AULA-05-BASES-MATEMÁTICAS

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BASES MATEMÁTICAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 05 – FUNÇÕES 
DE DUAS VARIÁVEIS 
Prezado (a) aluno (a), 
 
 
Na aula anterior você conheceu um pouco melhor sobre as derivadas, seus 
limites e funções, além isso lhe foi apresentado a aplicação das derivadas em áreas 
da administração. 
Nesta aula, será dado continuidade na matéria sobre as derivadas, 
aprofundando um pouco mais seu conhecimento nas funções, mas nesta aula, 
trabalharemos com duas variáveis. 
 
 
Bons estudos! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ao final desta aula você será capaz de: 
 Realizar cálculos de funções com duas variáveis; 
 Conhecer a função produção, que envolve a quantidade de 
produção, e os insumos variáveis; 
 Identificar as derivadas parciais. 
 
 
 
 
5 FUNÇOES VARIÁVEIS E DERIVADAS 
Em muitas situações que ocorrem, tanto na teoria, quanto na prática, existe a 
necessidade de considerar diversas variáveis. Conforme Morettin, Hazzan e Bussab 
(2017), nessas situações, é importante optar por descrever quantitativamente a forma 
em que elas se relacionam. 
Entre as formas de expressar esse relacionamento, podemos descrever como 
se comportam em função das outras, esse conceito é a função de várias variáveis. 
Exemplo 01: A demanda semanal de manteiga em um supermercado, 
depende de certos fatores como seu preço unitário, o preço unitário de bens 
substitutos (por exemplo, margarina), renda familiar, gostos pessoais etc. 
Em uma primeira aproximação, suponhamos que a demanda por manteiga 
dependa de seu preço unitário 𝑝1 e do preço unitário da margarina 𝑝2. Então é dito 
que a quantidade demandada 𝑞 é função de 𝑝1 e 𝑝2, e escrevemos: 
𝑞 = 𝑓(𝑝1, 𝑝2) 
Existem métodos que possibilitam, de forma empírica, obter tal função através 
de observações. Estes métodos geralmente são estudados em Estatística. 
5.1 Função de Cobb-Douglas 
A função de produção, relaciona a quantidade produzida de algum bem em um 
certo intervalo de tempo, com os insumos variáveis necessários a essa produção, 
como, trabalho, terra, etc. 
Um modelo de função de produção muito utilizado foi introduzido pelo 
economista Paul Douglas e pelo matemático Charles Cobb, ambos norte-americanos. 
Em seus estudos sobre a repartição da renda entre o capital e o trabalho no início do 
século XX. A expressão da referida função é 
𝑃 = 𝑓(𝐿, 𝐾) = 𝐴. 𝐾𝛼 . 𝐿1−𝛼 
onde: 
 P, é a quantidade produzida; 
 
 
 
 K, é o capital empregado; 
 L, é a quantidade de trabalho envolvido. 
Já “A” é uma constante, que depende da tecnologia utilizada e 𝛼 é um 
parâmetro que varia de 0 a 1. 
5.2 Função de duas variáveis 
Seja 𝐷 um subconjunto do 𝑅². É dito função de 𝐷 em 𝑅 , toda relação que 
associa, a cada par ordenado (𝑥, 𝑦) pertencente a 𝐷, um único número real indicado 
por 𝑓(𝑥, 𝑦) . O conjunto 𝐷 é o domínio da função e 𝑓(𝑥, 𝑦) é a imagem de (𝑥, 𝑦) 
conforme foi apresentado na aula 01. 
Exemplo 02: Seja 𝐷 = 𝑅² e 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2. Tal função associa, a cada par 
de números reais, a soma de seus quadrados. Como: 
𝑓(2, 3) = 22 + 32 = 13 
𝑓(1, −2) = 12 + (−2)2 = 5 
É fácil perceber que as imagens dessa função são números reais não 
negativos. 
Exemplo 03: Seja, 𝑄, a quantidade semanal demandada de manteiga em um 
supermercado, em kg. 𝑥, o preço por kg da manteiga e 𝑦, o preço por kg da margarina. 
Suponha que 𝑄 = 100 − 2𝑥 + 1𝑦 . Temos assim, uma função com duas 
variáveis em que 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑞 e o domínio da função é 𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2|𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 e 
100 − 2𝑥 + 1𝑦 ≥ 0}, pois não é possível que os preços e quantidades sejam negativas. 
Assim, por exemplo, 
𝑓(10,8) = 100 − 20 + 8 = 88 
isto é, se o preço por kg de manteiga é R$ 10,00 e o de margarina for R$ 8,00, a 
quantidade semanal demandada de manteiga será de 88 kg. 
Ao se deparar com uma situação em que o domínio não é especificado, 
convenciona-se que ele é o mais amplo subconjunto de 𝑅², de modo que a imagem 
𝑓(𝑥, 𝑦) seja um número real, além disso, se a função for decorrente de uma situação 
prática, os valores de 𝑥 e 𝑦 devem assumir valores compatíveis com as 
características das variáveis consideradas, por exemplo, se 𝑥 e 𝑦 forem quantidades, 
não podem ser negativas. 
 
