EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM_gabarito_3

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A
B
C
D
E
1 Marcar para revisão
Marque a alternativa que apresenta uma equação diferencial de
terceira ordem e grau 2�
(3p + 1) = 2mp∂m
∂p
− ( )
2
=
d2y
dx2
d3y
dx3
dy
dx
s3 − (st′′)2 = 2t′ + 3
+ = xy2∂w
∂x
∂
2
w
∂x∂y
− x2 = z( )
3
dx
dz
d2x
dz2
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Questão 1 de 10
Corretas �9�
Incorretas �1�
Em branco �0�
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
Exercicio
Equações Diferenciais De Primeira
Ordem
Sair
A
B
C
D
E
A alternativa correta é a letra B, que apresenta a equação
diferencial . Esta equação é de
terceira ordem, pois a maior derivada presente é a terceira
derivada de y em relação a x ( ). Além disso, o grau da
equação é 2, pois a maior potência a que uma derivada é
elevada é 2, como pode ser observado no termo .
− ( )
2
=
d2y
dx2
d3y
dx3
dy
dx
d3y
dx3
( )
2
d3y
dx3
2 Marcar para revisão
Marque a alternativa que apresenta uma equação implícita que
corresponde à solução da equação diferencial
 sabendo que para o valor de 
vale .
3y2y ′ − 4x3 − 2x = 0 x = 1 y
2
y3 − x4 − x2 = 8
y2 − x3 − x2 = 8
2y3 − x4 − x = 4
y3 − 2x3 − x2 = 8
y3 − x4 − x2 = 2
Resposta correta
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Gabarito Comentado
A equação diferencial dada é uma equação de Bernoulli,
que pode ser resolvida por meio de uma substituição
apropriada. Ao resolver a equação diferencial, obtemos
A
B
C
D
E
uma equação implícita que representa a solução geral.
Para encontrar a solução particular que satisfaça a
condição inicial dada, substituímos e na
equação implícita. A única alternativa que satisfaz essa
condição é a alternativa A� .
x = 1 y = 2
y3 − x4 − x2 = 8
3 Marcar para revisão
Seja a equação diferencial 
. Marque a alternativa que apresenta valores para e
 de forma que a equação diferencial seja de segunda
ordem, linear e homogênea:
u(x, z)x′′ − 2x′ + 2z2 = z2v(x, z)
u(x, z)
v(x, z)
u(x, z) = 0 e v(x, z) = x3
u(x, z) = z2 e v(x, z) = x3
u(x, z) = x e v(x, z) = 0
u(x, z) = z2 e v(x, z) = z
u(x, z) = x e v(x, z) = z
Resposta correta
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Gabarito Comentado
A alternativa correta é a letra B, onde
. Para que a equação
diferencial seja de segunda ordem, linear e homogênea, os
valores de e devem ser tais que a equação
seja um polinômio homogêneo de grau 2. Nesse caso,
 e satisfazem essas condições,
u(x, z) = z2 e v(x, z) = x3
u(x, z) v(x, z)
u(x, z) = z2 v(x, z) = x3
A
B
C
D
E
tornando a equação diferencial de segunda ordem, linear e
homogênea.
4 Marcar para revisão
Marque a alternativa que apresenta uma equação diferencial
linear homogênea:
st′ + 2tt′′ = 3
− xy = 3x2dy
dx
y ′′ + xy − ln(y ′) = 2
3v + = 4udu
dv
d2u
dv2
2s + 3t = 5ln(st)
Resposta correta
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Gabarito Comentado
A equação diferencial linear homogênea é aquela que
pode ser escrita na forma
, onde são funções contínuas em um intervalo I e
 é a n-ésima derivada de y. A alternativa D,
, é a única que se encaixa nessa
definição, pois todos os termos envolvendo a função
desconhecida (neste caso, u) e suas derivadas estão de
um lado da equação e o outro lado é igual a zero,
caracterizando uma equação diferencial linear homogênea.
an(x)y(n) + an−1(x)y(n−1)+. . . +a1(x)y ′ + a0(x)y = 0
ai(x)
y(n)
3v + = 4udu
dv
d2u
dv2
A
B
C
D
E
5 Marcar para revisão
Seja um circuito em série com resistência de  e indutor
 de . A tensão é fornecida através de uma fonte contínua de
 que é ligada em . Determine a corrente máxima
obtida no circuito.
