Métodos Matemáticos - L02

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NÃO PODE FALTAR
MATRIZES
Ricardo Puziol de Oliveira
CONVITE AO ESTUDO
Caro aluno, quando escutamos o termo “métodos matemáticos”, é
natural que o primeiro conceito que vem em nossa cabeça é a relação
com a realização de inúmeros cálculos, às vezes até sem-�m. Mas, será
que estamos corretos sobre esse conceito? 
Para iniciar seu entendimento sobre os conceitos abordados,
trabalharemos com a ideia de matrizes, as quais são, em linguagem
popular, tabelas com um gama de dados. As matrizes são objetos
matemáticos úteis para organização e manipulação de dados
computacionalmente. Após essa ênfase no conceito de matrizes,
estudaremos outro conceito que é muito comum, especialmente em
modelagem: sistemas lineares. Os sistemas lineares podem ser
aplicados em diversas situações, por exemplo, no balanceamento de
equações químicas, no cálculo de lucros e dividendos de em empresa,
nos problemas de otimização, na resistência de vigas, entre muitas
outras aplicações comuns em nosso cotidiano. 
Por �m, encerraremos a unidade com o conceito de autovalores e
autovetores, os quais, em geral, são utilizados em problemas de
otimização computacional e em aplicações voltadas para a área da física
em contexto de mecânica.
Para exempli�car, suponha que você tem que lidar com um problema
de construção civil, cujo objetivo é avaliar a resistência das vigas. Para
resolver essa questão, você, inicialmente, trabalhará com a
experimentação da situação e coletará os dados dela. A partir disso,
montará a matriz com os dados. Com a matriz em mãos, por meio de
sistemas lineares e operações com matrizes, você poderá validar a sua
Fonte: Shutterstock.
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hipótese sobre a resistência das vigas. Esta, porém, não é a única
situação em engenharia que você pode utilizar tais conceitos. Existem
muitas outras, como predição de níveis de poluição atmosférica, na
engenharia ambiental; concentração de solventes, na engenharia
química; relatórios �nanceiros empresariais, no setor público ou
privado; entre muitas outras aplicações. Já se imaginou trabalhando
com as matrizes e os sistemas lineares sob essa visão? Para lhe auxiliar,
aprenderemos, no decorrer desta unidade, um pouco mais sobre esses
objetos. Mãos à obra! 
PRATICAR PARA APRENDER
Nesta seção, entenderemos o conceito de matrizes e determinantes por
meio de exemplos práticos e das de�nições dadas pela matemática em
si. Com isso, você compreenderá a importância do papel das matrizes
quando se trata de dados dispostos em tabelas e como realizar
operações com esses dados.
Como exemplo dessa abordagem, podemos considerar uma
experimentação de resistência de vigas de uma construção civil, em que
se obteve os valores das componentes das forças para cada uma das
realizações do experimento. Os dados foram todos dispostos em
tabelas, as quais, por sua vez, podem ser dispostas em matrizes para
realização de cálculos, a �m de se atingir o objetivo da pesquisa ou do
trabalho, que pode ser, por exemplo, o tempo total gasto para
realização do experimento ou a escala das forças consideradas nele.
Portanto, o uso de operações utilizando-se o conceito de matriz permite
um melhor entendimento e interpretações do experimento em questão.
Vamos criar uma situação hipotética para exempli�car o uso de matrizes
no dia a dia de trabalho, especialmente em áreas relacionadas à
engenharia.
Imagine que você foi convocado e nomeado para realizar uma
veri�cação do último relatório bimestral de uma empresa de construção
civil no ano de 2020 em relação às vendas de cimento e cal. Os dados de
venda da empresa são descritos pela matriz:
Cada elemento  dessa matriz representa o número de unidades dos
produtos do tipo i (i = 1). A representação do cimento (i = 2) e a
representação da cal vendidos no mês j (j = 1) representam novembro, e
j = 2 representa dezembro. De acordo com as exigências, foi-lhe pedido
para veri�car as seguintes questões:
1.  Qual produto e em qual mês foi vendido menos sacos? Qual a maior
diferença de vendas entre os produtos nos meses correspondentes?
2.  Qual foi a arrecadação bruta da empresa no bimestre com esses dois
tipos de produtos, se o pacote de cimento custa R$30,00 e o pacote de
cal custa R$50,00? Qual foi a arrecadação bruta de cada mês?
