) = 
𝑥(𝑥2+1)
 −2(𝑥−1)(𝑥+2) 
= 0 ⟺ 𝑥 = 0 ; 
 𝐸(𝑥) = 
𝑥(𝑥2+1)
 −2(𝑥−1)(𝑥+2) 
 não pode ser calculada para 𝑥 = 1 e 𝑥 = −2 . 
 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
E agora, aos exercícios: 
 
Exercício 1 Para cada trinômio do segundo grau, use o método de completar quadrado para 
determinar o vértice (𝑥𝑉 , 𝑦𝑉) da parábola que representa o gráfico do trinômio e dê a concavidade da 
parábola. 
Esboce a parábola e diga quantas raízes o trinômio possui, sem tentar calcular as raízes. 
Se possível, calcule as raízes e verifique se confere com o número de raízes que você já tinha encontrado 
anteriormente. 
(a) 𝐸(𝑥) = −2𝑥2 − 10𝑥 − 8 
(b) 𝐸(𝑥) = 3𝑥2 − 15 
(c) 𝐹(𝑥) =
𝑥2
4
+
3
2
𝑥 +
13
4
 
(d) 𝑓(𝑥) =
3
2
𝑥2 − 6𝑥 + 3 
(e) 𝐺(𝑥) = 𝑥2 − 2(1 + √3)𝑥 + 4 + 2√3 
(f) 𝑝(𝑥) = 5𝑥2 − 10𝑥 
(g) 𝑟(𝑥) = −2𝑥2 + 8𝑥 − 9 
(h) 𝑠(𝑥) =
𝑥2
𝜋2
+
2𝑥
𝜋
+ 1 
_________________________________________________________________________ 
 
Exercício 2 Vamos ver mais um exemplo de como determinar as raízes do trinômio de segundo grau 
𝐸(𝑥) = 4(𝑥 + 2)2 − 11 que está escrito na forma canônica, sem usar a fórmula de Bháskara. 
4(𝑥 + 2)2 − 11 = 0 ⟺ 4(𝑥 + 2)2 = 11 ⟺ (𝑥 + 2)2 =
11
4
 ⟺ 𝑥 + 2 = ±√
11
4
 ⟺ 
𝑥 = −2 ±
√11
2
=
−4±√11
2
 . Logo as raízes são 𝑥1 =
−4+√11
2
 e 𝑥2 =
−4+√11
2
. 
Agora é a sua vez. Considere o trinômio 𝐸(𝑥) = −8(𝑥 + 2)2 + 24. 
(a) Use o procedimento do exemplo para encontrar as raízes do trinômio. 
(b) Elevando ao quadrado em 𝐸(𝑥) = −8(𝑥 + 2)2 + 24 encontre o trinômio na forma 𝐸(𝑥) =
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 e usando a fórmula de Bháskara, encontre as raízes do trinômio. 
(c) Compare as respostas dos itens anteriores. 
_________________________________________________________________________ 
 
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Exercício 3 Analise o sinal de cada trinômio 𝐸(𝑥). 
Lembre que analisar o sinal é responder para quais valores de 𝑥 o trinômio 𝐸(𝑥) = 0, para quais valores 
de 𝑥 o trinômio 𝐸(𝑥) > 0 e para quais valores de 𝑥 o trinômio 𝐸(𝑥) < 0. Quando for o caso, dê a 
resposta na forma de intervalo ou união de intervalos disjuntos (intervalos disjuntos não têm pontos em 
comum). 
(a) 𝐸(𝑥) = −𝑥2 + 𝑥 + 2 (b) 𝐸(𝑥) = 2𝑥2 − 4√6 𝑥 + 12 (c) 𝐸(𝑥) = −4𝑥2 + 4𝑥 − 2 
_________________________________________________________________________ 
 
Exercício 4 Determine os valores de 𝑥 em que a reta de equação 𝑦 = 2 corta ou toca o gráfico do 
trinômio 𝑦 = 2𝑥2 + 4𝑥 + 3 e encontre os intervalos do eixo 𝑥 em que o gráfico do trinômio está situado 
acima da reta de equação 𝑦 = 2. 
_________________________________________________________________________ 
 
Exercício 5 Resolva em ℝ, as seguintes inequações: 
(a) |3𝑥 − 1| < |𝑥 − 2| 
(b) 
𝑥2−𝑥−1 
𝑥3 
 < 
2
𝑥2
 
(c) 𝑥 ≥ 
4
|𝑥|−4
. 
(d) √11𝑥 + 12 < 2𝑥 + 3 
_________________________________________________________________________ 
 
Exercício 6: O livro "Al-Jabr Wa’l mugãbalah" escrito pelo matemático árabe al-Khwarizmi, que morreu 
antes de 850, tem grande importância na história da Matemática. O nome deste autor originou a 
palavra algarismo e a primeira palavra do título do livro, cujo significado, não se sabe ao certo, originou 
o termo álgebra, pois foi por esse livro que mais tarde a Europa aprendeu o ramo da Matemática que 
hoje tem esse nome. Um dos vários problemas que ilustram tal livro pede que se divida o número 𝟏𝟎 
em duas partes de modo que "a soma dos produtos obtidos, multiplicando cada parte por si mesma, 
sejaigual a 𝟓𝟖". Resolva-o. 
_________________________________________________________________________ 
 
Exercício 7: Uma fatia com 3 cm de espessura é cortada paralelamente a uma das faces de um cubo, 
deixando um volume de 196 𝑐𝑚3. Encontre o comprimento do lado do cubo original. 
_________________________________________________________________________ 
 