 
 
Assim, por exemplo, para função, 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑦 − 𝑥, convenciona-se que o 
domínio é o conjunto 𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2 𝑦 − 𝑥 ≥ 0}. 
Para função 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥2
2𝑥−𝑦
, convenciona-se que o domínio é o conjunto, 
𝐷 = {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑅2 2𝑥 − 𝑦 ≠ 0} 
5.3 Derivadas parciais 
Seja uma função 𝑓(𝑥, 𝑦) de duas variáveis. É um problema importante 
conhecermos qual o ritmo de variação de 𝑓(𝑥, 𝑦) correspondente a pequenas 
variações de 𝑥 e 𝑦. 
Uma primeira abordagem que podemos fazer desse problema consiste em fixar 
uma das variáveis e calcular o ritmo de variação de 𝑓 (𝑥, 𝑦) em relação à outra 
variável. A ideia que norteia esse estudo chama-se derivada parcial, que passaremos 
a definir. 
Consideramos um ponto (𝑥0, 𝑦0), se mantivermos 𝑦 constante no valor 𝑦0 e 
variamos o 𝑥 do valor 𝑥0 para o valor 𝑥0 + ∆𝑥, a função 𝑓(𝑥, 𝑦) dependerá apenas da 
variável 𝑥. 
Seja, 
∆𝑓 = 𝑓(𝑥0 + ∆𝑥, 𝑦0) − 𝑓(𝑥0, 𝑦0) 
À razão, 
∆𝑓
∆𝑥
=
𝑓(𝑥0 + ∆𝑥, 𝑦0) − 𝑓( 𝑥0, 𝑦0)
∆𝑥
 
Essa variação de 𝑓 em relação a 𝑥 é chamado de taxa média de variação. 
Note que: 
 
∆𝑓
∆𝑥
, depende do ponto de partida (𝑥0, 𝑦0); 
 
∆𝑓
∆𝑥
, depende da variação ∆𝑥. 
Caso exista o limite e este seja um número real, de 
∆𝑓
∆𝑥
 quando ∆𝑥 tende a 0, 
este é chamado de derivada parcial de 𝑓 no ponto (𝑥0, 𝑦0) em relação a 𝑥 . Esta 
derivada parcial é indicada por algum dos símbolos a seguir, 
 
 
 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(𝑥0, 𝑦0) 𝑜𝑢 𝑓𝑥(𝑥0, 𝑦0) 
Assim, 
𝜕𝑓
𝜕𝑥 
(𝑥0, 𝑦0) = 𝑓𝑥(𝑥0, 𝑦0) = lim
∆𝑥 →0
∆𝑓
∆𝑥
 
A simbologia 
𝜕𝑓
𝜕𝑥 
, lê-se del 𝑓, del 𝑥. 
Analogamente, se mantivermos 𝑥 constante no valor 𝑥0 e variamos 𝑦 do valor 
𝑦0 para o valor 𝑦0 + ∆𝑦, 𝑓 dependerá apenas da variável 𝑦. 
Seja: 
∆𝑓 = 𝑓(𝑥0, 𝑦0 + ∆𝑦) − 𝑓(𝑥0, 𝑦0) 
À razão, 
∆𝑓
∆𝑦
=
𝑓(𝑥0, 𝑦0 + ∆𝑦) − 𝑓(𝑥0, 𝑦0)
∆𝑦
 
