Ebook Probabilidade

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<p>www.thmestatistica.com @thmestatistica educacional@thmestatistica.com</p><p>2</p><p>Sejam bem-vindos ao Curso de Teoria de Probabilidades!</p><p>Antes de tudo, não fiquem com medo! Esse pode parecer um tema muito matemático, cheio de fórmulas,</p><p>difícil de aceitar...</p><p>Pois é... Espero que, com o progresso do curso, cada uma dessas percepções mude e se torne algo bom ou</p><p>pelo menos não tão ruim, o que já seria um avanço, não é mesmo?</p><p>Esse livro foi desenvolvido com o intuito de aproximar o tema aos leitores e, como vocês poderão ver, a ideia</p><p>aqui é conversar sobre o assunto, mostrar os principais conceitos e exemplificá-los por meio de exercícios. O</p><p>material está dividido em três grandes seções, como numa matéria convencional de probabilidades em um</p><p>curso de ensino superior. Também como num desses cursos, vocês verão que as seções seguintes estão</p><p>relacionadas com suas predecessoras, isto é, tópicos mais avançados exigirão os conhecimentos básicos das</p><p>seções anteriores. Por isso, não avancem com dúvidas!</p><p>Vocês podem acompanhar o curso completo também por meio de nossa playlist de videoaulas, disponível em</p><p>nosso canal do YouTube, e entendê-lo em menos de 10 horas!</p><p>Em caso de dúvidas, conselhos, sugestões e afins, disponibilizamos nosso e-mail</p><p>educacional@thmestatistica.com e nosso site www.thmestatistica.com como via de contato.</p><p>Eu, Tiago Marum, e meu grande amigo Vinícius Castanho desejamos a vocês a melhor experiência possível na</p><p>jornada de aprendizado desse conteúdo!</p><p>Bons estudos e saúde a todos!</p><p>Tiago Marum</p><p>Curso de Teoria de Probabilidades</p><p>Autores: Tiago Haddad Marum & Vinícius Augusto Dioni Castanho.</p><p>Ilustrações: Raísa Moreira.</p><p>THM Estatística®</p><p>http://www.thmestatistica.com/</p><p>https://www.instagram.com/thmestatistica/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=uGexFqrNhw0&list=PL_x1uklxUt2Ncwt02PW4gozeh365_NHEz</p><p>mailto:educacional@thmestatistica.com</p><p>http://thmestatistica.com/</p><p>www.thmestatistica.com @thmestatistica educacional@thmestatistica.com</p><p>3</p><p>Este trabalho está licenciado sob a Licença Atribuição-NãoComercial 4.0</p><p>Internacional Creative Commons.</p><p>Esta licença permite que outros remixem, adaptem e criem a partir do presente trabalho para fins não</p><p>comerciais, e embora os novos trabalhos tenham de atribuir o devido crédito e não possam ser usados para</p><p>fins comerciais, os usuários não têm de licenciar esses trabalhos derivados sob os mesmos termos. Para saber</p><p>mais, acesse o código legal desta licença.</p><p>http://www.thmestatistica.com/</p><p>https://www.instagram.com/thmestatistica/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>http://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>http://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>www.thmestatistica.com @thmestatistica educacional@thmestatistica.com</p><p>4</p><p>Sumário</p><p>Capítulo 1 ............................................................................................................................................................ 5</p><p>Introdução ..................................................................................................................................................................... 5</p><p>Probabilidade Condicional ............................................................................................................................................ 9</p><p>Teorema de Bayes ....................................................................................................................................................... 12</p><p>Variáveis Aleatórias ..................................................................................................................................................... 16</p><p>Distribuição de Probabilidade ..................................................................................................................................... 17</p><p>Função de Distribuição Acumulada ............................................................................................................................ 17</p><p>Função Densidade de Probabilidade .......................................................................................................................... 21</p><p>Capítulo 2 .......................................................................................................................................................... 27</p><p>Média e Variância ....................................................................................................................................................... 27</p><p>Modelos Discretos ...................................................................................................................................................... 36</p><p>Distribuição de Probabilidade Conjunta ..................................................................................................................... 45</p><p>Covariância .................................................................................................................................................................. 52</p><p>Coeficiente de Correlação ........................................................................................................................................... 53</p><p>Capítulo 3 .......................................................................................................................................................... 56</p><p>Modelos Contínuos ..................................................................................................................................................... 56</p><p>Teorema do Limite Central ......................................................................................................................................... 72</p><p>Função Densidade de Probabilidade Conjunta ........................................................................................................... 74</p><p>http://www.thmestatistica.com/</p><p>https://www.instagram.com/thmestatistica/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>www.thmestatistica.com @thmestatistica educacional@thmestatistica.com</p><p>5</p><p>Capítulo 1</p><p>Introdução</p><p>A probabilidade, para nós, será entendida como a chance de um resultado que queremos</p><p>observar acontecer. Por exemplo:</p><p>Qual a chance de uma moeda lançada sobre uma mesa apresentar a cara voltada para cima?</p><p>A princípio não sabemos de fato se a moeda é honesta. Por isso, é comum atribuirmos 50%</p><p>de chance de dar cara e 50% de chance de dar coroa. Chamaremos essa atribuição de</p><p>probabilidades iguais a eventos com chances desconhecidas de Princípio da Razão Insuficiente.</p><p>→ Evento: Um resultado possível de um experimento.</p><p>→ Experimento: Uma experiência replicável, ou seja, que pode ser repetida inúmeras vezes</p><p>nas mesmas condições.</p><p>A probabilidade pode ser definida de outras formas. A definição clássica a refere como</p><p>eventos equiprováveis para um evento A, tal que:</p><p>𝑃(𝐴) =</p><p>(𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟á𝑣𝑒𝑖𝑠)</p><p>(𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠)</p><p>Já a definição axiomática implica que probabilidade é uma função definida numa classe ꟻ</p><p>de eventos que satisfaz as seguintes condições:</p><p>• 𝑃(𝐴) ≥ 0, Ɐ𝐴𝜖ꟻ;</p><p>• Sendo 𝐴, 𝐵, 𝐶 eventos de ꟻ mutuamente exclusivos;</p><p>• 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐶).</p><p>Logo, faz-se necessário definir alguns termos recorrentes no estudo da probabilidade.</p><p>→ Experimento Determinístico: É aquele em que podemos prever com exatidão um</p><p>resultado para cada experimento.</p><p>→ Experimento Probabilístico: É aquele em que não se pode prever com exatidão o</p><p>resultado para cada experimento.</p><p>→ Espaço Amostral: É o conjunto</p><p>= 1) + 𝑃(𝑋 = 3 𝑒 𝑌 = 1) + 𝑃(𝑋 = 3 𝑒 𝑌 = 2)</p><p>𝑃(𝑋 > 𝑌) =</p><p>1</p><p>3</p><p>.</p><p>1</p><p>2</p><p>+</p><p>1</p><p>3</p><p>.</p><p>1</p><p>2</p><p>+</p><p>1</p><p>3</p><p>.</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑷(𝑿 > 𝒀) =</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>http://www.thmestatistica.com/</p><p>https://www.instagram.com/thmestatistica/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>www.thmestatistica.com @thmestatistica educacional@thmestatistica.com</p><p>51</p><p>Alternativa A.</p><p>Exercício 25:</p><p>Uma moeda honesta é jogada repetidamente. Qual a probabilidade de se obter 5 caras antes de</p><p>aparecerem 7 coroas?</p><p>(a) 505/1024. (b) 430/1024. (c) 150/1024. (d) 2/3. (e) 1/2.</p><p>Resolução:</p><p>Vamos denotar por 𝑛 o número de lançamentos para ocorrer 5 caras antes de 7 coroas, com 𝐶 =</p><p>𝑐𝑎𝑟𝑎 e 𝐾 = 𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎. Vale frisar que 𝑛 ≥ 5, o que permite a seguinte construção:</p><p>𝑛 = 5 → 5𝐶</p><p>𝑃(𝑛 = 5) = (</p><p>1</p><p>2</p><p>)</p><p>5</p><p>=</p><p>1</p><p>32</p><p>𝑛 = 6 → 5𝐶, 1𝐾</p><p>𝑃(𝑛 = 6) =</p><p>1</p><p>2</p><p>5</p><p>.</p><p>1</p><p>2</p><p>. 𝐶5,1 =</p><p>5</p><p>64</p><p>𝑛 = 7 → 5𝐶, 2𝐾</p><p>𝑃(𝑛 = 7) = (</p><p>1</p><p>2</p><p>)</p><p>5</p><p>(</p><p>1</p><p>2</p><p>)</p><p>2</p><p>. 𝐶6,2 =</p><p>15</p><p>128</p><p>𝑛 = 8 → 5𝐶, 3𝐾</p><p>𝑃(𝑛 = 8) = (</p><p>1</p><p>2</p><p>)</p><p>5</p><p>(</p><p>1</p><p>2</p><p>)</p><p>3</p><p>. 𝐶7,3 =</p><p>35</p><p>256</p><p>𝑛 = 9 → 5𝐶, 4𝐾</p><p>𝑃(𝑛 = 9) = (</p><p>1</p><p>2</p><p>)</p><p>5</p><p>(</p><p>1</p><p>2</p><p>)</p><p>4</p><p>. 𝐶8,4 =</p><p>70</p><p>512</p><p>𝑛 = 10 → 5𝐶, 5𝐾</p><p>𝑃(𝑛 = 10) = (</p><p>1</p><p>2</p><p>)</p><p>5</p><p>(</p><p>1</p><p>2</p><p>)</p><p>5</p><p>. 𝐶9,5 =</p><p>126</p><p>1024</p><p>𝑛 = 11 → 5𝐶, 6𝐾</p><p>𝑃(𝑛 = 11) = (</p><p>1</p><p>2</p><p>)</p><p>5</p><p>(</p><p>1</p><p>2</p><p>)</p><p>6</p><p>. 𝐶10,6 =</p><p>210</p><p>2048</p><p>Assim, a probabilidade pedida pode ser calculada pela soma de todas as probabilidades</p><p>intermediárias encontradas na tabela. Portando:</p><p>𝑷(𝟑𝑪 𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝟒𝑲) =</p><p>𝟓𝟎𝟓</p><p>𝟏𝟎𝟐𝟒</p><p>http://www.thmestatistica.com/</p><p>https://www.instagram.com/thmestatistica/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>www.thmestatistica.com @thmestatistica educacional@thmestatistica.com</p><p>52</p><p>Covariância</p><p>Imagine uma variável bidimensional (𝑋, 𝑌). As medidas de 𝐸(𝑋) e 𝐸(𝑌) nos dão,</p><p>separadamente, uma medida de posição central de cada distribuição nos respectivos eixos de</p><p>coordenadas no plano. Já as variâncias 𝑉𝑎𝑟(𝑋) e 𝑉𝑎𝑟(𝑌) nos dão ideia da dispersão em torno de</p><p>𝐸(𝑋) e 𝐸(𝑌), respectivamente. A covariância nos dará ideia da dispersão dos valores da variável</p><p>2𝐷 ao redor do ponto (𝐸(𝑋), 𝐸(𝑌)), tal que:</p><p>𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝐸[(𝑋 − 𝐸(𝑋)). (𝑌 − 𝐸(𝑌))]</p><p>𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = ∑∑(𝑥𝑖 − 𝐸(𝑋))(𝑦𝑖 − 𝐸(𝑌)). 