Exercício 8: Diga quais das expressões abaixo são polinômios: 
a) 𝑝(𝑥) = √2 𝑥5 +
1
2
𝑥3 − 𝑥 + 2 b) 𝑡(𝑥) = 5 c) 𝑞(𝑥) = 𝑥
1
3 + 3𝑥
1
2 − 5 
d) 𝑠(𝑥) = 2𝑥−4 + 𝑥−3 − 𝑥−1 + 3 e) 𝑟(𝑥) =
4𝑥5−𝑥2−3
𝑥3−5
 
_________________________________________________________________________ 
 
Exercício 9: Determine os valores de 𝑎, 𝑏, 𝑐, números reais, que tornam os polinômios 𝑝(𝑥) e 𝑞(𝑥) 
iguais: 
𝑝(𝑥) = 𝑎𝑥(𝑥 + 1) + 𝑏𝑥(𝑥 − 1) + 𝑐(𝑥 − 1)(𝑥 + 1) e 𝑞(𝑥) = 3𝑥2 − 5. 
_________________________________________________________________________ 
 
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Exercício 10: Faça as operações indicadas para identificar os coeficientes do polinômio na variável 𝑥 e 
diga quais são os seus coeficientes. Para realizar as operações indicadas, use produtos notáveis que 
são casos particulares do Binômio de Newton. 
a) −(4𝑥 + 1)3 − 2(4𝑥 + 1)2 b) (𝑥 + ℎ)4 − 𝑥4 
_________________________________________________________________________ 
 
Exercício 11: Determine o quociente e o resto da divisão dos polinômios 𝑝(𝑥) e 𝑞(𝑥) nos seguintes 
casos: 
a) 𝑝(𝑥) = 3𝑥5 − 𝑥4 + 2𝑥3 + 4𝑥 − 3 𝑞(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥 + 1 
b) 𝑝(𝑥) = 𝑥5 + 3𝑥4 − 4𝑥3 − 𝑥2 + 11𝑥 + 12 𝑞(𝑥) = 𝑥2(𝑥2 + 4𝑥 + 5) 
_________________________________________________________________________ 
 
Exercício 12: Determine 𝑎 ∈ ℝ, de modo que o polinômio 
𝑝(𝑥) = 𝑎𝑥3 + (2𝑎 − 1)𝑥2 + (3𝑎 − 2)𝑥 + 4𝑎 seja divisível por 𝑞(𝑥) = 𝑥 − 1 e em seguida, obtenha 
o quociente da divisão. 
_________________________________________________________________________ 
Exercício 13: Fatore os seguintes polinômios: 
a) 𝑝(𝑥) = 2𝑥2 + 5𝑥 − 3 b) 𝑝(𝑥) = 2𝑥3 + 𝑥2 + 5𝑥 − 3 
c) 𝑝(𝑥) = 𝑥4 − 1 d) 𝑝(𝑥) = 2𝑥4 − 9𝑥3 + 6𝑥2 + 11𝑥 − 6 
e) 𝑝(𝑥) = 𝑥4 − 8𝑥2 + 15 f) 𝑝(𝑥) = 2𝑥4 + 𝑥3 + 7𝑥2 + 4𝑥 − 4 
g) 𝑝(𝑥) = 𝑥4 + 1 h) 𝑝(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥3 + 2𝑥 − 1 
_________________________________________________________________________ 
 
Exercício 14: Será 𝑥 + 3 um fator do polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥7 + 2187 ? Justifique sua resposta. 
_________________________________________________________________________ 
 
Exercício 15: Considerando o que você aprendeu sobre polinômios, responda: existe algum número 
racional que seja igual ao seu cubo mais um? 
_________________________________________________________________________ 
 
Exercício 16: Estude o sinal dos polinômios. Quando possível, apresente as conclusões na forma de 
intervalo, isto é, escreva as conclusões como um único intervalo ou como união de intervalos disjuntos 
(intervalos disjuntos não têm pontos em comum). 
a) 𝑝(𝑥) = 
1
2
 𝑥3 − 𝑥2 +
1 
2
𝑥 − 1 b) 𝑞(𝑥) = 𝑥3 + 3𝑥2 + 4𝑥 + 12 
c) 𝑠(𝑥) = 3𝑥4 + 14 𝑥3 + 14𝑥2 − 8𝑥 − 8. 
__________________________________________________________________________________ 
 
Exercício 17: Analise o sinal da expressão 𝐸(𝑥) = 
 𝑥3+𝑥2+𝑥+1 
 1−𝑥3 
 . 
__________________________________________________________________________________ 
Exercício 18: Diga para que valores de 𝑥 ∈ ℝ , a expressão 𝐸(𝑥) = 
√ 𝑥3+2𝑥2+ 3𝑥+2 
𝑥−1 
 pode ser 
calculada. 
__________________________________________________________________________________ 
 
 
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Exercício 19: Encontre os valores de 𝑥 ∈ ℝ para os quais é possível calcular a expressão 
𝐸(𝑥) = 
√(𝑥−2)5(𝑥+3)4 
4−√(𝑥−4)(𝑥+2) 
. 
__________________________________________________________________________________ 
 
Exercício 20: Considere 𝑥 ∈ ℝ, analise o sinal da expressão 𝐸(𝑥) = 
 𝑥3−2𝑥2+1 
𝑥2−2𝑥 
 e determine o domínio 
da expressão 𝐸1(𝑥) = √
 𝑥3−2𝑥2+1 
𝑥2−2𝑥 
. 
 
Exercício 21 Resolva em ℝ, as seguintes inequações: 
(a) 
𝑥2−𝑥−1 
𝑥2 
 < 
2
𝑥3
 (b) 𝑥2 ≥ 
− 2
 | 𝑥 |−1 
. 
 
 
 
Bom trabalho!