V = [ ]
 1510   1960
 1375   2015
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Que tal começar esse entendimento agora? Você será acompanhado em
todo o processo. Iniciaremos com os conceitos fundamentais de
matrizes, para que você possa entender a relação delas com a
disposição de dados em tabelas e como realizar operações. 
CONCEITO-CHAVE
Ao estudar métodos matemáticos, deparamo-nos com diversos
conceitos. Nesta seção, abordaremos um conceito usual em muitas
áreas do conhecimento, o conceito de matrizes. As matrizes são
essenciais para muitos problemas, não apenas porque elas “ordenam e
simpli�cam” mas também porque oferecem novos métodos de
resoluções e novos olhares sobre o problema.
Neste aspecto, entende-se por uma uma tabela de elementos
dispostos em linhas e colunas. Por exemplo, ao coletarmos dados
referentes às concentrações de pH do rio Columbia no primeiro
trimestre dos anos de 2013 a 2015, podemos dispô-los na Tabela 1.1 a
seguir.
Tabela 1.1 | Concentrações de pH do rio Columbia de acordo com a estação de
monitoramento de água Umatilla do estado de Washington, nos Estados Unidos, no
período de 2013 a 2015
8,12 7,97 8,01
8,10 8,12 8,02
8,18 8,08 8,10
Fonte: https://bit.ly/384JRCT. Acesso em: 20 jan. 2021.
Ao abstrairmos os signi�cados das linhas e colunas, obtemos a seguinte
matriz:
Quando temos uma tabela com uma enorme quantidade de
linhas e colunas, isto é, diversas variáveis, é viável a
disposição desses dados em forma de matriz?
Uma questão que você pode estar se perguntando é: quais são os
elementos que as matrizes podem incorporar? Na primeira impressão,
pode parecer que as matrizes incorporam apenas números, porém elas
podem incorporar muitos outros elementos, por exemplo, funções,
⎡
⎢
⎣
8,12   7,92   8,01
8,10   8,12   8,02
8,18   8,08   8,10
⎤
⎥
⎦
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https://bit.ly/384JRCT
https://bit.ly/384JRCT
matrizes, números complexos etc. De fato, considere a matriz:
Essa matriz contém em suas entradas números complexos e equações/
funções algébricas. Logo, uma matriz pode também conter uma
combinação de elementos de natureza diferente, não sendo
exclusivamente formada por apenas números.
Outro fator importante quando se trabalha com matriz é a
representação dela em termos algébricos. Representamos uma matriz
de m linhas e n colunas por:
Em que a letra maiúscula representa a matriz, o subscrito m x n
representa a ordem da matriz e o termo  representa a posição do
elemento da matriz. Além disso, uma matriz é sempre escrita entre
colchetes, parênteses ou duas barras. 
Sejam  dois números inteiros. Uma matriz A de ordem 
é uma dupla sequência de números reais distribuídos em m
linhas e n colunas, formando a seguinte estrutura:
Cada entrada que compõe uma matriz chama-se de termo
dessa matriz, e o termo  é dito termo geral dessa
matriz.
Quando se fala de matriz, uma propriedade que merece destaque é a
de igualdade de matrizes. Diremos que duas matrizes são iguais se elas
têm necessariamente o mesmo número de linhas e colunas e seus
termos correspondentes são todos iguais.
Considere as matrizes de concentrações de pH de dois rios
aleatórios:
Note que, embora os números apresentados em ambas as
matrizes sejam iguais, as matrizes não são iguais, pois o
número de linhas e colunas são diferentese os elementos na
posição correspondente também são diferentes.
[ ]
2 − 7i    3x
3
x
2
+ 2    − i
A
m×n
= = [α
ij
]
m×n
⎡
⎢
⎣
α
11
   …   α
1n
 ⋮     ⋱    ⋮
α
m1
  ⋯  α
mn
⎤
⎥
⎦
m × n
A
m×n
=
⎡
⎢
⎣
α
11
   …   α
1n
 ⋮     ⋱    ⋮
α
m1
  ⋯  α
mn
⎤
⎥
⎦
[α
ij
]
mxn
A =
⎡
⎢
⎣
7,12   7,97
8,01   8,10
8,12   8,02
⎤
⎥
⎦
B = [ ]
7,12   7,97   8,01
8,10   8,12   8,02
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Uma segunda propriedade das matrizes é a operação de adição de
matrizes. Por exemplo, consideramos a Tabela 1.2 e a Tabela 1.3, as
quais descrevem a produção de materiais de construção em dois anos
consecutivos em três regiões brasileiras.
