Probabilidade e Estatística

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Aula 4 Probabilidade e Estatística 87
Entretanto, sabendo-se que P (X = k) =
(
n
k
)
× pk × qn−k é uma função de probabilidade 
e, portanto, a soma de todas as probabilidades é igual a 1 (
10∑
i=0
P (X) = 1), podemos encontrar 
P (X ≥ 1) por meio do complementar, ou seja, P (X ≥ 1) = 1 − P (X < 1) = 1 − P (X = 0) 
e, assim, precisamos calcular apenas P(X = 0):
P (X = 0) =
(
10
0
)
× 0, 250 × 0, 7510 = 0, 7510 = 0, 0563 e, dessa forma, 
P (X ≥ 1) = 1 − P (X = 0) = 1 − 0, 0563 = 0, 9437 .
Exercício resolvido 2
Uma pequena loja aceita cheques para pagamento de compras e sabe que 12% dos 
cheques apresentam algum tipo de problema (falta de fundos, roubo etc.). Com base nessas 
informações, calcular:
a) a probabilidade de receber todos os próximos cinco cheques com problemas de pagamento.
Solução
X : nº de cheques com problema ⇒ X ∼ Binomial(n = 5; p = 0, 12)
P (X = 5) =
(
5
5
)
× 0, 125 × 0, 880 = 0, 125 = 0, 0000249.
Portanto, a probabilidade de receber 5 cheques e de todos apresentarem problemas é 
muito pequena.
b) a probabilidade de receber os próximos 10 cheques sem problema de pagamento.
Solução
X: nº de cheques com problema ⇒ X ∼ Binomial(n = 10; p = 0, 12).
Nesse caso, queremos calcular P(X = 0), que significa a probabilidade de nenhum cheque 
ter problema e é equivalente à probabilidade dos 10 não apresentarem problemas. Portanto,
P (X = 0) =
(
10
0
)
× 0, 120 × 0, 8810 = 0, 8810 = 0, 2785 = 27, 85%.
Exercício resolvido 3
Um levantamento efetuado em um pregão da bolsa de valores mostrou que naquele dia 
40% das empresas tiveram aumento do valor de suas ações, enquanto as ações das empresas 
restantes ficaram estáveis ou perderam valor. Um fundo negocia com ações de 10 dessas 
empresas. Calcule a probabilidade de que neste dia:
Prob_Est_Livro.indb 87Prob_Est_Livro.indb 87 30/12/14 15:4430/12/14 15:44
Aula 4 Probabilidade e Estatística88
a) todas as ações do fundo tenham se valorizado.
Solução
X: nº de ações que tiveram aumento de valor ⇒ X ∼ Binomial(n = 10; p = 0, 40)
P (X = x) =
(
n
x
)
× px × qn−x
P (X = 10) =
(
10
10
)
× 0, 410 × 0, 60 = 0, 410 = 0, 000105 = 0, 01%.
b) o máximo, ações de duas empresas não tenham se valorizado.
Solução
Para termos menos trabalho nas contas, é necessário definir a seguinte v.a.:
Y: nº de ações que se desvalorizaram ⇒ Y ∼ Binomial(n = 10; p = 0, 60).
Observe que nossa probabilidade de sucesso passou a ser 0,6. O que buscamos é a probabilidade 
de que no máximo 2 ações tenham sido desvalorizadas. Portanto, devemos calcular:
P (Y ≤ 2) = P (Y = 0) + P (Y = 1) + P (Y = 2) =
=
(
10
0
)
× 0, 60 × 0, 410 +
(
10
1
)
× 0, 61 × 0, 49 +
(
10
2
)
× 0, 62 × 0, 48
P (Y ≤ 2) = 0, 410 + 10 × 0, 6 × 0, 49 + 45 × 0, 36 × 0, 48 =
= 0, 0001049 + 0, 001573 + 0, 01062 =
= 0, 0122979 ∼= 1, 23%
c) todas as ações do fundo tenham se desvalorizado ou ficaram estáveis.
Solução
Nesse caso, tanto faz trabalharmos com a v.a. Y ou a v.a. X, pois se todas são 
desvalorizadas (Y = 10) é porque nenhuma é valorizada (X = 0).
Y: nº de ações que se desvalorizaram ⇒ Y ∼ Binomial(n = 10; p = 0, 60)
P (Y = 10) =
(
10
10
)
× 0, 610 × 0, 40 = 0, 610 = 0, 0060 = 0, 60%
ou, ainda,
X : nº de ações que tiveram aumento de valor ⇒ X ∼ Binomial(n = 10; p = 0, 40)
P (X = 0) =
(
10
0
)
× 0, 40 × 0, 610 = 0, 610 = 0, 006 = 0, 6%.
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