Derivadas Parciais de Segunda Ordem

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CÁLCULO II
Prof. Tiago Coelho
2024 - 1º Semestre
Lista de Exercícios 07
Questão 1. Encontre as derivadas parciais de segunda ordem em relação a x e y para
a função g(x, y) = 5x3 + sin(xy)− 4y2.
Solução: Para a função g(x, y) = 5x3 + sin(xy) − 4y2, as derivadas parciais de
primeira ordem são dadas por:
∂g
∂x
= 15x2 + y cos(xy)
∂g
∂y
= x cos(xy)− 8y
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem:
Para
∂2g
∂x2
:
∂2g
∂x2
=
∂
∂x
(
15x2 + y cos(xy)
)
= 30x− y2 sin(xy)
Para
∂2g
∂y2
:
∂2g
∂y2
=
∂
∂y
(x cos(xy)− 8y) = −x2 sin(xy)− 8
E para
∂2g
∂x∂y
:
∂2g
∂x∂y
=
∂
∂x
(x cos(xy)− 8y) = cos(xy)− xy sin(xy)
Portanto, as derivadas parciais de segunda ordem são:
∂2g
∂x2
= 30x− y2 sin(xy)
∂2g
∂y2
= −x2 sin(xy)− 8
∂2g
∂x∂y
= cos(xy)− xy sin(xy)
Como as derivadas parciais mistas são contínuas em seus domínios, então são iguais.
1
Cálculo II Lista de Exercícios 14
Questão 2. Considere a seguinte função definida em R3:
f(x, y, z) = x2 + 2y3 − 4z2 + 5xyz
Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem.
Solução: Para a função f(x, y, z) = x2 + 2y3 − 4z2 + 5xyz, as derivadas parciais
de primeira ordem são dadas por:
∂f
∂x
= 2x+ 5yz
∂f
∂y
= 6y2 + 5xz
∂f
∂z
= −8z + 5xy
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem:
Para
∂2f
∂x2
:
∂2f
∂x2
=
∂
∂x
(2x+ 5yz) = 2
Para
∂2f
∂y2
:
∂2f
∂y2
=
∂
∂y
(6y2 + 5xz) = 12y
Para
∂2f
∂z2
:
∂2f
∂z2
=
∂
∂z
(−8z + 5xy) = −8
Para
∂2f
∂x∂y
:
∂2f
∂x∂y
=
∂
∂x
(6y2 + 5xz) = 5z
Para
∂2f
∂x∂z
:
∂2f
∂x∂z
=
∂
∂x
(−8z + 5xy) = 5y
Para
∂2f
∂y∂z
:
∂2f
∂y∂z
=
∂
∂y
(−8z + 5xy) = 5x
Portanto, as derivadas parciais de segunda ordem são:
∂2f
∂x2
= 2,
∂2f
∂y2
= 12y,
∂2f
∂z2
= −8,
∂2f
∂x∂y
= 5z,
∂2f
∂x∂z
= 5y e
∂2f
∂y∂z
= 5x
Como as derivadas parciais mistas são contínuas em seus domínios, elas são iguais.
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Questão 3. Seja f(u, v, w) uma função diferenciável de três variáveis, sendo que
u = u(x, y, z), v = v(x, y, z) e w = w(x, y, z) são funções diferenciáveis de três
variáveis x, y, e z. Utilizando a regra da cadeia, mostre como encontrar ∂f
∂x
, ∂f
∂y
, e ∂f
∂z
.
Solução: A regra da cadeia em R3 nos permite calcular as derivadas parciais de uma
função composta. Seja f(u, v, w) uma função diferenciável de três variáveis, onde
u = u(x, y, z), v = v(x, y, z), e w = w(x, y, z) são funções diferenciáveis de três
variáveis x, y, e z.
Queremos encontrar ∂f
∂x
, ∂f
∂y
, e ∂f
∂z
.
Pela regra da cadeia, temos:
∂f
∂x
=
∂f
∂u
∂u
∂x
+
∂f
∂v
∂v
∂x
+
∂f
∂w
∂w
∂x
∂f
∂y
=
∂f
∂u
∂u
∂y
+
∂f
∂v
∂v
∂y
+
∂f
∂w
∂w
∂y
∂f
∂z
=
∂f
∂u
∂u
∂z
+
∂f
∂v
∂v
∂z
+
∂f
∂w
∂w
∂z
Essas fórmulas nos permitem calcular as derivadas parciais de f em relação a x, y,
e z usando as derivadas parciais das funções intermediárias u, v, e w.
Questão 4. Seja f : R2 → R uma função diferenciável e α(t) = t∇f(0, 0). Calcule
d(f ◦ α)
dt
(0) e verifique para quais funções f se tem
d(f ◦ α)
dt
(0) < 0.
Solução: Pela regra da cadeia nós temos
d(f ◦ α)
dt
(0) =
∂f
∂x
(α(0))
dα1
dt
(0) +
∂f
∂y
(α(0))
dα2
dt
(0)
onde fizemos α(t) = (α1(t), α2(t)).
Sabemos que α(0) = (0, 0),
dα1
dt
=
∂f
∂x
(0, 0) e
dα2
dt
=
∂f
∂y
(0, 0). Obtemos assim
d(f ◦ α)
dt
(0) =
∂f
∂x
(0, 0)
∂f
∂x
(0, 0) +
∂f
∂y
(0, 0)
∂f
∂y
(0, 0)
d(f ◦ α)
dt
(0) =
(
∂f
∂x
(0, 0)
)2
+
(
∂f
∂y
(0, 0)
)2
Portanto, não existem funções f para a qual
d(f ◦ α)
dt
(0) esteja bem definida e
seja negativa.
Questão 5. Seja a função
f(x, y) =

xy(x2 − y2)
x2 + y2
(x, y) ̸= (0, 0)
0 (x, y) = (0, 0)
Calcule
∂2f
∂x∂y
e
∂2f
∂y∂x
em (0, 0). Verifique se são iguais ou diferentes.
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Solução: Notemos inicialmente que, qualquer que sejam x e y, nós teremos que
f(x, 0) = f(0, y) = 0. Em particular,
∂f
∂x
(0, 0) =
∂f
∂y
(0, 0) = 0.
Para y ̸= 0, nós temos:
∂f
∂x
(0, y) = lim
x→0
f(x, y)− f(0, y)
x
= lim
x→0
xy(x2 − y2)
x(x2 + y2)
= lim
x→0
y(x2 − y2)
x2 + y2
=⇒ ∂f
∂x
(0, y) =
y(02 − y2)
02 + y2
=
−y3
y2
= −y
Calculemos agora
∂2f
∂y∂x
(0, 0):
∂2f
∂y∂x
(0, 0) = lim
y→0
1
y
[
∂f
∂x
(0, y)− ∂f
∂x
(0, 0)
]
= lim
y→0
−y − 0
y
= −1
Para x ̸= 0, nós temos:
∂f
∂y
(x, 0) = lim
y→0
f(x, y)− f(x, 0)
y
= lim
y→0
xy(x2 − y2)
y(x2 + y2)
= lim
x→0
x(x2 − y2)
x2 + y2
=⇒ ∂f
∂y
(x, 0) =
x(x2 − 02)
x2 + 02
=
x3
x2
= x
Calculemos agora
∂2f
∂x∂y
(0, 0):
∂2f
∂x∂y
(0, 0) = lim
x→0
1
x
[
∂f
∂y
(x, 0)− ∂f
∂y
(0, 0)
]
= lim
x→0
x− 0
x
= 1
Obtemos assim que as derivadas mistas existem e são distintas.
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