chamamos de taxa média de variação de 𝑓 em relação a 𝑦. 
Caso exista o limite e este seja um número real, de 
∆𝑓
∆𝑥
 quando ∆𝑦 tende a 0, 
este é chamado de derivada parcial de 𝑓 no ponto (𝑥0, 𝑦0) em relação a 𝑦 . Esta 
derivada parcial é indicada por algum dos símbolos a seguir, 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(𝑥0, 𝑦0) 𝑜𝑢 𝑓𝑦(𝑥0, 𝑦0) 
O símbolo 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
, lê-se, del 𝑓, del 𝑦. 
Assim, 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(𝑥0, 𝑦0) = 𝑓𝑦(𝑥0, 𝑦0) = lim
∆𝑦→0
∆𝑓
∆𝑦
 
Exemplo 04: Seja 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 3𝑦. Calculemos 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(4, 5) e 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(4, 5). 
Temos: 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(4, 5) = lim
∆𝑥→0
𝑓(4 + ∆𝑥, 5) − 𝑓(4, 5)
∆𝑥
 
= lim
∆𝑥→0
2(4 + ∆𝑥) + 3 . 5 − 2 . 4 − 3 . 5
∆𝑥 
 
 
 
 
= lim
∆𝑥→0
2. ∆𝑥 
∆𝑥
= 2. 
Analogamente, 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(4, 5) = lim
∆𝑥→0
𝑓(4,5 + ∆𝑦) − 𝑓(4, 5)
∆𝑦
 
= lim
∆𝑦→0
2.4 + 3. (5 + ∆𝑦) − 2 . 4 − 3 . 5
∆𝑦 
 
= lim
∆𝑦→0
3. ∆𝑦 
∆𝑦
= 3. 
5.3.1 Função derivada parcial 
Se calcularmos 𝑓𝑥 e 𝑓𝑦 em um ponto genérico (𝑥, 𝑦), obteremos duas funções 
de 𝑥 e 𝑦. A função 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) é chamada de função derivada parcial de 𝑓 em relação a 
𝑥. A função 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) é chamada de função derivada parcial de 𝑓 em relação a 𝑦. 
Simbolicamente, as derivadas parciais podem ser indicadas por, 
𝑓𝑥 𝑜𝑢
𝜕𝑓
𝜕𝑥
 𝑒 𝑓𝑦 𝑜𝑢
𝜕𝑓
𝜕𝑦
 
Para realizar o cálculo de 𝑓𝑥 e 𝑓𝑦 , podemos aplicar as regras de derivação 
estudadas em funções de uma variável, desde que: 
 no cálculo de 𝑓𝑥 consideremos 𝑦 como constante; 
 no cálculo de 𝑓𝑦 consideremos 𝑥 como constante. 
Exemplo 05: Se 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2, então: 
 𝑓𝑥 = 2𝑥, o 𝑦 é considerado uma constante; 
 𝑓𝑦 = 2𝑦, o 𝑥 é considerado uma constante. 
Para realizar cálculos dessa forma com números, basta substituir 𝑥 e 𝑦 pelos 
respectivos númerose calcular suas derivadas. 
 
 
 
5.4 Diferencial de uma função 
Seja a função, 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥2 + 3𝑦², vamos calcular a variação ∆𝑓 sofrida pela 
função, quando 𝑥 e 𝑦 apresentam variações ∆𝑥e ∆𝑦 a partir do ponto (𝑥0, 𝑦0). 
Temos: 
∆𝑓 = 𝑓(𝑥0 + ∆𝑥, 𝑦0 + ∆𝑦) − 𝑓(𝑥0, 𝑦0) 
 
Por exemplo, se 𝑥0 = 5, 𝑦0 = 6 e ∆𝑥 = ∆𝑦 = 0,01, teremos: 
 
Com as parcelas 0,0002 e 0,0003 são desprezíveis comparadas com 0,2 e 0,36 
podemos dizer que: 
 