RL 10Ω
1H
50V t = 0s
5A
10A
15A
20A
25A
Resposta correta
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Gabarito Comentado
A corrente máxima em um circuito RL em série é
determinada pela lei de Ohm, que afirma que a corrente é
igual à tensão dividida pela resistência. Neste caso, temos
uma tensão de e uma resistência de . Portanto, a
corrente máxima é , que corresponde à
alternativa A.
50V 10Ω
50V /10Ω = 5A
6 Marcar para revisão
Marque a alternativa que apresenta uma equação diferencial
parcial �EDP��
A
B
C
D
E
A
B
xy ′ + y2 = 2x
− x2 = zdx
dz
d2x
dz2
4x − 3y2 = 2
s2 − st = 2t + 3
+ = xy2∂w
∂x
∂2w
∂x∂y
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra E. Confira o
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Gabarito Comentado
A alternativa correta é a letra E, que apresenta uma
equação diferencial parcial. Uma equação diferencial
parcial �EDP� é uma equação que envolve funções de
várias variáveis e suas derivadas parciais. Neste caso, a
equação é uma EDP, pois envolve a
função w(x,y) e suas derivadas parciais em relação a x e y.
+ = xy2∂w
∂x
∂
2
w
∂x∂y
7 Marcar para revisão
Obtenha a solução geral da equação diferencial := 2yx
dy
dx
y = 2ex
2
+ k, k real
y = x2 + k, k real
C
D
E
A
B
C
y = kln(x2), k real
y = kex
2
, k real
y = sen(x2) + k, k real
Resposta correta
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Gabarito Comentado
A equação diferencial dada é uma equação diferencial
separável. Ao separar as variáveis e integrar, obtemos a
solução geral da equação diferencial como
. Esta solução representa uma família de
curvas, onde 'k' é uma constante real que pode assumir
qualquer valor. Cada valor de 'k' nos dá uma curva
específica dessa família. Portanto, a alternativa correta é a
alternativa D.
y = kex
2
, k real
8 Marcar para revisão
Determine a solução da equação diferencial 
.x2 + 4y2 = 4xy y ′
, k realy2 = 2x2lnx + 2kx2
, k realy2 = x2lnx − kx2
, k realy2 = x2lnx + kx21
2
1
2
D
E
A
B
C
D
E
, k realy2 = x2lnx − kx1
2
, k realy2 = 2xlnx + 2kx
Resposta correta
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Gabarito Comentado
A equação diferencial dada é uma equação não linear. Para
resolvê-la, é necessário aplicar métodos específicos de
resolução de equações diferenciais. Ao resolver a
equação, chegamos à expressão ,
onde k é um número real. Portanto, a alternativa correta é
a alternativa C� , k real.
y2 = x2lnx + kx21
2
1
2
y2 = x2lnx + kx21
2
1
2
9 Marcar para revisão
Marque uma alternativa que não é verdadeira em relação à
equação diferencial
6x2 − 2ex + 2xy ′′ = 0
Equação diferencial ordinária
Equação diferencial linear
Equação diferencial de segunda ordem
Equação diferencial não homogênea
Equação diferencial de coeficientes constantes
A
B
C
D
E
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta.
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Gabarito Comentado
A alternativa correta é a E, pois a equação diferencial
apresentada não possui coeficientes constantes. Uma
equação diferencial de coeficientes constantes é aquela
em que os coeficientes das derivadas são constantes, o
que não ocorre nessa equação, pois o coeficiente da
segunda derivada, por exemplo, é 2x, que não é uma
constante. As demais alternativas são verdadeiras para a
equação dada: é uma equação diferencial ordinária
(envolve apenas uma variável independente), é linear (as
derivadas aparecem em grau 1�, é de segunda ordem (a
maior derivada é a segunda) e é não homogênea (o termo
independente não é zero).
10 Marcar para revisão
Seja um circuito RL em série com resistência de e indutor
de . A tensão é fornecida por uma fonte contínua de ,
que é ligada em . Determine a corrente máxima obtida
no circuito:
10Ω
1H 50V
t = 0s
5A
10A
15A
20A
25A
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Para determinar a corrente máxima obtida no circuito,
devemos aplicara lei de Ohm, que estabelece que a
corrente é igual à tensão dividida pela resistência. Neste
caso, temos uma tensão de e uma resistência de 
. Portanto, a corrente máxima é , que
corresponde à alternativa A.
50V 10Ω
50V /10Ω = 5A