𝑃[𝑋 = 𝑥𝑖 , 𝑌 = 𝑦𝑖]</p><p>∞</p><p>1</p><p>∞</p><p>1</p><p>E, portanto:</p><p>𝑪𝒐𝒗(𝑿, 𝒀) = 𝑬(𝑿𝒀) – 𝑬(𝑿)𝑬(𝒀)</p><p>Vale mencionar que a covariância contribui também para com o conceito de independência</p><p>entre variáveis aleatórias, ao passo que:</p><p>𝑆𝑒 𝑥, 𝑦 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 → 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 0</p><p>Só vale a ida!</p><p>O conceito de média para a probabilidade conjunta pode parecer meio estranho ainda, então</p><p>vamos explorá-lo melhor. Para o caso unidimensional, temos uma soma contínua do produto da</p><p>variável pela sua probabilidade de ocorrência, vide página 35. Já para o caso bidimensional,</p><p>estendemos esse conceito para duas variáveis, de tal forma que agora teremos uma integral dupla:</p><p>𝐸(𝑋𝑌) = ∫ ∫ 𝑥𝑦𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦</p><p>+∞</p><p>−∞</p><p>+∞</p><p>−∞</p><p>http://www.thmestatistica.com/</p><p>https://www.instagram.com/thmestatistica/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>www.thmestatistica.com @thmestatistica educacional@thmestatistica.com</p><p>53</p><p>Coeficiente de Correlação</p><p>Imaginemos o valor da covariância entre 𝑋 e 𝑌. Esse valor depende das unidades de medida</p><p>adotadas para medir tais variáveis. Se mudarmos a escala para X´ = aX e Y´ = bY teremos a</p><p>seguinte adaptação:</p><p>𝐶𝑜𝑣(𝑋´, 𝑌´) = 𝐸[(𝑎𝑋 − 𝐸(𝑎𝑋))(𝑏𝑌 − 𝐸(𝑏𝑌))] = 𝑎. 𝑏. 𝐸[(𝑋 − 𝐸(𝑋))(𝑌 − 𝐸(𝑌))]</p><p>𝐶𝑜𝑣(𝑋´, 𝑌´) = 𝑎𝑏. 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌)</p><p>Nessas condições, é interessante introduzirmos uma medida cujo valor independa das</p><p>unidades de 𝑋 e 𝑌. Trata-se do coeficiente de correlação entre 𝑋 e 𝑌, representado por 𝜌(𝑋, 𝑌). Tal</p><p>medida é definida matematicamente por:</p><p>𝝆(𝑿,𝒀) =</p><p>𝑪𝒐𝒗(𝑿,𝒀)</p><p>Ե(𝑿). Ե(𝒀)</p><p>Perceba que, realmente, o coeficiente de correlação é adimensional e que, por definição,</p><p>|ρ(X, Y)| ≤ 1, fato esse que pode ser interpretado de tal forma que os valores de 𝑋 e 𝑌 são</p><p>correlacionados por uma reta.</p><p>Agora que vimos por completo o conceito de covariância, mais uma propriedade da variância</p><p>pode ser exposta. Caso seja necessário determinar a variância de uma soma de variáveis 𝑋 e 𝑌,</p><p>por exemplo, temos que a variância dessa soma é a soma das variâncias de cada variável acrescida</p><p>do dobro da covariância dessas, caso dependentes:</p><p>𝑉𝑎𝑟(𝑋 + 𝑌) = 𝑉𝑎𝑟(𝑋) + 𝑉𝑎𝑟(𝑌) + 2𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌)</p><p>http://www.thmestatistica.com/</p><p>https://www.instagram.com/thmestatistica/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>www.thmestatistica.com @thmestatistica educacional@thmestatistica.com</p><p>54</p><p>Exercício 26:</p><p>A tabela abaixo mostra a distribuição de probabilidade conjunta das variáveis aleatórias 𝑋 e 𝑌.</p><p>↓ 𝑿 𝒀 → 𝟎 𝟏 𝟑</p><p>𝟎 𝑎 0,2 𝑏</p><p>𝟏𝟎𝟎 0,1 0,2 0,1</p><p>Sabe-se que 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 0. Dentre as afirmações a seguir, quais são verdadeiras?</p><p>a) 𝑋 e 𝑌 são variáveis independentes e 𝑎 = 𝑏;</p><p>b) 𝜌(𝑋, 𝑌) = 0 𝑒 𝑎/𝑏 = 2;</p><p>c) 𝐸(𝑌) = 1,25 𝑒 𝐸(𝑋) = 0,8 . 𝐸(𝑋𝑌).</p><p>(a) Só a) (b) Só c) (c) Só a) e b) (d) Só b) (e) Só b) e c)</p><p>Resolução:</p><p>Do enunciado, podemos inferir que:</p><p>𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 0</p><p>𝐸(𝑋𝑌)– 𝐸(𝑋). 𝐸(𝑌) = 0</p><p>𝐸(𝑋𝑌) = 𝐸(𝑋) . 𝐸(𝑌)</p><p>Vamos, então, calcular 𝐸(𝑋𝑌), 𝐸(𝑋) 𝑒 𝐸(𝑌):</p><p>𝐸(𝑋𝑌) = (0)(0) . 𝑎 + (0)(1) . 0,2 + (0)(3) . 𝑏 + (100)(0) . 0,1 + (100)(1) . 0,2 + (100)(3) . 0,1</p><p>𝑬(𝑿𝒀) = 𝟓𝟎</p><p>𝐸(𝑋) = 0 . (𝑎 + 0,2 + 𝑏) + 100 . (0,1 + 0,2 + 0,1)</p><p>𝑬(𝑿) = 𝟒𝟎</p><p>𝐸(𝑌) = 0 . (𝑎 + 0,1) + 1 . (0,2 + 0,2) + 3 . (𝑏 + 0,1)</p><p>𝑬(𝒀) = 𝟎, 𝟕 + 𝟑𝒃</p><p>http://www.thmestatistica.com/</p><p>https://www.instagram.com/thmestatistica/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>www.thmestatistica.com @thmestatistica educacional@thmestatistica.com</p><p>55</p><p>Alternativa B.</p><p>Como 𝐸(𝑋𝑌) = 𝐸(𝑋) . 𝐸(𝑌), podemos determinar 𝑏:</p><p>𝐸(𝑋𝑌) = 𝐸(𝑋) . 𝐸(𝑌)</p><p>50 = 40 . 𝐸(𝑌)</p><p>𝐸(𝑌) = 1,25 → 𝒃 = 𝟎, 𝟏𝟖𝟑</p><p>Ao varrer toda tabela, a soma das partes resulta 1:</p><p>𝑎 + 0,2 + 𝑏 + 0,1 + 0,2 + 0,1 = 1</p><p>𝒂 = 𝟎, 𝟐𝟏𝟕</p><p>Importante notar que 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 0 não implica 𝑋 e 𝑌 independentes, como já vimos</p><p>anteriormente. Assim, vamos testar se, nesse caso, a premissa é válida. Para isso, peguemos um</p><p>par de valores e o testamos. Seja 𝑋 = 0 e 𝑌 = 1:</p><p>𝑃(0,1) = 0,2</p><p>𝑃𝑋(0) = 𝑎 + 0,2 + 𝑏 = 0,6</p><p>𝑃𝑌(1) = 0,2 + 0,2 = 0,4</p><p>𝑃𝑋(0). 𝑃𝑌(1) = 0,24 ≠ 0,20</p><p>Portanto, podemos concluir que 𝑋 e 𝑌 não são independentes.</p><p>http://www.thmestatistica.com/</p><p>https://www.instagram.com/thmestatistica/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>www.thmestatistica.com @thmestatistica educacional@thmestatistica.com</p><p>56</p><p>Capítulo 3</p><p>Modelos Contínuos</p><p>No capítulo anterior, vimos os principais modelos probabilísticos para variáveis discretas.</p><p>Agora, no presente capítulo, iremos nos aprofundar nos principais modelos para variáveis contínuas</p><p>e, para isso, vamos seguir nossa sequência didática que consiste em determinar a distribuição de</p><p>probabilidades, estimar o valor esperado e a variância e comentar possíveis propriedades.</p><p>Distribuição Uniforme</p><p>Essa distribuição, representada por 𝑋 ~ 𝑈𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒(𝑎, 𝑏), tem função densidade constante</p><p>dentro de um intervalo [𝑎, 𝑏] ∈ ℝ, definida</p><p>por:</p><p>𝑓𝑋(𝑥) =</p><p>1</p><p>𝑏 − 𝑎</p><p>, 𝑎 𝑎) = 𝑒𝑥𝑝(−𝑎𝛽), sendo 𝛽 > 0 uma constante. Considere uma lâmpada que</p><p>está em sendo utilizada a um semestre. Qual a probabilidade desta lâmpada funcionar por mais</p><p>quatro meses?</p><p>(a) 𝑒𝑥𝑝(−4𝛽) (b) 𝑒𝑥𝑝(−3𝛽 + 1) (c) 1 − 𝑒𝑥𝑝(−3𝛽)</p><p>(d) 1 − 𝑒𝑥𝑝(−4𝛽) (e) 𝑒𝑥𝑝(−3𝛽)</p><p>Resolução:</p><p>Sabemos que, em termos de complementaridade:</p><p>𝑃(𝑋 > 𝑎) = 1 – 𝑃(𝑋 ≤ 𝑎)</p><p>E que, pela função acumulada, temos para a distribuição exponencial:</p><p>𝑃(𝑋 ≤ 𝑎) = 𝐹(𝑎; 𝜆) = 1 − 𝑒−𝑎𝜆</p><p>Dessa forma:</p><p>𝑃(𝑋 > 𝑎) = 1 – (1 − 𝑒−𝑎𝜆)</p><p>𝑃(𝑋 > 𝑎) = 𝑒−𝑎𝜆</p><p>Assim, podemos encontrar o valor do nosso parâmetro, segundo informações do enunciado:</p><p>𝑃(𝑋 > 𝑎) = 𝑒−𝑎𝛽</p><p>𝜆 = 𝛽</p><p>O que está sendo perguntado é 𝑃(𝑋 ≥ 10/𝑋 ≥ 6), que pode ser calculada com o auxílio da</p><p>propriedade da falta de memória da presente distribuição:</p><p>𝑃(𝑋 ≥ 10|𝑋 ≥ 6) = 𝑃(𝑋 ≥ 4)</p><p>𝑃(𝑋 ≥ 10|𝑋 ≥ 6) = 1 – 𝑃(𝑋 ≤ 4)</p><p>𝑃(𝑋 ≥ 10|𝑋 ≥ 6) = 1 – (1 − 𝑒−4𝛽)</p><p>𝑷(𝑿 ≥ 𝟏𝟎|𝑿 ≥ 𝟔) = 𝒆−𝟒𝜷</p><p>http://www.thmestatistica.com/</p><p>https://www.instagram.com/thmestatistica/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>www.thmestatistica.com @thmestatistica educacional@thmestatistica.com</p><p>61</p><p>Alternativa A.</p><p>Exercício 29:</p><p>Um sistema é constituído de 4 componentes que funcionam de forma independente. Sabe-se que</p><p>se um dos componentes falhar o sistema falha. O tempo de vida de cada um dos componentes</p><p>segue uma distribuição exponencial cujos valores esperados são: 10𝑡, 10𝑡/3, 10𝑡/6, 10𝑡/9 Qual a</p><p>probabilidade de o sistema não falhar antes de 𝑡?</p><p>(a) 𝑒−1,9 (b) 𝑒−0,9 + 𝑒−0,4 + 𝑒−0,7 − 3𝑒−1</p><p>(c) (1 − 𝑒−0,1)(1 − 𝑒−0,3)(1 − 𝑒−0,6) (d) 1 − 𝑒−1,9</p><p>(e) 𝑒−0,1 + 𝑒−0,3 + 𝑒−0,6</p><p>Resolução:</p><p>Para o sistema não falhar, os componentes 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3 e 𝐶4 não podem falhar. Do enunciado, temos</p><p>que:</p><p>𝐸1(𝑋) = 10𝑡 = 1/ 𝜆1 → 𝜆1 = 1/10𝑡</p><p>𝐸2(𝑋) = 10𝑡/3 = 1/ 𝜆2 → 𝜆2 = 3/10𝑡</p><p>𝐸3(𝑋) = 10𝑡/6 = 1/ 𝜆3 → 𝜆3 = 6/10𝑡</p><p>𝐸4(𝑋) = 10𝑡/9 = 1/ 𝜆4 → 𝜆4 = 9/10𝑡</p><p>A chance de 𝐶1 não falhar é dada por 𝑃(𝑋𝐶1 ≥ 𝑡) = 1 − 𝑃(𝑋𝐶1 ≤ 𝑡). Assim:</p><p>𝑃(𝑋𝐶1 ≥ 𝑡) = 1 – 𝐹(𝑡, 𝜆1) = 1 – (1 − 𝑒−</p><p>1</p><p>10𝑡</p><p>.𝑡) = 𝑒−</p><p>1</p><p>10</p><p>De maneira análoga, temos:</p><p>𝑃(𝑋𝐶2 ≥ 𝑡) = 𝑒−</p><p>3</p><p>10</p><p>𝑃(𝑋𝐶3 ≥ 𝑡) = 𝑒−</p><p>6</p><p>10</p><p>𝑃(𝑋𝐶4 ≥ 𝑡) = 𝑒−</p><p>9</p><p>10</p><p>Assim, a probabilidade de o sistema não falhar é:</p><p>𝑃(𝑛ã𝑜 𝑓𝑎𝑙ℎ𝑎𝑟) = 𝑒−</p><p>1</p><p>10 . 𝑒−</p><p>3</p><p>10 . 𝑒−</p><p>6</p><p>10. 𝑒−</p><p>9</p><p>10</p><p>𝑷(𝒏ã𝒐 𝒇𝒂𝒍𝒉𝒂𝒓) = 𝒆−𝟏,𝟗</p><p>http://www.thmestatistica.com/</p><p>https://www.instagram.com/thmestatistica/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>www.thmestatistica.com @thmestatistica educacional@thmestatistica.com</p><p>62</p><p>Distribuição Normal</p><p>Chegamos, enfim, na distribuição mais conhecida popularmente. A distribuição normal é</p><p>aplicada nas mais diversas áreas de estudo, como biologia, geografia, sociologia, entre outras. Os</p><p>parâmetros que a definem são 𝜇 (média) e Ե² (variância), tal que uma variável aleatória 𝑋 que</p><p>segue distribuição normal é representada por 𝑋 = 𝑁(𝜇,</p><p>Ե2).</p><p>Sua função densidade de probabilidade é dada pela expressão abaixo. Porém, apesar de</p><p>ser de certa forma assustadora, não a usaremos na resolução dos problemas, pois existem</p><p>abordagens matemáticas, as quais veremos adiante, que possibilitam facilitar nossa vida.</p><p>𝑓(𝑥, 𝜇, Ե) =</p><p>1</p><p>√2𝜋Ե</p><p>. 𝑒</p><p>−(𝑥−𝜇)²</p><p>(2Ե2) , −∞</p><p>69</p><p>Agora iremos ver o desdobramento de uma importante propriedade que será base do nosso</p><p>próximo tópico. Seja uma coleção de 𝑛 variáveis aleatórias 𝑋1, . . . , 𝑋𝑛 e 𝑛 constantes numéricas</p><p>𝑎1, . . . , 𝑎𝑛. Seja também outra variável aleatória formada pela combinação linear dos 𝑋𝑖:</p><p>𝑌 = 𝑎1𝑋1 + 𝑎2𝑋2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑋𝑛 = ∑𝑎𝑖𝑋𝑖</p><p>𝑛</p><p>𝑖=1</p><p>Vamos focar o caso em que os 𝑋𝑖 sejam identicamente distribuídas (no sentido de terem a</p><p>mesma distribuição, podendo variar os parâmetros). Considere que 𝑋1, . . . , 𝑋𝑛 tenham valores</p><p>médios 𝜇1, . . . , 𝜇𝑛, respectivamente, e as variâncias Ե1</p><p>2, . . . , Ե𝑛</p><p>2 , respectivamente. Temos:</p><p>o 𝑋𝑖 independentes ou não:</p><p>𝐸(𝑌) = 𝐸(𝑎1𝑋1 + … + 𝑎𝑛𝑋𝑛)</p><p>𝐸(𝑌) = 𝑎1𝐸(𝑋1) + ⋯+ 𝑎𝑛𝐸(𝑋𝑛)</p><p>𝐸(𝑌) = 𝑎1𝜇1 +⋯+ 𝑎𝑛𝜇𝑛</p><p>o Se 𝑋1, . . . , 𝑋𝑛 independentes:</p><p>𝑉𝑎𝑟(𝑌) = 𝑉𝑎𝑟(𝑎1𝑋1 + … + 𝑎𝑛𝑋𝑛)</p><p>𝐸(𝑌) = 𝑎1</p><p>2 𝑉𝑎𝑟(𝑋1) + ⋯+ 𝑎𝑛</p><p>2 𝑉𝑎𝑟(𝑋𝑛)</p><p>𝑉𝑎𝑟(𝑌) = 𝑎1</p><p>2Ե12 + … + 𝑎𝑛²Ե𝑛</p><p>2</p><p>Lembre-se que desvio padrão é calculado pela raiz da variância! Sempre, faça-o sempre como uma</p><p>consequência do resultado obtido pela variância.</p><p>No caso de variáveis aleatórias com distribuição normal, qualquer combinação linear dos 𝑋𝑖 tem distribuição</p><p>normal.</p><p>http://www.thmestatistica.com/</p><p>https://www.instagram.com/thmestatistica/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>www.thmestatistica.com @thmestatistica educacional@thmestatistica.com</p><p>70</p><p>Exercício 32:</p><p>Um galpão industrial armazena caixas em diversas prateleiras de altura 5 𝑚. Cada caixa é</p><p>empilhada (uma por cima da outra) e dentro de cada prateleira espera-se uma folga mínima (ou</p><p>tolerável) de 40 𝑐𝑚. Assuma que a altura das caixas siga uma distribuição normal com média 50 𝑐𝑚</p><p>e desvio padrão 5 𝑐𝑚. Considere 9 caixas a serem empilhadas em uma prateleira. Qual a</p><p>probabilidade de a altura total empilhada ultrapassar o limite tolerável? Qual seria essa</p><p>probabilidade se a folga mínima fosse alterada para 25 𝑐𝑚?</p><p>Resolução:</p><p>A altura das caixas segue uma distribuição normal tal que: 𝑋𝑖 = 𝑁(50,0 𝑐𝑚; 52𝑐𝑚²). Definindo a</p><p>soma dos comprimentos de cada caixa 𝑋𝑖 como 𝑆0, obtemos:</p><p>𝑆0 = ∑𝑋𝑖 = 𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 +⋯+ 𝑋9</p><p>9</p><p>𝑖=1</p><p>que é normal!