Tabela 1.2 | Produção de materiais de construção (em milhões de toneladas) no primeiro
ano
3000 200 400 600
700 350 700 100
1000 100 500 800
Fonte: elaborada pelo autor.
Tabela 1.3 | Produção de materiais de construção (em milhões de toneladas) no segundo
ano
5000 50 200 0
2000 100 300 300
2000 100 600 600
Fonte: elaborada pelo autor.
Suponha que nosso interesse seja descrever uma tabela que nos dê a
produção por material de construção e por região nos dois anos
conjuntamente. Como procederemos? Ora, neste caso, partimos da
operação conhecida como adição de matrizes. Para realizá-la, devemos
veri�car se ambas as tabelas têm o mesmo número de linhas e de
colunas. No nosso exemplo, essa condição é satisfeita. Logo, basta
somar os elementos correspondentes e teremos a resposta para nosso
objetivo! Assim: 
Portanto, a produção por material de construção e por região nos dois
anos conjuntamente é descrita pela Tabela 1.4.
Tabela 1.4 | Produção de materiais de construção (em milhões de toneladas) nos dois
anos
A + B = + =
⎡
⎢
⎣
3000   200   400   600
  700   350   700   100
1000   100   500   800
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
5000    50    200     0
2000   100   300   300
2000   100   600   600
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
8000   250    600     600
2700   450   1000    400
3000   200   1100   1400
⎤
⎥
⎦
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8000 250 600 600
2700 450 1000 400
3000 200 1100 1400
Fonte: elaborada pelo autor.
A soma de duas matrizes de mesma ordem 
 e  é uma matriz de
ordem m x n denotada por  , cujos
elementos são obtidos da soma dos elementos
correspondentes entre as matrizes A e B.
Além da adição e da igualdade de matrizes, duas outras operações são
comuns ao estudarmos matrizes: a multiplicação de um escalar
(número) por uma matriz e a multiplicação de matrizes. Ambas as
operações podem ser de�nidas formalmente como: 
: seja  uma matriz de ordem m x n e k um
número, podemos de�nir a matriz  , a qual de�ne a
operação de multiplicação de uma matriz por um escalar.
: sejam  e  , de�nimos a
multiplicação da matriz A pela matriz B como sendo a matriz 
, em que:  .
A primeira operação de�nida é relativamente simples, pois basta
multiplicar o número por cada elemento da matriz. Quanto à segunda
operação, devemos tomar um certo cuidado com ela. Por quê? Vamos
ver algumas observações do produto de matrizes:
•  Só podemos multiplicar duas matrizes A e B se o número de colunas
de A for igual ao número de linhas de B.
•  O elemento  é obtido multiplicando os elementos da i-ésima linha da
primeira matriz pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna da
segunda matriz e somando-se esses produtos.
•  O produto AB das matrizes A e B geralmente é diferente do produto
BA das matrizes B e A. Além disso, em qualquer um dos casos, o
produto pode não existir.
Para exempli�car essa operação, consideraremos a matriz A, que
representa o quadro com o número de engenheiros de uma construção
civil, e B como uma matriz que representa o número de projetos
disponíveis em cada área da empresa, em que:
A
m×n
= [a
ij
]
m×n
B
m×n
= [b
ij
]
m×n
A + B = [a
ij
+ b
ij
]
m×n
A
m×n
= [a
ij
]
m×n
k ⋅ A = [ka
ij
]
m×n
A
m×n
= [a
ij
]
m×n
B
n×p
= [b
rs
]
n×p
AB = [c
uv
]
m×p
c
uv
= ∑
n
k
a
uk
b
kv
= a
u1
b
1p
+ ⋯ + a
un
b
nv
A =
⎡
⎢
⎣
2   1
4   2
5   3
⎤
⎥
⎦
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Suponha que o interesse seja multiplicar ambos os quadros, a �m de
monitorar os recursos para a disposição dos projetos associados aos
engenheiros. Neste caso, queremos trabalhar com o produto da matriz
A com a matriz B. Isto é,
Como o número de colunas da matriz A é igual ao número de linhas da
matriz B, podemos realizar o produto, e o resultado é uma matriz dada
pelo número de linhas de A com o número de colunas de B, isto é, a
ordem da matriz resultante é . Assim:
Portanto, a matriz que representa os recursos para a disposição dos
projetos associados aos engenheiros da empresa é dada por:
Agora que sabemos algumas das operações básicas de matrizes,
interessa-nos saber quais são os tipos de matrizes que podemos
encontrar em nossas situações-problema. Dos tipos conhecidos de
matrizes, destacaremos dez deles:
1.   : é um tipo de matriz em que o número de linhas é
igual ao número de colunas.
