Equação Diferencial de Primeira Ordem

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A
B
C
D
E
1 Marcar para revisão
Obtenha a solução particular da equação diferencial
, sabendo que o valor de para 
vale :
2s′ + 4s − 8e2x = 0 s x = 0
2
s(x) = e2x − 2e−2x
s(x) = e2x + 2e−2x
s(x) = e2x + e−2x
s(x) = e2x − e−x
s(x) = ex + 2e−x
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Para resolver a equação diferencial ,
onde o valor de s para x=0 é 2, começamos reescrevendo
2s′ + 4s − 8e2x = 0
Questão 1 de 10
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Lista de exercícios Equações Diferenciai… Sair
A
B
C
a equação diferencial para uma forma mais fácil de
resolver.
A equação pode ser rearranjada como:
Dividindo tudo por 2, temos:
Essa é uma equação diferencial linear não homogênea de
primeira ordem. Podemos resolvê-la usando o método do
fator integrante. O fator integrante, , é dado por:
Multiplicando a equação diferencial por , temos:
O lado esquerdo é a derivada do produto de e s:
Integrando ambos os lados em relação a x :
Dividindo tudo por para obter s:
Para encontrar a constante C, usamos a condição inicial
:
Portanto, a solução é:
2s′ + 4s = 8e2x
s′ + 2s = 4e2x
μ(x)
μ(x) = e∫ p(x)dx = e∫ 2dx = e2x
e2x
e2xs′ + 2e2xs = 4e4x
e2x
(e2xs) = 4e4xd
dx
e2xs = ∫ 4e4xdx = e4x + C
e2x
s(x) = e2x + Ce−2x
s(0) = 2
s(0) = e0 + Ce0 = 1 + C = 2
C = 1
s(x) = e2x + e−2x
2 Marcar para revisão
Marque a alternativa que apresenta uma equação diferencial
de terceira ordem e grau 2:
(3p + 1) = 2mp∂m
∂p
− ( )
2
=
d2y
dx2
d3y
dx3
dy
dx
s3 − (st′′)2 = 2t′ + 3
D
E
A
B
C
D
E
+ = xy2∂w
∂x
∂2w
∂x∂y
− x2 = z( )
3
dx
dz
d2x
dz2
Resposta correta
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Gabarito Comentado
. Esta equação é de terceira ordem,
pois a maior derivada presente é a terceira derivada de y
em relação a x ( ). Além disso, o grau da equação é 2,
pois a maior potência a que uma derivada é elevada é 2,
como pode ser observado no termo 
− ( )
2
=
d2y
dx2
d3y
dx3
dy
dx
d3y
dx3
( )
2
d3y
dx3
3 Marcar para revisão
Obtenha a solução particular para a equação diferencial
 sabendo que :u + (2v + u)v′ = 0 v(1) = 1
2uv + u2 − 3 = 0
uv + u2 − 2 = 0
uv + v2 − 2 = 0
uv + 2u2 − 4 = 0
uv − 2u2 + 1 = 0
A
B
C
D
E
Resposta correta
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Gabarito Comentado
A equação diferencial dada é . Para
encontrar a solução particular, precisamos resolver a
equação diferencial e aplicar a condição inicial .
Ao fazer isso, chegamos à solução 
u + (2v + u)v′ = 0
v(1) = 1
uv + v2 − 2 = 0
4 Marcar para revisão
Obtenha a solução geral da equação diferencial := 2yx
dy
dx
y = 2ex
2
+ k, k real
y = x2 + k, k real
y = kln(x2), k real
y = kex
2
, k real
y = sen(x2) + k, k real
Resposta correta
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Gabarito Comentado
A equação diferencial dada é uma equação diferencial
separável. Ao separar as variáveis e integrar, obtemos a
solução geral da equação diferencial como
. Esta solução representa uma família de
curvas, onde 'k' é uma constante real que pode assumir
y = kex
2
, k real
A
B
C
D
E
qualquer valor. Cada valor de 'k' nos dá uma curva
específica dessa família.
5 Marcar para revisão
Um objeto cai em queda livre a partir do repouso. O objeto tem
uma massa de 10 kg. Considere a constante de resistência do
ar de 0,5 Ns /m e a aceleração da gravidade igual a 10 m/s .