</p><p>𝐸(𝑆0) = 1. 𝜇1 + 1. μ2 +⋯+ 1. μ9</p><p>𝐸(𝑆0) = 9 . 50</p><p>𝐸(𝑆0) = 450𝑐𝑚</p><p>Ե2(𝑆0) = 1</p><p>2. Ե21 + 1</p><p>2. Ե22 +⋯+ 1</p><p>2. Ե29</p><p>Ե2(𝑆0) = 9.52</p><p>Ե2(𝑆0) = 225𝑐𝑚²</p><p>Esse é um desenho esquemático exagerado! Repare que não necessariamente as caixas têm o mesmo</p><p>comprimento, o que está em jogo aqui é a soma dos comprimentos!</p><p>𝑆0 ~ 𝑁(450𝑐𝑚; 15²𝑐𝑚²)</p><p>𝑆0 é, no máximo, 500𝑐𝑚 − 40𝑐𝑚 = 460𝑐𝑚</p><p>(folga tolerável)</p><p>http://www.thmestatistica.com/</p><p>https://www.instagram.com/thmestatistica/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>www.thmestatistica.com @thmestatistica educacional@thmestatistica.com</p><p>71</p><p>I) Procuramos a probabilidade de a soma dos comprimentos ultrapassar os 460 𝑐𝑚:</p><p>𝑃(𝑆0 ≥ 460)</p><p>Dessa forma, podemos agora padronizar nosso problema, tal que:</p><p>𝑃(𝑆0 ≥ 460) = 𝑃 (𝑍 ≥</p><p>460 − 450</p><p>15</p><p>) = 𝑃(𝑍 ≥ 0,66)</p><p>Da tabela de distribuição normal padrão, obtemos:</p><p>𝑃(𝑍 ≥ 0,66) = 𝑃(𝑍 ≥ 0) − 𝑃(0 ≤ 𝑍 ≤ 0,66) = 0,5 − 0,24537</p><p>𝑃(𝑍 ≥ 0,66) = 𝟎, 𝟐𝟓𝟒𝟔𝟑</p><p>Logo, a probabilidade de a soma dos comprimentos das caixas ultrapassar o limite tolerável de</p><p>460𝑐𝑚 é:</p><p>𝑷(𝑺𝟎 ≥ 𝟒𝟔𝟎) = 𝟎, 𝟐𝟓𝟒𝟔𝟑</p><p>II) No caso de a folga mínima ser alterada para 25 𝑐𝑚, a soma dos comprimentos das caixas, para</p><p>ultrapassar o limite tolerável, deve ser maior do que 475 𝑐𝑚.</p><p>De maneira análoga, obtemos:</p><p>𝑃(𝑆0´ ≥ 475) = 𝑃 (𝑍´ ≥</p><p>475 − 450</p><p>15</p><p>) = 𝑃(𝑍´ ≥ 1,66)</p><p>Da tabela de distribuição normal padrão, obtemos:</p><p>𝑃(𝑍´ ≥ 1,66) = 0,5 − 𝑃(0 ≤ 𝑍´ ≤ 1,66) = 0,5 − 0,45154</p><p>𝑃(𝑍´ ≥ 1,66) = 0,04846</p><p>Logo, a probabilidade de a soma dos comprimentos das caixas ultrapassar o novo limite tolerável</p><p>de 475 𝑐𝑚 é:</p><p>𝑷(𝑺𝟎´ ≥ 𝟒𝟕𝟓) = 𝟎, 𝟎𝟒𝟖𝟒𝟔</p><p>http://www.thmestatistica.com/</p><p>https://www.instagram.com/thmestatistica/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>www.thmestatistica.com @thmestatistica educacional@thmestatistica.com</p><p>72</p><p>Teorema do Limite Central</p><p>Seja 𝑋1, 𝑋2, . . . , 𝑋𝑛 uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente</p><p>distribuídas com média 𝜇 e variância Ե². E seja também 𝑆𝑛 = 𝑋1 + 𝑋2+. . . +𝑋𝑛, então:</p><p>𝑍𝑛 =</p><p>𝑆𝑛 − 𝑛. 𝜇</p><p>√𝑛Ե²</p><p>Converge em uma distribuição para 𝑍, variável essa que tem distribuição normal com média</p><p>0 e variância 1.</p><p>Vamos parar por um momento e analisar o poder desse teorema. Se ao acaso tivermos muitas variáveis,</p><p>todas seguindo um único tipo de distribuição (seja uniforme, exponencial, normal, etc) podemos somá-las e realizar</p><p>uma operação um tanto quanto semelhante à padronização. Assim, teremos como resultado uma nova variável, que</p><p>segue distribuição normal, a qual já conhecemos bem e sabemos trabalhar!</p><p>http://www.thmestatistica.com/</p><p>https://www.instagram.com/thmestatistica/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>www.thmestatistica.com @thmestatistica educacional@thmestatistica.com</p><p>73</p><p>Alternativa D.</p><p>Exercício 33:</p><p>Seja 𝑆 a soma de 9 variáveis aleatórias independentes, todas com distribuição uniforme e no</p><p>intervalo [10 − √3, 10 + √3]. Quanto vale (aproximadamente) a probabilidade de 𝑆 estar entre 92 e</p><p>100?</p><p>(a) 0,92. (b) 0,53. (c) 0,68. (d) 0,25. (e) 0,10.</p><p>Resolução:</p><p>Para cada uma das variáveis uniformes temos:</p><p>𝐸 (𝑈(10 − √3, 10 + √3)) =</p><p>𝑎 + 𝑏</p><p>2</p><p>=</p><p>20</p><p>2</p><p>𝐸 (𝑈(10 − √3, 10 + √3)) = 10</p><p>𝑉𝑎𝑟 (𝑈(10 − √3, 10 + √3)) =</p><p>(𝑏 − 𝑎)2</p><p>12</p><p>=</p><p>(2√3)</p><p>2</p><p>12</p><p>𝑉𝑎𝑟(𝑈(10 − √3, 10 + √3)) = 1</p><p>Pelo teorema do limite central, construímos 𝑆𝑛 de tal forma que:</p><p>𝑆𝑛 = 𝑋1 + 𝑋2+. . . +𝑋𝑛</p><p>𝑃(92 ≤ 𝑆𝑛 ≤ 100) =⏞</p><p>𝑇.𝐿.𝐶.</p><p>𝑃 (</p><p>92 − 9.10</p><p>1. √9</p><p>≤ 𝑆𝑛 ≤</p><p>100 − 9.10</p><p>1. √9</p><p>) = 𝑃(0,66 ≤ 𝑍𝑛 ≤ 3,33)</p><p>Dessa forma, com base em nossos conhecimentos acerca da distribuição normal, temos:</p><p>𝑃(0,66 ≤ 𝑍𝑛 ≤ 3,33) = 𝑃(0 ≤ 𝑍𝑛 ≤ 3,33) − 𝑃(0 ≤ 𝑍𝑛 ≤ 0,66)</p><p>𝑃(0,66 ≤ 𝑍𝑛 ≤ 3,33) = 0,49957 − 0,24537 = 0,2542</p><p>𝑷(𝟗𝟐 ≤ 𝑺𝒏 ≤ 𝟏𝟎𝟎) = 𝟎, 𝟐𝟓𝟒𝟐</p><p>http://www.thmestatistica.com/</p><p>https://www.instagram.com/thmestatistica/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>www.thmestatistica.com @thmestatistica educacional@thmestatistica.com</p><p>74</p><p>Função Densidade de Probabilidade Conjunta</p><p>Anteriormente, estudamos a distribuição de massa conjunta, a qual nos introduziu ao</p><p>contexto bidimensional o cálculo de probabilidades para variáveis discretas. Agora, o presente</p><p>tópico irá dar sequência a esse estudo, ao passo em que nos aprofundaremos no cálculo de</p><p>probabilidades bidimensionais para variáveis contínuas.</p><p>Nesse caso, a função densidade é conjunta, isto é, depende de duas variáveis. Por exemplo,</p><p>sejam 𝑋 e 𝑌 variáveis aleatórias contínuas, a 𝑓. 𝑑. 𝑝 será do tipo 𝑓(𝑥, 𝑦). E uma importante</p><p>propriedade que continua em vigor é a de que, ao varrer o espaço amostral, temos uma</p><p>probabilidade de 100%, a qual pode ser reescrita como se segue:</p><p>∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = 1</p><p>+∞</p><p>−∞</p><p>+∞</p><p>−∞</p><p>Usamos essa definição diversas vezes nos exercícios!</p><p>Assim, imaginemos um retângulo definido pelos intervalos [𝑎, 𝑏]𝑥[𝑐, 𝑑]. A chance de</p><p>(𝑥, 𝑦) cair nesse retângulo é dada por:</p><p>𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑌 ≤ 𝑑) = ∫∫𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥</p><p>𝑑</p><p>𝑐</p><p>𝑏</p><p>𝑎</p><p>http://www.thmestatistica.com/</p><p>https://www.instagram.com/thmestatistica/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>www.thmestatistica.com @thmestatistica educacional@thmestatistica.com</p><p>75</p><p>Para encontrar as distribuições marginais, faremos o análogo ao caso discreto: vamos varrer</p><p>todos os valores de uma variável, para obter a função distribuição marginal da outra variável.</p><p>Para a distribuição marginal de 𝑋, temos:</p><p>𝑓𝑋(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦</p><p>+∞</p><p>−∞</p><p>; −∞ 𝑌), se a função densidade de probabilidade conjunta de variáveis aleatórias 𝑋 e 𝑌</p><p>é:</p><p>𝑓(𝑥, 𝑦) = {</p><p>𝐶(𝑥2 + 2𝑥𝑦), 0 𝑌) = ∫∫</p><p>3</p><p>8</p><p>. (𝑥2 + 2𝑥𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥</p><p>𝑥</p><p>0</p><p>1</p><p>0</p><p>𝑷(𝑿 > 𝒀) =</p><p>𝟑</p><p>𝟏𝟔</p><p>http://www.thmestatistica.com/</p><p>https://www.instagram.com/thmestatistica/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>www.thmestatistica.com @thmestatistica educacional@thmestatistica.com</p><p>77</p><p>Alternativa E.</p><p>Exercício 35:</p><p>A função densidade de probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias 𝑋 e 𝑌, para uma</p><p>constante 𝑐, é dada por:</p><p>𝑓(𝑥, 𝑦) = {</p><p>𝑐𝑥3, 0</p><p>de todos os resultados possíveis de um experimento. É</p><p>representado pela letra 𝑆, advinda de Sample Space.</p><p>Note que 𝑃(𝑆) = 1, visto que se trata da probabilidade de um resultado possível acontecer.</p><p>http://www.thmestatistica.com/</p><p>https://www.instagram.com/thmestatistica/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>www.thmestatistica.com @thmestatistica educacional@thmestatistica.com</p><p>6</p><p>É interessante definir o espaço amostral quando possível. Por exemplo, sendo 𝐶 = 𝑐𝑎𝑟𝑎 e</p><p>𝐾 = 𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎:</p><p>I. Lançamento de duas moedas simultaneamente:</p><p>𝑆𝐼 = {𝐶𝐶, 𝐶𝐾, 𝐾𝐶, 𝐾𝐾}</p><p>II. Lançamento simultâneo de quatro moedas, diferentes entre si:</p><p>𝑆𝐼𝐼 ={ 𝐶𝐶𝐶𝐶, 𝐾𝐶𝐶𝐶, 𝐾𝐾𝐶𝐶, 𝐾𝐾𝐾𝐶, 𝐾𝐾𝐾𝐾,</p><p>𝐶𝐾𝐶𝐶, 𝐾𝐶𝐾𝐶, 𝐾𝐾𝐶𝐾,</p><p>𝐶𝐶𝐾𝐶, 𝐾𝐶𝐶𝐾, 𝐾𝐶𝐾𝐾,</p><p>𝐶𝐶𝐶𝐾, 𝐶𝐾𝐾𝐶, 𝐶𝐾𝐾𝐾,</p><p>𝐶𝐶𝐾𝐾 }</p><p>Em geral, representamos 𝑆 pelo Diagrama de Venn (Sim, aquele da teoria dos conjuntos</p><p>do colégio!):</p><p>S: ...... A contido em S: 𝑨∁𝑺</p><p>Complementar de A: Ā∁𝑺 Intersecção entre A e B: 𝑨 ∩ 𝑩</p><p>União entre A e B: 𝑨 ∪ 𝑩 Eventos mutuamente exclusivos: 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝟎</p><p>http://www.thmestatistica.com/</p><p>https://www.instagram.com/thmestatistica/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>www.thmestatistica.com @thmestatistica educacional@thmestatistica.com</p><p>7</p><p>Assim, chegamos a nossa primeira fórmula importante:</p><p>𝑃(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)</p><p>Para nossas questões iniciais, usaremos a Álgebra de Eventos. Aqui vai algumas provas</p><p>interessantes:</p><p>o 𝑷(Ø) = 𝟎:</p><p>𝑃(𝑆𝑈Ø) = 𝑃(𝑆) + 𝑃(Ø) − 𝑃(𝑆 ∩ Ø)</p><p>1 = 1 + 𝑃(Ø) − 0</p><p>𝑃(Ø) = 0</p><p>o 𝑷(Ā) = 𝟏 – 𝑷(𝑨):</p><p>𝑃(𝐴 ∪ Ā) = 𝑃(𝑆)</p><p>𝑃(𝐴) + 𝑃(Ā) − 𝑃(𝐴 ∩ Ā) = 𝑃(𝑆)</p><p>𝑃(𝐴) + 𝑃(Ā) − 0 = 1</p><p>𝑃(Ā) = 1 − 𝑃(𝐴)</p><p>o 𝑷(𝑨 ∪ 𝑩 ∪ 𝑪):</p><p>𝑃(𝐴𝑈𝐵𝑈𝐶) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐶) − 𝑃(𝐴Ո𝐵) – 𝑃(𝐴Ո𝐶) – 𝑃(𝐵Ո𝐶) + 𝑃(𝐴Ո𝐵Ո𝐶)</p><p>Nas questões relativas à álgebra de eventos, usaremos sempre que possível os Diagramas</p><p>de Venn para cada caso aliados com as propriedades da definição axiomática de probabilidade.</p><p>http://www.thmestatistica.com/</p><p>https://www.instagram.com/thmestatistica/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>www.thmestatistica.com @thmestatistica educacional@thmestatistica.com</p><p>8</p><p>Exercício 1:</p><p>Suponha que uma determinada empresa produtora de filmes classifique seus filmes pelo tempo de</p><p>duração e orçamento do projeto. Filmes com mais de 120 minutos são classificados como grandes</p><p>(G) e filmes com 120 minutos ou menos são chamados pequenos (P). Filmes caros (C) possuem</p><p>um orçamento maior que 50 milhões de dólares, enquanto que filmes baratos (B) possuem menos</p><p>que 50 milhões de dólares de orçamento. Suponha que foi analisado os dados de um filme,</p><p>observando seu tempo de duração e orçamento. O modelo de probabilidades para esse</p><p>experimento contém as seguintes informações: 𝑃𝑟[𝑃𝐶] = 0.4, 𝑃𝑟[𝐺𝐶] = 0.1 e 𝑃𝑟[𝐺𝐵] = 0.1.</p><p>Qual é o espaço amostral desse experimento? Calcule as seguintes probabilidades:</p><p>(a) 𝑃𝑟[𝐵]</p><p>(b) 𝑃𝑟[𝐺]</p><p>(c) 𝑃𝑟[𝐵 ∪ 𝐺]</p><p>Resolução:</p><p>Vamos definir 𝑆: 𝑺 = {𝑷𝑩,𝑷𝑪,𝑮𝑩, 𝑮𝑪}</p><p>Podemos, assim, descobrir 𝑃𝑟[𝑃𝐵]:</p><p>𝑃𝑟[𝑆] = 𝑃𝑟[𝑃𝐵] + 𝑃𝑟[𝑃𝐶] + 𝑃𝑟[𝐺𝐵] + 𝑃𝑟[𝐺𝐶]</p><p>1 = 𝑃𝑟[𝑃𝐵] + 0.4 + 0.1 + 0.1</p><p>𝑃𝑟[𝑃𝐵] = 0.4</p><p>(a) 𝑃𝑟[𝐵]: Para ser barato, o filme pode ser tanto grande quanto pequeno.</p><p>𝑃𝑟[𝐵] = 𝑃𝑟[𝐺𝐵 ∪ 𝑃𝐵]</p><p>𝑃𝑟[𝐵] = 𝑃𝑟[𝐺𝐵] + 𝑃𝑟[𝑃𝐵] − 𝑃𝑟[𝑃𝐵 ∩ 𝐺𝐵] = 0.1 + 0.4 − 0</p><p>𝑷𝒓[𝑩] = 𝟎. 𝟓</p><p>(b) 𝑃𝑟[𝐺]: Aqui usaremos raciocínio análogo ao anterior.</p><p>𝑃𝑟[G] = 𝑃𝑟[GB] + 𝑃𝑟[GC] − 𝑃𝑟[GB ∩ GC] = 0.1 + 0.1 − 0</p><p>𝑷𝒓[𝑮] = 𝟎. 𝟐</p><p>(c) 𝑃𝑟[𝐵𝑈𝐺]:</p><p>𝑃𝑟[𝐵𝑈𝐺] = 𝑃𝑟[𝐵] + 𝑃𝑟[𝐺] − 𝑃𝑟[𝐵 ∩ 𝐺] = 0.5 + 0.2 − 0.1</p><p>𝑷𝒓[𝑳𝑼𝑮] = 𝟎. 𝟔</p><p>http://www.thmestatistica.com/</p><p>https://www.instagram.com/thmestatistica/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>www.thmestatistica.com @thmestatistica educacional@thmestatistica.com</p><p>9</p><p>Probabilidade Condicional</p><p>Descreveremos agora o conceito de Probabilidade Condicional. Eis nossa motivação:</p><p>Qual seria a probabilidade de um evento 𝐴 ocorrer dado que o evento 𝐵 ocorreu?</p><p>Do início, ao inserimos a informação de que 𝐵 ocorreu, alteramos a chance de 𝐴 ocorrer.