2.   : é aquela matriz em que todos seus termos são nulos.
3.   : é o tipo de matriz formada apenas por uma coluna.
4.   : é aquela matriz que é formada por apenas uma linha.
5.   : é aquela matriz quadrada, em que todos os
elementos fora da diagonal são nulos.
6.   : é um tipo de matriz quadrada, em que todos os
elementos da diagonal são iguais a um, e os elementos fora da diagonal
são iguais a zero.
B = [ ]
1   1
0   4
R = AB = ⋅ [ ]
⎡
⎢
⎣
2   1
4   2
5   3
⎤
⎥
⎦
1   1
0   4
R = AB = ⋅ [ ] = =
⎡
⎢
⎣
2   1
4   2
5   3
⎤
⎥
⎦
1   1
0   4
⎡
⎢
⎣
2  ⋅  1 + 1  ⋅  0   2  ⋅  1 + 1  ⋅  4
4  ⋅  1 + 2  ⋅  0   4  ⋅  1 + 2  ⋅  4
5  ⋅  1 + 3  ⋅  0   5  ⋅  1 + 3  ⋅  4 
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
2    6
4   12
5   17
⎤
⎥
⎦
R =
⎡
⎢
⎣
2    6
4   12
5   17
⎤
⎥
⎦
[ ]
1    1
2    3
[ ]
0    0
0    0
[ ]
1
2
[3   − 1    2]
⎡
⎢
⎣
8    0    0
0    2    0
0    0    1
⎤
⎥
⎦
[ ]
1    0
0    1
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7.   : é aquela matriz quadrada, em que todos
os elementos abaixo da diagonal são nulos.
8.   : é aquela matriz quadrada, em que todos
os elementos acima da diagonal são nulos.
9.   : é aquela matriz quadrada, em que se tem .
10.  : é a matriz obtida da operação, em que, dada
uma matriz A, obtém-se uma matriz A’, tal que as linhas de A’ são as
colunas de A.
Agora que conhecemos os tipos de matrizes e as operações básicas em
relação às matrizes, podemos de�nir o que é um determinante de uma
matriz. Esse conceito será útil nas seções posteriores na solução de
sistemas lineares envolvendo algumas situações do cotidiano.
O que é determinante? Ora, quando nos referimos a esse termo,
estamos nos referindo a um número associado a uma matriz quadrada
A. Esse número é denotado como det(A) ou |A|. Mas, como encontra-se
esse valor? Depende do tamanho da nossa matriz. Nesta seção,
trabalharemos com determinantes de matrizes até a ordem . Vamos lá?
Para as matrizes de ordem 1x1, não temos nenhum cálculo associado
ao determinante, uma vez o que ele será o próprio elemento da matriz.
No entanto, para uma matriz de ordem 2x2, o cálculo do determinante é
feito realizando o produto dos elementos da diagonal principal
subtraindo o produto dos elementos da diagonal secundária. Em termos
matemáticos, temos:
Para as matrizes , o cálculo é feito da mesma maneira? Não
necessariamente. Neste caso, utilizamos a regra de Sarrus para realizar
o cálculo. Por esta regra, adicionamos duas novas colunas na matrizinicial, repetindo os valores das duas primeiras colunas. Agora temos
três diagonais principais e três secundárias. Procedemos, então, da
mesma forma do determinante . Em termos matemáticos, fazemos:
⎡
⎢
⎣
8    2    1
0    2    3
0    0    1
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
8    0    0
1    2    0
3    5    1
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
 8   5  -1
 5   2   0
-1   0   1
⎤
⎥
⎦
t
= ( )
⎛
⎜
⎝
2 2
4 4
5 7[ ]
⎞
⎟
⎠
2 4 5
2 4 7
det [ ] = a
11
⋅ a
22
− a
12
⋅ a
21
a
11
    a
12
a
21
    a
22
det =
⎛
⎜
⎝
⎡
⎢
⎣
a
11
    a
12
    a
13
a
21
    a
22
    a
23
a
31
    a
32
    a
33
⎤
⎥
⎦
⎞
⎟
⎠
⎡
⎢
⎣
a
11
    a
12
    a
13
a
21
    a
22
    a
23
a
31
    a
32
    a
33
⎤
⎥
⎦
a
11
    a
12
    
a
21
    a
22
    
a
31
    a
32
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Com isso, encerramos a nossa primeira seção sobre os conceitos
básicos e fundamentais de matrizes e determinantes, além das
operações com esses objetos. Tais conceitos serão de suma importância
para orientar sua equipe no trabalho proposto no início da unidade,
especialmente para organização de dados.