Determine a velocidade máxima obtida pelo objeto:
2 2
100 m/s
200 m/s
300 m/s
400 m/s
500 m/s
Resposta correta
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Gabarito Comentado
A velocidade máxima de um objeto em queda livre é
determinada quando a força de resistência do ar se iguala
à força gravitacional atuante sobre o objeto. Neste caso, a
força gravitacional é a massa do objeto multiplicada pela
aceleração da gravidade (10 kg * 10 m/s = 100 N). A força
de resistência do ar é proporcional ao quadrado da
velocidade (0,5 Ns /m * v = 100 N). Resolvendo essa
equação para a velocidade, obtemos v = 200 m/s.
Portanto, a velocidade máxima que o objeto atinge é 200
m/s.
2
2 2
A
B
C
D
E
6 Marcar para revisão
Obtenha a solução da equação diferencial
 que atenda a para :6u2 + 4cos u − 2v′ = 2 v = 2 u = 0
v(u) = 2 − u + 2sen u + u3
v(u) = 1 + u + cos u + u2
v(u) = 2 − 2u + 2sen u + u2
v(u) = u + 2cos u + u3
v(u) = 3 − u − 2sen u + u3
Resposta correta
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Gabarito Comentado
A equação diferencial dada é .
Para encontrar a solução que atende a condição 
para , precisamos resolver a equação diferencial. Ao
fazer isso, encontramos que a solução é
6u2 + 4cos u − 2v′ = 2
v = 2
u = 0
v(u) = 2 − u + 2sen u + u3
7 Marcar para revisão
Seja a equação diferencial 
. Marque a alternativa que apresenta valores para e
 de forma que a equação diferencial seja de segunda
ordem, linear e homogênea:
u(x, z)x′′ − 2x′ + 2z2 = z2v(x, z)
u(x, z)
v(x, z)
A
B
C
D
E
A
B
C
u(x, z) = 0 e v(x, z) = x3
u(x, z) = z2 e v(x, z) = x3
u(x, z) = x e v(x, z) = 0
u(x, z) = z2 e v(x, z) = z
u(x, z) = x e v(x, z) = z
Resposta correta
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Gabarito Comentado
A alternativa correta é:  . Para
que a equação diferencial seja de segunda ordem, linear e
homogênea, os valores de e devem ser
tais que a equação seja um polinômio homogêneo de grau
2. Nesse caso, e satisfazem
essas condições, tornando a equação diferencial de
segunda ordem, linear e homogênea.
u(x, z) = z2 e v(x, z) = x3
u(x, z) v(x, z)
u(x, z) = z2 v(x, z) = x3
8 Marcar para revisão
Marque a alternativa que apresenta uma equação diferencial
linear homogênea:
st′ + 2tt′′ = 3
− xy = 3x2dy
dx
y′′ + xy − ln(y′) = 2
D
E
A
B
C
3v + = 4udu
dv
d2u
dv2
2s + 3t = 5ln(st)
Resposta correta
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Gabarito Comentado
A equação diferencial linear homogênea é aquela que
pode ser escrita na forma
, onde são funções contínuas em um intervalo I e
 é a n-ésima derivada de y. A alternativa D,
, é a única que se encaixa nessa
definição, pois todos os termos envolvendo a função
desconhecida (neste caso, u) e suas derivadas estão de
um lado da equação e o outro lado é igual a zero,
caracterizando uma equação diferencial linear
homogênea.
an(x)y(n) + an−1(x)y(n−1)+. . . +a1(x)y′ + a0(x)y = 0
ai(x)
y(n)
3v + = 4udu
dv
d2u
dv2
9 Marcar para revisão
Seja um circuito RL em série com resistência de e indutor
de . A tensão é fornecida por uma fonte contínua de ,
que é ligada em . Determine a corrente máxima obtida
no circuito:
10Ω
1H 50V
t = 0s
5A
10A
15A
D
E
A
B
C
D
E
20A
25A
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Para determinar a corrente máxima obtida no circuito,
devemos aplicar a lei de Ohm, que estabelece que a
corrente é igual à tensão dividida pela resistência. Neste
caso, temos uma tensão de e uma resistência de 
. Portanto, a corrente máxima é 
50V 10Ω
50V /10Ω = 5A
10 Marcar para revisão
Marque a alternativa que apresenta uma equação diferencial
parcial (EDP):
xy′ + y2 = 2x
− x2 = zdx
dz
d2x
dz2
4x − 3y2 = 2
s2 − st = 2t + 3
+ = xy2∂w
∂x
∂2w
∂x∂y
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Uma equação diferencial parcial (EDP) é uma equação que
envolve funções de várias variáveis e suas derivadas
parciais. 
+ = xy2∂w
∂x
∂2w
∂x∂y