</p><p>Agora se passa como se pudéssemos escolher a parcela de 𝐴 que está ligada à 𝐵, e não a parcela</p><p>relacionada ao complemento de 𝐵.</p><p>Sabendo que 𝐵 ocorreu, limitamos nosso 𝑆 a</p><p>𝐵.</p><p>Obtemos, assim, a chance de 𝐴 ocorrer dado</p><p>que 𝐵 ocorreu:</p><p>𝑃(𝐴|𝐵) =</p><p>P(A|B) =</p><p>P(A ∩ B)</p><p>P(B)</p><p>Uma situação de extremo interesse nosso se dá quando a informação de que 𝐵 ocorreu não</p><p>altera a chance de 𝐴 ocorrer. Por exemplo:</p><p>A chance de chover amanhã dado que seu time ganhou hoje é igual a chance de chover amanhã.</p><p>Quando isso acontece, chamamos os eventos de independentes! Na álgebra de eventos:</p><p>𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴) → 𝑃(𝐴|𝐵) =</p><p>𝑃(𝐴∩𝐵)</p><p>𝑃(𝐵)</p><p>= 𝑃(𝐴). Assim:</p><p>𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴). 𝑃(𝐵) , 𝑐𝑜𝑚 𝐴 𝑒 𝐵 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠</p><p>http://www.thmestatistica.com/</p><p>https://www.instagram.com/thmestatistica/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>www.thmestatistica.com @thmestatistica educacional@thmestatistica.com</p><p>10</p><p>Alternativa C.</p><p>Exercício 2:</p><p>𝐴, 𝐵, 𝐶 são eventos de um mesmo espaço amostral, tais que 𝑃(𝐵) = 0,6; 𝑃(𝐶) = 0,4; 𝑃(𝐵|𝐶) =</p><p>0,5 e 𝑃(𝐴|𝐵 ∩ 𝐶) = 0,6. O valor de 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) é:</p><p>(a) 0,15. (b) 0,50. (c) 0,12. (d) 0,20. (e) 0,06.</p><p>Resolução:</p><p>Podemos escrever 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) como uma sucessão de eventos: C ocorre e B ocorre e A ocorre</p><p>por meio da probabilidade condicional.</p><p>𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑷(𝑪) . 𝑷(𝑩|𝑪) . 𝑷(𝑨| 𝑩 ∩ 𝑪)</p><p>Por meio do Diagrama de Venn, podemos ver que 𝑃(𝐴|𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑃(𝐴| 𝐵 ∩ 𝐶):</p><p>(𝐴|𝐵 ∩ 𝐶) (𝐴| 𝐵 ∩ 𝐶)</p><p>Logo:</p><p>𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = (0,4) . (0,5) . (0,6)</p><p>𝑷(𝑨 ∩ 𝑩 ∩ 𝑪) = 𝟎, 𝟏𝟐</p><p>http://www.thmestatistica.com/</p><p>https://www.instagram.com/thmestatistica/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>www.thmestatistica.com @thmestatistica educacional@thmestatistica.com</p><p>11</p><p>Alternativa D.</p><p>Exercício 3:</p><p>A probabilidade de que a porta de um carro esteja trancada é igual a 2/5. Um chaveiro possui 15</p><p>chaves, das quais 2 abrem essa porta. A probabilidade de que um indivíduo entre no carro, se ele</p><p>puder escolher aleatoriamente uma única chave é, aproximadamente:</p><p>(a) 0,09. (b) 0,60. (c) 0,15. (d) 0,65. (e) 0,51.</p><p>Resolução:</p><p>Há duas formas do indivíduo entrar no carro: a porta pode estar fechada e ele escolher a chave</p><p>certa ou a porta pode simplesmente estar aberta. Assim:</p><p>𝑃(𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑛𝑜 𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜) = 𝑃(𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑐𝑎𝑑𝑎 Ո 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑡𝑎𝑟 𝑎 𝑐ℎ𝑎𝑣𝑒) 𝑈 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎 𝑎𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎)</p><p>𝑃(𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑛𝑜 𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜) =</p><p>2</p><p>5</p><p>.</p><p>2</p><p>15</p><p>+</p><p>3</p><p>5</p><p>.</p><p>15</p><p>15</p><p>𝑷(𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒓 𝒏𝒐 𝒄𝒂𝒓𝒓𝒐) = 𝟎, 𝟔𝟓</p><p>http://www.thmestatistica.com/</p><p>https://www.instagram.com/thmestatistica/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>www.thmestatistica.com @thmestatistica educacional@thmestatistica.com</p><p>12</p><p>Teorema de Bayes</p><p>Terminada essa parte de álgebra de eventos, veremos agora a Fórmula de Bayes e dois</p><p>exercícios de fixação. Seja 𝐵 um evento e 𝐴1 e 𝐴2 uma partição do espaço amostral 𝑆, isto é, 𝐴1 ∩</p><p>𝐴2 = Ø e 𝐴1 ∪ 𝐴2 = 𝑆. Temos, para 𝑖 = 1, 2, :</p><p>𝑃(𝐴𝑖|𝐵) =</p><p>𝑃(𝐴𝑖) . 𝑃(𝐵|𝐴𝑖)</p><p>𝑃(𝐴1) . 𝑃(𝐵|𝐴1) + 𝑃(𝐴2) . 𝑃(𝐵|𝐴2) + …</p><p>Se ficar difícil entender o que se passa nessa fórmula vamos analisá-la passo a passo:</p><p>o Temos um espaço particionado (𝐴1, 𝐴2) e um evento 𝐵:</p><p>o A chance de sair 𝐴1, por exemplo, dado que 𝐵 ocorre seria tomar graficamente esse</p><p>pedaço e dividir pelo espaço de 𝐵:</p><p>Logo:</p><p>𝑃(𝐴1|𝐵) =</p><p>Acontece que podemos escrever o espaço de B como uma soma de (𝐴1 ∩ 𝐵 + 𝐴2 ∩ 𝐵),</p><p>ficando então com a fórmula de Bayes:</p><p>𝑃(𝐴2|𝐵) =</p><p>𝑃(𝐴2). 𝑃(𝐵|𝐴2)</p><p>𝑃(𝐴1). 𝑃(𝐵|𝐴2) + 𝑃(𝐴2). 𝑃(𝐵|𝐴2)</p><p>http://www.thmestatistica.com/</p><p>https://www.instagram.com/thmestatistica/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>www.thmestatistica.com @thmestatistica educacional@thmestatistica.com</p><p>13</p><p>Exercício 4:</p><p>Os mosquitos Aedes aegypti podem transportar tanto o vírus da Dengue quanto o Zika Vírus. Em</p><p>um estudo com esses mosquitos, feito no Brasil, descobriu-se preliminarmente que 33% dos</p><p>mosquitos que eram portadores do vírus da Dengue ou do Zika Vírus, eram portadores de ambos</p><p>os vírus. Assuma que 20% dos mosquitos eram portadores do vírus da Dengue e 25% eram</p><p>portadores do Zika Vírus.</p><p>(a) Qual a probabilidade 𝑃𝑟[𝐷𝑒𝑛𝑔𝑢𝑒 ∩ 𝑍𝑖𝑘𝑎] de que um mosquito seja portador do vírus da Dengue</p><p>e do Zika Vírus?</p><p>(b) Qual a probabilidade condicional de que um mosquito seja portador do Zika Vírus, dado que ele</p><p>é portador do vírus da Dengue?</p><p>Resolução:</p><p>(a) Do enunciado temos que 𝑃𝑟[𝐷𝑒𝑛𝑔𝑢𝑒] = 0,20, 𝑃𝑟[𝑍𝑖𝑘𝑎] = 0,25 e inferimos que 33% dos</p><p>mosquitos que tinham Dengue ou Zika Vírus (𝐷𝑒𝑛𝑔𝑢𝑒 ∪ 𝑍𝑖𝑘𝑎) eram portadores de ambos os vírus</p><p>(𝐷𝑒𝑛𝑔𝑢𝑒 ∩ 𝑍𝑖𝑘𝑎). Assim:</p><p>0,33. 𝑃𝑟[𝐷𝑒𝑛𝑔𝑢𝑒 ∪ 𝑍𝑖𝑘𝑎] = 𝑃𝑟[𝐷𝑒𝑛𝑔𝑢𝑒 ∩ 𝑍𝑖𝑘𝑎]</p><p>Como 𝑃𝑟(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃𝑟(𝐴) + 𝑃𝑟(𝐵) − 𝑃𝑟(𝐴 ∩ 𝐵), então:</p><p>0,33. (𝑃𝑟[𝐷𝑒𝑛𝑔𝑢𝑒] + 𝑃𝑟[𝑍𝑖𝑘𝑎] − 𝑃𝑟[𝐷𝑒𝑛𝑔𝑢𝑒 ∩ 𝑍𝑖𝑘𝑎]) = 𝑃𝑟[𝐷𝑒𝑛𝑔𝑢𝑒 ∩ 𝑍𝑖𝑘𝑎]</p><p>0,33. (0,20 + 0,25 − 𝑃𝑟[𝐷𝑒𝑛𝑔𝑢𝑒 ∩ 𝑍𝑖𝑘𝑎]) = 𝑃𝑟[𝐷𝑒𝑛𝑔𝑢𝑒 ∩ 𝑍𝑖𝑘𝑎]</p><p>𝑷𝒓[𝑫𝒆𝒏𝒈𝒖𝒆 ∩ 𝒁𝒊𝒌𝒂] = 𝟎, 𝟏𝟏𝟏𝟔</p><p>(b) Dado que 𝑃𝑟(𝐵|𝐴) =</p><p>𝑃𝑟(𝐵∩𝐴)</p><p>𝑃𝑟(𝐴)</p><p>, temos que:</p><p>𝑃𝑟[𝑍𝑖𝑘𝑎|𝐷𝑒𝑛𝑔𝑢𝑒] =</p><p>𝑃𝑟[𝐷𝑒𝑛𝑔𝑢𝑒∩𝑍𝑖𝑘𝑎]</p><p>𝑃𝑟[𝐷𝑒𝑛𝑔𝑢𝑒]</p><p>𝑃𝑟[𝑍𝑖𝑘𝑎|𝐷𝑒𝑛𝑔𝑢𝑒] =</p><p>0,1116</p><p>0,20</p><p>𝑷𝒓[𝒁𝒊𝒌𝒂|𝑫𝒆𝒏𝒈𝒖𝒆] = 𝟎, 𝟓𝟓𝟖</p><p>http://www.thmestatistica.com/</p><p>https://www.instagram.com/thmestatistica/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>www.thmestatistica.com @thmestatistica educacional@thmestatistica.com</p><p>14</p><p>Exercício 5: Fonte 1, Fonte 2</p><p>Em testes desenvolvidos para diagnóstico, o grau de especificidade do teste é definido como a</p><p>capacidade de detectar verdadeiros negativos, isto é, de diagnosticar corretamente indivíduos</p><p>sadios. Já sua sensibilidade é definida como a capacidade de indicar um resultado positivo para</p><p>indivíduos com a doença investigada. Também em termos epidemiológicos, pode-se definir</p><p>prevalência como a fração de indivíduos doentes na população total avaliada e Valor Preditivo</p><p>Positivo (VPP) como a probabilidade de um indivíduo avaliado e com resultado positivo ser</p><p>realmente doente.</p><p>Considere sob análise casos de Covid-19. Em outubro de 2020, estimou-se para São Paulo capital</p><p>uma prevalência de 13,6%. Nesse mesmo ano, um determinado teste diagnóstico (One Step Covid</p><p>2019 Test) apresentou especificidade de 99,57% e sensibilidade de 86,43%.</p><p>Para o exercício, considere que o resultado retorne os eventos positivo (+) ou negativo (-) para</p><p>infecção ou não da doença, respectivamente. Considere também o evento de um indivíduo estar</p><p>infectado (𝐶𝑂𝑉𝐼𝐷) e seu complementar (𝐶𝑂𝑉𝐼𝐷̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅), isto é, indivíduo saudável.</p><p>Escreva de maneira literal a especificidade e a sensibilidade do teste em termos de probabilidade</p><p>condicional. Qual a probabilidade 𝑃𝑟[−|𝐶𝑂𝑉𝐼𝐷] de que o teste dê negativo, dado que a pessoa está</p><p>infectada?</p><p>Depois calcule o VPP nesse cenário.</p><p>Resolução:</p><p>I) Do enunciado, inferimos que a especificidade se dá pela capacidade de detectar verdadeiros</p><p>negativos, enquanto a sensibilidade se dá pela capacidade de detectar verdadeiros positivos. Em</p><p>termos de probabilidade, esses conceitos são escritos, respectivamente, como:</p><p>𝑃𝑟[−|𝐶𝑂𝑉𝐼𝐷̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅] = 99,57% e 𝑃𝑟[+|𝐶𝑂𝑉𝐼𝐷] = 86,43%</p><p>A probabilidade de uma pessoa ter COVID é igual a soma da probabilidade de ela ter COVID e o</p><p>teste dar positivo e dela ter COVID e o teste dar negativo. Dessa forma:</p><p>𝑃𝑟[𝐶𝑂𝑉𝐼𝐷] = 𝑃𝑟[− ∩ 𝐶𝑂𝑉𝐼𝐷] + 𝑃𝑟[+ ∩ 𝐶𝑂𝑉𝐼𝐷]</p><p>𝑃𝑟[𝐶𝑂𝑉𝐼𝐷] = 𝑃𝑟[−|𝐶𝑂𝑉𝐼𝐷] . 𝑃𝑟[𝐶𝑂𝑉𝐼𝐷] + 𝑃𝑟[+|𝐶𝑂𝑉𝐼𝐷] . 𝑃𝑟[𝐶𝑂𝑉𝐼𝐷]</p><p>1 = 𝑃𝑟[−|𝐶𝑂𝑉𝐼𝐷] + 𝑃𝑟[+|𝐶𝑂𝑉𝐼𝐷]</p><p>1 = 𝑃𝑟[−|𝐶𝑂𝑉𝐼𝐷] + 0,8643</p><p>Logo, a probabilidade de que o teste dê negativo, dado que a pessoa está infectada se dá por:</p><p>𝑷𝒓[−|𝑪𝑶𝑽𝑰𝑫] = 𝟎, 𝟏𝟑𝟓𝟕</p><p>http://www.thmestatistica.com/</p><p>https://www.instagram.com/thmestatistica/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>https://portalarquivos2.saude.gov.br/images/pdf/2020/June/02/AcuraciaDiagnostico-COVID19-atualizacaoC.pdf</p><p>https://agenciabrasil.ebc.com.br/saude/noticia/2020-10/prevalencia-de-covid-19-e-de-136-na-capital-paulista-indica-estudo</p><p>www.thmestatistica.com @thmestatistica educacional@thmestatistica.com</p><p>15</p><p>II) O VPP se dá pela probabilidade de um indivíduo avaliado e com resultado positivo ser realmente</p><p>doente, isso é, 𝑃𝑟[𝐶𝑂𝑉𝐼𝐷|+].</p><p>Por definição, temos que:</p><p>𝑃𝑟[𝐶𝑂𝑉𝐼𝐷|+] =</p><p>𝑃𝑟[𝐶𝑂𝑉𝐼𝐷 ∩ +]</p><p>𝑃𝑟[+]</p><p>𝑃𝑟[𝐶𝑂𝑉𝐼𝐷 ∩ +] = 𝑃𝑟[+|𝐶𝑂𝑉𝐼𝐷] . 𝑃𝑟[𝐶𝑂𝑉𝐼𝐷]</p><p>Uma pessoa ter resultado positivo no teste se dá pela possibilidade de ela estar infectada e testar</p><p>positivo somada pela possibilidade de ela estar saudável e testar um falso positivo:</p><p>𝑃𝑟[+] = 𝑃𝑟[𝐶𝑂𝑉𝐼𝐷 ∩ +] + 𝑃𝑟[𝐶𝑂𝑉𝐼𝐷̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ∩ +]</p><p>Analogamente, podemos expressar:</p><p>𝑃𝑟[𝐶𝑂𝑉𝐼𝐷̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ∩ +] = 𝑃𝑟[+|𝐶𝑂𝑉𝐼𝐷̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅] . 𝑃𝑟[𝐶𝑂𝑉𝐼𝐷̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅]</p><p>Substituindo as expressões na nossa probabilidade condicional, chegamos em:</p><p>𝑃𝑟[𝐶𝑂𝑉𝐼𝐷|+] =</p><p>𝑃𝑟[+|𝐶𝑂𝑉𝐼𝐷] . 𝑃𝑟[𝐶𝑂𝑉𝐼𝐷]</p><p>𝑃𝑟[𝐶𝑂𝑉𝐼𝐷 ∩ +] + 𝑃𝑟[𝐶𝑂𝑉𝐼𝐷̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ∩ +]</p><p>E do enunciado temos, de acordo com a taxa de prevalência, as seguintes probabilidades:</p><p>𝑃𝑟[𝐶𝑂𝑉𝐼𝐷] = 0,1360 𝑒 𝑃𝑟[𝐶𝑂𝑉𝐼𝐷̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅] = 0,8640</p><p>Logo:</p><p>𝑃𝑟[𝐶𝑂𝑉𝐼𝐷|+] =</p><p>(0,8643)(0,1360)</p><p>(0,8643)(0,1360) + (0,0043)(0,8640)</p><p>𝑷𝒓[𝑪𝑶𝑽𝑰𝑫|+] ≅ 𝟎, 𝟗𝟔</p><p>http://www.thmestatistica.com/</p><p>https://www.instagram.com/thmestatistica/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>www.thmestatistica.com @thmestatistica educacional@thmestatistica.com</p><p>16</p><p>Variáveis Aleatórias</p><p>Para descrever um experimento aleatório (probabilístico) é conveniente associarmos valores</p><p>numéricos aos seus resultados para facilitar algumas contas.</p><p>Por incrível que pareça, até integrais surgem para facilitar os cálculos!</p><p>Como os eventos que ocorrem em experimentos aleatórios</p><p>variam, também variarão os valores</p><p>numéricos que lhes são associados. Dessa forma, a função que associa a cada ponto do espaço</p><p>amostral um número real é denominada variável aleatória.