FAÇA VALER A PENA
= a
11
  ⋅  a
22
  ⋅  a
33
+ a
12
  ⋅  a
23
  ⋅  a
31
+  a
13
  ⋅  a
21
  ⋅  a
32
−  a
11
  ⋅  a
23
  ⋅  a
32
−  a
12
  ⋅  a
21
 
⋅ a
33
−  a
13
  ⋅  a
22
  ⋅  a
31
Suponha que uma certa indústria química fez uma análise de qualidade
de água em três anos consecutivos de quatro tratamentos indicados
pelo órgão de controle. Cada tratamento foi avaliado no potencial de
remoção de um determinado agente tóxico (em g/L) da água. Os dados
obtidos sobre a concentração removida em cada tratamento são
expressos pela seguinte tabela:
Tratamento A 20 55 50
Tratamento B 10 47 20
Tratamento C 18 38 70
Tratamento D 27 15 15
Fonte: elaborada pelo autor.
Com base nos tópicos abordados na seção e na tabela apresentada,
pode-se a�rmar que:
a.  O tratamento mais e�ciente no ano de 2019 foi o tratamento A, uma vez que a maior
concentração removida é descrita pelo elemento  da matriz, que representa a tabela descrita
no exercício.
b.  O tratamento mais e�ciente no ano de 2018 foi o tratamento C, uma vez que a maior
concentração removida é descrita pelo elemento  da matriz, que representa a tabela descrita
no exercício.
c.  O tratamento mais e�ciente no ano de 2017 foi o tratamento B, uma vez que a maior
concentração removida é descrita pelo elemento  da matriz, que representa a tabela descrita
no exercício.
d.  O tratamento mais e�ciente no ano de 2018 foi o tratamento D, uma vez que a maior
concentração removida é descrita pelo elemento  da matriz, que representa a tabela descrita
no exercício.
e.  O tratamento mais e�ciente no ano de 2019 foi o tratamento C, uma vez que a maior
concentração removida é descrita pelo elemento  da matriz, que representa a tabela descrita
no exercício.  
Após a conferência de um relatório �nanceiro de uma empresa, foi-lhe
solicitado um pedido de compra de material de construção civil. De
acordo com seu chefe, você deveria comprar: 40 toneladas do produto
A, 50 toneladas do produto B e 60 toneladas do produto C. O custo dos
produtos A, B, C é, por tonelada, R$ 5.000, R$ 4.000 e R$ 2.500,
respectivamente.
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https://conteudo.colaboraread.com.br/202201/INTERATIVAS_2_0/METODOS_MATEMATICOS/LIVRO_DIGITAL/npf_u1s1.html#accordion-1%20.item-1
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REFERÊNCIAS
BORGES, R. S.; SOUZA, L. F. M.; CRUZ, P. G. G.; VANCONCELOS, B. S.
Aplicação de matrizes no cotidiano de um engenheiro. In:  COLÓQUIO
ESTADUAL DE PESQUISA MULTIDISCIPLINAR, III, 2018, Mineiros. 
. Mineiros, GO: UNIFIMES, 2018.
Usando multiplicações de matrizes, é correto a�rmar que:
a.  O custo total da compra dos produtos é R$ 550.000.
b.  O custo total da compra dos produtos é R$ 750.000.
c.  O custo total da compra dos produtos é R$ 250.000.
d.  O custo total da compra dos produtos é R$ 350.000.
e.  O custo total da compra dos produtos é R$ 450.000.  
Asaplicações de matrizes vão desde a física até a economia, ou até
mesmo a biologia. Partindo da natureza dessas aplicações, considere
uma situação de colisão entre dois carros. Assumindo um sistema de
coordenadas cartesianas, as posições desses carros são descritas pelos
pontos A = (1,2) e B = (5, 1). Em termos de física, para entender como
ocorreu tal colisão, é necessário entender a trajetória retilínea que
passa pelos pontos A e B.
Com base nesse contexto, assinale a alternativa correta:
a.  A trajetória em questão é descrita pela equação 5x+4y-9=0.
b.  A trajetória em questão é descrita pela equação x-2y-1=0.
c.  A trajetória em questão é descrita pela equação x+4y-9=0.
d.  A trajetória em questão é descrita pela equação x-4y+15=0. 
e.  A trajetória em questão é descrita pela equação 15x+3y-9=0. 
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