Voltando à expressão de ∆𝑓, notamos que: 
 4𝑥0 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
 (𝑥0, 𝑦0) e 6𝑦0 =
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(𝑥0, 𝑦0); 
 os termos 2∆𝑥2 + 3∆𝑦² são desprezíveis quando comparados com 
4𝑥0∆𝑥 + 6𝑦0∆𝑦 desde que ∆𝑥 e ∆𝑦 sejam próximos de zero; 
 ∆𝑓 ≅
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(𝑥0, 𝑦0)∆𝑥 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(𝑥0, 𝑦0)∆𝑦. 
O resultado que acabamos de ver não é um caso isolado, mas vale para a 
maioria das funções. Isto é, a variação sofrida por 𝑓 (𝑥, 𝑦) quando variamos 
simultaneamente 𝑥 e 𝑦 de valores pequenos ∆𝑥 e ∆𝑦 é aproximadamente igual a 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(𝑥0, 𝑦0)∆𝑥 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(𝑥0, 𝑦0)∆𝑦. 
O cálculo da diferencial de uma função é usado para o cálculo de valores 
aproximados, como, por exemplo, no cálculo da variação no volume de um cilindro, 
quando o raio e a altura sofrem uma variação. 
 
 
 
Seja 𝑓 uma função com duas variáveis e seja (𝑥0, 𝑦0) um ponto de seu domínio. 
Seja ∆𝑓 a variação sofrida por 𝑓(𝑥, 𝑦) ao passarmos do ponto (𝑥0, 𝑦0) para o ponto 
(𝑥0 + ∆𝑥, 𝑦0 + ∆𝑦) (MORETTIN; HAZZAN; BASSAB, 2017, p. 247). Isto é: 
 
Então é dito que 𝑓 é diferenciável no ponto (𝑥0, 𝑦0), se ∆𝑓 puder ser escrita sob 
a forma: 
 
em que funções ℎ1 e ℎ2 têm limites iguais a zero quando (∆𝑥, ∆𝑦) tende a (0,0). 
A parcela 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(𝑥0, 𝑦0). ∆𝑥 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(𝑥0, 𝑦0). ∆𝑦, é chamada diferencial de 𝑓 e é 
indicada por 𝑑𝑓, no caso de 𝑓 ser diferenciável. 
Retornando ao exemplo, em que, 
 
Assim como, 
 
ℎ1(∆𝑥, ∆𝑦) = 2∆𝑥 e ℎ2(∆𝑥, ∆𝑦) = 3∆𝑦, ambas com limites nulos quando (∆𝑥, ∆𝑦) tende 
a (0,0), concluímos que 𝑓 é diferenciável num ponto genérico (𝑥0, 𝑦0). 
Se tivermos que verificar pela definição se uma função é ou não diferenciável, 
isso geraria muito trabalho, mas, felizmente, a maioria das funções é diferenciável e 
temos um teorema que nos fornece condições facilmente verificáveis para vermos se 
uma função é diferenciável. 
Teorema: Seja 𝑓 uma função com duas variáveis. Se as derivadas parciais 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
 
e 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
 são contínuas em um conjunto aberto A, então 𝑓 é diferenciável em todos os 
pontos de 𝐴. 
 
 
 
Exemplo 06: A função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥2 + 4𝑦³ é diferenciável em todos os pontos 
de 𝑅², pois as derivadas parciais 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 4𝑥 e 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 12𝑦² são contínuas em 𝑅². A 
diferencial de 𝑓 num ponto genérico (𝑥, 𝑦) vale 𝑑𝑓 = 4𝑥. ∆𝑥 + 12𝑦2. ∆𝑦. 
Exemplo 07: A função 𝑓(𝑥, 𝑦) =
2𝑥
𝑥−𝑦
 com domínio 𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2|𝑥 ≠ 𝑦} é 
diferenciável em 𝐷, pois as derivadas parciais, 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
=
−2𝑦
(𝑥−𝑦)²
 e 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
=
2𝑥
(𝑥−𝑦)²
 . ∆𝑦 são 
contínuas em 𝐷. A diferencial de 𝑓 num ponto genérico (𝑥, 𝑦) vale: 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
GUIDORIZZI, H. L. Matemática para administração. Rio de Janeiro: LTC, 2010. 
JACQUES, I. Matemática para economia e administração. Tradução: Regina Célia 
Simille de Macedo. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. 
MORETTIN, P. A.; HAZZAN S.; BUSSAB, W. O. Cálculo: funções de uma e várias 
variáveis. 3 ed. São Paulo: Saraiva, 2017.