</p><p>Algumas dessas variáveis assumem valores enumeráveis, como por exemplo o número de</p><p>caras em 5 lançamentos de uma moeda. A elas damos o nome de variáveis aleatórias discretas.</p><p>Já outras assumem valores de uma reta real, como por exemplo uma medida de distância com</p><p>precisão milimétrica. A essas damos o nome de variáveis aleatórias contínuas.</p><p>Vamos primeiro focar nosso estudo nas variáveis aleatórias discretas. Posteriormente, iremos nos aprofundar</p><p>também nas contínuas!</p><p>Por exemplo, imaginemos o lançamento de duas moedas com chances iguais para os eventos</p><p>cara (𝐶) e coroa (𝐾). Se definirmos a variável aleatória 𝑋 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎𝑠 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑑𝑜 veremos</p><p>que podemos ter os seguintes valores para 𝑋:</p><p>𝑋 ∁ {0, 1, 2}</p><p>Tal que 𝑋 = 0 implica 𝐶𝐶, 𝑋 = 1 implica 𝐶𝐾 𝑜𝑢 𝐾𝐶 e 𝑋 = 2 implica 𝐾𝐾.</p><p>Sabemos a chance de ocorrência de cada face da moeda e, supondo que os lançamentos sejam</p><p>independentes, podemos calcular a probabilidade associada a cada valor de 𝑋:</p><p>𝑃(𝑋 = 0) = 𝑐ℎ𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝐶𝐶 =</p><p>1</p><p>4</p><p>𝑃(𝑋 = 1) = 𝑐ℎ𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝐶𝐾 + 𝑐ℎ𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝐾𝐶 =</p><p>1</p><p>4</p><p>+</p><p>1</p><p>4</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑃(𝑋 = 2) = 𝑐ℎ𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝐾𝐾 =</p><p>1</p><p>4</p><p>http://www.thmestatistica.com/</p><p>https://www.instagram.com/thmestatistica/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>www.thmestatistica.com @thmestatistica educacional@thmestatistica.com</p><p>17</p><p>Distribuição de Probabilidade</p><p>Em posse das probabilidades relacionadas a cada valor de 𝑋, podemos montar uma tabela</p><p>que associa a cada valor dessa variável sua respectiva probabilidade de ocorrência. A ela damos</p><p>o nome de distribuição de probabilidade.</p><p>Dando sequência ao exemplo iniciado no tópico anterior, obtemos:</p><p>𝒙 𝑷𝒐𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒂𝒎𝒐𝒔𝒕𝒓𝒂𝒊𝒔 𝑷(𝑿 = 𝒙)</p><p>0 𝐶𝐶</p><p>1</p><p>4</p><p>1 𝐶𝐾,𝐾𝐶</p><p>1</p><p>2</p><p>2 𝐾𝐾</p><p>1</p><p>4</p><p>Notação: usaremos letra maiúscula para denotar a variável aleatória e minúscula o valor numérico a ela associado.</p><p>Função de Distribuição Acumulada</p><p>Outro conceito importante é a função que acumula as probabilidades associadas aos valores</p><p>da variável aleatória, até um determinado limite. Essa se chama função de distribuição acumulada.</p><p>Denotaremos ela por 𝑭 maiúsculo, tal que 𝑭(𝒙) = 𝑷[𝑿 ≤ 𝒙].</p><p>Cuidado para não confundir os nomes!</p><p>No exemplo passado, a chance de tirar até uma coroa é expressa como:</p><p>𝐹(1) = 𝑃( 𝑋 ≤ 1) = 𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1) = 3 4⁄</p><p>Por vezes, não temos ideia de como a variável distribui as probabilidades e só sabemos o acúmulo dessas até um</p><p>determinado valor. Nesses casos, a volta é válida: podemos desacumular e obter as probabilidades para cada valor</p><p>de 𝑋.</p><p>Vamos a algumas condições dessa função:</p><p>o 0 ≤ 𝐹(𝑋) ≤ 1;</p><p>Faz sentido? Vamos ver: A função acumula probabilidades, portanto ela não pode ter valores negativos. Por</p><p>outro lado, a chance total (de 𝑆) é 100%, isto é, 1.</p><p>o F(X) é não decrescente e contínua à direita;</p><p>Não está escrito crescente! Prestar atenção nos testes! A 𝐹(𝑋) pode ser constante.</p><p>o lim</p><p>𝑥→−∞</p><p>𝐹(𝑋) = 0 e lim</p><p>𝑥→∞</p><p>𝐹(𝑋) = 1</p><p>Nos extremos, ou a chance de ocorrência é nula ou é uma certeza (0 ou 1).</p><p>http://www.thmestatistica.com/</p><p>https://www.instagram.com/thmestatistica/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>www.thmestatistica.com @thmestatistica educacional@thmestatistica.com</p><p>18</p><p>Alternativa D.</p><p>Exercício 6:</p><p>Um livro consiste de três capítulos 𝐶1, 𝐶2 e 𝐶3. As probabilidades de que os capítulos apresentem</p><p>erros de impressão são independentes e iguais a 0,25, 0,40 e 0,10; respectivamente. A variável</p><p>aleatória 𝑋 expressa o número de capítulos com erros de impressão no livro. Considere as</p><p>seguintes proposições:</p><p>1) Valores de 𝑋: 0, 1, 2, 3;</p><p>2) 𝑃(𝑋 = 3) = 10−2;</p><p>3) 𝑃(𝑋 = 1) + 𝑃(𝑋 = 2) + 𝑃(𝑋 = 3) = 1 – (0,90)(0,60)(0,75);</p><p>4) 𝑃(𝑋 = 1) 𝑃(𝑋 = 0)!</p><p>Errado!</p><p>http://www.thmestatistica.com/</p><p>https://www.instagram.com/thmestatistica/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>www.thmestatistica.com @thmestatistica educacional@thmestatistica.com</p><p>19</p><p>Alternativa D.</p><p>Exercício 7:</p><p>Seja 𝑋 uma variável aleatória discreta com distribuição de probabilidade dada por 𝑃[𝑋 = 𝑥] = 𝑎𝑥</p><p>para 𝑥 ∈ {0, 2, 4, 6, 8, 10}, sendo 𝑎 uma constante. O valor de 𝑃(𝑋 > 6) é:</p><p>(a) 1/5. (b) 2/5. (c) 4/5. (d) 3/5. (e) 3/4.</p><p>Resolução:</p><p>Vamos montar a distribuição de probabilidade dessa variável aleatória:</p><p>𝒙 0 2 4 6 8 10</p><p>𝑷(𝑿 = 𝒙) 0 2𝑎 4𝑎 6𝑎 8𝑎 10𝑎</p><p>Sabemos que varrer todos os valores de 𝑥 resulta em uma chance de 100%, então:</p><p>𝐹(10) = ∑ 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖) = 1</p><p>10</p><p>𝑖=0</p><p>2𝑎 + 4𝑎 + 6𝑎 + 8𝑎 + 10𝑎 = 1 → 30𝑎 = 1 → 𝑎 = 1/30</p><p>A chance 𝑃(𝑋 > 6) pode ser entendida como:</p><p>𝑃(6</p><p>tipos de variáveis aleatórias. Exploramos exemplos que</p><p>abordavam as variáveis aleatórias do tipo discreta. Porém, agora vamos nos aprofundar nas</p><p>variáveis aleatórias contínuas!</p><p>Agora não podemos montar a distribuição de probabilidades da variável, pois não podemos</p><p>considerar os valores de 𝑋 separadamente. Dessa forma, utilizaremos intervalos de valores de 𝑋</p><p>para representar algumas situações. Em se tratando de intervalos e variáveis contínuas, nossa</p><p>definição das probabilidades para uma classe de valores de 𝑋 seguirá por uma soma contínua das</p><p>probabilidades dos valores internos ao intervalo analisado.</p><p>Saiba que nossas probabilidades serão definidas a partir de integrais!</p><p>Para uma função 𝑓(𝑥) de distribuição de probabilidade contínua dada em um intervalo [𝑎, 𝑏]:</p><p>𝑃[𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏] = ∫𝑓(𝑥) 𝑑𝑥</p><p>𝑏</p><p>𝑎</p><p>O nome dessa função que integramos é 𝐟. 𝐝. 𝐩: função densidade de probabilidade. E uma</p><p>propriedade intuitiva e muito importante dela é:</p><p>∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1</p><p>+∞</p><p>−∞</p><p>A chance de x ocorrer varrendo o espaço amostral é 100%</p><p>Para as variáveis aleatórias contínuas vale tudo o que foi dito sobre a função de distribuição</p><p>acumulada, atentando-se às seguintes adaptações:</p><p>𝐹(𝑎) = 𝑃[𝑋 ≤ 𝑎] = ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑒 𝐹´(𝑥) = 𝑓(𝑥)</p><p>𝑎</p><p>−∞</p><p>http://www.thmestatistica.com/</p><p>https://www.instagram.com/thmestatistica/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>www.thmestatistica.com @thmestatistica educacional@thmestatistica.com</p><p>22</p><p>Alternativa E.</p><p>Exercício 9:</p><p>Dada a função densidade de probabilidade 𝑓𝑋(𝑥) = 0,50 para 0 𝑎 2⁄ dado que 𝑋 > 𝑎</p><p>4⁄ ?</p><p>(a) 1/4. (b) 1/6. (c) 2/7. (d) 1/3. (e) 2/3.</p><p>Resolução:</p><p>Numa primeira abordagem com 𝑓. 𝑑. 𝑝´𝑠 podemos inferir que o espaço amostral de 𝑋 está contido</p><p>no intervalo ]0, 𝑎[.</p><p>Ao varrermos o espaço amostral, totalizamos 100%. Dessa forma, podemos encontrar 𝑎, tal que:</p><p>∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1 → (0,50) a = 1</p><p>𝑎</p><p>0</p><p>𝑎 = 2</p><p>Assim, a probabilidade pedida é a de 𝑋 > 1 dado que 𝑋 > 0,5. Condicional essa que tem seu</p><p>denominador representado graficamente pela imagem à direita:</p><p>Se nos lembrarmos bem de probabilidade condicional, ao colocarmos informações no problema</p><p>estamos alterando nosso espaço amostral. Então:</p><p>http://www.thmestatistica.com/</p><p>https://www.instagram.com/thmestatistica/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>www.thmestatistica.com @thmestatistica educacional@thmestatistica.com</p><p>23</p><p>Exercício 10:</p><p>A variável aleatória 𝑌 tem função de densidade de probabilidade (𝑓. 𝑑. 𝑝.)</p><p>𝑓𝑌(𝑦) = {</p><p>𝑐𝑦², 0 ≤ 𝑦 ≤ 2</p><p>0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜</p><p>Use a 𝑓. 𝑑. 𝑝. de 𝑌 para calcular:</p><p>(a) A constante 𝑐.</p><p>(b) 𝑃𝑟[1 ≤ 𝑌 ≤ 1,5].</p><p>Resolução:</p><p>(a) Para encontrar a constante 𝑐, devemos varrer todo espaço amostral e igualá-lo a 1, por meio do</p><p>processo de integração:</p><p>∫𝑐𝑦² 𝑑𝑦 = 1 → 𝑐∫𝑦² 𝑑𝑦 = 1 → 𝑐. [</p><p>𝑦³</p><p>3</p><p>]</p><p>0</p><p>2</p><p>= 1</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>𝒄 =</p><p>𝟑</p><p>𝟖</p><p>(b) Já 𝑃𝑟[1 ≤ 𝑌 ≤ 1,5] é calculado de maneira análoga, varrendo a função no intervalo considerado,</p><p>tal que:</p><p>𝑃𝑟[1 ≤ 𝑌 ≤ 1,5] = ∫ 𝑓(𝑦)𝑑𝑦 → 𝑃𝑟[1 ≤ 𝑌 ≤ 1,5] = 𝑐 ∫ 𝑦² 𝑑𝑦</p><p>1,5</p><p>1</p><p>1,5</p><p>1</p><p>𝑃𝑟[1 ≤ 𝑌 ≤ 1,5] =</p><p>3</p><p>8</p><p>. [</p><p>𝑦3</p><p>3</p><p>]</p><p>1</p><p>1,5</p><p>𝑷𝒓[𝟏 ≤ 𝒀 ≤ 𝟏, 𝟓] = 𝟎, 𝟐𝟗𝟔𝟖𝟕𝟓</p><p>http://www.thmestatistica.com/</p><p>https://www.instagram.com/thmestatistica/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>www.thmestatistica.com @thmestatistica educacional@thmestatistica.com</p><p>24</p><p>Alternativa E.</p><p>Exercício 11:</p><p>Uma variável aleatória 𝑋 tem função de distribuição dada por:</p><p>𝐹(𝑥) = {</p><p>1 − 𝑒−𝑎𝑥, 𝑥 ≥ 0</p><p>0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜</p><p>Sendo 𝑎 > 0 uma constante real. A probabilidade 𝑃 (𝑋 ≥</p><p>1</p><p>4𝑎</p><p>) vale:</p><p>(a) 𝑒−𝑎. (b) 𝑒−1/4. (c) 𝑒−𝑎/4. (d) 𝑒1/4. (e) 𝑒𝑎/4.</p><p>Resolução:</p><p>Estamos tratanto agora com 𝐹(𝑥) e não com 𝑓(𝑥). Essa função acumulada calculada na</p><p>extremidade direita tem que dar 1.</p><p>𝐹(∞) = 1 − 𝑒−𝑎∞ = 1</p><p>Sim, eu sei do preciosismo do cálculo, em que 𝑥 → ∞ vira um limite e blá blá blá... aqui foi só pra testar a</p><p>intuição e verificar uma propriedade de definição de função.</p><p>Podemos descobrir 𝑃 (𝑋 ≥</p><p>1</p><p>4𝑎</p><p>) subtraindo a acumulada de 𝑥 no infinito (𝐹(∞)) 𝑝𝑜𝑟 𝐹 (</p><p>1</p><p>4𝑎</p><p>):</p><p>𝑃 (𝑋 ≥</p><p>1</p><p>4𝑎</p><p>) = 𝐹(∞) − 𝐹 (</p><p>1</p><p>4𝑎</p><p>)</p><p>𝑃 (𝑋 ≥</p><p>1</p><p>4𝑎</p><p>) = 1 − (1 − 𝑒−</p><p>1</p><p>4)</p><p>𝑷(𝑿 ≥</p><p>𝟏</p><p>𝟒𝒂</p><p>) = 𝒆−</p><p>𝟏</p><p>𝟒</p><p>http://www.thmestatistica.com/</p><p>https://www.instagram.com/thmestatistica/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>www.thmestatistica.com @thmestatistica educacional@thmestatistica.com</p><p>25</p><p>Exercício 12:</p><p>Um sistema é constituído de três componentes idênticos. Sabe-se que pelo menos dois</p><p>componentes devem funcionar para que o sistema opere corretamente. Considere que cada</p><p>componente opera de forma independente dos demais. Qual a probabilidade de o sistema operar</p><p>por mais de 8 mil horas? O tempo de vida 𝑥 de cada componente é expresso pela função densidade</p><p>de probabilidade apresentada abaixo, onde 𝑥 é expresso em mil horas.</p><p>(a) 𝑎2(1 − 𝑎). (b) 1/16. (c) 5/32. (d) 𝑎(1 − 𝑎)². (e) 27/32.