Eletromag1_2a_Lista_de_Exercicios

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Universidade Federal de São Carlos - UFSCar
Departamento de F́ısica - DF
Disciplina: 92240 - Eletromagnetismo 1
Professor: Rodrigo F. Shiozaki
Peŕıodo: 2023/2
2ª Lista de Exerćıcios: Energia em Eletrostática - Técnicas
especiais
(Data de entrega: data da P1)
1. (Energia): Calcule a energia armazenada em uma esfera sólida de raio R uniformemente
carregada com carga q. Faça isto de três formas diferentes:
(a) Calcule o potencial e use a expressão:
W =
1
2
∫
ρ(r⃗′)V d3r′
(b) Calcule o campo e use a expressão:
W =
ϵ0
2
∫
todo o espaço
E2d3r
(c) Utilize um volume esférico de raio a > R na expressão:
W =
ϵ0
2
(∫
V
E2d3r +
∮
S
V E⃗ · da⃗
)
Avalie o que ocorre quando a → ∞.
2. (Energia): Outra forma de avaliar a energia no exerćıcio anterior seria montar a esfera
camada por camada, trazendo do infinito elementos de carga dq a serem uniformemente
distribúıdos em cascas esféricas. Faça isto seguindo a estratégia: dada a situação com um
certo raio r, calcule o trabalho dW para incrementar o raio da esfera de um dr e, então,
integre.
3. (Condutores): Encontre a capacitância por unidade de comprimento entre dois tubos
metálicos ciĺındricos coaxiais, sendo o menor deles com raio Rint e o maior com raio Rext.
Considere os tubos muito longos, isto é, o comprimento é muito maior que os raios.
4. (Equação de Laplace): Encontre a solução geral da Equação de Laplace nos casos:
a) (Coordenadas Esféricas) O potencial depende apenas da coordenada radial r.
b) (Coordenadas Ciĺındricas) O potencial depende apenas da coordenada radial s.
1
5. (Método de imagens): Considere uma linha infinita de cargas de densidade uniforme λ
colocada a uma distância d acima de um plano infinito condutor aterrado. Assuma que o
plano condutor coincide com o plano xy e a linha de cargas é paralela ao eixo x.
(a) Encontre o potencial na região acima do plano.
(b) Encontre a densidade de carga σ induzida no plano condutor.
6. (Método de imagens): Dois planos condutores semi-infinitos estão aterrados e formam
90◦. Na região entre eles, existe uma carga pontual q, como mostra a figura a seguir.
(a) Qual é a configuração correspondente ao problema equivalente do método de imagens?
(b) Qual é o potencial nesta região?
(c) Qual é o trabalho necessário para trazer a carga q do infinito até sua posição?
(d) Suponha que o ângulo entre os planos não seja 90◦. Existe algum outro ângulo que
permite a aplicação do método de imagens? Se sim, qual e com qual configuração?
7. (Separação de variáveis - coord. cart.): Uma caixa cúbica de lado a consiste de cinco
placas quadradas fundidas e aterradas, como mostra a figura a seguir. Já a placa metálica
no topo está isolada das outras e possui um potencial constante V0. Encontre o potencial
dentro da caixa.
8. (Separação de variáveis - coord. esfer.): O potencial na superf́ıcie de uma esfera de raio
R é dado por V0 = k cos(3θ), onde k é uma constante. Encontre o potencial (a) dentro
e (b) fora da esfera. (c) Determine a densidade de carga σ(θ) sobre a esfera. (Considere
que não há nenhuma outra carga).
2
9. (Expansão multipolar): Uma esfera de raio R centrada na origem, carrega a densidade
de carga:
ρ(r, θ) = k
R
r2
(R− 2r) sen θ (coord. esfer.),
onde k é uma constante. Encontre o potencial aproximado para pontos no eixo z distantes
da esfera.
10. (Dipolo): Um dipolo “puro” está situado na origem e apontando na direção z.
(a) Qual é a força sobre uma carga q na posição cartesiana (a,0,0)?
(b) Qual é a força sobre uma carga q na posição cartesiana (0,0,a)?
(c) Qual é o trabalho para mover uma carga q da primeira posição para a segunda?
Respostas:
1. 1
4πϵ0
(
3q2
5R
)
2.
3. 2πϵ0
ln
(
Rext
Rint
)
4. (a) V = − c
r
+ k; (b) V = c ln s+ k
5. (a) V (x, y) = λ
4πϵ0
ln
[
y2+(z+d)2
y2+(z−d)2
]
; (b) σ(y) = − λd
π(y2+d2)
6. (a) e (b) Duas cargas q nas posições (±a,±b, 0) e duas cargas −q nas posições (±a,∓b, 0);
(c) W = q2
16πϵ0
[
1√
a2+b2
− 1
a
− 1
b
]
; (d) Posśıvel se θ = 180◦
n
para n = 1, 2, 3, ...
7. V (x, y, z) = 16V0
π2
∑
n=1,3,5,...
∑
m=1,3,5,...
1
nm
sen(nπx/a) sen(nπy/a) senh(π
√
n2+m2z/a)
senh(π
√
n2+m2)
8. (a) V (r, θ) = k
5
r
R
cos θ
[
4
(
r
R
)2
(5 cos2 θ − 3)− 3
]
;
(b) V (r, θ) = k
5
(
R
r
)2
cos θ
[
4
(
R
r
)2
(5 cos2 θ − 3)− 3
]
; (c) σ(θ) = ϵ0k
5R
cos θ[140 cos2 θ − 93]
9. V (z) ≈ 1
4πϵ0
kπ2R5
48z3
10. (a) F⃗ = − pq
4πϵ0a3
ẑ; (b) F⃗ = 2pq
4πϵ0a3
ẑ; (c) W = pq
4πϵ0a2
3