</p><p>Resolução:</p><p>Primeiramente, vamos calcular a probabilidade de um componente durar mais de 8 mil horas:</p><p>𝑃(𝑋 ≥ 8) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =</p><p>∞</p><p>8</p><p>𝑃(𝑋 ≥ 8) = 𝑎 +</p><p>𝑎</p><p>2</p><p>=</p><p>3𝑎</p><p>2</p><p>Para descobrir 𝑎 vamos varrer todo gráfico e igualar a 1:</p><p>𝑎 + 3 𝑎 + 1,5 𝑎 + 0,5 𝑎 = 1</p><p>𝑎 = 1/6</p><p>Portanto:</p><p>𝑃(𝑋 ≥ 8) =</p><p>3𝑎</p><p>2</p><p>=</p><p>1</p><p>4</p><p>(um componente falhar)</p><p>http://www.thmestatistica.com/</p><p>https://www.instagram.com/thmestatistica/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>www.thmestatistica.com @thmestatistica educacional@thmestatistica.com</p><p>26</p><p>Alternativa E.</p><p>Para o sistema funcionar por mais de 8 mil horas, todos componentes funcionam:</p><p>𝑃(𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑚) =</p><p>3</p><p>4</p><p>.</p><p>3</p><p>4</p><p>.</p><p>3</p><p>4</p><p>𝑃(𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑚) =</p><p>27</p><p>64</p><p>eventos independentes</p><p>Ou, no máximo, um componente não funciona:</p><p>𝑃(𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 1 𝑞𝑢𝑒𝑏𝑟𝑎𝑑𝑜) = 3 . (</p><p>1</p><p>4</p><p>.</p><p>3</p><p>4</p><p>.</p><p>3</p><p>4</p><p>)</p><p>O fator de multiplicação 3 se refere à combinação dos resultados.</p><p>𝑃(𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 1 𝑞𝑢𝑒𝑏𝑟𝑎𝑑𝑜) =</p><p>27</p><p>64</p><p>Assim:</p><p>𝑃(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑑𝑒 8𝑚𝑖𝑙 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠) = 𝑃(𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑚) + 𝑃(𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 1 𝑞𝑢𝑒𝑏𝑟𝑎𝑑𝑜)</p><p>𝑃(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑑𝑒 8𝑚𝑖𝑙 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠) =</p><p>27</p><p>64</p><p>+</p><p>27</p><p>64</p><p>𝑷(𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒓 𝒑𝒐𝒓 𝒎𝒂𝒊𝒔 𝒅𝒆 𝟖𝒎𝒊𝒍 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔) =</p><p>𝟐𝟕</p><p>𝟑𝟐</p><p>http://www.thmestatistica.com/</p><p>https://www.instagram.com/thmestatistica/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>www.thmestatistica.com @thmestatistica educacional@thmestatistica.com</p><p>27</p><p>Capítulo 2</p><p>Média e Variância</p><p>No Capítulo 1, vimos algumas definições novas até então, como probabilidade condicional,</p><p>Teorema de Bayes, variáveis aleatórias. Estas últimas se dividiam em discretas e contínuas. Dando</p><p>continuidade ao conteúdo, veremos os conceitos de média (ou valor esperado) e variância de</p><p>variáveis ou funções de variáveis aleatórias. Vamos começar analisando as variáveis discretas e</p><p>depois partir para o estudo das contínuas.</p><p>o Variáveis discretas:</p><p>Média μ: Para variáveis discretas, a média é definida como a média dos</p><p>valores de</p><p>𝑿 ponderados pela sua probabilidade de ocorrência.</p><p>𝜇 = 𝐸(𝑋) = ∑𝑥𝑖 . 𝑝(𝑥𝑖)</p><p>𝑛</p><p>𝑖=1</p><p>Podemos estar interessados em encontrar o valor esperado de uma função de 𝑋, por</p><p>exemplo ℎ(𝑥):</p><p>𝐸(ℎ(𝑋)) = ∑ℎ(𝑥𝑖). 𝑝(𝑥𝑖)</p><p>𝑛</p><p>𝑖=1</p><p>Exemplo:</p><p>Seja 𝑋 = {2, 5, 10} 𝑒 𝑃(𝑋 = 2) = 0,2 ; 𝑃(𝑋 = 5) = 0,4 𝑒 𝑃(𝑋 = 10) = 0,4 e ℎ(𝑥) = 𝑥², encontre</p><p>𝐸(𝑋) e 𝐸(ℎ(𝑋)).</p><p>Resolução:</p><p>𝑿 = 𝒙 2 5 10</p><p>𝑷(𝑿 = 𝒙) 0,2 0,4 0,4</p><p>𝒉(𝑿) 4 25 100</p><p>𝐸(𝑋) = 0,2 . 2 + 0,4 . 5 + 0,4 . 10 = 𝟔, 𝟒</p><p>𝐸(ℎ(𝑋)) = 0,2 . 4 + 0,4 . 25 + 0,4 . 100 = 𝟓𝟎, 𝟖</p><p>http://www.thmestatistica.com/</p><p>https://www.instagram.com/thmestatistica/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>www.thmestatistica.com @thmestatistica educacional@thmestatistica.com</p><p>28</p><p>A média possui duas propriedades úteis para o desenvolvimento do nosso estudo. São elas:</p><p>• Se temos uma constante 𝑏 ∈ 𝑅 adicionada: 𝐸(𝑋 + 𝑏) = 𝐸(𝑋) + 𝑏</p><p>• Se temos uma constante 𝑎 ∈ 𝑅 multiplicada: 𝐸(𝑎𝑋) = 𝑎 . 𝐸(𝑋)</p><p>De maneira geral:</p><p>𝐸(𝑎𝑋 + 𝑏) = 𝑎 . 𝐸(𝑋) + 𝑏</p><p>Dessa forma, seja 𝑋𝑖 variável aleatória, tal que 𝐸(𝑋𝑖) = 𝜇, 𝑖 = 1, . . . , 𝑛 𝑒 𝑎𝑖 ∈ 𝑅, temos que:</p><p>𝐸 (∑𝑎𝑖𝑥𝑖</p><p>𝑛</p><p>𝑖=1</p><p>) = (∑𝑎𝑖</p><p>𝑛</p><p>𝑖=1</p><p>) 𝐸(𝑋)</p><p>Por exemplo:</p><p>𝐸(2𝑋 + 5𝑋) = (2 + 5) 𝐸(𝑋) = 7𝐸(𝑋)</p><p>http://www.thmestatistica.com/</p><p>https://www.instagram.com/thmestatistica/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>www.thmestatistica.com @thmestatistica educacional@thmestatistica.com</p><p>29</p><p>Variância Ե²: A variância é calculada como a soma dos desvios quadráticos (desvio é dado</p><p>por (𝑥𝑖 – 𝜇)) ponderados pela probabilidade de ocorrência de 𝑥𝑖 . Portanto:</p><p>Ե² = 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸((𝑋 − 𝜇)²) = ∑(𝑥𝑖 − 𝜇)</p><p>2. 𝑝(𝑥𝑖)</p><p>𝑛</p><p>𝑖=1</p><p>É uma medida de dispersão dos valores de 𝑥: quanto maior 𝑉𝑎𝑟(𝑋), maior o espalhamento</p><p>dos valores. Sua unidade é o quadrado da unidade de 𝑋. Se for de interesse termos a mesma</p><p>unidade da variável, usamos o desvio padrão:</p><p>Ե(𝑋) = √Ե²(𝑋)</p><p>Com um certo algebrismo, chegamos na nossa primeira fórmula prática:</p><p>𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋²) – [𝐸(𝑋)]²</p><p>A variância possui uma propriedade útil para o desenvolvimento do nosso estudo:</p><p>𝑉𝑎𝑟(𝑎𝑋 + 𝑏) = 𝑎2. 𝑉𝑎𝑟(𝑋)</p><p>Dessa forma, seja 𝑋𝑖 variável aleatória, tal que 𝑉𝑎𝑟(𝑋𝑖) = Ե</p><p>2, 𝑖 = 1, . . . , 𝑛 𝑒 𝑎𝑖 ∈ 𝑅, temos</p><p>que:</p><p>𝑉𝑎𝑟 (∑𝑎𝑖𝑥𝑖</p><p>𝑛</p><p>𝑖=1</p><p>) = (∑𝑎𝑖</p><p>2</p><p>𝑛</p><p>𝑖=1</p><p>) 𝑉𝑎𝑟(𝑋)</p><p>Por exemplo:</p><p>𝑉𝑎𝑟(2𝑋 + 5𝑋) = (22 + 52) 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 29 𝑉𝑎𝑟(𝑋)</p><p>Perceba que isso é diferente de Var(7X) = 7²Var(X) = 49Var(X)</p><p>http://www.thmestatistica.com/</p><p>https://www.instagram.com/thmestatistica/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>www.thmestatistica.com @thmestatistica educacional@thmestatistica.com</p><p>30</p><p>Exercício 13:</p><p>Seja a variável aleatória 𝑋, que corresponde aos resultados possíveis no lançamento de um dado</p><p>honesto. Dada a função 𝑓(𝛼) = 𝛼2 + 2, uma outra variável 𝑍 é obtida por meio de 𝑍 = 𝑓(𝑥).</p><p>(a) Quais os valores assumidos por 𝑍 e qual sua função de massa de probabilidade?</p><p>(b) Obtenha 𝐸(𝑓(𝑥)).</p><p>(c) Calcule 𝑓(𝐸(𝑋)).</p><p>Resolução:</p><p>(a)</p><p>𝒙</p><p>1 2 3 4 5 6</p><p>𝒁</p><p>3 6 11 18 27 38</p><p>𝑷</p><p>1</p><p>6</p><p>1</p><p>6</p><p>1</p><p>6</p><p>1</p><p>6</p><p>1</p><p>6</p><p>1</p><p>6</p><p>(b) Aplicamos a definição, tal que:</p><p>𝐸(𝑓(𝑥)) = 𝐸(𝑍) = ∑𝑍𝑖 .</p><p>6</p><p>𝑖=1</p><p>𝑃(𝑍𝑖)</p><p>𝐸(𝑓(𝑥)) = 3 .</p><p>1</p><p>6</p><p>+ 6 .</p><p>1</p><p>6</p><p>+ 11 .</p><p>1</p><p>6</p><p>+ 18 .</p><p>1</p><p>6</p><p>+ 27 .</p><p>1</p><p>6</p><p>+ 38.</p><p>1</p><p>6</p><p>𝑬(𝒇(𝒙)) = 𝟏𝟕, 𝟏𝟔</p><p>(c) Neste caso, temos:</p><p>𝐸(𝑋) = 1 .</p><p>1</p><p>6</p><p>+ 2 .</p><p>1</p><p>6</p><p>+ 3 .</p><p>1</p><p>6</p><p>+ 4 .</p><p>1</p><p>6</p><p>+ 5 .</p><p>1</p><p>6</p><p>+ 6 .</p><p>1</p><p>6</p><p>= 3,5</p><p>Assim:</p><p>𝑓(𝐸(𝑋)) = (𝐸(𝑋))</p><p>2</p><p>+ 2 = (17,16)2 + 2</p><p>𝒇(𝑬(𝑿)) = 𝟐𝟗𝟔, 𝟒𝟔𝟓𝟔</p><p>Perceba que E(f(x)) ≠ f(E(X)), tal que o primeiro trata-se do valor esperado de uma função e o segundo o valor de x</p><p>esperado calculado dentro da função.</p><p>http://www.thmestatistica.com/</p><p>https://www.instagram.com/thmestatistica/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>www.thmestatistica.com @thmestatistica educacional@thmestatistica.com</p><p>31</p><p>Exercício 14:</p><p>Uma empresa de manutenção de automóveis pode demorar até 5 dias para consertar um carro. O</p><p>reparo é cobrado de acordo com o tempo que o serviço leva para ser executado. O número de dias</p><p>𝐷 para que um carro seja consertado e o preço do serviço 𝐶 são descritos por</p><p>𝑓𝐷(𝑑) =</p><p>{</p><p>0,200 ; 𝑑 = 1</p><p>0,350 ; 𝑑 = 2</p><p>0,250 ; 𝑑 = 3</p><p>0,125 ; 𝑑 = 4</p><p>0,075 ; 𝑑 = 5</p><p>0 ; 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜</p><p>𝐶 =</p><p>{</p><p>100 , 𝑠𝑒 𝑑 = 1</p><p>90 , 𝑠𝑒 𝑑 = 2</p><p>85 , 𝑠𝑒 𝑑 = 3</p><p>80 , 𝑠𝑒 𝑑 = 4</p><p>75 , 𝑠𝑒 𝑑 = 5</p><p>(a) Qual é o valor esperado para o tempo de conserto 𝜇𝐷 = 𝐸(𝐷)?</p><p>(b) Qual é o desvio esperado 𝐸(𝐷 − 𝜇𝐷)?</p><p>(c) Qual o valor esperado de 𝐶?</p><p>Resolução:</p><p>(a) Para o cálculo da esperança temos:</p><p>𝐸(𝐷) = 1 . (0,200) + 2 . (0,350) + 3 . (0,250) + 4 . ( 0,125) + 5 . (0,075)</p><p>𝑬(𝑫) = 𝟐, 𝟓𝟐𝟓</p><p>(b) Já para o cálculo do desvio esperado, fazemos:</p><p>𝐸(𝐷 − 𝜇𝐷) = 𝐸(𝐷) – 𝜇𝐷</p><p>𝐸(𝐷 − 𝜇𝐷) = 𝜇𝐷 – 𝜇𝐷</p><p>𝑬(𝑫 − 𝝁𝑫) = 𝟎</p><p>(c) Por fim, aplicamos a definição de valor esperado novamente:</p><p>𝐸(𝐶(𝐷)) = 100 . (0,200) + 90 . (0,350) + 85 . (0,250) + 80 . ( 0,125) + 75 . (0,075)</p><p>𝑬(𝑫) = 𝟖𝟖, 𝟑𝟕𝟓</p><p>http://www.thmestatistica.com/</p><p>https://www.instagram.com/thmestatistica/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>www.thmestatistica.com @thmestatistica educacional@thmestatistica.com</p><p>32</p><p>Alternativa B.</p><p>Exercício 15:</p><p>Seja 𝑥𝑖, 𝑖 = 1, 2, 3, 4, 5 uma sequência de variáveis aleatórias independentes (resultados de 5</p><p>experimentos idênticos mas independentes). Sabe-se que 𝐸(𝑥𝑖) = 𝜇 𝑒 𝑉𝑎𝑟(𝑥𝑖) = Ե</p><p>2, 𝑖 = 1, 2, 3.</p><p>Deseja-se estimar 𝜇 com o seguinte estimador:</p><p>�̂� =</p><p>(𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5)</p><p>5</p><p>A variância de �̂� é igual a:</p><p>(a)</p><p>Ե²</p><p>2</p><p>. (b)</p><p>Ե²</p><p>5</p><p>. (c)</p><p>(Ե2−μ²)</p><p>5</p><p>. (d)</p><p>Ե²</p><p>5</p><p>+ 𝜇². (e) 5Ե²</p><p>Resolução:</p><p>Comecemos calculando o valor esperado do estimador e depois sua variância:</p><p>𝐸(�̂�) = 𝐸 (</p><p>(𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5)</p><p>5</p><p>)</p><p>𝐸(�̂�) =</p><p>1</p><p>5</p><p>𝐸(𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5)</p><p>𝐸(�̂�) =</p><p>1</p><p>5</p><p>(1 + 1 + 1 + 1 + 1) . 𝐸(𝑥)</p><p>𝑬(�̂�) = 𝝁</p><p>𝑉𝑎𝑟(�̂�) = 𝑉𝑎𝑟 (</p><p>(𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5)</p><p>5</p><p>)</p><p>𝑉𝑎𝑟(�̂�) =</p><p>1</p><p>25</p><p>(12 + 12 + 12 + 12 + 1²) . 𝑉𝑎𝑟(𝑥)</p><p>𝑉𝑎𝑟(�̂�) =</p><p>5 . 𝑉𝑎𝑟(𝑥)</p><p>25</p><p>𝑽𝒂𝒓(�̂�) =</p><p>Ե²</p><p>𝟓</p><p>http://www.thmestatistica.com/</p><p>https://www.instagram.com/thmestatistica/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>www.thmestatistica.com @thmestatistica educacional@thmestatistica.com</p><p>33</p><p>Exercício 16:</p><p>A função distribuição cumulativa 𝐹𝑋(𝑥) de uma variável aleatória 𝑋 é definida da seguinte forma:</p><p>𝐹𝑋(𝑥) igual a 0 para 𝑥</p><p>𝑷(𝑿 = 𝒙)</p><p>2</p><p>9</p><p>4</p><p>9</p><p>6</p><p>9</p><p>http://www.thmestatistica.com/</p><p>https://www.instagram.com/thmestatistica/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>www.thmestatistica.com @thmestatistica educacional@thmestatistica.com</p><p>34</p><p>Alternativa A.</p><p>b) Com o auxílio das propriedades da esperança, fazemos:</p><p>𝐸(𝑎𝑋2 − 𝑏𝑋 + 𝑐) = 𝑎 . 𝐸(𝑋2)– 𝑏 . 𝐸(𝑋) + 𝑐</p><p>𝑬(𝒂𝑿𝟐 − 𝒃𝑿 + 𝒄) =</p><p>𝟏𝟔</p><p>𝟗</p><p>𝒂 + 𝒄</p><p>c) As duas entidades matemáticas já foram calculadas nos itens anteriores, logo, reafirmamos que:</p><p>𝑬(𝑿𝟐) =</p><p>𝟐𝟒</p><p>𝟗</p><p>𝒆 𝑬(𝑿) = 𝟎</p><p>http://www.thmestatistica.com/</p><p>https://www.instagram.com/thmestatistica/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>www.thmestatistica.com @thmestatistica educacional@thmestatistica.com</p><p>35</p><p>Após o estudo mais aprofundado das variáveis aleatórias discretas, podemos estender nosso</p><p>conhecimento às contínuas, com as devidas alterações conceituais.</p><p>o Variáveis Contínuas:</p><p>Média μ: Os conceitos principais são os mesmos comentados no caso discreto. Ainda</p><p>iremos desenvolver uma soma dos valores assumidos da variável ponderados pelas suas</p><p>respectivas probabilidades de ocorrência. Porém, como estamos trabalhando agora com variáveis</p><p>contínuas, não mais conseguimos realizar essa soma membro a membro. Dessa forma, iremos</p><p>usar o cálculo de integrais para possibilitar essa operação.</p><p>Assim, a média de uma variável aleatória contínua assume a seguinte forma:</p><p>𝜇 = 𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥 . 𝑓(𝑥)𝑑𝑥</p><p>+∞</p><p>−∞</p><p>Já a média de uma função de uma variável aleatória, ℎ(𝑥), por exemplo, assume forma</p><p>análoga:</p><p>𝐸(ℎ(𝑋)) = ∫ ℎ(𝑥) . 𝑓(𝑥)𝑑𝑥</p><p>+∞</p><p>−∞</p><p>Variância Ե²: Analogamente, para a variância de variáveis contínuas, temos que:</p><p>𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸((𝑥 − 𝜇)²) = ∫ (𝑥 − 𝐸(𝑥))². 𝑓(𝑥)𝑑𝑥</p><p>+∞</p><p>−∞</p><p>e</p><p>𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋²) – (𝐸(𝑋))² = ∫ 𝑥². 𝑓(𝑥)𝑑𝑥</p><p>+∞</p><p>−∞</p><p>− ( ∫ 𝑥. 𝑓(𝑥)𝑑𝑥</p><p>+∞</p><p>−∞</p><p>)</p><p>2</p><p>http://www.thmestatistica.com/</p><p>https://www.instagram.com/thmestatistica/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>www.thmestatistica.com @thmestatistica educacional@thmestatistica.com</p><p>36</p><p>Modelos Discretos</p><p>Existem certos experimentos, no estudo de probabilidades, em que as variáveis abordadas</p><p>produzem resultados conjecturáveis. O valor dessas podem até mudar, porém a forma de</p><p>organização dos dados segue um determinado padrão. A partir disso, surge a possibilidade de</p><p>construir um modelo matemático que associa a distribuição das probabilidades às variáveis</p><p>aleatórias. Dito isso, iremos nos aprofundar no estudo dos principais modelos de distribuição de</p><p>probabilidades tanto para variáveis discretas quanto para variáveis contínuas.</p><p>Para todos os modelos abordados iremos cumprir a seguinte sequência: determinar a distribuição</p><p>de probabilidades, estimar o valor esperado e a variância e comentar possíveis propriedades.</p><p>Distribuição de Bernoulli</p><p>Ocorre quando a variável aleatória 𝑋 só assume valores de 0 ou 1, com probabilidade 𝑃(𝑋 =</p><p>1) = 𝑝 𝑒 𝑃(𝑋 = 0) = 1 − 𝑝. Isto é:</p><p>𝑿 0 1</p><p>𝑷(𝑿) 𝑝 1 − 𝑝</p><p>Aplicando a definição dos conceitos de esperança e variância, para essa distribuição,</p><p>encontramos:</p><p>𝐸(𝑋) = 0 . (1 − 𝑝) + 1 . 𝑝</p><p>𝑬(𝑿) = 𝒑</p><p>𝑉𝑎𝑟(𝑋) = (1 − 𝑝)2. 𝑝 + (0 − 𝑝2) . (1 − 𝑝)</p><p>𝑽𝒂𝒓(𝑿) = 𝒑. (𝟏 − 𝒑)</p><p>http://www.thmestatistica.com/</p><p>https://www.instagram.com/thmestatistica/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>www.thmestatistica.com @thmestatistica educacional@thmestatistica.com</p><p>37</p><p>Distribuição Binomial</p><p>É composta por 𝑛 ensaios de 𝐵𝑒𝑟𝑛𝑜𝑢𝑙𝑙𝑖, em que 𝑋 = número de sucessos em 𝑛 tentativas.</p><p>Vamos calcular a probabilidade de, por exemplo, em 3 𝐵𝑒𝑟𝑛𝑜𝑢𝑙𝑙𝑖𝑠 (independentes entre si), ocorrer</p><p>1 sucesso:</p><p>de quantas maneiras pode ocorrer?</p><p>𝑃(𝑋 = 1, 𝑛 = 3) = 𝑝 . (1 − 𝑝) . (1 − 𝑝) . 𝐶3,1</p><p>sucesso fracasso fracasso</p><p>𝑃(𝑋 = 1, 𝑛 = 3) = 𝑝¹ . (𝑝 − 1)² . (</p><p>3</p><p>1</p><p>)</p><p>Podemos, então, definir a binomial segundo os parâmetros 𝑛 e 𝑝. Dessa forma, seja 𝑋 uma</p><p>variável aleatória com distribuição binomial (𝑋 = 𝐵(𝑛, 𝑝)), sua distribuição de probabilidades para</p><p>𝑋 = 𝑘 em 𝑛 tentativas é dada por:</p><p>𝑷(𝑿 = 𝒌, 𝒏) = 𝒑𝒌 . (𝟏 − 𝒑)𝒏−𝒌 . (</p><p>𝒏</p><p>𝒌</p><p>)</p><p>E, logo, definimos a esperança e a variância dessa distribuição de acordo com a definição:</p><p>𝑬(𝑿) = 𝒏𝒑</p><p>𝑽𝒂𝒓(𝑿) = 𝒏𝒑 . (𝟏 − 𝒑)</p><p>Por fim, vale frisar que, para 𝑚 variáveis aleatórias do tipo 𝑋1 = 𝐵(𝑛1,𝑝); 𝑋2 = 𝐵(𝑛2,𝑝);  ;</p><p>𝑋𝑚 = 𝐵(𝑛𝑚,𝑝) tem-se:</p><p>𝑆𝑒 𝑋𝑖 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 →∑𝑋𝑖 = 𝐵(∑𝑛𝑖 , 𝑝</p><p>𝑚</p><p>𝑖=1</p><p>)</p><p>𝑚</p><p>𝑖=1</p><p>Lembre-se também de que 𝐶𝑛,𝑘 = (</p><p>𝑛</p><p>𝑘</p><p>) e que o número binomial é dado por:</p><p>http://www.thmestatistica.com/</p><p>https://www.instagram.com/thmestatistica/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>www.thmestatistica.com @thmestatistica educacional@thmestatistica.com</p><p>38</p><p>Distribuição Geométrica</p><p>Seja 𝑋 a variável aleatória que fornece o número de falhas até o primeiro sucesso em 𝑛</p><p>ensaios de 𝐵𝑒𝑟𝑛𝑜𝑢𝑙𝑙𝑖 seguidos. Assim, 𝑋 tem distribuição geométrica, 𝑋 = 𝐺𝑒𝑜(𝑝), com parâmetro</p><p>𝑝, 0 𝑡 + 𝑠 | 𝑋 ≥ 𝑠) = 𝑃(𝑋 > 𝑡)</p><p>Cabe ainda a exemplificar em um exemplo numérico:</p><p>𝑃(𝑋 > 12 | 𝑋 ≥ 4) = 𝑃(𝑋 > 8)</p><p>http://www.thmestatistica.com/</p><p>https://www.instagram.com/thmestatistica/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>www.thmestatistica.com @thmestatistica educacional@thmestatistica.com</p><p>39</p><p>Exercício 17:</p><p>Uma indústria automotiva produz 100 carros por dia. Há uma probabilidade constante 𝑎 = 1 10⁄ de</p><p>produzir carros com algum defeito. Antes de serem enviados às lojas físicas, os carros são</p><p>inspecionados e os defeituosos são separados.</p><p>A probabilidade de um carro defeituoso ser mal classificado é 𝑞 = 0,2. E um carro bom ser</p><p>mal classificado ocorre com 𝑟 = 0,3. Determine a função probabilidade da variável 𝑋 e o número</p><p>médio de carros classificados como defeituosos ao final do dia.</p><p>Considere que cada carro classificado como defeituoso custe 𝑅$ 1.000,00 para ser</p><p>reavaliado detalhadamente e reparado, se necessário. Em vista dessas despesas, a montadora</p><p>implementou uma melhora no sistema de inspeção, com probabilidades 𝑞´ = 0,15 e 𝑟´ = 0,20.</p><p>Calcule o número médio de carros classificados como defeituosos por dia após a implementação</p><p>do novo sistema de inspeção e a respectiva redução nas despesas de reavaliação.</p><p>Resolução:</p><p>I) Para entender melhor o problema, vamos montar a chamada árvore de probabilidades:</p><p>𝐶𝑎𝑟𝑟𝑜𝑠</p><p>{</p><p>𝟎, 𝟗𝟎 𝑠𝑒𝑚 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜 {</p><p>𝟎, 𝟕𝟎 𝑏𝑜𝑚</p><p>𝟎, 𝟑𝟎 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑖𝑡𝑢𝑜𝑠𝑜</p><p>𝟎, 𝟏𝟎 𝑐𝑜𝑚 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜 {</p><p>𝟎, 𝟐𝟎 𝑏𝑜𝑚</p><p>𝟎, 𝟖𝟎 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑖𝑡𝑢𝑜𝑠𝑜</p><p>A probabilidade 𝑝 do carro ser classificado como defeituoso é:</p><p>𝑝 = (0,9). (0,3) + (0,1). (0,8 )</p><p>𝑝 = 0,35</p><p>Como 𝑋 é uma binomial tal que 𝑋 ~ 𝐵(100; 0,35), obtemos:</p><p>𝑷(𝑿 = 𝒙) = (</p><p>𝟏𝟎𝟎</p><p>𝒙</p><p>) 𝟎, 𝟑𝟓𝒙 𝟎, 𝟔𝟓 𝟏𝟎𝟎−𝒙</p><p>número de carros classificados como defeituosos</p><p>Assim, sua esperança é calculada como:</p><p>𝐸(𝑋) = 𝑛𝑝</p><p>𝑬(𝑿) = 𝟑𝟓</p><p>http://www.thmestatistica.com/</p><p>https://www.instagram.com/thmestatistica/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>www.thmestatistica.com @thmestatistica educacional@thmestatistica.com</p><p>40</p><p>II) Com o novo sistema de inspeção, encontramos uma nova árvore de possibilidades, tal que:</p><p>𝐶𝑎𝑟𝑟𝑜𝑠</p><p>{</p><p>𝟎, 𝟗𝟎 𝑠𝑒𝑚 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜 {</p><p>𝟎, 𝟖𝟎 𝑏𝑜𝑚</p><p>𝟎, 𝟐𝟎 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑖𝑡𝑢𝑜𝑠𝑜</p><p>𝟎, 𝟏𝟎 𝑐𝑜𝑚 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜 {</p><p>𝟎, 𝟏𝟓 𝑏𝑜𝑚</p><p>𝟎, 𝟖𝟓 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑖𝑡𝑢𝑜𝑠𝑜</p><p>Assim, a probabilidade 𝑝´ do carro ser classificado como defeituoso, após a implementação do</p><p>novo sistema de inspeção, é:</p><p>𝑝´ = (0,9) . (0,20) + (0,1) . (0,85)</p><p>𝑝´ = 0,265</p><p>Por consequência, a nova esperança é:</p><p>𝐸(𝑋) = 𝑛𝑝</p><p>𝑬(𝑿) = 𝟐𝟔, 𝟓</p><p>Dessa forma, podemos concluir que, com o antigo sistema de inspeção, o número médio de carros</p><p>classificados como defeituosos era 35 e a despesa da montadora com a reavaliação era, em média,</p><p>de 𝑅$ 35.000,00 por dia.</p><p>Após a implementação do novo sistema de inspeção, o número médio de carros classificados como</p><p>defeituosos passou a ser de 26,5 e, assim, a despesa média da montadora com a reavaliação caiu</p><p>para a média de 𝑅$ 26.500,00 por dia.</p><p>Dessa forma, a montadora obteve uma redução das despesas de 𝑹$ 𝟖. 𝟓𝟎𝟎, 𝟎𝟎 por dia.</p><p>http://www.thmestatistica.com/</p><p>https://www.instagram.com/thmestatistica/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>www.thmestatistica.com @thmestatistica educacional@thmestatistica.com</p><p>41</p><p>Alternativa C.</p><p>Exercício 18:</p><p>Uma obra de construção civil recebe um lote com 10 sacos de areia de uma fornecedora e o testa</p><p>antes de firmar contrato. O teste consiste em verificar as propriedades indicadas em projeto. Essa</p><p>obra desenvolveu um ensaio que consiste em sortear 1 saco entre os 10 e testá-lo. Se o teste não</p><p>falhar, o lote é aceito; caso contrário o lote é rejeitado. No teste de 10 lotes idênticos, cada um com</p><p>1 saco não conforme, qual a probabilidade de serem aceitos mais de 8 desses lotes com</p><p>problemas?</p><p>(a) 0,910. (b) 1,71 . (0,9)9. (c) 1,90 . (0,9)9. (d) 1,35 . (0,9)9. (e) 0,9.</p><p>Resolução:</p><p>Do texto, podemos inferir a probabilidade de falha 𝑝 , tal que: 𝑝 = 1 10⁄ = 0,1. Assim, como 𝑋 se</p><p>refere ao número de falhas em 10 tentativas, temos um problema de distribuição binomial, em que</p><p>𝑋 = 𝐵(10; 0,1).</p><p>Pede-se a probabilidade de serem aceitos mais de 8 lotes com problemas. Note que essa é a</p><p>mesma que a probabilidade de menos de 2 lotes problemáticos acusarem falha. Em termos</p><p>matemáticos, temos:</p><p>𝑃(𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑑𝑒 8 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠 𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑜𝑠) = 𝑃(𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 2 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠 𝑎𝑐𝑢𝑠𝑎𝑟𝑒𝑚 𝑓𝑎𝑙ℎ𝑎)</p><p>𝑃(𝑋 > 8) = 𝑃(𝑋 8) = 𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1)</p><p>𝑃(𝑋 > 8) = (</p><p>10</p><p>0</p><p>) . 0,10 . 0,910 + (</p><p>10</p><p>1</p><p>) . 0,11 . 0,99</p><p>𝑃(𝑋 > 8) = 1 . 1 . 0,910 + 10 . 0,1 . 0,99</p><p>𝑷(𝑿 > 𝟖) = 𝟏, 𝟗𝟎 . (𝟎, 𝟗)𝟗</p><p>http://www.thmestatistica.com/</p><p>https://www.instagram.com/thmestatistica/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>www.thmestatistica.com @thmestatistica educacional@thmestatistica.com</p><p>42</p><p>Distribuição de Poisson</p><p>É relacionada à contagem de ocorrências por evento. Seu parâmetro é a taxa 𝜆, tal que 𝑋 =</p><p>𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝜆).</p><p>𝑷(𝑿 = 𝒌) =</p><p>𝒆−𝛌𝛌𝒌</p><p>𝒌!</p><p>Já sua esperança e variância são tais que:</p><p>𝑬(𝑿) = 𝝀</p><p>𝑽𝒂𝒓(𝑿) = 𝝀</p><p>Por fim, seja 𝑋1 = Poisson(𝜆1), 𝑋2 = Poisson(𝜆2),  , 𝑋𝑚 = Poisson(𝜆𝑚), temos, para essa</p><p>distribuição:</p><p>∑𝑋𝑖 = 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 (∑𝜆𝑖</p><p>𝑚</p><p>𝑖=1</p><p>)</p><p>http://www.thmestatistica.com/</p><p>https://www.instagram.com/thmestatistica/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>www.thmestatistica.com @thmestatistica educacional@thmestatistica.com</p><p>43</p><p>Alternativa B.</p><p>Exercício 19:</p><p>A taxa de ocorrência de atendimentos médicos em um pronto socorro é de 𝑟 atendimentos por hora.</p><p>A distribuição do número de atendimentos em um período [0, 𝑡] é 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 com parâmetro 𝜆 =</p><p>5𝑟𝑡²</p><p>2</p><p>,</p><p>sendo 𝑡 em horas. A variável aleatória 𝑇 é o instante em que ocorre o primeiro atendimento a partir</p><p>do instante O. Qual é a probabilidade do evento (𝑇 ≤ 𝑡)?</p><p>(a) 𝑒</p><p>−(</p><p>5𝑟𝑡²</p><p>2</p><p>)</p><p>. (b) 1 − 𝑒−(</p><p>5𝑟𝑡²</p><p>2</p><p>)</p><p>. (c) 𝑒−1/2. (d) 1/2. (e) 1 − 𝑒−1/2.</p><p>Resolução:</p><p>O evento (𝑇 ≤ 𝑡) significa que até o instante 𝑡 já tenha ocorrido o primeiro crime, ou ainda, a chance</p><p>de ter ocorrido pelo menos um crime.</p><p>Para facilitar nossos cálculos, podemos encontrar o complementar da probabilidade pedida, isto é,</p><p>a probabilidade de não ocorrer crime nenhum em 𝑡:</p><p>𝑃(𝑋 = 0) =</p><p>𝑒</p><p>−(</p><p>5𝑟𝑡2</p><p>2 )</p><p>(</p><p>5𝑟𝑡2</p><p>2</p><p>)</p><p>0</p><p>0!</p><p>𝑃(𝑋 = 0) = 𝑒</p><p>−(</p><p>5𝑟𝑡²</p><p>2</p><p>)</p><p>Dessa forma, a probabilidade pedida é dada por:</p><p>𝑃(𝑋 ≥ 1) = 1 – 𝑃(𝑋 = 0)</p><p>𝑷(𝑿 ≥ 𝟏) = 𝟏 − 𝒆</p><p>−(</p><p>𝟓𝒓𝒕²</p><p>𝟐</p><p>)</p><p>http://www.thmestatistica.com/</p><p>https://www.instagram.com/thmestatistica/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>www.thmestatistica.com @thmestatistica educacional@thmestatistica.com</p><p>44</p><p>Alternativa B.</p><p>Exercício 20:</p><p>A equipe de uma empresa júnior consegue atender até 3 projetos em um mês ou então plantonistas</p><p>avulsos serão necessários naquele mês. A média mensal é de 3 projetos e a distribuição do número</p><p>de projetos é 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛. Qual é a probabilidade de serem necessários plantonistas pelo menos em</p><p>algum mês do ano (12 meses)?</p><p>(a) 0,5. (b) 1 − 1312 𝑒−36. (c) 1 − 412 𝑒−4. (d) 1 − 13 𝑒−3. (e) 0,99.</p><p>Resolução:</p><p>Do enunciado, inferimos que 𝑋 se refere ao número de projetos mensais e segue uma distribuição</p><p>de 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛, tal que 𝑋 ~𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(3).</p><p>Vamos começar analisando a situação em 1 mês. Para não precisar de horas extras, devemos ter:</p><p>𝑃(𝑋 ≤ 3) = 𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1) + 𝑃(𝑋 = 2) + 𝑃(𝑋 = 3)</p><p>𝑃(𝑋 ≤ 3) = 𝑒−3 + 3𝑒−3 +</p><p>32</p><p>2</p><p>𝑒−3 +</p><p>33</p><p>6</p><p>𝑒−3</p><p>𝑃(𝑋 ≤ 3) = 13𝑒−3</p><p>Considerando os meses independentes entre si, a probabilidade de não precisar de plantonistas</p><p>avulsos nos 12 meses é:</p><p>𝑃(𝑛ã𝑜 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑠𝑎𝑟 𝑛𝑜𝑠 12 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠) = 𝑃(𝑋 ≤ 3) 12</p><p>𝑃(𝑛ã𝑜 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑠𝑎𝑟 𝑛𝑜𝑠 12 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠) = (13𝑒−3) 12</p><p>𝑃(𝑛ã𝑜 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑠𝑎𝑟 𝑛𝑜𝑠 12 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠) = 1312 𝑒−36</p><p>Portanto, a chance de necessitar de horas extras em pelo menos algum mês dentre os 12 pode ser</p><p>calculada como o complementar do valor anteriormente calculado:</p><p>𝑃(𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑠𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑡𝑜𝑛𝑖𝑠𝑡𝑎𝑠 𝑒𝑚 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 1 𝑚ê𝑠) = 1 − 𝑃(𝑛ã𝑜 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑠𝑎𝑟 𝑛𝑜𝑠 12 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠)</p><p>𝑷(𝒑𝒓𝒆𝒄𝒊𝒔𝒂𝒓 𝒅𝒆 𝒑𝒍𝒂𝒏𝒕𝒐𝒏𝒊𝒔𝒕𝒂𝒔 𝒆𝒎 𝒑𝒆𝒍𝒐 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒔 𝟏 𝒎ê𝒔) = 𝟏 − 𝟏𝟑𝟏𝟐𝒆−𝟑𝟔</p><p>http://www.thmestatistica.com/</p><p>https://www.instagram.com/thmestatistica/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>www.thmestatistica.com @thmestatistica educacional@thmestatistica.com</p><p>45</p><p>Distribuição de Probabilidade Conjunta</p><p>Até aqui tratamos de problemas com uma única variável. Porém, muitas vezes os fenômenos</p><p>estudados podem depender de um número maior de variáveis aleatórias. Dessa forma, vamos ver</p><p>agora o caso de variáveis bidimensionais!</p><p>Anteriormente, para o caso discreto, com 𝑋 = 𝑥 tínhamos uma função massa de</p><p>probabilidade 𝑃(𝑋 = 𝑥). Para o caso de duas variáveis discretas, a função probabilidade</p><p>conjunta</p><p>é definida por 𝑃(𝑋, 𝑌) = 𝑃(𝑋 = 𝑥 𝑒 𝑌 = 𝑦).</p><p>Uma abordagem muito importante que continua em vigor para o caso multidimensional é a</p><p>de que se varrermos todo espaço amostral a probabilidade obtida será igual a 1.</p><p>∑ 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 , 𝑌 = 𝑦𝑖)𝑥𝑖,𝑦𝑖 = 1</p><p>A probabilidade de ocorrer o espaço amostral é sempre igual a 1!</p><p>Distribuição Marginal</p><p>O conceito de marginalidade pra gente estará associado com a busca da probabilidade de</p><p>determinado valor (ou valores) de uma variável independentemente do valor assumido pela</p><p>outra. Por exemplo, gostaríamos de 𝑃(𝑋 = 𝑥, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑟 𝑌) e 𝑃(𝑌 = 𝑦, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑟 𝑋),</p><p>respectivamente:</p><p>𝑷𝑿(𝑿) = ∑ 𝑷(𝑿, 𝒀) 𝒀 𝑒 𝑷𝒀(𝒀) = ∑ 𝑷(𝑿, 𝒀)𝑿</p><p>A marginalidade estende nosso entendimento quanto a independência de variáveis</p><p>aleatórias ao passo que:</p><p>𝑋 𝑒 𝑌 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 ↔ 𝑃(𝑋, 𝑌) = 𝑃𝑋(𝑋) . 𝑃𝑌(𝑌)</p><p>Se passearmos por todos os valores de uma das variáveis, descobriremos a probabilidade marginal da outra variável.</p><p>Se 𝑋 𝑒 𝑌 forem independentes, ou seja, a chance de um acontecer não é alterada se soubermos que o outro ocorreu,</p><p>𝑃(𝑋, 𝑌) é expressa pela multiplicação das probabilidades marginais.</p><p>http://www.thmestatistica.com/</p><p>https://www.instagram.com/thmestatistica/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>www.thmestatistica.com @thmestatistica educacional@thmestatistica.com</p><p>46</p><p>Exercício 21:</p><p>Considere a seguinte função massa de probabilidade conjunta de 𝑋 e 𝑌:</p><p>↓ 𝑿 𝒀 → 𝟏𝟎 𝟏𝟓 𝟐𝟎</p><p>𝟎 0,10 0,04 0,02</p><p>𝟏 0,08 0,20 0,06</p><p>𝟐 0,06 0,14 0,30</p><p>(a) Qual é 𝑃(𝑋 = 1 𝑒 𝑌 = 15)? (d) Calcule 𝑃(𝑋 ≤ 1).</p><p>(b) Calcule 𝑃(𝑋 ≤ 1 𝑒 𝑌 ≤ 15). (e) 𝑋 e 𝑌 são variáveis independentes?</p><p>(c) Calcule a 𝑓.𝑚. 𝑝 marginal de 𝑋 e 𝑌.</p><p>Resolução:</p><p>(a) Direto da tabela, concluímos que 𝑷(𝑿 = 𝟏, 𝒀 = 𝟏𝟓) = 𝟎, 𝟐𝟎.</p><p>(b) Vamos analisar os casos para 𝑋 ≤ 1 𝑒 𝑌 ≤ 15:</p><p>𝑋 ≤ 1 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑋 = 0 𝑜𝑢 𝑋 = 1</p><p>𝑌 ≤ 15 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑌 = 10 𝑜𝑢 𝑌 = 15</p><p>Seja 𝑃(𝑋, 𝑌) a função massa de probabilidade conjunta, temos, para esse caso:</p><p>𝑃(𝑋 ≤ 1 𝑒 𝑌 ≤ 15) = 𝑃(0; 10) + 𝑃(0; 15) + 𝑃(1; 10) + 𝑃(1; 15)</p><p>𝑃(𝑋 ≤ 1 𝑒 𝑌 ≤ 15) = 0,10 + 0,04 + 0,08 + 0,20</p><p>𝑷(𝑿 ≤ 𝟏 𝒆 𝒀 ≤ 𝟏𝟓) = 𝟎, 𝟒𝟐</p><p>(c) Para calcular a função massa de probabilidade marginal, fixamos o valor de uma variável e</p><p>percorremos todos os valores da outra. Nesse caso, temos:</p><p>↓ 𝑿 𝒀 → 𝟏𝟎 𝟏𝟓 𝟐𝟎 𝑷𝑿(𝒙)</p><p>𝟎 0,10 0,04 0,02 𝟎, 𝟏𝟔</p><p>𝟏 0,08 0,20 0,06 𝟎, 𝟑𝟒</p><p>𝟐 0,06 0,14 0,30 𝟎, 𝟓𝟎</p><p>𝑷𝒀(𝒚) 𝟎, 𝟐𝟒 𝟎, 𝟑𝟖 𝟎, 𝟑𝟖</p><p>http://www.thmestatistica.com/</p><p>https://www.instagram.com/thmestatistica/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>www.thmestatistica.com @thmestatistica educacional@thmestatistica.com</p><p>47</p><p>(d) De maneira análoga ao que fizemos no item b, temos, para 𝑋 ≤ 1 a seguinte análise:</p><p>𝑃(𝑋 ≤ 1) = 𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1)</p><p>𝑃(𝑋 ≤ 1) = 𝑃𝑋(0) + 𝑃𝑋(1)</p><p>𝑷(𝑿 ≤ 𝟏) = 𝟎, 𝟓𝟎</p><p>(e) Para que duas variáveis discretas sejam independentes entre si, o produto de suas marginais</p><p>deve ser igual ao valor da probabilidade conjunta, desde que respeitemos os valores atribuídos a</p><p>cada uma das variáveis. Por exemplo, seja 𝑋 = 0 e 𝑌 = 10:</p><p>𝑋 𝑒 𝑌 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 ↔ 𝑃(𝑋, 𝑌) = 𝑃𝑋(𝑋) . 𝑃𝑌(𝑌)</p><p>𝑃(0; 10) = 0,10</p><p>𝑃𝑋(0) . 𝑃𝑌(10) = 0,16 . 0,24 = 0,0384</p><p>∴</p><p>𝑃(0; 10) ≠ 𝑃𝑋(0) . 𝑃𝑌(10)</p><p>E assim, se temos pelo menos um par de valores que não respeite o princípio de independência,</p><p>já podemos assumir que as variáveis analisadas não são independentes entre si. Dessa forma,</p><p>para esse caso, as variáveis aleatórias 𝑿 e 𝒀 não são independentes!</p><p>http://www.thmestatistica.com/</p><p>https://www.instagram.com/thmestatistica/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>www.thmestatistica.com @thmestatistica educacional@thmestatistica.com</p><p>48</p><p>Alternativa D.</p><p>Exercício 22:</p><p>Sejam as variáveis aleatórias 𝑋 e 𝑌, que representam o número de vezes que uma pessoa</p><p>consultou um cardiologista e um dermatologista, respectivamente. A distribuição de probabilidade</p><p>conjunta está na tabela abaixo. O valor médio do número de vezes que a pessoa consultou o</p><p>dermatologista dado que consultou o cardiologista uma única vez vale:</p><p>𝑷(𝑿, 𝒀) 𝒀 = 𝟏 𝒀 = 𝟐 𝒀 = 𝟑</p><p>𝑿 = 𝟏 0,25 0,15 0,05</p><p>𝑿 = 𝟐 0,10 0,15 0,10</p><p>𝑿 = 𝟑 0,05 0,10 0,05</p><p>(a) 14/8. (b) 9/5. (c) 1. (d) 14/9. (e) 5/2.</p><p>Resolução:</p><p>Do enunciado, concluímos que o valor esperado pode ser escrito como:</p><p>𝐸(𝑌|𝑋 = 1)</p><p>Pode parecer um pouco estranho, né? Mas vamos lá!</p><p>Para cumprir a premissa da condicional, fixamos 𝑋 = 1, obtendo assim:</p><p>𝑃(𝑌 = 1) =</p><p>0,25</p><p>(0,25 + 0,15 + 0,05)</p><p>=</p><p>5</p><p>9</p><p>𝑃(𝑌 = 2) =</p><p>0,15</p><p>0,45</p><p>=</p><p>1</p><p>3</p><p>𝑃(𝑌 = 3) =</p><p>0,05</p><p>0,45</p><p>=</p><p>1</p><p>9</p><p>Assim, voltamos a ter um problema em que nos basta aplicar a definição de esperança:</p><p>𝐸(𝑌| 𝑋 = 1) = 1 .</p><p>0,25</p><p>0,45</p><p>+ 2 .</p><p>1</p><p>3</p><p>+ 3 .</p><p>1</p><p>9</p><p>𝑬(𝒀| 𝑿 = 𝟏) =</p><p>𝟏𝟒</p><p>𝟗</p><p>http://www.thmestatistica.com/</p><p>https://www.instagram.com/thmestatistica/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/</p><p>www.thmestatistica.com @thmestatistica educacional@thmestatistica.com</p><p>49</p><p>Alternativa C.</p><p>Exercício 23:</p><p>Considere duas variáveis aleatórias 𝑋 e 𝑌, independentes, e ambas com distribuição geométrica</p><p>com parâmetro 𝑝 = 3/4. Considere também duas variáveis 𝑊 = 𝑋 + 𝑌 𝑒 𝑍 = 𝑋 − 𝑌 + 5. O</p><p>valor de 𝑃(𝑊 ≥ 𝑍) é:</p><p>(a) 1/4. (b) 7/16. (c) 1/64. (d) 1/2. (e) 3/64.</p><p>Resolução:</p><p>Podemos reescrever a premissa pedida em termos de 𝑋 e 𝑌, obtendo:</p><p>𝑊 ≥ 𝑍</p><p>𝑋 + 𝑌 ≥ 𝑋 − 𝑌 + 5</p><p>𝑌 ≥</p><p>5</p><p>2</p><p>Tínhamos 2 variáveis e, novamente, o problema se tornou unidimensional, tal que 𝑃(𝑊 ≥ 𝑍) =</p><p>𝑃 (𝑌 ≥</p><p>5</p><p>2</p><p>). A variável 𝑌 tem distribuição geométrica, portanto seus valores assumidos são números</p><p>naturais.</p><p>𝑃 (𝑌 ≥</p><p>5</p><p>2</p><p>) = 1 – [𝑃 (𝑌 𝑌) é:</p><p>(a) 1/4. (b) 2/3. (c) 1/2. (d) 1/6. (e) 1/3.</p><p>Resolução:</p><p>Podemos enxergar o espaço amostral via árvore de probabilidades:</p><p>{</p><p>𝟏</p><p>𝟑</p><p>𝑏𝑜𝑙𝑎 1</p><p>{</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>𝑏𝑜𝑙𝑎 2</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>𝑏𝑜𝑙𝑎 3</p><p>𝟏</p><p>𝟑</p><p>𝑏𝑜𝑙𝑎 2</p><p>{</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>𝑏𝑜𝑙𝑎 1</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>𝑏𝑜𝑙𝑎 3</p><p>𝟏</p><p>𝟑</p><p>𝑏𝑜𝑙𝑎 3</p><p>{</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>𝑏𝑜𝑙𝑎 1</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>𝑏𝑜𝑙𝑎 2</p><p>Assim, podemos visualizar que 𝑋 > 𝑌 ocorre para: 𝑋 = 2 𝑒 𝑌 = 1, 𝑋 = 3 𝑒 𝑌 = 1, 𝑋 = 3 𝑒 𝑌 = 2.</p><p>Nossa probabilidade, então, pode ser calculada por:</p><p>𝑃(𝑋 > 𝑌) = 𝑃(𝑋 = 2 𝑒 𝑌</p>